capitulo vi estructuras

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444) INGENIERÍA CIVIL

FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL

ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II(IC-444)

INFORME Nº 07RELACIÓN ENTRE CARGAS Y DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS.

ESTUDIO DE LAS DEFORMACIONES

DOCENTE : Mg. Ing. YACHAPA CONDEÑA, Rubén Américo

ALUMNO : INFANTE APARICIO, Walter Armando.

AYACUCHO-PERÚ2013

INFORME Nº 07 RELACIÓN ENTRE CARGAS Y DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS

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En las estructuras presentadas a continuación, se desea:

1. Seleccionar un sistema de coordenadas Q – q.2. Indicar la forma de la matriz de rigidez y de flexibilidad.3. El significado físico de los elementos de la matriz de rigidez y flexibilidad.

EJERCICIO 01

Solucióna) Sistema Q – q

b) Matriz de rigidez

Primera columna de la matriz de rigidez:

q¿1=1 y q

¿i=0 para i≠1

Segunda columna de la matriz de rigidez:

q¿1=2 y q

¿i=0 para i≠2


EJERCICIOS PROPUESTOS

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Tercera columna de la matriz de rigidez:

q¿1=3 y q

¿i=0 para i≠3

Entonces la matriz de rigidez tendría la siguiente forma:

K=[K11 K12 K13

K21 K22 K 23

K31 K32 K33]

c) Matriz de flexibilidadPrimera columna de la matriz de flexibilidad:

Q¿1=1 y Q

¿i=0 para i≠1

Segunda columna de la matriz de flexibilidad:

Q¿2=1 y Q

¿i=0 para i≠2


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Tercera columna de la matriz de flexibilidad:

Q¿1=3 y Q

¿i=0 para i≠3

Entonces la matriz de flexibilidad tendría la siguiente forma:

F=[F11 F12 F13

F21 F22 F23

F31 F32 F33]


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EJERCICIO 02


b) Matriz de rigidez

Primera columna de la matriz de rigidez:

q¿1=1 y q

¿i=0 para i≠1

Segunda columna de la matriz de rigidez:

q¿1=2 y q

¿i=0 para i≠2


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Tercera columna de la matriz de rigidez:

q¿1=3 y q

¿i=0 para i≠3

Entonces la matriz de rigidez tendría la siguiente forma:

K=[K11 K12 K13

K21 K22 K 23

K31 K32 K33]

c) Matriz de flexibilidadPrimera columna de la matriz de flexibilidad:

Q¿1=1 y Q

¿i=0 para i≠1

Segunda columna de la matriz de flexibilidad:

Q¿2=1 y Q

¿i=0 para i≠2


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Tercera columna de la matriz de flexibilidad:

Q¿1=3 y Q

¿i=0 para i≠3

Entonces la matriz de flexibilidad tendría la siguiente forma:

F=[F11 F12 F13

F21 F22 F23

F31 F32 F33]


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EJERCICIO 03Para la siguiente estructura, definir un sistema de coordenadas y expresar las coordenadas dependientes en función de las coordenadas independientes.


Sean q3, q4, q5 y q6 las coordenadas dependientes, las mismas que deben expresarse en función de q1 y q2.

Para el elemento AB, al considerar el nudo inicial en A y el nudo final en B, se tiene que las coordenadas del elemento valen:

u1=v1=θ1=0


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u2=q1sen53 º+q3 cos53 ºv2=q1cos53 º−q3 sen53 ºθ2=q2

Por ser axialmente rígido, la deformación axial en el nudo final vale cero:u2−u1=0q1sen53 º+q3cos53 º=0

q3=−4q1

3

Para el elemento BC, al considerar el nudo inicial en B y el nudo final en C, se tiene que las coordenadas del elemento valen:

u1=q3 v1=q1 θ1=q2

u2=q5 v2=q4 θ2=q6

Por ser transversal y axialmente rígido, la deformación transversal y axial en el nudo inicial y final vale cero:

θ1−v2−v1

L=0

θ2−

v2−v1

L=0

u2−u1=0

Solucionando las tres ecuaciones se tiene que:q2=q6 q3=q5 q4=q6 L+q1

Podemos ver que todas las coordenadas generalizadas están en función de las coordenadas dependientes. Por lo tanto el sistema Q – q es estable porque tiene solución.


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EJERCICIO 04Demostrar que no pueden ser coordenadas generalizadas de la estructura del ejercicio Nº 03 las componentes de desplazamiento horizontal del nudo B y del nudo C.


Sean q3, q4, q5 y q6 las coordenadas dependientes, las mismas que deben expresarse en función de q1 y q2.

Para el elemento AB, al considerar el nudo inicial en A y el nudo final en B, se tiene que las coordenadas del elemento valen:

u1=v1=θ1=0u2=q3sen 53º+q1 cos53 ºv2=q3cos53 º−q1 sen53 ºθ2=q4

Por ser axialmente rígido, la deformación axial en el nudo final vale cero:u2−u1=0


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q3sen 53º+q1cos53 º=0

q3=−3q1

4

Para el elemento BC, al considerar el nudo inicial en B y el nudo final en C, se tiene que las coordenadas del elemento valen:

u1=q1 v1=q3 θ1=q4

u2=q2 v2=q5 θ2=q6

Por ser transversal y axialmente rígido, la deformación transversal y axial en el nudo inicial y final vale cero:

θ1−v2−v1

L=0

θ2−

v2−v1

L=0

u2−u1=0

Solucionando las tres ecuaciones se tiene que:q2=q1 q4=q6 q5=q6 L+q3

Podemos ver que todas las coordenadas generalizadas están en función de las coordenadas dependientes, excepto en la última ecuación. Por lo tanto el sistema Q – q es inestable porque no tiene solución.


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EJERCICIO 05Resolver el ejemplo Nº 03 desarrollado en el numeral 6.2 de otra manera. Mediante diagramas de cada una de las coordenadas generalizadas seleccionadas.


Sean q4, q5 y q6 las coordenadas dependientes, las mismas que deben expresarse en función de q1, q2 y q3

Dibujamos la deformada de la estructura:


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De la deformada de la estructura se puede definir que.q5=q3

q6=q2 tg β

q4=q1 tg β+q2( tg β−tg α )−q3 L

cosα

Podemos ver que también dibujando la deformada general de la estructura se puede obtener las coordenadas dependientes en función de las coordenadas generalizadas.


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EJERCICIO 06Demostrar las ecuaciones (6.8.1) y ((6.8.3) de este capítulo, mediante trabajos virtuales.

Solucióna) En el nudo final se aplica una fuerza virtual horizontal como lo señala la siguiente

figura y se obtienen las reacciones correspondientes.

Entonces:

p¿1=−1∗u1+1∗u2=u2−u1

b) En el nudo final se aplica un momento virtual como lo señala la siguiente figura y se obtienen las reacciones correspondientes.

Entonces:

p¿3=−1∗θ1+1∗θ2=θ2−θ1

De esta manera demostramos las ecuaciones (6.8.1) y ((6.8.3) mediante trabajos virtuales.


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EJERCICIO 07Con relación al sistema de coordenadas del elemento que utiliza el programa CAL,

demostrar la ecuación p4=

v1−v2

2Solución

a) Para calcular p4 se aplica una carga transversal unitaria y las demás nulas como se muestra en la siguiente figura:

Entonces el trabajo virtual será:TV=1∗p4+1∗p4=2 p4

Luego:2 p4=1∗v1−1∗v2

p4=v1−v2

2

De esta manera demostramos que: p4=

v1−v2

2 mediante trabajos virtuales.


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EJERCICIO 08Encontrar las tres últimas columnas de la matriz T del ejemplo Nº 07.

SoluciónSe define la matriz de transformación de coordenadas T de la siguiente manera:

p=Tp∗¿ ¿

a) Cuarta columna

p¿4=1 y q

¿i=0 para i≠4

u1=v1=θ1=0u2=cos α v2=−senα θ2=0

Luego:p1=θ1=0 p2=θ2=0

p3=u2−u1

2=cos α

2p4=

v1−v2

2= sen α

2


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b) Quinta columna

p¿5=1 y q

¿i=0 para i≠5

u1=v1=θ1=0u2=senα v2=cos α θ2=0


p3=u2−u1

2= sen α

2p4=

v1−v2

2=−cosα

2

c) Sexta columna

p¿6=1 y q

¿i=0 para i≠6

u1=v1=θ1=0u2=0 v2=0 θ2=1


p3=u2−u1

2=0 p4=

v1−v2

2=0

Entonces la matriz T quedará de la siguiente manera:

T=[ 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1

−cosα /2 −senα /2 0 cosα /2 senα /2 0−senα /2 cosα /2 0 sen α /2 −cosα /2 0

] INFORME Nº 07 RELACIÓN ENTRE CARGAS Y DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS

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EJERCICIO 09Encontrar las tres últimas columnas de la matriz T del ejemplo Nº 08.


p=Tp∗¿ ¿

a) Tercera columna

p¿3=1 y q

¿i=0 para i≠3

u1=v1=θ1=0u2=0 v2=1 θ2=0

Luego:

p1=θ1−v2−v1

L=− 1

Lp2=θ1−

v2−v1

L=− 1

L


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b) Cuarta columna

p¿4=1 y q

¿i=0 para i≠4

u1=v1=θ1=0u2=0 v2=0 θ2=1

Luego:

p1=θ1−v2−v1

L=0 p2=θ1−

v2−v1

L=1

Entonces la matriz T quedará de la siguiente manera:

T=[1/L 1 −1/L 01/L 0 −1/L 1 ]


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EJERCICIO 10

Sea λa L y

λb L las longitudes del nudo rígido inicial y final del elemento que se presenta a continuación.

En el elemento en estudio se tiene que L’ es la luz libre y L la luz entre ejes. Se definen dos sistemas de coordenadas uno para el elemento de longitud L’ que se denominará sistema P – p y otro para el de longitud L que se llamará sistema P* - p*.

Demostrar que la matriz de transformación de coordenadas para pasar del sistema P – p al sistema P* - p* es:

T=[1−λb λbλa 1−λa ] 1

1−λa−λb


p=Tp∗¿ ¿


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a) Primera columna

p¿1=1 y q

¿i=0 para i≠1

u1=0 v1=λaL θ1=1u2=0 v2=0 θ2=0

Luego:

p1=θ1−v2−v1

L=1+

λaL

L'=

1− λb1−λa− λb

p2=θ1−v2−v1

L=λaL

L'=

λa1−λa− λb

b) Segunda columna

p¿2=1 y q

¿i=0 para i≠2

u1=0 v1=0 θ1=0

u2=0 v2=− λb L θ2=1

Luego:

p1=θ1−v2−v1

L=λbL

L'=

λb1−λa− λb

p2=θ1−v2−v1

L=1+

λbL

L'=

1−λa1−λa− λb

Factorizando se demuestra que la matriz T quedará de la siguiente manera:

T=[1−λb λbλa 1−λa ] 1

1−λa−λb


capitulo vi estructuras

Documents

matriz de rigidez tendra

matriz de flexibilidad

sistema de coordenadas

nudo final

nudo inicial

coordenadas dependientes

solucina sistema q q

rigidezprimera columna