libro- cálculo integral (fuenlabrada)

Contenido

Capítulo 1. Diferencialesl. Consideraciones generales 12. Diferenciales 23. Interpretación geométrica de la diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. Fórmulas de diferenciación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65. Diferenciación implícita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76. Diferenciales sucesivas de una función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8

Capítulo 2. Antiderivadas. Integración indefinidal. Anttderívada 102. Integral indefinida '.' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 113. Fórmulas de derivación ',' ' 124. Conceptos básicos de la integración . . .. 14

Capítulo 3. Integración de una función compuestal. Sustitución por cambio de variable 182. Deducción de fórmulas para derivar integrales de la forma

J tan x dx, J cot x dx, J sec x dx, J csc x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22

Capítulo 4. Constante de integraciónl. Cálculo del valor numérico de la constante C . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 292. Significado geométrico de la constante de integración 33

Capítulo 5. Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directasl. Recordatorio de trigonometría 352. Fórmulas de integración de las funciones trígonométrícas directas. .. 363. Algunos procedimientos de integración de las funciones

trtgonométrtcas directas 37

Capítulo 6. Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversasl. Fórmulas de integración de funciones trígonométrtcas inversas 552. Algunos procedimientos de integración de las funciones

trtgonométrtcas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 553. El integrando se expresa como la suma de dos cocientes 574. El integrando es una fracción donde el numerador es dx y el

denominador es de la forma ax2 + bx + e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58

VI CONTENIDO

Capítulo 7. Integrales inmediatas. Funciones expeneneíales 'y IO,garítmicas

l. Fórmulas de integración exponencial 712. Fórmulas de integración Iogarftmíca . '. . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . .. 79

Capítulo 8. Métodos de integración. Integración de funciones lri,gonometricas

l. Introducción 942. Algunos procedimientos de solución 95

3. Integración de la forma f sen=u cos'tu du 95

4. Integración de la forma f tan=u sec=u du 100

5. Integración de la forma f cot=u csc?u du 101

6. Integración de la forma f sen mu cos nu du 103

Capítulo 9. Métodos de integración. Integración por partes

l. Fórmula de integración por partes 1112. Procedimiento de integración por partes 1i2

Capítulo 10. Métodos de integración. Integración por 'Sustitución trigonométrica

1. Desarrollo de la expresión ..Ja2 - X2 = a cos () 1282. Desarrollo de la expresión ..Ja2 + X2 = a sec () 1293. Desarrollo de la expresión ..Jx2 - a2 = a tan () 1304. Procedimiento para resolver una integral por sustitución

trígonométríca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315. El integrando incluye una expresión de la forma ..Ja2 - X2 1326. El integrando incluye una expresión de la forma ..Ja2 + X2 1337. El integrando incluye una expresión de la forma ..Jx2 - a2 •......... 135

Capítulo 11. Métodos de integración. Integración por fracciones parciales

l. Definición 1412. Caso 1.Todos los factores lineales del denominador son distintos 1433. Caso 11. Algunos de los factores lineales del denominador

se repiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 1464. Caso III. Todos los factores cuadráticos (írreducíbles) del

denominador son distintos 1485. Caso V.Algunos factores cuadrátícos (irreducibles) del denominador

se repiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

CONTENIDO VII

Capítulo 12. Métodos de integración. Integración por raclonallzacíénl. Racíonalízacíón de expresiones que incluyen potencias fraccíonarías

p r .de a + bx, como (a + bxFi. (a + bx)T 165

2. Racíonalízacíón de expresiones que únicamente incluyen unapotencia fraccionaría de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3. Racíonalízacíón de expresiones que incluyen diferentes potenciasa e

fraccíonarías, como xb. Xd.... . 167.4. Racíonalízacíón de expresiones queíncluyen una potencia

afraccionaria del tipo (ax + b)b 169

5. Racionalización de expresiones que incluyen funcionesracionales de sen u y cos u en el denominador 170

Capítulo 13. Integración definida

l. Antecedentes históricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1822. Suma de Riemann 1843. Propiedades de la suma de Riemann 1864. Fórmulas de la suma de Riemann 1865. Sumas de Riemann con notación sígma 1876. Áreas. (Interpretación íntuítíva) 1897. Integración definida como el límite de una suma.

(Interpretación intuitiva) 1908. Suma de Riemann (continuación) 1929. La integración definida como un límite de sumas de Riemann 196

10. Procedimiento para calcular una integral definida 19611. Propiedades de la integral definida 19812. Integrales definidas por cambio de variable (cálculo de nuevos extremos) 200

Capítulo 14. La integral definida en el cálculo de áreas

l. Teorema fundamental del cálculo 2062. Áreas 2063. Áreas entre dos curvas en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Capítulo 15. La integral definida en el cálculo de volúmenes

l. Sólido de revolución 2232. Método del disco para calcular el volumen 2233. El sólido de revolución con un agujero. El método de

las arandelas 2294. Volumen de un sólido cuando el eje de revolución es paralelo

al eje de las x o de las y 231

Capítulo 16. La integral definida

Longitud de un arco (curva) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 233

1Diferenciales

1. Consideraciones generales

El cálculo diferencial nos proporciona una regla general de derivación conocidacomo la Regla de los cuatro pasos para obtener la derivada de una funciónsencilla. Con ella, se obtuvieron las fórmulas para derivar todo tipo defunciones.

En el cálculo integral no hay una regla general que pueda aplicarse paraintegrar las diferenciales. En la práctica cada caso necesita un trato especial.La integración es un proceso esencialmente de ensayos, por ello, se daránvarias fórmulas y métodos para facilitar su estudio.

Los científicos y los matemáticos que usan integrales en su trabajo confrecuencia utilizan tablas de integrales. Muchas de las fórmulas que apare-cen en ellas se han obtenido con los métodos de integración que habremos deestudiar. El estudiante no debe usar este tipo de tablas hasta que haya desa-rrollado suficiente experiencia en los métodos de integración normales. Seaconseja al alumno que no trate simplemente de "mecanizar" los métodos sinoque procure entenderlos dentro de la estructura general del cálculo. Es con-veniente que resuelva sólo los ejercicios propuestos y los que le señale suprofesor. Si tiene dificultad con alguno, insista en obtener la solución; revisela parte teórica y los ejemplos desarrollados para aclarar y afirmar su cono-cimiento.

Consideramos oportuno citar algunos conceptos de René Descartes, quienen uno de sus libros señala:

"Separar y jerarquizar las dificultades procediendo de la menor a lamayor cuando se aborda un tema nuevo (...)."

Efectivamente es recomendable que la enseñanza se haga de lo sencillo alo complicado; hay profesores que con el deseo de impresionar tratan deenseñar de lo dificil a lo complicado.

"Conviene dirigir toda la fuerza del espíritu a las cosas más sencillasy fáciles de entender y detenerse en ellas largo tiempo hasta acostum-brarse a intuir la verdad con claridad y distinción."

Se acepta fácilmente que una vez que se ha entendido un conocimiento ola solución completa de un problema, debe uno practicarlo, trabajando con eseconocimiento el tiempo que sea necesario para dominarlo con claridad; sóloentonces, se podrán resolver otros problemas semejantes un poco más com-plicados.

1

2 CAPíTULO 1. Diferenciales

Es conveniente agregar que si el alumno no comprende el desarrollo deun problema y sólo lo repite. caerá en la mecanización que no reporta ningúnbeneficio. pues por sí sola. la repetición causa entorpecimiento.

El estudio de la parte teórica y de los ejercicios de este libro facilitará lasolución de los que dicte el profesor y que seguramente propondrá para elexamen correspondiente.

En el cálculo diferencial una línea. un área. un volumen o cualquier otrocuerpo multidimensional representado por una ecuación, los dividimos infi-nitesimalmente, es decir, hacemos las divisiones cada vez más pequeñas; encambio, en el cálculo integral la suma total de éstas se acerca cada vez más alresultado que se desea: una distancia, un área. un volumen o cualquier otroparámetro.

El cálculo es una disciplina sencilla en sus conceptos fundamentales perodificil y compleja en su aplicación.

En el libro Matemáticas rv. Cálculo Diferencial. el autor define el conceptode la derivada como:

"La derivada de una función con respecto a una variable es el límite delincremento de la función entre el incremento de la variable. cuando el incre-mento de la variable tiende a cero."

Se expresa:

derivada = dy = lím L1 ydx ó.x->oL1X

cuando el límite de la razón existe, se dice que la función tiene derivada." I

2. Diferenciales

2.1 Definición

La diferencial de unaJunción es el producto de la derivada de laJunción porel incremento de la variable independiente.

Para expresar la diferencial de una función usamos la letra d colocadaantes de la función.

Ejemplos:

l. Sea la función y = x4Su primera derivada es y' = 4x3

Su diferencial se expresa dy = 4x3 Llx

2. Calcular la diferencial de la función

y = 3x2 para x = 4 Yel Sx = 0.2 Sol. 4.8

yl = 6x

I Fuenlabrada. Samuel. Matemáticas N. Cálculo Diferencial McGraw-Hfll, México. 1995. pág. 52.

Diferenciales 3

Sustituyendo

d(3x2) = 6(4)(0.2) = 4.8

'2.2 P,ara expresar la derlvada de .una función podemos utilizar 'Cualquiera de 'las formas siguientes:

DJ(x)

]'(x)

Caucny

Lagrange

Lagrangey'

Leíbnítz. (Se lee "derivada de y con respecto a x".)

Por lo tanto:

derivada: dy = lím ~ y = DJ(x) = j'(x) = y'dx !1x~O~x

Sea la función y = J(x)

La primera derivada se expresa

dy =j'(x)dx

Si multiplicamos ambos miembros por dx, tenemos:

dy =j'(x) dx

Que aceptamos como otra definición de la diferencial de una función. Ésta selee: .la diferencial de una funciori es igual al producto .de la derivada por ladiferenc"ial de 'la variable tndependletiie.

Ejemplos:

1. Calcular la diferencial de y = 5x3 - x + 2

y = 5x3 - X + 2

y' = 15x2 - 1

d(5x3 - X + 2) = (l5x2 - 1) dx

Sol. (15x2 - 1) dx

2. Calcular la diferencial de y = .J 1 - 3x

Sol. _ 3dx2.Jl - 3x

y = .Jl - 3x

, 3Y = - 2.Jl - 3x

d (-V 1- 3x) = _ 3dx2.Jl - 3x

Observa: Una vez señalada la función de la que hay que obtener su diferencial,inicialmente se debe calcular su primera derivada.


3. Interpretación geométrica de la diferencial

III

'E Sx

B

::- -ld~,~ya ,~- - -:6 - - -I,,III

I,I,'Fx

x + t.x

En la gráfica de la función y = f(x) observamos:

CD = t!.y

En el triángulo rectángulo ADB

BDtan a =-AD

BD = AD tan a = t!.xf(x) (1)

Al considerar la definición inicial de la diferencial, tenemos

dy = j'(x) ~ de donde en (1)

dy = BD

CONCLUSIÓN:

La diferencial de una función y = flx) en un punto es el incremento de latangente a la curva en ese punto.

En consecuencia, observando la figura anterior tenemos:

t!.y = CD; dy = BD serán aproximadamente iguales cuando Sx = AD sea muypequeño.

Interpretación geométrica de la diferencial 5

Ejemplo:

Calcular la diferencial de la función y = 5x2 para x = 4 Yel Sx = 0.2

y = 5x2 Sol. 8.0

y' = 10x

Sustituyendo

d(5x2) = 10(4)(0.2) = 8.0

3.1 Problemas que se resuelven en forma aproximada, calculando el incremento de una función

Ejemplos:

1. Calcular el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado de 5 m,si éste recibe un aumento de 0.002 m.

Fórmula del área de un cuadrado Sol. 0.020 m2

1\ = 12

ó.1 = 0.002 m

dA = 2/· di

dA = 2(5)(0.002) = 0.020 m2

Incremento = 0.020 m2

2. Obtener el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo delado de 2 m al aumentar el lado 0.003 m.

Fórmula del volumen de un cubo Sol. 0.036 dm"

v = 13

1= 2 m

ó.1= 0.003 m

dv = 3/2

dv = 3(2)2 (0.003) = 0.036 dm"

Incremento = 0.036 dm"

6 CAPíTULO1. Diferenciales

3. Si ~36 = 6, calcular el valor aproximado de ~38

FUnción y = rx Sol. 6.166

fue = 38 - 36 = 2

y = rx

dy = 2~ = 2~ = i = 0.166

.J38 = 6 + 0.166 = 6.166

4. Fórmulas de diferenciación

Considerando que la diferencial de una función es el producto de su deri-vada por la diferencial de la variable independiente aceptamos que a cadafórmula de derivación desarrollada en el curso de cálculo diferencial le corres-ponde una diferenciación, que citamos enseguida.

En las fórmulas que siguen u y v son funciones de x, .c~s. una constante,y n un número natural. . .

1. d(c) = O (dx) = O

2. d(x) = 1 (dx) = dx

3. d(u + v - w) = du + dv - dw

4. d(cu) = e du

5. d(uv) = udv + vdu

6. d(un) = nun-1 du

7. d(~) = vdu- udvv v2

8. d(sen u) = cos u du

9. d(cos u) = - sen u du

10. d(tan u) = sec- u du

11. d(cot u) = - ese- U du

12. d(sec u) = tan u sec u du

Diferenciación implícita 7

13. d(csc u) = - cot u ese u du

du14. d(arc sen u) = --;_I=~~

,,1 - u2

En igual forma para cada una de las demás fórmulas deducidas en el cursocitado.

Ejemplo:

Calcular d( 5X2 - 2x + 4)

d(5x2 - 2x + 4) = d(5x2) - d(2x) + d(4) Sol. (lOx - 2) dx

= 10x dx - 2 dx

= (lOx - 2) dx

5. Diferenciación implícita

Hecha la derivación se despeja dy

Ejemplo:

Diferenciar x - 5y2 = 2ydx

Sol. ---10y + 2

x - 5y2 - 2y = O

d d(O)- (x - 5y2 - 2y) = --dx dx

1 - 10y dy - 2 dy = Odx dx

dy-(-10y-2)=-1dx

~ (lOy + 2) = 1

Como 1(dx) = dx

dxdy =---

lOy + 2


6. Diferenciales sucesivas de una función

La segunda diferencial de una función es la diferencial de la primera diferencial.considerando para dx un valor fijo.

dy =fix) dx

d2y = f'(x) d2x

La tercera diferencial resulta igual a la diferencial de la segunda diferencial (sidx es constante) y así. sucesivamente.

Ejemplo:

Calcular la tercera diferencial de y = 4.0 - 5x2 - 1

d(4.0 - 5X2 - 1) = (20.0 - lOx) dx

d2(4.0 - 5X2 - 1) = d[(20.0 - 10x) dx]

= (80.03 - 10) dx

d3(4x5 - 5x2 - 1) = d[(80.03 - 10) d2x]

Ejercicio 1

Expresar una de las definiciones de diferencial.

Calcular las diferenciales de las funciones siguientes:

l. Y = 5X2 Sol. 10x dx

2. y = 3x4 - 5x3 + 4x - 1 Sol. (12x3 - 15x2 + 4) dx

3. Y = "3 - 5x Sol. 5dx-2"3 - 5x2dx4. ~(x - 4)2 Sol.y=

3 ~x- 4

5. 3 Sol.y = sen-x

6. y=tan2x Sol. (2 sec- 2x) dx

33 (3 sen -) dx

7. y = cos- Sol. xx x2

8. fix) = 3x Sol. 3(2 - x) dx

F=x 2...J(1- X)3

Diferenciales sucesivas de una función 9

9. y=tanx-2x Sol. (secéx - 2) dx

10.x Sol.

dxy = are sen- ..Ja2- x2a

11. y = are cot X2 Sol. 2xdx----1+.0

12.arl:. x

Sol.dx

y = -attg- cos - - ..J9-x23

13. Calcular el valor aproximado de ..J39 si -J36 = 6

14. Obtener el valor aproximado de 4129 si 4125 = 5

15. Calcular el incremento del área de un cuadradode lado 7 m al aumentar el lado 3 mm.

16. Calcular el incremento aproximado del volumen deun cubo de lado 5.3 m al aumentar el lado 0.007 m.

17. Obtener el valor aproXimado en el aumento quetendrá el área de una esfera de 8 cm de radiocuando el radio aumenta 3 cm.

, v.-S

Sol. 6.25

Sol. 5.053

Sol. 0.042

Sol. 0.589 m

Sol. 6.02 cm

21. Antiderivada

Antiderivadas.Integración indefinida

1.1 Definición

La adición y la sustracción son operaciones inversas al igual que la división yla multiplicación y lo mismo puede decirse de elevar una potencia y extraer laraíz correspondiente. En el cálculo diferencial se estudia el problema paraobtener la derivadaj'(x) de una funciónf(x). Ahora nos ocuparemos del pro-blema inverso, es decir, dada la derivadaf'(x) buscaremos obtener la funciónf(x).

A una función F se le llama antiderivada de una funciónf, en un intervalo 1,si F(x) = f(x) para todo valor de x en el intervalo.

Por comodidad este concepto se expresa con la frase "F(x) es una antíderí-vada def(x)". Las expresiones "integral indefinida" y "functori primitiva" sonsinónimos de la palabra "antiderivada".

Ejemplos:

Integrar

1. 3x2 dx es la diferencial de x3

x3 es la antídíferencíal de 3x2 dx

2. - sen x dx es la diferencial de cos x

cos x es la antídíferencíal de - sen x dx

Derivar

3. j(x) = .0

F'(x) = 4x3

4. j(x) = .0 - 6

F'(x) = 4x3

10

2. Integral indefinida

Integral indefinida 11

45. j(x) = .0 + -5

F'(x) = 4,03

Las funciones (3, 4 Y5) representadas porJ(x) = .0 + e donde e es unaconstante (un número real no especificado) tienen por derivada F'(x) = 4,03.

2.1

A la operación de calcular la antiderivada (primitiva) de una función se le llama

integración y se denota con el símbolo f que es la inicial de la palabra suma.

Si F(x) es una función primitiva deJ(x) se expresa:

I y = fJ(x) dx = F(x) + e I si y sólo si F'(x) + e = j(x)

La expresión f J(x) dx es la antiderivada de F(x).

f es el signo de integración, se lee "integral de".

j(x) Integrando

dx Diferencial de la variable

x Variable de integración

F(x) Función primitiva

e Constante de integración

Si en la expresión

y = f j(x) dx = F(x) + e (1)

y como en la definición de la antiderivada señalamos que F'(x) = j(x), sustitui-mos en la expresión anterior

f F'(x) dx = F(x) + e

queda

d f ddx [ J(x) dxl = dx [F(x) + el

j(x) = F'(x)

Fórmulas de derivación. Fórmulas de integración 13

Trtgonométrtcas

d du- sen u = cos u -dx dx

La derivada del seno de una función ues el coseno de la función u multipli-cado por la derivada de la función urespecto a x

d dudx cos u = - sen u dx

La derivada del coseno de una funciónu es igual a menos el seno de la fun-ción u multiplicado por la derivada dela función u con respecto a x

d du- tan u = sec- u -dx dx

La derivada de la tangente de una fun-ción u es igual al cuadrado de la se-cante de la función u. multiplicadapor la derivada de la función u conrespecto a x

d du- cot u = ese- U -dx dx

La derivada de la cotangente de unafunción u es igual a menos la cose-cante cuadrada de la función u. mul-tiplicada por la derivada de la funciónu respecto a x

d dudx sec u = sec u tan u dx

La derivada de la secante de una fun-ción u es igual a la secante de la fun-ción u por la tangente de la función u.multiplicada por la derivada de la fun-ción u respecto a x

f cos u du = sen u + e

f sen u du = - cos u + e

f sec- u du = tan u + e

f ese- U du = - cot u + e

f sec u tan u du = sec u + e

f tan u du = L Isec U I + ef cot u du = L I sen u I + ef sec u du = L Isec u + tan u I + e

f ese u du + L I ese u - cot u I + e

14 CAPíTULO 2. Antiderivadas. Integración indefinida

Las cuatro fórmulas de integración anteriores se deducen al final delapartado número tres.

Algunas de las fórmulas de integración citadas, pueden estar multipli-cadas por una constante.

d dv du- (uv) = u - + v -dx dx dx

Las derivada de un producto de dosfunciones es igual a la primera funciónpor la derivada de la segunda, más lasegunda función por la derivada dela primera

Se usará para deducir el métodode integración por partes.

4. Conceptos básicos de la integración

4.1 La integral de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma algebraicade las integrales de las funciones.

f lfix) + g(x) - h(x)] dx = fj(x) dx + f g(x) dx - f h(x) dx

Ejemplos:

1. f (5x2 + 7x - 2) dx = 5f X2 dx + 7f x dx - 2f dx

5 7= -.0 + -x2 - 2x + e3 2

2. f (x4

- 3x2 + 4\v = f X2 dx _ 3f X2 dx + 4f dx

x r- x x x

= fx3dx - 3fxdx + 4f~

1 3= - x4 - - x2 + 4 L [x] + e4 2

A cada integral habría que sumarle una constante e pero solamente seescribe la del final porque la suma de varias constantes es otra constante.

En los párrafos que siguen se explica y justifica lo que en los ejemplosanteriores se hizo en cada integral.

4.2 La integral del producto de una constante por una función es igual a la constantepor la integral de la función.

Si k es una constante que está como factor en el integrando se puede ponercomo factor de la integral, como ya se hizo en los dos ejemplos anteriores.

f kf(x) = kf j(x)

Conceptos básicos de la integración 15

Ejemplos:

1. f 7.0 dx = 7f.0 dx

=2.x5+C5

2. f~ x3 dx = ~ f x3 dx

= ~ (.0) + C5 4=_1.0+C

10

4.3 La integral de una función u de una variable x elevada a un exponente es igual a la función elevadaal exponente original más uno, todo dividido entre el exponente original más uno.

f [u(x)ln+!un (x) du(x) = ..:........0'---'...:_

n+1

con n ~ -1

Ya señalamos que u es una función de x, por ello, esta notación puedeabrevíarse de la forma siguiente:

f un+!undu =--

n+lcon n ~ -1

Si n = -1

f u-! du = f 1. duu

= f duu

= In [u] + C

=Llul+C

Se expresa: la integral de la diferencial de una función dividida entre lafunción es igual al logaritmo natural de la función.

Ejemplos:

1. fX2dx=; +C

2. f dx = In [x] + Cx

= L (x) + C

Se toma el valor absoluto de x debido a que no hay logarttmos de losnúmeros negativos, por eso se pone In [x]. También puede expresarse con lanotación L [x] que usaremos con mayor frecuencia. En algunos casos porcomodidad en lugar de poner el símbolo de valor absoluto II se pone. por ejem-plo, L (x). Se debe usar como lo sugiera el profesor.

Para no complicar el desarrollo de una integral al aplicar los signos deagrupación y del valor absoluto, se pone éste en el resultado final.

16 CAPíTULO 2. Antiderivadas. Integración indefinida

4.4 Dentro del signo de integración se pueden conmutar los factores del integrando.

Ejemplo:

J X (x2 - 1)3dx = J (x2 - 1)3X dx

4.5 Por ningún motivo se puede "sacar" la variable de integración del signo de integración.

Ejemplo:

J X2 dx ;;é x J x dx

Este desarrollo no es correcto porque "salió" la variable de integración x fueradel signo de integral.

4.6 En algunos casos la integración se facilita si se efectúan previamente las operaciones indicadas(productos o cocientes de polinomios).

Ejemplos:

1. J (2x + l)(x - 3) dx = J (2x2 - 6x + x' - 3) dx

= J (2x2 - Sx - 3) dx

=2Jx2dx-sJxdx-3Jdx

= ~ x3 - ~ X2 - 3x + e3 2

x2+2x+4x-21x3-1

-x3 + 2x2

2x2 - 1-2x2 + 4x

4x - 1-4x + 8

7

Jx3-1 J 7-- dx = (x2 + 2x + 4 + --) dxx-2 x-2

= J X2 dx + 2 J x dx + 4 J dx + 7 J .ss:x-2

1 ix2= '3 x3 + T + 4x + 7 L [x - 21 + e

Conceptos básicos de la integración 17

4.7 Otras integrales se pueden resolver sumando y restando al integrando una misma cantidad.

Ejemplo:

f xdx =(x+ 5)2

Para su solución se procede en la forma siguiente: del denominador, enla expresión (x + 5)2 tomamos el 5, mismo que se suma y se resta al numera-dor; la integral obtenida se descompone en dos integrales.

f x dx = f (x + 5 - 5) dx(x+ 5)2 (x+ 5)2

= f (x + 5) dx + f -5 dx(x+ 5)2 (x+ 5)2

=f dx -5f dx(x+ 5) (x+ 5)2

u(x) = x + 5

du(x) = dx

= L (x + 5) - 5 f u-2 du

, 5u-2+1= L (x + 5) - -=1 + e

f x du = L [x + 51 + _5_ + e(x + 5)2 X + 5

3Integración de una funcióncompuesta

1. Sustitución por cambio de variable

Existen varias técnicas para aplicar una sustitución pero el propósito de todases identificar en el integrando unajunción que esté multiplicada por la dife-rencial de esajunción, y así, poder aplicar una fórmula de integración.

En el método de sustitución, llamado también cambio de variable, seescoge una literal. En nuestro caso se eligió la u, que se iguala a la función queincluye el integrando, por ello es necesario señalar que está en función de lavariable de dicha función.

Ejemplos:

Integrar (únicamente identificar la función y su diferencial).

f 7x (7) dx1. sen ~ '---v--'u(x) du(x)

Sol. 7x es la función7dx su diferencial

Señalamos

2. f cos !?JLu(y)

u = 7xu(x) = 7x

du(x) = 7dx

dy'--V---'du(y)

Sol. 5y es la funcióndy la diferencial (incompleta)

Señalamos

u = 5yu(y) = 5y

du(y) = 5dy

Observa que la variable de la función es y, así como que la diferencial enel integrando está incompleta.

En el primer ejemplo hemos escogido la literal u. A continuación seña-lamos u(x) indicando con ello que u está en función de x en seguida con du(x)calculamos su diferencial.

Algunos autores y profesores por costumbre y comodidad proceden en laforma siguiente.

18

Sustitución por cambio de variable 19

Integrar

J 7x (7) dxsen'-v--'~

u du

Señalan

u = 7xdu = 7dx

Desde luego que el procedimiento está bien. Tú debes actuar como lo señale yaplique el profesor pero sin olvidar que la variable u en el primer ejemplo estáen función de x, y en el segundo de y; este concepto es de utilidad en cursossuperiores.

Para identificar en el integrando la función y su diferencial, haremos usode varios ejemplos.

Ejemplo:

J (x2 + 3)2 (2x) dx

Hay dos maneras de resolver este ejemplo. La primera aplicando la susti-tución por cambio de variable y la otra, desarrollando la operación como seindicó en el párrafo 4.6 del apartado 2.

J~2~=u(x) du(x)

(x2 + 3)3Sol. 3 + C

u = x2 + 3u(x) = X2 + 3

du(x) = 2x dx

El integrando está completo pues incluye laJunción multiplicada por sudiferencial, en consecuencia se puede aplicar la fórmula de integración de lapotencia de una función.

Sustituyendo

= J u2 du

Integrando

u3=- + C

3

Con el valor de u queda

Otra solución se encuentra desarrollando la operación en el integrando.

J (x2 + 3)2 (2x) dx 1Sol. - x6 + 3.0 + 9X2 + C3

20 CAPíTULO3. Integración de una función compuesta

El integrando es un polínomío, por ello, podemos desarrollar su producto eintegrar término a término.

f (x2 + 3)2 (2x) dx = f (x4 + 6x2 + 9) (2x) dx

= f (2x5 + 12x3 + 18x) dx

= 2 f x5 dx + 12 f x3 dx + 18 f x dx

=~x6+~x4+~X2+C6 4 2

1= - x6 + 3x4 + 9x2 + e3

Los dos resultados están bien ya que si desarrollamos el primero de ellosse tiene:

(x2 + 3)3 e _ xB + 9x4 + 27x2 + 27 e3 + - 3 +

= 1. x6 + 3x4 + 9x2 + 9 + e3

La constante en el primer desarrollo es 9 + e, la del segundo es e, que sonequivalentes.

Ejemplo:

f cos 5x dx

Para poder aplicar la fórmula f cos u du es necesario determinar si está o nocompleto el integrando (la función y su diferencial).

f cos 5x dx = 1Sol. "5 sen 5x + e

u = 5xu(x) = 5x

du(x) = 5dx

En este ejemplo para completar la diferencial se tiene que multiplicar y dividirentre 5; lo cual no altera el valor del integrando porque, de hecho, se estámultiplicando por uno.

= f 1. cos 5x (5) dx5 u(x) du(x)

Sustituyendo

= 1. f cos u du5

Sustitución por cambio de variable 21

Integrando

1= - sen u + C5


1="5 sen 5x + C

Ejemplo:

f '-'3x - 1 dx = f (3x - l)~ dx

Para poder aplicar la fórmula f un du es necesario identificar u(x) y cal-cular su diferencial du(x).

f (3x - l)~ dx = 2Sol. "9 '-'(3x - 1)3 + C

Se observa que falta un 3 en el diferencial de la función. Se completa multipli-cando y dividiendo por 3.

1

= f ! (3x - 1).2 (3) dx3 u(x) du (x)

Se sustituye

1 f 1= - u2 du3

Se integra

1 11 u 2+2

=--- + C3 32


2 1

= "9 (3x - 1)2 + C

2= - '-'(3x - 1)3 + C9

Los dos resultados están bien. Se debe poner el que pida el profesor.Como se observa en los dos ejemplos anteriores, para completar el inte-

grando fue necesario multiplicar y dividir por una cantidad.Justificado el desarrollo, por comodidad se acostumbra proceder como

se indica a continuación.

22 CAPíTULO 3. Integración de una función compuesta

Ejemplos:

1. f sen 7x dx = -71 f sen ~ ~ = ! cos 7x + C

u(x) du(x) 7

u = 7xu(x) = 7x

du(x) = 7dx

2. f 3 cos 3x dx = sen 3x + C

Con la práctica y como en este ejemplo, el reconocimiento de la fórmulapor aplicar se hizo mentalmente, sin necesidad de incluir todo el procesoseñalado para la integración por sustitución.

CONCLUSiÓN:

Para poder aplicar una fórmula de integración, es necesario que en el inte-grando esté la derivada de una función, lo cual significa que debe incluir lafunción u(x) y su diferencial du(x).

Se cometen muchos errores en el desarrollo de la integración por nosaber identificar enjorma correcta. En ocasiones la diferencial de la funciónno está completa; le falta algún factor numérico por lo cual se deben hacer lasoperaciones necesarias para completarla.

Al igual que en este apartado, en los demás se incluyen conceptos yejemplos que permiten entender con facilidad los ejercicios de cada tema. Sinembargo, se deben estudiar cuidadosamente los conceptos expuestos por elprofesor, pues estamos convencidos de que él los considera necesarios y deque se incluirán en el examen correspondiente.

2. Deducción de fórmulas para derivar integrales de la forma

f tan x dx, f cot x dx, f sec x dx, f ese x dx.

Como ya hemos estudiado la sustitución por cambio de variable podemos

aplicarla para deducir las fórmulas de derivación de la f tan x dx, f cot x dx,

f sec x dx, y f ese x dx.

2.1 Para f tan x dx

Demostramos en trigonometría que:

senxtanx=--

cosx

2.2 Para f col x dx

Deducción de fórmulas para derivar integrales de la forma f tan x dx, f cot x dx, f sec x dx, f ese x dx 23

de donde

f tan x dx = f sen x dxcosx

u = cos xu(x) = cos x

du(x) = - sen x dx

multiplicamos por (- 1) dos veces en el integrando y sustituyendo

= f - (- sen x dx)cosx

_ f duu

integrando

= - L (u) + e

con el valor de u queda

= - L (cos x) + e

Además

- L (cos x) = - In (_I_Jsecx

- (In - In sec x)

- In I + In sec x

como

L (1) = O

se tiene que

- L (cos x) = L sec x

por lo tanto,

f tan x dx = L Isec x] + e

Demostramos en trigonometría que

cosxcotx =--

senx


de donde

S d.x Scos x d.x

cot x = senxu = sen x

u(x) = sen xdu(x) = cos x d.x

Sustituimos

Integramos

= L (u) + e


= L (sen x) + epor lo tanto,

S cot x d.x = L Isen x] + e

2.3 Para f sec x dx multiplicamos y dividimos el integrando por (sen x + tan x)

S d.x S sec x (sec x + tan x) d.xsec x =

sec x + tan x

S (sec2x + sec x tan x) d.x

sec x + tan x

u = sec x + tan xu(x) = sec x + tan x

du(x) = (sec x tan x + sec- x) d.x

Sustituimos

integramos

= L (u) + eCon el valor de u queda

= L (sec x + tan x) + ePor lo tanto,

S sec x dx = L Isec x + tan x] + e

Deducción de fórmulas para derivar integrales de la forma J tan x dx, J cot x dx, J sec x dx, J ese x dx 25

2.4 Para csc x dx se calcula en forma semejante a la f sec x dx. Multiplicamos y dividimos el integrandopor (csc x - cot x).

f dx f ese x (ese x - eot x) dxese x =. ese x - eot x

= f (esc2 x - ese x eot x) dxese x- eotx

u = ese x - eot xu(x) = ese x - eot x

du(x) = ese- x - ese x eot x dx

Sustituyendo

= L (u) + C

integrando

= L (ese x - eot x) + C

Por lo tanto,

f ese x dx = L Iese x - eot x] + C

Ejercicio 2

Calcular las integrales siguientes.

1. f dx Sol. x + C

2. fdxx

f x~ dxf 5x3 dx

"". f 2bx3 dx

..6. f (x4 - X2 + ~3 -~2) dxx X

".,

:Jr. J 5 (5x - 1)3 dx

Sol. L [x] + C

Sol.4 !..-X4 + C7

5Sol. -x4 + C4

bSol. -x4 + C2

Sol.x5 x3 1 1----- + - + C5 3 2x2 X

11)4 + CSol. - (5x-

4


/s:frx dx Sol. 4 rxs + C-5

9dx Sol. 1 + C

(x - 1)5 4 (x - 1)4

f~dx Sol. 3 ~1 . -x3 + C5

-r" J (~- :~)dxSol. 4 15 rx + C--{X-

J3 1 12. -x2 dx Sol. "2x-{X+C4

Jdx Sol. 113. --+C~ ? 2x2

Jdx 1Sol. -x3+CX-2 3

J dx Sol. 1+C(x+ 1)2 (x + 1)

J~ Sol. 31x+C1" 3-JX2

Sol. 1 + C3 (x - 2)3

18. J (x - 3) dx Sol. x-6Llx+31+Cx+3

J (x3 - 5X)5 (3x2 - 5) dx 119. Sol. "6 (x3 - 5X)6 + C

20. J .Jx - 2 dx Sol. 2 . ~- (x - 2)2 + C3

J (2x - 5x2) (2 - 10x) dx 121. Sol. - (2x - 5X2)2 + C2

22. J 5..J5X dx Sol. 2 ~- (5X)2 + C3

23. J (4x3 - 2x) (x4 - x2 - 5)3 dx Sol. (x4- X2 - 5)4 +C

J 4x3 dx Sol. L 11 + x41 + C1 +x4

cS. J 2 dx Sol. L 11 + 2xl + C1 + 2x

26. J (x + 2) dx Sol. x + L [x + 11 + Cx+1

Deducción de fórmulas para derivar integrales de la forma f tan x dx, f cot x dx, f sec x dx, f ese x dx 27

fX2_3x+S27. ...fX dx

f x3dx28.

x-l

2 ~ ~ .!.Sol. - x 2 -- 2x 2 + 10 2 + esx3 x2

Sol. 3 + 2 + x + L 1x -- 11 + e

. 29. f (x -- 2) (x -- 1) dxx3 X2

Sol. 3 + 2 --2x + e

Ejercicio 3

l. J 3 dx Sol. 3x + e

2 j 2x (x2 -- 3)2 dx 1Sol. 3" (x2 -- 3)3 + e

__ª,.J 2.0 dx 2x5Sol. """5 + e

M3x2 (x3 -- 1)3 dx

fdx5. 3x

1Sol. ¡ (x3 -- 1)4 + e

1Sol. -- -2 + e

2x

6. f (3x + 4)2 dx Sol. i (x + "::l,J3 + e

f X ;/X2+ 4 dx1 3

Sol. 3" (x2 + 4)2 + e

-.NiI-o-f X2 dxx3 - 2

-9-:-f Sy dy• ;/2y2 + 3

10. f (Sx -- 1)3 dx\

1Sol. 3" L Ix3 -- 21 + e

sSol. 2" ;/2y2 + 3 + e

1Sol. 20 (Sx -- 1)4 + e

f 6x2 dxx3 - 1

Sol. 2 L 1x3 -- 11 + e

f xdx12.

(x + 2)2

f x ;/(5 - x2) dx

2Sol. L 1x + 21 + + e(~+2)

1 3Sol. -- 3" (S -- x2)2 + e

f 3x2/14.;/ u"l dx3 - 4A-

1Sol. -- 2" ;/3 - 4x3 + e

f (x + 2) dxX2+ 4x

1Sol. 2" L (x2 + 4x) + e

Sol. % (x3 + l)~ + e16. f (x3 + l)~ dx


17. S 5.03 dx(.0 - 1)3

18. S X24;/.03_ 1 dx

S 2x ;/3 - 2x2 dx19.

20. S x ~3 - X2 dx

21. S (4 - X)2...¡x dx

Sol. 5 + e8(.0-1)2

4 3Sol. "9 (.03 - 1)4 + e

1 3Sol. -"3 (3 - 2X2)2 + e

3 4Sol. -"8 (3 - X2)3 + e

Sol. 32...¡x - 136 x...¡x + ~X2...¡x + e

4 Constante de Integración

Al integrar la diferencial 2x dx se obtiene la función y.

donde C es la constante de integración. Por cada valor de Ci. C2. C3•... de Cse obtiene una función primitiva X2 + Cj , X2 + C2.x3 + C3•...

De hecho. la expresión y = x2 + C representa una familia de parábolasparalelas con el mismo valor de la pendiente para cada punto.

dy-= 2xdx

1. Cálculo del valor numérico de la constante C

Para calcular el valor de la constante de integración es necesario tener laexpresión diferencial que se ha de integrar y algunos otros datos. proce-dimiento que ilustramos con los ejemplos siguientes.

Ejemplos:

1. Obtener la función y = J(x) tal quef'(x)= 9x2 - 6x + 1 cuandoJ( 1) = 5.

Sol. 3x3 - 3x2 + X + 4

Es una función en forma de ecuación que se cumple en el punto (l. 5)

Como y =j(x)

dy dJ(x)se tiene que - = --dx dx

dJ(x) = 9X2 - 6x + 1dx .pero

entonces dy = 9x2 _ 6x + 1dx

dy = (9x2 - 6x + 1) dx

29

30 CAPíTULO4. Constante de integración

Integrando

J dy = J (9x2 - 6x + 1)dx

=9Jx2dx-6Jxdx+Jdx

9x3 6x2=---+x+C3 2

y = 3x3 - 3x2 + X + C

Calculamos el valor de la constante C, que considerando las condicionesdel problema, este resultado debe ser igual a 5 para f( 1)

J(1) = 3(1)3 - 3(1)2 + 1 + C

=t-t+l+C

Condición que señala el problema

J(ll = 5

5 = 1 + C

5 - 1 = C

C=4

Al sustituir el valor de C

y =J(x) = 3x3 - 3x2 + X + C

y = 3x3 - 3x2 + X + 4

2. Calcular el valor de la constante de integración cuyaf'(x) = x2 + X - 2cuandoJ(1) = 6. Así como la función.

S 1 C = 43o. 6

x3 X2y=-+--2x+C3 2

Es una función que se cumple en el punto (1, 6)

como y =J(x)

se tiene que dy = dJ(x)dx dx

dJ(x) = X2 + X - 2dxpero

Cálculo del valor numérico de la constante C 31

entonces

dy = (x2 + X - 2) dx

integrando f dy = f (x2 + X - 2) dx

x3 X2y=-+--2x+C3 2

Calculamos el valor de la constante C, que considerando las condicionesdel problema, este resultado debe ser igual a 6 parajt 1)

J(1) = (1)3 + (1)2 _ 2(1) + C3 2

1 1="3+2"-2+C

= 2 + 3 - 12 + C6

7=--+C6

Condición que señala el problema

J(1) = 6

76=--+C6

76+-=C6

C = 436

Sustituyendo el valor de C

x3 X2y = J(x) = - + - - 2x + C3 2

x3 X2 43y=-+--2x+-326

NOTA: Esta expresión no se simplifica porque es una función y no una ecuación.

3. Determinar la función cuyaJ'(x) = X2 - 2x + 4, tenga el valor de 6 cuandox=2

x3Sol. J(x) = 3 - X2 + 4x + C

23

C=

32 CAPíTULO4. Constante de integración

Es una función que se cumple en el punto (2. 6)

Como y =J(x)

se tiene que

pero

entonces

dy = (X2 - 2x + 4) dx

integrando f dy = f (x2 - 2x + 4) dx

= f X2 dx - 2 f x dx + 4 f dx

x3 i X2y=---+4x+C

3 ix3

Calculamos el valor de C cuando y = 3 - x2 + 4x + C tenga el valor de 6cuando x = 2

J(2) = (2:t - (2)2 + 4(2) + C

8=--4+8+C3

= 8 - 12 + 24 + C3

20=-+C3

Condícíón que señala el problema

J(2) = 6

206=3+ C

6 - 20 = C3

2C=--3

Significado geométrico de la constante de integración 33

COMPROBACiÓN:Sustituyendo el valor de C

x3y = J(x) = 3 - X2 + 4x + C

23 26 = - - 22 + 4(2) - -

3 3

8 26=--4+8--3 3

6 = 8 - 12 + 24 - 23

6 = 6

2. Significado geométrico de la constante de integración

X2 es una de las funciones primitivas de la función 2x cuando la constante deintegración vale cero; es decir, 2x es la derivada de una función y = j(x).

Si dej'(x) = 2x se quiere obtener la familia de las funcionesj(x) que tienencomo derivada a 2x, se tiene entonces.

dy = dJ(x) = j'(x)dx dx

dy =j'(x) dx

integrando

f dy = f 2x dx

í)c2y=- +C

í(1)

donde C es la constante de integración. Si asignamos a C varios valores, porejemplo 3, 0, -2 se tiene de (1) las expresiones:

y

y = X2 + 3; Y = X2; y = X2 - 2

cuyos lugares geométricos son parábolasque intersecan al eje de las y a distan-cias del origen de 3, 0, -2, respectiva-mente.

34 CAPíTULO 4. Constante de integración

Todas estas parábolas tienen el mismo valor ~ , es decir, tienen la misma

pendiente 2x para el mismo valor de x. Además, la diferencia de sus ordena-das permanece la misma para todos los valores de x, el valor de C no afecta lapendiente de ninguna de estas parábolas.

Si ponemos la condición de que la curva de la parábola de nuestro ejemplopase por el punto (L, 3), entonces las coordenadas de este punto deben satis-facer la expresión y = x2 + C de donde:

y = X2 + C

3 = (1)2 + C

C = 3 - 1

C=2

Por lo tanto, la ecuación de la parábola que se pide pase por el punto (1, 3) esy=x2+2

Gráfica

Tabulando

y=x2+2y

~

~

f(x) = X2 + 2

feO) = O + 2 = 2

f( 1) = (1)2 + 2 = 3

f(2) = (2)2 + 2 = 6

----+----x

5Integrales inmediatas.Funciones trigonométricasdirectas

1. Recordatorio de trigonometría

En el libro de Matemáticas 11. Geometría y trigonometría del autor. se com-prueban las funciones e identidades siguientes: 1

1 cos xsen x = -- = 1/ 1 - cos- X = tan x cos x = --cot x cotx

1 sen xeos x = -- = 1/ 1 - sen- x = cot x sen x = --secx tan x

1tan x = -- = -'¡sec2x - 1cotx

senxcosx

1 cos xcotx =-- = I/csc2x-l =--tanx senx

1see x = -- = -,¡1 + tan- xcosx

1esc x = -- = -,¡1 + cot2 xsenx

Funciones trígonométrtcas recíprocas

sen x ese x = 1

1sen x = cscx

1ese x = senx

cos x sec x = 1

1cos x = seex

1sec x = cosx

1 Fuenlabrada, Samuel. Matemáticas lI. Geometría y trigonometría. McGraw-Hill. México, 1995.págs. 77. 79 Y 119.

35

36 CAPíTULO5. Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas

tan x cot x = 1

1tan x = cotx

cot x = tan x1

Identidades trtgonométrtcas del Teorema de Pitágoras (Pítagórtcas).

sen- x + cos- X = 1

sen? x = 1 - cos- X

cos- x = 1 - sen- x

sec- x - tan? x = 1

tan- x = sec- x - 1

sec- x = 1 + tan- x

ese- x - cot- x = 1

ese- x = 1 + cot- x

cot- x = ese- x - 1

2. Fórmulas de integración de las funciones trigonométricas directas

f sen u du = - cos u + e

feos u du = sen u + e

f sec u tan u du = see u + e

f sec- u du = tan u + e

f ese u eot u du = - ese u + e

f ese- u du = - cot u + e

Algunos procedimientos de integración de las funciones trigonométricas directas 37

3. Algunos procedimientos de integración de las funciones trigonométricas directas

3.1 El integrando es el producto de la potencia de una función trigonométrica por su diferencial.

Ejemplo:

3 sen- x cos x dx = Sol. sen" x + e

Si la función es

u = sen x

u(x) = sen x

du(x) = cos x dx

Sustituyendo u(x) y du(x) en el integrando. se tiene

= 3 f u2 du

integrandou3

= 3-+ e3


= sen ' x + e

3.2 Sustituyendo el integrando por una identidad pitagórica.

Ejemplo:

f tan- 7x dx = 1Sol. - tan Zx:> + e7

como tan- x = sec- x - 1

Sustituyendo en el integrando

= f (sec- 7x - 1) dx

completamos la diferencial multiplicando y dividiendo por 7.

= ..!. f (sec? 7x - 1) 7 dx7

= t f sec- 7x (7) dx - t f 7 dx

integrando1= "7 tan 7x - x + e


3.3 El integrando se sustituye por una identidad trigonométrica recíproca.

Ejemplos:

1.

1como csc x = --senx

al elevar al cuadrado ambos miembros

1csc- x = ---sen- x

y sustituyendo en el integrando

= -3 J ese- x dx

integrando

= 3 cot x + e

J dx -2. cos- x ..Jtanx + 2 -

1como sec x = --cosx

al elevar al cuadrado ambos miembros

1sec- x = ---cos? X

se sustituye en el integrando

_ J sec2 x dx- ..Jtanx+ 2

= J (tan x + 2f ~sec- x dx

Si la función es

u=tanx+2

uíx) = tan x + 2

du (x) = sec- x dx


Sol. 3 cot x + e

Sol. 2 ..Jtanx + 2 + e


integrando1

u2

12

1

= 2 u2


1

= 2(tan x + 2)2

= 2 ...Jtanx + 2 + C

3. f sen 3x dx =(1 - cos 3X)3

Sol. - 1 + C6(1 - eos 3x)2

= f (1 - eos 3X)-3 sen 3x dx

Si la función es

u = 1 - cos 3x

u(x) = 1 - eos 3x!

du (x) = sen 3x (3) dx

I ,,~ , ;<

Completamos la diferencial. multiplicando y dívídíendo por 3.

= ~ f (1 - cos 3X)-3 sen 3x (3) dx


= l f u-3 du3

integrando

1 u-2=--+C3 -2


= 1 + C6(1 - cos 3x)2

3.4 Multiplicando el integrando por su conjugado.

V;jemPlo:

f dx =2 + 2 cos x

1 1Sol. - - cot x + - cse x + C2 2


_ f 1 (2 - 2 cos x) dx2 + 2 cos x 2 - 2 cos x

El producto de un bínomío conjugado es igual a la diferencia de suscuadrados.

= f 2 - 2 cos x dx4 - 4 cos- X

factorizando

= 1.. f 1 - cos x dx2 1 - cos- X

como sen- x = 1 - cos- X

sustituyendo

= 1.. f 1 - cos x dx2 sen- x

1como csc x = -- ;senx

sen- x = sen x sen x ;

cosx 1cot x = --' csc x = --sen x ' senx

Al sustituir en los integrandos

= ~ f ese- X dx - ~ f cot x ese x dx

integrando

1 1- - cot x + - csc x + e2 2

3.5 Multiplicando y dividiendo el integrando por una misma cantidad.

Ejemplo:

f tan 2x ..Jsec2x dx = Sol. ..Jse~2x + e

Multiplicando y dividiendo el integrando por ..Jsec2x

f (..Jsec 2X)= tan 2x ..Jsec2x ..J dxsec 2x


= J tan 2x sec 2x dx-Ysec2x

= J (sec 2xri tan 2xsec 2x dx

Si la función es

u = sec 2x

u(x) = sec 2x

du(x) = tan 2x sec 2x (2) dx

Sustituyendo el integrando; multiplicando y dívídíendo por 2 para completarla diferencial.

1 J .!.= - U-2 du2

integrandoI

1 u-'i=--+C

2 12

I

= u'i + C

sustituyendo el valor de u queda

= -Ysec2x + C

3.6 Parte del integrando se descompone en sus factores.

Ejemplo:

f senx dx =cos- x

Sol. sec x + C

cos? X = cos x cos x

f senx= dxcos x cos x

= f sen x _1_ dxcosx cosx

senxcomo tan x = -- ;cosx

1secx =--cosx

= f tan x sec x dx

integrando

= sec x + C


3.7 En el integrando se desarrollan algunas operaciones algebraicas.

Ejemplo:

J (sec x + tan X)2 = Sol. 2 tan x + 2 sec x - x + C

Al desarrollar el bínornío cuadrado perfecto

= J (sec2 x + 2 sec x tan x + tan'' x) dx

= J sec- x dx + 2 J sec x tan x dx + J tan- x dx

Como tan- x = sec- x - 1

sustituyendo e integrando

= tan x + 2 sec x + J (sec? x - 1) dx

= tan x + 2 sec x + J sec- x dx - J dx

integrando

= 2 tan x + 2 sec x - x + C

Ejemplos:

Integrar

1. J 3 cos (3x - 1) dx =

u = 3x - 1

u(x) = 3x - 1

du(x) = 3 dx

Sol. sen (3x - 1) + C

= ~J cos (3x - 1) (3) dx

Sustituyendo

= J cos u du

integrando

= sen u + C

Sustituyendo el valor de u, queda

= sen (3x - 1) + C


2. f sen ~ x dx =3 .

2u =-x

3

2u(x) = '3x

2du(x) = '3dx

Multiplicando y dividiendo el integrando por ~

= _1 f sen ~x (~)dx2 3 3·3

integrando

3= - - cos u + e2


3 2= - - cos -x + e2 3

3. f sen 3x dx =

u = 3x

u(x) = 3x

du(x) = 3 dx

Multiplicando y dividiendo el integrando por 3

= t f sen 3x (3) dx

= 1. f sen u du3

integrando

1= - - cos u + e3


1= - '3 cos 3x + e

3 2Sol. - '2 cos '3x + e

1Sol. - - cos 3x + e3

44 CAPíTULO 5. Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas .

4. J sen- x cos x dx = Sol. - ~ sen" x + C

u = sen x

u(x) = sen x

du(x) = - cos x dx

= - J u2 du

integrando

u3--+C

3


1- - sen'' x + C3

5. J x sen X2 dx = 1Sol. - - cos X2 + C2

u = X2

u(x) = x2

du(x) = 2x dx


= 1. J x sen x2 (2) dx2

= 1. J sen u du2

integrando1- - cos u du2


1= - - cos X2 + C2

En el libro de Matemáticas IV; Cálculo diferencial del autor, se díce.s

sen-' x = (sen X)2. Estas expresiones son diferentes asen X2 pero todas ellastienen validez; como se observa en los ejemplos anteriores.

6. J cot- y dy = Sol. - cot y - y + C

Como cot- y = ese- y - 1

2 Fuenlabrada. Samuel. Matemáticas N. Cálculo diferencial. McGraw-Hill. México. p. 87. apar-tado 1.2.


sustituyendo en el integrando

= J (ese- y - 1) dy

= J ese- y dy - J dy

integrando

- cot y - y + C

J dx =7.sec (3x - 1)

1Sol. "3 sen (3x - 1) + C

1Como cos x = --sec x


= J cos (3x - 1) dx

u=3x-l

u(x) = 3x - 1

du(x) = 3 dx

multiplicando y dividiendo el integrando por 3

= .!.. f cos (3x - 1) (3) dx3

= .!.. J cos u du3

integrando

1= - sen u + C3

sustituyendo el valor de u, queda

1= "3 sen (3x - 1) + C

J cos 3x J8. 23 dx = sen= 3x cos 3x dxsen xSol. - 1 + C

3 sen 3x

u = sen 3x

u(x) = sen 3x

du(x) = cos 3x (3) dx

46 CAPíTULO 5. Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas


= t f sen-2 3x cos 3x (3) dx

= .!. f u-2 du3

integrando

= .!. f u-! + C3 -1

1= --+C3u

sustituyendo el valor de u. queda

1 + C3 sen 3x

f -3 dx =9. 2sen 2x

1Como csc x = --senx

elevando al cuadrado ambos miembros

1cscé x = ---sen+x


= f - 3 ese- 2x dx

u = 2x

u(x) = 2x

du(x) = 2 dx

multiplicando y dividiendo el integrando por 2

= - ~ f ese- 2x (2) dx2

= - ~ f ese- U du2

integrando

3= - cot u + C

2


3= - cot 2x + C2

3Sol. "2 cot 2x + C


10 J tan 5x dx =. cos2 5x

1Sol. - tan2 5x + C10

1Como sec x = --cosx


1secs x = ---cos+ x


= J tan 5x sec- 5x dx

u = tan 5x

u(x) = tan 5x

du(x) = sec-' 5x (5) dx

multiplicando y dívtdíendo el integrando por 5

= !J tan 5x sec- 5x (5) dx

=! J u du5

integrando

1 u2=--+ C5 2


= ! (tan 5X)2 + C5 2

= _1_ tan- 5x + Cla

5 dx =11.5 + 5 cosx

1 1Sol. -"5 cot x + "5 ese x + C

Multiplicando el integrando por su conjugado

_ J ( 1 ) (5 - 5 cos x) dx5 + 5 cosx 5 - 5 cos x

=5 5-5cosx dx25 - 25 cos- x

factorizando

= 5 5 (1 - cos x) dx25 (1 - cos- x)


como sen-' x = 1 - cos- X


= 1. f 1 - cos x dx5 sené x

común denominador

_1. f 1 dx _1. f cosx (_l_Jdx- 5 serf x 5 sen x sen x

1 cosxcomo csc2 x = --::-- cot x = -- ;sen- x • senx1ese x =--

senx

sustituyendo en los integrandos

= k f csc2 X dx - k f cot x ese x dx

integrando

1 1= - 5 cot x + "5 ese x + e

f 5dx -12. cos- x ..ftanx + 1 - Sol. 10 ..ftanx + 1 + e

1como sec x = --cosx


1sec2x = ---

cos- X


= 5 J sec2x dx

..ftanx + 1

= J (tan x + ni sec- x dx

u=tanx+l

u(x) = tan x + 1

du(x) = sec- x dx

= 5 J u -~ du


integrando

sustituyendo el valor de u, queda

= 10 "tan x + 1 + C

13. f sec+ x dx = 1Sol. tan x + "3 tan" x + C

Como sec+ x = sec- x sec- x

= f sec- x sec? x dx

y además, sec- x = 1 + tan- x


= f (1 + tan- x) sec? x dx

= f (sec- x + tan- x sec- x) dx

= f sec- x dx + f tan- x sec- x dx

u=tanx

u(x) = tan x

du(x) = sec- x dx

= tan x + f u2 du

integrando

u3=tanx+-+C

3


1= tan x + - tan" x + C3

14. f sen" x dx = f sen x sen- x dx1

Sol. - cos x + "3 cos'' X + C

Como sen- x = 1 - cos- X


= f sen x (1 - cos- x) dx


= f (sen x - sen x eos2 x) dx

= f sen x dx - f sen x cos- x dx

u = cos xu(x) = cos x

du(x) - sen x dx

= - eos x + f u2 du

integrando

1- eos x + - u3 + C3


1= - eos x + - cos-' x + C3

15. f ese 5x cot 5x dx = 1Sol. - 5" ese 5x + C

u = 5x

u(x) = 5x

du(x) = 5dx

Multiplicando y dividiendo el integrado por 5

= i f ese 5x eot 5x (5) dx

= i f ese u cot u du

integrando

1=--cseu+C5


1= - - csc 5x + C5

16. f (tan2 3x - sec- 5x) dx = 1 1Sol. "3 tan 3x - x - 5" tan 5x + C

= f tan-' 3x dx - f sec- 5x dx

Como tan- x = sec- x - 1

entonces tan- 3x = sec- 3x - 1


sustituyendo en el primer integrando

= f (sec2 3x - 1) dx - f sec- 5x dx

u = 5x

u(x) = 5x

du(x) = 5 dx

multiplicando y dividiendo el último de los integrandos por 5

= f sec- 3x dx - f dx - .!.. f sec- 5x (5) dx5

integrando

= .!.. tan 3x - x - .!.. f sec- u du3 51 1

=-tan3x-x--tanu+C3 5sustituyendo el valor de u queda

1 1= - tan 3x - x - - tan 5x + C3 5

ftan6xdx=17. 2cos 6x1Sol. - tan2 6x + C

12


1entonces sec 6x = 6cos x


sec2--6x = __ 1__cos+Bx


= f tan 6x sec- 6x dx

u=tan6x

u(x) = tan 6x

du(x) = sec- 6x (6)" dx

multiplicando y dividiendo por 6

= i f tan 6x sec- 6x (6) dx

= .!.. f u du. 6 -


integrando

1 u2=--+C

6 2


1= - tan- 6x + C12

18. J (sec x - tan xl2 dx = Sol. 2 (tan x - sec x) - x + C

Al desarrollar el binomio cuadrado perfecto

= J (sec'' x - 2 sec x tan x + tan- x) dx



= J (sec2 x - 2 sec x tan x + sec- x - 1) dx

= J (2 sec- x - 2 sec x tan x - 1) dx

= 2 J sec- x dx - 2 J sec x tan x dx - J dx

integrando

= 2 (tan x - sec x) - x + C

19. J_dx__1 + sen x

Sol. tan x - sec x + C

Multiplicando el integrando por su conjugado

= J 1 -sen x dx(l + sen x) (1 - sen x)

= J 1 - sen x dx1 - sen- x

como 1 - sen- x = cos- X


= J 1 - senx dxcos- x

= J _1 _ dx _ J sen x dxcos- X cos- X

1Como sec x = -- ;cosxcos- X = cos x cos x


Sustituyendo en los integrandos

= J sec- x dx - J sen x (_1_) dxcosx cosx

senx 1como -- = tan x· sec x = --cosx ' cosx

sustituyendo el segundo de los integrandos

= f sec- x dx - f tan x sec x dx

integrando

= tan x - sec x + C

Ejercicio 4

Calcular las siguientes integrales. Se incluyen ejercicios de otras integralesinmediatas.

l. f sen" y cos y dy ./' 1Sol. "5 sen" y + C

f sec2.,¡¡j d2. 2.,¡¡j Y

J 6dx3. X3/

Sol. tan.,¡¡j + C

3Sol. - -2 + CX

4. J cos- 5y sen 5y d!j/°

5. J 3x sen X2 dx -:

1Sol. - 15 cos-' 5y + C

3Sol. - - cos X2 + C2

6. J 7 tan- x dx Sol. 7 tan x - 7x + C

7. J (3~yy)5 ~f?'2)( JX..LlAr¡ X

8. J cos 4 \ <® / ----L .tV Jy9. J x-t dx ;

1 --------:--c::-----c-:- + C4 (3 + y)4,

14 sen 4x + C

3 .3",Sol. - 'l/X2 + C2

Sol.

Sol.

10. J dx /x3

1Sol. - 2x2 + C

1Sol. "2 tan 2x + C11. J sec- 2x dx ",.....

12. J 3y 42y2 - 8 dy ./

13. J cos+ 3y sen 3y dy )

9 4Sol. 16 (2y2 - 8)3 + C

1Sol. - 15 cos" 3y + C

54 CAPíTULO 5. Integrales inmediatas. Funciones trigo no métricas directas

14. f sen-' y eos y dy / 1Sol. - sen+ y + C4

15. f (2 - y3)2 dy Sol. y74y - y4 + - + C

7

16. f 5 tan- y dy, Sol. 5 tan y - 5y + C

17. f tan- (3x - 1) dx .: Sol. 1- tan (3x - 1) - x + C3

f (1 + y3)2 dy4 7

18. Sol. y+1L+1L+C2 7

f x3 eos x4 dx / 119. Sol. ¡ sen x4 + C

f sen? 3x eos 3x dx / 120. Sol. - sen" 3x + C

9

f tan" 2x sec- 2x dx ~ 121. Sol. 12 (tan 2X)6 + Ctf

f5dx I

22. cos- x ...Jtanx- 2 ")l Sol. 10 (tan x - 2)2 + C

23. f tan- 2y dy . Sol. tany-y+C

f tan+ x dxI 0 1-24. j ..J-l, Sol. - tan" x - tan x + x + C( \ 3) !.

f (1 - x)2 rx dx v 2 4 225. Sol. - x..¡x - - X2 ..¡x + - x3 ..¡x + C

3 5 7

26. f2+xdx Sol. 1 1----+Cx3 X2 x

27. f sec- 5x dx ,. Sol. 1"5 tan 5x + C

28. f ese- (3 + 5x) dx ' Sol. 1- "5 eot (3 + 5x) + C

29. f 2dy Sol. 2- - eot 5y + Csen25y 5

30. f (sen? 2y eos 2y) dy 1/ Sol. "8 (sen 2y)4 + C

31. J (tan2 3x - sec- ~x) dx Sol. -x+C

32. f 3 - eosx dx / Sol. - 3 eot x + ese x + Csen+ x

33. f 1 Sol. - eot y + Csen- y

f 3 3 Sol. 4 334. ese ¡ x eot ¡x dx - - ese - x + C

3 4

6Integrales inmediatas (continuación)

Funciones trigonométricas inversas

1. Fórmulas de integración de funciones trigonométricas inversas

f du u.J 2 2 = arc sen - + ea -u a

f du 1 u---,,-~ = - arc tan - + ea2 + u2 a a

f du 1 u-----¡==;;===;;:: = - arc sec - + e- u "'¡u2-a2 a a

2. 'Algunos procedimientos de integración de las funciones trigonométricas inversas

Ejemplo:

Integrar.

1. f~~-x.2x

Sol. are sen 3" + e

Para aplicar la fórmula f :::¡a~~i'f~= Cen ~ + e es necesario

identificar los valores de a2, a, u2, u y calcular u(x) y d~

a2 = 9

a=3 u=x

u(x) = x

du(x) = /

El integrando está completo pues incluye laJunción multiplicada por sudiferencial, en consecuencia podemos aplicar la fórmula de integración citada.

f dx - f du.Jg - X2 - .Ja2 - u2,

integrandou= arc sen - + ea

55

56 CAPíTULO6. Integrales inmediatas (continuación). Funciones trigonométricas inversas

Al sustituir los valores de a y de u

= are sen ~ + C3

f dx =2.3 + 4x2

1 2xSol. . r;:;- arc tan .r;:;- + C

2'13 '13

, f du 1 uPara aplicar la formula 2 2 = - are tan - + C se identifican los valoresa +u a a

de a2, a, u2, u y se calculan u(x) y du(x)

a2 = 3a =..f3

u2 = 4x2

u-= 2x

u(xp=- 2x

du(x) = 2 dx

En este ejemplo para completar la diferencial se tiene que multiplicary dividir por 2. Con ello no se altera el valor del integrando porque de hechose está multiplicando por uno.

=1..f 2dx23+4x2


= 1.. f du2 a2 + u2

integrando

= 1.. (1..) are tan u2 a a

con los valores de a y de u queda

1 2x= -- arc tan - + C2-5 -5

3. f-3-dx =

X2+ 23 x

Sol. ..J2 are tan ..J2 + C

Identificamos a2, a, u2, u y calculamos u(x), y du(x)

a2 = 2a =..J2 u=x

- u(x) = x

.du(x) = dx

sustituimos en el integrando

= 3 f duu2+a2

El integrando se expresa como la suma de dos cocientes 57

integramos

= 3 (!)are tan ~ + C

Con los valores de a y u queda

3 x= -arc tan- + C..f2 ..f2

De hecho. estos ejemplos se han resuelto aplicando en forma directa lasfórmulas de integración. En el segundo de ellos únicamente fue necesariocompletar su diferencial. En otros casos, es necesario aplicar alguno de losprocedimientos que se citan aconttnuactón.

3. El integrando se expresa como la suma de dos cocientes

Ejemplo:

Sol. - "';9- X2 + 4 are sen i+ C

Común denominador

u = 9 - X2 a2 = 9

u(x) = 9 - X2 a = 3

du(x) = - 2x dx

u=x

u(x) = x

du(x) = dx

multiplicando y dividiendo por (-2) la primera integral

1 J 2 _1. J dx= - - x (9 - x ) 2 (-2) dx + 4 --2 9 -x2

Para el resultado de la segunda integral. tomamos el del ejercícío númerouno de este apartado

1 _1. x= - - U 2 du + 4 arc sen - + C2 3integrando

)

I

1 u2 x= - 2" -1- + 4 are sen "3 + e2


1 X= - (9 - X2)2 + 4 are sen 3" + C


Este resultado se puede expresar en la forma siguiente

= - ...J9- x2 + 4 are sen ~ + C

4. El integrando es una fracción donde el numerador es dx y el denominador es dela forma ax2 + bx + c. Éste dentro o fuera de un radical de índice dos

Algunos de estos casos pueden integrarse completando el cuadrado ax2 + bx.La integral resultante 'puede ser de cualquiera de las formas siguientes:

J du...Ju2 ± a2

J dua2 - u2

J duu2 ±a2

Completar el cuadrado es un procedimiento que resulta de gran utilidadcuando el integrando incluyeJunciones cuadráticas. En el curso de Aritméticay Álgebra se indicó que para completar el cuadrado se suma a la expresión elcuadrado de la mitad del coeficiente de x.

x' + bx + c ~ x' + bx + (%J ~(~J + c

Observa que para conservar la Igualdad hemos sumado y restado (%JEjemplo:

} 6dx dx=x2 - 4x+ 8

x-2Sol. 3 are tan -2- + C

Al completar el cuadrado del denominador, se tiene

X2 - 4x + 8 = (x2 - 4x + 4) - 4 + 8

= (x - 2)2 + 4

=6} dx(x - 2)2 + 4

u2 = (x - 2)2

u=x-2

a2 = 4

a=2

u(x) = x - 2

du(x) = dx

El integrando es una fracción 59


integrando


6 x- 2= - arc tan -- + C2 2

x-2= 3 are tan -- + C2

4.1 Completar el cuadrado cuando el coeficiente de X2 es negativo.

Ejemplo:

f dx =3x -x2 _

(2x - 3)Sol. are sen 3 + C

Si se completa el cuadrado del denominador se tiene

3x - X2 = - (x2 - 3x)

- [X'-3X+(~)' -(~n~ _ [(x _ ~)' _ (~ )']

Observa el signo menos que precede al paréntesis rectangular.

~(~J+-~Ja' ~ (~J u' +-~J

3a=-2

3u(x) = x --

2

du(x) = dx


Al sustituir en el integrando

- f du- ...}a2 - u2

integrando

u= are sen - + Ca


3x-2"= are sen -- + C. 3

2

2x-3--2= are sen = + C32

= are sen ~ (2x - 3) + Cj. (3)

(2x - 3)= are sen 3 + C

4.2 Completar el cuadrado cuando el coeficiente de x2 no es la unidad/

Ejemplo:

f dx =2x2-8x+9

1Sol. ...J2 are tan ...J2 (x - 2) + C

Se factortza la expresión 2x2 - 8x antes de completar el cuadrado.

2x2 - 8x + 9 = 2(x~ - 4x) + 9

== 2(X~ - .4x + 4)- ,4) + 9 r

Observa que el factor 2 afecta a toda la expresión que está entre paréntesis.

= 2(x2 - 4x + 4) - 2 (~) + 9

= 2(x - 2)2 + 1


=J dx2(x - 2)2 + l

r

u2 = 2(x - 2)2

U = V2 (x - 2)

u(x) = V2 (x - 2)

du(x) = V2 dx


a2 = l

a = 1

multiplicando y dividiendo en el integrando por V2

sustituyendo

integrando

__ 1 J V2dx- --J2 [V2 (x - 2»)2 + 1

__ 1 J du- V2 u2 + a2

= _1_(lJ are tan u + eV2a


Ejemplos:

Integrar.

J dx1. ...)9_ 16x2

d2 = 9

a=3

1= -v2 are tan -v2 (x - 2) + e

u2 = 16x2

U = 4x

u(x) = 4x

du(x) = 4 dx

Se multiplica y divide el integrando por 4

sustituyendo

integrando

_lJ 4dx- 4 "9 - 16x2

-lf du- 4 "a2 - u2

1 u= - are sen - + e4 a

1 4xSol. - are sen - + e

4 3



1 4x= - are sen - + C4 3

J dy =2. Y "'¡y2- 16

a2 = 16

a=4 u=y

u(y) = y

du(y) = dy

Sustituyendo

Al integrar

1 u= - are see -+éa a


= .!. are see Ji. + C4 4

J dy =3.25 + 4y2

a2 = 25

a=5

u2 = 4y2

U = 2y

u(y) = 2y

du(y) = 2 dy


= .!. J dy2 25 + 4y2

sustituyendo

= .!. J du2 a2 + u2

integrando

1 (1) u= - - are tan - + C2 a a

1 YSol. - are sen - + C4 4

1 2ySol. 10are tan 5 + C


1 (1) 2y="2 "5 are tan 5" + e

1 2y= - are tan - + ela 5

f ydy4. 5 + 2y4 =

a2 = 5a =..f5

u2 = 2y4

U = ..J2 y2

u(y) = ..J2 y2

du(y) ='~dy

Se multiplica y divide el integrando por 2..J2

__ 1_ f 2 ..J2 y dy- 2..J2 5 + 2y4

al sustituir

_-l-f du- 2..J2 a2+ u2

se integra

1 (1) u= -- - are tan - + e2..J2 a a

Con los valores de a y u, queda

1 (1) ..J2y2= 2..J2 ~ are tan ..f5 + e

1 ..J2= -- are tan - y2 + e2 (fO -s


1 ..J2Sol. 2 "';10 are tan ..f5 y2 + e

5. f cos y ~y = Sol. -21are tan se2ny + e

4 + sen y

a2 = 4 u2 = sen- y

a = 2 u = sen y

u(y) = sen y

du(x) = eos y dy

Se sustituye

= f dua2+u2


Se integra

1 u= - are tan - + Ca a

Con los valores de a y u. queda

1 seny= - are tan -- + C2 2

6. J dyv9 - (y + 1)2 = y+lSol. are sen -3- + C

a2 = 9 u2 = (y + 1)2

U = Y + 1

u(y) = y + 1

du(y) = dy

a=3

sustituyendo

I

!~

- J du- -Ja2 - u2

se integra

u= are sen - + Ca


... y+l= are sen -- + C3

7. J -J sec2

y d~ =1-9tan y

1Sol. 3' are sen (3 tan y) + C

a2 = 1

a = 1

u2 = 9 tan- y

u=3tany

u(y) = 3 tan y

du(y) = 3 see2 y dy


_ 1.J sec2 y (3) dy- 3 -J 1 - 9 tan2 y

sustituyendo

1 u= - are sen - + C3 a


f dx =8.1 + (x - 2)2

a2 = 1

a = 1

Al sustituir

se integra

1= 3" are sen (3 tan y) + C

u2 = (x - 2)2

U = (x - 2)

u(x) = (x - 2)

du(x) = dx

= f dua2+ u2

1 u= - are tan - + Ca a


f are tan 2x =9. 21 + 4x

= are tan (x - 2) + C

u = are tan 2x

u(x) = are tan 2x

2dxdu(x) = 1 + 4x2


se sustituye

integrando

= 1. f are tan 2x (2) dx2 1+ 4x2

= 1. f u du2

1 u2=--+C2 2


1= - are tan- 2x + C4


Sol. are tan (x - 2) + C

1Sol. - are tan- 2x + C4


f are eos2 3x dx _10. .y¡ + 9X2 -

1Sol. - - are cos" 3x + e

9

u = are eos 3x

u(x) = are eos 3x

3dxdu(x) = - .y¡ _ 9x2

Se multiplica y divide el integrando por -3

= _ 1. f are eos2 3x (-3) dx3 .y¡ - 9x2

se sustituye

_1. f u2 du3

integrando

1 u3= - -- + e3 3


1= - "9 are cos'' 3x + e

11. f (y + 3) dy.yl - y2 Sol. - ~ + 3 are sen y + e

Común denominador:

= f y dy + f 3 dy.yl-y2 ~

= f y(l - y2¡-~ dy + 3 f ~l-y

u = 1 - y2

u(y) = 1 - y2

du(y) = - 2y dy

a2 = 1 u2 = y2

a=l u=y

u(y) = y

du(y) = dy

se sustituye e integra la segunda integral

1 f _.!.= -"2 u 2 du + 3 are sen y + eal integrar

1

1 u:2= - - - + 3 are sen y + e2 1

2


Con el valor de u queda1

= - (1 - y2)2 + 3 are sen y + C

= - " 1 - y2 + C are sen y + C

f dx -12. "2x _ X2 - Sol. are sen (x - 1) + e

Se completa el cuadrado

2x - X2 = (x2 - 2x)

= - (x2 - 2x + 1 - 1)

- [(x - 1)2 - 1]

1 - (x - 1)2

- f dx- " 1 - (x - 1)2

a2 = 1

a = 1

u2 = (x - 1)2

U = X - 1

u(x) = x - 1

du(x) = dx

se sustituye

- f du- "a2 - u2

integrando

= are sen u + C


= are sen (x - 1) + C

13. f dx =X2 - 2x + 1

1Sol. - -- + Cx-l

Factorizamos

= f (x ~1)2

= f (x - 1)-2 dx

u=x-l

u(x) = x - 1

du(x) = dx

68 CAPíTULO 6. Integrales inmediatas (continuación). Funciones trigonométricas mversas

sustituimos

integramos

= J u-2 du

u-1=-+C

-1


= __ 1_ + Cx-l

J dy =14.y2 - 6y - 16

y2 - 6y - 16 = (y2 - 6y + 9) - 9 - 16

= (y - 3)2 - 25

sustituimos

integramos

= f dy. (y - 3)2 -25

u2 = (y -3)2

u=y-3du = dy

a2 = 25

a=5

= f du. u2 - a2

=_I_Llu-al +C2a u+a


15. f dxx2-2x+1

- 1~ LI~=~::I + C

=_1 LIY-SI +C10 y+2

=

= f dx(x - 1)2

= f (x - 1)-2 dx

= f u-2 du

1 Iy - SISol. 10 L Y + 2 + C

1Sol. - -- + C

x-l


integramos

u-I=-+C

-1)


= _ 1 + C(x - 1)

Ejercicio 5

Calcular las integrales siguientes. Se incluyen ejercicios de otras integralesinmediatas.

J 9X~ 16Sol. 1 3x12arc tan 4 + C

J dy ,, Sol. are sen ¡+ C-v16- y2

J %xdxI I Sol. 3 i3. -,--(5x)~ + e....------. 20/

J dy Sol. 1 + C(y - 2)3 2(y - 2)2

5. S sen" y cos y dy1Sol. - sen+ y + C4

6. S 2x2 dx Sol. 2 x3- arc sec - + Cx3-JX6 - 9 3 3

7. S dy Sol. 1 JLy-vy2-16 ...J5 are sec ...J5 + C

8. S 5ydy Sol. 1 y2- arc tan- + C

y4+25 \ 2 5

S X2- 3 Sol. 1 19. --dx --+-+CX2 x x3S (.x-2 - .x-5 - .x-4) Sol. 111

10. 2 dx - 3x3+ 6x6 + 5x5 + Cx

S 3x 4 3x1lo sen--¡-dx Sol. - - cos- + C3 4

12. S seny dy Sol. eosy-V5 - cos- y

- are sen ...J5

13. S dy Sol. 1 y-4y2 - 8y + 20 2" are tan -2- + e

14. S sec y tan y dy Sol. 1 see y- are tan -- + C16 + sec- y 4 4

70 CAPíTULO 6. Integrales inmediatas (continuación). Funciones trigonométricas inversas

15. J dy Sol. 1 y- are see - + Cy ..Jy2- 4 2 2

16. f dy Sol. 1 y - 4y2 - 8y + 20

- are tan -- + C2 2

f dx 117.

1 + 7x2Sol. f7 are tan f7 x + C

\

18. f dy Sol. y+3..J- y2 - 6y + 7 are sen -4- + C

19. f dy Sol. 1 y+4y2 + 8y + 25

- are tan -- + C3 3

20. f dx Sol. 1 x+ 1X2 + 2x + 10

- are tan -- + C3 3••2l. f dx Sol. 1

4x2 +8x+ 5"2 are tan (2x + 2) + C

22. f 2y2 dy Sol. ~ are see ~ + Cy ..Jy6- 9

23. f 8dy Sol. 8 y+2y2 + 4y + 7

- are tan -- + C-J3 -J3

24.dx x-3

..J4+6x-x2Sol. are sen {f3 + C

25. f - 4xdx Sol. X2..J9 -.0 - - 2 are sen :3 + C

26. f dy Sol. ~ are see .~ + Cy ..Jy2- 4

27. f see y tan y dy Sol. 1 2 see y+C

5 + 4 see2 y 2 {5are tan {5

7Integrales inmediatas (continuación)

Funciones exponenciales ylogarítmicas

1. Fórmulas de integración exponencial

J eU du = eU + e

J aU du = (_l_J aU + eln a

Ejemplos:

Integra.

1. f e5x dx =

u = 5x

u(x) = 5x

du(x) = 5 dx

Multiplicamos y dividimos en el integrando por 5

= ! f e5x (5) dx_5__ . _

sustituimos

=!IeU du5

e integramos

1= - eU + e5


1= - e5x + e5

71

1Sol. "5 e5x + e

72 CAPíTULO 7. Integrales inmediatas (continuación). Funciones exponenciales y logarítmicas

2. J ~+3 X dx =u=x2+3

u(x) = x2 + 3

du(x) = 2x dx

Multiplicamos y dividimos en el integrando por 2

= 1.. J ~+3 (2) x dx2 - --

luego sustituimos

1 J= - eU du2

e integramos

1= -eU + C2


= 1..~+3 + C2

3. J esenx cos x dx =

u = sen x

u(x) = sen x

du(x) = cos x dx

Sustituimos

integramos


=esenx+c

4. J x e-62 dx =

u = -6x2

u(x) = -6x2

du(x) = -12x dx

S l .!. ..» + 3 + Co. 2 e"

Sol. esenx + e

"

1Sol. - 12 e-62 + e

Fórmulas de integración exponencial 73

Multiplicamos y diVidimos el integrando por -12

= - _1_f x e-~ (-12) d.x12

Sustituimos

= __ 1 feu du12 .

enseguida integramos

1= - -eU + C12


1=--e-~+C12

5. f (7x - e2x) d.x = 7 1Sol. - X2 - - e2x + C2 2

u = 2x

u(x) = 2x

du(x) = 2 d.x

Multiplicamos y diVidimos la segunda integral por 2.

= 7 f x d.x -; ~ f eU (2) du

integramos7 1= -x2 - -eU + C2 2


7 1= - X2 - - e2x + C2 2

6. f (e3x - 4)2 d.x = 1 8Sol - e6x - - e3x + 16x + C. 6 3

Primero desarrollamos el producto

= f (e6x - 8e3x + 16) d.x

u = 6x u = 3x

u(x) = 6x

du(x) = 6 d.x

u(x) = 3x

du(x) = 3 d.x


Multiplicamos y dividimos por 6 y por 3 la primera y la s~nda de lasintegrales. respectivamente.

\= 1. f e6x (6) dx - 8 f e3x (3) dx + 16 f dx'

6 3

sustituimos

= 1. f eU du - ~ f eU du + 16 f dx6 3

e integramos(.

1 8= - eU- - eU + 16x + C

6 3

Con los valores de u queda

1 8= - e6x - - e3x + 16x + C6 3

3Sol. -2x + Ce

u = -2x

u(x) -2x

du(x) = -2 dx

Multiplicamos y dívídímos el integrando por -2

= 3 f e-2x (-2) dx

Realizamos la sustitución

= 3 f eU du

y la integración

= 3 eU + C


= 3 e-2x + C

3=-+Ce2x

9Sol. - -4- + C

4eX

u = -4x

u(x) = -4x

du(x) = -4 dx


Al multiplicar y dividir el integrando por -4 queda

= - ~f e-4x (-4) dx4

sustituimos

= - ~ f eU du4

integramos

9= - - eU + C4

Con' el valor de u queda

9= --e-4x+C4

9=---+C4 e4x

9. f dx3

= f e-3x dxeX

u = -3x

u(x) = -3x

du(x) = -3 dx

Multiplicamos y dividimos el integrando por -3

= _1. f e-3x (-3) dx3

sustituimos

= _1. f eU du3

integrando

1=--eu+C3


1= - - e-3x + C

3

10. f 3 dx = 3 J dx 1

,¡ex (ex) 2

= 3 f e-~ dx

1Sol. - 3"e3X + C

6Sol. - -x + C

e2


u=x2

u(x) = x21

du(x) = - 2 dx

1Multiplicamos y dividimos el integrando por - 2

3 f _!: ( 1)= _l e 2 -2 dx

2

sustituimos

integramos

6"= --+ CeU


6=----y+Ce2

11. J e-X dx =

u = -x

u(x) = -x

du(x) -dx

Consideramos el signo "menos" de la diferencial

= - f e-X (-dx)

sustituimos

= - J eU du

e integramos

= - e-U + C


1--+ Cex

\

I

>.

. 1Sol. - - + Cex


12. f 2X dx =

u=x

u(x) = x

du = dx

a=2

Sustituimos

= f aU du

integramos

= (_1 Jau + Cln a


1=--2x+C

ln 2

13. f 3~dx =

u = -x2

u(x) = -x2

du(x) = -2x dx

Al multiplicar y dividir el integrando por -2 resulta

= - ~ f x (-2)e-x2 dx2

luego sustituimos

= - ~ f eU du2

integramos3= - - eU + C2


3= - - e-x2 + C2

'. 14.I

f ex-dx=x2

1u=-

x1

u(x) = -x1

du(x) = - 2 dxx

1Sol. -- 2x + Cln 2

3Sol. - 2" e-

x2 + C

I

Sol. -e; + C


Se considera el signo "menos" de la diferencialI

sustttuímos

= - J eU du

integramos

=-eU+C


I

= - ex + C

15. J sen x eCOS X dx =

u = cos x

u(x) = cos x

du(x) = - sen x dx

Se considera el signo menos de la diferencial

= - J eCOS X (- sen x dx)

sustituimos

= - J eU du

enseguida integramos

=-eU+C


=_eCOSX+C

16. J esen 6x cos 6x dx =

u = sen 6x

u(x) = sen 6x

du(x) = 6 cos 6x dx

Multiplicamos y dividimos el integrando por 6

= 1. J esen 6x 6 cos 6x dx6

Sol. - eCOSX + C

1Sol. - esen 6x + C6

luego sustituimos

integramos

1= - eU du

6


1= _esen6x + C6

17. Jgxdx=

u=x a=9

u(x) = x

du(x) = dx


= J aU du

y la integración

aU

=--+Clna


gx=--+C

ln 9

2. Fórmulas de integración y logarítmica \

Fórmulas de integración y logarítmica 79

gxSol., ln 9 + C

Jdu-=Llul+Cu

J tan u du = L Isec u J + <?

J cot u du = L Isen u I + C

J sec u du = L Isec u + tan u I + C

J ese u du = L Iese u - cot u I + C

J du = _1 L I u - a I + Cu2 -a2 2a u+a


J du = _1 L Ia + u I + Ca2 - u2 2a a- u

f "" ~u 2 = L 1 u + ""u2 - a2 1 + Cu -a

Ejemplos:

Integra.

1 Jdx=l.Jd.x (

. 5x 5 x,u=x'-u(x) = x

du(x) = dx

Sustituimos

integramos

1= - L (u) + C5


1 '= - L (x) + C5

Se considera la propiedad de los logarttmos

I= L 1 (x)SI + C

2. J 5 dx = 5 J dx2+ 3x 2+3x

u=2+3x

u(x) = 2 + 3x

du(x) = 3 dx

Multiplicamos y dividimos por 3

= ~ J 3 dx3 2+3x

Sustituimos

I

Sol. L 1 (x)SI + C

5Sol. 3" L 12 + 3x 1 + C

integramos

5= - L (u) + C3


5= 3" L 12 + 3x 1 + C

f (2x - 1) dx =3.X2 - X - 6

u = X2 - X - 6

u(x) = X2 - X - 6

du(x) = (2x - 1) dx

sustituimos

integramos

= L (u) + C


= L 1~2 - X -,61 + C

f&dx =4.3x4-5

u=3x4-5

u(x) = 3x4 - 5

du(x) = 12x3 dx

multiplicamos y dividimos por 12

= _1 f 12x3dx123x4-5

sustituimos

= _1 f du12 u

integramos

1= - L (u) + C12


= _1 L 13x4 - 51 + C12

J

eFórmulas de integración y logarítmica 81

Sol. L 1X2 - X - 61 + C

1Sol. 12 L 13x4 - 51 + C


5. f x + 3 = f (1+_1_) dxx+2 x+2

Sol. x + L [x + 21 + C

Dividimos

1x+21 x+3

-x - 21

= fdx+ f_1_- dxx+2

u=x+2

u(x) = x + 2du(x) = dx

sustituimos

integramos

= x + L (u) + C


=x+Llx+21+C

6. f cos (x+ 2) .dx =sen (x + 2) -

u = sen (x + 2)

u(x) = sen (x + 2)

du(x) = c~ (x + 2) dx

= f ~uu

Sol. L [sen (x + 2)1 + C

integramos

= L.(u) + C \

Con el valor de u, queda

= L 1 sen (x + 2) 1 + C

7. f tan (5x - 1) dx = 1Sol. S.L [sec (5x - 1)1 + C

u = 5x - 1

u(x) = 5x - 1

du(x) = 5 dx



= .g f 5 tan (5x - 1) dx


= 1. f tan u du5

integramos1= "5 L (sec u) + C

Con el 'valor de u queda

= 1. L Isec (5x - 1) I + C5

J ln x .,.1" =,8. ~x

u = 'ln xu(x) =ln x

Jdu(x) =-'dx. .x


= f u du

Integramos

Con el valor de u 'queda

= ln21xl + C2

Desarrollamos el bínomío cuadrado perfecto

=4fdx-4fdx+fxdxxu = x:

u(x) = x

du(x) = dx

S l ln2 Ixl + Co. 2

X2Sol. 4 L [x] - 4x + 2 + C


sustituimos en la primera integral

integramos

X2= 4 L (u) - 4x + 2 + C


X2= 4 L [x] - 4x + 2 + C

10. f . dxcos- X 6 tan (x - 3)

1Sol. (3 L 16 tan (x - 3) I + C


elevamos al cuadrado ambos miembros

1queda sec- x = ---coss x

sustituimos

= f sec2 x dx6 tan (x - 3)

u = 6 tan (x - 3)

u(x) = 6 tan (x - 3)

du(x) = 6 sec- x dx

multiplicamos y dividimos por 6

= 1. f 6 sec2 x dx6 6 tan (x - 3)

nuevamente sustituimos

integramos

1= - L (u) + C6


1= (3 L 16 tan (x - 3) I + C


1l. f~=x2-9

u2 = x~ a2 = 9

u=x a=3

r (x) = x

du(x) = dx

sustituimos

Sol. 1. L 1x - 31 + C6 x+3

= f duu2 -a2

integramos

Con el valor de a y u queda

12. f (eX + sec2 x) dx =eX+tanx

Sol. L IeX + tan x] + C

u=eX+tanx

u(x) = eX + tan x

du(x) = (eX + sec- x) dx

sustituimos

integramos

= L (u) + C


= L IeX + tan x] + C

13. f ex - e-X dx =eX+ e-X

Sol. LleX + e-xl + C

u = eX + e-X

u(x) = eX + e-X

du(x) = (eX - e-X) dx


sustituimos

integramos

= L (u) + C


= L leX + e-xI + C

u = -3x2

u(x) -3x2

du(x) = -6x dx

a=2

Multiplicamos y dividimos por -6

= - l J 2-~ (-6) x dx6

sustituimos

= _l J aU du6

integramos

= _ l (_1_) aU + C6 La

Con el valor de a y u queda

= _ l 2-3¿ (_1_) + C6 L2

J sen x-s cos x dx =15. cosx

Común denominador

= J sen x dx + J cos x dxcosx cosx

=Jtanxdx+Jdx

integramos

= L Isec x] + x + C

1 ( 1) .Sol. -"6 2-3¿ L 2 + C

Sol. L Isec x] + x + C


16. f tan 2x dx = 1Sol. 2" L [sec 2xl + e

u = 2x

u(x) = 2x

du(x) = 2 dx


= ~ f tan 2x (2) dx

= 1.. f tan u du2

integramos

1= 2" L (sec u) + e

sustituimos el valor de u queda

1= 2" L Isec 2x I + e

17. f sec -vx ~ = Sol. -2 L [sec -vx + tan -vxl + e1

U = x2

1

u(x) = x2

1 _.!.du(x) = - ~ X 2 dx =

2__ l_dx2-vx

Multiplicamos y dividimos por -2

= -2 f (- Ir sec 1x dx2'1x

= -2 f sec u du

integramos

= -2 L (sec u + tan u) + e

luego sustituimos el valor de u queda

= -2 L [sec -vx + tan -vxl + e

18. f (1 + tan X)2 dx = Sol. 2 L Isec x] + tan x + e


= f (1 + 2 tan x + tan- x) dx




= J (l' + 2 tan x + sec- x - l') dx

= J (2 tan x + sec- x) dx

= 2 J tan x dx + J sec- x dx

integramos

= 2 L 1 sec x] + tan x + C

J 5x3-3 =19. x2+2

5x2 xSol. 2: - 5 L 1X2 + 21 - 3 are tan --f2 + C

Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. sedivide

5xX2 + 21 5x3 - 3

-5x3 - IOx- lOx - 3

entonces

5x3-3 -lOx-3--- = 5x + ----X2 + 2 X2 + 2

sustituimos

lOx + 3)dxx2+ 2

f flOx f 3=5 xdx- -'-dx- --dx. X2 + 2 X2 + 2

integramos la segunda integral

f~dx=x2+ 2

u=x2+2

u(x) = x2 + 2

du(x) = 2x dx

a2 = 2a = --f2

sustituimos


integramos

= 5 L (u) + C


= 5 L Ix2 + 21 + C

Integramos la tercera integral

J_3_dx=x2+2

u=x

a2 = 2a =.J2

du(x) = 2x dx

sustituimos

I = 3 J duu2+a2

integramos

= 3 (!)are tan ~ + C


3 x= -{2are tan .J2 + C

Teníamos que:

J 5x3- 3 dx = 5 J x dx _ J lOx dx _ J 3 dx

x2 + 2 X2 + 2 X2 + 2/

Si calculamos la primera integral y sustituimos cada uno de los resultadosde las integrales segunda y tercera nos queda

'", \.5~ 3 x

= 2 - 5 L 1X2 + 21 - .J2 are tan -{2 + C

Ejercicio 6

,', )

Calcular las integrales siguientes. Se incluyen ejercicios de otras integralesinmediatas.

l.1. Jé>:dx Sol.

Sol.

.\3 f dx

. 3x2 + 25

\ L- .,[3SO~5~BrC tan 5 x + C


S dx Sol. 14. ..J4 - 16x2

¡ are sen x + C

S dy 15. Sol. 7Llyl+C7y

S ln2

y dy 16. Sol. -Vlyl+Cy 3

S dy 1Sol. - L 15 - 9yl +C5 - 9y- 9

S 3x2 - 5>Jxdx 3 1O>Jx+ C8. Sol. -x2 -x 2

S ..J5 + 2y dy1 ~

9. Sol. '3 (5 + 2y)2 + C

S ecot 2x 110. Sol. - - ecot 2x + C

2

1l. S y3 ey4 dy Sol. .~ ey4 + C~-S x x

x x

12. (e2 - e -2) dx Sol. 2(e2+e-2)+C

S (e2x + 3)2 dx1

13. Sol. - e4x + 3e2x + 9x + C4

S 3x2dx 114. Sol. - - Lila - 4x31 + Cla - 4x3 4

S In (x - 3) dx 1'\

15. Sol. -ln2 Ix-31 +Cx-3 2

S ese- x dx 116. Sol. 8 L 13 - 8 eot x] + C3-8eotx

S (x2 + 3) dx Sol.X2

[x + 11 + e r17. - - x + 4Lx+1 2

18. S 9 e3x dx Sol. 3 e3x + C

S e5x + e-4x 119. Sol. - e3x - 6 e- 6x + Ce2x 3

20. Sdx Sol. 1--+ CeX eX

S eseny eos y dy>.

2l. Sol. eseny + C

22. S 102x dx Sol. 102x

21n la + C


23. f 35y dy Sol. 35y

5In 3 + CI

f eY2 ~y I

24. Sol. 2 eY2 + Cy2

25. f 32x dx Sol. 32x

2In3 + C

f (e3x + 73x) dx 1 ( 73X

)26. Sol. - e3x+-- + C3 In 7

27. fx3~dx Sol. ~2In3 + C

f -.J9::- 2128. Sol. "3 L 13x + -.J9x2- 2 I +C,/

29. f4x~9 Sol. 1 12X

-3

1 C-L +12 2x+ 3

f (tan 5x - eot ~ x) dx 1 2 330. Sol. "5 L (see 5x) - "3 L Isen"2 x] +C

f eo~x13l. Sol. "5 L [sec 5x + tan 5xl +C

f 8xdx 432. Sol. - L 13 - ex21 + C3-ex2 e

f tan 2x dx 133. Sol. "2L Isee 2x I + C

f see 5x tan 5x dx Sol. 134. "5 see 5x + C

35. f ese- 5x dx Sol. 1- - eot 5x + C5

f x3 see2 x4 dx 1. "" 36. Sol. ¡tan.0+C

37. f dx Sol. 1 /4+2XI +C16 - 4x2 16L 4-2x

38. f dx Sol. 1 (X-3)(x - 3)2+ 4 "2are tan -2- + C

39. f~ Sol. Llx-21+Cx-2

40. f x eot X2 dx Sol. L [sen x21 + C

41. f sen x + eos x dx Sol. L Isee x] + x + Ceosx


42.f sen rx dx Sol. -2 cos rx + Crx

43. f 2 sec 4y dy1Sol. "2 L [sec 4y + tan 4yl +C

f x cot x2 dx 144. Sol. "2 L 1sen x21 + C

45. f sec- 4y d 1tan 4y Y

Sol. ¡ L 1tan 4y 1 + C

46. f dy Sol. 1 y+2-2y - y2

- -L 1--1 + C2 y

47. f dx Sol. 1 L I~+3x

l +C5-9x2 6...f5 ~ -3x

48. f dx Sol. 1 X2X2 + 16

- arc tan - + C8 4

Resumen de las integrales inmediatas

Se citan en el orden en que se han aplicado, y al igual que su número puedenser modificadas según las indicaciones que al respecto señale el profesor.

1. fkdx=kx+C

2. f kf(xl = k f (xl + C

3. f l!(x) ± g(x)] = f J(x) dx + f g(x) dx

4. f un+ 1Un du = -- + C con n :# -1

n+l

5. f u-1 du = f du = In lul+C=Llul +Cu

6. f sen u du = - cos u + C

7. f cos u du = sen u + C

8. f sec u tan u du = sec u + C

9. S sec- u du = tan u + C

10. S ese u cot u du = - ese u + C

11. S ese- u du = - cot u + C

Resumen de las integrales inmediatas 93

12. f du U_1 2 2 = are sen -..r e'la -u a,

f du 1 .u /--;;---;;- = - are tan - + ea2 + u2 a a

13.

f du 1 u14. = - are see - + e

u "Vu2 - a2 a a

15. f eU du = eU + e

16. f aU du = (_1 ) aU + eIn a

f tan u du = L Isee u I + e = - L Ieos u I + e17.

18. f eot u du = L Isen u I + e

19. f see u du = L Isee u + tan u I + e

20. f ese u du = L Iese u - eot u I + e = - L Iese u + eot u I + e

21. f du __ 1 L Iu - al + eu2 - a2 - 2a u + a

22. f du __ 1 L I a + u I + ea2 - u2 - 2a a - u

f ...¡ ~u 2 = L Iu + "'¡u2 - a2 I + eu -a23.

81. Introducción

Métodos de integración.Integración de funcionestrigonométricas

Cuando se trata de obtener la solución de una integral es probable que ésta noesté considerada con alguna de las fórmulas de las tablas de integrales queincluyen los textos.

Sin embargo. los métodos de integración que a continuación se desarro-llan ayudan a transformar esas integrales en otras que se resuelven con lasfórmulas de referencia.

En la solución de las integrales directas e inversas se aplicaron las fórmu-las de integración correspondientes y. en algunos casos, fue necesario realizaralgunas sustituciones para obtener el resultado.

Ahora procedemos a considerar las integrales trígonornétrtcas de laforma:

f sen'" u cos" u du

f tan?' u sec" u du

f cot'" u ese" u du

f sen mu cos nu du

tales como:

f cos- 4x dx; f sen- (3x + 2) cos (3x + 2) dx;

f tan+ 3x dx; f tan? x sec" x dx;

94

Integración de la forma f senm u cos? u du 95

2. Algunos procedimientos de solución

Para integrar estas expresiones se aplican los procedimientos ya estudiados;además, donde proceda S~ usan las fórmulas que se conocen como "del ángulomedio" y que fueron demostradas en el libro Matemáticas 11.Geometría ytrigonometría citado en el apartado 5.1 Yse transcriben a continuación: 1

1 - cos 2xsen- x = ----2

1 + cos 2xcos- x = ----2

3. Integración de la forma f sen" u cos" u du

Se presentan dos casos:

Primer caso:

m y n son pares y positivos, o alguno.de ellos es nulo. Se aplican las fórmulasdel ángulo medio para bajar el grado-de la expresión.

Ejemplos:

Integra

1. f sen- x cos- x dx = x 1Sol. - - - sen 4x + e

8 32

con m = 2

n=2

como

1 - cos 2xsen- x = ----2

1 + cos 2xcos- x = ----2

Multíplícamos miembro a miembro las dos igualdades anteriores. Recor-damos que el producto del bínomío conjugado es igual al cuadrado delprimer término menos el cuadrado del segundo.

1sen2 x cos- x = - (1 - cos 2x)(1 + cos 2x)4

1= - (1 - cos- 2x)4

1 Véase. Fuenlabrada, Samuel. Matemáticas 11.Geometría y trigonometría. McGraw-Hill. México.1995. pág. 126.

96 CAPíTULO8. Métodos de integración. Integración de funciones trigonométricas

Sustituimos en el integrando.

J sen- x cos- x d.x = J¡(1 - cos- 2x) dx

= ! J d.x - ! J cos- 2x d.x4 4aplicamos a la segunda integral la identidad.

1 + cos 2xcos+ x = ----

2

entonces.

1 + cos 4xcos- 2x = ----

2

Calculamos la primera integral y sustituimos

= ~ - ! J cos- 2x d.x4 4= s. _ ! J (1 + cos 4x) d.x

4/ 4 2

x 1 J l-J= ¡ -18" d.x - '8 ¡cos 4x d.xL

integramos

= x _ ~ _ ! (!)f 4 cos 4x d.x4 884x x 1= - - - - - sen 4x4 8 32

x 1= - - - sen 4x + e8 32

2. f cos- 4x d.x = x 1Sol. '2 + 16 sen 8x + e

con m = On~ 2

como

1 + cos 2xcos2x = ----2

entonces

1 + cos 8xcos- 4x = ----2

Integración de la forma f senm u cos/' u du 97


= f ~ (1 + cos 8x) dx

= 1- f dx + 1- f cos 8x dx2 2integramos. y complementamos la segunda integral

= ~ + 1- (1-) f 8 cos 8x dx2 2 8

x 1= - + - sen 8x + e2 16

3. f sen+ x dx = 3x 1 1Sol. - - - sen 2x + - sen 4x + e

8 4 32

con m = 4

n=O

Factorizamos

= f (sen- x)2 dx

como

1 - cos 2xsen+ x = ----

2

entonces


= f 1 - 2 cos 2x + cos2 2x dx4

= f dx - ~ f cos 2x dx + 1- f cos- 2x dx444

Aplicamos a la última integral, la identidad

1 + cos 2xcos+ x = ----

2

queda

1 + cos 4xcos- 2x = ----2

f dx 2 f 1 f 1 + cos 4x d= - - - cos 2x dx + - x4 4 4 2

98 CAPíTULO 8. Métodos de integración. Integración de funciones trigonométricas

Resolvemos las tres primeras integrales

= ~ - l (l) f 2 cos 2x dx + l f dx + l (l) f cos 4x dx422 4242

= ~ - l sen 2x + l (~)+ l (l)(l) f 4 cos 4x dx44 42424

integramos

x 1 x 1= - - - sen 2x + - + - sen 4x + e4 4 8 323x 1 1= - - - sen 2x + - sen 4x + e8 4 32

Segundo caso:m o n son impares y positivos.

Si m es impar y positivo. se factoriza la función sen x dx y se aplicala identidad pítagórtca sen- x = 1 - cos- x

Si n es impar y positivo. se factoriza la función cos x dx y se aplica laidentidad pítagórtca cos- x = 1 - sen- x

Ejemplos:

l. f sen3 x dx =cos> X

1Sol. 4 cos+ x 1 + e

2 cogZ x

como m = 3.es impar ypositivo

= f sen" x cos=" x dx

como

sen" x = sen- x sen x

sustituimos

= f sen- x cos=" x sen x dx

con

sen? x = 1 - cos- X

sustituimos

= f (1 - cos- x) cos-5 x sen x dx

= f cos:" x sen x dx - f cos=" x sen x dx

u = cos x

u(x) = cos x

du(x) = - sen x dx

Integración de la forma f senm u cos? u du 99

sustituimos

- f u-5 du + f u-3 du

integramos1 1= - - u-4 + - u-2 + C-4 -2


1 1---+C2 cos- X4 cos+ X

2. f serr' x cos'' x dx = sen5 x _ sen7 x + CSol. 5 7

= f cos-' x sen+ x dx

Como n = 3.es impar ypositivo

como

cos-' X = cos- X cos X

sustituimos

= f cos- x sen+ x cos x dx

con

cos- X = 1 - sen- x

sustituimos

= f (1 - sen- x) sen+ x cos x dx

~ f sen+ x cos x dx - f sen" x cos x dx

u sen x

u(x) = sen x

du(x) = cos x dx

= f u4 du - f uB du

integramosu5 u7

=---+C5 7Con el valor de u queda

sen- x sen? x=-----+C5 '1


4. Integración de la forma f tanm u sec" u du

También se presentan dos casos.

Primer caso:m es impar y positivo.

Para integrar estas expresiones se factortza sec x tan x dx. A continuaciónaplicamos la identidad pítagórtca tan- x = sec- x - l.

3. f tan'' x sec" x dx = S l sec7 x _ sec5 x + Co. 7 5

como m = 3es impar yposítívo,

tan'' x = tan- x tan x

sec'' x = sec+ x sec x

sustituimos

= f sec+ x tan- x (sec x tan x) dx

como

tan- x = SeQ.2 X - 1

sustituimos

= f sec+ x (sec- x - II (sec x tan x) dx

= f (sec" x - sec+ x) (sec x tan x) dx

= f (sec" x) (sec x tan x) dx - f sec+ x (sec x tan x) dx

u = sec xuíx) = sec x

duíx) = sec x tan x dx

= f u6 du - f u4 du

integramos

u7 u5=---+C7 5


= sec7 x _ sec5 x + C7 5

Integración de la forma f cotm u ese? u du 101

Segundo caso:

m es par y posítívo.Para integrar estas expresiones se factoriza sec x dx. A continuación se

aplica la identidad pítagórtca sec- x = 1 + tan- x

4. f tan- x sec+ x dx = tan> x tan- xSol. -3- + -5- + C

como m = 2,es par ypositivo,

= f tan- x sec- x sec- x dx

sec+ x = sec- x sec- x

sustituimos

sec- x = 1 + tan-' x

ese PIUPAI?ATO/;>IA'G>.'Al fN/;>IOUE RAMtlnr

INCOIIPOIlAOA A lA UN/VI w')IUAD""eHOACANA ()E :'4N NI("Ot~s

()f HlnAIGOCO LAZAAO CAiotN4S. M/CM

como

sustituimos

= f tan- x (1 + tan- x) sec- x dx

= f tan- x sec- e dx + f tan+ x sec- x dx

u=tanx

uíx) = tan x

du(xl = sec- x dx

= f u2 du + f u4 du

integramos

u3 u5=-+-+C3 5


tan'' x tan> x=--+--+C3 5

5. Integración de la forma f cotm u ese" u du

Para integrar estas expresiones se factoriza cot x dx. A continuación se apli-ca la identidad pttagóríca cot- x = ese- X - l. Si se factor iza ese x dx se aplicala identidad pítagórtca ese- x = 1 + cot- x.


Ejemplos:

1. f cot'' X dx = cot+ x cot- xSol. - -- + -- + L I sen x] + C

4. 2

con m = 5n=O

cot'' X = cot'' x cot- x

sustituimos

= f cot" x cot- x dx

,o' como

cot- x = ese- X - 1

sustituimos

• \ln. ' 11<= f cot'' X (ese? X - 1) dx-\s ..., :., ~. ~lt,"~ J ••.•••••

Q.t.C:- .• ,'.! 4~1 ~·.I:".l.'~.~'" '" ') I~

'!'I..., ,1) -,.v¡ ~I, t, 1 ¿'~~1u ~,_ •. t·" ) ~= f (cot-' x ese- x - cot'' x) dx

= J cot" X ese- X dx - f cot" X dx

= f cot.3X CS¿2 X dx - f cot- x cot x dx


= f cot3 X ese- X dx - f (ese- X - 1) cot x dx

= J cot" X ese- X dx - f cot X ese- x dx + f cot x dx

u = cot x

u(x) = cot x

du(x) = - ese- X dx

= - f u3 du + f u du + f cot x dx

integramos

u4 u2-4 + 2 + L (sen x) + e


cor' x cot- x= ---+--+L [sen x] +C4 2 ..

Integración de la forma f sen mu cos nu du 103

2. f cot- X ese" X dx = S l _ cot3 X _ cot5 X + Co. 3 5

con m = 2n=4

ese+ X = ese? X ese- X

sustituimos

= f cot? x (ese- x ese- x) dx

como

ese- X = 1 + cot? x

sustituimos

= f cot- x (1 + cot-' x) ese- x dx

= f (cot- x ese- x + cot+ X ese- x) dx

= f ccot2 X ese- x dx + f cot+ X ese- X dx

u= cot x

[¡{(x) = cot x

du'(xj=- ese- x dx

= - J u2 du - Ju4 dú

integramos


= _ cot3 X _ cot5 X + C3 5

6. Integración de la forma f sen mu cos nu du

Para integrar estas expresiones se aplican las fórmulas de productos de senosy cosenos

1cos u cos v = "2 [cos (u + v l + cos (u - v l]

1sen u sen v = "2 [cos (u - u) - cos (u + ul]


Ejemplo:

f cos 5x cos 2x dx =1 1

Sol. 14 sen 7x + "6 sen 3x + e

Aplicamos la primera de las identidades antes señaladas en el párrafo anterior.

1cos 5x cos 2x = "2 [cos (5x + 2x) + cos (5x - 2x)]

1= "2 (cos 7x + cos 3x)

sustituimos en el integrando y se tiene

feos 5x cos 2x dx = ~ f (cos 7x + cos 3x) dx

= ~ feos 7x dx + ~ feos 3x dx

u = 7x u = 3x

u(x) = 7x

du(x) = 7 dx

u(x) = 3x

du(x) = 3 dx

= ~ (t) feos 7x (7) dx + ~ (i) f cos 3x (3) dx

integramos1 1= 14 sen 7x + "6sen 3x + e

Ejercicio 7

A efecto de notar la diferencia con las integrales trígonornétrtcas directas,completa el desarrollo que falta en los ejemplos siguientes:

1. f cos (3 + 2x) dx = 1Sol. "2 sen (3 + 2x) + e

u=3+2x

u(x) = 3 + 2x

du(x) = 2 dx

2. f tan- (x - 2) dx = Sol. tan (x - 2) - x + etan 2 X = sec- x - 1

3. f X ese? (x2 - 3) dx = 1Sol. -"2 cot (x2 - 3) + e

u = x2 - 3

u(x) = X2 - 3

du(x) = 2x dx


4. f tan'' 2x sec- 2x dx = 1Sol. - tan" 2x + C12

u=tan2x

u(x) = tan 2x

du(x) = 2 sec2 2x dx

@.ftan2X=cos2 2x

1secx =--cosx

1Sol. - tan- 2x + C4

6. f tan 3x "'¡sec3x dx 2Sol. "3 "'¡sec3x + C

Multiplicamos y dividimos el integrando por "'¡sec3x

Integra. Se incluyen algunas integrales trígonométrtcas directas.

7. S 3 cos-' 5x dx Sol. 3 3"2 x + 20 sen 10x + C

S tan+ 3x dx 1 18. Sol. - tan" 3x - - tan 3x + x + C9 3

S sen> 2x dx1 1

9. Sol. - - cos 2x + - cos" 2x + C2 6

10. S sen+ 2x cos 2x dx Sol. 1- - cos 2x + C10

1l. S sen 2x dx Sol. !L 11 - cos 2x1 +C1 - cos 2x 2

12. J sen+ 3x dx Sol.3 1 1'8 x - 12 sen 6x + 96 sen 12x + C

13. J cos- x dx Sol.x 1"2 + ¡ sen 2x + C

,S tan+ x dx =

114. Sol. - tan" x - tan x + x + C

3

Factorizamos

= S tan- x fun2 x dx

como

tan- x = sec- x - 1


sustituimos

= f tsec- x - 1) tan- x d.x

= f (tan- x sec- x - tan- x) d.x

= f tan-' x sec- x d.x - f tan- x d.x

= f tan- x sec- x d.x - f (sec- x - 1) d.x

u=tanx

u(x) = tan x

du(x) = sec- x d.x

= f u2 du - f sec- x + f d.x

integramos

u3=--tanx+x+C

3


1= - tan" x - tan x + x + C3

15. f 5 sen- x cos x d.x = 5Sol. - sen" x + C3

u = sen x

u(x) = sen x

du(x) = cos x d.x

Sustituimos

= 5 f u2 du

integramos

u3= 5-+ C3


5= - sen'' x + C3

16. f sec+ 3x d.x = 1 1Sol. - tan 3x + - tan'' 3x + C

3 9

Factorízamos

= f secé 3x sec- 3x d.x

Integración de la forma J sen mu cos nu du 107

como

sec- 3x = 1 + tan- 3x

sustituimos

= J (1 + tan- 3x) sec- 3x dx

= J sec- 3x dx + J tan- 3x sec2 3x dx

u = tan 3x

u(x) = tan 3x

du(x) = 3 sec- 3x dx

= J sec2 3x dx + .!J u2 du3

integramos

1 1 u3= - tan 3x + - - + C3 3 3


1 1= - tan 3x + - tan'' 3x + e3 9

17. J ese? 3x dx = •1 1

Sol. - - cot 3x - - cot" 3x + C3 9

Factorizando

= J csc2 3x ese- 3x dx

como

ese- 3x = 1 + cot2 3x

sustituimos

= J (1 + cot- 3x) ese- 3x dx

= J (ese- 3x + cot2 3x ese- 3x) dx

= J csc2 3x dx + J cot- 3x ese- 3x dx

u = cot 3x

u(x) = cot 3x

du(x) = 3 ese- 3x dx

= - .!cot 3x - .!J u2 du3· 3


integrando

1 1 u3= - - cot 3x - - - + C

333


1 1= - - cot 3x - - cot'' 3x + C3 9

18. f sen" 7x cos 7x dx = 1Sol. - sen" 7x + C42u = sen 7x

u(x) = sen 7x

du(x) = 7 cos 7x dx

= l. f u5 du7

Integramos

1 u6=--+C

7 6


1= - sen" 7x + C42

f sen 4xdx =19.2 - cos4x

1Sol. ¡ L 12 - cos 4x 1 + C

u = 2 - cos 4x

u(x) = 2 - cos 4x

du(x) = 4 sen 4x dx

integramos

1= - L (u) + C4


1= ¡ L 12 - cos 4x 1 + C

20. f tan+ x sec+ x dx = tan'' x tan? x CSol. -5- + -7- +

Factorizamos

= f tan+ x (sec? x sec- x) dx/


como

sec- x = 1 + tan- x

sustituimos

= f tan+ x (1 + tan- x) sec- x dx

= f (tan+ x sec- x dx + tan" x sec- x) dx

u=tanx

u(x) = tan x

du(x) = sec- x dx

integramosu5 u7

=-+-+C5 7Con el valor de u queda

tan" x tan? x=--+--+C5 7

21. f sen 5x sen 3x dx = 1 1Sol. ¡ sen 2x - 16 sen 8x + C

Como

1sen u sen v = 2" [cos (u - v) - cos (u + v) l

sustituimos

= f ~ (cos 2x - cos 8x) dx

= ~ f cos 2x dx - ~ f cos 8x dx

integramos1 1= ¡ sen 2x - 16 sen 8x -: C

f sec4 x dx _22. '>/tanx- Sol. 2 -Ytanx + ~ '>/tan5x + C

= f tan ~x sec+ x dx

Factorizamos

= f tan -~x sec- x sec- x dx

como

sec- x = 1 + tan- x


sustituimos

= J tan -~ x (1 + tan- x) sec- x dx

J I 3

= (tan -2 x sec- x + tan 2 x sec- x) dx

= J tan -~x sec- x dx +' J tan % x sec- x dx

u=tanx

uíx) = tan x

duíx) = sec- x dx

integramosI 5

u2 u2=-+-+C

1 5- -2 22=2~+-M+C5


2= 2 ...Jtanx + "5 ...Jtan5x + C

9 Métodos de integración Integración por partes

1. Fórmula de integración por partes

La integración por partes tiene por objeto calcular la función primitiva del producto de una función por la diferencial de otra función de la misma variable. Se basa en la fórmula de la derivada de un producto de dos funciones. misma que se demostró en el ya citado libro de Matemáticas Ni. que se escribe a continuación.

d(u v) = u dv + v du

Integrando ambos miembros resulta

uv = J u dv + J v du

se despeja la primera de las dos integrales:

uv - J v du = J u dv

Se obtiene la fórmula de integración por partes

J u dv = u v - J v du

Se usa para integrar gran número de integrales no inmediatas que se plantean como producto de funciones algebraicas. logarítmicas y trigonométricas inversas tales como:

J x cos x dx; J In x dx; J x "'¡x - 3 dx; J sen2 x dx; J arc tan x dx.

1 Véase FUenlabrada. Samuel. Matemáticas N. Op. Cit.. p. 60.

111

112 CAPíTULO 9. Métodos de integración. Integración por partes

2. Procedimiento de integración por partes

Para aplicar la fórmula procedemos en la forma siguiente:

Ejemplos:

Integra

1. J x cos x dx Sol. x sen x + cos x + e

Se descompone el integrando en dos factores.

uyv

De la expresión del integrando que se iguala a u , se calcula su diferencial.

u=x

du = dx

Lafunción en apariencia más complicada y que contiene a dx se iguala a du .

du = cos x dx

Para obtener el valor de u se integra la expresión que se igualó a du.

u = J cos x du

v = sen 'x

La expresión del integrando que se iguala a du debe ser fácilmente integrable.

Los valores obtenidos de u, du y de u, se sustituyen en la fórmula, para proceder a integrar.

J u du = uu - J u du

J x cos x dx = x sen x - J sen x dx

Integrando

= x sen x - (- cos x) + e = x sen x + cos x + e

La elección de cuál expresión es u y cuál dv del integrando es arbitraria y es la acertada cuando la integral del segundo miembro resulta más sencilla que la función inicial. De no ser así, habrá que hacer una nueva elección.

Procedimiento de integración por partes 113

2. J x sen x dx =

u=x dv = sen x dx

du = dx v = J sen x dx

= - cos x

Sustituimos en la fórmula

J u dv = uv - J v du

J x sen x dx = x(- cos xl - J (- cos xl dx

= -x cos x + J cos x dx

integramos

= -x cos x + sen x + C

= sen x - x cos x + C

Sol. sen x - x cos x + C

La expresión resultante fue más fácil de integrar que la original.

Para continuar con el mismo ejercicio vamos a observar lo que sucede si elegimos a u y a dv de manera diferente :

J x sen x dx =

u = sen x dv = x dx

du = cos x dx v = J x dx

X2 V =-

2


J u dv = uv - J v du

= X2 sen x _ J X2 cos x dx 2 2

Resulta eVidente que la integral del segundo miembro es más complicada que la expresión inicial. por lo tanto, la elección que ahora hicimos no es la más conveniente .

Es muy importante seleccionar del integrando la parte que sea u y cuál dv .

Al calcular v a partir de dv se debía haber sumado la constante C, pero al calcular la segunda integral aparece otra constante . Como la suma de dos constantes es una constante, ésta se agrega al final.

En algunos casos, este método de integración será necesario aplicarlo a una misma función varias veces, en forma sucesiva.


3. S X2 COS x dx = Sol. x2 sen x + 2x cos x + 2 sen x + e

u = X2 dv = cos x dx

du = 2x dx v = S cos x dx v = sen x


S u dv = uv - S v du

= X2 sen x - S sen x (2x) dx

= X2 sen x - S 2x sen x dx

Es necesario realizar una segunda integración por partes en:

S 2x sen x dx =

u = 2x

du = 2dx

dv = sen x dx

v = S sen x dx v = - cos x

sustituyendo en la fórmula

= - 2x (- cos xl - S - cos x (2) dx

Por lo tanto,

S X2 COS x dx = x2 sen x - 2x (- cos xl - S - 2 cos x dx

integramos

= X2 sen x + 2x cos x + 2 sen x + e

4. S x e 2x dx =

u=x

du = dx

dv = e 2x dx

v = l S e 2x dx 2 1

v = - e 2x 2


= x l e2x - S l e2x dx 2 2

= x l e 2x - l S e 2x (2) dx 2 2

integramos

1 1 = x - e 2x - - e 2x + e 2 4

1 1 Sol. x - e 2x - - e 2x + e

2 4


5. f x cos 3x dx = x 1 Sol. 3" sen 3x + 9" cos 3x + e

u=x

du = dx

dv = cos 3x

v = feos 3x dx

= ~ feos 3x (3) dx

1 v = - sen 3x

3


= x (~ ) sen 3x - ~ 5 sen 3x dx

x 15 = 3" sen 3x - 9" sen 3x (3) dx

integramos

x l = 3" sen 3x + 9" cos 3x + e

6. 5 x sec2 x dx =

u=x

du = dx

dv = sec2 x dx

v = 5 sec2 x dx v = tan x


= xtanx-5 tanxdx

integramos

= x tan x - L (sec x) + e

7. 5 In x dx =

u = In x dv = dx

1 du = - dx

x v = 5 dx v=x


= In xlxl ~ f i (7)dx = x In x - 5 dx

integramos

= x In Ixl - x + e

Sol. x tan x - L I sec xl + e

Sol. x In Ixl - x + e


8. f X2 eX dx = Sol. eX (x2 - 2x + 2) + e

u = X2

du = 2x dx

dv = eX dx

v=feXdx v = eX


= x2 eX - f eX (2x) dx

= X2 eX - f 2x eX dx

Se realiza una segunda integración por partes en:

f 2xeXdx= 2fxeXdx

u=x

du = dx

dv = eX dx

v=feXdx v = eX


= 2 [x eX - f eX dx) = 2 (x eX - eX)

Por lo tanto,

f x2 eX dx = x2 eX - 2 (x eX - eX) + e

Observa que se puede factorizar eX; debe o no hacerse según lo pida el profesor.

= eX (x2 - 2x + 2) + e '"

9. f are tan x dx = 1

Sol. x are tan x - "2 L 11 + x 21 + e

u = are tan x

dx du=--

1 +x2

dv = dx


integramos

= are tan x(x) - f _x_ dx 1 +x2

u=l+x2

u(x) = 1 + X2 du(x) = 2 dx

1 = x are tan x - "2 L 11 + x21 + e


10. f x In x dx =

u = In x

dx du=

x

dv = x dx

v=fxdx

X2 V =-

2


X2 f x2 = -lnx- -dx 2 2x

integramos

X2 X2 = -In Ixl - - + e 2 4

11. f x"'¡x-3 dx =

I

u=x dv = (x - 3) "2 dx

du = dx v = J (x - 3) ~ dx

3

(x - 3) "2 = 3

2

2 ~ v = "3 (x - 3) 2


2x ~ 2J ~ = - (x - 3) 2 - - (x - 3) 2 dx 3 3

integramos

5

2x ~ 2 (x - 3) "2 = - (x - 3) 2 - - + e 3 3 5

2

2x ~ 4 ~ = - (x - 3) 2 - - (x - 3) 2 + e 3 15

X2 X2 Sol. 2" In Ixl -"4 + e


12. f X2 In x dx = x3 x3

Sol. 3 L Ixl -"9 + e

u = In x

dx du=

x

dv = x2 dx

v = f x2 dx

1 v = -x3

3


1 f l =-x3lnx- -x2 dx 3 3

integramos

l 1 x 3 = -x31nx--- + e

3 3 3

1 x3 = - x31n Ix l - - + e 3 9

13. f are tan 3x dx = 1 Sol. x are tan 3x - "6 L 11 + 9x2

1 + e

u = are tan 3x dv = dx • du = 3 dx

1 +9x2

v=x


14. f x e-2x dx =

u=x

du = dx

f xcix = x are tan 3x - 3 1 + 9x2

U = 1 + 9X2 u(x) = 1 + 9x2

du(x) = 18x dx

3 = x are tan 3x - 18 L (1 + 9x2) + e

1 = x are tan 3x - "6 L 11 + 9x2

1 + e

dv = e-2x

v = f e-2x dx

v = _1- f e-2x (-2) dx 2

l v = - - e-2x

2

x 1 Sol. - "2 e-2x + ¡ e-2x + e

1



= - 1. x e-2x - f - 1. e-2x dx 2 2

= - ~ e-2x + 1. f e-2x (-2) dx 2 4

integramos

x 1 = - - e-2x + - e-2x + e 2 4

15. f eX cos x dx = eX (sen x + cos x) e Sol. 2 +

u = eX

du = eX dx

dv = cos x dx

v = f cos x dx v = sen x


= eX sen x - f eX sen x dx . Realizamos una segunda integración por partes en:

f eX sen x dx =

u = eX

du = eX dx

Por lo tanto,

dv = sen x dx

v = f sen x dx v = - cos x

f r cos x dx ~ eX sen x + ~ cos j - f ~ cos x dx

sumamos f eX cos x dx a ambos miembros de la igualdad

2 f eX cos x dx = eX sen x + eX cos x

= eX (sen x + cos x)

despejamos

f eX (sen x + cos x) e eX cos x dx = 2 +

Por lo tanto,

f eX (sen x + cos X) e eX cos x dx = 2 +


16. f - 7 x3 ex2 d.x =

Como x3 = X2 (xl

= -7 f x2 ex2 (xl d.x

u = X2

du = 2x d.x


7 7 Sol. - 2 X2 ex2 + 2 ex2 + C

dv = ex2 x d.x

v=fex2xd.x

= ~ f ex2 (2xl d.x

1 v=-ex2 2

= - 'i X2 ex2 + 7 f .!.. (2xl ex2 d.x 2 2

= _'ix2 ex2 + 'if ex2 2xd.x 2 2

= -'ix2ex2 + 'iex2 + C 2 2

17. f sen2 x d.x = S l 1 sen x cos x C

o'2 x - 2 +

Aplicamos la fórmula de reducción del seno y del coseno

f senn - 1 X cos x n - 1 f senn x d.x = - + -- senn - 2 X dx

n n

sen x cos x 1 f 2 2 d.x = - 2 +2 sen - x

Toda cantidad elevada a la cero potencia es igual a uno.

18. f x aX d.x =

u=x

du = d.x

= _ sen x cos x +.!.. f d.x 2 2

= .!.. x _ sen x cos x + C 2 2

dv = a X d.x

v = fax d.x

aX

v =-lna

a X x a X Sol. -1 - - -1 2 + C na n a



-x--- --dx (

ax

) f aX

- lna lna

= xaX

--1-fax dx In a In a

aXx a X = -----+C

In a ln2 a

19. J sec3 x dx = 1 1 Sol. "2 sec x tan x + "2 L I sec x + tan xl + e

= J sec x sec2 x dx

u = sec x dv = sec2 x dx

du = sec x tan x dx v = J sec2 x dx

v=tanx


sec x tan x - J tan x sec x tan x dx

= sec x tan x - J tan2 x sec x dx

como tan2 x = sec2 x - 1

= sec x tan x - J (sec2 x - 1) sec x dx

= sec x tan x - J sec3 x dx + J sec x dx

pasamos - J sec3 x dx al primer miembro

2 J sec3 x dx = sec x tan x + J sec x dx

dividimos entre 2 a ambos miembros

J sec3 x dx = ~ sec x tan x + ~ J sec x dx

integramos

1 1 = - sec x tan x + - L I sec x + tan xl + e 2 2


f sen~dx = 20. O::C " S l

senx + cosx 0.- 2ex +C

= f sen x (e-X) dx

u = sen x dv = e-X (-1) dx

du = cos x dx v = (-1) f e-X (-1) dx

v = -e-X


= -e-X sen x - f -e-X cos x dx

realizamos una segunda integración por partes en

f -e-x cos x dx = e-x cos x - f e-x (- sen x) dx

= -e-x cos x + f e-x sen x dx

Por lo tanto,

f sen~dx f --o::c-. - = sen x (e-X) dx

= -e-X sen x - (-e-X cos x + f sen x (e-X) dx)

f sen x (e-X) dx = -e-X sen x + e-X cos x - f sen x (e-X) dx

sumamos f sen x (e-X) a ambos miembros de la igualdad

2f sen x (e-X) dx = -e-X sen x + e-X cos x

despejamos

f - e-X (sen x - cos x) sen x (e-X) dx = 2

= _ sen x + cos x + C 2ex

f sen x dx = _ sen x + cos x + e ex 2ex


En algunos casos, la integración por partes puede usarse para obtener fórmulas de reducción de integrales, mismas que se usan para expresar una integral en términos en las que se obtienen potencias menores a la expresión inicial.

Como ejemplos citamos las fórmulas de reducción del seno y del coseno.

f senn - 1 X cosx n - 1 f senn x dx = - + -- sen n - 2 X dx

n n

f cosn - .1 X sen x n - 1 f cosn x dx = + -- cos n - 2 X dx

n n

Ejemplos:

Integra

f sen6 x dx con la fórmula de reducción del f senn x dx

sen5 x cos x 5 3 5 5 Sol. - 6 - 24 sen x cos x - 16 sen x cos x + 16 + e

f sen5 x cos x 5 f sen6 x dx =- + - sen4 x dx 6 6

Se aplica nuevamente la fórmula de reducción

- _ sen5 xcosx ~[- sen1xcosx ~f 2 dx] - 6 + 6 4 + 4 sen x

sen5 x cos x 5 5 f = - - - sen3 x cos x + - sen2 x dx 6 24 8

sen5 x cos x 5 .; .. 6 - 24 sen3 x cos x -+-

~ [ sen x cos x 1.. f o dx] + 8 - 2 + 2 sen x

integramos

sen5 x cos x_ª- 3 ~ ~ 6 - 24 sen x cos x - 16 sen x cos x + 16 + e


Ejercicio 8

Completa el desarrollo que falta en los ejercicios siguientes. se incluyen algunas integrales inmediatas.

1. f sec2 3x dx

u=x

du = dx

2. f x sen ~dx u=x

du = dx

3. f cos 2x 1 + sen 2x

dv = sec2 3x dx

v = f sec2 3x dx

1 v=-tan3x

3

x dv = sen - dx

2

v = f sen ~ dx 2

x v = -2 cos-

2

u = 1 + sen 2x u(x) = 1 + sen 2x

du(x) = cos 2x (2) dx

4. fe-a.: dx

5. f ry dy

f y2 - 1 6. --dy

y+l

y2 _ 1 = (y + 1) (y - 1)

7. f x e-X dx

u=x dv = e -X dx

du = dx v = f e -X dx

v = -e-X

x 1 Sol. '3 tan 3x + 9' L 1 sec 3x 1 + C

x x Sol. -2x cos '2 + 4 sen '2 + C

Sol. ~ L 11 + sen 2x 1 + C

1 Sol. - - e -a.: + C

6

2 Sol. 1L - y + C

2

Sol. -e-X (x - 1) + C

8. f X2 sen x dx Sol. -x2 cos x + 2x sen x + 2 cos x + C

u = X 2

du = 2x dx dv = sen x dx

v = sen x dx v = - cos x

9. J XCOs~ u=x

du = dx

J xdx 10. '>/ 2 l-x

11 J dx . 16x2 - 13

u 2 = 16x2

u = 4x

u(x) = 4x

du(x) = 4dx

12. J X csc2 X dx

u=x

u(x) = x

du(x) = dx

13. J x sen 5x dx

u=x

du = dx

14. J x In 3x dx

u = In 3x

dx du=

x


x dv = cos - dx

2

v = J cos ~ dx 2

v = 2 sen ~ 2

a 2 = 13

a = -{f3

dv = csc2 X dx

v = J csc2 X dx

v = - cot x

dv = sen 5x dx

v = J sen 5x dx

1 v = - - cos 5x

5

dv = x dx

1 v = -x2

2

x x Sol. 2x sen "2 + 4 cos "2 + e

I

Sol. - (1 - x2) "2 + e

Sol. _1_ L I 4x - -{f31 + e 8 ill 4x+m

Sol. -x cot x + L I sen xl + e

1 1 Sol. - "5 x cos 5x + 25 sen 5x + e

1 1 Sol. "2 x2 In j3x I - ¡ X2 + e


15. f are sen x dx

u = are sen x

dx du = "1 _ X2

16. f are eos x dx

u = are eos x

dx du = --=== ~

17. f x2 - 9 dx x+3

dv = dx

v=x

dv = dx

v=x

X2 - 9 = (x + 3) (x - 3)

18. f eot2 x dx

eot2 x = ese2 x - 1

I

Sol. x are sen x + (1 - X2) 2' + e

I

Sol. x are eos x - (1 - x2) 2' + e

X2 Sol. 2" - 3x + e

Sol. - eot x - x + e

10 Métodos de integración. Integración por sustitución trigonométrica

Si un integrando contiene expresiones del tipo " a 2 + X 2. " a 2 - X 2 , " X 2 - a2 ,

donde a > O; Y otras como (x2 + a 2 )n, (x2 - a 2 )n semejantes a las citadas ; inicialmente deben tratarse de resolver por sustitución algebráica, como en el siguiente ejemplo.

u=4+x2

u(x) = 4 + X2

du(x) = 2x dx


integramos

1 J 2 _1. dx ="2 x( 4 + x) 2 (2)

1 J _1. d ="2 u 2 U

I

1 u 2 = - -+C

2 1 2

sustituimos el valor de u queda

Sol. "4 + X 2 + e

Si este procedimiento de sustitución algebráica no se puede aplicar, en algunos casos es posible realizar la integración transformando la integral en una integral trigonométrica aplicando las sustituciones siguientes:

"a2 - X2 = a cos e Se sustituye x con la expresión trigonométrica x = a sen e.

"a2 + X2 = a sec e Se sustituye x con la expresión trigonométrica x = a tan e.

"X2 - a 2 = a tan e Se sustituye x con la expresión trigonométrica x = a sec e.

127

128 CAPíTULO 10. Métodos de integración. Integración por sustitución trigonométrica

Demostración de los resultados que se obtienen hechas las sustituciones propuestas.

1. Desarrollo de la expresión ...Ja2 - x2 = a cas e

Se sustituye x con a sen e para obtener la expresión trigonométrica a cos e de

la expresión algebráica ..Ja2 - X2 .

e

c=~

Por el teorema de Pitágoras

e = ..Ja2 -x2 (1)

Función trigonométrica que relaciona x y a

x sen e =-

a

x = a sen e

Se eleva al cuadrado ambos miembros

X2 = a 2 sen2 e

Se sustituye en (1) el valor de X2

e = ..Ja2 - a2 sen2 e

Se factoriza a 2

e = ..Ja2 (l - sen2 e)

e = a ..J 1 - sen2 e

como cos2 e = 1 - sen2 e

e = a ..Jcos2 e

e = a cos e

queda en (1)

..Ja2 - X2 = a cos e

Hecha la sustitución trigonométrica se canceló el radical al introducir e como una nueva variable.

Desarrollo de la expresión ~ = a sec e 129

2. Desarrollo de la expresión -Ja 2 + X2 = a sec e

Sustituimos x con a tan e para obtener la expresión trigonométrica a sec e de

la expresión algebráica ...Ja2 + X2 •

a

a

Por el teorema de Pitágoras

(1)

función trigonométrica que relaciona x y a

tan8=x a

x=atane


sustituimos en (1) el valor de X2

h = ...Ja2 + a 2 tan2 e

factorizamos a 2

h = ...Ja2 (1 + tan2 e)

como sec2 e = l + tan2 e

h = a ...Jsec2 e

h = a sec e

queda en (1)

...Ja2 + X2 = a sec e



3. Desarrollo de la expresión --Jx2 - a2 = a tan e

Sustituimos x con a sec e para obtener la expresión trigonométrica a tan e de

la expresión algebráica "¡x 2 - a2 .

~c Por el teorema de Pitágoras

a

~c=~ c = "¡x2 -a2 · (1)

a

función trigonométrica que relaciona x y a

x sec e = -

a

x = a sec e


X2 = a 2 sec2 e

sustituimos en (1) el valor de X2

c = "¡a2 sec2 e - a 2

factorizamos a 2

c = "¡a2 (scc2 e - 1)

como tan2 e = sec2 e - 1

c = a "¡tan2 e

c=atane

queda en (1)

"¡x2 - a2 = a tan e


Procedimiento para resolver una integral por sustitución trigonométrica 131

4. Procedimiento para resolver una integral por sustitución trigonométrica.

Se calculan los valores de a, x y d'e dx. Se realizan las sustituciones.

En el desarrollo de las operaciones, se pueden aplicar, según proceda , alguna de las identidades trigonométricas, siguientes:

de las: pitagóricas

sen2 e = 1 - cos2 e cos2 e = 1 - sen 2 e tan2 e = sec2 e - 1 cot2 e = csc2 e - 1 sec2 e = 1 + tan2 e csc2 e, = 1 + cot2 e

del ángulo medio

1 - cos 2e sen2 e = ---,----

2 1 + cos 2e

cos2 e = -----2

del doble de un ángulo

sen 2e = 2 sen e cos e

f se PREPARAIORIA °C;;-A\ [NRIOU¡ fU,M:~¡ r

fNí.OlJf'OI.iADt. A l/. IJNI\'ll,~IDAO Mle.lQ,ACANA (JI ~,;, N N.COLAS

ll! ,HI .. \\ ':;0 CD lAlA~O CAIIOlI'IAS MICH

Se trazarán uno o dos triángulos rectángulos para caleular en ellos el resultado, aplicando el teorema de Pitágoras.

En otros casos, para calcular el resultado· es necesario. aplicar alguna función trigonométrica inversa donde, por ejemplo.

si u = sen e

entonces e = ángulo cuyo seno es u

Estas dos igualdades expresan la misma relación entre u y e; la primera en forma directa y la segunda inversamente.

''Ángulo cuyo seno es u" se expresa "are sen u", se lee arco seno de u .

Algunos autores en lugar de la palabra arco, usan ángulo. "ang sen u" se lee, seno inverso de u o ángulo seno u.

Para las funciones inversas de las otras funciones se usa una notación semejante.

Ejemplo:

1/1

1 are cot "2 es un angu o cuya cotangente es "2

132 CAPíTULO 10. Métodos de integración. Integración por sustituclun trigonométrica

5. El integrando incluye una expresión de la forma-la 2 - x

~.' '".

Ejemplo:

f (9 :2) % = f (9 ~2)3 a 2 = 9 x = a sen O a = 3 x = 3 sen O (1)

dx = 3 cos O d O

Por comodidad. y antes de realizar la integración. se hace por separado la tr~sformación trigonométrica de la expresión cuadrática.

Ejemplo: 3

(9 - X2) 2 = " [9 - (3 sen 0)2]3

= "[9 - (9 sen2 0)j3

se factoriza el 9

= " [9 (l - sen2 0)]3

como cos2 O = 1 - sen2 O

= "[9 (cos2 0)]3

= "(9 cos2 8)3

= " 3 6 cos> O


f dx f...3..-oos-irdO ..,J(9 - X2)3 - 3 3 cos3 O

f dO - 32 cos2 O

1 f dO ="9 cos2 8

1 con sec 0=--

cos 8

= i f sec2 O dO

integramos

f dx =ltan o+c ..,J(9 - X2)3 9

,

El integrando incluye una expresión de la forma ~ 133

Ahora necesitamos calcular el valor algebraico de ! tan e + C en función de la variable x original. despejando en (1)

x = 3 sen e

x sen e =-

3

¿SÚx b

Con el teorema de Pitágoras se calcula el valor del cateto adyacente que identificaremos con b.

~x b=~

por lo tanto.

sustituimos

es decir

- - +C 1 ( x ) - 9 ..Jg -x2

x tan e = ..J9 -x2

Una vez que se domina el desarrollo de este tipo de integrales. por si solo se van suprimiendo algunas notaciones. ya que éstas se usan para éxplicar el desarrollo y sea más fácil el aprendizaje.

6. El integrando incluye una expresión de la forma ~a2 + X2

Ejemplo:

f X ..Jx 2 + 4 dx =

a 2 = 4 a=2

x=atane x=2tane

. dx = 2 sec2 e de

..Jx 2 + 4 = ..J4 tan2 e + 4

1 Sol. ¡ ..J(x 2 + 4)3 + C

(1)


Factorizamos el 4

= ";4 (tan2 e + 1)

como sec2 e = tan2 e + 1

2 ";sec2 e

2 sec e


f X ";X 2 + 4 dx = f (2 tan e) (2 sec e) (2 sec2 e de)

6 f sec2 e sec e tan e de

!integramos

u = sec e u(e) = sec e

du(e) = sec e tan e de

6 J u 2 du

Li3 6-+C

3

f X ";X2 + 4 dx = 2 sec3 e + e

Ahora se necesita calcular el valor algebraico de 2 sec3 e + e en la función de la variable x original. despejando en (1)

x=2tane

x tane=-

2

~x 2

calculamos la hipotenusa h

por lo tanto,

f X ";X2 + 4 dx = 2 sec3 e + e

...fX2+4 sec e = 2

El integrando incluye una expresión de la forma "x2 - a2 1 35

sustituimos

es decir,

2 3

= - (x2 + 4) 2 + e 8

f X ...Jx2 + 4 dx = ~ . ...J(x2 + 4)3 + e

7. 'El integrando incluye una ,expresión de I,a forma -/X2 - a2

Ejemplos:

j x2

1. ...Jx2 -9 dx =

a 2 = 9 a=3

x = a sec ,O x = 3 sec O

dx = 3 tan O sec O de

...Jx2 - 9 = ...J9 sec2 O - 9

Factorizamos el 9

= ...J9 (sec2 e - 1)

como tan2 O = sec2 O - 1

= ...J9 tan2 O

=3tanO


f X2 dx = f 9 sec2 e-3.-tani)-sec e de ...Jx2 - 9 -3-tarr11

= 9 f sec3 e de

(1)

= 9 [sec 92tan 9 + ~ L (sec e + tan e)] + e

La integral f sec3 e de se integra por partes como se desarrolló en el apartado 9 ejercicio 19, de ahí hemos tomado el resultado,


f ka dx = 9 f sec3 e de x - 9

= 9 [sec e2tan e + ~ L (sec e + tan e)] + C

9 = "2 [(sec e + tan e + L (sec e + tan e)] + C

9 Ahora se necesita calcular el valor algebraico de "2 [(sec e + tan e +

+ L (sec e + tan el] + C en la función de la variable x original. despejando en (11

x = 3 sec e x

sec e = -3

~a 3

Calculamos el cateto opuesto a

~a=~ 3

por lo tanto.

...Jx2 - 9 tan e = ---

3

f x2 9 ...J 2 dx = -2 [(sec e tan el - L (sec e + tan el) + C

x - 9

sustituimos

es decir.

f X2

2....J 2 dx = 9+x

a 2 = 9 a=3

x=atane x=3tane

dx = 3 sec2 e de

...J9 + X2 = ...J9 + 9 tan2 e

(1)


Factorizamos el 9

= "9 (1 + tan2 e)

como

sec2 e = 1 + tan2 e

= "9 sec2 e = 3 sec e


f X2 dx = f 9 tan2 e 3 sec2 e de "9+x2 ~

= f 9 tan2 e sec e de

con tan2 e = sec2 e - 1

= 9 f (sec2 e - 1) sec e de

= 9 f sec3 e de - 9 f sec e de

La integral de f sec3 e de se integra por partes como se desarrolló en el apartado 9 ejercicio 19. de ahí hemos tomado el resultado.

Al integrar queda

9 9 = "2 sec e tan e + "2 L (sec e + tan e) - 9 L (sec e + tan e) + e

simplificamos

9 9 = "2 sec e tan e - "2 L (sec e + tan e) + e

9 Ahora se necesita calcular el valor algebraico de "2 sec e tan e -

- ~ L (sec e + tan e + e en la función de la variable x original. al despejar en (1) .

x=3tane

x tane=-3

" X2 + 9 sec e = 3

..


Factorizamos el 9

= ..J9 (1 + tan2 e)

como

sec2 e = 1 + tan2 e

= ..J9 sec2 e

= 3 sec e


f X2 dx = f 9 tan2 e 3 sec2 e de ..J9 + X2 ..3--aec1r-

= f 9 tan2 e sec e de

con tan2 e = sec2 e - 1

= 9 f (sec2 e - 1 l sec e de

= 9 f sec3 e de - 9 f sec e de

La integral de f sec3 e de se integra por partes como se desarrolló en el apartado 9 ejercicio 19. de ahí hemos tomado el resultado.

Al integrar queda

9 9 = '2 sec e tan e + '2 L (sec e + tan el - 9 L (sec e + tan el + e

sim plificamos

9 9 = '2 sec e tan e - '2 L (sec e + tan el + e

9 Ahora se necesita calcular el valor algebraico de '2 sec e tan e -

- ~ L (sec e + tan e + e en la función de la variable x origInal. al despejar en (1 l.

x=3tane

x tane=-

3

..Jx2 +9 sec e = 3


por lo tanto,

J X 2 9 9 J ",,9 + x2 dx = "2 sec e tan e - 2 L (sec e + tan e) - 9 sec e de

sustituimos

= ~ ,",x2

3+ 9 (1) -~ L (""x

2

3+ 9 + ~ ) - 9 J sec e de

= x ~ _ ~ L (""x2 + ~9 + x) _ 9 J sec e de

Con los datos del mismo triángulo resolvemos la integral - 9 J sec e de

J J 1.X2+9 - 9 sec e de = - 9 3 dx

de donde

= - ~ J (x2 + 9) ~ (2) dx

3 2 3

= - 3 (x2 + 9)"2 + C

2

J X2 dx = x1.X2+9 _Q 1...fX2+9 +x 1_"" 2 9 3 C ",,9 + X2 2 2 L 3 (x + ) +

J x2 3. _ r-;---z dx =

'14 - x~

a 2 = 4 x = a sen e a=2 x = 2 sen e

dx = 2 cos e de

Factorizamos el 4

~ ",,4 (1 - sen2 e)

como cos2 e = 1 - sen2 e

= 2 ""coS2 e = 2 cos e

(1)



f x2 dx = f 4 sen2 O (~ces 6-dO) ..J4 - x2 --2 eos e-

= f 4 sen2 O dO

= 4 f sen2 O d9

de la expresión del ángulo medio

2 9 1 - cos 20

sen = 2

integramos

= 4 f ~ dO - 4 f ~ cos 29 d9

29 - 2 f cos 29 d9

= 29 - ~ f cos 29 (2) d9

= 29 - sen 29 + e

función trigonométrica inversa, en (1)

si x = 2 sen 9

x - = sen 9 2

entonces

x arc sen - = 9

2 x

29 = 2 arc sen 2"

sustituimos

f ~ x _ ~ dx = 2 arc sen -2 - sen 29 + e ,,4 - x-

1} (1

\ ~"" /'\

x Ahora se necesita calcular el valor algebraico de 2 arc sen 2" - sen 29 + e, despejando en (1)

x = 2 sen 9

x sen 9 =-

2

a

140 CAPíTULO 10. Métodos de integración . Integración por sustitución trigonométrica

Calculamos el cateto adyacente a

~x a = "4 _x2

por lo tanto,

a = "'4 -X2

"'4 - X2 cos e = ---2

J X2 X _ ~ dx = 2 arc sen -2 - sen 29 + C '14 - x~

como 29 = 2 sen e cos e x

2 arc sen "2 - 2 sen e cos e

= 2 arc sen ~ _ 2 (~) ..f4=X2 2 2 2

x_~ x = - - '14 - x2 + 2 arc sen - + C 2 2

11 1. Definición

Métodos de integración.

Integración por fracciones parciales

Se llama función racional aquella en que tanto el numerador como el denominador son expresiones en donde la varia:ble tiene solamente exponentes enteros y positivos .

. P(x) Sea.f(x) = -

Q(x)

es una función racional. donde P y Q son polinomios.

Si el grado de P es menor al grado de Q. entonces J (xl es una fracción racional propia; en caso contrario. es impropia.

1.1 El resultado de la integración de una función racional impropia puede expresarse como la suma de un polinomio y de una función racional propia.

En el desarrollo de algunos temas anteriores se han integrado funciones racionales como las siguientes.

Ejemplos:

1. f X2 + 4x - 5 dx = x 3

Integramos

= L (x) + 4 f X-2 dx - 5 f x-3 dx

4x-1 5x-2

= L (x) + --=1- -2 + e

= Llxl _i+~+C x 2x2

141

4 5 Sol. L I xl - - + - + e

x 2x2

/

142 CAPíTULO 11 . Métodos de integración. Integración por fracciones ¡parciales

2. f x3 - 2 cix = x+3

x3 3x2 So' - - - + 9x - 29L Ix + 31 + e

L. 3 2

x2 -3x+9 x+31x3-2

-x3 - 3x2

- 3x2 - 2 3x2 + 9x

9x- 2 - 9x - 27

-29

-- cix = x2 - 3x + 9 - -- cix f x3 - 2 f [ 29 ) x+3 x+3

= f x2cix - 3 f xcix + 9 f cix - 29 f ~ x+3

integramos

x3 3x2 = 3 - 2 + 9 x - 29 L Ix + 31 + e

De ser posible se factoriza el denominador Q como un producto de factores lineales o cuadráticos. Las fracciones racionales propias pueden expresarse como una suma de fracciones simples.

, P(x) Realizada la factorizacion. la integral -- se expresa como una suma de

Q(x) funciones racionales más simples. cada una de las cuales se integra aplicando

la integración inmediata.

Para aplicar este método de integración con cierta facilidad . es necesario recordar:

• La factorización.

• Los procedimientos para la solución de un sistema de ecuaciones lineales.

• La solución de integrales inmediatas .

• Las propiedades de los logarítmos de cualquier base (regias) .

lo~ AB = lo~ A + lo~ B

A lo~ B = lo~ A - 10gb B

lo~ An = n 10~A

n 10~A lo~ Tci =-

n

Caso 1. Todos los factores lineales del denominador son distintos 143

Una vez que Q(x) se hajactorizado, el procedimiento para determinar las jracciones parciales depende de la naturaleza de los jac to res lineales y cuadráticos. El número de constantes por determinar es iguaL al grado del denominador.

Se pueden presentar cuatro casos.

2. Caso 1. Todos los factores lineales del denominador son distintos

Ejemplo:

f 3x- 2 dx = x3-x2 - 2x

Factorizamos el denominador

x 3 - X2 - 2x = x(x2 - X - 2)

= x(x - 2) (x + 1 )

2 L 1 x(x - 2)31

Sol. 5 + e L 1 (x + 1)3 1

A cada factor lineal ax + b que esté una sola vez en el denominador de

una fracción racional propia, le corresponde una sola fracción simple de la

forma A donde A es una constante cuyo valor habrá que calcular. ax+b

En el ejemplo, descomponemos la fracción en tres fracciones cuyos numeradores serán A , B, Y C. Observa que el grado del denominador es tres yes el mismo número de constantes por determinar.

f --::-_3_x_-_2_ dx = X 3 -x2 -2x


3x - 2 3x - 2 = x3 - X2 - 2x x(x - 2) (x + 1)

A B C -+--+-x x-2 x+l

(1)

Reducimos a una sola fracción, aplicamos el mcm, que en este caso es :

mcm = x (x - 2) (x + 1)

3x-2 A(x-2)(x+ 1) + Bx(x + 1)+Cx(x-2) x 3 - X2- 2x x(x - 2) (x + 1)

144 CAPíTULO 11 . Métodos de integración. Integración por fracciones parciales

Como los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador. entonces los numeradores también deben ser iguales. por lo tanto

3x - 2 = A(x - 2) (x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 2) (2)

Para calcular los valores de las constantes A. B. Y C obtenemos las raíces de x (x - 2) (x + 1) que son:

x=O x- 2 = O

x=2

evaluando las raíces en (2)

x + 1 = O

x =-1

3x - 2 = A(x - 2) (x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 2)

para x = O

para x = 2

para x = -1

-2 = A(-2) (1) + B(O) + C(O) -2 = -2A A = 1

4 = A(O) + 6B + C(O) 4 = 6B

B=~ 3

-5 = A(O) + B(O) + C(3) -5 = 3C

C =-~ 3

Sustituimos los valores obtenidos de A. B Y C en (1)

2 5 3x - 2 1 3 3

=-+--+-x 3 - x2 - 2x x x - 2 x + 1

integramos

f 3x-2 dx- fdx +~f~ ~f~ x 3 - X2 - 2x - x 3 x - 2 - 3 x + 1

Por la propiedad de los logaritmos el resultado queda

2

L Ix(x - 2) 31 ---'----'-s=-- + e L 1 (x + 1) 31

Caso 1. Todos los factores lineales del denominador son distintos 145

2.1 Otro procedimiento para resolver la integral antes citada es el siguiente:

f 3x- 2 -x3-_-x--=2-_-2-x dx =


x3 - 3x2 + 2x = X (x2 - 3x + 2) = x (x - 2) (x + 1)

A B C =-+--+-

x x-2 x+l

2 L 1 X(X - 2)"31

Sol. 5 + e L 1 (x + 1)"31

Reducimos a una sola fracción. aplicando al mcm que en este caso es:

mcm = x (x - 2) (x + 1)

_3-,--x_--,-,2_ = A(x - 2) (x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 2) x 3 -x2 - 2x x(x - 2) (x + 1)

Como los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador. entonces los numeradores también deben ser iguales. por lo tanto

3x - 2 = A(x - 2) (x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 2)

Efectuando las operaciones del segundo miembro de la igualdad y agrupando los coeficientes de X2. x y del término independiente. queda

3x - 2 = A(x2 - X - 2) + Bx2 + Bx + CX2 - 2Cx = Ax2 - Ax - 2A + Bx2 + Bx + CX2 - 2Cx = (A + B + C) x2 + (-A + B - 2C) x - 2A

Hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias de x. A continuación establecemos un sistema de ecuaciones

A+B+C=O -A + B - 2C = 3 -2A = - 2

lA = 1 I sustituimos en (1) Y (2)

l+B+C=O -1 + B -2C = 3

despejamos

B + C = -1 B - 2C = 4

3C = -5

Ic=-~I

(1) (2)

(3)


calculamos B en (3)

B - ~ = -1 3

5 B = -1 +"3

lB = ~ I sustituimos los valores de A. B Y e

2 5 3x - 2 1 3 3

=-+--+-x 3 - X2 - 2x x x - 2 x + 1

integramos

Por la propiedad de los logaritmos, el resultado queda

2

L I x (x - 2) 3"1 -----'------::5::-- + C

L I(x+ 1) 31

3. Caso 2. Algunos de los factores lineales del denominador se repiten

Ejemplo: I

f 3x+ 5 dx = x3 - x2 - X + 1

S 1 L 1 (x + 1) 21 4

o. I ---+ C L 1 (x - 1) ~ x - 1

factorizamos el denominador

3x + 5 3x+ 5 = ------=-

x3 - X2 - X + 1 (x + 1) (x - 1)2

El factor repetido es (x - 1)2, se escribe lajracción con el denominador (x - 1)2

Y todas las potencias injertores, en este caso con denominador (x - 1).

A B e = + -(x + 1) (x - 1)2 (x - 1)

Reducimos a una sola fracción, aplicando el mcm.

mcm = (x + 1) (x - 1)2

3x + 5 A(x - 1)2 + B(x + 1) + C(X + 1) ex - 1) = ----------~----

x3 - x2 - x + 1 (x + 1) (x - 1)2

Ceso 2. Algunos de los factores lineales del denominador se repiten 147

eomo los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, entonces los numeradores también deben ser iguales, por lo tanto

3x + 5 = A(x - 1)2 + B(x + 1) + e(x + 1) (x - 1)

Efectuando las operaciones del segundo miembro de la igualdad y agrupando los coeficientes de x2 , x y del término independiente queda

3x + 5 = A(x2 - 2x + 1) + Bx + B + CX2 - C

= Ax2 - 2Ax + A + Bx + B + Cx2 - e = (A + e)x2 + (B - 2A)x + (A + B - e)

Hemos identificado los coeficienteS de las mismas potencias de x , a continuación establecemos un sistema de ecuaciones

A +C=O -2A + B = 3

A+B-e=5

(con (2) Y '(3), multiplicando (3} por -1

-'2.A + B 3 -A - B + e =-5

-3A + e =-2

.con (1) y (-4), multiplicando (1) por-l

-A - fe = o -':3A + e = -2

-4A = -=2

8]1 A=-2

sustituimos en (1)

1 _ -+C=O 2

sustituimos en (2)

~ ~

-2(~) + B = 3 1"B=ill

(1)

(2)

(3)

(4)

148 CAPíTULO 11. Métodos de integración. Integración por fracciones parciales

sustituimos los valores de A. B Y C

1 1 3x+5 2 4 2

= + + .03 - x2 - X + 1 (x + 1) (x - 1)2 (x - 1)

- 1.f dx +4f dx 1.f dx - 2 (x + 1) (x - 1)2 - 2 (x - 1)

integramos

= 1. L lx+ 11 __ 4 __ l.L lx_1 1 + C 2 x- 1 2

1 L 1 (x + 1)"21 4 = 1 ---+C

1 Ix - 1 L (x - 1)"2

4. Caso 3. Todos los factores cuadráticos (irreducibles) del denominador son distintos.

Por cada factor de la forma ax2 + bx + c, que es un polinomio cuadrático que

resulte de la factorización Q(x) , queda un sumando del tipo -:x + B .Si ax + bx+ c

además resultan factores lineales repetidos o no, se resuelven éstos como en

los casos 1 y 2

Ejemplo:

f 2X2 -t x d x4 + 3.03 + 4x2 + 3x + 1 x

Sol. L 1 x2 + X + 1 1 _ _ 1_ + C (x+ 1)2 x + 1


2x2 +x 2x2 +x --------- = --------x4 + 3.03 + 4x2 + 3x + 1 (x + 1)2 (x 2 + X + 1)

A B Cx+D ---+ --+---(x + 1)2 X + 1 x 2 + X + 1

Reducimos a una sola fracción, aplicando el mcm que en este caso es:

mcm= (x + 1)2 (x2 + X + 1)

___ 2x_2_+_X ___ = A(x2 + X + 1) + B (x + 1) (x 2 + X + 1) + (Cx + D) ex + 1)2 x4 + 3.03 + 4x2 + 3x + 1 (x + 1)2 (x 2 + X + 1)

Como los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, en tonces los numeradores también deben ser iguales, por lo tanto,

2x2 + X = A(x2 + X + 1) + B(x + 1) (x2 + X + 1) + (Cx + D) (x + 1)2

Caso 3. Todos los factores cuadráticos (irreducibles) del denominador son distintos 149

Al efectuar las operaciones del segundo miembro de la igualdad y agrupar los coeficientes de x2 , x y del término independiente, queda

2X2 + X = A(x2 + X + 1) + B(x + 1) (x2 + X + 1) + (ex + D) (x + 1)2

= Ax2 + Ax + A + B(x3 + 2x2 + 2x + 1) + ex3 + 2ex2 + ex + + Dx2 + 2Dx + D

= Ax2 + Ax + A + Bx3 + 2Bx2 + 2Bx + B + ex3 + 2ex2 + ex + + Dx2 + 2Dx + D

= (B + e)x3 + (A + 2B + 2e + D)x2 + (A + 2B + e + 2D)x + + (A + B + D)

Hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias de x, a continuación establecemos un sistema de ecuaciones

B + e = o A + 2B .¡.. 2e + D = 2 A+2B+ e+2D= l A+ B + D=O

En (1)

B+e=o B =-e

sustituimos en (2), (3) Y (4)

A + 2 (-e) + 2e + D = 2 A + 2 (-e) + e + 2D = l A + (-e) + D = o

A+ A -e A -e

+ D = 2 + 2D = l + D = o

con (3) Y (4) multiplicando (4) por -1

A -A

-e +e

sustituimos

A A

sustituimos en (4)

A 1

+B +B

+ 2D = 1 - D = o

D = 1

+ D = 2 + 1 = 2

A = 1 1

+ D = O + 1 = O

lB = -21

(1) (2)

(3) (4)

(5)

(2) (3)

(4)

(2) (3) (4)

(3)

(4)


sustituimos en (5)

B =-e -2 = -e

1 e = 21

sustituimos los valores de A, B, e, y D

2X2 + x 1 2 2x + 1 --------- = - -- + ----x 4 + 3x3 + 4x2 + 3x + 1 (x + 1)2 X + 1 x2 + X + 1

integramos

-J dx 2J~+J 2x+1 dx - (x + 1)2 - X + 1 x2 + X + 1

1 = - -- - 2 L (x + 1) + L (x2 + X + 1) + e x+1

1 = - -- + L (x2 + X + 1) - L (x + 1)2 + e x+1

1 I X2 + X + 1 I e = ---+L + x+ 1 (x+ 1)2

= L I X2 + X + 11 __ 1_ + e

(x+ 1)2 x+ 1

5. Caso 4. Algunos factores cuadráticos (irreducibles) del denominador se repiten.

Por cada factor de la forma (ax2 + bx + c)n que resulte de la factorización de Q(x) le corresponde una suma de n fracciones de la forma:

Ax+B ex+D Lx+M + + ... + 2

(ax2 + bx + c)n (ax2 + bx + c)n - 1 (ax + bx + e)

De haber factores lineales repetidos o no, se resuelven éstos como el caso 1 y 2.

Ejemplos:

1. J 2x3+x+3 dx= x4 + 2X2 + 1

Sol. L I X2 + 11 + 2 + -2 -2-- + arc tan x + e 1 3 [ x ) 2(x + 1) x + 1


x 4 + 2x2 + 1 = (x2 + 1)2

= (x2 + 1) (x2 + 1)

2x3 + X + 3 Ax + B ex + D = +

(x2 + 1)2 (x2 + 1)2 X2 + 1

Caso 4. Algunos factores cuadráticos (irreducibles) del denominador se repiten 151

Reducimos a una sola fracción, aplicamos el mcm que en este caso es

mcm = (x2 + 1)2

2x3 +x+3 Ax+B+(Cx+D) (x2 + 1) (x2 + 1)2 = ----(:-X-;;-2 -+:-1:-:)"2---

Como los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, entonces los numeradores también deben ser iguales, por lo tanto

2x3 + X + 3 = Ax + B + (Cx + D) (x2 + 1) . Al efectuar las operaciones del segundo miembro de la igualdad y agrupar los coeficientes de x2 , x y del término independiente, queda

2x3 + x + 3 = Ax + B + Cx3 + Cx + Dx2 + D

= Cx3 + Dx2 + (A + C) x + (B + D)

Hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias de x . A continuación establecemos un sistema de ecuaciones

C=2 D=O

A+C=l B+D=3

sustituimos en (3)

A+2=1

I A = -11 sustituimos en (4)

Además:

B+0=3

B=3

1 C = 21 1 D = O I

sustituimos los valores de A, B, C y D

2x3 + x + 3 -x + 3 2x + O ----- = + ----=---x4 + 2x2 + 1 (x2 + 1)2 X2 + 1

(1) (2) (3)

(4)

J 2x3 + x + 3 dx = J -x + 3 dx + J ~ dx x4 + 2x2 + 1 (x2 + 1)2 X2 + 1


Por comodidad, las integrales señaladas se resuelven por separado.

f 2x --dx= L(x2 + 1)+C X2 + 1

f -x + 3 dx - f xdx + 3 f dx (x2 + 1)2 - - (x2 + 1)2 (X2 + 1)2

_ f xdx = _ 1- (X2 + 1)-1 + C

(X2 + 1)2 2 -1

= 1 +C 2(x2 + 1)

Para resolver la integral que se cita a continuación se aplica una de las "fórmulas de reducción"

3 f 2dx

2 = ~2 (--f-- + arc tanx) + C (x + 1) lx + l

Reunimos los resultados parciales.

f 2x3

+x+3 I I 1 3( x ) xi 2 dx = L X2 + 1 + 2 + -2 -2-- + arc tan x + C + 2x + 1 2 (x + 1) x + 1

f dx 2. Sx +x2 = Sol. i L I x: S I + C

,.. .....


l 1 ---=---

A B =-+-

x x+S

\ l = A(x + S) + Bx = Ax+SA+Bx = (A +B)x+ SA

Sistema de ecuaciones

A+B=O SA = 1

En (2)

IA=il

(1)

(2)


sustituimos en (1)

A+B=O

l+B=O 5

lB = -i I sustituimos los valores de A y B

1 1 155 ---=----

x(5 + x) x x+ 5

f dx 1 fdx 1 f dx x(5 + x) = 5' ~ - 5' x + 5

integramos

1 1 = 5' L (x) - '5 L (x + 5) + e

= lL I _x_1 + e 5 x+5

3. f dx = X2 -36


1 1 =

X2 - 36 (x + 6) (x - 6)

A B =--+-

x+6 x-6

mcm = (x + 6) (x - 6)

1 = A(x - 6) + B(x + 6)

= Ax - 6A + Bx + 6B

= (A + B)x - 6A + 6B


A+B=O -6A + 6B = 1

Multiplicamos (1) por 6

6A+B=0 -6 + 6B = 1

12B = 1

1 B = 1121

(1)

(2)

1 I x- 61 Sol. -12 L -- + e

x+6


sustituimos en (1)

A+B=O

1 A+-= O

12

~ ~

sustituimos los valores de A y B

1 1 1 12 12

=---+--X2 - 36 x + 6 x - 6

f dx 1fdx 1fdx X2 - 36 = 12 x - 6 -12 x + 6

integramos

1 x- 6 =-LI--I+c

12 x+ 6

4. f 2x - 1 dx = x(x2 + 3x + 2)


x(x2 + 3x + 2) = x(x + 2) (x + 1)

2x- 1 A B C =-+--+-

x(x2 + 3x + 2) x x + 2 x + 1

mcm = x(x + 2) (x + 1)

Sol. L I (x + 1 )3 I + c ..fX -V(x + 2)5

2x - 1 = A(x + 2) (x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x + 2)

= A(x2 + 3x + 2) + Bx2 + Bx + CX2 + 2Cx

= Ax2 + 3Ax + 2A + Bx2 + Bx + CX2 + 2Cx

= (A + B + C)x2 + (3A + B + 2C)x + 2A


A+B+ C=O 3A + B + 2C = 2 2A = -1

en (3)

(1)

(2) (3)


Sustituimos en (1) y (2)

1 --+B+ C=O

2 3 - - + B + 2C = 2 2

multiplicamos (1) por -1

-l-B- C=O 2 3 - '2 + B + 2C = 2

-1 + C = 2

1 C = 31

sustituimos en (1)

1 --+B+3 = O

2

lB = -% I sustituimos los valores de A, B Y C

1 5 2x-l 2 2 3

=-----+--x(x + 2) (x + 1) x x + 2 x + 1

f 2x-l dX-3f~-lfdx-~f~ x(x+2)(x+l ) - x+l 2 x 2 x+2

integramos

1 (x + 1)3 = - L I (42" I + L 5 + C

=L

(x + 1)3 5

(x+ 2)'2 1

X2

(x+ 2)'2

+c

= L I ¡X + 1)3 5 I + c X2 (x + 2)'2

_ L I (x + 1 )3 I + c - ..JX .J (x + 2 )5


f dx 5. dx=

(x - 4) (x - 3)

1 A B =--+--(x - 4) (x - 3) x - 4 x - 3

mcm = (x - 4) (x - 3)

1 = A(x - 3) + B(x - 4) = Ax - 3A + Bx - 4B = (A + B)x - 3A - 4B


A + B = O -3A - 4B = 1

Multiplicamos. (1) por 3

3A + 3B = O -3A - 4B = 1

-B = 1

1 B = -11 sustituimos en (1)

A-l=O I A = 1 I


1 1 ----=---- = -- - --(x - 4) (x - 3) x - 4 x - 3

f dx =f~ - f-l-(x-4)(x-3) x-4 x - 3

integramos

(1) (2)

I X-41 Sol. L -- +C x - 3

= L (x - 4) - L (x - 3) + C

= L -- +C I

X-4

1

6. f X2 + 3x + 4 dx = x-2

x+5

x - 2 I X2 + 3x + 4 -x2 + 2x

5x+ 4 -5x + 10

14

x-3

X2 Sol. "2 + 5x + 14 L 1 x - 21 + C


Integramos X2

= 2 + 5x + 14 L 1 x - 21 + e

7.J x+16 d.x= X2 +2x-8


x+16 x+16 =-----x2 + 2x - 8 (x - 2) (x + 4)

A B =--+-

x - 2 x+4

mcm = (x - 2) (x + 4)

x + 16 = A(x + 4) + B(x - 2) = Ax + 4A + Bx - 2B = (A + B)x + 4A - 2B


A + B = 1 4A + 2B = 16

multiplicamos por (1) por 2

2A+2B=2 4A - 2B = 16

6A = 18

1 A = 31

sustituimos en (1)

3 + B = 1

1 B = -21 sustituimos los valores de A y B

x+ 16 3 2 =-- ---

(x - 2) (x + 4) x - 2 x + 4

J x+16 d.x - 3J~ 2J~ (x - 2) (x + 4) x - 2 x + 4

(1)

(2)

= 3 L (x - 2) - 2 L (x + 4) + e

= L 1 (x - 2)31 + e (x + 4)2

Sol. L 1 (x - 2): 1 + e (x+ 4)


f 2x3 + 3x2 - 4 8. dx=

X2 - 4x+ 3 Sol. x2 + llx + L I ...; (x - 3)17 I + e

"'; x-l

2x+ 11

X2 - 4x + 3 2x3 + 3x2 - 4 -2x3 + 8x2 - 6x

l1x2 - 6x - 4 -llx2 + 44x - 33

38x - 37

f 2x3

+ 3x2

- 4 dx = 2 f xdx + 11 f dx + f 38x - 37 dx X2 - 4x + 3 X2 - 4x + 3

Por comodidad, las integrantes señaladas se resuelven por separado

2 f xdx = X2 + e 11 f dx = llx + e

f 38x- 37 dx= X2 -4x+3


38x - 37 38x - 37 --::---- = X2 - 4x + 3 (x - 3) (x - 1)

A B = + (x-3) (x- 1)

mcm = (x - 3) (x - 1)

38x - 37 = A(x - 1) + B(x - 3)

= Ax - A + Bx - 3B

= (A + B)x - A - 3B


A + B = 38 -A - 3B = -37

-2B = 1

lB = -~ I Sustituimos en (2)

-A + 3(-~)= -37

3 -A+"2= -37

(1)

(2)


-A = -37 - ~

A = 31 + ~ 74 3

A=-+-2 2

IA=7271

Sustituimos los valores de A y B

77 3& - 37 2

=---

1 2

x 2 -4x+3 x-3 x-l

f 38x - 37 77 f dx 1 f dx x 2 -4x+3 = 2 x-3 -'2 x- 1

77 1 = - L (x - 3) - - L (x - 1) + C 2 2

77 I

= L (x - 3) '2 - L (x - 1) 2 + C

=L _~ +C 1

"';(x- 3)77 1

'lX - 1

reunimos los resultados parciales

f 2x3 + 3x2 - 4 1"'; (X- 3)171 X2 _ 4x + 3 dx = X2 + llx + L ...rx=T + C

f 4x2 +3X-l 9. dx=

X2 (x- 1)

4x2 + 3x- 1 X2 (x- 1)

A B C = -+-+-X x2 x- 1

mcm = X2 (x - 1)

4x2 + 3x - 1 = A(x2 - x) + B(x - 1) + Cx2 = Ax2 - Ax + Bx - B + CX2 = (A + C)x2 + (-A + B)x - B


A+C=4 -A + B = 3

-B =-1

B = 1

(1) (2)

(3)


Sustituimos en (2)

-A + 1 = 3 -A = 2

lA = -21 sustituimos en (1)

-2 + e = 4

1 e = 61 Sustituimos los valores de A, B Y e

4x2+3x-l 21 6 -----= - -+-+--

x2 (x - 1) X x2 X - 1

f 4x2

+ 3x - 1 dx = -2 f dx + f dx + 6 f . dx x2 (x - 1) X x2 X - 1

integramos

= -2 L (x) + f X-2 dx + 6 L (x - 1)

1 = - 2 L (x) - - + 6 L (x - 1) x

x 2 -3x+2

\\ '\~

1

IX2+2x+3 ~ -x2 + 3x ~ 2 e

5x: - 1~

f X2 + 2x + 3 dx _ f [1 + 5x - 1 ) dx x2 - 3x + 2 - X2 - 3x + 2

fdx f 5x-1 d - + x - X2 - 3x+ 2

Sol. x + L I (x - 2)!} I + e (x - 1)4

Por comodidad, las integrales señaladas se resuelven por separado.

f dx = x

f 5x-1 dx-f 5x-1 dx X2 - 3x + 2 - (x - 2) (x - 1)

5x-1 A B =--+--

(x - 2) (x - 1) x - 2 x - 1

(

. 1


mcm = (x - 2) (x - 1)

5x - 1 = A(x - 1) + B(x - 2) = Ax - A + Bx - 2B = (A + B) x - A - 2B


A + B = 5 -A + 2B = -1

-B = 4

1 B = -41 Sustituimos en (1)

A-4=5

~~ sustituimos los valores de A y B

5x - 1 9 4 ----=-----x2 - 3x + 2 x - 2 x - 1

f 5x - 1 dx - 9 f ~ 4 f ~ X2 - 3x + 2 - x - 2 - x - 1

integramos

(1) (2)

= 9 L (x - 2) - 4 L (x - 1) + e

Reunimos los resultados parciales

f x 2 +2X+3 2 dx x + 9 L (x - 2) - 4 L (x - 1)

x - 3x+ 2 ~

= x + L (x - 2)9 - L (x - 1)4

= x + L 1 (x - 2)91 + e (x - 1)4

11. f x dx = x 2 +2x+l

factorizamos el denominador

x x (x + 1)2

A B = --+--.,.......". X + 1 (x + 1)2

1 Sol. L \ x + 1\ + --+ e

x+1


mcm = (x + 1)2

x = A(x + 1) + B =Ax+A+B


A+B=O A = 1

sustituimos en (1)


xii ----- - -- - --~ X2 + 2x + 1 x + 1 (x + 1)2

f x = f ~ -J (x + 1 )-2 dx X2 + 2x + 1 x + 1

integramos

1 = Llx+ 11 +--+C x+l


1 1 ----- = ------X2 + 3x + 2 (x + 2) (x + 1)

A B =--+-

x+2 x+l

mcm = (x + 2) (x + 1)

1 = A(x + 1) + B(x + 2) = Ax + A + Bx + 2B = (A + B)x + A + 2B


A + B = O A+2B=1

multiplicamos (1) por -1

-A - B = O A+2B=1

B = 1\

(1)

(2)

(1)

(2)

Sol. L I x + 1 I + C x+2


sustituimos en (2)

A+2=1

lA = -11 sustituimos los valores de A y B

1 1 1 =---+--

X2 + 3x + 2 x + 2 x + 1

f X2 + ~ + 2 = f x ~ 1 - f x ~ 2

integramos

= L (x + 1) - L (x + 2) + C

= L -- +C Ix+ 1 I x+2

13. f 7x + 1 = (x + 3) (x - 1)

7x+ 1 A B =--+--

(x+3)(x-1) x+3 x-1

mcm = (x + 3) (x - 1)

7x + 1 = A(x - 1) + B(x + 3) = Ax - A + Bx + 3B = (A + B)x - A + 3B


A + B = 7 -A + 3B = 1

4A= 8

lA = 21 SustituimoS' en ( 1)

2+B=7

I B = 51 sustituimos los valores de A y B

7x+ 1 2 5 =--+--

(x+3}(x-1) x+3 x-1

f 7x + 1 - 2 f ~ + f dx (x + 3) (x - 1) x + 3 x - 1

integramos

Sol. L I (x + 3)2 (x - 1)5 I + C

(1) (2)

= 2 L (x + 3) + 5 L (x - 1) + C

= L I (x + 3)2 (x - 1)5 I + C


f 5X2 - 10x + 8 14. dx-

x(x - 2) (x + 2)

5X2 - lOx + 8 A B C =-+--+-

x(x - 2) (x + 2) x x - 2 x + 2

mcm = x(x - 2) (x + 2)

Sol. L I (x - 2) ~x + 2)6 I + e x

5x2 - lOx + 8 = A(x - 2) (x + 2) + B(x2 + 2x) + C(x2 - 2x) = A(x2 - 4) + Bx2 + 2Bx + CX2 - 2Cx = Ax2 - 4A + Bx2 + 2Bx + CX2 - 2Cx = (A + B + C)x2 + (2B - 2C)x - 4A


A+B+C=5 2B - 2C = -10

-4A = 8

Sustituimos en (1)

-2 + B + C = 5 B+C=7

(1) (2) (3)

(4)

Formamos un sistema de ecuaciones con (2) y (4) , multiplicando la (4) por 2.

2B - 2C = -10 2B + 2C = 14

4B = 4

I B = 1

calculamos e en (4)

1 + C = 7

I C = 61 sustituimos los valores de A, B Y C

5X2 - 10x + 8 2 1 6 =--+--+--

x(x - 2) (x + 2) x x - 2 x + 2

f 5X2 - 10x + 8 dx = _ 2 f dx + f ~ + 6 f ~ x(x - 2) (x + 2) x x - 2 x + 2

integramos

= -2 L (x) + L (x - 2) + 6 L (x + 2) + e = -L I (X)2 I + L I (x - 2) I + L I (x + 2)6 I + e

= L 1 ex - 2~;X + 2)61 + e

12 Métodos de integración.

Integración por racionalización

El procedimiento de integrar unaJunción no racional sustituyendo la variable por una nueva variable de tal manera que el resultado sea una expresión racional, se llama integración por racionalización. Hecha la sustitución,' en la expresión resultante se despeja la variable x y se calcula su derivada.

1. Racionalización de expresiones que incluyen potencias fraccionarias de a + bx, como p r

(a + bx)Ci, (a + bx)i.

Se transforman a forma racional con la sustitución a + bx = z n. Donde n es el mcm de los denominadores de los exponentes fraccionarios de las expresiones a + bx.

Ejemplos:

1. f dx "x - 2 + ~ (x- 2 )3

= Sol. 4 ~x - 2 - L I ( ~x - 2 + 1)4 I + e

dx = ----~1--------3 (x - 2) 2 + (x - 2) 4'

1 3 El mcm de los denominadores de - y - es 4

2 4

mcm (2,4) = 4

de donde,

x - 2 = Z 4

X = Z 4 + 2

dx = 4z3 dz

165

166 CAPíTULO 12. Métodos de integración. Integración por racionalización

sustituimos

dx 4z3 dx f ~ ~= f I 3

(x - 2) 2 + (x - 2) 4 (Z4) 2 + (Z4) 4

dividimos

1

1+zrz-z - 1

- 1

integramos

f Z3 dx

4 Z2 + Z3

f z3 dz 4 z2(1+Z)

4 f z dz 1+z

4 f(1-_1 )dZ 1+z

4fdZ-4f~ 1+2

= 4z - 4 L (1 + z) + C

Sustituimos el valor de Z4 = X - 2

z = ~x - 2

4~x-2 -4L(~x-2 +1)+C

4 ~x-2 -L 1 (~x-2 + 1)41 +C

2. Racionalización de expresiones que únicamente incluyen una potencia fraccionaria de x.

Se transforma a forma racional con la sustitución x denominador del exponente fraccionario de x.

zn donde n es el

2. f -{Xdx = x - 1

Sol. 2-{X + L 1 (-{X - 1)2 1 + e

-f~ - I

x 2 - 1

Racionalización de expresiones que incluyen diferentes potencias fraccionarias dex 167

El denominador del exponente fraccionario es 2

de donde

dx = 2z dz

Sustituimos

f dx = f 2z dz rx-l z-1

dividimos

1 z - 1 I z

= 2 f z dz z - 1

-z + 1 1

= 2 f(1 +_1 JdZ z - 1

= 2fdz+2f~ z - 1

= 2z + 2 L (z - 1) + e

sustituimos el valor de z = rx = 2 rx + 2 L (rx - 1) + e

= 2 rx + L I (rx - 1)21 + e

3. Racionalización de expresiones que incluyen diferentes potencias fraccionarias de a e

X, como Xi) ,XCi, ...

Se transforma a forma racional con la sustitución x = zn donde n es el mcm de los denominadores de los exponentes fraccionarios.

Ejemplo:

f dx = rx--Yx

Sol. 2 rx + 4 -Yx + L I (-Yx - 1)4 I + e

dx


1 1 El mcm de los denominadores de - y - es 4

2 4

mcm (2. 4) = 4

de donde

z =-rx dx = 4z3 dz

sustituimos

f dx - f 4z3 dz I 1- I J

x"2 - X ¡ (Z4) "2 - (z4) ¡

dividimos

= f 4z3

dz Z2 - Z

f Z3 dz -4

z(z - 1)

= 4 f Z2 dz z - 1

z+1

z - 1 I Z 2

_ Z 2 + z z

-z + 1

integramos

1

= 4 f (z + 1 + _1_) dz z - 1

= 4 f z d z + 4 f dz + 4 f ~ Z - 1

2 Z2 + 4z + 4 L (z - 1)

Sustituimos el valor de z = -rx

2 (-rx)2 + 4 -rx + 4 L (-rx - 1) + e

Racionalización de expresiones que incluyen una potencia fraccionaria del tipo (ax + b); 169

4. Racionalización de expresiones que incluyen una potencia fraccionaria del tipo a

(ax + b)b

a

Se transforma a forma racional con la sustitución (ax + b) b = Zb donde b es el a

denominador del exponente fraccionario b'

Ejemplo:

f x2 dx-...J(l + 4X)5 - Sol. 32 ...J 1 + 4x + ...J - ...J 3 + e 1 [ 2 1 )

1 + 4x 3 (1 + 4x)

= f 22

~ dx (l + 4x) 2


de donde

1 + 4x = Z2; z = ...JI + 4x

integramos

Z2 - 1 x=--

4

z dx = -dz

2

= _1 (f dz - 2 f dz + f dZ) 32 Z2 Z4

= _1 (z + ~ __ 1_) + e 32 z 3z3

Sustituimos el valor de z = ...J 1 + 4x

= - ...J I + 4x + - 3 + e 1 ( 2 1) 32 ...J 1 + 4x 3 (1 + 4x) 2'

= - -.' 1 + 4x + - + e 1 [ 2 1 ) 32 ~1 + 4x 3...J(l + 4x)3


5. Racionalización de expresiones que incluyen funciones racionales de sen u y de cos u en el denominador.

2 z Se transforman a forma racional con la sustitución de sen u = ---2;

l+z

1 - Z2 cosu = --

1 + 2 2

u Estas relaciones se deducen de considerar la sustitución tan "2 = z en la func ión

trigonométrica de la tangente de la mitad de un ángulo tan 2u + -V 1 - co s u

En la forma sigu iente:

tan!:! = -V 1 - c osu 2 1 + cos u

Se eleva al cuadrado los dos miembros

tan2 !:! = 1 - cos u 2 1 + cos u

Se sustituye con tan ~ = z

1 - cos U Z 2 = ----

1 + cos u

y se despeja con u

Z 2 (1 + cos u) = 1 - cos U

Z2 + Z 2 cos U = 1 - cos U

Z2 cos U + cos u = 1 - Z2

cos U (Z2 + 1) = 1 - Z 2

I 1 - Z 2 cos U = T+Z2

1 + cos u

Para calcular el valor de sen u, la relación del cos u s e expresa en un triángulo rectángulo .

, "t/l ~b 1 - Z2

Con el teorema de Pitágoras calculamos el valor d el cateto opuesto b.

(1 + Z 2 )2 = (1 - Z 2 )2 + b 2

b2 = (1 + 2 2 )2 - (1 - z2)2

b 2 = 1 + 2z2 +zY-X+ 2 z 2-...z4"

b 2 = 4z2

b = 2z

'.

Racionalización de expresiones que incluyen funciones racionales de sen u y de cos u en el denominador 171

Calculando el valor de b = 2z, en el triángulo se sustituye el valbr de b para obtener sen u.

2tJ~

\.l<" 2z

u 1 - Z2

Señalamos que:

tan~=z 2

de donde

tan u = 2z

2z sen u - 1 + Z2

de la cual su función inversa es:

u 2 arc tan z

En el mismo triángulo, se pueden deducir las funciones de tan u, cot u , sec u , csc u ya que estas cuatro funciones se pueden expresar racionalmente en términos de sen u o de cos u o de ambas

por lo tanto,

tan u =

cot u =

2z 1 - Z2

1 - Z2

2z

1 + Z2 sec u - 1 _ Z2

ese u =

Ejemplos:

1. f 3 + ~sx =

Ponemos u =x

como

x tan -= z

2

(..J2 x) Sol. are tan 2 tan"2 + C


y su función inversa es

y con

x = 2 arc tan z

dx = 2dz 1 + Z2

1 - Z2 cosx = ---

1 + Z2

sustituimos

2dz

f dx f 1 + Z2

3 + cos x - 1 - Z2 3+--

1 + Z2

2dz

~ = f 3 + 3z2 + 1 - Z2

~

= 2f dz 4+ 2z2

a 2 = 4 u 2 = 2z 2

a=2

integramos

1 ..J2z 2 "2 arc tan-

2- + e

x sustituimos el valor <le z = tan "2

['J2 tan ~l

arc tan 2 + e

['J2 x) == are tan 2 tan 2" + e

2. f 1 + rx dx 1 --IX 1

f 1 +x 2" -----,-1 dx 1 - x 2"

El mcm de los denominadores de los exponentes es 2.

de donde 1

X = Z2 Z = x 2" dx = 2z dz


Sustituimos

1 1

f 1 + x"2 f 1 + (Z2) "2 ---1 dx= 1 dz 1 - x"2 1 - (Z2) "2

dividimos

-1

1-z 1+z 1-z

2

integramos

= f 1 + z dz 1-z

= f(-1 +_2 )dZ 1-z

= -z - 2 L (l - z) + e

sustituimos el valor de z = ,¡x

3 f dx . 3 +"'¡x+ 2

-f dx - 1

3 + (x + 2)"2

Sol. 2"'¡x + 2 - L I (3 + "'¡X + 2 )6 I + e

El denominador del exponente fraccionario es 2.

de donde

x + 2 = Z2 Z = "'¡x + 2 x = Z2 - 2

dx = 2z dz

sustituimos

f dx = f 2z dz 1

3 + "'¡X + 2 3 + (Z2) "2

=2fzdz 3+z


dividimos

1 3+z ,-z--

-z - 3

-3

integramos

2f(I-_3 JdZ 3+z

2fdz-6f~ 3+z

= 2z - 6 L ( 3 + z) + e

sustituimos el valor de z = "'¡x + 2

2 "'¡X + 2 - 6 L (3 + "'¡X + 2 ) + e

2 "'¡X + 2 - L I (3 + "'¡X + 2 )6 I + e

4. f ~dx= 3+ x 1

x 4 = ---1 dx

1 +x2"

4 ~ 1. 1. Sol. 3" x 4 - 4x 4 + 4 are tan x 4 + e

1 1 El mem de los denominadores de ¡ y "2 es 4

mem (2, 4) = 4

de donde

x = Z4; Z = rx dx = 4z3 dz

sustituimos 1

= f(Z4)4(4Z3 ~Z) 1 + (Z4) 2"

dividimos

Z2 - 1

1 + Z2 I Z4

4 f Z (Z)3 dz 1 + Z2

f Z4 4 ---2 dz

l+z

_Z4 - Z2

- Z2

Z2 + 1

1

Racionalización de expresiones que incluyen funciones racionales de sen u y de cos u en el denominador

4 f (Z2 - 1 + _1 1 dz 1 + Z2

integramos

4 = 3" Z3 - 4z + 4 arc tan z + C

sustituimos el valor de z = rx 4 ~1. 1.

= - X 4 - 4x 4 + 4 arc tan x 4 + C 3

175

5. f xdx

~(2x + 3) 4

3 ~ 9 Sol. "8 (2x + 3) 3 + 1. + C

4 (2x + 3) 3

- f xdx - 4

(2x + 3)"3


de donde

2x + 3 z = ~2x + 3

x= Z3 - 3

2

3 Z2 dx = -2-

sustituimos

xdx Z3;3 (3~2) f 4 = f 4 dz

(2x + 3) "3 (Z3) "3

3 f (Z5 - 3z2 ) = - dz 4 z4

3 f Z2 (z3 - 3) ¡ Z4 dz

= ~ f Z3 - 3 dz 4 Z2

= ~fz dz -~f~dZ 4 4 Z2

integramos

3 9 -Z2+-+C 8 4z

Ese PIHPAlIAIORIA ·(,;·' .~t [tJRIOUf RAr..1HH ¡-

INC 0~"O I-i A[l¡. A LA UN I'.'f "SIOAD MIC"OAC:.tIA lIt 5AN NICOIAS

Pt ·¡If)r., CO

CD LAlAh'O C"I<OENAS . MICH


Sustituimos el valor de z = {/2x + 3

3 ~ 9 = - (2x + 3) 3 + 1 + e 8 4 (2x + 3) "3

1

6. f dx 1 = (x - 2) (x + 2) "2

1 (x + 2)"2 - 21 Sol. "2 L 1 1 + e

(x + 2)"2 + 2


de donde

x + 2 = Z2; Z = ""x + 2 x = Z2 - 2

dx = 2z dz

sustituimos

f dx 1 = f 2z dz I

(x - 2) (x + 2) "2 (Z2 - 2 - 2) (z2 - 2 + 2) "2

f 2i dz - (Z2 - 4) (i)

=2f~ Z2 - 4

Aplicando la fórmula de integración

f du __ 1_ L 1 u - a 1 + e u 2 - a 2 - 2a u + a

a2 = 4 a=2

2 f Z2d~ 4 = 2 [ 2(12) L (: : ~ )] + e

= .l L 1 z - 2 1 + e 2 z + 2

1

sustituyendo el valor de z = (x + 2) "2 1

= .l L 1 (z + 2) ~ - 2 1 + e 2 (z + 2)"2 + 2

= 1

Sol. 2 \Ix - 3 rx + 6 -rx - L 1 (x 6 + 1 )61 + e

dx = f1. 1.

x 2 +x 3

1 1 El mcm de los denominadores de "2 y "3 es 6


mcm (2. 3) = 6

de donde

dx = 6z5 dz

sustituimos

dividimos

Z2 - Z + 1

z + 1 I Z3

-z3 - Z2

- Z2

Z2 + Z

f 6Z5 dz

- (Z6) ~ + (Z6) ~

= f 6z5

dz Z3 + Z2

f Z5 dz 6 Z2 (z + 1)

6 f Z3 dz z + 1

z -z-1

integramos

- 1

6 f (X2 - Z + 1 -_1_) dz z+1

6 f Z2 dz - 6 f z dz + 6 f dz - 6 f ~ z + 1

Z3 z2 = 63 - 62 + 6z - 6 L (z + 1) + C

Sustituimos el valor de z = {Ix

I I I 1

2 (x 6)3 - 3 (x 6)2 + 6 (x 6) - 6 L 1 x 6 + 1 1 + C

1 J I )

2x 2 -3x 3 +6x 6 -6LI x 6 + 11 +C


8. J -IX dx 1 + \fx3

1

_ J X 2 dx - 3

1 + X 4

Sol. ~ \fx3 - L \ (l + \fx3 )12\ + e

1 3 El mcm de los denominadores de "2 y ¡ es 4

mcm (2. 4) = 4

de donde

dx = 4z3 dz

sustituimos

1 1 J X2~= J(Z4)2(4Z3~Z) 1 + X 4 1 + (Z4) 4

dividimos

Z2

1 + Z3 I Z5

= J 4z5

dz 1 + Z3

4 J Z5 dz 1 + Z3

-z5 - Z2

- Z2

= 4J(Z2_~)dZ 1 + Z3

integramos

= ! Z3 - 12 L \1 + Z3 \ + e 3

1

Sustituimos el valor de z = x 4

4 1 1

= - (x 4)3 - 12 L I 1 + (x 4)3 \ + e 3


9. f tan x ~sen x

como

x tan-=z

2

su función inversa es

x = 2 are tan z

dx = 2dz 1 + Z2

2dz tan x = ---

1 - Z2

2z sen x = ---

1 + Z2

sustituimos

2dz

f dx f 1 + Z2

tan x + sen x - 2z 2z

integramos

---+---1 - Z2 1 + z2

~dz

= f 2z(1 +~2Z(1 - z2)

(1-Z2)(~

f ,2z(1 - Z2) = ,zz(l+~ + 1 _~) dz

1 1 = - L (z) - - Z2 + e 2 4

x Sustituimos el valor de z = tan "2

1 x 1 x = - Litan -2 I - - tan2 - + e 2 4 2


10. f 1 + ~Sx =

Como

x tan-= z· 2 ' tan x = 2z

su función inversa es

x = 2 are tan z

dx = 2 dz 1 + Z2

además

1 - Z2 eosx = ---

1 + Z2

sustituimos

2 dz

f dx f 1 + Z2

1 + cos x 1 - Z2 1+--

1 + Z2

integramos

z+C

x Sustituimos el valor de z = tan "2

x tan"2+ C

11. f dx 2 + sen x

Como

x tan- = z;

2

su inversa es

tan x = 2z

x = 2 arc tan z

dx = 2 dz 1 + Z2

x Sol. tan "2 + C


Además

2z sen x = ---

1 +z2

sustituimos

2dz

f dx f 1 + Z2

2 + cos x - 2 2z +---1 + Z2

2 dz

...l---t=ff f 2 + 2z2 + 2z ~

f ;Zdz - ,2(1 + Z2 + z)

f dz - Z2 + z + 1

Factorizamos completando el cuadrado

3 a2 =-4

1 E" u = z+-

2 a=-

2

integramos

1 z+2

[ 1] = ~ arc tan ~ + e

x Sustituimos el valor de z = tan 2

13 Integral definida

1. Antecedentes históricos

El cálculo integral tiene como objetivo principal obtener el límite de la suma de un gran número de magnitudes cada una de las cuales tiende a cero.

Desde la antigüedad, los filósofos y matemáticos se plantearon la solución de los problemas siguientes:

• Trazar la tangente a una curva en un punto determinado

• Obtener el área de una superficie de contornos curvos

El filósofo Brison, contemporáneo de Sócrates, trató de calcular el área de un círculo por medio de polígonos regulares inscritos y circunscritos al círculo. Aquel método se le conoce como proceso de reducción porque a medida que aumenta el número de lados del polígono se va reduciendo la diferencia entre las áreas de éstos; el perímetro de los polígonos se aproxima cada vez más al valor del perímetro del círculo.

182

Antecedentes históricos 183

Arquímedes (287-212 a. de C.) aplicó este método utilizando polígonos regulares de 96 lados inscritos y circunscritos a un círculo de diámetro de una unidad. de cualquier medida. y logró aproximarse al número irracional n. El proceso que se aplica en cálculo para determinar el área de una región plana es simila~ al empleado por Arquímedes.

La importancia de esta técnica la podemos observar si se plantea el problema siguiente:

Calcular el área A de la superficie limitada por la parábola y = X 2 + 1 Y las rectas y = l. x-O. x = 4 (véase figura 1)

Figura 1 Figura 2 Figura 3

El área achurada de la parábola (figura 1) debe estar entre las áreas de los rectángulos.

ABEF; 4(1) = 4 EFDC; 4( 17) = 68

de donde 4 < A < 68

Si se divide el segmento O a 4 en 4 partes iguales y se trazan dos series de rectángulos. unos que toquen la curva con su vértice inferior izquierdo. y los otros que la toquen con el vértice superior derecho (véase figura 2 y 3).

184 CAPíTULO 13. Integral definida

2. Suma de Riemann

La suma de las áreas de las dos series de rectángulos son:

en la figura 2:

El primer rectángulo tiene base 1 y altura 1 de donde 1(1) 1

segundo id. id. id. 2 id. 1(2) 2 tercero id. id. id. 5 id. 1(5) 5 cuarto id. id. id. 10 id. 1(10) 10

suma 18

en la figura 3:

El primer rectángulo tiene base 1 y altura 2 de donde 1(2) = 2

segundo id. id. id. 5 id. 1(2) 5 tercero id . id . id. 10 id. 1(5) 10 cuarto id. id. id. 17 id. 1( 10) 17

suma 34

El área por obtener está entre 18 y 34 unidades cuadradas

18 < A < 34

Para una segunda aproximación se divide el segmento O a 4 en 8 partes iguales. cada una de 0.5 unidades. Se dibujan las dos series de rectángulos como en el caso anterior. Se trazan las gráficas y se obtienen las áreas. Se observará que el área de la región achurada quedará limitada entre las dos series y se aproxima cada vez más al área que se está calculando.

La suma de n términos {al . a2. a 3 . ... a n } se expresa

n

L. al = al + a 2 + a3 + . . . a n

l=m

en donde:

el símbolo L. es la letra sigma mayúscula del alfabeto griego que corresponde

a la letra s y se usa en matemáticas para indicar una suma.

al nym

se llama índice de la suma o variable de la suma. representa el n-ésimo término de la suma. indican los valores extremos. y son el extremo superior e inferior de la suma. respectivamente. donde m ~ n.

Suma de Riemann 185

Algunos autores usan la palabra límite en lugar de extremos; usaremos ésta última para evitar confusiones con la palabra límite que se aplicó en cálculo diferencial.

Ejemplos:

1. Calcula la suma indicada.

4

L. (2i + 1) Sol. 24 1 = 1

En este ejemplo al = (2i + 1). Para calcular la suma indicada se sustituye la i sucesivamente por los enteros 1, 2, 3, 4 desde el 1 hasta el 4 que en el ejemplo son los extremos de la suma, luego se suman los términos así obtenidos.

4

I (2i + 1) = [2(1) + 1) + [2(2) + 1) + [2(3) + 1) + [2(4) + 1)

1=1 =3+5+7+9 = 24

Cualquier variable puede ser usada como índice de la suma. Se prefieren las letras i,j, k porque normalmente están asociadas a los enteros.

El extremo inferior no tiene que ser necesariamente el número uno pues cualquier número entero menor o igual al extremo superior es válido.

7

L. al = a4 + as + as + a7 1= 4

Este tipo de adiciones se les conoce como sumas de Riemann.

Calcula la suma indicada.

4 21 20 21 22 23 24

2. L. (i + 2) - (O + 2) + (1 + 2) + (2 + 2) + (3 + 2) + (4 + 2) 1=0

1 2 4 8 16 = -+-+-+-+-2 3 4 5 6

15 + 20 + 30 + 48 + 80 30

193 =30

193 Sol. 30


3. Propiedades de la suma de Riemann

n n

A. L k a{ = k L a{ donde k es una constante { = 1 { = 1

n n n

{ = 1 t = 1 {= 1

6

3. L 3i = 3(2) + 3(3) + 3(4) + 3(5) + 3(6) Sol. 60 { = 2

= 6 + 9 + 12 + 15 + 18

Por la propiedad A

6 6

L 3i = 3 L i {=2 {=2

= 3 (2 + 3 + 4 + 5 + 6)

= 3 (20)

= 60

4. Fórmulas de la suma de Riemann

n

A. Lk=kn J=1

B ~ _ n (n + 1) . ~j- 2

J = 1

~ '2 n(n+1)(2n+1) c. ~ J = 6

J=1

n 2 1 2 D ~ 3 _ n (n + ) . ~j - 4

J=1

La suma de una constante k , n veces.

La suma de los n-primeros números naturales .

La suma de los cuadrados de los n-primeros números naturales.

La suma de los cubos de los n-primeros números naturales.

Sumas de Riemann con notación sigma 187

5. Sumas de Riemann con notación sigma

Ejemplos:

Con la notación sigma expresa las sumas que se indican.

111 1 1.--+--+--+" .--2(1) 2(2) 2(3) 2(8)

2. [ 2( ~ ) + 3] + [ 2( ~) + 3] + ... + [2(~) + 3]

a·[[tJ +2][t]++[[~J +2][t] 4. [[~J -~](~]+ + [(3nnJ -~][~] 5. [>[1 + ~j' l(~]+. +[1 + 5; ]'] [~l Calcula las sumas indicadas.

5

6. :¿(3J+ 1) = J = 1

8 1 Sol. :¿ 2t

1= 1

Sol. k*J 2[* + 3 ] 2

Sol. tJ~ [[t] + 2]

Sol. k~1 [(3:]' -(3:l]~ Sol. I~ [>[1 + ~n~

Sol. 50

= [3(1) + 1] + [3(2) + 1] + [3(3) + 1] + [3(4) + 1] + + [3(5) + 1]

= 4 + 7 + 10 + 13 + 16 = 50

3 1 7. :¿ i2 + 1 =

1=0

4

8. :¿ k =

1 = 1

1 1 1 1 =--+--+ - -+-

O + 1 12 + 1 22 + 1 3 2 + 1

1 1 1 = 1 +"2+"5+10

= 10+5+2+ 1

18 10

10

=,k + k + k + k v

4 veces = 4k

18 Sol. 10

Sol. 4k


4

9. L [(j - 1)2 + (j + 1)3) = Sol. 238

) = 1 = [(1-1)2 + (1 + 1)3) + [(2-1)2 + (2 + 1)3) +

+ [(3 - 1)2 + (3 + 1)3) + [(4 - 1)2 + (4 + 1 )3) = 8 + 28 + 68 + 134 = 238

5

10. L (3j - 10) = Sol. -5

)=1 = [3( 1) - 10) + [3(2) - 10) + [3(3) - 10) +

+ [3(4) - 10) + [3(5) - 10) = -7 - 4 - 1 + 2 + 5 = -5

Sol. 510

k = 1 = 2 1 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28

= 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 510

20

12. L t = 1 = 1

= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 20

Aplicando la fórmula B de la suma

Ln

n(n+l) j = ---'------'-

2 ) = 1

I. t = 20 (2~ + 1)

1 = 1

20

20 (21) 2

=210

13. L 2k= k = 1

k = 1

= 2 (1 + 2 + ... + 20)

Aplicando la fórmula B de la suma

2 (20) (20 + 1) = 2 =420

Sol. 210

Sol. 420

Áreas (interpretación intuitiva) 189

6. Áreas (interpretación intuitiva)

En la misma forma que se estudiaron las pendientes de las rectas tangentes para motivar la definición de la derivada, nos referimos a las áreas a fin de facilitar el estudio de la integral definida.

Primero se dará una definición de la integral definida, posteriormente se citará otro, como un límite de las sumas de Riemann.

Ejemplo:

Se quiere calcular el área acotada por las rectas verticales x = a , x = b que intersecan al eje x (véase figura 4), y por la gráfica de una función] que es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a , b l. Nos referimos al área como la superficie de] entre las rectas a y b . (véanse figuras 5 y 6)

a b

Figura 4

a b

Figura 5 a b

Figura 6

El área por calcular es mayor que la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 5 y menor que la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 6 (véase figura 7).

Se repite este proceso y al hacerlo, el área de los rectángulos que es tán por "debajo" de la curva es casi igual al área de los rectángulos que están por "encima" de la curva (véase figura 8). En el límite, es decir, cuando la base de los rectángulos tiende a cero, la suma de las áreas de los rectángúlos que están por "debajo" de la curva es igual a la suma de los otros rectángulos, entonces se obtiene el área bajo la curva en el intervalo [a , bl .

i~~ I ~~ I ~ I t-'"t>o_-I ¡ I I I I

a b a b

Figura 7 Figura 8


Este proceso nos lleva a obtener el área como un límite; a éste límite se le llama integral de lajunción.

7. Integración definida como el límite de una suma (interpretación intuitiva)

Seaj(x) una función cuya curva es JQ (véase figura 9) y j(x) dx = d F(x) , es

decir, fj(x) dx = F(x), concepto que se estudió en la integral indefinida.

Q

J

,a jC1 X2 X3 X4 Xn - 1 b

a = Xo b = Xn

Figura 9

Si se divide el intervalo la, bJ en n intervalos iguales entre sí, la amplitud de cada intervalo es:

b-a --=~

n o también Xl - a = llx

X2 - Xl = llx

b - Xn-l = llx

La suma del área de los rectángulos es una aproximación al área bajo la curva dej(x) limitada por las rectas X = a, X = b, Y = O

Por lo tanto

j(a) (Xl - a) + j(x¡) (X2 - x¡) + ... + j(b) (b - x n- ¡) = n

=J(a) ~ + j(x¡) ~ + j(X2) ~ + .. . j(b) ~ = L j(XI} ~ x = o

Esta es una suma infinita de áreas de rectángulos cuando n ~ 00 y ~ ~ O la suma se aproxima más al área buscada, y en el límite es el área bajo la curva y también es su integral.

7.1 Conclusión

Integración definida como el límite de una suma (interpretación intuitiva) 191

n b

lím L f(x¡) Lix = lím L f(x) Lix a.: --+ o

a

b

= f f(x) dx a

= F (x) lb a

= F (b) - F (a)

Definición. La integral definida de una diferencial dada, calculada entre dos extremos de un intervalo cerrado, es el incremento de lafunción primitiva o antidiferencial propuesta cuando la variable pasa de un valor inicial a hacia un valor final b.

Se expresa

( Jlx) dx = F(b) - F(a) a

representa el área de la superficie limitada por la curva de una funciónf(x) cuyos extremos tienen como abscisas a y b.

El resultado de una integral definida se expresa en unidades cuadradas de superficie.

Si se invierte el valor de los límites de una integral definida, el nuevo valor es simétrico al primero

Con ( Jlx) dx = F(b) - F(a) a

Cambiando los extremos

Ja

Jlx) dx = F(a) - F(b) b

= -[F(b) - F(a»)

= -( f(x) dx a

si el extremo inferior de integración es igual al extremo superior.

Ja

f(x) dx = O a

La integral definida se obtiene con:

( f(x) dx = F(b) - F(a) donde el incremento está en función de los extremos a y b


Si se pone fijo el extremo inferior y variable el superior e igual a x se tiene

r Jlx) dx = F(x) - F(a) a = F(x) + e

donde

C = -F(a) = Constante

Esta integral indefinida entre un extremo fijo y otro variable, se ha convenido en expresar en la forma siguiente:

r Jlx) dx = F(x) + C a

Es decir, la integral indefinida es la antidiferencial; por lo cual, y desde este punto de vista, la integración es la operación inversa de la diferenciación.

8. Suma de Riemann (continuación)

La integración definida ya había sido expuesta y aplicada mucho antes que Bernhard Riemann (1826-1866) generalizara el concepto para poder ser aplicado a funciones más complicadas. Las sumas resueltas en el párrafo 5 de este apartado son ejemplos de dichas operaciones.

Con base en este conocimiento, es posible resolver funciones que incluyen las condiciones siguientes:

A. La función puede ser discontinua en algunos puntos de [a, b].

B. Las longitudes de los sub intervalos pueden ser diferentes entre sí

C.f(x) puede ser negativa para algún valor de x en [a, b]

D. El número Wl puede ser cualquier número en [Xl-¡, x¡] para i = 1,2,3, ... , n

8.1 Si una función f está definida en un intervalo [a, b] no necesariamente continua, se puede hacer una partición arbitraria que identificaremos con el símbolo ~

a = Xo < X¡ < X2 < ... <xn _¡ < X n = b

La figura siguiente representa una partición del intervalo [a, b] "'-.

~1 ~2 ~3 ~~~ , , , !

a = Xo

~¡

r--"---. , ,

X¡-l X¡

Al mayor de los números Llx¡, Llx2' partición p; se le identifica con 11 ~ 1I .

Xn-l Xn = b

Llxn se le llama norma de la

Suma de Riemann (continuación) 193

Axl es la longitud del n-ésimo subintervalo XI es cualquier punto del subintervalo n-ésimo

La suma de Riemann (que se expresa Rp) para la participación t:. se cita con la definición:

Sif es una función definida en un intervalo cerrado la, bl y t:. es una partición de la, bl una suma de Riemann de f para t:., es cualquier expresión Rp de la forma:

n

Rp = L.. f= (WI) Axl

1= l

donde WI es un número en [XI _ I, xLI para i = 1,2,3, .. . , n

En el libro de calculo diferencial apartado 1.2 al expresar el concepto de la derivada señalamos: "si a la variable independiente" x con un valor inicial a se le da un valor final b, a la diferencia b - a se le llama incremento de la variable; esto se expresa usando la letra griega llamada delta (t:.) que se antepone a la variable:

Ax=b-a

si se registra un aumento el incremento es positivo."

Ejemplo:

Obtener el valor del incremento de la variable x, con valor inicial a = 4, valor final b = 9

Resolución Ax = 9 - (4)

= 9 - 4 = 5

Si hay disminución el valor del incremento es negativo.

Ejemplo:

Obtener el valor del incremento de la variable x con valor inicial a = 3, valor final b = O

Resolución Ax = 0-(3) = - 3

Si no hay diferencia el incremento es nulo.

Ejemplo:

Ax = 4 - (4) = 4 - 4 = O

El concepto anterior se citó porque nos permitirá, en parte, resolver problemas que se plantean con la suma de Riemann.


Observa la partición que se hizo en el intervalo [a, bl en subintervalos; cuando el número de éstos tiende a infinito la norma de partición tiende a cero.

11 L'l 11 ~ o implica n ~ 00

8.2 Con la suma de Riemann se plantean problemas como el siguiente:

Ejemplo:

SiJ(x) = 10 - x 2 , calcular la suma de Riemann Rp deJ donde p es la partición

de (±, ¡) en cuatro subintervalos determinados por:

137 9 Xo = 4' Xl = 1, x2 = 2' X3 = 4 y X4: = 4

si 157

W I - 2' W2 = 4' W3 = 4 y W4 = 2

Son cuatro rectángulos cuyas áreas son los términos de la suma de Riemann.

4

Rp = I. J = (WI ) L'lxl

1= l

Resolución:

S I 16 12 o . 64

Para expresar el segundo factor de cada término de la expresión anterior se debe recordar lo señalado en el parrafo 8.1 sobre "incremento de la variable" y de presentarse alguna dificultad los valores se expresan en la recta numérica

Sustituimos los valores

Operaciones:

Con los valores de WI , W2 , W3 , W4 señalados y sustituyendo en:

J (x) = 10 - X2

f(k)= 10 - (k J 39 4

f(%)= 10 - (%J 135 16

f(~)= 10 - (~J 111 -

16

J (2) = 10 - (2)2 = 6

10

5

Xo w,

Suma de Riemann (continuación) 195

Para calcular el área de la región entre la curva y el eje de las x, se sustituye en (1)

_ 117 135 ..!...!l 3 - 16 + 32 + 64 +

468 + 270 + 111 + 192 64

1041 64

16 12 64

Cada segmento unidad de la gráfica se midió de dos centímetros para facilitar la localización de los puntos.

Sobre el eje de las x se han 1 5

marcado los valores Xo = 2' Xl 4' 7

X2 = 4' X3 = 2

Tabulando

X O 1 2 3

Y 10 9 6 1

Observa que sobre el eje de las X donde están los puntos Xo, Xl,

X2, X3, X4. A partir de éstos se trazan las coordenadas con relación al eje de las y cuyos valores ya se calcularon y son:

J(1.) = 39 = 9 ~ 2 4 4

J(~)= 135 = 8 ~ 4 16 16

J(l)=..!...!l = 6 ~ 4 16 16

J(2) = 6


9. La integral definida como límite de sumas de Riemann

A continuación se expresa otra definición de la integral definida, ahora como un límite de sumas de Riemann.

Sea f una función definida en un intervalo cerrado la. b] y si el límite de la suma de Riemann existe. entonces se dice que f es integrable en ese intervalo. se expresa.

n b

lím I f(W¡} ~¡ = J j(x) dx 11 & 11--+0 a

t = ¡

El proceso de obtener el número representado por el límite señalado se le llama calcular la integral

Si una función f es continua en un intervalo cerrado la . b] entonces siempref es integrable en la. b]

Al usar el intervalo la. b] se acepta que a < b.

De no ser así. ya> b queda

b b J f(x) dx = -J j(x) dx a a

Si el extremo inferior de integración es igual al extremo superior.

( f(x) dx = O a

10. Procedimiento para calcular una integral definida

El procedimiento para calcular una integral definida se resume en lo siguiente:

A. Integrar la expresión diferencial dada.

B. Sustituir en el resultado obtenido (integral indefinida) inicialmente con el valor del extremo superior. a contInuación con el inferior, y se resta el segundo resultado del primero.

C. No es necesario tomar en cuenta la constante de integración pues siempre se cancela en la sustracción.

Ejemplos:

4

1. f 2xdx= 1 4

= 2f xdx 1

= X2

= X2 14

1

= 4 2 - 12

15 u2

Procedimiento para calcular una integral definida 197

Sol. 15 u2

2 14 4 4 NOTA: La expresión x 1 es igual a [X2] 1 = [X2] 1 usaremos la primera. la de la "rayita"

2. r X2 dx = 1

x 3 5 =-1 3 1

125 1 3 3

= 124 u2 3

3. r x 3 dx = o

4 x 4 2

=-1 4 o

16 - O

16 u2

4. F cosxdx = o

= sen x

= sen x I~

1t = sen - - sen O 2

= 1 - O

Sol. 16 u2

Sol. 1 u2


5. r sen x d.x = o = _ cos x

= - cos x I~ = - cos 1t - (- cos O) = -(-1) - (-1)

= 1 + 1 = 2 u2

6. f d.x = o x = L(x)

7.( - 2

1 = L(x) lo = L(l) - L(O)

1 - O = 1 u2

~d.x = 2 ={ x 3 d.x

- 2

5

x 3

5 3

= ~x~ 10 5 -2

= O - ~ (-2) ~(-2)2

=~~ u2 5

Sol. 2 u 2

Sol. 1 u 2

6.3fA Sol. "5 ,,4 u2

Las integrales definidas de funciones discontinuas para algunos valores en la, b] a veces existen y a veces no, dependiendo de la naturaleza de la discontinuidad.

11. Propiedades de la integral definida

A. SiJ es integrable en la, b) y k es un número real cualquiera, entonces kJ es integrable en la, b)

r k J(x) d.x = k r J(x) d.x a a

Si se cita, un factor constante en el integrando se puede "sacar" del signo de integral.

Propiedades de la integral definida 199

B. Si

r (f{x)) ± 9 (x)) dx = r J(x) dx ± 9 r g(x) dx a a a

c. SiJ y 9 son integrables en [a, b) Y J(x) ~ g(x) para toda x en el intervalo, entonces

r j(x) dx ~ r g(x) dx a a

Observa en los ejemplos siguientes como se aplican las propiedades A y B antes señaladas.

Ejemplos:

l.t 1

= - t x2 dx + 5 t 1 1

(-x2 + 5x - 4) dx =

Integramos por separado cada integral.

- ( X2 dx = - ~ 1 ~ = -( ~ - ~ ) = - i

Sol. ~ u 2

Xdx-4t dx 1

5 (- x dx = 5 X2 12 = 5 (4) - ~ = 10-~ = ~

JI 3 1 2 2 2 2

-4 (- dx = -4x 12 = -4(2 - 1) = - (8 - 4) = -4 JI 1 por lo tarlto,

t (-x2 + 5x - 4) dx = - t 1 1

X2 dx + 5 t x dx - 4 t dx 1 1

7 15 =-"3+2- 4

- 14 + 45 - 24 6

7 = _u2 6

3

2. J (3x2 - 4x + 1) dx = o

3 3

= 3 J X2 dx - 4 J o o

Integramos por separado cada integral

Sol. 12 u2

3

Xdx+lJ dx o

3 3 3 f X2 dx = x 3 1 = 27 - O = 27 u2

o o


3

-4 S X2 3 3

X dx = -4 - 1 = -2 X2 1 = -18 - O = -18 u2 2 O O

O

3

1 S o

por lo tanto,

3 dx = xl

O = 3 u 2

3 3 3

S (3x2 + 4x + 1) dx = 3 S X2 dx - 4 S o o o

6

3. S3 (x2 - 2x) dx =

= (27 - 18 + 3) u2

= 12 u2

6 6

= S X2 dx - 2 S X dx 3 3

Integramos por separado cada integral

3

xdx+ lS o

dx

Sol. 36 u2

S6 X2 dx = x3

16 = 216 _ 2 7 = 72 _ 9 = 63 u2

3 3 3 3 3 6

-2 S 6 X dx = -x2

1 3

= -(36 - 9) = -27 u2

3

por lo tanto

S6 6 6

(x2 - 2x) dx = S x2 dx - 2 S 3 3 3

xdx

= 63 - 27 = 36 u2

12. Integrales definidas por cambio de variable (cálculo ·de nuevos extremos)

Cuando una función u = g(x) tiene derivada continua en el intervalo [a , b] Y J tiene una integral indefinida sobre el recorrido de g, entonces

r J[g(x)] g' (x) dx = J (b) J(u) du a 9 (a)

Ejemplos:

Efectuar un cambio de variable en las integrales siguientes:

1. f X (x2 + 1)3 dx o

Sol. 78 u2

Integrales definidas por cambio de variable (cálculo de nuevos extremos) 201

Si ponemos

u = X2 + 1 du = 2x dx

Cambiamos los extremos superior e inferior

Extremo superior

cuando x = 2 u=x2 +1 u = 22 + 1 u=5

Extremo inferior

cuando x = O u=x2 +1 u = 0 2 + 1 u = 1

y sustituimos

f x (x2 + 1)3 dx = o

= 1. r (x2 + 1)3 (2x) dx 2 Jo

= 1. f5 u3 du 2 1

=1.Cu4) 15

2 4 1

= ~ (~4 _ ¡ ) = ~ (6~5 _ ¡ ) = ~ (6!4) = 78 u2

3

2. f (6x + 1) (2x3 + X)2 dx o

Ponemos

u=2x3+x du = (6x + 1) dx

cambiamos los extremos superior e inferior

Sol. 61731 u 2


Extremo superior

cuando x = 3 u = 2 (3)3 + 3

u = 54 + 3 u = 57

Extremo inferior

cuando x = O u = 2(0)3 + O u=O

sustituimos

3 5 (6x + 1) (2x3 + X)2 dx = o

3. (Jo

(x+ 1) dx 2 ;/x2 + 2x

Ponemos

u=x2 +2x du = (2x + 2) dx du = 2(x + 1) dx

= 557

u 2 du o

u3 57 =-1 3 o

(57)3 O = -3-- 3

=61731u2

Cambiamos los extremos superior e inferior

Extremo superior

cuando x = 2 u = (2)2 + 2 (2)

u=4+4 u=8

Extremo inferior

x=O u = (0)2 + 2(0)

u=O

Sol. 2 {2 u2

Integrales definidas por cambio de variable (cálculo de nuevos extremos) 205

3 1 26. I, 1 + i =

1=-1

75

27. I,27= J = I

NOTA: Se aplica la fórmula de la suma.

Con la notación sigma, expresa las sumas.

3 3 3 3 28. --+--+--+ . . . +--

1+1 1+2 1+3 1+6

Calcula la suma de Riemann.

23 Sol. 10

Sol. 2025

6 3 Sol. I,-

1 + i 1= I

30. Sij(x) = x3. Calcula la suma de Riemann Rp deJ(x) donde p es la partición de (-2, 4) en cuatro sub intervalos determinados por:

Xo = -2, XI = O, X2 = 1, X3 = 3 Y X4 = 4

Si WI = -1, W2 = 1, W3 = 2 Y W4 = 4 Sol. 79 u 2

Son cuatro rectángulos cuyas áreas son los términos de la suma de Riemann

4

RJ = I, J(W) L\ Xl

1= 0

Sustituyendo los valores. (Es necesario recordar como se obtiene un "incremento de la variable" citado en el párrafo 8 .1 de este apartado .)

Rp =J(-l) [O - (- 2)] + j(1) (1 - O) + J(2) (3 - 1) + j(4) (4 - 3) (1)

Operaciones:

Con los valores de WI , W2 , W3 , W4 señalados y sustituyendo en:

J(x) = x3 J(-1) = (_1)3 = -1 j( 1) = (1)3 = 1 j(2) = (2)3 = 8 j(3) = (4)3 = 64

Calculando el área de la región entre la curva y el eje de las X, se sustituye en (1).

PJ= (-1) (2) + 1(1) + 8(2) + 64(1) = -2 + 1 + 16 + 64 = 79 u2

14 La integral definida en el cálculo de áreas

1. Teorema fundamental del cálculo

2. Áreas

Si unajunción es continua en un intervalo cerrado la, b) entonces siemprej es integrable en la, b).

El teorema fundamental del cálculo señala:

si una funciónj es continua en el intervalo la, b), entonces

r j(x) dx = F(b) - F(a) a

donde F es cualquier función tal que F(x) = j(x) para toda x en la, b)

Por el teorema fundamental del cálculo sabemos que si j es una función

continua en el intervalo la, b) entonces existe la integral dejinida r j(x) dx. a

El resultado de esta integral es igual al área bajo la curva j(x) representada en el plano.

Ejemplos:

El segmento unidad en que se dividirán los ejes cartesianos para las gráficas de las áreas de los ejercicios siguientes es de 0 .5 cm, excepto que se indique lo contrario.

1. Calcula el área limitada por la gráfica de y = j(x) = -x2 + 2x + 3 , el eje de las x y las líneas verticales x = O Y x = 2, gráfica.

área = - f (-x2 + 2x + 3) dx o

= f -x2 dx + 2 f x dx + 3 t dx o o o

206

22 Sol. 3""" u2

Integramos por separado

2 x3 2 23 03 8 -Jo X2 dx = - 3 lo = -3-3=-"3 u2

f2 "z X2 2

2 o x dx = .7 lO = 22 - 0 2 = 4 U

2

2 2 3f dx = 3xl = 3(2) - 3(0) = 6 u2

o o

por lo tanto,

f2 8

(-x2 + 2x + 3) dx = -"3+4+6 o

-8+ 12+ 18 3

Áreas 207

Para trazar la gráfica se calculan los puntos de intersección de la curva con el eje de las x, haciendo y = O Y resolviendo para x.

-x2 + 2x + 3 = O x 2 -2x-3=0

Se factoriza para obtener las raíces.

X2 - 2x - 3 = (x - 3) (x + 1) (x - 3) (x + 1) = O

x - 3 = O

Xl = 3 x + 1 = O

X2 =-1

Los puntos de intersección son (3, O), (-1. O)

La ecuación de la parábola cuando su eje es paralelo al eje de las y es:

(x - h)2 = 4p (y - k)

Calculamos las coordenadas del vértice de la parábola

-x2 + 2x + 3 = Y

Se disponen los términos dejando espacio para completar el cuadrado.

-x2 + 2x + 3 = Y x2 - 2x - 3 = -y X2 - 2x = -y + 3 x2 - 2x + 1 = -y + 3 + 1

(x - 1)2 = -(y - 4)

Las coordenadas del vértice son (1 , 4)

208 CAPíTULO 14. La integral definida en el cálculo de áreas

Tabulamos

y = -x2 + 2x + 3 y

I : I : I : I : I

j(x) = -x2 + 2x + 3 j(0) = -(0)2 + 2(0) + 3 = 3 x j( 1) = _(1)2 + 2( 1) + 3 = 4 j(2) = _(2)2 + 2(2) + 3 = 3

2. Calcula el área limitada por J(x) = 4, el eje de las x y, las líneas verticales x = 5 Y x = 2. Grafica.

5

área = f 4 dx 2

5

= 4J dx 2

5 = 4x I

2

= 4(5) - 4(2)

= 12 u 2

Sol. 12 u2

y

La integral definida r 4 dx corresponde al área del rectángulo que es una 2

figura geométrica sencilla, por ello podemos comprobar el resultado obtenido

aplicando la fórmula de su área.

A = bh A = 3(4)

= 12 u2

3. Obtener el área de la región comprendida entre y = x + 3 el eje de las x , y las líneas verticales x = O, x = 4. Grafica.

4

área = J (x + 3) dx o

Sol. 20 u2

=( 4

xdx+3J dx o o

integramos por separado

J4 x2 4 42 0 2

o x dx = 2" lo = 2: - 2: = 8 u2

4 4 3J dx = 3x I = 3(4) - 3(0) = 12 u 2

o o

por lo tanto,

(x + 3) dx = 8 + 12 f4

o = 20 u2

Tabulamos

y=x+3

0TI ~

Áreas 209

La integral definida r (x + 3) dx corresponde al área de la región de un o

trapezoide de altura 4 y bases paralelas de longitudes 3 y 7. Fácilmente

podemos comprobar el resultado obtenido aplioando la fórmula de su área.

1 A = '2 h (a + b)

1 = '2 (4) (3 + 7)

= 20 u 2

4. Calcula el área de la región comprendida por la gráfica de x = _y2 + Y + 12 con el eje de las x, a = O, b = 4; el intervalo la, b) está en el eje de las y .

4

área f (_y2 + Y + 12) dy o

Integramos por separado.

4 4 lE 4 43 0 3 64 fo - y2 dy = -fo y2 dy = - 3 lo = - 3" - 3" = - 3 u2

f4 y dy = y2 14 = 4

2 _ 0

2 = 8 u2

o 2 o 2 2

f4 4

12 dy = 12 yl = 12(4} - 12(0} = 48 u 2

o o

por lo tanto,

4 64 f (_y2 + Y + 12) dy = -3 + 8 + 48 o

-64+ 24+ 144 = 3

104 2 =--u

3

210 CAPíTULO 14. la integral definida en el cálculo de áreas

Para trazar la gráfica se calculan los puntos de intersección de la curva con el eje de las y, haciendo x = O Y resolviendo para y.

_y2 + Y + 12 = O y2 - Y - 12 = O

Factorizamos para obtener las raíces.

y2 - Y - 12 = (y - 4) (y + 3)

y-4=0 Yl = 4

y+3=0 Y2 =-3

Los puntos de intersección son (O, 4) (O, -3).

La ecuación de la parábola cuando su eje es paralelo al eje da las x es:

(y - k)2 = 4p (x - h)

Calculamos las coordenadas del vértice de la parábola

_y2 + Y + 12 = x

Se disponen los términos dejando espacio para completar el cuadrado.

_y2 + Y + 12 = x y2 - Y - 12 = -x y2 - Y = -x + 12

1 1 y2 - Y + ¡ = -x + 12 + ¡

(y -~ J ~ + -~9l Las coordenadas del vértice son (~9, ~) Tabulamos

y = - y2 + Y + 12

Y -2 -1 2 3

x 6 10 10 6

j(y) = _y2 + Y + 12 f(-2) = _(-2)2 - 2 + 12 = 6 f(-1) = _(_1)2 - 1 + 12 = 10 j(2) = _(2)2 + 2 + 12 = 10 j(3) = _(3)2 + 3 + 12 = 6

y

Áreas 211

5. Calcula el área de la región comprendida por la curva dej(y) = y 3 entre 3

y = O, Y = "2' Grafica.

3

área = y y3 dy o 4 3

=}L 12

4 o

~ [%J O' 4 4

81 2 = 64- u

Tabulamos

y = y3

y

81 2 Sol. 64 u

Gráfica. El segmento unidad es de un cm.

j(y) = y3 j(O) = O j(l)=¡3=l j(2) = 23 = 8

--+---~--~----+---~----~--4----+----~--~ x

6. Calcula el área de la región comprendida por la gráfica dej(x) = x - 4 entre x = -3, x = -l. Grafica.

- 1

área = f (x - 4) dx - 3 -1 -1

= f x dx- 4 f dx -3 - 3

integramos por separado.

Sol. 12 u 2

[1 xdx=x2

1

- 1=(-1)2 _(-3)2 =~-~=-4u2 - 3 2 -3 2 2 2 2

[1 -1

-4 dx = -4x 1 = -4(-1) - [-4(-3)) = 4 - 12 = - 8 u2 - 3 - 3

por lo tanto,

(x - 4) dx = -4 - 8 1-121

= 12 u 2 El resultado es negativo porque el área está abajo del eje de las x.


Tabulamos

y = x- 4

~ ~

J(x) = x - 4 J(O) = 0-4 = -4 J(2) = 2 - 4 = -2

y

7. Calcula el área de la región que se indica en la gráfica,

si y = 9 - X2

y

Sol. 18 u 2

3

área = S (9 - X2) dx o


S3 3

9 dx = 9x I = 9(3) - 9(0) = 27 u 2

o o

3 x3 3 33 (OJ SO X2 dx = 3 lo = 3 - '3 = 9 u2

_--L.--'_'---+"-___ "-"'--"-L __ x por lo tanto,

S3

(9 - x2) dx = 27 - 9 o == 18 u 2

8. Calcula el área de la región que se indica en la gráfica,

sij(x) == sen x

y


Sol. 1 u2

, S2 area == o

sen x dx

== - cos x

1t == - cos- - (- cos O)

2

== 0+1

== 1 u 2

Áreas entre dos curvas en un intervalo 213

9. Calcula el área de la región que se indica si

J(y) = (y - 2)2

J(y) = (y - 2)2

y = y2 - 4y + 4

7 2 Sol. 3" u

1

área = f (y2 - 4y + 4) dy --~~~~~~~X o

= { y2 dy - 4 { Y dy + 4 { dy o o o

Integramos por separado.

SI y2 dy = y3 1I = ~ _ 0

3 = ~ u2

o 3 o 3 3 3

1 y2 I 4 (l)2 4 (0)2 -4f Y dy = -4 -1 = -------2 u 2 o 2 o 2 2

1 1 4S dy = 4y 1 = 4(1) - 4(0) = 4 u 2

o o

por lo tanto,

fl 1

(y2 - 4y + 4) dy = "3 - 2 + 4 o

3. Áreas entre dos curvas en un intervalo

1 - 6 + 12 3

7 = _u2 3

En general se procede en forma semejante a como ya se hizo al calcular el área bajo la curva en un intervalo.

SiJlx) y g(x) son dos funciones continuas definidas para x en un intervalo la, b] y aceptando que:

Jlx) ~ g(x). y que los extremos del intervalo sean a ::; x ::; b .


El área de la región entre las rectas x = a, x = b Y las dos curvas está dada por:

área = r j(x) dx - r g(x) dx = r lf(x) - g(x)) dx a a a

Gráfica

y I

~ 1 Y = g{x) :

-+--~----------~--~ X O X=B x=b

Se presentan los casos siguientes.

A. Si una de las curvas está por encima del eje de las x y la otra está por abajo de dicho eje de las x.

r j(x) dx es el área bajoj(x) y por encima del eje x, a

-r g(x) dx es el área entre el eje x y g(x) . a

Se suman para obtener el área total de las curvas

Ejemplos:

1. Obtener el área de la reglón limitada por las gráficas de YI = X2 + 2, Y2 = -x + 1, con las líneas verticales x = 1 Y x = 2.

r (x2 + 2) dx = r X2 dx + 2 r d.x I I I


(2 x2 d.x = x3

12 = 2

3 _ 2..:. = 2. u2

JI 3 I 3 3 3

2J2 2 d.x = 2x 1 = 4 - 2 = 2 u 2

I I

(2 7 JI (x2 + 2) d.x = "3 + 2

13 2 =3 u

29 2 Sol. 6 u


133 u 2 es el área limitada por la curva y = x2 + 2; las rectas x = 1 Y x = 2

Y el eje de las x. El signo positivo del área significa que la curva en el intervalo

[1, 21 está arriba del eje de las x.

r (-x + 1) dx = r -x dx + r dx 1 1 1


por lo tanto,

2 3 f (-x + 1) dx = - 2 + 1 1

1 = --u2 2

El signo negativo del área significa que la recta y = -x + 1 Y el eje de las x en el intervalo [1, 21 está abajo del eje de las x.

Para calcular el área entre la curvaj(x) = x2 + 2 Y la recta g(x) = -x + y el eje de las x en el intervalo [1, 21 es necesario determinar cúal de ellas está por arriba de la otra. Para ello podemos trazar las gráficas y observar o, aplicar las propiedades de la "desigualdad" y determinar sij(x) ~ g(x) en cualquier x del intervalo citado. Como se hará a continuación.

X2 + 2 ~ - x + 1 X2 + 2 + x - 1 ~ O x2 + X + 1 ~ O

Si a la desigualdad resultante le asignamos cualquier valor a las x del intervalo [1, 2] el resultado es positivo; por ello aceptamos que efectivamente

J(x) ~ g(x).

Por lo tanto, el área entre estas dos funciones en el intervalo es

r J(x) dx - r 1 1

g(x) dx = 133 - (- ~ J 13 1

=""3+2

29 2 =(fU


Cálculo de las gráficas

Tabulamos

y=x2 +2

j(x) = X2 + 2 j(1)= 1 +2=3 j(0) = O j(l)= 1 +2=3 j(2) = 4 + 2 = 6

Tabulando

y = -x + 1

GIiliJ ~ g(x) = -x + 1 g(O) = 1 g(2) = -2 + 1 = -1

Conclusión

y

f (x2 + 2) dx 1

--------4---~~~~--~----~--~x


El problema principal para aplicar la fórmula para obtener el área de la región entre dos curvas consiste en verificar cuál de las dos es mayor que la otra en todo el intervalo. Para resolverlo podemos trazar previamente las gráficas de lasfunciones y decidir, o aplicar las propiedades de la "desigualdad" como se hizo en este ejemplo. Una vez que esto ha sido determinado se procede a aplicar el procedimiento señalado.

B. Área de una región situada entre dos curvas que se intersectan en dos puntos.

2. Obtener el área de la región limitada por las curvas y = x 2 , y = 3x entre las líneas verticales x = O, Y x = 2

10 2 Sol. """3 u

Como ya se citó, para determinar que función está por encima de la otra trazamos sus gráficas, o bién, si suponemos de antemano que una de ellas es mayor o igual a la otra en el intervalo, procedemos a verificar si la desigualdad es cierta para todas las x del intervalo.

Digamos que 3x ~ X2 en el intervalo [O. 2) .

Para comprobar la aseveración dividimos ambos miembros entrex que es una de las propiedades de la "desigualdad".

Áreas entre dos CUNas en un inteNalo 217

Podemos probar con cualquier valor de x en el intervalo [O, 21. por ejemplo,

x==0~3~0

1 1 x==-~3>-2 - 2

x==1~3~1

x==2~3~2

Concluimos señalando quej(x) == 3x está por encima de g(x) == X2 y que no fue necesario cambiar nuestra apreciación ni la función .

Cálculo de las gráficas

Tabulando

y == 3x

GEEJ ~ j(x) == 3x j(O) == 3(0) == O j(1) == 3(1) == 3

Tabulamos

y == X2

g(x) == X2

g(O) == O g(1) == 1 g(2) == 22 == 4 g(3) == 32 == 9 g(4) == 42 == 16

área == r [[(x) - g(x)) dx a

==f O

2

(3x - X2) dx == f O


y

______ ~~--~~~~--------------~x

3x dx - í X2 dx O

(2 (2 X2 2 _ 3(2)2 3(0)2 _ 6 2 J_ 3xdx == 3 J_ xdx == 3 -1 - -2---2-- u o o 2 o


r X3

2 23 [02) 8 JO X

2 dx = 3 lO = 3 - - 3 ="3 u2

por lo tanto,

r 8 10 L (3x - x 2) dx = 6 - - = - u 2

0 33

3. Calcula el área de la región limitada por las curvas y 2 = 9x, y = 3x

1 2 Sol. "2 u

Para determinar el intervalo en que estas curvas se intersectan, es necesario establecer un sistema de ecuaciones.

y2 = 9x y = 3x

por sustitución en (1)

(3X)2 = 9x 9X2 - 9x = O

9x (x - 1) = O Xl = O X2 = 1

El intervalo es [O, 1].

(1)

Las coordenadas de los puntos de intersección son [O, O] Y [1 , 3 ].

Para determinar cuál de las dos curvas está por encima trazamos las gráficas .

Tabulamos

y=±..JgX

~ ~ j(x) = ±..JgX j(0) = O J(1) = ± -'9(1) = ± 3

Tabulamos

y = 3x

~ GEEJ g(x) = 3x g(O) = O g(1) = 3(1) = 3

-----+----~--~----~----x



Como la curva y2 = 9x está por encima de la recta y = 3x en el intervalo [O. 1].

El área entre ellas es:

b

área = S lf(x) - g(x)] a I

=S O

I

(3 ..Jx - 3x) dx = S O

I

3..Jxdx-S O

3 X dx

integramos por separado 3

SI 3 x 2 1

3 ..Jx dx = -- = 2...fX3' = [2(1) - O] = 2 u2

o ~ o 2

3 JI X dx = 3x2 ,1 = ~ _ O = ~ u2 o 2 o 2 2

por lo tanto.

I 3 1 f (3..Jx - 3x) dx = 2 - - = - u 2

o 2 2

C. Área de una región de curvas que se intersecan en más de dos puntos.

4. Calcula el área de las regiones limitadas por la curva y = x3 - 4x y la recta y = 5x

Inicialmente es necesario determinar las regiones limitadas por las curvas resolviendo un sistema de ecuaciones. A continuación tabulamos para obtener algunos puntos para trazar las gráficas y poder determinar los intervalos donde una curva está por encima de la otra. finalmente se calculan las áreas y su suma será el resultado.


y=x3-4x y = 5x

Por sustitución en (1)

5x = x 3 - 4x x 3 - 9x = O

calculamos las raíces

x(x2 - 9) = O

XI = O x2-9=0

(1)


X2 = 9 x=±-Y9

X2 = 3 X 3 = -3

Las cC;)Qrdenadas de los puntos de intersección son

para x = O en y = 5x

y = 5(0) = O [O, O)

para X2 = 3 en y = 5x

y = 5(3) = 15 [3, 15)

para X 3 = -3 en y = 5(x)

y = 5(-3) = -15 [-3, -15)

Cálculo de las gráficas.

Tabulamos

y=x3-4x

x -3 -2 -1 O

Y -15 O 3 O

fix) = x3 - 4x

1 2 3

-3 O 15

fi-3) = (-3)3 - 4 (-3) = -27 + 12 = -15 fi-2) = (-2)3 - 4 (-2) = -8 + 8 = O fi -1) = (_1)3 - 4 (-1) = -1 + 4 = 3

fiO) = O fi 1) = 13 - 4 (1) = 1 - 4 = -3 fi2) = 23 - 4 (2) = 8 - 8 = O fi3) = 33 - 4 (3) = 27 - 12 = 15

Tabulamos

y = 5x

~ ~ J(x) = 5x

J(-3) = 5 (-3) = -15 J(1)=5(1)=5

-----

x


Observamos en la gráfica que hay dos regiones: una en el segundo cuadrante que designamos como R¡ en el intervalo [-3, O) Y otra R2 en el cuarto cuadrante en el intervalo [O, 3); sus áreas son A¡ y A 2 , respectivamente .

En R¡ la curva y = x 3 - 4x está por encima de y = 5x.

Para R2 la curva y = 5x está por encima de y = .x3 - 4x

El área total entre las dos curvas es

Área total = Al + A2

Cálculo de las áreas .

Área entre y = .x3 - 4x, y = 5x en el intervalo [-3 , O)

b

área¡ = f lfix) - g(x)) dx a O

= f [.x3 - 4x - (5x)) dx - 3

O

= f (.x3 - 9x) dx - 3


O O

= f -3

.x3dx-9f xdx - 3

.x3 dx = Xl 10 = 04

_ (-3)4 = _ ~ u2 4 -344 4

X2 o 9(0)2 (-3)2 81 x dx = 9 2" 1-3 = -2- - 9 -2- = - 2 u2

Área entre y = 5x, y = x 3 - 4x en el intervalo [O, 3)

b

área2 = f lf(x) = g(x)) dx a

= { [5x - (.x3 - 4x)) dx O

= { (9x - .x3) dx O


3 3

= f 9x dx - f x 3 dx O O

9f3 X dx = 9 X2 13 = 9 (3)2 _ 9(0)2 = ~ u2 O 2 o 2 2 2


Ejercicio 10

Área total = área 1 + área2

81 81 162 =--¡-+--¡-=4

81 2 =T U

Calcula las áreas de las regiones que se indican.

1. Y = X2 . y = -x con las líneas verticales x = 1 Y x = 3

2.j(x) = X2 - 4x. g(x) = O

3. y2 = X2. y = 9x

4. Y = X2 . y = X + 2

32 2 Sol. '3" u

9 2 Sol. 2: u

15 La integración definida en el cálculo de volúmenes

1. Sólido de revolución

Sea] una función no negativa en un intervalo cerrado la, b ).

y

y = f(x)

-4--~----------~~ X a

Si se gira esta región del plano alrededor de cualquiera de los ejes del plano cartesiano o de una recta del plano al sólido resultante es conocido como sólido de revolución y al eje citado como eje de revolución.

--+--:--+- Eje de revolución

El volumen de un sólido de revolución se puede calcular por el método del disco.

2. Método del disco para calcular el volumen

El caso más sencillo de un sólido de revolución es aquel en que un rectángulo gira alrededor de uno de sus lados.

w

J Uno de sus lados es el eje de revolución.

Rectángulo donde r es el radio y w es su ancho.

223

224 CAPíTULO 15. la integración definida en el cálculo de volúmenes

Cuando gira este rectángulo sobre su eje de revolución genera un disco cuyo volumen ves.

w

Para calcular el volumen del sólido de revolución procedemos en forma semejante a la que aplicamos en el apartado 13.6 cuando nos referimos a la interpretación intuitiva del área.

y y

w w

Figura 1 Figura 2

Al girar los rectángulos que aparecen en la figura 1 alrededor del eje de las x, se obtienen cilindros cuyo volumen v es menor que el volumen del sólido de revolución Vs '

Si se procede en forma análoga con los rectángulos de la figura 2, el volumen del sólido de revolución Vs es menor al volumen de los cilindros V2 .

Entonces

La diferencia entre V2 Y v 1 va tendiendo a cero y en el límite la suma de los volúmenes de los cilindros es igual al volumen del sólido de revolución generado por la funciónj(x) al girar alrededor del eje de las x, que se expresa:

A. Cuando el eje de revolución es horizontal.

volumen = r n[f(x))2 dx y a

((x_)-'l>-t----L--''---+--:--t-_x Eje de revolución

Método del disco para calcular el volumen 225

B. Cuando el eje de revolución es vertical.

volumen = { 1t[f(y))2 dy a

I V ~ n( fly)2 dy

Eje de revolución

y

b

__ a~ ______ ~ __ ~x

Ejemplos:

1. Calcula el volumen del sólido de revolución al girar la superficie limitada 1

por la curva y = x 2, desde el eje de las y hasta la línea vertical x = 2 , al girar alrededor del eje de las x. Grafica.

v = 1t{ j(X)2 dx a

1

= 1tf (X 2)2 dx O

= 1tf O

xdx

1t 2 = -x2 1 2 O

1t = - (22 - 0 2 ) 2

= 21t u3

Tabulamos

1

Y = x 2

x

Y

O

O

J(x) = rx J(O) = O

1

1

J(1) = ,¡¡ = 1 j(2) = € = 1.4

2

1.4 y

Región plana

Sol. 21t u3

y

--~+++-~~-+--x

Sólido de revolución

•

226 CAPíTULO 15. La integración definida en el cálculo de volúmenes

Normalmente, para obtener de una integral el volumen de un sólido de revolución, resulta más útil la representación gráfica de la región plana que un dibujo del sólido porque es,.. más fácil localizar el radio en la región plana.

En el ejemplo anterior el eje de revolución es horizontal en consecuencia se integra con respecto a x.

En el siguiente ejemplo el eje de revolución es vertical por lo cual se integrará respecto a y.

2. Calcula el volumen de la región limitada por x = ~ y las rectas y = O Y Y = 3 si gira alrededor del eje de las y. Grafica.

b

V = f 1t[f(y))2 dy a

3

V = 1tf (~)2 dy O

3

= 1tf Y dy O

1t 3 = _y2\ 2 O

1t = - (32 - 02 ) 2

9 = -1t u3 2

Tabulamos

x=~

. Y o

x O

fiy) = ~ fiO) = O

1

1

fil) = {f = 1 f(2) = -.12 = 1.41 f(9) = ..¡g = 3

2

1.4

l 9 3 So. '21t U

Gráfica

y y

4

3 ----+----,/-- Y = 3

-------~--------~x x

Región pana Sólido de revolución

3. Calcula el volumen de la región limitada por y = x + 2 Y la parábola y = x 2 si gira al rededor del eje de las x.

Calculamos los puntos de intersección de estas curvas.

y = x2 y=x+2

(1) 72 3

Sol. 51t u

por igualación

X2 = X + 2 x2 - X - 2 = O

calculamos las raíces

X2 - X - 2 = (x - 2) (x + 1) x- 2 = O

XI = 2

x + 1 = O X2 = -1

sustituimos en (1)

y = X2

y = (2)2 y=4

y = X2

y = (_1)2

Y = 1

Método del disco para calcular el volumen 227

Las coordenadas de los puntos de intersección son (2,4), (-1, 1)

Tabulamos

y=x+2

EE ~ fix) = x + 2

fi-l) = -1 + 2 = 1 f(2) = 2 + 2 = 4

para y = X2

x O

Y O

fix) = X2

fiO) = O fi-1) = 1

-1

1

1.5

2.25

fi 1.5) = (1.5)2 = 2.25 f(2) = (2)2 = 4

y

2

4 ----~--~--------~x

Inicialmente calculamos el volumen del sólido generado por la recta y = x + 2 entre a = -1 Y b = 2 al girar alrededor del eje de las x que citaremos como VI.


VI

b

=f 1t[ftX)]2 dx a

b

= 1tf fiX)2 dx a 2

= 1tf (X + 2)2 dx -1

1t 2 = - (X + 2)3 I 3 -1

1t = "3 [( 2 + 2)3 - (-1 + 2 )3]

= ~ [(64) - (l)]

1t = -63 3

= 21 1t u3

A continuación, calculamos el volumen del sólido generado por la parábola y = x2 entre a = -1 Y b = 2 al girar alrededor del eje de las x , la citaremos como V2.

V2 = ( 1tlf(X)]2 dx a

= 1t( J(X)2 dx a

= 1t r (X2)2 dx -1

= 1tJ x4dx -1

X 5 2 = 1t-1 5 -1

= 1t [~5 _ (_~)5] = 1t (3~ +i)

33 = -1t u 3 5

Para obtener el volumen de la región "achurada" en la gráfica, del volumen VI restamos el valor V2 .

volumen = VI - V2

33 = 211t--1t 5

105- 33 1t = 5

72 = -1tU3 5

El sólido de revolución con un agujero . El método de las arandelas 229

3. El sólido de revolución con un agujero. El método de las arandelas

Una arandela se obtiene haciendo girar un rectángulo alrededor de un eje. ów

w

,p~}" -'---"---L---Eje de revolución

( es el radio exterior (, es el radio interior

,--.

HI---++---+-Eje de revolución

Arandela

Volumen de la arandela = 1t [(radia exterior)2 - (radia interior)2] multiplicado por el grueso; en la integración estará expresado por Llx o por ó.y .

Por lo tanto, se debe restar del volumen de la región generada por la mayor de las regiones, la del volumen del sólido de la menor de las dos regiones.

I u ~ ~ n [{(xl'] dx - ~ n ]g(x]'] dx I Fórmula que se puede expresar en la forma siguiente:

I u ~.~ {[{(xii' - [g(xll'J dx

Ejemplos:

l. Calcula el volumen de la región limitada por las gráficas de y = x2 + 2 con

y = ~ + 1, con x = O, x = 1 si gira alrededor del eje de las x.

v = 1t{ Hf(x)2 - [g(x)]2} dx a

U ~ • f: [(X, + 2)' - ( ~ + 1 n dx

= 1t ( [ x4 + 4x2 + 4 - (: + x + 1 )J d x

= 1t ( (x4 + 4x2 + 4 -: - X - 1 J d X

= 1t ( (x4 + 145

x2 - X + 3 J d X

79 3 Sol. 20 1t U


79 3 =-u 20

2. Calcula el volumen de la región limitada por y = -IX y las rectas y = O, x = 4 si gira alrededor del eje de las x.

b

V = nf j(X)2 dx a

4

= nf ({X)2 dx O

4

= nf x dx O

= 8n u3

Sol. 8n u3

3. Calcula el volumen del sólido de revolución cuando la región limitada por y = 2 fu y las rectas x = 0, x = 4 gira alrededor del eje x .

b

V = nf j(X)2 dx a 4

= nf (2\1sX")2 dx O

4

= nf 4(5x) dx O

4

= nf 20x dx O

4

= 20nf x dx O

160n u 3

Sol. 160 n u3

Volumen de un sólido cuando el eje de revolución es paralelo al eje de las x o o al de las y 231

4. Volumen de un sólido cuando el eje de revolución es paralelo al eje de las x o al de las y

Ejemplo:

Calcula el volumen del sólido de revolución cuando la región y = 4x - x2 está limitada por x = O. x = 4 al girar alrededor de la recta y = 6 .

Tabulamos

y = 4x-x2

I : I : I : I : I : I : I j(x) = 4x - X2

j(0) = O j( 1) = 4(1) - 12 = 3 J(2) = 4(2) - 22 = 4 j(3) = 4(3) - 3 2 = 3 j( 4) = 4(4) - 42 = O

Gráfica. El segmento unidad es de un centímetro.

y

14081t 3 Sol. 15 u

h~"""""~""""",,,,,,,,,,,,,,-----;--t- Eje de rotación y = 6

A' I D

--~-----------+~~~~--~x

óx

Prolongamos los lados del rectángulo ABCD hasta el eje de rotación EF. Cuando este rectángulo gira alrededor del eje de rotación resulta un cilindro cuyo volumen es igual a la diferencia entre los volúmenes generados por los rectángulos ABCD y BCEF al girar con respecto al mismo eje. Se obtiene la diferencia de los volúmenes y se procede como en los ejemplos anteriores .

232 CAPíTULO 15. La integración definida en el cálculo de volúmenes

Por lo cual,

4 V = 1tf [(6)2 - (6 - y)2) dx

O

4

= 1tf [36 - (36 - 12y + y2)) dx O

4 = 1tI (12y - y2) dx

O (1)

como y = 4x - x2 sustituyendo en (1)

4

= 1tI [12(4x - X2) - (4x - x2)2) dx O

4

= 1tI [48x - 12x2 - (16x2 - 8x3 + x 4 )) dx O

4

= 1tI (48x - 28x2 + 8x3 - x 4 ) dx O

= 1t - x2 - - x 3 + - x4 - - I (48 28 8 x5) 4 2 3 4 5 o

= 1t(24(4)2 - 238 (4)3 + 2(4)4 - (¿~t)

= 1t(384- 1 ~92 + 512- 1 ~24)

= (5760- 8960+ 7680- 30721 1t 15 )

14081t 3 15 u

16 La integral definida. Longitud de un arco (curva)

Si un lugar geométrico está dado en la forma de una función y = J(x) con a :'S: x :'S: b Y siJ es continua en el intervalo [a, b J. entonces el lugar geométrico de J se llama arco.

y b

--~----------------------x

La longitud del arco ab de una curva es por definición, el límite de la suma de las longitudes de las distintas cuerdas (segmentos) aQo, Q¡Q2, . .. , Qn - ¡ b que une los puntos del arco, cuando el número de éstos crece indefinidamente, de manera que la longitud de cada una de las cuerdas tiende a cero.

Por el teorema de Pitágoras podemos obtener la distancia entre los puntos QoyQ¡.

Y401

00 e

--+-------------x

(1) El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos.

En consecuencia, podemos obtener la longitud de una curva sumando el conjunto de puntos cercanos entre sí, unidos por segmentos rectos cortos.

233

234 CAPíTULO 16. La integral definida. longitud de un arco (curva)

Si al incremento de una función que se cita en el concepto de la derivada:

se sustituye en (1) queda

Qo e por tlx o dx

e Q¡ por dy

y

--r-----------~x

y la diferencial de la longitud de la curva por ds tenemos por el citado teorema de Pitágoras que

d.s2 = dX2 + dy2

como dy = j'(x) dx queda

ds2 = {l + [j'(X)]2} dx2

ds = ;JI + [J'(x)J2 dx

La longitud L de una curva es igual a la suma de los segmentos rectos de longitud ds cuando ds tiende a cero.

Se expresa

L d.s = L ;J¡l + [j'(X)]2 ) dx

En el límite, ds tiende a cero.

L = lím L, ;JI + [J'(x)]2 dx

Por lo tanto, la longitud L de un arco de la curva y = j(x) desde x = a hasta x = b se obtiene con :

L = r ;JI + [f'(X)]2 dx a

Ejemplo: 3

Calcula la longitud del arco de la curva y = x'2 entre x = O Y Y = 5.

335 Sol. 27

Calculamos la derivada de

3

Y = X 2

3 .!. j'(x)=2"x 2

L = r ...JI + [f(x)J2 dx a

= r -VI +¡x dx O

I

~~(I+!H' dx 9

U = 1 +-x 4

9 u(u) = 1 +¡X

9 du(x) = ¡dx

I

f> 4 ( 9)2 9 =J -I+-x -dx O 9 4 4

4 f> I

= - J u 2 du 9 O

integramos

Con el valor de u queda 3

8 ( 9 )2 5 = 27 1 +¡X lo

La integral definida. Longitud de un arco (curva) 235

= ~ ~[l +~(5)]3 _~ ~[l +~(O)]3 27 4 27 4

= ~ ~ (_49)3 _ ~-f13 27 4 27

1

~ •

236 CAPíTULO 16. La integral definida. longitud de un arco (curva)

= ~ (49)"49 _ ~ 27 4 4 27

)t (49)(7J 8 = 27 A' l!)- 27

343 8 =---

27 27

335 27

libro- cálculo integral (fuenlabrada)

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