cfd（計算流体力学）の 基礎理論 1 cfd（計算流体力学）の 基礎理論...
TRANSCRIPT
2011/9/15
1
CFD（計算流体力学）の基礎理論
性能・運動分野「夏の学校」
神戸大学大学院海事科学研究科
勝井 辰博
流体の質量保存流体要素内の質量の増加率[単位時間当たりの増加量]
単位時間に流体要素に流入する質量
SVdSdV
tnu
0)(
udiv
t
ガウスの定理
n
uV
S
dS
流体要素Fluid Element
(Control Volume)
dV
VVdVdivdV
t)( u
2011/9/15
2
a=ai=(a1 , a2, a3) b=bi=(b1, b2, b3) a・b= aibi= a1 b1+ a2 b2+ a3 b3
アインシュタイン表記(総和規約)
3
3
2
2
1
1)(x
u
x
u
x
u
x
udiv
i
i
u
3
33
2
32
1
31
3
23
2
22
1
21
3
13
2
12
1
11
33
22
11
,,x
uu
x
uu
x
uu
x
uu
x
uu
x
uu
x
uu
x
uu
x
uu
x
uu
x
uu
x
uu
x
uu iii
j
ij
S iiVi
i dSnudVx
u
ガウスの定理
運動量保存流体要素内の質量の増加率[単位時間当たりの増加量]
単位時間に流体要素に流入する運動量
流体要素に働く力の総和
① ②
V dVdt
du①
SdS)( nuu②
①,②より外力をFとして
FnuuuSV
dSdVdt
d)(
n
uV
S
dS
流体要素Fluid Element
(Control Volume)
2011/9/15
3
ガウスの発散定理及びアインシュタイン表記を適用すると
V
jij
VVV
S jjiS SSS
dVuux
dVudivdVudivdVudiv
dSnuudSudSudSudS
)(,)(,)(
)(,)(,)()(
321
321
uuu
nunununuu
テンソル
書き換えると
iVj
jii FdVx
uu
t
u
外力ｆは大きく２つに分類される。
・面積力：圧力、粘性力 ・体積力：重力、遠心力、コリオリ力、電磁力→境界面を通して流体要素に作用 →流体要素内の各部分に作用
応力テンソル
左図のように点Pを通る微小部分dSを通してSの内側から外側に作用する面積力をT(n)dSとするとき、T(n)を応力テンソルと呼ぶ。
※考える点が同じであっても対応する面が異なれば応力は異なる為、T(n)も異なる。
・ベクトルとテンソル速度ベクトルu(x,y,z,t)= u(x,t) →場所と時間によっている。応力テンソル T(x,n,t) →場所と法線ベクトルと時間によっている。
・作用と反作用応力テンソルは面の表方向、裏方向に同様に作用している。⇒ T(n)=－ T(‐n)
検査面dS
T(n)
n
P
2011/9/15
4
応力テンソルは法線ベクトルnによっているがnは無限に存在する。そこ
で下図のようにデカルト座標の座表面に平行な３つの微小面の法線ベクトルe1,e2,e3を考える。
T(e1)=τ1j ej=τ11 e1+τ12 e2+τ13 e3
T(e2)=τ2j ej
T(e3)=τ3j ej
333231
232221
131211
ij
：応力テンソルの成分i方向に垂直な面に作用するj方向の単位面積当たりの面積力
τijを用いてT(n)はどう表されるか？
e3
e2e1
T(e3)
T(e1)
T(e2)
PBC:ΔS1
PAC:ΔS2
PAB:ΔS3
ABC:ΔSPABC:ΔV
四角形PABCに作用する面積力による力の総和はT(‐e1)ΔS1+ T(‐e2)ΔS2+ T(‐e3)ΔS3+ T(n)ΔS＝０
n=n1e1+ n2e2+ n3e3 (n=ni)ΔS1=n1ΔS ΔS2=n2ΔS ΔS3=n3ΔS
T(ei)=τijej
ΔSi=niΔSとすると
–(τij ni) ejΔS+ T(n)ΔS＝０⇒T(n)=(τij ni) ej
T(n)はτij で表される
T(n)n
-e3
-e2
-e1
P
A
B
C
2011/9/15
5
運動量保存Ⅱ運動量保存は次式で表される。
FnuuuSV
dSdVt
)(
面積力をFsとし、図よりガウスの発散定理と対称テンソルの性質を利用して
Vj
ij
Vj
ji
S jjii dVx
dVx
dSnFs
Fs
ゆえに運動量保存は
0
dVxx
uu
t
u
dVx
dVuux
dVt
u
Vj
ij
j
jii
Vj
ij
V jij
V
i
n=ni
τi,jniej V
S
dS
iS jjiV i FdSnuudVut または
非圧縮性流体の運動量方程式
非圧縮性の流体の支配方程式
0
i
i
x
u
j
ijji
j
i
xuu
xt
u
非圧縮性の流体の場合、τijは次のように表される。
i
j
j
iijij x
u
x
uP
<クロネッカーのデルタ>
)(:0
)(:1
ji
jiij
2011/9/15
6
j
i
ji
i
j
jj
i
jii
j
j
iji
jj
ij
x
u
xx
p
x
u
xx
u
xx
P
x
u
x
up
xx
,
よって支配方程式は次のように書き換えられる。
jj
i
ij
i
jiji
j
i
xx
u
x
p
x
u
xx
puu
xt
u
211
体積力の影響を考慮して
移流項 拡散項 体積力
NS方程式ijj
i
ij
ij
i Fbxx
u
x
p
x
uu
t
u
21
バーガーズ方程式と偏微分方程式の性質
１次元のNS方程式において圧力勾配を無視すると
2
2
x
u
x
uu
t
u
移流速度をc, 拡散係数をa(a≧0,c≧0)として上式に代入し、これをバーガーズ方程式と呼ぶ。
2
2
x
fa
x
fc
t
f
⇒バーガーズ方程式
２階の偏微分方程式は の３種類に分類出来る。①双曲型②放物型③楕円型
2011/9/15
7
① 双曲型 0
x
fc
t
f
f (x,t)=f (x‐ct,0)と置き、x‐ct=Xとする。
)0,(0,0,),( xx
fc
t
XXf
Xctxf
ttx
t
f
)0,(0,0,),( xx
f
x
XXf
Xctxf
xtx
x
f
ゆえに 0)0,()0,(
xx
fcx
x
fc
x
fc
t
f
つまりf (x,t)=f (x‐ct,0)のとき、必ず上記の微分方程式を満足する。f (x,t)はf (x,0)をx方向にct平行移動したものとなる。⇒f (x,t)は時間とともにct、 x方向に移動速度cで移動する。
② 放物型2
2
x
fa
t
f
02
2
x
f0
t
f
02
2
x
f0
t
f
上に凸⇒時間とともに減少下に凸⇒時間とともに増加
拡散を表す
③ 楕円型2
2
x
fa
x
fc
平均化
2011/9/15
8
有限差分法連続関数の導関数を離散点の値を用いて近似する方法
ある関数f (x,t)の離散点をf (xi,tj) =fi,j とするxiはΔxおきに、tjはΔtおきに定義された離散点テイラー展開より次の２式が得られる。
iiijijiji x
fx
x
fx
x
fxftxxff
3
33
2
22
,,1 !3!2,
iiijijiji x
fx
x
fx
x
fxftxxff
3
33
2
22
,,1 !3!2, Ⓐ
Ⓑ
Ⓐ+Ⓑより
22
,1,,1
2
2
42
22
,,1,1
2
2
xOx
fff
x
f
xOx
fxfff
jijiji
i
i
jijiji
中心差分
Ⓐよりi
jiji x
fxff
,,1
x
ff
x
f jiji
i
,,1
前進差分
Ⓑよりi
jiji x
fxff
,1,
x
ff
x
f jiji
i
,1, 後退差分
2011/9/15
9
陽解法と陰解法
放物型の方程式において拡散係数を１とすると2
2
x
f
t
f
この式から両辺に有限差分を適用して
2
,1,,1,1, 2
x
fff
t
ff jijijijiji
jijijijiji fffx
tff ,1,,12,1, 2
t=t+Δtの値 r
t=tの値
以上より陽解法及び陰解法は次のように定義できる。
jijijijiji fffrff ,1,,1,1, 2
1,11,1,1,1, 2 jijijijiji fffrff陽解法
陰解法
1,11,1,1,)21( jijijiji ffrffr
2011/9/15
10
１次元定常移流拡散方程式
xxx
u
φ: 解くべき対象 u: 移流速度(ここでは定数) Γ: 拡散係数
NS方程式 φ=u(解くべきuで移流する。⇒非線形方程式)
0
t
時間と共にφは変化しない。
x=0でφ=φ0
ρ,Γ: 一定 ⇒ のディリクレ問題x=Lでφ=φL
常微分方程式
⇒解析解
00 1exp
1exp
LPeL
xPe
uL
Pe
：(ペクレ数)0
φ0
φL
Lx
φ
Pe<0
Pe>0
Pe=0
2011/9/15
11
有限体積法と離散化
we
we xxuu
PWwEPe 2
1
2
1
xxxxWP
w
PE
e
・ φの補間
直線近似(結果は中心差分に相当)
・ の評価：中心差分x
xx
uu
u
WPPEPWEP
2
1
2
1
,, φを一定とするとρ
WEP
WEP
WPEWE
xuxu
ux
uxx
xxxuu
4
1
2
1
4
1
2
1
2
1
2
12
2
2
1
2
1
局所ペクレ数：PeL
⇒ よりLx2
1 PePeL 2
1
2011/9/15
12
4)8(2
1
2)4(0
1)2(4
12
1)1(
8
3
4
11
2
1
4
11
2
1
L
L
L
L
WEP
PePe
PePe
PePe
PePe
PePe
)4(1192.0
)2(2689.0
)1(3775.0
5.0
1exp
1exp
Pe
Pe
Pe
Pe
xPe
xu
局所ペクレ数：
移流と拡散の比
ペクレ数（大） ⇒移流が支配的となる。（移流：上流の値がそのまま下流に伝わる。)
つまり下流の影響は少なく、下流の情報が悪影響。⊿xが大 →Peも大↓
遠い下流の情報が取り込まれる。
一般に局所ペクレ数Pe≧２で解が振動する。⇒上流の影響だけを取り入れれば良い。
2011/9/15
13
φe=φP , φw=φW (u>0⇒Pe>0) ： 風上化
WLEPL
WEP
WPPEWP
wewe
PePe
xuxuxx
uu
xxuu
12
12
486
1
244
1
123
1
2
11
5
2
2
1
L
L
L
L
LP
PePe
PePe
PePe
PePe
Pe
風上化
打ち切り誤差の評価
風上補間セル界面 eの上流計算点の値でφeを近似⇒１次導関数を求める為に(流れ方向に依存して)
後退or前進差分を用いることと同義。
風上差分スキーム(Upwind Difference Scheme) UDS
)0(
)0(
eE
ePe u
u
2011/9/15
14
ρuw>0 , ρue>0 の時
WwPe
P
w
e
w e
uuxx
u
uudxx
u
xx
uu WwPe
：風上差分(ρuの評価点は少し異なる)
UDSは決して振動解を伴わないが数値拡散を伴う。
WPEWPPE
we xxxxx
2
→拡散項の評価値と同じオーダーの量が移流項の誤差に入る。→数値拡散→Δxを小さくしないと誤差が大きくなる。
一方拡散項はWe xx
では が最大誤差→ だけ少ない。 euP
e x
xu
2
Pe x
xu
2
１次風上 ・・・が打ち切り誤差となる。 P
Pe xxx
H
x
xx
xxx
P
Pe
PPePe
2
22
2
ρue>0 の時φのxP周りのT.E(テイラー展開)
2011/9/15
15
運動量方程式の離散化
u1i-1,j+1 u1i,j+1 u1i+1,j+1
u1i-1,ju1i+1,j
u1i+1,j-1u1i,j-1u1i-1,j-1
u1i,j
u2i,j u2i+1,ju2i-1,j
u2i-1,j-1 u2i,j-1 u2i+1,j-1
u2i,j+1u2i-1,j+1
pi,j pi+1,jpi-1,j
pi-1,j-1 pi,j-1 pi+1,j-1
pi-1,j+1 pi,j+1 pi+1,j+1
u2i+1,j+1
Δx1
Δx2
直交正方スタッガード格子の導入
移流項
dSnunuudSnunuudSnunuudSnunuudSnuunwne S
s
S
w
S
n
S S
ejji 22111322111222111122111
１ ０ ０ １ －１ ０ ０ －１
1221211112212111 1,1,1,,1,,1,,1 2
1
2
1
2
1
2
1xuuuxuuuxuuuxuuu
jijijijijijijiji swne
U１e U２nU１w
U２s
u1i-1,j+1 u1i,j+1 u1i+1,j+1
u1i-1,ju1i+1,j
u1i+1,j-1u1i,j-1u1i-1,j-1
u1i,j
u2i,j u2i+1,ju2i-1,j
u2i-1,j-1 u2i,j-1 u2i+1,j-1
u2i,j+1u2i-1,j+1
pi,j pi+1,jpi-1,j
pi-1,j-1 pi,j-1 pi+1,j-1
pi-1,j+1 pi,j+1 pi+1,j+1
u2i+1,j+1
u1i-1,j u1i+1,ju1i,j
u2i,ju2i-1,j
u2i-1,j-1 u2i,j-1
pi-1,j pi,jSe
Sn
Sw
Ss
2011/9/15
16
１次風上でu1e～u1sを補間
0
0
0
0
0
0
0
0
21
21
111
11
1
21
21
111
11
1
,
1,
,
,1
1,
,
,1
,
sji
sji
s
wji
wji
w
nji
nji
eji
eji
e
Uu
Uuu
Uu
Uuu
Uu
Uuu
Uu
Uuu n
ji
s
s
ji
s
s
s
ji
w
w
ji
w
w
w
ji
n
n
ji
n
n
n
ji
e
e
ji
e
e
e
uU
Uu
U
Uu
uU
Uu
U
Uu
uU
Uu
U
Uu
uU
Uu
U
Uu
,1,
,,1
1,,
,1,
1
2
21
2
21
1
1
11
1
11
1
2
21
2
21
1
1
11
1
11
12
11
2
1
12
11
2
1
12
11
2
1
12
11
2
1
u1i-1,j u1i+1,ju1i,j
u2i,ju2i-1,j
u2i-1,j-1 u2i,j-1
pi-1,j pi,jSe
Sn
Sw
Ss
圧力項
セルが圧力によりx１方向に押される力
u1i-1,j u1i+1,ju1i,j
u2i,ju2i-1,j
u2i-1,j-1 u2i,j-1
pi-1,j pi,jSe
Sn
Sw
Ss
jijiwe
we
S sS wS nS eS i
ppx
xpp
xpxp
dSnpdSnpdSnpdSnpdSpnnwne
,1,2
222
1111
1
11
2011/9/15
17
拡散項
1,1,,1
,1,
1,,1,
,1,,1
1,,,1,,1,,,1
12
11
2
11
1
2
11
21
2
1
1
2
2121
111
2121
111
12
11
21
11
12
11
21
11
2
2
2
jijiji
jiji
jijiji
jijiji
jijijijiJijijiji
ux
xu
x
xu
x
x
ux
xu
x
x
x
x
xxx
uuu
xxx
uuu
xx
uux
x
uux
x
uux
x
uu
e n w sS S S Sswne
S jj
i
dSnx
unx
udSn
x
un
x
udSn
x
unx
udSn
x
un
x
u
dSnx
u
22
11
1
12
2
11
1
12
2
11
1
12
2
11
1
1
１ ０ ０ １ －１ ０ ０ －１
u1i-1,j u1i+1,ju1i,j
u2i,ju2i-1,j
u2i-1,j-1 u2i,j-1
pi-1,j pi,jSe
Sn
Sw
Ss
u1i,j+1
u1i,j-1
移流‐圧力‐拡散＝０
21
2
11
2
221
2
11
2
221
1
22
1
111
1
2
1
111
2
1
1
2
1
2
222
1
111
2
222
1
111
,,111111111111
12
1
12
1
12
1
12
1
2
12
11
2
11
2
11
2
1
1,1,,1,1,
xA
x
xx
U
UUa
x
xx
U
UUa
x
xx
U
UUa
x
xy
U
UUa
x
x
x
x
xU
UUx
U
UUx
U
UUx
U
UUa
PPAuauauauaua
p
s
s
e
w
p
jijipnswep
n
n
n
s
s
s
e
e
e
w
w
w
s
s
s
w
w
w
n
n
n
e
e
e
jijijijiji
2011/9/15
18
移流項
dSnunuudSnunuudSnunuudSnunuudSnuunwne S
s
S
w
S
n
S S
ejji 22112322112222112122112
１ ０ ０ １ －１ ０ ０ －１
1222211212222112 ,1,1,,1,,1,1,1 2
1
2
1
2
1
2
1xuuuxuuuxuuuxuuu
jijijijijijijiji swne
U１e U２nU１w
U２s
u1i-1,j+1 u1i+1,j+1
u1i-1,ju1i+1,j
u1i+1,j-1u1i,j-1u1i-1,j-1
u1i,j
u2i,j u2i+1,ju2i-1,j
u2i-1,j-1 u2i,j-1 u2i+1,j-1
u2i,j+1u2i-1,j+1
pi,j pi+1,jpi-1,j
pi-1,j-1 pi,j-1 pi+1,j-1
pi-1,j+1 pi,j+1 pi+1,j+1
u2i+1,j+1
u1i,j+1 u1i+1,j+1
u1i+1,ju1i,j
u2i,j u2i+1,ju2i-1,j
u2i,j-1
u2i,j+1
pi,j
pi,j+1u1i,j+1
Se
Sn
Sw
Ss
１次風上でu2e～u2sを補間
0
0
0
0
0
0
0
0
22
22
212
12
2
22
22
212
12
2
,
1,
,
,1
1,
,
,1
,
sji
sji
s
wji
wji
w
nji
nji
eji
eji
e
Uu
Uuu
Uu
Uuu
Uu
Uuu
Uu
Uuu n
ji
s
s
ji
s
s
s
ji
w
w
ji
w
w
w
ji
n
n
ji
n
n
n
ji
e
e
ji
e
e
e
uU
Uu
U
Uu
uU
Uu
U
Uu
uU
Uu
U
Uu
uU
Uu
U
Uu
,1,
,,1
1,,
,1,
2
2
22
2
22
2
1
12
1
12
2
2
22
2
22
2
1
12
1
12
12
11
2
1
12
11
2
1
12
11
2
1
12
11
2
1
u1i+1,j+1
u1i+1,ju1i,j
u2i,j u2i+1,ju2i-1,j
u2i,j-1
u2i,j+1
pi,j
pi,j+1u1i,j+1
Se
Sn
Sw
Ss
2011/9/15
19
圧力項
jijisn
sn
S sS wS nS eS i
ppx
xpp
xpxp
dSnpdSnpdSnpdSnpdSpnnwne
,1,1
111
2222
1
11
セルが圧力によりx１方向に押される力
u1i+1,j+1
u1i+1,ju1i,j
u2i,j u2i+1,ju2i-1,j
u2i,j-1
u2i,j+1
pi,j
pi,j+1u1i,j+1
Se
Sn
Sw
Ss
拡散項
1,1,,1
,1,
1,,1,
,1,,1
1,,,1,,1,,,1
22
12
2
12
1
2
21
22
2
1
1
2
2121
222
2121
222
12
22
21
22
12
22
21
22
2
2
2
jijiji
jiji
jijiji
jijiji
jijijijiJijijiji
ux
xu
x
xu
x
x
ux
xu
x
x
x
x
xxx
uuu
xxx
uuu
xx
uux
x
uux
x
uux
x
uu
e n w sS S S Sswne
S jj
i
dSnx
unx
udSn
x
un
x
udSn
x
unx
udSn
x
un
x
u
dSnx
u
22
21
1
22
2
21
1
22
2
21
1
22
2
21
1
2
１ ０ ０ １ －１ ０ ０ －１
u1i+1,j+1
u1i+1,ju1i,j
u2i,j u2i+1,ju2i-1,j
u2i,j-1
u2i,j+1
pi,j
pi,j+1u1i,j+1
Se
Sn
Sw
Ss
2011/9/15
20
12
2
11
2
222
2
11
2
222
1
22
1
112
1
2
1
112
2
1
1
2
1
2
222
1
111
2
222
1
112
1,,22222222222
12
1
12
1
12
1
12
1
2
12
11
2
11
2
11
2
1
1,1,,1,1,
xA
x
xx
U
UUa
x
xx
U
UUa
x
xx
U
UUa
x
xy
U
UUa
x
x
x
x
xU
UUx
U
UUx
U
UUx
U
UUa
ppAuauauauaua
p
s
s
e
w
p
jijipnswep
n
n
n
s
s
s
e
e
e
w
w
w
s
s
s
w
w
w
n
n
n
e
e
e
jijijijiji
移流‐圧力‐拡散＝０
Velocity‐Pressure CouplingSIMPLE(Semi‐Implicit Pressure Linked Equation)
by Patanker
①predictor step⇒②Corrector Step
P*→u１*, u２
* ⇒P= P*+P’, u１= u１*+ u１
’, u２= u２*+ u２
’
P, u１,u２⇒correct value
（１）①：
jijijpinbnbjipppAuaua
ji ,,1,1111,1 ,
（２）②：
1,,,22222 ,, jijijipnbnbp ppAuauajiji
P*：予測値→１ステップ前の値⇒u1*, u2
*が求められる。
P= P*+P’, u1= u1*+ u1
’, u2= u2*+ u2
’→正しい値P, u1, u2：質量保存則と運動量保存則を満たす。
2011/9/15
21
1,,,22222
,,1,1111,1
''''
''''
,,
,
jijijipnbnbp
jijijpinbnbjip
ppAuaua
ppAuaua
jiji
ji
①，②より
nbnbnbnb uaua 2211 ',' の影響を(とりあえず)無視
1,,
,2
,22
*2
,,1
,1
,11
*1
''
''
,,
,,
jiji
jip
jip
jiji
jip
jip
ppa
Auu
ppa
Auu
jiji
jiji
1,,
,2
,2
2
,,1
,1
,1
1
'''
'''
,
,
jiji
jip
jip
jiji
jip
jip
ppa
Au
ppa
Au
ji
ji
u1i-1,j+1 u1i+1,j+1
u1i-1,ju1i+1,j
u1i+1,j-1u1i,j-1u1i-1,j-1
u1i,j
u2i,j u2i+1,j
u2i-1,j
u2i-1,j-1 u2i,j-1 u2i+1,j-1
u2i,j+1u2i-1,j+1
pi,j pi+1,jpi-1,j
pi-1,j-1 pi,j-1 pi+1,j-1
pi-1,j+1 pi,j+1 pi+1,j+1
u2i+1,j+1
u1i+1,ju1i,j
u2i,j
u2i,j-1
pi,jpi+1,j
pi,j-1
pi,j+1
Pi-1,jSe
Sn
Sw
Ss
質量保存則
1,,
,2
,22
*2
,,1
,1
,11
*1
''
''
,,
,,
jiji
jip
jip
jiji
jip
jip
ppa
Auu
ppa
Auu
jiji
jiji
0
0
122211
122112212121
1,,,,1
1,,,,1
xuuxuu
xuxuxuxudSudSudSudSu
dSnudVx
u
jijijiji
jijijijiswne SSSS
V S
iii
i
2011/9/15
22
u1i+1,ju1i,j
u2i,j
u2i,j-1
pi,jpi+1,j
pi,j-1
pi,j+1
Pi-1,jSe
Sn
Sw
Ss
質量保存則
0''''
''''
0
1,1,
1,2
1,22
*1,,
,2
,22
*
2,,1
,1
,11
*,1,
,11
,111
*
122211
1,,
,,1
1,,,,1
xppa
Aupp
a
Au
xppa
Aupp
a
Au
xuuxuu
jiji
jip
jip
jiji
jip
jip
jiji
jip
jip
jiji
jip
jip
jiji
jiji
jijijiji
u1i+1,ju1i,j
u2i,j
u2i,j-1
pi,jpi+1,j
pi,j-1
pi,j+1
Pi-1,jSe
Sn
Sw
Ss
質量保存則
jCijijiNjijiSjijiEjijiWjijiP CpCpCpCpCpC ,1,,1,,,1,,1,,, '''''
jip
jip
jip
jip
a
Ad
a
Ad
jiji
,2
,2
2
,1
,1
1 ,,,
12*
2*
21*
1*
,
12,
12,
21,
21,
122211,
1,,,,1
,
1,
,1
,
1,,,1,
xuuxuuC
xdC
xdC
xdC
xdC
xddxddC
jijijiji
ji
ji
ji
ji
jijijiji
jiC
jiN
jiS
jiE
jiW
jiP