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Cálculo integral

Parcial 2 - Guías 7� 11

Farith Briceño - 2013

Cálculo integral - Guía 7Funciones Transcendentes

Objetivos a cubrir Código : MAT-CI.7

• Función logaritmo natural. Propiedades. Derivada e integración.• Función exponencial natural. Propiedades. Derivada e integración.• Función logaritmo y exponencial en base general. Propiedades. Derivada e integración.• Funciones hiperbólicas. Identidades hiperbólicas. Ejercicios resueltos

Ejemplo 109 : Considere la expresión f (x) =

Z

x

1

1

t

dt.

1. Obtenga el intervalo de definición para f (Dominio)

2. Hallar f (1).

3. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f .

4. Hallar los valores extremos de f .

5. Estudiar la concavidad de f .

6. Esbozar una gráfica para f .

Solución :

1. Observemos que el integrando no está definido en cero, por lo tanto esta integral no existe para ningúnintervalo que incluya al cero, luego, el intervalo de definición es (0,1).

2. Se tiene que

f (1) =

Z 1

1

1

t

dt

| {z }

= 0

"Propiedad de la integral

Z

a

a

f (x) dx = 0

3. Derivamos1er Teorema Fundamental del Cálculo :

integrando evaluado en el límite variable.

#f

0(x) =

d

dx

✓

Z

x

1

1

t

dt

◆

=

1

x

y observamos que, para todo x 2 (0,1), se tiene que f

0(x) =

1

x

> 0, por lo tanto, la función f essiempre creciente.

4. Por ser una función monótona creciente, no tiene valores extremos.

5. Se calcula la segunda derivada de f y se estudia su signo, derivamos

f

00(x) =

d

dx

✓

1

x

◆

= � 1

x

2,

y para todo x 2 (0,1), se tiene que f

00(x) = � 1

x

2< 0, por lo tanto, la función f siempre es concava

hacia abajo.

Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. [email protected]

Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 118

6. Un esbozo de la gráfica

F

Ejemplo 110 : Demuestre que la primera derivada de la función f (x) = e

x, es f

0(x) = e

x.

Demostración : Es conocido el teorema que establece:

Teorema 1 : Si g es una función diferenciable inyectiva con inversa f = g

�1 y g

�1(f (x)) 6= 0,

entonces la función inversa es diferenciable en x y

[f (x)]

0=

⇥

g

�1(x)

⇤0=

1

g

0(f (x))

.

La función f (x) = e

x es diferenciable, ya que es la función inversa de g (x) = lnx, la cual es una funcióndiferenciable, además

[g (x)]

0= [lnx]

0=

1

x

,

por lo tanto,1

g

0(f (x))

=

1

1

f (x)

=

1

1

e

x

= e

x

,

luego,[f (x)]

0=

1

g

0(f (x))

= e

x

.

F

Ejemplo 111 : Determine el dominio de la función

f (x) =

ln

�

1� x

2�

� ln (x+ 5)

px� x

2

Solución : Tenemos que

ln (·) tiene sentido si (·) > 0,p

(·) tiene sentido si (·) � 0,1

(·) tiene sentido si (·) 6= 0,

por lo tanto,

• Para ln (x+ 5), tenemos que x+ 5 > 0 =) x > �5 =) x 2 (�5,1).

• Para ln

�

1� x

2�

, tenemos que 1� x

2> 0 =) (1� x) (1 + x) > 0.



Estudiamos el signo de la expresión

(�1,�1) (�1, 1) (1,1)

1� x + + �

1 + x � + +

(1� x) (x+ 1) � + �

por lo tanto,x 2 (�1, 1)

• Parapx, tenemos que x � 0 =) x 2 [0,1).

• Para1p

x� x

2, observemos que resolver la no igualdad

px� x

2 6= 0 es equivalente a resolver la igualdadpx � x

2= 0 y obtener los valores x que sean soluciones de la igualdad y dichos valores excluirlos del

conjunto de definición. Resolvemos la igualdadpx� x

2= 0 =)

px = x

2=) (

px)

2=

�

x

2�2

=) x = x

4=) x� x

4= 0

x

�

1� x

3�

= 0 =) x (1� x)

�

x

2+ x+ 1

�

= 0 =) x = 0 y x = 1,

luego, la función g (x) =

1px� x

2tiene sentido si x 2 (0,1)� {1}.

Entonces, el dominio de f es

Dom f = (�5,1)

\

(�1, 1)\

[0,1)

\

(0,1)� {1} = (0, 1) =) Dom f = (0, 1) .

�5 �4 �3 �2 �1 0 1 2

e ee ue��AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

| {z }

Dom f = (0, 1)

F

Ejemplo 112 : Determine el dominio de la función

f (x) =

4

plnx� 1

e

x � lnx


4

p

(·) tiene sentido si (·) � 0, ln (·) tiene sentido si (·) > 0,1

(·) tiene sentido si (·) 6= 0,

por lo tanto,

• Para 4

plnx� 1, resolvemos la desigualdad lnx � 1 � 0 =) lnx � 1, para despejar x aplicamos la

función inversa de la función logaritmo natural, es decir, la función exponencial natural, por ser la funciónexponencial natural creciente, la desigualdad se mantiene, así

e

ln x � e

1=) x � e =) x 2 [e,1)

• Para lnx, tenemos que x > 0 =) x 2 (0,1).

• Para1

e

x � lnx

, observemos que resolver la no igualdad e

x � lnx 6= 0 es equivalente a buscar los valoresde x donde la función exponencial natural y la función logaritmo natural sean iguales, y dichos valoresexcluirlos del conjunto de definición, pero es conocido que dichas funciones no tienen puntos en común, así,que la expresión

1

e

x � lnx

tiene sentido para todo x en (0,1).



Funciones exponencial y logaritmo natural

Luego, el dominio de f esDom f = [e,1)

\

(0,1) = [e,1)

�2 �1 0 1 2 e 3 4 5

e u��AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

| {z }

Dom f = [e,1)

F

Ejemplo 113 : Hallar el dominio de las siguientes funciones

a. f (x) = ln

�

x

2 � x� 6

�

+ ln

�

x

3 � x

�

b. f (x) = ln

�

x

2 � x� 6

� �

x

3 � x

�

c. f (x) = ln

�

x

2 � x� 6

�

� ln

�

x

3 � x

�

d. f (x) = ln

✓

x

2 � x� 6

x

3 � x

◆

Solución : a. Puesto que, la función f es la suma de dos funciones logaritmo naturales, f1 (x) =

ln

�

x

2 � x� 6

�

y f2 (x) = ln

�

x

3 � x

�

, entonces,

Dom f = Dom f1

\

Dom f2

• Para f1 : La función f1 tiene sentido si

x

2 � x� 6 > 0 =) (x� 3) (x+ 2) > 0,

estudiamos el signo de la expresión

(�1,�2) (�2, 3) (3,1)

x� 3 � � +

x+ 2 � + +

(x� 3) (x+ 2) + � +

por lo tanto,Dom f1 : (�1,�2)

[

(3,1)


x

3 � x > 0 =) x

�

x

2 � 1

�

> 0 =) x (x� 1) (x+ 1) > 0,



estudiamos el signo de la expresión,

(�1,�1) (�1, 0) (0, 1) (1,1)

x � � + +

x� 1 � � � +

x+ 1 � + + +

x (x� 1) (x+ 1) � + � +

por lo tanto,Dom f2 : (�1, 0)

[

(1,1) .

Luego, el dominio de la función f , es

Dom f =

⇣

(�1,�2)[

(3,1)

⌘

\

⇣

(�1, 0)[

(1,1)

⌘

= (3,1)

�3 �2 �1 0 1 2 3 4

e e�� e e eAAAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

| {z }

Dom f = (3,1)

b. Es conocida la propiedad de los logaritmos

Propiedad I : ln a+ ln b = ln (ab) ,

así, que uno estaría tentado a sugerir que el dominio de esta función, f (x) = ln

�

x

2 � x� 6

� �

x

3 � x

�

es el mismoque el de la función de la parte a., f (x) = ln

�

x

2 � x� 6

�

+ln

�

x

3 � x

�

, pero esto no es necesariamente cierto, yaque la propiedad I es válida solo cuando los términos a y b sean positivos. Busquemos el domino de la funciónf (x) = ln

�

x

2 � x� 6

� �

x

3 � x

�

.

La función f tiene sentido si,�

x

2 � x� 6

� �

x

3 � x

�

> 0 =) x (x+ 2) (x� 3) (x� 1) (x+ 1) > 0.

Estudiamos el signo de los factores,

(�1,�2) (�2,�1) (�1, 0) (0, 1) (1, 3) (1,1)

x+ 2 � + + + + +

x+ 1 � � + + + +

x � � � + + +

x� 1 � � � � + +

x� 3 � � � � � +

�

x

2 � x� 6

� �

x

3 � x

�

� + � + � +

Luego, el dominio de la función f (x) = ln

�

x

2 � x� 6

� �

x

3 � x

�

es

Dom f : (�2,�1)[

(0, 1)

[

(1,1) .

c. Como la función f es al diferencia de dos funciones logaritmo naturales,

f1 (x) = ln

�

x

2 � x� 6

�

y f2 (x) = ln

�

x

3 � x

�

,



entonces,Dom f = Dom f1

\

Dom f2,

por la parte a., se tiene que

Dom f =

⇣

(�1,�2)[

(3,1)

⌘

\

⇣

(�1, 0)[

(1,1)

⌘

= (3,1)

�3 �2 �1 0 1 2 3 4

e e�� e e eAAAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

| {z }

Dom f = (3,1)

d. Similarmente, a las funciones de la parte a. y b.. Es conocida la propiedad de los logaritmos

Propiedad II : ln a� ln b = ln

⇣

a

b

⌘

,

así, que uno estaría tentado a sugerir que el dominio de esta función, f (x) = ln

✓

x

2 � x� 6

x

3 � x

◆

es el mismo que

el de la función de la parte c., f (x) = ln

�

x

2 � x� 6

�

� ln

�

x

3 � x

�

, pero esto no es necesariamente cierto, yaque la propiedad II es válida solo cuando los términos a y b sean positivos. Busquemos el domino de la función

f (x) = ln

✓

x

2 � x� 6

x

3 � x

◆

.

La función f tiene sentido si

Condición 1 (Para ln (·)) : x

2 � x� 6

x

3 � x

> 0

Condición 2

✓

Para1

(·)

◆

: x

3 � x 6= 0

Observemos que al resolver la condición 1, resolvemos indirectamente la condición 2, ya que, en la solución

de la condición 1 no están incluidos los valores que anulan al denominador, así, resolvemosx

2 � x� 6

x

3 � x

> 0,factorizamos numerador y denominador

• Para el numerador:

x

2 � x� 6 = (x� 3) (x+ 2) Raíces : x = �2, x = 3

• Para el denominador:

x

3 � x = x

�

x

2 � 1

�

= x (x� 1) (x+ 1) Raíces : x = 0, x = �1, x = 1

así,x

2 � x� 6

x

3 � x

> 0 =) (x� 3) (x+ 2)

x (x� 1) (x+ 1)

> 0.

Estudiamos el signo de los factores

(�1,�2) (�2,�1) (�1, 0) (0, 1) (1, 3) (1,1)

x+ 2 � + + + + +

x+ 1 � � + + + +

x � � � + + +

x� 1 � � � � + +

x� 3 � � � � � +

(x�3)(x+2)x(x�1)(x+1) � + � + � +



la solución de la desigualdad esx 2 (�2,�1)

[

(0, 1)

[

(1,1) ,

que corresponde al dominio de la función f (x) = ln

✓

x

2 � x� 6

x

3 � x

◆

. F

Ejemplo 114 : Hallar el rango de la función f (x) = e

2x � 2e

x

+ 6.

Solución : Es conocido que, e

2x= (e

x

)

2, así,

Completar cuadrado

a (·)2 + b (·) + c = a

✓

(·) +b

2a

◆

2

+ c �b

2

4a

#f (x) = e

2x � 2e

x

+ 6 = (e

x

)

2 � 2e

x

+ 6 = (e

x � 1)

2+ 5,

Buscamos el rango de la función de f (x) = (e

x � 1)

2+ 5.

Dom f : (�1,1)

=) �1 < x <1

?Aplicamos e

(·)

(la desigualdad se mantiene)

0 < e

x

<1

?Restamos 1


�1 < e

x � 1 <1

�� Parte negativa @@R

Parte positiva

�1 < e

x � 1 0 0 e

x � 1 <1

?Elevamos al cuadrado

(la desigualdad cambia) ?Elevamos al cuadrado(la desigualdad se mantiene)

1 > (e

x � 1)

2 � 0 0 (e

x � 1)

2<1

@@R �� Tomamos el intervalo mayor

0 (e

x � 1)

2<1

?Sumamos 5


5 (e

x � 1)

2+ 5 <1 =)

Rgo f : [5,1)

Por lo tanto, Rgo f : [5,1). F

Ejemplo 115 : Hallar el rango de la función f (x) = ln (3� x)� ln (1 + x).

Solución : En primer lugar, buscamos el dominio de f , puesto que, la función f es la diferencia de dosfunciones logaritmo naturales, f1 (x) = ln (3� x) y f2 (x) = ln (1 + x), entonces,

Dom f = Dom f1

\

Dom f2


3� x > 0 =) 3 > x,

por lo tanto,Dom f1 : (�1, 3)




1 + x > 0 =) x > �1,

por lo tanto,Dom f2 : (�1,1) .

Luego, el dominio de la función f , es

Dom f = (�1, 3)

\

(�1,1) = (�1, 3) ,

de aquí,

f (x) = ln (3� x)� ln (1 + x) = ln

✓

3� x

1 + x

◆

= ln

✓

4

1 + x

� 1

◆

.

Buscamos el rango de la función de f (x) = (e

x � 1)

2+ 5.

Dom f : (�1, 3) =) �1 < x < 3

?Sumamos 1


0 < x+ 1 < 4

?Aplicamos 1

(·)(la desigualdad cambia)

1 >

1

x+ 1

>

1

4

Es conocido que la aplicación

1

x

tiende a infinito cuando x tiende

a cero por la derecha.

�!

?Multiplicamos por 4


1 <

4

x+ 1

<1

?Restamos 1


0 <

4

x+ 1

� 1 <1

?Aplicamos ln (·)


Es conocido que la aplicación ln x

tiende a �1 cuando x tiende

a cero por la derecha.

�! �1 < ln

✓

4

x+ 1

� 1

◆

<1 =)Rgo f : R

F

Ejemplo 116 : Resuelva la siguiente ecuación ln (2x+ 1) = ln

�

x

2 � 14

�

.

Solución : En primer lugar, buscamos el conjunto de definición de la igualdad, el cual denotaremos por Cdef ,para ello interceptamos los dominios de las expresiones involucradas

• La expresión ln (2x+ 1) tiene sentido si 2x+ 1 > 0 =) x > �1

2

=) x 2✓

�1

2

,1◆

.

• La expresión ln

�

x

2 � 14

�

tiene sentido si

x

2 � 14 > 0 =)⇣

x�p14

⌘⇣

x+

p14

⌘

> 0,

entonces,�

�1,�p14

� �

�p14,

p14

� �

p14,1

�

x�p14 � � +

x+

p14 � + +

�

x�p14

� �

x+

p14

�

+ � +



esto implica que, x 2�

�1,�p14

�

S

�

p14,1

�

.

Por lo que, el conjunto de definición de la igualdad, Cdef , viene dado por

Cdef =

✓

�1

2

,1◆

\

n⇣

�1,�p14

⌘

[

⇣p14,1

⌘o

=

⇣p14,1

⌘

=) Cdef =

⇣p14,1

⌘

,

�4 �3 �2 �1 0 1 2 3 4 5 6� 1

2

e��p14eAAAAAAAAAAA

p14eAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA| {z }

Cdef =�

p14,1

�

Resolvemos la igualdad para x 2�

p14,1

�

, aplicamos la función inversa del logaritmo natural, la funciónexponencial natural,

ln (2x+ 1) = ln

�

x

2 � 14

�

=) e

ln(2x+1)= e

ln(

x

2�14)

=) 2x+ 1 = x

2 � 14,

resolvemos esta última igualdad

2x+ 1 = x

2 � 14 =) x

2 � 2x� 15 = 0 =) (x� 5) (x+ 3) = 0,

de manera que las posibles soluciones son x = 5 y x = �3, de las cuales se debe descartar la última porque noestá en el dominio de definición. Finalmente, la solución es x = 5. F

Ejemplo 117 : Resuelva la siguiente ecuación ln

2x� 3 lnx+ 2 = 0.

Solución : Observemos que, el conjunto de definición de la igualdad, el cual denotamos por Cdef , es elintervalo (0,1)

Resolvemos la igualdad para x 2 (0,1), entonces,

ln

2x� 3 lnx+ 2 = 0 =) (lnx� 1) (lnx� 2) = 0 =)

(

lnx� 1 = 0

lnx� 2 = 0

=)(

lnx = 1

lnx = 2

=)(

x = e

x = e

2

las soluciones son x = e y x = e

2, ya que, ambas están en el dominio de definición. F

Ejemplo 118 : Hallar y graficar el conjunto solución

ln

�

x

2 � 2

�

� ln (x+ 4) ln (�x) .

Solución : En primer lugar, buscamos el conjunto de definición de la desigualdad, el cual denotaremos porCdef , para ello interceptamos los dominios de las expresiones involucradas

• La expresión ln (�x) tiene sentido si �x > 0 =) x < 0 =) x 2 (�1, 0).

• La expresión ln (x+ 4) tiene sentido si x+ 4 > 0 =) x > �4 =) x 2 (�4,1).

• La expresión ln

�

x

2 � 2

�

tiene sentido si

x

2 � 2 > 0 =)⇣

x�p2

⌘⇣

x+

p2

⌘

> 0,



entonces,�

�1,�p2

� �

�p2,

p2

� �

p2,1

�

x�p2 � � +

x+

p2 � + +

�

x�p2

� �

x+

p2

�

+ � +


�1,�p2

�

S

�

p2,1

�

.

Por lo que, el conjunto de definición de la desigualdad, Cdef , viene dado por

Cdef = (�1, 0)

\

(�4,1)

\

n⇣

�1,�p2

⌘

[

⇣p2,1

⌘o

=

⇣

�4,�p2

⌘

=) Cdef =

⇣

�4,�p2

⌘

,

�6 �5 �4 �3 �2 �1 0 1 2 3 4

e��eAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA�p2e p

2e| {z }

Cdef =�

�4,�p2

�

Resolvemos la desigualdad para x 2�

�4,�p2

�

, por las propiedades del logaritmo natural, tenemos,

ln

�

x

2 � 2

�

� ln (x+ 4) ln (�x) =) ln

�

x

2 � 2

�

ln (�x) + ln (x+ 4)

=) ln

�

x

2 � 2

�

ln (�x (x+ 4)) ,

aplicamos la función inversa del logaritmo natural, la función exponencial natural, por ser esta una función crecientela desigualdad se mantiene

ln

�

x

2 � 2

�

ln (�x (x+ 4)) =) e

ln(

x

2�2) e

ln(�x(x+4))=) x

2 � 2 �x (x+ 4) ,

resolvemos esta última desigualdad

x

2 � 2 �x (x+ 4) =) x

2 � 2 �x2 � 4x =) 2x

2+ 4x� 2 0 =) x

2+ 2x� 1 0

=)�

x+

p2 + 1

� �

x�p2 + 1

�

0,

entonces,�

�1,�p2� 1

� �

�p2� 1,

p2� 1

� �

p2� 1,1

�

x+

p2 + 1 � + +

x�p2� 1 � � +

�

x+

p2 + 1

� �

x�p2 + 1

�

+ � +

esto implica que, x 2⇥

�p2� 1,

p2� 1

⇤

.

Luego, la solución de la desigualdad ln

�

x

2 � 2

�

� ln (x+ 4) ln (�x) viene dada por

x 2 Cdef

\

h

�p2� 1,

p2� 1

i

=) x 2⇣

�4,�p2

⌘

\

h

�p2� 1,

p2� 1

i

=) x 2h

�p2� 1,�

p2

⌘

.

�5 �4 �3 �2 �1 0 1 2

e �p2e��

�p2 � 1u p

2 � 1uAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

| {z }

Cdef =⇥

�p2� 1,�

p2

�

F



Ejemplo 119 : Hallar el conjunto solución de

lnx� ln (x+ 2) < ln (x� 1)

Solución : En primer lugar, buscamos el conjunto de definición, el cual denotaremos por Cdef , de la desigual-dad, para ello interceptamos los dominios de las expresiones involucradas

La expresión lnx tiene sentido si x > 0 =) x 2 (0,1).

La expresión ln (x+ 2) tiene sentido si x+ 2 > 0 =) x > �2 =) x 2 (�2,1).

La expresión ln (x� 1) tiene sentido si x� 1 > 0 =) x > 1 =) x 2 (1,1),

así,Cdef = (0,1)

\

(�2,1)

\

(1,1) = (1,1) =) Cdef = (1,1) ,

�6 �5 �4 �3 �2 �1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

e e e��AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

| {z }

Cdef = (1,1)

por las propiedades del logaritmo natural, para todo x 2 (1,1), tenemos,

lnx� ln (x+ 2) < ln (x� 1) =) ln

✓

x

x+ 2

◆

< ln (x� 1) ,

aplicamos la función inversa del logaritmo natural, la función exponencial natural, por ser esta una función crecientela desigualdad se mantiene

ln

✓

x

x+ 2

◆

< ln (x� 1) =) e

ln(

x

x+2

)

< e

ln(x�1)=) x

x+ 2

< x� 1,


x

x+ 2

< x� 1 =) x

x+ 2

� (x� 1) < 0 =) x� (x� 1) (x+ 2)

x+ 2

< 0 =) 2� x

2

x+ 2

< 0

=)�

p2� x

� �

p2 + x

�

x+ 2

< 0,

entonces,(�1,�2)

�

�2,�p2

� �

�p2,

p2

� �

p2,1

�

p2� x + + + �p2 + x � � + +

x+ 2 � + + +

(

p2�x

)(

p2+x

)

x+2 + � + �


�2,�p2

�

S

�

p2,1

�

.

Luego, la solución de la desigualdad lnx� ln (x+ 2) < ln (x� 1) viene dada por

x 2 Cdef

\

n⇣

�2,�p2

⌘

[

⇣p2,1

⌘o

=) x 2 (1,1)

\

n⇣

�2,�p2

⌘

[

⇣p2,1

⌘o

=) x 2⇣p

2,1⌘

�6 �5 �4 �3 �2

�p2

�1 0 1

p2

2 3 4 5 6 7 8

e eAAAAA eAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAe��| {z }

�

p2,1

�

F



Ejemplo 120 : Resolver e

2x2�7x+3= 1.

Solución : Aplicamos la función inversa de la exponencial natural, es decir, la función logaritmo natural ologaritmo neperiano y obtenemos

e

2x2�7x+3= 1 =) ln

⇣

e

2x2�7x+3⌘

= ln 1 =) 2x

2 � 7x+ 3 = 0,


2x

2 � 7x+ 3 = 0 =) (2x� 1) (x� 3) = 0,

las soluciones son x =

1

2

y x = 3. F

Ejemplo 121 : Resolver 7

3x(x�1)= 1.

Solución : Aplicamos la función inversa de la exponencial en base 7, es decir, la función logaritmo en base 7

y obtenemos7

3x(x�1)= 1 =) log7

⇣

7

3x(x�1)⌘

= log7 1 =) 3x (x� 1) = 0,

las soluciones son x = 0 y x = 1. F


3x+1= 3

2�x.

Solución : Es conocido que a

x

= e

x ln a, así, 2

(·)= e

(·) ln 2 y 3

(·)= e

(·) ln 3, con lo que, la igualdad se escribe

2

3x+1= 3

2�x

=) e

(3x+1) ln 2= e

(2�x) ln 3.

Aplicamos la función inversa de la exponencial natural, es decir, la función logaritmo natural o logaritmo neperianoy obtenemos

e

(3x+1) ln 2= e

(2�x) ln 3=) ln

�

e

(3x+1) ln 2�

= ln

�

e

(2�x) ln 3�

=) (3x+ 1) ln 2 = (2� x) ln 3,

=) 3 ln 2 x+ ln 2 = 2 ln 3� ln 3 x =) 3 ln 2 x+ ln 3 x = 2 ln 3� ln 2

=) (3 ln 2 + ln 3)x = 2 ln 3� ln 2 =)�

ln 2

3+ ln 3

�

x = ln 3

2 � ln 2

=) (ln 8 + ln 3)x = ln 9� ln 2 =) ln ((8) (3)) x = ln

✓

9

2

◆

=) ln 24 x = ln

✓

9

2

◆


ln 24 x = ln

✓

9

2

◆

=) x =

ln

�

92

�

ln 24

,

la solución es x =

ln

�

92

�

ln 24

. F


3x+1< 3

2�x.


x

= e

x ln a, así, 2

(·)= e

(·) ln 2 y 3

(·)= e

(·) ln 3, con lo que, la desigualdad seescribe

2

3x+1< 3

2�x

=) e

(3x+1) ln 2< e

(2�x) ln 3.

Aplicamos la función inversa de la exponencial natural, es decir, la función logaritmo natural o logaritmo neperiano,puesto que la función logaritmo natural es creciente, entonces la desigualdad no cambia y obtenemos

e

(3x+1) ln 2< e

(2�x) ln 3=) ln

⇣

e

(3x+1) ln 2⌘

< ln

⇣

e

(2�x) ln 3⌘

=) (3x+ 1) ln 2 < (2� x) ln 3,




(3x+ 1) ln 2 < (2� x) ln 3 =) 3x ln 2 + ln 2 < 2 ln 3� x ln 3 =) 3x ln 2 + x ln 3 < 2 ln 3� ln 2

=) x (3 ln 2 + ln 3) < 2 ln 3� ln 2 =) x

�

ln

�

2

3�

+ ln 3

�

< ln

�

3

2�

� ln 2

=) x (ln 8 + ln 3) < ln 9� ln 2 =) x ln 24 < ln

✓

9

2

◆

=) x <

ln

�

92

�

ln 24

.

Luego, la solución viene dada por

x 2

�1,

ln

�

92

�

ln 24

!

.

F

Ejemplo 124 : Hallar el conjunto solución de

4

|x+2|

2

|x�1| 16

Solución : Observemos que

4

|x+2|

2

|x�1| 16 =)�

2

2�|x+2|

2

|x�1| 2

4=) 2

2|x+2|

2

|x�1| 2

4=) 2

|2x+4|�|x�1| 2

4,

aplicamos log2 (·), la desigualdad no cambia, pues la función f (x) = log2 x, es creciente.

log2

⇣

2

|2x+4|�|x�1|⌘

log2

�

2

4�

=) |2x+ 4|� |x� 1| 4.

Por la definición de valor absoluto

|2x+ 4| =(

2x+ 4 si 2x+ 4 � 0

� (2x+ 4) si 2x+ 4 < 0

=

(

2x+ 4 si x � �2

� (2x+ 4) si x < �2

y

|x� 1| =(

x� 1 si x� 1 � 0

� (x� 1) si x� 1 < 0

=

(

x� 1 si x � 1

� (x� 1) si x < 1

tenemos que la recta real se secciona en

(�1,�2) [�2, 1) [1,1)

� (2x+ 4) 2x+ 4 2x+ 4

� (x� 1) � (x� 1) x� 1

Caso I : Intervalo (�1,�2).

|2x+ 4|� |x� 1| 4, nos queda, � (2x+ 4)� (1� x) 4,

resolviendo,� (2x+ 4)� (1� x) 4 =) �x 9 =) x � 9,

entonces,sol1 = [�9,1)

\

(�1,�2) = [�9,�2) .

�11 �10 �9 �8 �7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 0 1 2 3

u��eAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

| {z }

sol1 = [�9,�2)Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. [email protected]


Caso II : Intervalo [�2, 1).

|2x+ 4|� |x� 1| 4, nos queda 2x+ 4� (1� x) 4,

resolviendo,2x+ 4� (1� x) 4 =) 3x 1 =) x 1

3

,

entonces,

sol2 =

✓

�1,

1

3

�

\

[�2, 1) =

�2, 13

�

.

�8 �7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 0

1

3

1 2 3 4 5 6

u e��uAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

| {z }

sol2 =

⇥

�2, 13

⇤

Caso III : Intervalo [1,1).

|2x+ 4|� |x� 1| 4, nos queda 2x+ 4� (x� 1) 4,

resolviendo,2x+ 4� (x� 1) 4 =) x �1,

entonces,sol3 = (�1,�1]

\

[1,1) = ?.

�8 �7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 0 1 2 3 4 5 6

u�� uAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA| {z }

sol3 = (�1,�1]T

[1,1) = ?Luego, la solución final es

solF

= sol1[

sol2[

sol3 = [�9,�2)[

�2, 13

�

[

? =

�9, 13

�

FEjemplo 125 : Demuestre que la primera derivada de la función f (x) = a

x, con a > 0 y a 6= 1, es

f

0(x) = a

x

ln a.

Demostración : Observemos que

a

x

= e

ln a

x

= e

x ln a

=) a

x

= e

x ln a

, (1)

es decir,f (x) = a

x

=) f (x) = e

x ln a

.

Derivamos respecto a x usando la regla de la cadena

f

0(x) =

⇥

e

x ln a

⇤0= e

x ln a

[x ln a]

0= e

x ln a

ln a,

puesto que, e

x ln a

= a

x (ver ecuación (1)), entonces

f

0(x) = a

x

ln a

F

Ejemplo 126 : Demuestre que si f (x) = log

a

|x|, entonces f

0(x) =

1

x ln a

, con a > 0 y a 6= 1.

Solución : Es conocido que

|x| =(

x si x � 0

�x si x < 0,



por lo tanto,

log

a

|x| =(

log

a

x si x � 0

log

a

(�x) si x < 0.

Por otra parte, se tiene que

log

a

(·) = ln (·)ln a

,

donde, ln a está bien definido, ya que, a > 0 y a 6= 1, así,

log

a

|x| =

8

>

>

<

>

>

:

lnx

ln a

si x � 0

ln (�x)ln a

si x < 0.

Al derivar, para x � 0

d

dx

(f (x)) =

d

dx

(log

a

x) =

lnx

ln a

|{z}

!0

=

1

ln a

(lnx)

0=

1

ln a

1

x

=

1

x ln a

.

"ln a es constante

sale de la derivada

Para x < 0

d

dx

(f (x)) =

d

dx

(log

a

(�x)) =

ln (�x)ln a

|{z}

!0

=

1

ln a

(ln (�x))0| {z }

=

1

ln a

1

�x (�x)0 = 1

ln a

✓

1

�x

◆

(�1) = 1

x ln a

.

" "ln a es constante

sale de la derivada

Derivada: Regla

de la cadena

Se tiene que

d

dx

(log

a

|x|) =

8

>

>

<

>

>

:

1

x ln a

si x � 0

1

x ln a

si x < 0.

,

de aquí,d

dx

(log

a

|x|) = 1

x ln a

F

Ejemplo 127 : Hallar la primera derivada de f (x) = 3

sen x.

Solución : En virtud que la función f es una función compuesta, derivamos usando la regla de la cadena

f

0(x) = [3

sen x

]

0= 3

sen x

ln 3 [senx]

0= 3

sen x

ln 3 cosx.

Luego, f

0(x) = 3

sen x

cosx ln 3. F

Ejemplo 128 : Hallar la primera derivada de f (x) = x

sen x.

Solución : Observemos que la función f no es una función potencia ni tampoco una funcion exponencial, así, que para obtener su derivada aplicamos derivación logaritmica. Aplicamos logaritmo a amboslados de la igualdad para obtener

y = x

sen x

=) ln y = lnx

sen x

=) ln y = senx lnx,



derivamos implicítamente,

(ln y)

0= (senx lnx)

0=) 1

y

y

0= (senx)

0lnx+ senx (lnx)

0=) y

0

y

= cosx lnx+ senx

1

x

=) y

0= y

h

cosx lnx+

senx

x

i

=) y

0= x

sen x

h

cosx lnx+

senx

x

i

,

ya que, y = x

sen x, luego,f

0(x) = x

sen x

h

cosx lnx+

senx

x

i

.

F

Ejemplo 129 : Hallar la primera derivada de

f (x) = (senx)

ln x

+ 2

3x � x

log3

(4x).

Solución : Derivamos

f

0(x) =

h

(senx)

ln x

+ 2

3x � x

log3

(4x)i0

=

h

(senx)

ln x

i0+

h

2

3xi0�h

x

log3

(4x)i0,

donde,

• Si y = (senx)

ln x, aplicamos logaritmo a ambos lados de la igualdad para obtener

y = (senx)

ln x

=) ln y = ln (senx)

ln x

=) ln y = lnx ln (senx) ,


(ln y)

0= (lnx ln (senx))

0=) 1

y

y

0= (lnx)

0ln (senx) + lnx (ln (senx))

0

=) y

0

y

=

1

x

ln (senx) + lnx

1

senx

cosx =) y

0= y

ln (senx)

x

+ lnx cotx

�

pero, y = (senx)

ln x, luego

y

0=

⇣

(senx)

ln x

⌘0= (senx)

ln x

ln (senx)

x

+ lnx cotx

�

• Sea z = 2

3x . observemos que esta es una composicón de funciones exponenciales de base 2 y 3, así, suderivada viene dada por

z

0=

⇣

2

3x⌘0

= 2

3xln 2 3

x

ln 3 = 2

3x3

x

ln 2 ln 3

• Sea w = x

log3

(4x), aplicamos logaritmo natural a ambos lados y obtenemos

w = x

log3

(4x)=) lnw = ln

⇣

x

log3

(4x)⌘

=) lnw = log3 (4x) lnx,


(lnw)

0= (log3 (4x) lnx)

0=) 1

w

w

0= (log3 (4x))

0lnx+ log3 (4x) (lnx)

0

=) w

0

w

=

1

x ln 3

lnx+ log3 (4x)1

x

=) w

0= w

lnx

x ln 3

+

log3 (4x)

x

�

pero, w = x

log3

(4x), luego

w

0=

⇣

x

log3

(4x)⌘0

= x

log3

(4x)

lnx

x ln 3

+

log3 (4x)

x

�



Finalmente,

f

0(x) = (senx)

ln x

ln (senx)

x

+ lnx cotx

�

+ 2

3x3

x

ln 2 ln 3� x

log3

(4x)

lnx

x ln 3

+

log3 (4x)

x

�

F

Ejemplo 130 : Calcular el siguiente límite, si existe, lim

x!0sen

✓

ln (cos 3x)

e

x � e

�x

◆

.

Solución : Puesto que la función seno es una función continua, entonces

lim

x!0sen

✓

ln (cos 3x)

e

x � e

�x

◆

= sen

✓

lim

x!0

ln (cos 3x)

e

x � e

�x

◆

,

observemos que el límite argumento de la función seno es de la forma indeterminada0

0

, por lo tanto, aplicamosla regla de L’Hospital

lim

x!0

ln (cos 3x)

e

x � e

�x

L0H= lim

x!0

(ln (cos 3x))

0

(e

x � e

�x

)

0 = lim

x!0

�3 sen 3xcos 3x

e

x

+ e

�x

= lim

x!0

�3 sen 3x(e

x

+ e

�x

) cos 3x

=

0

2

= 0,

luego,

lim

x!0sen

✓

ln (cos 3x)

e

x � e

�x

◆

= sen (0) = 0

F


x!1

5

x � 3

2

x

+ 4

.

Solución : Observemos que este límite es de la forma indeterminada11 . Es conocido que

5

x

= e

x ln 5 y 2

x

= e

x ln 2

así,

lim

x!1

5

x � 3

2

x

+ 4

= lim

x!1

e

x ln 5 � 3

e

x ln 2+ 4

.

Aplicamos la regla de L’Hospital

lim

x!1

e

x ln 5 � 3

e

x ln 2+ 4

L0H= lim

x!1

�

e

x ln 5 � 3

�0

(e

x ln 2+ 4)

0 = lim

x!1

e

x ln 5ln 5

e

x ln 2ln 2

=

ln 5

ln 2

lim

x!1e

x(ln 5�ln 2)=1

F


t!1(ln t� ln (3t� 1)).

Solución : Como ln t!1, cuando t!1, entonces,

lim

t!1(ln t� ln (3t� 1))

presenta una indeterminación de la forma 1�1. Levantamos la indeterminación, es conocido que

Propiedad II : ln a� ln b = ln

⇣

a

b

⌘

,

así,

ln t� ln (3t� 1) = ln

✓

t

3t� 1

◆

,



por lo que, el límite queda

lim

t!1(ln t� ln (3t� 1)) = lim

t!1ln

✓

t

3t� 1

◆

,

puesto que, la función logaritmo neperiano es una función continua, podemos introducir el límite dentro de laaplicación logaritmo neperiano y nos queda

lim

t!1ln

✓

t

3t� 1

◆

= ln

✓

lim

t!1

t

3t� 1

◆

,

observemos que, el nuevo límite, lim

t!1

t

3t� 1

, es un límite de la forma11 , aplicando la regla de L’Hospital se

tiene

lim

t!1

t

3t� 1

L0H= lim

t!1

[t]

0

[3t� 1]

0 = lim

t!1

1

3

=

1

3

,

por lo tanto,lim

t!1

t

3t� 1

=

1

3

,

de aquí,

lim

t!1ln

✓

t

3t� 1

◆

= ln

✓

lim

t!1

t

3t� 1

◆

= ln

✓

1

3

◆

= ln 1� ln 3 = 0� ln 3

Finalmente,lim

t!1(ln t� ln (3t� 1)) = � ln 3.

F


n!1

n

X

k=1

ln

✓

1 +

1

k

◆

.

Solución : Observemos que el término general a

k

= ln

✓

1 +

1

k

◆

se puede escribir como

a

k

= ln

✓

1 +

1

k

◆

= ln

✓

k + 1

k

◆

= ln (k + 1)� ln k,

así,n

X

k=1

ln

✓

1 +

1

k

◆

=

n

X

k=1

(ln (k + 1)� ln k) ,

la cual es una suma telescópica, por lo quen

X

k=1

(ln (k + 1)� ln k) = ln (n+ 1)� ln 1 = ln (n+ 1) .

Luego,

lim

n!1

n

X

k=1

ln

✓

1 +

1

k

◆

= lim

n!1ln (1 + n) =1.

FEjemplo 134 : Escriba como una integral definida el siguiente límite y luego evalue

lim

n!1

e

1/n2

n

2

⇣

e

�2/n2

+ 2e

�5/n2

+ 3e

�10/n2

+ · · ·+ ne

�1�1/n2

⌘


e

1/n2

n

2

⇣

e

�2/n2

+ 2e

�5/n2

+ 3e

�10/n2

+ · · ·+ ne

�1�1/n2

⌘

=

e

1/n2

n

⇣

e

�2/n2

+ 2e

�5/n2

+ 3e

�10/n2

+ · · ·+ ne

�1�1/n2

⌘

1

n



=

✓

1

n

e

�1/n2

+

2

n

e

�4/n2

+

3

n

e

�9/n2

+ · · ·+ n

n

e

�1

◆

1

n

=

✓

1

n

e

�(1)2/n2

+

2

n

e

�(2)2/n2

+

3

n

e

�(3)2/n2

+ · · ·+ n

n

e

�(n)2/n2

◆

1

n

=

✓✓

1

n

◆

e

�(1/n)2+

✓

2

n

◆

e

�(2/n)2+

✓

3

n

◆

e

�(3/n)2+ · · ·+

⇣

n

n

⌘

e

�(n/n)2◆

1

n

=

n

X

k=1

✓

k

n

◆

e

�(k/n)2 1

n

.

Consideramos la partición regular del intervalo [0, 1], de n subintervalos, entonces

� =

1� 0

n

=

1

n

y la partición viene dada por

x0 = 0 < x1 =

1

n

< x2 =

2

n

< x3 =

3

n

< · · · < x

k

=

k

n

< · · · < x

n

=

n

n

= 1,

Sean f (x) = xe

�x

2

y x

⇤k

= x

k

=

k

n

, así,

lim

n!1

e

1/n2

n

2

⇣

e

�2/n2

+ 2e

�5/n2

+ 3e

�10/n2

+ · · ·+ ne

�1�1/n2

⌘

= lim

n!1

n

X

k=1

✓

k

n

◆

e

�(k/n)2 1

n

= lim

n!1

n

X

k=1

x

⇤k

e

x

⇤k

1

n

= lim

n!1

n

X

k=1

f (x

⇤k

)�x

k

=

Z 1

0

xe

�x

2

dx,

dondeZ 1

0

xe

�x

2

dx se resuelve con el cambio de variable

u = �x2Cálculo del

��!diferencial

du = �2x dx =) �du

2

= x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.

Cambiamos el intervalo de integración

Si x = 0, entonces, u = � (0)

2= 0 =) u = 0

Si x = 1, entonces, u = � (1)

2= �1 =) u = �1,

la integral queda

Primitiva evaluada en

el límite superior

#


el límite inferior

#

Propiedad de la integral definida:

Z

a

b

f (x) dx = �Z

b

a

f (x) dx

#Z 1

0

xe

�x

2

dx =

Z �1

0

e

u

✓

�du

2

◆

= �1

2

Z �1

0

e

u

du =

1

2

Z 0

�1

e

u

du =

1

2

✓

e

u

�

�

�

�

0

�1

=

1

2

z}|{

e

0 �z}|{

e

�1

!

=

1

2

�

1� e

�1�

=

1

2

� 1

2

e

�1=

1� e

�1

2

.



Luego,

lim

n!1

e

1/n2

n

2

⇣

e

�2/n2

+ 2e

�5/n2

+ 3e

�10/n2

+ · · ·+ ne

�1�1/n2

⌘

=

1� e

�1

2

.

F

Ejemplo 135 : Calcular la derivada de la siguiente función f (x) =

Z 8

ln x

e

2t

t

2+ ln t

dt.

Solución : Observemos que la función f es la composición de las funciones

g (x) =

Z 8

x

e

2t

t

2+ ln t

dt y h (x) = lnx,

ya que,

(g � h) (x) = g (h (x)) = g (lnx) =

Z 8

ln x

e

2t

t

2+ ln t

dt = f (x) ,

por lo tanto, para obtener la derivada de f aplicamos la regla de la cadena

f

0(x) = [g (h (x))]

0= g

0(h (x))

| {z }

h

0(x)

| {z }

,

"Derivada de la función externa

evaluada en la función interna

"Derivada de la

función interna

por otra parte, observe que el límite variable está en la cota inferior, así,

f (x) =

Z 8

ln x

e

2t

t

2+ ln t

dt = �Z ln x

8

e

2t

t

2+ ln t

dt.

"Propiedad de la integral

Z

a

b

f (x) dx = �Z

b

a

f (x) dx

La propiedad aplicada a la integral es debido a que el Primer Teorema Fundamental del Cálculo exige que ellímite variable se encuentre en la cota superior de la integral definida, así,

f (x) = �Z ln x

8

e

2t

t

2+ ln t

dt,

derivamos respecto a x,

Derivada de una

función compuesta

#

f

0(x) =

z }| {

d

dx

�Z ln x

8

e

2t

t

2+ ln t

dt

!

= � e

2 ln x

(lnx)

2+ ln (lnx)

(lnx)

0| {z }

= � e

ln x

2

ln

2x+ ln (lnx)

✓

1

x

◆

"

Primer Teorema

Fundamental del Cálculo

"Derivada de la

función interna

= � x

2

ln

2x+ ln (lnx)

✓

1

x

◆

= � x

ln

2x+ ln (lnx)

.

Luego,f

0(x) = � x

ln

2x+ ln (lnx)

.

F



Ejemplo 136 : Calcular la derivada de la siguiente función f (x) =

Z sen x

e

x

5

u

+ u

2

arctanu

du.

Solución : Escribimos la función f como

f (x) =

Z

e

x

sen x

5

u

+ u

2

arctanu

du =

Z

a

sen x

5

u

+ u

2

arctanu

du+

Z

e

x

a

5

u

+ u

2

arctanu

du = �Z sen x

a

5

u

+ u

2

arctanu

du+

Z

e

x

a

5

u

+ u

2

arctanu

du,

"

Propiedad de la integral

Z

b

a

f (x) dx =

Z

c

a

f (x) dx +

Z

b

c

f (x) dx

"

Propiedad de la integral

Z

a

b

f (x) dx = �Z

b

a

f (x) dx

donde a es una constante cualquiera que cumple con senx a e

x. Por lo tanto

f (x) = �Z sen x

a

5

u

+ u

2

arctanu

du+

Z

e

x

a

5

u

+ u

2

arctanu

du,

derivamos respecto a x.

f

0(x) =

"

Z

e

x

a

5

u

+ u

2

arctanu

du�Z sen x

a

5

u

+ u

2

arctanu

du

#0

=

"

Z

e

x

a

5

u

+ u

2

arctanu

du

#0

�

Z sen x

a

5

u

+ u

2

arctanu

du

�0

,

"

Derivada de una

resta de funciones

dondeDerivada de una

función compuesta

#z }| {

d

dx

Z

e

x

a

5

u

+ u

2

arctanu

du

!

=

5

e

x

+ (e

x

)

2

arctan (e

x

)

(e

x

)

0|{z}

=

5

e

x

+ e

2x

arctan (e

x

)

e

x

=

�

5

e

x

+ e

2x�

e

x

arctan (e

x

)

,

"

Primer Teorema


"Derivada de la

función interna

mientras que,

Derivada de una

función compuesta

#z }| {

d

dx

✓

Z sen x

a

5

u

+ u

2

arctanu

du

◆

=

5

sen x

+ (senx)

2

arctan (senx)

(senx)

0| {z }

=

5

sen x

+ sen

2x

arctan (senx)

cosx =

�

5

sen x

+ sen

2x

�

cosx

arctan (senx)

.

"

Primer Teorema


"Derivada de la

función interna

Por lo tanto,

f

0(x) =

"

Z

e

x

a

5

u

+ u

2

arctanu

du

#0

�

Z sen x

a

5

u

+ u

2

arctanu

du

�0

=

�

5

e

x

+ e

2x�

e

x

arctan (e

x

)

��

5

sen x

+ sen

2x

�

cosx

arctan (senx)

.

Luego,

f

0(x) =

�

5

e

x

+ e

2x�

e

x

arctan (e

x

)

��

5

sen x

+ sen

2x

�

cosx

arctan (senx)

.

F



Ejemplo 137 : IntegrarZ

log (

px)� log3 (

4

px)

log5 xdx.

Solución : Es conocido que log

a

x =

lnx

ln a

, para a > 0 y a 6= 1, por lo tanto,

log

�px

�

=

ln (

px)

ln 10

, log3

�

4

px

�

=

ln (

4

px)

ln 3

y log5 x =

lnx

ln 5

.

Puesto que, px = x

1/2 y 4

px = x

1/4,

por la propiedad del logaritmo de una potencia, lnx

y

= y lnx, se tiene que

ln

�px

�

= ln

⇣

x

1/2⌘

=

1

2

lnx y ln

�

4

px

�

= ln

⇣

x

1/4⌘

=

1

4

lnx,

así,

log

�px

�

=

ln (

px)

ln 10

=

1

2

lnx

ln 10

=

lnx

2 ln 10

y log3

�

4

px

�

=

ln (

4

px)

ln 3

=

1

4

lnx

ln 3

=

lnx

4 ln 3

.

Al sustituir las correspondientes expresiones de los términos log (

px), log3 (

4

px) y log5 x en el integrando

se tiene

log (

px)� log3 (

4

px)

log5 x=

lnx

2 ln 10

� lnx

4 ln 3

lnx

ln 5

=

lnx

✓

1

2 ln 10

� 1

4 ln 3

◆

lnx

ln 5

=

1

2 ln 10

� 1

4 ln 3

1

ln 5

= ln 5

✓

1

2 ln 10

� 1

4 ln 3

◆

,

es decir,log (

px)� log3 (

4

px)

log5 x= ln 5

✓

1

2 ln 10

� 1

4 ln 3

◆

y la integral quedaZ

log (

px)� log3 (

4

px)

log5 xdx =

Z

ln 5

✓

1

2 ln 10

� 1

4 ln 3

◆

dx = ln 5

✓

1

2 ln 10

� 1

4 ln 3

◆

Z

dx

= ln 5

✓

1

2 ln 10

� 1

4 ln 3

◆

x+ C.

Luego,Z

log (

px)� log3 (

4

px)

log5 xdx = ln 5

✓

1

2 ln 10

� 1

4 ln 3

◆

x+ C.

F


x

4log4 x� lnx

ln (

4

px)

dx.

Solución : Es conocido que log4 x =

lnx

ln 4

y ln (

4

px) =

1

4

lnx, entonces, la integral la podemos escribir como

Z

x

4log4 x� lnx

ln (

4

px)

dx =

Z

x

4 lnx

ln 4

� lnx

1

4

lnx

dx =

Z

lnx

✓

x

4

ln 4

� 1

◆

1

4

lnx

dx = 4

Z

✓

x

4

ln 4

� 1

◆

dx



así,Z

x

4log4 x� lnx

ln (

4

px)

dx = 4

Z

✓

x

4

ln 4

� 1

◆

dx = 4

✓

1

ln 4

x

5

5

� x

◆

+ C.

Finalmente,Z

x

4log4 x� lnx

ln (

4

px)

dx =

4x

5

5 ln 4

� 4x+ C.

F


6

2x/ ln 6e

�x

dx.


(·)= e

(·) ln a, por lo tanto,

6

2x/ ln 6= exp

✓

2x

ln 6

ln 6

◆

= exp (2x) = e

2x,

es decir,6

2x/ ln 6= e

2x.

Al integrarZ

6

2x/ ln 6e

�x

dx =

Z

e

2xe

�x

dx =

Z

e

2x�x

dx =

Z

e

x

dx = e

x

+ C.

LuegoZ

6

2x/ ln 6e

�x

dx = e

x

+ C.

F


e

2x � e

x

e

x�5dx.

Solución : Se tiene quee

2x � e

x

e

x�5=

e

2x

e

x�5� e

x

e

x�5,

por propiedades de la exponencial, se obtiene

e

2x

e

x�5= e

2x�(x�5)= e

2x�x+5= e

x+5= e

x

e

5, es decir,

e

2x

e

x�5= e

x

e

5,

de igual manera,e

x

e

x�5= e

x�(x�5)= e

x�x+5= e

5, es decir,

e

x

e

x�5= e

5,

por lo tanto,Z

e

2x � e

x

e

x�5dx =

Z

�

e

x

e

5 � e

5�

dx =

Z

e

5(e

x � 1) dx = e

5

Z

(e

x � 1) dx = e

5(e

x � x+ C1)

= e

5e

x � xe

5+ C = e

x+5 � xe

5+ C.

Luego,Z

e

2x � e

x

e

x�5dx == e

x+5 � xe

5+ C.

F


e

3x � e

2x � 5e

x

+ 2

e

2x � 3e

x

+ 1

dx.

Solución : Es conocido que e

ab

= (e

a

)

b, así,

e

3x � e

2x � 5e

x

+ 2

e

2x � 3e

x

+ 1

=

(e

x

)

3 � (e

x

)

2 � 5e

x

+ 2

(e

x

)

2 � 3e

x

+ 1



Observamos que la expresión del numerador se factoriza como

(e

x

)

3 � (e

x

)

2 � 5e

x

+ 2 = (e

x

+ 2)

⇣

(e

x

)

2 � 3e

x

+ 1

⌘

,

así, el integrando queda

e

3x � e

2x � 5e

x

+ 2

e

2x � 3e

x

+ 1

=

(e

x

+ 2)

⇣

(e

x

)

2 � 3e

x

+ 1

⌘

(e

x

)

2 � 3e

x

+ 1

= e

x

+ 2

y la integral se escribeZ

e

3x � e

2x � 5e

x

+ 2

e

2x � 3e

x

+ 1

dx =

Z

(e

x

+ 2) dx = e

x

+ 2x+ C.

Luego,Z

e

3x � e

2x � 5e

x

+ 2

e

2x � 3e

x

+ 1

dx = e

x

+ 2x+ C.

F


1� e

x

1� e

�x

dx.

Solución : Por propiedad de la función exponencial, se tiene que

e

�x

=

1

e

x

, de aquí, 1� e

�x

= 1� 1

e

x

=

e

x � 1

e

x

,

entonces,1� e

x

1� e

�x

=

1� e

x

e

x � 1

e

x

=

e

x

(1� e

x

)

e

x � 1

=

�ex (ex � 1)

e

x � 1

= � e

x

,

es decir,1� e

x

1� e

�x

= � e

x

.

Al integrarZ

1� e

x

1� e

�x

dx =

Z

� e

x

dx = �Z

e

x

dx = � e

x

+ C.

Luego,Z

1� e

x

1� e

�x

dx = � e

x

+ C.

F


dx

1� e

�3x.


1

1� e

�3x=

1

1� 1

e

3x

=

1

e

3x � 1

e

3x

=

e

3x

e

3x � 1

=)Z

dx

1� e

�3x=

Z

e

3xdx

e

3x � 1

.

Se propone el siguiente cambio de variable

u = e

3x � 1

Cálculo del

��!diferencial

du = 3e

3xdx =) du

3

= e

3xdx,




Entonces, la integral se transforma enZ

dx

1� e

�3x=

Z

e

3xdx

e

3x � 1

=

Z

1

u

du

3

=

1

3

Z

du

u

=

1

3

ln |u|+ C =

1

3

ln

�

�

e

3x � 1

�

�

+ C,

ya que, u = e

3x � 1. Luego,Z

dx

1� e

�3x=

1

3

ln

�

�

e

3x � 1

�

�

+ C.

F


e

x

1 + e

�x

dx.

Solución : Por la propiedad de la exponencial, e

�a

=

1

e

a

, se tiene que

Z

e

x

1 + e

�x

dx =

Z

e

x

1 +

1

e

x

dx =

Z

e

x

e

x

+ 1

e

x

dx =

Z

e

x

e

x

e

x

+ 1

dx.


u = e

x

+ 1 de aquí e

x

= u� 1

Cálculo del

��!diferencial

du = e

x

dx,



e

x

1 + e

�x

dx =

Z

e

x

e

x

e

x

+ 1

dx =

Z

u� 1

u

du =

Z

✓

1� 1

u

◆

du = u� ln |u|+ C

= e

x

+ 1� ln |ex + 1|+ C = e

x � ln |ex + 1|+ C.

Luego,Z

e

x

1 + e

�x

dx = e

x � ln |ex + 1|+ C.

F


dx

5

�x � 1

dx.

Solución : Por la propiedad de la exponencial, 5

�a

=

1

5

a

, se tiene que

Z

dx

5

�x � 1

=

Z

dx

1

5

x

� 1

=

Z

dx

1� 5

x

5

x

=

Z

5

x

dx

1� 5

x

,

como, 5

x

= e

x ln 5, se tieneZ

5

x

dx

1� 5

x

=

Z

e

x ln 5dx

1� e

x ln 5,

se propone el cambio de variable

u = 1� e

x ln 5Cálculo del

��!diferencial

du = �ex ln 5ln 5 dx =) � du

ln 5

= e

x ln 5dx,




Entonces, la integral quedaZ

e

x ln 5dx

1� e

x ln 5= � 1

ln 5

Z

du

u

= � 1

ln 5

ln |u|+ C = � 1

ln 5

ln

�

�

1� e

x ln 5�

�

+ C = � 1

ln 5

ln |1� 5

x|+ C.

puesto que,Z

dx

5

�x � 1

=

Z

5

x

dx

1� 5

x

=

Z

e

x ln 5dx

1� e

x ln 5= � 1

ln 5

ln |1� 5

x|+ C,

se concluye queZ

dx

5

�x � 1

= � 1

ln 5

ln |1� 5

x|+ C.

F


e

x

pe

x � 1

e

x

+ 3

dx.

Solución : Se propone el siguiente cambio de variable

u

2= e

x � 1 de aquí e

x

= u

2+ 1

Cálculo del

��!diferencial

2u du = e

x

dx,



e

x

pe

x � 1

e

x

+ 3

dx =

Z

2u

pu

2

u

2+ 4

du = 2

Z

u

2du

u

2+ 4

de aquí,Z

u

2

u

2+ 4

du =

Z

�

u

2+ 4� 4

�

u

2+ 4

du =

Z

✓

u

2+ 4

u

2+ 4

� 4

u

2+ 4

◆

du

=

Z

✓

1� 4

u

2+ 4

◆

du =

Z

du�Z

4

u

2+ 4

du,

donde,Z

du = u+ C1 =

pe

x � 1 + C1,

mientras que,Z

4

u

2+ 4

du =

Z

4

4

✓

u

2

4

+ 1

◆

du =

Z

1

⇣

u

2

⌘2

+ 1

du,

para resolver la nueva integral se propone el cambio de variable

z =

u

2

Cálculo del

��!diferencial

dz =

1

2

du =) du = 2 dz,

con este nuevo cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integralde tabla.

Se tieneZ

4

u

2+ 4

du =

Z

1

⇣

u

2

⌘2

+ 1

du = 2

Z

1

z

2+ 1

dz = 2arctan z + C2

= 2arctan

⇣

u

2

⌘

+ C2 = 2arctan

✓

pe

x � 1

2

◆

+ C2.



EntoncesZ

e

x

pe

x � 1

e

x

+ 3

dx = 2

Z

u

2du

u

2+ 4

= 2

✓

Z

du�Z

4

u

2+ 4

du

◆

= 2

✓pe

x � 1 + C1 � 2 arctan

✓

pe

x � 1

2

◆

+ C2

◆

= 2

pe

x � 1� 4 arctan

✓

pe

x � 1

2

◆

+ C.

LuegoZ

e

x

pe

x � 1

e

x

+ 3

dx = 2

pe

x � 1� 4 arctan

✓

pe

x � 1

2

◆

+ C

F


(2e

t

+ 1) dt

e

t � 4e

�t

+ 1

.

Solución : Por la propiedad de la exponencial, e

�a

=

1

e

a

, se tiene que

Z

(2e

t

+ 1) dt

e

t � 4e

�t

+ 1

=

Z

(2e

t

+ 1) dt

e

t � 4

e

t

+ 1

=

Z

(2e

t

+ 1) dt

e

2t � 4 + e

t

e

t

=

Z

(2e

t

+ 1) e

t

dt

e

2t � 4 + e

t

=

Z

�

2e

2t+ e

t

�

dt

e

2t � 4 + e

t

.


u = e

2t � 4 + e

t

Cálculo del

��!diferencial

du =

�

2e

2t+ e

t

�

dt,



�

2e

2t+ e

t

�

dt

e

2t � 4 + e

t

=

Z

du

u

= ln |u|+ C = ln

�

�

e

2t � 4 + e

t

�

�

+ C.

Luego,Z

(2e

t

+ 1) dt

e

t � 4e

�t

+ 1

= ln

�

�

e

2t � 4 + e

t

�

�

+ C.

F


lnx dx

x

.

Solución : Se propone el siguiente cambio de variable

u = lnx

Cálculo del

��!diferencial

du =

dx

x

,



lnx

x

dx =

Z

u du =

u

2

2

+ C =

1

2

ln

2x+ C.

Luego,Z

lnx

x

dx =

1

2

ln

2x+ C.

F




ln (3x)

x ln (

3

px)

dx.

Solución : Por las propiedades del logaritmo natural, se puede escribir las expresiones ln (3x) y ln (

3

px)

comoln (3x) = ln 3 + lnx y ln

�

3

px

�

=

1

3

lnx

con lo que, la integral quedaZ

ln (3x)

x ln (

3

px)

dx =

Z

ln (3x)

x ln

�

x

1/3�

dx =

Z

ln 3 + lnx

x lnx

3

dx =

Z

3 (ln 3 + lnx)

x lnx

dx.


u = lnx

Cálculo del

��!diferencial

du =

1

x

dx,



ln (3x)

x ln (

3

px)

dx =

Z

3 (ln 3 + lnx)

x lnx

dx =

Z

3 (ln 3 + u)

u

du = 3

Z

ln 3 + u

u

du = 3

Z

✓

ln 3

u

+

u

u

◆

du

= 3

Z

✓

ln 3

u

+ 1

◆

du = 3

✓

Z

ln 3

u

du+

Z

du

◆

= 3 ln 3 ln |u|+ 3u+ C = ln 27 ln |lnx|+ 3 lnx+ C.

Luego,Z

ln (3x)

x ln (

3

px)

dx = ln 27 ln |lnx|+ 3 lnx+ C.

F


secx dx.

Solución : Se tieneZ

secx dx =

Z

secx

secx+ tanx

secx+ tanx

dx =

Z

sec

2x+ secx tanx

secx+ tanx

dx,


u = secx+ tanx

Cálculo del

��!diferencial

du =

�

secx tanx+ sec

2x

�

dx,


Entonces,Z

secx dx =

Z

sec

2x+ secx tanx

secx+ tanx

dx =

Z

du

u

= ln |u|+ C = ln |secx+ tanx|+ C.

Luego,Z

secx dx = ln |secx+ tanx|+ C.

F




e

x

p4� e

2xdx.

Solución : Por la propiedad de la exponencial e

ab

= (e

a

)

b, se tiene que el integrando se puede escribir

f (x) =

e

x

p4� e

2x=

e

x

q

4� (e

x

)

2,

por otra parte,

e

x

q

4� (e

x

)

2=

e

x

s

4� 4 (e

x

)

2

4

=

e

x

v

u

u

t

4

1� (e

x

)

2

4

!

=

e

x

2

s

1� (e

x

)

2

4

=

e

x

2

s

1�✓

e

x

2

◆2,

así, la integral se escribe

Z

e

x

p4� e

2xdx =

Z

e

x

dx

2

s

1�✓

e

x

2

◆2=

Z

e

x

2

dx

s

1�✓

e

x

2

◆2

se propone el siguiente cambio de variable

u =

e

x

2

Cálculo del

��!diferencial

du =

e

x

2

dx,


Entonces, la integral se transforma en

Z

e

x

p4� e

2xdx =

Z

e

x

2

dx

s

1�✓

e

x

2

◆2=

Z

dup1� u

2= arcsenu+ C = arcsen

✓

e

x

2

◆

+ C.

Luego,Z

e

x

p4� e

2xdx = arcsen

✓

e

x

2

◆

+ C.

F


e

x

(e

x � 2)

e

2x � e

x

+ 1

dx.

Solución : Al completar cuadrado

e

2x � e

x

+ 1 =

✓

e

x � 1

2

◆2

+

3

4

la integral quedaZ

e

x

(e

x � 2)

e

2x � e

x

+ 1

dx =

Z

e

x

(e

x � 2)

✓

e

x � 1

2

◆2

+

3

4

dx.


u = e

x � 1

2

de aquí e

x

= u+

1

2

Cálculo del

��!diferencial

2u du = e

x

dx,




Entonces, la integral se transforma en

Z

e

x

(e

x � 2)

e

2x � e

x

+ 1

dx =

Z

✓

u+

1

2

◆

� 2

u

2+

3

4

du =

Z

u� 3

2

u

2+

3

4

du =

Z

u du

u

2+

3

4

� 3

2

Z

du

u

2+

3

4

,

seanI1 =

Z

u du

u

2+

3

4

y I2 =

Z

du

u

2+

3

4

,

así,

• Para I1 =

Z

u du

u

2+

3

4

, se propone el cambio de variable

z = u

2+

3

4

Cálculo del

��!diferencial

dz = 2u du =) 1

2

dz = u du,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integralde tabla.

EntoncesZ

u du

u

2+

3

4

=

Z

1

2

dz

z

=

1

2

Z

dz

z

=

1

2

ln |z|+ C1 =

1

2

ln

�

�

�

�

u

2+

3

4

�

�

�

�

+ C1.

Por lo tanto,

I1 =

Z

u du

u

2+

3

4

=

1

2

ln

�

�

�

�

u

2+

3

4

�

�

�

�

+ C1.

• Para I2 =

Z

du

u

2+

3

4

. Se expresa la integral como

Z

du

u

2+

3

4

=

Z

du

3

4

✓

4

3

u

2+ 1

◆

=

4

3

Z

du

✓

2up3

◆2

+ 1

.


z =

2up3

Cálculo del

��!diferencial

dz =

2p3

du =)p3

2

dz = du,


Entonces, la integral queda

Z

du

✓

2up3

◆2

+ 1

=

Z

p3

2

dz

z

2+ 1

=

p3

2

Z

dz

z

2+ 1

=

p3

2

arctan z + C2 =

p3

2

arctan

✓

2up3

◆

+ C2,



se tiene queZ

du

u

2+

3

4

=

4

3

Z

du

✓

2up3

◆2

+ 1

=

4

3

p3

2

arctan

✓

2up3

◆

+ C2 =

2

p3

3

arctan

✓

2up3

◆

+ C2,

por lo tanto,

I2 =

Z

du

u

2+

3

4

=

2

p3

3

arctan

✓

2up3

◆

+ C2.

Así,

Z

e

x

(e

x � 2)

e

2x � e

x

+ 1

dx =

Z

u� 3

2

u

2+

3

4

du = I1 �3

2

I2 =

1

2

ln

�

�

�

�

u

2+

3

4

�

�

�

�

� 3

2

2

p3

3

arctan

✓

2up3

◆

+ C

=

1

2

ln

�

�

�

�

u

2+

3

4

�

�

�

�

�p3 arctan

✓

2up3

◆

+ C =

1

2

ln

�

�

�

�

�

✓

e

x � 1

2

◆2

+

3

4

�

�

�

�

�

�p3 arctan

0

B

B

@

2

✓

e

x � 1

2

◆

p3

1

C

C

A

+ C,

ya que, u = e

x � 1

2

,

Luego,Z

e

x

(e

x � 2)

e

2x � e

x

+ 1

dx =

1

2

ln

�

�

e

2x � e

x

+ 1

�

��p3 arctan

✓

2e

x � 1p3

◆

+ C.

F

Ejemplo 153 : Calcular la siguiente integralZ ln 2

0

pe

x � 1 dx.

Solución : Se propone el cambio de variable

u =

pe

x � 1 =) e

x

= u

2+ 1

Cálculo del

��!diferencial

du =

e

x

2

pe

x � 1

dx =) 2u du

u

2+ 1

= dx,



Si x = 0, entonces, u =

pe

0 � 1 =

p1� 1 =

p0 =) u = 0

Si x = ln 2, entonces, u =

pe

ln 2 � 1 =

p2� 1 =

p1 =) u = 1,

la integral quedaZ ln 2

0

pe

x � 1 dx =

Z 1

0

u

2u du

u

2+ 1

= 2

Z 1

0

u

2

u

2+ 1

du = 2

Z 1

0

u

2+ 1� 1

u

2+ 1

du

= 2

Z 1

0

�

u

2+ 1

�

� 1

u

2+ 1

du = 2

Z 1

0

✓

1� 1

u

2+ 1

◆

du = 2

✓

u� arctanu

�

�

�

�

1

0


el límite superior

#


el límite inferior

#= 2

z }| {

((1)� arctan (1))�z }| {

((0)� arctan (0))

!

= 2

h

1� ⇡

4

i

= 2� ⇡

2

.



Luego,Z ln 2

0

pe

x � 1 dx = 2� ⇡

2

.

F

Ejemplo 154 : CalcularZ ln 5

0

e

x

pe

x � 1

e

x

+ 3

dx.


u

2= e

x � 1 =) e

x

= u

2+ 1

Cálculo del

��!diferencial

2u du = e

x

dx,



Si x = 0, entonces, u

2= e

0 � 1 = 1� 1 = 0 =) u = 0

Si x = ln 2, entonces, u

2= e

ln 5 � 1 = 5� 1 = 4 =) u = 2,

la integral quedaZ ln 5

0

e

x

pe

x � 1

e

x

+ 3

dx =

Z 2

0

2u

pu

2

u

2+ 4

du = 2

Z 2

0

u

2du

u

2+ 4

observemos queZ 2

0

u

2du

u

2+ 4

=

Z 2

0

�

u

2+ 4� 4

�

du

u

2+ 4

=

Z 2

0

✓

u

2+ 4

u

2+ 4

� 4

u

2+ 4

◆

du =

Z 2

0

✓

1� 4

u

2+ 4

◆

du =

Z 4

0

du�Z 4

0

4 du

u

2+ 4

dondeZ 2

0

du = 2

yZ 2

0

4

u

2+ 4

du =

Z 2

0

4

4

✓

u

2

4

+ 1

◆

du =

Z 2

0

1

⇣

u

2

⌘2

+ 1

du.

Se propone el cambio de variable

u = z =

u

2

Cálculo del

��!diferencial

dz =

1

2

du,



si u = 0 entonces z =

0

2

=) z = 0

si u = 2 entonces z =

2

2

=) z = 1

entonces, la integral se transforma enZ 2

0

4

u

2+ 4

du =

Z 2

0

1

⇣

u

2

⌘2

+ 1

du = 2

Z 1

0

1

z

2+ 1

dz =

1

2

⇡.



AsíZ 2

0

u

2du

u

2+ 4

=

Z 2

0

✓

1� 4

u

2+ 4

◆

du = 2� 1

2

⇡.

LuegoZ ln 5

0

e

x

pe

x � 1

e

x

+ 3

dx = 2

✓

2� 1

2

⇡

◆

= 4� ⇡.

F


sen (2x) + cosx

sen

2x+ senx� 2

dx.

Solución : Es conocido quesen (2x) = 2 senx cosx,

así, la integral se expresa comoZ

sen (2x) + cosx

sen

2x+ senx� 2

dx =

Z

2 senx cosx+ cosx

sen

2x+ senx� 2

dx.


u = sen

2x+ senx� 2

Cálculo del

��!diferencial

du = (2 senx cosx+ cosx) dx,



sen (2x) + cosx

sen

2x+ senx� 2

dx =

Z

2 senx cosx+ cosx

sen

2x+ senx� 2

dx =

Z

du

u

= ln |u|+ C = ln

�

�

sen

2x+ senx� 2

�

�

+ C.

Luego,Z

sen (2x) + cosx

sen

2x+ senx� 2

dx = ln

�

�

sen

2x+ senx� 2

�

�

+ C.

F


dxpx+

4

px

.


x = t

4Cálculo del

��!diferencial

dx = 4t

3dt =) du

4

= t

3dt,



dxpx+

4

px

=

1

4

Z

t

3dtp

t

4+

4

pt

4=

1

4

Z

t

3dt

t

2+ t

=

1

4

Z

t

3dt

t (t+ 1)

=

1

4

Z

t

2dt

t+ 1

.

Manipulando algebraicamente al integrando obtenemos

t

2

t+ 1

=

t

2 � 1 + 1

t+ 1

=

t

2 � 1

t+ 1

+

1

t+ 1

=

(t� 1) (t+ 1)

t+ 1

+

1

t+ 1

= t� 1 +

1

t+ 1

,



así,Z

t

2dt

t+ 1

=

Z

✓

t� 1 +

1

t+ 1

◆

dt =

Z

t dt�Z

dt+

Z

dt

t+ 1

,

dondeZ

t dt =

t

2

2

+ C1 yZ

dt = t+ C2,

mientras que, paraZ

dt

t+ 1

, se propone el cambio de variable

u = t+ 1

Cálculo del

��!diferencial

du = dt,



dt

t+ 1

=

Z

du

u

= ln |u|+ C3 = ln |t+ 1|+ C3.

Por lo tanto,Z

t

2dt

t+ 1

=

t

2

2

� t+ ln |t+ 1|+ C,

como t =

4

px, tenemos

Z

dxpx+

4

px

=

1

4

Z

t

2dt

t+ 1

=

1

4

t

2

2

� t+ ln |t+ 1|�

+ C =

1

4

"

(

4

px)

2

2

� 4

px+ ln

�

�

4

px+ 1

�

�

#

+ C

=

px

8

�4

px

4

+

1

4

ln | 4

px+ 1|+ C.

Luego,Z

dxpx+

4

px

=

px

8

�4

px

4

+

1

4

ln

�

�

4

px+ 1

�

�

+ C.

F

Ejemplo 157 : Demuestre que e

p

(q � p) < e

q � e

p

< e

q

(q � p), si p < q.

Demostración : Consideremos la función f (x) = e

x definida en el intervalo cerrado [p, q]. Puesto que, lafunción f es continua en todo su dominio y en particular en el intervalo [p, q] y es diferenciable en el intervaloabierto (p, q), entonces el Teorema del valor medio para derivada garantiza que existe un valor c 2 (p, q), talque

e

q � e

p

q � p

= f

0(c) =) e

q � e

p

q � p

= e

c

,

ya que, f

0(x) = e

x.

Por otra parte, como c 2 (p, q), entoncesp < c < q

y en virtud que, la función exponencial natural es una función creciente en todo su dominio, entonces, al aplicarexponencial natural en la desigualdad, la misma no cambia y se obtiene

e

p

< e

c

< e

q

,

de aquí,e

p

<

e

q � e

p

q � p

< e

q

,



como q� p > 0, (ya que, p < q), al multiplicar la desigualdad por q� p la misma no cambia y concluimos que

e

p

(q � p) < e

q � e

p

< e

q

(q � p) .

F

Ejemplo 158 : Demostrar la siguiente identidad hiperbólica

senh (2x) = 2 senhx coshx.

Demostración : Es conocido que

senh (·) = e

(·) � e

�(·)

2

=) senh (2x) =

e

(2x) � e

�(2x)

2

,

lo cual se puede escribir como,

senh (2x) =

e

(2x) � e

�(2x)

2

=

(e

x

)

2 � (e

�x

)

2

2

=

(e

x � e

�x

) (e

x

+ e

�x

)

2

=

(e

x � e

�x

) (e

x

+ e

�x

)

2

,

multiplicamos y dividimos por 2,

senh (2x) = 2

(e

x � e

�x

) (e

x

+ e

�x

)

2 · 2 = 2

e

x � e

�x

2

e

x

+ e

�x

2

= 2 senhx coshx,

es decir,senh (2x) = 2 senhx coshx

F

Ejemplo 159 : Demostrar la identidad hiperbólica

cosh (↵+ �) = cosh (↵) cosh (�) + senh (↵) senh (�) .


cosh (·) = e

(·)+ e

�(·)

2

=) cosh (↵+ �) =

e

(↵+�)+ e

�(↵+�)

2

,

lo cual se puede escribir como,

cosh (↵+ �) =

e

(↵+�)+ e

�(↵+�)

2

=

e

↵

e

�

+ e

�↵

e

��

2

=

2

�

e

↵

e

�

+ e

�↵

e

��

�

4

=

e

↵

�

2e

�

+ e

�� e

��

�

+ e

�↵

�

2e

��

+ e

� � e

�

�

4

=

e

↵

�

e

�

+ e

��

+ e

� � e

��

�

+ e

�↵

�

e

��

+ e

�

+ e

�� e

�

�

4

=

e

↵

�

e

�

+ e

��

�

+ e

↵

�

e

� � e

��

�

+ e

�↵

�

e

��

+ e

�

�

+ e

�↵

�

e

�� e

�

�

4

=

e

↵

�

e

�

+ e

��

�

+ e

↵

�

e

� � e

��

�

+ e

�↵

�

e

�

+ e

��

�

� e

�↵

�

e

� � e

��

�

4

=

(e

↵

+ e

�↵

)

�

e

�

+ e

��

�

+ (e

↵ � e

�↵

)

�

e

� � e

��

�

4

=

(e

↵

+ e

�↵

)

�

e

�

+ e

��

�

4

+

(e

↵ � e

�↵

)

�

e

� � e

��

�

4

=

(e

↵

+ e

�↵

)

2

�

e

�

+ e

��

�

2

+

(e

↵ � e

�↵

)

2

�

e

� � e

��

�

2

= cosh (↵) cosh (�) + senh (↵) senh (�) .



Luego,cosh (↵+ �) = cosh (↵) cosh (�) + senh (↵) senh (�) .

F


senh (↵) senh (�) =

cosh (↵+ �)� cosh (↵� �)

2

.


cosh (↵+ �) = cosh (↵) cosh (�) + senh (↵) senh (�)

ycosh (↵� �) = cosh (↵) cosh (�)� senh (↵) senh (�) ,

entonces(�1)

(

cosh (↵� �) = cosh (↵) cosh (�)� senh (↵) senh (�)


cosh (↵+ �)� cosh (↵� �) = 2 senh (↵) senh (�) ,

de aquí, se obtiene la identidad hiperbólica


cosh (↵+ �)� cosh (↵� �)

2

.

F


tanh (lnx) =

x

2 � 1

x

2+ 1

.


tanh (·) = senh (·)cosh (·) =

e

(·) � e

�(·)

e

(·)+ e

�(·) =) tanh (lnx) =

e

(ln x) � e

�(ln x)

e

(ln x)+ e

�(ln x),

como las funciones logaritmo natural y exponencial natural son inversas entre sí, se tiene que si x 2 (0,1)

e

ln x

= x, mientras que e

� ln x

= e

ln x

�1

= x

�1=

1

x

,

así,

tanh (lnx) =

x� 1

x

x+

1

x

=

x

2 � 1

x

x

2+ 1

x

=

x

2 � 1

x

2+ 1

.

Por lo tanto,

tanh (lnx) =

x

2 � 1

x

2+ 1

.

F

Ejemplo 162 : Si x = ln (sec ✓ + tan ✓), demuestre que sec ✓ = coshx.

Demostración : Como x = ln (sec ✓ + tan ✓), aplicando la función inversa de la función logaritmo natural,es decir, la función exponencial natural, se tiene

x = ln (sec ✓ + tan ✓) =) e

x

= e

ln(sec ✓+tan ✓)=) e

x

= sec ✓ + tan ✓,



de aquí,

e

x

= sec ✓ + tan ✓ =

(sec ✓ + tan ✓)

2

sec ✓ + tan ✓

=

sec

2✓ + 2 sec ✓ tan ✓ + tan

2✓

sec ✓ + tan ✓

=

sec

2✓ + 2 sec ✓ tan ✓ + sec

2✓ � 1

sec ✓ + tan ✓

=

2 sec

2✓ + 2 sec ✓ tan ✓ � 1

sec ✓ + tan ✓

=

2 sec

2✓ + 2 sec ✓ tan ✓

sec ✓ + tan ✓

� 1

sec ✓ + tan ✓

=

2 sec ✓ (sec ✓ + tan ✓)

sec ✓ + tan ✓

� 1

sec ✓ + tan ✓

= 2 sec ✓ � 1

sec ✓ + tan ✓

,

por lo tanto,e

x

= 2 sec ✓ � 1

sec ✓ + tan ✓

=) e

x

+

1

sec ✓ + tan ✓

= 2 sec ✓,

pero, como e

x

= sec ✓ + tan ✓, tiene que1

sec ✓ + tan ✓

=

1

e

x

= e

�x

,

luego2 sec ✓ = e

x

+

1

sec ✓ + tan ✓

= e

x

+ e

�x

=) 2 sec ✓ = e

x

+ e

�x

.

Así,

sec ✓ =

e

x

+ e

�x

2

= coshx.

F


x senh (lnx) dx.


senh (·) = e

(·) � e

�(·)

2

, así, senh (lnx) =

e

ln x � e

� ln x

2

,

puesto que, las funciones exponencial y logaritmo natural son funciones inversas entre sí, es decir,

e

ln(·)= (·) y ln

⇣

e

(·)⌘

= (·)

se tiene quee

ln x

= x,

por otra parte, por la propiedad del logaritmo de una potencia, es decir, ln a

b

= b ln a, se obtiene que

� lnx = ln

�

x

�1�

, por lo tanto, e

� ln x

= e

ln(

x

�1

)

= x

�1=

1

x

,

entonces, el seno hiperbólica del logaritmo natural de x se escribe como

senh (lnx) =

x� 1

x

2

=

1

2

✓

x� 1

x

◆

de aquí,x senh (lnx) =

1

2

�

x

2 � 1

�

Al integrarZ

x senh (lnx) dx =

Z

1

2

�

x

2 � 1

�

dx =

1

2

Z

�

x

2 � 1

�

dx =

1

2

✓

x

3

3

� x

◆

+ C.

Luego,Z

x senh (lnx) dx =

x

3

6

� x

2

+ C.

F



Ejemplo 164 : IntegrarZ p

x cosh (2 lnx) dx.

Solución : Es conocido que, 2 lnx = ln

�

x

2�

, entonces

cosh (2 lnx) = cosh

�

ln

�

x

2��

y puesto que,

cosh (·) = e

(·)+ e

�(·)

2

=) cosh

�

ln

�

x

2��

=

e

ln(

x

2

)

+ e

� ln(

x

2

)

2

,

de aquí,

cosh

�

ln

�

x

2��

=

e

ln(

x

2

)

+ e

� ln(

x

2

)

2

=

e

ln(

x

2

)

+ e

ln(

x

�2

)

2

=

x

2+ x

�2

2

,

así,Z p

x cosh (2 lnx) dx =

Z px

x

2+ x

�2

2

dx =

1

2

Z

x

1/2�

x

2+ x

�2�

dx =

1

2

Z

⇣

x

5/2+ x

�3/2⌘

dx

=

1

2

0

B

@

x

7/2

7

2

+

x

�1/2

�1

2

1

C

A

+ C =

x

7/2

7

� x

�1/2+ C =

x

7/2

7

� 1

x

1/2+ C =

x

8 � 1

7

px

+ C.

Luego,Z p

x cosh (2 lnx) dx =

x

8 � 1

7

px

+ C.

F


tanh (lnx) dx.

Solución : Por el ejemplo anterior (ver ejemplo 161) se tiene que

tanh (lnx) =

x

2 � 1

x

2+ 1

,

con lo queZ

tanh (lnx) dx =

Z

x

2 � 1

x

2+ 1

dx =

Z

x

2+ 1� 1� 1

x

2+ 1

dx =

Z

�

x

2+ 1

�

� 2

x

2+ 1

dx

=

Z

✓

x

2+ 1

x

2+ 1

� 2

x

2+ 1

◆

dx =

Z

✓

1� 2

x

2+ 1

◆

dx = x� 2 arctanx+ C.

Luego,Z

tanh (lnx) dx = x� 2 arctanx+ C.

F

Ejemplo 166 : CalcularZ 1

�1

2x+ senhx

1 + x

2dx.

Solución : Puesto que, el intervalo de integración es un intervalo simétrico, es conveniente estudiar la simetría

del integrando, es decir, verifiquemos si la función f (x) =

2x+ senhx

1 + x

2es una función par, una funcón impar o

no presenta simetría, así,

f (�x) = 2 (�x) + senh (�x)1 + (�x)2

=

�2x� senhx

1 + x

2= �2x+ senhx

1 + x

2= �f (x) ,



por lo que, la función f es impar, de aquí, concluimos queZ 1

�1

2x+ senhx

1 + x

2dx = 0.

F

Ejemplo 167 : Graficar la función f (x) = exp

✓

x

x� 1

◆

, hallando

1. Dominio 2. Punto de corte con los ejes 3. Valor(es) máximo(s)4. Valor(es) mínimo(s) 5. Intervalo(s) de decrecimiento 6. Intervalo(s) de crecimiento7. Concavidad hacia arriba 8. Concavidad hacia abajo 9. Puntos de inflexión10. Asíntota horizontal 11. Asíntota vertical 12. Asíntota oblicua

Solución : 1. Dominio : La función f tiene sentido cuando x� 1 6= 0, así,

Dom f : R� {1}

2. Puntos de cortes con los ejes :

Eje x : Resolvemos la ecuación exp

✓

x

x� 1

◆

= 0, como la función exponencial natural siempre es mayor

que cero concluimos que no hay punto de corte con el eje x.

Eje y : y0 = exp

✓

(0)

(0)� 1

◆

= e

0= 1, así, el punto de corte con el eje y es (0, 1).

3.� 6. Monotonía : Derivamos y estudiamos el signo de la primera derivada

f

0(x) =

exp

✓

x

x� 1

◆�0= exp

✓

x

x� 1

◆

x

x� 1

�0= exp

✓

x

x� 1

◆

[x]

0(x� 1)� x [x� 1]

0

(x� 1)

2

= exp

✓

x

x� 1

◆

x� 1� x

(x� 1)

2 = � 1

(x� 1)

2 exp

✓

x

x� 1

◆

,

puesto que, la función exponencial natural siempre es positiva al igual que la expresión (x� 1)

2, podemos concluirque la primera derivada de f siempre es negativa, por lo tanto,

Creciente en : Ningún intervalo. Decreciente en : R� {1}.

Valor mínimo : No tiene. Valor máximo : No tiene.

7.� 9. Concavidad : Calculamos la segunda derivada y estudiamos su signo.

f

00(x) = [f

0(x)]

0=

"

� 1

(x� 1)

2 exp

✓

x

x� 1

◆

#0

= �"

1

(x� 1)

2 exp

✓

x

x� 1

◆

#0

,

así,

f

00(x) = �

"

1

(x� 1)

2

#0

exp

✓

x

x� 1

◆

+

1

(x� 1)

2

exp

✓

x

x� 1

◆�0!

= �"

�2(x� 1)

3 exp

✓

x

x� 1

◆

+

1

(x� 1)

2

� 1

(x� 1)

2 exp

✓

x

x� 1

◆

!#

=

1

(x� 1)

3 exp

✓

x

x� 1

◆

2 +

1

x� 1

�

=

1

(x� 1)

3 exp

✓

x

x� 1

◆

2x� 1

x� 1

�

,



con lo que,

f

00(x) =

2x� 1

(x� 1)

4 exp

✓

x

x� 1

◆

,

estudiamos el signo de la segunda derivada, observemos que las expresiones exp

✓

x

x� 1

◆

y (x� 1)

4 son siempre

positivas, por lo tanto, el signo de f

00 vendrá dado por el signo de la expresión 2x� 1, de aquí,

2x� 1 > 0 () x >

1

2

,

entonces, f

00> 0, si x 2

✓

1

2

,1◆

� {1}, luego, f

00< 0, si x 2

✓

�1,

1

2

◆

Concava hacia arriba :✓

1

2

,1◆

� {1}. Concava hacia abajo :✓

�1,

1

2

◆

.

Punto de inflexión :✓

1

2

, f

✓

1

2

◆◆

=

✓

1

2

, exp

✓ 12

12 � 1

◆◆

=

✓

1

2

,

1

e

◆

.

10.� 12. Comportamiento asintótico : Asíntota horizontal :

lim

x!1exp

✓

x

x� 1

◆

= exp

✓

lim

x!1

x

x� 1

◆

,

el límite se puede introducir en la función exponencial natural por ser esta una función continua, observemos queel nuevo límite,

lim

x!1

x

x� 1

tiene una indeterminación de la forma11 ,

así, que podemos aplicar la regla de L’Hospital para calcular el límite

lim

x!1

x

x� 1

L0H= lim

x!1

[x]

0

[x� 1]

0 = lim

x!1

1

1

= 1,

entonceslim

x!1exp

✓

x

x� 1

◆

= e,

de forma análoga,

lim

x!�1exp

✓

x

x� 1

◆

= e

por lo tanto, f tiene asíntota horizontal en y = e.

Asíntota vertical : Existen un candidato, x = 1

Para x = 1, como la función exponencial es continua, se tiene

lim

x!1f (x) = lim

x!1exp

✓

x

x� 1

◆

= exp

✓

lim

x!1

x

x� 1

◆

,

donde,lim

x!1

x

x� 1

Indefinido,

así,

lim

x!1

x

x� 1

= lim

x!1

1

x� 1

x

%

&

lim

x!1�

1

x� 1

x = �1

lim

x!1+

1

x� 1

x =1.



entonces,

lim

x!1exp

✓

x

x� 1

◆

= exp

✓

lim

x!1

1

x� 1

x

◆ %

&

exp

✓

lim

x!1�

1

x� 1

x

◆

= e

�1= 0

exp

✓

lim

x!1+

1

x� 1

x

◆

= e

1=1,

luego, x = 1 es asíntota vertical de f por la derecha.

Asíntota oblicua : Tenemos que

m = lim

x!1

f (x)

x

= lim

x!1

exp

⇣

x

x�1

⌘

x

= 0,

ya que, el numerador tiende a e, cuando x!1, mientras que, el denominador tiende a infinito cuando x!1,por lo tanto, m = 0, así, f no tiene asíntota oblicua, como era de esperarse, ya que, la función tiene asíntotahorizontal en el +1 y en �1. Un razonamiento análogo para cuando x! �1.

Grafica de f

Grafica de f (x) = exp

✓

x

x� 1

◆

.F

Ejemplo 168 : Graficar la función f (x) = 3� |csch (lnx) + 2x|, hallando

1. Dominio 2. Punto de corte con los ejes 3. Valor(es) máximo(s)4. Valor(es) mínimo(s) 5. Intervalo(s) de decrecimiento 6. Intervalo(s) de crecimiento7. Concavidad hacia arriba 8. Concavidad hacia abajo 9. Puntos de inflexión10. Asíntota horizontal 11. Asíntota vertical 12. Asíntota oblicua

Solución : Consideremos la función

g (x) = csch (lnx) + 2x =

1

senh (lnx)

+ 2x

1. Dominio : La función g tiene sentido cuando

Condición 1 (dada por el ln (·)) : x > 0 =) x 2 (0,1)

Condición 2 (dada por la csch (·)) : senh (lnx) 6= 0 =) x 2 R� {�1, 0, 1} ,

Resolvemos la condición 2, se tiene que

senh (lnx) =

e

ln x � e

� ln x

2

=

x� e

ln x

�1

2

=

x� x

�1

2

=

x� 1x

2

=

x

2 � 1

2x

con x 6= 0,



por lo tanto,

senh (lnx) 6= 0 () x

2 � 1

2x

con x 6= 0 () x 6= ±1 y x 6= 0,

así, el dominio de g es (0,1)� {1}, además

g (x) = csch (lnx) + 2x =

2x

x

2 � 1

+ 2x =

2x

3

x

2 � 1

=) g (x) =

2x

3

x

2 � 1

2. Puntos de cortes con los ejes :

Eje x :2x

3

x

2 � 1

= 0 () x = 0, pero 0 /2 Dom g, por lo tanto, no hay punto de corte con el eje x.

Eje y : Como 0 /2 Dom g, no hay punto de corte con el eje y.

3.� 6. Monotonía : La derivada de g (x) =

2x

3

x

2 � 1

, es

g

0(x) =

2x

3

x

2 � 1

�0

= 2

x

3

x

2 � 1

�0

= 2

⇥

x

3⇤0 �

x

2 � 1

�

� x

3⇥

x

2 � 1

⇤0

(x

2 � 1)

2 =

2x

2�

x

2 � 3

�

(x+ 1)

2(x� 1)

2

Estudiamos el signo de g

0

(0, 1)

�

1,

p3

� �

p3,1

�

x�p3 � � +

x+

p3 + + +

x

2+ + +

(x� 1)

2+ + +

(x+ 1)

2+ + +

g

0 � � +

g & & %

Creciente en :�

p3,1

�

.

Decreciente en :�

0,

p3

�

� {1} .

Valor mínimo :�

p3, g

�

p3

��

=

�

p3, 3

p3

�

.

"

g

�

p3

�

=

2

�

p3

�

�

p3

�2 � 1

+ 2

�

p3

�

= 3

p3

#

Valor máximo :Notiene.

7.� 9. Concavidad : La segunda derivada viene dada por

g

00(x) =

"

2x

2�

x

2 � 3

�

(x+ 1)

2(x� 1)

2

#0

=) g

00(x) =

4x

�

x

2+ 3

�

(x+ 1)

3(x� 1)

3

Estudiamos el signo de g

00

(0, 1) (1,1)

4x + +

x

2+ 3 + +

(x� 1)

3 � +

(x+ 1)

3+ +

g

00 � +

g _ ^

Concava hacia arriba : (1,1) .

Concava hacia abajo : (0, 1) .

Punto de inflexión : No tiene.



10.� 12. Comportamiento asintótico :

Asíntota horizontal :

lim

x!1g (x) = lim

x!1

2x

3

x

2 � 1

=1 =) no hay asíntota horizontal.

Observemos que no se estudia el comportamiento de la función g para cuando x! �1, ya que, el dominiode la función es (0,1)� {1}.

Asíntota vertical : Existen dos candidatos, x = 0 y x = 1

Para x = 0, por la derecha.

lim

x!0+g (x) = lim

x!0+

2x

3

x

2 � 1

= 0

por lo tanto, x = 0 no es asíntota vertical.

Para x = 1

lim

x!1g (x) = lim

x!1

2x

3

x

2 � 1

Indefinido,

así,

lim

x!1

2x

3

x

2 � 1

= lim

x!1

1

(x� 1)

2x

3

x+ 1

%

&

lim

x!1�

1

(x� 1)

2x

3

x+ 1

= �1

lim

x!1+

1

(x� 1)

2x

3

x+ 1

=1.

luego, x = 1 es asíntota vertical.

Asíntota oblicua : Tenemos que

m = lim

x!1

g (x)

x

= lim

x!1

2x

3

x

2 � 1

x

= lim

x!1

2x

3

x

3 � x

= 2,

mientras que,

lim

x!1(g (x)�mx) = lim

x!1

✓

2x

3

x

2 � 1

� 2x

◆

= lim

x!1

✓

2x

x

2 � 1

◆

= 0,

luego, la recta y = 2x es una asíntota oblicua.

Grafica de g : g (x) = csch (lnx) + 2x.

Grafica de la función g (x) = csch (lnx) + 2x.

La grafica de f se obtiene a partir de esta grafica de la siguiente manera



Grafica de f : Reflejando la grafica de g respecto al eje x y trasladando tres unidades verticalmente,tenemos que f (x) = 3� |csch (lnx) + 2x|

Grafica de la función f (x) = 3� |csch (lnx) + 2x|. F

Ejercicios

1. Considere la expresión f (x) =

Z

x

1

1

t

dt.

(a) Obtenga el intervalo de definición para f (Dominio)(b) Hallar f (1).(c) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f .(d) Hallar los valores extremos de f .(e) Estudiar la concavidad de f .(f) Esbozar una gráfica para f .

2. Demuestre que la primera derivada de la función f (x) = e

x, es f

0(x) = e

x.

3. Resuelva las siguientes ecuaciones

1. e

x+1= 2 2. 7

3x(x�1)= 1 3. ln (x� 1)

2= 2 4. ln (x+ 1)� ln (x+ 3) = ln 2

5. 2

x+1= 5 6. e

ln(

x

4�7)

= 9 7. ln

✓

t+ 1

t

2+ 1

◆

= 0 8. ln

px+ 1 + ln

px� 1 = 0

9. 3

x+1= 81 10. ln

2x� 4 = 0 11. 1 + ln

�

x

2�

= 0 12. lnx+ ln (x+ 2) = ln

�

x

2+ 4

�

13. e

2 ln t

= 4 14. e

ln(

x

2+1)

= 10 15. ln

⇣

e

x

2�7⌘

= 9 16. ln (2x+ 1) = ln

�

x

2 � 14

�

17. e

t

3�4t= 1 18. 8� ln

3x = 0 19. e

3 ln x

= 8 20. ln

�

x

2 � 2

�

� ln (x+ 4) = ln (�x)

21. 4

x+6= 64 22. 64� ln

2x = 0 23. 3 + ln

�

x

4�

= 0 24. ln

2x� 3 lnx+ 2 = 0

25. 2

3x+1= 5 26. e

ln(

x

4+1)

= 17 27. ln

⇣

e

13�t

2

⌘

= 4 28. 5

|x�1|+|3�x|= 25

29. 4

x � 4

�x

= 2 30. 3

2x+1= 5

3x�131. log3 (x� 1)� log3 (x+ 2) = 2

32. log2 (x+ 1) + log2 (3x� 5) = log2 (5x� 3) + 2 33. e

2x2�7x+3= 1 34. 2

3x+1= 3

2�x



4. Hallar y graficar el conjunto solución en cada caso

1. 3

x+1 � 81 2. 2

x

2�x

< 2

63. lnx

2 � lnx < 0 4. ln (x+ 3)� 1 � 0

5. 7

3x(x�1) 1 6. 6 + lnx

3> 0 7. e

x+3 � e

�x 0 8. ln

�

x

2+ 1

�

� lnx � ln 2

9. 2

|x2�2|> 4 10. lnx

4 lnx 11. e

t(t+6) � e

3+4t12. ln (2x+ 1) � ln

�

x

2 � 14

�

13. e

pt

2�t

> 1 14. 8� ln

3x < 0 15.

✓

1

3

◆

x�1

< 27 16. exp

✓

2

x� 3

◆

� exp (�x) � 0

17. 5

t

2�11>

1

25

18. 1� e

x

2+x

> 0 19. ln (t� 1)

2< 0 20. ln

�

x

2+ 6x

�

� ln (3 + 4x)

21. ln (x� 2) + ln (x+ 3) < ln (x� 5) 22. 10

3x�2�x

2 1 23. ln 2x < ln

�

x

2 � 3x� 4

�

24. 3

t

4�3t2<

1

9

25. ln

⇣

e

t

2+16⌘

� 8 26. 2 ln (t� 1) ln (t+ 3) + ln t

27. ln

�

x

2 � 2

�

� ln (x+ 4) ln (�x) 28.

2

|x2

+2x�3|

4

|x| � 8 29.

✓

1

2

◆

t

3�4t

� 1

30. ln

�

x

2 � 2

�

ln (4x� 5) 31. 5

|t�1|+|3�t|> 25 32. lnx� ln (x+ 2) < ln (x� 1)

33.

4

|x+2|

2

|x�1| 16 34. ln

�

t

3+ 2t

2+ t

�

� 2 ln t � ln (t� 2) 35. 2

3x+1< 3

2�x

5. Determine el dominio de la función

1. f (x) = ln (x� 1) 2. g (x) =

p1� e

x

2+x

3. h (x) =

p

ln (x+ 3)� 1

4. g (x) = 2

x

+ lnx 5. f (x) =

plnx� 1

e

x � lnx

6. f (x) = ln

✓

x� 2

x+ 3

◆

7. h (x) =

ln

�

x�5x

�

ln (x� 1)

8. f (x) =

1

e

x � 1

9. f (x) =

pe

x+1 � 1

p

1� ln (x+ 1)

10. g (x) =

ln (x� 1)px

2 � 9

11. f (x) =

px

1� lnx

12. g (x) =

p

e

px

2+5x+6

13. h (x) = (2� e

x

)

�114. h (t) = ln

�

�

9� t

2�

�

15. g (t) = ln

�

3

pt

2 � 3� 2

�

16. g (x) =

e

px

2+x

x

17. f (x) =

1

1� e

x

2+x

18. f (x) = ln

✓

x� 5

x

2 � x

◆

19. f (t) = e

pln(�t)

20. f (t) =

1

1� e

t

2�2t21. g (x) = e

ln(

x

2�x�6)

22. h (x) = ln (3x� 2) 23. f (x) = e

px

2+5x+624. l (t) = e

pt

2+2t�3

25. f (x) =

p2� x

3

lnx� 3

26. f (x) =

ln

�

4� x

2�

pe

x � 1

27. h (t) =

ln (5� e

t

)

4

p�t� 1

28. g (x) =

px

2 + lnx

29. f (t) = ln

�

�

2� t

2�

�

30. f (x) =

e

x � 5

x

ln

2x� 3 lnx+ 2

31. f (x) =

ln

�

8�x

x

�

ln (x� 2)

32. g (x) =

ln (lnx)plnx

33. f (x) =

3

x � ln

�px� 5

�

� 2

p7� 2x

34. h (x) =

p

ln (�x)�pe

�x � 2

ln |x+ 2|� 1

35. f (t) =

p8� t

3

ln (2t� 3)

36. f (x) =

4

plnx� 1

e

x � lnx



37. f (t) =

p1� e

t

2�t

38. g (x) =

e

px

+ ln

�

x

2 � 1

�

x

4 � 16

39. g (x) =

e

3�x

p

3� ln (x+ 2)

40. h (x) =

pplnx� 1

e

x

2+2x � e

3x+641. f (x) = exp

✓

p2� x

4

px

2 � x

◆

42. h (x) =

e

x+1

p

1� ln (x+ 1)

43. f (x) = ln

�

1�px+ 3

�

44. g (x) = e

�x � ln

�

x

3 � 1

�

45. h (x) =

p

ln (4 + x)� 1

46. g (x) =

s

e

x+1 � 1

1� ln (x+ 1)

47. f (x) =

p4� 2

|3x|�|x+1|

e

x � lnx

� 3

s

e

x

+

plnx

4x� x

3

48. f (x) = ln

�

x

2 � x� 6

�

+ ln

�

x

3 � x

�

49. f (x) = ln

��

x

2 � x� 6

� �

x

3 � x

��

50. f (x) = ln

�

x

2 � x� 6

�

� ln

�

x

3 � x

�

51. f (x) = ln

✓

x

2 � x� 6

x

3 � x

◆

52. f (x) =

ln

⇣

x

x�5

⌘

ln (4� 3x)

53. f (x) =

lnx� ln (x� 5)

ln (4� 3x)

54. f (x) =

ln (4� 3x)

ln

�

x�5x

�

55. f (x) =

s

ln

✓

x

x� 2

◆

+ arcsen

✓

x

2

5x+ 6

◆

56. f (x) =

r

1

4

� 2

x

arccos

✓

log

x

x� 1

◆

57. f (x) =

ln

�

1� x

2�

� ln (x+ 5)

px� x

258. f (x) =

p

ln (x

2+ 6x)� ln (3 + 4x)

8� ln

3x

59. g (x) =

p

ln

2x� 4 60. f (x) =

4

p3

x+1 � 81

ln

2x� 3 lnx+ 2

61. f (x) =

p

ln (2x+ 1)� ln (x+ 3)

3

pe

3 ln x � 8

6. Hallar el rango de las siguientes funciones

1. f (x) = ln (2� x)� lnx 2. f (x) = e

2x � 2e

x

+ 6 3. f (x) = 4

x � 2

x+1+ 6

4. f (x) =

e

x

+ 5

e

x

5. f (x) =

3� 4e

x

e

x

+ 7 6. f (x) = ln (3� x)� ln (1 + x)

7. Demuestre que la primera derivada de la función f (x) = a

x, con a > 0 y a 6= 1, es f

0(x) = a

x

ln a.

8. Demuestre que la primera derivada de la función f (x) = log

a

x, con a > 0 y a 6= 1, es f

0(x) =

1

x ln a

.

9. Demuestre que si f (x) = ln |x|, entonces f

0(x) =

1

x

.

10. Demuestre que si f (x) = log

a

|x|, entonces f

0(x) =

1

x ln a

, con a > 0 y a 6= 1.

11. Hallar la primera derivada de las siguientes funciones

1. f (x) = e

2x�32. f (x) = ln (2x� 3) 3. f (x) = 3

sen x

4. f (x) = e

tan x

ln (senx)

5. f (x) =

sen (lnx)

3

x

2

6. f (x) =

plnx+ ln (

px) 7. f (x) = e

px

+

pe

x

8. f (x) =

3

2x � ln (x+ 4

x

)

x+ 1

9. f (x) =

s

ln (e

x � 2)

sec (e

x � 2)

10. f (x) = ln (4

x � 2

x

+ 1)

11. f (x) = e

ln2

x�ln x+312. f (x) = ln

⇣

x

e

x

+ 4

⌘

13. f (x) = log5 (cscx) ln (e

x � 5

x

)

14. f (x) = log2 (3x � 5)� log3 (5� e

x

) 15. f (x) = sen

✓

x e

x

lnx

◆

� cos

✓

log4 x

x

25

sen(3x)

◆



12. Hallar la primera derivada de las siguientes funciones usando derivación logarítmica

1. f (x) = x

3x2. f (x) = x

3

px

3. f (x) = (senx)

px

4. f (x) =

�

ln

�

x

2 � 5

��2x+3

5. f (x) = 5x

3 ln x

6. f (x) =

p

sec (x

x

) 7. f (t) =

5

pte

t

csc t

!ln t

8. f (x) =

x senx

e

x

(x� 2)

9. f (t) =

e

t

pt

5+ 2

(t+ 1)

4(t

2+ 3)

2 10. f (x) =

�

x

3+ 1

�4sen

2x

3

px

11. f (x) =

x

45

psenx lnx

e

x

cos (lnx)

12. f (x) =

3

tan x

x

cos xtanx

x

3pe

2xsen 2x

13. f (x) =

e

px sen x

lnx

x

3(cosx)

x�1cotx

14. f (t) =

3

t

2�7(sen t)

t

2

ln

�

p2t cos t

�

!

t

4

15. f (t) =

(t+ 1)

4(t� 5)

3

(t� 3)

8 +

�

t

2+ 1

�sen t

16. f (x) =

�

x

4 � 2

�tan x

+ (tanx)

x

4�2

17. f (t) =

r

t

2+ 1

t+ 1

+ ln

�

t

4+ 4

�

pt

3 � 1

sen

2t

!

18. f (x) =

�

3x

4 � e

x

�

pln x � (lnx)

e

x

e

x

4

p3� x

2

19. f (x) = ln

e

4xp3� x

4

ln (cos 3x)

!

� (3

sec x)

x

x

20. f (x) = exp

✓

x

5ln (cosx� 1)

x

6sen

px ln (4 cscx)

◆

21. f (x) = x

sen x

22. f (x) = ln

✓

5x

3

x

4+ 6

+ x

◆

23. f (x) = (senx)

ln x

+ 2

3x � x

log3

(4x)

13. Calcular los siguientes límites, si existen

1. lim

x!1

senx

e

2x2. lim

x!1

x

2+ x

e

x

3. lim

h!0

e

x+h � e

x

h

4. lim

u!e

2

ln

2u� 4 lnu+ 4

ln

2u� 4

5. lim

x!1

5

x � 3

2

x

+ 4

6. lim

x!0

senx

e

3x � 1

7. lim

h!0

a

x+h � a

x

h

8. lim

t!1(ln t� ln (3t� 1))

9. lim

x!1(ln (x+ 1)� ln (x� 1)) 10. lim

x!0sen

✓

ln (cos 3x)

e

x � e

�x

◆

11. lim

x!1

x

4cosx+ senx

1 + e

x

12. lim

x!1

�

ln

�

x

2 � 2

�

� ln

�

2x

2+ 5

��

13. lim

x!0

e

2x+ 6e

x � 7

e

x � 1

14. lim

x!1

lnx

1 + ln

2x

15. lim

x!1ln

�

x

2+ e

�x

�

16. lim

x!�1ln

�

x

2+ e

�x

�

17. lim

h!0

ln (x+ h)� lnx

h

18. lim

h!0

log

a

(x+ h)� log

a

x

h

19. lim

x!0+

lnx

1 + ln

2x

20. lim

x!0

3

2x+1 � 3

x+2+ 6

3

x+1 � 3

21. lim

x!1

lnx� ln (3x� 2) + 3e

�x

ln (2x

3+ x� 2)� ln (x� 2x

2+ 3x

3)

22. lim

x!1

x senx� 3 cosx+ 4

3 + 4

x

23. lim

n!1

n

X

k=1

ln

✓

1 +

1

k

◆

24. lim

n!1

n

X

k=1

ln

✓

k

k + 2

◆

25. lim

n!1

n

X

k=1

�

e

�k � e

�k�1�

14. Dado que

lim

x!1

✓

1 +

1

x

◆

x

= e,

calcular, si existen, los siguientes límites

1. lim

x!0(1 + x)

1/x2. lim

x!1

✓

1� 1

x

◆

x

3. lim

x!1

✓

1� 5

x

◆

x

4. lim

x!1

✓

1 +

3

x

◆

x

5. lim

x!1

✓

1 +

2

x

◆

x

6. lim

x!1

⇣

1 +

a

x

⌘

x

7. lim

x!1

✓

3x

3x+ 5

◆

x

8. lim

x!1

✓

ax

2

ax

2+ 5

◆

x

2



15. Escriba como una integral definida el siguiente límite y luego evalue

lim

n!1

3

ne

2

⇣

e

6/n+ e

12/n+ e

18/n+ e

24/n+ · · ·+ e

2⌘


lim

n!1

e

1/n2

n

2

⇣

e

�2/n2

+ 2e

�5/n2

+ 3e

�10/n2

+ · · ·+ ne

�1�1/n2

⌘


lim

n!1

✓

ln (n+ 1)� lnn

n+ 1

+

ln (n+ 2)� lnn

n+ 2

+

ln (n+ 3)� lnn

n+ 3

+ · · ·+ ln (2)

2n

◆

18. Demuestre que f (x) =

x

e

x � 1

� ln (1� e

�x

) es una función decreciente para x > 0.

19. Derive implicitamente, dy/dx, las siguientes curvas

1. 3e

x

+ xy = 40 + e

y

2

2. x

2y + y

2= ln (xy) 3.

e

3xy � e

x

2

x+ y

= 1 4. e

x

= y

2 � 2

y

5. x

4 � 6x

ln y

= y

4 � 1 6. e

px

+ e

py

= e

p2

7.

sen

�

xy

2�

2

y

= 1 8. 5e

xy

= 2

y�1

9. 3

x

+ xy � y

x

2

= 20 10. (3

y � 1)

2= 4

(x+2)11. y

3+ e

y � x ln

�

x

2y + x

2y

2�

= y

12. e

x

2+y

2

+ 2y = x

213.

tan (x2

y

)

e

x � e

y

= 2

x

14.

ln (e

x

+ y)

log2 y � 2x

3= e

xy

15.

ln y

lnx

= cos e

xy

16. e

px � e

x ln y

+ ln (3� 2

y

) = 2

x

17.

r

log3 x� log5 y

5

x � 3

y

= y

418.

px ln y �py lnx = e

xy

20. Deduzca la ecuación de la recta tangente a la curva (x� y)

2= e

xy en el punto P (1, 0).

21. Demuestre que las funciones f y g son funciones inversas entre sí,

1. f (x) = ln (x� 1) y g (x) = e

x

+ 1 2. f (x) =

3

x

+ 3

�x

3

x � 3

�x

y g (x) =

1

2

log3

✓

1 + x

x� 1

◆

22. Considere f (x) =

a

x � 1

a

x

+ 1

para a fija, a > 0, a 6= 1. Demuestre que f tiene inversa y encuentre una

fórmula para y = f

�1(x).

23. Para las funciones dadas a continuación

1. f (x) =

e

x � e

�x

2

2. f (x) =

e

x

+ e

�x

2

3. f (x) =

e

x � e

�x

e

x

+ e

�x

4. f (x) =

2

e

x � e

�x

5. f (x) =

2

e

x

+ e

�x

6. f (x) =

e

x

+ e

�x

e

x � e

�x

Hallar

a. Dominio de f b. Puntos de cortes c. Crecimiento

d. Decrecimiento e. Valor(es) extremo(s) f. Concavidad

g. Punto(s) de inflexión h. Asíntota horizontal i. Asíntota vertical

j. Asíntota Oblicua k. Grafica de la función f l. Existencia función inversa

m. Dominio de f

�1 n. Función inversa, si existe o. Grafica de la función f

�1



24. La ecuación e

x

= 1+ x evidentemente tiene una raíz, x = 0. Demostrar que esta ecuación no puede tenerotra raíz real.

25. Demuestre que e

p

(q � p) < e

q � e

p

< e

q

(q � p), si p < q.

26. Demuestre quex

1 + x

ln (1 + x) x, para x � 0.

27. Demuestre que: 1. ln (x) < x si x > 0 2. e

x

> 1 + x, si x 6= 0 3. e

x

> ex si x > 1.

28. Calcule el c para el cual se tiene que ln

0(c) es igual a la pendiente de la recta que pasa por (1, 0) y (e, 1).

29. Determine monotonía, valores extremos, concavidad y puntos de inflexión de la función

1. h (x) = x� lnx 2. g (x) =

1

x

+ ln

px

30. Graficar las siguientes funciones haciendo el analisis correspondiente

1. f (x) = 2

�x

2. f (x) = x2

�x

3. f (x) = e

1�x

2

4. f (x) = log2

�

x

2+ 1

�

5. f (x) = 3

x

3�16. f (x) = e

(x�2)27. f (x) = exp

✓

x

x� 1

◆

8. f (x) =

lnx

lnx� 2

9. f (x) = exp

✓

x

2

2x+ 1

◆

10. f (t) =

2

ln t� e

t

11. f (x) = x log2

�

x

2+ 1

�

12. f (x) = log5

✓

x

2+ 1

x

2 � 2

◆

13. f (x) = e

1/x14. f (x) = e

1/x2

31. Hallar una función f , tal que se cumpla la siguiente igualdad

1.

Z

f (x) dx = e

x

+ C 2.

Z

f (x) dx = ln |x|+ C 3.

Z

f (x) dx = ln |3x|+ C

4.

Z

f (x) dx = 3

x

+ C 5.

Z

f (x) dx = log

a

|x|+ C, con a > 0 y a 6= 1.

6.

Z

f (x) dx = a

x

+ C 7.

Z

f (x) dx = log

a

|ax|+ C, con a > 0 y a 6= 1.

8.

Z

f (t) dt = arcsen

�

2

t

�

+ C 9.

Z

f (x) dx = log

a

|senx|+ C, con a > 0 y a 6= 1.

10.

Z

f (x) dx =

4

x

+ x

4

7

+ C 11.

Z

f (t) dt =

t

2+ 5

t

4

+ C 12.

Z

f (x) dx = ln |secx|+ C

13.

Z

f (x) dx = ln |senx|+ C 14.

Z

f (x) dx = ln

�

�

�

�

x+ 1

x� 2

�

�

�

�

+ C

32. Encuentre, en el plano xy, la curva y = f (x) que pasa por el punto (0,�2) y cuya pendiente en cadapunto es e

x � 2.

33. Encuentre una función y = f (x), tal que,d

2y

dx

2=

1

4x

3/2� 1

x

2, f tenga un punto estacionario en x = 4

y pase por el punto (1,�1).

34. Calcular las siguientes integrales

1.

Z

e

3dx 2.

Z

e

99 ln x

dx 3.

Z

e

7 ln x�1dx 4.

Z

ln

⇣

7e

t

4

⌘

t

6dt 5.

Z

1 + e

3t

e

t

dt

6.

Z

dx

e

x+17.

Z

5

x ln 5dx 8.

Z

t log3 t

ln

�pt

�

dt 9.

Z

1� e

x

1� e

�x

dx 10.

Z

3

p1 + lnx

x

dx



11.

Z

dx

3

2�x

12.

Z

tanx dx 13.

Z

6

2t/ ln 6e

�t

dt 14.

Z

cot (ax)

ln (sen (ax))

dx

15.

Z

1� sen t

t+ cos t

dt 16.

Z pe

t

dt 17.

Z

tan

�pt

�

pt

dt 18.

Z

dt

t ln

4(3t)

19.

Z

dxpe

x

20.

Z

sen (4x) dx

cos (4x) + 4

21.

Z

x

n

log

n

x

ln (

px)

dx 22.

Z

e

2x � 3e

x

e

x

dx 23.

Z

5e

2xdxp

1� e

2x

24.

Z

xe

x

2

dx 25.

Z

5

x � 3

x

4

x

dx 26.

Z

a dx

a� x

27.

Z

ae

�mt

dt 28.

Z

lnx dx

x

29.

Z

2t

2+ t

t+ 1

dt 30.

Z

p2� e

t

e

�3tdt 31.

Z

x

3 � 3x

2

4� x

dx 32.

Z

cos

�

ln 4t

2�

t

dt

33.

Z

dx

x ln (x

4)

34.

Z

dx

1� e

�3x35.

Z

ln (sen (2t))

tan (2t)

dt 36.

Z

(senx+ cosx)

2

senx

dx

37.

Z

e

2xdxp

e

x

+ 1

38.

Z

e

�t

7

�t

dt 39.

Z

dx

5

�x � 1

40.

Z

sen (2x) dx

e

� sen2

x

41.

Z

t

2 � 3

1� t

dt

42.

Z

e

pt

pt

dt 43.

Z

e

3x � e

2x � 5e

x

+ 2

e

2x � 3e

x

+ 1

dx 44.

Z

3

plnx

x

dx 45.

Z

(2e

t

+ 1) dt

e

t � 4e

�t

+ 1

46.

Z p7

t

dt 47.

Z

log (

px)� log3 (

4

px)

log5 xdx 48.

Z

psec

2t� 1

3

p

ln (sec t) + 4

dt 49.

Z

dx

x ln

5x

50.

Z

e

t

dt

2� e

t

51.

Z

e

2x+2

e

x

dx 52.

Z

x�p

arctan (2x)

1 + 4x

2dx 53.

Z

ln (ax)� lnx

cscx

dx

54.

Z

log3 x

x

dx 55.

Z

dx

x lnx ln (lnx)

56.

Z

dx

x lnx ln (lnx) ln (ln (lnx))

57.

Z

cot t dt

58.

Z

e

x

dx

1 + e

�x

59.

Z

e

arctan x

+ x ln

�

x

2+ 1

�

1 + x

2dx 60.

Z

sen (cos (e

x

)) sen (e

x

)

e

�x

sec

2(cos (e

x

))

dx

61.

Z

x

7dx

x

4 � 1

62.

Z

e

x

5

e

x

dx 63.

Z

x

5dx

x

2 � 3

64.

Z

sen

3⇣

2 + ln (1� t)

2⌘

1� t

dt

65.

Z

dx

x log5 x66.

Z

x dx

x

2+ 1

67.

Z

x

4log4 x� lnx

ln (

4

px)

dx 68.

Z

3

px dx

2� 3

px

69.

Z

cos

3x dx

3 senx� sen

3x+ 5

70.

Z

e

2xdx

5 + e

x

71.

Z

dx

x log4 x log4 (log4 x)72.

Z

3

pe

t

dt

73.

Z

px dxpx+ 3

74.

Z

x

3dx

a

2 � x

275.

Z

secx dx 76.

Z

cscx dx 77.

Z

t 5

t

2

dt

78.

Z

7

x � 3

�x

2

x

dx 79.

Z

7

x

dx

7

x

+ 5

80.

Z

dx

7

�x

+ 5

81.

Z

s

ln

�

x+

px

2+ 1

�

1 + x

2dx

82.

Z

xe

�x

2

dx 83.

Z

e

2x � e

x

e

x�5dx 84.

Z

lnx+ ln 3

x ln (3x)

dx 85.

Z

sen (2x) + cosx

sen

2x+ senx� 2

dx

86.

Z

sen (2x) dx

sen

2x� 2 senx+ 2

87.

Z

e

sen x cos xcos (2x) dx 88.

Z

a

sen x cos xcos (2x) dx



89.

Z

dx

q

(1 + x

2) ln

�

x+

p1 + x

2�

90.

Z ln 2

0

pe

x � 1 dx 91.

Z ln 5

0

e

x

pe

x � 1

e

x

+ 3

dx

92.

Z

dxpx+

4

px

93.

Z 1

0

t

22

�t

3

dt 94.

Z

e

4

e

dx

x

plnx

95.

Z 81

16

dt

pt� 4

pt

3

96.

Z

ln (3x)

x ln (

3

px)

dx 97.

Z

x dx

2x

2 � 2x+ 1

98.

Z

(x� 2) dx

x

2 � 2x+ 2

99.

Z

e

x

dxp4� e

2x

100.

Z

e

x

pe

x � 1

e

x

+ 3

dx 101.

Z

3x� 1

x

2 � 4x+ 5

dx 102.

Z

(2e

t

+ 1) dt

e

t � 4e

�t

+ 1

103.

Z

x

3dx

x

4 � 4x

2+ 5

104.

Z

�

x

3+ x

�

dx

x

4 � 4x

2+ 5

105.

Z

dxpe

x � 1

106.

Z

dxpa

x � 1

107.

Z

e

2xdx

e

2x � e

x

+ 1

108.

Z

e

x

(e

x � 2)

e

2x � e

x

+ 1

dx 109.

Z 1

0

�

�

�

�

2x+ 3

(x+ 2) (x+ 1)

�

�

�

�

dx

35. Calcular la derivada de las siguientes funciones

1. f (x) =

Z 8

x

ln

�

e

t

+ 1

�

dt 2. f (x) =

Z

x

1

e

2t � 5

ln t

dt 3. f (x) =

Z 8

ln x

e

2t

t

2+ ln t

dt

4. f (x) =

Z 2x

x

2

log2 tpt+ 6

dt 5. f (x) =

Z

a

x

sen(ln x)

r

t

t

2 � 1

dt 6. f (x) =

Z sen x

e

x

5

u

+ u

2

arctanu

du

36. Encuentre el área de la región acotada por y =

e

2x+ e

�2x

2

, y = 0, x = � ln 5 y x = ln 5.


e

2x � e

�2x

e

2x+ e

�2x, y = 0, x = �8 y x = 8.


e

2x � e

�2x

2

, y = 0, y x = ln 2.

39. Demuestre las siguientes identidades1. senh (�x) = � senhx 2. cosh (�x) = coshx 3. coshx+ senhx = e

x

4. coshx� senhx = e

�x

5. senh (x+ y) = senhx cosh y + coshx senh y

6. cosh (x+ y) = coshx cosh y + senhx senh y 7. coth

2x� 1 = csch

2x

8. tanh (x+ y) =

tanhx+ tanh y

1 + tanhx tanh y

9. senh (2x) = 2 senhx coshx

10. cosh (2x) = cosh

2x+ senh

2x 11. senh

⇣

x

2

⌘

= ±r

coshx� 1

2

12. cosh

⇣

x

2

⌘

=

r

coshx+ 1

2

13. tanh (lnx) =

x

2 � 1

x

2+ 1

14.

1 + tanhx

1� tanhx

= e

2x

15. senh (↵) senh (�) =

cosh (↵+ �)� cosh (↵� �)

2

16. senh (↵) cosh (�) =

senh (↵+ �) + senh (↵� �)

2

17. cosh (↵) cosh (�) =

cosh (↵+ �) + cosh (↵� �)

2

18. (coshx+ senhx)

n

= cosh (nx) + senh (nx) , donde n es cualquier número real.



40. Si senhx =

3

4

, encuentre los valores de las otras funciones hiperbólicas en x.

41. Si tanhx =

4

5

, encuentre los valores de las otras funciones hiperbólicas en x.

42. Utilice las definiciones de las funciones hiperbólicas para encontrar los siguientes límites

1. lim

x!1tanhx 2. lim

x!�1tanhx 3. lim

x!1senhx 4. lim

x!�1senhx 5. lim

x!1sechx

6. lim

x!1cothx 7. lim

x!0+cothx 8. lim

x!0�cothx 9. lim

x!�1cschx

43. Demostrar que

1.

d

dx

senhx = coshx 2.

d

dx

coshx = senhx 3.

d

dx

tanhx = sech

2x

4.

d

dx

cschx = � cschx cothx 5.

d

dx

sechx = � sechx tanhx 6.

d

dx

cothx = � csch

2x

44. Demostrar que la función seno hiperbólico es continua y creciente en todo su dominio.

45. Demostrar que la función tangente hiperbólico es continua y creciente en todo su dominio.

46. Demostrar que la función coseno hiperbólico es continua en todo su dominio, pero no es monótona en todosu dominio. Encontrar los intervalos en los cuales es creciente y los intervalos en los cuales es decreciente.

47. Hallar las funciones inversas, si existen, de

1. f (x) = senhx 2. f (x) = coshx 3. f (x) = tanhx 4. f (x) = cschx

5. f (x) = sechx 6. f (x) = cothx

48. Demostrar que

1.

d

dx

senh

�1x =

1p1 + x

22.

d

dx

cosh

�1x =

1px

2 � 1

3.

d

dx

tanh

�1x =

1

1� x

2

4.

d

dx

csch

�1x = � 1

|x|px

2+ 1

5.

d

dx

sech

�1x = � 1

x

p1� x

26.

d

dx

coth

�1x =

1

1� x

2

49. Hallar la primera derivada de las siguientes funciones

1. f (x) = e

x

senhx 2. f (x) = tanh (3x) 3. f (x) = cosh

4x

4. f (x) = cosh

�

x

4�

5. f (x) = e

coth x

6. f (x) = x

2sechx

7. f (t) = ln (senh t) 8. f (t) = tanh (e

t

) 9. f (x) = cos (senhx)

10. f (x) = x

cosh x

11. f (x) = cosh

�1�

x

2�

12. f (x) = e

tanh x

cosh (coshx)

13. f (x) = e

x

coshx 14. f (x) = x ln (senh 4x) 15. f (x) = x tanh

�1x+ ln

p1� x

2

16. f (x) = tanh

�1⇣

x

a

⌘

17. f (x) = csch

�1�

x

4�

18. f (x) = x senh

�1⇣

x

3

⌘

�p9 + x

2

19. f (x) = coth

✓

1

x

◆

20. f (x) = coth

�1�

px

2+ 1

�

21. f (x) = tanh

✓

4x+ 1

5

◆

22. f (x) = ln

�

senhx

3�

23. f (x) =

px senh

�1(

px) 24. f (x) = tanh

�1�

senhx

5�

25. f (t) = ln (tanh t) 26. f (x) = sech

�1�

p1� x

2�

27. f (x) = senh

�1�

tanhx

2�

28. f (x) = x

senh(

px

)

29. f (x) = (coshx)

tanh x

30. f (x) = ln (coth (3x)� csch (3x))



50. Determine en qué punto de la curva y = coshx la tangente tiene pendiente 1.

51. Si x = ln (sec ✓ + tan ✓), demuestre que sec ✓ = coshx.

52. Demostrar que una catenaria es cóncava hacia arriba en cada punto.


1.

Z

sech

2t dt 2.

Z

senh (2x) dx 3.

Z

tanhx dx 4.

Z

coth t dt 5.

Z

senhx dx

1 + coshx

6.

Z

tanh

2(3x) dx 7.

Z

t senh

2�

t

2�

dt 8.

Z

x senh (lnx) dx 9.

Z

senh (

px)p

x

dx

10.

Z

senh

4x coshx dx 11.

Z

sech

4(3x) dx 12.

Z

cosh

4(7x) dx 13.

Z 2

0

senh

3x dx

14.

Z px cosh (2 lnx) dx 15.

Z

tanhx ln (coshx) dx 16.

Z

3

p

cosh (lnx) senh (lnx)

x

dx

17.

Z

tanh (lnx) dx 18.

Z

csch

2x

tanhx

dx 19.

Z 1

�1

cosh

2x dx 20.

Z 1

�1

2x+ senhx

1 + x

2dx

21.

Z

senh

5(

px)p

x

dx

54. Resolver las siguientes integrales usando el ejercicio 48

1.

Z

dxp1 + x

22.

Z

dxpx

2 � 1

3.

Z

dx

1� x

24.

Z

dx

|x|px

2+ 1

5.

Z

dx

x

p1� x

2

6.

Z

dx

4� x

27.

Z

dxp4 + x

28.

Z 3

2

dxpx

2 � 1

9.

Z

dx

x

p5� 2x

210.

Z

1

2

0

dx

1� x

2

11.

Z

dxp3x

2 � 1

12.

Z

dx

x

p6� x

13.

Z

dx

x

px+ 7

14.

Z

cosx dxp9 + 2 sen

2x

55. Calcular lim

x!1

senhx

e

x

56. Encontrar el área de la región limitada por la catenaria y = a cosh

⇣

x

a

⌘

, el eje y, el eje x y la recta x = x1,donde x1 > 0.

57. Calcular el área bajo la gráfica de y = coshx en el intervalo [�1, 1].

58. Obtenga el área de la región comprendida entre la gráfica de y = senhx y el eje x en [�1, 1].

59. Determine el área de la región limitada por las gráficas de y = coshx, y = x, x = �1 y x = 3.

60. Considere la función f (x) = lnx, para 0 < x < e. Definimos la función impar y periódica, de período 2e.

(a) Construya su gráfico.

(b) Calcular f

✓

�1 + 4e

2

e

◆

.

61. Representar las funciones dadas como composición de funciones básicas e indique en que orden se deberealizar la composición

1. f (x) = 1 + e

(x�1)22. f (x) =

1p4

x�43. f (x) = ln

�

sen

2(e

x

)

�

4. f (x) = e

2 cos(ln x)5. f (x) = senh

⇣

cos

⇣

4

x

2

⌘⌘

6. f (x) = log3

✓

1� 5

ln (5

3x)

◆



62. Resolver las siguientes ecuaciones

1. coth

2x+ csch

2x = 2 2. sech

2x� tanh

2x = 0 3. cothx = 3

63. Hallar el dominio de la siguiente función

f (x) = log7

✓

1

2

� sech

�13x

◆

.

64. Graficar la función f (x) = 3� |csch (lnx) + 2x|.

Respuestas: Ejercicios

1.a. (0,1) ; 1.b. 0; 1.c. Monótona creciente; 1.d. No tiene valores extremos; 1.e. Concava hacia abajo;

1.f. ; 3.1. ln 2 � 1; 3.2. 0 y 1; 3.3. 1 � e y e + 1; 3.4. ?; 3.5. log2

5 � 1;

3.6. � 2 y 2; 3.7. 0 y 1; 3.8.p2; 3.9. 3; 3.10. e

�2

y e

2; 3.11. e

�1/2; 3.12. 2; 3.13. 2;

3.14. ± 3; 3.15. ± 4; 3.16. 5; 3.17. 0 y ± 2; 3.18. e

2; 3.19. 2; 3.20. �p2 � 1; 3.21. � 3;

3.22. e

�8

y e

8; 3.23. e

�3/4; 3.24. e y e

2; 3.25.log

2

5�1

3

; 3.26. ± 2; 3.27. ± 3; 3.28. [1, 3] ;

3.29. log4

⇣

1 +p2⌘

; 3.30. ln 15

3 ln 5�2 ln 3

; 3.31. ?; 3.32. 7; 3.33. 1

2

y 3; 3.34. 2 ln 3�ln 2

ln 24

; 4.1. [3,1) ;

4.2. (�2, 3) ; 4.3. (0, 1) ; 4.4. [e � 3,1) ; 4.5. [0, 1] ; 4.6.�

e

�2

,1�

; 4.7.�

�1,� 3

2

�

; 4.8. (0,1) ;

4.9. (�1,�2) [ (2,1) ; 4.10. [0, 1] ; 4.11. (�1,�3) [ (1,1) ; 4.12.⇣p

14, 5i

; 4.13. (�1, 0) [ (1,1) ;

4.14.�

e

2

,1�

; 4.15. (�1, 4) ; 4.16. [1, 2] [ (3,1) ; 4.17. (�1,�3) [ (3,1) ; 4.18. (�1, 0) ; 4.19. (0, 2) ;

4.20. [1,1) ; 4.21. ?; 4.22. (�1, 1) [ (2,1) ; 4.23.⇣p

41+5

2

,1⌘

; 4.24.⇣

�p2,�1

⌘

[⇣

1,p2⌘

;

4.25. [�2,1) ; 4.26. (1,1) ; 4.27.h

�p2 � 1,�

p2⌘

; 4.28.⇣

�1,�p10 � 2

i

[hp

6,1⌘

[ {0} ;

4.29. [�2, 0] [ [2,1) ; 4.30.⇣p

2, 3i

; 4.31. (�1, 1) [ (3,1) ; 4.32.⇣p

2,1⌘

; 4.33.⇥

�9, 1

3

⇤

; 4.34. (2,1) ;

4.35.⇣

�1,

2 ln 3�ln 2

ln 24

⌘

; 5.1. (1,1) ; 5.2. [�1, 0] ; 5.3. [e � 3,1) ; 5.4. (0,1) ; 5.5. [e,1) ;

5.6. (�1,�3) [ (2,1) ; 5.7. (5,1) ; 5.8. R � {0} ; 5.9. (�1, e � 1) ; 5.10. (3,1) ; 5.11. [0,1) � {e} ;

5.12. (�1,�3] [ [�2,1) ; 5.13. R � {ln 2} ; 5.14. R � {±3} ; 5.15.⇣

�1,�p11⌘

[⇣p

11,1⌘

;

5.16. (�1,�1] [ (0,1) ; 5.17. R � {�1, 0} ; 5.18. (0, 1) [ (5,1) ; 5.19. (�1,�1] ; 5.20. R � {0, 2} ;

5.21. (�1,�2) [ (3,1) ; 5.22.�

2

3

,1�

; 5.23. (�1,�3] [ [�2,1) ; 5.24. (�1,�3] [ [1,1) ; 5.25.⇣

0, 3

p2i

;

5.26. (0, 2) ; 5.27. (�1, 0] � {�1} ; 5.28. (0,1) ��

e

�2

; 5.29. R �n

±p2o

; 5.30. (0,1) ��

e, e

2

;

5.31. (2, 8) � {3} ; 5.32. (1,1) ; 5.33. ?; 5.34. (�1,�1] � {�e � 2,�2} ; 5.35.�

3

2

, 2�

; 5.36. [e,1) ;

5.37. [0, 1] ; 5.38. (1,1) � {2} ; 5.39.�

�2, e3 � 2�

; 5.40. [1,1) � {3} ; 5.41. (�1, 0) [ (1, 2] ;

5.42. (�1, e � 1) ; 5.43. [�3,�2) ; 5.44. (1,1) ; 5.45. [e � 4,1) ; 5.46. (�1, e � 1) ; 5.47.⇥

1, 3

2

⇤

;

5.48. (3,1) ; 5.49. (�2,�1) [ (0, 1) [ (3,1) ; 5.50. (3,1) ; 5.51. (�2,�1) [ (0, 1) [ (3,1) ; 5.52. (�1, 0) ;

5.53. ?; 5.54. (�1, 0) ; 5.55. (2, 6] ; 5.56. (�1,�2] ; 5.57. (0, 1) ; 5.58. (�1,�6) ;

5.59.�

0, e�2

�

[�

e

2

,1�

; 5.60. [3,1) ��

e

2

; 5.61. (2,1) ; 6.1. R; 6.2. [5,1) ; 6.3. [5,1) ;

6.4. (1,1) ; 6.5. (3,1) ; 6.6. R; 11.1. 2e2x�3; 11.2. 2

2x�3

; 11.3. 3sen x ln 3 cos x;

11.4. (ln (sen x)) etan x sec2 x + e

tan x cot x; 11.5.cos(ln x)�2x

2

sen(ln x) ln 3

3

x

2

x

; 11.6. 1

2x

pln x

+ 1

2x

; 11.7. 1

2

pe

x + e

px

2

px

;

11.8. 1

x+1

⇣

(ln 2 ln 3) 2x 32x

� 1

x+4

x

((ln 4) 4x + 1)⌘

� 1

(x+1)

2

⇣

32x

� ln (x + 4x)⌘

;



11.9. 1

2

pln(e

x�2) cos(e

x�2)

⇣

�e

x ln (ex � 2) sen (ex � 2) + e

x

e

x�2

cos (ex � 2)⌘

; 11.10. 1

4

x�2

x

+1

(4x ln 4 � 2x ln 2) ;

11.11. e

ln

2

x�ln x+3

�

2

x

ln x � 1

x

�

; 11.12. 1�x

x+4e

x

; 11.13. log5

(csc x) e

x�5

x

ln 5

e

x�5

x

� cot x

ln 5

ln (ex � 5x) ;

11.14. ln 3

ln 2

3

x

3

x�5

+ e

x

(ln 3)(5�e

x

)

; 11.15. e

x

ln

2

x

(ln x + x ln x � 1) cos⇣

x e

x

ln x

⌘

+ sen⇣

log

4

x

x

2

5

sen(3x)

⌘

1

ln 4

�(2+3x cos(3x)) log

4

x

x

3

5

sen(3x)

;

12.1. f

0 (x) = 3x3x (ln x + 1) ; 12.2. f

0 (x) = 1

3

x

3

px�2/3 (lnx + 3) ; 12.3. f

0 (x) = (sen x)p

x

⇣

ln(sen x)

2

px

+px cot x

⌘

;

12.4. f

0 (x) =�

ln�

x

2 � 5��

2x+3

✓

2 ln�

ln�

x

2 � 5��

+ 2x

ln(x2�5)2x+3

x

2�5

◆

; 12.5. f

0 (x) = 30x3 ln x�1 ln x;

12.6. f

0 (x) = 1

2

x

x

p

sec (xx) tan (xx) (ln x + 1) ; 12.7. f

0 (t) =

✓

5

pte

t

csc t

◆

ln t ⇣

2

5t

ln t + 2

5

+ln(sen t)

t

+ ln t cot t⌘

;

12.8. f

0 (x) = x sen x

e

x

(x�2)

⇣

1

x

+ cot x � 1 � 1

x�2

⌘

; 12.9. f

0 (t) =e

t

pt

5

+2

(t+1)

4(t2+3)2

⇣

1 + 1

2

5t

4

t

5

+2

� 4

t+1

� 4t

t

2

+3

⌘

;

12.10. f

0 (x) =

⇣

x

3

+1

⌘

4

sen

2

x

3

px

⇣

12x

2

x

3

+1

+ 2 cot x � 1

3x

⌘

; 12.11. f

0 (x) = x

4

5

psen x ln x

e

x

cos(ln x)

⇣

4

x

+ 1

5

cot x + 1

x ln x

� 1 +tan(ln x)

x

⌘

;

12.12. f

0 (x) = 3

tan x

x

cos x

tan x

x

3

pe

2x

sen 2x

⇣

ln 3 · sec2 x � sen x ln x + cos x

x

+ sec

2

x

tan x

� 3

x

� 1 � cot 2x⌘

;

12.13. f

0 (x) = e

px sen x

ln x

x

3

(cos x)

x�1

cot x

⇣

sen x

2

px

+px cos x + 1

x ln x

� 3

x

� ln (cos x) + x tan x + cot x⌘

;

12.14. f

0 (t) =

✓

3

t

2�7

(sen t)

t

2

ln(p

2t cos t)

◆

t

4

✓

4t3 ln

✓

3

t

2�7

(sen t)

t

2

ln(p

2t cos t)

◆

+ t

4

✓

(2 ln 3) t + 2t ln (sen t) + t

2 cot t � 1

1

2

ln(2t)+ln cos t

�

1

t

� tan t

�

◆◆

;

12.15. f

0 (t) =(t+1)

4

(t�5)

3

(t�3)

8

⇣

4

t+1

+ 3

t�5

� 8

t�3

⌘

+�

t

2 + 1�

sen t

⇣

cos t ln�

t

2 + 1�

+ 2t sen t

t

2

+1

⌘

;

12.16. f

0 (x) =�

x

4 � 2�

tan x

⇣

sec2 x ln�

x

4 � 2�

+ 4x

3

tan x

x

4�2

⌘

+ (tan x)x4�2

⇣

4x3 ln (tan x) +�

x

4 � 2�

sec

2

x

tan x

⌘

;

12.17. f

0 (t) =q

t

2

+1

t+1

⇣

t

t

2

+1

� 1

2

1

t+1

⌘

+ 4t

3

t

4

+4

+ 1

2

3t

2

t

3�1

� 2 cot t;

12.18. f

0 (x) =�

3x4 � e

x

�

pln x

ln

⇣

3x

4�e

x

⌘

2x

pln x

+pln x

12x

3�e

x

3x

4�e

x

!

� (ln x)

e

x

e

x

4

p3�x

2

⇣

e

x ln (ln x) + e

x

x ln x

� 1 + 1

2

x

3�x

2

⌘

;

12.19. f

0 (x) = 4 � 2x

3

3�x

4

+ 3 tan 3x

ln(cos 3x)

� (3sec x)xx

ln (3sec x)xx

(ln x + 1 + tan x) ;

12.20. f

0 (x) = exp⇣

ln(cos x�1)

x sen

px ln(4 csc x)

⌘

ln(cos x�1)

x sen

px ln(4 csc x)

⇣

sen x

(cos x�1) ln(cos x�1)

� 1

x

� cot

px

2

px

+ cot x

ln(4 csc x)

⌘

;

12.21. x

sen x

⇥

cos x ln x + sen x

x

⇤

; 12.22. f

0 (x) = 1

x

+ 10x+4x

3

5x

2

+x

4

+6

� 4x

3

x

4

+6

;

12.23. f

0 (x) = (sen x)ln x

ln (sen x)

x

+ ln x cot x

�

+ 23x

3x ln 2 ln 3 � x

log

3

(4x)

ln x

x ln 3+

log3

(4x)

x

�

; 13.1. 0; 13.2. 0;

13.3. e

x; 13.4. 0; 13.5. 0; 13.6. 1

3

; 13.7. a

x ln a; 13.8. � ln 3; 13.9. 0; 13.10. 0; 13.11. 0;

13.12. � ln 2; 13.13. 8; 13.14. 0; 13.15. 1; 13.16. 1; 13.17. 1

x

; 13.18. 1

x ln a

; 13.19. 0;

13.20. � 1; 13.21. ln 3

ln 3�ln 2

; 13.22. 0; 13.23. 1; 13.24. � 1; 13.25. e

�1; 14.1. e; 14.2. e

�1;

14.3. e

�5; 14.4. e

3; 14.5. e

2; 14.6. e

a; 14.7. e

�5/3; 14.8. e

�5/a; 15.R

2

�1

e

2x

dx = 1

2

e

4 � 1

2

e

�2;

16.R

1

0

xe

�x

2

dx = 1

2

� 1

2

e

�1; 17.R

2

1

ln x

x

dx = 1

2

ln2 2; 19.1. y

0 = 3e

x

+y

2ye

y

2�x

; 19.2. y

0 =y

⇣

1�2x

2

y

⌘

x(x2

y+2y

2�1);

19.3. y

0 = 1�3ye

3xy

+2xe

x

2

3xe

3xy�1

; 19.4. y

0 = e

x

2y�2

y

ln 2

; 19.5. y

0 = 4x

3

y ln

2

y�6y ln y

4y

4

ln

2

y�6x

; 19.6. y

0 =p

ypx

e

px�p

y ;

19.7. y

0 =y

2

cos

⇣

xy

2

⌘

2

y

ln 2�2xy cos(xy

2); 19.8. y

0 = 5ye

xy

2

y�1

ln 2�5xe

xy

; 19.9. y

0 = 2xy

x

2

ln y�3

x

ln 3�y

x

⇣

1�xy

x

2�1

⌘ ; 19.10. y

0 = 4

(x+2)

ln 4

2(3

y�1)3

y

ln 3

;

19.11. y

0 =y(y+1)

⇣

2 ln

⇣

x

2

y+x

2

y

2

⌘

+2

⌘

y(y+1)(3y2�e

y�1)�x(1+2y)

; 19.12. y

0 = �x; 19.13. y

0 =2

x

e

x

(1+ln 2)�2

x

e

y

ln 2�2

y

sec

2(x2

y)x2

y

sec

2

(x2

y

) ln 2+2

x

e

y

;

19.14. y

0 =

✓

ye

xy � 1

log

2

y�2x

3

e

x

e

x

+y

� 6x

2

ln(ex+y)

(log2

y�2x

3)2

◆✓

1

log

2

y�2x

3

1

e

x

+y

� ln(ex+y)

(log2

y�2x

3)21

y ln 2

� xe

xy

◆�1

;

19.15. y

0 = �⇣

y sen e

xy + ln y

x ln

2

x

⌘⇣

1

y ln x

+ x sen e

xy

⌘�1

; 19.16. y

0 =

✓

2x ln 2 � e

px

2

px

+ e

x ln y ln y

◆

⇣

2

y

ln 2

3�2

y

� xe

x ln y

y

⌘�1

;

19.17. y

0 =⇣

1

x(5

x�3

y

) ln 3

� 5

x

(log

3

x�log

5

y) ln 5

(5

x�3

y

)

2

⌘⇣

8y7 + 1

y(5

x�3

y

) ln 5

� 3

y

(log

3

x�log

5

y) ln y

(5

x�3

y

)

2

⌘�1

;

19.18. y

0 =⇣

ye

xy � ln y

2

px

+p

y

x

⌘⇣px

y

� ln x

2

py

� xe

xy

⌘�1

; 20. 3y � 2x + 2 = 0; 22. f

�1 (x) = loga

⇣

x+1

1�x

⌘

;

23.1.a. R; 23.1.b. (0, 0) ; 23.1.c. R; 23.1.d. ?; 23.1.e. Valor máximo: No tiene, Valor mínimo: No tiene;

23.1.f. Concava hacia arriba: (0,1) , Concava hacia abajo: (�1, 0) ; 23.1.g. (0, 0) ; 23.1.h. No tiene;



23.1.i. No tiene; 23.1.j. No tiene; 23.1.k. ; 23.1.l. Si tiene; 23.1.m. R;

23.1.n. f

�1 (x) = ln⇣

x +px

2 + 1⌘

; 23.1.o. ; 23.2.a. R; 23.2.b. (0, 1) ;

23.2.c. (0,1) ; 23.2.d. (�1, 0) ; 23.2.e. Valor máximo: No tiene, Valor mínimo: (0, 1) ;

23.2.f. Concava hacia arriba: R, Concava hacia abajo: ?; 23.2.g. No tiene; 23.2.h. No tiene; 23.2.i. No tiene;

23.2.j. No tiene; 23.2.k. ; 23.2.l. Si tiene; 23.2.m. [1,1) ;

23.2.n. f

�1 (x) = ln⇣

x +px

2 � 1⌘

, con x � 1; 23.2.o. ; 23.3.a. R;

23.3.b. (0, 0) ; 23.3.c. R; 23.3.d. ?; 23.3.e. Valor máximo: No tiene, Valor mínimo: No tiene;

23.3.f. Concavidad hacia arriba: (�1, 0) , Concavidad hacia abajo: (0,1) ; 23.3.g. (0, 0) ;

23.3.h. y = �1 si x ! �1, y = 1 si x ! 1; 23.3.i. No tiene; 23.3.j. No tiene;

23.3.k. ; 23.3.l. Si tiene; 23.3.m. (�1, 1) ;

23.3.n. f

�1 (x) = 1

2

ln 1+x

1�x

, con � 1 < x < 1; 23.3.o. ; 23.4.a. R � {0} ;

23.4.b. No tiene; 23.4.c. ?; 23.4.d. R � {0} ; 23.4.e. Valor máximo: No tiene, Valor mínimo: No tiene;

23.4.f. Concavidad hacia arriba: (0,1) , Concavidad hacia abajo: (�1, 0) ; 23.4.g. No tiene; 23.4.h. y = 0;

23.4.i. x = 0; 23.4.j. No tiene; 23.4.k. ; 23.4.l. Si tiene; 23.4.m. R � {0} ;



23.4.n. f

�1 (x) = ln

✓

1

x

+

p1+x

2

|x|

◆

, con x 6= 0; 23.4.o. ; 23.5.a. R;

23.5.b. (0, 1) ; 23.5.c. (�1, 0) ; 23.5.d. (0,1) ; 23.5.e. Valor máximo: (0, 1) , Valor mínimo: No tiene;

23.5.f. Concavidad hacia arriba:

⇣

�1, ln⇣p

2 � 1⌘⌘

[⇣

ln⇣p

2 + 1⌘

,1⌘

, Concavidad hacia abajo:

⇣

ln⇣p

2 � 1⌘

, ln⇣p

2 + 1⌘⌘

;

23.5.g.⇣

ln⇣p

2 � 1⌘

,

p2

2

⌘

,

⇣

ln⇣p

2 + 1⌘

,

p2

2

⌘

; 23.5.h. y = 0; 23.5.i. No tiene; 23.5.j. No tiene;

23.5.k. ; 23.5.l. Si tiene; 23.5.m. (0, 1] ;

23.5.n. f

�1 (x) = ln

✓

1+

p1�x

2

x

◆

, con 0 < x 1; 23.5.o. ; 23.6.a. R � {0} ;

23.6.b. No tiene; 23.6.c. ?; 23.6.d. R � {0} ; 23.6.e. Valor máximo: No tiene, Valor mínimo: No tiene;

23.6.f. Concavidad hacia arriba: (0,1) , Concavidad hacia abajo: (�1, 0) ; 23.6.g. No tiene;

23.6.h. y = �1 si x ! �1, y = 1 si x ! 1; 23.6.i. x = 0; 23.6.j. No tiene;

23.6.k. ; 23.6.l. Si tiene; 23.6.m. (�1,�1) [ (1,1) ;

23.6.n. f

�1 (x) = 1

2

ln 1+x

x�1

, con |x| > 1; 23.6.o. ; 28. c = e � 1;

29.1. Crecimiento: (1,1) , Decrecimiento: (0, 1) , Valor máximo: (1, 1) , Valor mínimo: No tiene, Concava hacia arriba: (0,1) ,

Concava hacia abajo: Nunca, Punto de inflexión: No tiene; 29.2. Crecimiento: (2,1) , Decrecimiento: (0, 2) ,

Valor máximo: No tiene, Valor mínimo:

⇣

2, 1+ln 2

2

⌘

, Concava hacia arriba: (0, 4) , Concava hacia abajo: (4,1) ,

Punto de inflexión:

�

4, 1

4

+ ln 2�

; 30.1. 30.2.



30.3. 30.4. 30.5.

30.6. 30.7. 30.8.

30.9. 30.10. 30.11.

30.12. 30.13. 30.14.

31.1. f (x) = e

x; 31.2. f (x) = 1

x

; 31.3. f (x) = 1

x

; 31.4. f (x) = 3x ln 3; 31.5. f (x) = 1

x ln a

;

31.6. f (x) = a

x ln a; 31.7. f (x) = 1

x ln a

; 31.8. f (t) = 2

t

ln 2p1�2

2t

; 31.9. f (x) = cot x

ln a

; 31.10. f (x) = 4x

3

+4

x

ln 4

7

;

31.11. f (t) = 1

2

t + 1

4

5t ln 5; 31.12. f (x) = tan x; 31.13. f (x) = cot x; 31.14. f (x) = �3

(x+1)(x�2)

;

32. y = e

x � 2x � 3; 33. y = ln |x| �px; 34.1. xe

3 + C; 34.2. 1

100

x

100 + C; 34.3. 1

8

x

8

e

�1 + C;

34.4. � ln 7

5t

5

� 1

t

+ C; 34.5. 1

2

e

2t � e

�t + C; 34.6. e

�x�1 + C; 34.7. 1

ln

2

5

5x ln 5 + C; 34.8. t

2

ln 3

+ C;

34.9. � e

x + C; 34.10. 3

4

(ln x + 1)2/3 + C; 34.11. 1

9 ln 3

3x + C; 34.12. ln |sec x| + C; 34.13. e

t + C;

34.14. 1

a

ln |ln (sen (ax))| + C; 34.15. ln |t + cos t| + C; 34.16. 2e1

2

t + C; 34.17. 2 ln�

�tanpt

�

�+ C;

34.18. � 1

3 ln

3

(3t)

+ C; 34.19. � 2e�x/2 + C; 34.20. � 1

4

ln |4 + cos 4x| + C; 34.21. 2x

n+1

(n+1) lnn

+ C;

34.22. e

x � 3x + C; 34.23. � 5p1 � e

2x + C; 34.24. 1

2

e

x

2

+ C; 34.25. 1

ln 4�ln 3

�

3

4

�

x � 1

ln 4�ln 5

�

5

4

�

x + C;

34.26. � a ln |x � a| + C; 34.27. � a

m

e

�mt + C; 34.28. 1

2

ln2

x + C; 34.29. t

2 � t + ln |t + 1| + C;

34.30. 8

5

�

2 � e

t

�

5/2 � 8

3

�

2 � e

t

�

3/2 � 2

7

�

2 � e

t

�

7/2

+ C; 34.31. � 4x � 1

2

x

2 � 1

3

x

3 � 16 ln |x � 4| + C;

34.32. 1

2

sen�

ln 4t2�

+ C; 34.33. 1

4

ln |ln x| + C; 34.34. x + 1

3

ln�

�

e

�3x � 1�

�+ C; 34.35. 1

2

ln2 (sen 2t) + C;

34.36. ln |csc x � cot x| + 2 sen x + C; 34.37. 2

3

(ex + 1)3

2 � 2pe

x + 1 + C; 34.38. 7

t

e

t

(ln 7�1)

+ C;

34.39. � x � 1

ln 5

ln�

�

1

5

x

� 1�

�+ C; 34.40. e

sen

2

x + C; 34.41. 2 ln |t � 1| � t

2

2

� t + C; 34.42. 2ep

t + C;

34.43. e

x + 2x + C; 34.44. 3

4

ln4/3

x + C; 34.45. ln�

�

e

t + e

2t � 4�

�+ C; 34.46. 2

ln 7

71

2

t + C;

34.47. ln 5

ln 3 ln 10

�

ln 3 � 1

2

ln 10�

5x

2

+ C; 34.48. 3

2

(ln (sec t) + 4)2

3 + C; 34.49. �1

4 ln

4

x

+ C; 34.50. � ln�

�

e

t � 2�

�+ C;

34.51. e

x+2 + C; 34.52. 1

8

ln�

4x2 + 1�

� 1

3

(arctan 2x)3

2 + C; 34.53. � ln a cos x + C; 34.54. 1

2

ln

2

x

ln 3

+ C;

34.55. ln |ln (ln x)| + C; 34.56. ln |ln (ln (ln x))| + C; 34.57. ln |sen t| + C; 34.58. e

x � ln (ex + 1) + C;

34.59. e

arctan x + 1

4

ln2

�

x

2 + 1�

+ C; 34.60. 1

3

cos3 (cos (ex)) + C; 34.61. 1

4

x

4 + 1

4

ln�

�

x

4 � 1�

�+ C; 34.62. 1

ln 5

5ex

+ C;



34.63. 3

2

x

2 + 1

4

x

4 + 9

2

ln�

�

x

2 � 3�

�+ C; 34.64. 1

2

cos�

2 + ln (1 � t)2�

� 1

6

cos3�

2 + ln (1 � t)2�

+ C; 34.65. ln |ln x| ln 5 + C;

34.66. 1

2

ln�

x

2 + 1�

+ C; 34.67. 4

5

x

5

ln 4

� 4x + C; 34.68. � 36 3

px � 24 ln

�

�2 � 3

px

�

�� 9�

2 � 3

px

�

2 +�

2 � 3

px

�

3 + C;

34.69. 1

3

ln�

�sen3

x � 3 sen x � 5�

�+ C; 34.70. e

x � 5 ln (ex + 5) + C; 34.71. ln2 4 ln |ln (log4

x)| + C; 34.72. 3e1

3

t + C;

34.73. 18 ln�

�

px + 3

�

�� 12px +

�px + 3

�

2 + C; 34.74. � 1

2

x

2 � a

2

2

ln�

�

x

2 � a

2

�

�+ C; 34.75. ln |sec t + tan t| + C;

34.76. ln |csc x � cot x| + C; 34.77. 1

2 ln 5

5t2

+ C; 34.78. 1

6

x

ln 6

+ 1

ln 7�ln 2

�

7

2

�

x + C; 34.79. 1

ln 7

ln (7x + 5) + C;

34.80. 1

5

x + 1

5 ln 7

ln�

1

7

x

+ 5�

+ C; 34.81. 2

3

ln3

2

⇣

x +px

2 + 1⌘

+ C; 34.82. � 1

2

e

�x

2

+ C; 34.83. e

x+5 � xe

5 + C;

34.84. ln |x| + C; 34.85. ln�

�sen2

x + sen x � 2�

�+ C; 34.86. 2 arctan (sen x � 1) + ln�

�sen2

x � 2 sen x + 2�

�+ C;

34.87. e

sen 2x

2 + C; 34.88. 1

ln a

a

sen(2x)

2 + C; 34.89. 2 ln1/2

⇣

x +px

2 + 1⌘

+ C; 34.90. 2 � 1

2

⇡; 34.91. 4 � ⇡;

34.92.p

x

8

�4

px

4

+ 1

4

ln�

�

4

px + 1

�

�+ C; 34.93. 1

6 ln 2

; 34.94. 2; 34.95. � 4 ln 2 � 4; 34.96. 3 ln x + 3 ln |ln x| ln 3 + C;

34.97. 1

2

arctan (2x � 1) + 1

4

ln�

�2x2 � 2x + 1�

�+ C; 34.98. arctan (1 � x) + 1

2

ln�

�

x

2 � 2x + 2�

�+ C; 34.99. arcsen�

1

2

e

x

�

+ C;

34.100. 2pe

x � 1 � 4 arctan⇣

e

x�1

2

⌘

+ C; 34.101. 5 arctan (x � 2) + 3

2

ln�

�

x

2 � 4x + 5�

�+ C; 34.102. ln�

�

e

2t + e

t � 4�

�+ C;

34.103. arctan�

x

2 � 2�

+ 1

4

ln�

�

x

4 � 4x2 + 5�

�+ C; 34.104. 3

2

arctan�

x

2 � 2�

+ 1

4

ln�

�

x

4 � 4x2 + 5�

�+ C;

34.105. 2 arctanpe

x � 1 + C; 34.106. 2

ln a

arctanpa

x � 1 + C; 34.107. 1

2

ln�

�

e

2x � e

x + 1�

�+p

3

3

arctan⇣

2e

x�1p3

⌘

+ C;

34.108. 1

2

ln�

�

e

2x � e

x + 1�

��p3 arctan

⇣

2e

x�1p3

⌘

+ C; 34.109. ln 3; 35.1. f

0 (x) = � ln (ex + 1) ; 35.2. f

0 (x) = e

2x�5

ln x

;

35.3. f

0 (x) = �x

ln

2

x+ln(ln x)

; 35.4. f

0 (x) = xp2

x

+6

2x ln 2 � 2xlog

2

⇣

x

2

⌘

|x|+6

; 35.5. f

0 (x) =q

a

x

a

2x�1

a

x ln a �r

sen(ln x)

sen

2

(ln x)�1

cos(ln x)

x

;

35.6. f

0 (x) = 5

sen x

+sen

2

x

arctan(sen x)

cos x � 5

e

x

+e

2x

arctan(e

x

)

e

x; 36. A = 312

25

; 37. A = 1

2

ln�

e

�32 + 1�

� ln 2 + 1

2

ln�

e

32 + 1�

;

38. A = 9

16

; 40. cosh x = 5

4

, tanh x = 3

5

, sech x = 4

5

, csch x = 4

3

, coth x = 5

3

; 41. cosh x = 5

3

, senh x = 4

3

,

sech x = 3

5

, csch x = 3

4

, coth x = 5

4

; 42.1. 1; 42.2. � 1; 42.3. 1; 42.4. � 1; 42.5. 1; 42.6. 1;

42.7. 1; 42.8. � 1; 42.9. � 1; 47.1. f

�1 (x) = ln⇣

x +px

2 + 1⌘

; 47.2. f

�1 (x) = ln⇣

x +px

2 � 1⌘

, con x � 1;

47.3. f

�1 (x) = 1

2

ln 1+x

1�x

, con � 1 < x < 1; 47.4. f

�1 (x) = ln

✓

1

x

+

p1+x

2

|x|

◆

, con x 6= 0;

47.5. f

�1 (x) = ln

✓

1+

p1�x

2

x

◆

, con 0 < x 1; 47.6. f

�1 (x) = 1

2

ln 1+x

x�1

, con |x| > 1; 49.1. f

0 (x) = e

x (cosh x + senh x) ;

49.2. f

0 (x) = 3 sech2 (3x) ; 49.3. f

0 (x) = 4 cosh3

x senh x; 49.4. f

0 (x) = 4x3 senh x

4; 49.5. f

0 (x) = �e

coth x csch2

x;

49.6. f

0 (x) = 2x sech x � x

2 sech x tanh x; 49.7. f

0 (t) = coth t; 49.8. f

0 (t) = e

t sech2

�

e

t

�

;

49.9. f

0 (x) = cosh x senh (senh x) ; 49.10. f

0 (x) = x

cosh x

�

ln x senh x + cosh x

x

�

; 49.11. f

0 (x) = 2xpx

4�1

;

49.12. f

0 (x) = e

tanh x

�

sech2

x cosh (cosh x) + senh x senh (cosh x)�

; 49.13. f

0 (x) = e

x (cosh x + senh x) ;

49.14. f

0 (x) = ln (senh 4x) + 4x coth (4x) ; 49.15. f

0 (x) = tanh�1

x; 49.16. f

0 (x) = a

a

2�x

2

; 49.17. f

0 (x) = � 4

x

px

8

+1

;

49.18. f

0 (x) = arcsenh�

x

3

�

� xpx

2

+9

+ xpx

2

+9

; 49.19. f

0 (x) = 1

x

2

csch2

�

1

x

�

; 49.20. f

0 (x) = � 1

x

px

2

+1

;

49.21. f

0 (x) = 4

5

sech2

�

4

5

x + 1

5

�

; 49.22. f

0 (x) = 3x2 coth x

3; 49.23. f

0 (x) = 1

2

px+1

+ 1

2

px

arcsenh�p

x

�

;

49.24. f

0 (x) = 5x4

cosh

⇣

x

5

⌘

1�senh

2(x5); 49.25. f

0 (t) = sech

2

t

tanh t

; 49.26. f

0 (x) = 1

1�x

2

; 49.27. f

0 (x) =2x sech

2

⇣

x

2

⌘

q

tanh

2(x2)+1

;

49.28. f

0 (x) = x

senh

px

⇣

senh

px

x

+ ln x cosh

px

2

px

⌘

; 49.29. f

0 (x) = (cosh x)tanh x

�

sech2

x ln (cosh x) + tanh2

x

�

;

49.30. f

0 (x) = 3 csch (3x) ; 50. x = ln⇣

1 +p2⌘

; 53.1. tanh x + C; 53.2. 1

2

cosh (2x) + C; 53.3. ln |cosh x| + C;

53.4. ln |senh x| + C; 53.5. ln |1 + cosh x| + C; 53.6. x � 1

3

tanh (3x) + C; 53.7. 1

4

�

senh�

x

2

�

� x

2

�

+ C;

53.8. x

3

6

� x

2

+ C; 53.9. 2 cosh�p

x

�

+ C; 53.10. 1

5

senh5

x + C; 53.11. 1

3

tanh (3x) � 1

9

tanh3 (3x) + C;

53.12. 3x

8

+ 1

28

senh (14x) + 1

224

senh (28x) + C; 53.13. cosh

3

2

3

� cosh 2 + 2

3

; 53.14. x

8�1

7

px

+ C; 53.15. ln2 (cosh x) + C;

53.16. 3

4

cosh4/3 (ln x) + C; 53.17. x � 2 arctan x + C; 53.18. 1

2

coth x + C; 53.19. 1 +senh(2)

2

; 53.20. 0;

53.21. 2

5

cosh5

�px

�

� 2

3

cosh3

�px

�

+ cosh�p

x

�

+ C; 54.1. senh�1

x + C; 54.2. cosh�1

x + C; 54.3. tanh�1

x + C;

54.4. csch�1

x + C; 54.5. sech�1

x + C; 54.6. 1

2

tanh�1

�

x

2

�

+ C; 54.7. senh�1

�

x

2

�

+ C;

54.8. arccosh 3 � arccosh 2; 54.9.p

5

5

sech�1

✓

q

2

5

x

◆

+ C; 54.10. 1

2

ln 3; 54.11.

p3

3cosh�1

⇣p3x⌘

+ C;



54.12.p

6

3

sech�1

�

p

x

6

�

+ C; 54.13. 2p7

csch�1

�

p

x

7

�

+ C; 54.14.p

2

2

senh�1

⇣p2

3

sen x

⌘

+ C; 55. 1

2

;

56. A = a

2 senh�

x

1

a

�

; 57. A = 2 senh 1; 58. A = 0; 59. A = senh 3 + senh 1 � 4; 563. ;

Bibliografía

1. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: “Cálculo”. Novena Edición. PEARSON Prentice Hall.

2. Stewart, J.: “Cálculo”. Grupo Editorial Iberoamericano.

Este material ha sido revisado recientemente, pero esto no garantiza que esté libre de errores, por esa razón seagradece reportar cualquier error que usted encuentre en este material enviando un mensaje al correo electrónico

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Cálculo integral - Guía 8Método de integración: Integración por partes

Objetivos a cubrir Código : MAT-CI.8• Método de integración: Integración por partes. Ejercicios resueltos

Ejemplo 169 : IntegreZ

x senx dx.

Solución : Integramos por partes con

u = x

Al derivar��! du = dx

dv = senx dx

Al integrar��! v = � cosx

La integral se transforma en

Integración por partes

u v �Z

v du

#Z

x senx dx =

z }| {

x (� cosx)�Z

(� cosx) dx = �x cosx+

Z

cosx dx = �x cosx+ senx+ C.

Por lo tanto,Z

x senx dx = �x cosx+ senx+ C.

F


z e

z

dz.


u = z

Al derivar��! du = dz

dv = e

z

dz

Al integrar��! v = e

z

La integral se transforma enIntegración por partes

u v �Z

v du

#Z

z e

z

dz =

z }| {

z e

z �Z

e

z

dz = z e

z � e

z

+ C.

Por lo tanto,Z

z e

z

dz = z e

z � e

z

+ C.

F


arcsenx dx.


u = arcsenx

Al derivar��! du =

1p1� x

2dx

dv = dx

Al integrar��! v = x


Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 179



u v �Z

v du

#Z

arcsenx dx =

z }| {

x arcsenx�Z

x

dxp1� x

2= x arcsenx�

Z

x dxp1� x

2,

donde, para obtener la familia de primitiva de la función f (x) =

xp1� x

2, se propone el cambio de variable

z = 1� x

2Cálculo del

��!diferencial

dz = �2x dx =) � dz

2

= x dx,



Z

x dxp1� x

2=

Z � dz

2pz

= � 1

2

Z

dzpz

= � 1

2

Z

z

�1/2dz = � 1

2

z

� 1

2

+1

�1

2

+ 1

+ C1 = � 1

2

z

1

2

1

2

+ C1

= �pz + C1 = �

p1� x

2+ C1,

es decir,Z

x dxp1� x

2= �

p

1� x

2+ C1.

Por lo tanto,Z

arcsenx dx = x arcsenx�Z

x dxp1� x

2= x arcsenx�

⇣

�p

1� x

2+ C1

⌘

= x arcsenx+

p

1� x

2+ C.

FinalmenteZ

arcsenx dx = x arcsenx+

p

1� x

2+ C.

F


lnx dx.


u = lnx


1

x

dx

dv = dx

Al integrar��! v = x



u v �Z

v du

#Z

lnx dx =

z }| {

x lnx�Z

x

dx

x

= x lnx�Z

dx = x lnx� x+ C.,



Por lo tanto,Z

lnx dx = x lnx� x+ C.

F


x

3lnx dx.


u = lnx


1

x

dx

dv = x

3dx

Al integrar��! v =

x

4

4

La integral se transforma enZ

x

3lnx dx =

x

4

4

lnx�Z

x

4

4

1

x

dx =

x

4

4

lnx� 1

4

Z

x

3dx =

x

4

4

lnx� x

4

16

+ C.

Por lo tanto,Z

x

3lnx dx =

x

4

4

lnx� x

4

16

+ C.

F


x

2cosx dx.


u = x

2 Al derivar��! du = 2x dx

dv = cosx dx

Al integrar��! v = senx


x

2cosx dx = x

2senx�

Z

2x senx dx = x

2senx� 2

Z

x senx dx

| {z }

"Ver Ejemplo 169

Resolvemos la nueva integralZ

x senx dx, integramos otra vez por partes con

u = x


dv = senx dx


y obtenemosZ

x senx dx = �x cosx�Z

� cosx dx = �x cosx+

Z

cosx dx = �x cosx+ senx+ C1,

entonces,Z

x

2cosx dx = x

2senx� 2 (�x cosx+ senx+ C1) = x

2senx+ 2x cosx� 2 senx+ C,

así, la familia de primitivas esZ

x

2cosx dx = x

2senx+ 2x cosx� 2 senx+ C.

F




e

px

dx.


p =

px

Cálculo del

��!diferencial

dp =

1

2

px

=) 2p dp = dx,



e

px

dx =

Z

2p e

p

dp = 2

Z

p e

p

dp

| {z }

"Ver Ejemplo 170

integramos por partes conu = p

Al derivar��! du = dp

dv = e

p

dp


p

la integral se transforma,Z

p e

p

dp = p e

p �Z

e

p

dp = p e

p � e

p

+ C1,

como p =

px, se tiene

Z

e

px

dx = 2

⇣px e

px � e

px

+ C1

⌘

= 2e

px

�px� 1

�

+ C,

es decir,Z

e

px

dx = 2e

px

�px� 1

�

+ C.

F


x

3e

x

2

dx.


p = x

2Cálculo del

��!diferencial

dp = 2x dx =) dp

2

= x dx,



x

3e

x

2

dx =

Z

x

2e

x

2

x dx =

Z

p e

p

dp

2

=

1

2

Z

p e

p

dp

| {z }

"Ver Ejemplo 170

integramos por partes conu = p

Al derivar��! du = dp

dv = e

p

dp


p



entonces,Z

p e

p

dp = p e

p �Z

e

p

dp = p e

p � e

p

+ C1

como p = x

2, se tieneZ

x

3e

x

2

dx =

1

2

⇣

x

2e

x

2

� e

x

2

⌘

+ C,

es decir,Z

x

3e

x

2

dx =

e

x

2

2

�

x

2 � 1

�

+ C.

F


x arcsenxp1� x

2dx.


u = arcsenx


1p1� x

2dx

dv =

xp1� x

2dx

Al integrar��! v = �p1� x

2

entonces,Z

x arcsenxp1� x

2dx = �

p

1� x

2arcsenx�

Z

�p

1� x

2dxp1� x

2

= �p1� x

2arcsenx+

Z

dx = �p

1� x

2arcsenx+ x+ C.

Por lo tanto,Z

x arcsenxp1� x

2dx = �

p

1� x

2arcsenx+ x+ C.

F


sen (bx) ln (sen

n

(bx) cos

m

(bx)) dx.

Solución : Por propiedades de ln ( ), tenemos

ln (sen

n

(bx) cos

m

(bx)) = ln (sen

n

(bx)) + ln (cos

m

(bx)) = n ln (sen (bx)) +m ln (cos (bx))

así,Z

sen (bx) ln (sen

n

(bx) cos

m

(bx)) dx =

Z

sen (bx) (n ln (sen (bx)) +m ln (cos (bx))) dx

= n

Z

sen (bx) ln (sen (bx)) dx+m

Z

sen (bx) ln (cos (bx)) dx,

donde,Z

sen (bx) ln (sen (bx)) dx la resolvemos integrando por partes, con

u = ln (sen (bx))

Al derivar��! du = b

cos (bx)

sen (bx)

dx

dv = sen (bx) dx


cos (bx)

b



luego,Z

sen (bx) ln (sen (bx)) dx =

cos (bx)

b

ln (sen (bx))�Z

cos (bx)

b

b

cos (bx)

sen (bx)

dx

=

cos (bx)

b

ln (sen (bx))�Z

cos

2(bx)

sen (bx)

dx

calculamos la integral,Z

cos

2(bx)

sen (bx)

dx, por la identidad trigonométrica básica,

sen

2(·) + cos

2(·) = 1 se tiene cos

2(·) = 1� sen

2(·)

y podemos escribir la integral comoZ

cos

2(bx)

sen (bx)

dx =

Z

1� sen

2(bx)

sen (bx)

dx =

Z

✓

1

sen (bx)

� sen

2(bx)

sen (bx)

◆

dx =

Z

✓

1

sen (bx)

� sen (bx)

◆

dx

=

Z

1

sen (bx)

dx�Z

sen (bx) dx =

Z

csc (bx) dx�Z

sen (bx) dx,

se propone el cambio de variable, para ambas integrales

z = bx

Cálculo del

��!diferencial

dz = b dx =) dz

b

= dx,


Así,Z

csc (bx) dx�Z

sen (bx) dx =

1

b

Z

csc z dz � 1

b

Z

sen z dz =

1

b

ln |csc z � cot z|+ 1

b

cos z + C1

=

1

b

ln |csc (bx)� cot (bx)|+ 1

b

cos (bx) + C1,

con lo que,Z

sen (bx) ln (sen (bx)) dx =

cos (bx)

b

ln (sen (bx))� 1

b

ln |csc (bx)� cot (bx)|� 1

b

cos (bx) + C1.

Calculamos la segunda integralZ

sen (bx) ln (cos (bx)) dx, se propone el cambio de variable, para ambasintegrales

p = cos (bx)

Cálculo del

��!diferencial

dp = � b sen (bx) dx =) � dp

b

= sen (bx) dx,



sen (bx) ln (cos (bx)) dx = �1

b

Z

ln p dp

la cual se resuelve por integración por partes, con

u = ln p


1

p

dp

dv = dp

Al integrar��! v = p



entonces,Z

ln p dp = p ln p�Z

p

1

p

dp = p ln p�Z

dp = p ln p� p+ C2 = p (ln p� 1) + C2,

así,Z

sen (bx) ln (cos (bx)) dx = �1

b

Z

ln p dp = �p

b

(ln p� 1) + C3 = �cos (bx)

b

(ln (cos (bx))� 1) + C3.

Tenemos,Z

sen (bx) ln (sen

n

(bx) cos

m

(bx)) dx = n

Z

sen (bx) ln (sen (bx)) dx+m

Z

sen (bx) ln (cos (bx)) dx

= n

1

b

cos (bx) ln (sen (bx))� 1

b

ln |csc (bx)� cot (bx)|� 1

b

cos (bx)

�

+m

�cos (bx)

b

(ln (cos (bx))� 1)

�

+ C

=

n

b

cos (bx) ln (sen (bx))� ln |csc (bx)� cot (bx)|� cos (bx)

�

�m

b

cos (bx) (ln (cos (bx)) + 1) + C.

LuegoZ

sen (bx) ln (sen

n

(bx) cos

m

(bx)) dx =

n

b

cos (bx) ln (sen (bx))� ln |csc (bx)� cot (bx)|� cos (bx)

�

�m

b

cos (bx) (ln (cos (bx)) + 1) + C.

F


sen

2x dx.

Solución : Observemos queZ

sen

2x dx =

Z

senx senx dx.

Integramos por partes, con

u = senx

Al derivar��! du = cosx dx

dv = senx dx

Al integrar��! v = � cosx.


cos2 x = 1 � sen2

x

#Z

sen

2x dx = � senx cosx�

Z

� cosx cosx dx = � senx cosx+

Z

z }| {

cos

2x dx

= � senx cosx+

Z

�

1� sen

2x

�

dx = � senx cosx+

Z

dx�Z

sen

2x dx

= � senx cosx+ x�Z

sen

2x dx+ C1,



es decir,Z

sen

2x dx = � senx cosx+ x�

Z

sen

2x dx+ C1,

despejamosZ

sen

2x dx,

Z

sen


Z

sen

2x dx+ C1

=)Z

sen

2x dx+

Z

sen

2x dx = � senx cosx+ x+ C1

=) 2

Z

sen


=)Z

sen

2x dx =

1

2

(� senx cosx+ x+ C1)

=)Z

sen

2x dx = � 1

2

senx cosx+

x

2

+ C.

Por lo tanto,Z

sen

2x dx = � 1

2

senx cosx+

x

2

+ C.

F


csc

3x dx.

Solución : Escribimos la integral comoZ

csc

3x dx =

Z

csc

2x cscx dx.


u = cscx

Al derivar��! du = � cscx cotx dx

dv = csc

2x dx

Al integrar��! v = � cotx,


csc

3x dx = cscx (� cotx)�

Z

(� cotx) (� cscx cotx) dx = � cscx cotx�Z

cscx cot

2x dx,

es conocido quecot

2x = csc

2x� 1,

así,

cot2 x = csc2 x � 1

#Z

csc

3x dx = � cscx cotx�

Z

cscx

z }| {

cot


Z

cscx

�

csc

2x� 1

�

dx

= � cscx cotx�Z

�

csc

3x� cscx

�

dx = � cscx cotx�Z

csc

3x dx+

Z

cscx dx

= � cscx cotx�Z

csc

3x dx+ ln |cscx� cotx|+ C1,



es decir,Z

csc


Z

csc

3x dx+ ln |cscx� cotx|+ C1,

de aquí,

2

Z

csc

3x dx = � cscx cotx+ ln |cscx� cotx|+ C1,

con lo que,Z

csc

3x dx = � 1

2

cscx cotx+

1

2

ln |cscx� cotx|+ C.

F


sec

5(ax) dx.


sec

5(ax) dx =

Z

sec

3(ax) sec

2(ax) dx.


u = sec

3(ax)

Al derivar��! du = 3a sec

3(ax) tan (ax) dx

dv = sec

2(ax) dx


1

a

tan (ax) ,


sec

5(ax) dx =

1

a

sec

3(ax) tan (ax)�

Z

1

a

tan (ax) 3a sec

3(ax) tan (ax) dx

tan2 (ax) = sec2 (ax) � 1

#

=

1

a

sec

3(ax) tan (ax)� 3

Z

sec

3(ax)

z }| {

tan

2(ax) dx

=

1

a

sec

3(ax) tan (ax)� 3

Z

sec

3(ax)

�

sec

2(ax)� 1

�

dx

=

1

a

sec

3(ax) tan (ax)� 3

Z

�

sec

5(ax)� sec

3(ax)

�

dx

=

1

a

sec

3(ax) tan (ax)� 3

Z

sec

5(ax) dx+ 3

Z

sec

3(ax) dx,

es decir,Z

sec

5(ax) dx =

1

a

sec

3(ax) tan (ax)� 3

Z

sec

5(ax) dx+ 3

Z

sec

3(ax) dx,

despejamosZ

sec

5(ax) dx

Z

sec

5(ax) dx =

1

a

sec

3(ax) tan (ax)� 3

Z

sec

5(ax) dx+ 3

Z

sec

3(ax) dx

=)Z

sec

5(ax) dx+ 3

Z

sec

5(ax) dx =

1

a

sec

3(ax) tan (ax) + 3

Z

sec

3(ax) dx

=) 4

Z

sec

5(ax) dx =

1

a

sec

3(ax) tan (ax) + 3

Z

sec

3(ax) dx

=)Z

sec

5(ax) dx =

1

4a

sec

3(ax) tan (ax) +

3

4

Z

sec

3(ax) dx,



para resolver la integral de la secante cúbica aplicamos el método de integración por partes. Escribimos la integralcomo

Z

sec

3(ax) dx =

Z

sec

2(ax) sec (ax) dx,

integramos por partes, con

u = sec (ax)

Al derivar��! du = a sec (ax) tan (ax) dx

dv = sec

2(ax) dx


1

a

tan (ax) .


sec

3(ax) dx =

1

a

sec (ax) tan (ax)�Z

1

a

tan (ax) a sec (ax) tan (ax) dx

tan2 (ax) = sec2 (ax) � 1

#

=

1

a


sec (ax)

z }| {

tan

2(ax) dx

=

1

a


sec (ax)

�

sec

2(ax)� 1

�

dx

=

1

a


�

sec

3(ax)� sec (ax)

�

dx

=

1

a


sec

3(ax) dx+

Z

sec (ax) dx

=

1

a


sec

3(ax) dx+ ln |sec (ax) + tan (ax)|+ C2,

es decir,Z

sec

3(ax) dx =

1

a


sec

3(ax) dx+ ln |sec (ax) + tan (ax)|+ C2,

despejamosZ

sec

3(ax) dx

Z

sec

3(ax) dx+

Z

sec

3(ax) dx =

1

a

sec (ax) tan (ax) + ln |sec (ax) + tan (ax)|+ C2,

de aquí,

2

Z

sec

3(ax) dx =

1

a

sec (ax) tan (ax) + ln |sec (ax) + tan (ax)|+ C2,

con lo que,Z

sec

3(ax) dx =

1

2a

sec (ax) tan (ax) +

1

2

ln |sec (ax) + tan (ax)|+ C1.

Luego,Z

sec

5(ax) dx =

1

4a

sec

3(ax) tan (ax) +

3

4

Z

sec

3(ax) dx

=

1

4a

sec

3(ax) tan (ax) +

3

4

1

2a

sec (ax) tan (ax) +

1

2

ln |sec (ax) + tan (ax)|+ C1

�

=

1

4a

sec

3(ax) tan (ax) +

3

8a

sec (ax) tan (ax) +

3

8

ln |sec (ax) + tan (ax)|+ C.



FinalmenteZ

sec

5(ax) dx =

1

4a

sec

3(ax) tan (ax) +

3

8a

sec (ax) tan (ax) +

3

8

ln |sec (ax) + tan (ax)|+ C.

F


x arcsenx dx.

Solución : Integramos por partes, con

u = arcsenx


1p1� x

2dx

dv = x dx


x

2

2

,

entonces,Z

x arcsenx dx =

x

2

2

arcsenx�Z

x

2

2

1p1� x

2dx =

x

2

2

arcsenx+

1

2

Z �x2

p1� x

2dx

Resolvemos la integralZ �x2

p1� x

2dx

Z �x2

p1� x

2dx =

Z �x2+ 1� 1p1� x

2dx =

Z

�

1� x

2�

� 1

p1� x

2dx =

Z

✓

1� x

2

p1� x

2� 1p

1� x

2

◆

dx

=

Z

1� x

2

p1� x

2dx�

Z

1p1� x

2dx,

dondeZ

1p1� x

2dx = arcsenx+ C1,

mientras que,Z

1� x

2

p1� x

2dx =

Z

1� x

2

(1� x

2)

1/2dx =

Z

p

1� x

2dx

e integramos por partes, con

u =

p1� x

2 Al derivar��! du =

�xp1� x

2dx

dv = dx

Al integrar��! v = x,

así,Z

p

1� x

2dx = x

p

1� x

2 �Z

x

�xp1� x

2dx = x

p

1� x

2+

Z

x

2

p1� x

2dx,

es decir,Z

p

1� x

2dx = x

p

1� x

2+

Z

x

2

p1� x

2dx

Luego,Z �x2

p1� x

2dx =

Z

1� x

2

p1� x

2dx�

Z

1p1� x

2dx =

Z

p

1� x

2dx� arcsenx+ C2

= x

p1� x

2+

Z

x

2

p1� x

2dx� arcsenx+ C2,



con lo que,Z �x2

p1� x

2dx = x

p

1� x

2+

Z

x

2

p1� x

2dx� arcsenx+ C2,

despejamosZ �x2

p1� x

2dx,

Z �x2

p1� x

2dx = x

p

1� x

2+

Z

x

2

p1� x

2dx� arcsenx+ C2

=)Z �x2

p1� x

2dx�

Z

x

2

p1� x

2dx = x

p

1� x

2 � arcsenx+ C2

=) 2

Z �x2

p1� x

2dx = x

p

1� x

2 � arcsenx+ C2

=)Z �x2

p1� x

2dx =

1

2

x

p

1� x

2 � 1

2

arcsenx+ C1.

Así, se tiene queZ

x arcsenx dx =

x

2

2

arcsenx+

1

2

Z �x2

p1� x

2dx =

x

2

2

arcsenx+

1

2

✓

1

2

x

p

1� x

2 � 1

2

arcsenx+ C1

◆

.

Luego,Z

x arcsenx dx =

x

2

2

arcsenx+

x

4

p

1� x

2 � 1

4

arcsenx+ C.

F


cos (3x) sen (5x) dx.


u = sen (5x)

Al derivar��! du = 5 cos (5x) dx

dv = cos (3x) dx


1

3

sen (3x) ,

la integral quedaZ

cos (3x) sen (5x) dx =

1

3

sen (5x) sen (3x)�Z

1

3

sen (3x) 5 cos (5x) dx

=

1

3

sen (5x) sen (3x)� 5

3

Z

sen (3x) cos (5x) dx

para resolver la integralZ

sen (3x) cos (5x) dx, integramos, de nuevo, por partes con

u = cos (5x)

Al derivar��! du = �5 sen (5x) dx

dv = sen (3x) dx

Al integrar��! v = �1

3

cos (3x) ,

y obtenemosZ

sen (3x) cos (5x) dx = cos (5x)

✓

�1

3

cos (3x)

◆

�Z

✓

�1

3

cos (3x)

◆

(�5 sen (5x)) dx

= � 1

3

cos (5x) cos (3x)� 5

3

Z

cos (3x) sen (5x) dx,



entonces,Z


1

3


3

Z

sen (3x) cos (5x) dx

=

1

3


3

✓

� 1

3

cos (5x) cos (3x)� 5

3

Z

cos (3x) sen (5x) dx

◆

=

1

3

sen (5x) sen (3x) +

5

9

cos (5x) cos (3x) +

25

9

Z


es decir,Z


1

3

sen (5x) sen (3x) +

5

9

cos (5x) cos (3x) +

25

9

Z


despejandoZ


Z


1

3

sen (5x) sen (3x) +

5

9

cos (5x) cos (3x) +

25

9

Z


=)Z

cos (3x) sen (5x) dx� 25

9

Z


1

3

sen (5x) sen (3x) +

5

9

cos (5x) cos (3x) + C1

=)✓

1� 25

9

◆

Z


1

3

sen (5x) sen (3x) +

5

9


=) � 16

9

Z


1

3

sen (5x) sen (3x) +

5

9


=)Z

cos (3x) sen (5x) dx = � 3

16


16

cos (5x) cos (3x) + C.

Luego,Z

cos (3x) sen (5x) dx = � 3

16


16

cos (5x) cos (3x) + C.

F


sen

⇣

x

2

⌘

sen (4x) dx.


u = sen

⇣

x

2

⌘


1

2

cos

⇣

x

2

⌘

dx

dv = sen (4x) dx

Al integrar��! v = � 1

4

cos (4x) ,

la integral quedaZ

sen

⇣

x

2

⌘

sen (4x) dx = sen

⇣

x

2

⌘

✓

� 1

4

cos (4x)

◆

�Z

✓

� 1

4

cos (4x)

◆✓

1

2

cos

⇣

x

2

⌘

◆

dx

= � 1

4

sen

⇣

x

2

⌘

cos (4x) +

1

8

Z

cos (4x) cos

⇣

x

2

⌘

dx

para resolver la integralZ

cos (4x) cos

⇣

x

2

⌘

dx, integramos, de nuevo, por partes con

u = cos

⇣

x

2

⌘

Al derivar��! du = � 1

2

sen

⇣

x

2

⌘

dx

dv = cos (4x) dx


1

4

sen (4x) ,



y obtenemosZ

cos (4x) cos

⇣

x

2

⌘

dx =

1

4

cos

⇣

x

2

⌘

sen (4x)�Z

1

4

sen (4x)

✓

� 1

2

sen

⇣

x

2

⌘

◆

dx

=

1

4

cos

⇣

x

2

⌘

sen (4x) +

1

8

Z

sen (4x) sen

⇣

x

2

⌘

dx,

entonces,Z

sen

⇣

x

2

⌘

sen (4x) dx = � 1

4

sen

⇣

x

2

⌘

cos (4x) +

1

8

Z

cos (4x) cos

⇣

x

2

⌘

dx

= � 1

4

sen

⇣

x

2

⌘

cos (4x) +

1

8

✓

1

4

cos

⇣

x

2

⌘

sen (4x) +

1

8

Z

sen (4x) sen

⇣

x

2

⌘

dx

◆

= � 1

4

sen

⇣

x

2

⌘

cos (4x) +

1

32

cos

⇣

x

2

⌘

sen (4x) +

1

64

Z

sen (4x) sen

⇣

x

2

⌘

dx,

es decir,Z

sen

⇣

x

2

⌘

sen (4x) dx = � 1

4

sen

⇣

x

2

⌘

cos (4x) +

1

32

cos

⇣

x

2

⌘

sen (4x) +

1

64

Z

sen (4x) sen

⇣

x

2

⌘

dx,

despejandoZ

sen

⇣

x

2

⌘

sen (4x) dx

Z

sen

⇣

x

2

⌘

sen (4x) dx = � 1

4

sen

⇣

x

2

⌘

cos (4x) +

1

32

cos

⇣

x

2

⌘

sen (4x) +

1

64

Z

sen (4x) sen

⇣

x

2

⌘

dx

=)Z

sen

⇣

x

2

⌘

sen (4x) dx� 1

64

Z

sen (4x) sen

⇣

x

2

⌘

dx = � 1

4

sen

⇣

x

2

⌘

cos (4x)

+

1

32

cos

⇣

x

2

⌘

sen (4x) + C1

=)✓

1� 1

64

◆

Z

sen

⇣

x

2

⌘

sen (4x) dx = � 1

4

sen

⇣

x

2

⌘

cos (4x) +

1

32

cos

⇣

x

2

⌘

sen (4x) + C1

=) 63

64

Z

sen

⇣

x

2

⌘

sen (4x) dx = � 1

4

sen

⇣

x

2

⌘

cos (4x) +

1

32

cos

⇣

x

2

⌘

sen (4x) + C1

=)Z

sen

⇣

x

2

⌘

sen (4x) dx = � 16

63

sen

⇣

x

2

⌘

cos (4x) +

2

63

cos

⇣

x

2

⌘

sen (4x) + C.

Luego,Z

sen

⇣

x

2

⌘

sen (4x) dx = � 16

63

sen

⇣

x

2

⌘

cos (4x) +

2

63

cos

⇣

x

2

⌘

sen (4x) + C.

F


x cosx senx dx.


u = x


dv = cosx senx dx


sen

2x

2

,



la integral se transforma enZ

x cosx senx dx = x

sen

2x

2

�Z

sen

2x

2

dx =

x sen

2x

2

� 1

2

Z

sen

2x

| {z }

dx,

"Ver Ejemplo 179

para obtener la integral de la función f (x) = sen

2x escribimos la integral como

Z

sen

2x dx =

Z

senx senx dx,

e integramos por partes, con

u = senx

Al derivar��! du = cosx dx

dv = senx dx

Al integrar��! v = � cosx.


cos2 x = 1 � sen2

x

#Z

sen

2x dx = � senx cosx�

Z

� cosx cosx dx = � senx cosx+

Z

z }| {

cos

2x dx

= � senx cosx+

Z

�

1� sen

2x

�

dx = � senx cosx+

Z

dx�Z

sen

2x dx

= � senx cosx+ x�Z

sen

2x dx+ C2,

es decir,Z

sen


Z

sen

2x dx+ C2,

despejamosZ

sen

2x dx,

Z

sen


Z

sen

2x dx+ C2

=)Z

sen

2x dx+

Z

sen


=) 2

Z

sen

2x dx = � senx cosx+ x+ C2 =)

Z

sen

2x dx =

1

2

(� senx cosx+ x+ C2)

=)Z

sen

2x dx = � 1

2

senx cosx+

x

2

+ C1.

Por lo tanto,Z

sen

2x dx = � 1

2

senx cosx+

x

2

+ C1,

entonces,Z

x cosx senx dx =

x sen

2x

2

� 1

2

Z

sen

2x dx =

x sen

2x

2

� 1

2

� 1

2

senx cosx+

x

2

+ C1

�

=

x sen

2x

2

+

senx cosx

4

� x

4

+ C.



Finalmente,Z

x cosx senx dx =

x sen

2x

2

+

senx cosx

4

� x

4

+ C.

F


e

x

cosx dx.


u = e

x

Al derivar��! du = e

x

dx

dv = cosx dx

Al integrar��! v = senx,


e

x

cosx dx = e

x

senx�Z

e

x

senx dx,

para resolverZ

e

x

senx dx, integramos por partes, con

u = e

x

Al derivar��! du = e

x

dx

dv = senx dx

Al integrar��! v = � cosx,

y obtenemos queZ

e

x

senx dx = e

x

(� cosx)�Z

e

x

(� cosx) dx = � e

x

cosx+

Z

e

x

cosx dx,

así,Z

e

x

cosx dx = e

x

senx�Z

e

x

senx dx = e

x

senx�✓

� e

x

cosx+

Z

e

x

cosx dx

◆

= e

x

senx+ e

x

cosx�Z

e

x

cosx dx,

es decir,Z

e

x

cosx dx = e

x

senx+ e

x

cosx�Z

e

x

cosx dx,

despejandoZ

e

x

cosx dx

Z

e

x

cosx dx = e

x

senx+ e

x

cosx�Z

e

x

cosx dx

=)Z

e

x

cosx dx+

Z

e

x

cosx dx = e

x

senx+ e

x

cosx+ C1

=) 2

Z

e

x

cosx dx = e

x

senx+ e

x

cosx+ C1

=)Z

e

x

cosx dx =

1

2

(e

x

senx+ e

x

cosx+ C1)

=)Z

e

x

cosx dx =

1

2

e

x

senx+

1

2

e

x

cosx+ C.



LuegoZ

e

x

cosx dx =

1

2

e

x

senx+

1

2

e

x

cosx+ C.

F


a

x

sen (bx) dx, con a > 0 y a 6= 1.


u = a

x

Al derivar��! du = a

x

ln a dx

dv = sen (bx) dx

Al integrar��! v = � 1

b

cos (bx) ,


a

x

sen (bx) dx = a

x

✓

� 1

b

cos (bx)

◆

�Z

✓

� 1

b

cos (bx)

◆

(a

x

ln a) dx

= � 1

b

a

x

cos (bx) +

ln a

b

Z

a

x

cos (bx) dx,

es decir,Z

a

x

sen (bx) dx = � 1

b

a

x

cos (bx) +

ln a

b

Z

a

x

cos (bx) dx,

para resolverZ

a

x

cos (bx) dx, integramos por partes, con

u = a

x

Al derivar��! du = a

x

ln a dx

dv = cos (bx) dx


1

b

sen (bx) ,

y obtenemos queZ

a

x

cos (bx) dx = a

x

✓

1

b

sen (bx)

◆

�Z

✓

1

b

sen (bx)

◆

(a

x

ln a) dx

=

1

b

a

x

sen (bx)� ln a

b

Z

a

x

sen (bx) dx,

de aquí,Z

a

x

cos (bx) dx =

1

b

a

x

sen (bx)� ln a

b

Z

a

x

sen (bx) dx,

por lo tanto,Z

a

x

sen (bx) dx = � 1

b

a

x

cos (bx) +

ln a

b

Z

a

x

cos (bx) dx

= � 1

b

a

x

cos (bx) +

ln a

b

✓

1

b

a

x

sen (bx)� ln a

b

Z

a

x

sen (bx) dx

◆

= � 1

b

a

x

cos (bx) +

ln a

b

2a

x

sen (bx)� ln

2a

b

2

Z

a

x

sen (bx) dx,

es decir,Z

a

x

sen (bx) dx = � 1

b

a

x

cos (bx) +

ln a

b

2a

x

sen (bx)� ln

2a

b

2

Z

a

x

sen (bx) dx,



despejamosZ

a

x

sen (bx) dx

Z

a

x

sen (bx) dx = � 1

b

a

x

cos (bx) +

ln a

b

2a

x

sen (bx)� ln

2a

b

2

Z

a

x

sen (bx) dx

=)Z

a

x

sen (bx) dx+

ln

2a

b

2

Z

a

x

sen (bx) dx = � 1

b

a

x

cos (bx) +

ln a

b

2a

x

sen (bx) + C1

=)✓

1 +

ln

2a

b

2

◆

Z

a

x

sen (bx) dx = � 1

b

a

x

cos (bx) +

ln a

b

2a

x

sen (bx) + C1

=) b

2+ ln

2a

b

2

Z

a

x

sen (bx) dx = � 1

b

a

x

cos (bx) +

ln a

b

2a

x

sen (bx) + C1

=)Z

a

x

sen (bx) dx =

b

2

b

2+ ln

2a

✓

� 1

b

a

x

cos (bx) +

ln a

b

2a

x

sen (bx) + C1

◆

=)Z

a

x

sen (bx) dx = � b

b

2+ ln

2a

a

x

cos (bx) +

ln a

b

2+ ln

2a

a

x

sen (bx) + C.

Luego,Z

a

x

sen (bx) dx = � b

b

2+ ln

2a

a

x

cos (bx) +

ln a

b

2+ ln

2a

a

x

sen (bx) + C.

F


ln

⇣

x

p

1 + x

2⌘

dx.


u = ln

�

x

p1 + x

2�


2x

2+ 1

x (1 + x

2)

dx

dv = dx



ln

⇣

x

p

1 + x

2⌘

dx = x ln

⇣

x

p

1 + x

2⌘

�Z

x

2x

2+ 1

x (1 + x

2)

dx = x ln

⇣

x

p

1 + x

2⌘

�Z

2x

2+ 1

1 + x

2dx,

donde,Z

2x

2+ 1

1 + x

2dx =

Z

2x

2+ 1 + 1� 1

1 + x

2dx =

Z

2x

2+ 2� 1

1 + x

2dx =

Z

✓

2x

2+ 2

1 + x

2� 1

1 + x

2

◆

dx

=

Z

2

�

x

2+ 1

�

1 + x

2� 1

1 + x

2

!

dx =

Z

✓

2� 1

1 + x

2

◆

dx = 2x� arctanx+ C1,

por lo tanto,Z

ln

⇣

x

p

1 + x

2⌘

dx = x ln

⇣

x

p

1 + x

2⌘

�Z

2x

2+ 1

1 + x

2dx = x ln

⇣

x

p

1 + x

2⌘

� (2x� arctanx) + C

= x ln

�

x

p1 + x

2�

� 2x+ arctanx+ C.

Luego,Z

ln

⇣

x

p

1 + x

2⌘

dx = x ln

⇣

x

p

1 + x

2⌘

� 2x+ arctanx+ C.

F




⇡

0

x

2cosx dx.


u = x

2 Al derivar��! du = 2x dx

dv = cosx dx

Al integrar��! v = senx,

la integral se transforma en


el límite superior

#


el límite inferior

#Z

⇡

0

x

2cosx dx =

✓

x

2senx

�

�

�

�

⇡

0

�Z

⇡

0

2x senx dx =

z }| {

(⇡)

2sen (⇡)

!

�

z }| {

(0)

2sen (0)

!

�Z

⇡

0

2x senx dx,

como sen (⇡) = sen (0) = 0, entoncesZ

⇡

0

x

2cosx dx = �2

Z

⇡

0

x senx dx.

para resolver la nueva integralZ

⇡

0

x senx dx, integramos por partes, con

u = x


dv = senx dx




el límite superior

#


el límite inferior

#Z

⇡

0

x senx dx =

✓

�x cosx�

�

�

�

⇡

0

�Z

⇡

0

� cosx dx =

✓

z }| {

� (⇡) cos (⇡)

◆

�✓

z }| {

� (0) cos (0)

◆

+

Z

⇡

0

cosx dx,

como cos (⇡) = �1 y cos (0) = 1, entoncesZ

⇡

0

x senx dx = � (⇡) (�1)� (� (0) (1)) +

Z

⇡

0

cosx dx = ⇡ +

Z

⇡

0

cosx dx,

de aquí,Z

⇡

0

x

2cosx dx = �2

Z

⇡

0

x senx dx = �2✓

⇡ +

Z

⇡

0

cosx dx

◆

= �2⇡ � 2

Z

⇡

0

cosx dx.

Resolvemos la integralZ

⇡

0

cosx dx,


el límite superior

#


el límite inferior

#Z

⇡

0

cosx dx =

✓

senx

�

�

�

�

⇡

0

=

z }| {

sen (⇡)�z }| {

sen (0) = 0,



de aquí,Z

⇡

0

x

2cosx dx = �2

Z

⇡

0

x senx dx = �2⇡ � 2

Z

⇡

0

cosx dx = �2⇡ � 2 (0) = �2⇡.

Luego,Z

⇡

0

x

2cosx dx = �2⇡.

F


e

1

x ln

3x dx.


u = ln

3x


3 ln

2x

x

dx

dv = x dx


x

2

2

,

la integral se transforma en


el límite superior

#


el límite inferior

#Z

e

1

x ln

3x dx =

✓

x

2ln

3x

2

�

�

�

�

e

1

�Z

e

1

x

2

2

3 ln

2x

x

dx =

0

B

@

z }| {

(e)

2ln

3(e)

2

1

C

A

�

0

B

@

z }| {

(1)

2ln

3(1)

2

1

C

A

� 3

2

Z

e

1

x ln

2x dx

=

e

2(ln e)

3

2

� (1) (ln 1)

3

2

� 3

2

Z

e

1

x ln

2x dx =

e

2(1)

3

2

� (1) (0)

3

2

� 3

2

Z

e

1

x ln

2x dx

=

e

2

2

� 3

2

Z

e

1

x ln

2x dx,

es decir,Z

e

1

x ln

3x dx =

e

2

2

� 3

2

Z

e

1

x ln

2x dx,


e

1

x ln

2x dx, integramos por partes, con

u = ln

2x


2 lnx

x

dx

dv = x dx


x

2

2



el límite superior

#


el límite inferior

#Z

e

1

x ln

2x dx =

✓

x

2ln

2x

2

�

�

�

�

e

1

�Z

e

1

x

2

2

2 lnx

x

dx =

0

B

@

z }| {

(e)

2ln

2(e)

2

1

C

A

�

0

B

@

z }| {

(1)

2ln

2(1)

2

1

C

A

�Z

e

1

x lnx dx

=

e

2(ln e)

2

2

� (1) (ln 1)

2

2

�Z

e

1

x lnx dx =

e

2(1)

2

2

� (1) (0)

2

2

�Z

e

1

x lnx dx =

e

2

2

�Z

e

1

x lnx dx,



es decir,Z

e

1

x ln

2x dx =

e

2

2

�Z

e

1

x lnx dx,


e

1

x lnx dx, integramos por partes, con

u = lnx


1

x

dx

dv = x dx


x

2

2



el límite superior

#


el límite inferior

#Z

e

1

x lnx dx =

✓

x

2lnx

2

�

�

�

�

e

1

�Z

e

1

x

2

2

1

x

dx =

0

B

@

z }| {

(e)

2ln (e)

2

1

C

A

�

0

B

@

z }| {

(1)

2ln (1)

2

1

C

A

� 1

2

Z

e

1

x dx


el límite superior

#


el límite inferior

#

=

e

2(1)

2

� (1) (0)

2

� 1

2

Z

e

1

x dx =

e

2

2

� 1

2

✓

x

2

2

�

�

�

�

e

1

=

e

2

2

� 1

2

0

B

@

0

B

@

z}|{

(e)

2

2

1

C

A

�

0

B

@

z}|{

(1)

2

2

1

C

A

1

C

A

=

e

2

2

� 1

2

✓

e

2

2

� 1

2

◆

=

e

2

2

� e

2

4

+

1

4

=

e

2

4

+

1

4

,

es decir,Z

e

1

x lnx dx =

e

2

4

+

1

4

,

así,Z

e

1

x ln

3x dx =

e

2

2

� 3

2

Z

e

1

x ln

2x dx =

e

2

2

� 3

2

✓

e

2

2

�Z

e

1

x lnx dx

◆

=

e

2

2

� 3e

2

4

+

3

2

Z

e

1

x lnx dx

= �e

2

4

+

3

2

✓

e

2

4

+

1

4

◆

= �e

2

4

+

3e

2

8

+

3

8

=

e

2

8

+

3

8

.

Luego,Z

e

1

x ln

3x dx =

e

2

8

+

3

8

.

F


sec

3(arcsenx)p1� x

2dx.


z = arcsenx

Cálculo del

��!diferencial

dz =

1p1� x

2dx,




Entonces, la integral queda,Z

sec

3(arcsenx)p1� x

2dx =

Z

sec

3z dz.

Escribimos la integral comoZ

sec

3z dz =

Z

sec

2z sec z dz.


u = sec z

Al derivar��! du = sec z tan z dz

dv = sec

2z dz

Al integrar��! v = tan z.


sec

3z dz = sec z tan z �

Z

tan z sec z tan z dz = sec z tan z �Z

sec z tan

2z dz,

por la identidad trigonométrica

tan

2z + 1 = sec

2z, se tiene que tan

2z = sec

2z � 1,

así,Z

sec


Z

sec z tan


Z

sec z

�

sec

2z � 1

�

dz

= sec z tan z �Z

sec

3z dz +

Z

sec z dz = sec z tan z �Z

sec

3z dz + ln |sec z + tan z|+ C,

es decir,Z

sec


Z

sec

3z dz + ln |sec z + tan z|+ C,

de aquí,

2

Z

sec

3z dz = sec z tan z + ln |sec z + tan z|+ C,

con lo que,Z

sec

3z dz =

1

2

sec z tan z +

1

2

ln |sec z + tan z|+ C,

como z = arcsenx, se tiene queZ

sec

3(arcsenx)p1� x

2dx =

1

2

sec (arcsenx) tan (arcsenx) +

1

2

ln |sec (arcsenx) + tan (arcsenx)|+ C.

Observemos que:

• El término sec (arcsenx) tan (arcsenx) de la familia de primitiva, se puede escribir como,

sec (arcsenx) tan (arcsenx) =

1

cos (arcsenx)

sen (arcsenx)

cos (arcsenx)

=

sen (arcsenx)

cos

2(arcsenx)

,


sen

2(·) + cos

2(·) = 1, se tiene que cos

2(·) = 1� sen

2(·) ,

se tiene,

sec (arcsenx) tan (arcsenx) =

sen (arcsenx)

1� sen

2(arcsenx)

=

x

1 + x

2

• El argumento de la expresión logaritmo natural, sec (arcsenx) + tan (arcsenx), se puede escribir

sec (arcsenx) + tan (arcsenx) =

1

cos (arcsenx)

+

sen (arcsenx)

cos (arcsenx)

.



Por otra parte, es conocido quecos (arcsenx) =

p

1� x

2,

así,

sec (arcsenx) + tan (arcsenx) =

1p1� x

2+

xp1� x

2=

1 + xp1� x

2=

r

x+ 1

1� x

.

Por lo tanto,Z

sec

3(arcsenx)p1� x

2dx =

x

2 (1 + x

2)

+

1

2

ln

�

�

�

�

�

r

x+ 1

1� x

�

�

�

�

�

+ C =

x

2 (1 + x

2)

+

1

4

ln

�

�

�

�

x+ 1

1� x

�

�

�

�

+ C.

Finalmente,Z

sec

3(arcsenx)p1� x

2dx =

x

2 (1 + x

2)

+

1

4

ln

�

�

�

�

x+ 1

1� x

�

�

�

�

+ C.

F

Ejemplo 192 : Demostrar la fórmula de reducciónZ

�

x

2+ a

2�

n

dx =

x

�

x

2+ a

2�

n

2n+ 1

+

2na

2

2n+ 1

Z

�

x

2+ a

2�

n�1dx,

con n 6= � 1

2

.

Demostración : Integramos por partes, con

u =

�

x

2+ a

2�

n

Al derivar��! du = 2nx

�

x

2+ a

2�

n�1dx

dv = dx


entonces,Z

�

x

2+ a

2�

n

dx = x

�

x

2+ a

2�

n �Z

x 2nx

�

x

2+ a

2�

n�1dx

= x

�

x

2+ a

2�

n � 2n

Z

x

2�

x

2+ a

2�

n�1dx

= x

�

x

2+ a

2�

n � 2n

Z

�

x

2+ a

2 � a

2� �

x

2+ a

2�

n�1dx

= x

�

x

2+ a

2�

n � 2n

Z

⇥�

x

2+ a

2�

� a

2⇤ �

x

2+ a

2�

n�1dx

= x

�

x

2+ a

2�

n � 2n

✓

Z

�

x

2+ a

2� �

x

2+ a

2�

n�1dx�

Z

a

2�

x

2+ a

2�

n�1dx

◆

= x

�

x

2+ a

2�

n � 2n

Z

�

x

2+ a

2�

n

dx+ 2na

2

Z

�

x

2+ a

2�

n�1dx

así,Z

�

x

2+ a

2�

n

dx = x

�

x

2+ a

2�

n � 2n

Z

�

x

2+ a

2�

n

dx+ 2na

2

Z

�

x

2+ a

2�

n�1dx

=)Z

�

x

2+ a

2�

n

dx+ 2n

Z

�

x

2+ a

2�

n

dx = x

�

x

2+ a

2�

n

+ 2na

2

Z

�

x

2+ a

2�

n�1dx

=) (1 + 2n)

Z

�

x

2+ a

2�

n

dx = x

�

x

2+ a

2�

n

+ 2na

2

Z

�

x

2+ a

2�

n�1dx



despejandoZ

�

x

2+ a

2�

n

dx =

x

�

x

2+ a

2�

n

1 + 2n

+

2na

2

1 + 2n

Z

�

x

2+ a

2�

n�1dx,

con n 6= � 1

2

. F

Ejemplo 193 : Demuestre queZ

x

n

dxp1� x

2= �xn�1

p

1� x

2+ (n� 1)

Z

x

n�2p

1� x

2dx.

Demostración : Escribimos la integral comoZ

x

n

dxp1� x

2=

Z

x

n�1 xp1� x

2dx


u = x

n�1 Al derivar��! du = (n� 1)x

n�2dx

dv =

xp1� x

2dx

Al integrar��! v = �p1� x

2.


x

n

dxp1� x

2= x

n�1⇣

�p

1� x

2⌘

�Z

⇣

�p

1� x

2⌘

(n� 1)x

n�2dx

= �xn�1p1� x

2+ (n� 1)

Z

x

n�2p

1� x

2dx,

entonces,Z

x

n

dxp1� x

2= �xn�1

p

1� x

2+ (n� 1)

Z

x

n�2p

1� x

2dx.

F

Ejercicios


1.

Z

xe

x

dx 2.

Z

x

e

x

dx 3.

Z

x 2

�x

dx 4.

Z

x senx dx 5.

Z

t cos t dt

6.

Z

xe

2xdx 7.

Z

x

2

e

3xdx 8.

Z

x

23

x

dx 9.

Z

x

2senx dx 10.

Z

t

3sen t dt

11.

Z

lnx dx 12.

Z

arctanx dx 13.

Z

arcsenx dx 14.

Z

4x ln (2x) dx

15.

Z px lnx dx 16.

Z

x arctanx dx 17.

Z

x arcsenx dx 18.

Z

x

3e

x

2

dx

19.

Z

cos

2x dx 20.

Z

✓ cos (3✓) d✓ 21.

Z

x

5cos

�

x

3�

dx 22.

Z

�

t

2+ 5t+ 6

�

cos (2t) dt

23.

Z

sec

3✓ d✓ 24.

Z

e

x

senx dx 25.

Z

sen (3x) cos (5x) dx 26.

Z

x senx cosx dx

27.

Z

x

2lnx dx 28.

Z

lnxpx

dx 29.

Z

e

5xcos (2x) dx 30.

Z

cos

⇣

x

2

⌘

cos

⇣

x

3

⌘

dx



31.

Z

z

2e

3zdz 32.

Z

t

2e

�t/2dt 33.

Z

e

at

cos (bt) dt 34.

Z

�

x

2 � 2x+ 5

�

e

�x

dx

35.

Z

x dx

sen

2x

36.

Z

x ln

✓

1� x

1 + x

◆

dx 37.

Z

x

2arctan (3x) dx 38.

Z

5

x

sen (5x) dx

39.

Z

ln

2x dx 40.

Z

e

px

dx 41.

Z

e

ax

sen (bx) dx 42.

Z

ln

⇣

x

p

1 + x

2⌘

dx

43.

Z

sen (lnx) dx 44.

Z

y

3e

�y

2

dy 45.

Z

x cosx

sen

2x

dx 46.

Z

3

x

cosx dx

47.

Z

x

5e

x

2

dx 48.

Z

ln

2t

t

2dt 49.

Z

ln (lnx)

x

dx 50.

Z

�

x

2 � 2x+ 3

�

lnx dx

51.

Z

t

3e

t

dt 52.

Z

p

1� x

2dx 53.

Z

x tan

2(2x) dx 54.

Z

x (arctanx)

2dx

55.

Z

lnx

x

3dx 56.

Z

arcsen

p✓p

1� ✓

d✓ 57.

Z

cosx cos

2(3x) dx 58.

Z

sen

2x

e

x

dx

59.

Z

x csc

2x dx 60.

Z

x tan

�1x dx 61.

Z

cos

2(lnx) dx 62.

Z

cos t ln (sen t) dt

63.

Z

(lnx)

2dx 64.

Z

sen

�px

�

dx 65.

Z

x

2cos (3x) dx 66.

Z

x cos

2x senx dx

67.

Z

sec

5✓ d✓ 68.

Z

x dx

cos

3(x

2)

69.

Z

x e

x

(x+ 1)

2 dx 70.

Z

(arcsenx)

2dx

71.

Z

x

3lnx dx 72.

Z

t sen (4t) dt 73.

Z

sec

3(ax+ b) dx 74.

Z

x

2sen (2x) dx

75.

Z

x 5

x

dx 76.

Z

x

2e

x

(x+ 2)

2 dx 77.

Z

sec

5(ax+ b) dx 78.

Z

lnx dx

(lnx+ 1)

2

79.

Z

z cos (2z) dz 80.

Z

x sen

2x dx 81.

Z

e

�✓

cos (3✓) d✓ 82.

Z

x a

x

dx

83.

Z

lnx dxp1� x

84.

Z

arccos z dz 85.

Z

sen (2t) ln

�

cos

7t

�

dt 86.

Z

sen (2t) sen (4t) dt

87.

Z

xe

2xdxp

1� e

2x88.

Z

t

3arctan (2t) dt 89.

Z

x arcsenxp1� x

2dx 90.

Z

x arcsenx

q

(1� x

2)

3dx

91.

Z

x lnx dxp1� x

292.

Z

sen (2x) ln

�

sen

4x cos

5x

�

dx 93.

Z

sen (2x) ln

✓

cos

1/2x

sen

1/3x

◆

dx

94.

Z

sen (2ax) ln (tan (ax)) dx 95.

Z

sen (2x) ln

�

sen

5x

�

dx 96.

Z

senx ln

⇣

cot

x

2

⌘

dx

97.

Z

cos (2x) ln (senx+ cosx) dx 98.

Z

cosx ln

�

sen

�2x cos

3x

�

dx

99.

Z

senx ln

�

sen

4x cos

5x

�

dx 100.

Z

arcsen

4t ln

�

arcsen

3t

�

p1� t

2dt 101.

Z

csc

3x dx

102.

Z

e

1

x ln

3x dx 103.

Z

⇡

0

x

2cosx dx 104.

Z

cos (bx) ln (sen

n

(bx) cos

m

(bx)) dx

105.

Z

sen (bx) ln (sen

n

(bx) cos

m

(bx)) dx 106.

Z

x

3e

x

(x+ 3)

2 dx 107.

Z

✓ sec

2✓ d✓



108.

Z

x senh

2�

x

2�

dx 109.

Z

senh

px dx 110.

Z 1

�1

cosh

2x dx 111.

Z

3

t

senh 3t dt

112.

Z

e

at

senh (bt) dt 113.

Z

e

at

cosh (bt) dt 114.

Z

x

5cosh

�

x

3�

dx 115.

Z

3

px ln

2x dx

116.

Z

e

2xarctan

⇣

e

x/2⌘

dx 117.

Z

3

px ln

�px

�

dx 118.

Z

sen (2x) arctan (senx+ ⇡) dx

119.

Z

x arctan

�px

�

dx 120.

Z px arctan

�px

�

dx 121.

Z

cos (2x) e

cos x�sen x

dx

122.

Z

sen (2x) ln

✓

sen

4x� cos

4x+ cos

2xp

senx

◆

dx 123.

Z

cos (2x) ln (cosx� senx) dx

124.

Z

sen (3t) ln

⇣

3

pcos t

⌘

dt 125.

Z

cos (3t) ln

⇣pcsc

⇡

t

⌘

dt 126.

Z

sen (6t) ln

⇣psen t

⌘

dt

2. Demostrar la fórmula de reducciónZ

cos

n

x dx =

1

n

cos

n�1x senx+

n� 1

n

Z

cos

n�2x dx,

con n 2 N.


sen

n

x dx = � 1

n

sen

n�1x cosx+

n� 1

n

Z

sen

n�2x dx,

con n 2 N.


(lnx)

n

dx = x (lnx)

n � n

Z

(lnx)

n�1dx.

5. Demuestre queZ

x

n

dxp1� x

2= �xn�1

p

1� x

2+ (n� 1)

Z

x

n�2p

1� x

2dx.


x

n

e

x

dx = x

n

e

x � n

Z

x

n�1e

x

dx.


�

x

2+ a

2�

n

dx =

x

�

x

2+ a

2�

n

2n+ 1

+

2na

2

2n+ 1

Z

�

x

2+ a

2�

n�1dx,

con n 6= � 1

2

.


sec

n

x dx =

tanx sec

n�2x

n� 1

+

n� 2

n� 1

Z

sec

n�2x dx,

con n 6= 1, n 2 N.


csc

n

x dx =

cotx csc

n�2x

1� n

+

n� 2

n� 1

Z

csc

n�2x dx,

con n 6= 1, n 2 N.




1.1. (x � 1) ex + C; 1.2. � (x + 1) e�x + C; 1.3. � (1 + x ln 2) 2

�x

ln

2

2

+ C; 1.4. sen x � x cos x + C;

1.5. cos t + t sen t + C; 1.6. (2x � 1) e

2x

4

+ C; 1.7. ��

2

27

+ 2

9

x + 1

3

x

2

�

e

�3x + C; 1.8. 3x⇣

2

ln

3

3

� 2x

ln

2

3

+ x

2

ln 3

⌘

+ C;

1.9. 2 cos x + 2x sen x � x

2 cos x + C; 1.10. 6t cos t � 6 sen t � t

3 cos t + 3t2 sen t + C; 1.11. x (ln x � 1) + C;

1.12. x arctan x � 1

2

ln�

x

2 + 1�

+ C; 1.13. x arcsen x +p1 � x

2 + C; 1.14. (2 ln x + 2 ln 2 � 1) x2 + C;

1.15. 2

3

(ln x � 1) x3/2 + C; 1.16. 1

2

arctan x � 1

2

x + 1

2

x

2 arctan x + C; 1.17. 1

2

x

2 arcsen x � 1

4

arcsen x + 1

4

x

p1 � x

2 + C;

1.18. 1

2

e

x

2

�

x

2 � 1�

+ C; 1.19. 1

2

cos x sen x + 1

2

x + C; 1.20. 1

9

cos (3✓) + 1

3

✓ sen (3✓) + C;

1.21. 1

3

cos�

x

3

�

+ 1

3

x

3 sen�

x

3

�

+ C; 1.22. 5

4

cos (2t) + 11

4

sen (2t) + 1

2

t cos (2t) + 5

2

t sen (2t) + 1

2

t

2 sen (2t) + C;

1.23. 1

2

sec ✓ tan ✓ + 1

2

ln |sec ✓ + tan ✓| + C; 1.24. e

x

2

(sen x � cos x) + C; 1.25. 5

16

sen (3x) sen (5x) + 3

16

cos (3x) cos (5x) + C;

1.26. 1

2

x sen2

x + 1

4

cos x sen x � 1

4

x + C; 1.27. 1

3

x

3

�

ln x � 1

3

�

+ C; 1.28. 2px (ln x � 2) + C;

1.29. e

5x

29

(5 cos (2x) + sen (2x)) + C; 1.30. � 12

5

cos�

x

2

�

sen�

x

3

�

+ 18

5

sen�

x

2

�

cos�

x

3

�

+ C; 1.31. 1

3

e

3z

�

2

9

� 2

3

z + z

2

�

+ C;

1.32. � 2e�t/2

�

8 + 4t + t

2

�

+ C; 1.33. e

at

a

2

+b

2

(a cos (bt) + b sen (bt)) + C; 1.34. � e

�x

�

x

2 + 5�

+ C;

1.35. � x cot x + ln |sen x| + C; 1.36.⇣

x

2

2

� 1

2

⌘

ln⇣

1�x

1+x

⌘

� x + C; 1.37. 1

3

x

3 arctan 3x � 1

18

x

2 + 1

162

ln�

x

2 + 1

9

�

+ C;

1.38. 5

x

ln

2

5+25

((ln 5) sen (5x) � 5 cos (5x)) + C; 1.39. x

�

ln2

x � 2 ln x + 2�

+ C; 1.40. 2ep

x

�px � 1

�

+ C;

1.41. e

ax

a

2

+b

2

(a sen (bx) � b cos (bx)) + C; 1.42. arctan x � 2x + x ln⇣

x

px

2 + 1⌘

+ C; 1.43. 1

2

x (sen (ln x) � cos (ln x)) + C;

1.44. � 1

2

e

�y

2

�

1 + y

2

�

+ C; 1.45. � x csc x + ln |csc x � cot x| + C; 1.46. 3

x

ln

2

3+1

(sen x + (ln 3) cos x) + C;

1.47.�

1 � x

2 + 1

2

x

4

�

e

x

2

+ C; 1.48. � 1

t

�

2 + 2 ln t + ln2

t

�

+ C; 1.49. (ln (ln x) � 1) ln x + C;

1.50. 1

2

x

2 � 3x � 1

9

x

3 +�

3x � x

2 + 1

3

x

3

�

ln x + C; 1.51.�

6t � 6 � 3t2 + t

3

�

e

t + C; 1.52. 1

2

x

p1 � x

2 + 1

2

arcsen x + C;

1.53. x

2

tan (2x) � 1

4

ln |sec (2x)| � x

2

2

+ C; 1.54. x

2

+1

2

arctan2

x � x arctan x + 1

2

ln�

x

2 + 1�

+ C; 1.55. ��

1

2

+ ln x

�

1

2x

2

+ C;

1.56. 2p✓ � 2

p1 � ✓ arcsen

⇣p✓

⌘

+ C; 1.57. 1

2

sen x + 3

35

cos x sen (6x) � 1

70

sen x cos (6x) + C;

1.58. e

�x

�

1

10

cos (2x) � 1

5

sen (2x) � 1

2

�

+ C; 1.59. � x cot x + ln |sen x| + C; 1.60. 1

2

arctan x � x

2

+ x

2

2

arctan x + C;

1.61. 1

2

x + 1

10

x cos (2 ln x) + 1

5

x sen (2 ln x) + C; 1.62. (ln (sen t) � 1) sen t + C; 1.63. x

�

ln2

x � 2 ln x + 2�

+ C;

1.64. 2 sen�p

x

�

� 2px cos

�px

�

+ C; 1.65. 2

9

x cos (3x) � 2

27

sen (3x) + x

2

3

sen (3x) + C; 1.66. sen x

3

� 1

9

sen3

x � x

3

cos3 x + C;

1.67. 1

4

tan ✓ sec3 ✓ + 3

8

sec ✓ tan ✓ + 3

8

ln |sec ✓ + tan ✓| + C; 1.68. 1

4

sec�

x

2

�

tan�

x

2

�

+ 1

4

ln�

�sec�

x

2

�

+ tan�

x

2

�

�

�+ C;

1.69. e

x

x+1

+ C; 1.70. x arcsen2

x � 2x + 2p1 � x

2 arcsen x + C; 1.71. (4 ln x � 1) x

4

16

+ C;

1.72. 1

16

sen (4t) � 1

4

t cos (4t) + C; 1.73. 1

2a

sec (ax + b) tan (ax + b) + 1

2a

ln |sec (ax + b) + tan (ax + b)| + C;

1.74. 1

4

cos (2x) + 1

2

x sen (2x) � 1

2

x

2 cos (2x) + C; 1.75. 5x⇣

x

ln 5

� 1

ln

2

5

⌘

+ C; 1.76. xe

x � e

x � x

2

e

x

x+2

+ C;

1.77. 1

4a

tan (ax + b) sec3 (ax + b) + 3

8a

sec (ax + b) tan (ax + b) + 3

8a

ln |sec (ax + b) + tan (ax + b)| + C; 1.78. x

ln x+1

+ C;

1.79. 1

4

cos (2z) + 1

2

z sen (2z) + C; 1.80. 1

4

x

2 � 1

8

cos (2x) � 1

4

x sen (2x) + C; 1.81. e

�✓

10

(3 sen 3✓ � cos 3✓) + C;

1.82. a

x

⇣

x

ln a

� 1

ln

2

a

⌘

+ C; 1.83. 2p1 � x (2 � ln x) � 2 ln

�

�

�

p1�x+1p1�x�1

�

�

�

+ C; 1.84. z arccos z �p1 � z

2 + C;

1.85. 7 cos2 t

�

1

2

� ln |cos t|�

+ C; 1.86. � 1

3

sen (2t) cos (4t) + 1

6

cos (2t) sen (4t) + C;

1.87. (1 � x)p1 � e

2x + 1

2

ln

�

�

�

�

p1�e

2x�1p1�e

2x

+1

�

�

�

�

+ C; 1.88. t

32

� t

3

24

� 1

64

arctan (2t) + 1

4

t

4 arctan (2t) + C;

1.89. �p1 � x

2 arcsen x + x + C; 1.90. arcsen xp1�x

2

� 1

2

ln�

�1 � x

2

�

�+ C; 1.91. (1 � ln x)p1 � x

2 + ln

�

�

�

�

1�p

1�x

2

x

�

�

�

�

+ C;

1.92. 2 sen2

x (2 ln |sen x| � 1) + 5 cos2 x

�

1

2

� ln |cos x|�

+ C; 1.93. 1

2

cos2 x

�

1

2

� ln |cos x|�

+ 1

3

sen2

x

�

1

2

� ln |sen x|�

+ C;

1.94. 1

a

sen2 (ax) ln |tan (ax)| + 1

a

ln |cos (ax)| + C; 1.95. 5 sen2

x

�

ln |sen x| � 1

2

�

+ C;

1.96. � 2 ln�

�cos�

x

2

�

�

�+ 2 sen2

�

x

2

�

ln�

�cot�

x

2

�

�

�+ C; 1.97. 1

2

(sen x + cos x)2�

ln (sen x + cos x) � 1

2

�

+ C;

1.98. sen x

⇣

ln�

�

�

cos

3

x

sen

2

x

�

�

�

� 1⌘

� 3 ln |sec x � tan x| + C; 1.99. 4 ln |csc x � cot x| + 9 cos x � 5 cos x ln�

sen4

x cos5 x

�

+ C;

1.100. 3

4

arcsen5

x

�

ln |arcsen x| � 1

5

�

+ C; 1.101. � 1

2

csc x cot x + 1

2

ln |csc x � cot x| + C; 1.102. e

2

8

+ 3

8

;

1.103. � 2⇡; 1.104. � m+n

b

sen (bx) + 1

b

ln (senn (bx) cosm (bx)) sen (bx) � m

b

ln�

�

�

1�sen(bx)

cos(bx)

�

�

�

+ C;



1.105. m+n

b

cos (bx) � 1

b

ln (senn (bx) cosm (bx)) cos (bx) + n

b

ln�

�

�

1�cos(bx)

sen(bx)

�

�

�

+ C; 1.106. x

2

e

x � 2xex + 2ex � x

3

e

x

x+3

+ C;

1.107. ✓ tan ✓ � ln |sec ✓| + C; 1.108. 1

8

senh�

2x2

�

� x

2

4

+ C; 1.109. 2px cosh

�px

�

� 2 senh�p

x

�

+ C;

1.110. senh 2

2

+ 1; 1.111. 3

t

9�ln

2

3

(3 cosh (3t) � (ln 3) senh (3t)) + C; 1.112. e

at

a

2�b

2

(a senh (bt) � b cosh (bt)) + C;

1.113. e

at

b

2�a

2

(b senh (bt) � a cosh (bt)) + C; 1.114. x

3

3

senh�

x

3

�

� 1

3

cosh�

x

3

�

+ C; 1.115. 3

4

x

4/3

�

ln2

x � 3

2

ln x + 9

8

�

+ C;

1.116. 1

2

�

e

2x � 1�

arctan⇣

e

x/2

⌘

+ 1

2

⇣

1 � e

x

3

⌘

e

x/2 + C; 1.117. 3

16

x

4/3

�

ln2

x � 3

2

ln x + 9

8

�

+ C;

1.118.�

sen2

x � ⇡

2 + 1�

arctan (sen x + ⇡) � sen x + ⇡ ln�

1 + (sen x + ⇡)2�

+ C; 1.119. 1

2

�

x

2 � 1�

arctan�p

x

�

+p

x

2

�

1 � x

3

�

+ C;

1.120. x

3/2

3

arctan�p

x

�

� x

6

+ 1

6

ln |x + 1| + C; 1.121. (1 � cos x + sen x) ecos x�sen x + C;

1.122.�

ln (sen x) � 1

2

�

3 sen

2

x

2

+ C; 1.123.�

1

2

� ln (cos x � sen x)�

1�sen(2x)

2

+ C;

1.124.��

1 � 4

3

cos2 x

�

ln (cos x) � 1 + 4

9

cos2 x

�

cos x

3

+ C; 1.125. � ⇡ sen x

2

�

4

9

sen2

x � 1 +�

1 � 4

3

sen2

x

�

ln (sen x)�

+ C;

1.126. sen4

x � 3

4

sen2

x � 4

9

sen6

x +�

3

2

sen2

x � 4 sen4

x + 8

3

sen6

x

�

ln (sen x) + C;

Bibliografía




[email protected]



Cálculo integral - Guía 9Método de integración: Algunas integrales trigonométricas


• Integración : Integrales trigonométricas. Ejercicios resueltos


senx cosx dx.

Solución : Se observa que en el integrando aparece la función seno y su correspondiente derivada, la funcióncoseno, así, es natural proponer el cambio de variable

u = senx

Cálculo del

��!diferencial

du = cosx dx,



Cambio

u = sen x

Integral de una potencia.

Integral de tabla.

#Z

z }| {

senx cosx dx

| {z }

=

z }| {

Z

u du

| {z }

=

u

2

2

+ C =

1

2

(senx)

2+ C =

1

2

sen

2x+ C.

"Diferencial

du = cos x dx

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 1

Luego,Z

senx cosx dx =

1

2

sen

2x+ C.

F


sen

4x cosx dx.


u = senx

Cálculo del

��!diferencial

du = cosx dx,



Cambio

u = sen x


Integral de tabla.

#Z

sen

4x cosx dx =

Z

⇣

z }| {

senx

⌘4

cosx dx

| {z }

=

z }| {

Z

u

4du

| {z }

=

u

5

5

+ C =

1

5

(senx)

5+ C =

1

5

sen

5x+ C.

"Diferencial

du = cos x dx

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 4


Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 208

Luego,Z

sen

4x cosx dx =

1

5

sen

5x+ C.

F


cosx

3

psen

2x

dx.


u = senx

Cálculo del

��!diferencial

du = cosx dx,



Diferencial

du = cos x dx

#


Integral de tabla.

Z

cosx

3

psen

2x

dx =

Z

cosx

sen

2/3x

dx =

Z

z }| {

cosx dx

⇣

senx

| {z }

⌘2/3=

Z

du

u

2/3=

z }| {

Z

u

�2/3du

| {z }

=

u

1/3

1

3

+ C = 3u

1/3+ C

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 4

"Cambio

u = sen x

= 3 (senx)

1/3+ C = 3

3

psenx+ C.

Luego,Z

cosx

3

psen

2x

dx = 3

3

psenx+ C.

F


cos

7x senx dx.

Solución : Se observa que en el integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la funciónseno, así, es natural proponer el cambio de variable

u = cosx

Cálculo del

��!diferencial

du = � senx dx =) � du = senx dx,



Linealidad de la integral

Sale de la integral por ser constante

respecto a la variable de integración


Integral de tabla.

#Z

cos

7x senx dx =

Z

⇣

cosx

| {z }

⌘7

senx dx

| {z }

=

Z

u

7(� du) = �

z }| {

Z

u

7du

| {z }

= � u

8

8

+ C = � 1

8

cos

8x+ C.

" "Cambio

u = cos x

Diferencial

� du = sen x dx

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 4



Luego,Z

cos

7x senx dx = � 1

8

cos

8x+ C.

F

Ejemplo 198 : IntegreZ p

cosx senx dx.

Solución : Se observa que en el integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la funciónseno, así, es natural proponer el cambio de variable

u = cosx

Cálculo del

��!diferencial







#

Diferencial

� du = sen x dx

#


Integral de tabla.

Z

q

cosx

| {z }

z }| {

senx dx =

Z pu (� du) = �

Z pu du = �

z }| {

Z

u

1/2du

| {z }

= � u

3/2

3

2

+ C = � 2

3

u

3/2+ C

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 4

"Cambio

u = cos x

= � 2

3

(cosx)

3/2+ C. = � 2

3

cos

3/2x+ C.

Luego,Z p

cosx senx dx = � 2

3

cos

3/2x+ C.

F


senx cosx dx.

Solución : En el ejemplo 194 se resuelve esta integral con el cambio de variable

u = senx

Cálculo del

��!diferencial

du = cosx dx,

y la familia de primitivas viene dada porZ

senx cosx dx =

1

2

sen

2x+ C.

En esta ocasión se resuelve la integral de la siguiente manera

Se observa que en el integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la función seno, así,es natural proponer el cambio de variable

u = cosx

Cálculo del

��!diferencial









#

Cambio

u = cos x

#


Integral de tabla.

Z

z}| {

cosx senx dx

| {z }

=

Z

u (� du) = �z }| {

Z

u du

| {z }

= � u

2

2

+ C = � 1

2

(cosx)

2+ C = � 1

2

cos

2x+ C.

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 1

"Diferencial

� du = sen x dx

Luego,Z

senx cosx dx = � 1

2

cos

2x+ C.

F


sen

3x cos

2x dx.

Solución : Se observa que en los ejemplos del 194 al 199, se desea encontrar la familia de primitivas defunciones trigonométricas, senos y cosenos, elevadas a una potencia multiplicada por la derivada de dicha funcióntrigonométrica, es decir, las integrales resueltas presentan la siguiente estructura

Z

sen

n

x cosx dx óZ

cos

m

x senx dx

en cuyos casos se propuso los cambios de variables

u = senx ó u = cosx

respectivamente, dichos cambios transforman a las integrales dadas en integrales más sencillas de resolver, enintegrales de potencias.

En este ejemplo el integrando está formado por funciones trigonométricas, senos y cosenos, elevadas, ambas,a una potencia. la idea para obtener la familia de primitivas es re-escribir el integrando de tal forma que cumplacon la estructura de las integrales de los ejemplos del 194 al 199.

Se escribe la integral como

Potencia impar.

Tomar un término seno.

#Z

sen

3x cos

2x dx =

Z

sen

2x cos

2x senx dx,

"Futuro diferencial.

si el diferencial de la nueva integral será senx dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es cosx,así, cabe la pregunta

Z

sen

3x cos

2x dx =

Z

sen

2x

| {z }

cos

2x senx dx,

"¿Qué hacer con este término?

por la identidad trigonométrica básica

sen

2x+ cos

2x = 1, entonces sen

2x = 1� cos

2x,



por lo que,Z

sen

3x cos

2x dx =

Z

sen

2x

| {z }

cos

2x senx dx =

Z

�

1� cos

2x

�

cos

2x senx dx.

"sen2

x = 1 � cos2 x

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la función seno,así, se propone el cambio de variable

u = cosx

Cálculo del

��!diferencial







#

Diferencial

� du = sen x dx

#

Cambio

u = cos x

. &Z

�

1� cos

2x

�

cos

2x senx dx =

Z

✓

1�⇣

z}| {

cosx

⌘2◆

⇣

z}|{

cosx

⌘2 z }| {

senx dx =

Z

�

1� u

2�

u

2(�du)

Integrales de una potencia.

Integrales de tabla.

= �Z

�

u

2 � u

4�

du = �z }| {

Z

u

2du

| {z }

+

z }| {

Z

u

4du

| {z }

= �u

3

3

+

u

5

5

+ C = �cos

3x

3

+

cos

5x

5

+ C.

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 2 y n = 4

"Linealidad de la integral

Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

Luego,Z

sen

3x cos

2x dx = � cos

3x

3

+

cos

5x

5

+ C.

F


sen

5x dx.

Solución : Se escribe la integral como

Potencia impar.


#Z

sen

5x dx =

Z

sen

4x senx dx,



Z

sen

5x dx =

Z

sen

4x

| {z }

senx dx,





sen

2x+ cos


2x = 1� cos

2x,

por lo que,Z

sen

5x dx =

Z

sen

4x senx dx =

Z

⇣

sen

2x

| {z }

⌘2

senx dx =

Z

�

1� cos

2x

�2senx dx.

"sen2

x = 1 � cos2 x


u = cosx

Cálculo del

��!diferencial







#

Diferencial

� du = sen x dx

#

Cambio

u = cos x

#Z

sen

5x dx =

Z

�

1� cos

2x

�2senx dx =

Z

✓

1�⇣

z}| {

cosx

⌘2◆2z }| {

senx dx =

Z

�

1� u

2�2

(�du)




#


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

#= �

Z

�

1� u

2�2

du = �Z

�

1� 2u

2+ u

4�

du = �Z

du+

Z

2u

2du�

Z

u

4du



= �z }| {

Z

du

| {z }

+2

z }| {

Z

u

2du

| {z }

�z }| {

Z

u

4du

| {z }

= � u+ 2

u

3

3

� u

5

5

+ C = � cosx+

2

3

cos

3x� cos

5x

5

+ C.

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 0, n = 2 y n = 4

Luego,Z

sen

5x dx = � cosx+

2

3

cos

3x� cos

5x

5

+ C.

F


sen

4x cos

3x dx.


Potencia impar.

Tomar un término coseno.

#Z

sen

4x cos

3x dx =

Z

sen

4x cos

2x cosx dx,




si el diferencial de la nueva integral será cosx dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es senx,así, cabe la pregunta

Z

sen

4x cos

3x dx =

Z

sen

4x cos

2x

| {z }

cosx dx,



sen

2x+ cos

2x = 1, entonces cos

2x = 1� sen

2x,

por lo que,Z

sen

4x cos

3x dx =

Z

sen

4x cos

2x

| {z }

cosx dx =

Z

sen

4x

�

1� sen

2x

�

cosx dx.

"cos2 x = 1 � sen2

x


u = senx

Cálculo del

��!diferencial

du = cosx dx,



Diferencial

du = cos x dx

#

Cambio

u = sen x

#

Cambio

u = sen x

#Z

sen

4x

�

1� sen

2x

�

cosx dx =

Z

⇣

z }| {

senx

⌘4✓

1�⇣

z }| {

senx

⌘2◆

z }| {

cosx dx =

Z

u

4�

1� u

2�

du



=

Z

�

u

4 � u

6�

du =

z }| {

Z

u

4du

| {z }

�z }| {

Z

u

6du

| {z }

=

u

5

5

� u

7

7

+ C =

sen

5x

5

� sen

7x

7

+ C.

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 4 y n = 6


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

Luego,Z

sen

4x cos

3x dx =

sen

5x

5

� sen

7x

7

+ C.

F


3

psen

2x cos

5x dx.


Potencia impar.


#Z

3

psen

2x cos

5x dx =

Z

3

psen

2x cos

4x cosx dx,





Z

3

psen

2x cos

5x dx =

Z

3

psen

2x cos

4x

| {z }

cosx dx,



sen

2x+ cos


2x = 1� sen

2x,

por lo que,Z

3

psen

2x cos

4x cosx dx =

Z

3

psen

2x

⇣

cos

2x

| {z }

⌘2

cosx dx =

Z

3

psen

2x

�

1� sen

2x

�2cosx dx.

"cos2 x = 1 � sen2

x


u = senx

Cálculo del

��!diferencial

du = cosx dx,



3

psen

2x cos

4x cosx dx =

Z

3

psen

2x

�

1� sen

2x

�2cosx dx =

Z

sen

2/3x

�

1� sen

2x

�2cosx dx

Diferencial

du = cos x dx

#

Cambio

u = sen x

#

Cambio

u = sen x

#=

Z

⇣

z }| {

senx

⌘2/3✓

1�⇣

z }| {

senx

⌘2◆2z }| {

cosx dx =

Z

u

2/3�

1 + u

2�2

du =

Z

u

2/3�

1 + 2u

2+ u

4�

du




#


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

#=

Z

⇣

u

2/3+ 2u

8/3+ u

14/3⌘

du =

Z

u

2/3du+

Z

2u

8/3du+

Z

u

14/3du



. # &

=

z }| {

Z

u

2/3du

| {z }

+2

z }| {

Z

u

8/3du

| {z }

+

z }| {

Z

u

14/3du

| {z }

=

u

5/3

5

3

+ 2

u

11/3

11

3

+

u

17/3

17

3

+ C

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n =

2

3, n =

8

3y n =

14

3

=

3

5

u

5/3+

6

11

u

11/3+

3

17

u

17/3+ C =

3

5

sen

5/3x+

6

11

sen

11/3x+

3

17

sen

17/3x+ C.



Luego,Z

3

psen

2x cos

5x dx =

3

5

sen

5/3x+

6

11

sen

11/3x+

3

17

sen

17/3x+ C.

F


sen

5x cos

7x dx.

Solución : Se tiene que ambos términos, seno y coseno, presentan potencias impares, así, se escribe la integralcomo

Potencia impar.


#Z

sen

5x cos

7x dx =

Z

sen

4x cos

7x senx dx,


ó también comoPotencia impar.


#Z

sen

5x cos

7x dx =

Z

sen

5x cos

6x cosx dx,


Cabe la pregunta

¿Cuál de las dos formas de reescribir la integral se usa?

Inicialmente, cualquiera de las dos formas se puede utilizar, pero para los cálculos de la familia de primitivasse aconseja utilizar la de menor potencia, en este caso la expresión sen

5x.


Potencia impar.


#Z

sen

5x cos

7x dx =

Z

sen

4x cos

7x senx dx,



Z

sen

5x cos

7x dx =

Z

sen

4x

| {z }

cos

7x senx dx,



sen

2x+ cos


2x = 1� cos

2x,

por lo que,Z

sen

5x cos

7x dx =

Z

sen

4x cos

7x senx dx =

Z

⇣

sen

2x

| {z }

⌘2

cos

7x senx dx =

Z

�

1� cos

2x

�2cos

7x senx dx.

"sen2

x = 1 � cos2 x




u = cosx

Cálculo del

��!diferencial




sen

5x cos

7x dx =

Z

sen

4x cos

7x senx dx =

Z

�

1� cos

2x

�2cos

7x senx dx




#

Diferencial

� du = sen x dx

#

Cambio

u = cos x

. &=

Z

✓

1�⇣

z}| {

cosx

⌘2◆2⇣

z}| {

cosx

⌘7 z }| {

senx dx =

Z

�

1� u

2�2

u

7(�du) = �

Z

�

1� u

2�2

u

7du




#


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

#= �

Z

�

1� 2u

2+ u

4�

u

7du = �

Z

�

u

7 � 2u

9+ u

11�

du = �Z

u

7du+

Z

2u

9du�

Z

u

11du



. # &

= �z }| {

Z

u

7du

| {z }

+2

z }| {

Z

u

9du

| {z }

�z }| {

Z

u

11du

| {z }

= �u

8

8

+

u

10

5

� u

12

12

+ C = �cos

8x

8

+

cos

10x

5

� sen

12x

12

+ C.

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 7, n = 9 y n = 11

Luego,Z

sen

5x cos

7x dx = � cos

8x

8

+

cos

10x

5

� sen

12x

12

+ C.

F


sen

9x cos

3x dx.

Solución : Se tiene que ambos términos, seno y coseno, presentan potencias impares, así, se escribe la integralcomo

Potencia impar.


#Z

sen

9x cos

3x dx =

Z

sen

8x cos

3x senx dx,




ó también comoPotencia impar.


#Z

sen

9x cos

3x dx =

Z

sen

9x cos

2x cosx dx,


Cabe la pregunta

¿Cuál de las dos formas de reescribir la integral se usa?

Inicialmente, cualquiera de las dos formas se puede utilizar, pero para los cálculos de la familia de primitivasse aconseja utilizar la de menor potencia, en este caso la expresión cos

3x.


Potencia impar.


#Z

sen

9x cos

3x dx =

Z

sen

9x cos

2x cosx dx,



Z

sen

9x cos

3x dx =

Z

sen

9x cos

2x

| {z }

cosx dx,



sen

2x+ cos


2x = 1� sen

2x,

por lo que,Z

sen

9x cos

3x dx ==

Z

sen

9x cos

2x

| {z }

cosx dx =

Z

sen

9x

�

1� sen

2x

�

cosx dx.

"cos2 x = 1 � sen2

x


u = senx

Cálculo del

��!diferencial

du = cosx dx,



Diferencial

du = cos x dx

#

Cambio

u = sen x

#

Cambio

u = sen x

#Z

sen

9x cos

3x dx =

Z

sen

9x

�

1� sen

2x

�

cosx dx =

Z

⇣

z }| {

senx

⌘9✓

1�⇣

z }| {

senx

⌘2◆

z }| {

cosx dx





=

Z

u

9�

1� u

2�

du =

Z

�

u

9 � u

11�

du =

z }| {

Z

u

9du

| {z }

�z }| {

Z

u

11du

| {z }

=

u

10

10

� u

12

12

+ C

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 9 y n = 11


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

=

1

10

sen

10x� 1

12

sen

12x+ C.

Luego,Z

sen

9x cos

3x dx =

1

10

sen

10x� 1

12

sen

12x+ C.

F


cos

2x dx.

Solución : En este ejemplo el integrando tiene potencia par, en el ejemplo 69 se obtuvo la familia de primitivasde la función f (x) = sen

2x, por medio de la identidad trigonmétrica

sen

2x =

1� cos (2x)

2

y el cambio de variable u = 2x, la cual esZ

sen

2x dx =

x

2

� sen (2x)

4

+ C,

para obtener la familia de primitivas de la función f (x) = cos

2x se procede de la misma manera.

La identidad trigonométrica

cos

2x =

1 + cos (2x)

2

permite reescribir la integral comoZ

cos

2x dx =

Z

1 + cos (2x)

2

dx =

1

2

Z

(1 + cos (2x)) dx =

1

2

Z

dx+

1

2

Z

cos (2x) dx,


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx




donde, la primera integral del lado derecho de la igualdad es inmediataZ

dx = x+ C1,

mientras que, la segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve al proponer el cambio de variable

u = 2x

Cálculo del

��!diferencial

du = 2 dx =) du

2

= dx,





Diferencial

du

2= dx

#

Cambio

u = 2x

#Z

cos

z}|{

(2x)

z}|{

dx =

Z

cosu

du

2

=

1

2

Z

cosu du =

1

2

senu+ C2 =

1

2

sen (2x) + C2.




Luego,Z

cos

2x dx =

1

2

x+

sen (2x)

2

�

+ C =

x

2

+

sen (2x)

4

+ C.

F


cos

2x sen

2x dx.

Solución : En virtud que las potencias de las expresiones seno y coseno son pares, se tiene, por las identidadestrigonométricas

cos

2x =

1 + cos (2x)

2

, sen

2x =

1� cos (2x)

2

.

que la integral se puede expresar como

Producto notable

(a + b) (a � b) = a

2 � b

2

#Z

cos

2x sen

2x dx =

Z

✓

1 + cos (2x)

2

◆✓

1� cos (2x)

2

◆

dx =

Z

z }| {

(1 + cos (2x)) (1� cos (2x))

4

dx




=

1

4

Z

✓

1� cos

2(2x)

| {z }

◆

dx =

1

4

Z

sen

2(2x)

| {z }

dx =

1

4

Z

1� cos (4x)

2

dx =

1

4

1

2

Z

(1� cos (4x)) dx

" " "Identidad trigonométrica

sen2 (·) + cos2 (·) = 1

de aquí, sen2 (2x) = 1 � cos2 (2x)

Identidad trigonométrica

sen2 (·) =1 � cos 2 (·)

2




=

1

8

✓

Z

dx�Z

cos (4x) dx

◆

=

1

8

Z

dx� 1

8

Z

cos (4x) dx.


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

Se calcula las integrales. La primera integral es sencillaZ

dx = x+ C1.



Para la segunda integral, se propone el cambio de variable

u = 4x

Cálculo del

��!diferencial

du = 4 dx =) du

4

= dx,



Diferencial

du

4= dx

#

Cambio

u = 4x

#Z

cos

z}|{

(4x)

z}|{

dx =

Z

cosu

du

4

=

1

4

Z

cosu du =

1

4

senu+ C2 =

1

4

sen (4x) + C2.




Luego,Z

cos

2x sen

2x dx =

1

8

(x+ C1)�1

8

✓

1

4

sen (4x) + C2

◆

=

x

8

� 1

32

sen (4x) + C,

es decir,Z

cos

2x sen

2x dx =

x

8

� 1

32

sen (4x) + C.

F


cos

2(3x) sen

4(3x) dx.

Solución : Puesto que, las potencias de las expresiones seno y coseno son pares se usa las identidadestrigonométricas

cos

2(·) = 1 + cos (2 (·))

2

, sen

2(·) = 1� cos (2 (·))

2

.

de aquí,

cos

2(3x) =

1 + cos (6x)

2

, sen

2(3x) =

1� cos (6x)

2

.

Tenemos,Z

cos

2(3x) sen

4(3x) dx =

Z

cos

2(3x)

| {z }

✓

sen

2(3x)

| {z }

◆2

dx =

Z

✓

1 + cos (6x)

2

◆✓

1� cos (6x)

2

◆2

dx

" "Identidad trigonométrica

cos2 (·) =1 + cos (2 (·))

2


sen2 (·) =1 � cos (2 (·))

2

Producto notable

(a + b) (a � b) = a

2 � b

2

#

=

Z

1 + cos (6x)

2

(1� cos (6x))

2

4

dx =

Z

z }| {

(1 + cos (6x)) (1� cos (6x)) (1� cos (6x))

8

dx






=

1

8

Z

✓

1� cos

2(6x)

| {z }

◆

(1� cos (6x)) dx =

1

8

Z

sen

2(6x) (1� cos (6x)) dx

"Identidad trigonométrica

sen2 (·) + cos2 (·) = 1

de aquí, sen2 (2x) = 1 � cos2 (2x)

=

1

8

Z

�

sen

2(6x)� sen

2(6x) cos (6x)

�

dx =

1

8

✓

Z

sen

2(6x) dx�

Z

sen

2(6x) cos (6x) dx

◆


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

=

1

8

Z

sen

2(6x) dx� 1

8

Z

sen

2(6x) cos (6x) dx,

Se resuelven las integrales. Para hallar la familia de primitivas de la función f (x) = sen

2(6x) la primera

integral se usa, nuevamente la identidad trigonométrica

sen

2(·) = 1� cos (2 (·))

2

=) sen

2(6x) =

1� cos (12x)

2

así,Z

sen

2(6x) dx =

Z

1� cos (12x)

2

dx =

1

2

Z

(1� cos (12x)) dx =

1

2

Z

dx� 1

2

Z

cos (12x) dx,


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx




donde,Z

dx = x+ C1,

mientras que, para la otra integral se propone el cambio de variable

u = 12x

Cálculo del

��!diferencial

du = 12 dx =) du

12

= dx,


Se obtiene

Diferencial

du

12= dx

#

Cambio

u = 12x

#Z

cos

z }| {

(12x)

z}|{

dx =

Z

cosu

du

12

=

1

12

Z

cosu du =

1

12

senu+ C2 =

1

12

sen (12x) + C2.




así,Z

sen

2(6x) dx =

1

2

(x+ C1)�1

2

✓

1

12

sen (12x) + C2

◆

=

x

2

� 1

24

sen (12x) + C3.



Por otra parte, para obtener la familia de primitivas de y = sen

2(6x) cos (6x), se propone el cambio de

variable

u = sen (6x)

Cálculo del

��!diferencial

du = 6 cos (6x) dx =) du

6

= cos (6x) dx,



Diferencial

du

6= cos (6x) dx

#

Cambio

u = sen (6x)

#


Integral de tabla.

Z

sen

2(6x) cos (6x) dx =

Z

✓

z }| {

sen (6x)

◆2z }| {

cos (6x) dx =

Z

u

2 du

6

=

1

6

z }| {

Z

u

2du

| {z }

=

1

6

u

3

3

+ C4

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 2




=

1

18

u

3+ C4 =

1

18

sen

3(6x) + C4,

con lo que,Z

sen

2(6x) cos (6x) dx =

1

18

sen

3(6x) + C4.

Por lo tanto,Z

cos

2(3x) sen

4(3x) dx =

1

8

✓

x

2

� 1

24

sen (12x) + C3

◆

� 1

8

✓

1

18

sen

3(6x) + C4

◆

.

Luego,Z

cos

2(3x) sen

4(3x) dx =

x

16

� 1

192

sen (12x)� 1

144

sen

3(6x) + C.

F


tan

6x sec

2x dx.

Solución : Se observa que la derivada de la función y = tanx está presente en el integrando, eso sugiere elcambio de variable

u = tanx

Cálculo del

��!diferencial

du = sec

2x dx,



Cambio

u = tan x

#

Diferencial

du = sec2 x dx

#


Integral de tabla.

Z

tan

6x sec

2x dx =

Z

✓

z }| {

tanx

◆6z }| {

sec

2x dx =

z }| {

Z

u

6du

| {z }

=

u

7

7

+ C =

tan

7x

7

+ C.

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 6



Luego,Z

tan

6x sec

2x dx =

tan

7x

7

+ C.

F


tan

1/2x sec

4x dx.

Solución : Como la potencia de la secante es par, la integral se escribe como

Potencia par.

Tomar un término sec2 x.

#Z

tan

1/2x sec

4x dx =

Z

tan

1/2x sec

2x sec

2x dx,


si el diferencial de la nueva integral será sec

2x dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es tanx,

así, cabe la preguntaZ

tan

1/2x sec

4x dx =

Z

tan

1/2x sec

2x

| {z }

sec

2x dx,


por la identidad trigonométrica básicatan

2x+ 1 = sec

2x,

se tiene,Z

tan

1/2x sec

2x sec

2x dx =

Z

tan

1/2x sec

2x

| {z }

sec

2x dx =

Z

tan

1/2x

�

tan

2x+ 1

�

sec

2x dx.

"tan2

x + 1 = sec2 x

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función tangente y su correspondiente derivada, la función secanteal cuadrado, así, se propone el cambio de variable

u = tanx

Cálculo del

��!diferencial

du = sec

2x dx,



Diferencial

du = sec2 x dx

#

Cambio

u = tan x

#

Cambio

u = tan x

#Z

tan

1/2x sec

4x dx =

Z

tan

1/2x

�

tan

2x+ 1

�

sec

2x dx =

Z

✓

z }| {

tanx

◆1/2

✓

z }| {

tanx

◆2

+ 1

!

z }| {

sec

2x dx



=

Z

u

1/2�

u

2+ 1

�

du =

Z

⇣

u

5/2+ u

1/2⌘

du =

z }| {

Z

u

5/2du

| {z }

+

z }| {

Z

u

1/2du

| {z }

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n =

5

2y n =

1

2


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx



=

u

7/2

7

2

+

u

3/2

3

2

+ C =

2

7

u

7/2+

2

3

u

3/2+ C =

2

7

tan

7/2x+

2

3

tan

3/2x+ C.

Luego,Z

tan

1/2x sec

4x dx =

2

7

tan

7/2x+

2

3

tan

3/2x+ C.

F


tan

4(ax) sec

6(ax) dx.

Solución : Como la potencia de la secante es par, la integral se escribe como

Potencia par.

Tomar un término sec2 (ax).

#Z

tan

4(ax) sec

6(ax) dx =

Z

tan

4(ax) sec

4(ax) sec

2(ax) dx,



2(ax) dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es

tan (ax), así, cabe la preguntaZ

tan

4(ax) sec

6(ax) dx =

Z

tan

4(ax) sec

4(ax)

| {z }

sec

2(ax) dx,



tan

2(·) + 1 = sec

2(·) , se tiene tan

2(ax) + 1 = sec

2(ax) ,

por lo que,Z

tan

4(ax) sec

4(ax) sec

2(ax) dx =

Z

tan

4(ax)

✓

sec

2(ax)

| {z }

◆2

sec

2(ax) dx

"tan2 (ax) + 1 = sec2 (ax)

=

Z

tan

4(ax)

�

tan

2(ax) + 1

�2sec

2(ax) dx.


u = tan (ax)

Cálculo del

��!diferencial

du = a sec

2(ax) dx =) du

a

= sec

2(ax) dx,



tan

4(ax) sec

4(ax) sec

2(ax) dx =

Z

tan

4(ax)

�

tan

2(ax) + 1

�2sec

2(ax) dx



Diferencial

du

a

= sec2 (ax) dx

#

Cambio

u = tan (ax)

#

Cambio

u = tan (ax)

#

=

Z

✓

z }| {

tan (ax)

◆4

✓

z }| {

tan (ax)

◆2

+ 1

!2z }| {

sec

2(ax) dx =

Z

u

4�

u

2+ 1

�2 du

a

=

1

a

Z

u

4�

u

2+ 1

�2du





Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

#=

1

a

Z

u

4�

u

4+ 2u

2+ 1

�

du =

1

a

Z

�

u

8+ 2u

6+ u

4�

du =

1

a

✓

Z

u

8du+

Z

2u

6du+

Z

u

4du

◆






. # &

=

1

a

0

@

z }| {

Z

u

8du

| {z }

+2

z }| {

Z

u

6du

| {z }

+

z }| {

Z

u

4du

| {z }

1

A

=

1

a

✓

u

9

9

+

2u

7

7

+

u

5

5

◆

+ C =

u

9

9a

+

2u

7

7a

+

u

5

5a

+ C

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 8, n = 6 y n = 4

=

tan

9(ax)

9a

+

2 tan

7(ax)

7a

+

tan

5(ax)

5a

+ C.

Luego,Z

tan

4(ax) sec

6(ax) dx =

tan

9(ax)

9a

+

2 tan

7(ax)

7a

+

tan

5(ax)

5a

+ C.

F


sec

6(b� ax) dx.


u = b� ax

Cálculo del

��!diferencial

du = � a dx =) � du

a

= dx,

y la integral quedaZ

sec

6

✓

b� ax

| {z }

◆

dx

|{z}

=

Z

sec

6u

✓

� du

a

◆

=

Z

sec

6u

� 1

a

|{z}

!

du = � 1

a

Z

sec

6u du

"Cambio

u = b � ax

"Diferencial

�du

a

= dx




Como la potencia de la secante es par, la integral se escribe como

Potencia par.

Tomar un término sec2 u.

#Z

sec

6u du =

Z

sec

4u sec

2u du,





2u du, entonces el cambio de variable que se debe proponer es tanu,

así, cabe la pregunta¿Qué hacer con este término?

#Z

sec

6u du =

Z

z }| {

sec

4u sec

2u du,


2u+ 1 = sec

2u,

se tiene,

tan2

u + 1 = sec2 u

#Z

sec

6u du =

Z

sec

4u sec

2u du =

Z

z }| {

sec

2u

!2

sec

2u du =

Z

�

tan

2u+ 1

�2sec

2u du.


z = tanu

Cálculo del

��!diferencial

dz = sec

2u du,



Diferencial

dz = sec2 u du

#

Cambio

z = tanu

#Z

sec

6u du =

Z

�

sec

2u

�2sec

2u du =

Z

�

tan

2u+ 1

�2sec

2u du =

Z

✓

z }| {

tanu

◆2

+ 1

!2z }| {

sec

2u du




#


Z

(f (u) + g (u)) du =

Z

f (u) du +

Z

g (u) du

#=

Z

�

z

2+ 1

�2dz =

Z

�

z

4+ 2z

2+ 1

�

dz =

Z

z

4dz +

Z

2z

2dz +

Z

dz



. # &

=

z }| {

Z

z

4dz

| {z }

+2

z }| {

Z

z

2dz

| {z }

+

z }| {

Z

dz

| {z }

=

z

5

5

+ 2

z

3

3

+ z + C1 =

1

5

tan

5u+

2

3

tan

3u+ tanu+ C1,

Z

z

n

dz =z

n+1

n + 1+ C con n = 4, n = 2 y n = 0

así,Z

sec

6u du =

1

5

tan

5u+

2

3

tan

3u+ tanu+ C1,



por lo que,Z

sec

6(b� ax) dx = � 1

a

Z

sec

6u du = � 1

a

1

5

tan

5u+

2

3

tan

3u+ tanu+ C1

�

= � 1

5a

tan

5u � 2

3a

tan

3u � 1

a

tanu+ C,

como u = b� ax, se tieneZ

sec

6(b� ax) dx = � 1

5a

tan

5(b� ax) � 2

3a

tan

3(b� ax) � 1

a

tan (b� ax) + C.

F


tan

4(4x) dx

Solución : Como no hay término secante y la potencia de la tangente es par, se escribe la integral comoZ

tan

4(4x) dx =

Z

tan

2(4x) tan

2(4x) dx,


tan

2(·) + 1 = sec

2(·) , se tiene que tan

2(·) = sec

2(·)� 1,

así,

tan2 (4x) = sec2 (4x) � 1

#Z

tan

4(4x) dx =

Z

tan

2(4x)

z }| {

tan

2(4x) dx =

Z

tan

2(4x)

�

sec

2(4x)� 1

�

dx

=

Z

�

tan

2(4x) sec

2(4x)� tan

2(4x)

�

dx =

Z

tan

2(4x) sec

2(4x) dx�

Z

tan

2(4x) dx.


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

Se resuelven cada una de las nuevas integrales. Para la primera integral, se observa que la derivada de la funciónf (x) = tan (4x), salvo una constante, está presente en el integrando, eso sugiere el cambio de variable

u = tan (4x)

Cálculo del

��!diferencial

du = 4 sec

2(4x) dx =) du

4

= sec

2(4x) dx,



Diferencial

du

4= sec2 (4x) dx

#

Cambio

u = tan (4x)

#


Integral de tabla.

Z

tan

2(4x) sec

2(4x) dx =

Z

✓

z }| {

tan (4x)

◆2z }| {

sec

2(4x) dx =

Z

u

2 du

4

=

1

4

z }| {

Z

u

2du

| {z }

=

1

4

u

3

3

+ C1 =

tan

3(4x)

12

+ C1,

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 2






es decir,Z

tan

2(4x) sec

2(4x) dx =

tan

3(4x)

12

+ C1.

Para la segunda integral, se procede de la siguiente manera, por la identidad trigonométrica

tan

2(·) + 1 = sec

2(·) , se tiene que tan

2(·) = sec

2(·)� 1,

y se escribe la integral comoZ

tan

2(4x) dx =

Z

�

sec

2(4x)� 1

�

dx =

Z

sec

2(4x) dx�

Z

dx,


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

Para obtenerZ

sec

2(4x) dx, se propone el cambio de variable

u = 4x

Cálculo del

��!diferencial

du = 4 dx =) du

4

= dx,



Diferencial

du

4= dx

#

Cambio

u = 4x

#Z

sec

2z}|{

(4x) dx =

Z

sec

2u

du

4

=

1

4

Z

sec

2u du =

1

4

tanu+ C2 =

1

4

tan (4x) + C2,




es decir,Z

sec

2(4x) dx =

1

4

tan (4x) + C2.

Por otra parte,Z

dx = x+ C3,

con lo que,Z

tan

2(4x) dx =

Z

sec

2(4x) dx�

Z

dx =

1

4

tan (4x)� x+ C4.

Luego,Z

tan

4(4x) dx =

1

12

tan

3(4x)� 1

4

tan (4x) + x+ C.

F


tan

5x sec

2x dx.

Solución : Se observa que la derivada de la función y = tanx está presente en el integrando, eso sugiere elcambio de variable

u = tanx

Cálculo del

��!diferencial

du = sec

2x dx,





Cambio

u = tan x

#

Diferencial

du = sec2 x dx

#


Integral de tabla.

Z

tan

5x sec

2x dx =

Z

✓

z }| {

tanx

◆5z }| {

sec

2x dx =

z }| {

Z

u

5du

| {z }

=

u

6

6

+ C =

tan

6x

6

+ C.

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 5

Luego,Z

tan

5x sec

2x dx =

tan

6x

6

+ C.

Otra manera de obtener la familia de primitiva de la función f (x) = tan

5x sec

2x, en virtud que la potencia

de la tangente es impar, es escribir la integral como

Potencia impar.

Tomar un término tan x sec x.

#Z

tan

5x sec

2x dx =

Z

tan

4x secx tanx secx dx


si el diferencial de la nueva integral será tanx secx dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer essecx, así, cabe la pregunta

¿Qué hacer con este término?

#Z

tan

5x sec

2x dx =

Z

z }| {

tan

4x secx tanx secx dx,


tan

2x+ 1 = sec

2x, se tiene que tan

2x = sec

2x� 1,

así,tan2

x = sec2 x � 1

#Z

tan

5x sec

2x dx =

Z

z }| {

tan

2x

!2

secx tanx secx dx =

Z

�

sec

2x� 1

�2secx tanx secx dx.

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función secante y su correspondiente derivada, la función tangentepor secante, así, se propone el cambio de variable

u = secx

Cálculo del

��!diferencial

du = tanx secx dx,



tan

5x sec

2x dx =

Z

�

tan

2x

�2secx tanx secx dx =

Z

�

sec

2x� 1

�2secx tanx secx dx



Diferencial

du = tan x sec x dx

#

Cambio

u = sec x

#

Cambio

u = sec x

#=

Z

✓

⇣

z}|{

secx

⌘2

� 1

◆2z}|{

secx

z }| {

tanx secx dx =

Z

�

u

2 � 1

�2u du =

Z

�

u

4 � 2u

2+ 1

�

u du


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

#



=

Z

�

u

5 � 2u

3+ u

�

du =

Z

u

5du�

Z

2u

3du+

Z

u du =

z }| {

Z

u

5du

| {z }

�2z }| {

Z

u

3du

| {z }

+

z }| {

Z

u du

| {z }

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 5, n = 3 y n = 1




=

u

6

6

� u

4

2

+

u

2

2

+ C =

sec

6x

6

� sec

4x

2

+

sec

2x

2

+ C.

Luego,Z

tan

5x sec

2x dx =

sec

6x

6

� sec

4x

2

+

sec

2x

2

+ C.

F


tan

3x sec

1/2x dx.

Solución : Como la potencia de la tangente es impar, entonces se debe tomar un término tanx secx ytransformamos los demás términos en secante, pero observemos que el término secx que se necesita no aparece,así, multiplicamos y dividimos, el integrando, por secx y obtenemos

Z

tan

3x sec

1/2x dx =

Z

tan

3x sec

1/2x

1

secx

secx dx =

Z

tan

3x sec

�1/2x secx dx,

así, se tienePotencia impar.


#Z

tan

3x sec

1/2x dx =

Z

tan

2x sec

�1/2x tanx secx dx




#Z

tan

3x sec

1/2x dx =

Z

z }| {

tan

2x sec

�1/2x tanx secx dx,


tan

2x+ 1 = sec


2x = sec

2x� 1,

así,

tan2

x = sec2 x � 1

#Z

tan

3x sec

1/2x dx =

Z

z }| {

tan

2x sec

�1/2x tanx secx dx =

Z

�

sec

2x� 1

�

sec

�1/2x tanx secx dx.




u = secx

Cálculo del

��!diferencial

du = tanx secx dx,



tan

3x sec

1/2x dx =

Z

tan

2x sec

�1/2x tanx secx dx =

Z

�

sec

2x� 1

�

sec

�1/2x tanx secx dx

Diferencial

du = tan x sec x dx

#

Cambio

u = sec x

#

Cambio

u = sec x

#=

Z

✓

⇣

z}|{

secx

⌘2

� 1

◆

⇣

z}|{

secx

⌘�1/2 z }| {

tanx secx dx =

Z

�

u

2 � 1

�

u

�1/2du =

Z

⇣

u

3/2 � u

�1/2⌘

du

| {z }


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dxIntegrales de una potencia.


=

z }| {

Z

u

3/2du

| {z }

�z }| {

Z

u

�1/2du

| {z }

=

2

5

u

5/2 � 2u

1/2+ C =

2

5

sec

5/2x� 2 sec

1/2x+ C.

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n =

2

3y n = �

1

2

Luego,Z

tan

3x sec

1/2x dx =

2

5

sec

5/2x� 2 sec

1/2x+ C.

F


tan

5x dx.

Solución : Como la potencia de la tangente es impar, entonces se debe tomar un término tanx secx ytransformamos los demás términos en secante, pero observemos que el término secx que se necesita no aparece,así, multiplicamos y dividimos, el integrando, por secx y obtenemos

Z

tan

5x dx =

Z

tan

5x

1

secx

secx dx =

Z

tan

5x

secx

secx dx,

así, se tienePotencia impar.


#Z

tan

5x dx =

Z

tan

4x

secx

tanx secx dx






#Z

tan

5x dx =

Z

z }| {

tan

4x

secx

tanx secx dx,


tan

2x+ 1 = sec


2x = sec

2x� 1,

así,

tan2

x = sec2 x � 1

#

Z

tan

5x dx =

Z

tan

4x

secx

tanx secx dx =

Z

z }| {

tan

2x

!2

secx

tanx secx dx =

Z

�

sec

2x� 1

�2

secx

tanx secx dx.


u = secx

Cálculo del

��!diferencial

du = tanx secx dx,



tan

5x dx =

Z

tan

4x

secx

tanx secx dx =

Z

�

sec

2x� 1

�2

secx

tanx secx dx

Diferencial

du = tan x sec x dx

#

Cambio

u = sec x

#

=

Z

✓

⇣

z}|{

secx

⌘2

� 1

◆2

secx

|{z}

z }| {

tanx secx dx

=

Z

�

u

2 � 1

�2

u

du =

Z

u

4 � 2u

2+ 1

u

du

"Cambio

u = sec x

=

Z

✓

u

4

u

� 2u

2

u

+

1

u

◆

du =

Z

✓

u

3 � 2u+

1

u

◆

du =

Z

u

3du�

Z

2u du+

Z

1

u

du

"Propiedades de los racionales

a + b

c

=a

c

+b

c


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx






Logaritmo

natural.

=

z }| {

Z

u

3du

| {z }

�2z }| {

Z

u du

| {z }

+

z }| {

Z

du

u

=

u

4

4

� 2

u

2

2

+ ln |u|+ C =

sec

4x

4

� sec

2x+ ln |secx|+ C.

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 3 y n = 1



Luego,Z

tan

5x dx =

sec

4x

4

� sec

2x+ ln |secx|+ C.

F


cot

4x csc

2x dx.

Solución : Se observa que la derivada de la función y = cotx está presente en el integrando, salvo unaconstante, eso sugiere el cambio de variable

u = cotx

Cálculo del

��!diferencial

du = � csc

2x dx =) � du = csc

2x dx,



Diferencial

� du = csc2 x dx

#

Cambio

u = cot x

#


Integral de tabla.

Z

cot

4x csc

2x dx =

Z

✓

z}|{

cotx

◆4z }| {

csc

2x dx =

Z

u

4(� du) = �

z }| {

Z

u

4du

| {z }

= � u

5

5

+ C = � cot

5x

5

+ C.

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 4




Luego,Z

cot

4x csc

2x dx = � cot

5x

5

+ C.

F


cot

7x csc

2x dx.

Solución : Se observa que la derivada de la función y = cotx está presente en el integrando, salvo unaconstante, eso sugiere el cambio de variable

u = cotx

Cálculo del

��!diferencial

du = � csc


2x dx,



Diferencial

� du = csc2 x dx

#

Cambio

u = cot x

#


Integral de tabla.

Z

cot

7x csc

2x dx =

Z

✓

z}|{

cotx

◆7z }| {

csc

2x dx =

Z

u

7(� du) = �

z }| {

Z

u

7du

| {z }

= � u

8

8

+ C = � cot

8x

8

+ C.

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 7






Luego,Z

cot

7x csc

2x dx = � cot

8x

8

+ C.

F


cot

6x csc

6x dx.

Solución : Como la potencia de la cosecante es par, la integral se escribe como

Potencia par.

Tomar un término csc2 x.

#Z

cot

6x csc

6x dx =

Z

cot

6x csc

4x csc

2x dx,

"Futuro diferencial,

salvo una constante negativa.

si el diferencial de la nueva integral será csc

2x dx, salvo una constante negativa, entonces el cambio de variable

que se debe proponer es cotx, así, cabe la preguntaZ

cot

6x csc

6x dx =

Z

cot

6x csc

4x

| {z }

csc

2x dx,


por la identidad trigonométrica básica1 + cot

2x = csc

2x,

por lo que,Z

cot

6x csc

4x csc

2x dx =

Z

cot

6x

⇣

csc

2x

| {z }

⌘2

csc

2x dx =

Z

cot

6x

�

1 + cot

2x

�2csc

2x dx.

"1 + cot2 x = csc2 x

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función cotangente y su correspondiente derivada, la funcióncosecante al cuadrado, salvo una constante negativa, así, se propone el cambio de variable

u = cotx

Cálculo del

��!diferencial

du = � csc


2x dx,



cot

6x csc

4x csc

2x dx =

Z

cot

6x

�

1 + cot

2x

�2csc

2x dx

Diferencial

� du = csc2 x dx

#

Cambio

u = cot x

#

Cambio

u = cot x

#=

Z

✓

z}|{

cotx

◆6

1 +

✓

z}|{

cotx

◆2!2z }| {

csc

2x dx =

Z

u

6�

1 + u

2�2

(� du) = �Z

u

6�

1 + u

2�2

du









#


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

#= �

Z

u

6�

1 + 2u

2+ u

4�

du = �Z

�

u

6+ 2u

8+ u

10�

du = �✓

Z

u

6du+

Z

2u

8du+

Z

u

10du

◆



. # &

= �

0

@

z }| {

Z

u

6du

| {z }

+2

z }| {

Z

u

8du

| {z }

+

z }| {

Z

u

10du

| {z }

1

A

= �✓

u

7

7

+

2u

9

9

+

u

11

11

◆

+ C = � u

7

7

� 2u

9

9

� u

11

11

+ C

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 6, n = 8 y n = 10

= � cot

7x

7

� 2 cot

9x

9

� cot

11x

11

+ C.

Luego,Z

cot

6x csc

6x dx = � cot

7x

7

� 2 cot

9x

9

� cot

11x

11

+ C.

F


cot

3x csc

8x dx.

Solución : Como la potencia de la cosecante es par, la integral se escribe como

Potencia par.

Tomar un término csc2 x.

#Z

cot

3x csc

8x dx =

Z

cot

3x csc

6x csc

2x dx,

"Futuro diferencial,

salvo una constante negativa.

si el diferencial de la nueva integral será csc

2x dx, salvo una constante negativa, entonces el cambio de variable

que se debe proponer es cotx, así, cabe la preguntaZ

cot

3x csc

8x dx =

Z

cot

3x csc

6x

| {z }

csc

2x dx,


por la identidad trigonométrica básica1 + cot

2x = csc

2x,

por lo que,Z

cot

3x csc

6x csc

2x dx =

Z

cot

3x

⇣

csc

3x

| {z }

⌘2

csc

2x dx =

Z

cot

3x

�

1 + cot

2x

�3csc

2x dx.

"1 + cot2 x = csc2 x



Se observa que en el nuevo integrando aparece la función cotangente y su correspondiente derivada, la funcióncosecante al cuadrado, salvo una constante negativa, así, se propone el cambio de variable

u = cotx

Cálculo del

��!diferencial

du = � csc


2x dx,



Diferencial

� du = csc2 x dx

#

Cambio

u = cot x

#

Cambio

u = cot x

#Z

cot

3x csc

6x csc

2x dx =

Z

cot

3x

�

1 + cot

2x

�3csc

2x dx =

Z

✓

z}|{

cotx

◆3

1 +

✓

z}|{

cotx

◆2!3z }| {

csc

2x dx




#=

Z

u

3�

1 + u

2�3

(� du) = �Z

u

3�

1 + u

2�3

du = �Z

u

3�

1 + 3u

2+ 3u

4+ u

6�

du




# #


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

#= �

Z

�

u

3+ 3u

5+ 3u

7+ u

9�

du = �✓

Z

u

3du+

Z

3u

5du+

Z

3u

7du+

Z

u

9du

◆





= �

0

@

z }| {

Z

u

3du

| {z }

+ 3

z }| {

Z

u

5du

| {z }

+ 3

z }| {

Z

u

7du

| {z }

+

z }| {

Z

u

9du

| {z }

1

A

= �✓

u

4

4

+ 3

u

6

6

+ 3

u

8

8

+

u

10

10

◆

+ C

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 3, n = 5, n = 7 y n = 9

= � u

5

5

� u

6

2

� 3u

8

8

� u

10

10

+ C = � cot

5x

5

� cot

6x

2

� 3 cot

8x

8

� cot

10x

10

+ C.

Luego,Z

cot

3x csc

8x dx = � cot

5x

5

� cot

6x

2

� 3 cot

8x

8

� cot

10x

10

+ C.

Otra manera de obtener la familia de primitiva de la función f (x) = cot

3x csc

8x, es, en virtud que la

potencia de la cotangente es impar, escribir la integral como

Potencia impar.

Tomar un término cot x csc x.

#Z

cot

3x csc

8x dx =

Z

cot

2x csc

7x cotx cscx dx




si el diferencial de la nueva integral será cotx cscx dx, salvo una constante negativa, entonces el cambio devariable que se debe proponer es cscx, así, cabe la pregunta


#Z

cot

3x csc

8x dx =

Z

z }| {

cot

2x csc

7x cotx cscx dx,


1 + cot

2x = csc

2x, se tiene que cot

2x = csc

2x� 1,

así,cot2 x = csc2 x � 1

#Z

cot

3x csc

8x dx =

Z

z }| {

cot

2x csc

7x cotx cscx dx =

Z

�

csc

2x� 1

�

csc

7x cotx cscx dx.

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función cosecante y su correspondiente derivada salvo unaconstante negativa, la función cotangente por cosecante, así, se propone el cambio de variable

u = cscx

Cálculo del

��!diferencial

du = � cotx cscx dx =) � du = cotx cscx dx,



cot

3x csc

8x dx =

Z

cot

2x csc

7x cotx cscx dx =

Z

�

csc

2x� 1

�

csc

7x cotx cscx dx

Diferencial

� du = cot x csc x dx

#

Cambio

u = csc x

#

Cambio

u = csc x

#=

Z

✓

⇣

z}|{

cscx

⌘2

� 1

◆

⇣

z}|{

cscx

⌘7 z }| {

cotx cscx dx =

Z

�

u

2 � 1

�

u

7(� du) = �

Z

�

u

2 � 1

�

u

7du





Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

#



= �Z

�

u

9 � u

7�

du = �

0

@

z }| {

Z

u

9du

| {z }

�z }| {

Z

u

7du

| {z }

1

A

= � u

10

10

+

u

8

8

+ C = � csc

10x

10

+

csc

8x

8

+ C.

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 9, y n = 7

Luego,Z

cot

3x csc

8x dx = � csc

10x

10

+

csc

8x

8

+ C.

F




cot

9x csc

6x dx.

Solución : Puesto que, la potencia de la cotangente es impar, se escribe la integral como

Potencia impar.


#Z

cot

9x csc

6x dx =

Z

cot

8x csc

5x cotx cscx dx




#Z

cot

9x csc

6x dx =

Z

z }| {

cot

8x csc

5x cotx cscx dx,


1 + cot

2x = csc


2x = csc

2x� 1,

así,tan2

x = sec2 x � 1

#Z

cot

9x csc

6x dx =

Z

z }| {

cot

2x

!4

csc

5x cotx cscx dx =

Z

�

csc

2x� 1

�4csc

5x cotx cscx dx.


u = cscx

Cálculo del

��!diferencial




cot

9x csc

6x dx =

Z

�

cot

2x

�4csc

5x cotx cscx dx =

Z

�

csc

2x� 1

�4csc

5x cotx cscx dx

Diferencial


#

Cambio

u = csc x

#

Cambio

u = csc x

#=

Z

✓

⇣

z}|{

cscx

⌘2

� 1

◆4⇣

z}|{

cscx

⌘5 z }| {

cotx cscx dx =

Z

�

u

2 � 1

�4u

5(� du) = �

Z

�

u

2 � 1

�4u

5du




= �Z

�

u

8 � 4u

6+ 6u

4 � 4u

2+ 1

�

u

5du = �

Z

�

u

13 � 4u

11+ 6u

9 � 4u

7+ u

5�

du




Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

#= �

✓

Z

u

13du�

Z

4u

11du+

Z

6u

9du�

Z

4u

7du+

Z

u

5du

◆

" " "Linealidad de la integral







# # . # &

= �

0

@

z }| {

Z

u

13du

| {z }

� 4

z }| {

Z

u

11du

| {z }

+ 6

z }| {

Z

u

9du

| {z }

� 4

z }| {

Z

u

7du

| {z }

+

z }| {

Z

u

5du

| {z }

1

A

- " " " %Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 13, n = 11, n = 9, n = 7 y n = 5

= �✓

u

14

14

� 4

u

12

12

+ 6

u

10

10

� 4

u

8

8

+

u

6

6

◆

+ C = � u

14

14

+

u

12

3

� 3

u

10

5

+

u

8

2

� u

6

6

+ C

= � csc

14x

14

+

csc

12x

3

� 3

5

csc

10x+

csc

8x

2

� csc

6x

6

+ C.

Luego,Z

cot

9x csc

6x dx = � csc

14x

14

+

csc

12x

3

� 3

5

csc

10x+

csc

8x

2

� csc

6x

6

+ C.

F


cot

5x csc

5x dx.

Solución : Como la potencia de la cotangente es impar, se escribe la integral como

Potencia impar.


#Z

cot

5x csc

5x dx =

Z

cot

4x csc

4x cotx cscx dx




#Z

cot

5x csc

5x dx =

Z

z }| {

cot

4x csc

4x cotx cscx dx,


1 + cot

2x = csc


2x = csc

2x� 1,



así,cot2 x = csc2 x � 1

#Z

cot

5x csc

5x dx =

Z

z }| {

cot

2x

!2

csc

4x cotx cscx dx =

Z

�

csc

2x� 1

�2csc

4x cotx cscx dx.


u = cscx

Cálculo del

��!diferencial




cot

5x csc

5x dx =

Z

�

cot

2x

�2csc

4x cotx cscx dx =

Z

�

csc

2x� 1

�2csc

4x cotx cscx dx

Diferencial


#

Cambio

u = csc x

#

Cambio

u = csc x

#=

Z

✓

⇣

z}|{

cscx

⌘2

� 1

◆2⇣

z}|{

cscx

⌘4 z }| {

cotx cscx dx =

Z

�

u

2 � 1

�2u

4(� du) = �

Z

�

u

2 � 1

�2u

4du




= �Z

�

u

4 � 2u

2+ 1

�

u

4du = �

Z

�

u

8 � 2u

6+ u

4�

du = �✓

Z

u

8du�

Z

2u

6du+

Z

u

4du

◆


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx






. # &

= �

0

@

z }| {

Z

u

8du

| {z }

� 2

z }| {

Z

u

6du

| {z }

+

z }| {

Z

u

4du

| {z }

1

A

= �✓

u

9

9

� 2

u

7

7

+

u

5

5

◆

+ C

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 8, n = 6 y n = 4

= �u

9

9

+

2u

7

7

� u

5

5

+ C = � csc

9x

9

+

2 csc

7x

7

� csc

5x

5

+ C.

Luego,Z

cot

5x csc

5x dx = � csc

9x

9

+

2 csc

7x

7

� csc

5x

5

+ C.

F


cot

5x csc

1/5x dx.

Solución : Como la potencia de la cotangente es impar, entonces se debe tomar un término cotx cscx ytransformar los demás términos en cosecante, pero se observa que el término cscx que se necesita no aparece, así,



se multiplica y se divide, el integrando, por cscx y se obtieneZ

cot

5x csc

1/5x dx =

Z

cot

5x csc

1/5x

1

cscx

cscx dx =

Z

cot

5x csc

�4/5x cscx dx,

de aquí,Potencia impar.


#Z

cot

5x csc

1/5x dx =

Z

cot

4x csc

�4/5x cotx cscx dx




#Z

cot

5x csc

1/5x dx =

Z

z }| {

cot

4x csc

�4/5x cotx cscx dx,


1 + cot

2x = csc


2x = csc

2x� 1,

así,

cot2 x = csc2 x � 1

#Z

cot

5x csc

1/5x dx =

Z

z }| {

cot

2x

!2

csc

�4/5x cotx cscx dx =

Z

�

csc

2x� 1

�2csc

�4/5x cotx cscx dx.


u = cscx

Cálculo del

��!diferencial




Diferencial


#

Cambio

u = csc x

#

Cambio

u = csc x

#Z

cot

5x csc

1/5x dx =

Z

cot

4x csc

�4/5x cotx cscx dx =

Z

✓

⇣

z}|{

cscx

⌘2

� 1

◆2⇣

z}|{

cscx

⌘�4/5 z }| {

cotx cscx dx




#=

Z

�

u

2 � 1

�2u

�4/5(� du) = �

Z

�

u

2 � 1

�2u

�4/5du = �

Z

�

u

4 � 2u

2+ 1

�

u

�4/5du






#


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

#= �

Z

⇣

u

16/5 � 2u

6/5+ u

�4/5⌘

du = �✓

Z

u

16/5du�

Z

2u

6/5du+

Z

u

�4/5du

◆



. # &

=

z }| {

Z

u

16/5du

| {z }

�2z }| {

Z

u

6/5du

| {z }

+

z }| {

Z

u

�4/5du

| {z }

=

u

21/5

21

5

� 2

u

11/5

11

5

+

u

1/5

1

5

+ C

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n =

16

5, n =

6

5y n = �

4

5

=

5

21

u

21/5 � 10

11

u

11/5+ 5u

1/5+ C =

5

21

csc

21/5x� 10

11

csc

11/5x+ 5 csc

1/5x+ C.

Luego,Z

cot

5x csc

1/5x dx =

5

21

csc

21/5x� 10

11

csc

11/5x+ 5 csc

1/5x+ C.

F


cot

3⇣

x

2

⌘

dx.


u =

x

2

Cálculo del

��!diferencial

du =

1

2

dx =) 2 du = dx,



Cambio

u =x

2

#

Diferencial

2 du = dx

#Z

cot

3⇣

x

2

⌘

dx =

Z

cot

3u (2 du) = 2

Z

cot

3u du




Como la potencia de la cotangente es impar, entonces se debe tomar un término cotu cscu y transformar losdemás términos en cosecante, pero se observa que el término cscu que se necesita no aparece en el integrando,así, se multiplica y se divide, dicho integrando, por cscu y se obtiene

Z

cot

3u du =

Z

cot

3u

1

cscu

cscu du =

Z

cot

2u (cscu)

�1cotu cscu du,

se debe ser cuidadoso con el término (cscu)

�1, que aparece en la última integral de la igualdad anterior, ya que,dicho término representa el inverso multiplicativo de la función f (u) = cscu y no su función inversa.



Así, se tienePotencia impar.

Tomar un término cotu cscu.

#Z

cot

3u du =

Z

cot

2u (cscu)

�1cotu cscu du


si el diferencial de la nueva integral será cotu cscu du, salvo una constante negativa, entonces el cambio devariable que se debe proponer es cscu, así, cabe la pregunta


#Z

cot

3u du =

Z

z }| {

cot

2u (cscu)

�1cotu cscu du,


1 + cot

2u = csc

2u, se tiene que cot

2u = csc

2u� 1,

así,cot2 u = csc2 u � 1

#Z

cot

3u du =

Z

z }| {

cot

2u (cscu)

�1cotu cscu du =

Z

�

csc

2u� 1

�

(cscu)

�1cotu cscu du.


z = cscu

Cálculo del

��!diferencial

dz = � cotu cscu du =) � dz = cotu cscu du,



Diferencial

� dz = cotu cscu du

#

Cambio

z = cscu

#

Cambio

z = cscu

#Z

cot

3u du =

Z

cot

2u (cscu)

�1cotu cscu du =

Z

✓

⇣

z}|{

cscu

⌘2

� 1

◆

⇣

z}|{

cscu

⌘�1 z }| {

cotu cscu du




#


Integral de tabla.

Logaritmo

natural.

=

Z

�

z

2 � 1

�

z

�1(� dz) = �

Z

�

z

2 � 1

�

z

�1dz = �

Z

�

z � z

�1�

dz = �

0

@

z }| {

Z

z dz

| {z }

�z }| {

Z

z

�1dz

1

A

%Linealidad de la integral

Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

Z

z

n

dz =z

n+1

n + 1+ C con n = 1

= �✓

z

2

2

� ln |z|◆

+ C = � z

2

2

+ ln |z|+ C = � csc

2u

2

+ ln |cscu|+ C,



por lo que,Z

cot

3u du = � csc

2u

2

+ ln |cscu|+ C,

como, u =

x

2

, se tiene

Z

cot

3⇣

x

2

⌘

dx = 2

� 1

2

csc

2⇣

x

2

⌘

+ ln

�

�

�

csc

⇣

x

2

⌘

�

�

�

�

+ C = � csc

2⇣

x

2

⌘

+ 2 ln

�

�

�

csc

⇣

x

2

⌘

�

�

�

+ C.

Luego,Z

cot

3⇣

x

2

⌘

dx = � csc

2⇣

x

2

⌘

+ 2 ln

�

�

�

csc

⇣

x

2

⌘

�

�

�

+ C.

F


cot

6(3x) dx.

Solución : Como no hay término cosecante y la potencia de la cotangente es par, se escribe la integral comoZ

cot

6(3x) dx =

Z

cot

4(3x) cot

2(3x) dx,


1 + cot

2(·) = csc

2(·) , se tiene que cot

2(·) = csc

2(·)� 1,

así,

cot2 (3x) = csc2 (3x) � 1

#Z

cot

6(3x) dx =

Z

cot

4(3x)

z }| {

cot

2(3x) dx =

Z

cot

4(3x)

�

csc

2(3x)� 1

�

dx

=

Z

�

cot

4(3x) csc

2(3x) � cot

4(3x)

�

dx =

Z

cot

4(3x) csc

2(3x) dx�

Z

cot

4(3x) dx.


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

Se resuelven cada una de las nuevas integrales. Para la primera integral, se observa que la derivada de la funciónf (x) = cot (3x), salvo una constante, está presente en el integrando, eso sugiere el cambio de variable

u = cot (3x)

Cálculo del

��!diferencial

du = � 3 csc

2(3x) dx =) � du

3

= csc

2(3x) dx,






#

Diferencial

�du

3= csc2 (3x) dx

#

Cambio

u = cot (3x)

#Z

cot

4(3x) csc

2(3x) dx =

Z

✓

z }| {

cot (3x)

◆4z }| {

csc

2(3x) dx =

Z

u

4

✓

� du

3

◆

=

Z

u

4

z }| {

✓

� 1

3

◆

du




Integral de tabla.

= � 1

3

z }| {

Z

u

4du

| {z }

= � 1

3

u

5

5

+ C1 = � cot

5(3x)

15

+ C1,

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 4

es decir,Z

cot

4(3x) csc

2(3x) dx = � cot

5(3x)

15

+ C1.

Para la segunda integral,Z

cot

4(3x) dx. se procede de la siguiente manera, por la identidad trigonométrica

1 + cot

2(·) = csc


2(·) = csc

2(·)� 1,

y se escribe la integral como

cot2 (3x) = csc2 (3x) � 1

#Z

cot

4(3x) dx =

Z

cot

2(3x)

z }| {

cot

2(3x) dx =

Z

cot

2(3x)

�

csc

2(3x)� 1

�

dx

=

Z

�

cot

2(3x) csc

2(3x) � cot

2(3x)

�

dx =

Z

cot

2(3x) csc

2(3x) dx�

Z

cot

2(3x) dx.


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

Para obtenerZ

cot

2(3x) csc

2(3x) dx, se observa que la derivada de la función f (x) = cot (3x), salvo una

constante, está presente en el integrando, eso sugiere el cambio de variable

u = cot (3x)

Cálculo del

��!diferencial

du = � 3 csc

2(3x) dx =) � du

3

= csc

2(3x) dx,






#

Diferencial

�du

3= csc2 (3x) dx

#

Cambio

u = cot (3x)

#Z

cot

2(3x) csc

2(3x) dx =

Z

✓

z }| {

cot (3x)

◆2z }| {

csc

2(3x) dx =

Z

u

2

✓

� du

3

◆

=

Z

u

2

z }| {

✓

� 1

3

◆

du


Integral de tabla.

= � 1

3

z }| {

Z

u

2du

| {z }

= � 1

3

u

3

3

+ C1 = � cot

3(3x)

9

+ C2,

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 2



es decir,Z

cot

2(3x) csc

2(3x) dx = � cot

3(3x)

9

+ C2.

Para obtener la familia de primitiva de la función f (x) = cot

2(3x), se procede de la siguiente manera, por la

identidad trigonométrica

1 + cot

2(·) = csc


2(·) = csc

2(·)� 1,

y se escribe la integral comoZ

cot

2(3x) dx =

Z

�

csc

2(3x)� 1

�

dx =

Z

csc

2(3x) dx�

Z

dx,


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

Para la expresiónZ

csc

2(3x) dx, se propone el cambio de variable

u = 3x

Cálculo del

��!diferencial

du = 3 dx =) du

3

= dx,



Diferencial

du

3= dx

#

Cambio

u = 3x

#Z

csc

2z}|{

(3x)

z}|{

dx =

Z

csc

2u

du

3

=

1

3

Z

csc

2u du = � 1

3

cotu+ C3 = � 1

3

cot (3x) + C3,




es decir,Z

csc

2(3x) dx = � 1

3

cot (3x) + C3.

Por otra parte,Z

dx = x+ C4,

con lo que,Z

cot

2(3x) dx =

Z

csc

2(3x) dx�

Z

dx = � 1

3

cot (3x)� x+ C5.

así,Z

cot

4(3x) dx =

Z

cot

2(3x) csc

2(3x) dx�

Z

cot

2(3x) dx = � cot

3(3x)

9

�✓

� 1

3

cot (3x)� x

◆

+ C6

= � cot

3(3x)

9

+

1

3

cot (3x) + x+ C6.



Entonces,Z

cot

6(3x) dx =

Z

cot

4(3x) csc

2(3x) dx�

Z

cot

4(3x) dx

= � cot

5(3x)

15

�✓

� cot

3(3x)

9

+

1

3

cot (3x) + x

◆

+ C

= � cot

5(3x)

15

+

cot

3(3x)

9

� cot (3x)

3

� x+ C.

Luego,Z

cot

6(3x) dx = � cot

5(3x)

15

+

cot

3(3x)

9

� cot (3x)

3

� x+ C.

F


sec

4x tanxp

4� tan

2x

dx.


u

2= 4� tan

2x

Cálculo del

��!diferencial

2u du = 2 tanx sec

2x dx =) u du = tanx sec

2x dx,



Como u

2 = 4 � tan2

x,

entonces tan2

x = 4 � u

2

#sec2 x = tan2

x + 1

#Z

sec

4x tanxp

4� tan

2x

dx =

Z

z }| {

sec

2xp

4� tan

2x

sec

2x tanx dx =

Z

z }| {

tan

2x+1p

4� tan

2x

sec

2x tanx dx

=

Z

4� u

2+ 1p

u

2u du =

Z

5� u

2

u

u du =

Z

�

5� u

2�

du = 5u� u

3

3

+ C

= 5

p4� tan

2x� 1

3

⇣p4� tan

2x

⌘3

+ C = 5

p4� tan

2x� 1

3

�

4� tan

2x

�

p4� tan

2x+ C

=

✓

5� 4

3

+

1

3

tan

2x

◆ p4� tan

2x+ C =

✓

11

3

+

1

3

tan

2x

◆ p4� tan

2x+ C.

Luego,Z

sec

4x tanxp

4� tan

2x

dx =

✓

11

3

+

1

3

tan

2x

◆

p

4� tan

2x+ C.

F


dx

1� cosx

.

Solución : Al aplicar la conjugada trigonométrica, se tieneZ

dx

1� cosx

=

Z

1

(1� cosx)

(1 + cosx)

(1 + cosx)

dx =

Z

1 + cosx

1� cos

2x

dx =

Z

1 + cosx

sen

2x

dx =

Z

dx

sen

2x

+

Z

cosx

sen

2x

dx,



donde,Z

dx

sen

2x

=

Z

csc

2x dx = � cotx+ C1,

mientras que, para resolver la segunda integral,Z

cosx

sen

2x

dx, se propone el cambio de variable

u = senx

Cálculo del

��!diferencial

du = cosx dx,



cosx

sen

2x

dx =

Z

du

u

2=

Z

u

�2du = � 1

u

+ C2,

como u = senx, se tiene queZ

cosx

sen

2x

dx = � 1

senx

+ C2 = � cscx+ C2.

Por lo tanto,Z

dx

1� cosx

= � cotx � cscx+ C.

F


dx

senx cos

2x

.

Solución : Es conocido quesen

2x+ cos

2x = 1

se escribe la integral comoZ

dx

senx cos

2x

=

Z

sen

2x+ cos

2x

senx cos

2x

dx =

Z

sen

2x

senx cos

2x

dx+

Z

cos

2x

senx cos

2x

dx =

Z

senx

cos

2x

dx+

Z

dx

senx

.

Para la primera integral se propone el cambio de variable

u = cosx

Cálculo del

��!diferencial




senx

cos

2x

dx =

Z �duu

2= �

Z

u

�2du =

1

u

+ C1 =

1

cosx

+ C1 = secx+ C1,

es decir,Z

senx

cos

2x

dx = secx+ C1,

mientras que,Z

1

senx

dx =

Z

cscx dx = ln |cscx� cotx|+ C2.

Luego,Z

dx

senx cos

2x

= secx+ ln |cscx� cotx|+ C.

F




sen (mx) sen (nx) dx con m 6= n.


cos (m+ n)x = cos (mx) cos (nx)� sen (mx) sen (mx)

ycos (m� n)x = cos (mx) cos (nx) + sen (mx) sen (mx) ,

entonces(�1)

(

cos (m+ n)x = cos (mx) cos (nx)� sen (mx) sen (mx)

cos (m� n)x = cos (mx) cos (nx) + sen (mx) sen (mx)

cos (m� n)x� cos (m+ n)x = 2 sen (mx) sen (mx)

de aquí, se obtiene la identidad trigonométrica

sen (mx) sen (mx) =

cos (m� n)x� cos (m+ n)x

2

, (2)

por lo queZ

sen (mx) sen (nx) dx =

Z


2

dx =

1

2

Z

(cos (m� n)x� cos (m+ n)x) dx

=

1

2

✓

Z

cos (m� n)x dx�Z

cos (m+ n)x dx

◆

=

1

2

Z

cos (m� n)x dx� 1

2

Z

cos (m+ n)x dx

Para la integralZ

cos (m� n)x dx, se propone el cambio de variable

u = (m� n)x

Cálculo del

��!diferencial

du = (m� n) dx =) du

m� n

= dx,



cos (m� n)x dx =

Z

cosu

du

m� n

=

1

m� n

Z

cosu du =

1

m� n

senu+ C1 =

sen (m� n)x

m� n

+ C1.

Para la integralZ

cos (m+ n)x dx, se propone el cambio de variable

u = (m+ n)x

Cálculo del

��!diferencial

du = (m+ n) dx =) du

m+ n

= dx,



cos (m+ n)x dx =

Z

cosu

du

m+ n

=

1

m+ n

Z

cosu du =

1

m+ n

senu+ C2 =

sen (m+ n)x

m+ n

+ C2.

Finalmente,Z


1

2

Z

cos (m� n)x dx� 1

2

Z

cos (m+ n)x dx

=

1

2

✓

sen (m� n)x

m� n

+ C1

◆

� 1

2

✓

sen (m+ n)x

m+ n

+ C2

◆

=

sen (m� n)x

2 (m� n)

� sen (m+ n)x

2 (m+ n)

+ C.



Luego,Z


sen (m� n)x

2 (m� n)

� sen (m+ n)x

2 (m+ n)

+ C.

F


sen

⇣

x

2

⌘

sen (4x) dx.

Solución : En el ejemplo 184 se obtuvo la familia de primitivas de la integral por medio del método deintegración por partes

Z

sen

⇣

x

2

⌘

sen (4x) dx = � 16

63

sen

⇣

x

2

⌘

cos (4x) +

2

63

cos

⇣

x

2

⌘

sen (4x) + C.

Ahora resolvemos la integral usando la identidad trigonométrica dada en la ecuación (2)

sen (mx) sen (mx) =


2

,

con m =

1

2

y n = 4, así,

sen

⇣

x

2

⌘

sen (4x) =

1

2

✓

cos

✓

1

2

� 4

◆

x� cos

✓

1

2

+ 4

◆

x

◆

=

1

2

✓

cos

✓

�7x

2

◆

� cos

✓

9x

2

◆◆

,

como la función coseno es una función par, entonces

sen

⇣

x

2

⌘

sen (4x) =

1

2

✓

cos

✓

7x

2

◆

� cos

✓

9x

2

◆◆

.

La integral se escribeZ

sen

⇣

x

2

⌘

sen (4x) dx =

Z

1

2

✓

cos

✓

7x

2

◆

� cos

✓

9x

2

◆◆

dx =

1

2

Z

✓

cos

✓

7x

2

◆

� cos

✓

9x

2

◆◆

dx

=

1

2

✓

Z

cos

✓

7x

2

◆

dx�Z

cos

✓

9x

2

◆

dx

◆

=

1

2

Z

cos

✓

7x

2

◆

dx� 1

2

Z

cos

✓

9x

2

◆

dx

Para la integralZ

cos

✓

7x

2

◆


u =

7x

2

Cálculo del

��!diferencial

du =

7

2

dx =) 2 du

7

= dx,



cos

✓

7x

2

◆

dx =

Z

cosu

2 du

7

=

2

7

Z

cosu du =

2

7

senu+ C1 =

2

7

sen

✓

7x

2

◆

+ C1.

Para la integralZ

cos

✓

9x

2

◆


u =

9x

2

Cálculo del

��!diferencial

du =

9

2

dx =) 2 du

9

= dx,





cos

✓

9x

2

◆

dx =

Z

cosu

2 du

9

=

2

9

Z

cosu du =

2

9

senu+ C2 =

2

9

sen

✓

9x

2

◆

+ C2.

Finalmente,Z

sen

⇣

x

2

⌘

sen (4x) dx =

1

2

Z

cos

✓

7x

2

◆

dx� 1

2

Z

cos

✓

9x

2

◆

dx

=

1

2

✓

2

7

sen

✓

7x

2

◆

+ C1

◆

� 1

2

✓

2

9

sen

✓

9x

2

◆

+ C2

◆

=

1

7

sen

✓

7x

2

◆

� 1

9

sen

✓

9x

2

◆

+ C.

Luego,Z

sen

⇣

x

2

⌘

sen (4x) dx =

1

7

sen

✓

7x

2

◆

� 1

9

sen

✓

9x

2

◆

+ C.

F


cos

2(5x) cos

3(2x) dx.


cos

2(5x) cos

3(2x) dx =

Z

cos

2(5x) cos

2(2x) cos (2x) dx =

Z

(cos (5x) cos (2x))

2cos (2x) dx

Es conocido que

cosx cos y =

cos (x+ y) + cos (x� y)

2

,

por lo tanto,

cos (mx) cos (nx) =

cos (mx+ nx) + cos (mx� nx)

2

=

cos ((m+ n)x) + cos ((m� n)x)

2

,

asíIdentidad trigonométrica

cos (mx) cos (nx) =cos ((m + n) x) + cos ((m � n) x)

2

con m = 5 y n = 2

#✓

z }| {

cos (5x) cos (2x)

◆2

cos (2x) =

✓

cos (7x) + cos (3x)

2

◆2

cos (2x) =

(cos (7x) + cos (3x))

2

4

cos (2x)



2

con m = 7 y n = 3

#=

1

4

✓

cos

2(7x)

| {z }

+2

z }| {

cos (7x) cos (3x)+ cos

2(3x)

| {z }

◆

cos (2x)


cos2 (ax) =1 + cos (2ax)

2

con a = 7


cos2 (ax) =1 + cos (2ax)

2

con a = 3



=

1

4

✓

1 + cos (14x)

2

+ 2

cos (10x) + cos (4x)

2

+

1 + cos (6x)

2

◆

cos (2x)

=

1

4

✓

1

2

+

cos (14x)

2

+ cos (10x) + cos (4x) +

1

2

+

cos (6x)

2

◆

cos (2x)

=

1

4

✓

1 +

cos (14x)

2

+ cos (10x) + cos (4x) +

cos (6x)

2

◆

cos (2x)

=

1

4

✓

1 +

cos (14x)

2

+ cos (10x) + cos (4x) +

cos (6x)

2

◆

cos (2x)

=

1

4

✓

1 +

cos (14x)

2

+ cos (10x) + cos (4x) +

cos (6x)

2

◆

cos (2x)



2

con m = 14 y n = 2

#



2

con m = 6 y n = 2

#=

1

4

✓

cos (2x) +

1

2

z }| {

cos (14x) cos (2x)+ cos (10x) cos (2x)

| {z }

+cos (4x) cos (2x)

| {z }

+

1

2

z }| {

cos (6x) cos (2x)

◆



2

con m = 10 y n = 2



2

con m = 4 y n = 2

=

1

4

✓

cos (2x) +

1

2

cos (16x) + cos (12x)

2

+


2

+

cos (6x) + cos (2x)

2

+

1

2

cos (8x) + cos (4x)

2

◆

=

1

4

cos (2x) +

cos (16x) + cos (12x)

16

+


8

+

cos (6x) + cos (2x)

8

+

cos (8x) + cos (4x)

16

=

cos (2x)

4

+

cos (16x)

16

+

cos (12x)

16

+

cos (12x)

8

+

cos (8x)

8

+

cos (6x)

8

+

cos (2x)

8

+

cos (8x)

16

+

cos (4x)

16

=

3

8

cos (2x) +

1

16

cos (16x) +

3

16

cos (12x) +

1

8

cos (6x) +

3

16

cos (8x) +

1

16

cos (4x) ,

es decir,

(cos (5x) cos (2x))

2cos (2x) =

3

8

cos (2x) +

1

16

cos (16x) +

3

16

cos (12x) +

1

8

cos (6x) +

3

16

cos (8x) +

1

16

cos (4x) .

IntegrandoZ

cos

2(5x) cos

3(2x) dx =

Z

✓

3

8

cos (2x) +

cos (16x)

16

+

3

16

cos (12x) +

cos (6x)

8

+

3

16

cos (8x) +

cos (4x)

16

◆

dx



=

Z

3

8

cos (2x) dx+

Z

cos (16x)

16

dx+

Z

3

16

cos (12x) dx+

Z

cos (6x)

8

dx

+

Z

3

16

cos (8x) dx+

Z

cos (4x)

16

dx

=

3

8

Z

cos (2x) dx+

1

16

Z

cos (16x) dx+

3

16

Z

cos (12x) dx+

1

8

Z

cos (6x) dx

+

3

16

Z

cos (8x) dx+

1

16

Z

cos (4x) dx

Resolvemos cada una de las integrales.

• Para la integralZ

cos (2x) dx, se propone el cambio de variable

u = 2x

Cálculo del

��!diferencial

du = 2 dx =) du

2

= dx,



cos (2x) dx =

Z

cosu

du

2

=

1

2

Z

cosu du =

1

2

senu+ C1 =

1

2

sen (2x) + C1.



u = 16x

Cálculo del

��!diferencial

du = 16 dx =) du

16

= dx,



cos (16x) dx =

Z

cosu

du

16

=

1

16

Z

cosu du =

1

16

senu+ C2 =

1

16

sen (16x) + C2.



u = 12x

Cálculo del

��!diferencial

du = 12 dx =) du

12

= dx,



cos (12x) dx =

Z

cosu

du

12

=

1

12

Z

cosu du =

1

12

senu+ C3 =

1

12

sen (12x) + C3.





u = 6x

Cálculo del

��!diferencial

du = 6 dx =) du

6

= dx,



cos (6x) dx =

Z

cosu

du

6

=

1

6

Z

cosu du =

1

6

senu+ C4 =

1

6

sen (6x) + C4.



u = 8x

Cálculo del

��!diferencial

du = 8 dx =) du

8

= dx,



cos (8x) dx =

Z

cosu

du

8

=

1

8

Z

cosu du =

1

8

senu+ C5 =

1

8

sen (8x) + C5.



u = 4x

Cálculo del

��!diferencial

du = 4 dx =) du

4

= dx,



cos (4x) dx =

Z

cosu

du

4

=

1

4

Z

cosu du =

1

4

senu+ C6 =

1

4

sen (4x) + C6.

Por lo tanto,Z

cos

2(5x) cos

3(2x) dx =

3

8

Z

cos (2x) dx+

1

16

Z

cos (16x) dx+

3

16

Z

cos (12x) dx+

1

8

Z

cos (6x) dx

+

3

16

Z

cos (8x) dx+

1

16

Z

cos (4x) dx

=

3

8

✓

1

2

sen (2x) + C1

◆

+

1

16

✓

1

16

sen (16x) + C2

◆

+

3

16

✓

1

12

sen (12x) + C3

◆

+

1

8

✓

1

6

sen (6x) + C4

◆

+

3

16

✓

1

8

sen (8x) + C5

◆

+

1

16

✓

1

4

sen (4x) + C6

◆

=

3

16

sen (2x) +

1

256

sen (16x) +

1

64

sen (12x) +

1

48

sen (6x) +

3

128

sen (8x) +

1

64

sen (4x) + C.



donde C =

3

8

C1 +1

16

C2 +3

16

C3 +1

8

C4 +3

16

C5 +1

16

C6.

Luego,Z

cos

2(5x) cos

3(2x) dx =

3

16

sen (2x) +

1

256

sen (16x) +

1

64

sen (12x) +

1

48

sen (6x) +

3

128

sen (8x)

+

1

64

sen (4x) + C.

F


sec

3x dx.


sec

3x dx =

Z

sec

2x secx dx.


u = secx

Al derivar��! du = secx tanx dx

dv = sec

2x dx

Al integrar��! v = tanx.


sec

3x dx = secx tanx�

Z

tanx secx tanx dx = secx tanx�Z

secx tan

2x dx,


tan

2x+ 1 = sec


2x = sec

2x� 1,

así,Z

sec


Z

secx tan


Z

secx

�

sec

2x� 1

�

dx

= secx tanx�Z

sec

3x dx+

Z

secx dx = secx tanx�Z

sec

3x dx+ ln |secx+ tanx|+ C1,

es decir,Z

sec


Z

sec

3x dx+ ln |secx+ tanx|+ C1,

despejamosZ

sec

3x dx

Z

sec


Z

sec

3x dx+ ln |secx+ tanx|+ C1

=)Z

sec

3x dx+

Z

sec

3x dx = secx tanx+ ln |secx+ tanx|+ C1

=) 2

Z

sec

3x dx = secx tanx+ ln |secx+ tanx|+ C1

=)Z

sec

3x dx =

1

2

secx tanx+

1

2

ln |secx+ tanx|+ C.

Luego,Z

sec

3x dx =

1

2

secx tanx+

1

2

ln |secx+ tanx|+ C.

F



Ejemplo 233 : CalcularZ

⇡/4

�⇡/4

x

2tan

�

x

3�

sec

2�

x

3�

dx.

Solución : En virtud que el intervalo de integración es un intervalo simétrico, es conveniente estudiar la simetríadel integrando, es decir, conocer si la función

f (x) = x

2tan

�

x

3�

sec

2�

x

3�

es una función par o impar.

Función par

sec (�x) = sec x

#

Función impar

tan (�x) = � tan x

#

Función par

(�x)2 = x

2

#

Función impar

(�x)3 = �x

3

. &

f (�x) =z }| {

(�x)2 tan

z }| {

(�x)3!

sec

2

z }| {

(�x)3!

= x

2z }| {

tan

�

�x3�

z }| {

sec

�

�x3�

!2

= � x

2tan

�

x

3�

sec

2�

x

3�

= � f (x) ,

por lo tanto, el integrando es una función impar, por lo que podemos concluir queZ

⇡/4

�⇡/4

x

2tan

�

x

3�

sec

2�

x

3�

dx = 0.

F


senh

3x

pcoshx dx.


Potencia impar.

Tomar un término seno

hiperbólico.

#Z

senh

3x

pcoshx dx =

Z

senh

2x

pcoshx senhx dx,


si el diferencial de la nueva integral será senhx dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es coshx,así, cabe la pregunta

Z

senh

3x

pcoshx dx =

Z

senh

2x

| {z }

pcoshx senhx dx,


por la identidad hiperbólica básica

cosh

2x� senh

2x = 1, entonces senh

2x = cosh

2x� 1,

por lo que,Z

senh

3x

pcoshx dx =

Z

senh

2x

| {z }

pcoshx senhx dx =

Z

�

cosh

2x� 1

�

pcoshx senhx dx.

"senh2

x = cosh2

x � 1

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función coseno hiperbólico y su correspondiente derivada, lafunción seno hiperbólico, así, se propone el cambio de variable

u = coshx

Cálculo del

��!diferencial

du = senhx dx,





Diferencial

du = senh x dx

#

Cambio

u = cosh x

#

Cambio

u = cosh x

#Z

�

cosh

2x� 1

�

pcoshx senhx dx =

Z

✓

z }| {

coshx

◆2

� 1

!

✓

z }| {

coshx

◆1/2z }| {

senhx dx =

Z

�

u

2 � 1

�

u

1/2du



=

Z

⇣

u

5/2 � u

1/2⌘

du =

z }| {

Z

u

5/2du

| {z }

�z }| {

Z

u

1/2du

| {z }

=

u

7/2

7

2

� u

3/2

3

2

+ C =

2u

7/2

7

� 2u

3/2

3

+ C

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n =

5

2y n =

3

2


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

=

2 cosh

7/2x

7

� 2 cosh

3/2x

3

+ C.

Luego,Z

senh

3x

pcoshx dx =

2 cosh

7/2x

7

� 2 cosh

3/2x

3

+ C.

F


senh

4x cosh

3x dx.


Potencia impar.

Tomar un término coseno

hiperbólico.

#Z

senh

4x cosh

3x dx =

Z

senh

4x cosh

2x coshx dx,


si el diferencial de la nueva integral será coshx dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es senhx,así, cabe la pregunta

Z

senh

4x cosh

3x dx =

Z

senh

4x cosh

2x

| {z }

coshx dx,



cosh

2x� senh

2x = 1, entonces cosh

2x = 1 + senh

2x,

por lo que,Z

senh

4x cosh

3x dx =

Z

senh

4x cosh

2x

| {z }

coshx dx =

Z

senh

4x

�

1 + senh

2x

�

senhx dx.

"cosh2

x = 1 + senh2

x



Se observa que en el nuevo integrando aparece la función seno hiperbólico y su correspondiente derivada, la funcióncoseno hiperbólico, así, se propone el cambio de variable

u = senhx

Cálculo del

��!diferencial

du = coshx dx,



Diferencial

du = cosh x dx

#

Cambio

u = senh x

#

Cambio

u = senh x

#Z

senh

4x

�

1 + senh

2x

�

coshx dx =

Z

✓

z }| {

senhx

◆4

1 +

✓

z }| {

senhx

◆2!

z }| {

coshx dx =

Z

u

4�

1 + u

2�

du



=

Z

�

u

4+ u

6�

du =

z }| {

Z

u

4du

| {z }

+

z }| {

Z

u

6du

| {z }

=

u

5

5

+

u

7

7

+ C =

senh

5x

5

+

senh

7x

7

+ C.

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 4 y n = 6


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

Luego,Z

senh

4x cosh

3x dx =

senh

5x

5

+

senh

7x

7

+ C.

F


tanh

�2/3x sech

6x dx.


Potencia par.

Tomar un término sech2

x.

#Z

tanh

�2/3x sech

6x dx =

Z

tanh

�2/3x sech

4x sech

2x dx,


si el diferencial de la nueva integral será sech

2x dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es

tanhx, así, cabe la preguntaZ

tanh

�2/3x sech

6x dx =

Z

tanh

�2/3x sech

4x

| {z }

sech

2x dx,



1� tanh

2x = sech

2x,



se tiene,Z

tanh

�2/3x sech

6x dx =

Z

tanh

�2/3x sech

4x sech

2x dx =

Z

tanh

�2/3x

⇣

sech

2x

| {z }

⌘2

sech

2x dx

"1 � tanh2

x = sech2

x

=

Z

tanh

�2/3x

�

1� tanh

2x

�2sech

2x dx.

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función tangente hiperbólica y su correspondiente derivada, lafunción secante hiperbólica al cuadrado, así, se propone el cambio de variable

u = tanhx

Cálculo del

��!diferencial

du = sech

2x dx,



Diferencial

du = sech2

x dx

#

Cambio

u = tanh x

#

Cambio

u = tanh x

#Z

tanh

�2/3x

�

1� tanh

2x

�

sech

2x dx =

Z

✓

z }| {

tanhx

◆�2/3

1�✓

z }| {

tanhx

◆2!

z }| {

sech

2x dx


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

#



=

Z

u

�2/3�

1� u

2�

du =

Z

⇣

u

�2/3 � u

4/3⌘

du =

z }| {

Z

u

�2/3du

| {z }

�z }| {

Z

u

4/3du

| {z }

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = �

2

3y n =

4

3

=

u

1/3

1

3

� u

7/3

7

3

+ C = 3u

1/3 � 3u

7/3

7

+ C = 3 tanh

1/3x� 3 tanh

7/3x

7

+ C.

Luego,Z

tanh

�2/3x sech

6x dx = 3 tanh

1/3x� 3 tanh

7/3x

7

+ C.

F


coth

5t csch

4t dt.


Potencia par.

Tomar un término csch2

t.

#Z

coth

5t csch

4t dt =

Z

coth

5t csch

2t csch

2t dt,




si el diferencial de la nueva integral será csch

2t dt, entonces el cambio de variable que se debe proponer es coth t,


coth

5t csch

4t dt =

Z

coth

5t csch

2t

| {z }

csch

2t dt,


por la identidad hiperbólica básicacoth

2t� 1 = csch

2t,

se tiene,Z

coth

5t csch

4t dt =

Z

coth

5t csch

2t

| {z }

csch

2t dt =

Z

coth

5t

�

coth

2t� 1

�

csch

2t dt.

"coth2

t � 1 = csch2

t

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función cotangente hiperbólica y su correspondiente derivada, lafunción cosecante hiperbólica al cuadrado, así, se propone el cambio de variable

u = coth t

Cálculo del

��!diferencial

du = csch

2t dt,



Diferencial

du = csch2

t dt

#

Cambio

u = coth t

. &Z

coth

5t

�

coth

2t� 1

�

csch

2t dt =

Z

✓

z }| {

coth t

◆5

✓

z }| {

coth t

◆2

� 1

!

z }| {

csch

2t dt =

Z

u

5�

u

2 � 1

�

du



=

Z

�

u

7 � u

5�

du =

z }| {

Z

u

7du

| {z }

�z }| {

Z

u

5du

| {z }

=

u

8

8

� u

6

6

+ C =

coth

8t

8

� coth

6t

6

+ C.

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 2 y n = 4


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

Luego,Z

coth

5t csch

4t dt =

coth

8t

8

� coth

6t

6

+ C.

F

Ejemplo 238 : IntegreZ ln 2

0

senh (2x) senh (3x)

coshx

dx.

Solución : Buscamos la familia de primitiva de la función f (x) =

senh (2x) senh (3x)

coshx

, es conocida laidentidad hiperbólica

senh (2x) = 2 senhx coshx,

así,Z

senh (2x) senh (3x)

coshx

dx =

Z

2 senhx coshx senh (3x)

coshx

dx = 2

Z

senhx senh (3x) dx



por otra parte, es conocido que


ycosh (↵� �) = cosh (↵) cosh (�)� senh (↵) senh (�) ,

entonces(�1)

(

cosh (↵� �) = cosh (↵) cosh (�)� senh (↵) senh (�)


cosh (↵+ �)� cosh (↵� �) = 2 senh (↵) senh (�)

de aquí, se obtiene la identidad hiperbólica


cosh (↵+ �)� cosh (↵� �)

2

, (3)

de aquí,

senh (mx) senh (mx) =

cosh ((m+ n)x)� cosh ((m� n)x)

2

,

así,

Identidad hiperbólica

senh (mx) senh (mx) =cosh ((m + n) x) � cosh ((m � n) x)

2

con m = 1 y n = 3

#

Función par

cosh (�2x) = cosh (2x)

#Z

z }| {

senhx senh (3x) dx =

Z

cosh (4x)� cosh (�2x)2

dx =

1

2

Z

✓

cosh (4x)�z }| {

cosh (2x)

◆

dx

=

1

2

✓

Z

cosh (4x) dx�Z

cosh (2x) dx

◆

=

1

2

Z

cosh (4x) dx� 1

2

Z

cosh (2x) dx

Resolvemos cada una de las integrales


cosh (4x) dx, se propone el cambio de variable

u = 4x

Cálculo del

��!diferencial

du = 4 dx =) du

4

= dx,



cosh (4x) dx =

Z

coshu

du

4

=

1

4

Z

coshu du =

1

4

senhu+ C1 =

1

4

senh (4x) + C1.


cosh (2x) dx, se propone el cambio de variable

u = 2x

Cálculo del

��!diferencial

du = 2 dx =) du

2

= dx,





cosh (2x) dx =

Z

coshu

du

2

=

1

2

Z

coshu du =

1

2

senhu+ C2 =

1

2

senh (2x) + C2.

Por lo tanto,Z

senh (2x) senh (3x)

coshx

dx = 2

Z

senhx senh (3x) dx = 2

✓

1

2

Z

cosh (4x) dx� 1

2

Z

cosh (2x) dx

◆

=

Z

cosh (4x) dx�Z

cosh (2x) dx =

✓

1

4

senh (4x) + C1

◆

�✓

1

2

senh (2x) + C2

◆

=

1

4

senh (4x)� 1

2

senh (2x) + C.

donde C = C1 � C2.

Luego,Z

senh (2x) senh (3x)

coshx

dx =

1

4

senh (4x)� 1

2

senh (2x) + C.

Por el Teorema Fundamental del Cálculo obtenemos la integral definida dadaZ ln 2

0

senh (2x) senh (3x)

coshx

dx =

✓

senh (4x)

4

� senh (2x)

2

�

�

�

�

ln 2

0

=

✓

senh (4 (ln 2))

4

� senh (2 (ln 2))

2

◆

�✓

senh (4 (0))

4

� senh (2 (0))

2

◆

,

donde,senh (4 (ln 2))

4

=

1

4

✓

e

4 ln 2 � e

�4 ln 2

2

◆

=

1

8

✓

e

ln 24 � 1

e

ln 24

◆

=

1

8

✓

2

4 � 1

2

4

◆

=

255

128

senh (2 (ln 2))

2

=

1

2

✓

e

2 ln 2 � e

�2 ln 2

2

◆

=

1

4

✓

e

ln 22 � 1

e

ln 22

◆

=

1

4

✓

2

2 � 1

2

2

◆

=

15

16

senh (4 (0))

4

=

1

4

✓

e

4(0) � e

�4(0)

2

◆

=

1

8

✓

e

0 � 1

e

0

◆

=

1

8

✓

1� 1

1

◆

= 0

senh (2 (0))

2

=

1

2

✓

e

2(0) � e

�2(0)

2

◆

=

1

4

✓

e

0 � 1

e

0

◆

=

1

4

✓

1� 1

1

◆

= 0,

entoncesZ ln 2

0

senh (2x) senh (3x)

coshx

dx =

255

128

� 15

16

=

135

128

.

F

Ejercicios

Calcular las siguientes integrales trigonométricas

1.

Z

senx cosx dx 2.

Z

sen

2x cosx dx 3.

Z psenx cosx dx 4.

Z

sen

4x cosx dx

5.

Z

cos

2x senx dx 6.

Z

cosx

3

psen

2x

dx 7.

Z

cos

7x senx dx 8.

Z pcosx senx dx



9.

Z

3

pcosx senx dx 10.

Z

sen

2x cos

3x dx 11.

Z

sen

3x cos

2x dx 12.

Z

cos

3xp

senx

dx

13.

Z

sen

6(2x) cos

5(2x) dx 14.

Z

cos

3x dx 15.

Z

sen

4x cos

3x dx 16.

Z

sen

3t dt

17.

Z

cos

4⇣

x

2

⌘

sen

5⇣

x

2

⌘

dx 18.

Z

sen

3x

pcosx dx 19.

Z

sen

2x dx 20.

Z

cos

2x dx

21.

Z

sen

2x cos

2x dx 22.

Z

3

psen

2x cos

5x dx 23.

Z

sen

4x cos

2x dx 24.

Z

cos

4x dx

25.

Z

cos

2(3x) sen

4(3x) dx 26.

Z

tanx dx 27.

Z

cotx dx 28.

Z

sen

5x cos

7x dx

29.

Z

tan

6x sec

2x dx 30.

Z

5

p

tan

2x sec

2x dx 31.

Z

tan

4t sec

2t dt 32.

Z

tan

2x dx

33.

Z

cot

2x dx 34.

Z

tan

4t dt 35.

Z

sec

4t dt 36.

Z

csc

4t dt 37.

Z

cot

4x dx

38.

Z

tan

3x sec

6x dx 39.

Z

tan

5x secx dx 40.

Z

cot

3x csc

4x dx 41.

Z

tan

3(3x) dx

42.

Z

tan

1/2x sec

4x dx 43.

Z

sen

5x dx 44.

Z

cos

5x

sen

3x

dx 45.

Z

cos

3✓ sen

�2✓ d✓

46.

Z

tan

4(ax) sec

6(ax) dx 47.

Z

sen

4x dx 48.

Z

tan

5x dx 49.

Z

sen

5x

3

pcosx dx

50.

Z

sen

2✓ cos

4✓ d✓ 51.

Z

sen

4✓ cos

4✓ d✓ 52.

Z

sec

2x

cotx

dx 53.

Z

tan

5x sec

2x dx

54.

Z

cot

1/2t sec

2t dt 55.

Z

cos

2✓

sen

4✓

d✓ 56.

Z

cos

2x

sen

6x

dx 57.

Z

cos

2x tan

3x dx

58.

Z

(tanx+ cotx)

2dx 59.

Z

cos

7t dt 60.

Z

dx

1� senx

61.

Z

sen

5(2t) cos

4(2t) dt

62.

Z

sen (3y) cos y dy 63.

Z

dx

sen

4x

64.

Z

cot

4✓ csc

4✓ d✓ 65.

Z

cosx cos

⇣

x

2

⌘

dx

66.

Z

sec

6(b� ax) dx 67.

Z

sen

4(5x) dx 68.

Z

cos (2t) dt

cos t� sen t

69.

Z

sen

1/2t cos

3t dt

70.

Z

sen

7(3x) cos

2(3x) dx 71.

Z

cos

6t dt 72.

Z

(1� sen (2x))

2dx 73.

Z

cot

6(3x) dx

74.

Z

dt

sen t cos t

75.

Z

cot

4x csc

2x dx 76.

Z

cos

4⇣

!

2

⌘

sen

2⇣

!

2

⌘

d! 77.

Z

csc

3x

tanx

dx

78.

Z

dt

cos

6t

79.

Z

cot

7x csc

2x dx 80.

Z

cot

7x dx 81.

Z

cosx cos (2x) cos (3x) dx

82.

Z

sen

9x cos

3x dx 83.

Z

sec

6x

tan

6x

dx 84.

Z

cos

4(2t) dt 85.

Z

tan

3x sec

1/2x dx

86.

Z

tan

2(5t) dt 87.

Z

dx

senx cos

2x

88.

Z

tan

5x sec

3x dx 89.

Z

sen (3t) sen t dt



90.

Z

dt

1� cos (2t)

91.

Z

cos

6(3x) dx 92.

Z

tan

�3✓ sec

2✓ d✓ 93.

Z

cos

2(

px)p

x

dx

94.

Z

sen (!t) sen (!t+ �) dt 95.

Z

sen

⇣

x+

⇡

6

⌘

cosx dx 96.

Z

sen

⇣

x

2

⌘

cos

✓

5x

2

◆

dx

97.

Z

x sen

3�

x

2�

dx 98.

Z

cot

6(4w) dw 99.

Z

1 + tan

2x

sec

2x

dx 100.

Z

cotx csc

3x dx

101.

Z

t sen

2�

t

2�

dt 102.

Z

tan

6(2x) dx 103.

Z

sen

5(

px)p

x

dx 104.

Z

tan

2x sec

4x dx

105.

Z

cot

4(2t) dt 106.

Z

sen

4(

px) cos

4(

px)p

x

dx 107.

Z

senx sen (2x) sen (3x) dx

108.

Z

cos

5x sen

5x dx 109.

Z

sen (5x) sen (2x) dx 110.

Z

cos (at+ b) cos (at� b) dt

111.

Z

tan t sec

3t dt 112.

Z

sen

6t cos

2t dt 113.

Z

tan

4(4x) dx 114.

Z

sec

4(7x) dx

115.

Z

cot

6x csc

6x dx 116.

Z

cot

3⇣

x

2

⌘

dx 117.

Z

tan t sec

6t dt 118.

Z

dt

sen

4t cos

2t

119.

Z

tan

5t sec

�3/2t dt 120.

Z

cos (3x) cos (4x) dx 121.

Z

cot

5x sen

3x dx

122.

Z

tan

�3/2t sec

6t dt 123.

Z

sen (4y) cos (5y) dy 124.

Z

cos y cos (4y) dy

125.

Z

cot

3x csc

8x dx 126.

Z

sen

3⇣

x

2

⌘

cos

5⇣

x

2

⌘

dx 127.

Z

sen

⇣

x

3

⌘

cos

✓

2x

3

◆

dx

128.

Z

cos

4(lnx) sen

3(lnx)

x

dx 129.

Z

tan

3x sec

3x dx 130.

Z

cot

3t csc

4t dt

131.

Z

tan

3(3y) sec

3(3y) dy 132.

Z

sen

4x cos

3x dx 133.

Z

cot

5x csc

1/5x dx

134.

Z

sen (mx) sen (nx) dx m 6= n 135.

Z

sen (mx) cos (nx) dx m 6= n

136.

Z

cos (mx) cos (nx) dx m 6= n 137.

Z

senh

4x cosh

3x dx 138.

Z

dx

1� cosx

139.

Z

tanh

5t sech

�3/2t dt 140.

Z

sechx tanh

3x dx 141.

Z

senh

3x

pcoshx dx

142.

Z

coth

3t csch

4t dt 143.

Z

tanh

5x sech

3x dx 144.

Z

senh

5x

3

pcoshx dx

145.

Z

senh

3⇣

x

a

⌘

cosh

5⇣

x

a

⌘

dx 146.

Z

cot

9x csc

6x dx 147.

Z

sen

3(e

x

)

3

p

cos (e

x

)

5e

�x

dx

148.

Z

sec

4(arcsenx)p1� x

2dx 149.

Z

sen

3x cos

4x dx 150.

Z

cot

7x csc

�1/6x dx

151.

Z

3

x

tan

5(3

x

) dx 152.

Z

x cot

4�

ln

�

1� x

2��

cos

2(arcsenx)

dx 153.

Z

cot

5x csc

5x dx



154.

Z

sen

2(2x) cos

3(3x) dx 155.

Z

sen

2(2x) sen

3(3x) dx 156.

Z

sen

2(3x) cos

3(4x) dx

157.

Z

3

p

tan

2(log2 x) sec

6(log2 x)

x

dx 158.

Z

4

p

cot

3(log x) csc

4(log x)

x

dx 159.

Z

sec

3x dx

160.

Z

sen

⇣

x

2

⌘

sen (4x) dx 161.

Z

coth

5t csch

4t dt 162.

Z

sec

3(arctanx)

1 + x

2dx

163.

Z

5

x

sec

2(5

x

) dx

sen

4(tan (5

x

)) cos

5(tan (5

x

))

164.

Z

tan t sen

2(ln (cos t)) cos

6(ln (cos t)) dt

165.

Z

sec

4x tanxp

4� tan

2x

dx 166.

Z

sec

5x dx 167.

Z

csc

3x dx 168.

Z

3

p

tanh

2t sech

4t dt

169.

Z

cosh

3x

senh

2x

dx 170.

Z

senhx sec

7(coshx) dx 171.

Z

cos

3

✓

2x

3

◆

cos

2(2x) dx

172.

Z

tanh

�2/3x sech

6x dx 173.

Z

cos

2(5x) cos

4(3x) dx 174.

Z

cos

2(5x) cos

3(2x) dx

175.

Z

⇡/4

�⇡/4

tan

3x sec

4x dx 176.

Z

⇡/4

0

sen (2x) sen (3x)

cosx

dx 177.

Z ln 2

0

senh (2x) senh (3x)

coshx

dx

178.

Z

⇡/4

�⇡/4

x

2tan

�

x

3�

sec

2�

x

3�

dx 179.

Z

csc

5x dx 180.

Z

⇡/2

�⇡/2

3

psen

4x cosx dx

181.

Z

senh (mx) senh (nx) dx m 6= n 182.

Z

senh (mx) cosh (nx) dx m 6= n

183.

Z

cosh (mx) cosh (nx) dx m 6= n 184.

Z

cosh (3x) cosh (5x) cosh (x) dx

185.

Z

senh (2x) cosh (7x) senh (3x) dx


1. 1

2

sen2

x + C; 2. 1

3

sen3

x + C; 3. 2

3

sen3/2

x + C; 4. 1

5

sen5

x + C; 5. � 1

3

cos3 x + C; 6. 3 3

psen x + C;

7. � 1

8

cos8 x + C; 8. � 2

3

cos3/2 x + C; 9. � 3

4

cos4/3 x + C; 10. sen

3

x

3

� sen

5

x

5

+ C; 11. cos

5

x

5

� cos

3

x

3

+ C;

12. 2psen x � 2

5

sen5/2

x + C; 13. 1

14

sen7 (2x) � 1

9

sen9 (2x) + 1

22

sen11 (2x) + C; 14. sen x � 1

3

sen3

x + C;

15. sen

5

x

5

� sen

7

x

7

+ C; 16. 1

3

cos3 t � cos t + C; 17. 4

7

cos7�

x

2

�

� 2

5

cos5�

x

2

�

� 2

9

cos9�

x

2

�

+ C;

18. 2

7

cos7/2 x � 2

3

cos3/2 x + C; 19. 1

2

x � 1

4

sen (2x) + C; 20. 1

2

x + 1

4

sen (2x) + C; 21. 1

8

x � 1

32

sen (4x) + C;

22. 3

5

sen5/3

x + 6

11

sen11/3

x + 3

17

sen17/3

x + C; 23. 1

16

x � 1

64

sen (2x) � 1

64

sen (4x) + 1

192

sen (6x) + C;

24. 3

8

x + 1

4

sen (2x) + 1

32

sen (4x) + C; 25. 1

16

x � 1

192

sen (6x) � 1

192

sen (12x) + 1

576

sen (18x) + C; 26. ln |sec x| + C;

27. ln |cos x| + C; 28. � cos

8

x

8

+ cos

10

x

5

� sen

12

x

12

+ C; 29. tan

7

x

7

+ C; 30. 5

7

tan7/5

x + C; 31. 1

5

tan5

t + C;

32. tan x � x + C; 33. � cot x � x + C; 34. t � tan t + 1

3

tan3

t + C; 35. tan t + 1

3

tan3

t + C;

36. � cot t � 1

3

cot3 t + C; 37. � 1

3

cot3 x + cot x + x + C; 38. 1

4

tan4

x + 1

3

tan6

x + 1

8

tan8

x + C;

39. sec x � 2

3

sec3 x + 1

5

sec5 x + C; 40. � 1

4

cot4 x � 1

6

cot6 x + C; 41. 1

6

tan2 (3x) � 1

3

ln |sec (3x)| + C;

42.2

7tan7/2

x +2

3tan3/2

x + C; 43. 2

3

cos3 x � cos x � 1

5

cos5 x + C; 44. 1

2

sen2

x � 1

2

csc2 x � 2 ln |sen x| + C;

45. � sen x � csc x + C; 46.tan

9

(ax)

9a

+2 tan

7

(ax)

7a

+tan

5

(ax)

5a

+ C; 47. 3

8

x � 1

4

sen (2x) + 1

32

sen (4x) + C;

48.sec4 x

4� sec2 x + ln |sec x| + C; 49. 3

5

cos10/3 x � 3

4

cos4/3 x � 3

16

cos16/3 x + C; 50. ✓

16

� 1

64

sen (4✓) + 1

48

sen3 (2✓) + C;



51. 3

128

✓ � 1

128

sen (4✓) + 1

1024

sen (8✓) + C; 52. 1

2

tan2

x + C; 53. sec

6

x

6

� sec

4

x

2

+ sec

2

x

2

+ C; 54. 2ptan t + C;

55. � 1

3

cot3 ✓ + C; 56. � 1

3

cot3 ✓ � 1

5

cot5 ✓ + C; 57. 1

2

cos2 x � ln |cos x| + C; 58. tan x � cot x + C;

59. sen t � sen3

t + 3

5

sen5

t � 1

7

sen7

t + C; 60. sen x+1

cos x

+ C; 61. 1

7

cos7 (2t) � 1

10

cos5 (2t) � 1

18

cos9 (2t) + C;

62. � 1

4

cos (2y) � 1

8

cos (4y) + C; 63. � cot x � 1

3

cot3 x + C; 64. � 1

5

cot5 ✓ � 1

7

cot7 ✓ + C;

65. sen�

1

2

x

�

+ 1

3

sen�

3

2

x

�

+ C; 66. � 1

5a

tan5 (b � ax) � 2

3a

tan3 (b � ax) � 1

a

tan (b � ax) + C;

67. 3

8

x � 1

20

sen (10x) + 1

160

sen (20x) + C; 68. sen t � cos t + C; 69. 2

3

sen3/2

t � 2

7

sen7/2

t + C;

70. 1

5

cos5 (3x) � 1

9

cos3 (3x) � 1

7

cos7 (3x) + 1

27

cos9 (3x) + C; 71. 5

16

t + 15

64

sen (2t) + 3

64

sen (4t) + 1

192

sen (6t) + C;

72. 3

2

x + cos (2x) � 1

8

sen (4x) + C; 73. � cot

5

(3x)

15

+cot

3

(3x)

9

� cot(3x)

3

� x + C; 74. ln |tan t| + C; 75. � cot

5

x

5

+ C;

76. 1

16

! � 1

32

sen (2!) + 1

24

sen3

! + C; 77. � 1

3

csc3 x + C; 78. tan t + 2

3

tan3

t + 1

5

tan5

t + C; 79. � cot

8

x

8

+ C;

80. sen x + csc2 x � 1

5

csc5 x + C; 81. 1

4

x + 1

4

sen (2x) + 1

16

sen (4x) � 1

6

sen3 (2x) + C; 82. 1

10

sen10

x � 1

12

sen12

x + C;

83. � 2

3

cot3 x � cot x � 1

5

cot5 x + C; 84. 3

8

t + 1

8

sen (4t) + 1

64

sen (8t) + C; 85. 2

5

sec5/2 x � 2 sec1/2 x + C;

86. 1

5

tan (5t) � t + C; 87. sec x + ln |csc x � cot x| + C; 88. 1

3

sec3 x � 2

5

sec5 x + 1

7

sec7 x + C;

89. 1

4

sen (2t) � 1

8

sen (4t) + C; 90. � 1

2

csc (2t) � 1

2

cot (2t) + C; 91. 5

16

x + 5

64

sen (6x) + 1

64

sen (12x) + 1

576

sen (18x) + C;

92. � 1

2

cot2 ✓ + C; 93.px + 1

2

sen�

2px

�

+ C; 94.�

1

2

t � 1

4!

sen (2t!)�

cos� + sen�

2!

sen2 (!t) + C;

95. 1

4

x + 1

8

sen (2x) +p

3

2

sen2

x + C; 96. 1

4

cos (2x) � 1

6

cos (3x) + C; 97. 1

24

cos�

3x2

�

� 3

8

cos�

x

2

�

+ C;

98. � 1

20

cot5 (4w) + 1

12

cot3 (4w) � 1

4

cos (4w) � w + C; 99. x + C; 100. � 1

3

csc3 x + C; 101. 1

4

t

2 � 1

8

sen�

2t2�

+ C;

102. 1

10

tan5 (2x) � 1

6

tan3 (2x) + 1

2

tan (2x) � 2x + C; 103. 4

3

cos3�p

x

�

� 2 cos�p

x

�

� 2

5

cos5�p

x

�

+ C;

104. 1

3

tan3

x + 1

5

tan5

x + C; 105. � 1

6

cot3 (2t) + 1

2

cot (2t) + t + C; 106. 3

64

px � 1

64

sen�

4px

�

+ 1

512

sen�

8px

�

+ C;

107. 1

24

cos (6x) � 1

16

cos (4x) � 1

8

cos (2x) + C; 108. 1

4

cos8 x � 1

6

cos6 x � 1

10

cos10 x + C; 109. 1

6

sen (3x) � 1

14

sen (7x) + C;

110. cos (2b) sen (at + b) � cos(2b)

3

sen3 (at + b) +sen(2b)

3

sen3 (at + b) + C; 111. 1

3

sec3 t + C;

112. 5

128

t � 1

64

sen (2t) � 1

128

sen (4t) + 1

192

sen (6t) � 1

1024

sen (8t) + C; 113. 1

12

tan3 (4x) � 1

4

tan (4x) + x + C;

114. 1

7

tan (7x) + 1

21

tan3 (7x) + C; 115. � cot

7

x

7

� 2 cot

9

x

9

� cot

11

x

11

+ C; 116. � csc2�

x

2

�

+ 2 ln�

�csc�

x

2

�

�

�+ C;

117. 1

6

sec6 t + C; 118. tan t � 2 cot t � 1

3

cot3 t + C; 119. 2

5

sec5/2 t � 4 sec1/2 t � 2

3

sec�3/2

t + C;

120. 1

2

sen x + 1

14

sen (7x) + C; 121. 1

3

sen3

x � csc x � 2 sen x + C; 122. 4

3

tan3/2

t � 2 tan�1/2

t + 2

7

tan7/2

t + C;

123. 1

2

cos y � 1

18

cos (9y) + C; 124. 1

6

sen (3y) + 1

10

sen (5y) + C; 125. � cot

5

x

5

� cot

6

x

2

� 3 cot

8

x

8

� cot

10

x

10

+ C;

126. 1

4

cos8�

x

2

�

� 1

3

cos6�

x

2

�

+ C; 127. 3

2

cos�

1

3

x

�

� 1

2

cos x + C; 128. 1

7

cos7 (ln x) � 1

5

cos5 (ln x) + C;

129. sec

5

x

5

� sec

3

x

3

+ C; 130. � cot

4

t

4

� cot

6

t

6

+ C; 131. 1

15

sec5 (3y) � 1

9

sec3 (3y) + C; 132. sen

5

x

5

� sen

7

x

7

+ C;

133. 5

21

csc21/5 x � 10

11

csc11/5 x + 5 csc1/5 x + C; 134. � 1

2(m+n)

sen ((m + n) x) + 1

2(m�n)

sen ((m � n) x) + C;

135. � 1

2(m+n)

cos ((m + n) x) � 1

2(m�n)

cos ((m � n) x) + C; 136. 1

2(m+n)

sen ((m + n) x) + 1

2(m�n)

sen ((m � n) x) + C;

137. 1

5

senh5

x + 1

7

senh7

x + C; 138. � cot x � csc x + C; 139. 2

3

sech�3/2

t + 4 sech1/2

t � 2

5

sech5/2

t + C;

140. 1

3

sech3

x � sech x + C; 141. 2

7

cosh7/2

x � 2

3

cosh3/2

x + C; 142. 1

4

coth4

t � 1

6

coth6

t + C;

143. 2

5

sech5

x � 1

3

sech3

x � 1

7

sech7

x + C; 144. 3

16

cosh16/3

x � 3

5

cosh10/3

x + 3

4

cosh4/3

x + C;

145. a

8

cosh8

�

x

a

�

� a

6

cosh6

�

x

a

�

+ C; 146. � csc

14

x

14

+ csc

12

x

3

� 3

5

csc10 x + csc

8

x

2

� csc

6

x

6

+ C;

147. 3

50

cos10/3 (ex) � 3

20

cos4/3 (ex) + C; 148. 1

3

sec3 (arcsen x) + sec (arcsen x) + C; 149. 1

7

cos7 x � 1

5

cos5 x + C;

150. 18

23

csc23/6 x � 18

11

csc

11/6

x � 6

6

pcsc x

� 6

35

csc35/6 x + C; 151. 1

ln 3

�

ln |sec (3x)| � sec2 (3x) + 1

4

sec4 (3x)�

+ C;

152. 1

6

cot3�

ln�

1 � x

2

��

� 1

2

cot�

ln�

1 � x

2

��

� 1

2

ln�

1 � x

2

�

+ C; 153. � csc

9

x

9

+ 2 csc

7

x

7

� csc

5

x

5

+ C;

154. 1

8

sen (3x) � 3

16

sen x � 1

80

sen (5x) � 3

112

sen (7x) + 1

72

sen (9x) � 1

208

sen (13x) + C;

155. 3

112

cos (7x) � 1

8

cos (3x) � 1

80

cos (5x) � 3

16

cos x + 1

72

cos (9x) � 1

208

cos (13x) + C;

156. 3

32

sen (4x) � 3

32

sen (2x) � 1

96

sen (6x) � 3

160

sen (10x) + 1

96

sen (12x) � 1

288

sen (18x) + C;

157.⇣

6

11

tan11/3 (log2

x) + 3

17

tan17/3 (log2

x) + 3

5

tan5/3 (log2

x)⌘

ln 2 + C; 158.⇣

4

15

cot15/4 (log x) + 4

7

cot7/4 (log x)⌘

ln 10 + C;

159. 1

2

sec x tan x + 1

2

ln |sec x + tan x| + C; 160. 1

7

sen�

7x

2

�

� 1

9

sen�

9x

2

�

+ C; 161. coth

8

t

8

� coth

6

t

6

+ C;

162. x

2

sec (arctan x) + 1

2

ln |x + sec (arctan x)| + C; 163. 1

4 ln 5

sec3 (tan (5x)) tan (tan (5x)) + 11

8 ln 5

sec (tan (5x)) tan (tan (5x))

+ 35

8 ln 5

ln |sec (tan (5x)) + tan (tan (5x))| � 3

ln 5

csc (tan (5x)) � 1

3 ln 5

csc3 (tan (5x)) + C;

164. 5

128

ln (cos t) + 1

64

sen (2 ln (cos t)) � 1

128


192


1024

sen (8 ln (cos t)) + C;



165. ��

11

3

+ 1

3

tan2

x

�

p4 � tan2

x + C; 166. 1

4

tan x sec3 x + 3

8

tan x sec x + 3

8

ln |sec x + tan x| + C;

167. � 1

2

cot x csc x + 1

2

ln |csc x � cot x| + C; 168. 3

5

tanh5/3

t � 3

11

tanh11/3

t + C; 169. senh x � csch x + C;

170. 1

6

tan (cosh x) sec5 (cosh x) + 5

24

tan (cosh x) sec3 (cosh x) + 15

48

tan (cosh x) sec (cosh x) + 15

48

ln |sec (cosh x) + tan (cosh x)| + C;

171. 3

32

sen (2x) + 1

96

sen (6x) + 9

16

sen�

2

3

x

�

+ 9

160

sen�

10

3

x

�

+ 9

224

sen�

14

3

x

�

+ C; 172. 3 tanh1/3

x � 3

7

tanh7/3

x + C;

173. 3

16

x + 1

64

sen (2x) + 1

32

sen (4x) + 1

24

sen (6x) + 3

160

sen (10x) + 1

192

sen (12x) + 1

128

sen (16x) + 1

704

sen (22x) + C;

174. 3

16

sen (2x) + 1

64

sen (4x) + 1

48

sen (6x) + 3

128

sen (8x) + 1

64

sen (12x) + 1

256

sen (16x) + C; 175. 0; 176. 1

2

;

177. 135

128

; 178. 0; 179. � 1

4

cot x csc3 x � 3

8

cot x csc x + 3

8

ln |csc x � cot x| + C; 180. 6

7

;

181. 1

2(m+n)

senh ((m + n) x) � 1

2(m�n)

senh ((m + n) x) + C; 182. 1

2(m+n)

cosh ((m + n) x) + 1

2(m�n)

cosh ((m + n) x) + C;

183. 1

2(m+n)

senh ((m + n) x) + 1

2(m�n)

senh ((m � n) x) + C; 184. 1

36

senh (9x) + 1

28

senh (7x) + 1

12

senh (3x) + 1

4

senh x + C;

185. 1

48

senh (12x) � 1

24

senh (6x) � 1

32

senh (8x) + 1

8

senh (2x) + C;

Bibliografía




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Cálculo integral - Guía 10Método de integración: Sustitución trigonométrica

Objetivos a cubrir Código : MAT-CI.10• Método de integración: Sustitución trigonométrica. Ejercicios resueltos


dxp5� x

2.

Solución : En la guía 3, ejercicio 8 se obtuvo la familia de primitiva de la función f (x) =

1p5� x

2por

medio de un cambio de variable,

u =

xp5

Cálculo del

��!diferencial

du =

1p5

dx =) dx =

p5 du,


Diferencial

dx =p5 du




Integral de tabla.

Primitiva : arcoseno.

# # .Z

dxp5� x

2=

1p5

Z

z}|{

dx

v

u

u

u

t

1�

0

@

xp5

|{z}

1

A

2=

1p5

Z

p5 dup1� u

2=

z }| {

Z

dup1� u

2= arcsenu+ C = arcsen

✓

xp5

◆

+ C.

"Cambio

u =x

p5

Luego,Z

dxp5� x

2= arcsen

✓

xp5

◆

+ C.

En esta guía se obtiene la familia de primitiva de la función f por medio de un cambio trigonométrico, sehace el cambio trigonométrico

x =

p5 sen t

Cálculo del

��!diferencial

dx =

p5 cos t dt,



Diferencial

dx =p5 cos t dt

#Z

z}|{

dxp5� x

2=

Z

p5 cos t dt

q

5��

p5 sen t

�2=

Z

p5 cos t dt

q

5� 5 sen

2t

| {z }

=

Z

p5 cos t dt

r

5

�

1� sen

2t

�

| {z }

=

Z

p5 cos t dtp5 cos

2t

"

Cambio

x =p5 sen t

"Factor común 5

p

1 � sen2

t = cos2 t


Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 270


Integral de tabla.

=

Z

p5 cos t dtp5 cos t

=

z}|{

Z

dt

|{z}

= t+ C,

Z

t

n

dt =t

n+1

n + 1+ C con n = 0

así,Z

dxp5� x

2= t+ C,

ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = t + C, en términos de la variable original de integración x,puesto que,

x =

p5 sen t; =) sen t =

xp5

=) t = arcsen

✓

xp5

◆

.

Luego,Z

dxp5� x

2= arcsen

✓

xp5

◆

+ C.

F


dxp9� x

2.

Solución : La familia de primitivas de la función f (x) =

1p9� x

2se puede obtener, ya sea por un cambio

de variable similar al realizado en el ejemplo 239 o por medio del cambio trigonométrico

x = 3 sen t

Cálculo del

��!diferencial

dx = 3 cos t dt,



Diferencial

dx = 3 cos t dt

#Z

z}|{

dxp9� x

2=

Z

3 cos t dt

q

9� (3 sen t)

2=

Z

3 cos t dt

q

9� 9 sen

2t

| {z }

=

Z

3 cos t dt

r

9

�

1� sen

2t

�

| {z }

=

Z

3 cos t dtp9 cos

2t

"

Cambio

x = 3 sen t

"Factor común 9

p

1 � sen2

t = cos2 t


Integral de tabla.

=

Z

3 cos t dt

3 cos t

=

z}|{

Z

dt

|{z}

= t+ C,

Z

t

n

dt =t

n+1

n + 1+ C con n = 0

así,Z

dxp9� x

2= t+ C,

ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = t+ C, en términos de la variable original de integración x,



puesto que,x = 3 sen t; =) sen t =

x

3

=) t = arcsen

⇣

x

3

⌘

.

Luego,Z

dxp9� x

2= arcsen

⇣

x

3

⌘

+ C.

F


dxpx

2 � 5

.

Solución : Se hace el cambio trigonométrico

x =

p5 sec t

Cálculo del

��!diferencial

dx =

p5 sec t tan t dt,



Diferencial

dx =p5 sec t tan t dt

#Z

z}|{

dxpx

2 � 5

=

Z

p5 sec t tan t dt

q

�

p5 sec t

�2 � 5

=

Z

p5 sec t tan t dt

q

5 sec

2t� 5

| {z }

=

Z

p5 sec t tan t dt

r

5

�

sec

2t� 1

�

| {z }

"

Cambio

x =p5 sec t

"Factor común 5

p

sec2 t � 1 = tan2

t

=

Z

p5 sec t tan t dtp

5 tan

2t

=

Z

p5 sec t tan t dtp

5 tan t

=

Z

sec t dt = ln |sec t+ tan t|+ C,

así,Z

dxpx

2 � 5

= ln |sec t+ tan t|+ C,

ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = ln |sec t+ tan t| + C, en términos de la variable original deintegración x, puesto que,

x =

p5 sec t =) sec t =

xp5

Para calcular tan t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

��

��

��

CC t

Hipotenusa : hip.

Cateto adyacente : c.a.

Cateto opuesto : c.o.

sen t =

c.o.

hip.

cos t =

c.a.

hip.

tan t =

c.o.

c.a.

csc t =

hip.

c.o.

sec t =

hip.

c.a.

cot t =

c.a.

c.o.

por lo tanto,

��

��

�

CC t

x

p5

px

2 � 5

x =

p5 sec t =) sec t =

xp5

=

hip.

c.a.

Por Pitágoras(hip.)

2= (c.o.)

2+ (c.a.)

2 c.o. =

q

x

2 ��

p5

�2



entonces,

tan t =

c.o.

c.a.

=

px

2 � 5p5

.

Luego,Z

dxpx

2 � 5

= ln

�

�

�

�

�

xp5

+

px

2 � 5p5

�

�

�

�

�

+ C1 = ln

�

�

�

�

�

x+

px

2 � 5p5

�

�

�

�

�

+ C1

= ln

�

�

x+

px

2 � 5

�

�� ln

p5 + C1 = ln

�

�

x+

px

2 � 5

�

�

+ C,

donde, C = C1 � ln

p5, por lo tanto,

Z

dxpx

2 � 5

= ln

�

�

�

x+

p

x

2 � 5

�

�

�

+ C.

F


dxp3x

2 � 2

.

Solución : Se escribe la integral comoZ

dxp3x

2 � 2

=

Z

dx

q

�

p3 x

�2 � 2

,

se hace el cambio trigonométrico

p3 x =

p2 sec t

Cálculo del

��!diferencial

p3 dx =

p2 sec t tan t dt =) dx =

p2p3

sec t tan t dt,



Diferencial

dx =

p2

p3sec t tan t dt

#




p

Z

dxp3x

2 � 2

=

Z

z}|{

dx

r

(

p3 x

| {z }

)

2 � 2

=

Z

p2p3

sec t tan t dt

q

�

p2 sec t

�2 � 2

=

p2p3

Z

sec t tan t dt

q

2 sec

2t� 2

| {z }

=

p2p3

Z

sec t tan t dt

r

2

�

sec

2t� 1

�

| {z }pCambio

p3 x =

p2 sec t

"Factor común 2

"

sec2 t � 1 = tan2

t

=

p2p3

Z

sec t tan t dtp2 tan

2t

=

p2p3

Z

sec t tan t dtp2 tan t

=

1p3

Z

sec t dt =

p3

3

ln |sec t+ tan t|+ C,




así,Z

dxp3x

2 � 2

=

p3

3

ln |sec t+ tan t|+ C,



ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) =

p3

3

ln |sec t+ tan t| + C, en términos de la variable original deintegración x, puesto que

p3 x =

p2 sec t =) sec t =

p3 xp2

.


��

��

��

CC t

Hipotenusa : hip.



sen t =

c.o.

hip.

cos t =

c.a.

hip.

tan t =

c.o.

c.a.

csc t =

hip.

c.o.

sec t =

hip.

c.a.

cot t =

c.a.

c.o.

por lo tanto,

��

��

�

CC t

p3 x

p2

p3x

2 � 2

p3 x =

p2 sec t =) sec t =

p3 xp2

=

hip.

c.a.


2= (c.o.)

2+ (c.a.)

2 c.o. =

q

�

p3 x

�2 ��

p2

�2

entonces,

tan t =

c.o.

c.a.

=

p3x

2 � 2p2

.

Luego,

Z

dxp3x

2 � 2

=

p3

3

ln

�

�

�

�

�

p3 xp2

+

p3x

2 � 2p2

�

�

�

�

�

+ C1 =

p3

3

ln

�

�

�

�

�

p3 x+

p3x

2 � 2p2

�

�

�

�

�

+ C1

=

p3

3

ln

�

�

p3 x+

p3x

2 � 2

�

��p3

3

ln

p2 + C1 =

p3

3

ln

�

�

p3 x+

p3x

2 � 2

�

�

+ C,

donde, C = C1 �p3

3

ln

p2, por lo tanto,

Z

dxp3x

2 � 2

=

p3

3

ln

�

�

�

p3 x+

p

3x

2 � 2

�

�

�

+ C.

F


dx

5 + x

2.

Solución : La familia de primitivas de la función f (x) =

1

5 + x

2se puede obtener, por un procedimiento

similar (cambio de variable) al realizado en el ejemplo 239 o por medio del cambio trigonométrico

x =

p5 tan t

Cálculo del

��!diferencial

dx =

p5 sec

2t dt,





Diferencial

dx =p5 sec2 t dt

#Z

z}|{

dx

5 + x

2=

Z

p5 sec

2t dt

5 +

�

p5 tan t

�2 =

Z

p5 sec

2t dt

5 + 5 tan

2t

| {z }

=

Z

p5 sec

2t dt

5

�

1 + tan

2t

�

| {z }

=

Z

p5 sec

2t dt

5 sec

2t

"

Cambio

x =p5 tan t

"Factor común 5

"

tan2

t + 1 = sec2 t


Integral de tabla.

=

Z

p5

5

dt =

p5

5

z}|{

Z

dt

|{z}

=

p5

5

t+ C,




Z

t

n

dt =t

n+1

n + 1+ C con n = 0

como,

x =

p5 tan t; =) tan t =

xp5

=) t = arctan

✓

xp5

◆

.

Luego,Z

dx

5 + x

2=

p5

5

arctan

✓

xp5

◆

+ C.

F


dx

x

2+ 2

.


x =

p2 tan t

Cálculo del

��!diferencial

dx =

p2 sec

2t dt,



Diferencial

dx =p2 sec2 t dt

#Z

z}|{

dx

x

2+ 2

=

Z

p2 sec

2t dt

�

p2 tan t

�2+ 2

=

Z

p2 sec

2t dt

2 tan

2t+ 2

| {z }

=

Z

p2 sec

2t dt

2

�

tan

2t+ 1

�

| {z }

=

Z

p2 sec

2t dt

2 sec

2t

"

Cambio

x =p2 tan t

"Factor común 2

"

tan2

t + 1 = sec2 t


Integral de tabla.

=

Z

p2

2

dt =

p2

2

z}|{

Z

dt

|{z}

=

p2

2

t+ C,




Z

t

n

dt =t

n+1

n + 1+ C con n = 0



como,

x =

p2 tan t; =) tan t =

xp2

=) t = arctan

✓

xp2

◆

.

Luego,Z

dx

x

2+ 2

=

p2

2

arctan

✓

xp2

◆

+ C.

F


dt

7 + 2t

2.


dt

7 + 2t

2=

Z

dt

7 +

�

p2t

�2 ,

se hace el cambio trigonométrico

p2 t =

p7 tan z

Cálculo del

��!diferencial

p2 dt =

p7 sec

2z dz =) dt =

p7p2

sec

2z dz,



Diferencial

dt =

p7

p2

sec2 z dz

#




p

Z

dt

7 + 2t

2=

Z

z}|{

dt

7 + (

p2 t

|{z}

)

2 =

Z

p7p2

sec

2z dz

7 +

�

p7 tan z

�2 =

p7p2

Z

sec

2z dz

7 + 7 tan

2z

| {z }

=

p7p2

Z

sec

2z dz

7

�

1 + tan

2z

�

| {z }pCambio

p2 t =

p7 tan z

"Factor común 7

"

tan2

z + 1 = sec2 z


Integral de tabla.

=

p7p2

Z

sec

2z

7 sec

2z

dz =

p7

7

p2

z }| {

Z

dz

| {z }

=

p7

7

p2

z + C,




Z

z

n

dz =z

n+1

n + 1+ C con n = 0

como,p2 t =

p7 tan z =) tan z =

p2p7

t =) z = arctan

p2p7

t

!

.

Luego,Z

dt

7 + 2t

2=

p7

7

p2

arctan

p2p7

t

!

+ C.

F




p

4� x

2dx.

Solución : Hacemos el cambio trigonométrico

x = 2 sen t

Cálculo del

��!diferencial

dx = 2 cos t dt,



Diferencial

dx = 2 cos t dt

#




#Z

p

4� x

2z}|{

dx =

Z

q

4� (2 sen t)

22 cos t dt = 2

Z

r

4� 4 sen

2t

| {z }

cos t dt = 2

Z

r

4

�

1� sen

2t

�

| {z }

cos t dt

"

Cambio

x = 2 sen t

"

Factor común 4

p

1 � sen2

t = cos2 t

= 2

Z p4 cos

2t cos t dt = 2

Z

2 cos t cos t dt = 4

Z

cos

2t dt,




para la familia de primitiva de la función f (t) = cos

2t se procede de la siguiente manera, por la identidad

trigonomética

cos

2t =

1 + cos (2t)

2

,

así,Z

cos

2t dt =

Z

1 + cos (2t)

2

dt =

1

2

Z

(1 + cos (2t)) dt =

1

2

✓

Z

dt+

Z

cos (2t) dt

◆

,

pLinealidad de la integral




Z

(f (t) + g (t)) dt =

Z

f (t) dt +

Z

g (t) dt


dt = t+ C1,


u = 2t

Cálculo del

��!diferencial

du = 2 dt =) du

2

= dt,



cos (2t) dt =

Z

cosu

du

2

=

1

2

Z

cosu du =

1

2

senu+ C2 =

1

2

sen (2t) + C2.






Luego,Z

cos

2t dt =

1

2

t+

sen (2t)

2

�

+ C3 =

t

2

+

sen (2t)

4

+ C3 =

t

2

+

1

2

sen t cos t+ C3,

así,Z

p

4� x

2dx = 4

Z

cos

2t dt = 4

✓

t

2

+

1

2

sen t cos t+ C1

◆

= 2t+ 2 sen t cos t+ C,

ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 2t + 2 sen t cos t + C, en términos de la variable original deintegración x, puesto que

x = 2 sen t =) sen t =

x

2

=) t = arcsen

⇣

x

2

⌘

.

Para calcular cos t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

��

��

��

CC t

Hipotenusa : hip.



sen t =

c.o.

hip.

cos t =

c.a.

hip.

tan t =

c.o.

c.a.

csc t =

hip.

c.o.

sec t =

hip.

c.a.

cot t =

c.a.

c.o.

por lo tanto,

��

��

�

CC t

2

p4� x

2

x


x

2

=

c.o.

hip.


2= (c.o.)

2+ (c.a.)

2 c.a. =

q

(2)

2 � x

2

entonces,

cos t =

c.o.

hip

=

p4� x

2

2

,

es decir,Z

p

4� x

2dx = 2t+ 2 sen t cos t+ C = 2arcsen

⇣

x

2

⌘

+ 2

x

2

p4� x

2

2

+ C = 2arcsen

⇣

x

2

⌘

+

x

p4� x

2

2

+ C.

Luego,Z

p

4� x

2dx = 2arcsen

⇣

x

2

⌘

+

x

p4� x

2

2

+ C.

F


p

4x� 4x

2+ 7 dx.

Solución : Se completa cuadrados

4x� 4x

2+ 7 = � 4

✓

x� 1

2

◆2

+ 8 = � (2)

2

✓

x� 1

2

◆2

+ 8 = �✓

2

✓

x� 1

2

◆◆2

+ 8 = � (2x� 1)

2+ 8

entoncesZ

p

4x� 4x

2+ 7 dx =

Z

q

8� (2x� 1)

2dx.




u = 2x� 1

Cálculo del

��!diferencial

du = 2 dx =) du

2

= dx,


La integral queda

Diferencial

dx =du

2

#Z

r

8� ( 2x� 1

| {z }

)

2z}|{

dx =

Z

p

8� u

2du

2

=

1

2

Z

p

8� u

2du.

"Cambio

u = 2x � 1

"




Se observa que la nueva integral tiene la estructura de la integral del ejemplo anterior 246, entonces, se hace lasustitución trigonométrica

u =

p8 sen t

Cálculo del

��!diferencial

du =

p8 cos t dt,



Diferencial

du =p8 cos t dt

#




#Z

p

8� u

2z}|{

du =

Z

r

8�⇣p

8 sen t

⌘2 p8 cos t dt =

p8

Z

r

8� 8 sen

2t

| {z }

cos t dt

"

Cambio

u =p8 sen t

"

Factor común 8

=

p8

Z

r

8

�

1� sen

2t

�

| {z }

cos t dt =

p8

Z p8 cos

2t cos t dt =

p8

Z p8 cos t cos t dt

"1 � sen2

t = cos2 t




= 8

Z

cos

2t dt

| {z }

= 8

✓

t

2

+

1

2

sen t cos t

◆

+ C = 4t+ 4 sen t cos t+ C,

"Ver ejemplo 246

ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 4t + 4 sen t cos t + C, en términos de la variable de integraciónu, puesto que

u =

p8 sen t =) sen t =

up8

=) t = arcsen

✓

up8

◆

.



Para calcular cos t en función de u, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

��

��

��

CC t

Hipotenusa : hip.



sen t =

c.o.

hip.

cos t =

c.a.

hip.

tan t =

c.o.

c.a.

csc t =

hip.

c.o.

sec t =

hip.

c.a.

cot t =

c.a.

c.o.

por lo tanto,

��

��

�

CC t

p8

p8� u

2

u

u =

p8 sen t =) sen t =

up8

=

c.o.

hip.


2= (c.o.)

2+ (c.a.)

2 c.a. =

q

�

p8

�2 � u

2

entonces,

cos t =

c.o.

hip

=

p8� u

2

p8

,

es decir,Z

p

8� u

2du = 4t+ 4 sen t cos t+ C = 4arcsen

✓

up8

◆

+ 4

up8

p8� u

2

p8

+ C

= 4arcsen

✓

up8

◆

+

u

p8� u

2

2

+ C,

por lo tanto,Z

p

8� u

2du = 4arcsen

✓

up8

◆

+

u

p8� u

2

2

+ C,

como u = 2x� 1, entonces la familia de primitiva de la función g (x) =

p4x� 4x

2+ 7 viene dada por

Z

p

4x� 4x

2+ 7 dx = 4arcsen

✓

2x� 1p8

◆

+

(2x� 1)

q

8� (2x� 1)

2

2

+ C.

Luego,Z

p

4x� 4x

2+ 7 dx = 4arcsen

✓

2x� 1p8

◆

+

(2x� 1)

p4x� 4x

2+ 7

2

+ C.

Observación : Esta integral se puede resolver por medio del cambio trigonométrico

2x� 1 =

p8 sen t

Cálculo del

��!diferencial

2 dx =

p8 cos t dt =) dx =

p8

2

cos t dt,

F


dxpx

2+ x+ 1

.


x

2+ x+ 1 =

✓

x+

1

2

◆2

+

3

4



entoncesZ

dxpx

2+ x+ 1

=

Z

dx

q

(x+ 1/2)

2+ 3/4

.

Se hace la sustitución trigonométrico

x+

1

2

=

r

3

4

tan t =

p3

2

tan t

Cálculo del

��!diferencial

dx =

p3

2

sec

2t dt,



Diferencial

dx =

p3

2sec2 t dt

#Z

dxpx

2+ x+ 1

=

Z

z}|{

dx

r

( x+ 1/2

| {z }

)

2+ 3/4

=

Z

p3/2 sec

2t dt

q

�

p3/2 tan t

�2+ 3/4

=

Z

p3/2 sec

2t dt

r

3/4 tan

2t+ 3/4

| {z }pCambio

x +1

2=

p3

2tan t

"

Factor común

3

4

=

Z

p3/2 sec

2t dt

r

3/4

�

tan

2t+ 1

�

| {z }

=

Z

p3/2 sec

2t dt

p

3/4 sec

2t

=

Z

p3/2 sec

2t dtp

3/2 sec t

=

Z

sec t dt = ln |sec t+ tan t|+ C1,

"tan2

t + 1 = sec2 t

ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = ln |sec t+ tan t| + C1, en términos de la variable original deintegración x, puesto que

x+

1

2

=

p3

2

tan t =) tan t =

2x+ 1p3

.

Para calcular sec t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

��

��

��

CC t

Hipotenusa : hip.



sen t =

c.o.

hip.

cos t =

c.a.

hip.

tan t =

c.o.

c.a.

csc t =

hip.

c.o.

sec t =

hip.

c.a.

cot t =

c.a.

c.o.

por lo tanto,

��

��

�

CC t

2

px

2+ x+ 1

p3

2x+ 1

x+

1

2

=

p3

2

tan t =) tan t =

2x+ 1p3

=

c.o.

c.a.


2= (c.o.)

2+ (c.a.)

2 hip. =

q

(2x+ 1)

2+

�

p3

�2



entonces,

sec t =

hip.

c.a.

=

2

px

2+ x+ 1p3

,

así,Z

dxpx

2+ x+ 1

= ln

�

�

�

�

�

2

px

2+ x+ 1p3

+

2x+ 1p3

�

�

�

�

�

+ C1 = ln

�

�

�

�

�

2

px

2+ x+ 1 + 2x+ 1p

3

�

�

�

�

�

+ C1

= ln

�

�

2

px

2+ x+ 1 + 2x+ 1

�

�� ln

p3 + C1 = ln

�

�

2

px

2+ x+ 1 + 2x+ 1

�

�

+ C,

donde C = C1 � ln

p3.

Luego,Z

dxpx

2+ x+ 1

= ln

�

�

�

2

p

x

2+ x+ 1 + 2x+ 1

�

�

�

+ C.

F


dxpx

2+ 8x+ 14

.


x

2+ 8x+ 14 = (x+ 4)

2 � 2

entoncesZ

dxpx

2+ 8x+ 14

=

Z

dx

q

(x+ 4)

2 � 2

.

Se hace la sustitución trigonométrico

x+ 4 =

p2 sec t

Cálculo del

��!diferencial

dx =

p2 sec t tan t dt,



Diferencial


#Z

dxpx

2+ 8x+ 14

=

Z

z}|{

dx

r

( x+ 4

| {z }

)

2 � 2

=

Z

p2 sec t tan t dt

q

�

p2 sec t

�2 � 2

=

Z

p2 sec t tan t dt

q

2 sec

2t� 2

| {z }

pCambio

x + 4 =p2 sec t

"Factor común 2

=

Z

p2 sec t tan t dt

r

2

�

sec

2t� 1

�

| {z }

=

Z

p2 sec t tan t dtp

2 tan

2t

=

Z

p2 sec t tan t dtp

2 tan t

,

"sec2 t � 1 = tan2

t

=

Z




ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = ln |sec t+ tan t| + C1, en términos de la variable original deintegración x, puesto que

x+ 4 =

p2 sec t =) sec t =

x+ 4p2

.


��

��

��

CC t

Hipotenusa : hip.



sen t =

c.o.

hip.

cos t =

c.a.

hip.

tan t =

c.o.

c.a.

csc t =

hip.

c.o.

sec t =

hip.

c.a.

cot t =

c.a.

c.o.

por lo tanto,

��

��

�

CC t

x+ 4

p2

px

2+ 8x+ 14

x+ 4 =

p2 sec t =) sec t =

x+ 4p2

=

hip.

c.a.


2= (c.o.)

2+ (c.a.)

2 c.o. =

q

(x+ 4)

2 ��

p2

�2

entonces,

tan t =

c.o.

c.a.

=

px

2+ 8x+ 14p

2

,

así,Z

dxpx

2+ 8x+ 14

= ln

�

�

�

�

�

x+ 4p2

+

px

2+ 8x+ 14p

2

�

�

�

�

�

+ C1 = ln

�

�

�

�

�

x+ 4 +

px

2+ 8x+ 14p2

�

�

�

�

�

+ C1

= ln

�

�

x+ 4 +

px

2+ 8x+ 14

�

�� ln

p2 + C1 = ln

�

�

x+ 4 +

px

2+ 8x+ 14

�

�

+ C,

donde C = C1 � ln

p2.

Luego,Z

dxpx

2+ 8x+ 14

= ln

�

�

�

x+ 4 +

p

x

2+ 8x+ 14

�

�

�

+ C.

F


x

3p

x

2 � 5 dx.

Solución : Se hace la sustitución trigonométrica

x =

p5 sec t

Cálculo del

��!diferencial

dx =

p5 sec t tan t dt,



x

3p

x

2 � 5 dx

|{z}

=

Z

⇣p5 sec t

⌘3r

⇣p5 sec t

⌘2

� 5

⇣p5 sec t tan t dt

⌘

" "Cambio

x =p5 sec t

pDiferencial







# #

=

Z

z}|{

5

p5 sec

3t

r

5 sec

2t� 5

| {z }

z}|{p5 sec t tan t dt

!

"Factor común 5

=

�

5

p5

� �

p5

�

Z

sec

3t

r

5

�

sec

2t� 1

�

| {z }

sec t tan t dt = 25

Z

sec

3t

p

5 tan

2t sec t tan t dt

"sec2 t � 1 = tan2

t

= 25

Z

sec

3t

p5

|{z}

tan t sec t tan t dt = 25

p5

Z

sec

4t tan

2t dt

| {z }

,




Integral de funciones

trigonométricas con potencias

para obtener la familia de primitiva de la función f (t) = tan

2t sec

4t se observa que como la potencia de la

secante es par, la integral se escribe como

Potencia par.

Tomar un término sec2 t.

#Z

tan

2t sec

4t dt =

Z

tan

2t sec

2t sec

2t dt,



2t dt, entonces el cambio de variable que se debe proponer es tan t,


tan

2t sec

4t dt =

Z

tan

2t sec

2t

| {z }

sec

2t dt,



2t+ 1 = sec

2t,

se tiene,Z

tan

2t sec

2t sec

2t dt =

Z

tan

2t sec

2t

| {z }

sec

2t dt =

Z

tan

2t

�

tan

2t+ 1

�

sec

2t dt.

"tan2

t + 1 = sec2 t


u = tanx

Cálculo del

��!diferencial

du = sec

2t dt,





Cambio

u = tan t

#

Cambio

u = tan t

#

Diferencial

du = sec2 t dt

pZ

tan

2t sec

4t dt =

Z

tan

2t

�

tan

2t+ 1

�

sec

2t dt =

Z

✓

z}|{

tan t

◆2

✓

z}|{

tan t

◆2

+ 1

!

z }| {

sec

2t dt



=

Z

u

2�

u

2+ 1

�

du =

Z

�

u

4+ u

2�

du =

z }| {

Z

u

4du

| {z }

+

z }| {

Z

u

2du

| {z }


Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 4 y n = 2

=

u

5

5

+

u

3

3

+ C =

1

5

tan

5t+

1

3

tan

3t+ C.

Luego,Z

tan

2t sec

4t dt =

1

5

tan

5t+

1

3

tan

3t+ C,

entoncesZ

x

3p

x

2 � 5 dx = 25

p5

✓

1

5

tan

5t+

1

3

tan

3t

◆

+ C = 5

p5 tan

5t+

25

p5

3

tan

3t+ C,

ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 5

p5 tan

5t+

25

p5

3

tan

3t+C, en términos de la variable original

de integración x, puesto quex =

p5 sec t =) sec t =

xp5

.


��

��

��

CC t

Hipotenusa : hip.



sen t =

c.o.

hip.

cos t =

c.a.

hip.

tan t =

c.o.

c.a.

csc t =

hip.

c.o.

sec t =

hip.

c.a.

cot t =

c.a.

c.o.

por lo tanto,

��

��

�

CC t

x

p5

px

2 � 5

x =

p5 sec t =) sec t =

xp5

=

hip.

c.a.


2= (c.o.)

2+ (c.a.)

2 c.o. =

q

x

2 ��

p5

�2

entonces,

tan t =

c.o.

c.a.

=

px

2 � 5p5

,



así,

Z

x

3p

x

2 � 5 dx = 5

p5

px

2 � 5p5

!5

+

25

p5

3

px

2 � 5p5

!3

+ C =

�

px

2 � 5

�5

5

+

5

3

⇣

p

x

2 � 5

⌘3

+ C

=

�

px

2 � 5

�3

5

✓

�

px

2 � 5

�2+

25

3

◆

+ C =

�

px

2 � 5

�3

5

✓

x

2 � 5 +

25

3

◆

+ C

=

�

px

2 � 5

�3

5

✓

x

2+

10

3

◆

+ C.

Luego,Z

x

3p

x

2 � 5 dx =

�

px

2 � 5

�3

5

✓

x

2+

10

3

◆

+ C.

Observación : Esta integral se puede resolver por medio del cambio variable

u

2= x

2 � 5

Cálculo del

��!diferencial

2u du = 2x dx =) u du = x dx.

Se deja al lector la resolución de esta integral con este cambio. F


x

3dxp

x

2 � 4

.


x = 2 sec t

Cálculo del

��!diferencial

dx = 2 sec t tan t dt,



Cambio

x = 2 sec t

#

Diferencial

dx = 2 sec t tan t dt

pZ

x

3z}|{

dxpx

2 � 4

=

Z

(2 sec t)

3(2 sec t tan t dt)

q

(2 sec t)

2 � 4

=

Z

�

8 sec

3t

�

(2 sec t tan t dt)

q

4 sec

2t� 4

| {z }

=

Z

16 sec

4t tan t dt

r

4

�

sec

2t� 1

�

| {z }"Cambio

x = 2 sec t

"

Factor común 4

psec2 t � 1 = tan2

t

=

Z

16 sec

4t tan t dtp

4 tan

2t

=

Z

16 sec

4t tan t dt

2 tan t

=

Z

8 sec

4t dt = 8

Z

sec

4t dt

| {z }






para obtener la familia de primitiva de la función f (t) = sec

4t se observa que como la potencia de la secante es



par, la integral se escribe comoPotencia par.

Tomar un término sec2 t.

#Z

sec

4t dt =

Z

sec

2t sec

2t dt,



2t dt, entonces el cambio de variable que se debe proponer es tan t,

así, cabe la pregunta¿Qué hacer con este término?

#Z

sec

4t dt =

Z

z }| {

sec

2t sec

2t dt,


2t+ 1 = sec

2t,

se tiene,tan2

t + 1 = sec2 t

#Z

sec

4t dt =

Z

z }| {

sec

2t sec

2t dt =

Z

�

tan

2t+ 1

�

sec

2t dt.


z = tan t

Cálculo del

��!diferencial

dz = sec

2t dt,



Cambio

z = tan t

#

Diferencial

dz = sec2 t dt

#Z

sec

4t dt =

Z

sec

2t sec

2t dt =

Z

�

tan

2t+ 1

�

sec

2t dt =

Z

✓

z}|{

tan t

◆2

+ 1

!

z }| {

sec

2t dt


Z

(f (z) + g (z)) dz =

Z

f (z) dz +

Z

g (z) dz

#



=

Z

�

z

2+ 1

�

dz =

Z

z

2dz +

Z

dz =

z }| {

Z

z

2dz

| {z }

+

z }| {

Z

dz

| {z }

=

z

3

3

+ z + C1 =

tan

3t

3

+ tan t+ C1,

Z

z

n

dz =z

n+1

n + 1+ C con n = 2 y n = 0

así,Z

sec

4t dt =

1

3

tan

3t+ tan t+ C1,



entonces,Z

x

3dxp

x

2 � 4

= 8

Z

sec

4t dt = 8

✓

1

3

tan

3t+ tan t+ C1

◆

=

8

3

tan

3t+ 8 tan t+ C,


8

3

tan

3t + 8 tan t + C, en términos de la variable original de

integración x, puesto quex = 2 sec t =) sec t =

x

2

.


��

��

��

CC t

Hipotenusa : hip.



sen t =

c.o.

hip.

cos t =

c.a.

hip.

tan t =

c.o.

c.a.

csc t =

hip.

c.o.

sec t =

hip.

c.a.

cot t =

c.a.

c.o.

por lo tanto,

��

��

�

CC t

x

2

px

2 � 4

x = 2 sec t =) sec t =

x

2

=

hip.

c.a.


2= (c.o.)

2+ (c.a.)

2 c.o. =

q

x

2 � (2)

2

entonces,

tan t =

c.o.

c.a.

=

px

2 � 4

2

,

así,Z

x

3dxp

x

2 � 4

=

8

3

px

2 � 4

2

!3

+ 8

px

2 � 4

2

+ C =

1

3

⇣

p

x

2 � 4

⌘3

+ 4

p

x

2 � 4 + C.

Luego,Z

x

3dxp

x

2 � 4

=

1

3

⇣

p

x

2 � 4

⌘3

+ 4

p

x

2 � 4 + C.

Observación : Esta integral se puede resolver por medio del cambio de variable

u

2= x

2 � 5

Cálculo del

��!diferencial

2u du = 2x dx =) u du = x dx.



x

2p

5� x

2dx.


x =

p5 sen t

Cálculo del

��!diferencial

dx =

p5 cos t dt,





Diferencial

dx =p5 cos t dt

#Z

x

2p

5� x

2z}|{

dx =

Z

⇣p5 sen t

⌘2r

5�⇣p

5 sen t

⌘2 ⇣p5 cos t dt

⌘

" "Cambio

x =p5 sen t




# #=

Z

5 sen

2t

r

5� 5 sen

2t

| {z }

⇣p5 cos t dt

⌘

= 5

p5

Z

sen

2t

r

5

�

1� sen

2t

�

| {z }

cos t dt

"

Factor común 5

p1 � sen2

t = cos2 t

= 5

p5

Z

sen

2t

p5 cos

2t cos t dt = 5

p5

Z

sen

2t

p5 cos t cos t dt = 25

Z

sen

2t cos

2t dt

| {z }

,






para obtener la familia de primitiva de la función f (t) = sen

2t cos

2t se observa que como las potencias de las

expresiones seno y coseno son pares, se tiene, por las identidades trigonométricas

cos

2t =

1 + cos (2t)

2

, sen

2t =

1� cos (2t)

2

.

que la integral se puede expresar como

Producto notable

(a + b) (a � b) = a

2 � b

2

#Z

cos

2t sen

2t dt =

Z

✓

1 + cos (2t)

2

◆✓

1� cos (2t)

2

◆

dt =

Z

z }| {

(1 + cos (2t)) (1� cos (2t))

4

dx




=

1

4

Z

✓

1� cos

2(2t)

| {z }

◆

dt =

1

4

Z

sen

2(2t)

| {z }

dt =

1

4

Z

1� cos (4t)

2

dx =

1

4

1

2

Z

(1� cos (4t)) dt


sen2 (·) + cos2 (·) = 1

de aquí, sen2 (2t) = 1 � cos2 (2t)


sen2 (·) =1 � cos 2 (·)

2




=

1

8

✓

Z

dt�Z

cos (4t) dt

◆

=

1

8

Z

dt� 1

8

Z

cos (4t) dt.


Z

(f (t) + g (t)) dt =

Z

f (t) dt +

Z

g (t) dt



Se calcula las integrales. La primera integral es sencillaZ

dt = t+ C1.

Para la segunda integral, se propone el cambio de variable

u = 4t

Cálculo del

��!diferencial

du = 4 dt =) du

4

= dt,



Cambio

u = 4t

Diferencial

du

4= dt

# #Z

cos

z}|{

(4t)

z}|{

dt =

Z

cosu

du

4

=

1

4

Z

cosu du =

1

4

senu+ C2 =

1

4

sen (4t) + C2.




Luego,Z

cos

2t sen

2t dt =

1

8

(t+ C1)�1

8

✓

1

4

sen (4t) + C2

◆

=

t

8

� 1

32

sen (4t) + C,

es decir,Z

cos

2t sen

2t dt =

t

8

� 1

32

sen (4t) + C.

pero,sen (4t) = 2 sen (2t) cos (2t) = 2 (2 sen t cos t)

�

cos

2t� sen

2t

�

= 4 sen t cos

3t� 4 sen

3t cos t

entonces,Z

cos

2t sen

2t dt =

t

8

� 1

32

�

4 sen t cos

3t� 4 sen

3t cos t

�

+ C,

es decir,Z

cos

2t sen

2t dt =

t

8

� 1

8

sen t cos

3t+

1

8

sen

3t cos t+ C,

con lo que,Z

x

2p

5� x

2dx = 25

✓

t

8

� 1

8

sen t cos

3t+

1

8

sen

3t cos t

◆

+ C =

25

8

t� 25

8

sen t cos

3t+

25

8

sen

3t cos t+ C,


25

8

t � 25

8

sen t cos

3t +

25

8

sen

3t cos t + C, en términos de la

variable original de integración x, puesto que

x =

p5 sen t =) sen t =

xp5

=) t = arcsen

✓

xp5

◆

.


��

��

��

CC t

Hipotenusa : hip.



sen t =

c.o.

hip.

cos t =

c.a.

hip.

tan t =

c.o.

c.a.

csc t =

hip.

c.o.

sec t =

hip.

c.a.

cot t =

c.a.

c.o.



por lo tanto,

��

��

�

CC t

p5

p5� x

2

x

x =

p5 sen t =) sen t =

xp5

=

c.o.

hip.


2= (c.o.)

2+ (c.a.)

2 c.a. =

q

�

p5

�2 � x

2

entonces,

cos t =

c.o.

hip

=

p5� x

2

p5

,

es decir,Z

x

2p

5� x

2dx =

25

8

arcsen

✓

xp5

◆

� 25

8

xp5

p5� x

2

p5

!3

� 25

8

✓

xp5

◆3 p5� x

2

p5

+ C

=

25

8

arcsen

✓

xp5

◆

� 1

8

x

q

(5� x

2)

3 � 1

8

x

3p5� x

2+ C.

Luego,Z

x

2p

5� x

2dx =

25

8

arcsen

✓

xp5

◆

� 1

8

x

q

(5� x

2)

3 � 1

8

x

3p

5� x

2+ C.

F


x

3p

4� 9x

2dx.


x

3p

4� 9x

2dx =

Z

x

3

q

4� (3x)

2dx,

y se hace el cambio trigonométrico

3x = 2 sen t =) x =

2

3

sen t

Cálculo del

��!diferencial

dx =

2

3

cos t dt,



Diferencial

dx =2

3cos t dt

#Z

x

3p

4� 9x

2dx =

Z

x

3q

4� ( 3x

|{z}

)

2z}|{

dx =

Z

✓

2

3

sen t

◆3q

4� (2 sen t)

2

✓

2

3

cos t dt

◆

"Cambio

x =2

3sen t

"

Cambio

3x = 2 sen t




#=

Z

8

27

sen

3t

r

4� 4 sen

2t

| {z }

✓

2

3

cos t dt

◆

=

Z

16

81

sen

3t

r

4

�

1� sen

2t

�

| {z }

cos t dt

"

Factor común 4

p1 � sen2

t = cos2 t



=

16

81

Z

sen

3t

p4 cos

2t cos t dt =

16

81

Z

sen

3t (2 cos t) cos t dt =

32

81

Z

sen

3t cos

2t dt

| {z }






para obtener la familia de primitiva de la función f (t) = sen

3t cos

2t se observa que la potencia de la expresión

seno es impar, así, se escribe la integral como

Potencia impar.


#Z

sen

3t cos

2t dt =

Z

sen

2t cos

2t sen t dt,


si el diferencial de la nueva integral será sen t dt, entonces el cambio de variable que se debe proponer es cos t,así, cabe la pregunta

Z

sen

3t cos

2t dt =

Z

sen

2t

| {z }

cos

2t sen t dt,



sen

2t+ cos

2t = 1, entonces sen

2t = 1� cos

2t,

por lo que,Z

sen

3t cos

2t dt =

Z

sen

2t

| {z }

cos

2t sen t dt =

Z

�

1� cos

2t

�

cos

2t sen t dt.

"sen2

t = 1 � cos2 t


u = cos t

Cálculo del

��!diferencial

du = � sen t dt =) � du = sen t dt,



Cambio

u = cos t

. &

Diferencial

� du = sen t dt

#




#Z

�

1� cos

2t

�

cos

2t sen t dt =

Z

1�✓

z}|{

cos t

◆2!

✓

z}|{

cos t

◆2z }| {

sen t dt =

Z

�

1� u

2�

u

2(�du)



= �Z

�

u

2 � u

4�

du = �z }| {

Z

u

2du

| {z }

+

z }| {

Z

u

4du

| {z }

= �u

3

3

+

u

5

5

+ C = �cos

3t

3

+

cos

5t

5

+ C.


Z

(f (u) + g (u)) du =

Z

f (u) du +

Z

g (u) du

Z

u

n

du =u

n+1

n + 1+ C con n = 2 y n = 4



Luego,Z

sen

3t cos

2t dt = � cos

3t

3

+

cos

5t

5

+ C.

con lo que,Z

x

3p

4� 9x

2dx =

32

81

Z

sen

3t cos

2t dt =

32

81

✓

� cos

3t

3

+

cos

5t

5

◆

+ C =

32

405

cos

5t� 32

243

cos

3t+ C,


32

405

cos

5t� 32

243

cos

3t+C, en términos de la variable original

de integración x, puesto que3x = 2 sen t =) sen t =

3x

2

.


��

��

��

CC t

Hipotenusa : hip.



sen t =

c.o.

hip.

cos t =

c.a.

hip.

tan t =

c.o.

c.a.

csc t =

hip.

c.o.

sec t =

hip.

c.a.

cot t =

c.a.

c.o.

por lo tanto,

��

��

�

CC t

2

p4� 9x

2

3x

3x = 2 sen t =) sen t =

3x

2

=

c.o.

hip.


2= (c.o.)

2+ (c.a.)

2 c.a. =

q

(2)

2 � (3x)

2

entonces,

cos t =

c.o.

hip

=

p4� 9x

2

2

,

por lo que,

Z

x

3p

4� 9x

2dx =

32

405

cos

5t� 32

243

cos

3t+ C =

32

405

p4� 9x

2

2

!5

� 32

243

p4� 9x

2

2

!3

+ C

=

1

405

�

p4� 9x

2�5 � 4

243

�

p4� 9x

2�3

+ C.

Luego,Z

x

3p

4� 9x

2dx =

1

405

⇣

p

4� 9x

2⌘5

� 4

243

⇣

p

4� 9x

2⌘3

+ C.

Observación : Esta integral se puede resolver por medio del cambio de variable

u

2= 4� 9x

2Cálculo del

��!diferencial

2u du = �18x dx =) u du = �9x dx.





x

2dxp

9� x

2.


x = 3 sen t

Cálculo del

��!diferencial

dx = 3 cos t dt,



x

2dxp

9� x

2=

Z

(3 sen t)

2(3 cos t dt)

q

9� (3 sen t)

2=

Z

9 sen

2t (3 cos t dt)p

9� 9 sen

2t

=

Z

27 sen

2t cos t dt

p

9 (1� sen

2t)

=

Z

27 sen

2t cos t dtp

9 cos

2t

=

Z

27 sen

2t cos t dt

3 cos t

=

Z

9 sen

2t dt = 9

Z

sen

2t dt

para la familia de primitiva de la función f (t) = sen


trigonomética

sen

2t =

1� cos (2t)

2

,

se tiene,Z

sen

2t dt =

Z

1� cos (2t)

2

dt =

1

2

Z

(1� cos (2t)) dt =

1

2

✓

Z

dt�Z

cos (2t) dt

◆

,


dt = t+ C1,


u = 2t

Cálculo del

��!diferencial

du = 2 dt =) du

2

= dt,



cos (2t) dt =

Z

cosu

du

2

=

1

2

Z

cosu du =

1

2

senu+ C2 =

1

2

sen (2t) + C2.

Luego,Z

sen

2t dt =

1

2

t� sen (2t)

2

�

+ C3 =

t

2

� sen (2t)

4

+ C3 =

t

2

� 1

2

sen t cos t+ C3,

así,Z

x

2dxp

9� x

2= 9

Z

sen

2t dt = 9

✓

t

2

� 1

2

sen t cos t+ C1

◆

=

9t

2

� 9

2

sen t cos t+ C,


9t

2

� 9

2

sen t cos t + C, en términos de la variable original deintegración x, puesto que


x

3

=) t = arcsen

⇣

x

3

⌘

.




��

��

��

CC t

Hipotenusa : hip.



sen t =

c.o.

hip.

cos t =

c.a.

hip.

tan t =

c.o.

c.a.

csc t =

hip.

c.o.

sec t =

hip.

c.a.

cot t =

c.a.

c.o.

por lo tanto,

��

��

�

CC t

3

p9� x

2

x


x

3

=

c.o.

hip.


2= (c.o.)

2+ (c.a.)

2 c.a. =

q

(3)

2 � x

2

entonces,

cos t =

c.a.

hip

=

p9� x

2

3

,

es decir,Z

x

2dxp

9� x

2=

9t

2

� 9

2

sen t cos t+ C =

9

2

arcsen

⇣

x

3

⌘

� 9

2

x

3

p9� x

2

3

+ C =

9

2

arcsen

⇣

x

3

⌘

� x

p9� x

2

2

+ C.

Luego,Z

x

2dxp

9� x

2=

9

2

arcsen

⇣

x

3

⌘

� x

p9� x

2

2

+ C.

F


dx

x

px

2 � 4

.


x = 2 sec t

Cálculo del

��!diferencial




dx

x

px

2 � 4

=

Z

2 sec t tan t dt

2 sec t

q

(2 sec t)

2 � 4

=

Z

2 sec t tan t dt

2 sec t

p4 sec

2t� 4

=

Z

2 sec t tan t dt

2 sec t

p

4 (sec

2t� 1)

=

Z

2 sec t tan t dt

2 sec t

p4 tan

2t

=

Z

2 sec t tan t dt

2 sec t 2 tan t

=

Z

dt

2

=

1

2

Z

dt =

t

2

+ C,


t

2

+ C, en términos de la variable original de integración x,puesto que

x = 2 sec t; =) sec t =

x

2

; =) cos t =

2

x

; =) t = arccos

⇣

x

2

⌘

.



Luego,Z

dx

x

px

2 � 4

=

1

2

arccos

⇣

x

2

⌘

+ C.

F


dx

x

px

2+ 3

.


x =

p3 tan t

Cálculo del

��!diferencial

dx =

p3 sec

2t dt,



dx

x

px

2+ 3

=

Z

p3 sec

2t dt

p3 tan t

q

�

p3 tan t

�2+ 3

=

Z

sec

2t dt

tan t

p3 tan

2t+ 3

=

Z

sec

2t dt

tan t

q

3

�

tan

2t+ 1

�

=

Z

sec

2t dt

tan t

p3 sec

2t

=

Z

sec

2t dt

tan t

p3 sec t

=

1p3

Z

sec t

tan t

dt,

donde,

Z

sec t

tan t

dt =

Z

1

cos t

sen t

cos t

dt =

Z

cos t

cos t sen t

dt =

Z

1

sen t

dt =

Z

csc t dt = ln |csc t� cot t|+ C,

así,Z

dx

x

px

2+ 3

=

1p3

ln |csc t� cot t|+ C,


1p3

ln |csc t� cot t|+ C, en términos de la variable original de

integración x, puesto quex =

p3 tan t =) tan t =

xp3

.

Para calcular csc t y cot t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

��

��

��

CC t

Hipotenusa : hip.



sen t =

c.o.

hip.

cos t =

c.a.

hip.

tan t =

c.o.

c.a.

csc t =

hip.

c.o.

sec t =

hip.

c.a.

cot t =

c.a.

c.o.

por lo tanto,

��

��

�

CC t

px

2+ 3

p3

x

x =

p3 tan t =) tan t =

xp3

=

c.o.

c.a.


2= (c.o.)

2+ (c.a.)

2 hip. =

q

x

2+

�

p3

�2



entonces,

csc t =

hip

c.o.

=

p3 + x

2

x

y cot t =

c.a.

c.o.

=

p3

x

.,

Luego,Z

dx

x

px

2+ 3

=

1p3

ln

�

�

�

�

�

p3 + x

2

x

�p3

x

�

�

�

�

�

+ C.

F


px

2 � 9

x

dx.


x = 3 sec t

Cálculo del

��!diferencial




Z

px

2 � 9

x

dx =

Z

q

(3 sec t)

2 � 9

3 sec t

3 sec t tan t dt =

Z

p

9 sec

2t� 9 tan t dt

=

Z

p

9 (sec

2t� 1) tan t dt =

Z

p

9 tan

2t tan t dt =

Z

3 tan t tan t dt = 3

Z

tan

2t dt,

donde,Z

tan

2t dt =

Z

�

sec

2t� 1

�

dt =

Z

sec

2t dt�

Z

dt = tan t� t+ C,

así,Z

px

2 � 9

x

dx = 3 (tan t� t) + C = 3 tan t� 3t+ C,

ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 3 tan t�3t+C, en términos de la variable original de integraciónx, puesto que


x

3

=) cos t =

3

x

=) t = arccos

✓

3

x

◆

.


��

��

��

CC t

Hipotenusa : hip.



sen t =

c.o.

hip.

cos t =

c.a.

hip.

tan t =

c.o.

c.a.

csc t =

hip.

c.o.

sec t =

hip.

c.a.

cot t =

c.a.

c.o.

por lo tanto,

��

��

�

CC t

x

3

px

2 � 9


x

3

=

hip.

c.a.


2= (c.o.)

2+ (c.a.)

2 c.o. =

q

x

2 � (3)

2



entonces,

tan t =

c.o.

c.a.

=

px

2 � 9

3

,

es decir,Z

px

2 � 9

x

dx = 3

px

2 � 9

3

� 3 arccos

✓

3

x

◆

+ C =

p

x

2 � 9� 3 arccos

✓

3

x

◆

+ C.

Luego,Z

px

2 � 9

x

dx =

p

x

2 � 9� 3 arccos

✓

3

x

◆

+ C.

F


px

2+ 7

x

2dx.


x =

p7 tan t

Cálculo del

��!diferencial

dx =

p7 sec

2t dt,



Z

px

2+ 7

x

2dx =

Z

q

�

p7 tan t

�2+ 7

�

p7 tan t

�2

p7 sec

2t dt =

Z

p7 tan

2t+ 7

7 tan

2t

p7 sec

2t dt

=

p7

7

Z

q

7

�

tan

2t+ 1

�

tan

2t

sec

2t dt =

p7

7

Z

p7 sec

2t

tan

2t

sec

2t dt =

p7

7

Z

p7 sec t

tan

2t

sec

2t dt

=

Z

sec

3t

tan

2t

dt =

Z

1

cos

3t

sen

2t

cos

2t

dt =

Z

cos

2t dt

sen

2t cos

3t

=

Z

dt

sen

2t cos t

,

para obtener la familia de primitiva de la función g (t) =

1

sen

2t cos t

, se usa la identidad trigonométrica básica

1 = sen

2t+ cos

2t

y se escribe la integralZ

dt

sen

2t cos t

=

Z

�

sen

2t+ cos

2t

�

dt

sen

2t cos t

=

Z

sen

2t

sen

2t cos t

dt+

Z

cos

2t

sen

2t cos t

dt =

Z

dt

cos t

+

Z

cos t

sen

2t

dt,

donde,Z

dt

cos t

=

Z


mientras que, para la integralZ

cos t

sen

2t

dt, se propone el cambio de variable

u = sen t

Cálculo del

��!diferencial

du = cos t dt,

la integral quedaZ

cos t

sen

2t

dt =

Z

du

u

2=

Z

u

�2du = � 1

u

+ C2 = � 1

sen t

+ C2 = � csc t+ C2,



así,Z

px

2+ 7

x

2dx = ln |sec t+ tan t|� csc t+ C3,

donde C3 = C1 +C2, ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = ln |sec t+ tan t|� csc t+C3, en términosde la variable original de integración x, puesto que

x =

p7 tan t =) tan t =

xp7

.

Para calcular sec t y csc t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

��

��

��

CC t

Hipotenusa : hip.



sen t =

c.o.

hip.

cos t =

c.a.

hip.

tan t =

c.o.

c.a.

csc t =

hip.

c.o.

sec t =

hip.

c.a.

cot t =

c.a.

c.o.

por lo tanto,

��

��

�

CC t

px

2+ 7

p7

x

x =

p7 tan t =) tan t =

xp7

=

c.o.

c.a.


2= (c.o.)

2+ (c.a.)

2 hip. =

q

x

2+

�

p7

�2

entonces,

csc t =

hip

c.o.

=

p7 + x

2

x

y sec t =

hip

c.a.

=

p7 + x

2

p7

,

por lo que,Z

px

2+ 7

x

2dx = ln

�

�

�

�

�

p7 + x

2

p7

+

xp7

�

�

�

�

�

�p7 + x

2

x

+ C3 = ln

�

�

�

�

�

p7 + x

2+ xp

7

�

�

�

�

�

�p7 + x

2

x

+ C3

= ln

�

�

p7 + x

2+ x

�

�� ln

p7�p7 + x

2

x

+ C3 = ln

�

�

p7 + x

2+ x

�

��p7 + x

2

x

+ C,

donde C = C3 � ln

p7. Luego,

Z

px

2+ 7

x

2dx = ln

�

�

�

p

7 + x

2+ x

�

�

�

�p7 + x

2

x

+ C.

F


2x� 1

x

2 � 6x+ 18

dx.

Solución : Se observa que la derivada del polinomio del denominador es�

x

2 � 6x+ 18

�0= 2x� 6,

así, que se escribe la integral comoZ

2x� 1

x

2 � 6x+ 18

dx =

Z

2x� 1� 5 + 5

x

2 � 6x+ 18

dx =

Z

(2x� 6) + 5

x

2 � 6x+ 18

dx =

Z

(2x� 6) dx

x

2 � 6x+ 18

+ 5

Z

dx

x

2 � 6x+ 18

,



donde, la primera integral,Z

(2x� 6) dx

x

2 � 6x+ 18

, se resuelve al proponer el cambio de variable

u = x

2 � 6x+ 18

Cálculo del

��!diferencial

du = (2x� 6) dx,

la integral nos quedaZ

(2x� 6) dx

x

2 � 6x+ 18

=

Z

du

u

= ln |u|+ C1 = ln

�

�

x

2 � 6x+ 18

�

�

+ C1,

mientras que, para la segunda integral,Z

dx

x

2 � 6x+ 18

, se completa cuadrados y se propone un cambio trigonométrico.

Al completar cuadrado se obtienex

2 � 6x+ 18 = (x� 3)

2+ 9,

así,Z

dx

x

2 � 6x+ 18

=

Z

dx

(x� 3)

2+ 9

,

y ahora, se hace el cambio trigonométrico

x� 3 = 3 tan t

Cálculo del

��!diferencial

dx = 3 sec

2t dt,



dx

x

2 � 6x+ 18

=

Z

3 sec

2t dt

(3 tan t)

2+ 9

=

Z

3 sec

2t dt

9 tan

2t+ 9

=

Z

3 sec

2t dt

9

�

tan

2t+ 1

�

=

Z

sec

2t dt

3 sec

2t

=

1

3

Z

dt =

t

3

+ C2,

así,Z

dx

x

2 � 6x+ 18

=

t

3

+ C2,


t

3

+ C2, en términos de la variable original de integración x,puesto que

x� 3 = 3 tan t =) tan t =

x� 3

3

=) t = arctan

✓

x� 3

3

◆

,

por lo tanto,Z

dx

x

2 � 6x+ 18

=

1

3

arctan

✓

x� 3

3

◆

+ C2.

EntoncesZ

2x� 1

x

2 � 6x+ 18

dx =

Z

(2x� 6) dx

x

2 � 6x+ 18

+ 5

Z

dx

x

2 � 6x+ 18

= ln

�

�

x

2 � 6x+ 18

�

�

+ C1 + 5

✓

1

3

arctan

✓

x� 3

3

◆

+ C2

◆

= ln

�

�

x

2 � 6x+ 18

�

�

+

5

3

arctan

✓

x� 3

3

◆

+ C,

donde C = C1 + 5C2.

Luego,Z

2x� 1

x

2 � 6x+ 18

dx = ln

�

�

x

2 � 6x+ 18

�

�

+

5

3

arctan

✓

x� 3

3

◆

+ C.

F




px

(x+ 6)

2 dx.


x = z

2Cálculo del

��!diferencial

dx = 2z dz,



px

(x+ 6)

2 dx =

Z

pz

2

(z

2+ 6)

2 2z dz = 2

Z

z

2

(z

2+ 6)

2 dz.

Se hace el cambio trigonométrico

z =

p6 tan t

Cálculo del

��!diferencial

dz =

p6 sec

2t dt,



Z

z

2

(z

2+ 6)

2 dz =

Z

�

p6 tan t

�2

⇣

�

p6 tan t

�2+ 6

⌘2

p6 sec

2t dt =

Z

6 tan

2t

�

6 tan

2t+ 6

�2

p6 sec

2t dt

=

Z

6

p6 tan

2t sec

2t

�

6

�

tan

2t+ 1

��2 dt =

Z

6

p6 tan

2t sec

2t

36 (sec

2t)

2 dt =

p6

6

Z

tan

2t sec

2t

sec

4t

dt

=

p6

6

Z

tan

2t

sec

2t

dt =

p6

6

Z

sen

2t

cos

2t

1

cos

2t

dt =

p6

6

Z

sen

2t dt,



trigonomética

sen

2t =

1� cos (2t)

2

,

se tiene,Z

sen

2t dt =

Z

1� cos (2t)

2

dt =

1

2

Z

(1� cos (2t)) dt =

1

2

✓

Z

dt�Z

cos (2t) dt

◆

,


dt = t+ C1,


u = 2t

Cálculo del

��!diferencial

du = 2 dt =) du

2

= dt,





cos (2t) dt =

Z

cosu

du

2

=

1

2

Z

cosu du =

1

2

senu+ C2 =

1

2

sen (2t) + C2.

Luego,Z

sen

2t dt =

1

2

t� sen (2t)

2

�

+ C3 =

t

2

� sen (2t)

4

+ C3 =

t

2

� 1

2

sen t cos t+ C3,

así,Z

z

2

(z

2+ 6)

2 dz =

p6

6

Z

sen

2t dt =

p6

6

✓

t

2

� 1

2

sen t cos t+ C1

◆

=

p6

12

t�p6

12

sen t cos t+ C,

es decir,Z

z

2

(z

2+ 6)

2 dz =

p6

12

t�p6

12

sen t cos t+ C,


p6

12

t �p6

12

sen t cos t + C, en términos de la variable deintegración z, puesto que

z =

p6 tan t =) tan t =

zp6

=) t = arctan

✓

zp6

◆

.

Para calcular sen t y cos t en función de z, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

��

��

��

CC t

Hipotenusa : hip.



sen t =

c.o.

hip.

cos t =

c.a.

hip.

tan t =

c.o.

c.a.

csc t =

hip.

c.o.

sec t =

hip.

c.a.

cot t =

c.a.

c.o.

por lo tanto,

��

��

�

CC t

pz

2+ 6

p6

z

z =

p6 tan t =) tan t =

zp6

=

c.o.

c.a.


2= (c.o.)

2+ (c.a.)

2 hip. =

q

z

2+

�

p6

�2

entonces,

sen t =

c.o.

hip

=

zp6 + z

2y cos t =

c.a.

hip

=

p6p

6 + z

2,

por lo que,Z

z

2

(z

2+ 6)

2 dz =

p6

12

t�p6

12

sen t cos t+ C =

p6

12

arctan

✓

zp6

◆

�p6

12

zp6 + z

2

p6p

6 + z

2+ C

=

p6

12

arctan

✓

zp6

◆

��

p6

�2

12

z

�

p6 + z

2�2 + C =

p6

12

arctan

✓

zp6

◆

� 1

2

z

6 + z

2+ C,

se expresa la familia de primitiva F (z) =

p6

12

arctan

✓

zp6

◆

� 1

2

z

6 + z

2+C, en términos de la variable original

de integración x, puesto quex = z

2=) z =

px,



así,Z

px

(x+ 6)

2 dx = 2

"p6

12

arctan

✓pxp6

◆

� 1

2

px

6 + x

2

#

+ C =

p6

6

arctan

✓pxp6

◆

�px

6 + x

2+ C,

Luego,Z

px

(x+ 6)

2 dx =

p6

6

arctan

✓pxp6

◆

�px

6 + x

2+ C.

F


sec

4x dxp

4� tan

2x

.

Solución : Se propone el cambio trigonométrico

tanx = 2 sen t

Cálculo del

��!diferencial

sec

2x dx = 2 cos t dt,



Z

sec

4x dxp

4� tan

2x

=

Z

sec

2x sec

2x dxp

4� tan

2x

=

Z

�

tan

2x+ 1

�

p4� tan

2x

sec

2x dx =

Z

⇣

(2 sen t)

2+ 1

⌘

q

4� (2 sen t)

2(2 cos t dt)

=

Z

�

4 sen

2t+ 1

�

p4� 4 sen

2t

(2 cos t dt) =

Z

�

4 sen

2t+ 1

�

p

4 (1� sen

2t)

(2 cos t dt) =

Z

�

4 sen

2t+ 1

�

p4 cos

2t

(2 cos t dt)

=

Z

�

4 sen

2t+ 1

�

2 cos t

(2 cos t dt) =

Z

�

4 sen

2t+ 1

�

dt = 4

Z

sen

2t dt+

Z

dt,

es decir,Z

sec

4x dxp

4� tan

2x

= 4

Z

sen

2t dt+

Z

dt,

donde,Z

dt = t+ C1,

mientras que, para la familia de primitiva de la función f (t) = sen

2t se procede de la siguiente manera, por la

identidad trigonomética

sen

2t =

1� cos (2t)

2

,

se tiene,Z

sen

2t dt =

Z

1� cos (2t)

2

dt =

1

2

Z

(1� cos (2t)) dt =

1

2

✓

Z

dt�Z

cos (2t) dt

◆

,


dt = t+ C2,


u = 2t

Cálculo del

��!diferencial

du = 2 dt =) du

2

= dt,





cos (2t) dt =

Z

cosu

du

2

=

1

2

Z

cosu du =

1

2

senu+ C3 =

1

2

sen (2t) + C3.

Luego,Z

sen

2t dt =

1

2

t� sen (2t)

2

�

+ C4 =

t

2

� sen (2t)

4

+ C4 =

t

2

� 1

2

sen t cos t+ C4,

así,Z

sec

4x dxp

4� tan

2x

= 4

Z

sen

2t dt+

Z

dt = 4

✓

t

2

� 1

2

sen t cos t+ C4

◆

+ t+ C1 = 3t� 2 sen t cos t+ C,

entonces,Z

sec

4x dxp

4� tan

2x

= 3t� 2 sen t cos t+ C,

ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 3t � 2 sen t cos t + C, en términos de la variable original deintegración x, puesto que

tanx = 2 sen t =) sen t =

tanx

2

=) t = arcsen

✓

tanx

2

◆

.


��

��

��

CC t

Hipotenusa : hip.



sen t =

c.o.

hip.

cos t =

c.a.

hip.

tan t =

c.o.

c.a.

csc t =

hip.

c.o.

sec t =

hip.

c.a.

cot t =

c.a.

c.o.

por lo tanto,

��

��

�

CC t

2

p4� tan

2x

tanx

tanx = 2 sen t =) sen t =

tanx

2

=

c.o.

hip.


2= (c.o.)

2+ (c.a.)

2 c.a. =

q

(2)

2 � (tanx)

2

entonces,

cos t =

c.a.

hip

=

p4� tan

2x

2

,

es decir,Z

sec

4x dxp

4� tan

2x

= 3t� 2 sen t cos t+ C = 3arcsen

✓

tanx

2

◆

� 2

tanx

2

p4� tan

2x

2

+ C

= 3arcsen

✓

tanx

2

◆

� tanx

p4� tan

2x

2

+ C.

Luego,Z

sec

4x dxp

4� tan

2x

= 3arcsen

✓

tanx

2

◆

� tanx

p4� tan

2x

2

+ C.

F




y

2dy

(y

2+ 4)

5/2.


y = 2 tan t

Cálculo del

��!diferencial

dy = 2 sec

2t dt,



y

2dy

(y

2+ 4)

5/2=

Z

(2 tan t)

22 sec

2t dt

⇣

(2 tan t)

2+ 4

⌘5/2=

Z

�

4 tan

2t

�

2 sec

2t

�

4 tan

2t+ 4

�5/2dt =

Z

8 tan

2t sec

2t

�

4

�

tan

2t+ 1

��5/2dt

=

Z

8 tan

2t sec

2t

(4 sec

2t)

5/2dt =

Z

8 tan

2t sec

2t

2

5sec

5t

dt =

Z

tan

2t

2

2sec

3t

dt =

1

4

Z

tan

2t

sec

3t

dt

=

1

4

Z

sen

2t

cos

2t

1

cos

3t

dt =

1

4

Z

sen

2t cos

3t

cos

2t

dt =

1

4

Z

sen

2t cos t dt,

es decir,Z

y

2dy

(y

2+ 4)

5/2=

1

4

Z

sen

2t cos t dt


2t cos t se observa que en el integrando aparece la función

seno y su correspondiente derivada, la función coseno, así, es natural proponer el cambio de variable

u = sen t

Cálculo del

��!diferencial

du = cos t dt,



sen

2t cos t dt =

Z

u

2du =

u

2

2

+ C1 =

1

3

(sen t)

3+ C1 =

1

3

sen

3t+ C1,

con lo que,Z

sen

2t cos t dt =

1

3

sen

3t+ C1,

de aquí,Z

y

2dy

(y

2+ 4)

5/2=

1

4

Z

sen

2t cos t dt =

1

4

✓

1

3

sen

3t+ C1

◆

=

1

12

sen

3t+ C,

es decir,Z

y

2dy

(y

2+ 4)

5/2=

1

12

sen

3t+ C,


1

12

sen

3t+C, en términos de la variable original de integración

y, puesto quey = 2 tan t =) tan t =

y

2

.



Para calcular sen t en función de y, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

��

��

��

CC t

Hipotenusa : hip.



sen t =

c.o.

hip.

cos t =

c.a.

hip.

tan t =

c.o.

c.a.

csc t =

hip.

c.o.

sec t =

hip.

c.a.

cot t =

c.a.

c.o.

por lo tanto,

��

��

�

CC t

p

y

2+ 4

2

y

y = 2 tan t =) tan t =

y

2

=

c.o.

c.a.


2= (c.o.)

2+ (c.a.)

2 hip. =

q

y

2+ (2)

2

entonces,sen t =

c.o.

hip

=

y

p

y

2+ 4

,

por lo que,Z

y

2dy

(y

2+ 4)

5/2=

1

12

sen

3t+ C =

1

12

y

p

y

2+ 4

!3

+ C =

1

12

y

3

⇣

p

y

2+ 4

⌘3 + C.

Luego,Z

y

2dy

(y

2+ 4)

5/2=

1

12

y

3

⇣

p

y

2+ 4

⌘3 + C.

F


p

2t� t

2dt.

Solución : Se completa cuadrado

2t� t

2= � (t� 1)

2+ 1 = 1� (t� 1)

2,

así, la integral se escribeZ

p

2t� t

2dt =

Z

q

1� (t� 1)

2dt.

Se hace la sustitución trigonométrica

t� 1 = sen z

Cálculo del

��!diferencial

dt = cos z dz,



p

2t� t

2dt =

Z

q

1� (t� 1)

2dt =

Z

p

1� sen

2z cos z dz =

Z pcos

2z cos z dz =

Z

cos

2z dz,



es decir,Z

p

2t� t

2dt =

Z

cos

2z dz,

para la familia de primitiva de la función f (z) = cos

2z se procede de la siguiente manera, por la identidad

trigonomética

cos

2z =

1 + cos (2z)

2

,

se tiene,Z

cos

2z dz =

Z

1 + cos (2z)

2

dz =

1

2

Z

(1 + cos (2z)) dz =

1

2

✓

Z

dz +

Z

cos (2z) dz

◆

,


dz = z + C1,


u = 2z

Cálculo del

��!diferencial

du = 2 dz =) du

2

= dz,



cos (2z) dz =

Z

cosu

du

2

=

1

2

Z

cosu du =

1

2

senu+ C2 =

1

2

sen (2z) + C2.

Luego,Z

cos

2z dz =

1

2

z +

sen (2z)

2

�

+ C =

z

2

+

sen (2z)

4

+ C =

z

2

+

1

2

sen z cos z + C,

así,Z

p

2t� t

2dt =

Z

cos

2z dz =

z

2

+

1

2

sen z cos z + C,

ahora, se expresa la familia de primitiva F (z) =

z

2

+

1

2

sen z cos z + C, en términos de la variable original deintegración t, puesto que

t� 1 = sen z =) z = arcsen (t� 1) .

Para calcular cos z en función de t, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

��

��

��

CC ↵

Hipotenusa : hip.



sen t =

c.o.

hip.

cos t =

c.a.

hip.

tan t =

c.o.

c.a.

csc t =

hip.

c.o.

sec t =

hip.

c.a.

cot t =

c.a.

c.o.

por lo tanto,

��

��

�

CC ↵

1

p2t� t

2

t� 1

t� 1 = sen t =) sen t =

t� 1

1

=

c.o.

hip.


2= (c.o.)

2+ (c.a.)

2 c.a. =

q

(1)

2 � (t� 1)

2



entonces,

cos t =

c.a.

hip

=

p2t� t

2

1

=

p

2t� t

2,

es decir,Z

p

2t� t

2dt =

z

2

+

1

2

sen z cos z + C =

1

2

arcsen (t� 1) +

1

2

(t� 1)

p

2t� t

2+ C.

Luego,Z

p

2t� t

2dt =

1

2

arcsen (t� 1) +

1

2

(t� 1)

p

2t� t

2+ C.

F


dt

(t+ 1)

pt

2+ 2t

.

Solución : Se completa cuadradot

2+ 2t = (t+ 1)

2 � 1,

así, la integral se escribeZ

dt

(t+ 1)

pt

2+ 2t

=

Z

dt

(t+ 1)

q

(t+ 1)

2 � 1

.


t+ 1 = sec z

Cálculo del

��!diferencial

dt = sec z tan z dz,



dt

(t+ 1)

q

(t+ 1)

2 � 1

=

Z

sec z tan z dz

sec z

psec

2z � 1

=

Z

sec z tan z dz

sec z

ptan

2z

=

Z

sec z tan z

sec z tan z

dz =

Z

dz = z + C,

ahora, se expresa la familia de primitiva F (z) = z + C, en términos de la variable original de integración t,puesto que

t+ 1 = sec z =) 1

cos z

= t+ 1 =) cos z =

1

t+ 1

=) z = arccos

✓

1

t+ 1

◆

.

de aquí,Z

dt

(t+ 1)

pt

2+ 2t

=

Z

dt

(t+ 1)

q

(t+ 1)

2 � 1

= z + C = arccos

✓

1

t+ 1

◆

+ C.

Luego,Z

dt

(t+ 1)

pt

2+ 2t

= arccos

✓

1

t+ 1

◆

+ C.

F


t

2dt

(t

2+ 1)

2 .


t = tan z

Cálculo del

��!diferencial

dt = sec

2z dz,





t

2dt

(t

2+ 1)

2 =

Z

tan

2z sec

2z dz

�

tan

2z + 1

�2 =

Z

tan

2z sec

2z dz

(sec

2z)

2 =

Z

tan

2z sec

2z dz

sec

4z

=

Z

tan

2z

sec

2z

dz

=

Z

sen

2z

cos

2z

1

cos

2z

dz =

Z

sen

2z cos

2z

cos

2z

dz =

Z

sen

2z dz

es decir,Z

t

2dt

(t

2+ 1)

2 =

Z

sen

2z dz,

para la familia de primitiva de la función f (z) = sen

2z se procede de la siguiente manera, por la identidad

trigonomética

sen

2z =

1� cos (2z)

2

,

se tiene,Z

sen

2z dz =

Z

1� cos (2z)

2

dz =

1

2

Z

(1� cos (2z)) dz =

1

2

✓

Z

dz �Z

cos (2z) dz

◆

,


dz = z + C1,


u = 2z

Cálculo del

��!diferencial

du = 2 dz =) du

2

= dz,



cos (2z) dz =

Z

cosu

du

2

=

1

2

Z

cosu du =

1

2

senu+ C2 =

1

2

sen (2z) + C2.

Luego,Z

sen

2z dz =

1

2

z � sen (2z)

2

�

+ C =

z

2

� sen (2z)

4

+ C =

z

2

� 1

2

sen z cos z + C,

así,Z

t

2dt

(t

2+ 1)

2 =

Z

sen

2z dz =

z

2

� 1

2

sen z cos z + C,

ahora, se expresa la familia de primitiva F (z) =

z

2

� 1

2

sen z cos z + C, en términos de la variable original deintegración t, puesto que

t = tan z =) z = arctan t.

Para calcular sen t y cos z en función de t, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

��

��

��

CC ↵

Hipotenusa : hip.



sen t =

c.o.

hip.

cos t =

c.a.

hip.

tan t =

c.o.

c.a.

csc t =

hip.

c.o.

sec t =

hip.

c.a.

cot t =

c.a.

c.o.



por lo tanto,

��

��

�

CC ↵

p1 + t

2

1

t

t = tan z =) tan z =

t

1

=

c.o.

c.a.


2= (c.o.)

2+ (c.a.)

2 hip. =

q

(1)

2+ t

2

entonces,sen t =

c.o.

hip

=

tp1 + t

2y cos t =

c.a.

hip

=

1p1 + t

2,

es decir,Z

t

2dt

(t

2+ 1)

2 =

z

2

� 1

2

sen z cos z + C =

1

2

arctan t� 1

2

tp1 + t

2

1p1 + t

2+ C =

1

2

arctan t� 1

2

t

1 + t

2+ C.

Luego,Z

t

2dt

(t

2+ 1)

2 =

1

2

arctan t� 1

2

t

1 + t

2+ C.

F


pe sen

2x cosx dx

sen

2x� 2 senx+ 5

.

Solución : Al completar cuadrado

sen

2x� 2 senx+ 5 = (senx� 1)

2+ 4,

se escribe la integral comoZ

pe sen

2x cosx dx

sen

2x� 2 senx+ 5

=

pe

Z

sen

2x cosx dx

(senx� 1)

2+ 4

.


senx� 1 = 2 tan t =) senx = 2 tan t+ 1

Cálculo del

��!diferencial

cosx dx = 2 sec

2t dt,



sen

2x cosx dx

(senx� 1)

2+ 4

=

Z

(2 tan t+ 1)

2 �2 sec

2t dt

�

(2 tan t)

2+ 4

=

Z

(2 tan t+ 1)

2 �2 sec

2t dt

�

4 tan

2t+ 4

=

Z

(2 tan t+ 1)

2 �2 sec

2t dt

�

4

�

tan

2t+ 1

�

=

Z

(2 tan t+ 1)

2 �2 sec

2t dt

�

4 sec

2t

=

Z

(2 tan t+ 1)

2

2

dt

=

1

2

Z

(2 tan t+ 1)

2dt =

1

2

Z

�

4 tan

2t+ 4 tan t+ 1

�

dt = 2

Z

tan

2t dt+ 2

Z

tan t dt+

1

2

Z

dt,

donde

• Por la identidad trigonométrica tan

2t+ 1 = sec

2t se tiene que

Z

tan

2t dt =

Z

�

sec

2t� 1

�

dt = tan t� t+ C1.



• Puesto que, tan t =

sen t

cos t

se tiene queZ

tan t dt =

Z

sen t

cos t

dt


u = cos t

Cálculo del

��!diferencial

du = � sen t dt =) � du = sen t dt,



tan t dt =

Z

sen t

cos t

dt =

Z � du

u

= � ln |u|+ C2 = � ln |cos t|+ C2 = ln

�

�

�

(cos t)

�1�

�

�

+ C2

= ln

�

�

�

�

1

cos t

�

�

�

�

+ C2 = ln |sec t|+ C2,

por lo tanto,Z

tan t dt = ln |sec t|+ C2.

• Por último,Z

dt = t+ C3.

Entonces,Z

sen

2x cosx dx

(senx� 1)

2+ 4

= 2

Z

tan

2t dt+ 2

Z

tan t dt+

1

2

Z

dt

= 2 (tan t� t+ C1) + 2 (ln |sec t|+ C2) +1

2

(t+ C3) = 2 tan t� 2t+ 2 ln |sec t|+ t

2

+ C4

= 2 tan t+ ln

�

�

sec

2t

�

�� 3

2

t+ C4 = 2 tan t+ ln

�

�

tan

2t+ 1

�

�� 3

2

t+ C4,

donde C4 = 2C1 + 2C2 +1

2

C3. Así,Z

sen

2x cosx dx

(senx� 1)

2+ 4

= 2 tan t+ ln

�

�

tan

2t+ 1

�

�� 3

2

t+ C4,

ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 2 tan t + ln

�

�

tan

2t+ 1

�

� � 3

2

t + C4, en términos de la variableoriginal de integración x, puesto que

senx� 1 = 2 tan t =) tan t =

senx� 1

2

=) t = arctan

✓

senx� 1

2

◆

,

de aquí,Z

sen

2x cosx dx

(senx� 1)

2+ 4

= 2

✓

senx� 1

2

◆

+ ln

�

�

�

�

�

✓

senx� 1

2

◆2

+ 1

�

�

�

�

�

� 3

2

arctan

✓

senx� 1

2

◆

+ C4

= senx� 1 + ln

�

�

�

�

�

(senx� 1)

2

4

+ 1

�

�

�

�

�

� 3

2

arctan

✓

senx� 1

2

◆

+ C4

= senx� 1 + ln

�

�

�

�

�

(senx� 1)

2+ 1

4

�

�

�

�

�

� 3

2

arctan

✓

senx� 1

2

◆

+ C4



= senx� 1 + ln

�

�

�

(senx� 1)

2+ 1

�

�

�

� ln 4� 3

2

arctan

✓

senx� 1

2

◆

+ C4

= senx+ ln

�

�

�

(senx� 1)

2+ 1

�

�

�

� 3

2

arctan

✓

senx� 1

2

◆

+ C,

donde, C = C4 � 1� ln 4, por lo tanto,Z

sen

2x cosx dx

(senx� 1)

2+ 4

= senx+ ln

�

�

�

(senx� 1)

2+ 1

�

�

�

� 3

2

arctan

✓

senx� 1

2

◆

+ C.

FinalmenteZ

pe sen

2x cosx dx

sen

2x� 2 senx+ 5

=

pe senx+

pe ln

�

�

�

(senx� 1)

2+ 1

�

�

�

� 3

pe

2

arctan

✓

senx� 1

2

◆

+ C.

F


p

x

2+ 4x� 2 dx.

Solución : Completamos cuadrado

x

2+ 4x� 2 = (x+ 2)

2 � 6,

con lo que,Z

p

x

2+ 4x� 2 dx =

Z

q

(x+ 2)

2 � 6 dx.

Se hace el cambio trigonométrico

x+ 2 =

p6 sec t

Cálculo del

��!diferencial

dx =

p6 sec t tan t dt,



p

x

2+ 4x� 2 dx =

Z

r

⇣p6 sec t

⌘2

� 6

⇣p6 sec t tan t

⌘

dt =

p6

Z

p

6 sec

2t� 6 sec t tan t dt

=

p6

Z

p

6 (sec

2t� 1) sec t tan t dt =

p6

Z

p

6 tan

2t sec t tan t dt = 6

Z

sec t tan

2t dt,

donde,Z

sec t tan

2t dt =

Z

sec t

�

sec

2t� 1

�

dt =

Z

sec

3t dt�

Z

sec t dt

de aquí,Z

sec t dt = ln |sec t+ tan t|+ C1

mientras que, la integral de la secante cúbica se resuelve por el método de integración por partes. Escribimos laintegral como

Z

sec

3t dt =

Z

sec

2t sec t dt.


u = sec t

Al derivar��! du = sec t tan t dt

dv = sec

2t dt

Al integrar��! v = tan t,




sec

3t dt = sec t tan t�

Z

tan t sec t tan t dt = sec t tan t�Z

sec t tan

2t dt,

es conocido quetan

2t = sec

2t� 1,

así,tan2

t = sec2 t � 1

#Z

sec


Z

sec t

z }| {

tan


Z

sec t

�

sec

2t� 1

�

dt

= sec t tan t�Z

�

sec

3t� sec t

�

dt = sec t tan t�Z

sec

3t dt+

Z

sec t dt

= sec t tan t�Z

sec

3t dt+ ln |sec t+ tan t|+ C1,

es decir,Z

sec


Z

sec

3t dt+ ln |sec t+ tan t|+ C1,

de aquí,

2

Z

sec

3t dt = sec t tan t+ ln |sec t+ tan t|+ C1,

con lo que,Z

sec

3t dt =

1

2

sec t tan t+

1

2

ln |sec t+ tan t|+ C.

Entonces, tenemosZ

p

x

2+ 4x� 2 dx = 6

Z

sec t tan

2t dt = 6

Z

sec

3t dt�

Z

sec t dt

�

= 6

1

2

sec t tan t+

1

2

ln |sec t+ tan t|� ln |sec t+ tan t|�

+ C

= 6

1

2

sec t tan t� 1

2

ln |sec t+ tan t|�

+ C = 3 sec t tan t� 3 ln |sec t+ tan t|+ C,

de quí,Z

p

x

2+ 4x� 2 dx = 3 sec t tan t� 3 ln |sec t+ tan t|+ C,

ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 3 sec t tan t� 3 ln |sec t+ tan t|+ C, en términos de la variableoriginal de integración x, puesto que

x+ 2 =

p6 sec t =) sec t =

x+ 2p6

=) cos t =

p6

x+ 2

.


��

��

��

CC t

Hipotenusa : hip.



sen t =

c.o.

hip.

cos t =

c.a.

hip.

tan t =

c.o.

c.a.

csc t =

hip.

c.o.

sec t =

hip.

c.a.

cot t =

c.a.

c.o.



por lo tanto,

��

��

��

CC t

x+ 2

p6

q

(x+ 2)

2 � 6

x+ 2 =

p6 sec t =) sec t =

x+ 2p6

=

hip.

c.a.


2= (c.o.)

2+ (c.a.)

2 c.o. =

q

(x+ 2)

2 � 6

entonces,

tan t =

c.o.

c.a.

=

q

(x+ 2)

2 � 6

p6

.

Luego,

Z

p

x

2+ 4x� 2 dx = 3

x+ 2p6

q

(x+ 2)

2 � 6

p6

� 3 ln

�

�

�

�

�

�

x+ 2p6

+

q

(x+ 2)

2 � 6

p6

�

�

�

�

�

�

+ C

=

1

2

(x+ 2)

px

2+ 4x� 2� 3 ln

�

�

�

�

�

x+ 2 +

px

2+ 4x� 2p

6

�

�

�

�

�

+ C

=

1

2

(x+ 2)

px

2+ 4x� 2� 3 ln

�

�

x+ 2 +

px

2+ 4x� 2

�

�� ln

p6 + C

=

1

2

(x+ 2)

px

2+ 4x� 2� 3 ln

�

�

x+ 2 +

px

2+ 4x� 2

�

�

+ C,

así,Z

p

x

2+ 4x� 2 dx =

1

2

(x+ 2)

p

x

2+ 4x� 2� 3 ln

�

�

�

x+ 2 +

p

x

2+ 4x� 2

�

�

�

+ C.

F

Ejercicios

Calcular las siguientes integrales haciendo la sustitución trigonométrica apropiada.

1.

Z

dxp16� x

22.

Z

dxp4� 3x

23.

Z

dt

7 + 2t

24.

Z

d✓p9 + ✓

25.

Z

dxp3x

2 � 2

6.

Z

dxpax

2 � b

7.

Z

y dy

(y

2+ 4)

5/28.

Z

y

2dy

(y

2+ 4)

5/29.

Z

dxpa� bx

210.

Z

5t

p

1 + t

2dt

11.

Z

dx

(4x

2 � 25)

3/212.

Z

cosx dx

sen

2x� 6 senx+ 12

13.

Z

dx

(1 + x

2)

2 14.

Z

p

2t� t

2dt

15.

Z

e

t

p

9� e

2tdt 16.

Z

p

5� 4t� t

2dt 17.

Z

x

2

p5� x

2dx 18.

Z

dxpx

2+ 4x+ 5

19.

Z

dx

x

4px

2 � 2

20.

Z

3xpx

2+ 2x+ 5

dx 21.

Z

p9x

2 � 4

x

dx 22.

Z

dxp4x� x

2

23.

Z

e

x

dxp1 + e

x

+ e

2x24.

Z

dxp16 + 6x� x

225.

Z

t dtpa

4 � t

426.

Z

x dxp4x� x

2



27.

Z

2x+ 1

x

2+ 2x+ 2

dx 28.

Z

2x� 1

x

2 � 6x+ 18

dx 29.

Z

p

e

2t � 9 dt 30.

Z

sen t cos t

9 + cos

4t

dt

31.

Z

sec

2(2x)

9 + tan

2(2x)

dx 32.

Z

lnx dx

x

p

1� 4 lnx� ln

2x

33.

Z

3x

2

2x

2+ 5

dx 34.

Z

x

3dxp

7 + x

2

35.

Z

px

(x+ 6)

2 dx 36.

Z

tan

7x+ tan

5x

tan

4(⇡/4) + tan

4x

dx 37.

Z

dx

x

2px

2 � 5

38.

Z

pe

3xdx

(e

�x

+ e

x

)

5/2

39.

Z

e

�3xdx

(e

2x � 9)

3/240.

Z

x

2dxp

8x

3 � x

6 � 13

41.

Z

dxp9� x

242.

Z

dxp3� x

2

43.

Z

dxpx

2 � 4

44.

Z

dxpx

2 � 5

45.

Z

dx

16 + x

246.

Z

dx

2 + x

247.

Z

dx

x

px

2+ 3

48.

Z

dxp9x

2+ 6x� 8

49.

Z

dx

x

2p1� x

250.

Z

p1� x

2

x

dx 51.

Z

dxpx

2+ 2x+ 5

52.

Z

x

2

(a

2 � x

2)

3/2dx 53.

Z

dx

x

px

2+ 9

54.

Z

px

2 � a

2

x

4dx 55.

Z

dx

x

3px

2 � 16

56.

Z

dx

(5� 4x� x

2)

5/257.

Z

p

1� 4r

2dr 58.

Z

t

p

4� t

2dt 59.

Z

x

2p

4� 9x

2dx

60.

Z

2x� 1px

2 � 4x+ 5

dx 61.

Z

t

3dtp

t

2+ 4

62.

Z

x dxp1� x

263.

Z

x

2p

9� x

2dx

64.

Z

e

2xdxp

1 + e

2x+ e

4x65.

Z

dx

x

2p16x

2 � 9

66.

Z

dx

x

2px

2+ 9

67.

Z

dxpx

2+ 4x+ 8

68.

Z

senx dxpcos

2x+ 4 cosx+ 1

69.

Z

4x

2

7 + 5x

2dx 70.

Z

x dxpx

2+ 6x

71.

Z

dxpx

2+ 6x

72.

Z

sen (2x) senx

sen

2x+ 5

dx 73.

Z

px

(x� 4)

2 dx 74.

Z

dx

x (1� x

2)

3/275.

Z

dxpx

2 � 8x+ 19

76.

Z

x dxpx

4 � 8x

2+ 3

77.

Z

x� 1

x

3/2+

px

dx 78.

Z

e

2xdx

6e

�x � 6e

x

79.

Z

�

x

2 � 1

�5/2dx

80.

Z

dxpx+ x+ 2

81.

Z

dxpx� x

282.

Z

dx

3x

2 � x+ 1

83.

Z

x dx

x

4 � 4x

2+ 3

84.

Z

x

3p

4� 9x

2dx 85.

Z

dx

x

2+ 2x

86.

Z

dx

x

2+ 2x+ 5

87.

Z

dx

(x

2+ 2x+ 2)

2

88.

Z

dxp2 + 3x� 2x

289.

Z

p

t� t

2dt 90.

Z

sec

2x dxp

tan

2x� 2

91.

Z

x

2dx

x

2 � 6x+ 10

92.

Z

p

x

2+ 2x+ 5 dx 93.

Z

p

t

2+ 1 dt 94.

Z

pt

2 � 4

t

2dt 95.

Z

dx

p

x

2+ px+ q

96.

Z

dt

(t+ 1)

pt

2+ 2t

97.

Z

x

2dxp

9� x

298.

Z

senx dx

16 + cos

2x

99.

Z

2y + 1

p

y

2+ 9

dy

100.

Z

p

1� 2t� t

2dt 101.

Z

a

x

dx

1 + a

2x102.

Z

y

3dy

(y

2+ 4)

3/2103.

Z

dxp1� 6x� x

2

104.

Z

3x� 6px

2 � 4x+ 5

dx 105.

Z

x

2dxp

4x� x

2106.

Z

y dy

p

16� 9y

4107.

Z

(2x+ 1) dx

x

2+ 2x+ 2



108.

Z

2x� 1

x

2 � 6x+ 18

dx 109.

Z

t

2dt

(t

2+ 1)

2 110.

Z

2x� 3p4� x

2dx 111.

Z

3x dxpx

2+ 2x+ 5

112.

Z

2x� 1px

2 � 4x+ 5

dx 113.

Z

dz

z

p1� z

2114.

Z

y

2dy

(9� y

2)

5/2115.

Z

(2x� 8) dxp1� x� x

2

116.

Z

p

2� x� x

2dx 117.

Z

dtpt

2 � 2t+ 26

118.

Z

pe sen

2x cosx

sen

2x� 2 senx+ 5

dx

119.

Z

dtp16 + 6t� t

2120.

Z

dtp16 + 4t� 2t

2121.

Z

2t dtpt

2 � 2t+ 26

122.

Z

p1� x

2

x

2dx

123.

Z

p1 + x

2

x

dx 124.

Z

x

3 5

p

x

2 � 1 dx 125.

Z

px

2 � 1

x

4dx 126.

Z

px

2+ 1

x

4dx

127.

Z

pe

2x � 1

e

3xdx 128.

Z

e

3xdxp

e

2x � 7

129.

Z

x

3 � 2

x

2 � 4

dx 130.

Z

sen (2x) + cosx

sen

2x+ senx� 2

dx

131.

Z

sen

2(arctan (2x))

sec

2(arcsenx)

dx 132.

Z

p

x

2+ 1 dx 133.

Z

�

x

2+ 5

�3/2dx


1. arcsen 1

4

x + C; 2. arcsenp

3

2

x + C; 3.p

14

14

arctanp

14

7

t + C; 4. ln�

�

�

✓ +p✓

2 + 9�

�

�

+ C;

5.p

3

3

ln�

�

�

p3x +

p3x2 � 2

�

�

�

+ C; 6.p

a

a

ln�

�

�

pax +

pax

2 � b

�

�

�

+ C; 7. � 1

3

�

y

2 + 4��3/2

+ C; 8. 1

12

y

3

(y2

+4)3/2+ C;

9. arcsen⇣p

bpa

x

⌘

+ C; 10. 5

3

�

1 + t

2

�

3/2

+ C; 11. � 1

25

xp4x

2�25

+ C; 12.p

3

3

arctan⇣

sen x�3p3

⌘

+ C;

13. 1

2

arctan x + 1

2

x

x

2

+1

+ C; 14. 1

2

arcsen (t � 1) + 1

2

(t � 1)p2t � t

2 + C; 15. 9

2

arcsen⇣

e

t

3

⌘

+ 1

2

e

t

p9 � e

2t + C;

16. 9

2

arcsen⇣

t+2

3

⌘

+ t+2

2

p5 � 4t � t

2 + C; 17. 5

2

arcsenp

5

5

x � 1

2

x

p5 � x

2 + C; 18. ln�

�

�

px

2 + 4x + 5 + x + 2�

�

�

+ C;

19. 1

4

px

2�2

x

� 1

2

⇣

x

2�2

⌘

3/2

x

3

+ C; 20. 3px

2 + 2x + 5 � 3 ln�

�

�

px

2 + 2x + 5 + x + 1�

�

�

+ C; 21.p9x2 � 4 � 2 arccos

�

2

3x

�

+ C;

22. arcsen⇣

x�2

2

⌘

+ C; 23. ln⇣

1 + 2ex + 2p1 + e

x + e

2x

⌘

+ C; 24. arcsen⇣

x�3

5

⌘

+ C; 25. 1

2

arcsen⇣

t

2

a

2

⌘

+ C;

26. 2 arcsen⇣

x�2

2

⌘

�p4x � x

2 + C; 27. arctan (x + 1) + ln�

�

x

2 + 2x + 2�

�+ C; 28. ln�

�

x

2 � 6x + 18�

�+ 5

3

arctan⇣

x�3

3

⌘

+ C;

29. 3pe

2t � 9 � 3 arccos�

e

t

�

+ C; 30. � 1

6

arctan⇣

cos

2

t

3

⌘

+ C; 31. 1

6

arctan�

tan 2x

3

�

+ C;

32. � 2 arcsen⇣

2+ln xp5

⌘

�p

1 � ln2

x � 4 ln x + C; 33. 3

2

x � 3

p10

4

arctanp

10

5

x + C; 34. 1

3

px

2 + 7�

x

2 � 14�

+ C;

35.p

6

6

arctan�

p

x

6

�

�p

x

x+6

+ C; 36. 1

2

tan2

x � 1

2

arctan�

tan2

x

�

+ C; 37. 1

5x

px

2 � 5 + C;

38. 1

3

1

q

(e2x+1)3� 1p

e

2x

+1

+ C; 39. 1

2187

✓

q

e

2x�9

e

2x

◆

3

� 1

729

q

e

2x

e

2x�9

� 2

729

q

e

2x�9

e

2x

+ C; 40. � 1

3

arcsenp

3

3

�

4 � x

3

�

+ C;

41. arcsen x

3

+ C; 42. arcsenp

3

3

x + C; 43. ln�

�

�

x +px

2 � 4�

�

�

+ C; 44. ln�

�

�

x +px

2 � 5�

�

�

+ C; 45. 1

4

arctan x

4

+ C;

46.p

2

2

arctanp

2

2

x + C; 47.p

3

3

ln

�

�

�

�

px

2

+3

x

�p

3

x

�

�

�

�

+ C; 48. 1

3

ln�

�

�

3x + 1 +p9x2 + 6x � 8

�

�

�

+ C; 49. � 1

x

p1 � x

2 + C;

50.p1 � x

2 + ln

�

�

�

�

1

x

�p

1�x

2

x

�

�

�

�

+ C; 51. ln�

�

�

x + 1 +px

2 + 2x + 5�

�

�

+ C; 52. xpa

2�x

2

� arcsen x

a

+ C;

53. 1

3

ln

�

�

�

�

p9+x

2

x

� 3

x

�

�

�

�

+ C; 54. 1

3a

2

⇣

x

2�a

2

x

2

⌘

3/2

+ C; 55. 1

128

arccos�

4

x

�

+ 1

32

px

2�16

x

2

+ C;

56. 1

243

(x+2)

3

(5�4x�x

2)3/2+ 1

81

x+2p5�4x�x

2

+ C; 57. 1

4

arcsen (2r) + 1

2

r

p1 � 4r2 + C; 58. 1

3

p4 � t

2

�

t

2 � 4�

+ C;

59. 2

27

arcsen�

3x

2

�

� x

72

�

4 � 9x2

�

3/2

+ x

3

2

p4 � 9x2 + C; 60. 2

px

2 � 4x + 5 + 3 ln�

�

�

x � 2 +px

2 � 4x + 5�

�

�

+ C;

61. 1

3

pt

2 + 4�

t

2 � 8�

+ C; 62. �p1 � x

2 + C; 63. 81

8

arcsen�

x

3

�

� x

8

�

9 � x

2

�

3/2

+ x

3

8

p9 � x

2 + C;



64. 1

2

ln⇣

2e2x + 1 + 2pe

4x + e

2x + 1⌘

+ C; 65. 1

9x

p16x2 � 9 + C; 66. � 1

9x

px

2 + 9 + C;

67. ln�

�

�

x + 2 +px

2 + 4x + 8�

�

�

+ C; 68. � ln�

�

�

cos x + 2 +pcos2 x + 4 cos x + 1

�

�

�

+ C; 69. 4

5

x � 2

p35

25

arctan⇣p

35

7

x

⌘

+ C;

70.px

2 + 6x � 3 ln�

�

�

x + 3 +px

2 + 6x�

�

�

+ C; 71. ln�

�

�

x + 3 +px

2 + 6x�

�

�

+ C; 72. 2 sen x � 2p5 arctan

⇣p5

5

sen x

⌘

+ C;

73. 1

4

ln�

�

�

px�2px+2

�

�

�

�p

x

x�4

+ C; 74. 1p1�x

2

+ ln

�

�

�

�

1�p

1�x

2

x

�

�

�

�

+ C; 75. ln⇣

x�4

3

+px

2 � 8x + 19⌘

+ C;

76. 1

2

ln�

�

�

x

2 � 4 +px

4 � 8x2 + 3�

�

�

+ C; 77. 2px � 4 arctan

px + C; 78. 1

12

ln�

�

�

e

x

+1

e

x�1

�

�

�

� 1

6

e

x + C;

79. x

48

px

2 � 1�

8x4 � 26x2 + 33�

� 5

16

ln�

�

�

x +px

2 � 1�

�

�

+ C; 80. ln�p

x + x + 2�

� 2

p7

7

arctan⇣p

7

7

�

2px + 1

�

⌘

+ C;

81. arcsen (2x � 1) + C; 82. 2

p11

11

arctan⇣p

11

11

(6x � 1)⌘

+ C; 83. 1

4

ln�

�

�

x

2�3

x

2�1

�

�

�

+ C;

84.p4 � 9x2

�

1

5

x

4 � 4

135

x

2 � 32

1215

�

+ C; 85. 1

2

ln |x| � frac12 ln |x + 2| + C; 86. 1

2

arctan⇣

x+1

2

⌘

+ C;

87. 1

2

arctan (x + 1) + x+1

2x

2

+4x+4

+ C; 88.p

2

2

arcsen⇣

4x�3

5

⌘

+ C; 89. 1

8

arcsen (2t � 1) + 2t�1

4

pt � t

2 + C;

90. ln�

�

�

tan x +ptan2

x � 2�

�

�

+ C; 91. x + 8 arctan (x � 3) + 3 ln�

�

x

2 � 6x + 10�

�+ C;

92. 2 ln�

�

�

x + 1 +px

2 + 2x + 5�

�

�

+ 1

2

(x + 1)px

2 + 2x + 5 + C; 93. 1

2

t

pt

2 + 1 + 1

2

ln�

�

�

t +pt

2 + 1�

�

�

+ C;

94. ln�

�

�

t +pt

2 � 4�

�

�

�p

t

2�4

t

+ C; 95. ln�

�

�

2x + p + 2p

x

2 + px + q

�

�

�

+ C; 96. arccos⇣

1

t+1

⌘

+ C;

97. 9

2

arcsen x

3

� x

2

p9 � x

2 + C; 98. � 1

4

arctan�

1

4

cos x�

+ C; 99. 2p

y

2 + 9 + ln�

�

�

y +p

y

2 + 9�

�

�

+ C;

100. arcsen⇣

t+1p2

⌘

+ t+1p2

p1 � 2t � t

2 + C; 101. arctan a

x

ln a

+ C; 102. y

2

+8py

2

+4

+ C; 103. arcsen⇣p

10

10

(x + 3)⌘

+ C;

104. 3px

2 � 4x + 5 + C; 105. 6 arcsen⇣

x�1

2

⌘

� 1

2

p4x � x

2 (6 + x) + C; 106. 1

6

arcsen�

3

4

y

2

�

+ C;

107. arctan (�x � 1) + ln�

�

x

2 + 2x + 2�

�+ C; 108. ln�

�

x

2 � 6x + 18�

�+ 5

3

arctan⇣

x�1

3

⌘

+ C; 109. 1

2

arctan t � t

2t

2

+2

+ C;

110. � 3 arcsen x

2

� 2p4 � x

2 + C; 111. 3px

2 + 2x + 5 � 3 ln�

�

�

x + 1 +px

2 + 2x + 5�

�

�

+ C;

112. 2px

2 � 4x + 5 + 3 ln�

�

�

x � 2 +px

2 � 4x + 5�

�

�

+ C; 113. ln

�

�

�

�

1

z

�q

1�z

2

z

2

�

�

�

�

+ C; 114. 1

27

✓

yp9�y

2

◆

3

+ C;

115. � 9 arcsen⇣p

5

5

(2x + 1)⌘

� 2p1 � x

2 � x + C; 116. 9

8

arcsen⇣

2x+1

3

⌘

+ 1

4

(2x + 1)p2 � x � x

2 + C;

117. ln�

�

�

t � 1 +pt

2 � 2t + 26�

�

�

+ C; 118.pe sen x +

pe ln

�

�(sen x � 1)2 + 1�

�� 3

pe

2

arctan⇣

sen x�1

2

⌘

+ C;

119. arcsen⇣

t�3

5

⌘

+ C; 120.p

2

2

arcsen⇣

t�1

3

⌘

+ C; 121. 2pt

2 � 2t + 26 + 2 ln�

�

�

t � 1 +pt

2 � 2t + 26�

�

�

+ C

122. �p

1�x

2

x

� arcsen x + C; 123.px

2 � 1 �p

x

2

+1

x

+ C; 124. 5

22

�

x

2 � 1�

6/5

�

x

2 + 5

6

�

+ C;

125.

px

2�1

x

⇣

1 � 1

3

x

2�1

x

2

⌘

+ C; 126. �p

x

2

+1

3

x

2

+1

x

3

+ C; 127. �p

e

2x

+1

3

e

2x

+1

e

3x

+ C; 128.p7e2x � 49 + C;

129. x

2

2

+ 3

2

ln |x � 2| + 3

2

ln |x + 2| + C; 130. ln�

�sen2

x + sen x � 2�

�+ C; 131. 5x

4

� x

3

3

� 5

8

arctan (2x) + C;

132. x

2

p1 + x

2 + 1

2

ln�

�

�

p1 + x

2 + x

�

�

�

+ C; 133. x

8

�

2x2 + 25�

px

2 + 5 + 75

8

ln�

�

�

px

2 + 5 + x

�

�

�

+ C;

Bibliografía




[email protected]



Cálculo integral - Guía 11Método de integración: Descomposición en fracciones simples


• Método de integración: Descomposición en fracciones simples. Ejercicios resueltos


2x

2 � x� 30

x

2 � x� 6

dx.

Solución : Observemos que el grado del polinomio de numerador es igual al grado del polinomio del denomi-nador, así, debemos dividir los polinomios

2x

2 � x� 30 x

2 � x� 6

�2x2+ 2x+ 12 2

x� 18

es decir,2x

2 � x� 30

x

2 � x� 6

= 2 +

x� 18

x

2 � x� 6

.

Por lo tantoZ

2x

2 � x� 30

x

2 � x� 6

dx =

Z

✓

2 +

x� 18

x

2 � x� 6

◆

dx =

Z

2 dx+

Z

x� 18

x

2 � x� 6

dx.

La primera integral del lado derecho de la igualdad es sencilla,Z

2 dx = 2x+ C1

La segunda integral la resolvemos por el método de las fracciones simples. Factorizamos el denominador

x

2 � x� 6 = (x+ 2) (x� 3) .

Escribimos las fracciones simples correspondientes

x� 18

x

2 � x� 6

=

A

x+ 2

+

B

x� 3

Buscamos los valores de las constantes A y B, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamos elmétodo de los coeficientes indeterminados

x� 18

x

2 � x� 6

=

A

x+ 2

+

B

x� 3

=) x� 18

x

2 � x� 6

=

A (x� 3) +B (x+ 2)

(x+ 2) (x� 3)

,

de aquí,x� 18 = A (x� 3) +B (x+ 2) .

Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a x.

Si x = 3, sustituimos en la igualdad x� 18 = A (x� 3) +B (x+ 2) y se tiene

(3)� 18 = A ((3)� 3) +B ((3) + 2) =) �15 = A (0) +B (5) =) �15 = 5B,

de aquíB =

�155

= �3

Si x = �2, sustituimos en la igualdad x� 18 = A (x� 3) +B (x+ 2) y se tiene

(�2)� 18 = A ((�2)� 3) +B ((�2) + 2) =) �20 = A (�5) +B (0) =) �20 = �5A,


Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 319

de aquíA =

�20�5 = 4

Entoncesx� 18

x

2 � x� 6

=

4

x+ 2

+

�3x� 3

,

por lo tanto,Z

x� 18

x

2 � x� 6

dx =

Z

✓

4

x+ 2

+

�3x� 3

◆

dx =

Z

4

x+ 2

dx+

Z �3x� 3

dx.

La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve con el cambio de variable

u = x+ 4

Cálculo del

��!diferencial

du = dx,



4

x+ 4

dx = 4

Z

du

u

= 4 ln |u|+ C2 = 4 ln |x+ 4|+ C2.

La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve con el cambio de variable

u = x� 3

Cálculo del

��!diferencial

du = dx,


Entonces, la integral quedaZ �3

x� 3

dx = �3Z

du

u

= �3 ln |u|+ C3 = �3 ln |x� 3|+ C3.

Así,Z

2x

2 � x� 30

x

2 � x� 6

dx =

Z

2 dx+

Z

x� 18

x

2 � x� 6

dx =

Z

2 dx+

Z

4

x+ 2

dx+

Z �3x� 3

dx

= 2x+ 4 ln |x+ 2|� 3 ln |x� 3|+ C.

Finalmente,Z

2x

2 � x� 30

x

2 � x� 6

dx = 2x+ 4 ln |x+ 2|� 3 ln |x� 3|+ C.

F


3x� 4x

2+ 4x

3 � 4

1� 2x

2 � x

dx.

Solución : Observemos que el grado del polinomio de numerador es mayor que el grado del polinomio deldenominador, así, debemos dividir los polinomios

4x

3 � 4x

2+ 3x� 4 �2x2 � x+ 1

�4x3 � 2x

2+ 2x �2x+ 3

�6x2+ 5x� 4

6x

2+ 3x� 3

8x� 7



Luego4x

3 � 4x

2+ 3x� 4

1� 2x

2 � x

= �2x+ 3 +

8x� 7

1� 2x

2 � x

.

Por lo tanto,Z

4x

3 � 4x

2+ 3x� 4

1� 2x

2 � x

dx =

Z

✓

�2x+ 3 +

8x� 7

1� 2x

2 � x

◆

dx = �Z

2x dx+

Z

3 dx+

Z

8x� 7

1� 2x

2 � x

dx.

La primera y la segunda integral del lado derecho de la igualdad son sencillas,

�Z

2x dx = �x2+ C1 y

Z

3 dx = 3x+ C2.

La tercera integral la resolveremos por el método de las fracciones simples. Factorizamos el denominador

1� 2x

2 � x = (x+ 1) (1� 2x) .


8x� 7

1� 2x

2 � x

=

A

x+ 1

+

B

1� 2x

Buscamos los valores de las constantes A y B, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamos elmétodo de los coeficientes indeterminados

8x� 7

1� 2x

2 � x

=

A

x+ 1

+

B

1� 2x

=) 8x� 7

1� 2x

2 � x

=

A (1� 2x) +B (x+ 1)

(x+ 1) (1� 2x)

,

de aquí,8x� 7 = A (1� 2x) +B (x+ 1) .


Si x = �1, sustituimos en la igualdad 8x� 7 = A (1� 2x) +B (x+ 1) y se tiene

8 (�1)� 7 = A (1� 2 (�1)) +B ((�1) + 1) =) �15 = A (3) +B (0) =) �15 = 3A,

de aquíA =

�153

= �5

Si x =

1

2

, sustituimos en la igualdad 8x� 7 = A (1� 2x) +B (x+ 1) y se tiene

8

✓

1

2

◆

� 7 = A

✓

1� 2

✓

1

2

◆◆

+B

✓✓

1

2

◆

+ 1

◆

=) �3 = A (0) +B

✓

3

2

◆

=) �3 =

3

2

B,

de aquí B =

�33

2

= �6

3

= �2

Entonces8x� 7

1� 2x

2 � x

=

�5x+ 1

+

�21� 2x

,

por lo tanto,Z

8x� 7

1� 2x

2 � x

dx =

Z

✓

�5x+ 1

+

�21� 2x

◆

dx =

Z �5x+ 1

dx+

Z �21� 2x

dx.



La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable

u = x+ 1

Cálculo del

��!diferencial

du = dx,



x+ 1

dx = �5Z

du

u

= �5 ln |u|+ C3 = �5 ln |x+ 1|+ C3.

La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve con el cambio de variable

u = 1� 2x

Cálculo del

��!diferencial

du = �2 dx,



1� 2x

dx =

Z

du

u

= ln |u|+ C4 = ln |1� 2x|+ C4.

Así,Z

4x

3 � 4x

2+ 3x� 4

1� 2x

2 � x

dx = �Z

2x dx+

Z

3 dx+

Z

8x� 7

1� 2x

2 � x

dx

= �Z

2x dx+

Z

3 dx+

Z �5x+ 1

dx+

Z �21� 2x

dx

= �x2+ 3x� 5 ln |x+ 1|+ ln |1� 2x|+ C.

Finalmente,Z

3x� 4x

2+ 4x

3 � 4

1� 2x

2 � x

dx = 3x� x

2 � 5 ln |x+ 1|+ ln |1� 2x|+ C.

F


x+ x

2+ 1

x

3+ x

dx.

Solución : Como el grado del polinomio de numerador es menor que el grado del polinomio del denominadorno se dividen los polinomios, así resolvemos la integral por el método de las fracciones simples. Factorizamos eldenominador

x

3+ x = x

�

x

2+ 1

�

.


x+ x

2+ 1

x

3+ x

=

A

x

+

Bx+ C

x

2+ 1

.

Buscamos los valores de las constantes A, B y C, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamosel método de los coeficientes indeterminados

x+ x

2+ 1

x

3+ x

=

A

x

+

Bx+ C

x

2+ 1

=) x+ x

2+ 1

x

3+ x

=

A

�

x

2+ 1

�

+ (Bx+ C)x

x (x

2+ 1)

,



de aquí,x+ x

2+ 1 = A

�

x

2+ 1

�

+ (Bx+ C)x.


Si x = 0, sustituimos en la igualdad x+ x

2+ 1 = A

�

x

2+ 1

�

+ (Bx+ C)x y se tiene

(0) + (0)

2+ 1 = A

⇣

(0)

2+ 1

⌘

+ (B (0) + C) (0) =) 1 = A (1) + (0 + C) (0) =) 1 = A,

de aquí A = 1

Si x = 1, sustituimos en la igualdad x+ x

2+ 1 = A

�

x

2+ 1

�


(1) + (1)

2+ 1 = A

⇣

(1)

2+ 1

⌘

+ (B (1) + C) (1) =) 3 = A (2) + (B + C) (1) =) 3 = 2A+B + C,

como A = 1, obtenemos

3 = 2 (1) +B + C =) 3 = 2 +B + C,

de aquí B + C = 1

Si x = �1, sustituimos en la igualdad x+ x

2+ 1 = A

�

x

2+ 1

�


(�1) + (�1)2 + 1 = A

⇣

(�1)2 + 1

⌘

+ (B (�1) + C) (�1) =) 1 = A (2) + (�B + C) (�1)

=) 1 = 2A+B � C,

como A = 1, obtenemos

1 = 2 (1) +B � C =) 1 = 2 +B � C,

de aquí B � C = �1

Resolvemos el sistema de ecuaciones(

B + C = 1

B � C = �1=) B = 0 y C = 1.

Entoncesx+ x

2+ 1

x

3+ x

=

A

x

+

Bx+ C

x

2+ 1

=) x+ x

2+ 1

x

3+ x

=

1

x

+

1

x

2+ 1

,

por lo tanto,Z

x+ x

2+ 1

x

3+ x

dx =

Z

✓

1

x

+

1

x

2+ 1

◆

dx =

Z

1

x

dx+

Z

1

x

2+ 1

dx.

La primera integral del lado derecho de la igualdad es de tabla, nos daZ

1

x

dx = ln |x|+ C1.

La segunda integral del lado derecho de la igualdad también es de tabla y tenemosZ

1

x

2+ 1

dx = arctanx+ C2.

FinalmenteZ

x+ x

2+ 1

x

3+ x

dx = ln |x|+ arctanx+ C.

F




13x� 2x

2+ 5

x

3 � x

2 � 7x+ 15

dx.


x

3 � x

2 � 7x+ 15 = (x+ 3)

�

x

2 � 4x+ 5

�

.


13x� 2x

2+ 5

x

3 � x

2 � 7x+ 15

=

A

x+ 3

+

Bx+ C

x

2 � 4x+ 5

.


13x� 2x

2+ 5

x

3 � x

2 � 7x+ 15

=

A

x+ 3

+

Bx+ C

x

2 � 4x+ 5

=) 13x� 2x

2+ 5

x

3 � x

2 � 7x+ 15

=

A

�

x

2 � 4x+ 5

�

+ (Bx+ C) (x+ 3)

(x+ 3) (x

2 � 4x+ 5)

,

de aquí,13x� 2x

2+ 5 = A

�

x

2 � 4x+ 5

�

+ (Bx+ C) (x+ 3) .


Si x = �3, sustituimos en la igualdad 13x� 2x

2+ 5 = A

�

x

2 � 4x+ 5

�

+ (Bx+ C) (x+ 3) y se tiene

13 (�3)� 2 (�3)2 + 5 = A

⇣

(�3)2 � 4 (�3) + 5

⌘

+ (B (�3) + C) ((�3) + 3)

=) �39� 18 + 5 = A (9 + 12 + 5) + (�3B + C) (0) =) �52 = 26A,

de aquí A = �2

Si x = 1, sustituimos en la igualdad 13x� 2x

2+ 5 = A

�

x

2 � 4x+ 5

�


13 (1)� 2 (1)

2+ 5 = A

⇣

(1)

2 � 4 (1) + 5

⌘

+ (B (1) + C) ((1) + 3)

=) 13� 2 + 5 = A (1� 4 + 5) + (B + C) (4) =) 16 = 2A+ 4B + 4C,

como A = �2, tenemos

16 = 2 (�2) + 4B + 4C =) 16 = �4 + 4B + 4C,

de aquí 4B + 4C = 20.

Si x = �1, sustituimos en la igualdad 13x� 2x

2+ 5 = A

�

x

2 � 4x+ 5

�


13 (�1)� 2 (�1)2 + 5 = A

⇣

(�1)2 � 4 (�1) + 5

⌘

+ (B (�1) + C) ((�1) + 3)

=) �13� 2 + 5 = A (1 + 4 + 5) + (�B + C) (2) =) �10 = 10A� 2B + 2C,

como A = �2, tenemos

�10 = 10 (�2)� 2B + 2C =) �10 = �20� 2B + 2C,

de aquí �2B + 2C = 10.



Resolvemos el sistema de ecuaciones(

4B + 4C = 20

�2B + 2C = 10

=) B = 0 y C = 5.

Entonces

13x� 2x

2+ 5

x

3 � x

2 � 7x+ 15

=

A

x+ 3

+

Bx+ C

x

2 � 4x+ 5

=) 13x� 2x

2+ 5

x

3 � x

2 � 7x+ 15

=

�2x+ 3

+

5

x

2 � 4x+ 5

,

por lo tanto,Z

13x� 2x

2+ 5

x

3 � x

2 � 7x+ 15

dx =

Z

✓

�2x+ 3

+

5

x

2 � 4x+ 5

◆

dx =

Z �2 dx

x+ 3

+

Z

5 dx

x

2 � 4x+ 5

.


u = x+ 3

Cálculo del

��!diferencial

du = dx,



x+ 3

dx = �2Z

du

u

= �2 ln |u|+ C1 = �2 ln |x+ 3|+ C1.

La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve completando cuadrado

x

2 � 4x+ 5 = (x� 2)

2+ 1,

se obtieneZ

5

x

2 � 4x+ 5

dx = 5

Z

dx

(x� 2)

2+ 1


u = x� 3

Cálculo del

��!diferencial

du = dx,



dx

(x� 2)

2+ 1

=

Z

du

u

2+ 1

= arctanu+ C2 = arctan (x� 2) + C2,

y la primitiva esZ

5

x

2 � 4x+ 5

dx = 5

Z

dx

(x� 2)

2+ 1

= 5 arctan (x� 2) + C2.

Así,Z

13x� 2x

2+ 5

x

3 � x

2 � 7x+ 15

dx =

Z �2 dx

x+ 3

+

Z

5 dx

x

2 � 4x+ 5

= �2 ln |x+ 3|+ 5arctan (x� 2) + C.

FinalmenteZ

13x� 2x

2+ 5

x

3 � x

2 � 7x+ 15

dx = 5arctan (x� 2)� 2 ln |x+ 3|+ C.

F




13x+ x

2+ 48

119x+ 19x

2+ x

3+ 245

dx.


119x+ 19x

2+ x

3+ 245 = (x+ 5) (x+ 7)

2.


13x+ x

2+ 48

119x+ 19x

2+ x

3+ 245

=

A

x+ 5

+

B

x+ 7

+

C

(x+ 7)

2 .


13x+ x

2+ 48

119x+ 19x

2+ x

3+ 245

=

A

x+ 5

+

B

x+ 7

+

C

(x+ 7)

2

=) 13x+ x

2+ 48

119x+ 19x

2+ x

3+ 245

=

A (x+ 7)

2+B (x+ 5) (x+ 7) + C (x+ 5)

(x+ 7)

2(x+ 5)

,

de aquí,13x+ x

2+ 48 = A (x+ 7)

2+B (x+ 5) (x+ 7) + C (x+ 5) .


Si x = �5, sustituimos en la igualdad 13x+x

2+48 = A (x+ 7)

2+B (x+ 5) (x+ 7)+C (x+ 5) y se tiene

13 (�5) + (�5)2 + 48 = A ((�5) + 7)

2+B ((�5) + 5) ((�5) + 7) + C ((�5) + 5)

=) �65 + 25 + 48 = A (2)

2+B (0) (2) + C (0) =) 8 = 4A,

de aquí A = 2.

Si x = �7, sustituimos en la igualdad 13x+x

2+48 = A (x+ 7)

2+B (x+ 5) (x+ 7)+C (x+ 5) y se tiene

13 (�7) + (�7)2 + 48 = A ((�7) + 7)

2+B ((�7) + 5) ((�7) + 7) + C ((�7) + 5)

=) �91 + 49 + 48 = A (0)

2+B (�2) (0) + C (�2) =) 6 = �2C,

de aquí C = �3.

Si x = 0, sustituimos en la igualdad 13x+ x

2+ 48 = A (x+ 7)

2+B (x+ 5) (x+ 7) +C (x+ 5) y se tiene

13 (0) + (0)

2+ 48 = A ((0) + 7)

2+B ((0) + 5) ((0) + 7) + C ((0) + 5)

=) 0 + 0 + 48 = A (7)

2+B (5) (7) + C (5) =) 48 = 49A+ 35B + 5C,

como A = 2 y C = �3, se tiene que

48 = 49 (2) + 35B + 5 (�3) =) 48 = 98 + 35B � 15 =) �35 = 35B,

de aquí B = �1.



Entonces13x+ x

2+ 48

119x+ 19x

2+ x

3+ 245

=

A

x+ 5

+

B

x+ 7

+

C

(x+ 7)

2

=) 13x+ x

2+ 48

119x+ 19x

2+ x

3+ 245

=

2

x+ 5

+

�1x+ 7

+

�3(x+ 7)

2 ,

por lo tanto,Z

13x+ x

2+ 48

119x+ 19x

2+ x

3+ 245

dx =

Z

2

x+ 5

+

�1x+ 7

+

�3(x+ 7)

2

!

dx =

Z

2 dx

x+ 5

+

Z � dx

x+ 7

+

Z �3 dx

(x+ 7)

2 .


u = x+ 5

Cálculo del

��!diferencial

du = dx,



2

x+ 5

dx = 2

Z

du

u

= 2 ln |u|+ C1 = 2 ln |x+ 5|+ C1.

La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable

u = x+ 7

Cálculo del

��!diferencial

du = dx,



x+ 7

dx = �Z

du

u

= � ln |u|+ C2 = � ln |x+ 7|+ C2.

La tercera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el mismo cambio de variable utilizadopara resolver la segunda integral

u = x+ 7

Cálculo del

��!diferencial

du = dx,



(x+ 7)

2 dx = �3Z

du

u

2= 3

1

u

+ C3 =

3

x+ 7

+ C3.

Así,Z

13x+ x

2+ 48

119x+ 19x

2+ x

3+ 245

dx =

Z

2 dx

x+ 5

+

Z � dx

x+ 7

+

Z �3 dx

(x+ 7)

2 = 2 ln |x+ 5|� ln |x+ 7|+ 3

x+ 7

+ C.

FinalmenteZ

13x+ x

2+ 48

119x+ 19x

2+ x

3+ 245

dx = 2 ln |x+ 5|� ln |x+ 7|+ 3

x+ 7

+ C.

F




5x

2 � 10x� 4x

3+ 5

2x

2 � 2x� 2x

3+ x

4+ 1

dx.


2x

2 � 2x� 2x

3+ x

4+ 1 =

�

x

2+ 1

�

(x� 1)

2.


5x

2 � 10x� 4x

3+ 5

2x

2 � 2x� 2x

3+ x

4+ 1

=

A

x� 1

+

B

(x� 1)

2 +

Cx+D

x

2+ 1

.

Buscamos los valores de las constantes A, B, C y D, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamosel método de los coeficientes indeterminados

5x

2 � 10x� 4x

3+ 5

2x

2 � 2x� 2x

3+ x

4+ 1

=

A

x� 1

+

B

(x� 1)

2 +

Cx+D

x

2+ 1

=) 5x

2 � 10x� 4x

3+ 5

2x

2 � 2x� 2x

3+ x

4+ 1

=

A (x� 1)

�

x

2+ 1

�

+B

�

x

2+ 1

�

+ (Cx+D) (x� 1)

2

(x� 1)

2(x

2+ 1)

,

de aquí,5x

2 � 10x� 4x

3+ 5 = A (x� 1)

�

x

2+ 1

�

+B

�

x

2+ 1

�

+ (Cx+D) (x� 1)

2.


Si x = 1, sustituimos en la igualdad

5x

2 � 10x� 4x

3+ 5 = A (x� 1)

�

x

2+ 1

�

+B

�

x

2+ 1

�

+ (Cx+D) (x� 1)

2

y se tiene

5 (1)

2 � 10 (1)� 4 (1)

3+ 5 = A ((1)� 1)

⇣

(1)

2+ 1

⌘

+B

⇣

(1)

2+ 1

⌘

+ (C (1) +D) ((1)� 1)

2

=) 5� 10� 4 + 5 = A (0) (2) +B (2) + (C +D) (0)

2=) �4 = 2B,

de aquí B = �2.


5x

2 � 10x� 4x

3+ 5 = A (x� 1)

�

x

2+ 1

�

+B

�

x

2+ 1

�

+ (Cx+D) (x� 1)

2

y se tiene

5 (0)

2 � 10 (0)� 4 (0)

3+ 5 = A ((0)� 1)

⇣

(0)

2+ 1

⌘

+B

⇣

(0)

2+ 1

⌘

+ (C (0) +D) ((0)� 1)

2

=) 0� 0� 0 + 5 = A (�1) (1) +B (1) + (D) (�1)2 =) 5 = �A+B +D,

como B = �2, se tiene que

5 = �A+ (�2) +D =) 7 = �A+D,

de aquí �A+D = 7.

Si x = �1, sustituimos en la igualdad

5x

2 � 10x� 4x

3+ 5 = A (x� 1)

�

x

2+ 1

�

+B

�

x

2+ 1

�

+ (Cx+D) (x� 1)

2



y se tiene

5 (�1)2 � 10 (�1)� 4 (�1)3 + 5 = A ((�1)� 1)

⇣

(�1)2 + 1

⌘

+B

⇣

(�1)2 + 1

⌘

+ (C (�1) +D) ((�1)� 1)

2

=) 5 + 10 + 4 + 5 = A (�2) (2) +B (2) + (�C +D) (�2)2 =) 24 = �4A+ 2B � 4C + 4D,


24 = �4A+ 2 (�2)� 4C + 4D =) 28 = �4A� 4C + 4D,

de aquí �4A� 4C + 4D = 28.


5x

2 � 10x� 4x

3+ 5 = A (x� 1)

�

x

2+ 1

�

+B

�

x

2+ 1

�

+ (Cx+D) (x� 1)

2

y se tiene

5 (2)

2 � 10 (2)� 4 (2)

3+ 5 = A ((2)� 1)

⇣

(2)

2+ 1

⌘

+B

⇣

(2)

2+ 1

⌘

+ (C (2) +D) ((2)� 1)

2

=) 20� 20� 32 + 5 = A (1) (5) +B (5) + (2C +D) (1)

2=) �27 = 5A+ 5B + 2C +D,


�27 = 5A+ 5 (�2) + 2C +D =) �17 = 5A+ 2C +D,

de aquí 5A+ 2C +D = �17.

Resolvemos el sistema de ecuaciones8

>

>

>

<

>

>

>

:

�A+D = 7

�4A� 4C + 4D = 28

5A+ 2C +D = �17

=) A = �4 C = 0 D = 3

Entonces

5x

2 � 10x� 4x

3+ 5

2x

2 � 2x� 2x

3+ x

4+ 1

=

A

x� 1

+

B

(x� 1)

2 +

Cx+D

x

2+ 1

=) 5x

2 � 10x� 4x

3+ 5

2x

2 � 2x� 2x

3+ x

4+ 1

=

�4x� 1

+

�2(x� 1)

2 +

3

x

2+ 1

,

por lo tanto,Z

5x

2 � 10x� 4x

3+ 5

2x

2 � 2x� 2x

3+ x

4+ 1

dx =

Z

�4x� 1

+

�2(x� 1)

2 +

3

x

2+ 1

!

dx =

Z �4 dx

x� 1

+

Z �2 dx

(x� 1)

2 +

Z

3 dx

x

2+ 1

.


u = x� 1

Cálculo del

��!diferencial

du = dx,





x� 1

dx = �4Z

du

u

= �4 ln |u|+ C1 = �4 ln |x� 1|+ C1.

La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el mismo cambio de variable que seutilizó para resolver la primera integral

u = x� 1

Cálculo del

��!diferencial

du = dx,



(x� 1)

2 dx = �2Z

du

u

2= 2

1

u

+ C2 =

2

x� 1

+ C2.

La tercera integral del lado derecho de la igualdad es de tablaZ

3

x

2+ 1

dx = 3arctanx+ C3.

Así,Z

5x

2 � 10x� 4x

3+ 5

2x

2 � 2x� 2x

3+ x

4+ 1

dx =

Z �4 dx

x� 1

+

Z �2 dx

(x� 1)

2 +

Z

3 dx

x

2+ 1

= �4 ln |x� 1|+ 2

x� 1

+ 3 arctanx+ C.

Finalmente,Z

5x

2 � 10x� 4x

3+ 5

2x

2 � 2x� 2x

3+ x

4+ 1

dx = 3arctanx� 4 ln |x� 1|+ 2

x� 1

+ C.

F


2x

2 � 6x+ 7

(x� 1)

2(x+ 2)

dx.

Solución : Observemos que el grado del polinomio del numerador, 2, es menor que el grado del polinomio deldenominador, 3, por lo tanto, no se dividen los polinomios. Además, el denominador ya está factorizado.


2x

2 � 6x+ 7

(x� 1)

2(x+ 2)

=

A

x� 1

+

B

(x� 1)

2 +

C

x+ 2

.


2x

2 � 6x+ 7

(x� 1)

2(x+ 2)

=

A

x� 1

+

B

(x� 1)

2 +

C

x+ 2

=) 2x

2 � 6x+ 7

(x� 1)

2(x+ 2)

=

A (x� 1) (x+ 2) +B (x+ 2) + C (x� 1)

2

(x� 1)

2(x+ 2)

,

de aquí,2x

2 � 6x+ 7 = A (x� 1) (x+ 2) +B (x+ 2) + C (x� 1)

2.




Si x = 1, sustituimos en la igualdad 2x

2 � 6x+ 7 = A (x� 1) (x+ 2) +B (x+ 2) + C (x� 1)

2 y se tiene

2 (1)

2 � 6 (1) + 7 = A ((1)� 1) ((1) + 2) +B ((1) + 2) + C ((1)� 1)

2

=) 2� 6 + 7 = A (0) (3) +B (3) + C (0)

2=) 3 = 3B,

de aquí B = 1.

Si x = �2, sustituimos en la igualdad 2x

2� 6x+7 = A (x� 1) (x+ 2)+B (x+ 2)+C (x� 1)

2 y se tiene

2 (�2)2 � 6 (�2) + 7 = A ((�2)� 1) ((�2) + 2) +B ((�2) + 2) + C ((�2)� 1)

2

=) 8 + 12 + 7 = A (�3) (0) +B (0) + C (�3)2 =) 27 = 9C,

de aquí C = 3.

Si x = 0, sustituimos en la igualdad 2x

2 � 6x+ 7 = A (x� 1) (x+ 2) +B (x+ 2) + C (x� 1)

2 y se tiene

2 (0)

2 � 6 (0) + 7 = A ((0)� 1) ((0) + 2) +B ((0) + 2) + C ((0)� 1)

2

=) 0� 0 + 7 = A (�1) (2) +B (2) + C (�1)2 =) 7 = �2A+ 2B + C,

como B = 1 y C = 3, se tiene que

7 = �2A+ 2 (1) + (3) =) 7 = �2A+ 2 + 3,

de aquí A = �1.

Entonces

2x

2 � 6x+ 7

(x� 1)

2(x+ 2)

=

A

x� 1

+

B

(x� 1)

2 +

C

x+ 2

=) 2x

2 � 6x+ 7

(x� 1)

2(x+ 2)

=

�1x� 1

+

1

(x� 1)

2 +

3

x+ 2

,

por lo tanto,Z

2x

2 � 6x+ 7

(x� 1)

2(x+ 2)

dx =

Z

�1x� 1

+

1

(x� 1)

2 +

3

x+ 2

!

dx =

Z � dx

x� 1

+

Z

dx

(x� 1)

2 +

Z

3 dx

x+ 2

.


u = x� 1

Cálculo del

��!diferencial

du = dx,


Entonces, la integral quedaZ � dx

x� 1

= �Z

du

u

= � ln |u|+ C1 = � ln |x� 1|+ C1.

La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el mismo cambio de variable que seutilizó para resolver la primera integral

u = x� 1

Cálculo del

��!diferencial

du = dx,





1

(x� 1)

2 dx =

Z

du

u

2= � 1

u

+ C2 = � 1

x� 1

+ C2.

La tercera y última integral del lado derecho de la igualdad la resolvemos haciendo el cambio de variable

u = x+ 2

Cálculo del

��!diferencial

du = dx,



3

x+ 2

dx = 3

Z

du

u

= 3 ln |u|+ C3 = 3 ln |x+ 2|+ C3.

Así,Z

2x

2 � 6x+ 7

(x� 1)

2(x+ 2)

dx =

Z � dx

x� 1

+

Z

dx

(x� 1)

2 +

Z

3 dx

x+ 2

= � ln |x� 1|� 1

x� 1

+ 3 ln |x+ 2|+ C.

FinalmenteZ

2x

2 � 6x+ 7

(x� 1)

2(x+ 2)

dx = � ln |x� 1|� 1

x� 1

+ 3 ln |x+ 2|+ C.

F


x

2+ 8x+ 14

(2x+ 4) (x

2+ 2x+ 2)

dx.

Solución : Observemos que el grado del polinomio del numerador, 2, es menor que el grado del polinomio deldenominador, 3, por lo tanto, no se dividen los polinomios. Además, el denominador ya está factorizado, puestoque, el polinomio p (x) = x

2+ 2x+ 2 no es factorizable en los números reales.


x

2+ 8x+ 14

(2x+ 4) (x

2+ 2x+ 2)

=

A

2x+ 4

+

Bx+ C

x

2+ 2x+ 2

.


x

2+ 8x+ 14

(2x+ 4) (x

2+ 2x+ 2)

=

A

2x+ 4

+

Bx+ C

x

2+ 2x+ 2

=) x

2+ 8x+ 14

(2x+ 4) (x

2+ 2x+ 2)

=

A

�

x

2+ 2x+ 2

�

+ (Bx+ C) (2x+ 4)

(2x+ 4) (x

2+ 2x+ 2)

,

de aquí,x

2+ 8x+ 14 = A

�

x

2+ 2x+ 2

�

+ (Bx+ C) (2x+ 4) .


Si x = �2, sustituimos en la igualdad x

2+ 8x+ 14 = A

�

x

2+ 2x+ 2

�

+ (Bx+ C) (2x+ 4) y se tiene

(�2)2 + 8 (�2) + 14 = A

⇣

(�2)2 + 2 (�2) + 2

⌘

+ (B (�2) + C) (2 (�2) + 4)

=) 4� 16 + 14 = A (4� 4 + 2) + (�2B + C) (0) =) 2 = 2A,



de aquí A = 1.

Si x = 0, sustituimos en la igualdad x

2+ 8x+ 14 = A

�

x

2+ 2x+ 2

�


(0)

2+ 8 (0) + 14 = A

⇣

(0)

2+ 2 (0) + 2

⌘

+ (B (0) + C) (2 (0) + 4)

=) 0 + 0 + 14 = A (0 + 0 + 2) + (0 + C) (0 + 4) =) 14 = 2A+ 4C,

como A = 1, se tiene que

14 = 2 (1) + 4C =) 14 = 2 + 4C,

de aquí C = 3.

Si x = 1, sustituimos en la igualdad x

2+ 8x+ 14 = A

�

x

2+ 2x+ 2

�


(1)

2+ 8 (1) + 14 = A

⇣

(1)

2+ 2 (1) + 2

⌘

+ (B (1) + C) (2 (1) + 4)

=) 1 + 8 + 14 = A (1 + 2 + 2) + (B + C) (6) =) 23 = 5A+ 6B + 6C,

como A = 1 y C = 3, se tiene que

23 = 5 (1) + 6B + 6 (3) =) 23 = 5 + 6B + 18,

de aquí B = 0.

Entonces

x

2+ 8x+ 14

(2x+ 4) (x

2+ 2x+ 2)

=

A

2x+ 4

+

Bx+ C

x

2+ 2x+ 2

=) x

2+ 8x+ 14

(2x+ 4) (x

2+ 2x+ 2)

=

1

2x+ 4

+

3

x

2+ 2x+ 2

,

por lo tanto,Z

x

2+ 8x+ 14

(2x+ 4) (x

2+ 2x+ 2)

dx =

Z

✓

1

2x+ 4

+

3

x

2+ 2x+ 2

◆

dx =

Z

1

2x+ 4

dx+

Z

3

x

2+ 2x+ 2

dx

=

Z

1

2 (x+ 2)

dx+

Z

3 dx

x

2+ 2x+ 2

=

1

2

Z

dx

x+ 2

+ 3

Z

dx

x

2+ 2x+ 2

.


u = x+ 2

Cálculo del

��!diferencial

du = dx,



dx

x+ 2

=

Z

du

u

= ln |u|+ C1 = ln |x+ 2|+ C1.

Para la segunda integral del lado derecho de la igualdad completamos cuadrado

x

2+ 2x+ 2 = (x+ 1)

2+ 1 =)

Z

dx

x

2+ 2x+ 2

=

Z

dx

(x+ 1)

2+ 1

,




u = x+ 1

Cálculo del

��!diferencial

du = dx,



dx

x

2+ 2x+ 2

=

Z

du

u

2+ 1

= arctanu+ C2 = arctan (x+ 1) + C2.

Así,Z

x

2+ 8x+ 14

(2x+ 4) (x

2+ 2x+ 2)

dx =

1

2

Z

dx

x+ 2

+ 3

Z

dx

x

2+ 2x+ 2

=

1

2

ln |x+ 2|+ 3arctan (x+ 1) + C.

Luego,Z

x

2+ 8x+ 14

(2x+ 4) (x

2+ 2x+ 2)

dx =

1

2

ln |x+ 2|+ 3arctan (x+ 1) + C.

F


�

sec

2x+ 1

�

sec

2x

1 + tan

3x

dx.

Solución : Como sec

2x = tan

2x+ 1, tenemos que

Z

�

sec

2x+ 1

�

sec

2x

1 + tan

3x

dx =

Z

��

tan

2x+ 1

�

+ 1

�

sec

2x

1 + tan

3x

dx =

Z

�

tan

2x+ 2

�

sec

2x

1 + tan

3x

dx,


u = tanx

Cálculo del

��!diferencial

du = sec

2x dx,



�

sec

2x+ 1

�

sec

2x

1 + tan

3x

dx =

Z

�

tan

2x+ 2

�

sec

2x

1 + tan

3x

dx =

Z

u

2+ 2

1 + u

3du.

Aplicamos el método de la descomposición en fracciones simples para obtener la familia de primitivas dela función. Observemos que el grado del polinomio del numerador, 2, es menor que el grado del polinomio deldenominador, 3, por lo tanto, no se dividen los polinomios. Factorizamos el denominador

u

3+ 1 = (u+ 1)

�

u

2 � u+ 1

�

.


u

2+ 2

(u+ 1) (u

2 � u+ 1)

=

A

u+ 1

+

Bu+ C

u

2+ u+ 1

.


u

2+ 2

(u+ 1) (u

2 � u+ 1)

=

A

u+ 1

+

Bu+ C

u

2+ u+ 1

=) u

2+ 2

(u+ 1) (u

2 � u+ 1)

=

A

�

u

2 � u+ 1

�

+ (Bu+ C) (u+ 1)

(u+ 1) (u

2 � u+ 1)

,



de aquí,u

2+ 2 = A

�

u

2 � u+ 1

�

+ (Bu+ C) (u+ 1) .

Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a u.

Si u = �1, sustituimos en la igualdad u

2+ 2 = A

�

u

2 � u+ 1

�

+ (Bu+ C) (u+ 1) y se tiene

(�1)2 + 2 = A

⇣

(�1)2 � (�1) + 1

⌘

+ (B (�1) + C) ((�1) + 1)

=) 1 + 2 = A (1 + 1 + 1) + (�B + C) (0) =) 3 = 3A,

de aquí A = 1.

Si u = 0, sustituimos en la igualdad u

2+ 2 = A

�

u

2 � u+ 1

�


(0)

2+ 2 = A

⇣

(0)

2 � (0) + 1

⌘

+ (B (0) + C) ((0) + 1)

=) 0 + 2 = A (0� 0 + 1) + (0 + C) (0 + 1) =) 2 = A+ C,

como A = 1, se tiene que2 = (1) + C =) 2 = 1 + C,

de aquí C = 1.

Si u = 1, sustituimos en la igualdad u

2+ 2 = A

�

u

2 � u+ 1

�


(1)

2+ 2 = A

⇣

(1)

2 � (1) + 1

⌘

+ (B (1) + C) ((1) + 1)

=) 1 + 2 = A (1� 1 + 1) + (B + C) (1 + 1) =) 3 = A+ 2B + 2C,

como A = 1 y C = 1, se tiene que

3 = (1) + 2B + 2 (1) =) 3 = 1 + 2B + 2 =) 0 = 2B,

de aquí B = 0.

Entonces

u

2+ 2

(u+ 1) (u

2 � u+ 1)

=

A

u+ 1

+

Bu+ C

u

2+ u+ 1

=) u

2+ 2

u

3+ 1

=

1

u+ 1

+

1

u

2 � u+ 1

,

por lo tanto,Z

u

2+ 2

u

3+ 1

du =

Z

✓

1

u+ 1

+

1

u

2 � u+ 1

◆

du =

Z

du

u+ 1

+

Z

du

u

2 � u+ 1

.


z = u+ 1

Cálculo del

��!diferencial

dz = du,



du

u+ 1

=

Z

dz

z

= ln |z|+ C1 = ln |u+ 1|+ C1.




u

2 � u+ 1 =

✓

u� 1

2

◆2

+

3

4

=)Z

du

u

2 � u+ 1

=

Z

du

(u� 1/2)

2+ 3/4

,

se propone el cambio trigonométrico

u� 1

2

=

p3

2

tan t

Cálculo del

��!diferencial

du =

p3

2

sec

2t dt,



Z

du

u

2 � u+ 1

=

Z

du

(u� 1/2)

2+ 3/4

=

Z

p3

2

sec

2t dt

p3

2

tan t

!2

+

3

4

=

p3

2

Z

sec

2t dt

3

4

tan

2t+

3

4

=

p3

2

Z

sec

2t dt

3

4

�

tan

2t+ 1

�

=

4

3

p3

2

Z

sec

2t

sec

2t

dt =

2

p3

3

Z

dt =

2

p3

3

t+ C2,

como

x� 1

2

=

p3

2

tan t =) tan t =

2u� 1p3

=) t = arctan

✓

2u� 1p3

◆

,

de aquí,Z

du

u

2 � u+ 1

=

2

p3

3

arctan

✓

2u� 1p3

◆

+ C2.

Así,Z

u

2+ 2

u

3+ 1

du =

Z

du

u+ 1

+

Z

du

u

2 � u+ 1

du = ln |u+ 1|+ 2

p3

3

arctan

✓

2u� 1p3

◆

+ C,

puesto que, u = tanx, entoncesZ

�

sec

2x+ 1

�

sec

2x

1 + tan

3x

dx = ln |tanx+ 1|+ 2

p3

3

arctan

✓

2 tanx� 1p3

◆

+ C.

F


2e

x � 1

e

x � 2e

�x

+ 1

dx.

Solución : Tenemos que, el integrando lo podemos escribir como

2e

x � 1

e

x � 2e

�x

+ 1

=

2e

x � 1

e

x � 2

e

x

+ 1

=

2e

x � 1

e

x

e

x � 2 + e

x

e

x

=

(2e

x � 1) e

x

(e

x

)

2+ e

x � 2

,

así,Z

2e

x � 1

e

x � 2e

�x

+ 1

dx =

Z

(2e

x � 1) e

x

(e

x

)

2+ e

x � 2

dx,


u� e

x

Cálculo del

��!diferencial

du = e

x

dx,





2e

x � 1

e

x � 2e

�x

+ 1

dx =

Z

(2e

x � 1) e

x

(e

x

)

2+ e

x � 2

dx =

Z

(2u� 1) du

u

2+ u� 2

.


u

2+ u� 2 = (u� 1) (u+ 2) .


2u� 1

(u� 1) (u+ 2)

=

A

u� 1

+

B

u+ 2

.

Buscamos los valores de las constantes A, y B, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamos elmétodo de los coeficientes indeterminados

2u� 1

(u� 1) (u+ 2)

=

A

u� 1

+

B

u+ 2

=) 2u� 1

(u� 1) (u+ 2)

=

A (u+ 2) +B (u� 1)

(u� 1) (u+ 2)

,

de aquí,2u� 1 = A (u+ 2) +B (u� 1) .


Si u = 1, sustituimos en la igualdad 2u� 1 = A (u+ 2) +B (u� 1) y se tiene

2 (1)� 1 = A ((1) + 2) +B ((1)� 1) =) 2� 1 = A (1 + 2) +B (0) =) 1 = 3A,

de aquíA =

1

3

.

Si u = �2, sustituimos en la igualdad 2u� 1 = A (u+ 2) +B (u� 1) y se tiene

2 (�2)� 1 = A ((�2) + 2) +B ((�2)� 1) =) �4� 1 = A (0) +B (�2� 1) =) �5 = �3B,

de aquíB =

5

3

.

Entonces

2u� 1

(u� 1) (u+ 2)

=

A

u� 1

+

B

u+ 2

=) 2u� 1

(u� 1) (u+ 2)

=

1/3

u� 1

+

5/3

u+ 2

,

por lo tanto,Z

2u� 1

(u� 1) (u+ 2)

du =

Z

✓

1/3

u� 1

+

5/3

u+ 2

◆

du =

Z

1/3 du

u� 1

+

Z

5/3 du

u+ 2

=

1

3

Z

du

u� 1

+

5

3

Z

du

u+ 2

.


z = u� 1

Cálculo del

��!diferencial

dz = du,





du

u� 1

=

Z

dz

z

= ln |z|+ C1 = ln |u� 1|+ C1.

La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable

p = u+ 2

Cálculo del

��!diferencial

dp = du,



du

u+ 2

=

Z

dp

p

= ln |p|+ C2 = ln |u+ 2|+ C2.

Así,Z

(2u� 1) du

u

2+ u� 2

=

1

3

Z

du

u� 1

+

5

3

Z

du

u+ 2

=

1

3

ln |u� 1|+ 5

3

ln |u+ 2|+ C,

puesto que, u = e

x, entoncesZ

2e

x � 1

e

x � 2e

�x

+ 1

dx =

1

3

ln |ex � 1|+ 5

3

ln (e

x

+ 2) + C.

F


2 +

pe

x

+ 1

e

x

+ 2 + e

�x

�

1�pe

x

+ 1

�

dx.

Solución : Tenemos que, el integrando lo podemos escribir como

2 +

pe

x

+ 1

e

x

+ 2 + e

�x

�

1�pe

x

+ 1

�

=

2 +

pe

x

+ 1

e

x

+ 2 +

1�pe

x

+ 1

e

x

=

2 +

pe

x

+ 1

(e

x

)

2+ 2e

x

+ 1�pe

x

+ 1

e

x

=

�

2 +

pe

x

+ 1

�

e

x

(e

x

)

2+ 2e

x

+ 1�pe

x

+ 1

=

�

2 +

pe

x

+ 1

�

e

x

(e

x

+ 1)

2 �pe

x

+ 1

,

por lo tanto,Z

2 +

pe

x

+ 1

e

x

+ 2 + e

�x

�

1�pe

x

+ 1

�

dx =

Z

�

2 +

pe

x

+ 1

�

e

x

(e

x

+ 1)

2 �pe

x

+ 1

dx.


u

2= e

x

+ 1

Cálculo del

��!diferencial

2u du = e

x

dx,



Z

2 +

pe

x

+ 1

e

x

+ 2 + e

�x

�

1�pe

x

+ 1

�

dx =

Z

�

2 +

pe

x

+ 1

�

e

x

(e

x

+ 1)

2 �pe

x

+ 1

dx =

Z

⇣

2 +

pu

2⌘

2u du

(u

2)

2 �pu

2



=

Z

2u (2 + u)

u

4 � u

du =

Z

2u (2 + u)

u (u

3 � 1)

du = 2

Z

2 + u

u

3 � 1

du.


u

3 � 1 = (u� 1)

�

u

2+ u+ 1

�

.


2 + u

(u� 1) (u

2+ u+ 1)

=

A

u� 1

+

Bu+ C

u

2+ u+ 1

.


2 + u

(u� 1) (u

2+ u+ 1)

=

A

u� 1

+

Bu+ C

u

2+ u+ 1

=) 2 + u

(u� 1) (u

2+ u+ 1)

=

A

�

u

2+ u+ 1

�

+ (Bu+ C) (u� 1)

(u� 1) (u

2+ u+ 1)

,

de aquí,u+ 2 = A

�

u

2+ u+ 1

�

+ (Bu+ C) (u� 1) .


Si u = 1, sustituimos en la igualdad u+ 2 = A

�

u

2+ u+ 1

�

+ (Bu+ C) (u� 1) y se tiene

(1) + 2 = A

⇣

(1)

2+ (1) + 1

⌘

+ (B (1) + C) ((1)� 1)

=) 1 + 2 = A (1 + 1 + 1) + (B + C) (0) =) 3 = 3A,

de aquí A = 1.

Si u = 0, sustituimos en la igualdad u+ 2 = A

�

u

2+ u+ 1

�


(0) + 2 = A

⇣

(0)

2+ (0) + 1

⌘

+ (B (0) + C) ((0)� 1)

=) 0 + 2 = A (0 + 0 + 1) + (0 + C) (�1) =) 2 = A� C,

como A = 1, se tiene que2 = (1)� C =) 2 = 1� C,

de aquí C = �1.

Si u = �1, sustituimos en la igualdad u+ 2 = A

�

u

2+ u+ 1

�


(�1) + 2 = A

⇣

(�1)2 + (�1) + 1

⌘

+ (B (�1) + C) ((�1)� 1)

=) �1 + 2 = A (1� 1 + 1) + (�B + C) (�1� 1) =) 1 = A+ 2B � 2C,

como A = 1 y C = �1 se tiene que

1 = (1) + 2B � 2 (�1) =) 1 = 1 + 2B + 2,

de aquí B = �1.



Entonces2 + u

(u� 1) (u

2+ u+ 1)

=

A

u� 1

+

Bu+ C

u

2+ u+ 1

=) 2 + u

(u� 1) (u

2+ u+ 1)

=

1

u� 1

+

�u� 1

u

2+ u+ 1

,

por lo tanto,Z

2 + u

(u� 1) (u

2+ u+ 1)

du =

Z

✓

1

u� 1

+

�u� 1

u

2+ u+ 1

◆

du =

Z

du

u� 1

�Z

u+ 1

u

2+ u+ 1

du.


z = u� 1

Cálculo del

��!diferencial

dz = du,



du

u� 1

=

Z

dz

z

= ln |z|+ C1 = ln |u� 1|+ C1.


u

2+ u+ 1 =

✓

u+

1

2

◆2

+

3

4

=)Z

(u+ 1) du

u

2+ u+ 1

=

Z

(u+ 1) du

(u+ 1/2)

2+ 3/4

,

se propone el cambio trigonométrico

u+

1

2

=

p3

2

tan t

Cálculo del

��!diferencial

du =

p3

2

sec

2t dt,



Z

(u+ 1) du

u

2+ u+ 1

=

Z

(u+ 1) du

(u+ 1/2)

2+ 3/4

=

Z

(u+ 1/2 + 1/2) du

(u+ 1/2)

2+ 3/4

=

Z

p3

2

tan t+

1

2

! p3

2

sec

2t dt

p3

2

tan t

!2

+

3

4

=

p3

2

Z

p3

2

tan t+

1

2

!

sec

2t dt

3

4

tan

2t+

3

4

=

p3

2

Z

p3

2

tan t+

1

2

!

sec

2t dt

3

4

�

tan

2t+ 1

�

=

4

3

p3

2

Z

p3

2

tan t+

1

2

!

sec

2t

sec

2t

dt =

2

p3

3

Z

p3

2

tan t+

1

2

!

dt

=

2

p3

3

Z

p3

2

tan t dt+

Z

1

2

dt

!

=

2

p3

3

Z

p3

2

tan t dt+

2

p3

3

Z

1

2

dt

=

2

p3

3

p3

2

Z

tan t dt+

2

p3

3

1

2

Z

dt =

Z

tan t dt+

p3

3

Z

dt,



donde,Z

dt = t+ C2,

mientras que,Z

tan t dt =

Z

sen t

cos t

dt,


p = cos t

Cálculo del

��!diferencial

dp = � sen t dt =) �dp = sen t dt,



sen t

cos t

dt =

Z �dpp

= � ln |p|+ C3 = � ln |cos t|+ C3 = ln

�

�

�

(cos t)

�1�

�

�

+ C3 = ln

�

�

�

�

1

cos t

�

�

�

�

+ C3 = ln |sec t|+ C3,

luego,Z

tan t dt = ln |sec t|+ C3

de aquí,Z

(u+ 1) du

u

2+ u+ 1

=

Z

tan t dt+

p3

3

Z

dt = ln |sec t|+p3

3

t+ C4,

ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = ln |sec t| +p3

3

t + C4, en términos de la variable original deintegración u, puesto que

u+

1

2

=

p3

2

tan t =) tan t =

2u+ 1p3

=) t = arctan

✓

2u+ 1p3

◆

.

Para calcular sec t en función de u, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

��

��

��

CC t

Hipotenusa : hip.



sen t =

c.o.

hip.

cos t =

c.a.

hip.

tan t =

c.o.

c.a.

csc t =

hip.

c.o.

sec t =

hip.

c.a.

cot t =

c.a.

c.o.

por lo tanto,

��

��

��

CC t

q

(2u+ 1)

2+ 3

p3

2u+ 1

u� 1

2

=

p3

2

tan t =) tan t =

2u+ 1p3

=

c.o.

c.a.


2= (c.o.)

2+ (c.a.)

2 hip. =

q

(2u+ 1)

2+ 3

entonces,

sec t =

hip.

c.a.

=

q

(2u+ 1)

2+ 3

p3

.



Luego,

Z

(u+ 1) du

u

2+ u+ 1

= ln

�

�

�

�

�

�

q

(2u+ 1)

2+ 3

p3

�

�

�

�

�

�

+

p3

3

arctan

✓

2u+ 1p3

◆

+ C4

= ln

�

�

�

�

q

(2u+ 1)

2+ 3

�

�

�

�

+

p3

3

arctan

✓

2u+ 1p3

◆

+ C5

= ln

�

�

p4u

2+ 4u+ 4

�

�

+

p3

3

arctan

✓

2u+ 1p3

◆

+ C5

= ln

�

�

�

p

4 (u

2+ u+ 1)

�

�

�

+

p3

3

arctan

✓

2u+ 1p3

◆

+ C5

= ln

�

�

�

2

�

u

2+ u+ 1

�1/2�

�

�

+

p3

3

arctan

✓

2u+ 1p3

◆

+ C5

=

1

2

ln

�

u

2+ u+ 1

�

+

p3

3

arctan

✓

2u+ 1p3

◆

+ C6

Así,Z

2 + u

u

3 � 1

du =

Z

du

u� 1

�Z

(u+ 1) du

u

2+ u+ 1

= ln |u� 1|�

1

2

ln

�

u

2+ u+ 1

�

+

p3

3

arctan

✓

2u+ 1p3

◆

!

+ C7

= ln |u� 1|� 1

2

ln

�

u

2+ u+ 1

�

�p3

3

arctan

✓

2u+ 1p3

◆

+ C7,

como u = e

x

+ 1, entoncesZ

2 +

pe

x

+ 1

e

x

+ 2 + e

�x

�

1�pe

x

+ 1

�

dx = 2

Z

2 + u

u

3 � 1

du

= 2

ln |u� 1|� 1

2

ln

�

u

2+ u+ 1

�

�p3

3

arctan

✓

2u+ 1p3

◆

!

+ C

= 2

ln |ex + 1� 1|� 1

2

ln

⇣

(e

x

+ 1)

2+ (e

x

+ 1) + 1

⌘

�p3

3

arctan

✓

2 (e

x

+ 1) + 1p3

◆

!

+ C

= 2x� ln

⇣

(e

x

+ 1)

2+ e

x

+ 2

⌘

� 2

p3

3

arctan

✓

2e

x

+ 3p3

◆

+ C.

FinalmenteZ

2 +

pe

x

+ 1

e

x

+ 2 + e

�x

�

1�pe

x

+ 1

�

dx = 2x� ln

⇣

(e

x

+ 1)

2+ e

x

+ 2

⌘

� 2

p3

3

arctan

✓

2e

x

+ 3p3

◆

+ C.

F


4

x

+ 2

x

8

x � 4

x+1dx.


4

x

+ 2

x

8

x � 4

x+1dx =

Z

(2

x

)

2+ 2

x

(2

x

)

3 � 4 · (2x)2dx =

Z

(2

x

+ 1) 2

x

(2

x

)

3 � 4 · (2x)2dx.




u = 2

x

Cálculo del

��!diferencial

du = 2

x

ln 2 dx =) du

ln 2

= 2

x

dx,



4

x

+ 2

x

8

x � 4

x+1dx =

Z

u+ 1

u

3 � 4u

2

du

ln 2

=

1

ln 2

Z

u+ 1

u

3 � 4u

2du,


u

3 � 4u

2= u

2(u� 4) .


u+ 1

u

2(u� 4)

=

Au+B

u

2+

C

u� 4

.


u+ 1

u

2(u� 4)

=

Au+B

u

2+

C

u� 4

=) u+ 1

u

2(u� 4)

=

(Au+B) (u� 4) + Cu

2

u

2(u� 4)

,

de aquí,u+ 1 = (Au+B) (u� 4) + Cu

2.


Si u = 0, sustituimos en la igualdad u+ 1 = (Au+B) (u� 4) + Cu

2 y se tiene

(0) + 1 = (A (0) +B) ((0)� 4) + C (0)

2=) 0 + 1 = (0 +B) (0� 4) + C (0)

2=) 1 = �4B,

de aquíB = �1

4

.


2 y se tiene

(4) + 1 = (A (4) +B) ((4)� 4) + C (4)

2=) 4 + 1 = (4A+B) (0) + 16C =) 5 = 16C,

de aquíC =

5

16

.


2 y se tiene

(1) + 1 = (A (1) +B) ((1)� 4) + C (1)

2=) 1 + 1 = (A+B) (1� 4) + C =) 2 = �3A� 3B + C,

como B = �1

4

y C =

5

16

, se tiene que

2 = �3A� 3

✓

�1

4

◆

+

✓

5

16

◆

=) 2 = �3A+

3

4

+

5

16

=) 2 = �3A+

17

16

,



de aquíA = � 5

16

.

Entonces

u+ 1

u

2(u� 4)

=

Au+B

u

2+

C

u� 4

=) u+ 1

u

2(u� 4)

=

� 5

16

u� 1

4

u

2+

5

16

u� 4

,

por lo tanto,

Z

u+ 1

u

2(u� 4)

du =

Z

0

B

@

� 5

16

u� 1

4

u

2+

5

16

u� 4

1

C

A

du =

Z

0

B

@

� 5

16

u

u

2�

1

4

u

2+

5

16

u� 4

1

C

A

du

=

Z

✓

� 5

16

u

u

2� 1

4

1

u

2+

5

16

1

u� 4

◆

du = � 5

16

Z

du

u

� 1

4

Z

du

u

2+

5

16

Z

du

u� 4

,

es decir,Z

u+ 1

u

2(u� 4)

du = � 5

16

Z

du

u

� 1

4

Z

du

u

2+

5

16

Z

du

u� 4

,

dondeZ

du

u

= ln |u|+ C1,

mientras que,Z

du

u

2=

Z

u

�2du = � 1

u

+ C2,

y por último, la tercera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable

z = u� 4

Cálculo del

��!diferencial

dz = du,



du

u� 4

=

Z

dz

z

= ln |z|+ C3 = ln |u� 4|+ C3

Así,Z

u+ 1

u

3 � 4u

2du = � 5

16

Z

du

u

� 1

4

Z

du

u

2+

5

16

Z

du

u� 4

=

1

4u

� 5

16

ln |u|+ 5

16

ln |u� 4|+ C

como u = 2

x, se tieneZ

4

x

+ 2

x

8

x � 4

x+1dx =

1

ln 2

Z

u+ 1

u

3 � 4u

2du =

1

ln 2

✓

1

4 · 2x �5

16

ln |2x|+ 5

16

ln |2x � 4|◆

+ C

=

1

ln 2

✓

2

�x

4

� 5x

16

ln 2 +

5

16

ln |2x � 4|◆

+ C.

Luego,Z

4

x

+ 2

x

8

x � 4

x+1dx =

1

ln 2

✓

2

�x

4

� 5x

16

ln 2 +

5

16

ln |2x � 4|◆

+ C.

F



Ejercicios

Calcular las siguientes integrales utilizando descomposición en fracciones simples.

1.

Z

x

2+ 1

x

2 � x

dx 2.

Z

dx

x

2 � x� 2

3.

Z

2 dx

x

2+ 2x

4.

Z

3t

2 � 6t+ 2

2t

3 � 3t

2+ t

dt 5.

Z

5t+ 3

t

2 � 9

dt

6.

Z

3x

3dx

x

2+ x� 2

7.

Z

x

4+ 8x

2+ 8

x

3 � 4x

dx 8.

Z

2 dx

x

2 � 1

9.

Z

x

2dx

(x+ 1)

3 10.

Z

dx

x

2(x� 1)

2

11.

Z

�

5x

2+ 6x+ 9

�

dx

(x� 3)

2(x+ 1)

2 12.

Z

x

3+ x

(x� 3)

2 dx 13.

Z

dt

t

2(t+ 1)

2 14.

Z

x

3 � 4x

(x

2 � 1)

2 dx

15.

Z

�

x

3+ 1

�

dx

(x

2 � 4x+ 5)

2 16.

Z

x

2+ 19x+ 10

(x� 3)

2(2x+ 1)

2 dx 17.

Z

dx

9x

4+ x

218.

Z

dx

x

4+ x

2+ 1

19.

Z

�

x

4+ 1

�

dx

x

4+ x

220.

Z

x

2 � 2x� 1

(x

2+ 3) (x

2+ 1)

dx 21.

Z

x

3dx

(1 + x

2)

2 22.

Z

x

2dx

(x

3+ 4x)

2

23.

Z

dx

(x

4+ x

2+ 1)

2 24.

Z

4x

2+ 3x+ 6

(x

2+ 2)

2(x

2+ 3)

2 dx 25.

Z

x

4dx

x

4 � 1

26.

Z

x+ 1

x

3 � 1

dx

27.

Z

x+ 4

x (x

2+ 4)

dx 28.

Z

dx

(x+ 1) (x

2+ x+ 1)

2 29.

Z

dx

x

3+ 3x‘2

30.

Z

(x� 6) dx

x

2 � 2x

31.

Z

x

3+ x+ 1

x (x

2+ 1)

dx 32.

Z

dx

(x� 1) (x+ 2) (x+ 3)

33.

Z

9 dx

8x

3+ 1

34.

Z

�

t

2+ 2

�

dt

t (t

2+ 1)

35.

Z

2x

3 � x

x

4 � x

2+ 1

dx 36.

Z

x

2 � 3

x

3+ 4x

2+ 5x+ 2

dx 37.

Z

dx

x

3 � 1

38.

Z

dx

x

3+ x

2+ x

39.

Z

�

5x

3+ 2

�

dx

x

3 � 5x

2+ 4x

40.

Z

(20x� 11) dx

(3x+ 2) (x

2 � 4x+ 5)

41.

Z

dt

(t

2+ 1)

3 42.

Z

(x+ 2) dx

x

2(x

2 � 1)

43.

Z

(x� 11) dx

x

2+ 3x� 4

44.

Z

�

x

3 � 8x

2 � 1

�

dx

(x+ 3) (x� 2) (x

2+ 1)

45.

Z

dx

2x

3+ x

46.

Z

5x� 2

x

2 � 4

dx

47.

Z

dt

(t+ 2)

2(t+ 1)

48.

Z

x

2dx

2x

3+ 9x

2+ 12x+ 4

49.

Z

dx

16x

4 � 1

50.

Z

18 dx

(4x

2+ 9)

2

51.

Z

(17x� 3) dx

3x

2+ x� 2

52.

Z

x

2 � 4x� 4

x

3 � 2x

2+ 4x� 8

dx 53.

Z

dx

x

3+ 1

54.

Z

4 + 5x

2

x

3+ 4x

dx

55.

Z

(t+ 3) dt

4t

4+ 4t

3+ t

256.

Z

�

2x

2+ 41x� 91

�

dx

(x� 1) (x+ 3) (x� 4)

57.

Z

e

x

dx

e

4x � 1

58.

Z

e

5xdx

(e

2x+ 1)

2

59.

Z

(4x� 2) dx

x

3 � x

2 � 2x

60.

Z

2x

2 � 3x� 36

(2x� 1) (x

2+ 9)

dx 61.

Z

dx

x

2 � 4

62.

Z

�

t

2+ 2

�

dt

t (t

2 � 1)

63.

Z

dt

(t+ a) (t+ b)

64.

Z

2x

3+ 5x

2+ 16x

x

5+ 8x

3+ 16x

dx 65.

Z

x

6dx

x

2 � 16

66.

Z

x

2dx

x

2+ x� 6

67.

Z

5x

3 � 4x

x

4 � 16

dx 68.

Z

dx

x (3� lnx) (1� lnx)

69.

Z

t

3dt

t

3 � 8

70.

Z

t

3 � 1

4t

3 � t

dt



71.

Z

cosx dx

senx+ sen

3x

72.

Z

x

2+ 3x+ 3

x

3+ x

2+ x+ 1

dx 73.

Z

t

2dt

t

4 � 8t

74.

Z

x� 3

x

3+ x

2dx

75.

Z

(5x+ 7) dx

x

2+ 4x+ 4

76.

Z

�

3x

2+ 7x

�

dx

x

3+ 6x

2+ 11x+ 6

77.

Z

30x

2+ 52x+ 17� 24x

3

9x

4 � 6x

3 � 11x

2+ 4x+ 4

dx

78.

Z

�

x

4+ 1

�

dx

x (x

2+ 1)

2 79.

Z

x

2 � 3x� 7

(2x+ 3) (x+ 1)

dx 80.

Z

x

4+ 3x

3 � 5x

2 � 4x+ 17

x

3+ x

2 � 5x+ 3

dx

81.

Z

(3x� 13) dx

x

2+ 3x� 10

82.

Z

x

2 � 5x+ 9

x

2 � 5x+ 6

dx 83.

Z

�

2x

3+ 9x

�

dx

(x

2+ 3) (x

2 � 2x+ 3)

84.

Z

5x

2 � 11x+ 5

x

3 � 4x

2+ 5x� 2

dx 85.

Z

x

2 � 8x+ 7

(x

2 � 3x� 10)

2 dx 86.

Z

x

2+ x+ 2

x

2 � 1

dx

87.

Z

x

4 � 6x

3 � 12x

2+ 6

x

3 � 6x

2+ 12x� 8

dx 88.

Z

2x� 3

(x

2 � 3x+ 2)

2 dx 89.

Z

2x

2+ x� 8

x

3+ 4x

dx

90.

Z

5x

2+ 3x� 2

x

3+ 2x

2dx 91.

Z

6x

2+ 22x� 23

(2x� 1) (x

2+ x� 6)

dx 92.

Z

x

2+ 2x� 1

27x

3 � 1

dx

93.

Z

2x

2 � x+ 2

x

5 � 2x

3+ x

dx 94.

Z

�

sec

2x+ 1

�

sec

2x

1 + tan

3x

dx 95.

Z

x

2 � 4x+ 3

x (x+ 1)

2 dx

96.

Z

6x

2 � 2x� 1

4x

3 � x

dx 97.

Z

2x

2+ 3x+ 2

x

3+ 4x

2+ 6x+ 4

dx 98.

Z

x� 2

2x

2+ 7x+ 3

dx

99.

Z

3x+ 5

(x

2+ 2x+ 2)

2 dx 100.

Z

dx

(x

2 � 4x+ 3) (x

2+ 4x+ 5)

101.

Z

(2x+ 21) dx

2x

2+ 9x� 5

102.

Z

x

2+ 19x+ 10

2x

4+ 5x

3dx 103.

Z

3x

2 � 21x+ 32

x

3 � 8x

2+ 16x

dx 104.

Z

3x

2 � x+ 1

x

3 � x

2dx

105.

Z

2x

4 � 2x+ 1

2x

5 � x

4dx 106.

Z

2x

2+ 13x+ 18

x

3+ 6x

2+ 9x

dx 107.

Z

2t

2+ t� 4

t

3 � t

2 � 2t

dt

108.

Z

�

x

2+ x

�

dx

x

3 � x

2+ x� 1

109.

Z

5x

2 � 3x+ 18

9x� x

3dx 110.

Z

2 +

pe

x

+ 1

e

x

+ 2 + e

�x

�

1�pe

x

+ 1

�

dx

111.

Z

x

2+ 3

x

3+ x

2 � 2x

dx 112.

Z

x dx

x

3+ 2x

2+ x+ 2

113.

Z

2x

2 � x+ 2

x

5+ 2x

3+ x

dx

114.

Z

4

x

+ 2

x

8

x � 4

x+1dx 115.

Z

x

3

x

4+ 2x

2dx 116.

Z

2e

x � 1

e

x � 2e

�x

+ 1

dx

117.

Z

x

2+ 8x+ 14

(2x+ 4) (x

2+ 2x+ 2)

dx


1. x � ln |x| + 2 ln |x � 1| + C; 2. 1

3

ln�

�

�

x�2

x+1

�

�

�

+ C; 3. ln�

�

�

x

x+2

�

�

�

+ C; 4. 2 ln |t| � ln |t � 1| + 1

2

ln |2t � 1| + C;

5. 3 ln |t � 3| + 2 ln |t + 3| + C; 6. 3

2

x

2 � 3x + ln |x � 1| + 8 ln |x + 2| + C; 7. 1

2

x

2 � 2 ln |x| + 7 ln�

�

x

2 � 4�

�+ C;

8. ln�

�

�

x�1

x+1

�

�

�

+ C; 9. ln |x + 1| + 4x+3

2x

2

+4x+2

+ C; 10. 2 ln�

�

�

x

x�1

�

�

�

+ 1�2x

x

2�x

+ C; 11. �5x�3

x

2�2x�3

+ C;

12. 6x + 1

2

x

2 + 28 ln |x � 3| � 30

x�3

+ C; 13. 2 ln�

�

�

t+1

t

�

�

�

� 2t+1

t

2

+t

+ C; 14. 1

2

ln�

�

x

2 � 1�

�+ 3

2x

2�2

+ C;



15. 15

2

arctan (x � 2) + 1

2

ln�

�

x

2 � 4x + 5�

�+ 3x�17

2x

2�8x+10

+ C; 16. 129

343

ln�

�

�

2x+1

x�3

�

�

�

� 307x+143

196x

2�490x�294

+ C;

17. � 1

x

� 3 arctan 3x + C; 18. 1

4

ln�

x

2 + x + 1�

� 1

4

ln�

x

2 � x + 1�

+p

3

6

arctan⇣

2x�1p3

⌘

+p

3

6

arctan⇣

2x+1p3

⌘

+ C;

19. x � 2 arctan x � 1

x

+ C; 20. 1

2

ln⇣

x

2

+3

x

2

+1

⌘

+ 2

p3

3

arctan⇣p

3

3

x

⌘

� arctan x + C; 21. 1

2

ln�

x

2 + 1�

+ 1

2x

2

+2

+ C;

22. x

8x

2

+32

+ 1

16

arctan x

2

+ C; 23. 1

6

x�x

3

x

4

+x

2

+1

+ 1

4

ln⇣

x

2

+x+1

x

2�x+1

⌘

+p

3

9

arctan⇣p

3

3

(2x � 1)⌘

+p

3

9

arctan⇣p

3

3

(2x + 1)⌘

+ C;

24. 3 ln⇣

x

2

+3

x

2

+2

⌘

� 3p3 arctan

⇣p3

3

x

⌘

+ 15

4

p2 arctan

⇣p2

2

x

⌘

� 3x

3

+6x

2

+7x+15

2(x2

+2)(x2

+3)+ C; 25. x � 1

2

arctan x + 1

4

ln�

�

�

x�1

x+1

�

�

�

+ C;

26. 2

3

ln |x � 1| � 1

3

ln�

x

2 + x + 1�

+ C; 27. ln |x| � 1

2

ln�

x

2 + 4�

+ 1

2

arctan�

x

2

�

+ C;

28. ln |x + 1| + 1

3

x+2

x

2

+x+1

� 1

2

ln�

x

2 + x + 1�

+ 5

p3

9

arctan⇣p

3

3

(2x + 1)⌘

+ C; 29. 1

9

ln�

�

�

x+3

x

�

�

�

� 1

3x

+ C;

30. 3 ln |x| � 2 ln |x � 2| + C; 31. x + ln |x| � 1

2

ln�

x

2 + 1�

+ C; 32. 1

12

ln |x � 1| � 1

3

ln |x + 2| + 1

4

ln |x + 3| + C;

33. 3

2

ln |2x + 1| � 3

4

ln�

�4x2 � 2x + 1�

�+ 3

p3

2

arctan⇣p

3

3

(4x � 1)⌘

+ C; 34. 2 ln |t| � 1

2

ln�

t

2 + 1�

+ C;

35. 1

2

ln�

x

4 � x

2 + 1�

+ C; 36. ln |x + 2| + 2

x+1

+ C; 37. 1

3

ln |x � 1| � 1

6

ln�

x

2 + x + 1�

�p

3

3

arctan⇣p

3

3

(2x + 1)⌘

+ C;

38. ln |x| � 1

2

ln�

x

2 + x + 1�

�p

3

3

arctan⇣p

3

3

(2x + 1)⌘

+ C; 39. 5x + 1

2

ln |x| � 7

3

ln |x � 1| + 161

6

ln |x � 4| + C;

40. 4 arctan (x � 2) + 1

2

ln�

x

2 � 4x + 5�

� ln |3x + 2| + C; 41. 3

8

arctan t + 1

8

3t

3

+5t

(t2+1)2+ C; 42. 2

x

� ln |x| + 3

2

ln

�

�

�

�

(x�1)

3

x+1

�

�

�

�

+ C;

43. 3 ln |x + 4| � 2 ln |x � 1| + C; 44. arctan x � ln |x � 2| + 2 ln |x + 3| + C; 45. ln |x| � 1

2

ln�

2x2 + 1�

+ C;

46. 2 ln |x � 2| + 3 ln |x + 2| + C; 47. ln�

�

�

t+1

t+2

�

�

�

+ 1

t+2

+ C; 48. 4

9

ln |x + 2| + 4

3x+6

+ 1

18

ln |2x + 1| + C;

49. � 1

4

arctan 2x + 1

8

ln�

�

�

2x�1

2x+1

�

�

�

+ C; 50. x

4x

2

+9

+ 1

6

arctan 2

3

x + C; 51. 4 ln |x + 1| + 5

3

ln |3x � 2| + C;

52. ln�

x

2 + 4�

� ln |x � 2| + C; 53. 1

3

ln |x + 1| � 1

6

ln�

x

2 + x + 1�

+p

3

3

arctan⇣p

3

3

(2x � 1)⌘

+ C;

54. ln |x| + 2 ln�

x

2 + 4�

+ C; 55. � 11 ln |t| + 11 ln |2t + 1| � 11t+3

2t

2

+t

+ C; 56. 4 ln |x � 1| � 7 ln |x + 3| + 5 ln |x � 4| + C;

57. 1

4

ln�

�

�

e

x�1

e

x

+1

�

�

�

� 1

2

arctan (ex) + C; 58. e

x � 3

2

arctan (ex) + 1

2

e

x

e

2x

+1

+ C; 59. ln�

�

x

2 � 2x�

�� 2 ln |x + 1| + C;

60. 3

2

ln�

x

2 + 9�

� 2 ln |2x � 1| + C; 61. 1

4

ln�

�

�

x�2

x+2

�

�

�

+ C; 62. 3

2

ln�

�

t

2 � 1�

�� 2 ln |t| + C; 63. 1

b�a

ln�

�

�

t+a

t+b

�

�

�

+ C;

64. x

x

2

+4

� 5

2

1

x

2

+4

+ 3

2

arctan 1

2

x + C; 65. 256x + 16

3

x

3 + 1

5

x

5 + 512 ln�

�

�

x�4

x+4

�

�

�

+ C; 66. x + 4

5

ln |x � 2| � 9

5

ln |x + 3| + C;

67. ln�

�

x

2 � 4�

�+ 3

2

ln�

x

2 + 4�

+ C; 68. 1

2

ln�

�

�

ln x�3

ln x�1

�

�

�

+ C; 69. t + 2

3

ln |t � 2| � 1

3

ln�

t

2 + 2t + 4�

� 2

p3

3

arctan⇣

t+1p3

⌘

+ C;

70. 1

4

t + ln |t| � 7

16

ln |2t � 1| � 9

16

ln |2t + 1| + C; 71. ln |sen x| � 1

2

ln�

sen2

x + 1�

+ C;

72. 5

2

arctan x + 1

2

ln |x + 1| + 1

4

ln�

x

2 + 1�

+ C; 73. 1

6

ln |t � 2| � 1

12

ln�

t

2 + 2t + 4�

+p

3

6

arctan⇣p

3

3

(t + 1)⌘

+ C;

74. 4 ln�

�

�

x

x+1

�

�

�

+ 3

x

+ C; 75. 5 ln |x + 2| + 3

x+2

+ C; 76. 2 ln |x + 2| � 2 ln |x + 1| + 3 ln |x + 3| + C;

77. � 1

3

28x+17

(3x+2)(x�1)

� 2

3

ln |3x + 2| � 2 ln |x � 1| + C; 78. ln |x| + 1

x

2

+1

+ C; 79. 1

2

x � 3 ln |x + 1| + 1

4

ln |2x + 3| + C;

80. 2x + 1

2

x

2 � 3

x�1

� ln�

�

x

2 + 2x � 3�

�+ C; 81. 4 ln |x + 5| � ln |x � 2| + C; 82. x + 3 ln�

�

�

x�3

x�2

�

�

�

+ C;

83. ln�

x

2 � 2x + 3�

�p

3

2

arctan⇣p

3

3

x

⌘

+ 7

p2

4

arctan⇣p

2

2

(x � 1)⌘

+ C; 84. 2 ln |x � 1| + 3 ln |x � 2| � 1

x�1

+ C;

85. 30

343

ln�

�

�

x�5

x+2

�

�

�

+ 151�19x

49(x+2)(x�5)

+ C; 86. x + 2 ln |x � 1| � ln |x + 1| + C; 87. 1

2

x

2 � 24 ln |x � 2| + 88x�139

(x�2)

2

+ C;

88. � 1

x

2�3x+2

+ C; 89. 2 ln�

x

2 + 4�

� 2 ln |x| + 1

2

arctan x

2

+ C; 90. 2 ln |x| + 1

x

+ 3 ln |x + 2| + C;

91. 3 ln |x � 2| � ln |x + 3| + ln |2x � 1| + C; 92. 5

162

ln�

9x2 + 3x + 1�

� 2

81

ln |3x � 1| + 5

p3

27

arctanp

3

3

(6x + 1) + C;

93. 2 ln |x| � 3

4

ln |x � 1| � 5

4

ln |x + 1| + 1

2

x�4

x

2�1

+ C; 94. ln |tan x + 1| + 2

p3

3

arctan⇣p

3

3

(2 tan x � 1)⌘

+ C;

95. ln�

�

�

x

3

(x+1)

2

�

�

�

+ 8

x+1

+ C; 96. ln |x| + 1

4

ln

�

�

�

�

(2x+1)

3

2x�1

�

�

�

�

+ C; 97. 2 ln |x + 2| � arctan (x + 1) + C; 98. ln�

�

�

x+3p2x+1

�

�

�

+ C;

99. arctan (x + 1) + x

x

2

+2x+2

� 1

2x

2

+4x+4

+ C; 100. 1

52

ln |x � 3| � 1

20

ln |x � 1| + 7

130

arctan (x + 2) + 1

65

ln�

x

2 + 4x + 5�

+ C;

101. ln

�

�

�

�

(2x�1)

2

x+5

�

�

�

�

+ C; 102. � 3x+1

x

2

+ ln�

�

�

2x+5

x

�

�

�

+ C; 103. 2 ln |x| + ln |x � 4| + 1

x�4

+ C; 104. 1

x

+ 3 ln |x � 1| + C;

105. 1

3x

3

+ ln |2x � 1| + C; 106. 2 ln |x| � 1

x+3

+ C; 107. 2 ln |t| + ln�

�

�

t�2

t+1

�

�

�

+ C; 108. arctan x + ln |x � 1| + C;

109. 2 ln |x| � 3 ln |x � 3| � 4 ln |x + 3| + C; 110. 2x � ln�

(ex + 1)2 + e

x + 2�

� 2

p3

3

arctan⇣

2e

x

+3p3

⌘

+ C;

111. 4

3

ln |x � 1| � 3

2

ln |x| + 7

6

ln |x + 2| + C; 112. 1

5

arctan x � 2

5

ln |x + 2| + 1

5

ln�

x

2 + 1�

+ C;



113. 2 ln |x| � 1

2

arctan x � ln�

x

2 + 1�

� x

2x

2

+2

+ C; 114. 1

ln 2

⇣

2

�x

4

� 5x

16

ln 2 + 5

16

ln |2x � 4|⌘

+ C; 115. 1

2

ln�

x

2 + 2�

+ C;

116. 1

3

ln |ex � 1| + 5

3

ln (ex + 2) + C; 117. 1

2

ln |x + 2| + 3 arctan (x + 1) + C;

Bibliografía




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