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Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas 127 Capítulo 8 Multiplicadores Analógicos

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Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

127

Capítulo 8 Multiplicadores Analógicos

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

128

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

129

8. MULTIPLICADORES ANALÓGICOS

8.1 Introducción.

Un multiplicador analógico es un circuito con dos entradas que genera como salida,

(8.1)

Donde K es una constante con dimensiones .

En función de la polaridad de las entradas que acepta el multiplicador, se puede clasifican

como:

- Multiplicador de cuatro-cuadrantes: Admite ambas entradas bipolares.

- Multiplicador de dos-cuadrantes: Una entrada es unipolar, y la otra bipolar.

- Multiplicador de un-cuadrante: Las dos entradas son unipolares.

Las características de un multiplicador se describen en función de su precisión y de su

linealidad.

- La precisión de un multiplicador representa la máxima desviación de la salida del

multiplicador ideal, respecto de la función de transferencia ideal.

- La linealidad de un multiplicador se mide como la máxima desviación de salida, relativa

a la recta que mejor aproxima a la curva de salida del multiplicador respecto de una de las

entradas, cuando la otra es mantenida constante en su valor máximo.

Aplicaciones típicas de los multiplicadores son:

- Amplificación y filtrado controlado por tensión.

- Circuitos moduladores y demoduladores.

- Control automático de ganancia.

- Cálculo analógico.

En el procesamiento de señales analógicas, con frecuencia se requiere un circuito que toma 2

entradas analógicas y produce una salida proporcional al su producto. Sin embargo es de

anotar que cuando se realiza la multiplicación de dos señales analógicas intervienen 3

elementos básicos que hacen parte de dichas señales:

1. La magnitud.

2. La frecuencia.

3. La fase.

En este capítulo analizaremos las tres modalidades de utilización del multiplicador analógico.

8.2 El par acoplado por emisor como multiplicador:

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

130

Conviene comenzar el estudio del multiplicador considerando el dispositivo más básico para

este propósito: El par acoplado por emisor (Fig. 8.1):

Fig. 8.1 Par acoplado por emisor

Considerando las ecuaciones de Evers y Moll para el par acoplado por emisor, se pueden

plantear las ecuaciones de colector:

(

) (8.2)

(

) (8.3)

Donde las corrientes de base han sido despreciadas. Estas 2 ecuaciones pueden ser combinadas para

obtener la diferencia entre ellas:

∆IC = IC1 - IC2 = IEE tanh ( Vid /2VT ) (8.4)

Esta relación se muestra gráficamente en la Fig. 8.2 y establece que el par acoplado por

emisor puede ser usado como un multiplicador primitivo.

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

131

Fig. 8.2. Característica de transferencia del par acoplado por emisor

Si se asume que el voltaje de entrada es diferencial:

Vid <<Vt tanh ( Vid /2Vt ) ≈ ( Vid /2Vt ) (8.5)

( Vid /2Vt ) << 1 Vid << 2Vt (8.6)

Luego:

∆IC = IEE ( Vid /2Vt )

La corriente IEE es la corriente de polarización del par acoplado por emisor. Con adición de

más circuitería se puede lograr que IEE sea proporcional a una segunda entrada Vi2. Ver Fig.

8.3.

Fig. 8.3 Multiplicador analógico de 2 cuadrantes

En este caso tenemos:

IEE ≈ K0 (Vi2 – VBE(on)) (8.7)

La corriente de salida del par acoplado por emisor puede ser calculada:

(8.8)

Si Vi2 >> VBE(on) ∆IC = K0 VidVi2 (8.9)

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

132

Este es un circuito multiplicador que solo funciona en 2 cuadrantes (+ + y + -). A este circuito

se le llama “multiplicador de 2 cuadrantes”.

8.3 Celda Multiplicadora de Gilbert

Es una modificación a la celda anterior que permite multiplicación en 4 cuadrantes:

IC4-6

(8.10) IC3-5

)exp(1 1

1

3

T

C

C

V

V

II

(8.11)

)exp(1 1

1

4

T

C

C

V

V

II

(8.12)

)exp(1 1

2

5

T

C

C

V

V

II

(8.13)

26

11 exp( )

CC

T

II

V

V

(8.14)

Fig. 8.4 Multiplicador Gilbert

IC1 e IC2 pueden ser relacionadas con V2

)exp(1 2

1

T

EEC

V

V

II

;

)exp(1 2

2

T

EEC

V

V

II

(8.15)

Combinando estas ecuaciones, se obtienen expresiones para las corrientes IC3, IC4, IC5 y IC6 en

términos de V1 y V2:

)exp(1)exp(1 21

3

TT

EEC

V

V

V

V

II

(8.16)

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

133

)exp(1)exp(1 21

4

TT

EEC

V

V

V

V

II

(8.17)

)exp(1)exp(1 21

5

TT

EEC

V

V

V

V

II

(8.18)

)exp(1)exp(1 21

6

TT

EEC

V

V

V

V

II

(8.19)

La corriente de salida diferencial es dada por:

∆I = IC3-5 - IC4-6

= (IC3 + IC5) - (IC4 + IC6)

= (IC3 - IC6) - (IC4 - IC5)

Remplazando valores y expresando en términos de , se tiene:

* (

)+ * (

)+ (8.20

Se observa que la característica de transferencia de la celda es el producto de la tanh de los

dos voltajes de entrada.

En el procesamiento de señales analógicas se requiere, con frecuencia, un circuito que toma 2

entradas análogas y produce una salida proporcional a su producto. Tales circuitos son

llamados MULTIPLICADORES.

Salida: es proporcional al producto de la tanh de

V1 V1 los voltajes de entrada:

V0

V2 V0 V0 = K [tanh ( V1 /2Vt )] [tanh ( V2 /2Vt )] (8.21)

Fig. 8.5 Celda de Gilbert

CELDA DE

GILBERT

LM 1496

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

134

8.4 Aplicaciones Prácticas de la Celda de Gilbert

Se dividen en tres categorías:

1. Si V1 y V2 son pequeñas con respecto a VT tanh α ≈ α. En este caso se llama:

MULTIPLICADOR ANALOGICO de 4 cuadrantes.

2. Si V1 < VT y V2 > VT ó V1 > VT y V2 < VT : una de las señales de entrada saturan los

transistores mientras que la otra no. Este modo de operación se denomina:

MODULADOR

3. Si V1 y V2 son grandes respecto a VT todos los transistores trabajan en saturación.

Este método es usado para la detección de diferencia de fases entre 2 señales limitadas

en amplitud. Este modo se denomina: DETECTOR DE FASE.

8.4.1 Celda de Gilbert como multiplicador analógico

Tomando la salida de la celda como:

[ (

)] [ (

)]

Y teniendo encuentra que la función tanh puede ser representada por la serie infinita:

tanh x = x – x3/3 + ….

Asumiendo que x<<1, tanh x ≈ x

Luego:

*(

)+ *(

)+ (8.22)

Para señales de pequeña amplitud, el circuito es un multiplicador analógico.

Desafortunadamente, las amplitudes de las señales de entrada frecuentemente son más grandes

que VT.

Las señales grandes pueden ser acomodadas en este modo esencialmente de 2 formas:

1. Degradación por emisor: En el evento de que solo una de las señales sea grande

comparada con VT; se puede incrementar el rango lineal de V2 como se muestra en la

fig. 8.6.

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

135

Fig. 8.6 Celda con circuito de degradación por emisor

Sin embargo esta degradación por emisor sólo puede hacerse con Q1 y Q2 para V2

Mientras que para Q3, Q4, Q5, y Q6 se destruye la relación requerida

2. Con circuito predistorsionador: Se introduce una no-linealidad que predistorsiona

las señales de entrada para compensar la característica de transferencia tanh de la

celda básica. La no-linealidad requerida es tanh inversa para que la celda de Gilbert

aumente su rango dinámico:

V1

V2

Fig.8.7 Celda con predistorsionador

Circuito tanh-1

se muestra en la Fig. 8.8.

Tanh-1

Tanh-1

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

136

Fig. 8.8 Circuito tanh

-1

La caja negra desarrolla una corriente de salida que esta linealmente relacionada con el voltaje

de entrada V1

I1 = I01 + K1V1 (8.23)

I2 = I01 – K1V1 (8.24)

I01 = IDC que fluye en cada salida si V1 = 0

K1 = transconductancia del convertidor.

El voltaje diferencial desarrollado a través de 2 diodos conectados a los transistores.

(

) (

) (8.25)

(

) (8.26)

Esta función puede ser transformada usando la identidad:

(8.27)

En la relación deseada:

(

) (8.28)

La característica de transferencia total es:

(

) (

) (8.29)

I02 y k2 son los parámetros del bloque funcional para V2.

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

137

La corriente de salida muestra que es proporcional a V1, V2, IC1 e IC2 y deben ser siempre

positivas.

(8.30)

(8.31)

8.4.2 Multiplicador completo de 4 cuadrantes: Fig. 8.9.

Fig. 8.9 Multiplicador completo de 4 cuadrantes

Tomando la salida

[ (

)] [ (

)]

Teniendo encuenta que tanh x ≈ x si x<<1, en consecuencia: Si V1, V2 << VT

*(

)+ *(

)+ (8.32)

Para el circuito LM 1496 ó LM 1596: V0 = 0.1 V1V2

8.4.3 Celda de Gilbert como modulador balanceado. Ver Fig. 8.10.

Fig.8.10 Multiplicador

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

138

Sea:

x1 : señal de baja frecuencia y de amplitud < VT. (Señal Moduladora)

x2 : señal de alta frecuencia y amplitud > VT (señal Portadora) Asumiendo:

; de pequeña magnitud

; VC de gran magnitud

[ ]

[ ∑ ] (8.33)

[ ] (8.34)

La representación en el tiempo se muestra en la Fig. 8.11.

Fig.8.11 Modulador Balanceado

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

139

Para la representación de este modulador en frecuencia, se realiza el análisis en la Fig. 8.12

donde el espectro de baja frecuencia es trasladado hacia la portadora y todas sus armónicas

impares.

Fig. 8.12 Análisis espectral del Modulador Balanceado

8.4 CELDA DE GILBERT COMO DETECTOR DE FASE.

En este caso todos los transistores se comportan como switches, por tanto las entradas x1(t) y

x2(t) superan a VT.

Si las frecuencias de x(t) y x2(t) son iguales pero fase diferente, el circuito actúa como

DETECTOR DE FASE

Los circuitos posteriores a este detector se encargan de obtener el nivel DC de la señal y(t) =

YAVERAGE

(8.35)

[ ] (8.36)

El signo menos es debido a la gráfica y las áreas y son:

Las señales en este detector de fase se muestran en la Fig. 8.13.

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

140

Fig. 8.13 Señales en el detector de fase

En consecuencia:

*

+ (8.37)

(

) (8.38)

La salida del detector de fase: Vs. Ф se aprecia en la Fig. 8-14.

Fig. 8.14 Característica de transferencia del detector de fase completo

El circuito que se encarga de obtener YAVERAGE es un detector de fase en cascada con un filtro

pasa bajos (Fig. 8.15).

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

141

Fig. 8.15 Circuito detector de fase.

8.5 OTRAS APLICACIONES DE LOS MULTIPLICADORES ANALÓGICOS

El multiplicador analógico además de realizar operaciones lineales como multiplicación de

cuatro cuadrantes y detector de fase se puede emplear para otras aplicaciones tales como

elevar al cuadrado, doblador de frecuencias, división analógica de dos cuadrantes, raíz

cuadrada, modulador balanceado, modulador y demodulador de AM, detección de Banda

Lateral Única (SSB), en los Lazo Enganchado de Fase (PLL) y sus aplicaciones como

detección de FM, separación de frecuencias, etc.

8.5.1 Elevar al cuadrado: Ver Fig. 8.16

Fig. 8.16 Elevador al cuadrado

8.5.2 Doblador de Frecuencias:

Empleando el mismo circuito de la Fig. 8.16 con:

(8.39)

Ver Fig. 8.17

Fig. 8.17 Doblador de frecuencia

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

142

8.5.3 División analógica de dos cuadrantes:

Fig. 8.18 Divisor analógico

(8.40)

Para que la realimentación sea negativa, se debe cumplir que sea siempre positiva. La

tensión pude ser bipolar, al igual que la tensión de salida

La constante K es en la práctica , y la salida es:

(

⁄ ) (8.41)

8.5.4 Raíz cuadrada:

Empleando el circuito de la Fig. 8.19 se puede realizar la raíz cuadrada de una señal.

(8.42)

Fig. 8.19 Raíz cuadrada

La tensión de entrada debe ser negativa para proveer alimentación negativa y la salida será

siempre positiva.

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

143

8.5.5 Modulador balanceado: Fig. 8.20

Fig. 8.20 Modulador balanceado

Trabajando el multiplicador ahora como modulador balanceado, es decir que por sus

características electrónicas, genera en su salida una señal proporcional al producto de sus

entradas:

: Señal portadora

: Señal moduladora

[ ( ) ( )]

Cuyo espectro es:

[ ] (8.43)

La señal generada es una modulación en doble banda lateral (DSB) con portadora suprimida

como se aprecia en la Fig. 8.21.

Fig. 8.21 Espectro en DBL

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144

8.5.6 Modulación AM:

Fig. 8. 22 Modulador de AM

Considerando el circuito de la Fig. 8.22 si S1 se coloca en la posición AM, resulta:

[( )]

[

]

[

[ ] (8.44)

De donde se deduce que:

es la portadora

es la banda lateral inferior

es la banda lateral superior

El espectro unilateral de esta señal se aprecia en la Fig. 8.23.

Fig. 8.23 Espectro en AM

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145

Si el índice de modulación es , ⁄ , la intensidad de las bandas laterales

será la mitad de la portadora.

8.5.7 Detector de Banda Lateral Única (SSB):

Fig. 8.24 Detector de SSB

( ) Banda lateral inferior

: Portadora

Salida del multiplicador:

( )

[ ( )]

Después del filtro se tiene:

Por tanto se requiere que el oscilador local tenga la misma frecuencia y fase que la portadora

del transmisor (detección sincrónica).

8.5.8 Detección de AM:

Empleando el esquema de la Fig. 8.24 donde las entradas son:

*

+ ( ) (8.45)

A la salida del multiplicador:

[( ) ] [ ]

Después del filtro:

[ ] (8.46)

Eliminando el término constante:

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

146

[ ] (8.47)

8.5.9 Detector de fase con compuerta XOR:

La Fig. 8.25 muestra un detector de fase empleando una compuerta XOR.

Fig. 8.25 Detector de fase con compuerta XOR

(8.48)

(8.49)

(8.50)

Cuando las frecuencias son iguales, la salida del detector es proporcional al desfasaje y cuando

las frecuencias son diferentes, funciona como mezclador, produciendo a la salida la diferencia

de frecuencia:

(8.51)

Las formas de onda para este tipo de detector de fase se muestran en la Fig. 8.26.

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147

Fig. 8.26 Formas de onda del Detector XOR

8.9 Ejercicios Propuestos

8.9.1 Se dispone de un modulador balanceado en cascada con un filtro pasa banda como se

ilustra en la Fig. 8.27. Si y . Determine

la señal .

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148

Fig. 8.27 Ejercicio 8.9.1

8.9.2 Dado el siguiente comparador de fase mostrado en la Fig. 8.28

Fig. 8.28 Ejercicio 8.9.2

Establezca su operación y deduzca la característica de transferencia del comparador:

(Vaverage vs. ). Determine la ganancia de este comparador.

8.9.3 Para el Comparador de fase digital XOR mostrado en la Fig. 8.25, trabajando con

niveles TTL, determine:

a) La función de transferencia: Vaverage vs. donde es la diferencia de fase entre las

señales A y B.

b) Determine la ganancia en voltaje (KD) de este comparador de fase.

8.9.4 Determine la característica de transferencia del circuito mostrado en la Fig. 8.29,

asumiendo que para el multiplicador.

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149

Fig. 8.29 Ejercicio 8.9.4

8.9.5 Para el circuito de la Fig. 8.30:

Fig. 8.30 Ejercicio 8.9.5

a) Determine y grafique la característica de transferencia.

b) Si , graficar la forma de onda en .

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

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