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Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

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Capítulo II:

Circuitos resonantes y

Redes de acople


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2. Circuitos Resonantes y Redes de Acople

En este capítulo se estudiaran los circuitos resonantes desde el punto de vista del factor de

calidad Q, las pérdidas y su aplicación en la banda de RF. Se establecerán las características de

los diferentes tipos de circuitos resonantes para emplearlos finalmente en la transformación de

impedancias requeridas en los circuitos de acoplamiento para máxima transferencia de

potencia.

2.1 Filtros pasabanda.

El filtro pasabanda ideal deja pasar una banda de frecuencias entre los puntos de frecuencia

de corte f1 y f2 tal como se muestra en la Fig. 2.1. Se puede apreciar que en los filtros ideales

los cambios en las frecuencias de corte son abruptos.

Fig. 2.1. Filtro pasabanda ideal.

No obstante, los filtros reales presentan alrededor de las frecuencias de corte cambios suaves

permitiendo zonas de transición, implicando cambio como se muestran en la Fig. 2.2


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Fig. 2.2 Respuesta de un filtro pasabanda real.

Con el fin de asimilar la terminología propia para el estudio de estos circuitos en RF es

necesario repasar algunas definiciones:

1. Frecuencias de corte: Son las frecuencias en las cuales la potencia disminuye a la mitad de

la potencia de la frecuencia central. En consecuencia, se presentan dos tipos de

frecuencias de corte en un filtro pasabanda: a) la frecuencia de corte inferior f1 y la

frecuencia de corte superior f2, que no necesariamente están separadas en forma simétrica

respecto a la frecuencia central f0.

2. Frecuencia de resonancia: Frecuencia a la cual la impedancia o admitancia del circuito

resonante se convierte en una componente real.

3. Ancho de banda B: Rango de frecuencias alrededor de la frecuencia de resonancia dentro

de la cual el circuito se mantiene en resonancia.

(2.1)

La amplitud de la señal de salida permace dentro de un margen de -3 dB respecto a la

potencia en resonancia

4. Banda de paso : Se refiere a la banda de frecuencias determinada por el ancho de

banda del circuito resonante.

5. Banda de atenuación BA: Banda de s frecuencias que se encuentran fuera

de la banda de paso. Típicamente -60 dB respecto a la potencia en resonancia.

6. Pérdidas de inserción: Son las pérdidas de potencia causadas por los elementos resistivos

que se incorporan al circuito resonante. Generalmente esta medida es expresada en dB.

7. Ripple o Rizado: Es la medida de que tan plano es la banda de paso. Por tanto determina la

altura de las variabilidades de la banda de paso.

8. Pérdidas de inserción: Son las pérdidas en dB causadas por el circuito resonante

típicamente en la banda de paso.

9. Atenuación última: Es la atenuación final mínima que presenta el circuito resonante en la

banda de atenuación. Un circuito resonante ideal posee atenuación infinita fuera de la


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banda de paso. Sin embargo de las imperfecciones de los componentes la atenuación

infinita es imposible obtenerla.

10. Selectividad S: Propiedad del circuito resonante para presentar mínima atenuación a las

señales dentro de las frecuencias de paso.

11. Factor de Calidad Q: Es la relación entre la frecuencia central del circuito resonante y su

ancho de banda:

A una selectividad alta corresponde un Ancho de banda angosto y en consecuencia se

tendrá un Q alto. Así mismo, para una selectividad baja se dispone de un ancho de banda

grande, generando un Q bajo.

12. Factor Forma SF: El factor forma de un circuito resonante es definido típicamente por la

relación del ancho de banda de los -60 dB al ancho de banda del circuito resonante de -

3dB. En otras palabras, se refiere a la relación entre la banda de paso sobre la banda de

atenuación.

El factor forma es 1 para un filtro ideal y será mayor que 1 en los filtros pasabanda reales

puesto que siempre se tiene que .

13. Que son los decibelios ?

Decibelios (en forma relativa): En un circuito con entrada y salida se refiere a la relación

de potencias entrada-salida (Ganancia = GdB ) ó salida-entrada (Atenuación = AdB ) dada en

logaritmos de base 10 y multiplicada por 10 como se indica en las ecuaciones (2.4 y (2.5).

(2.4)

(2.5)

Decibelios (en forma absoluta): Es una forma alterna para la medición de potencias

también en logaritmos teniendo como referencia una potencia específica: Pr.

(2.6)

De acuerdo a la potencia de referencia se definen las siguientes potencias en dB:


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a. Los dBm: La potencia de referencia es 1 mW:

(2.7)

b. Los dBW: La potencia de referencia es 1 Watt.:

(2.8)

c. Los dBK: La potencia de referencia es 1 KWatt.:

(2.9)

2.2 Resonancia Serie.

Fig. 2.3 Circuito resonante Serie.

Llamando: R=RL+RS:

(2.10)

| | (2.11)

| | √ (2.12)

(2.13)

Lugar geométrico en el plano Z de la impedancia RLC serie.


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En resonancia: f =f0

Valor mínimo de Z (2.14)

(2.15)

√ (2.16)

En ese punto:

(2.17)

Lugar geométrico en el plano y de la admitancia del circuito RLC.

En las frecuencias de corte:

| |

√

√ (2.18)

La potencia disipada en R es la mitad de la potencia en la frecuencia de Resonancia. Luego

son puntos de mitad de potencia.

Factor de Calidad

(2.19)

Para el circuito RLC serie:

(2.20)

(2.21)

Pero

(2.22)

(2.23)


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[

] [ (

)] (2.24)

En resonancia:

Fig.2.4 Efecto de RL y RS sobre el Q con carga.

2.3 Resonancia paralelo. Ver Fig. 2.4

Fig. 2.4 Circuito Resonante paralelo

Considerando:

En la resonancia paralela: El fasor V está en fase con el fasor I. Y el Qt puede calcularse

como:

(2.25)

(2.26)

(2.27)


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En resonancia los fasores I y V están en fase, por tanto el término suceptancia debe ser cero.

Luego:

(2.28)

Y la frecuencia de resonancia es la misma del circuito resonante serie:

√ (2.29)

(2.30)

(2.31)

Y el Ancho de banda se puede calcular como:

(2.32)

También en resonancia la corriente en el capacitor se relaciona con la corriente total:

(2.33)

Gráficas de Z(jω) (vs) f

Fig. 2.5 El Q y el Ancho de banda


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2.4 Transformación de impedancias

2.4.1 Resonancia Paralelo con resistencia de carga serie :

Resistencia en la rama inductiva:

Fig.2.6 Resonancia Paralelo con resistencia de carga serie

R= Resistencia de la bobina + Resistencia de la carga

Admitancia de entrada:

[

] (2.34)

En resonancia la suceptancia es igual a cero, por tanto la frecuencia de resonancia

será:

√

(2.35)

La impedancia en resonancia será:

(2.36)

El del circuito en resonancia:

(2.37)

Luego:

(2.38)

La relación:


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(2.39)

Esta ecuación muestra la propiedad de la transformación de impedancias del circuito.

Ejemplo 2.1: Diseñar la siguiente red de acople que transforma una carga de entrada

de 50Ω a una carga de salida de 1000 Ω a la frecuencia de trabajo de 100 MHz.

Fig. 2.7 Ejemplo 2.1

Solución: Empleando la ecuación (2.39):

(2.40)

Luego:

(2.41)

Empleando las ecuaciones (2.36) y (2.37):

(2.42)

(2.43)

No obstante este circuito transmite el nivel DC a la carga.


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2.4.2 Resistencia en la rama capacitiva:

Fig.2.8 Resistencia en la rama capacitiva

Si la resistencia de la bobina es pequeña frente a R, las ecuaciones son las mismas del

caso anterior. En este caso no hay transmisión del nivel DC.

2.5 Circuitos de acople con tres elementos.

Ver Fig. 2.9

Fig. 2.9 Red de acople con tres elementos

Datos de entrada RL, R2, fo, B.

El circuito equivalente se muestra en la Fig. 2.10.

Fig. 2.10 Circuito equivalente al de la Fig. 2.9

Teniendo en cuenta que el Qt es:


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(2.44)

El procedimiento de cálculo es el siguiente:

1. Cálculo de C:

(2.45)

2. Cálculo de L:

=

(2.46)

3. Transformador equivalente:

Fig. 2.11 Transformador equivalente

√

(2.47)

4. Cálculo de Qp (circuito paralelo):

Si :

5. Cálculo de

6. Cálculo de


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Si

5. Recálculo del :

√

6. Cálculo de

7. Cálculo de

8. Cálculo de

9.

En el caso de existir inductancia mutua entre y L (Fig. 2.9), L cambia por

Donde M es la inductancia mutua. No obstante, dependiendo de K el coeficiente de

acoplamiento así:

Si (transformador ideal) son válidas las ecuaciones anteriores.

Si requiere un análisis especial y por tanto no son válidas las ecuaciones

anteriores.

Estos casos se solucionan fácilmente empleando la carta de Smith (Cap. 3).

2.6 Ejercicios propuestos

2.6.1 Para el circuito de la Fig. 2. Con Rt=100RL=2K. Suponer QL infinito. Encontrar

los valores para L, C, Qt y B.

Fig. 2.12 Problema propuesto 2.6.1


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2.6.2 Un amplificador con una salida de 3 K se va a acoplar a una antena de 300 l

sistema está operando en una frecuencia de 5 MHz y se va a usar una red de acople tipo “pi”.

Diseñar la red “pi”.

2.6.3 Diseñe la red de acople indicada en la fig. 2.13, en la frecuencia de operación de 90

MHz. Emplear una red de 2 elementos pasa alto.

Fig. 2.13 Ejercucio 2.6.3

2.6.4 Para la siguiente red de acoplamiento (Fig. 2.14):

Fig. 2.14 Ejercicio 2.6.4

Si

a) Hallar

b) Si , hallar en magnitud.


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