O Cálculo Integral: Alguns fatos históricos

Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as integrais são

os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o

da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras

começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área de um

quadrado, por ser essa a sua figura plana mais simples. Buscando assim encontrar um

quadrado que tivesse área igual à da figura em questão. Quadraturas que fascinavam os

geômetras eram as figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de

outras curvas. As lúnulas – regiões qie se assemelham com a lua no seu quarto-crescente –

foram estudadas por Hipócrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da

História. Aquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por

uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a

corda como base, outras “integrações” foram realizadas com a mesma finalidade.

A contribuição para o Cálculo Integral apareceu somente ao final do século XVI

quando a Mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas relacionados com o

centro de gravidade.

Integral Definida

Se f é uma função de x, então a sua integral definida é uma integral restrita à valores

em um intervalo específico, digamos, a ≤ x ≤ b . O resultado é um número que depende

apenas de a e b, e não de x.

Definição: Seja f uma função contínua no intervalo . Suponha que este intervalo

seja dividido em n partes iguais de largura e seja um número pertencente j-

ésimo intervalo para j = 1, 2..., n. Nesse caso, a integral definida de f em denotada por

, é dada por , se este limite existir.

Pode-se mostrar que se a função y = f (x) é contínua em um intervalo então ela é

integrável em .

Integral Indefinida

Da mesma forma que a adição e a  subtração, a multiplicação e a divisão, a operação

inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida.

Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral

indefinida ou antiderivada de f(x).

Desafio A

Dada a seguinte integral indefinida:

Onde temos de achar dentre as alternativas também dada, qual equação que representa

a integral indefinida acima, o método que usamos para a busca da resposta foi, derivar a

seguinte equação por partes:

Derivando a primeira parte temos:

Simplificando o resultado por 48 (onde dividimos o nominador e denominador por 48)

, temos:

Derivando a segunda parte temos:

Simplificando o resultado por 4, temos:

Derivando a terceira parte, temos:

Onde só foi aplicada a propriedade da derivada de ln.

Com os três resultados, temos como a equação certa das opções dadas:

Sendo a opção (b) a correta, cálculo conferido em calculadora HP 50g.

Desafio B

Custo fixo = 10000

Custo Marginal = C´(q) , sendo a derivada a taxa de variação.

Temos:

C´(q) = 1000+50q

Sendo C = 10000, temos:

Sendo a (a), a opção correta.

Desafio C

Realizado por Cálculo de Riemann

Dada equação:

40 ,0 7*

21 6 ,1 teò

Para calcularmos a área do retângulo utilizamos:

Sendo:

Para soma das áreas Direita e Esquerda, utilizamos:

SOMA DIREITA

SOMA ESQUERDA

Sendo portanto:

39,99 <

40 ,0 7*

21 6 ,1 teò

< 39,43

Resolvendo por Integral Definida

Resposta correta (c).

Desafio D

A área sob a curva de a é dada por:

Gráfico:

Sendo (a) a resposta correta.

As respostas definem a seguinte combinação de números: 3019

Etapa 2

I)

u =

Sendo:

Isolamos -2 colocando-o em evidência para que possamos cortar as igualdades,

então:

Substituindo, u =

Gráfico da função:

Provando assim, que o item I é verdadeiro.

II)

u = , sendo du = dt temos

Substituindo u:

Concluímos que o item II também é verdadeiro, sendo assim a resposta correta

é (a).

A combinação dos números correspondentes as respostas da Etapa 1 à Etapa 2

é, 30194.

Etapa 3

Cálculo de Área por Integral

Uma área pode ser expressa como um tipo especial de integral definida e calculada

com o auxílio do teorema fundamental do cálculo. Esse processo, que é chamado de

integração definida, foi apresentado a partir do cálculo de áreas porque as áreas são fáceis de

visualizar, mas existem muito outros problemas práticos, além do cálculo de áreas, que podem

ser resolvidos com o auxílio da integração definida.

Intuitivamente, a integração definida pode ser imaginada como o processo de

“acumular” um número infinito de pequenos pedaços de uma grandeza para obter o valor total

da grandeza.

Os cálculos relacionados a áreas de figuras planas regulares são de certa forma

realizados facilmente, devido às fórmulas matemáticas existentes. No caso de figuras como o

triângulo, quadrado, retângulo, trapézios, losangos, paralelogramo entre outras, basta

relacionarmos as fórmulas à figura e realizar os cálculos necessários. Algumas situações

exigem ferramentas auxiliares na obtenção de áreas, como exemplo as regiões existentes sob

uma curva. Para tais situações utilizamos os cálculos envolvendo as noções de integrações

desenvolvidas por Isaac Newton e Leibniz.

Podemos representar algebricamente uma curva no plano através de uma lei de

formação chamada função. A integral de uma função foi criada no intuito de determinar áreas

sob uma curva no plano cartesiano. Os cálculos envolvendo integrais possuem diversas

aplicações na Matemática e na Física. Observe a ilustração a seguir:

Ao resolvermos a integral entre os limites a e b, teremos como resultado a seguinte expressão:

Dado o gráfico Figura 1 abaixo, calcular área S¹ e verificar se resultado dará 0,6931.

Determinando função acima do gráfico entre 0 e 1, sabemos que x é maior que

Temos:

Determinando função acima do gráfico entre 1 e 2:

Determinando Área Total

Podemos concluir que é 0,693 u.a sendo verdadeira a afirmação do exercício.

Dado o gráfico Figura 1 abaixo, calcular área S²:

e

Temos:

Então o intervalo é e

Como são 4 áreas iguais, então temos de multiplicar por quatro:

O resultado dos dois cálculos de área sendo a área da figura 1 Verdadeira e a área da

figura 2 Falsa, a alternativa correta é c associando ao número 8.

Etapa 4

Volume e Sólidos de Revolução

As figuras e formas da natureza podem ser compreendidas como produtos do

movimento. O movimento do elemento geométrico mais simples - o ponto - gera linhas e,

particularmente, retas. O movimento de segmentos de reta num plano forma figuras planas -

retângulos, quadrados, círculos. Já o movimento de figuras no espaço gera corpos. Entre estes

últimos, existem alguns muito especiais: são os corpos que se formam a partir do movimento

completo de uma figura invariável em torno de um eixo. Este movimento particular recebe o

nome de revolução e os corpos por ele gerados são chamados corpos de revolução, que estão

presentes de inúmeras maneiras em nossa vida cotidiana. O cilindro é a forma mais comum de

um recipiente simples: uma lata de refrigerante, uma pilha, um cano de água. Há bons

exemplos também na arquitetura: uma igreja românica tem o campanário cilíndrico. Os

telhados de algumas torres e campanários têm a forma de um cone. A esfera é a figura

espacial mais regular e fácil de imaginar. A forma semi-esférica é usada em arquitetura, nas

cúpulas das igrejas e, também, em alguns recipientes, como o interior de uma fonte. Os corpos

de revolução são figuras espaciais que encontramos representadas em muitos objetos de nosso

dia-a-dia.

Desafio A

A área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo x, da curva dada

por de é:

Usando a fórmula de um cone, que segue:

Temos:

=

Simplificamos por 4.

Resposta correta e de acordo com a resposta sugerida no exercício da ATPS,

associando ao número 4.

Desafio B

Qual é o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno da reta y =

2, da região R delimitada pelos gráficos das equações: , de

até ?

Sabemos que as curvas se interceptam em e , então com base no arco

trigonométrico entre os dois pontos temos: e assim com este valor obtemos a prova

determinante da curva acima, o f(x).

¨

A partir deste trecho, cálculo realizado em HP 50g e pelo site www.wolfram.com,

obtemos o resultado abaixo:

Sendo a alternativa a correta, associando ao número 8.

Gráfico

Gráfico da integral resolvida:

A combinação de números final, associando em milhões de metros cúbicos que

poderão ser extraídos do novo poço de petróleo recém descoberto pela empresa é: 30194848

milhões.

Bibliografia

HOFFMAN, Laurence D. Cálculo: Um Curso Moderno e suas Aplicações. 10° edição.

Rio de Janeiro: LTC, 2011, 587 páginas.

O Nascimento do cálculo. Disponível em:

<http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_integrais.htm>. Acesso em 11 ago. 2012.

Área sob a Curva. Disponível em:

<http://www.brasilescola.com/matematica/area-sob-uma-curva.htm>. Acesso em 24

out.2012.

Wolfram. Disponível em:

<http://www.wolfram.com>.Acesso em 24 nov.2012.