MODELADO MATEMÁTICOS DE

SISTEMAS DE CONTROL

Unidad II

CONTROL ANALÓGICO I

Modelado de sistemas

Con la finalidad de diseñar y analizar el

comportamiento dinámico de un sistema

físico, es necesario obtener modelos

matemáticos cuantitativos de ellos.

Ejemplos de sistemas mecánicos

Modelado Cont.

Ejemplos de sistemas

Modelado Cont.

La mayoría de los sistemas de interés en

el área de control son de naturaleza

dinámica, la forma general de una

ecuación diferencial lineal de orden n es:

Donde:

u es la entrada del sistema

y es la salida del sistema

1 1

1 0 1 01 1

( ) ( ) ( ) ( )... ( ) .. ( )

n n m m

n n m mn n m m

d y t d y t d u t d u ta a a y t b b b u t

dt dt dt dt

Representación

Además

a0,a1,…,an y b0, b1,…,bm son constantes o

funciones del tiempo.

1 1

1 0 1 0... ...n n m m

n n m ma y a y a y b u b u b u

Tipos de sistemas

Para los sistemas físicos , además:

Si los coeficientes son constantes, se trata de

sistemas lineales invariantes en el tiempo

(SLIT), por ejemplo: redes eléctricas, sistemas

de suspensión de automóviles, motores

eléctricos, etc.

Si los coeficientes son variables, se les llama

sistemas variantes en el tiempo (SLVT), como

ejemplo tenemos: aviones, hornos, cohetes,

etc.

n m

Ejemplos

Analice cada ecuación diferencial y

determine tipo de sistema al que

pertenece.

FUNCION DE TRANSFERENCIA

La función de transferencia de un sistema se define como la relación entre la

transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace

de la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales se

hacen igual a cero.

L( ) ( )

L( ) ( )

y Y s

u U s

Ec. Diferencial Ec. Algebraica

Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia

L

1L

1

1 0

1

1 0

...( )

( ) ...

m m

m m

n n

n n

b s b s bY sn m

U s a s a s a

De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.

Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.

¿Por qué Transformada de

Laplace?

Transformada de Laplace de

funciones básicas

Función escalón unitario.

Aplicando la definición de transformada

de Laplace𝐹(𝑠) =

0

∞

𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

𝑓 𝑡 = 1 𝑡 > 00 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 < 0

Transformada de Laplace de

una función escalón unitario

Aplicando la definición:

simplificando

𝐹 𝑠 = 0

∞

𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

= 0

∞

1 × 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = 0

∞

𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

𝐹 𝑠 = −1

𝑠 𝑒−𝑠𝑡

0

−∞= −

1

𝑠𝑒−∞ − 𝑒−0 = −

1

𝑠−1 =

1

𝑠

Ejemplos: Obtención de función

de transferencia

Obtener la función de transferencia de

los siguientes sistemas así como los

polos y ceros de la misma.

OBTENCIÓN DE F.T DE

SISTEMAS

Considere un circuito eléctrico RC de la figura 2.3, aplique las leyes de voltajes

de kirchhoff para obtener la ecuación diferencial que rige la dinámica del

sistema y a partir de esta determine la función de transferencia del circuito

considerando como salida Vo(t) y como entrada Vi(t).

Vi (t)

+

-

R

Ci(t) Vo(t)

+

-

Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff

0( ) ( ) ( ) 0iV t i t R V t

Filtro pasa-bajas

Frecuencia

de corte

Además

0

1( ) ( )V t i t dt

C 0 ( )

( )dV t

i t Cdt

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la primera

00

( )( ) ( ) 0 i

dV tV t RC V t

dt

00

( )( ) ( ) i

dV tRC V t V t

dt

Aplicando

0 0( ) ( ) ( ) iE s RCsE s E s

0 ( ) 1

( ) 1i

E s

E s RCs

1s

RC

Factorizando y reacomodando

Obsérvese que el polo del sistema está localizado en.

L

Función de Transferencia de

Elementos en Cascada

Se dice que dos elementos están en

cascada, cuando la salida del primero

corresponde a la entrada del segundo.

Hay dos casos:

1. Si los elementos no se cargan.

2. Si el segundo elemento produce un

efecto de carga sobre el primero, es

decir, si el segundo elemento toma

cierta cantidad de potencia del primero.

En el primer caso se puede obtener una

función de transferencia del sistema

simplemente eliminando la salida y

entrada intermedias.

Si el segundo elemento no carga al

primero, obtenemos

3 3 2

2 1

1 2 1

X s X s X sG s G s G s

X s X s X s

Ejemplo

Sea el siguiente sistema eléctrico en

cascada mostrado en la figura, obtener

la función de transferencia .0 ( )

( )i

V s

V s

Diagramas de bloques

Esta representación gráfica permite

describir de manera clara el

funcionamiento de un sistema real

(amplificadores, control de motores,

circuitos eléctricos, servomecanismo,

hornos, etc.), debido a que muestra

como se realiza el flujo de señales

dentro del mismo.

Elementos básicos

Punto de suma: Indica la suma o resta de señales.

Puntos de toma o derivación: Se emplea para indicar que alguna

señal sale

a diferentes lugares.

+

-

+G(s)

C(s)R(s)

R2(s)

R1(s)

R3(s)

C(s)=R1(s)+ R2(s)-R3(s)

Y(s)

Y(s)

Y(s)

Y(s)

a) b) c)

a) diagrama de bloque b) punto de suma c) punto de toma

Reglas para reducir diagramas de

bloques

Una regla para simplificar un diagrama de bloques consiste en desplazar los puntos de toma hacia la salida y los puntos de suma hacia la entrada e ir reduciendo los lazos internos de retroalimentación aplicando las reglas de las tablas siguientes.

En toda simplificación de diagrama de bloques se deben cumplir las siguientes reglas básicas.

El producto de F.T. a lo largo de un trayecto desde la entrada hasta la salida (siguiendo el sentido de las flechas) debe permanecer constante.

El producto de F.T. a lo largo de un lazo también debe permanecer constante.

Ejemplo

( )

( )

Y s

R s

Y(s)

R(s)

+

-

+

-

-

1( )G s 2 ( )G s 3( )G s

1( )H s

2 ( )H s

Reduzca el diagrama de bloques mostrado en la figura

y obtenga la función de transferencia

Usando regla 6

Y(s)R(s)

+

-

+

-

-

1

1

( )G s

1( )G s

1( )H s

2 ( )G s 3( )G s

2 ( )H s

Ahora a partir de la regla 9 y 4 obtenemos el sistema mostrado

Y(s)R(s) +

-

+

-

-

1

1

( )

( )

H s

G s

1 2( ) ( )G s G s3( )G s

2 ( )H s3

1

( )G s

De igual forma usando la regla 4 al esquema de la figura obtenemos

Y(s)R(s) +

-

+

-

-

1

1

( )

( )

H s

G s

1 2 3( ) ( ) ( )G s G s G s

2

3

( )

( )

H s

G s

Por regla 13 y 2 aplicada a la figura obtenemos

Y(s)R(s) +

-

+-

2

3

( )

( )

H s

G s

1 2 3

11 2 3

1

( ) ( ) ( )

( )1 ( ) ( ) ( )

( )

G s G s G s

H sG s G s G s

G s

Simplificando vía regla 13 el sistema de la figura llegamos al esquema

mostrado

Y(s)R(s) +

-

1 2 3

2 3 1

1 2 3 2

2 3 1 3

( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ) ( )

G s G s G s

G s G s H s

G s G s G s H s

G s G s H s G s

Simplificando

Y(s)R(s)1 2 3

2 3 1 1 2 2 1 2 3

( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

G s G s G s

G s G s H s G s G s H s G s G s G s

Ejemplo

Reduzca el diagrama de bloques

mostrado en la figura y obtenga la

función de transferencia

Y(s)R(s) +

-

++

8 2 10

s

s s

1

1s

1

s

s

-

solución

Por regla #9

Y(s)R(s) +

-

++

8 2 10

s

s s

1

1s

1

s

s

-

2 10s s

s

Por regla #4 y #6

Y(s)R(s)

+

-

++

1

8

2 10

s

s s

1

s

s

-

2 10

( 1)

s s

s s

8

Por Regla #1

Y(s)R(s) +

-

+

+

2

8

10

s

s s

8 8

s

s

-

2 10

( 1)

s s

s s

Solución Cont.

Por regla #13

Y(s)R(s) +

-

+

2

8

10

s

s s 1

8 8

s

s

-

2 10

( 1)

s s

s s

Solución Cont.

Por regla #13

Y(s)R(s)

-

+ 2

2

2

8

10

8 101

10 ( 1)

s

s s

s s s

s s s s

18 8

s

s

Y(s)R(s)

-

+

2

(8 8)

10 9

s s

s s s

9 8

8 8

s

s

Y(s)R(s)

2

2

(8 8)

10 9

(8 8)1

10 9

s s

s s s

s s

s s s

9 8

8 8

s

s

Solución

Simplificando

Y(s)R(s)

2

9 8

10 9 8 1

s s

s s s s s

Gráficos de flujo de señal

Nodo.- Es un punto de entrada o salida que representa

una variable o señal.

Nodo fuente.- Este representa las variables

independientes del sistema y es un nodo en donde

solo existen ramas de salida.

Nodo sumidero.- Representa las variables

dependientes del sistema y es un nodo en donde

solamente hay ramas de entrada.

Rama.- Línea con dirección y sentido que conecta dos

nodos.

Transmitancia.- Es la ganancia de una rama.

Camino o trayectoria.- Es un conexión continua de

ramas de un nodo a otro, en una dirección acorde con

el sentido de las flechas de las ramas.

Trayecto o camino directo.-Es una trayectoria que

conecta a un nodo fuente con un nodo sumidero.

Ganancia del trayecto.- Es el producto de las

transmitancias de todas las ramas del trayecto.

Lazo.- Es un camino o trayectoria cerrada.

Ganancia de lazo.- Es el producto de las transmitancias

de todas las ramas del lazo.

Lazo disjunto.- Es un lazo que no tiene ningún nodo en

común con otro lazo, es decir, no se tocan.

Semejanzas entre gráficos de flujo de señal y diagramas

de bloques

Gráfico de flujo de señal Diagrama de bloques

Nodo de entrada Señal de entrada

Nodo de salida Señal de salida

rama bloque

Transmitancia Ganancia del bloque

Nodo señal

C(s)R(s) +

-

+

-1( )G s 2 ( )G s 3( )G s

1( )H s

+ -C(s)

R(s)1 1 G1(s) G2(s) G3(s) 1

-1

-H2(s)

1L

2L

3L

Fórmula de ganancia de Mason

La fórmula de Mason establece que la ganancia de un

sistema esta dada por

def

fed

bc

cb

a

a LLLLLL1

a

aL

Donde

k = número de trayectos directos.

Pk = Ganancia de trayectoria de la k-ésima trayectoria directa.

Suma de todas las ganancias de lazo individuales.

1k k

k

P P

bc

cbLL

def

fed LLL

Suma de los productos de ganancias de todas las combinaciones posibles de dos lazos disjuntos.

Suma de los productos de ganancias de todas las combinaciones posibles de tres lazos disjuntos.

k = Cofactor del determinante de la k-ésima trayectoria directa del gráfico con los lazos que tocan la

trayectoria directa k-ésima eliminados, es decir, el cofactor se obtiene apartir de al eliminar o hacer

cero todos los lazos que tocan la trayectoria directa Pk.

Ejemplo

Identificando las trayectorias directas, tenemos

En este caso hay tres lazos individuales

Como puede observarse, todos los lazos tienen nodos en común, por lo

tanto no hay lazos disjuntos.

C(s)R(s)

1 1 G1(s) G2(s) G3(s) 1

-1

-H2(s)

1L

2L

3L

1 1 2 3( ) ( ) ( )P G s G s G s

1 1 2 1( ) ( ) ( )L G s G s H s

2 2 3( ) ( )L G s G s

3 1 2 3 2( ) ( ) ( ) ( )L G s G s G s H s

Ejemplo cont.

Calculando el determinante del gráfico

Sustituyendo valores

Como solo hay un trayecto directo, calculamos el único cofactor, tenemos:

De manera tal que, la ganancia total o función de transferencia es:

1 2 31 L L L

1 2 1 2 3 1 2 3 21 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )G s G s H s G s G s G s G s G s H s

1 1

1 2 31 1

1 2 1 2 3 1 2 3 2

( ) ( ) ( )( )

( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

G s G s G sPC sP

R s G s G s H s G s G s G s G s G s H s

MATRIZ DE TRANSFERENCIA

1 1

2 2

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

m r

y t u t

y t u ty t U t

y t u t

( ) ( ) ( )Y s G s U s

Para un sistema MIMO, se tienen r entradas u1, u2,.., ur y m

salidas y1, y2,…,ym definidos como

La matriz de transferencia G(s) relaciona la salida Y(s) con

la entrada U(s), o sea

Donde

U(s) vector de entradas de orden r

Y(s) vector de salida de orden m

G(s) matriz de transferencia de orden mxr

EJEMPLO DE SISTEMA MIMO

SISTEMA DE SUSPENSION DE UN

AUTOBUS

f(t)

x1(t)

fv

M1

M2

x2(t)

K1

K2

Auto

Sistema

de

suspensión

Elasticidad de la

llanta

Masa de la

suspensión

U(t)

Modelos matemáticos de sistemas físicos y conceptos de

no linealidades

Durante el proceso de diseño de control

hay que resolver la siguiente disyuntiva.

Simplicidad vs. Exactitud

Simplicidad vs. Exactitud

Que aspectos debemos considerar para

modelar un sistema?

Simplicidad vs. Exactitud

Modelado de un Sebway

Simplicidad vs. Exactitud

Modelo de un Sebway

Se debe establecer un compromiso

entre la simplicidad y la exactitud en el

resultado del análisis.

Prototipo de un Sebway

Modelo matemático del prototipo

Al plantear un modelo matemático

debemos decidir entre:

Lineal vs No lineal

f f

m m

x x

KkKk

K depende de x

a) b)

Ventajas de la linealidad

Aplicación del principio de

superposición.

y(t)K

y(t)

u(t)u(t)

K

u1(t)K

K

u2(t)

u2(t)

u1(t)y1(t)

y2(t)

y(t)=y1(t)+y2(t)

Ejemplo de no linealidades

y(t)

u(t)

u(t)

y(t) y(t)

u(t) u(t)

y(t)

a)

Saturación

b) Saturación de

amplificador

c) Zona muerta d) On- Off

Sistemas con parámetros concentrados

vs distribuidos

f

m

x

K

a) b)

f

m

x

K

mr

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo vs Sistemas

Lineales Variantes en el Tiempo

SLIT SLVT

f

m

x

K

a) b)

f

m(t)

x

K

Clasificación de los sistemas de

control

Incrementa la facilidad de análisis Incremento de realismo

Estocásticos Dinámicos

EstocásticosDeterminísticos

Parámetros concentrados Parámetros distribuidos

Lineales No lineales

Coeficientes constantes Coeficientes variables

Continuo Discreto

Primer orden Segundo ordenOrden n

Sistemas acoplados

SLIT SLVT

Modelado de Sistemas de nivel de

líquido

1

( )( ) ( )

( )

( )

( )( ) ( )

i o

o

i

dh tq t q t C

dt

h tR

q t

dh tq t h t C

R dt

Resistencia

Resistencia (R).- Se define la resistencia

al flujo de líquido como la razón de la

variación de nivel a la velocidad del

caudal producido por éste.

Sí el número de Reynolds es menor de

2000 el flujo será laminar y si es mayor

de 4000 el flujo será turbulento,

hR

q

Resistencia Lineal y No Lineal

Flujo laminar vs flujo turbulento

q

h

q

h

q

h

q

h

q k hh

Rq

Capacitancia

Esta se define como la relación del

cambio de volumen de líquido contenido

a la variación de nivel.

Donde

v – volumen en m3

A – área en m2

h – altura en m

v dvC

h dh

h

r

2 A r

h

A

h

Área no constante

a) b)

Sistemas de nível de líquido

1

1

1

1

1 1

Aplicando la transformada de Laplace

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( )

i

i

dh tq t h t C

R dt

Qi s H s CsH sR

Qi s H s CsR

H s R

Q s CRsCsR

Sistemas de Nivel de Líquido

C

R

Válvula de control

Válvula de carga

iQ q

H h

0Q q

Modelado de sistemas eléctricos

Las leyes básicas que rigen los circuitos eléctricos son las leyes de

corriente y voltaje de kirchhoff. Los elementos de un circuito incluyen

resistores, capacitares, inductores, fuentes de voltaje y de corriente.

Para obtener la función de transferencia de los circuitos eléctricos es

conveniente tratar los elementos pasivos como impedancias complejas.

C

+ Vc -0

1( ) ( )

t

v t i t dtC

( )

( )dv t

i t Cdt

1

CsCs

LiL( )

( )di t

V t Ldt

0

1( ) ( )

t

i t v t dtL

Ls 1

Ls

R( ) ( )v t Ri t

( )( )

v ti t

R R 1

GR

Componente Voltaje Corriente Impedancia

Z(s)

Admitancia

Y(s)

EJEMPLO DE MODELADO DE

CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Encontrar la función de transferencia

para el circuito mostrado en la figura.

LiLR

Vi(t)+

-V0(t)+

-C Vc

+

-

Transformando los elementos en impedancias complejas

LsI(s)

Vi(s)+

-V0(s)+

-Cs

R

1

0

1( )

1( )i

V s Cs

V sR Ls

Cs

0

2

( ) 1

( ) 1

i

V s

V s LCs RCs

Simplificando

Sistemas mecánicos

Los sistemas mecánicos son aquellos que están compuestos por

masas que al aplicárseles una fuerza se ponen en movimiento,

dos elementos adicionales como son el resorte y el

amortiguador, son empleados en estos sistemas para

representar los efectos de torsión y la fricción que puede

presentarse.

Algunos ejemplos de estos sistemas son:

Grúas,

Sistemas de suspensión de automóviles,

Servomecanismos

Brazos manipuladores

Sistemas de posición, etc.

Modelado de sistema mecánicos

Sistema de suspensión de un

automóvil

2

2

( ) ( )( ) ( ) v

F ma

dx t d x tf t Kx t f m

dt dt

Modelado cont.

2

2

2

2

2

1

Aplicando la transformada de Laplace a cada término

(considerando condiciones iniciales igual a cero)

( ) ( )( ) - ( ) -

( ) - ( ) - ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

v

v

v

v

dx t d x tf t Kx t f m

dt dt

F s KX s f sX s ms X s

F s X s ms f s K

X s

F s ms f s K

Modelado usando impedancias

mecánicas

En general los sistemas de control contienen componentes tanto

mecánicos como eléctricos. Desde el punto de vista de su modelo

matemático, la descripción de los elementos mecánicos y eléctricos es

análoga.

( )

( )

F s

X s

f(t)

x(t)

M

Masa

wM

g 2

2( )

d xf t M

dt 2Ms

f(t)

K

Resorte

x(t) ( ) ( )f t Kx tK

f(t)

x(t)

fv

Amortiguador

( )( ) v

dx tf t f

dt

vf s

Impedancia

Es la propiedad que tiene un

elemento para almacenar

energía cinética debido a su

movimiento de traslación.

Componente Definición Relación

Su análogo es la inductancia

Es un elemento que tiene la

propiedad de almacenar

energía potencial, su análogo

es un capacitor.

Este elemento representa la

fuerza de fricción viscosa

entre una fuerza aplicada y

la velocidad.

Considera el sistema masa-resorte-fricción mostrado en la figura,

donde K es la constante del resorte, fv la fricción viscosa y M la masa

del cuerpo. Obtenga la función de transferencia y .( )

( )

X s

F s

( )

( )

V s

F s

K

M f(t)

x(t)

fv

v(t)

Aplicando el concepto de las impedancias mecánicas bajo

la siguiente estructura:

Suma de impedancias mecanicas Suma de fuerzas aplicadasX s

De aquí, tenemos:

Para el caso de dos grados de libertad:

1 1 2

1 2

Suma de impedancias mecánicas Suma de impedancias mecánica mutuas

conectadas al movimiento de x entre x y x

Suma de impedancias mecánica mutuas Suma de impedancias me

entre x y x

1

2

( )

( )

1

22

Suma de fuerzas

aplicadas a x

Suma de fuerzas cánicas

aplicadas a xconectadas al movimiento de x

x s

x s

2( ) ( ) vF s X s Ms K f s

2

( ) 1

( ) v

X s

F s Ms f s K

Modelado de sistemas mecánicos

rotacionales

En el caso de los sistemas mecánicos de rotación, los cuerpos

experimentan un movimiento de rotación en lugar de uno de

traslación. Estos sistemas tienen como elementos los mostrados

( )

( )

T s

sT( )t (t)

J

Inercia

2

2

( )( )

d tT t J

dt

2Js

K

T( )t (t)

Resorte

torsional

( ) ( )T t K tK

( )( ) v

d tT t f

dt

vf s

Amortiguador

T( )t (t)

fv

Impedancia Componente Definición Relación

Es la propiedad que tiene un

elemento de almacenar

energía cinética del

movimiento de rotación.

Es un elemento que

representa la torsión de una

varilla o eje cuando está

sometido a un par aplicado.

Este elemento representa la

fuerza de fricción viscosa

entre el par aplicado y la

velocidad angular.

Modelado de sistemas mecánicos

rotacionales

Una de las herramientas básicas que se utilizan para describir la dinámica de los sistemas mecánicos rotacionales son las leyes de Newton, la cual establece que: “La suma algebraica de los momentos o pares aplicados alrededor de un eje fijo es igual al producto de la inercia por la aceleración angular alrededor del eje”. Esto puede expresarse mediante la siguiente ecuación.

Donde

J es la inercia

es la aceleración angular

Pares J

Ejemplo

La figura muestra la representación de un motor que está sujeto a una flecha

flexible, la fricción de los cojinetes se representa por medio de una constante.

Determinar la función de transferencia .T ( )m (t)mT

Cojinetes

Jm

( )

m

s

T s

primero se realiza una representación esquemática del mismo, empleando los elementos

de la tabla

fv

K

Jm

T ( )m t (t)

Ejemplo

El análisis del sistema de la figura se

realiza a partir del diagrama de cuerpo

libre.

( )s

T ( )m s 2

mJ s s

vf s s

K s

Jm

2( ) ( )m v mT s K s f s s J s s

Aplicando suma de pares

2 ( )m v mJ s f s K s T s

Obteniendo la F.T.

Suma de impedancias mecánicasSuma de pares aplicados

conectadas al movimiento en s

s

Se observa que

Tren de engranes

Cuando se utilizan sistemas mecánicos rotacionales tales como motores

o generadores, es común que se presente la necesidad de requerir un

par diferente al que se genera para aplicarlo a la carga, en esta

situación suelen emplearse los trenes de engranes.

2 1 1

1 2 2

( )

( )

t r N

t r N

2 1 2

1 2 1

( ) ( )

( ) ( )

T t t N

T t t N

N2

N1

2 ( )T t1( )T t

N1

N21( )t 2 ( )t

Aplicaciones

Aplicaciones: Barreras para

estacionamientos

BA 1200 ALTA VELOCIDAD: Modelo de alta velocidad y uso intensivo Tiempo

de apertura y cierre: 1,2 segundos. El mecanismo posee una transmisión de

engranajes que optimiza el funcionamiento del motor logrando una mayor

velocidad en el ciclo de maniobra. Este tipo de transmisión simple asegura una

vida útil muy prolongada del equipo. Esta diseñada para soportar lanzas de hasta

3 metros, de sección redonda o rectangular. El motor que acciona la barrera tiene

una potencia de 1/5 de HP

Ejemplo

Determine la función de transferencia

y . Considere que N1=10, N2=20, J = 1

kg-m2, fv = 1 N-m-s/rad y K = 2 N-m/rad.

2

1

( )s

T s

1

1

( )s

T s

fv

J

K

T1(t)

1( )t

2 ( )t

N1

N2

T2(t)

Modelado de un Motor de CD

Para un motor de CD controlado por armadura como el mostrado en la

figura.

(t)T(t)

Jm

Ra La

+

-

+

-

Va(t)eb

ia

fv

( )t

( )t

t

Considerando los siguientes parámetros para el motor:

ia Corriente de armadura (Amp)

Ra Resistencia de armadura ()

eb(t) Fuerza contraelectromotriz (Volts)

T(t) Par del motor

(t) Desplazamiento del Motor (Rad)

Ka Constante del Par (N-m/Amp)

La Inductancia de la armadura (Henrios)

Va(t) Voltaje aplicado en la armadura (Volts)

Kb(t) Constante de la fuerza electromotriz (V/rad/seg)

Velocidad angular del motor (rad/seg)

Flujo magnético en el entrehierro (Webers)

J Inercia del motor (Kg-m2)

f Coeficiente de fricción viscosa (N-m-s/rad)

( )( ) ( ) ( ) 0a

a a a a b

di tV t R i t L e t

dt

( )( ) ( ) ( )a

a a a a b

di tV t R i t L e t

dt

( ) ( )b be t K t

Modelado de la parte eléctrica.

Por ley de voltajes de kirchhoff al circuito de armadura tenemos

Relación eléctrica-mecánica.

La fuerza contraelectromotriz eb(t) se relaciona con la velocidad con la ecuación

( ) ( ) ( )t aT t K t i t

( )a aT K i t

el par desarrollado por el motor depende de la corriente de armadura y

del flujo en el entrehierro.

Si consideramos que el flujo magnético es constante

2( ) ( )( )

d t d tT t f J

dt dt

( )( )

d tt

dt

( )( ) ( )

d tT t f t J

dt

Modelado de la parte mecánica.

En un motor de CD controlado por armadura el par producido está dado por

Si consideramos la velocidad como salida

entonces

Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones

( ) ( ) ( ) ( )a a a a b aR I s L sI s E s V s

( ) ( )b bE s K s

( ) ( )a aT s K I s

( ) ( ) ( )T s Js s f s

Ia(s)

Las+Ra

Va(s) 1

-

+

Eb(s)

Ka

Ia(s) T(s)

T(s) (s)

Js+f

1

Eb(s) (s)Kb

Representación en diagrama de bloques

Ia(s)Va(s)

-

+

Eb(s)

Las+Ra

1

Kb

Ka

T(s)(s)

Js+f

1

Simplificando

( )

( )

a

a a a a b

Ks

V s L s R Js f K K

Función de transferencia de un

servomecanismo

Determinar la función de transferencia de un

motor de Cd con carga .

Calculando la impedancia mecánica

equivalente vista en la armadura (eje

fuente).

Sustituyendo valores

De la curva de velocidad-Par,

determinamos las constantes.

Del modelo del motor de CD

Sustituyendo valores

Para encontrar la FT

como

Entonces

Así

Modelado de Motor de CD

controlado por Campo

Determine la función de transferencia del

sistema dada por .( )

( )

f

s

V s

Considerando los siguientes parámetros para el motor:

If Corriente de campo (Amp)

Rf Resistencia de campo ()

T(t) Par del motor

(t) Desplazamiento del Motor (Rad)

K2 Constante del Par (N-m/Amp)

Lf Inductancia de campo (Henrios)

Vf(t) Voltaje aplicado en el devanado de campo (Volts)

( )t Velocidad angular del motor (rad/seg)

J Momento de inercia del motor (Kg-m2)

f Coeficiente de fricción viscosa (N-m-s/rad)

Modelo de Sistemas Térmicos

Para el sistema térmico

(Kcal)

Considerando la resistencia

Térmica R(°C/Kcal)

Considerando 𝑇 = 𝑇ℎ − 𝑇𝐴

𝑞𝑖𝑛 = 𝑞ℎ + 𝑞𝑝

𝑅 =𝑇ℎ − 𝑇𝐴

𝑞𝑝

𝑅 =𝑇

𝑞𝑝

Modelado de Sistemas Térmicos

Donde:qin =Flujo de entrada de energía calorífica (Kcal)

qh = Energía para calentar el horno (Kcal)

qp = Energía calorífica perdida (Kcal)

Tp = Temperatura del horno (°C)

TA = Temperatura del medio ambiente (°C)

Sea C la capacitancia térmica del horno (Kcal/°C), es la

propiedad de almacena calor en su interior.

El suministro de energía qh ocasionará

un incremento de temperatura T del

horno:

𝐶𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝑞ℎ

Y como

Entonces:

𝑞𝑖𝑛 = 𝐶𝑑𝑇

𝑑𝑡+

𝑇

𝑅

𝑞𝑝 =𝑇

𝑅

𝑞𝑖𝑛 = 𝑞ℎ + 𝑞𝑝

Por lo cual la FT es:

𝐺 𝑠 =𝑇(𝑠)

𝑄𝑖𝑛(𝑠)=

1/𝐶

𝑠 +1

𝑅𝐶

Linealización de sistemas no

lineales

En el modelado la mayoría de los

componentes y actuadores que se encuentran

en los sistemas físicos tienen características

no lineales, para evitar que se tenga un

ecuación diferencial no lineales, se debe

linealizar el sistema.

Linealización Cont

Para mostrar el proceso de linealización

supongamos que deseamos linealizar la

función f(x) alrededor del punto de operación

x0.

Usando una expansión por series de Taylor la

aproximación para f(x) está dada por:

0 0

220 0

0 2( ) ( )

1! 2!x x x x

x x x xdf d ff x f x

dx dx

Si se consideran pequeñas variaciones

alrededor del punto de operación x0, se

pueden ignorar los términos de orden

superior de la ecuación

0

0 0( ) ( )x x

dff x f x x x

dx

O bien

Por lo que0

0 0( ) ( ) ( )x x

dff x f x x x

dx

0

( )x x

dff x x

dx

Ejemplo

Considere la red no lineal mostrada en la

figura, donde , , representa la

aplicación de un generador de pequeña señal.

Determine la función de transferencia

linealizada alrededor del punto de

operación correspondiente al estado estable

del circuito.

1

2C F

2( ) Rv

Ri t e

( )( )

( )

v sG s

I s

v(t)

CR2A i(t)

iR(t)

vR

+

-

Ejemplo Cont.

Por LCK

v(t)

CR2A i(t)

iR(t)

vR

+

-

( )( ) 2 ( )R

dv tC i t i t

dt

1 ( )( ) 2 ( )

2R

dv ti t i t

dt

0( ) Rv t V v v

Entonces

Sustituyendo las ecuaciones

Considerando como función , con

donde es el punto de operación en

estado estable y aplicando la ecuación

02( )

v v

Ri t e

020 0( )12 ( )

2

v vd v ve i t

dt

2( ) vf t e 0v v v

0v

0 0

0

22 2

vv v v

v

dee e v

dv

Resolviendo para

Consideremos ahora el punto de

operación en estado estable con ,

por lo que ante la fuente de CD el

capacitor actúa como circuito abierto,

por lo tanto con .

02 v ve

0 0 0 0

0

22 2 2 2

2v

v v v v v

v

dee e v e e v

dv

0 Rv v 2Ri

( ) 0i t

Ejemplo cont

Por lo que

Y resolviendo para vR

Por lo que

2 Rv

Ri e

2ln ln Rv

Ri e

ln 2ln Rv

Ri e

ln

2

RR

iv

Como , tenemos

Sustituyendo este resultado

2Ri

0

ln 2 0.693

2 2rv v

0

0.693 0.6932 2

2 2 22v v

e e e v

022 4

v ve v

La ecuación anterior nos representa la

linealización de la función no lineal

alrededor del punto de operación

Aplicando Laplace

12 4 2 ( )

2

d vv i t

dt

14 ( )

2

d vv i t

dt

1

4 ( )2

s v s v s I s 4 2 ( )v s s I s

( ) 2

4

v s

I s s

Referencias

1.- Nise S. N., Control Systems Engineering, John Wiley & Sons, 4th Edition, 2004.

2.- Dorf B, Sistemas de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 10ª Edición, 2005.

3.- Navarro R, Ingeniería de Control Analógica y Digital, McGraw Hill, 1ra Edición, 2004.

4.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 4tª Edición, 2003.

5.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2nd Edition, 1994.

6.- Lewis P. H. & Yang C., Sistemas de Control en Ingeniería,1ra Edición, Prentice Hall, 1999.

7.- D´azzo J. J., Sistemas Retroalimentados de Control, 4a edición, Paraninfo, 1989.

8.- Kuo C. B, Sistemas de Control Automático, Séptima Edición, Prentice Hall, 1996.

9.- Phillips L. Ch., Harbor R. D., Feedback Control Systems, Third Edition, Prentice Hall, 1996.