capitulo viii - estructuras con nudos articulados
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ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
92
92
CAPÍTULO VIII
LIBERACIÓN DE ELEMENTOS Y NUDOS
8.1 ESTRUCTURAS CON NUDOS ARTICULADOS
8.1.1 INTRODUCCIÓN
Todas las estructuras analizadas hasta ahora han presentado las siguientes
características.
Con excepción de las cerchas, sus elementos estaban unidos entre si
rígidamente.
Sus apoyos tenían restricciones absolutas, es decir desplazamientos cero.
Tales restricciones eran en dirección de los ejes globales.
Hay otras estructuras, como por ejemplo la mostrada en la figura, que violan las
anteriores propiedades. Entonces para analizar este tipo de estructuras hay que añadir
nuevos conocimientos a los que hasta ahora se han presentado. Estas estructuras no
pueden clasificarse ni como armaduras ni como pórticos, sino mas bien como una
combinación de ambos.
Se mostrará en este capítulo que para estudiar este tipo de estructuras hay necesidad
de modificar las rigideces de los elementos para satisfacer las condiciones en los
extremos.
8.1.2 CONCEPTUALIZACIÓN ESTRUCTURAL DE UN NODO ARTICULADO
En un nodo articulado al que concurren (n)barras, se consideran (n-1), barras
articuladas, puesto que alguna debe sostener la rótula, a la que se supone como barra
empotrada a la rótula.
Una de las barras (cualquiera) se supone empotrada a la rótula
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
93
93
1
2
3 4
n-1
n
8.1.3 DESGLOSE DE BARRAS
Las figuras siguientes ilustran dos interpretaciones alternativas del nudo 3.
1
2
3
4
5
2
3
4
51
1
2
3
4
5
2
3
4
51
8.1.4 MATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS LOCALES
La evaluación de las matrices de rigidez para cada tipo de elemento puede
ejecutarse bien sea partiendo desde principio en forma similar a como se hizo en la
sección correspondiente para un elemento típico con ambos extremos empotrados. El
análisis de las estructuras que están formados por elementos con diferentes
condiciones en los extremos requiere, por consiguiente, el uso de las matrices de rigidez
apropiadas para aquellos elementos que terminan en apoyos. Las condiciones de
contorno tienen en cuenta esta situación.
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
94
94
A) BARRA EMPOTRADA-ARTICULADA
zp
yp
xp
i j
L
EI
L
EIL
EI
SIML
EA
k
zz
zp
ii
330
30
2
3
000
30
3L
EI
SIML
EA
k zp
jj
03
0
03
0
00
2
3
L
EIL
EIL
EA
kk
z
zT
jiij
000
330
00
23 L
EI
L
EIL
EA
k zzT
ji
B) BARRA ARTICULADA-EMPOTRADA
zp
yp
xp
i j
000
30
3L
EI
SIML
EA
k zp
ii
L
EI
L
EIL
EI
SIML
EA
k
zz
zp
jj
330
30
2
3
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
95
95
000
330
00
23 L
EI
L
EIL
EA
kk zzT
jiij
03
0
03
0
00
2
3
L
EIL
EIL
EA
k
z
zT
ji
C) BARRA BIARTICULADA
zp
yp
xp
i j
000
00
SIML
EA
kkp
jj
p
ii
000
000
00L
EA
kkT
jiij
8.1.5 MATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES
p
p
ii
T
p
p
ii RkRK
p
p
jj
T
p
p
jj RkRK
100
0cos
0cos
sen
sen
Rp
pij
T
p
T
jiij RkRKK
L
yysen
L
xx
ij
ij
cos
BARRA EMPOTRADA-ARTICULADA
i j
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
96
96
321
21
1
ccc
bb
SIMa
Kp
ii
000
21
1
bb
SIMa
Kp
jj
0
0
0
21
21
11
cc
bb
ba
KKT
jiij
BARRA ARTICULADA-EMPOTRADA
i j
000
21
1
bb
SIMa
Kp
ii
321
21
1
ccc
bb
SIMa
Kp
jj
000
221
111
cbb
cba
KKT
jiij
Donde:
2
3
2
1
3cos sen
L
EI
L
EAa z sen
L
EIc z
21
3
cos3
31 senL
EI
L
EAb z
cos
322
L
EIc z
2
3
2
2 cos3
L
EIsen
L
EAb z
L
EIc z3
3
BARRA BIARTICULADA
i j
000000
cos
cos
21
1
2
2
BB
A
senL
EAsen
L
EA
SIML
EA
KKp
jj
p
ii
000
0
0
000
0cos
0cos
21
11
2
2
BB
BA
senL
EAsen
L
EA
SIML
EA
KKT
jiij
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
97
97
8.1.6 FORMULARIO DE ESFUERZOS EN BARRAS DE MARCOS PLANOS
e
ip
e
ip
e
ip
jz
jy
jx
pij
iz
iy
ix
p
p
ii
ip
ip
ip
M
Q
N
RkRk
M
Q
N
e
jp
e
jp
e
jp
iz
iy
ix
pji
jz
jy
jx
p
p
jj
jp
jp
jp
M
Q
N
RkRk
M
Q
N
Donde:
T
ijjiij
p
jj
p
ii kkkkk ;;; son matrices de rigidez de la barra en coordenadas locales
pR Matriz de rotación del sistema local de la barra
BARRA EMPOTRADA-ARTICULADA
zp
yp
xp
i j
e
ip
e
ip
e
ip
iyxz
iyxz
yx
ip
ip
ip
M
Q
N
LsenL
EI
LsenL
EI
senL
EA
M
Q
N
cos3
cos3
cos
2
3
00
cos3
cos
3
e
jp
e
jp
iyxz
yx
jp
jp
jp
Q
N
LsenL
EI
senL
EA
M
Q
N
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
98
98
BARRA ARTICULADA-EMPOTRADA
zp
yp
xp
i j
00
cos3
cos
3
e
ip
e
ip
iyxz
yx
ip
ip
ip
Q
N
LsenL
EI
senL
EA
M
Q
N
0cos
3
cos3
cos
2
3
e
jp
e
jp
iyxz
iyxz
yx
jp
jp
jp
Q
N
LsenL
EI
LsenL
EI
senL
EA
M
Q
N
BARRA BIARTICULADA
zp
yp
xp
i j
00
0
cos
e
ip
e
ipyx
ip
ip
ip
Q
NsenL
EA
M
Q
N
00
0
cos
e
jp
e
jpyx
jp
jp
jp
Q
NsenL
EA
M
Q
N
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
99
99
EJEMPLO
q=20kN/m
z
y
x
3 m. 6 m.
4 m
.
a
b1
2
3
EA=106 kN
EI=2 x 106 kN-m2
q
a
b1
2
3
2
a
q
1 b 3
SISTEMA (A) SISTEMA (B)
1.- CONSTANTES MECÁNICAS
cos
l
L
xxl
ij
senm
L
yym
ij
BARRA L
(m)
NODOS COORDENADAS DE NODOS COS. DIR.
i j xi yi xj yj l m
a 5 1 2 3 4 0 0 -0.6 -0.8
b 6 1 3 3 4 9 4 1 0
2.- SISTEMA (A)
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
100
100
Fuerzas de Empotramiento
q=20kN/m
1 b 3
+Q1b(e)
+M1b(e) -M3b(e)
+Q3b(e)
zb
yb
xb
q=20kN/m
a
b1
2
3
kNQQqL
QQe
b
e
b
e
b
e
b 602
6*20
23.131
mkNMMqL
MMe
b
e
b
e
b
e
b 6012
6*20
1231
22
31
Fuerzas Nodales
NODO 1
e
b
e
b
e
b
T
b
z
y
x
M
Q
N
R
M
P
P
1
1
1
1
1
1
;
100
0cos
0cos
sen
sen
Rb
kN
kN
M
P
P
z
y
x
60
60
0
100
010
001
1
1
1
El sistema con fuerzas nodales será:
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
101
101
a
b1
2
3
z
y
x
60
60
KP
Condiciones de Apoyo
032
Incógnitas
zyx 111 ;;
La ecuación matricial de la estructura se reducirá a:
1111 KP 11KK (Rigidez del nodo 1)
Donde:
ba
KKK 111111
Barra “a”
2 1a
000
14528072960
102720
000
21
1
11
SIM
bb
SIMa
Ka
Barra “b”
1 b 3
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
102
102
Luego: Sumando
13333333333330
29639172960
269387
11
SIM
K
Reemplazando en: 11111 KP
z
y
x
z
y
x SIM
M
P
P
1
1
1
1
1
1
13333333333330
25639172960
269387
De donde:
.10950339.7 5
1 mxx
(Derecha)
.10354687.29 5
1 mxy
(Abajo)
.10838665.2 5
1 radxz
(Antihorario)
Esfuerzos en las barras
Usando formulario
Barra “a”
0
50.11
42.37
0
0
0
0
50.11
42.37
1
1
1
kN
kN
M
Q
N
a
a
a
Barra“b”
0
85.36
25.13
60
60
0
00.60
15.23
25.13
1
1
1
kN
kN
M
Q
N
b
b
b
3.- SISTEMA (B)
13333333333330
1111110
166667
321
21
1
11
SIM
CCC
BB
SIMA
Kb
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
103
103
Fuerzas de Empotramiento
q=20kN/m
+Q1b(e)
1
zb
yb
+Q3b(e)
-M3b(e)b 3 xb
mkNqL
Me
b 908
6*20
8
22
3
kNL
M
L
qLQ
e
be
b 456
90
2
)6(20
2
32
1
kNL
M
L
qLQ
e
be
b 756
90
2
)6(20
2
32
3
Fuerzas Nodales
NODO 1
2
a
q=20kN/m
1 b 3
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
104
104
0
45
0
0
45
0
100
010
001
1
1
1
1
1
1
kN
M
Q
N
M
P
P
e
b
e
b
e
b
z
y
x
El sistema con fuerzas nodales será:
z2
x
y
a
1
45
b 3
KP
Condiciones de Apoyo
032
Incógnitas
zyx 111 ;;
La ecuación matricial de la estructura se reducirá a:
1111 KP 11KK (Rigidez del nodo 1)
Donde:
ba
KKK 111111
Barra “a”
2 a 1
1600000288000384000
1971203840
194880
321
21
1
11
SIM
CCC
BB
SIMA
Ka
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
105
105
Barra “b”
Luego: Sumando
1600000288000384000
2248983840
361547
11
SIM
K
Reemplazando en: 11111 KP
z
y
x
z
y
x SIM
M
P
P
1
1
1
1
1
1
1600000288000384000
2248983840
361547
0
45
0
De donde:
.10950339.7 5
1 mxx
(Derecha)
.10354687.29 5
1 mxy
(Abajo)
.10191914.7 5
1 radxz
(Horario)
Esfuerzos en las barras
Barra “a”
0
50.11
42.37
0
0
0
0
50.11
42.37
1
1
1
kN
kN
M
Q
N
a
a
a
Barra“b”
0
85.36
25.13
0
45
0
0
15.8
25.13
1
1
1
kN
kN
M
Q
N
b
b
b
000
277780
166667
000
21
1
11
SIM
bb
SIMa
Kb
1 b 3
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
106
106
OBSERVACIONES
1.- Los esfuerzos resultantes en ambos sistemas son iguales
2.- Los desplazamientos calculados corresponden en el SISTEMA (A) al extremo de la
barra (b) (o sea donde esta el NODO) y el SISTEMA (B) al extremo de la barra (a).
3.- Como la barra (a) y (b) están conectadas en el nodo (1). Los desplazamientos 1x y
1y deben ser iguales en ambos sistemas.
DEFORMADA
2
a
1 b3
1z
1z
En el SISTEMA (A) se encontró que:
i
a
.10950339.7 5
1 mxx
.10354687.29 5
1 mxy
.10838665.2 5
1 radxz
En el SISTEMA (B) se encontró que:
ib
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
107
107
.10950339.7 5
1 mxx
.10354687.29 5
1 mxy
.10191914.7 5
1 radxz
8.2 APOYOS ELÁSTICOS
Algunas estructuras están provistas de tipos especiales de apoyos con el fin de prevenir
reacciones excesivas o para distribuir los esfuerzos internos mas uniformemente en toda
la estructura.
z
y
x
+R5y
+M2z
+R2y
+R2x
1
34 5
2 k1
k2
k3
Rx
k1
P
P
k2
Ry
M
La rigidez del resorte k es igual:
entoDesplazami
Fuerzak
o bien:
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
108
108
k = Fuerza que produce un desplazamiento unitario
Pk1
Pk2
Mk 3
Si la estructura no estuviera sostenida por estos resortes (Fig. a), el nudo “i” podría
considerarse como un nudo libre (3 grados de libertad), y su rigidez sería la suma de las
rigideces de los elementos que concurren a “i”. Es decir:
b
ii
a
iiii KKK
a b
i
ai
bk1
k2
k3
Fig. aFig. b
Sin embargo, cuando el nudo “i” está sostenido por los resortes Fig. b, su rigidez
aumentará en la magnitud de las rigideces de los resortes, pero el nudo continua
teniendo 3 grados de libertad, es decir la rigidez del nudo “i” es:
S
ii
b
ii
a
iiii KKKK
Donde, la matriz de rigidez del apoyo elástico, puede escribirse de la forma:
3
2
1
00
00
00
k
k
k
KS
ii
REACCIONES EN LOS APOYOS ELÁSTICOS
k3
k2
a k1
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
109
109
Calculados los desplazamientos de los nodos (Incógnitas Geométricas) se conoce:
ax, ay, az.
Conociendo estas incógnitas decimos que; las fuerzas que actúan en los resortes son:
Rax
Pax
Ray
Pay
Maz
Maz
ACCIONES
az
ay
ax
az
ay
ax
k
k
k
M
P
P
3
2
1
REACCIONES DE APOYO
az
ay
ax
az
ay
ax
k
k
k
M
R
R
3
2
1
EJEMPLO
y
z4
x
a
1 b 2
k2
k3
k13
q=20kN/m
c
k3 P=10kN
4 m
.
3 m. 6 m.
E=2x107 Kn/m2
A = 0.20x0.50=0.10m2
Iz = 0.20x0.503/12=2.08x10-3m4
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
110
110
EA=2x106Kn
EI=4.16x104kN-m2
1.- CONSTANTES MECÁNICAS
BARRA
NODOS L
(m)
A
(m2)
Iz
(m4)
COORDENADAS DE
NODOS
COS. DIR.
i j xi yi xj yj l m
a 1 4 5 0.10 2.08x10-3 3 4 0 0 -0.6 -0.8
b 1 2 6 0.10 2.08x10-3 3 4 9 4 1 0
c 2 3 4 0.10 2.08x10-3 9 4 9 0 0 -1
Donde:
L
xx ij cos
L
yysen
ij
2.- FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO
y
z4
x
a
1 b 2
k2
k3
k13
c
k3
q=20kN/m
+Q1b(e)
1
zb
yb
+Q2b(e)
-M2b(e)b 2 xb
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
111
111
ARTICULADA – EMPOTRADA
1 b 2
01 e
bM Articulación
mkNxqL
Me
b 908
620
8
22
2
02 M kNL
MqLQ
e
be
b 456
90
2
120
2
2
1
01 M kNqL
Qe
b 756
90
22
3.- FUERZAS NODALES
100
010
001
100
0cos
0cos
sen
sen
Rb
NODO 1
0
45
0
0
45
0
100
010
001
1
1
1
1
1
1
kN
M
Q
N
R
M
P
P
e
b
e
b
e
b
T
b
z
y
x
NODO 2
mkN
kN
M
Q
N
R
M
P
P
e
b
e
b
e
b
T
b
z
y
x
90
75
0
90
75
0
100
010
001
2
2
2
2
2
2
NOTA: En el nodo 2 debe agregarse la fuerza (P) externa que esta aplicada al nodo.
mkN
kN
kN
M
P
P
M
P
P
V
H
z
y
x
90
75
10
0
0
10
90
75
0
2
2
2
4.- SISTEMA CON FUERZAS NODALES
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
112
112
y
z4
x
a
1
b2
k2
k3
k13
c
k3 10kN
75kN45kN
90kN-m
CONDICIONES DE APOYO
4 = 0
P = K
3
2
1
333231
2221
11
3
2
1
KKK
KK
SIMK
P
P
P
0; 1331
333231
2221
11
KK
KKK
KK
SIMK
K
Rigidez del nodo 1 En coordenadas globales
Sba
KKKK 11111111
332804.59902.7987
7.257437190083
146556
321
21
1
11
SIM
CCC
BB
SIMA
KKaa
ii Empotrado-Empotrado
000
8.5770
3.333333
000
21
1
11
SIM
bb
SIMa
KKBb
ii Articulado-Empotrado
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
113
113
5000
0
0
3
2
1
11
k
k
k
KS
Sumando tenemos:
382804.59902.7987
5.258015190083
146556
11
SIM
K
Rigidez del nodo 2
cb
KKK 222222
208007.34660
8.5770
3.333333
321
21
1
22
SIM
ccc
bb
SIMa
KKbb
jj Articulado-Empotrado
41600015600
5000000
7800
321
21
1
22
SIM
CCC
BB
SIMA
KKc
ii Empotrado-Empotrado
Sumando:
624007.346615600
8.5005770
3.341133
22
SIM
K
Rigidez del nodo 3
Sc
KKK 333333
41600015600
5000000
7800
321
21
1
33
SIM
CCC
BB
SIMA
KKcc
jj Empotrado-Empotrado
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
114
114
5000
5000
1000
3
2
1
33
k
k
k
KS
Sumando:
46600015600
5050000
8800
33
SIM
K
RIGIDECES CRUZADAS
07.34660
08.5770
003.333333
0
0
0
21
21
11
21
cc
bb
ba
KK ji Articulado-Empotrado
20800015600
05000000
1560007800
2/321
221
111
33
CCC
CBB
CBA
KKcc
jj Empotrado-Empotrado
NOTA:
Las rigideces cruzadas solo existen en aquellas barras que son reales y no así en
aquellas donde no existe realmente una barra entre ambos nodos.
En nuestro ejemplo deberían existir según la matriz K de ensamblaje; las
siguientes rigideces cruzadas:
132312 ;; KKK
313221 ;; KKK
Pero como la barra entre los nodos 1 y 3 es ficticia no se calcula ya que será igual a
cero.
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
115
115
ECUACIÓN P=K
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
M
P
P
M
P
P
M
P
P
3
3
3
2
2
2
1
1
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
46600015600000
505005000000000
880007800000
624007.34661560007.34660
8.500577008.5770
3.341133003.333333
382804.59902.7987
5.258015190083
3.479889
0
0
0
90
90
75
0
45
0
Resolviendo el sistema tenemos:
.10400836.15 3
1 mxx
Derecha
.10686334.11 3
1 mxy
Abajo
radxz
3
1 10029987.5 Horario
.10387444.15 3
2 mxx
Derecha
.10910647.13 3
2 mxy
Abajo
radxz
3
2 10399083.1 Antihorario
.10464027.14 3
3 mxx
Derecha
.10772918.13 3
3 mxy
Abajo
radxz
3
3 10933660.0 Horario
ESFUERZOS EN LAS BARRAS
Utilizando formulario:
BARRA “b”
j=2i=1 b
00
cos3
cos
3
e
ip
e
ip
jyxz
yx
ip
ip
ip
Q
N
LsenL
EI
senL
EA
M
Q
N
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
116
116
e
jp
e
jp
e
jp
jyxz
jyxz
yx
jp
jp
jp
M
Q
N
LsenL
EI
LsenL
EI
senL
EA
M
Q
N
cos3
cos3
cos
2
3
jxixx
jyiyy
Donde:
533
21 103392.110387444.1510400836.15 xxxxxx
333
21 103392.1)10910647.13(10686334.11 xxxyyy
0
45
0
0
10399083.1*61*10224313.20*103392.16
)1016.4(3
0*10224313.21*103392.16
102
335
3
4
356
1
1
1
xxxx
xxx
M
Q
N
b
b
b
0
1353.51
4640.4
0
45
0
0
1353.6
4640.4
1
1
1
b
b
b
M
Q
N
90
75
10
10399083.1*61*10224313.20*103392.16
)1016.4(3
1083.3990.1*61*10224313.20*103391.16
1016.4(3
0*224313.21*103392.16
102
335
2
4
335
3
4
356
2
2
2
xxxx
xxxx
xx
M
Q
N
b
b
b
1888.53
8647.68
5360.5
90
75
10
8119.36
1353.6
4640.4
2
2
2
b
b
b
M
Q
N
OTRA FORMA
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
117
117
e
ip
e
ip
e
ip
jz
jy
jx
pij
iz
iy
ix
p
p
ii
ip
ip
ip
M
Q
N
RkRk
M
Q
N
e
jp
e
jp
e
jp
iz
iy
ix
pji
jz
jy
jx
p
p
jj
jp
jp
jp
M
Q
N
RkRk
M
Q
N
Donde:
j=2i=1 b
000
78.5770
3.333333
0006
)1016.4(30
6
102
000
30
3
4
6
311
SIMx
SIMx
L
EI
SIML
EA
k zb
0006
)1016.4(3
6
)1016.4(30
006
102
000
330
00
2
4
3
4
6
2312
xx
x
L
EI
L
EIL
EA
k zz
000
67.346678.5770
003.333333
12k
6
)1016.4(3
6
)1016.4(30
6
)1016.4(30
6
102
330
30
4
2
4
3
4
6
2
322
xx
x
SIMx
L
EI
L
EIL
EI
SIML
EA
k
zz
zb
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
118
118
2080067.34660
78.5790
3.333333
22
SIM
kb
Como k12=k21. Tenemos
067.34660
098.5770
003.333333
21k
Además:
100
010
001
100
0cos
0cos
sen
sen
Rb Matriz Identidad (Casualidad)
Como toda matriz multiplicada por la matriz identidad es siempre la misma tenemos:
212121
2112
121212
1111
kkRk
kRk
kkRk
kRk
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
0
75213.6
6115.5133
10029987.5
10686334.11
10400836.15
000
78.5770
3.333333
3
3
3
11
x
x
x
Rk
iz
iy
ix
b
b
0
8875.12
1475.5129
10399083.1
10910647.13
10387444.15
000
67.346678.5770
003.333333
3
3
3
12
x
x
x
Rk
jz
jy
jx
b
0
1354.51
464.4
0
45
0
0
8875.12
1475.5129
0
7521.6
6115.5133
1
1
1
b
b
b
M
Q
N
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
119
119
3245.77
8875.12
1475.5129
10399083.1
10910647.13
10387444.15
2080067.34660
78.5770
3.333333
3
3
3
22
x
x
x
Rk
jz
jy
jx
b
b
5127.40
7521.6
6115.5133
10029987.9
10686334.11
10400836.15
067.34660
078.5770
003.333333
3
3
3
21
x
x
x
Rk
iz
iy
ix
b
1882.53
8646.68
536.5
90
75
10
5127.40
7521.6
6115.5133
3245.77
8875.12
1475.5129
2
2
2
b
b
b
M
Q
N
NOTA: Para las barras (a) y (c) se procede del mismo modo.(con una de las dos formas)
REACCIONES DE APOYO
APOYO 1
15.25
0
0
5000
0
0
1
1
1
3
2
1
1
1
1
z
y
x
z
y
x
k
k
k
M
R
R
APOYO 3
66.4
86.68
46.14
5000
5000
1000
3
3
3
3
2
1
3
3
3
z
y
x
z
y
x
k
k
k
M
R
R
Los signos están referidos al SISTEMA GLOBAL