COMPLEJO EDUCATIVO CANTON TUTULTEPEQUE

GUION DE CLASE

Profesor Responsable: Santos Jonathan Tzun Meléndez.

Grado: 8º grado.

Asignatura: Matemática

Tiempo: 4 horas 50 min clase.

Periodo: _____________

UNIDAD 5. TRABAJEMOS CON AREAS DE FIGURAS PLANAS. Objetivo de unidad: Aplicar el cálculo de superficies y volúmenes al aula y sus alrededores, a fin de buscar soluciones a las diversas problemáticas que puedan presentarse, valorando además la armonía y belleza geométrica que le rodea.

Metodología: Para el abordaje de la siguiente temática se plantean actividades orientadas bajo las situaciones didácticas de Guy Brousseau en el estudio de la geometría. Se detalla el objetivo de cada situación y las actividades a desarrollar.

CONTENIDOS CONCEPTUALES CONTENIDOS PROCEDIMENTALES CONTENIDOS ACTITUDINALES

1. Áreas de regiones planas Triangulo Cuadrado Rectángulo y romboide. Rombo. Trapecio.

Cálculo de áreas de regiones planas. Identificación y explicación de los

elementos de figuras geométricas. Deduce y utiliza las fórmulas para

encontrar el área de figuras geométricas. Resolución de problemas utilizando las

fórmulas de áreas en figuras geométricas.

Interés por el cálculo de áreas de regiones planas.

Seguridad al identificar y explicar los elementos de figuras geométricas.

Precisión al deducir y utilizar fórmulas para encontrar el área de figuras geométricas.

Esmero al solucionar problemas.

Objetivo: que el alumno sea capaz de: Calcular con interés áreas de regiones planas. Identificar y explicar con seguridad los elementos de figuras geométricas. Deducir y utilizar con precisión las fórmulas para calcular áreas de cuerpos

geométricos. Resolver con esmero problemas utilizando las fórmulas de áreas en figuras

geométricas.

Material de Apoyo

Guía de trabajo.

Geoplanos.

Papel cuadriculado.

Marcadores, regla, escuadra y otros.

Indicadores de logro. Calcula con interés áreas de regiones planas. Identifica y explica con seguridad los elementos de figuras geométricas. Deduce y utiliza con precisión las fórmulas para calcular áreas de cuerpos

geométricos. Resuelve con esmero problemas utilizando las fórmulas de áreas en figuras

geométricas.

Evaluación: Resolución de problemas dentro del salón de clases en el cuaderno de trabajo. Orden y aseo 10% Puntualidad 5% Desarrollo correcto 75% Integración a equipos de trabajo. 10%

Saberes previos. Propiedad de Radicales y exponentes. Notación algebraica. Conceptos y algoritmos. Clasificación de triangulo por sus lados y ángulos. Puntos y rectas notables de un triángulo. Teorema de Pitágoras y otros teoremas de triángulos. Calculo de áreas circulares.

Actividad Tiempo

1. Bienvenida y asistencia 5 min

2. Situación 1. Acción. Construcción de Segmentos y cuadriláteros.

45 min

3. Situación 2. Formulación. Clasificación por lados y ángulos. Calculo de áreas y perímetros.

30 min

4. Situación 3. Validación. Deducción de la formula general para calcular áreas.

60 min

5. Situación 4. Institucionalización. Conceptos y propiedades. 45 min

6. Situación 5. Consolidación. Aplicación de Conceptos y propiedades.

60 min

7. Situación 6. Aplicación. Resolución de problemas a situaciones reales del entorno.

45 min

Tiempo Hora Clase 4h 50min

Actividad Diagnostica: Entra al siguiente link

http://rolandotzun.wordpress.com/ Lee la información que ahí se

almacena y cópiala en tu cuaderno.

En el primer nivel los alumnos trabajan con el Geoplano 3x3, donde identificaran y clasificaran (en un primer momento) los distintos segmentos (respecto a su longitud) que pueden trazarse sobre el (un mismo segmento puede presentarse en muchas maneras). ACTIVIDAD 1. Identificando Tipos de Segmentos en el Geoplano.

Indicaciones. 1. Utiliza el Geoplano de 3x3, y las bandas elásticas traza todos los diferentes segmentos. Grafica

cada segmento en la hoja cuadriculada que se te ha proporcionado.

2. Identifica cada segmento, de menor a mayor, con las letras del alfabeto (a, b, c, d,....) ¿Cuántos segmentos diferentes encontraste?

El alumno debe concluir que existen cinco segmentos distintos que pueden trazarse en el Geoplano (considerando que cada segmento puede presentarse en diferentes formas en el Geoplano)

ACTIVIDAD 2. Construcción de Triángulos y Cuadriláteros. Posteriormente recurriendo al Geoplano 3x3, se le pide al alumno que trace, encuentre e identifique todos los triángulos y cuadriláteros distintos que se pueden formar. Esto le permitirá encontrar diversas figuras que los alumnos pueden construir y dibujar sobre él.

Indicaciones.

Ahora, haciendo uso del Geoplano 3x3 traza, con las bandas elásticas, todos los cuadriláteros y triángulos distintos que sean posibles. Luego en el Geoplano impreso, dibuja todos los triángulos y cuadriláteros diferentes ¿Cuántos encontraste?

Situación 1. Acción. Consiste básicamente en que los estudiantes trabajen activamente interactuando con el medio didáctico, para lograr la resolución de problemas y así, la adquisición de conocimientos. Este comportamiento debe darse sin la intervención directa del docente.

El alumno expondrá las diferentes representaciones obtenidas en el proceso de experimentación. Observe que son 16 cuadriláteros distintos más 8 triángulos diferentes que se obtienen. Se debe considerar que esto es ilustrativo ya que cada alumno podrá obtener los mismos cuadriláteros pero en distintas posiciones.

En esta fase de la actividad, se generan una serie de preguntas a partir de realizado anteriormente por el alumno. Se le proporciona una tabla de doble entrada para que clasifique cada uno de los cuadriláteros a partir de sus lados y ángulos. ACTIVIDAD 3. IDENTIFICACION DE CUADRILATEROS Y TRIANGULOS POR SUS LADOS. CLASIFICACION.

Indicaciones. 1. Observa los cuadriláteros Y triángulos construidos.

2. Nombra cada lado de cada uno de los cuadriláteros y triángulos de acuerdo a los segmentos clasificados anteriormente.

3. Clasifica aquellos cuadriláteros que cumplan la siguiente característica:

A. Los cuadriláteros cuyos dos pares de lados son opuestos son paralelos.

B. Los cuadriláteros con un par de lados opuestos paralelos.

C. Los cuadriláteros cuyos lados opuestos no son paralelos. 4. Clasifica aquellos triángulos que cumplan las siguientes características.

D. Los triángulos que tienen dos lados iguales o todos sus lados desiguales. Clasificar los cuadriláteros construidos, pensando en el paralelismo de sus lados. Se pretende que el alumno encuentre varias formas para clasificar los cuadriláteros. Vamos a clasificarlos en tres grupos observando si los lados opuestos son paralelos. Se puede hacer que cada alumno los clasifique para comprobar su comprensión. Conocer el término “paralelogramo” Si hay alumnos que aún no comprenden el término «paralelo», explicar su sentido nuevamente. «Paralelo», significa la relación entre dos rectas (o lados, caras, etc.) que nunca se cortan, y la distancia entre las dos rectas (o lados, caras, etc.) se mantiene siempre igual.

GRUPO A Los cuadriláteros cuyos dos pares de lados opuestos son paralelos.

Situación 2. Formulación. La situación de formulación. Consiste en un trabajo grupal, donde se requiere la comunicación entre los estudiantes. Se comparten experiencias en la construcción del aprendizaje. Por eso, en este proceso es importante el control de la comunicación de las ideas. La situación de formulación es básicamente el enfrentar a un grupo de estudiantes con un problema dado, generando la necesidad de que cada integrante del grupo participe del proceso, es decir, que todos se vean forzados a comunicar las ideas e interactuar con el medio didáctico.

GRUPO B Los cuadriláteros con un par de lados opuestos paralelos. GRUPO C Los cuadriláteros cuyos lados opuestos no son paralelos. GRUPO D Los triángulos que tienen dos lados iguales o todos sus lados desiguales.

Isósceles

Escalenos

ACTIVIDAD 4. IDENTIFICACION DE CUADRILATEROS POR IGUALDAD DE SUS LADOS. CLASIFICACION.

Indicaciones. 5. Observa los cuadriláteros construidos.

6. Nombra cada lado de cada uno de los cuadriláteros de acuerdo a los segmentos clasificados anteriormente.

7. Clasifica aquellos cuadriláteros que cumplan la siguiente característica:

A. Los cuadriláteros cuyos ángulos internos sean iguales.

B. Los cuadriláteros cuyo par de ángulos opuestos son iguales.

C. Los cuadriláteros con un par de lados opuestos paralelos. D. Los triángulos que tienen un ángulo recto, un ángulo obstuso y tres ángulos agudos

En esta situación el alumno verificara las características de cada uno de los cuadriláteros y los criterios de clasificación según sus lados y ángulos. GRUPO A.

Con ayuda del transportador mide cada uno de los ángulos de cada cuadrilátero del grupo A. ¿Cuál es la característica de estos cuadriláteros? ¿Hay diferencias en sus ángulos? Identifica aquellos cuadriláteros que tienen sus cuatro ángulos iguales y sus cuatro lados iguales. Estos cuadriláteros tienen la característica de tener sus lados opuestos iguales y sus cuatro ángulos iguales (el alumno descubrirá que son de 90º) GRUPO B.

Identifica aquellos cuadriláteros que tienen únicamente sus ángulos opuestos iguales y dos pares de lados opuestos iguales

Estos cuadriláteros solo cumplen la característica que sus lados opuestos son iguales, también son iguales únicamente sus ángulos opuestos.

GRUPO C. Con ayuda del transportador mide cada uno de los ángulos de cada cuadrilátero del grupo A. ¿Cuál es la característica de cada uno de estos cuadriláteros? ¿Hay diferencias en sus ángulos? Grupo D.

Con ayuda del transportador mide cada uno de los ángulos de cada cuadrilátero del grupo A. ¿Cuál es la característica de estos cuadriláteros? ¿Hay diferencias en sus ángulos? El alumno identifica que en este tipo de cuadriláteros los ángulos pueden o no ser iguales. Además no existe paralelismo en los lados opuestos de este tipo de cuadriláteros.

El alumno identifica que este cuadrilátero tiene dos pares de ángulos adyacentes que

son iguales.

El alumno identifica que estos cuadriláteros tienen un par de lados paralelos y tiene dos ángulos rectos.

GRUPO E Los triángulos que tienen un ángulo obtuso, tres ángulos agudos y un ángulo recto.

ACTIVIDAD 5. Calculo de Perímetros. Se le indica al alumno que rescriba cada cuadrilátero en una hoja cuadriculada. Esto permitirá que el alumno pueda trabajar el tema de áreas y perímetros de cuadriláteros. Se muestra cómo se enlaza la unidad lineal y la unidad de área para formar el perímetro y el área respectivamente.

Observa en la figura anterior, que la distancia entre dos puntos consecutivos vertical u

horizontalmente,(solo en esos casos) representa la unidad lineal o longitud unitaria,

es decir, vale 1.

En la figura se observa un cuadrado pequeño, el cual tiene dos dimensiones. Este cuadrado (solo en ese caso) representa una unidad de

área o cuadrado unitario.

Rectángulos Obtusos Oblicuángulos

Indicaciones 1. Considera que la distancia entre dos puntos consecutivos vertical u horizontal (solo en esos

casos) representa la unidad, es decir, vale 1. ¿Cuál es el valor de las longitudes de los segmentos a, b, c, d, e?

Por definición, dado que la distancia entre dos puntos consecutivos vertical u horizontal representa la unidad de longitud, el segmento “a” vale 1.

Dado que tres puntos del plano están alineados, observe que el segmento “c” es equivalente a “2a”. Pero 𝑎 = 1 por lo que 𝑐 = 2

Observe que el segmento “b” es la hipotenusa del triángulo mostrado (o la diagonal del cuadro unidad). Como los lados del cuadrito es 1 y además estos lados son los catetos del triángulo rectángulo, por teorema

de Pitágoras se tiene que: 𝑏 = 2

Este caso es similar al anterior. Observe que el segmento “d” es hipotenusa del triángulo (o la diagonal del rectángulo). Observe que los lados del rectángulo son 2 y 1, los cuales también son los catetos del triángulo rectángulo. Por teorema de Pitágoras se tiene que:

𝑑 = 5

De igual manera al caso anterior, observe que el segmento “e” es hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 2 y 2. Por teorema de Pitágoras se tiene que::

𝑒 = 2 2

2. Observa los cuadriláteros que clasificaste anteriormente.

Para cada grupo, Identifica cual es la expresión que se obtiene al sumar la longitudes de todos sus lados y 3.

escríbelo en la siguiente tabla (acuérdate que al inicio se clasifico a los cuadriláteros según sus lados y cada lado representa su longitud por una letra)

Por ejemplo, el alumno podría seguir el siguiente modelo.

GRUPO A

FIGURA SUMA DE LAS LONGITUDES DE SUS LADOS.

SIMBOLICA NUMERICA

𝑐 + 𝑐 + 𝑐 + 𝑐 = 4𝑐

2 + 2 + 2 + 2 = 8

𝑏 + 𝑏 + 𝑏 + 𝑏 = 4𝑏

2 + 2 + 2 + 2

= 4 2

𝑎 + 𝑎 + 𝑐 + 𝑐 = 2𝑎 + 2𝑐

1 + 1 + 2 + 2 = 6

𝑎 + 𝑎 + 𝑑 + 𝑑 = 2𝑎 + 2𝑑

1 + 1 + 5 + 5

= 2 + 2 5

GRUPO B

FIGURA SUMA DE LAS LONGITUDES DE SUS LADOS.

SIMBOLICA NUMERICA

𝑎 + 𝑎 + 𝑐 + 𝑑 = 2𝑎 + 𝑐 + 𝑑

1 + 1 + 5 + 2

= 2 + 5 + 2

𝑎 + 𝑐 + 𝑐 + 𝑑 = 𝑎 + 2𝑐 + 𝑑

1 + 2 + 2 + 5

= 5 + 5

𝑎 + 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 = 2𝑎 + 𝑐 + 𝑏

1 + 1 + 2 + 2

= 4 + 2

De esta manera se prosigue la identificación de perímetro para los cuadriláteros del Grupo C GRUPO D

FIGURA SUMA DE LAS LONGITUDES DE SUS LADOS.

SIMBOLICA NUMERICA

𝑐 + 𝑐 + 𝑒 = 2𝑐 + 𝑒

2 + 2 + 2 2

= 4 + 2 2

𝑎 + 𝑑 + 𝑒 1 + 5 + 2 2

𝑏 + 𝑑 + 𝑑 = 𝑏 + 2𝑑

2 + 5 + 5

= 2 + 2 5

De esta manera se prosigue la identificación de perímetro para los cuadriláteros del Grupo E

ACTIVIDAD 6. Calculo de áreas.

Indicaciones. 1. Observa e identifica cada uno de los cuadriláteros según el grupo (clasificación) a la que pertenezcan y

dibújalo en una hoja cuadriculada teniendo cuidado de colocar los puntos de forma precisa. 2. ¿Cuántos cuadritos de 1x1 caben en la región limitada por los cuatro lados de cada cuadrilátero? 3. Encuentra una forma que te permita calcular el número de cuadritos (área) de cada cuadrilátero según

al grupo que pertenezca.

Por ejemplo, el alumno podría calcular el área de este cuadrilátero de manera fácil, ya que es evidente que el número de cuadritos que forma el cuadrilátero es 2. O bien podría ingeniar una estrategia en la que multiplique la base del cuadrilátero por la altura. El área de este cuadrilátero es 2𝑢2

En este caso, el alumno podría sumar la mitad de los cuadritos que integran la región. Al unir las dos mitades del cuadrito se originaria un cuadrito unidad de forma completa. El área de este cuadrilátero es 1𝑢2

En este caso, el alumno podría sumar las tres mitades de los cuadritos que integran la región. Al sumar las tres mitades del cuadrito se originaria un cuadrito completo y la mitad de este. El área de este cuadrilátero es 1.5𝑢2

Para sumar el área de este tipo de cuadrilátero el alumno empezara a identificar la dificultad del problema. Una forma seria sumar los cuadros que ya están completos y trabajar con la región que resta (se forma un triángulo) El área de este cuadrilátero es 3𝑢2

ACTIVIDAD 7. Deducción de la formula general.

Indicación. 1. Prueba que el área de un cuadrilátero que tiene sus dos pares de lados opuestos iguales y

todos sus ángulos iguales, se puede calcular multiplicando el lado mayor por el lado menor. Podríamos darnos dos cuadriláteros con sus dos pares de lados opuestos paralelos e iguales y sus cuatro ángulos iguales.

Situación 3. Validación. Una vez que los estudiantes han interactuado de forma individual o de forma grupal con el medio didáctico, se pone a juicio de un interlocutor el producto obtenido de esta interacción. Es decir, se valida lo que se ha trabajado, se "discute" con el docente acerca del trabajo realizado para cerciorarse si realmente es correcto. Es importante la interacción, la interpelación de las soluciones presentadas, tanto por parte del docente como de los compañeros para poner de manifiesto la validez o no de las propuestas.

Los lados de este cuadrilátero son 2 y 4. La cantidad de cuadritos que hay dentro de él son 8. ¿Qué relación existe entre el número de cuadritos (8) y las dimensiones de los lados del cuadrilátero? Se puede conjeturar que el producto de los lados es el total de cuadritos dentro del rectángulo, así: 𝐴 = 2𝑋4 = 8

Los lados de este cuadrilátero son 6 y 3. La cantidad de cuadritos que hay dentro de él son 18. ¿Qué relación existe entre el número de cuadritos (18) y las dimensiones de los lados del cuadrilátero? Se puede afirmar nuevamente que el producto de los lados es el total de cuadritos dentro del rectángulo, así: 𝐴 = 6𝑋3 = 18

𝑨 = 𝒍 ∗ 𝒂

De esta manera podemos aseverar que dado un cuadrilátero que tiene sus dos pares de lados opuestos iguales y todos sus ángulos iguales, de lado mayor “I” y lado menor “a” viene dada por:

2. Prueba que el área del cuadrilátero que tiene todos sus lados y ángulo guales, puede obtenerse multiplicando dos veces su mismo lado.

3. Prueba que el área del cuadrilátero que tiene sus lados opuestos iguales y sus dos pares de

ángulos opuestos iguales puede calcularse multiplicando la base por la altura. Sea ABCD el cuadrilátero que tiene sus dos pares de lados opuestos iguales y sus dos pares de ángulos opuestos iguales.

Trazamos la altura del cuadrilátero que va del punto B hacia el lado AD. Sea E el pie de la altura.

Trazamos la altura del cuadrilátero que va del punto C hacia la prolongación de AD. Sea F el pie de la altura.

Por ángulos entre paralelas (correspondientes) ∡𝐵𝐴𝐸 = 𝛽 = ∡𝐶𝐷𝐹

Por paralelismo ∡𝐴𝐸𝐵 = 90º = ∡𝐶𝐹𝐷

Por paralelismo 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷

Por Criterio ángulo-lado-ángulo los triángulos ⊿𝐴𝐵𝐸 = ⊿𝐶𝐷𝐹

𝑨 = 𝒍𝟐

Este es un caso especial del anterior. Solo debemos de considerar que los lados de este cuadrilátero son iguales (además de todos sus ángulos), por lo que es válido afirmar que el área de este tipo de cuadriláteros viene

dada por: 𝑨 = 𝒍 ∗ 𝒍 o en todo caso:

Dado que los triángulos ⊿𝐴𝐵𝐸 = ⊿𝐶𝐷𝐹 son congruentes, podríamos desplazar el triángulo ⊿𝐴𝐵𝐸 de tal manera que ocupe el espacio del triangulo = ⊿𝐶𝐷𝐹

Observa que se nos forma un cuadrilátero con todos sus ángulos iguales y sus dos pares de lados paralelos iguales. Pero ya sabemos que el área de este tipo de cuadriláteros viene dada por: 𝐴 = 𝑙 ∗ 𝑎 Entonces el área del cuadrilátero es:

𝑨 = 𝒃 ∗ 𝒂 Donde 𝐶𝐹 = 𝑎 es la altura y 𝐷𝐹 = 𝑏 es la base.

4. Prueba que el área de los cuadriláteros que tiene solo un par de lados paralelos puede calcularse sumando los lados paralelos, posteriormente multiplicando el resultado por la altura y finalmente dividiendo el resultado por dos.

Sea ABCD un cuadrilátero con un par de lados paralelos.

Trazamos la diagonal AC del cuadrilátero ABCD

Sea E el pie de la altura trazada que parte del punto A hacia el segmento DC

Sea F el pie de la altura trazada que parte de C hacia la prolongación de AB

Observe que se forman dos triángulos: ⊿𝐴𝐶𝐷 y ⊿𝐴𝐵𝐶 donde el segmento AB y CF son alturas de los triángulos respectivamente. Además DC y AB son las bases de los triángulos respectivamente. El área del cuadrilátero de la suma de las áreas de los triángulos ⊿𝐴𝐶𝐷 y ⊿𝐴𝐵𝐶 por lo que calculamos el área para cada uno de los triángulos.

Área de ⊿𝐴𝐶𝐷 =𝑏∗ℎ

2 y Área de ⊿𝐴𝐵𝐶 =

𝐵∗ℎ

2

Entonces el área del cuadrilátero es 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 ⊿𝐴𝐶𝐷 + 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 ⊿𝐴𝐵𝐶

𝑏 ∗ ℎ

2+𝐵 ∗ ℎ

2=𝑏 ∗ ℎ + 𝐵 ∗ ℎ

2=ℎ(𝑏 + 𝐵)

2

El área del cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos es:

𝑨 =𝒉(𝒃 + 𝑩)

𝟐

5. Prueba que el área de cualquier triangulo se puede calcular dividendo por dos el producto de la base por la altura.

Sea ABC un triángulo cualquiera. Trazamos la altura que parte de A hacia el segmento BC con proyeccion ortogonal en D Sea 𝐴𝐷 = ℎ Sea 𝐵𝐶 = 𝑥 𝑦 𝐶𝐷 = 𝑦 entonces 𝐵𝐷 = 𝑥 − 𝑦 Trazamos los segmentos tal y como se muestra en la figura:

Observe que se forman dos rectangulos. En cada rectangulo esta sombreada la mitad de la superficie. Calculamos el area sombreada en cada rectangulo:

Area sombreada en 𝐴𝐸𝐵𝐷 =ℎ(𝑥−𝑦)

2

Area sombreada en 𝐴𝐹𝐶𝐷 =ℎ(𝑦)

2

Ahora calculamos el area Total:

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝐴𝐸𝐵𝐷 + 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝐴𝐹𝐶𝐷 = ℎ(𝑥 − 𝑦)

2+ℎ(𝑦)

2

𝐴 =ℎ(𝑥 − 𝑦)

2+ℎ(𝑦)

2=ℎ(𝑥 − 𝑦) + ℎ(𝑦)

2=ℎ𝑥 − ℎ𝑦 + ℎ𝑦

2=ℎ𝑥

2

𝑨 =𝒉𝒙

𝟐

El área de un triángulo es igual al producto de la base por la altura dividido entre dos.

ACTIVIDAD 8. Identificación y aplicación de la formula general. Indicación. Para cada situación, Calcula el área de los cuadriláteros obtenidos al inicio y clasifica cada uno de ellos según la fórmula de área que se les pueda aplicar. Por ejemplo: Para los siguientes cuadriláteros es posible clasificarlos de acuerso a la formula de área que se pueda aplicar la formula

𝑨 = 𝒍 ∗ 𝒂 𝑨 = 𝒍𝟐

𝑨 = 𝒃 ∗ 𝒂

𝑨 =𝒉(𝑩 + 𝒃)

𝟐

Un cuadro posee cuatro lados y cuatro vértices.

Se llaman lados opuestos de un cuadrilátero a los que no tiene vértice común.

Son vértices opuestos los que no pertenecen al mismo lado.

El segmento de recta que une dos vértices opuestos del cuadrilátero se llama Diagonal. Cada cuadrilátero posee dos diagonales.

1. CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS. De acuerdo al paralelismo de sus lados los cuadriláteros se dividen en tres grandes grupos que son:

GRUPO A. Paralelogramos: Los cuadriláteros en que los dos pares de lados opuestos son paralelos, se llaman paralelogramos. Clasificación de los paralelogramos. Los paralelogramos se dividen en cuatro grandes grupos: Cuadrado, Rectángulo, Rombo y Romboide.

1.1 Rectángulo: Es el paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos iguales; pero en cuanto a sus

lados son iguales solamente los lados opuestos.

Propiedades:

Las diagonales son iguales. El punto de intersección de las diagonales equidista de los 4 vértices.

Situación 4. Institucionalización. En ésta etapa los estudiantes ya han construido su conocimiento, se va a pasar del conocimiento a un saber. Es el momento donde se van a presentar los resultados, se designarán explícitamente los contenidos trabajados en orden, digamos que se "presentan" oficialmente a la clase.

“un cuadrilátero es la parte del plano limitada por cuatro segmentos de recta”

1.2 Rombo: Es el paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales y también tiene iguales solamente los ángulos opuestos.

Propiedades: Las diagonales son bisectrices de los ángulos internos del rombo.

Las diagonales además de bisecarse también son perpendiculares.

1.3 Cuadrado: Es el paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales y también sus cuatro ángulos iguales.

Propiedades: Las diagonales son iguales. El punto de intersección de las diagonales equidista de los 4 vértices.

Las diagonales son bisectrices de los ángulos internos del rombo. Las diagonales además de bisecarse también son perpendiculares. Todo cuadrado es rectángulo y rombo a la vez.

1.4 Romboide:

Es el paralelogramo en que solamente son iguales entre si los lados opuestos así como sus ángulos opuestos.

GRUPO B. Trapecios. Cuando solamente dos lados opuestos son paralelos entonces el cuadrilátero se llama trapecio.

Clasificación de los trapecios.

2.1 Trapecio rectángulo: es un trapecio con un lado perpendicular a las dos bases.

2.2 Trapecio Isósceles: Es el trapecio que es simétrico con respecto a la mediatriz de una base. + Propiedades:

Los ángulos formados por un lado (que no es base) y las dos bases, son suplementarios.

GRUPO C. Trapezoide: Cuando entre los cuatro lados del cuadrilátero no existe paralelismo, entonces recibe el nombre de Trapezoide.

TRIANGULOS. Es un polígono cerrado que tiene tres ángulos.

ÁREA DE TRIANGULOS Y CUADRILATEROS. A la medida de la extensión de la superficie de un triángulo y un cuadrilátero, es decir, de la porción del plano limitada por la línea cerrada que lo determina se llama área del triángulo o cuadrilátero.

ACTIVIDAD 9. Consolidando Conceptos. Indicaciones. Aplicando los conceptos aprendidos en las actividades pasadas, resuelve cada uno de los siguientes problemas.

En esta situación, el estudiante deberá de aplicar lo que ya conoce para resolver nuevas situaciones. En el caso del problema existe la necesidad de encontrar el área de la parte sombreada. Observe lo siguiente:

En la ilustración se ha calculado el área de la figura por “partes”, es decir: se sabe que cada cuadrito tiene por área 1𝑐𝑚2, esto es, la mitad del cuadrito es 0.5𝑐𝑚2. Para el caso del área del centro se ha observado que es la mitad del área del rectángulo de lados 3x1. El área del rectángulo es 3𝑐𝑚2, entonces la mitad debe ser 1.5𝑐𝑚2 El área sombreada de la figura seria:

0.5𝑐𝑚2 + 0.5𝑐𝑚2 + 0.5𝑐𝑚2 + 1.50𝑐𝑚2 = 3𝑐𝑚2

Situación 5. CONSOLIDACION En este nivel se pretende que el alumno consolide los conocimientos adquiridos en los niveles anteriores y ponga de manifiesto las habilidades y destrezas mediante la ejercitación. Para ello se aplican una serie de problemas que el estudiante desarrollara en clase.

Problema 1. En la figura, la cruz está formada por cinco cuadrados iguales de 1cm de lado. ¿Qué parte del área de la cruz es la superficie sombreada?

Problema 1. En la figura, AEFD y EBCF son cuadrados de 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 20𝑐𝑚. ¿Cuál es el perímetro del trapecio ABFD?

Sabemos que el perímetro de cada cuadrado AEFD y EBCF es 20cm. Pero hay que considerar que comparten el lado EF. Consideremos el cuadrado AEFD: Sus cuatro lados son iguales, por definición de cuadrado, y además su perímetro es 20cm. Por lo que cada lado de cada cuadrado valdría 5cm.

Observe que el trapecio es rectángulo en A y en D.

El segmento DF es la base menor del Trapecio. La longitud de DF es 5cm

El segmento AB es la base mayor del Trapecio. La longitud de AB es 10 cm.

El segmento AD es altura del trapecio. La longitud de AD es 5cm. Aplicando la fórmula para el área del trapecio se obtiene que:

𝐴 =5(5 + 10)

2= 37.5𝑐𝑚2

El área del Trapecio ABFD es de 37.5𝑐𝑚2

Consideremos el Romboide PQRS. Observe que PR y SQ son sus diagonales.

Por propiedad de paralelogramos (porque un romboide es un paralelogramo) el triángulo PRS es igual a PRQ y por tanto tiene igual área.

Ahora considere el romboide PQUR. Observe que RQ es una de sus diagonales. Esto implica que el triángulo PRQ es igual a QRS y por tanto tiene iguales áreas.

Pero anteriormente probamos que PRS=PRQ (para el romboide PQRS)

Ahora probamos que PRQ =QRU (para el romboide PQUR)

Esto implica que PRS=QRU. Y el problema queda resuelto.

Problema 3. PQRS y PQUR son romboides. ¿Cuál (es) de los siguientes triángulos tiene(n) igual área a la del triángulo PRS? I) Triángulo QRU II) Triángulo QRS III) Triángulo PQS

ACTIVIDAD 10. Aplicaciones. Indicaciones. Aplicando los conceptos aprendidos en las actividades pasadas, resuelve cada uno de los siguientes problemas. Problema 1. Calcula el área de estas fincas cuyos modelos se representan en la parte inferior con las medidas reales. Descompóngalas en otras más simples. Problema 2. En una finca rectangular de 50m de largo y 35m de ancho, se construyó un almacén de 43m de largo por 28 m de ancho. ¿Qué parte de terreno quedó sin edificar? Problema 3. Los pasillos de un colegio tienen 3m de ancho310 m de largo. Se quiere embaldosarlos con baldosas cuadradas de 2,5 dm de lado.

¿Cuánto habrá que pagar si cada baldoso cuesta $1,05?

¿Cuánto habrá que pagar si se desea embaldosar cuatro pasillos?

Situación 6. APLICACION En este Nivel el estudiante aplica lo aprendido a otras áreas de aplicación. Se pretende con ello que el estudiante contextualice los conceptos y procedimientos en la resolución de problemas. Para ello se le presentan los siguientes problemas:

Problema 4. Queremos construir una pared de 12,5 m. de larga y 34 m. de ancha. Si en cada m2 se coloca 75 ladrillos, ¿cuántos necesitamos? Problema 5. Un libro consta de 350 hojas de 18 cm de largo por 12 cm de ancho. ¿Cuántos m2 de papel se han empleado? Problema 6. En un jardín de 105,5 m de largo por 90,2 m de ancho, se construye una piscina en forma de rombo, cuyas diagonales valen D = 20 m. y d = 15 m. Calcula la superficie, de la parte que queda del jardín. Problema 7. Las dimensiones de un local trapecial son B = 60 m., b = 42 m., a = 15 m. Calcula el número de baldosas que necesitaremos para embaldosarla, si cada baldosa tiene una superficie de 25 dm2.