cálculo integral de varias variables -...

Cálculo Integral de Varias Variables

L. Héctor Juárez V.Departamento de Matemáticas,

Universidad Autónoma [email protected]

2 de marzo de 2017

2 L. Héctor Juárez V.

Índice general

1. Integración Múltiple 51.1. Integrales Dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. Nociones geométricas de la integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2. Método de Cavalieri para el cálculo de volúmenes . . . . . . . . . . . . 71.1.3. Aplicación del Método de Cavalieri para evaluar integrales Dobles . . . 81.1.4. Integrales dobles sobre rectángulos (sumas de Riemman) . . . . . . . . 101.1.5. Propiedades de las integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.6. Integrales iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2. Integrales dobles sobre regiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.1. Regiones elementales del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2. Técnica para evaluar integrales del tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.3. Técnicas para evaluar integrales en regiones del tipo II . . . . . . . . . 201.2.4. Técnicas para evaluar integrales en regiones del tipo III . . . . . . . . 211.2.5. Cambio de orden de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.6. Integrales dobles en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.7. Generalización a regiones más generales . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.3.1. Integrales triples sobre cajas rectangulares en R3 . . . . . . . . . . . . 321.3.2. Integrales triples sobre regiones más generales . . . . . . . . . . . . . . 341.3.3. Integrales triples sobre regiones del tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . 341.3.4. Integrales triples sobre regiones elementales del tipo II y III . . . . . . 381.3.5. Integrales triples en coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . 411.3.6. Sistemas de coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.3.7. Integrales triples en coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . 421.3.8. Integrales triples en coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . 481.3.9. Cambio de variables en integrales múltiples. Jacobianos . . . . . . . . 51

3


1.3.10. Cambio de variables para integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . 601.3.11. Algunas aplicaciones de las integrales dobles y triples . . . . . . . . . . 66

2. Curvas, integrales de linea y campos vectoriales 792.1. Funciónes vectoriales ó trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.1.1. Curvas y Trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.1.2. Derivadas e integrales de Funciónes Vectoriales . . . . . . . . . . . . . 852.1.3. Velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.1.4. Longitúd de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.2. Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.2.1. Campos de vectores y su representacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.2.2. Divergencia y Rotacionál de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . 1062.2.3. Cálculo Diferencial Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.3. Integrales de linea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.3.1. Integral de trayectoria (funciónes escalares) . . . . . . . . . . . . . . . 1172.3.2. Integral de linea (Campos vectoriales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1222.3.3. Campos vectoriales conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1262.3.4. El Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3. Superficies, Teorema de Stokes y Gauss 1453.1. Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.1.1. Parametrización de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.1.2. Vectores tangentes fundamentales:Vectores normales y Planos tangentes150

3.2. Area de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.3. Integrales de superficie de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603.4. Integrales de superficie de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1663.5. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1763.6. Teorema de la Divergencia de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Capítulo 3

Superficies, Teorema de Stokes yGauss

En esta parte del curso estudiaremos la representaci’on de superficies por medio delmétodo paramétrico el cual es más adecuado para el cálculo de las integrales de superficiede campo tanto escalares como vectoriales. Las integrales de superficie, al igual que lasintegrales de linea son parte esencial del análisis vectorial y permiten establecer los teoremasmás importantes: el teorema de Stokes y el teorema de Gauss. Comenzaremos con el estudiode la representación de superficies, para después estudiar el cálculo de integrales de superficiede campos escalares y vectoriales, y terminaremos con el estudio del teorema de Stokes yGauss.

3.1. Superficies

3.1.1. Parametrización de superficies

Hablando de manera general podemos considerar una superficie como el lugar geométricogenerado por un punto que se mueve con dos grados de libertad. Por el momento conocemosdos métodos para describir superficies: el método implícito y el método explícito. La repre-sentación implícita describe una superficie como el conjunto de puntos (x, y, z) ∈ R3 que sa-tisfacen una ecuación de la forma F (x, y, z) = 0, es decir S = (x, y, z) ∈ R3|F (x, y, z) = 0.

Por ejemplo, una esfera de radio R tiene representación implicita x2 + y2 + z2 = R2 sisu centro se encuentra en el origen de cooredenadas, (x, y, z) ∈ R3|x2 + y2 + z2 − R2 = 0.Obviamente, conociendo dos valores de x y y ó z se puede determinar el tercero despejando

145


de F (x, y, z) = 0. Está claro que en ejemplo F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − R2. Cuando puederesolverse la ecuación para una variable en terminos de las otras dos, digamos z en terminosde x y y, obtenemos una representación explícita de la superficie para una ó más ecuecionesde la forma z = f(x, y). Por ejemplo la esfera de radio R con centro en el origen tiene dosfunciónes explicitas

z =√R2 − x2 − y2, z = −

√R2 − x2 − y2

los cuales corresponden al hemisferio superior y al hemisferio inferior respectivamente.

Un tercer método para decribir superficies, el cual es más general y de mayor utilidad enel cálculo de integrales de superficie, es el método paramétrico ó vectorial. La representaciónparamétrica de una superficie se obtiene mediante tres ecuaciónes que expresan x, y y z entérminos de dos parámetros (dos grados de libertad) u y v:

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)→ (1)

Aquí, al punto (u,v) se le permite variar sobre algún conjunto conexo bidimensional D enel plano u,v. Este método para describir superficies es análogo al de la representación decurvas tridimensionales por tres ecuaciónes parametricas:

x = x(t), y = y(t), z = z(t)

las cuales involucran solo el parámetro t. La presencia de dos parámetros en las ecuaciónes(1) hace posible trasmitir dos grados de libertad al punto (x,y,z). Es decir, la superficie S esla imagen de una región plana bajo el mapeo definido por (1).

Si introducimos el vector de posición ~r del origen al punto general (x,y,z) de la superficie,podemos combinar las tres ecuaciónes parámetricas en (1) en una ecuación vectorial de laforma:

~r(u, v) = x(u, v)i+ y(u, v)j + z(u, v)k → (2)

Esta se denomina la ecuación vectorial de la superficie.

Definición 3.1. Una superficie parametrizada es una función vectorial ~r : D → R3, dondeD es una región plana conexa en el plano u,v. La superficie S que corresponde a la función ~res su imagen S = ~r(D) y podemos escribir ~r(u, v) = x(u, v)i+ y(u, v)j + z(u, v)k. S es unasuperficie diferenciable si ~r tiene derivadas parciales continuas

Cálculo Integral Multidimensional 147

Ejemplo 3.2. Representación parametrica de la esfera.Las tres ecuaciónes x = acos(u)cos(v), y = sen(u)cos(v), z = asen(v) sirven como ecuació-nes paramétricas para una esfera de radio a y centro en el origen de coordenadas xyz.~r(u, v) = acos(u)cos(v)i+ asen(u)cos(v)j + asen(v)k, 0 ≤ u ≤ 2π,−π/2 ≤ v ≤ π/2 luego:

x2 + y2 + z2 = a2cos2(u)cos2(v) + a2sen2(u)cos2(v) + a2sen2(v)

= a2(cos2(u) + sen2(u))cos2(v) + a2sen2(v)

= a2cos2(v) + a2sen2(v) = a2

y cualquier punto (x,y,z) que satisface las ecuaciónes paramétricas:

x = acos(u)cos(v), y = sen(u)cos(v), z = asen(v)

se encuentra sobre la esfera de radio a. Los parametros u y v en este ejemplo se puedenconsiderar como los ángulos que se muestran en la figura. Si se permite variar los ángu-los (u,v) sobre el rectángulo D = [0, 2π] × [−π

2 ,π2 ], entonces los correspondientes puntos

(x,y,z) generan la esfera completa. El hemisferio superior es la imagen de [0, 2π] × [0, π2 ]

y el hemisferio inferior es la imagen de [0, 2π] × [−π2 , 0]. La figura a continuación da una

idea concreta de como el rectángulo [0, 2π]× [0, π2 ] es transformado en el hemisferio superior.

Si imaginamos el rectángulo hecho de un material perfectamente flexible, entonces latransformación dada por las ecuaciónes paramétricas deforman el rectángulo original de talmanera que la base CD se convierte en el ecuador de la semihesfera, el segmento superior seencoge y enrolla hasta formar un punto (el polo superior) y las aristas opuestas AC y BDse juntan para cerrar el hemisferio superior de la esfera.

Ejemplo 3.3. Identificar y dibujar la superficie con ecuación vectorial:

~r(u, v) = ui+ 2cos(v)j + 2sen(v)k, 0 ≤ u ≤ 4, 0 ≤ v ≤ 2π.

Solución:

Al ser y = 2cos(v), z = 2sen(v), entonces las coordenadas y y z de la superficie estanrelacionadas mediante la ecuación y2 + z2 = 4 independientemente del valor que tenga lacoordenada x=u. Es decir, las secciones transversales paralelas al plano yz son circunferenciasde radio 2. Como 0 ≤ u ≤ 4, entonces la superficie S es el cilindro circular de radio 2 (sinincluir las tapas) como se muestra en la figura.


En la siguiente figura ilustramos como el rectángulo D = [0, 4] × [0, 2π] se deforma en elcilindro imagen de D, S = ~r(D).En los anteriores ejemplos la ecuación vectorial de una superficie es dada, y a partir deesta nos piden graficar la superficie correspondiente. En ocasiones es necesario encontraruna representación vectorial ó parametrica dada la superficie. Por ejemplo, para encontrarla representación paramétrica de la esfera x2 + y2 + z2 = a2, se observa que esta tiene surepresentación más sencilla en coordenadas esféricas: ρ = a, de modo que se pueden escogerlos ángulos φ y θ como los parámetros. Poniendo ρ = a en las ecuaciónes de transformaciónde coordenadas esféricas a rectangulares se obtiene x = acos(θ)sen(φ), y = asen(θ)sen(φ),z = acos(φ). Entonces la ecuación vectorial correspondiente es:

~r(θ, φ) = acos(θ)sen(φ)i+ asen(θ)sen(φ)j + acos(φ)k

donde 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π la cual es otra parametrización de la esfera diferente a la delejemplo 1. Vale la pena aclarar que, al igual que las parametrizaciónes para las curvas, nohay forma única de parametrizar una superficie, como muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.4. Encuentre una función vectorial que represente al paraboliode elíptico z =

x2 + 2y2

Solución:Podemos escoger x = u, y = v, z = u2 + 2v2 que implica ~r(u, v) = ui + vj + (u2 + 2v2)k,lo cual es equivalente a escoger x y y como parámetros y escribir z = x2 + 2y2 con lo cualobtenemos:

~r(x, y) = xi+ yj + (x2 + 2y2)k

que es equivalente a la anterior. Hasta ahora no hemos introducido una parametrizacióndiferente, pero si observamos que en la ecuación z = x2 + 2y2, z debe ser no negativo,entonces suponiendo z ≥ 0 se tiene x2

z + y2

z/2 = 1 la cual representa una elípse con semiejesa =√z y b =

√z/2 cuya parametrización es:

x = cos(θ) =√zcos(θ)

y = sen(θ) =√z/2sen(θ)

con 0 ≤ θ ≤ 2π por lo tanto, una parametrización para la superficie es:

x =√zcos(θ)

y =√z/2sen(θ)


z = z

con z ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π. La ecuación vectorial es:

~r(z, θ) =√zcos(θ)i+

√z/2sen(θ)j + zk

Nota: En general cualquier gráfica de una función de x y y de la forma z = f(x, y) se puedeconsiderar como una superficie paramétrica si se toman a x y y como parámetros:

x = x, y = y, z = f(x, y)⇒ ~r(x, y) = xi+ yjf(x, y)k

Ejemplo 3.5. Hallar una representación paramétrica para la superficie determinada por lamitad superior del cono z2 = 4x2 + 4y2

Solución:La ecuación para la mitad superior del cono es z = 2

√x2 + y2 ó bien ~r = xi + yj +

2√x2 + y2k, otra posible parametrización se puede obtener utilizando coordenadas polares

x = rcos(θ), y = rsen(θ). Entonces claramente z = 2√x2 + y2 = 2r. Por lo tanto, la

parametrización esx = rcos(θ), y = rsen(θ), z = 2r

donde r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π ó bien ~r(r, θ) = rcos(θ)i+ rsen(θ)j + 2rk.Aun otra posible parametrización puede obtenerse utilizando coordenadas esféricas. Si llama-mos α al ángulo que la superficie hace con el eje z, la ecuación para el cono es φ = α, y cual-quier punto (x,y,z) sobre el cono S es de la forma x = rcos(θ)sen(α), y = rsen(θ)sen(α), z =

rcos(α) con tan(α) = 12 . Asi que:

~r(r, θ) = (rsen(α))cos(θ)i+ (rsen(α))sen(θ)j + rcos(α)k

En realidad, esta última representación es equivalente a la obtenida con coordenadas polares,dado que: 1

2 = tan(α) = sen(α)cos(α) ⇒ 2sen(α) = cos(α) y ~r(r, θ) = sen(α)(rcos(θ)i+rsen(θ)j+

2rk) por lo tanto

~r(r, θ) = rcos(θ)i+ rsen(θ)j + 2rk, r = rsen(α)

Superficies de revolución.

Otra clase de superficies fácil de representar parametricamente la constituyen las superficiesde revolución. Por ejemplo, la superficie generada al hacer girar la gráfica y = f(x), a ≤x ≤ b alrrededor del eje x, se puede parametrizar tomando x = x, y = f(x)cos(θ), z =


f(x)sen(θ), x ∈ [a, b], θ ∈ [0, 2π] ya que para cada x ∈ [a, b] fijo, la superficie de revolucióncontiene una circunferencia de radio f(x) en las variables xz, es decir paralelo al plano yz(perpendicular al eje z)

~r(x, θ) = xi+ f(x)cos(θ)j + f(x)sen(θ)k

Ejemplo 3.6. Hallar ecuaciónes paramétricas para la superficie de revolución generada algirar f(x) = x2, 1 ≤ x ≤ 2 en torno al eje x.

Solución:Para cada x entre 1 y 2, la revolución de f(x) = x2 genera una circunferencia de radio x2

paralela al plano yz y = x2cos(θ), z = x2sen(θ), 0 ≤ θ ≤ 2π. Luego la superficie de revolucióntiene ecuaciónes paramétricas x = x, y = x2cos(θ), z = x2sen(θ), 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π, yrepresentación vectorial

~r(x, θ) = xi+ x2cos(θ)j + x2sen(θ)k

Nota: Observese que tambien puede obtenerse la superficie de revolución al girar f(x) =

x2, 1 ≤ x ≤ 2 en torno al eje y.En este caso cada circunferencia tiene radio x paralela al plano xz a una .altura"f(x), esdecir: x = xcos(θ), y = f(x) = x2, z = xsen(θ), 1 ≤ x ≤ 2, o ≤ θ ≤ 2π. La representaciónvectorial es ~r(x, θ) = xcos(θ)i+ x2j + xsen(θ)k.En general, al girar y = f(x), a ≤ x ≤ b en torno al eje y se obtiene la superficie parametri-zada por ~r(x, θ) = (xcos(θ), f(x), xsen(θ)), a ≤ x ≤ b, 0 ≤ θ ≤ 2π.

3.1.2. Vectores tangentes fundamentales:Vectores normales y Planos tan-gentes

Si una superficie paramétrica S está definida por una función vectorial ~r(u, v) = x(u, v)i+

y(u, v)j+ z(u, v)k, entonces hay dos familias importantes de curvas que se encuentran sobrela superficie S: las u-curvas y las v-curvas. Las v-curvas constituyen una familia de curvas conu constante; las u-curvas constutuyen una familia de curvas con v constante. Si conservamosu constante al poner u = u0, entonces ~r(u0, v) se convierte en una función vectorial delparámetro v y define una curva C1 (v-curva) que se encuentra sobre la superficie S.Análogamente, si conservamos v constante al poner v = v0 obtenemos una curva C2 (u-curva) que se encuentra sobre la superficie S dada por ~r(u, v0).

Ejemplo 3.7. Dada la parametrización ~r(u, v) = acos(u)cos(v)i+asen(u)cos(v)j+asen(v)k

para la esfera de radio a con centro en el origen, la familia de u-curvas:

~r(u, v0) = acos(u)cos(v0)i+ asen(u)cos(v0)j + asen(v0)k


determinan circunferencias paralelas al ecuador (el ecuador tiene ~r(u, v) = acos(u)i +

asen(u)j) llamadas precisamente paralelos. Asimismo, la familia de v-curvas:

~r(u0, v) = acos(u0)cos(v)i+ asen(u0)cos(v)j + asen(v)k

determinan circunferencias verticales con centro en el origen llamadas meridianos como seilustra a continuación:

Supongamos, que la superficie S tiene representacion vectorial ~r(u, v) = x(u, v)i +

y(u, v)j + z(u, v)k, y que ~r es diferenciable en el punto (u0, v0) ∈ D. Sea P0 el puntosobre S con vector de pocisión ~r(u0, v0). Si mantenemos v constante poniendo v = v0, unvector tangente a la u-curva ~r(u, v0) en P0 es:

~ru =∂

∂u~r(u, v0) =

∂x

∂u(u0, v0)i+

∂y

∂u(u0, v0)j +

∂z

∂u(u0, v0)k

Análogamente, si mantenemos u constante poniendo u = u0, un vector tangente a la v-curva~r(u0, v) en P0 es:

~rv =∂

∂v~r(u0, v) =

∂x

∂v(u0, v0)i+

∂y

∂v(u0, v0)j +

∂z

∂v(u0, v0)k

Como los vectores ~ru, ~rv son tangentes a las curvas C1 y C2 en la superficie S, estos vectoresdeben determinar el plano tangente a la superficie en el punto P0 = ~r(u0, v0), donde elvector ~n = ~ru × ~rv es el vector normal. Entonces para poder calcular el plano tangente a Sen P0 = ~r(u0, v0) se debe tener ~n = ~ru × ~rv 6= ~0 en dicho punto.

Definición 3.8. Sea S una superficie parametrizada por ~r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j +

z(u, v)k definida en una región conexa D y con derivadas continuas en D. Decimos qu elasuperficie es suave en ~r(u0, v0) si ~n = ~ru× ~rv 6= ~0 en (u0, v0). La superficie es suave si lo esen todos los puntos ~r(u, v), es decir si ~n = ~ru × ~rv 6= ~0, ∀(u, v) ∈ D.

Ejemplo 3.9. Hallar una ecuación para el plano tangente al paraboloide ~r(u, v) = ui+vj+

(u2 + v2)k en el punto P0 = (1, 2, 5).

Solución:

El punto P0 = (1, 2, 5) corresponde a (u, v) = (1, 2)

~ru =∂u

∂ui+

∂v

∂uj +

∂

∂u(u2 + v2)k

= i+ 0j + 2uk


por lo tanto: ~ru(1, 2) = i+ 2k

~rv =∂u

∂vi+

∂v

∂vj +

∂

∂v(u2 + v2)k

= 0i+ j + 2vk

por lo tanto: ~rv(1, 2) = j + 4k. Luego el vector normal en ~r(1, 2) = (1, 2, 5) es :

~n = ~ru × ~rv =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 0 2

0 1 4

∣∣∣∣∣∣∣ = −2i− 4j + k

Por tanto, la ecuación del plano tangente en (1,2,5) es:

−2(x− 1)− 4(y − 2) + 1(z − 5) = 0

es decir −2x− 4y + z = −5.En general, si (u,v) es un punto en la región D en el cual ~ru = ∂~r

∂u y ~rv = ∂~r∂v son continuas

y ~ru × ~rv 6= ~0, entonces el punto imagen ~r(u, v) es llamado un punto regular de la superficieS. Los puntos en los cuales ~ru × ~rv = ~0 ó alguna de las parciales ∂~r

∂u ,∂~r∂v no es continua se

denominan puntos singulares de la superficie S. En cualquier caso los vectores ~ru y ~rv sedenominan los vectores tangentes fundamentales a S en ~r(u, v).

Ejemplo 3.10. La superficie z2 = x2 + y2 con z ≥ 0 es un cono y una de sus parame-trizaciones es x = ucos(v), y = usen(v), z = u, u ≥ 0, 0 ≤ v ≤ 2π de donde ~r(u, v) =

ucos(v)i+ asen(v)j + uk

Los vectores tangentes fundamentales son:

~ru =∂~r

∂u=∂x

∂ui+

∂y

∂uj +

∂z

∂uk = cos(v)i+ sen(v)j + k

~rv =∂~r

∂v=∂x

∂vi+

∂y

∂vj +

∂z

∂vk = −usen(v)i+ ucos(v)j

los cuales son continuos para toda (u,v). El vector normal es:

~n = ~ru × ~rv =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

cos(v) sen(v) 1

−usen(v) ucos(v) 0

∣∣∣∣∣∣∣ = −ucos(v)i− usen(v)j + uk

es el vector ~0 solo si u = 0. Luego el único punto singular en el cono es ~r(0, v) = ~0, y elplano tangente no pude calcularse en dicho punto.


Ejemplo 3.11. El hemisferio superior de la esfera de radio a con centro en el origen sepuede parametrizar por medio x = acos(u)cos(v), y = asen(u)cos(v), z = asen(v), 0 ≤ u ≤2π, 0 ≤ v ≤ π

2

entonces los vectores tangentes fundamentales son:

~ru =∂~r

∂u=∂x

∂ui+

∂y

∂uj +

∂z

∂uk = −sen(u)cos(v)i+ acos(u)cos(v)j + 0k

~ruv =∂~r

∂v=∂x

∂vi+

∂y

∂vj +

∂z

∂vk = −acos(u)sen(v)i− asen(u)sen(v)j + acos(v)k

que implica

~n = ~ru × ~rv = a2cos(u)cos2(v)i− a2sen(u)cos2(v)j + a2sen(v)cos(v)k

= a2cos(v)[cos(u)cos(v)i− sen(u)cos(v)j + sen(v)k]

Los puntos donde ~n = ~0 son aquellos donde ‖~n‖ = 0. Luego ‖~n‖ = a2|cos(v)|‖cos(u)cos(v)i−sen(u)cos(v)j+ sen(v)k‖ = a2cos(v) = 0 solo si v = π

2 (con 0 ≤ v ≤ π2 ), el cual corresponde

al polo norte del hemisferio: ~r(u, π2 ) = (0, 0, a). Por lo tanto, este es el único punto singularde la parametrización.Otra representación paramétrica del hemisferio superior anterior es: x = x, y = y, z =√a2 − x2 − y2, (x, y) ∈ D = (x, y)|x2 + y2 ≤ a2 ~r(x, y) = xi+ yj +

√a2 − x2 − y2k que

implica

~rx =∂x

∂xi+

∂y

∂xj +

∂z

∂xk = xi+ 0j − x√

a2 − x2 − y2k

~ry =∂x

∂yi+

∂y

∂yj +

∂z

∂yk = 0i+ j − y√

a2 − x2 − y2k

los cuales son continuos excepto en los puntos de la circunferencia x2 +y2 = a2. Luego todoslos puntos en el ecuador del hemisferio superior son puntos singulares con esta parametriza-ción.Además:

~n = ~rx × ~ry =x√

a2 − x2 − y2i+

y√a2 − x2 − y2

j + k 6= ~0

si ‖~n‖ = a√a2−x2−y2

6= 0. Por tanto los únicos puntos singulares son los del ecuador. En

general, una superficie dada por una función z = f(x, y) con (x, y) ∈ D con derivadasparciales definidas en D puede representarse parametricamente por ~r(x, y) = xi + yj +

f(x, y)hatk. Sus vectores tangentes fundamentales son:

~rx = (1, 0,∂f

∂x), ~ry = (0, 1,

∂f

∂y)


y el vector normal es:

~n = ~rx × ~ry =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 0 ∂f∂x

0 1 ∂f∂y

∣∣∣∣∣∣∣ = −∂f∂xi− ∂f

∂yj + k

por otro lado ‖~n‖ =

√(∂f∂x

)2+(∂f∂y

)2+ 1 6= 0 para todo (x, y) ∈ D.

Por lo tanto, los únicos puntos singulares ocurren en donde al menos una de las dos derivadas∂f∂x ó ∂f

∂y no esta definida ó no es continua, como ocurrió en el ejemplo anterior.

3.2. Area de una superficie

Sea S una superficie en el espacio definida por medio de una parametrización ~r(u, v) =

x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v) ∈ D. Queremos calcular el área de la superficie S =

~r(D). Por simplicidad supongamos que D es una región rectangular en le plano uv. Paraaproximar el área de la superficie S, dividimos el rectángulo D en una retícula determinadapor la familia de segmentos verticales u = ui, i = 0, 1, . . . , n y de segmentos horizontalesv = vj , j = 0, 1, . . . , n. Estos segmentos determinan la colección de subrectangulos Rij de D,cuyas imagenes son los "parches"Sij = ~r(Rij) imagen de los rectángulos.El área de la superficie S es la suma de las áreas de los "parches"Sij

A(S) =

n∑j=1

n∑i=1

A(Sij)

El área de cada parche Sij se puede aproximar por medio del área de un paralelogramo enel plano tangente a ~r(ui, vi) como sigue:Cuando u cambia por una cantidad ∆u, un punto originalmente en ~r(ui, vj) sobre S se muevea lo largo de la u-curva ~r(u, vj) una distanci aproximadamente igual a ‖~ru‖∆u ya que ‖~ru‖representa la rapidez ‖ ∂~r∂u‖ a lo largo de la u-curva. Similarmente para ui fijo, un punto deuna v-curva ~r(ui, v) se mueve en el tiempo una distancia igual a ‖~rv‖∆v=‖ ∂~r∂u‖∆v.Así que un rectángulo Rij que tiene un área ∆u∆v traza una porción en S determinadapor el "parche"Sij = ~r(Rij), que se aproxima por el paralelogramo determinado por losvectores ~ru∆u y ~rv∆v. El área de este paralelogramo es la magnitud del producto vectorial‖~ru × ~rv‖∆u∆v y aproxima el área de Sij

A(Sij) ≈ ‖~ru × ~rv‖∆u∆v


Luego entonces el área de la superficie S es aproximadamente:

A(S) ≈m∑j=1

n∑i=1

‖~ru(ui, vj)× ~rv(ui, vj)‖∆u∆v

El límite de la última expresión cuando ∆u,∆v → 0, si existe, es el valor exacto del áreade S y es la suma de Riemann para la integral doble

∫ ∫D ‖~ru × ~rv‖dudv. Esto da lugar a la

siguinte definición:

Definición 3.12. Si una superficie paramétrica suave S está dada por la función vectorial~r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v) ∈ D y S se cubre una sola vez cuando (u,v)varia en todo D, entonces el área de la superficie S se define como:

A(S) =

∫ ∫Sds =

∫ ∫D‖~ru × ~rv‖dudv

donde ~ru = ∂x∂u i+

∂y∂u j+ ∂z

∂u k y ~rv = ∂x∂v i+

∂y∂v j+ ∂z

∂v k, son los vectores tangentes fundamentales.

Nota: El producto cruz ~ru × ~rv en ocasiones se le denomina como el producto vecto-rial fundamental para la representación ~r(u, v). Sus componentes pueden expresarse comodeterminantes jacobianos:

~ru × ~rv =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x∂u

∂y∂u

∂z∂u

∂x∂v

∂y∂v

∂z∂v

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ ∂y∂u

∂z∂u

∂y∂v

∂z∂v

∣∣∣∣∣ i+

∣∣∣∣∣ ∂z∂u

∂x∂u

∂z∂v

∂x∂v

∣∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣∣ ∂x∂u

∂y∂u

∂x∂u

∂y∂v

∣∣∣∣∣ k

=

∣∣∣∣∣ ∂y∂u

∂y∂v

∂z∂u

∂z∂v

∣∣∣∣∣ i+

∣∣∣∣∣ ∂z∂u

∂z∂v

∂x∂u

∂x∂v

∣∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣∣ ∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∣∣∣∣∣ k∂(y, z)

∂(u, v)i+

∂(z, x)

∂(u, v)j +

∂(x, y)

∂(u, v)k

Por lo tanto:

A(S) =

∫ ∫D

√[∂(y, z)

∂(u, v)

]2

+

[∂(z, x)

∂(u, v)

]2

+

[∂(x, y)

∂(u, v)

]2

dudv

En esta forma, la integral de superficie recuerda la integral para calcular la longitud de arcode una curva. Ademas la cantidad ‖~ru×~rv‖ proporciona una medida de la distorsión de áreaal pasar de la región D en el plano uv a la superficie S en R3, mediante la parametrización~r(u, v).


Si S está dada explicitamente por una función z = f(x, y) con (x, y) ∈ D, podemos usar xy y como parámetros y definir:

~r(x, y) = xi+ yj + f(x, y)k

Anteriormente encontramos que:

~rx × ~ry =

(∂f

∂x,∂f

∂y, 1

)y

‖~xu × ~ry‖ =

√1 +

(∂f

∂x

)2

+

(∂f

∂y

)2

Por lo tanto:

A(S) =

∫ ∫D

√1 +

(∂f

∂x

)2

+

(∂f

∂y

)2

dxdy

En particular si f(x,y) es constante, entonces ‖~xu × ~ry‖ = 1, y no hay distorsión en el area,es decir;

A(S) =

∫ ∫Ddxdy = A(D)

Ejemplo 3.13. Calcular el área del hemisferio superior de la esfera de radio a con centroen el origen de coordenadas.

Solución:Una posible parametrización es ~r(u, v) = (acos(u)cos(v), asen(u)cos(v), asen(v)), 0 ≤ u ≤2π, 0 ≤ v ≤ π

2 . En este caso D = [0, 2π]× [0, π2 ], y hemos encontrado anteriormente que (verpagina 8 ejemplo 1)

‖~ru × ~rv‖ = a2cos(v)

Por lo tanto:

A(S) =

∫ ∫D‖~ru × ~rv‖dudv =

∫ 2π

0

∫ π/2

0a2cosvdvdu

= a2

∫ 2π

0du

∫ π/2

0cosvdv = a2(2π)(1) = 2πa2

Si consideramos al hemisferio S como la grafica de la función z =√a2 − x2 − y2 con x2+y2 ≤

a2, entonces:f(x, y) =

√a2 − x2 − y2, D = (x, y)|x2 + y2 ≤ a2

A(S) =

∫ ∫D

√1 +

(∂f

∂x

)2

+

(∂f

∂y

)2

dxdy =


∫ ∫D

√1 +

x2

a2 − x2 − y2+

y2

a2 − x2 − y2dxdy

=

∫ ∫D

√a2

a2 − x2 − y2dxdy = a

∫ ∫D

dxdy√a2 − x2 − y2

la cual es una integral impropia dado que el radical en el denominador se anula cuandox2 + y2 = a2. Pasando a coordenadas polares, obtenemos:

A(S) = a

∫ 2π

0

∫ a

0

rdrdθ√a2 − r2

= a

∫ 2π

0dθ

∫ a

0

rdr√a2 − r2

→ (impropia)

= 2πa lımR→a

∫ R

0

rdr√a2 − r2

= 2πa lımR→a

(−√a2 − r2

)r=Rr=0

= 2πa lımR→a

(a−

√a2 −R2

)= 2πa2

Ejemplo 3.14. Calcular el área de la helicoide difinida por ~r(r, θ) = rcos(θ)i+ rsen(θ)j +

θk, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π.

Solución:La grafica de la superficie se muestra a la derecha. Ahí mostramos las θ-curvas r=0 y r=1así como las r-curvas θ=0 y θ = π. En este ejemplo utilizaremos la notación con Jacobianos(con D = [0, 1]× [0, π])

A(S) =

∫ ∫D

√[∂(x, y)

∂(r, θ)

]2

+

[∂(y, z)

∂(r, θ)

]2

+

[∂(x, y)

∂(r, θ)

]2 [∂(z, x)

∂(r, θ)

]2

drdθ

como x = rcos(θ), y = sen(θ), z = θ entonces

∂(x, y)

∂(r, θ)=

∣∣∣∣∣ ∂x∂r

∂y∂r

∂x∂θ

∂y∂θ

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ cos(θ) sen(θ)

−rsen(θ) rcos(θ)

∣∣∣∣∣ = r

∂(y, z)

∂(r, θ)=

∣∣∣∣∣ ∂y∂r

∂z∂r

∂y∂θ

∂z∂θ

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ sen(θ) 0

rcos(θ) 1

∣∣∣∣∣ = sen(θ)

∂(z, x)

∂(r, θ)=

∣∣∣∣∣ ∂z∂r

∂x∂r

∂z∂θ

∂x∂θ

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ 0 cos(θ)

1 −rsen(θ)

∣∣∣∣∣ = −cos(θ)

Por lo tanto:∫ π

0

∫ 1

0

√r2 + sen2(θ) + cos2(θ)drdθ =

∫ π

0

∫ 1

0

√r2 + 1drdθ = π

∫ 1

0

√r2 + 1dr

= πr2

√r2 + 1 +

1

2log|r +

√r2 + 1|r=1

r=0 = π√

2

2+

1

2log(

1 +√

2)

Nota:(aqui usamos la formula∫ √

x2 + a2 + a2

2 log|x+√x2 + a2|)


Ejemplo 3.15. Calcular el área del toro dado por la parametrización ~r(θ, φ) = (R +

acos(φ))cos(θ)i+(R+acos(φ))sen(θ)j+asen(φ)k donde 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ 2φ,R > a > 0

Solución:Esta superficie se obtiene al girar una circunferencia vertical de radio a en torno al eje z. Elcentro de la circunferencia se encuentra a una distancia R del eje z. Las coordenadas de unpunto (x,y,z) sobre el toro son x = (R+acos(φ))cos(θ), y = (R+acos(φ))sen(θ), z = asen(φ)

luego:

~rθ =∂~r

∂θ= −(R+ acos(φ))sen(θ)i+ (R+ acos(φ))cos(θ)j + 0k

~rφ =∂~r

∂φ= −asen(φ))sen(θ)i− sen(φ)cos(θ)j + acos(φ)k

~rθ × ~rφ = (R+ acos(φ))acos(θ)cos(φ)i+ (R+ acos(φ))asen(θ)cos(φ)j

+(R+ acos(φ))asen(φ)k

‖~rθ × ~rφ‖ = |R+ acos(φ)|a√cos2(θ)cos2(φ) + sen2(θ)cos2(φ) + sen2(φ) = (R+ acos(φ))a

Por lo tanto:

A(S) =

∫ ∫D‖~rθ × ~rφ‖dθdφ =

∫ 2φ

0

∫ 2π

0(R+ acos(φ))adθdφ

= a

∫ 2π

0dθ

∫ 2π

0(R+ acos(φ))dφ = 2aπ (Rφ+ asen(φ))φ=2π

φ=0 = (2aπ)(2πR) = 4π2aR

Areas de superficies de revolución.

Teorema 3.16. El área de una superficie de revolución S generada al girar la gráfica dey=f(x) en torno al eje x está dada por:

A(S) = 2π

∫ b

a|f(x)|

√1 + [f ′(x)]2dx

si f(x) está definida en el intervalo [a,b].

Demostración:Ya hemos demostrado que una parametrización es ~r(x, θ) = xi+f(x)cos(θ)j+

f(x)sen(θ)k, a ≤ x ≤ b, 0 ≤ θ ≤ 2π. Luego:

~rx =∂~r

∂x= i+ f ′(x)cos(θ)j + f ′(x)sen(θ)k


~rθ =∂~r

∂θ= 0i− f(x)sen(θ)j + f(x)cos(θ)k

Así que:~rx × ~rθ = f(x)f ′(x)i− f(x)cos(θ)j − f(x)sen(θ)k

‖~rx × ~rθ‖ =√

[f(x)f ′(x)]2 + [f(x)cos(θ)]2 + [f(x)sen(θ)]2 = |f(x)|√f ′(x)2 + 1

y

A(S) =

∫ 2π

0

∫ b

a|f(x)|

√f ′(x)2 + 1dxdθ = 2π

∫ b

a|f(x)|

√f ′(x)2 + 1dx

Teorema 3.17. Si ahora giramos la gráfica y=f(x),a ≤ x ≤ b en torno al eje y, obtenemosuna superficie de revolución S cuya área esta dada por

A(S) = 2π

∫ b

a|x|√f ′(x)2 + 1dx

Demostración: Ya habiamos visto que una parametrización es ~r(x, θ) = xcos(θ)i+f(x)j+

xsen(θ)k, a ≤ x ≤ b, 0 ≤ θ ≤ 2π. Luego:

~rx =∂~r

∂x= cos(θ)i+ f ′(x)j + sen(θ)k

~rθ =∂~r

∂θ= −xsen(θ)i+ 0j + xcos(θ)k

De donde.~rx × ~rθ = xf ′(x)cos(θ)i− xj − f ′(x)sen(θ)k

‖~rx × ~rθ‖ =√

[xf ′(x)cos(θ)]2 + [x]2 + [xf ′(x)sen(θ)]2 = |x|√f ′(x)2 + 1

Que implica:

A(S) =

∫ 2π

0

∫ b

a|x|√f ′(x)2 + 1dxdθ = 2π

∫ b

a|x|√f ′(x)2 + 1dx

Ejemplo 3.18. El problema del ejemplo 3, el área de un toro con radio R y radio de susección transversal a, se puede resolver usando superficies de revolución.

Solución:La parte superior del toro puede considerarse como la superficie de revolución generada alrotar en torno al eje y la semicircunferencia dada por y =

√a2 − (x−R)2 = (f(x)), R−a ≤

x ≤ R+ a. Entonces el área del toro es dos veces el área de esta superficie de revolución:

A(toro) = 2(2π)

∫ R+a

R−a|x|√

1 + f ′(x)2dx


donde f(x) =√a2 − (x−R)2 y f ′(x) = − −(x−R)√

a2−(x−R)2entonces:

1 + [f(x)]2 = 1 +(x−R)2

a2 − (x−R)2=

a2

a2 − (x−R)2

Por lo tanto:

A(toro) = 4π

∫ R+a

R−ax

√a2

a2 − (x−R)2dx = 4πa

∫ R+a

R−a

x√a2 − (x−R)2

dx

= 4aπ

∫ R+a

R−a

x+R−R√a2 − (x−R)2

dx = 4aπ

∫ R+a

R−a

x−R√a2 − (x−R)2

dx+

4aπ

∫ R+a

R−a

R√a2 − (x−R)2

dx = 4aπ[−√a2 − (x−R)2

]x=R+a

x=R−a+

4aπRarcsen

[x−Ra

]x=R+a

x=R−a= 4aπR[arcsen(1)− arcsen(−1)] =

4aπR(π/2− (−π/2)) = 4aπ2R

el cual coincide con el resultado ya obtenido.

3.3. Integrales de superficie de campos escalares

En algunos problemas físicos encontramos funciones definidas sobre superficies. Ejemplosde tales funciones son la densidad de masa de una superficie laminar, la temperatura ódistribución de temperatura sobre una superficie, la densidad de una distribución de cargasobre la superficie de un conductor, entre otros. También, en otros problemas podemosencontrar funciones vectoriales (campos vectoriales) definidos sobre superficies como porejemplo, la velocidad de las particulas de un fluido que pasan através de una superficie ósección transversal, el flujo de un campo eléctrico sobre una superficie, entre otros.En esta sección consideraremos el caso de integrales de superficie de campos escalares, ydejaremos el estudio de integrales de superficie de campos vectoriales para la próxima sección.La teoría de integrales de superficie es análoga en muchos aspectos a la teoría de integralesde linea presentada en el capitulo II. La definición de integral de superficie para un campoescalar es una generalización de la definición de área de superficie.

Definición 3.19. Sea f(x,y,z) una función escalar definida sobre una superficie S. Si f esacotada sobre S y la superficie tiene representación vectorial ~r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j +


z(u, v)k, (u, v) ∈ D, la integral de superficie de f sobre S se define como:∫ ∫Sf(x, y, z)dS =

∫ ∫Df(~r(u, v))‖~ru × ~rv‖dudv

?

Nota 1: Observese que si f es constante e igual a 1, es decir f(x,y,z)=1 ∀(x, y, z) ∈ S,entonces recobramos la fórmula para el área de una superficie

∫ ∫S dS

∫ ∫D ‖~ru × ~rv‖dudv.

Nota 2: Conviene observar la analogía con las integrales de linea de funciones escalares:

CURVAS: C : ~r(t) = x(t)i+ y(t)j + z(t)k, t ∈ [a, b] ds = ‖~r′(t)‖dt (diferencial de arco)∫Cf(x, y, z)ds =

∫ b

af(~r(t))‖~r′(t)‖dt =

∫ b

af(x(t), y(t), z(t)) ·

√x′2 + y′2 + z′2dt

SUPERFICIES: ~r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v) ∈ D dS = ‖~ru × ~rv‖dudv(diferencial de área)∫ ∫

Sf(x, y, z)dS =

∫ ∫Df(~r(u, v))‖~ru × ~rv‖dudv =

∫ ∫Df(x(u, v), y(u, v), z(u, v))

√[∂(x, y)

∂(u, v)

]2

+

[∂(y, z)

∂(u, v)

]2

+

[∂(z, x)

∂(u, v)

]2

dudv

Ejemplo 3.20. Calcular∫ ∫

S(x+z)dS, donde S es la región en el primer octante del cilindroy2 + z2 = 9 con 0 ≤ x ≤ 4

Solución:Parametrización: ~r(x, θ) = xi+ 3cos(θ)j + 3sen(θ)k, 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ π

2 .

~rx × ~rθ =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 0 0

0 −3sen(θ) 3cos(θ)

∣∣∣∣∣∣∣ = 0i− 3cos(θ)j − 3sen(θ)k

Además: ‖~rx × ~rθ‖ =√

9cos2(θ) + 9sen2(θ) = 3 entonces∫ ∫S

(x+ z)dS =

∫ π/2

0

∫ 4

0(x+ 3sen(θ)) · 3dxdθ =

∫ π/2

0

3x2

2+ 9xsen(θ)|x=4

x=0dθ

=

∫ π/2

0(24 + 36sen(θ))dθ = 24θ − 36cos(θ)|θ=π/2θ=0 = 12π + 36 = 12(π + 3)


Para superficies que son la gráfica de funciones de la forma z=g(x,y) con (x, y) ∈ D sabemosque:

‖~rx × ~ry‖ =

√1 +

(∂g

∂x

)2

+

(∂g

∂y

)2

bajo la parametrización ~r(x, y) = xi+ yj + g(x, y)k. Por lo tanto:

∫ ∫Sf(x, y, z)dS =

∫ ∫DF (x, y, g(x, y))

√1 +

(∂g

∂x

)2

+

(∂g

∂y

)2

dxdy

Ejemplo 3.21. En el problema del ejemplo 1 la superficie S se puede ver como la grafica dela función z =

√9− y2 con 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 3 (ver la gráfica anterior).

En este caso g(x, y) =√

9− y2, y una parametrización es ~r(x, y) = xi+yj+√

9− y2k en-

tonces ‖~rx × ~ry‖ =

√1 +

(∂g∂x

)2+(∂g∂y

)2=

√1 + 02 +

(−y√9−y2

)2

=√

1 + y2

9−y2 = 3√9−y2

.

Así que:∫ ∫S

(x+ z)dS =

∫ ∫D

(x+√

9− y2) · 3√9− y2

dxdy =

∫ ∫D

(3x√

9− y2+ 3

)dxdy

=

∫ 3

0

∫ 4

0

(3x√

9− y2+ 3

)dxdy =

∫ 3

0

(3x2

2√

9− y2+ 3x

)x=4

x=0

dy =

∫ 3

0

(24√

9− y2+ 12

)dy = 24arcsen

y

3|y=3y=0 + 12y|y=3

y=0

= 24 · π2

+ 12 · 3 = 12(π + 3)

Las integrales de superficie tienen aplicaciones semejantes a la de las integrales que hemosestudiado anteriormente. Por ejemplo si la superficie S se considera como una lamina delgadacuya densidad (masa por unidad de área) en el punto (x,y,z) es ρ(x, y, z), entonces la masatotal de la hoja es:

M =

∫ ∫Sρ(x, y, z)dS

La forma de ver lo anterior es observar que:

ρ(x, y, z) =dm

dS⇒ dm = ρ(x, y, z)dS ⇒M =

∫ ∫Sdm

∫ ∫Sρ(x, y, z)dS


El centro de masa de la lámina con superficie S es el punto (x, y, z) determinado por:

x =1

M

∫ ∫Sxρ(x, y, z)dS, y =

1

M

∫ ∫Syρ(x, y, z)dS, z =

1

M

∫ ∫Szρ(x, y, z)dS

donde M es la masa total de la lámina M =∫ ∫

S ρ(x, y, z)dS.

Ejemplo 3.22. Hallar la masa de una hélicoide con ecuaciones paramétricas x = rcos(θ), y =

rsen(θ), z = θ, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, si la densidad del material es ρ(x, y, z) =√1 + x2 + y2 para cada (x,y,z) sobre la hélicoide. Encontrar el centro de masa.

Solución:Tenemos que:

M =

∫ ∫Sρ(x, y, z)dS =

∫ ∫Dρ(~r(r, θ))‖~rr × ~rθ‖drdθ

además:

~rr × ~rθ =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x∂r

∂y∂r

∂z∂r

∂x∂θ

∂y∂θ

∂z∂θ

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

cos(θ) sen(θ) 0

−rsen(θ) rcos(θ) 1

∣∣∣∣∣∣∣ = sen(θ)i− cos(θ)j − rk

que implica:‖~rr × ~rθ‖ =

√sen2(θ) + (−cos(θ))2 + r2 =

√1 + r2

Además ρ(~r(r, θ)) = ρ(rcos(θ), rsen(θ), θ) =√

1 + (rcos(θ))2 + (rsen(θ))2 =√

1 + r2. Porlo que:

M =

∫ ∫Sρ(x, y, z)dS =

∫ ∫Dρ(~r(r, θ))‖~rr × ~rθ‖drdθ

=

∫ ∫D

√1 + r2

√1 + r2drdθ =

∫ 2π

0

∫ 1

0(1 + r2)drdθ = 2π

(r +

r3

3

)r=1

r=0

=8

3π

Centro de masa

x =1

M

∫ ∫Sxρ(x, y, z)dS =

1

M

∫ ∫Dx(r, θ)ρ(~r(r, θ))‖~rr × ~rθ‖drdθ

=1

M

∫ 2π

0

∫ 1

0rcos(θ)

√1 + r2

√1 + r2drdθ =

1

M

∫ 2π

0cos(θ)dθ

∫ 1

0(r + r3)dr

=1

M[sen(θ)]2π0

[r2

2+r4

4

]r=1

r=0

= 0

Análogamente:

y =1

M

∫ ∫Syρ(x, y, z)dS =

1

M

∫ 2π

0

∫ 1

0rsen(θ)(1 + r2)drdθ =


1

M

∫ 2π

0sen(θ)

∫ 1

0(r + r3) = 0

Finalmente:

z =1

M

∫ 2π

0

∫ 1

0θ(1 + r2)drdθ =

1

M

∫ 2π

0θdθ

∫ 1

0(1 + r2)dr

=1

M

[θ2

2

]θ=2π

θ=0

(r +

r3

3

)r=1

r=0

=1

M· 4π2

2· 4

3=

1

8π/3· 8π2

3= π

Por lo tanto la masa del helicoide es M = 8π3 , y su centro de masa está dado por (x, y, z) =

(0, 0, π).

Valor promedio de funciónes:

El valor promedio de una función f(x,y,z) sobre una superficie S se define como:

f =1

A(S)

∫ ∫Sf(x, y, z)dS

donde A(S) es el área de la superficie.

Ejemplo 3.23. Una superficie métalica S tiene la configuraciíon de una semiesfera de radioR. Si est asuperficie tiene una distribución de temperaturas dada por T (x, y, z) = x+y2,encontrar la temperatura promedio en la superficie.

Solución:Por definición:

T =1

A(S)

∫ ∫ST (x, y, z)dS

Anteriormente encontramos que el área de una semiesfera se radio R es:

A(S) = 2πR2

Por lo tanto basta con calcular la integral∫ ∫

S T (x, y, z)dS =∫ ∫

S(x2 + y2)dS.Método 1.Parametrización x = Rcos(θ)sen(φ), y = Rsen(θ)cos(φ), z = Rsen(φ), 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤π2 , ahora sabemos que ‖~rθ × ~rφ‖ = R2cos(φ). Luego:∫ ∫

S(x2 + y2)dS =

∫ 2π

0

∫ π2

0(R2cos2(φ)cos2(θ) +R2sen2(θ)cos(φ))R2cos(φ)dφdθ

=

∫ 2π

0

∫ π2

0R2cos2(φ)R2cos(φ)dφdθ = R4

∫ 2π

0

∫ π2

0cos3(φ)dφdθ = 2πR4

∫0

π

2cos3(φ)dφ


= 2πR4

∫0

π

2(1− sen2(φ))cos(φ)dφ = 2πR4

(sen(φ)− fracsen3(φ)3

)φ=π2

φ=0

= 2πR4(1− 1/3) =4πR4

3

Por lo tanto:

T =1

2πR3· 4πR4

3= A(S) ·

∫ ∫ST (x, y, z)dS =

2

3R2

Método 2.Parametrización x = x, y = y, z =

√R2 − x2 − y2, (x, y) ∈ D donde D = (x, y)|x2 + y2 =

R2. Sabemos que:

‖~rx × ~ry‖ =

√1 +

(∂f

∂x

)2

+

(∂f

∂y

)2

=

√√√√1 +

(−x√

R2 − x2 − y2

)2

+

(−y√

R2 − x2 − y2

)2

=

√1 +

x2

R2 − x2 − y2+

y2

R2 − x2 − y2=

√R2

R2 − x2 − y2=

R√R2 − x2 − y2

Que implica:∫ ∫: S(x2 + y2)dS =

∫ ∫D

(x2 + y2)R√

R2 − x2 − y2dxdy =

∫ ∫Dr2 R√

R2 − r2rdrdθ

l( ultima integral expresada en coordenadas polares).

= R

∫ 2π

0

∫ R

0

r3

√R2 − r2

drdθ = 2πR

∫ R

0r2 · r√

R2 − r2dr

= 2πR−r2√R2 − r2|r=Rr=0 +

∫ R

0

√R2 − r22rdr

donde en la ultima integral hicimos u = r2, dv = r√R2−r2 , du = 2rdr, v = −

√R2 − r2

entonces:

= 2πR

∫ R

0

√R2 − r22rdr = −2πR

[(R2 − r2)3/2

3/2

]r=RR=0

=

−4πR

3[0− (R2)3/2] =

4πR4

3

Por lo tanto:

T =1

2πR2· 4πR4

3=

2

3R2


3.4. Integrales de superficie de campos vectoriales

Motivación: Flujo de un fluido a través de una superficie.

Consideremos un fluido como una colección de puntos llamados partículas. Para cada par-tícula en la pocisión (x,y,z) asociamos un vector ~v(x, y, z) el cual representa la velocidad decada partícula. Este es el campo de velocidades del fluido. El campo de velocidades puedeó no puede cambiar con el tiempo. En nuestro caso solo consideraremos campos de veloci-dades estacionarios. La densidad del fluido se define como la razón de la masa por unidadde volumen y la denotamos por ρ(x, y, z). El campo vectorial ~F (x, y, z) = ρ(x, y, z)~v(x, y, z)

tiene la misma dirección que el campo de velocidades y su longitud tiene las dimensiones de:

masa

volumen· distanciatiempo

=masa

area× tiempo

Este campo vectorial ~F (x, y, z) establece que tanta masa de fluido por unidad de área ytiempo fluye en la dirección de ~v(x, y, z) en el punto (x,y,z), por lo cual se le denominadensidad de flujo.

Consideremos una superficie S con parametrización ~r(u, v) = x(u, v)i+y(u, v)j+z(u, v)k, (u, v) ∈D. Para cada punto regular (x, y, z) = ~r(u, v) el vector unitario normal a la superficie es:

n = ~ru × ~rv/‖~ru × ~rv‖

El producto escalar ~F ·n representa la componente del vector densidad de flujo en la direcciónde la normal ~n = ~r × ~rv.La masa de fluido que fluye por unidad de tiempo a través de la superficie S es:∫ ∫

S

(~F · n

)dS

y se denomina como el flujo de ~F a través de S. Observese que:∫ ∫S

(~F · n

)dS =

∫ ∫D

(~F · n

)‖~ru × ~rv‖dudv

=

∫ ∫D

~F · ~ru × ~rv‖~ru × ~rv‖

‖~ru × ~rv‖dudv =

∫ ∫D

~F · (~ru × ~rv)dudv

Lo anterior motiva a la siguiente definición:


Definición 3.24. Sea ~F (x, y, z) un campo vectorial definido para cada punto (x,y,z) de lasuperficie S. Si el campo vectorial ~F es acotado sobre S y la superficie tiene representaciónvectorial:

~r(u, v) = x(u, v)i+ y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v) ∈ D

la integral de superficie de ~F sobre S se define como:∫ ∫S

~F · ndS =

∫ ∫D

~F · (~ru × ~rv)dudv

Ejemplo 3.25. Sea S el hemisferio superior de la esféra de radio a con centro en el origeny el campo vectorial ~F (x, y, z) = xi+ zk. Calcular

∫ ∫S~F · ndS considerando las siguientes

dos parametrizaciones:1.

x(u, v) = acos(u)cos(v), y(u, v) = asen(u)cos(v), z(u, v) = asen(v)

con 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ π2

2.x(u, v) = asen(φ)cos(θ), y(θ, φ) = asen(θ)sen(φ), z(θ, φ) = acos(φ)

con 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π2

Solución:1.

~r(u, v) = x(u, v) = acos(u)cos(v)i+ asen(u)cos(v)j + asen(v)k

~ru = −asen(u)cos(v)i+ acos(u)cos(v)j + 0k

~rv = −acos(u)sen(v)i− asen(u)sen(v)j + acos(v)k

~ru × ~rv = a2cos(u)cos2(v)i+ a2sen(u)cos2(v)j + a2sen(v)cos(v)k

~F (~r(u, v)) = ~F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = x(u, v)i+ z(u, v)k

= acos(u)cos(v)i+ 0j + asen(v)k

Por lo tanto: ∫ ∫S

~F · ndS =

∫ ∫D

~F (~r(u, v)) · ~ru × ~rvdudv =∫ 2π

0

∫ π/2

0(a3cos2(u)cos3(v) + a3sen2(v)cos(v))dudv

donde D = [0, 2π]× [0, π/2]

= a3

∫ 2π

0

∫ π/2

0[cos2(u)(1− sen2(v))cos(v) + sen2(v)cos(v)]dudv


donde hicimos uso de la identidad cos3(v) = (1− sen2(v))cos(v)

a3

∫ 2π

0[cos2(u)

(sen(v)− sen3(v)

3

)v=π/2

v=0

] +

[sen3(v)

3

]v=2π

v=0

du

usando la igualdad cos2(u) = 12 + 1

2cos(2u) tenemos:

= a3

∫ 2π

0(2

3cos2(u) +

1

3)du = a3

∫0

2π1

3(1 + cos(2u) + 1)du

a3

3

(2u+

1

2sen(2u)

)u=2π

u=0

=4πa3

3

2.

~r(θ, φ) = x(θ, φ) = acos(θ)sen(φ)i+ asen(θ)sen(φ)j + acos(φ)k, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π

2

~rθ = −asen(θ)sen(φ)i+ acos(θ)sen(φ)j + 0k

~rv = acos(θ)cos(φ)i+ asen(θ)cos(φ)j + asen(φ)k

~rθ × ~rφ = −a2cos(θ)sen2(φ)i− a2sen(θ)sen2(φ)j − a2sen(φ)cos(φ)k

~F (~r(θ, φ)) = ~F (x(θ, φ), y(θ, φ), z(θ, φ)) = x(θ, φ)i+ z(θ, φ)k

= acos(θ)sen(φ)i+ 0j + acos(φ)k


~F · ndS =

∫ ∫D

~F (~r(θ, φ)) · ~rθ × ~rφdφdθ =∫ 2π

0

∫ π/2

0(−a3cos2(θ)sen3(φ)− a3sen(φ)cos2(φ))dφdθ

donde D = [0, 2π]× [0, π/2]

= a3

∫ 2π

0

∫ π/2

0[cos2(θ)(1− cos2(φ))sen(φ) + cos2(φ)sen(φ)]dφdθ

−a3

∫ 2π

0

[cos2(φ)

(−cos(φ)− cos3(φ)

3

)φ=π/2

φ=0

−[cos3(φ)

3

]φ=π/2

φ=0

]dθ

= −a3

∫ 2π

0

[2

3cos2(θ) +

1

3

]dθ = −4πa3

3

Observamos que la integral del campo vectorial ~F (x, y, z) = xi+ zk depende de la parame-trización de la semiesféra. El resultado difiere por un signo. La razón es la siguiente:


En la primera parametrización el vector normal a la superficie es:n = ~ru × ~rv = a2cos(u)cos2(v)i+ a2sen(u)cos2(v)j + a2sen(v)cos(v)k = acos(v)

(acos(u)cos(v)i + asen(u)cos(v)j + asen(v)k) = acos(v)~r(u, v) (paralelo al vector de posi-ción ~r(u, v)) y tiene la misma dirección pues: acos(v) ≥ 0 para 0 ≤ v ≤ π

2 El vector normalunitario n es:

n =~ru × ~rv‖~ru × ~rv‖

= (cos(u)cos(v), sen(u)cos(v), sen(v))

y es .exterior.a la semiesféra.

Para la segunda parametrización el vector normal a la superficie es:n = ~rθ×~φv = −a2cos(θ)sen2(φ)i−a2sen(θ)sen2(φ)j−a2sen(φ)cos(φ)k = −acos(φ)(acos(θ)sen(φ)i+

asen(θ)sen(φ)j+acos(φ)k) = −asen(φ)~r(θ, φ) (paralelo al vector de posición ~r(θ, φ)) y tie-ne la dirección opuesta pues: −asen(φ) ≤ 0 para 0 ≤ φ ≤ π

2 El vector normal unitario nes:

n =~rθ × ~rφ‖~rθ × ~rφ‖

= −(cos(θ)sen(φ), sen(θ)sen(φ), cos(φ))

y es ïnterior.a la semiesféra.

Por lo que en este caso ~F · n deberá tener signo opuesto al producto en el primer caso.Esto explica el cambio de signo en los resultados. Luego entonces, la integral de superficiede campos vectoriales depende de la parametrización escogida, salvo un cambio de signo.De hecho existe una anlogía entre las integrales de superficie y las de linea de los camposvectoriales. Recordemos que la integral de linea de campos vectoriales es una integral orien-tada, es decir depende de la orientación de la curva ó trayectoria. A continuación hacemosuna comparación de ambas:

CURVAS.

~r(t) = x(t)i+ y(t)j + z(t)k, t ∈ [a, b]⇒ d~r = ~r′(t)dt = [x′(t)i+ y′(t)j + z′(t)k]dt

y ∫C

~F · d~r =

∫ b

a

~F (~r(t)) · ~r′(t)dt

SUPERFICIES

S : ~r(t) = x(u, v)i+ y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v) ∈ D ⇒ dS = ~ru × ~rvdudv

170 L. Héctor Juárez V.[∂(y, z)

∂(u, v)i+

∂(z, x)

∂(u, v)j +

∂(x, y)

∂(u, v)k

]dudv

y ∫ ∫S

~F · d~S =

∫ ∫D

~F (~r(u, v)) · (~ru × ~rv)dudv

donde d~S = ndS, es decir a la diferencial de superficie se le da la orientación del vectornormal n.Entonces para definir las integrales de superficie de los campos vectoriales debemos esco-ger una orientación en la superficie y, por tanto excluir aquellas superficies no orientables.Las superficies orientables tienen dos caras ó lados distintos. Formalmente se establece lasiguiente definición:

Definición 3.26. Una superficie suave S tiene dos caras si después de que el vector normalse desliza a lo largo de una curva cerrada arbitraria sobre S no cambia su dirección al regresaral punto de comienzo. Si existe al menos un contorno cerrado sobre la superficie S para elcual el vector normal cambia su dirección al regresar al punto de comienzo, la superficie sedenomina de una cara.

Ejemplos:

1. Un plano es una superficie de dos caras.2.Cualquier superficie suave determinada por una función z=f(x,y) es de dos caras.3.Cualquier superficie cerrada sin intersecciones tiene dos caras (esféras, elipsiodes, etc.)4.El ejemplo más simple de una superficie de una sola cara es la llamada cinta de Mobius

(en honor al geometra alemán AugustMobius 1790-1868). Esta superficie se puede construirsi se toma una cinta larga rectangular, se tuerce a la mitad y se unen los extremos.

Si una hormiga caminara sobre la cinta comenzando en el punto P, al dar una vuelta com-pleta terminaría en el mismo punto, pero en la parte posterior. Si continuara caminando altermino de la segunda vuelta regresaria al mismo punto P

Definición 3.27. Una superficie de dos lados se denomina orientable, y el proceso de escogercierto lado (ó vector normal) de los dos posibles se denomina orientación de la superficie.Uno de los dos lados se denomina lado exterior (normal exterior) y el otro lado interior(normal interior). Cuando se ha escgido una orientación, la superficie se denomina orien-tada.

En el ejemplo 1, es natural escoger como la normal exterior aquella obtenida por la pri-mera pametrización, y como la normal interior la obtenida con la segunda parametrización


(la cual corresponde a coordenadas esféricas).

Supeficies como gráficas de funciones.

Si la superficie S es la gráfica de una función z=f(x,y) con (x, y) ∈ D, entonces una po-sible parametrización es:

~r(x, y) = xi+ yj + f(x, y)k

que implica:

~n = ~rx × ~ry = −∂f∂xi− ∂f

∂yj + k

de donde:

~n =−∂f∂x i−

∂f∂y j + k√

1 +(∂f∂x

)2+(∂f∂y

)2

el vector unitario normal es el exterior a la superficie. Así que el vector unitario interior ala superficie es n2 = −n.

Si ~F (x, y, z) es un campo vectorial definido sobre S con componentes F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z),entonces: ∫ ∫

S

~F · ndS =

∫ ∫D

~F (x, y, f(x, y)) · (~rx × ~ry)dxdy

=

∫ ∫D

[−F1(x, y, f(x, y))

∂f

∂x− F2(x, y, f(x, y))

∂f

∂y+ F3(x, y, f(x, y))

]dxdy

=

∫ ∫D

(−F1(x, y, z)

∂z

∂x− F2(x, y, z)

∂z

∂y+ F3(x, y, z)

)dxdy

Ejemplo 3.28. Evaluar∫ ∫

S~F · ndS, donde ~F (x, y, z) = yi+ xj + 2k y S es la frontera de

la región sólida limitada por el paraboloide z = 1− x2 − y2 y el plano z = 0

Solución:La superficie S consta de dos partes: el paraboloide 1− x2 − y2 con x2 + y2 ≤ 1 y el círculox2 + y2 = 1 con z = 0 las cuales denotaremos por S1 y S2 respectivamente. Así que:∫ ∫

S

~F · ndS =

∫ ∫S1

~F · ndS +

∫ ∫S2

~F · ndS

∫ ∫S1

~F · ndS =

∫ ∫D

(−F1(x, y, z)

∂z

∂x− F2(x, y, z)

∂z

∂y+ F3(x, y, z)

)dxdy

172 L. Héctor Juárez V.∫ ∫D

[−y(−2x)− x(−2y) + 2]dxdy =

∫ ∫Dxydxdy +

∫ ∫Ddxdy =

∫ 2π

0

∫ 1

0rcos(θ)rsen(θ)rdrdθ + 2A(D)

donde reescribimos la integral en coordenadas polares e identificamos F1 = y, F2 = x, F3 =

2, ∂z∂x = −2x, ∂z∂y = −2y. y D : x2 + y2 ≤ 1↔ 0 ≤ θ ≤ 2π entonces tenemos:

= 4

∫ 2π

0sen(θ)cos(θ)dθ

∫ 1

0r3dr + 2π = 4

[sen2(θ)

2

]θ=2π

θ=0

·[r4

4

]r=1

r=0

+ 2π = 2π

Para el cálculo de∫ ∫

S2

~F · ndS se debe tener un poco de cuidado, pues la normal asociadaa la función z=0 (tapa inferior) con x2 + y2 ≤ 1 apunta hacia arriba

~n = −∂z∂xi− ∂z

∂yj + k = 0i+ 0j + k = k

Como nosotros queremos la normal que apunta hacía el exterior de la región sólida, debemostomar n = −k.∫ ∫

S2

~F · ndS =

∫ ∫S2

(F1, F2, F3) · (0, 0,−1)dS =

∫ ∫S2

−F3dS

= −∫ ∫

S2

2dS = −2A(S2) = −2A(D) = −2π


~F · ndS = 2π + (−2π) = 0

Flujo a través de una superficie.

Si ~F (x, y, z) es un campo vectorial arbitrario y S es una superficie orientada, a la integralde supeficie ∫ ∫

S

~F · ndS

se le denomina el flujo del campo vectorial ~F a través de la superficie S.

En el ejemplo 2, encontramos qu el flujo de ~F (x, y, z) = yi + xj + 2k a través del para-boloide S1 : z = 1− x2 − y2, z ≥ 0 es:∫ ∫

S1

~F · ndS = 2π


es decir sale flujo, mientras que el flujo del mismo campo a través de la tapa inferior S2 :

z = 0, x2 + y2 ≤ 1 es: ∫ ∫S2

~F · ndS = −2π

es decir, entra flujo, por lo qu el flujo neto saliendo de la superficie S = S1 ∪ S2 debido alcampo ~F (x, y, z) = yi + xj + 2k es cero. Es decir el flujo que entra por la tapa inferior esigual al flujo que sale por el paraboloide.

Ejemplo 3.29. Considerese el campo electroestático ~E generado por una carga puntual Qen el origen (0,0,0), el cual esta dado por:

~E(x, y, z) =Q

4πr3~r =

Q

4π(x2 + y2 + z2)3/2(xi+ yj + zk)

Encontrar el flujo del campo eléctrico que atravieza la esféra de radio a>0.

Solución:La esféra de radio a > 0 se puede parametrizar por x = acos(u)cos(v), y = asen(u)cos(v), z =

asen(v), 0 ≤ u ≤ 2π,−π2 ≤ v ≤ π

2 es decir; ~r(u, v) = acos(u)cos(v)i + asen(u)cos(v)j +

asen(v)k ya que nos interesa que el vector normal apunte en la direccion exterior de laesféra, ahora por un ejercicio anterior:

~ru × ~rv = acos(v)~r(u, v)

y~E(~r(u, v)) =

Q

4πa3~r(u, v)

pues (x2 + y2 + z2)3/2 = a2

Flujo =

∫ ∫S

~E · d~S =

∫ ∫D

~E(~r(u, v)) · ~ru × ~rvdudv

∫ 2π

0

∫ π/2

−π/2

Q

4πa3acos(v) · (a2cos2(u)cos2(v) + asen2(u)cos2(v) + a2sen2(v))dudv

Q

4π

∫ 2π

0

∫ π/2

−π/2cos(v)(1)dudv =

Q

4π

∫ 2π

0du

∫ π/2

−π/2cos(v)dv

=Q

4π· 2π · [sen(v)]

v=π/2v=−π/2 =

Q

4π· 2π · 2 = Q

Por lo tanto el flujo depende solo de la intensidad de carga, y no depende del radio de laesféra. Entonces el flujo eléctrico es el mismo para cualquier esféra con centro en el origen.


Este problema pudo haberse resuelto de manera más sencilla observando que la normalexterior a la superficie esférica tiene la misma dirección del campo eléctrico y es igual an = ~r

r (vector unitario normal exterior) entonces:

flujo =

∫ ∫S

~F · ndS =

∫ ∫S

Q

4πr3~r · ~r

rdS =

Q

4π

∫ ∫S

~r · ~rr4

dS

=Q

4π

∫ ∫S

r2

r4dS =

Q

4π

∫ ∫S

1

r2dS =

Q

4πa2

∫ ∫SdS

(r2 = x2 + y2 + z2 = a2 sobre S)

=Q

4πa2A(S) =

Q

4πa24πa2 = Q

el cual es el mismo resultado obtenido anteriormente.

Ejemplo 3.30. Sea S la superficie frontera del sólido determinado por el cilindro x2+y2 = 1

y los planos z = 0, z = y + 1. Calcular el flujo del campo vectorial ~F (x, y, z) = xi+ yj + zk

hacia el exterior de la superficie S.

Solución:La superficie del sólido está formada de tres partes: la parte superior determinada por elplano Z = y + 1, la superficie lateral determinada por el cilindro x2 + y2 = 1, y la tapainferior z=0 dentro del cilindro. Posibles parametrizaciones para estas superficies son:

S1 : x = x, y = y, z = y + 1, (x, y) ∈ D,D : x2 + y2 ≤ 1

S2 : x = cos(θ), y = sen(θ), z = z, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ 1 + sen(θ) = 1 + y

S3 : x = x, y = y.z = 0, (x, y) ∈ D,D : x2 + y2 ≤ 1

Como S = S1 ∪ S2 ∪ S3, entonces

Flujo =

∫ ∫S

~F · ndS =

∫ ∫S1

~F · ndS +

∫ ∫S2

~F · ndS +

∫ ∫S3

~F · ndS

Realizamos cada una de estas integrales por separado:

Primera integral: ∫ ∫S1

~F · ndS =

∫ ∫D

(−F1

∂z

∂x− F2

∂z

∂y+ F3

)dxdy =

Cálculo Integral Multidimensional 175∫ ∫D

[−x(0)− y(1) + y + 1]dxdy =

∫ ∫Ddxdy = A(D) = π

Segunda integral

~rθ × ~rz =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

−sen(θ) cos(θ) 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ = cos(θ)i+ sen(θ)j + 0k

~F (~r(θ, z)) = cos(θ)i+ sen(θ)j + zk∫ ∫S2

~F · ndS =

∫ ∫D

~F (~r(θ, z)) · (~rθ × ~rz)dθdz =

∫ ∫D

(cos2(θ) + sen2(θ) + 0)dθdz

=

∫ ∫Ddθdz =

∫ 2π

0

∫ 1+sen(θ)

0dzdθ =

∫ 2π

0(1 + sen(θ))dθ = θ − cos(θ)|θ=2π

θ=0

= 2π

Tercera integral ∫ ∫S3

~F · ndS = 0

pues ~F = xi+ yj sobre S3 : z = 0 y n = −k por lo tanto ~F · n = 0.Por lo tanto el flujo exterior a S es:

Flujo =

∫ ∫S

~F · ndS = π + 2π + 0 = 3π

Flujos termicos (flujo de calor)

Otra aplicación de las integrales de superficie de campos vectoriales aparecen en el estu-dio de flujo térmico. Si la temperatura en cada punto (x,y,z) de un campo es T(x,y,z),entonces el vector ~Q(x, y, z) = −k∇T (x, y, z) se denomina flujo de energía térmica (ó sim-plemente flujo de calor). La constante k se denomina conductividad térmica de la sustanciay se determina experimentalmente.El flujo térmico por unidad de tiempo que atraviesa lasuperficie s del cuerpo está dado por:∫ ∫

S

~Q · d~S = −k∫ ∫

S∇T · d~S

Ejemplo 3.31. Dada la distribución de temperaturas T (x, y, z) = x2 + y2, calcular el flujode calor a través de un hemisferio superior de radio R


Solución:

Tenemos que ~Q = −k∇T = −k(2xi+ 2yj) = −2k(xi+ yj) luego

Flujo =

∫ ∫S

~Q · d~S = −k∫ ∫

S∇T · d~S = −k

∫ ∫S∇T · ndS

Sobre la semiesfera n = xi+yj+zk√x2+y2+z2

= 1R(xi+ yj + zk) que implica

∇T · n = (2xi+ 2yj) · 1

R(xi+ yj + zk) =

2

R(x2 + y2)⇒

Flujo = −2k

R

∫ ∫S

(x2 + y2)dS = −2k

R· 4πR4

3= −8kπR3

3

(la penultima igualdad ya la habiamos obtenido). Luego el calor atraviesa hacia adentro delhemisferio.

3.5. Teorema de Stokes

El teorema de Stokes relaciona la integral de linea de un campo vectorial a lo largo deuna curva cerrada simple C con una integral de superficie S cuya frontera ó contorno esC. Tnto la curva cerrada simple C como la superficie S se consideran orientadas en sentidopositivo. Recordemos que la orientación positiva de una curva cerrada simple es el sentidoantihorario respecto del vector normal a la superficie: Si pensamos que podemos atraparel vector normal n con la mano derecha, con el pulgar apuntando en la dirección de n, losdemás dedos apuntarán en la dirección positiva de la curva C.

Teorema 3.32. Teorema de Stokes: Sea S una superficie suave a trozos orientada con vectornormal n, limitada por una curva cerrada simple C, suave a trozos y positivamente orien-tada. Sea ~F un campo vectorial cuyas componenetes tienen derivadas parciales continuas.Entonces: ∮

C

~F · d~r =

∫ ∫Srot ~F · d~S =

∫ ∫Srot ~F · ndS

Nota 1:La curva frontera C de S con orientación positiva frecuentemente se denota como ∂S, demodo que el teorema de Stokes puede escribirse como:∮

∂S

~F · d~r =

∫ ∫Srot ~F · d~S


Nota 2:En realidad, el teorema de Stokes es una generalización directa del teorema de Green. Enotras palabras, el teorema de Green es un caso particular del teorema de Stokes cuando lasuperficie S es una región D en el plano xy, como se ilustra en el siguiente dibujo.

En el caso general, la demostración del teorema de Stokes es algo complicada, pero pue-de darse una demostración para el caso particular en el que S es una gráfica de una funciónz=f(x,y).

Teorema 3.33. Teorema de Stokes para gráficas: Sea S una superficie orientada definidapor la función z=f(x,y) con (x, y) ∈ D de clase C2 en D. Sea ~F un campo vectorial de claseC1 definido sobre S. Si ∂S denota la curva frontera de S con orientación positiva, entonces:∫ ∫

S

(∇× ~F

)· ndS =

∮∂S

~F · d~r

Demostración: Sea ~r(x, y) = xi + yj + f(x, y)k, (x, y) ∈ D, una representación vectorialde la superficie s. Sabemos que

~rx × ~ry = −∂z∂xi− ∂z

∂yj + k

Si ~F = F11 + F2j + F3k, entonces

∇× ~F =

(∂F3

∂y− ∂F2

∂z

)i+

(∂F1

∂z− ∂F3

∂x

)j +

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)k

Entonces ∫ ∫S

(∇× ~F

)· ndS =

∫ ∫D∇× ~F (~r(x, y)) · (~rx × ~ry)dxdy

=

∫ ∫D

[−(∂F3

∂y− ∂F2

∂z

)∂z

∂x−(∂F1

∂z− ∂F3

∂x

)∂z

∂y+

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)]dA→ (1)

Por otro lado, sea ~r(t) = x(t)i + y(t)j + f(x(t), y(t))k, a ≤ t ≤ b una parametrización de∂S entonces ~r′(t) = x′(t)i + y′(t)j + z′(t)k. Pero z(t) = f(x(t), y(t)) ⇒ z′(t) = ∂f

∂xx′(t) +

∂f∂y y′(t)⇒ ~r′(t) = x′(t)i+ y′(t)j +

(∂f∂xx

′(t) + ∂f∂y y′(t))k que implica:

∫∂S

~F · d~r =

∫ b

a

[F1x

′(t) + F2y′(t) + F3

(∂f

∂xx′(t) +

∂f

∂yy′(t)

)]dt

=

∫ b

a[F1 + F3

∂f

∂x

]x′(t) +

[F2 + F3

∂f

∂y

]y′(t)dt


=

∫∂D

[F1 + F3

∂z

∂x

]dx+

[F2 + F3

∂z

∂y

]dy

pues ~r(t) = x(t)i+ y(t)j es una pareametrización de ∂D ahora por el teorema de Green

=

∫ ∫D

[∂

∂x

[F2 + F3

∂z

∂y

]− ∂

∂y

[F1 + F3

∂z

∂x

]]dA

por la regla de la cadena:

=

∫ ∫D

∂F2

∂x+∂F2

∂z

∂z

∂x+

(∂F3

∂x+∂F3

∂z

∂z

∂x

)∂z

∂y+ F3

∂2z

∂x∂y

−[∂F1

∂y+∂F1

∂z

∂z

∂y+

(∂F3

∂y+∂F3

∂z

∂z

∂y

)∂z

∂x+ F3

∂2z

∂y∂x

]dA

=

∫ ∫D

[∂F2

∂x− ∂F1

∂y+

(∂F2

∂z− ∂F3

∂y

)∂z

∂x+

(∂F3

∂x− ∂F1

∂z

)∂z

∂y

]dA→ (2)

Las integrales (1) y (2) son identicas, lo cual prueba el teorema.

Ejemplo 3.34. Usar el teorema de Stokes para evaluar∫C −y

3dx+ x3dy − z3dz, donde Ces la curva intersección del cilindro x2 + y2 = 1 y el plano x+ y+ z = 1 tomado con sentidoantihorario.

Solución:La curva intersección C acota la superficie z = 1−x−y con (x, y) ∈ D donde D : x2 +y2 ≤ 1

y ~F (x, y, z) = −y3i+ x3j − z3k, calculemos ahora:

∇× ~F =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

−y3 x3 −z3

∣∣∣∣∣∣∣ = 0i+ 0j + 3(x2 + y2)k = F1i+ F2j + F3k

Por el teorema de Stokes∮C

~F · d~r =

∫ ∫S

(∇× ~F

)· ndS =

∫ ∫D

(−F1

∂z

∂x− F2

∂z

∂y+ F3

)dxdy

3

∫ ∫D

(x2 + y2)dxdy = 3

∫ 2π

0

∫ 1

0r2 · rdrdθ = 3

∫ 2π

0dθ

∫ 1

0r3dr

= 3 · 2π · 1

4=

3π

2Para evaluar directamente la integral podemos parametrizar ∂D por x = cos(t), y = sen(t), z =

0, 0 ≤ t ≤ 2π. Por tanto C = ∂S se puede parametrizar por x = cos(t), y = sen(t), z =

1− sen(t)− cos(t), 0 ≤ t ≤ 2π. Así que:∫C−y3dx+ x3dy − z3dz =


∫ 2π

0[(−sen3(t))(−sen(t)) + (cos3(t))(cos(t))− (−sen(t)− cos(t))3(−cos(t) + sen(t))]dt

=

∫ 2π

0(sen4(t) + cos4(t))dt−

∫ 2π

0(1− sen(t)− cos(t))(−cos(t) + sen(t))dt =

∫ 2π

0

[(1

2− 1

2cos(2t)

)2

+

(1

2+

1

2cos(2t)

)2]dt+

(1− sen(t)− cos(t))4

4|t=2πt=0

=

∫ 2π

0

(1

2+

1

2cos2(2t)

)dt+ 0 =

∫ 2π

0

[1

2+

1

2

(1

2+

1

2cos(4t)

)]dt∫ 2π

0

(3

4+

1

4cos(4t)

)dt =

3t

4+

1

16sen(4t)|t=2π

t=0 =3π

2

Evidentemente el cálculo directo de la integral de linea resultó ser más laborioso que laintegral de superficie.

Ejemplo 3.35. Utilizar el teorema de Stokes para calcular la integral∫ ∫

S ∇× ~F ·d~S, donde~F (x, y, z) = yzi+ xzj + xyk y S es la parte de la esféra x2 + y2 + z2 = 4 que se encuentradentro del cilindro x2 + y2 = 1 y arriba del plano xy

Solución:La frontera ∂S es la intersección de la semiesfera superior con el cilindro o sea x2 + y2 +

z2 = 4, x2 + y2 = 1 ⇒ 1 + z2 = 4, z ≥ 0 ⇒ z =√

3. Por lo tanto la frontera ∂S esx2 + y2 = 1, z =

√3 entonces una parametrización es ~r(t) = cos(t)i + sen(t)j +

√3k, 0 ≤

t ≤ 2π ⇒ ~r′(t) = −sen(t)i+ cos(t)j+0k y ~F (~r(t)) =√

3sen(t)i+√

3cos(t)j+sen(t)cos(t)k

por lo tanto: ∫ ∫S∇× ~F · d~S =

∮∂S

~F · d~r =

∫ 2π

0

~F (~r(t)) · ~r′(t)dt∫ 2π

0(−√

3sen2(t) +√

3cos2(t))dt =√

3

∫ 2π

0(cos2(t)− sen2(t)dt =

√3

∫ 2π

0

[(1

2− 1

2cos(2t)

)−(

1

2− 1

2cos(2t)

)]dt =

√3

∫ 2π

0cos(2t)dt

√3 · 1

2sen(2t)|t=2π

t=0 = 0

En este caso, evaluar directamente la integral∫ ∫

S ∇× ~F ·d~S es más fácil porqué ∇× ~F = ~0

puesto que ~F (x, y, z) = yzi+xzj+xyk es un campo gradiente ~F = ∇f , con f(x, y, z) = xyz

Ejemplo 3.36. (Problema 1 sección 8.2 Marsden) Verificar el teorema de Stokes para elcampo vectorial ~F (x, y, z) = yi − xj + zx3y2k sobre la superficie x2 + y2 + 3z2 = 1, z ≤ 0.Hacer que la normal apunte hacia arriba.


Solución:El teorema de Stokes establece que:∫ ∫

S∇× ~F · ndS =

∮∂S

~F · d~r

Se nos pide la normal apuntando hacia arriba (normal interior al elipsoide). Una posibleparametrización para S con esta orientación es la dada por coordenadas cilíndricas: x =

cos(θ)sen(φ), y = sen(θ)sen(φ), z = 1√3cos(φ) con 0 ≤ θ ≤ 2π, π2 ≤ φ ≤ π es decir ~(θ, φ) =

cos(θ)sen(φ)i+ sen(θ)sen(φ)j + 1√3cos(φ)k entonces

~rθ × ~rφ =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

−sen(θ)sen(φ) cos(θ)sen(φ) 0

cos(θ)cos(φ) sen(θ)cos(φ) − 1√3sen(φ)

∣∣∣∣∣∣∣ =

− 1√3cos(θ)sen2(φ)i+

1√3sen(θ)sen2(φ)j − sen(φ)cos(φ)k

∇× ~F =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

y −x x3y2z

∣∣∣∣∣∣∣ = 2x3yzi− 3x2y2zj − 2k

∇× ~F (~r(θ, φ)) = 2cos3(θ)sen3(φ) · sen(θ)sen(φ) · 1√3cos(φ)i− 3cos2(θ)sen2(φ) · sen2(θ)

sen2(φ) · 1√3cos(φ)j − 2k

=2√3sen(θ)cos3(θ)sen4(φ)cos(φ)i− 3√

3sen2(θ)cos2(θ)sen4(φ)cos(φ)j − 2k

∫ ∫S∇× ~F · d~S =

∫ ∫D∇× ~F (~r(θ, φ)) · (~rθ × ~rφ)dθdφ

=

∫ 2π

0

∫ π

π/2−2

3sen(θ)cos4(θ)sen6(φ)cos(φ) + sen3(θ)cos2(θ)sen6(φ)cos(φ)+

2sen(φ)cos(φ)dφdθ =2

3cos5(θ)|θ=2π

θ=0 ·sen7(φ)

7|φ=πφ=π/2 +

(cos3(θ)

3− cos5(θ)

5

)θ=2π

θ=0

·

sen7(φ)

7|φ=πφ=π/2 + 2 · 2π · sen

2(φ)

2|φ=πφ=π/2 = −2π

Por lo tanto ∫ ∫S∇× ~F · d~S = −2π


cuando la normal apunta hacia arriba.

Utilizando el teorema de Stokes, esta integral puede realizarse mediante la integral de li-nea

∮∂S

~F · d~r, donde la frontera de S, ∂S es la circunferencia unitaria. Por la regla de lamano derecha el sentido debe tomarse en sentido antihorario, y una parametrización coneste sentido es: x = cos(t), y = sen(t), z = 0, 0 ≤ t ≤ 2π ó bien ~r(t) = cos(t)i + sen(t)j,~F (~r(t)) = sen(t)i− cos(t)j y ~r′(t) = −sen(t)i+ cos(t)j que implica:∮

∂S

~F · d~r =

∫ 2π

0

~F (~r(t)) · ~r′(t)dt =

∫ 2π

0(−sen2(t)− cos2(t))dt = −2π

Por lo tanto ∫ ∫S∇× ~F · d~S =

∮∂S

~F · d~r = −2π

Nota: La integral de superficie del rotacional∫ ∫

S ∇ × ~F · d~S también puede realizarse to-

mando la superficie S como la grafica de z = −√

1−x2−y23 con (x, y) ∈ D, donde D es el

círculo unitario x2 + y2 ≤ 1.

Con la parametrización ~r(x, y) = xi + yj −√

1−x2−y23 k, (x, y) ∈ D, la normal exterior

viene dada por el producto vectorial fundamental:

~rx × ~ry = −∂z∂xi− ∂z

∂yj + k

− x√3(1− x2 − y2)

i− y√3(1− x2 − y2)

j + k

la cual evidentemente apunta hacia arriba, pues la tercera componente es positiva. Estoimplica ∫ ∫

S∇× ~F · d~S =

∫ ∫D∇× ~F (~r(x, y)) · (~rx × ~ry)dxdy

=

∫ ∫D

[−2x3y

√1− x2 − y2

3i+ 3x2y2

√1− x2 − y2

3j − 2k

]·

[− x√

3(1− x2 − y2)i− y√

3(1− x2 − y2)j + k

]dxdy =

∫ ∫D

(2

3x4y − x2y3 − 2

)dxdy. En coordenadas polares tenemos

=

∫ 2π

0

∫ 1

0

(2

3r4cos4(θ)rsen(θ)− r2cos2(θ)r3sen3(θ)− 2

)rdrdθ =


∫ 2π

0

∫ 1

0

(2

3r6cos4(θ)sen(θ)− r6cos2(θ)sen3(θ)− 2r

)rdrdθ =

pero (1− cos2(θ))sen(θ) = sen3(θ)

−[cos5(θ)

5

]θ=2π

θ=0

·[

2r7

21

]r=1

r=0

+

(cos3(θ)

3− cos5(θ)

5

)θ=2π

θ=0

·[r7

7

]r=1

r=0

−2π · r2|r=1r=0 = −2π

3.6. Teorema de la Divergencia de Gauss

Una de las formas del teorema de Green para un campo vectorial bidimensional estableceque: ∫ ∫

D∇ · ~FdA =

∮∂D

~F · ndS

donde D es una región plana simple y ∂D su contorno.Al extender este teorema a campos vectoriales sobre la región sólida Ω con forntera lasuperficie S = ∂Ω, obtenemos∫ ∫ ∫

Ω∇ · ~FdV =

∫ ∫S

~F · ndS

Esta igualdad afirma que el flujo de un campo vectorial fuera de una superficie cerrada esigual a la integral de la divergencia de ese campo vectorial sobre el campo acotado por lasuperficie. Esta relación es similar al teorema de Green y al teorema de Stokes en cuanto aque relaciona la integral de la derivada de una campo vectorial ~F (∇ · ~F en este caso) sobreuna región, con la integral del campo vectorial sobre la frontera de la región. A continuaciónestablecemos formalmente el:

Teorema 3.37. Teorema de la divergencia: Sea Ω una región sólida simple (del tipo IV) ysea S = ∂Ω la superficie frontera dada con orientación positiva (n apunta hacia el exteriorde ∂Ω). Sea ~F un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parcialescontinuas sobre una región abierta que contiene a Ω. Entonces:∫ ∫ ∫

Ω∇ · ~FdV =

∫ ∫S

~F · d~S

Demostración: Sea ~F (x, y, z) = P (x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k, ∇· ~F = ∂P∂x + ∂Q

∂y + ∂R∂z

y ~F · n = P i · n+Qj · n+Rk · n, entonces debemos demostrar que∫ ∫ ∫Ω

(∂P

∂x+∂Q

∂y+∂R

∂z

)dV =

∫ ∫∂Ω

(P i · n+Qj · n+Rk · n)dS


Basta verificar que∫ ∫ ∫Ω

∂P

∂xdV =

∫ ∫∂ΩP i · ndS,

∫ ∫ ∫Ω

∂Q

∂ydV =

∫ ∫∂ΩQj · ndS∫ ∫ ∫

Ω

∂R

∂zdV =

∫ ∫∂ΩRk · ndS

Solo verificaremos la seguna igualdad, las otras dos son similares. Como Ω es del tipo IV,en particular es del tipo tres

Ω = (x, y, z) : (x, z) ∈ D ∧ f1(x, z) ≤ y ≤ f2(x, z)

donde D es una región elemental en el plano xz.

Debemos verificar que: ∫ ∫ ∫Ω

∂Q

∂ydV =

∫ ∫∂ΩQj · ndS

Pero ∫ ∫ ∫Ω

∂Q

∂ydV =

∫ ∫D

(∫ f2(x,z) ∂Q∂ydy

f1(x,z)

)dxdz

es decir ∫ ∫ ∫Ω

∂Q

∂ydV =

∫ ∫D

[Q(x, f2(x, z), z)−Q(x, f1(x, z), z)]dxdz → (1)

Por otro lado,∫ ∫∂ΩQj · ndS =

6∑i=1

∫ ∫Si

Qj · nidS =

∫ ∫S1

Qj · n1dS +

∫ ∫S2

Qj · n2dS

dado que le vector j es perpendicular a las otras caras de Ω. La superficie S1 se puedeparametrizar por ~r1(x, z) = xi+ f1(x, z)j + zk con (x, z) ∈ D luego

~rx = i+∂f1

∂xj + 0k

~rz = 0i+∂f1

∂zj + k

~rx × ~rz =∂f1

∂xi− j +

∂f1

∂zk

Por lo tanto

n1 =∂f1∂x i− j + ∂f1

∂z k√1 +

(∂f1∂x

)2+(∂f1∂z

)2


Análogamente, S2 puede parametrizarse por ~r2(x, z) = xi + f2(x, z)j + zk con (x, z) ∈ Dluego

~rx = i+∂f2

∂xj + 0k

~rz = 0i+∂f2

∂zj + k

~rx × ~rz =∂f2

∂xi− j +

∂f2

∂zk

y como en esta cara el vector normal n2 debe apuntar hacia la derecha, entonces

n2 =−∂f2

∂x i+ j − ∂f2∂z k√

1 +(∂f2∂x

)2+(∂f2∂z

)2

Así que:∫ ∫S1

Qj · n1dS =

∫ ∫DQj · n1‖~rx × ~rz‖dxdz = −

∫ ∫DQ(x, f1(x, z), z)dxdz

∫ ∫S2

Qj · n2dS =

∫ ∫DQj · n2‖~rx × ~rz‖dxdz =

∫ ∫DQ(x, f2(x, z), z)dxdz

Por lo tanto∫ ∫∂ΩQj · n =

∫ ∫D

[Q(x, f2(x, z), z)−Q(x, f1(x, z), z)]dxdz → (2)

Comparando los resultados (1) y (2) obtenemos∫ ∫ ∫Ω

∂Q

∂ydV =

∫ ∫∂ΩQj · ndS


S~F ·ndS, donde ~F (x, y, z) = 3xy2i+3x2yj+z3k, y S la superficie

de la esféra unitaria, y n la normal exterior unitaria.

Solución:

Utilizando el teorema de la divergencia obtenemos∫ ∫S

~F · ndS =

∫ ∫ ∫Ω∇ · ~FdV =

∫ ∫ ∫Ω

[∂

∂x(3xy2) +

∂

∂y(3x2y) +

∂

∂z(z3)

]dV

donde Ω es la bola unitaria sólida

=

∫ ∫ ∫Ω

(3y2 + 3x2 + 3z2)dxdydz = 3

∫ 2π

0

∫ π

0

∫ 1

0ρ2 · ρ2sen(φ)dρdφdθ


transformando en coordenadas esféricas. Luego

= 3

∫ 2π

0dθ

∫ π

0sen(φ)dφ

∫ 1

0ρ4dρ = 3 · 2π(−cos(φ))φ=π

φ=0 · (ρ5/5)ρ=1

ρ=0

= 3 · 2π · 2 · 1

5=

12π

5

Evaluar la integral de superficie directamente requiere de un mayor esfuerzo. El lector puedeconvencerse de lo anterior intentando realizar la integral de superficie.


∂W~F · ndS, donde ~F (x, y, z) = xi + yj − zk y W es el cubo

unitario en el primer octante, directamente y utilizando el teorema de la divergencia.

Solución:∫ ∫∂W

~F · ndS es claramente la suma de las integrales de superficie en cada cara del cubo.Llamamos a las caras E y O (este y oeste), N y S (norte y sur), F y P (frontal y posterior),entonces:En la cara E: ~F · n = ~F · j = y = 1 sobre esta cara

⇒∫ ∫

E

~F · ndS =

∫ ∫E

1 · dxdz = A(E) = 1

En la cara O: ~F · n = ~F · (−j) = −y = 0 sobre esta cara

⇒∫ ∫

O

~F · ndS = 0

En la cara N: ~F · n = ~F · (k) = −z = −1 sobre esta cara

⇒∫ ∫

N

~F · ndS =

∫ ∫N

(−1) · dxdz = −A(N) = −1

En la cara S: ~F · n = ~F · (−k) = z = 0 sobre esta cara

⇒∫ ∫

S

~F · ndS = 0

En la cara F: ~F · n = ~F · i = x = 1 sobre esta cara

⇒∫ ∫

F

~F · ndS =

∫ ∫Sdxdz = A(F ) = 1

En la cara P: ~F · n = ~F · (−i) = −x = 0 sobre esta cara

⇒∫ ∫

P

~F · ndS = 0


Por lo tanto:∫ ∫∂W

~F · ndS =

∫ ∫E

~F · ndS +

∫ ∫O

~F · ndS +

∫ ∫N

~F · ndS +

∫ ∫S

~F · ndS+

∫ ∫F~F · ndS +

∫ ∫P~F · ndS = 1 + 0 + (−1) + 0 + 1 + 0 = 2− 1 = 1.

Por otro lado, utilizando el teorema de la divergencia∫ ∫∂W

~F · ndS =

∫ ∫ ∫W∇ · ~FdV =

∫ ∫ ∫W

[∂

∂x(x) +

∂

∂y(y) +

∂

∂z(−z)

]dV

=

∫ ∫ ∫W

(1 + 1− 1)dV = vol(W ) = 1

mucho más facil!.

Ejemplo 3.40. Utilizar el teorema de la divergencia para evaluar∫ ∫

∂Ω(x2 + y + z2)dS

donde Ω es la bola sólida unitaria.

Solución:

Para poder utilizar el teorema de la divergencia, debemos construir un campo vectorial~F = P i + Qj + Rk tal que ~F · n = x2 + y + z2, con n = ~r

r = xi + yj + zk (r=1) donde(x, y, z) ∈ ∂Ω = S. Es decir ~F ·n = (P i+Qj+Rk)·(xi+yj+zk) = Px+Qy+Rz = x2+y+z2.Podemos tomar P=x, Q=y, R=z, es decir ~F (x, y, z) = xi+ j + zk, por lo tanto:∫ ∫

∂Ω(x2 + y + z2)dS =

∫ ∫∂Ω

~F · ndS =

∫ ∫ ∫Ω∇ · ~FdV =

∫ ∫ ∫Ω

(1 + 0 + 1)dV

= 2

∫ ∫ ∫ΩdV = 2vol(Ω) = 2

4π

3=

8π

3

Significado fisico de la divergencia.

El teorema de la divergencia nos permite dar una interpretación física de la divergenciamediante un proceso límite: Supongase que P es un punto en R3 y que ~F es un campovectorial de clase C1. Construimos la bola solida Ωε con centro en P y radio ε > 0. Por elteorema de la divergencia∫ ∫ ∫

Ωε

∇ · ~FdV =

∫ ∫∂Ωε

~F · ndS → (1)

Por el teorema del valor medio para integrales triples, existe un punto Q en el sólido Ωε talque ∫ ∫ ∫

Ωε

∇ · ~FdV = ∇ · ~F (Q)vol(Ωε)→ (2)


Luego igualando (1) y (2) y despejando ∇ · ~F (Q) se obtiene

∇ · ~F (Q) =1

vol(Ωε)

∫ ∫∂Ωε

~F · ndS

Si tomamos regiones Ωε cada vez más pequeñas es decir cuando ε→ 0, entonces Q→ P , y

∇ · ~F (P ) = lımε→0

1

vol(Ωε)

∫ ∫∂Ωε

~F · ndS

que es la razón ó tasa de flujo neto que sale por P en la unidad de volumen.El punto P se clasifica como fuente, sumidero ó incompresible sobre el campo vectorial ~Fde acuerdo a las siguientes definiciones:

1.Fuente si ∇ · ~F (P ) > 0

2.Sumidero si ∇ · ~F (P ) < 0

3.Incompresible si ∇ · ~F (P ) = 0

Una campo vectorial ~F de clase C1 en R3 se llama solenoidal ó sin divergencia si ∇ · ~F = 0.Por el teorema de la divergencia tenemos que ∇ · ~F = 0 ⇔

∫ ∫S~F · d~S = 0 para todas las

superficies cerradas S. Por ejemplo, si ~F es el campo de velocidades de un fluido y div ~F = 0,entonces la cantidad neta de fluido que fluye hacia afuera de cualquier región cerrada serácero. Es decir, el fluido que entra a la región es igual a la cantidad que sale en la unidad detiempo. Un fluido con esta propiedad se denomina incompresible.

Para campos solenoidales, tenemos la denominada ley de conservación de un tubo de flujo:

∇ · ~F = 0⇒ 0 =

∫ ∫ ∫Ω∇ · ~FdV =

∫ ∫∂Ω

~F · d~S =

∫ ∫S1

~F · n1dS +

∫ ∫S2

~F · n2dS +

∫ ∫S3

~F · n3dS

Tenemos que n3 ⊥ ~F y como se considera la normal externa, entonces ~F · n1 ≤ 0 y ~F · n2 ≥ 0.Por lo tanto: ∫ ∫

S1

~F · d~S =

∫ ∫S2

~F · d~S

Aún cuando hemos considerado el teorema de la divergencia para regiones sólidas simples,este puede demostrarse también para regiones que son la unión de una cantidad finita de


regiones sólidas simples. Por ejemplo, si consideramos la región Ω que se encuentra encerradaentre dos superficies cerradas S1 y S2, donde S1 está en el interior de S2. Sean n1 y n2 lasnormales exteriores unitarias a cada superficie S1 y S2, respectivamente y S = S1 ∪ S2,entonces ∫ ∫ ∫

Ω∇ · ~FdV =

∫ ∫S

~F · d~S =

∫ ∫S1

~F · d~S +

∫ ∫S2

~F · d~S

=

∫ ∫S1

~F · (−n1)dS +

∫ ∫S2

~F · (n2)dS

Por lo tanto: ∫ ∫ ∫Ω∇ · ~FdV =

∫ ∫S2

~F · (n2)dS −∫ ∫

S1

~F · (n1)dS

Si div ~F = 0, entonces concluimos que∫ ∫S2

~F · (n2)dS =

∫ ∫S1

~F · (n1)dS

es decir el flujo que atraviesa la superficie S1 es el mismo que el que atraviesa la superficieS2 cuando el campo vectorial es solenoidal.

Ejemplo 3.41. (Campo eléctrico generado por una carga puntual en el origen)

~E(x, y, z) =1

4π

Q

r3~r =

1

4π

Q(xi+ yj + zk)

(x2 + y2 + z2)3/2

∇ · ~E = ∇ ·(

1

4π

Q

r3~r

)=

Q

4π

[∇(r−3 · ~r +∇ · ~r 1

r3)

]=

Q

4π

[−3r−5~r · ~r + 3r−3

]=

Q

4π

[−3r−3 + 3r−3

]= 0

Es decir el campo eléctrico es solenoidal, excepto en (0,0,0)

La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada esigual a la carga neta contenida dentro del cuerpo determinado por la superficie. En la pagina27, encontramos que si S1 es la esféra de radio a > 0 con centro en el origen (S1 contiene lacarga Q) entonces ∫ ∫

S1

~E · n1dS = Q

Luego, si S2 es cualquier otra superficie que encierra a S1, debemos tener∫ ∫S2

~E · n2dS =

∫ ∫S1

~E · n1dS = Q


dado que en la región entre S1 y S2 no contiene (0,0,0) y ahí el campo eléctrico es solenoidal.

Interpretación física del rotacional.

Queremos utilizar el teorema de Stokes para obtener una interpretación física del rota-cional. Sabemos que para el campo vectorial ~F definido sobre la superficie S y con derivadasparciales continuas se tiene ∫ ∫

S∇× ~F · d~S =

∮∂S

~F · d~r

Anteriormente habiamos interpretado fśicamente la integral de linea∮∂S

~F · d~r como la çir-culación del campo vectorial ~F sobre la curva cerrada ∂S". Concretamente cuando

1. ~F representa una fuerza,∮∂S

~F · d~r representa el trabajo realizado por ~F sobre unaparticula en movimiento a lo largo de ∂S.

2. ~F = ~V representa un campo de velocidades,∮∂S~V · d~r es la circulación neta del flui-

do sobre la trayectoria ∂S. La integral es la de la componente tangencial de ~V sobre ∂S.

3. ~F = ~E representa un campo eléctrico,∮∂S~V · d~r representa la circulación del campo

eléctrico sobre la trayectoria ∂S, y fluirá corriente alrrededor de la trayectoria cerrada si laintegral de linea es distinta de cero.

Por el teorema de Stokes un campo vectorial ~F no tiene circulación sobre las trayecto-rias cerradas si ∇× ~F = ~0. Estos campos vectoriales irrotacionales son los campos gradienteó conservativos.Ahora bién, para interpretar ∇ × ~F (P ), donde P es un punto del espacio, consideremos eldisco Sε con centro en P y radio ε > 0 con orientación dada por n. Entonces por el teoremade Stokes ∫ ∫

Sε

∇× ~F · d~S =

∮∂Sε

~F · d~r → (1)

Por el teorema del valor medio para integrales de superficie, hay un punto Q en la superficieSε tal que ∫ ∫

Sε

∇× ~F · ndS =(∇× ~F (Q) · n

)A(Sε)→ (2)


Comparando las igualdades (1) y (2), obtenemos

∇× ~F (Q) · n(Q) =1

A(Sε)

∮∂Sε

~F · d~r

Cuando el radio del disco Sε tiende a cero (ε→ 0) Q→ P , y entonces obtenemos

∇× ~F (P ) · n(P ) = lımε→0

1

A(Sε)

∮∂Sε

~F · d~r

Por lo tanto, ∇× ~F · n representa la circulación de ~F por unidad de área en una superficieperpendicular a n. Es decir, ∇ × ~F · n representa el efecto de rotación debido a ~F en elpunto P. La magnitud de ∇× ~F · n es máxima cuando n = ∇×~F

‖∇×~F‖, es decir cuando el vector

normal n apunta en la misma dirección del rotacional.Si ~F = ~V es un campo de velocidades, sea ν= valor medio de las proyecciones de ~v sobre∂Sε

ν =1

l(∂Sε)

∮∂Sε

~v · d~r =1

2πε

∫ ∫Sε

∇× ~v · ndS

⇒ ωε =1

2πεA(Sε)∇× ~v(Q) · n(Q)

ωε =1

2πεπε2∇× ~v(Q) · n(Q)

⇒ ω(P ) =1

2∇× ~v(Q) · n(Q)

cuando ε→ 0, Q→ P y, entonces

ω(P ) =1

2∇× ~v(P ) · n(P )

ω(P ) =1

2‖∇ × ~v(P )‖

si n(P ) = ∇×~F (P )

‖∇×~F (P )‖.

Por lo tanto ∇× ~v caracteriza la componente rotacional del campo de velocidades.

Bibliografía

191

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