Matemática B 3ro EMT ISCAB 2017 Práctico 6 Prof. Fernando Díaz

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Circunferencia y círculo.

EJERCICIO 1 Escribir la ecuación de la circunferencia C , que cumple:

a. Centro 𝑶(3; 4) y radio 𝒓 = 6

b. Centro 𝑶(2;−5) y radio 𝒓 = 4

c. Centro 𝑶(−2;−1) y radio 𝒓 = 8

d. Centro 𝑶(0; 0) y radio 𝒓 = 5

e. Centro 𝑶(−3; 4) y es tangente al eje 𝑂𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗

f. Centro 𝑶(2; 6) y es tangente al eje 𝑂𝑦⃗⃗⃗⃗ ⃗

g. 𝑨(5; 4) y 𝑩(1; 0) son los extremos de uno de sus diámetros.

h. Centro 𝑶(6; 2) y pasa por el punto 𝑷(3; 4)

i. Los puntos 𝑷(4; 2), 𝑸(6;−2) y 𝑹(2;−4) pertenecen a C

EJERCICIO 2

En cada caso determinar centro, radio y bosquejar:

a. C: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 5)2 = 16

b. C: (𝑥 − 4)2 + 𝑦2 = 9

c. C: 𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 25

d. C: 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 4𝑦 − 87 = 0

e. C: 𝑥2 + 𝑦2 − 9 = 0

f. C: 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 8𝑦 = 0

Circunferencia C de centro O y radio r con 𝑶(𝛼; 𝛽)

Ecuación canónica de la circunferencia. C : (𝑥 − 𝛼)2 + (𝑦 − 𝛽)2 = 𝑟2

Ecuación normal de la circunferencia. C : 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝛼𝑥 − 2𝛽𝑦 + 𝛼2 + 𝛽2 − 𝑟2 = 0

Ecuación general de la circunferencia. C : 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

Donde {

𝐴 = −2𝛼𝐵 = −2𝛽

𝐶 = 𝛼2 + 𝛽2 − 𝑟2

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EJERCICIO 3

a. Encontrar el/los puntos de intersección de la circunferencia C: 01610822 yxyx con el

eje de abscisas.

b. Encontrar el/los puntos de intersección de la circunferencia C: 01610822 yxyx con el

eje de ordenadas.

EJERCICIO 4

Se han graficado C y C ’

C: 0116422 yxyx

C’: 036422 yxyx

Resolver analíticamente:

0364

01164

22

22

yxyx

yxyx

Intersección de dos circunferencias.

Las posiciones relativas de dos circunferencias C y C ‘ en el plano pueden ser: Secantes: Tangentes exteriores o interiores: Exteriores o una interior a otra:

En cada caso, la determinación analítica se efectúa por medio del sistema formado por sus respectivas ecuaciones

Sea: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴´𝑥 + 𝐵´𝑦 + 𝐶´ = 0

C:

C´:

C C’

Tarea domiciliaria para entregar en hoja suelta.

Resolver gráficamente y analíticamente:

01246

04

22

22

yxyx

yyx

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EJERCICIO 5

Escribir el conjunto solución y resolver analíticamente los siguientes sistemas, que ya se han resuelto gráficamente.

EJERCICIO 6

Dada la ecuación de la circunferencia C: 92422 yx , investigar la posición relativa de los

siguientes puntos respecto de C, analíticamente y gráficamente.

3,3 A 2,1B 1,4C 2,4 D 2,7 E 5,0 F

b.

01628

0626

22

22

yxyx

yxyx a.

032

0148

22

22

yyx

yxyx

CÍRCULO El círculo o disco D de centro O y radio r es el conjunto de los puntos Q del plano cuya distancia a O es menor o igual a r. Si observamos vemos que una circunferencia divide al plano en dos regiones: una interior y otra exterior. La unión de la región interior y la circunferencia es la figura que denominamos círculo. Consecuencias de la definición de circunferencia: Q es exterior a C O, r ⇔ d (Q, O) > ……… Q es interior C O, r ⇔ ……………………………

En símbolos: D O, r =

Observar que si Q D O, r

y recíprocamente si Q D O, r

Si una circunferencia C tiene como ecuación: , la expresión analítica del círculo

de borde C, será la inecuación:

A su vez, la expresión analítica de la región exterior al círculo será:

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EJERCICIO 7

a. Dada la circunferencia C: 044622 yxyx escribe la expresión analítica de:

b. Investigar analíticamente si los puntos 4,4P , 1,0Q y 0,2R son interiores o exteriores a C.

EJERCICIO 8

Representar gráficamente los puntos del plano yxP , cuyas coordenadas verifican:

EJERCICIO 9

EJERCICIO 10

Se han graficado las circunferencias C y C’, con C: 52422 yx y C’: 03422 xyx

a. 91322 yx

b. 19222 yx

c. 0222 yyx

d. 03622 yx

i) la región interior ii) la región exterior iii) el círculo.

a. Se ha graficado 034222 yxyx

Resolver: 034222 yxyx

b. Se ha graficado 52422 yx

Resolver: 52422 yx

a. Resolver:

034

524

22

22

xyx

yx

b. Resolver:

034

524

22

22

xyx

yx

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EJERCICIO 9

Se han graficado las circunferencias C y C’, con C : 51622 yx y C’: 03422 xyx

EJERCICIO 10

Resolver gráficamente:

c. Resolver:

034

524

22

22

xyx

yx

d. Resolver:

034

524

22

22

xyx

yx

04

04

22

22

yyx

yx

0444

022

22

22

yxyx

yxyx b. a.

a. Resolver:

034

516

22

22

xyx

yx

b. Resolver:

034

516

22

22

xyx

yx

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