¿Cómo se calcula un elemento genérico de cada una de las operaciones?

1. Definimos que es elemento genérico:

ELEMENTO GENERICO

El símbolo "aij", llamado elemento genérico de una matriz, se usa para indicar que el elemento

por él designado ocupa el lugar correspondiente a la fila "i" y a la columna "j".

En consecuencia, una anotación del tipo "a23" debe interpretarse que se trata del elemento

"a", que ocupa el lugar correspondiente a la fila 2 y a la columna 3.

Para el caso de una matriz A con m filas y n columnas, se debe entender que i varía desde

1 hasta m y que j varía desde 1 hasta n (siendo i y j variables en el conjunto de los

números naturales).

Por ello, otra forma de anotar una matriz A, de m filas y n columnas, que tiene como

elemento genérico a aij, es:

Amxn = (aij) (i= 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n)

Así, la matriz

aaa

aaa

aaa

aaa

= A

434241

333231

232221

131211

puede anotarse de esta forma:

A4x3 = (aij) (i= 1, 2, 3, 4; j= 1, 2, 3)

2. Cálculo del elemento genérico para cada una de las operaciones:

Suma de matrices:

Dadas las matrices:

La matriz suma de ambas tiene dimensión n x m y su elemento genérico es:

Esto es, cada elemento de la suma se obtiene sumando los elementos de las matrices

sumandas que están en la misma posición.

Producto de un escalar por una matriz:

Dada una matriz A=(aij) de orden n x m y un número real k (escalar), se llama matriz

producto de A por k a la matriz de orden n x m cuyo elemento genérico es de la forma:

Es decir, se obtiene multiplicando por k todos los elementos de A.

Producto de matrices:

Dos matrices sólo son multiplicables si el número de columnas de la primera es igual al

número de filas de la segunda esto es, si son de órdenes n x m (la primera) y m x p (la

segunda, se obtiene entonces como resultado una matriz de orden n x p, cuyo elemento

genérico cij se obtiene sumando los productos de todos los elementos de la fila "i" de la

primera por los de la columna "j" de la segunda, es decir:

NOTAS:

a. Para la resta de matrices se procede igual que para la suma.

b. Para la potencia de matrices se procede igual que para la multiplicación (recordar que

la matriz debe ser cuadrada)