carderno virtual de matemática
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Caderno Virtual de Matemática -2011TRANSCRIPT
2011
Prof Rocco
Escola Viva
Caderno Virtual de Matemática
Aula 1 de Matemática – 9os Anos – 2011 07 de fevereiro – 2ª. feira
Cap 13 – Conjuntos Numéricos Em grupos de 3 alunos(A,B e C):
A – internet: www.gregosetroianos.mat.br/Reports/EM.htm B – leitura das páginas 249 a 251 (Livro Didático)
C – Responder (1ª.escrita) às questões desta comanda Nos espaços abaixo, ou usando o verso da folha, responda com suas palavras às questões abaixo. Atenção: seus colegas vão ler suas respostas para poder discuti-las logo após, portanto, escreva algo que se alguém ler possa entender o quê você está tentando dizer.
O que é, no seu modo de pensar, algo infinito?
Quantos pontos você pode contar em uma reta? Ou, quantos grãos de areia você pode contar em uma praia comum?
Nos filmes de ficção científica é comum se fazer referência à Física Quântica. Esta palavra “quanta” significa pacote (quantidade) e esta é a forma atual de se ver o mundo: quânticamente. Tudo em unidades (pequenas) que são “quantas” de energia, ou de luz (fótons), ou pontos na reta, ou grãos de areia. Você continua mantendo as duas respostas dadas anteriormente? Caso mude de idéia escreva aqui a nova resposta, ou basta dizer que sim (continua com a mesma resposta anterior).
O que significa dizer que a Matemática é EXATA? Agora cada um de vocês vai escrever no seu Caderno de Matemática uma síntese do que vimos nesta aula. Não esqueça de registrar o nome de seus colegas que participaram de seu grupo, o que cada um fez (A,B ou C), e o que eles acharam importante (ou não), e a que conclusão você(s) chegou(aram)a
cerca do que é o infinito? Isto fará parte de um Trabalho futuro a ser entregue no 1º. Bimestre, mas este resumo faz parte de suas Lições que deverão ser apresentadas na próxima aula. LL01 (1º Bim) Cap 13 p. 242 ex. 1 a 7. Entrega em 14-fev-2011 (2ª. feira) no Caderno de Matemática. [email protected]
2
Com poucos traços e algumas poucas curvas um universo se abre. Você já sabe fazer uma conta
de dividir:
7 2
6 3
1
ou
7 2
1 3
Nesta aula aprendemos a extrair raiz quadrada por um processo muito parecido e que
esquematizado abaixo parace o rascunho do mapa do inferno. Mas é fácil.
212 34 56 78 12
... 2 ... ... ...
.... 34 2( )... ... ...
...
..... 56
a b c
a b x b
a b c x c
x
x
Para treinar: 207936-427716-622521-974169-25281-904401
O porquê da divisão é que dividir significa fazer subtrações sucessivas e ver quanto sobra. Já o
porquê da extração da raiz quadrada virá quando passarmos pelas fatorações. Mas com isto
podemos verificar que raiz de 2 é uma dízima não periódica. É o mundo novo dos Irracionais. O
primeiro a vislumbrar este novo mundo foi Hipaso de Metaponto (filósofo pré-socrático –
pertencente aos pitagóricos - aprox. 500 aC).
ref: http://www.adorofisica.com.br/trabalhos/alkimia/mat2/TRAB1.htm
Os critérios de divisibilidade dos números nos ajudam a ver um pouco melhor os múltiplos,
divisores, e então os números primos. Toda raiz quadrada de um número primo é irracional, ou
lembrando da tabuada no Excel, toda raiz quadrada de um número que não for um quadrado
perfeito (a diagonal), é um número irracional.
LL2 (1º Bim) Cap 13 p. 243 e 244 ex. 8 a 16. Entrega em 21-fev-2010 (2ª. feira) no Caderno de Matemática.
Prof Rocco - [email protected]
Aula 03 de Matemática – 9os Anos – 2011 Cap 13 – Conjuntos Numéricos
Símbolos Matemáticos. Nos textos de Matemática, principalmente nos enunciados, aparece muitas vezes uma porção de símbolos que sem saber seu significado ficamos meio que tateando no escuro, em busca do significado.
Pieter Bruegel - A parábola dos cegos
Aula 04 de Matemática – 9os Anos – 2011 Cap 13 – Conjuntos Numéricos
Intervalos Matemáticos. Nos problemas de Matemática, principalmente as inequações, serão cobradas três formas de ler e escrever intervalos matemáticos, a saber:
A – 3 7 Ou
B – / 3 7S x R x C – 3;7 Observe a diferença entre intervalo fechado (“bolota” cheia e acompanhando do sinal de igual na desigualdade) e intervalo aberto (“bolota” vazia e sem o sinal de igual da desigualdade). Observe também que infinito não é um número e portanto sempre será intervalo aberto. Agora eu vou fornecer um dos 3 e você lendo este um escreverá os outros dois correspondentes, é fácil, muito fácil mesmo. Ex.1
A – -3 8 16 Ou
B – / ..............................................S x R C – .................................................................... Ex.2
A – Ou
B – / 2 4 10S x R x ou x C – .................................................................... Ex.3
A – Ou
B – / ..............................................S x R
C – 7
; 5 2; 30;2
LL03 (1º Bim) Cap 13 p. 247 a 249 ex. 17 a 30. Entrega em 28-fev-2010 (2ª. feira) no Caderno de Matemática. [email protected]
Aula 05 de Matemática – 9os Anos – 2011
Cap 02 – Revisão de Potenciação
Resumo de Potenciação
Potência an = a.a.a.a……a ( n fatores) a base e n expoente Propriedades básicas:
a1 = a
a0 = 1 desde que a base não seja igual a zero.
a n.a m = a m+n
a n:a m = a m-n
(a n) m = a m.n = (am) n
(a.b) n = an.bn ou ainda (ap.bq) n = a p.n . b q.n
a - n = 1/an (expoente negativo) ou ainda
(1/a) –n = a n
Obs: na forma de fração o expoente negativo inverte a fração (a/b) - n = (b/a) n.
Potência de 10 10 -2 = 1/102 = 1/100 = 0,01 o 102 = 100
Notação Científica N . 10 e 1 ≤ N < 10
Exercícios Extras de Potenciação.
1. Escreva na forma de potência de 2 cada um dos seguintes números:
a) 32 = 25
b) 1/256 = (½)8 = 2-8
c) 1/16 = (½)4 = 2-4
2. Escreva na forma de potência de 3 cada um dos seguintes números: a) 1/27 = (1/3)3 = 3-3
b) 243 = 35 c) 1/81 = (1/3)4 = 3-4
3. Escreva o número 253 na forma de potência de 5. 56
4. Escreva na forma de potência de 10 cada um dos seguintes números: a) 100 000 = 105 b) 1 000 000 = 106 c) 0,0001 = 10-4 d) 0,1 = 10-1
5. Simplifique cada uma das expressões:
a) (92.273)/(2432) = 34+9-10 = 33 b) (1024)/(2-3.163) = 210-(-3)-12 = 2 c) (81-5)/(9 -11) = 3-20-(-22) = 32 d) (642)/(32 -1) = 212-(-5) = 217
6. Qual é a forma mais simples (potência de 10) de escrever a expressão:
[(0,0001)3.1004]2 : (0,1)7 ? 10(-12+8).2-(-7) = 10-1
7. Qual é o valor numérico da expressão a2.b/c2 quando
a = 25-2 , b = 625 e c = 5-3 ? 5-8+4-(-6) = 52
LL04 (1º Bim) Refazer as questões erradas da Prova P 01. Entrega em 14-mar-2011 (2ª. feira) no Caderno de Matemática. [email protected]
Aula 06 de Matemática – 9os Anos – 2011 Cap 02 – Potenciação e Radiciação
Procurando um expoente para a raiz Vamos rever algumas propriedades que você já conhece. Aproveite para entendê-las e não apenas decorá-las. Fique atento aos operadores que vão aparecer, é muito fácil confundi-los se você apenas tentar decorar as propriedades. A multiplicação é a soma de iguais. 4 + 4 + 4 = 3 x 4 A potenciação é a multiplicação de iguais. 4 . 4 . 4 = 43 Forma geral (definição): Potência an = a.a.a.a……a ( n fatores) a base e n expoente Propriedades básicas:
a1 = a a0 = 1 desde que a base não seja igual a zero. an.am = am+n an:am = am-n
(an)m = am.n = (am)n
(a.b)n = an.bn ou ainda (ap.bq)n = ap.n . bq.n
(a)- n = (1/a)n (expoente negativo)
ou ainda (1/a)–n = an
na forma de fração o expoente negativo inverte a fração (a/b)- n = (b/a)n.
Potência de 10
10 -2 = 1/102 = 1/100 = 0,01 102 = 100
Notação Científica N . 10 e 1 ≤ N < 10 Agora vamos pesquisar com a calculadora do computador (acessórios-
calculadora-exibir-científica-botão x^y = xy ) qual seria o expoente
que representaria a raiz quadrada. Ora sabemos que a raiz de 4 é 2. Então 4 elevado a que expoente daria 2? Seria uma coincidência o valor que você achou? Que tal tentar outros valores que conhece? Raiz de 81 ou de 49, que tal? Com o quê você conhece de potenciação você conseguiria justificar algebricamente a resposta que você encontrou? LL 07 Cap 02 p. 53 a 54 ex.32 a 38. Entrega em 30-mar-2011 (4ª. feira) no Caderno de Matemática. [email protected]
Aula 07 de Matemática – 9os Anos – 2011 Cap 02 – Potenciação e Radiciação
Expoente fracionário é radical! ref: http://2.bp.blogspot.com/_oB1PXcKdHNA/SCjDyjwBzYI/AAAAAAAAAHs/F-sApv1j70A/s400/Esportes-radicais1.jpg
n
m
n m aa Generalizando o que vimos de expoente fracionário termos que:
Radiciação n a n é o índice e a é o radiciando.
Para n par a deve ser positivo.
Propriedades básicas: n na a
.n m n ma a oun
mp
n m pa a ou . .n n nab a b oun
nn
a a
b b
Para extrair do radical temos:
.
.
.
n nm q ra a a
m n
r q
Dividimos m por n e verificamos quantos fatores conseguem sair (q) e quantos (resto r ) ficam.
Se você tiver 2 124 2 2 O que você fez foi dividir o expoente 2 pelo índice 2 e obter o resultado 1 e resto zero (que não aparece). Ou neste exemplo
1 12328 2 2 . 2 2 2 O que você fez agora foi dividir o expoente 3 pelo índice 2 e obter o resultado 1 que sai do radical e resto 1 que permanece lá dentro. Aquelas letrinhas tentam explicar isto m dividido por n dá q e resto r. Entendeu!
Sempre ficará n
m
n m aa que transforma quase toda radiciação em potenciação novamente! [email protected]
Aula 08 de Matemática – 9os Anos – 2011 Cap 02 – Potenciação e Radiciação
.a a b
bb
Racionalizando alguns denominadores! Vimos até agora um pouquinho da Teoria dos Conjuntos. Apreendemos algumas formas de representar estes conjuntos na reta numérica e, de escrevê-los, utilizando simbologia matemática. Isto foi o nosso Cap 13 do Livro Didático e também o tempo necessário para nos adaptarmos um pouco. Então fomos ao Cap 2 e estamos revendo todas as regras de potenciação, na forma de raiz (que é uma potência de expoente fracionário). Já devemos ter em nosso caderno cerca de 50 exercícios sobre estes assuntos. Nesta aula, fechando temporariamente o capítulo 2 (pois após revermos as fatorações voltaremos um pouquinho por aqui), veremos o que é racionalização. Pretende a matemática que saibamos em quantas partes foi divido o inteiro, e então não quer que o denominador seja um número irracional. Assim cria uma série de artifícios matemáticos para expressar a mesma quantidade (fração) mas com denominador não irracional (inteiro). Entendendo artifício como uma forma (até artística) de expressar algo com algum efeito desejado. No nosso caso o que queremos é tirar a raiz do denominador. Para tanto multiplicamos os dois (numerador e denominador) pelo que está faltando para o denominador conseguir sair da raiz. Veja:
3
2é pegar 3 partes de algo que foi dividido em raiz de 2 pedaços. Ora, sabemos já
que raiz de 2 não é um número muito preciso. Então qual é o artifício? Ao multiplicar numerador e denominador por um mesmo número não alteramos a
quantidade correspondente àquela fração. Vamos então multiplicar ambos por 2 e ficará assim:
3 2 3 2.
22 2e agora sabemos que foi dividido em duas partes (denominador
igual a 2). Lógico que resolve pouca coisa, pois antes sabíamos ter pego 3 partes e agora pegamos 3 raiz de dois (quanto é isto exatamente?) partes. É um recurso (até) artístico, mas que desenvolve uma porção de habilidades matemáticas que serão muito úteis lá para frente. “Aquerdite!!!” [email protected]
Aula 09 de Matemática – 9os Anos – 2011
ref: joaokepler.blog.br/?m=200907
Primeiro de tudo: a notação que usamos para % (porcento) nada mais é que exatamente isso
por cento: 1/100 ou ainda 100
1. Assim quando escrevemos 20% estamos dizendo 20/100 ou
ainda 100
20, ou ainda 20 vezes a fração 1/100, que alguns ainda sofrem para entender que é a
mesma coisa. Agora o segundo ponto interessante: os porcentos sempre estão acompanhados de algum valor que lhes dê algum sentido além do meramente numérico. Apesar de poderem aparecer sozinhos e até mesmo porcentos de porcentos. Assim 20% de 30, ou 20% de R$ 30,00 ou 20% de 30 títulos, ou em química 20% de 30 g, ou em física 20% da quantidade de mols do gás que escaparam pelo orifício, etc. Para calcularmos este(s) valore(s) basta multiplicar a fração dos porcentos (20/100) pelo valor em questão, no nosso caso 30, e teríamos que 20% de 30 =
20/100 . 30 = 100
20 . 30 = 600/100 = 6, então teríamos nas questões acima R$ 6,00, ou 6
títulos, ou 6 g ou 0,20n de gás que escapou. Bom! Visto isso deveríamos avançar um passo e verificar que houve acréscimo (aumento) de 20% ou decréscimo (diminuição – desconto) de 20%, pois assim somaríamos ou então diminuiríamos este valor do que tínhamos. Como vamos somar ou diminuir no todo, e este
todo é 1= 100% = 100
100,
ficaríamos com 1,20 = 1 + 0,20 no caso do aumento ou 0,80 = 1 – 0,20 no caso do desconto. Assim quando recebemos um aumento de 20% passamos a receber 0,20 vezes o salário a mais e 1,20 vezes o salário no total. Ganhávamos R$ 100,00 e recebemos 20% de aumento, então ganhamos R$ 20,00 a mais (= 0,20.100) e passamos a receber R$ 120,00 (=1,20.100). O mesmo acontecendo com o desconto. Assim se aquele aparelho que gostaríamos de comprar custava R$ 1000,00 e o lojista nos deu 20% de desconto, vamos pagar R$ 200,00 a menos (=20%.1000), ou seja, vamos pagar R$ 800,00 (= 0,80.1000) . Observe que no desconto fica 1 – 20% = 80%, já que este 1 é o então 100%. Visto isto vamos ao mercado financeiro. Existem dois tipos de juros, embora de fato só o segundo seja utilizado hoje em dia; o simples em que a taxa é multiplicada pelo tempo, e o composto em que a taxa é elevada ao tempo, mais conhecido como juro sobre juro. Se você aplicar a 20% ao mês durante dois meses a juro simples teria 2.20% = 40%, mas quando você aplica a 20% ao mês durante dois meses a juro composto, teria 1,20x1,20= 1,44, ou seja 44%. Não precisa dizer porque esta é a utilizada normalmente. As fórmulas que regem isto são relativamente simples, assim: Ct = C0 (1 + i.t) para juro simples e Ct = C0 (1 + i.) t para juro composto. Sendo Ct o capital (valor) depois do período de tempo t, C0 o capital inicial, t o tempo em questão (sempre acompanhando a unidade da taxa) e finalmente o i é a taxa em %. Alguns livros o colocam sobre 100, assim i/100, mas isto está errado, pois um i=20% já por si só corresponde a 20/100 = 0,20.
Agora para avançar no tempo você usa da forma que está escrita, e para voltar no tempo você as inverte, como se calculasse o valor que seria no passado correspondente ao valor de hoje. Criando para o juro composto esta fórmula que nada mais é que a inversão daquela:
ti
C
)1(
0 = C , observe as duas, veja que é a mesma coisa lida de trás para frente.
Bom como se usa isto? Assim: Exemplo 1 – Queremos liquidar uma dívida de R$ 300,00 a taxa de 15% ao mês daqui a 3 meses, quanto deveríamos pagar? Ct = 300 (1 + 15%) 3 = 300 (1+15/100)3 = 300 (1+0,15)3 = 300 (1,15)3 = 300.1,520875 = 456,26 (os quebradinhos foram arredondados). Resposta: Deveríamos pagar R$ 456,26. Exemplo 2 – Temos uma fatura de R$ 450,00 que vence daqui a quatro meses, por quanto deve ser descontada hoje a taxa de 12% ao mês?
ti
C
)1(
0 = Ct 4%)121(
450=
4)12,01(
450=
4)12,1(
450=
1,57351936
450 = 285,98 (os
quebradinhos foram arredondados). Resposta: Este boleto vale hoje R$ 285,98. Este valor aplicado durante 4 meses a taxa de 12% nos devolveria o valor dele de R$ 450,00.
EXERCÍCIOS EXTRAS DE PORCENTOS
1. (CEFET) Misturam-se 30 litros de álcool com 20 litros de gasolina. a) Calcule a porcentagem de gasolina na mistura. b) Calcule a porcentagem de álcool na mistura. 2. Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentaram defeito. Determine a porcentagem de lâmpadas defeituosas. 3. Num lote de 75 calculadoras eletrônicas, 3 apresentaram defeito. Escolhendo ao acaso uma calculadora deste lote, qual a probabilidade da calculadora sorteada ser defeituosa? 4. De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa percentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de reprovados. 5. (CBMERJ) Um grande incêndio destruiu 30% da mata virgem de uma floresta. Considerando-se que 20% da área total da floresta, é constituída de rios e lagos e o restante somente de mata virgem, calcule o percentual da área destruída pelo fogo. 6. Uma bolsa é vendida por R$32,00. Se seu preço fosse aumentado em 20%, quanto passaria a custar? 7. Uma bolsa é vendida por R$32,00. Se seu preço fosse descontado em 20%, quanto passaria a custar? 8. (UERJ) Um lojista oferece 5% de desconto ao cliente que pagar suas compras à vista. Para calcular o valor com desconto, o vendedor usa sua máquina calculadora do seguinte modo:
Um outro modo de calcular o valor com desconto seria multiplicar o preço total das mercadorias por: (A) 0,05 (B) 0,5 (C) 0,95 (D) 1,05
9. Certa mercadoria, que custava R$24,00, passou a custar R$30,00. Calcule a taxa percentual do aumento. 10. Se um artigo aumentou em 25%, de quantos por cento ele deve diminuir para voltar ao preço antigo? 11. Um produto teve três aumentos consecutivos de 8%, 5% e 10%. Qual o aumento final? 12. Qual o preço de uma mercadoria que custa R$100,00 após dois aumentos sucessivos de 25% e 20%, respectivamente? 13. Qual o preço da mercadoria que custa R$100,00 após dois descontos sucessivos, de 30% e de 20%. 14. Um comerciante contraiu de um amigo um empréstimo de R$ 600,00 , comprometendo-se a pagar a dívida em 3 meses, à taxa de juros simples de 5% a. m. (ao mês). Calcule o valor que o comerciante deverá pagar (montante). 15. À taxa de 30% a. a. (ao ano), certo capital, em 8 meses, produziu, a juros simples, um montante de R$1.500,00. Qual foi o capital aplicado? 16. Oliveira aplicou R$400,00 num investimento que rende 20% a. m., a juros compostos. Calcule o montante ao final de 3 meses. 17. Maria dispõe de R$800,00 para investimento. Se a taxa de rendimento for de 20% a. m. e o prazo for de 4 meses, calcule o montante obtido em regime de: a) juros simples. b) juros compostos. 18. Silva aplicou R$ 600,00 numa caderneta de poupança que rende 10% ao mês. Como os juros produzidos pela caderneta de poupança são juros compostos, calcule o montante ao final de 4 meses? 19. Duas lojas vendem determinado tipo de peça de reposição para automóveis pelo mesmo preço e estão fazendo as seguintes promoções:
LOJA A: Compre 4 peças e leve 5. LOJA B: Compre 4 peças e pague 3.
Qual deles oferece o maior desconto?
20. Um comerciante aumenta o preço original P de certa mercadoria em 80%. Em seguida anuncia essa mercadoria com desconto de 20%, resultando um preço final de R$ 72,00. Calcule o valor do preço original P . 21. Depois de um aumento de 20%, uma bolsa passou a custar R$ 38,40. Qual era o preço da bolsa antes do aumento? 22. A taxa de inflação de um certo país é de 40% a. a.. Calcule a taxa acumulada após 2 anos. 23. "Prefeito autoriza o aumento da passagem de ônibus, que custava R$ 1,90 , para R$ 2,00" , diz a notícia. Calcule a taxa percentual do aumento. 24. (UFAM) Se a área da base de um prisma diminui 20% e a altura aumenta 30%, o seu volume: (A) aumenta 8%. (B) diminui 4%. (C) aumenta 104%. (D) diminui 8%. (E) aumenta 4%. 25. Em uma época na qual a inflação era de 15% ao mês, uma rede de lojas oferecia duas opções de pagamento: I) À vista, com 30% de desconto. II) A prazo, em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira sendo paga no ato da compra. Qual a taxa dos juros embutidos nas vendas a prazo? 26. Depois de um aumento de 15%, um televisor passou a custar R$ 688,85. Qual era o preço do televisor antes do aumento? 27. (FUVEST-V04-2007) - Alguns problemas de saúde, como bócio endêmico e retardo mental, são causados pela ingestão de quantidades insuficientes de iodo. Uma maneira simples de suprir o organismo desse elemento químico é consumir o sal de cozinha que contenha de 20 a 60 mg de iodo por quilograma do produto. No entanto, em algumas regiões do País, o problema persiste, pois o sal utilizado ou não foi produzido para consumo humano, ou não apresenta a quantidade mínima de iodo recomendada. A fonte de iodo utilizada na indústria do sal é o iodato de potássio, KIO3, cujo custo é de R$ 20,00/kg. Considerando que o iodo representa aproximadamente 60% da massa de KIO3 e que 1 kg do sal de cozinha é comercializado ao preço médio de R$ 1,00, a presença da quantidade máxima de iodo permitida por lei (60 miligramas de iodo por quilograma de sal) representa, no preço, a porcentagem de: a) 0,10 % b) 0,20 % c) 1,20 % d) 2,0 % e) 12 % 28. (FUVEST-V14-2007) - Uma equipe tenta resgatar um barco naufragado que está a 90 m de profundidade. O porão do barco tem tamanho suficiente para que um balão seja inflado dentro dele, expulse parte da água e permita que o barco seja içado até uma profundidade de 10 m. O balão dispõe de uma válvula que libera o ar, à medida que o barco sobe, para manter seu volume inalterado. No início da operação, a 90 m de profundidade, são injetados 20.000 mols de ar no balão. Ao alcançar a profundidade de 10 m, a porcentagem do ar injetado que ainda permanece no balão é: a) 20 % b) 30 % c) 50 % d) 80 % e) 90 % Pressão na superfície do mar = 1 atm. No mar, a pressão da água aumenta de 1 atm a cada 10 m de profundidade. A pressão do ar no balão é sempre igual à pressão externa da água. Qualquer dúvida e-mail-me:
[email protected] ref: http://www.scrapsdaweb.com/pt/ovos-da-pascoa/2
Aula 10 de Matemática – 9os Anos – 2011
ref: joaokepler.blog.br/?m=200907
Gabarito dos 10 primeiros exercícios da Aula 09 (Moodle)
1. (CEFET) Misturam-se 30 litros de álcool com 20 litros de gasolina. a) Calcule a porcentagem de gasolina na mistura. b) Calcule a porcentagem de álcool na mistura.
A porcentagem é apenas uma maneira mais conveniente de representar uma razão ou fração com denominador 100. Como a mistura tem 20 + 30 = 50 litros, então: a) A razão entre o volume de álcool e o total é 30/50 = 60/100 = 0,6 = 60% b) A razão entre o volume de gasolina e o total é: 20/50 = 40/100 = 0,4 = 40% Observe que a soma destas (per) ou porcentagens deve dar o total de 100% = 100/100 = 1.
2. Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentaram defeito. Determine a porcentagem de lâmpadas defeituosas.
A razão entre o número de lâmpadas com defeito e o total é : 13/50 = 26/100 = 0,26 = 26%, o que significa que, se o lote contivesse 100 lâmpadas, deveríamos encontrar 26 com defeito. Dizemos, então, que a taxa percentual de lâmpadas defeituosas é 26%.
3. Num lote de 75 calculadoras eletrônicas, 3 apresentaram defeito. Escolhendo ao acaso uma calculadora deste lote, qual a probabilidade da calculadora sorteada ser defeituosa?
A probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis (número de calculadoras com defeito) e o número de casos possíveis (número total de calculadoras) em eventos considerados aleatórios (sorteios, jogos de azar etc). Assim, a probabilidade procurada é: 3/75 = 0,04 = 4% .
4. De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa percentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de reprovados.
Temos que de cada 100 candidatos, 15 foram reprovados, ou seja, 15% = 15/100 = 3/20 = 0,15. Seja N o número de reprovados em um total de 380 candidatos. Assim, podemos ter a proporção: N/380 = 15/100 = 0,15. Logo, o número de reprovados N = 380 . 0,15 = 57. 15% de 380 = 15/100 . 380 = 57.
5. (CBMERJ) Um grande incêndio destruiu 30% da mata virgem de uma floresta. Considerando-se que 20% da área total da floresta é constituída de rios e lagos e o restante somente de mata virgem, calcule o percentual da área destruída pelo fogo.
A mata virgem corresponde a 100% - 20% = 80% da área total da floresta. Assim, o incêndio destruiu 30% de 80% = (30/100).(80/100) = 0,3 . 0,8 = 0,24 = 24% da floresta. 6. Uma bolsa é vendida por R$32,00. Se seu preço fosse aumentado em 20%, quanto passaria a custar?
Temos que 20% de 32 = 32.20/100 = 32 . 0,2 = 6,40. Logo o novo preço seria 32 + 6,40 = R$ 38,40. Em outras palavras, como 32 + 0,2 . 32 = 32.(1 + 0,2), então podemos fazer simplesmente: 32 . 1,2 = R$ 38,40. Note que calcular um valor com aumento de 20% é o mesmo
que calcular 120% do valor, ou seja, multiplicar por 1,20.
Logo: aumentar 17% é o mesmo que multiplicar por 1,17;
aumentar 1,5% é o mesmo que multiplicar por 1,015;
aumentar 55% é o mesmo que multiplicar por 1,55; e assim
por diante.
7. Uma bolsa é vendida por R$32,00. Se seu preço fosse descontado em 20%, quanto passaria a custar?
Temos que 20% de 32 = 32 . 0,2 = 6,40. Logo a bolsa passaria a custar: 32 - 6,40 = R$25,60. Este problema pode ser resolvido de outra maneira. Como 32 - 0,2 . 32 = 32.(1 - 0,2), então podemos simplesmente fazer: 32 . 0,8 = R$ 25,60. Observe que calcular um valor com desconto de 20% é o
mesmo que calcular 80% do valor, isto é, multiplicar por 0,80.
Logo: diminuir 17% é o mesmo que multiplicar por 0,83;
descontar 55% é o mesmo que multiplicar por 0,45; descontar
60% é o mesmo que multiplicar por 0,40; e assim
sucessivamente. 8. (UERJ) Um lojista oferece 5% de desconto ao cliente que pagar suas compras à vista. Para calcular o valor com desconto, o vendedor usa sua máquina calculadora do seguinte modo:
Um outro modo de calcular o valor com desconto seria multiplicar o preço total das mercadorias por:
(A) 0,05 (B) 0,5 (C) 0,95 (D) 1,05
Calcular um desconto de 5% é o mesmo que calcular 95%. Se P é o preço total, então o preço com desconto de 5% é P - 0,05P = 0,95P. Logo, para calcular o valor com desconto de 5%, basta fazer
P . 0,95. Assim, a alternativa correta é a opção (C).
9. Certa mercadoria, que custava R$24,00, passou a custar R$30,00. Calcule a taxa percentual do aumento.
Chamando de i a taxa percentual do aumento, segue que 24 + 24i = 30. Então, i = (30-24)/ 24 = 6/24 = 0,25 = 25%. Em outras palavras, o aumento foi de 30 - 24 = 6, sobre o valor inicial de 24, ou seja: 6/24 = 1/4 = 0,25 = 25%. 10. Se um artigo aumentou em 25%, de quantos por cento ele deve diminuir para voltar ao preço antigo?
Seja P o preço antigo e i a taxa percentual de desconto. Assim, P . 1,25 . (1 - i) = P. Então, 1,25 . (1 - i) = 1. Daí vem que: 1 - i = 1 /1,25 = 100/125 = 4/5 = 0,8. Logo, a taxa i = 1 - 0,8 = 0,2 = 20%. Em outras palavras, se o preço era 100, o preço com aumento é 125. Para retornar ao preço antigo, ele deve sofrer um desconto de 25 em relação a 125, isto é, 25/125 = 0,2 = 20%. Sempre
podemos tomar o preço igual a100; basta tomar como unidade de
preço um centésimo do preço do produto. Qualquer dúvida e-mail-me: [email protected]
Aula 11 de Matemática – 9os Anos – 2011
Revendo Equações – Operações Inversas - Cap 03
Caminhamos para resolver equações de 2º. Grau, usando fatoração e um pouquinho das equações de 1º. Grau. Por isso esta pequena revisão. Olhe como faríamos algumas continhas.
3 4 7
3 7
3....... 3
3 3 7 3
4
então
x
x
x
Normalmente se pensa no trocar de sinal, quando de fato o que fazemos é inverter a operação. Quantidades iguais subtraídas ou somadas nos dois membros continuam fazendo iguais.
2 10
10
2
5
x
x
x
ou
82
8.2
16
x
x
xou
2 4 10
2 10 4
2 6
6
2
3
x
x
x
x
x
ou ainda
3 12
2 4
6 1 4 8
4 4 4 4
6 1 4 8
6 4 8 1
2 9
94,5
2
x x
xx
x x
x x
x
x x
Fizemos um pequeno trabalho em duplas, onde o principal objetivo era verificar como nossos colegas estão operando.
32 4 8
4
62 4 8
4
62 4 8
4
32 62
4 4
382
4
38 194,75
8 4
x x
x x
x x
x
x
x x x
Qualquer dúvida e-mail-me: [email protected]
ref: bloogle-incrivel.blogspot.com/2009/10/arte-co
Aula 12 de Matemática – 9os Anos – 2011
Revisão de Fatoração
Fatorar é transformar em fatores.
Principais casos:
2 2 2
2 2
3 2 2 3 3
3 3 2 2
2
2
. . .( )
. . . . .( ) .( ) ( ).( )
2. . ( )
( ).( )
3. . 3. . ( )
( ).( . )
. . .( ).( ´ )
4
2
a x a y a x y
a x a y b x b y a x y b x y x y a b
a a b b a b
a b a b a b
a a b a b b a b
a b a b a a b b
a x b x c a x x x x
onde
b b acx
a
ref: matematicaoitava.blogspot.com/2006_04 Observe que as parcelas, ou minuendos e subtraendos, da esquerda se transformam (entre parênteses) em fatores.
Alguns exemplos práticos:
22
2 2
20.15 20. 10 5 200 100 300
49 50 1 2500 100 1 2401
5 3 5 3 . 5 3 8.2 16
Em particular usaremos esta expressão:
2 2 2 2 2 22 2. . 4 4ax b primeiro primeiro segundo segundo a x abx b
Qualquer dúvida e-mail-me! Prof Rocco. [email protected]
Aula 13 de Matemática – 9os Anos – 2011
Equações e Fatoração I
Nas próximas aulas estaremos resolvendo equações e discutindo fatoração nos casos em que forem aparecendo e sendo necessário. Caminhamos para demonstrar Bhàskara. Livro Didático – Cap3 – p.59
23 7 82y
Subtraindo 7 de ambos os lados continuará igual. Isto já era conhecido (na forma escrita desde Euclides em suas noções básicas (Axiomas ou - atualmente - Postulados de Euclides) desde 300 aC. Postulado é algo que se pede que seja acreditado. Ora subtrair 7 dos dois lados é o mesmo que passar o +7 para o lado direito como – 7. Invertendo a operação. Então não são dois métodos diferentes, mas duas formas de se ver (e empregar) o mesmo método.
2
2
3 7 82
7 7
3 82 7
y
y
E fica então: 2
2
3 82 7
3 75
y
y
Seguindo o mesmo raciocínio, agora dividiremos os dois lados por 3, observe: 2
2
2
2
3 75
3 3
3 75
3 3
1 25
25
y
y
y
ou
y
Agora basta descobrir que números vezes ele mesmo pode dar 25. São dois: Então fazemos a extração da raiz levando em conta estas duas possibilidades:
25 5
25 25 55 5
negativo
positivo
y yy y y ou
y y ´
O fato de serem dois possíveis valores é que nos abriga a usar índices para a incógnita, pois em uma mesma sentença não poderíamos ter uma única letra valendo ao mesmo tempo dois números diferentes. Entenderam? Aqui está um bom exemplo de como vamos trabalhar as equações! Prof Rocco
ref: http://www.librosmaravillosos.com/matematicalife/imagenes/078b.gif
Aula 14 de Matemática – 9os Anos – 2011
Equações e Fatoração II
A anterior foi uma equação do 2º. grau, porque tinha o expoente 2 como maior potência. Vamos ver uma equação que não tem grau. Ainda Livro Didático – Cap3 – p.59
2 3 11x Vamos tirar 3 dos dois lados, ou então passar o + 3 para a direita como – 3. Lembre-se isto é a mesma coisa feita de formas diferentes.
2 3 11 3
2 3 8
E agora dividimos os dois lados por 2: 2 8
2 2
81
2
4
x
. x
x
Observe que passar o 2 dividindo, ou seja pula a 1ª. linha daria na mesma. Agora sobra a pergunta: “a raiz quadrada de que número daria 4?”
24 4 16x x x Olhe! Aqui não existem duas possibilidades. A raiz de – 16, você já viu que não existe no conjunto dos Números Reais. Entenderam? Aqui está outro bom exemplo de como vamos trabalhar as equações! Prof Rocco
ref: http://images.uncyc.org/pt/thumb/d/d4/Pitagoras_grafite.jpg/160px-Pitagoras_grafite.jpg
Aula 15 de Matemática – 9os Anos – 2011
Equações e Fatoração III
Pode acontecer de termos equações com mais de uma letra. Descartes sugeriu que usassem as últimas (x, y, z ... ) para os valores a serem determinados e as primeiras (a,b,c ...) para expressar valores conhecidos. Mas isto não é obrigatório. Ainda Livro Didático – Cap3 – p.59
2 25 7 2 2ax a a ax Em x é do primeiro grau, mas em a é do 2º grau. Interessante! Vamos resolver em x!
2 2
2
2
5 2 2 7
3 9
9 3 3 33
3 3 1
ax ax a a
ax a
a . .a.a ax x a
a .a
Aqui cabe uma porção de considerações, mas faremos isto mais adiante. Agora temos que treinar a solução da equação, para depois discuti-la em suas exceções. Neste instante você pode estar adquirindo uma liberdade IMENSA em relação às estas letras e seus significados. Seja bem vindo às maravilhas da Matemática. Prof Rocco
ref: http://connections.smsd.org/nieman/descartes.jpg
Aula 16 de Matemática – 9os Anos – 2011
Equações e Fatoração IV
Estamos ao longo do Capítulo 3 treinando formas de isolar a incógnita para determinar o seu valor. A idéia é sempre chegar em um x igual a tanto. Pode parecer que é MUITO fácil e, apesar de ser, o que queremos é desenvolver algo que nos permita resolver equações de grau 2. Onde existe o x ao quadrado. Ainda Livro Didático – Cap3 – p.61
3 1x Em x elevado a meio (lembra que raiz quadrada é expoente meio?), este tipo de equação não é polinomial. Mais para frente vai receber o nome de irracional. Mas esta é das fáceis, observe: De que quantidade tirando 3 sobraria apenas 1? Resposta: 4. Este 4 aparece quando você soma 3 nos dois membros da equação, ou quando passa o 3 que está subtraindo na esquerda, agora somando na direita. Veja:
3 1
3 3
4
x
x
O inverso da soma é a subtração e da subtração é a soma. Acabamos de usar isto! O inverso da multiplicação é a divisão e vice-versa ao contrário. Mas e da raiz? Qual é o inverso da raiz? Resposta: é a potência. Observe:
25 a pergunta é: que número vezes ele mesmo dá 25? Resposta: 5! Porque 5 vezes 5 dá 25. Então que número é aquele lá dentro da casinha em que 4 vezes ele mesmo dá ele. Ora é o 4 vezes o 4, é o 16. Certo? Então inverter a operação de extrair uma raiz quadrada é elevar ao quadrado. De uma raiz cúbica é elevar ao cubo. Qualquer dúvida e-mail-me!
Aula 17 de Matemática – 9os Anos – 2011 Lendo os coeficientes a, b e c
2
2
2
2
2
2
2 7 10 0 _____ _______ ______
2 7 10 0 _____ _______ ______
5 1 0 _____ _______ ______
1 73 0 _____ _______ ______
2 8
2 3 0 _____ _______ ______
1 0 _
x x a b c
x x a b c
x x a b c
x x a b c
x x a b c
x x a
2
2
2
2 4
____ _______ ______
110 0 _____ _______ ______
2
2 7 20 _____ _______ ______
3 4 5
5 4 13 0 _____ _______ ______
23 17 5 0 _____ _______ ______
b c
x x a b c
x xa b c
x x a b c
x x a b c
2
2
2
2
2
2
2
2
2 7 10 0 2 7 10
2 7 10 0 2 7 10
5 1 0 1 5 1
1 7 1 73 0 3
2 8 2 8
2 3 0 2 1 3
1 0 1 1 1
1 110 0 1 10
2 2
2 7 2 2 70
3 4 5 3 4
x x a b c
x x a b c
x x a b c
x x a b c
x x a b c
x x a b c
x x a b c
x xa b c
2
2 4 4
2
5
5 4 13 0 5 4 13
23 17 5 0 23 17 5
x x a b c
x x a b c
Gabarito aqui! Verifique.
Qualquer dúvida e-mail-me:
[email protected] ref: http://denisealves.files.wordpress.com/2008/03/genio.jpg e dança indiana.com...
Aula 18 de Matemática – 9os Anos – 2011
Bhàskara
A equação do 2º grau tem como soluções os valores dados pela fórmula de Bhàskara (homenagem) que foi formulada por François Viète. No quadro acima vemos como com um pouquinho de fatoração e boa vontade conseguimos reduzir as equações de 2º grau para primeiro grau e encontrar estas soluções.
2
2
2
4´
4 2
2 4´´
2
b b acx
b b ac ax
a b b acx
a
Fizemos nesta aula exercício 6 p. 110 do Cap 06.
Qualquer dúvida e-mail-me: [email protected] ref: http://denisealves.files.wordpress.com/2008/03/genio.jpg e dança indiana.com...
Aula 19 de Matemática – 9os Anos – 2011
Alguns exercícios
resolvidos Livro Didático – Cap 06 – p.110 ex 6 e ex 8 e p. 117 ex 27
2 2
22
6
12
3
1 2 3 1 6
6 6 0
11 1 4 1 64
12 2 1
6
1 5 42
1 1 24 1 25 1 5 2 2
2 2 2 1 5 63
2 2
ex
x xa )
x x . x x
x x x x
a. .b b ac
b x xa .
c
x x x
x x x
x ´ x ´ x ´
2 2
2 2
6
14 2
4 122 4 4
4 4 4
2 4 1 3 4 4 4 0
44 1 1 4 4 0
12 2 4
0
1 1 00
1 1 0 1 1 1 1 8 8
8 8 8 1 1 2 1
8 8 4
ex
x xb ) x x
x xx xmmc ;
x x x x x x x x x
ab b ac . .
b x xa .
c
x x x
x x x
x ´ x ´ x ´
2
2
2
2 2
22
6
6 1
3 2 6
2 3 6 16 2 3 6 1
6 6 6
6 1 5 0 6 5 1 0
65 5 4 6 14
52 2 6
1
5 1 4 1
5 25 24 5 1 5 1 12 12 3
12 12 12 5 1 6 1
12 12 2
ex
x x xc )
x x xmmc x x x
x x x x
a. .b b ac
b x xa .
c
x x x
x x x
x ´ x ´ x ´
2
2 2
2
6
6 40 90 8
6 40 90 8 0 6 48 90 0
648 48 4 6 90 48 2304 2160
482 6 12
90
12 4 31 4 3148 4464 48 12 31
12 12 12 4 31
ex
d ) x x x
x x x x x
a. .
b x x.
c
xx x x
x ´
2
2
6
0 1 1 5 5 6 0
0 11 5 1 5 4 0 1 5 6 1 5 2 25 2 24
1 52 0 1 0 2
5 6
1 5 0 1 1 47
0 2 0 21 5 0 01 1 5 0 1
0 2 0 2 1 5 0 1 1 68
0 2 0 2
ex
e ) , x , x ,
a ,, , . , . , , , ,
b , x x. , ,
c ,
, , ,x x x
, ,, , , ,x x
, , , , ,x ´ x ´ x ´
, ,
2 2
2 2 2
22
8
13 13 4 4 201 5
4 4 4 4 4
13 4 4 20 13 4 4 20 0 4 3 0
14 4 4 1 34
42 2 1
3
4 2 21
4 16 12 4 4 4 2 2 2
2 2 2 4 2 63
2 2
ex
x x xa ) x
x x x x x x
a. .b b ac
b x xa .
c
x x x
x x x
x ´ x ´ x ´
2 2
2
22
8
5 1 2 5 5 2
5 2 5 0
52 2 4 5 54
22 2 5
5
1 262 1 262 4 100 2 104 2 2 26 5
10 10 10 10 1 26
5
ex
b ) x x x x
x x
a. .b b ac
b x xa .
c
x.x x x x
x ´
8
2 3 2 3 32 44
8 2 8 8 8
32 3 32 4 34 3
34
ex
x x x x xc ) x
x x x x x
2 2
2 2 2
22
8
3 2 1
6 9 4 4 1 3 2 8 0
32 2 4 3 84
22 2 3
8
2 10 8 4
2 4 96 2 100 2 10 6 6 3
6 6 6 2 10 122
6 6
ex
d ) x x
x x x x x x
a. .b b ac
b x xa .
c
x x x
x x x
x ´ x ´ x ´
27ex
2
2
2
22
2
14 2 10 2 14.10
140 28 10 4 140
4 48
4 48 112
44
4 48 112 0 482
112
48 48 4.4.( 112) 48 2304 1792 48 4096
2.4 8 8
calçada maior casa
calçada
calçada
calçada
A A A
A x x
A x x x
A x x
x x
ab b ac
x x b xa
c
x48 64
8
48 64 112 56´ 14
8 8 4
48 64 16´ 2
8 8
x
x
Prof Rocco. [email protected]
