Controllare le proiezioni

Daniele Marini

Corso Di Programmazione Grafica

2

2 tipi principali

• Proiezioni parallele:– Centro di proiezione all’infinito

• Proiettori ortogonali oppure• Proiettori obliqui• Proiezioni multiple (più viste)• Proiezioni a una sola vista

– Assonometrie– Cavaliera o Cabinet

• Proiezioni prospettiche– Centro di proiezionie a distanza finita

• Un solo punto di fuga: prospettiva centrale• 2 o 3 punti di fuga: prospettiva accidentale

3

Frames

• Il frame è un contesto di:– sistema di riferimento – e trasformazioni geometriche associate

• Consideriamo questi due frame:– World frame, nel quale si descrivono e

rappresentano gli oggetti modellati– Camera frame, nel quale si definisce il sistema

di riferimento necessario alla creazione della proiezione

4

Sistemi di riferimento

World frame

Camera frame

5

Camera frame• Quasi tutti gli ambienti e le librerie adottano

la metafora della macchina fotografica: la formazione dell’immagine piana a partire dal modello 3D avviene con un principio di proiezione simile a quello della fotografia

• L’obiettivo non è modellato (foro stenopeico)

• Il sistema di riferimento del camera frame si assume fisso:– Origine in basso a sinistra del fotogramma– X crescente a destra– Y crescente in verticale– Z entrante o uscente dalla macchina fotografica

6

7

Prospettiva canonica

• Camera frame orientato come il world frame

• Asse ottico coincidente con asse z, entrante nell’obiettivo

• Piano di proiezione coincidente con il piano x,y

• Per portare una scena nella configurazione canonica è necessaria una catena di trasformazioni da applicare conoscendo i parametri principali

8

Proiezione generica - I parametri di controllo

• PRP Projection Reference Point o COP Center of Projection

• View Plane• VPN View Plane Normal• VUP View UP• DOP Direction of Projection (per le

proiezioni parallele)• VRP View Reference Point• CW center of the window

9

Orientare il piano di proiezione

10

Definire la viewport e la window

11

Definire il centro di proiezione

(COP)

12

Se la proiezione è parallela

13

Proiezioni parallele

• Si azzera la componente z• Tutta la difficoltà della proiezione

parallela consiste nell’orientare correttamente il modello rispetto al piano di proiezione

14

• Dati VPN, VUP si ottiene la view orientation view orientation matrixmatrix V

• La forma della V è: V=TR • T è la traslazione nel VRP, • R è una rotazione opportuna per orientare

la view rispetto alla configurazione canonica• Con queste trasformazioni ci si porta nella

configurazione canonica

Trasformazioni normalizzateTrasformazioni normalizzate

15

Costruzione della matrice di orientamento di vista V

• Definiamo posizione e orientamento della proiezione nel riferimento world

• Supponiamo di avere (in 4d):• VRP(x,y,z,1)• VPN (nx,ny,nz,1)• VUP (vup_x, vup_y, vup_z,0) punto

all’infinito

16

Costruzione della matrice V

• Poniamo l’origine in VRP, VPN sarà la direzione dell’asse z, da VUP ricaviamo la direzione y, la direzione x si ricava per prodotto vettore tra z e y

• Traslazione in VRP con T(-x,-y-z,1)• Per la rotazione R: per trovare la

direzione y il vettore relativo v deve essere ortogonale a n: n.v=0

17

Costruzione della matrice V

• v è la proiezione di vup sul piano identificato da n, quindi è combinazione lienare di n e vup:

• v=an+bvup

• Ponendo b=1 (vettori normalizzati) si ricava a=-(vup.n/n.n) da cui:

• v=vup- (vup.n/n.n)• Il terzo asse z si ottiene per prodotto:

u=vxn

18

Costruzione della matrice V• Normalizzando tutti i vettori u’,v’,n’, la matrice di rotazione seguente

• Orienta un vettore in u’,v’,n’ rispetto al riferimento originale, quindi trasponiamo per compiere la rotazione desiderata

€

A =

u'x v'x n'x 0

u'y v'y n'y 0

u'z v'z n'z 0

0 0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

€

R =

u'x u'y u'z 0

v 'x v'y v 'z 0

n'x n'y n'z 0

0 0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

19

Costruzione della matrice V

• Finalmente la matrice V si ottiene moltiplicando la R per la traslazione T

€

V = RT =

u'x u'y u'z −xu'x −yu'y −zu'zv'x v 'y v'z −xv'x −yv'y −zv'zn'x n'y n'z −xn'x −yn'y −zn'z0 0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

20

Matrice canonica di proiezione parallela

ortogonale

€

Mortho =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

p =

x

y

z

1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

* Mortho = q =

x

y

0

1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

21

Funzioni di OpenGL - proiezione parallela

ortogonaleglOrtho(xmin, xmax, ymin, ymax, near, far);

Definisce un view volume, rispetto al quale si fa il clipping,

near e far possono essere anche negativi: non c’e’ divisione per 0

22

• La configurazione prevede di essere in condizioni canoniche per l’orientamento, inoltre:• Traslare l’origine del view volume nell’origine del view volume canonico• Riscalare il view volume per normalizzarlo in -1,1• zmax = far• zmin = near• completata la trasformazione si può chiamare la glOrtho• Le coordinate trasformate sono nel riferimento NDC normalized devices coordinates

Parallela ortogonale -2

23

glOrtho(xmin, xmax, ymin, ymax, near, far);

P =ST=

2xmax−xmin

0 0 −xmax+xminxmax−xmin

02

ymax−ymin0 −

ymax+yminymax−ymin

0 02

zmax−zmin−

zmax+zminzmax−zmin

0 0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

traslazioneal centro delview volumescalatura

Parallela ortogonale - 3

24

Proiezioni parallele oblique

Angoli del fascio di proiettori con la normale al piano di proiezione

DOP

y

x

z

normale

25

Proiezioni parallele oblique - 2

• orientare la direzione di proiezione in modo che sia parallela a z, con trasformazione di shear controllata dagli angoli

• rinormalizzare il view volume con scala e traslazione (come sopra)

• proiettare con la matrice ortografica

26

Trasformazione di shear e proiezione parallela obliqua

H =

1 0 −cotθ 0

0 1 −cotφ 0

0 0 1 0

0 0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

P =MorthoSTH(θ,φ)

27

Proiezione parallela generica

• Deformare il volume con shear per condursi a ortogonale

• Ricondursi alla configurazione canonica; normalizzazione– Convertire il volume di vista in una configurazione

standard: costruzione della matrice di proiezione: opera in “window coordinates” (comprendono z)

– Proiettare il volume deformato• Il volume canonico per la proiezione parallela è

normalizzato in -1,+1

28

z

x

yP(x,y,z)

P(xv,yv)

Piano di proiezione

Proiezione prospettica centrale - Calcolo analitico

Centro di proiezione

29

z

y

Piano di proiezioned

P(x,y,z)

yv

y/yv = z/dyv = y/(z/d)

x/xv = z/dxv = x/(z/d)

... in sezione ...

Centro di proiezione

30

Matrice canonica di trasformazione prospettica

€

M =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 1/d 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

p =

x

y

z

1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

* M = q =

x

y

z

z /d

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

31

Dalle coordinate omogenee allo spazio 3D

xp =x

z/ d

yp =y

z/d

zp =z

z/ d=d

32

Prospettiva:Angolo di visione e frustum

33

Prospettiva:Funzioni di OpenGL

glFrustum(xmin, xmax, ymin, ymax, near, far);

gluPerspective(fovy, aspect, near, far);Aspect = larghezza/altezza della windowFovy:angolo di apertura verticale

34

Prospettiva generica

• Metodo della projection normalization– Creare la matrice di normalizzazione– Deformare lo spazio– Proiettare in modo ortografico

35

Prospettiva generica (cont)

• Si suppone di proiettare in modo canonico con la distanza del centro di proiezione

d=-1 lungo l’asse z– Se non siamo in queste condizioni si rototrasla il

sistema e si applica una trasformazione di shear

• la matrice Mpersp canonica è:

€

M persp =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 −1 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

36

Prospettiva generica (cont)

• Siano l,r,t,b,n,f i 6 parametri che definiscono il frustum di visione• OGL per operare la proiezione costruisce la matrice:

– In questo schema 0<n<f, quindi il frustum di visione viene traslato nelle z positive

€

P =

2n

r − l0

r + l

r − l0

02n

t − b

t + b

t − b0

0 0 −f + n

f − n−

2 fn

f − n0 0 −1 0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

37

Altri schemi• Lo schema illustrato è tipico

delle librerie PHIGS, GKS 3D• OpenGl offre anche un altro

approccio: lookAt• Nei simulatori di volo si

adotta lo schema “roll, pitch, yaw” - “rollio, beccheggio, imbardata”

38

39

LookAt

• E’ un metodo più diretto e più naturale: – la camera è localizzata in un punto e (eypoint - o punto di

vista) specificato nel world frame– La camera è orientata nella direzione individuata dal

vettore congiungente e con il punto a (at point - punto osservato)

• I punti e ed a individuano il VRP e la VPN• Gli ultimi tre parametri identificano il VUP

gluLookAt(eyex, eyey, eyez, aty, atx, atz, upx, upy, upz);

40

Trasformazione di vista - LookAt

0 0 0 1

x y z x

x y z y

x y z z

s f up

u s f

s s s e

u u u eM

f f f e

= ×= ×

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

e=(ex,ey,ez)a=(ax,ay,az)up=upx,upy,upz)ftemp=(a-e)f=ftemp/||ftemp||)

Stereo e profondità percepita

• La stereovisualizzazione rafforza gli indizi di profondità

• Nella immagini 2D:• Prospettiva• Dimensioni relative• Dettagli• Occlusioni• Luci e ombre• Velocità relativa

41

Profondità 3D

• Disparità binoculare• Accomodazione• Convergenza• Questi tre indizi devono essere

coerenti tra loro

42

Stereo coppie

• Proiettando stereo coppie si produce disparità interoculare

• Questo indizio è in conflitto con l’accomodamento perché la messa a fuoco avviene su un medesimo piano

• Il conflitto di accomodamento si è verificato essere tollerabile se la distanza di separazione massima sul piano immagine resta entro un intervallo di 1/30 della distanza dal piano immagine

43

Visione “al di là dello schermo”

• Nello schema l’oggetto appare dietro lo schermo; i punti generati dalle due proiezioni sono sul lato relativo all’occhio corrispondente

• Parallasse positiva; massima parallasse per il punto all’infinito; è pari alla distanza interoculare

44

Visione “al di qua dello schermo”

• Parallasse negativa

• Parallasse pari alla distanza interoculare quando il punto si trova a metà della distanza dal piano di proiezione

45

Visione “sul piano schermo”

• Si ha parallasse nulla e il punto viene proiettato senza disparità sul piano immagine

46

Tecniche di calcolo della stereo proiezione: toe-in

scorretta• Toe in: due proiezioni prospettiche da due

punti separati dalla distanza interoculare (circa 65 mm)

• Introduce anche una parallasse verticale fastidiosa

47

Tecniche di calcolo della stereo proiezione: off-axis

corretta• Due proiezioni con assi tra loro

paralleli; richiede un trimming dell’immagine per considerare solo la parte comune

48

Confronto

• Il metodo toe-in introduce una parallasse verticale; si implementa facilmente e tutte le librerie grafiche lo supportano

• Il metodo off-axis non produce parallasse verticale; non tutte le librerie lo supportano. OpenGl sì!

49

Parametri

• Il grado di effetto stereo dipende dalla distanza del centro di proiezione dal piano e dalla separazione

• In generale un buon effetto non faticoso richiede separazione pari a 1/20 della distanza dal piano

• Inoltre occorre evitare che la parallasse superi la distanza interoculare

50

Angolo di parallasse

= 2 atan(DX / 2d)

51

52

Trimming

• Per calcolare il trimming nel metodo off-axis

= e.w / [2f0 tan(/2)]

•  dove: e distanza interoculare

• w larghezza immagine

• fo lunghezza focale (a parallasse 0)

angolo apertura desiderato

53

Trimming

• Dopo il trimming l’angolo di apertura effettivo è:

’ atan([(w+ ) tan(w• Notare che OpenGL usa un angol di

apertura verticale non orizzontale, occorre calcolarselo!

54

55

Stereo e OpenGL

• Con OGL per creare una coppia stereo si usano le funzioni glFrustum.

• Se si usasse gluLookAt si applicherebbe il metodo toe-in

• Nella cartella doc trovate una presentazione ben fatta sul calcolo dello stereo con codice di esempio OGL: Calculating Stereo Pairs.pdf

56