matemÁtica 5° aÑo - ciclo orientado actividad virtual n° 1
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ESCUELA NORMAL SUPERIOR “DR. AGUSTÍN GARZÓN AGULLA”
Viamonte 150- B° Gral. Paz – Córdoba – CP. 5900 – Tel. 4339177 E-mail:
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MATEMÁTICA
5° AÑO - Ciclo Orientado
Actividad Virtual N° 1 - Segundo Etapa
¡Queridos/as Estudiantes!
¿Cómo están? Comenzamos la segunda etapa del año!
En los planes de trabajo anteriores vimos: FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO. ADEMÁS, POLINOMIOS Y SUS OPERACIONES.
En este nuevo plan de trabajo vamos a utilizar los conocimientos que hemos integrado a los aprendizajes a lo largo del año e incorporaremos los siguientes temas: FUNCIÓN EXPONENCIAL: parámetros, su gráfica, elementos y características. APLICACIONES EN SITUACIONES ESPECÍFICAS.
Recuerden que, aún a la distancia, estamos con ustedes, dispuestos a responder dudas, consultas y a guiarlos en la resolución de las actividades… ¿Comenzamos?
Docentes responsables:
5 to A: Prof. Adriana Sanzarello 5 to B y F: Prof. Adriana Torasso. 5 to C: sin profesor. 5 to D: Prof. Susana Placereano. 5to D: Prof. Ana La Cono
Para tener en cuenta:
Fecha para consultas: Semana del 28 de septiembre al 2 de octubre.
Medio de contacto para consultas: Grupo de WhatsApp, mail, reunión por Meet (con anterioridad se enviará enlace) Los modos de comunicación varían según el docente de cada división.
Fecha de entrega de la actividad resuelta: del 7 al 9 de octubre
Medio de contacto para la Entrega de la Actividad resuelta:
Recuerden: Es importante que todos los trabajos estén correctamente identificados, Actividad Virtual N°1-Matemática 5°año y División -Alumno: Apellido y nombre. Colocar nombre y curso / tomar fotos claras (no borrosas) de sus actividades / enviar las fotos verticales y no horizontales / enumerar por orden de “aparición” las fotos.
Bibliografía y Webgrafía (indicada en el lugar sugerido):
Matemática I C.O. Autores: Pablo Kaczor y Ruth Schapaschnik. Editorial Santillana Matemática I CO (Modelos matemáticos para interpretar la realidad). Autores: María Beatriz Camuyrano y Gabriela Net. Editorial Estrada Matemática Serie de Plata. Autor: De Simone y Turner. Editorial A.Z. Matemática IV y V, prácticas, de Editorial Santillana.
¡Esperamos sus trabajos!
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INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES EXPONENCIALES
Objetivos de aprendizaje
Graficar funciones exponenciales.
Resolver problemas de aplicación usando problemas exponenciales y sus gráficas.
Introducción:
Además de funciones lineales, cuadráticas, existen las funciones exponenciales.
Las funciones exponenciales tienen la forma f(x) = b x, donde b > 0 y b ≠ 1.
Al igual que cualquier expresión exponencial, b se llama base y x se llama exponente.
Un ejemplo de una función exponencial es el crecimiento de las bacterias. Algunas bacterias
se duplican cada hora. Si comienzas con 1 bacteria y se duplica en cada hora, tendrás 2 X bacterias después de x horas. Esto se puede escribir como
f (x) = 𝟐 𝐱.
Antes de empezar, f (0) = 2 0 = 1
Después de 1 hora f (1) = 2 1 = 2
Después de 2 horas f (2) = 2 2 = 4
En 3 horas f (3) = 2 3 = 8
etc.
Con la definición f (x) = b x y las restricciones: b > 0 y b ≠ 1.
El DOMINIO de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales.
El RANGO es el conjunto de todos los números reales positivos.
La siguiente gráfica muestra f (x) = 𝟐 𝐱
Se sugiere observar los siguientes vídeos
https://www.youtube.com/watch?v=4U4Xd-bZXG8 Funcion exponencial. Definicion. Graficos.
https://www.youtube.com/watch?v=xo1gjiz9LDA Función exponencial desde cero. Ejemplo 1 (Entenderás el crecimiento de contagio del Covid19)
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Crecimiento exponencial
Esta función exponencial tiene una gráfica que se acerca mucho al eje x cuando se extiende a la izquierda (conforme x se vuelve más negativa), pero nunca toca el eje x.
Conocer la forma general de las funciones exponenciales es útil para graficar ecuaciones o funciones exponenciales específicas.
Hacer una tabla de valores también es útil, porque puedes usar la tabla para encontrar la curva de la gráfica con más precisión.
Algo que recordar es que la base tiene un exponente negativo, entonces, el recíproco de la base para hacer el exponente positivo. Por ejemplo,
Ejemplo
Problema Hacer una tabla de valores para f(x) = 𝟑𝐱.
x f(x)
Realizar una “T” para empezar la tabla con dos columnas. Etiqueta las columnas con x y f(x).
x f(x)
−2
−1
0
1
2
Elegir varios valores para x y colocarlos como filas separadas en la columna x.
Consejo: Siempre es bueno incluir el 0, valores positivos y valores negativos, si es posible opuestos.
Valúa la función para cada valor de x y escribe el resultado en la columna f (x) junto al valor de x correspondiente.
Respuesta x f(x)
−2
−1
0 1
1 3
2 9
Por ejemplo, cuando x = −2, f (x) = 3-2 = = , entonces
va en la columna f(x) junto al −2 de la columna x.
f (1) = 31 = 3 y 3 va en la columna f(x) junto al 1 de la columna x.
Observa que tu tabla de valores podría ser distinta a la de alguien más, si escogiste diferentes números para x.
— Observa la tabla de valores. Piensa en lo que pasa conforme los valores de x aumentan — ¡también aumenta los valores de la función (f(x) o y)!
Ahora que tienes la tabla de valores, puedes usarlos para dibujar la forma y la posición de la función. Conecta los puntos lo mejor que puedas para hacer una curva suave (no una serie de líneas rectas). Esto muestra que todos los puntos en la curva son parte de esta función.
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Ejemplo
Problema Graficar f(x) = 3 x.
x f(x)
−2 1 / 9
−1 1 / 3
0 1
1 3
2 9
Empieza con una tabla de valores, como la que hiciste en el ejemplo anterior.
x f(x) punto
−2 (−2, )
−1 (−1, )
0 1 (0, 1) 1 3 (1, 3) 2 9 (2, 9)
Si piensas en f(x) como y, cada fila forma un par ordenado que puedes graficar en las coordenadas.
Grafica los puntos.
Coloca nombre a los ejes
Respuesta
Conecta los puntos lo mejor que puedas, usando una curva suave (no una serie de líneas rectas). Usa la forma de una gráfica exponencial para ayudarte: esta gráfica se acerca mucho al eje x en la izquierda, pero nunca lo toca y se vuelve más inclinada a la derecha.
Este es un ejemplo de un crecimiento exponencial. Conforme aumenta x, f(x) “crece” más rápido.
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ACTIVIDAD 1: Realizar la tabla de la función de este ejemplo.
Problema Graficar f (x) = 4 x.
x f(x)
−2
−1
0
1
2
Empieza con una tabla de valores. Puedes escoger diferentes valores pero de nuevo, es útil incluir el 0 y algunos valores positivos y negativos. Recuerda, exponente negativo.
Si piensas en f(x) como y, cada fila forma un par ordenado que puedes graficar en las coordenadas.
Grafica los puntos.
Observa que la base más grande en este problema hizo que el valor de la función se disparara. Incluso con un valor pequeño de 2 para x, el valor de
la función es tan grande que se sale de la escala que usaste antes.
Puedes cambiar la escala, pero entonces los valores quedan muy juntos uno con otro. También puedes intentar con otros puntos, como
cuando x = 3
2.
Porque conoces la raíz cuadrada de 4, puedes encontrar el valor en este
caso: .
El punto(3
2 , 8) es el punto azul en la
gráfica.
Para otras bases, podrías necesitar una calculadora para ayudarte a encontrar el valor de la función.
Respuesta
Conecta los puntos lo mejor que puedas, usando una curva suave (no una serie de líneas rectas). Usa la forma de una gráfica exponencial para ayudarte: esta gráfica se acerca mucho al eje x en la izquierda, pero nunca lo toca y se vuelve más inclinada a la derecha.
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Comparemos las tres gráficas que hemos visto:
Las funciones: f (x) = 2 x, f (x) = 3 x f (x) = 4 x están graficadas a continuación.
Observa que una base más grande, hace más empinada la gráfica.
Una base más grande también hace que la gráfica se acerque al eje y para x > 0
y más cerca al eje x para x < 0.
¡Todas las gráficas pasan por (0, 1)!
Decaimiento exponencial
Recuerda que para las funciones exponenciales, b > 0, pero b ≠ 1.
En los ejemplos anteriores, b > 1.
¿Qué pasa cuando b está entre 0 y 1, 0 < b < 1?
Ejemplo
Problema
Graficar
x f(x)
−2 4 −1 2 0 1 1
2
Empieza con una tabla de valores. ¡Ten cuidado con los exponentes negativos! Recuerda sacar el recíproco de la base para volver positivo el exponente. En este
caso, y .
Usa la tabla como pares ordenados y grafica los puntos.
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Respuesta
Como los puntos no están en una línea, no puedes usar una regla. Conecta los puntos lo mejor que puedas usando una curva suave (no una serie de líneas rectas).
Observa que la forma es similar a la forma cuando b > 1, pero esta vez la gráfica se acerca al eje x cuando x > 0, en lugar de x < 0. Esto es un decaimiento exponencial.
En lugar de que los valores de la función “crezcan” conforme aumentan los valores de x, como sucedía antes, los valores de la función “decaen” o disminuyen conforme los valores de x aumentan. Se acercan cada vez más a 0.
ACTIVIDAD 2: Realizar la gráfica de la siguiente función siguiendo el ejemplo anterior.
Problema Graficar
x f(x)
Crear una tabla de valores. Cuidado con los exponentes negativos. Recuerda sacar el recíproco de la base para volver positivo el exponente.
Observa que en esta tabla, los valores de x aumentan. Los valores de y disminuyen.
Usar los pares de la tabla para graficar los puntos. Podrías incluir nuevos puntos, especialmente cuando uno de los puntos de la tabla, (−2, 16) no se podrá en la gráfica. Puedes encontrar ese valor en este caso:
.
El punto (3
2 , 8) ha sido incluido en
azul. Podrías querer incluir puntos adicionales. También puedes usar una calculadora, dependiendo de la base.
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Respuesta Realizar en el gráfico anterior. Conecta los puntos lo mejor que puedas usando una curva suave.
ACTIVIDAD 3: ¿Cuál de las siguientes gráficas representan esta función ?
A) B)
C) D)
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Aplicando funciones exponenciales
Las funciones exponenciales pueden usarse en muchos contextos, como el interés compuesto
(dinero), crecimiento poblacional y decaimiento radioactivo. En muchos de estos, sin embargo, la
función no es exactamente de la forma f(x) = bx. Normalmente, ésta se ajusta sumando o
multiplicando constantes.
Por ejemplo, la fórmula del interés compuesto es A = P (1 + r / m) m * t (), donde P es
el principal (la inversión inicial que genera interés) y A es la cantidad de dinero que tendrás,
con interés, al final de t años, usando la tasa de interés anual de r (expresado como un
decimal) y m periodos por año. En este caso, la base es el valor representado por la expresión
1 + r / m y el exponente es mt, un producto de dos valores.
Problema Si inviertes $1000 en una cuenta que paga 4% de interés, cuatrimestral, ¿cuánto dinero tendrás después de 3 años?
El dinero que tendrás después de 3 años será A.
P = $1,000 r = 0.04 m = 4 t = 3
A = P ( 1 + r / m) m t
A = 1000 ( 1 + 0,04 / 4) 4 3
A = 1000 ( 1 + 0,01) 12
A = 1000 ( 1,01) 12
A = 1000 . 1,12682503
A = 1126,82503
Identificar qué se está pidiendo: A, P, R, m y t.
Luego, determina los valores de las variables restantes.
El principal es $1000.
El interés es 4% = 0,04.
El tiempo en años es 3. Cuatrimestral significa 4 veces al año.
Para encontrar el valor de A, usa
la fórmula.()
Respuesta Tendrás $1126,83 después de 3 años. Redondea el número a los centavos más cercanos. Observa que significa que la cantidad de interés ganado después de 3 años es $126.83. ($1126,83, menos el principal, $1000).
ACTIVIDAD 4: Resolver paso a paso:
La mamá de Billy puso $100 en una cuenta bancaria cuando él nació. La cuenta ganó interés a una tasa de 30% al año, mensual. Asumiendo que no se depositó ni se retiró dinero de la cuenta, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta cuando Billy cumpla 18 años?
A) $ 170,24
B) $ 171,49
C) $ 8561,76
D) $ 20718,34
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El decaimiento radioactivo es un ejemplo de decaimiento exponencial.
Los elementos radioactivos tienen una media-vida. Esta es la cantidad de tiempo que le toma a la mitad de la masa del elemento decaer en otra sustancia.
Por ejemplo, el uranio 238 es un elemento radioactivo que decae lentamente con una media-vida de alrededor de 4.47 billones de años. Esto significa que eso le tomaría a 100 gramos de uranio 238 para convertirse en 50 gramos de uranio 238 (los otros 50 gramos se convertirán en otro elemento). ¡Eso es mucho tiempo!
Otro ejemplo, el radón 220 tiene una media-vida de 56 segundos. ¿Qué significa esto? 100 gramos de radón 220 se convertirán en 50 gramos de radón 220 en ¡menos de un minuto!
Como la cantidad se vuelve la mitad cada media-vida, puede usarse una función exponencial para describir la cantidad remanente en el tiempo.
La fórmula R = A (1 / 2) t / h da la cantidad remanente R de la cantidad inicial A, donde h es la media-vida del elemento y t la cantidad de tiempo transcurrido (usando la misma unidad de tiempo que la media-vida).
ACTIVIDAD 5: Completar los datos y calcular las operaciones para llegar a la respuesta.
Problema El cesio 137 es un elemento radioactivo usando en aplicaciones médicas. Su media-vida es alrededor de 30 años. Supón que un laboratorio tiene 10 gramos de cesio 137. Si no lo usan, ¿cuánto cesio 137quedará después de 60 años?
R: Esta es la cantidad remanente, que queremos encontrar. A: La cantidad inicial de …… gramos. h: La media-vida es …… años. t: La cantidad de tiempo transcurrido es …… años. (Observa que está en las mismas unidades, años, que la media-vida.)
Identifica los valores conocidos en la fórmula.
R = A (1 / 2) t / h
Usa la fórmula. Calcula reemplazando.
Respuesta Quedarán 2.5 gramos de cesio 137 en 60 años.
Las funciones exponenciales de la forma f (x) = b x aparecen en diferentes contextos, incluyendo las finanzas y el
decaimiento radioactivo. La base b debe ser un número positivo y no puede ser 1.
Las gráficas de estas funciones son curvas que:
crecen (de izquierda a derecha) si b > 1, mostrando un crecimiento exponencial y
decrecen si 0 < b < 1, mostrando un decaimiento exponencial.