CATEDRA 0 4Facultad de Ingeniera de Minas, Geologa y CivilDepartamento acadmico de ingeniera de minas y civil

METODOS NUMERICOSSolucin de Ecuaciones No LinealesIngeniera CivilING. CRISTIAN CASTRO P.

Capitulo IV Ecuaciones E a i Algebraicas Al b ai a No Lineales

ING. CRISTIAN CASTRO P.

MTODOS NUMRICOS

Ecuaciones AlgebraicasLineales No linealesMetodos Numericos

Interval Halving (o bisection) Succesive Substitution (o fixed-point)Wegstein Metodos Analiticos

False F l Position (o regula falsi) Secant Muller

Ridder

Newton Raphson Broyden

Brent

Homotopy Dogleg step Hook step

Para problemas multidimensionales

SUMILLA:ECUACIONES ALGEBRAICAS NO LINEALES - Consideraciones generales - Solucin de ecuaciones no lineales - Separacin de races - Mtodos para ecuaciones con una sola variable: - Mtodo de bsqueda incremental incremental, - Iteracin de punto fijo, - Mtodo de biseccin, - Mtodo del Regula-Falsi, - Mtodo de Newton-Raphson, - Mtodo de la secante secante, - Criterios de convergencia - Condicionamiento - Races de polinomios - Deflacin - Algoritmos. Al it

Capitulo IV Mtodo Mt d para a a ecuaciones a i de una variable

ING. CRISTIAN CASTRO P.

Mtodos Mt d Numricos N i para Ecuaciones con una sola VariableMTODOS PARA ECUACIONES CON UNA SOLA VARIABLELos mtodos L t d descritos d it en esta t seccin i estn t orientados i t d a l la solucin l i d de ecuaciones que contienen una sola variable. Se supondr que la ecuacin por resolver est escrita en la forma:

f (x ) = 0

La raz de la ecuacin es un valor de x que satisface la ecuacin; por lo tanto, los mtodos para resolver la ecuacin se denominan mtodos para encontrar races.

CONTENIDO Antecedentes Mtodo para ecuaciones con una sola variable Mtodos de bsqueda incremental Mtodo de iteracin de punto fijo Mtodo de biseccin Mtodo de Newton-Raphson Mtodo de secante Mtodo de Muller

Antecedentes La finalidad principal de las matemticas aplicadas es determinar los valores de x que cumplan con f(x) = 0. A estos valores se denomina races o ceros de la ecuacin Para polinomios de 1er. a 3er. orden existen frmulas que permiten lograr el objetivo antes dicho, sin embargo para grados superiores la situacin se complica Para la resolucin de las expresiones no lineales (ENL) no es posible resolverlas salvo por aproximaciones sucesivas. Se presentarn a continuacin procedimientos para encontrar races, races algunos vlidos para cualquier ecuacin y otros slo para polinomios Una de las razones para mostrar alternativas es poder responder a la pregunta principal del anlisis numrico: cul de los procedimientos disponibles puede alcanzar un nivel de deseado de exactitud lo ms rpido posible, mayor certeza y con menos problemas para empezar Sistemas algebraicos no lineales por computadora son de especial ayuda par obtener races de ecuaciones por simple inspeccin

Ecuaciones algebraicas no linealesSea f(x) una funcin no lineal en x. Hallar el valor de x, x*, tal que se cumple f(x*)=0. x* se suele denominar el cero o raz de f(x) x* se puede determinar por medios analticos (solucin exacta) t ) o por medios di numricos i ( (solucin l i aproximada) i d ) La eleccin del mtodo numrico depende del problema a resolver l (estructura ( d del l problema, bl tipo i d de ecuaciones, i precisin requerida, rpidez del clculo,....). Por tanto no existe un mejor mtodo universalmente aplicable aplicable.Tipos p de mtodos Mtodos acotados (bracketing methods) Mtodos abiertos (open methods)

Objetivo

E Ecuaciones i algebraicas l b i no lineales li l Mtodos acotados vs. Mtodos abiertosMtodos acotados La raz est situada en un intervalo (necesita dos puntos). Acaba convergiendo dentro de una tolerancia. Mtodos abiertos Slo emplean un punto inicial (o dos puntos que no tienen por qu contener a la raz) y una frmula para encontrar la raz. No siempre convergen, pero cuando lo hacen son mucho ms rpidos que los mtodos acotados. acotados

E Ecuaciones i algebraicas l b i no lineales li l Mtodos abiertosEmplean una aproximacin funcional para obtener el nuevo valor estimado de la raz (lnea recta, cuadrtica, polinomio) Mtodos: Punto-fijo (sustitucin sucesiva o directa) Newton-Raphson (lnea recta empleando informacin del gradiente) Secante (lnea recta empleando dos puntos) Muller (aprox. cuadrtica empleando tres puntos)

E Ecuaciones i algebraicas l b i no lineales li lComparacin entre ambos mtodos. Similaridades:Ambos mtodos necesitan DOS valores iniciales Requieren un procedimiento para determinar el cambio de signo. Acaban convergiendo a la raz con cierta tolerancia10 1

Convergence Rate

Diferencias:El El clculo del nuevo punto estimado se hace con diferentes estrategias En general el mtodo de la posicin falsa converge ms rpido id que el l de d la l biseccin. bi i

Rel lative Errors

Bisection method

False-position method

Number of iterations

Mtodo de la Bsqueda q IncrementalMtodos Mt d N Numricos i Aplicados a la Ingeniera

Mtodo de Bsqueda IncrementalMTODO DE BSQUEDA INCREMENTAL Este mtodo es el anlogo numrico de la determinacin de una raz de una ecuacin al graficar f(x) contra x con el propsito de observar el punto en que f(x) cruza el eje x. ALGORITMO: Mtodo de Bsqueda Incremental 1) Un contador i se iguala a cero, se elige un valor inicial x0, se elige un incremento h y se calcula un valor de referencia f0 igula a f(x0). i se incrementa en 1, xi se iguala a (x0+ih) y se calcula f(xi). Si

2) 3)

{ f 0 [ f (xi )]} > 0 ,

se regresa al paso 2; en caso contrario, se contina

con el paso 4. 4) Se calcula la raz x a partir de

x = xi h[ f ( xi )] [ f ( xi ) f ( xi h )]

Mtodo de Bsqueda Incremental

Ejercicio de Aplicacin Desviacin de una viga en voladizo Una viga voladiza horizontal se somete a una carga vertical uniforme. La viga se extiende desde su extremo fijo (x=0) hasta su extremo libre (x=L). La desviacin mxima max se produce en (X=L). La desviacin en el punto (x=L) est relacionada con max mediante:

f ( ) = 4 4 3 + 6 2 3 / max = 0Aplicar el mtodo de bsqueda incremental para resolver la ecuacin para el valor de al que max es igual a 0.75. Solucin: A partir del problema fsico, se espera que para entre 0 y 1 exista una solucin y que est ms proxima a 1 que a 0. 0 Por consiguiente, consiguiente se elige un valor inicial 0 igual a 1 y se usa un incremeno negativo h = -0.05. Bsqueda con

0 = 1 , f 0 = 0 .75

y

h = 0.05

Mtodo de Bsqueda Incrementali1 2 3 4

i0.95 0 90 0.90 0.85 0.80

f ( i )0.550006 0 350100 0.350100 0.150506 -0.048400

f 0 f ( i )>0 >0 >0 >0

Interpolacin:

0.8 (0.05)(0.0484) /(0.0484 0.150506) 0.81217

Mtodo de Aproximaciones SucesivasMtodos Mt d N Numricos i Aplicados a la Ingeniera

Mtodo de Aproximaciones SucesivasMTODO DE ITERACIN DE PUNTO FIJO Tambin denominado mtodo de aproximaciones sucesivas, requiere volver a escribir la ecuacin f(x) = 0 en la forma x = g(x). g(x) El procedimiento empieza con una estimacin o conjetura inicial de x, que es mejorada por iteracin hasta alcanzar la convergencia. Para que ocurra convergencia la derivada (dg/dx) debe ser menor que 1 en magnitud convergencia, magnitud. La convergencia ser establecida mediante el requisito de que el cambio en x de una iteracin a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequea cantidad a dad . ALGORITMO: Mtodo de Iteracin de Punto Fijo 1) Se conjetura un valor inicial x0 y se elige un parmetro de convergencia . 2) 3) Se calcula un valor mejorado Si

xmejorado a partir de xmejorado = g ( x0 ) xmejorado

xmejorado x0 >

, x0 se iguala a

y se vuelve al paso 2; en

caso contrario,

xmejorado es la raz aproximada.

Mtodo de Aproximaciones Sucesivas

Un punto fijo de una funcin g(x) es un nmero p tal que g(x) = p. Dado un problema f(x) = 0 0, se puede definir una funcin g(x) con un punto fijo en p de diferentes maneras. Por ejemplo g(x) = x f(x).

TeoremaSi g C[a, b] y g(x) C[a, b] para toda x C[a, b], entonces g tiene un punto fijo en [a, b]. Si adems g(x) existe en (a, b) y una constante positiva k 0 , recolocar

xben

xmxm

xm ;en

En caso contrario, recolocar 5) Si

6)

alguna pequea cantidad prescrita , continuar con el paso (6); en caso contrario, volver al paso (3). Usar interpolacion lineal para estimar la raz x a partir de una de las dos expresiones:

(xb xa ) es

xa

suficientemente pequeo; es decir, menor o igual que

x = xa ( xb xa ) f ( xa ) [ f ( xb ) f ( xa )]

O bien

x = xb ( xb xa ) f ( xb ) [ f ( xb ) f ( xa )]

Ejercicio j de Aplicacin p Determinacin del Nmero de Mach Crtico El Nmero de Mach se refiere al cociente de la velocidad de un avin entre la velocidad del sonido. Los aviones subsnicos experimentan flujo de aire acelerado sobre la superficie de las alas. El Nmero de Mach crtico es el Nmero de Mach de vuelo al que el flujo en algn punto del ala alcanza la velocidad del sonido. El coeficiente de presin mnimo Cp sobre una superficie aerodinmica se define de modo que sea negativo y corresponda a la mxima velocidad del flujo sobre la superficie aerodinmica. Al nmero de Mach crtico M, la expresin para Cp es:

Cp

[(2 + 0.4M ={

2

) 2.4]

3.5

1

}

{0.7M }2

P Para una superficie fi i aerodinmica di i se pueden d efectuar f t pruebas b preliminares li i a bajas velocidades, cuando los efectos de la compresibilidad son insignificantes. Se supondr que el coeficiente de presin mnimo Cpi se obtiene para flujo incompresible y se relacionar con Cp mediante la relacin de Karman-Tsien:

C p C pi =

{ 1 M + (M C / 2) [1 +2 2 pi

1 M 2

]}2

1

p para p Cp se sustituye y en la relacin de Para determinar M, la expresin Karman-Tsien y con la ecuacin resultante se evala M. La ecuacin a resolver es:

f ( M ) = 2 + 0 .4 M 2 2 .4

{[(

) ]

3.5

1 0.7 M 2 C pi

}{

} { 1 M

+ M 2 C pi / 2 1 + 1 M 2

(

)[

]}

1

=0

Mt d d Mtodo de Bi Biseccin iAplicando el mtodo de biseccin, biseccin resolver la ecuacin cuando Cpi = -0 0.383. 383 Usar los valores lmite (Ma=0.18) y (Mb=0.98), y detener las bisecciones cuando (Mb-Ma) se vuelve menor o igual que 0.01 Biseccin 1 2 3 4 5 6 7

Ma0.18000 0.58000 0.58000 0 68000 0.68000 0.73000 0.73000 0.73000

Mb0.98000 0.98000 0.78000 0 78000 0.78000 0.78000 0.75500 0.74250

Mm

i

f (M m )2.44757 -0.15476 0.79287 0 12313 0.12313 -0.19607 -0.03705 0.04284

0.58000 0.78000 0.68000 0 73000 0.73000 0.75500 0.74250 0.73625

Despus de la biseccin, biseccin

M a = 0.73625 y M b = 0.74250 ; as (Mb Ma ) 0.01

Interpolando se produce la solucin estimada:

M 0.73960 , en donde f (M ) = 4.3062 x10 5

Mtodo de la Falsa PosicinMtodos Mt d N Numricos i Aplicados a la Ingeniera

Mtodo de la Falsa Posicin (Regula Falsi)MTODO DE LA FALSA POSICIN El mtodo de la falsa f posicin se puede entender como un intento por mejorar las caractersticas de convergencia del mtodo de biseccin. Se comienza con valores limitantes xa y xb tales que f(x) cambia de signo slo una vez en el intervalo de xa a xb. Por interpolacin lineal se encuentra una raz aproximada entre xa a xb que sirve como valor intermedio xintermedio. El nuevo intervalo que contiene la raz comprende ahora de xa a xintermedio o de xintermedio a xb. El razonamiento para determinar que intervalo se retiene es le mismo que para el mtodo de False-Position Method biseccin.

Algoritmo

f(x) f(b)

1. 2.apunto] point Intersection [nuevo

Selecciona un intervalo [ [a,b] , ] donde halla un cero Calcula un punto interseccin como nuevo punto pf (a) f (b) f (b)[a - b]) = m =bm- a m- b f (a ) - f (b)

b[a,b]

x

3.

Comprueba si hay cambio de signo en [a p] o en [p,b]. [a,p] [p b] Comprobacin: f(a) f(a)*f(p) f(p). Si el producto es cero, entonces p es una raz. Si no es cero volver al punto 2.

Next estimate of False-position 4.

f(a)

Mtodo de la Falsa Posicin (Regula Falsi)(x) (xint)0 (xint)1raz

x (xa)0 (xa)1 (xa)2

(xb)0,1,2

D Despus de d la l iteracin it i (1)

Intervalo original (0)

MTODO DE LA REGLA FALSAf(x) Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz. raz

x

MTODO DE LA REGLA FALSAf(x) f(x ( i) Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz. Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs, f(xs))

xi f(x ( s)

xs

x

MTODO DE LA REGLA FALSAf(x) f(xi) Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz. Se traza una recta q que une los p puntos (xi, f(xi)), (xs, f(xs)) Se obtiene el punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aprox. de la raz buscada.

xi f(xs)

xs

x

MTODO DE LA REGLA FALSAf(x) f(xi) Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz. Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs, f(xs)) y se obtiene el punto de interseccin de j de las abscisas: ( (xr, 0); ); se toma esta recta con el eje xr como aproximacin de la raz buscada. Se identifica luego en cul de los dos intervalos est la raz.

f(xr) f(xs)

xi

xr

xs

x

MTODO DE LA REGLA FALSAf(x) f(xi)

xs = x r

f(xr) f(xs)

xi

xr

xs

x

MTODO DE LA REGLA FALSA Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garanti ce que la funcin tiene raz. )) (xs, f(xs)) Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), Se obtiene el punto de interseccin de esta recta con el eje d e las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aproximacin de la raz buscada. Se identifica luego en cul de los dos intervalos est la raz. raz El proceso se repite n veces, hasta que el punto de ccin xr coincide prcticamente con el valor az. az interse exacto de la r

MTODO DE LA REGLA FALSAf(x) f(xi)

xr = x s -

f ( x s )( x i - x s ) f ( xi ) - f ( x s )

f(xr) f(xs)

xi

xr

xs

x

ALGORITMO: Mtodo de la Falsa Posicin 1) 2) 3) Se eligen los valores limitantes Se calcula

f a = f ( xa )

o

f b = f ( xb ) y un contador i se coloca en cero xint ermedio apartir

xa

y

xb

(con

xb > x a )

EL contador i se incrementa en 1 y se calcula el punto de una de las dos expresiones: O bien

xint ermedio = xa ( xb xa ) f ( xa ) [ f ( xb ) f ( xa )] xint ermedio = xb ( xb xa ) f ( xb ) [ f ( xb ) f ( xa )] f int ermedio = f ( xint ermedio )

4) 5)

Se calcula i) Si

Dependiendo de si fa o fb est disponible a partir del paso (2), se usa i o ii

( f a f int ermedio ) > 0 , ( f b f int ermedio ) > 0 ,

xa xb

se recoloca en

xint ermedio ; xint ermedio ;

En caso contrario, ii) Si

xb

se recoloca en

xint ermedio

se recoloca en

En caso contrario, 6) Si

alguna pequea cantidad prescrita , o si f alcanza un lmite de iteracin N, xint ermedio se considera como la raz aproximada; en caso contrario, volver al paso (3).

f ( xint ermedio )

xa

se recoloca en

xint ermedio

es suficientemente fi i t t pequeo; es decir, d i menor o igual i l que

Ejercicio j de Aplicacin p Determinacin del Nmero de Mach Crtico El Nmero de Mach se refiere al cociente de la velocidad de un avin entre la velocidad del sonido. Los aviones subsnicos experimentan flujo de aire acelerado sobre la superficie de las alas. El Nmero de Mach crtico es el Nmero de Mach de vuelo al que el flujo en algn punto del ala alcanza la velocidad del sonido. El coeficiente de presin mnimo Cp sobre una superficie aerodinmica se define de modo que sea negativo y corresponda a la mxima velocidad del flujo sobre la superficie aerodinmica. Al nmero de Mach crtico M, la expresin para Cp es:

Cp

[(2 + 0.4M ={

2

) 2.4]

3.5

1

}

{0.7M }2

P Para una superficie fi i aerodinmica di i se pueden d efectuar f t pruebas b preliminares li i a bajas velocidades, cuando los efectos de la compresibilidad son insignificantes. Se supondr que el coeficiente de presin mnimo Cpi se obtiene para flujo incompresible y se relacionar con Cp mediante la relacin de Karman-Tsien:

C p C pi =

{ 1 M + (M C / 2) [1 +2 2 pi

1 M 2

]}2

1

p para p Cp se sustituye y en la relacin de Para determinar M, la expresin Karman-Tsien y con la ecuacin resultante se evala M. La ecuacin a resolver es:

f ( M ) = 2 + 0 .4 M 2 2 .4

{[(

) ]

3.5

1 0.7 M 2 C pi

}{

} { 1 M

+ M 2 C pi / 2 1 + 1 M 2

(

)[

]}

1

=0

Mtodo de la Falsa Posicin (Regula Falsi)Aplicando el mtodo de falsa posicin, resolver la ecuacin cuando Cp pi=0.383. Usar los valores lmite (Ma=0.18) y (Mb=0.98), y terminar las iteraciones cuando f M int ermedio se vuelve menor o igual que 10-2.

(

)

Iteracin 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ma0.18000 0.18000 0.18000 0.18000 0.18000 0.18000 0 18000 0.18000 0.18000 0.18000

Mb0.98000 0.74306 0.74258 0.74217 0.74181 0.74151 0 74124 0.74124 0.74101 0.74082

M int

i

f (M int )-0.04414 -0.03804 -0.03278 -0.02825 0.02825 -0.02435 -0.02099 -0.01809 0 01809 -0.01560 -0.01345

0.74306 0.74258 0.74217 0.74181 0.74151 0.74124 0 74101 0.74101 0.74082 0.74065

La raz estimada es:

M 0.74065 , en donde f (M ) = 0.01345

Mtodo de Newton Newton-RaphsonMtodos Mt d N Numricos i Aplicados a la Ingeniera

Ecuaciones algebraicas no linealesProblema g(x)=0 1. 2 2. Seleccionar un punto inicial x0 C l l g(x Calcular ( i) y g(x ( i) Aplicar la tangente en ese punto y en el corte con el j de abcisas tenemos el nuevo punto p estimado eje

Newton Raphson

3.

xi+1=xi4.

g(xi) g(xi)

Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida

y g(x)Necesita conocer la derivada de la funcin Convergencia cuadrtica (rpida) Puede no converger (depende de la f funcin i y de d la l estimacin i i i inicial i i l)

x2

x1

x0

x

El Mtodo de Newton-Raphson Es lejos uno de los mtodos ms usados para resolver ecuaciones Se basa en una aproximacin lineal de la funcin, aunque aplicando una tangente a la l curva A partir de una estimacin inicial x0 se efecta un desplazamiento a lo largo de la tangente hacia su interseccin con el eje x, x y se toma sta como la siguiente aproximacinf ( x0 ) f ( x0 ) , x1 = x0 x0 x1 f '( x0 )

tan = f '( x0 ) =

Se continua el calculo al estimar x2 = x1 f ( x1 ) f '( x1 )

x1 x0-x1 x0

(x0)

El Mtodo de Newton-RaphsonSe calculan f ( x0 ) y f '( x0 )

AlgoritmoPara determinar una raz de (x) (x)=0 0 dado un valor de x0 razonablemente prximo a la raz

IF (f ( x0 ) 0) AND (f '( x0 ) 0) Repeat Se Hace x1 = x0 Se Hace ace x0 = x0 f ( x0 ) / f '( ( x0 ) Until ( x0 x1 < valor de tolerancia 1) OR ( f ( x0 ) < valor de tolerancia 2) End IF END

Este algoritmo al menos en la vecindad cualquiera de los antes vistos

converge ms rpido que

Al ser un mtodo cuadrticamente convergente el resultado neto es que el nmero de cifras decimales de exactitud casi se duplica en cada iteracin Tiene como inconveniente la necesidad de dos evaluaciones funcionales en cada paso, (xn) y (xn) y encontrar la derivada de la funcin El mtodo de Newton se relaciona con la interpolacin por la Secante ya que cociente de las diferencias es una aproximacin de la derivada El mtodo de Newton funciona con races complejas si se proporciona un valor de este tipo para el valor inicial

El Mtodo de Newton-Raphson

La ecuacin de la recta tangente es: y f(xn) = f (xn)(x xn) Cuando y = 0, x = xn+1 o sea 0 f(xn) = f (xn)(xn+1 xn) of (xn)

f(x)

Pendiente = f (xn)

xn +1 = xn

f ( xn ) f '( xn )

xn+1

xn

El Mtodo de Newton-RaphsonEjemploDeterminar la raz de la siguiente funcin (x)=3x + sen x ex=0

f ( x) = 3 x + senx e x , f '( x) = 3 + cos x e x x0 = 0 x1 = x0 x2 = x1 f ( x0 ) 1.0 = 0.0 0 0 =0 0.33333; 33333; f '( x0 ) 3.0 0.068418 f ( x1 ) = 0.33333 = 0.36017; f '( x1 ) 2 54934 2.54934

6.279 *104 f ( x2 ) = 0.36017 = 0.3604217; x3 = x2 f '( ( x2 ) 2 50226 2.50226Despus de 3 iteraciones la raz es correcta hasta con 7 dgitos significativos

MTODO DE NEWTON RAPHSONf(x) Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximacin de la raz. raz

x

MTODO DE NEWTON RAPHSONf(x) ( ) f( 1) f(x C Consiste i t en elegir l i un punto t inicial i i i l cualquiera l i x1 como aproximacin de la raz y obtener el valor de la funcin por ese punto. punto Trazar una recta tangente a la funcin por ese punto.

x1

x

MTODO DE NEWTON RAPHSONf(x) f(x1) Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximacin de la raz. Obtener el valor de la funcin por ese punto y trazar una recta tangente a la funcin por ese punto. El punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas (xr, 0), constituye una segunda aproximacin de la raz. raz

x1

x2

x

MTODO DE NEWTON RAPHSONf(x) f(x1)

f(x ( 2) x1 x2 x

MTODO DE NEWTON RAPHSON Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como macin de la raz. aproxi

Obtener el valor de la funcin por ese punto y trazar una recta t angente a la funcin por ese punto. punto El punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas ( r, 0), (x 0) constituye i una segunda d aproximacin i i de d la l raz. El proceso se repite n veces hasta que el punto de interse ccin xn coincide prcticamente con el valor exacto de la raz.

Mtodo de Newton-Raphson

Mtodo de Newton Newton-Raphson Raphson

Mtodo de Newton Newton-Raphson Raphson

Newton Raphson Newton-Raphson

MTODO DE NEWTON RAPHSONAunque q el mtodo trabaja j bien, no existe garanta g de convergencia. g

Desventajasf(x) f(x) x1

x0 x2 x x0 x2 x1 x

raz cerca de punto de inflexinf(x) f(x)

mnimo local

x1 x0 x x0 x1 x

varias races

la iteracin en un mnimo

Desventajas

Mtodo de la SecanteMtodos Mt d N Numricos i Aplicados a la Ingeniera

Ecuaciones algebraicas no linealesProblema g(x)=0 1. Seleccionar dos puntos iniciales x0,x1 Calcular la recta que pasa por esos puntos El corte con el eje de abcisas da el nuevo punto estimado. i d Volver V l a calcular l l l la recta. 2. 3.

Secante

xi+1=xiy4.

xi+1-xi g (xi+1) g( (xi+1) )-g g( (xi)

Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida

g(x)No Necesita conocer la derivada de la funcin (la aproxima). Necesita dos puntos iniciales. Puede no converger.

x3

x2

x1

x0 x

El Mtodo de la secante Se supone que (x) es lineal en la vecindad de la raz Se eligen puntos prximos a sta y se traza una lnea recta Si bien es cierto (x) no es lineal y x2 no es igual a la raz debe estar muy prxima. i M j Mejores estimaciones se logran iterando y reemplazando los valores xo y x1

(x0)

( x0 x1 ) ( x1 x2 ) = f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x1 )

(x1) x2 R Raz x1 x0

( x0 x1 ) x2 = x1 f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x1 )

AlgoritmoPara determinar d i una raz de d (x)=0 ( ) dados d d dos d valores, l x0 y x1 prximos i a la l solu l cin

IF f (x0) < f (x1)

Intercambiar x0 con x1. Repeat )*( (x0 x1) )/[ [ f (xo ) f (x1)] )]. Sea x2 = x1 f (x1) Sea x0 = x1. S x1 = x2. Sea Until f (x2) < valor de tolerancia End IF END

MTODO DE LA SECANTE C Consiste i en elegir l i dos d puntos iniciales i i i l cualquiera l i x0, x1 para lo l s cuales se evalan los valores de la funcin: f(x0) = f(x1) Se traza una recta secante a la funcin por esos dos puntos. El punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0) constituye una segunda aproximacin de la raz. raz El proceso se repite n veces hasta que el punto de interse ccin xn coincide prcticamente con el valor exacto de la raz.

Secante

N-R modificado o Mtodo de la SecanteUna de las formas de obtener la frmula recursiva esencial para el mtodo de la Secante, es reemplazar por una expresin aproximadamente equivalente, en:

Para ello ello, basta considerar la expresin matemtica de la As: f ( xi ) f ( xi 1 ) f ' ( xi ) = lm xi xi 1 xi xi 1 f ( xi ) f ( xi 1 ) f ' ( xi ) Si |xi - xi-1| bisec_n('eqn_w3',0,1.3) f_name = eqn_w3 Mtodo de biseccin: It. a b 1 0.000000, 0.650000 2 0.650000, 0.975000 3 0.650000, 0.812500 4 0.812500, 0.893750 5 0 0.893750, 893750 0 0.934375 934375 6 0.934375, 0.954688 7 0.934375, 0.944531 , 0.939453 8 0.934375, 9 0.939453, 0.941992 10 0.939453, 0.940723 11 0.940723, 0.941357 12 0 0.941357, 941357 0 0.941675 941675 13 0.941357, 0.941516 14 0.941357, 0.941437 15 0.941437, 0.941476 16 0.941437, 0.941457 17 0.941457, 0.941467 18 0.941457, 0.941462 19 0 0.941457, 941457 0 0.941459 941459 20 0.941459, 0.941460 21 0.941460, 0.941461 Se satisface la tolerancia. Resultado final: Raz =

c 1.300000, 1.300000, 0.975000, 0.975000, 0 0.975000, 975000 0.975000, 0.954688, 0.944531, , 0.944531, 0.941992, 0.941992, 0 0.941992, 941992 0.941675, 0.941516, 0.941516, 0.941476, 0.941476, 0.941467, 0 0.941462, 941462 0.941462, 0.941462, 0.941461

fa=f(a) 1.000000, 0.432482, 0.432482, 0.232743, 0 0.097080, 097080 0.015409, 0.015409, 0.015409, , 0.004405, 0.004405, 0.001624, 0 0.000229, 000229 0.000229, 0.000229, 0.000054, 0.000054, 0.000011, 0.000011, 0 0.000011, 000011 0.000005, 0.000003,

fc=f(c) -1.9619810 1.9619810 -1.9619810 -0.0783150 -0.0783150 -0.0783150 0 0783150 -0.0783150 -0.0297840 -0.0067920 -0.0067920 -0.0011690 -0.0011690 -0.0011690 0 0011690 -0.0004700 -0.0001200 -0.0001200 -0.0000330 -0.0000330 -0.0000110 -0 0.0000000 0000000 -0.0000000 -0.0000000

abs(fc-fa) 2.962e+000 2.394e+000 5.108e-001 3.111e-001 1 1.754e-001 754 001 9.372e-002 4.519e-002 2.220e-002 1.120e-002 5.574e-003 2.793e-003 1 1.398e-003 398e 003 6.987e-004 3.492e-004 1.746e-004 8.731e-005 4.366e-005 2.183e-005 1 1.091e 091e-005 005 5.457e-006 2.729e-006

EjemploSea la funcin: x3 + 4x2 10 = 0 tiene una raz en [1, 2] Puede despejarse en: a. x = g1(x) = x x3 4x2 +10 b x = g2(x) = (10 x3) b. c. x = g3(x) = ( (10/(4 ( + x)) d. x = g4(x) = x (x3 + 4x2 10)/(3x2 + 8x)

Iteraciones de punto fijo(a) 1 1.5 2 -0.875 0.8 5 3 6.732421875 4 -469.72001200 5 1.02754555E8 6 -1.084933870E24 7 1.277055591E72 8 -2.082712908E216 9 NaN 10 11 12 13 14 15 20 25 30 (b) 1.5 1.286953767 1.402540803 1.345458374 1.375170252 1.360094192 1.367846967 1.363887003 1.365916733 1.364878217 1.365410061 1.365137820 1.365277208 1.365205850 1 365242383 1.365242383 1.365229578 1.365230028 1 365230012 1.365230012 (c) 1.5 1.348399724 .3 8399 1.367376371 1.364957015 1.365264748 1.365225594 1.365230575 1.365229941 1.365230022 1.365230012 1.365230013 1.365230013 (d) 1.5 1.373333333 .3 3333333 1.365262014 1.365230013 1.365230013

Funciones graficadas en MatLab

a)

b)

c)

d)

Programa en MATLAB%Objetivo: Encontrar una raz de una funcin %Sintaxis: bisec_n('nombre_f', a, b) %nombre f: el nombre de la funcin entre apstrofos %nombre_f: %a y b: extremos del intervalo inicial %Ejemplo: bisec_n ('eqn_w3', 0, 1.3) function bisec_n(f_name, a, c) f name f_name % a, c : extremos del intervalo inicial % tolerance : tolerancia % it it_limit li it : l lmite it d del l nmero d de it iteraciones i % Y_a, Y_c ; valores y de los extremos actuales % fun_f(x) ; valor funcional en x fprintf('Mtodo de biseccin:\n\n'); tolerance = 0.000001; it_limit = 30; p It. a b c fa=f(a) fprintf('

');

fprintf(' fc=f(c) abs(fc-fa) \n'); it = 0; Y_a = feval(f_name, a); Y_c = feval(f_name, c) ; if (Y_a * Y_c > 0) fprintf('\n \n Detenido porque f(a)f(c) > O \n') ; else while 1 it = it + 1; b = (a + c)/2; Y_b = feval(f_name, b) ; fprintf('%3.0f %10.6f, %10.6f', it, a, b) ; fprintf('%10.6f, %10.6f, %10.6f0', c, Y_a, Y_c) ; f i f('%12 3 \ ' abs((Y_c fprintf('%12.3e\n', b (( - Y_a))) ))) ; if ( abs(c-a)/2it_limit ) fprintf('Se fprintf( Se excedi lmite de iteraciones.\n iteraciones \n'); ); break end if ( Y Y_a a*Y Y_b b nP

TareaL carga en un circuito La i it RLC serie i esta t dada d d por

1 R 2 t q(t ) = q0 e Rt /( 2 L ) cos LC 2 L Suponga p g q0/q = 0.01, t = 0.05 s, L = 5H y C = 10-6 F. Encuentre el valor de la Resistencia R usando el mtodo de Newton. Haga un programa en C para este problema.

Aplicaciones a la IngenieraMtodos Mt d N Numricos i Aplicados a la Ingeniera

Muchas Gracias