i radicali

I radicali 1

Ed. 1.0 www.claudiocancelli.it Dec. 2011

Claudio CANCELLI (www.claudiocancelli.it)

I radicali 2


INDICE DEI CONTENUTI

11.. II RRAADDIICCAALLII............................................................................................................................... 3

INDICE DI RADICE PARI .......................................................................................................................................................4

INDICE DI RADICE DISPARI ...............................................................................................................................................5

RADICALI SIMILI ...................................................................................................................................................................6

PROPRIETA’ INVARIANTIVA DEI RADICALI .................................................................................................................6

POTENZA DI UN RADICALE .................................................................................................................................................6

RADICE DI UN RADICALE .....................................................................................................................................................7

RADICALE ED ESPONENZIALE............................................................................................................................................7

TRASPORTO DI UN RADICALE FUORI DAL SEGNO DI RADICE ..............................................................................7

TRASPORTO DI UN RADICALE SOTTO IL SEGNO DI RADICE ................................................................................8

22.. OOPPEERRAAZZIIOONNII CCOONN II RRAADDIICCAALLII ......................................................................................... 9

RIDUZIONE DI RADICALI ALLO STESSO INDICE......................................................................................................9

SOMMA E DIFFERENZA DI RADICALI .............................................................................................................................9

PRODOTTO DI RADICALI CON LO STESSO INDICE DI RADICE..........................................................................10

QUOZIENTE DI RADICALI CON LO STESSO INDICE DI RADICE.......................................................................10

33.. SSEEMMPPLLIIFFIICCAAZZIIOONNII DDII RRAADDIICCAALLII .................................................................................. 12

RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI ............................................................................................................................14

I radicali 3


11.. II RRAADDIICCAALLII

L’espressione radice n-esima di x prende il nome di radicale (fig. 1).

Radicale, indice di radice e radicando sono segnalati in figura 1.

Il simbolo riportato in fig, 3 è chiamato segno del radicale.

Vogliamo rappresentare in inglese la radice cubica di x-4? E per concludere mettiamo in evidenza l’eventuale coefficiente che precede il radicale con il segno di prodotto:

√ x Radicando

n Indice di radice

Fig. 2- Indice di radice e radicando

√

Segno del radicale

Fig. 3- Segno del radicale

Fig. 1 - Radicale

√ x

n

Radicale

Fig.4 - Cube root of "x-4"

√ x

n Coefficiente del radicale k

I radicali 4


0≥x

0≥y

4 16−

LLaa rraaddiiccee nn-- eessiimmaa ddii xx ,, èè qquueell nnuummeerroo yy llaa ccuuii ppootteennzzaa nn-- eessiimmaa èè uugguuaallee aadd xx ,, oossssiiaa::

∗∗ ccoonn xx mmaaggggiioorree oo uugguuaallee aa zzeerroo

∗∗ ccoonn nn nnuummeerroo nnaattuurraallee mmaaggggiioorree ddii zzeerroo

∗∗ ccoonn yy mmaaggggiioorree oo uugguuaallee aa zzeerroo

ESEMPI DI RADICI

SI PRONUNCIA "rrraaadddiiiccceee qqquuuaaadddrrraaatttaaa di 2"

SI PRONUNCIA "rrraaadddiiiccceee cccuuubbbiiicccaaa di 5"

SI PRONUNCIA "rrraaadddiiiccceee qqquuuaaarrrtttaaa di 9"

SI PRONUNCIA "rrraaadddiiiccceee qqquuuiiinnntttaaa di 7"

SI PRONUNCIA "rrraaadddiiiccceee dddiiiccciiiaaasssssseeetttttteeesssiiimmmaaa di 9234"

IIINNNDDDIIICCCEEE DDDIII RRRAAADDDIIICCCEEE PPPAAARRRIII

CCoonn nn ppaarrii ((22,, 44,, 66,, 88 ……))

CCoonnddiizziioonnee ddii eessiisstteennzzaa

CCoonnddiizziioonnee ddii sseeggnnoo

Esempi: 2164 =

Esempi:

y = x

n √ x = y

n

Possibile, poiché 16 > 0

Impossibile, poiché -16 < 0

I radicali 5


749 =

46,312 =

0≥x

0≥y

0<x

0<y

IIINNNDDDIIICCCEEE DDDIII RRRAAADDDIIICCCEEE DDDIIISSSPPPAAARRRIII

CCoonn nn ddiissppaarrii ((11,, 33,, 55,, 77,, ……))

CCoonnddiizziioonnee ddii eessiisstteennzzaa

CCoonnddiizziioonnee ddii sseeggnnoo

Esempio: ?4 = Il problema è posto in questi termini: QUAL’E’ QUEL

NUMERO REALE POSITIVO CHE ELEVATO AL QUADRATO DA COME RISULTATO 4. LA

RISPOSTA E’ 2, POICHE’ 22=4. Quindi 4224 2 =⇒=

Esempio: =−3 8 ? Il problema è posto in questi termini: QUAL’E’ QUEL

NUMERO REALE NEGATICO CHE ELEVATO AL CUBO DA COME RISULTATO -8. LA

RISPOSTA E’ -2, POICHE’( -2)3 = -8. Quindi 8)2(28 33 −=−⇒−=−

Esempio: Calcolare la radice quinta d i-32.

32)2(232 55 −=−⇒−=− infatti l’operazione (-2)(-2)(-2)(-2)(-2) porta al risultato -32.

Esempio: Calcolare la radice quadrata di 49

Mentalmente si può effettuare il calcolo, iniziando da 1. 1 * 1 = 1, 2 * 2 = 4, 3 * 3 = 9, 4 * 4 = 16, 5 * 5 = 25, 6 * 6 = 36, 7 * 7 = 49. Ecco la soluzione è pari a 7.

Esempio: Per calcolare la radice quadrata di 12, poiché mentalmente si è constatato con l’esempio precedente che non esiste alcun numero naturale il cui quadrato porta alla soluzione 12, si può utilizzare la calcolatrice ed ottenere il risultato uguale a 3,46.

o

o

I radicali 6


RADICALI SIMILI

Due radicali si dicono simili se hanno lo stesso indice di radice e lo stesso radicando.

Esempio: i radicali : 7 ; 72− ; sono radicali simili in quanto hanno diversi coefficienti ma stesso indice di radice, pari a 2, e stesso radicando uguale a 7.

PROPRIETA’ INVARIANTIVA DEI RADICALI

Il valore di un radicando non cambia se si moltiplica per un numero intero positivo p, sia l’indice di radice sia l’esponente del radicando. Ossia:

Esempio: il radicale equivale al radicale

Esempio: il radicale equivale al radicale Indice di radice ed esponente di tutti i fattori sono stati divisi per lo stesso numero (2).

Esempio: il radicale equivale al radicale Indice di radice ed esponente di tutti i fattori sono stati moltiplicati per lo stesso numero (2).

POTENZA DI UN RADICALE

La potenza m-esima di un radicale è un radicale con lo stesso indice di radice e con il radicando elevato all’esponente n. Ossia:

Esempio: il radicale equivale a

Esempio: il radicale equivale a

np mpn m xx =

( ) n mm

n xx =

3 53 6 1023 25 33 =⋅ ⋅

6 41210a cb 3 26523 222625 aa cbcb =⋅ ⋅⋅⋅

3 32a cb 6 64223 232221 aa cbcb =⋅ ⋅⋅⋅

( )23 3 33 2 93 =

( ) 23

3 2−

21

21222

21

21

31

23

3 23

====−⋅−−

I radicali 7


RADICE DI UN RADICALE

La radice n-esima della radice m-esima positiva, è uguale ad una radice avente indice di radice il prodotto degli indici dei due radicali e per radicando il medesimo radicando. Ossia:

Esempio: la radice del radicale equivale a

RADICALE ED ESPONENZIALE

Per trasformare un radicale nella forma esponenziale, vale la regola:

Esempio: la radice può essere riscritta




TRASPORTO DI UN RADICALE FUORI DAL SEGNO DI RADICE

Un fattore di un radicando può essere portato fuori dal segno di radice purchè il suo esponente sia maggiore dell’indice di radice n. Ossia:

Si possono portare fuori dalla radice solo i fattori che hanno l’esponente maggiore o uguale all’indice della radice (o ≥ n, n+p = o, m < o).

nm x=n m x

nn mo aaaaxa mpn mpn xx ==

3 3 623 33 =⋅

nm

m xx =n

3 8 31

8

5 32− 51

)32(−

4 81 41

)81(

6 32 61

)32(

I radicali 8


Esempio:essendo 4 > 3, con 4 = 3 + 1, risulta:

Esempio:

TRASPORTO DI UN RADICALE SOTTO IL SEGNO DI RADICE

Un coefficiente di un radicale lo si può portare sotto il segno di radice e farlo diventare un fattore del radicando purchè lo si elevi a potenza con esponente uguale all’indice di radice. Ossia:

Esempio: il radicale equivale a Attenzione al segno meno: non va portato sotto il segno di radice

n mnn m xaxa =

xx− 32 xxx −=⋅−

33 133 4 zxxzxxzx ⋅=⋅⋅=

33 133 4 33333 =⋅=

I radicali 9


22.. OOPPEERRAAZZIIOONNII CCOONN II RRAADDIICCAALLII

RIDUZIONE DI RADICALI ALLO STESSO INDICE

Per ridurre due o più radicali allo stesso indice di radice:

Ø si calcola il minimo comune multiplo tra tutti gli indici di radice e si assume come indice comune a tutti i radicali;

Ø si divide il m.c.m. per ciascun indice e si moltiplica il risultato per l’esponente di ciascun termine del rispettivo radicando.

Esempio: ridurre i radicali allo stesso indice

3 3 3

Risulta: m.c.m. (3,2) = 6

Quindi 6 36

3 ; 6 26

2 ⇒ 6 9 ; 6 8

Esempio: ridurre i radicali allo stesso indice

3 a 7a 5 3a

Risulta: m.c.m. (3,2,5) = 30

Quindi 30 330

a ; ( )30 7230 ⋅a ;

( )30 3530 ⋅a ⇒ 30 10a ; 30 105a ; 30 18a

SOMMA E DIFFERENZA DI RADICALI

Per poter effettuare la somma algebrica i radicali devono essere simili. In tal caso il coefficiente del radicale simile è la somma algebrica dei coefficenti dei radicali.

Esempio: eseguire la somma algebrica Poiché i radicali sono simili, risulta:

Esempio: eseguire la somma algebrica Poiché i radicali sono simili, risulta:

7276 −

( ) 74726 =−

333 353323 −+

( ) ( ) 050353

213 33 ==−+

I radicali 10


8222 +

3433 ⋅

3631291233123312 =⋅==⋅=

33x

x3

333x

≠⋅

=x

PRODOTTO DI RADICALI CON LO STESSO INDICE DI RADICE

Se due radicali hanno lo stesso indice di radice il loro prodottoo è uguale ad un radicale con lo stesso indice di radice ed il radicando uguale al prodotto dei due radicandi:

Esempio: usare la regola del prodotto per moltiplicare e

Risulta:

Esempio: le regole della somma e del prodotto siano da applicare all’espressione:

Risulta:

Esempio: applicare la regola del prodotto all’espressione Risulta, dopo aver moltiplicato i coefficienti dei due radicali:

Esempio: semplificare l’espressione

WARNING

Non commettere l’errore di semplificare la radice di 3 con 3

Il risultato sarà pertanto:

QUOZIENTE DI RADICALI CON LO STESSO INDICE DI RADICE

Se due radicali hanno lo stesso indice di radice il loro quoziente è uguale ad un radicale con lo stesso indice di radice ed il radicando uguale al quoziente dei due radicandi:

nnn xwwx =⋅

3333 62323 =⋅=⋅

3 2

n

n

n

wx

wx

=

262422222222422224222 =⋅+=⋅⋅+=+=⋅+

3 3

I radicali 11


Esempio: usare la regola del quoziente per effettuare il quoziente tra

e Risulta:

3 3 3 2

3

3

3

23

23

=

I radicali 12


72

262623672 2 ⋅=⋅=⋅=

33.. SSEEMMPPLLIIFFIICCAAZZIIOONNII DDII RRAADDIICCAALLII

RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI

a. Il radicale può essere scritto nella notazione esponenziale rispettando la seguente regola:

Esempi: i seguenti radicali: 4 , 3 8 , 5 243 possono essere espressi con la notazione esponenziale nel modo seguente:

2144 = 313 88 =

515 243243 = Per i primi due esercizi i risultati si possono semplificare ulteriormente utilizzando la regola delle potenze (potenza di potenza).

2)2(44 2

122

1

=== 2)2(8 3

133 == 3)3(243243 5

15515 ===

b. Il radicale può essere semplificato se, dopo aver scomposto in fattori primi l’indice di

radice e l’esponente del radicando, uno dei fattori è comune in entrambe le scomposizioni, ossia:

Esempio: il radicale 35 212 può essere semplificato nel modo seguente:

5 375 7335 21 222 == • •

Esempio: semplificare il radicale Dopo aver scomposto il numero 72 in fattori primi si applica la regola appena menzionata:

c. Un modo per semplificare un radicale quando si presenta nella forma riportata di seguito, con m, n, o maggiore o uguale ad n:

è riportato con l’esempio riportato di seguito.

nm

n m xx =

n mnp mp xx =

n onm zwx

I radicali 13


7x

xx =1 xx =2 xxx =3 24 xx =

xxx 25 = 36 xx = xxx 37 =

sqm xxx =n

Esempio: semplificare

Step 1: scomporre in fattori primi ed espandere le potenze

Step 2: isolare a gruppi di tre (è il valore dell’indice di radice) ciascun fattore e riportarlo in basso

Step 3: portare fuori dal segno di radice ciascun fattore individuato nel punto precedente

Step 4: semplificare effettuando i prodotti

Esempio: come si può semplificare la radice quadrata di x elevato alla settima?

Osserviamo la seguente sequenza:

E quindi:

UUnnaa rreeggoollaa ggeenneerraallee ppuuòò eesssseerree qquueell llaa ddii ddiivviiddeerree ll ’’eessppoonneennttee ddeell rraaddiiccaannddoo ppeerr dduuee ee

llaasscciiaarree ii ll rreessttoo nneell rraaddiiccaannddoo..

PPeerr eesstteennssiioonnee,, ssee nn èè mmaaggggiioorree ddii mm,, nn// mm == qq ee rreessttoo ss

386596 zyx

3 322222 zzzzzzzzyyyyyyxxxxx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

3 322222 zzzzzzzzyyyyyyxxxxx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

2 x y y z z

3 3222 zzxxzzyyx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

3 2222 122 zxzyx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

I radicali 14


7xxx3

Esempio: semplificare

Risulta che 7/2 = 3 con resto 1, quindi

RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI

I radicali 15


ðððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Qualsiasi osservazione che possa contribuire a rendere il documento più completo è ben accolta!

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