catedra metodos numericos 2015 - unsch (07) [modo de ... · matriz diagonal dominante: es una...

CATEDRA 07

METODOS NUMERICOS

Ingeniería Civil

ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.

Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil

Departamento académico de ingeniería de minas y civil

1

1. DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE MATRICES

Las matrices son utilizadas por primera vez hacia el año 1850 por James JosephSylvester. El desarrollo inicial de la teoría matricial se debe al matemáticobritánico William Rowan Hamilton en 1853. En 1857 el matemático Arthur Cayleyintroduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistemade m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en cálculo numérico, solución de sistemas de ecuacioneslineales, ecuaciones diferenciales y derivadas parciales. Además de su utilidadpara el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen deforma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc.

La utilización de matrices (arreglos, arrays) constituye actualmente una parte esencial en los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en las computadoras como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos, etc.

Se denomina matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aijdispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas):

mnmm

nm

inijii

n

n

aaaa

aaaaaaaaaa

A

..................

...

......

......

21

11

21

22221

11211

En nomenclatura matricial, a las matrices se les denota con una letra mayúscula,A=[A]=(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición delelemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna(j). El elemento a25, por ejemplo, es el elemento de la fila 2 y columna 5.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos queocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

Atendiendo a su forma, las matrices se clasifican en:

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, m =1 y por tanto es de orden 1´n.

690358 A

naaaaA 1131211 ......

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m ´1.

1

1,1

21

11

...

m

m

aa

aa

A

80541

A

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

...............

...

...

21

22221

11211

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n ´ n.

5098102121

243650151

A

Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la diagonal principal de la matriz cuadrada.

Matriz transpuesta: La matriz transpuesta de A (A es una matriz cualquiera), serepresenta por At. Esta se obtiene cambiando renglones por columnas. El primerrenglón de A es la primera columna de At , el segundo renglón de A es la segundacolumna de At, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n ´ m.

809641

32xA

860491

23txA

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji i, j.

7171012219149611109084126865211452

A

97101279411047212121

AMatriz antisimétrica: Una matrizcuadrada es antisimétrica si A = –At,es decir, si aij = –aji i, j.

Atendiendo a los elementos, se pueden identificar los siguientes tipos dematrices:

Matriz nula: es aquella que todos sus elementos son 0.

0A

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos nopertenecientes a la diagonal principal son nulos.

000000

A

000000000

A

1100070003

A

Matriz diagonal dominante: Es una matriz cuadrada cuyos elementos en ladiagonal son en valor absoluto mayores a la suma de los valores absolutos delos demás elementos en su fila, es decir:

1125270438

A

n

ijj

ijii aa1

dominante diagonal esA matriz la 2511237438

323133

232122

131211

aaaaaaaaa

Matriz escalar: Es una matriz diagonalcuyos elementos pertenecientes a ladiagonal principal son iguales.

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalarcon los elementos de la diagonal principaliguales a 1.

3000030000300003

A

1000010000100001

A

Matriz triangular: Es una matriz cuadrada cuyos elementos que están a un mismolado de la diagonal principal son cero. Pueden ser de dos tipos:

90005110032506541

A

Triangular superior: Si los elementos queestán por debajo de la diagonal principalson todos nulos. Es decir, aij =0 i<j.

Triangular inferior: Si loselementos que están por encimade la diagonal principal son todosnulos. Es decir, aij =0 j<i.

1986501612100530004

A

2. OPERACIONES CON MATRICES.

Trasposición de matrices. Dada una matriz de orden m x n, A= (aij),se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matrizque se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa)en la matriz A.

503754

92

A

Propiedades de la trasposición de matrices

1. Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.

2. (At)t = A.

53590742tA

Suma y diferencia de matrices. La suma de dos matrices A=(aij),B=(bij), es otra matriz S=(sij) del mismo orden que los sumandos ycon término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dosmatrices estas deben ser del mismo orden o dimensión.

La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

764876903

A

465330

154B

31295106

1057

476654383706195043

BA

Propiedades de la suma de matrices

1. A + 0 = A (0 es la matriz nula)

2. Propiedad conmutativa: A + B = B + A

3. Propiedad asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

4. Matriz opuesta: Es la matriz que se obtiene cambiando todos los signos de la matriz A, se denota con –A. La suma de una matriz con su opuesta es cero, A + (-A) = 0.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A (–B).

Producto de una matriz por un número. El producto de una matrizA= (aij) por un número real k es otra matriz B= (bij) de la mismadimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtienemultiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.

Si k=5 y B=kA,

El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número realk se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares pormatrices.

764876903

A

35302040353045015

756545857565950535

B

Propiedades del producto de una matriz por un escalar

1. Propiedad distributiva:

k (A + B) = k A + k B

(k + h)A = k A + h A (k y h son escalares)

2. Propiedad asociativa mixta: k [h A] = (k h) A

3. Elemento unidad: 1·A = A

Propiedades simplificativas

1. A + C = B + C A = B.

2. k A = k B A = B si k es diferente de 0.

3. k A = h A h = k si A es diferente de 0.

Producto de matrices. Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz Pcuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de Belemento a elemento. Es evidente que el número de columnas de A debe coincidircon el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m ´ n y B dimensión n ´r, la matriz P será de orden m´ r.

n

kkjikij bap

1

368

04232xA

943

13xB

rjmi

,...1,...1

3

1133212

kkjikijxxx bacBAC

311321121111

3

11111 babababac

kkk

312321221121

3

11221 babababac

kkk

2290443211 c

2193463821 c

2122

21C

12,1

ji

368042

943

368042

943

Propiedades del producto de matrices

1. A·(B·C) = (A·B)·C

2. El producto de matrices en general no es conmutativo.

1618

491850

438656

40301742

8656

5043

3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A(In es la matriz identidad de orden n).

4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otramatriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se diceque es la matriz inversa de A y se representa por A–1 .

5. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma dematrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C

Consecuencias de las propiedades

1. Si A·B= 0 no implica que A=0 ó B=0.

2. Si A·B=A·C no implica que B = C.

0000

0065

0050

0000

4900

0007

0100

0007

3. En general (A+B)2 A2 + B2 +2AB,ya que A·B B·A.

4. En general (A+B)·(A–B) A2–B2, ya que A·B B·A.

Matrices inversibles. Una matriz cuadrada que posee inversa se diceque es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre desingular.

Propiedades de la inversión de matrices

1.La matriz inversa, si existe, es única.

2.A-1A=A·A-1=I

3.(A·B) -1=B-1A-1

4.(A-1) -1=A

5.(kA) -1=(1/k·A-1)

6.(At) –1=(A-1) t

Observación. Existen matrices matrices que cumplen A·B = I, peroque B·A I, en tal caso, se dice que A es la inversa de B “por laizquierda” o que B es la inversa de A “por la derecha”.

Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada: directamente, usando determinantes o por Gauss-Jordan.

Directamente. Este método utiliza la propiedad A·A-1 = I, es decir, si tenemos

104

122A

dcba

A 1

1001

2I

Se pueden plantear las ecuaciones correspondientes:

a2

1001

1004001004

1202001202

110d-4b010c-4a012c2b112c2a

dcba

Resolviendo el sistema anterior,

Los otros dos métodos de inversión de matrices se expondrán posteriormente.

02941.005882.017647.014706.0

02941.005882.017647.014706.0

1A

dcba

Capitulo V

Sistema de Ecuaciones Algebraicas Lineales


25

INTRODUCCIÓNPara la resolución de los S.E.L. se utilizan dos tiposde métodos:

MÉTODOS DIRECTOS:

Son aquellos que obtienen la solución exacta trasun número finito de operaciones elementales salvoerrores de redondeo en los cálculos.

MÉTODOS ITERATIVOS:

Van construyendo una sucesión de aproximacionesa la solución “x” hasta obtener una precisióndeterminada o hasta completar un númerodeterminado de iteraciones.

26

INTRODUCCIÓN

Aspectos sobre la eficacia de los distintos algoritmos:

• Rapidez:

Número de operaciones

• Coste espacial:

Memoria de almacenamiento necesaria.

• Facilidad de programación.

• Sensibilidad del algoritmo respecto a errores deredondeo

• Tipo de problemas a los que es aplicable

27

INTRODUCCIÓNPretendemos resolver un sistema de “m” ecuacioneslineales con “n” incógnitas:

En forma matricial lo expresamos como:

Ax=bdonde A mxn, x n ,b m

mnn,m,m,m

nn,,,

nn,,,

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222112

112211111,1 1 1,2 2 1, 1

2,1 1 2,2 2 2, 2

,1 1 ,2 2 ,

n n

n n

m m m n n m

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

28

Clasificación de losSistemas de ecuaciones lineales

29

Teorema de Rouché-FrobeniusTeorema de Rouché-Frobenius

• El sistema Amnx = b es compatible si y sólo sirango(A) = rango(A|b)

• Un sistema compatible es determinado sirango(A) = n

• Un sistema compatible indeterminado tienen – rango(A) variables libres

• Solución xc = xp + núcleo(A)

30

• El sistema Ax=b es compatible si y solo si b R(A), en otraspalabrassi y solo si rango(A) = rango(A,b).

• Si el sistema es compatible y las columnas de A son linealmenteindependientes entonces la solución es única.

• Si el sistema es compatible y las columnas de A son linealmentedependientes entonces tiene infinitas soluciones.

TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDADPARA SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS.

TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD PARA SISTEMAS HOMOGÉNEOS.

• El sistema Ax=0 tiene solución no trivial si y solo si lascolumnas de A son linealmente dependientes.

• Si m = n, entonces Ax=0 tiene una solución no trivial si y solosi A es singular.

31

Las soluciones de un sistema compatible Ax = bpermanecen invariantes ante las siguientes operaciones:

• Al intercambiar dos ecuaciones cualesquiera.

• Al multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.

• Al sumar a una ecuación una combinación lineal nonula de otras ecuaciones.

TEOREMA DE INVARIANZA DE LA SOLUCIÓN

32

Número de condición de una matriz Número de condición de una matriz

• cond mide el mal condicionamiento cond(eye(n))=1 cond(matsingular) = inf

• rcond mide el buen condicionamiento rcond(eye(n))=1rcond(matsingular) = 0

• rcond y det

33

Sistemas de ecuaciones lineales

34


35


36


37


38

Matrices

• Es un arreglo rectangular de números donde no sólode valor de éste es importante, sino que también suposición

• El tamaño de una matriz se describe por la cantidadde filas y columnas (n x m)

• Cada fila o columna representa a un vector

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

39

Propiedades

• Dos matrices del mismo tamaño pueden sumarse orestarse

• La multiplicación se define como sigue, cuando Aes n x m, y B es m x r. A·BB·A

y ij ij

ij ij ij

A a B b

C A B a b c

1

1,2,.... , 1,2,....

ij ij ij

m

ij ik kjk

a b c

c a b i n j r

40

• Si una matriz se multiplica por un escalar elresultado es una nueva matriz con cada elementomultiplicado por éste

• Una matriz con una sola columna se le denominavector columna (n x 1), si es una fila se habla devector reglón (m x 1)

• Al multiplicar una vector reglón con un vectorcolumna se obtiene el producto interior

• Al multiplicar una vector columna con un vectorreglón se obtiene el producto exterior

• La división para matrices no está definida, aúncuando analizaremos la inversa de una matriz

Propiedades

41

• Ciertas matrices cuadradas tiene propiedades especiales, como por ejemplo:

• Matriz diagonal (D): si todos los elementos sobre ladiagonal son distintos de 0

• Matriz identidad (I), caso especial en donde la diagonal estácompuesta por unos y l resto por 0. A·I = I·A

• Matriz de transposición (P), formada al intercambiar 2reglones o columnas de la matriz identidad. El producto de varias matrice de trasposición es una matriz de permutación

• Matriz transpuesta (AT), es la matriz que se obtiene alintercambiar los reglones por columnas o viceversa

• Traza (tr), cuando la matriz es cuadrada se define unacantidad denominada Traza. Que es la suma de los elementos de la diagonal. tr (A)= tr (AT)

42

• Matriz triangular inferior (L), los elementos sobre ladiagonal son 0.

• Matriz triangular inferior (U) los elementos debajo de ladiagonal son 0

• Matriz tridiagonal, son aquellas con elementos distintosde 0 en la diagonal y en las posiciones adyacentes(importantes en ecuaciones diferenciales). Esta matrizpuede comprimirse a una matriz de 3 columnas y nrenglones.

• Matriz pentadiagonal, son aquellas con elementos distintos de 0 en la diagonal y en las posiciones adyacentes.Esta matriz puede comprimirse a una matriz de 5columnas y n renglones

43

Determinante• El determinante de una matriz es un número• Para una matriz 2x2 se calcula restando el producto

de los elementos en la diagonal menor a la superior

• Para una matriz mayor se aplica la regla de desarrollaren términos de los menores respecto a algún reglón ocolumna. El menor de cada término es la matriz de menor orden formada al eliminar el reglón o columna encuestión. Se parte con signo positivo si la suma delreglón o columna es par y negativo en caso contrario,de ahí en adelante se alternan los signos

• En el caso de una matriz triangular superior o inferiorsu determinante es sólo el producto de los elementosde diagonal

11 1211 22 12 21

21 22

det(A)=a a

A a a a aa a

44

Ejercicio

3 0 1 24 1 3 20 2 1 31 0 1 4

det( ) 146

A

A

4 0 0det 6 2 0 40

1 3 5A

45

• Los determinantes pueden ocuparse tambiénpara calcular el polinomio característico de lamatriz, ya que :

( ) det( )Ap A I A I

2

1 34 5

(1 ) 3( ) det

4 (5 )

(1 )(5 ) 12 6 7

A

A

p A I

46

Matrices

nmnn

m

m

m

mn

aaa

aaaaaaaaa

A

21

33231

22221

11211mnmnmn BAC

Sum:

ijijij bac A and B must have the same dimensions

Matrices

mnT

nm AC Transpose:

jiij ac TTT ABAB )(

TTT BABA )(

If AAT A is symmetric

47

Matrices

pmmnpn BAC Product:

m

kkjikij bac

1

A and B must have compatible dimensions

nnnnnnnn ABBA

Identity Matrix:

AAIIAI

100

010001

48

MatricesDeterminant: A must be square

3231

222113

3331

232112

3332

232211

333231

232221

131211

detaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaa

122122112221

1211

2221

1211det aaaaaaaa

aaaa

49

Matrices

IAAAA nnnnnnnn

11

Inverse: A must be square

1121

1222

12212211

1

2221

1211 1aaaa

aaaaaaaa

50

Métodos directos frente a métodos iterativos

DIRECTOS

• Ax =b

• x = A\ b

• Tamaño moderado

• Producen llenado

• Error de redondeo

ITERATIVOS

• Mx = (MA)x + b

• Mx(k+1) = (MA) x(k) + b

• Tamaño grande

• Conservan los ceros

• Error de truncamiento

51

Convergencia y número de operaciones• Coste (para matrices densas)

Directos: n3 Iterativos: k.n2

• Convergencia

• Criterio de parada:

iter < maxiter

x x tol; p 1,2,...,inf(k+1) (k)p

52

Limitaciones de los Métodos Directos

• Acumulación del error de redondeo• Coste de la eliminación: O(n3)

• Sensibilidad al error de redondeo• Sistemas mal o bien condicionados• Número de condición

• Estrategia de Pivotación Parcial

• Llenado de la matriz. • Matrices dispersas

53

Sensibilidad al error de redondeo

• Sistema mal condicionado : • Un pequeño cambio en la matriz causa un gran cambio en

la solución.

• Sistema bien condicionado :• Pequeños cambios en la matriz causan pequeños cambios

en la solución.

• Condicionamiento de una matriz

54

Capitulo V

Métodos Directos de Solución de Ecuaciones Lineales


55

Los métodos numéricos nos permitirán:Solucionar sistemas de ecuaciones algebraicaslineales

56

CONTENIDO

24

yxyx

1.2.1. Sistemas de ecuaciones

Comentarios: en este ítem aplicaremos la teoría de matrices ydeterminantes para determinar la solución de un sistema deecuaciones lineales. Identificaremos las condiciones para que unsistema tenga solución y extenderemos estos criterios adeterminar la solución de “m” ecuaciones con “n” incógnitas.

Definición: Llamaremos sistema de ecuaciones lineales alconjunto de ecuaciones con dos o más incógnitas (variables) detal manera que se verifiquen simultáneamente para ciertoscriterios asignados a sus incógnitas

57

1. INTRODUCCIÓN ,

Ejemplo:1.

CS{ }

2. CS{ }

3. Si el sistema tiene “n” ecuaciones la solución tendrá “n”incógnitas; es decir

58

1. INTRODUCCIÓN ,

24

yxyx

436

42

yxzyx

zyx

1;3 yx

2;2;2 zyx

),...,,( 21 nxxx

},...,,,{. 321 nxxxxSC

1.2.3. SISTEMA DE “m” ECUACIONES LINEALES CON “n”INCOGNITAS

59

1. INTRODUCCIÓN ,

)1(

332211

332211

222323222121

111313212111

mnmnjmjmmm

ininjijiii

nnjj

nnjj

bxaxaxaxaxa

bxaxaxaxaxa

bxaxaxaxaxabxaxaxaxaxa

njmiIRbIRa mi

mnij ,...,2,1,...,2,1;

mibxaóbxa in

jjiji

n

jjij

m

i,...,2,1;

111

1.2.4. FORMA MATRICIAL

60

1. INTRODUCCIÓN ,

)2(

......

......

......

......

2

1

2

1

321

321

22232221

11131211

m

i

m

i

mnmjmmm

inijiii

nj

nj

b

b

bb

x

x

xx

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaa

nmnmij IRaA

nnj IRxx

1

11 111

m

mi IRbb

1.3. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIONESSupongamos que es definida la siguiente matriz llamadaaumentada del sistema ; formada por la matriz decoeficientes y adjuntando el vector independiente ; así:

61

CONTENIDO,

iij

m

i

mnmjmmm

inijiii

nj

nj

ba

b

b

bb

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaa

bAAa

2

1

321

321

22232221

11131211

......

......

......

......

•Si el rango de la matriz de coeficientes y de lamatriz aumentada son iguales entonces elsistema (1) es consistente; es decir tiene solución.En otras palabras caso contrario el sistema esinconsistente esto es no tiene solución.

•Si el sistema es consistente y ocurrir que entoncesel sistema tiene solución única.

•Si el sistema es consistente y ocurre que entoncesel sistema tiene infinitas soluciones

62

CONTENIDO,

nAarAr )()(

nkAarAr )()(

•Representación

63

CONTENIDO,

AX=B

Si r(A) ≠r(Aa) Inconsistente no hay solución

Si r(A) = r(Aa) = k,Consistente existe solución

Si K = n la solución es única

Si k< n; infinitas soluciones

•Ejemplo:

• , entonces el sistema es inconsistente; es decirno tiene solución•Si el sistema fuera homogéneo es decir

64

CONTENIDO,

201051284

yxyx

1)(0021

10584

ArA 2)(

53

0021

2012

10584

AarA

)()( AarAr

0105084

yxyx 1)()( AarAr 2)( nAr

en este caso existe un número infinito de soluciones.

•Ejemplificación:

•Entonces el sistema tiene una única solución

65

CONTENIDO,

521453

yxyx 2)(

3/1303/51

1253

ArA

2)(1

3/1410

3/513/13

3/143/130

3/515

1412

53

AarAa

}1,3{. SC

1.4.1. Métodos diagonalesDefinición: Se llama sistemas de ecuaciones diagonales alos arreglos especiales en forma de una diagonal:Ejemplo:

66

1.4 . MÉTODOS DIRECTOS DE SOLUCIÓN ,

2086

500040003

2058463

3

2

1

3

2

1

xxx

xx

x

45

20

}4,2,2{.248

256

33

22

11

xx

SCxx

xx

Observaciones:1. La matriz de coeficientes es una matriz diagonal.2. El conjunto solución es obtenido dividiendo cada

elemento del vector independiente (insumos,condiciones) por cada respectivo elemento de lamatriz diagonal.

3. Una matriz diagonal en general se representa de lasiguiente forma:

67


jisi

jisiaaA ij

nnij 0

nna

aa

a

A

0000

0...000...000...00

3322

11

4. El sistema de ecuaciones lineales diagonal será:

5. Determinado su solución general

68


nnnn b

bbb

x

xxx

a

aa

a

3

2

1

3

2

1

33

22

11

0000

0...000...000...00

nn

nn

ii

ii a

bx

ab

xab

xab

xab

x ...;....;;33

33

222

2111

1

5. Determinado su solución general:Seudocódigo

69


)(

/,,2,1

)(),(,

i

iiii

iij

xoutputend

abxdonifor

baninput

1.4.2. MÉTODO TRIANGULAR INFERIOR

Definición: Se llama sistema de ecuaciones triangularinferior a los sistemas de ecuaciones que al momento deescribir en forma matricial la matriz de coeficientes es unamatriz triangular inferiorEjemplo:

70


1546

423011002

15423462

3

2

1

321

21

1

xxx

xxxxx

x

Solución:

Observación:1. La matriz de coeficientes es una matriz triangular inferior.2. El sistema se puede escribir de la siguiente manera

71


28642

26315

}2,1,3{.1264

326

33

22

11

xx

SCxx

xx

n

i

n

i

nnnnn

iiii

b

b

bbb

x

x

xxx

aaaa

aaa

aaaaa

a

3

2

1

3

2

1

321

21

333231

2221

11

0...0...00...00

3. El conjunto solución del sistema triangular es obtenidode la siguiente manera.Primero: suponiendo que para todoSegundo: el valor de se obtiene a partir de la primeraecuación del sistema; es decir:Tercero: el valor de se obtiene de la segunda ecuaciónsustituyendo el valor de ; es decir:

72


0iia i

1x

11

11 a

bx

2212222

11

1212

211

1212222 /21 axbx

aabab

xababxa a

Cuarto: Los valores de son obtenidos demanera análoga

Seudocódigo

73


nxxx ...,,, 43

iii

jjijii axabx

axaxabx

/

/

1

1

3323213133

)(

/

,,3,2,1

)(),(,

1

1

i

ii

i

jjijii

iij

xoutputend

axabx

donifor

baninput

1.4.3. MÉTODO TRIANGULAR SUPERIORDefinición: Se llama sistema de ecuaciones triangularsuperior a los sistemas de ecuaciones que al momento deescribir en forma matricial la matriz de coeficientes es unamatriz triangular superiorEjemplo:

Solución

74


624

5

300420325

630024420

5325

3

2

1

3

32

321

xxx

xxxxxx

5/275/325

}1,8,5/27{.82/)2(424

236

1321

22

33

xxxxSCxx

xx

Observación:1. La matriz de coeficientes es una matriz triangular

superior.2. El sistema se puede escribir de la siguiente manera

75


n

i

n

i

nn

inii

ni

ni

ni

b

b

bbb

x

x

xxx

a

aa

aaaaaaaaaaaa

3

2

1

3

2

1

3333

222322

11131211

000

00

......00.....0......

3. La solución del sistema triangular superior se obtienede la siguiente manera.Primero: iniciamos determinando el valor de la últimavariable en este caso a partir de la última fila.

Segundo: para determinar el subsiguiente valor se realizaasí:

76


nn

nnn a

bx

11/111 nnannnnn xabx

Tercero: Los valores de son obtenidos demanera análoga

Seudocódigo

77


132 ...,,, xxx nn

1,...,2,1,;/1

nnniaxabx iin

ijjijii

)(

/

1,,2,1,

)(),(,

1

i

ii

n

ijjijii

iij

xoutputend

axabx

donnnifor

baninput

1.4.4. MÉTODO DE GAUSSa) Un proceso de eliminación hacia delante.1º. Eliminamos el primer término de la segundaecuación; multiplicando a la primera ecuación por yrestándolo del primer término de la segunda ecuaciónpara eliminar el primer término de la segunda ecuación;luego se multiplica a la primera ecuación por y seresta del primer término de la tercera ecuación y asísucesivamente para las restantes ecuaciones se eliminarestando la primera ecuación multiplicada por ,quedando el sistema así:

78


11

21aa

11

31aa

3i

11

1aai

En donde:

79


)3(

'''33

'22

'

'''33

'22

'

2'

2'

2'

323'

222'

111313212111

mnmnimimm

ininiiiii

nniinnii

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxaxa

ji

ijij aaa

aa 111

1'

2º. Eliminamos del segundo término de las ecuaciones delsistema (1) donde la tercera ecuación hasta la última serealiza análogamente que en la primera parte es decir:restamos la segunda ecuación del sistema multiplicadapor y así continuamos eliminando los tercerostérminos de las ecuaciones restantes, finalmente se llega auna triangulación total; así:

80


2i

22'

2'

aa i

mn

nmnn

ii

nini

iiii

nniinnii

bxa

bxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxaxa

11

111

2'

2'

2'

323'

222'

111313212111

Observación:1. A los términos principales de cada ecuación se le

llama pivote.2. Se puede normalizar cada ecuación, y para ello

sólo se divide por el coeficiente principal,fenómeno que no se usa en la eliminaciónGaussiana la razón es por el aumento del tiempocomputacional.

81


b)Un proceso de sustitución hacia atrás.Este proceso consiste en usar la solución de un sistematriangular superior explicado anteriormente.Debemos destacar que esta metodología de eliminaciónGaussiana se puede trabajar sólo con los elementos de lamatriz aumentada es decir:

82


n

i

nnnnn

iniiii

ni

ni

ni

b

b

bbb

aaaa

aaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

3

2

1

321

21

33333231

22232221

11131211

.................

Seudocódigo

83


),(

,...,2,10/

,...,2,11,...4,3,2,1

)(),(,

jij

kii

kjijij

ik

kkik

iij

baoutputend

endend

btbb

ataadonkkjfor

aaat

donkkifordonkfor

baninput

Una vez realizada laeliminación Gaussiana,utilizamos el algoritmo delsistema triangular superiorpara solucionarcompletamente el sistemade ecuaciones

Ejemplos:Resolver el siguiente sistema usando eliminación Gaussiana.

Primera fase: Triangulación de la matriz aumentada.a. Determinando la matriz aumentada

84


0331223

132

321

321

321

xxxxxxxxx

012

1

313231312

b. Realizando operaciones elementales de matrices según elmétodo.

Segunda fase: Determinación de los valores de las variables

85


7/222/23

1

7/11002/12/70312

2/32/23

1

2/32/102/12/70312

22

711722

33 xx

3

27

227

223

22

xx

12/3)3)(2(1 11 xx

Ahora comprobaremos los resultados usando MATLAB para hacerlas operaciones elementales por fila>> A=[2 1 -3;-1 3 2;3 1 -3]>> b=[-1 12 0]>> A=[A b']>> format rat>> A(2,:)=A(2,:)+A(1,:)/2>> A(3,:)=A(3,:)-3*A(1,:)/2>> A(3,:)=A(3,:)+A(2,:)/7>> sts(A,b,3)X=1.000000000000; 3.000000000000;2.000000000000

86


2. Resolver el siguiente sistema usando eliminación Gaussiana.

Primera fase: Triangulación de la matriz aumentadaa. Determinando la matriz aumentadab. Realizando operaciones elementales de matrices según el método.Segunda fase: Determinación de los valores de las variablesAhora comprobaremos los resultados usando MATLAB.» A=[3 2 -3;1 3 -2;5 -2 4] % ingresamos la matriz de coeficientes» b=[-2 1 13] % ingresamos el vector de términos independientes

87


13425123

2323

321

321

321

xxxxxxxxx

1.4.5. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓNDESCOMPOSICIÓN LU APLICACIONESAnteriormente ya se ha escrito que un sistema de n ecuaciones con

n incógnitas se puede escribir de la siguiente manera

O simplemente

88


n

i

n

i

nnnjnnn

inijiii

nj

nj

b

b

bb

x

x

xx

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaa

2

1

2

1

321

321

22232221

11131211

......

......

......

......

bAx

Supongamos que la matriz se puede escribir como el producto de ,donde

L : es una matriz triangular inferior de orden nxn

89


LU

jiljill

quetall

llll

lll

lllll

l

Lij

ijijnxnij

nnnnn

iiii,0,0...

0...00...00

321

21

333231

2221

11

U : es una matriz triangular superior de orden nxn

90


LU

jiujiuu

quetalu

u

uu

uuuuuuuuuuuu

Uij

ijijnxnij

nn

inij

nj

nj

nj

,0,

000

00

......00.....0......

3333

222322

11131211

U : es una matriz triangular superior de orden nxn

Cuando es posible factorizar A=LU se dice que tiene unadescomposición LU , pero esto no ocurre de una única forma.

91


jiujiuu

quetalu

u

uu

uuuuuuuuuuuu

Uij

ijijnxnij

nn

inij

nj

nj

nj

,0,

000

00

......00.....0......

3333

222322

11131211

Cuando La matriz se transforma en una matriztriangular inferior unitaria; en este caso se le llama FACTORIZACIÓNDE DOOLITTLE.

La otra manera seria transformando a en una matriz triangularsuperior unitaria es decir: se le conoce con el nombrede FACTORIZACIÓN DE CROUT.

Cuando U =Lt de modo que lii es igual a uii para se le llamadescomposición de CHOLESKY. Esta descomposición de Choleskyrequiere de varias propiedades especiales, la matriz A debe serreal, simétrica y definida positiva

92


nilii ,...,3,2,1,1

niuii ,...,3,2,1,1

Por ejemplo para una matriz 4x4 se tiene.

93


44

3433

242322

14131211

434241

3231

21

44434241

34333231

24232221

14131211

00000

0.

1010010001

uuuuuuuuuu

lllll

l

aaaaaaaaaaaaaaaa

1414131312121111 ,,, uauauaua

241421242313212322122122112121 ,,,. uulauulauulaula

3224321431343323231331332232123132113131 ,,,. uululauululaululaula

4432432442144144334323421341432242124142114141 ,,,. uulululaulululaululaula

),min(

11..

ji

ssjis

n

ssjisij ulula

Es decir:

Observación:1. Para2. Para3. El primer renglón “fila” de U es igual al de A ; es

decir:

94


2414212422122124

2

124 uulululaula

ssjis

4434432442144144

4

144 uulululaula

ssjis

0isl is silis ,1

0sju js

1414131312121111 ;;; uauauaua 4,3,2,1;11 jau jj

4.Multiplicamos la segunda fila, la tercera fila y lacuarta fila de L por la primera columna de U

5. Multiplicando la segunda fila de L, por la segunda,tercera y cuarta columna de U y la igualamos con loselementos de A , se tiene:

95


114141113131112121 ;; ulaulaula

11

4141

11

3131

11

2121 ;;

ual

ua

lual

241421242313212322122122 ;; uulauulauula

242322 ;; uuu

142124241321232312212222 ;; ulauulauulau

SeudocódigoInput n,(aij)For k = 1,2,…,

for j = k+1,k+2,…n

endfor i= k+1,k+2,…n

endendOutput (lij), (uij)

96


1

1

k

sskkskkkkkk ulaul

kkk

ssjkskjkj lulau /

1

1

kkk

sskisikik uulal /

1

1

1.4.6. MÉTODO DE FACTORIZACIÓN DE DOOLITTLEConsideremos una matriz de tres por tres:

L11 = L22 = L33 = 1, luego desarrolla el sistema de ecuaciones así:u11 = a11, u12 = a12 , u13 = a13

ContinuandoL21 = a21/a11, u22 = a22 – (a21/a11) a12, u23 = a23 – (a21/a11)a13

97


333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

Del otro grupo de ecuaciones tenemos

98


1311

2123

1211

2122

1211

3132

1321

313333

1211

2122

1211

3132

3211

3131

aaa

aa

aa

a

aaa

aa

aa

a

aaa

a

aaa

aL

aa

L

SeudocódigoInput n,(aij)For k=1,2,…,

for j =k+1,k+2,…nend

for i= k+1,k+2,…n

endendoutput (lij), (uij)

99


1kkl

1

1

k

ssjkskjkj ulau

kkk

sskisikik uulal /

1

1

Ejemplo:Solución:

100


435

311642294

3

2

1

xxx

101055.22132

426

)9(424

)9(411

)2(413

554462

426

21

21

294)9(

424

0

5.2

2145

294

491

)9(424

)9(411

;41

21

42

2;9;41

3333

2323

2222

21

3231

2121

131211

332211

uu

uu

uu

u

LL

LL

uuuLLL

De esta manera tenemos

Para resolver el sistema dado se sigue los siguientes pasos:Primero: Resolvemos Lc = b

En dondeb. Es el vector independiente original

c. Es un vector columna cualquiera

101


100055.00294

;15.225.0015.0001

UL

Es decir

C1 = 5; C2 = 3 - 0.5 (5) → C2 = 0.5C3 = 4 – 0.25 (5) – (2.5) (0.5) = 4 -1.25 – 1.25 → C3 = 1.5

Segundo: Resolver Ux = c

102


435

15.225.0015.0001

3

2

1

CCC

5.15.0

5

100055.00294

3

2

1

xxx

105.1

3x

x2 = 2.5

x3 = -0.15

5.25.0

)15.0(55.02x

4))15.0(2)5.2(95(

1x x1 = 6.95

Generalización

103


niL

njiuLau

L

niijuLau

ii

j

kkjikij

jjij

i

kkjikijij

,...2,1,1

,....1,1

,.....1,;

1

1

1

1

1.4.7. MÉTODO DE CHOLESKYMatriz Positiva:Diremos que una matriz simétrica A, es positiva si solo si losdeterminantes de las sub matrices de A son positivos.

104


0,.....,0,,0

21

21

222121

111211

333231

212221

131211

2221

121111

nnnjnn

inijii

nj

nj

aaaa

aaaa

aaaaaaaa

aaaaaaaaa

aaaa

a

Supongamos que tenemos el sistema en la forma LU toma laforma de LLT, en donde L es una matriz triangular inferior i.e.

Observación: Los cálculos se reducen pues estimaremos n(n+1)/2 elementos, los Lij ≠ 0 en lugar de de n2 elementos deuna factorización nominal:

105


nnninnn

iiiii

LLLLL

LLLL

LLLLL

L

L

321

321

333231

2221

11

0

000000000

Ejemplo: Resolver el sistema siguiente

La matriz de coeficiente es simétrica y positiva, luegoaplicamos Cholesky. Supongamos su descomposición sea:

106


421

502021214

3

2

1

xxx

502021214

0000

00

33

3222

312111

333231

2221

11

LLLLLL

LLLLL

L

107


963396.114286.0155

37796.032287.1210

32287.125.022

12210

24

3331233

232

231

3232223121

22222

221

313111

212111

1111211

LLLLL

LLLLL

LLL

LLL

LLL

raiceslastodasdepositivovaloreltomaseLaL

1. Resolver el sistema LC=b

108


0367.232287.1

32287.132289.1412

232289.12

,2/1

421

96396.137796.00032287.10002

3

2

2221

1

3

2

1

cc

cccc

c

ccc

2. Resolver el sistema LTx = C

109


037.1

29629.159259.0

5959.02

0367.2)29629.1(5.05.0

29629.132287.1

)037.1(37796.032287.1

037.196396.10367.2

0367.232287.1

21

96396.10037796.032287.101212

1

2

33

3

2

1

x

x

x

xx

xxx

Generalización para un sistema de n ecuaciones

110


jiLnj

njjilla

LL

ilaL

niLa

L

aL

ij

i

kjkikijij

i

kinii

ii

0,.....,3,2

1,....,2,11

2;

,....,3,2,

1

111

21

1

1

211

11

11

1111

Muchas Gracias 111

catedra metodos numericos 2015 - unsch (07) [modo de ... · matriz diagonal dominante: es una...

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