RADICALIClasse II

a.s. 2010/2011

Prof.ssa Rita Schettino

N. B. ℜ+ indica l’insieme dei numeri reali non negativi, ossia positivi o nulli.

RADICALI

AritmeticiIn ℜ+

AlgebriciIn ℜ

2

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

RADICALI ARITMETICI DEFINIZIONE� Considerato a ≥ 0 e n ∈ N0, si definisce

Radice n- ma di a il numero reale b ≥ 0

tale che bn = aossia è quel numero reale, non negativo, che elevato ad n dà come risultato a.

In simboli abab nn =⇔=

3

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

Di conseguenza

avendo sostituito al posto di b il suo simbolo.

Si noti che sotto il segno di radice c’è un termine positivo o tutt’al più nullo.

( ) aan

n =

4

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

nIndice del

radicale

Segno di radice

Radicando o

argomento del

radicale

Radicale

Il radicando è positivo o nullo: a ≥≥≥≥ 0

Linguaggio specifico

5

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

• Proprietà 1 :

• Proprietà 2: proprietà invariantiva

Ossia il valore di un radicale non cambia se si moltiplicano o dividono l’indice e l’esponente del radicando per uno stesso numero intero positivo

aan n =

np mpn m aa =

6

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

APPLICAZIONE 1: SEMPLIFICAZIONE DI UN RADICALEPremessa: Il radicando di un radicale aritmetico è da intendersi come prodotto

di fattori positivi o nulli

Es.

( ) ( )2per esponenti ed indice diviso avendo

222

:risulta quindi one,scomposizi della regole le secondo

fattoriin scomposto prima varadicale questo di radicando il 44

3per esponenti ed indice diviso avendo 28

2per esponenti ed indice tomoltiplica avendo 22

4per esponente ed indice tomoltiplica avendo

2per esponenti ed indice tomoltiplica avendo 42

3

2

462

22

463

22

463

35

2

63

36

6 2423 2

4 82

6 643 32

2 2

ab

a

ba

a

ba

aa

ba

aaa

x

ba

x

ba

nbaba

aa

baba

n nnnn n

nn

+=

+=

+

++

=

=

=

=

7

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

( )

( )

( ) ( ) ? 1 oppure 1

risposta? la è Qual

12 indice di altroun in dato radicale il to trasforma vaqui anche ?1

? oppure

risposta? la allora è Qual 3.per tomoltiplica va

radicando del esponentel' anche Dunque 3.per tomoltiplica stato è

dato radicale del 2 indicel' che significa Quindi 6. indice di

radicale altroun in quadratico radicale il re trasformabisogna ?

12 412812 4128

123 32

6 36 33

6

++

=+

++

=+

yyxyyx

yyx

baba

ba

In questo tipo di esercizi, si divide il nuovo indice per il vecchio e si moltiplica il

risultato per l’esponente di ciascun fattore del radicando.

ATTENZIONE! I radicandi devono essere sempre scomposti in fattori primi e si

lavora sugli esponenti dei fattori.8

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

APPLICAZIONE 2: RIDUZIONE DI PIÙRADICALI ALLO STESSO INDICE

Dati più radicali di diverso indice, li si trasforma in altri, applicando la

proprietà invariantiva, aventi lo stesso indice, calcolando il m.c.m. dei

singoli indici. Es.

( )

( )

( ) ( )8 4228 28

2248

12 612 912 4

4 33

:diventano menterispettiva radicali trei cui da 82,4,8...

, ,

,

in menterispettiva no trasformasi dati radicali trei quindi 122,4,3...

, ,

yxyxyx

mcm

yxyxyx

aaa

mcm

aaa

+−+

=

+−+

=

9

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

PRODOTTO E RAPPORTO TRA RADICALI�Regola del prodotto

�Regola del rapporto

� Come si vede, si moltiplicano o dividono radicali con lo stesso indice, portando tutto sotto un unico segno di radice, con il medesimo indice, e poi si moltiplicano o dividono i radicandi.

� Se i radicali non hanno lo stesso indice, prima bisogna ridurli allo stesso indice e poi effettuare l’operazione richiesta.

� N.B. Al termine dell’operazione, bisogna sempre semplificare il radicale, se possibile.

n pmn pn m baba ⋅=⋅

np

m

n p

n mn pmn pn m

b

a

b

ababa == anche o ::

10

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

Es.

2

23232

148

128 )2

)1

10 51010

25

25

105

102

2

10 23

510 23

12 13

12 312 412 6

43

=

====

=⋅⋅=

=⋅⋅

=

=⋅⋅=

=⋅⋅

yx

yx

xy

xyx

xy

xyx

x

xxx

xxx

11

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

TRASPORTO DI UN FATTORE SOTTO IL SEGNO DI RADICE

�Regola: dati a, b ≥ 0 si ha

Vale a dire: un fattore a ≥ 0, moltiplicato per un radicale, può essere trasportato sotto il segno di radice purché lo si elevi all’indice del radicale

Es.

n nn baba =

42

44

2

44

4

44

2

5 220115 220105 242

33

3

3

25

125

5

25

5

222

2162

116

2

1

ab

a

a

b

b

a

a

b

cbaacbaacba

=⋅=

=⋅=

=⋅

=

12

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

� E se non siamo sicuri del segno non negativo del fattore esterno, come si procede?

� Evidentemente discutendo i casi: vediamo degli esempi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) 4 324

24

24

2

2

2

:risulta cuiper negativo, è esterno fattore il quindi 0, che dire fa ci

numeratore al segno del presenza la,0 esicurament Essendo )2

radice di segno

del fuori rimasto negativo segno il noti Si 23 - ha si 3)2 (ossia 03 se

23 ha si )3 ossia( 03 se

: Quindi .3 di segno il discutere bisogna ma

radicale del radicando è già perchè 2) (ossia 02 riteniamo esercizio questoin 23 )1

xax

ax

x

ax

ax

xxx x

xx-xx

x

xxxx

−−=

−⋅−−

<

−≥−

−−<<<−

−>≥−

−

>>−−−

13

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

( )

( )( )

( )( )

xx

x

x

xx

xx

x

x

xx

x

xx

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

yxy

yxy

y

xxyyx

−=−

⋅−

−<−

=−

⋅−

>−

−

>−

−=

−+−

−+

−

−<

≥

>

2

2

2

2

2

2

22

2

45

45

22

2

2 ha si 02 se

2

2 ha si 02 se

2su discutere bisogna quindi

radicando del redenominato è perchè 0 eSicurament 2

2

44

2

radicando eespressionl' iamosemplifich toinnanzitut 44

2 )4

9 ha si 0 se

9 ha si 0 se

ediscussion la fatta vaper mentre

radice di segno il sotto è perchè 0 eSicurament 3 )3

DOMANDA: Perché nell’esercizio 4 non è stato posto x-2 ≥ 0 ma solo

x-2 >0?

14

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

TRASPORTO DI UN FATTORE FUORI DEL SEGNO DI RADICE

� Ricordiamo:� Dati m e n ∈ N0, con m>n, detti q e r il quoziente e il resto della divisione di m per n, si ha m = nq+r

� Prodotto di potenze con la stessa baseam*an=am+n

15

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

TRASPORTO DI UN FATTORE FUORI DEL SEGNO DI RADICE

� Fermo restando che si possono trasportare fuori del segno di

radice solo fattori non negativi, diamo la regola:

Vale a dire: - si possono trasportare solo fattori con esponenti ≥

dell’indice

- si divide l’esponente per l’indice, il quoziente

diventa esponente del fattore fuori dal segno di

radice e il resto diventa esponente del fattore

sotto il segno di radice

n rqn rn qnn rnqn rnqn m aaaaaaaa =⋅=⋅== +

16

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

es.

( ) ( )

( )

( )

( ) abbaba

aba-bba

ba

baabbabaab

abbaba

abababa

xyxyxyx

−−<−

≥−

−

−=+−

+−

==

≥==

ha si 0 se

ha si 0 se

:ediscussion una fatta vacuiper segno, il conosciamonon però cui di

è radice di segno del fuori rsi trasportapuò che fattore unicol'

2

primi fattoriin scomposto varadicando il toinnanzitut

2

1) resto e 2 quoziente ha 3:7( 228

2) esponente hanno e 3 fattori i solo (infatti 339

222

3223

3 223 2733 27

2424

17

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

POTENZE E RADICI DI UN RADICALE

�Regola dell’elevamento a potenza di un radicale (ferme restando le condizioni di un radicale aritmetico)

�Regola dell’estrazione di radice di un radicale (nota come sopra)

( ) n mpp

n m aa =

pn mp n m aa = 18

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

Osservazioni (regole pratiche)

�Dalla prima regola si deduce che per elevare a potenza p un radicale basta elevare a potenza il suo radicando, vale a dire moltiplicare per pl’esponente di ciascun fattore del radicando.

�Dalla seconda regola si deduce che per estrarre la radice di indice p di un radicale di indice n, basta porre un unico segno di radice con nuovo indice dato dal prodotto degli indici, rimanendo uguale il radicando.

19

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

I seguenti esempi presentano le applicazioni di tutte le regole espresse fin qui.

( )2,3)m.c.m.(6,1 12 indice stesso allo radicali i portando divisione la oeffettuiam ::

0) essere deve che noti (si

radicando 1 del numeratore il fattoriin oscomponiam ::2

0) essere deve che noti (si

radicandi dei iespression le iamosemplifich toinnanzitut :11

:2 )1

4

31222

6

2

4

31222

6

22

4

31222

6

22

==

−=

>

°=

−−+=

>

=

−−

+

abba

ba

ab

a-b

a-b

abba

ba

ab

abba

ab

abbaabab

ba

20

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

( )( )

( ) a

4

1244

3

4

1244

22

22

4

4 alla radicando il elevando potenza a elevamentol' oeffettuiam

zionisemplifica le oeffettuiam 1

=

−=

=

⋅

−⋅

−=

ba

ba

baba

ba

ba

ba

( )

( )

3

344

3

121616

12

1

3 indicedell' esponenti hanno perchè

e , fattori i radice di segno dal fuori portarsi possono radicale questoin

4per esponenti ed indice dividendo resemplifica può si radicale questo

abab

a-b

b aa-bba

ba

ba

ba

=

≥

=−

=

=−

=

21

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )12 4

622

36

3

2

2

3 2

11

indici gli ndomoltiplica radice, di estrazionel'

e radicando nel zionisemplifica le neamentecontempora oeffettuiam 11

11

frazione della redenominato

e numeratore al radicali i trarapporto il oeffettuiam 11

11

1 binomio il fattoriin oscomponiam e

radice di segno il sotto 01 fattore il amo trasportitoinnanzitut 1

11 )2

+−=

=−+

+=

=−+

+⋅−=

−

>=−

+−

pp

pp

pp-

pp

pp

p

p-p

pp

22

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

SOMMA ALGEBRICA DI RADICALI

� Regola: Si possono sommare algebricamente solo i radicali simili, vale a dire solo i radicali che hanno stesso indice e stesso radicando. I radicali simili possono differire per il coefficiente che li precede.

� Regola: I radicali simili si sommano sommando algebricamente i loro coefficienti. Se tali coefficienti sono letterali, si mette in evidenza il radicale simile che è comune.

Es.

23

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

( ) ( )

( ) ( ) xbaxbabaxbxabxa

xabxabaxaxbxa

22222

33333

22

1212212121

53

15

3

2435

3

25453

−=+−=+−

+−=+−+=+−+++

−=

+−=+−

� Non sempre i radicali da sommare appaiono simili, in tal caso bisogna applicare le regole del trasporto fuori o sotto il segno di radice per renderli tali. Dopo aver effettuato questi passaggi, i radicali, ormai simili, si possono sommare come fatto negli esercizi precedenti.

Es. (in questi esempi sono sottintese le condizioni di positività dei radicandi e dei suoi fattori)

24

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )33

333

3 33 36 26

3 433 336 26

3

3333

3 433 43 3

12122

comune fattore è ormai che radicale il evidenzain mettiamo 1211

radicale terzoe secondo nel negativi,non iconsiderat

possibili, fattori i radice di segno dal fuori asportiamo tr

e radicale primo dal fuori 0)a( fattore il amo trasportie iamosemplifich 1211

radicandi i primi fattoriin scomporre a iniziamo 221 2)

20

b di ticoefficien i entealgebricam sommiamo 22

radice di segno del fuori trasportoil mediante essi di ciascunosu

operare può si ma simili, sononon es.dell' radicali trei 22 )1

xxaxxa-

xxxaxa

xxxaxa

xxxaaxxa

bab

babbabbba

bababab

+−=+=

=+−+++=

≥+−+++=

+−++++

−=

=−+=

=−+

FORMULA DI TRASFORMAZIONE DI UN RADICALE QUADRATICO DOPPIO

� Si definisce radicale quadratico doppio il seguente

� Regola di trasformazione (in radicali quadratici semplici)

25

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

ba ±

22

22 baabaa −−±

−+

� Es.

� Nel secondo esempio è stato necessario portare il fattore 3 sotto il segno del radicale per rientrare nella tipologia di radicale doppio e applicare successivamente la formula

26

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

2

3

2

9

2

27366

2

27366276336

132

12164

2

12164124

−=−−

−−+

=−=−

+=−−

+−+

=+

RAZIONALIZZAZIONE DEL DENOMINATORE DI UNA FRAZIONE

� L’utilità delle seguenti regole sta nel fatto che è piùsemplice lavorare con frazioni che abbiano il denominatore razionale, per effettuare poi le operazioni richieste, per es. un m.c.m.

� L’idea di base è quella per cui, grazie alla proprietàinvariantiva delle frazioni, moltiplicando il numeratore e il denominatore di una frazione per uno stesso termine ≠ 0, il valore della frazione non cambia.

� A seconda della natura del denominatore irrazionale di una frazione, si moltiplicheranno numeratore e denominatore per una stessa opportuna espressione.

� Vediamo i casi che si presentano

27

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

1°CASO

28

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

a

b

21

35

337

35

37

5.

per D e N nomoltiplica si

=⋅

=

=⋅

=⇒

es

a

ab

aa

ab

a

ba

2° CASO n ma

b

2

43

2

23

22

23

2

3

8

3.

5

5 5

5 2

5 25 3

5 2

5 35==

⋅==

==⋅

=⋅

=−−

−

−

−

−

es

a

ab

a

ab

aa

ab

aa

ab

a

b n mn

n n

n mn

n mnm

n mn

n mnn m

n mn

n m

29

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

3° CASOba

m

±

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )yxyxyx

yxyx

yxyx

yxyx

yx

yxes

es

ba

bam

ba

bam

baba

bam

ba

m

++=−

+−=

+⋅−

+−=

−

−

+=−+

=+⋅−

+=

−

−=

−=

⋅±=

±

222222

22

322538

32210

322322

32210

322

10

∓∓

∓

∓

Come si può notare in questo caso si applica la regola della somma per

differenza

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

30

4° CASO 33 ba

m

±

( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )

++−+=

−+

++−+

=

=

++−+⋅−+

++−+

=−+

±+

=±

+=

+⋅±

+=

±

333 2

333 2

333 233

333 2

33

3 233 2

3 33 3

3 233 2

3 233 233

3 233 2

33

99632332

996322

99632332

996322

332

2

aaa

aaa

aaa

aaa

a

aes

ba

babam

ba

babam

bababa

babam

ba

m ∓∓

∓

∓

Anche qui si può notare che si applica la formula della somma o

differenza di due cubi

RADICALI ALGEBRICI

� La definizione di radicale algebrico ricalca quella di radicale aritmetico con due sostanziali e importantissime differenze

� 1a contemplare il segno del radicando a∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ

� 2a valutare se esistono e quanti e quali sono i

valori di b∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ tali che bn = a

� È dunque importante, all’inizio di un esercizio, sapere in quale ambito si sta lavorando, anche se tecnicamente le operazioni sono quelle già dette per i radicali aritmetici

� (convenzione: il radicale algebrico lo indichiamo con un asterisco)31

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

1a DIFFERENZA: SEGNO DI a

� In termini pratici (ed algebrici): la radice pari di un numero negativo non esiste, la radice dispari di un numero negativo esiste ed è unica

� La radice pari di un numero positivo esiste ed ammette due valori, la radice dispari di un numero positivo esiste ed è unica 32

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

⇒

⇒

=<

==

⇒

⇒=>

valoresoloun dispari è se

negativo numeroun risultatoper dà pari esponente ad

elevato che reale numeroalcun esistenon perchè

osignificat hanon radicale il pari è se

0

0 0

valoresoloun dispari è se

opposti valoridue pari è se 0

*

*

*

n

n

aa

a a

n

naa

n

n

n

2a DIFFERENZA: VALORI DI b

� In termini pratici(ed algebrici): la radice pari di un numero positivo è data dai due valori opposti della radice aritmetica; se il radicando è negativola radice non esiste in ℜ

� La radice dispari di un numero negativo è data dalla radice aritmetica con il segno del radicando.

BUON LAVORO

33

pro

f.ss

a R

. Sc

he

ttino

−−=⇒

⇒

=<

==

=⇒

±=⇒=>

n

n

n

n

n

n

abn

n

aa

a a

abn

a bnaa

dispari è se

osignificat hanon radicale il pari è se

0

0 0

dispari è se

pari è se 0

*

*

*