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Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas
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8. MULTIPLICADORES ANALÓGICOS
8.1 Introducción.
Un multiplicador analógico es un circuito con dos entradas que genera como salida,
(8.1)
Donde K es una constante con dimensiones .
En función de la polaridad de las entradas que acepta el multiplicador, se puede clasifican
como:
- Multiplicador de cuatro-cuadrantes: Admite ambas entradas bipolares.
- Multiplicador de dos-cuadrantes: Una entrada es unipolar, y la otra bipolar.
- Multiplicador de un-cuadrante: Las dos entradas son unipolares.
Las características de un multiplicador se describen en función de su precisión y de su
linealidad.
- La precisión de un multiplicador representa la máxima desviación de la salida del
multiplicador ideal, respecto de la función de transferencia ideal.
- La linealidad de un multiplicador se mide como la máxima desviación de salida, relativa
a la recta que mejor aproxima a la curva de salida del multiplicador respecto de una de las
entradas, cuando la otra es mantenida constante en su valor máximo.
Aplicaciones típicas de los multiplicadores son:
- Amplificación y filtrado controlado por tensión.
- Circuitos moduladores y demoduladores.
- Control automático de ganancia.
- Cálculo analógico.
En el procesamiento de señales analógicas, con frecuencia se requiere un circuito que toma 2
entradas analógicas y produce una salida proporcional al su producto. Sin embargo es de
anotar que cuando se realiza la multiplicación de dos señales analógicas intervienen 3
elementos básicos que hacen parte de dichas señales:
1. La magnitud.
2. La frecuencia.
3. La fase.
En este capítulo analizaremos las tres modalidades de utilización del multiplicador analógico.
8.2 El par acoplado por emisor como multiplicador:
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Conviene comenzar el estudio del multiplicador considerando el dispositivo más básico para
este propósito: El par acoplado por emisor (Fig. 8.1):
Fig. 8.1 Par acoplado por emisor
Considerando las ecuaciones de Evers y Moll para el par acoplado por emisor, se pueden
plantear las ecuaciones de colector:
(
) (8.2)
(
) (8.3)
Donde las corrientes de base han sido despreciadas. Estas 2 ecuaciones pueden ser combinadas para
obtener la diferencia entre ellas:
∆IC = IC1 - IC2 = IEE tanh ( Vid /2VT ) (8.4)
Esta relación se muestra gráficamente en la Fig. 8.2 y establece que el par acoplado por
emisor puede ser usado como un multiplicador primitivo.
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Fig. 8.2. Característica de transferencia del par acoplado por emisor
Si se asume que el voltaje de entrada es diferencial:
Vid <<Vt tanh ( Vid /2Vt ) ≈ ( Vid /2Vt ) (8.5)
( Vid /2Vt ) << 1 Vid << 2Vt (8.6)
Luego:
∆IC = IEE ( Vid /2Vt )
La corriente IEE es la corriente de polarización del par acoplado por emisor. Con adición de
más circuitería se puede lograr que IEE sea proporcional a una segunda entrada Vi2. Ver Fig.
8.3.
Fig. 8.3 Multiplicador analógico de 2 cuadrantes
En este caso tenemos:
IEE ≈ K0 (Vi2 – VBE(on)) (8.7)
La corriente de salida del par acoplado por emisor puede ser calculada:
(8.8)
Si Vi2 >> VBE(on) ∆IC = K0 VidVi2 (8.9)
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Este es un circuito multiplicador que solo funciona en 2 cuadrantes (+ + y + -). A este circuito
se le llama “multiplicador de 2 cuadrantes”.
8.3 Celda Multiplicadora de Gilbert
Es una modificación a la celda anterior que permite multiplicación en 4 cuadrantes:
IC4-6
(8.10) IC3-5
)exp(1 1
1
3
T
C
C
V
V
II
(8.11)
)exp(1 1
1
4
T
C
C
V
V
II
(8.12)
)exp(1 1
2
5
T
C
C
V
V
II
(8.13)
26
11 exp( )
CC
T
II
V
V
(8.14)
Fig. 8.4 Multiplicador Gilbert
IC1 e IC2 pueden ser relacionadas con V2
)exp(1 2
1
T
EEC
V
V
II
;
)exp(1 2
2
T
EEC
V
V
II
(8.15)
Combinando estas ecuaciones, se obtienen expresiones para las corrientes IC3, IC4, IC5 y IC6 en
términos de V1 y V2:
)exp(1)exp(1 21
3
TT
EEC
V
V
V
V
II
(8.16)
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)exp(1)exp(1 21
4
TT
EEC
V
V
V
V
II
(8.17)
)exp(1)exp(1 21
5
TT
EEC
V
V
V
V
II
(8.18)
)exp(1)exp(1 21
6
TT
EEC
V
V
V
V
II
(8.19)
La corriente de salida diferencial es dada por:
∆I = IC3-5 - IC4-6
= (IC3 + IC5) - (IC4 + IC6)
= (IC3 - IC6) - (IC4 - IC5)
Remplazando valores y expresando en términos de , se tiene:
* (
)+ * (
)+ (8.20
Se observa que la característica de transferencia de la celda es el producto de la tanh de los
dos voltajes de entrada.
En el procesamiento de señales analógicas se requiere, con frecuencia, un circuito que toma 2
entradas análogas y produce una salida proporcional a su producto. Tales circuitos son
llamados MULTIPLICADORES.
Salida: es proporcional al producto de la tanh de
V1 V1 los voltajes de entrada:
V0
V2 V0 V0 = K [tanh ( V1 /2Vt )] [tanh ( V2 /2Vt )] (8.21)
Fig. 8.5 Celda de Gilbert
CELDA DE
GILBERT
LM 1496
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8.4 Aplicaciones Prácticas de la Celda de Gilbert
Se dividen en tres categorías:
1. Si V1 y V2 son pequeñas con respecto a VT tanh α ≈ α. En este caso se llama:
MULTIPLICADOR ANALOGICO de 4 cuadrantes.
2. Si V1 < VT y V2 > VT ó V1 > VT y V2 < VT : una de las señales de entrada saturan los
transistores mientras que la otra no. Este modo de operación se denomina:
MODULADOR
3. Si V1 y V2 son grandes respecto a VT todos los transistores trabajan en saturación.
Este método es usado para la detección de diferencia de fases entre 2 señales limitadas
en amplitud. Este modo se denomina: DETECTOR DE FASE.
8.4.1 Celda de Gilbert como multiplicador analógico
Tomando la salida de la celda como:
[ (
)] [ (
)]
Y teniendo encuentra que la función tanh puede ser representada por la serie infinita:
tanh x = x – x3/3 + ….
Asumiendo que x<<1, tanh x ≈ x
Luego:
*(
)+ *(
)+ (8.22)
Para señales de pequeña amplitud, el circuito es un multiplicador analógico.
Desafortunadamente, las amplitudes de las señales de entrada frecuentemente son más grandes
que VT.
Las señales grandes pueden ser acomodadas en este modo esencialmente de 2 formas:
1. Degradación por emisor: En el evento de que solo una de las señales sea grande
comparada con VT; se puede incrementar el rango lineal de V2 como se muestra en la
fig. 8.6.
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Fig. 8.6 Celda con circuito de degradación por emisor
Sin embargo esta degradación por emisor sólo puede hacerse con Q1 y Q2 para V2
Mientras que para Q3, Q4, Q5, y Q6 se destruye la relación requerida
2. Con circuito predistorsionador: Se introduce una no-linealidad que predistorsiona
las señales de entrada para compensar la característica de transferencia tanh de la
celda básica. La no-linealidad requerida es tanh inversa para que la celda de Gilbert
aumente su rango dinámico:
V1
V2
Fig.8.7 Celda con predistorsionador
Circuito tanh-1
se muestra en la Fig. 8.8.
Tanh-1
Tanh-1
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Fig. 8.8 Circuito tanh
-1
La caja negra desarrolla una corriente de salida que esta linealmente relacionada con el voltaje
de entrada V1
I1 = I01 + K1V1 (8.23)
I2 = I01 – K1V1 (8.24)
I01 = IDC que fluye en cada salida si V1 = 0
K1 = transconductancia del convertidor.
El voltaje diferencial desarrollado a través de 2 diodos conectados a los transistores.
(
) (
) (8.25)
(
) (8.26)
Esta función puede ser transformada usando la identidad:
(8.27)
En la relación deseada:
(
) (8.28)
La característica de transferencia total es:
(
) (
) (8.29)
I02 y k2 son los parámetros del bloque funcional para V2.
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La corriente de salida muestra que es proporcional a V1, V2, IC1 e IC2 y deben ser siempre
positivas.
(8.30)
(8.31)
8.4.2 Multiplicador completo de 4 cuadrantes: Fig. 8.9.
Fig. 8.9 Multiplicador completo de 4 cuadrantes
Tomando la salida
[ (
)] [ (
)]
Teniendo encuenta que tanh x ≈ x si x<<1, en consecuencia: Si V1, V2 << VT
*(
)+ *(
)+ (8.32)
Para el circuito LM 1496 ó LM 1596: V0 = 0.1 V1V2
8.4.3 Celda de Gilbert como modulador balanceado. Ver Fig. 8.10.
Fig.8.10 Multiplicador
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Sea:
x1 : señal de baja frecuencia y de amplitud < VT. (Señal Moduladora)
x2 : señal de alta frecuencia y amplitud > VT (señal Portadora) Asumiendo:
; de pequeña magnitud
; VC de gran magnitud
[ ]
[ ∑ ] (8.33)
∑
[ ] (8.34)
La representación en el tiempo se muestra en la Fig. 8.11.
Fig.8.11 Modulador Balanceado
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Para la representación de este modulador en frecuencia, se realiza el análisis en la Fig. 8.12
donde el espectro de baja frecuencia es trasladado hacia la portadora y todas sus armónicas
impares.
Fig. 8.12 Análisis espectral del Modulador Balanceado
8.4 CELDA DE GILBERT COMO DETECTOR DE FASE.
En este caso todos los transistores se comportan como switches, por tanto las entradas x1(t) y
x2(t) superan a VT.
Si las frecuencias de x(t) y x2(t) son iguales pero fase diferente, el circuito actúa como
DETECTOR DE FASE
Los circuitos posteriores a este detector se encargan de obtener el nivel DC de la señal y(t) =
YAVERAGE
∫
(8.35)
[ ] (8.36)
El signo menos es debido a la gráfica y las áreas y son:
Las señales en este detector de fase se muestran en la Fig. 8.13.
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Fig. 8.13 Señales en el detector de fase
En consecuencia:
*
+ (8.37)
(
) (8.38)
La salida del detector de fase: Vs. Ф se aprecia en la Fig. 8-14.
Fig. 8.14 Característica de transferencia del detector de fase completo
El circuito que se encarga de obtener YAVERAGE es un detector de fase en cascada con un filtro
pasa bajos (Fig. 8.15).
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Fig. 8.15 Circuito detector de fase.
8.5 OTRAS APLICACIONES DE LOS MULTIPLICADORES ANALÓGICOS
El multiplicador analógico además de realizar operaciones lineales como multiplicación de
cuatro cuadrantes y detector de fase se puede emplear para otras aplicaciones tales como
elevar al cuadrado, doblador de frecuencias, división analógica de dos cuadrantes, raíz
cuadrada, modulador balanceado, modulador y demodulador de AM, detección de Banda
Lateral Única (SSB), en los Lazo Enganchado de Fase (PLL) y sus aplicaciones como
detección de FM, separación de frecuencias, etc.
8.5.1 Elevar al cuadrado: Ver Fig. 8.16
Fig. 8.16 Elevador al cuadrado
8.5.2 Doblador de Frecuencias:
Empleando el mismo circuito de la Fig. 8.16 con:
(8.39)
Ver Fig. 8.17
Fig. 8.17 Doblador de frecuencia
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8.5.3 División analógica de dos cuadrantes:
Fig. 8.18 Divisor analógico
(8.40)
Para que la realimentación sea negativa, se debe cumplir que sea siempre positiva. La
tensión pude ser bipolar, al igual que la tensión de salida
La constante K es en la práctica , y la salida es:
(
⁄ ) (8.41)
8.5.4 Raíz cuadrada:
Empleando el circuito de la Fig. 8.19 se puede realizar la raíz cuadrada de una señal.
√
(8.42)
Fig. 8.19 Raíz cuadrada
La tensión de entrada debe ser negativa para proveer alimentación negativa y la salida será
siempre positiva.
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8.5.5 Modulador balanceado: Fig. 8.20
Fig. 8.20 Modulador balanceado
Trabajando el multiplicador ahora como modulador balanceado, es decir que por sus
características electrónicas, genera en su salida una señal proporcional al producto de sus
entradas:
: Señal portadora
: Señal moduladora
[ ( ) ( )]
Cuyo espectro es:
[ ] (8.43)
La señal generada es una modulación en doble banda lateral (DSB) con portadora suprimida
como se aprecia en la Fig. 8.21.
Fig. 8.21 Espectro en DBL
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8.5.6 Modulación AM:
Fig. 8. 22 Modulador de AM
Considerando el circuito de la Fig. 8.22 si S1 se coloca en la posición AM, resulta:
[( )]
[
]
[
[ ] (8.44)
De donde se deduce que:
es la portadora
es la banda lateral inferior
es la banda lateral superior
El espectro unilateral de esta señal se aprecia en la Fig. 8.23.
Fig. 8.23 Espectro en AM
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Si el índice de modulación es , ⁄ , la intensidad de las bandas laterales
será la mitad de la portadora.
8.5.7 Detector de Banda Lateral Única (SSB):
Fig. 8.24 Detector de SSB
( ) Banda lateral inferior
: Portadora
Salida del multiplicador:
( )
[ ( )]
Después del filtro se tiene:
Por tanto se requiere que el oscilador local tenga la misma frecuencia y fase que la portadora
del transmisor (detección sincrónica).
8.5.8 Detección de AM:
Empleando el esquema de la Fig. 8.24 donde las entradas son:
*
+ ( ) (8.45)
A la salida del multiplicador:
[( ) ] [ ]
Después del filtro:
[ ] (8.46)
Eliminando el término constante:
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[ ] (8.47)
8.5.9 Detector de fase con compuerta XOR:
La Fig. 8.25 muestra un detector de fase empleando una compuerta XOR.
Fig. 8.25 Detector de fase con compuerta XOR
(8.48)
(8.49)
(8.50)
Cuando las frecuencias son iguales, la salida del detector es proporcional al desfasaje y cuando
las frecuencias son diferentes, funciona como mezclador, produciendo a la salida la diferencia
de frecuencia:
(8.51)
Las formas de onda para este tipo de detector de fase se muestran en la Fig. 8.26.
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Fig. 8.26 Formas de onda del Detector XOR
8.9 Ejercicios Propuestos
8.9.1 Se dispone de un modulador balanceado en cascada con un filtro pasa banda como se
ilustra en la Fig. 8.27. Si y . Determine
la señal .
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Fig. 8.27 Ejercicio 8.9.1
8.9.2 Dado el siguiente comparador de fase mostrado en la Fig. 8.28
Fig. 8.28 Ejercicio 8.9.2
Establezca su operación y deduzca la característica de transferencia del comparador:
(Vaverage vs. ). Determine la ganancia de este comparador.
8.9.3 Para el Comparador de fase digital XOR mostrado en la Fig. 8.25, trabajando con
niveles TTL, determine:
a) La función de transferencia: Vaverage vs. donde es la diferencia de fase entre las
señales A y B.
b) Determine la ganancia en voltaje (KD) de este comparador de fase.
8.9.4 Determine la característica de transferencia del circuito mostrado en la Fig. 8.29,
asumiendo que para el multiplicador.
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Fig. 8.29 Ejercicio 8.9.4
8.9.5 Para el circuito de la Fig. 8.30:
Fig. 8.30 Ejercicio 8.9.5
a) Determine y grafique la característica de transferencia.
b) Si , graficar la forma de onda en .