capitulo 8.-analisis matricial de estructuras reticuladas

5/8/2018 Capitulo 8.-Analisis Matricial de Estructuras Reticuladas - slidepdf.com

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8.- MÉTODOS GENERALES:ANÁLISIS MATRICIAL



2



3

8 .1 FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ

8.1.1 Concepto de flexibilidad.-

a) La ley de Hooke aplicada a una barra de longitud L y sección Aque, sometida a un esfuerzo axil de valor N, sufre un alargamiento ∆L,establece que:

∆L = NL/(EA)

o, lo que es lo mismo,

∆L = L/(EA) N.

El coeficiente L/(EA) de proporcionalidad entre el alargamiento de

la barra ∆L y el esfuerzo axil N que lo produce se denomina “flexibilidadbajo esfuerzos axiles” de la barra. Este coeficiente representafísicamente el “valor del alargamiento que sufriría la barra sometida a un esfuerzo axil unidad ”.

b) Aplicando el teorema de Mohr a una ménsula de longitud L conuna sección cuyo momento de inercia es I, sometida a una fuerza P aplicada en el extremo libre, se obtiene la flecha f de este extremo como:

f = PL 3/(3EI)


f = L 3/(3EI) P

El coeficiente L 3/(3EI) de proporcionalidad entre la flecha f y lacarga P que la produce se denomina “flexibilidad bajo carga aplicada ensu extremo” de la ménsula. Este coeficiente puede obtenerse como elvalor de la flecha que sufriría la barra sometida a una carga en suextremo de valor unidad.

c) Aplicando el teorema de Mohr a la ménsula anterior sometida, eneste caso, a un momento M aplicado en el extremo libre, se obtiene elgiro θ de este extremo como:

θ = ML/(EI)


θ = L/(EI) M

El coeficiente L/(EI) de proporcionalidad entre el giro θ y elmomento M que lo produce se denomina “flexibilidad bajo momento



4

aplicado en su extremo” de la barra ó ménsula. Este coeficienterepresenta el giro que sufriría la sección extrema de la ménsula cuandose encuentra sometida a un momento de valor unidad actuando endicho extremo.

La flexibilidad es pues un valor que caracteriza el comportamientodeformacional de una estructura con un cierto sistema de apoyos sometida a una carga (fuerza o momento) aplicada en una sección yque permite conocer, por proporcionalidad, el movimiento(desplazamiento o giro de la sección de aplicación de la carga en ladirección de aplicación de esta. La unidad de medida de la flexibilidades el m/N ó rad/Nm.

El coeficiente de proporcionalidad existente entre el valor de unacarga (fuerza o momento) aplicada en una sección de una estructura

sencilla (barra) y el movimiento (en dirección de la carga) de la secciónen la que se aplica la carga, y que se deducen de las expresionesobtenidas por aplicación de los teoremas de Mohr, son ejemplos devalores de coeficientes de flexibilidad.

8.1.2 Matriz de flexibilidad.-

La geometría (deformada) de un sólido deformado puedecaracterizarse por los movimientos (desplazamientos o giros) de unconjunto de puntos o secciones particulares. En una estructura planael movimiento de un punto del sólido (ó sección, si se trata de barras)

tiene tres componentes: dos traslaciones y un giro. Las componentesdel movimiento de un conjunto representativo de puntos de un sólido(entre ellos, probablemente, los propios puntos de aplicación de lascargas Pi) que caracterizan unívocamente el comportamientodeformacional del sólido sometido a las cargas Pi, se denominan, aefectos de análisis estructural, grados de libertad del sólido.

Así, por ejemplo:

• La proporcionalidad entre la variación de longitud y la carga

aplicada expresada en la ley de Hooke, ∆L = L/(EA) N, implica lacaracterización del comportamiento deformacional de la barramediante el movimiento del punto extremo en la dirección deaplicación de la carga; este movimiento sería, pues, el grado delibertad elegido para el análisis del problema

• La proporcionalidad entre el movimiento perpendicular a la barra y la carga aplicada en el extremo de la ménsula expresada en f =L 3/(3EI) P, implica caracterizar el comportamiento deformacionalde la ménsula mediante el desplazamiento del punto extremo enla dirección de aplicación de la carga; este movimiento sería elgrado de libertad elegido para el análisis del problema; unaalternativa podría ser utilizar como grado de libertad descriptivodel problema, el giro en el extremo de la ménsula.



5

Considérese un sólido como el que se muestra en la figura 8.1sometido a la acción de diferentes cargas (acciones) externas Pi actuando cada una de ellas en un punto i.

Por efecto de aplicación de las cargas, un punto genérico i se

desplazaría hasta el punto i´ siendo el vector desplazamiento δi del cualla componente en la dirección de aplicación de la carga es ∆i.

Definición.- Se denomina coeficiente de influencia o de flexibilidad f ij al desplazamiento del punto de aplicación de la carga P i , en la dirección de dicha carga, cuando actúa una carga unidad en el punto j en la dirección y sentido de P j .

Figura 8.1

Cuando actúan varias cargas, el desplazamiento ∆i del punto deaplicación de una de ellas, justo en la dirección de la carga Pi, es sumade los desplazamientos producidos por cada una de las cargasactuantes.

∆1 = f 11P1 + f 12P2 + f 13P3 ∆2 = f 21P1 + f 22P2 + f 23P3 ∆3 = f 31P1 + f 32P2 + f 33P3

El sistema anterior puede ordenarse en forma matricialresultando

∆1 f 11 f 12 f 13 P1

∆2 = f 21 f 22 f 23 P2

∆3 f 31 f 32 f 33 P3

δ2

∆2

δ1

δ3

∆1

∆3

P2

P3

P1

2

3

1

2´

1´

3´



6

A la matriz constituida por los coeficientes f ij se la denomina

matriz de flexibilidad del sólido.

Propiedad .- Los coeficientes de flexibilidad f ij y f ji son iguales.

Aplicando el teorema de Reciprocidad de Maxwell-Betti a los dosestados de carga distintos que actúan sobre un mismo sólido, y que semuestran en la figura 8.2 (en el estado 1 sólo actúan la carga Pi y en elestado 2 solo la carga P j), se obtiene:

ESTADO 1 ESTADO 2

Figura 8.2

Pi x f ij P j = P j x f ji Pi

es decir: f ij = f ji.

EJEMPLO.- Obtener la matriz de flexibilidad de la estructura sometidaal sistema de cargas que se muestra en la figura 8.3.

Figura 8.3

Aplicando los teoremas de Mohr, se obtiene:

M EI

LP

EI

Lv

8

3

3

23

11 +==∆

M EI

LP

EI

L

28

3 2

22 +==∆ θ

y, expresando las ecuaciones anteriores en forma matricial:

P j

Pi

j

P j

Pi

j fijP j

f jiPi

i i

1

2 P

M

L/2L/2



7

v1 L 3/(3EI) 3L 2/(8EI) P

=θ1 3L 2/(8EI) L/(2EI) M

Por lo tanto, la matriz de flexibilidad es:

L 3/(3EI) 3L 2/(8EI)

3L 2/(8EI) L/(2EI)

8.1.3 Concepto de rigidez.-

a) La expresión:

∆L = L/(EA) N

de la ley de Hooke puede ser escrita como

N = (EA/L) ∆L

El coeficiente EA/L de proporcionalidad entre el esfuerzo axilaplicado y el alargamiento ∆L producido se denomina “rigidez bajoesfuerzos axiles” de la barra y su valor es el inverso del valor de laflexibilidad correspondiente. Este coeficiente puede obtenerse como elvalor del esfuerzo axil necesario para producir un alargamiento unidadde la barra.

La expresión:

f = PL 3/(3EI)

que proporciona la flecha f en una ménsula de longitud L sometida auna fuerza P aplicada en el extremo libre, puede escribirse como:

P = (3EI/L 3) f.

El coeficiente 3EI/L 3 de proporcionalidad entre la carga P y laflecha f se denomina “rigidez bajo fuerza vertical aplicada en suextremo” de la barra. Este coeficiente puede obtenerse como el valor dela fuerza necesaria para producir una flecha de valor unidad.

b) La expresión:

θ = ML/(EI)

que proporciona el giro θ en el extremo de una ménsula de longitud L sometida a un momento M aplicado en ese extremo, puede escribirsecomo:



8

M = (EI/L) θ

El coeficiente EI/L de proporcionalidad entre el momento M y elgiro θ producido se denomina “rigidez bajo momento aplicado en su

extremo” de la barra. Este coeficiente puede obtenerse como el valor delmomento que daría lugar a un giro de valor unidad de la sección.

El coeficiente de rigidez es pues un valor que caracteriza elcomportamiento resistente de una estructura con un cierto sistema deapoyos sometida a una carga (fuerza o momento) aplicada en unasección y que permite conocer por proporcionalidad el valor de la carga(fuerza o momento) que se requiere aplicar en un punto para obtener uncierto valor del movimiento de la sección de aplicación de la carga en ladirección y sentido de ésta. La unidad de medida de la rigidez es el N/m

ó Nm/rad.

EJEMPLO 1.- Barra biempotrada con descenso de un extremo.

Sea el caso de una barra de longitud L biempotrada, uno de cuyosextremos (B) sufre una traslación de valor λ en dirección perpendiculara la directriz de la barra (figura 8.4).

Figura 8.4

Las reacciones que se producen en el empotramiento en B´ sonun momento M y un cortante Q que, en conjunto, den lugar en el puntoB a una flecha de valor λ y a un giro nulo.

EI

ML

EI

qL

23

23

−=λ

L

λ

A B

A

B’

Q

M



9

EI

ML

EI

qL B −==

20

2

θ

de donde se obtiene: Q = (12EI/L 3) λ y M = (6EI/L 2) λ

EJEMPLO 2.- Barra biempotrada con traslación de un apoyo en ladirección de la directriz.

Sea el caso de una barra de longitud L biempotrada, uno de cuyosextremos (B) sufre una traslación de valor λ en la dirección de ladirectriz de la barra (figura 8.5).

Figura 8.5

El efecto del empotramiento en B´ equivale a la aplicación de unaxil en B que de lugar en este punto a un alargamiento de valor λ.

EA

NL=λ

de donde se deduce que:

λ L

EA N =

EJEMPLO 3.- Barra biempotrada con un giro impuesto en uno de susextremos.

Sea el caso de una barra de longitud L biempotrada, uno de cuyosextremos (B ) sufre un giro de valor θ, tal como se indica en la figura 8.6.

BA

B´A

L

λ

NA



10

Figura 8.6

El efecto del empotramiento en B equivale a la aplicación de unmomento en B (considerado este extremo como apoyado) que de lugaren este punto a un giro de valor θ (figura 8.7).

Figura 8.7

El giro en la sección B en la viga de dicha figura toma el siguiente valor:

EI

ML

4=θ

de donde se deduce que:

θ= L

EI M

4

apareciendo una reacción en el apoyo en B de valor

R = 3M/2L= (6EI/L 2) θ

8.1.4 Rigidez de un sistema intraslacional de barras

Considérese la estructura cuya geometría y cargas se muestranen la figura 8.8 y que está constituida por tres barras coplanarias quese unen en la sección A.

BA

A

L

θ

B

R = 3M/(2L)

A

M/2 R

M



11

Figura 8.8

Bajo la acción de un momento actuando en el nudo A, es el girode este nudo en el plano de la estructura el grado de libertad elegidopara caracterizar la deformación del sistema.

La estructura es, si se desprecian los alargamientos oacortamientos de las barras generados por los esfuerzos axiles,intraslacional por lo que puede descomponerse en barras, tal como semuestra en la figura 8.9. El momento que actúa sobre el nudo se

reparte en tres momentos M1, M2 y M3 (momentos “repartidos”) queactúan sobre cada una de las barras en los extremos que coinciden conel nudo.

Obsérvese que los momentos que actúan sobre los extremos delas tres barras tienen el mismo signo que el momento M que actúasobre el nudo.

B

A

D

C

M



12

Figura 8.9

Por equilibrio del nudo A, se tiene que:

M1 + M2 + M3 = M

En la barra AB (empotrada en B y apoyada en A), el momento M1 da lugar a un giro en el nudo A de valor

θAB = M1L AB/(4EI)

siendo, por tanto, la rigidez de esta barra en A:

kAB = 4EI/L AB

En la barra AC (biapoyada), el momento M2 da lugar a un giro enel nudo A de valor

θAC = M1L AC/(3EI)


kAC = 3EI/ L AC

En la barra AD (empotrada en B y apoyada en A), el momento M3 da lugar a un giro en el nudo A de valor

θAD = M3L AD/(4EI)


B

A

D

C

M2

M3

M1

A

A



13

kAD = 4EI/ L AD

La continuidad de la deformada (nudo rígido) obliga a que losgiros de las tres barras en A sean iguales

θA(AB) = θA(AD) = θA(AC) = θA

es decir:

M1/kAB = M2/kAC = M3/kAD = ∑Mi/∑ki = M/∑ki = M/k

El valor k (suma de las rigideces de las barras que confluyen en elnudo A) es, por tanto, la rigidez de la estructura en el nudo A pues es elcoeficiente de proporcionalidad entre el momento M aplicado en el nudoA y el giro de este nudo

De la expresión anterior se deduce que

Mi = M ki/∑ki = M Ri

Lo que lleva a definir al coeficiente Ri = ki/∑ki como coeficientede reparto pues permite obtener el momento Mi (momento repartido) apartir del momento M aplicado en el nudo.

Al aplicar un momento M1 en el extremo A de la barra AB (empotrada en B, apoyada en A), en el otro extremo B aparece un

momento (momento de empotramiento) de valor M1/2. Al coeficiente ½que permite obtener este momento a partir del momento que actúa en elextremo A se le llama coeficiente de trasmisión CAB desde B hasta A.

Así, en el caso de la barra AD el coeficiente de trasmisión CAD es,también, ½. Al aplicar un momento M2 en el extremo A de la barra AC (biapoyada), en el otro extremo B no aparece ningún momento. En estecaso el coeficiente de trasmisión CAC es, por tanto, igual a cero.

Tipo de barra Rigidez Coef. de trasmisión

Apoyada/empotrada 4EI/L ½Apoyada/apoyada 3EI/L 0

EJEMPLO 1.- En la estructura de tres barras de la figura 8.9, todas lasbarras tienen la misma inercia y están hechas del mismo materialsiendo L AC = 3 m, L AD = 4 m y L AB = 5 m. Si en el nudo A actúa unmomento exterior M, se pide calcular los momentos en los extremos debarra y el giro del nudo A.

Las rigideces de las barras son:

kAB = 4EI/ 5, kAD = 4EI/ 4 y kAB = 3EI/ 3



14

y los coeficientes de reparto:

14

4

3

3

4

4

5

45

4

=

++

= EI EI EI

EI

R AB

14

5

3

3

4

4

5

44

4

=

++

= EI EI EI

EI

R AD

14

5

3

3

4

4

5

43

3

=

++

= EI EI EI

EI

R AC

con lo cual los momentos absorbidos son:

MAB = M RAB = 4M/14MAD = M RAD = 5M/14MAC = M RAC = 5M/14

Los momentos que aparecen en el extremo opuesto a A de cadabarra son

MB = M CAB = 0.5 MAB MD = M CAD = 0.5 MAD

MC = M CAC = 0.0 MAC=0

EJEMPLO 2.- En la estructura de la figura 8.10, las barras tienen elmismo momento de inercia y están realizadas del mismo material. Si enel nudo A actúa un momento exterior M, se pide calcular los momentosen los extremos de barra y el giro del nudo A.

Figura 8.10


kAB = 3EI/L y kAC = 4EI/2L

B

C

A

M

L

2L



15


5

3

2

43

3

=

+

=

L

EI

L

EI L

EI

R AB

5

2

2

4

5

32

4

=

+

= EI EI

EI

R AD

con lo cual los momentos absorbidos por las barras sonson:

MAB = M RAB = 3M/5

MAC = M RAC = 2M/5


MB = M CAB = 0.0 MAB=0

MC = M CAC = 0.5 MAD

8.1.5 Matriz de rigidez

Si la matriz de flexibilidad relaciona cargas actuantes con

desplazamientos en los nodos en los que las cargas actúan,

∆1 f 11 f 12 f 13 P1

∆2 = f 21 f 22 f 23 P2

∆3 f 31 f 32 f 33 P3

la matriz de rigidez, que es la inversa de la matriz de flexibilidad,relaciona desplazamientos con cargas actuantes.

P1 k11 k12 k13 ∆1

P2 = k21 k22 k23 ∆2

P3 k31 k32 k33 ∆3

¿Qué representan los términos de la matriz de rigidez.-

Considérese el caso de un sólido sometido a un sistema de

fuerzas como se indica en la figura 8.11.



16

Figura 8.11

¿Qué valor, por ejemplo, debería tomar P1 para que ∆1=1, ∆2=∆3=0(situación representada en la figura 8.12)?

Figura 8.12

Sea la primera fila del sistema de ecuaciones cuya matriz de

coeficientes es la matriz de rigidez.

P1 = k11 ∆1+k12 ∆2 + k13∆3

Si en esta ecuación se imponen las condiciones de movimientosplanteadas, se obtiene

P1 = k11 1+ k12 0 + k13 0 = k11

Es decir, k ii representa la carga a aplicar en el punto i-ésimo para

conseguir un desplazamiento unidad en este punto en la dirección de la carga aplicada en dicho punto permaneciendo el resto de los puntos sin movimiento .

Algunas precisiones.-

• La carga a aplicar se entiende que tiene la misma dirección quePi.

• El desplazamiento unidad debe entenderse que es la componentesobre la dirección de Pi.

• Que el resto de los puntos permanece sin movimiento se refiere a

la ausencia de desplazamientos en las direcciones de las cargasaplicadas P j (j≠i)

P2

P3

P1

21

3

2

3

1

P1=k 11

∆1=1



17

• Si hubiera momentos los movimientos referidos son giros.

¿Qué representan los términos k ij (j ≠ i)?

Figura 8.13

Sea la segunda fila del sistema de ecuaciones cuya matriz decoeficientes es la matriz de rigidez.

P2 = k21 ∆1+k22 ∆2 + k23∆3

Si en esta ecuación se imponen las condiciones de movimientosplanteadas (∆1 = 1, ∆2 = ∆3 = 0), se obtiene

P2 = k21 1+ k22 0 + k23 0 = k21

Es decir, k ji representa la reacción en el punto j-ésimo, en la dirección de la carga P j cuando todos los puntos, excepto el i-ésimo, en los que existen cargas, no se mueven y, precisamente el i-esimo, sufre un desplazamiento unidad en la dirección de P i . (Nótese que, por ejemplo, alpunto 2 se le impide el movimiento según la dirección de P2 pero sepodría desplazar en dirección ortogonal).

EJEMPLO.- Obtener la matriz de rigidez de la estructura y sistema decargas que se muestran en la figura 8.14.

Figura 8.14La matriz de flexibilidad es

L 3/(3EI) 3L 2/(8EI) L/3 3/8

=L 2/(EI)3L 2/(8EI) L/(2EI) 3/8 1/(2L)

2

3

1

P1

∆1=1

P2=k 21

P3=k 31

1

2

P

M

L/2L/2



18

y, por tanto, la matriz de rigidez es:

1/(2L) -3/8

K = F-1 = 192EI/(5L 2)-3/8 L/3

¿Qué representa, por ejemplo, el término k 11?

k 11 representa la fuerza vertical a aplicar en el punto 1 para conseguir un desplazamiento vertical unidad en este punto siendo nulo el giro del punto 2 .

Obviamente, con una fuerza aplicada en 1 no se va a conseguir

simultáneamente un desplazamiento unidad en 1 y un giro nulo en 2;es necesaria la actuación, también, de un momento M en 2 paraobtener estos movimientos; este momento M es k12. La situacióndeformacional buscada se representa en la figura 8.15.

Figura 8.15

Aplicando las expresiones obtenidas en el apartado 8.1.3 sepueden obtener los valores de k11 y k12.

Valor de k 11.-

• Flecha en 1 debida al descenso de 2 sin giro

λ λ 3311

96

2

12

L

EI

L

EI k =

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

con lo cual

11

3

96

k

EI

L=λ

1

2

k 11

L/2L/2

1

λ



19

• Flecha en 1 de la ménsula 2-1

EI

Lk

EI

Lk

243

23

11

3

11

=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

• Flecha total

11

3

11

3

11

3

192

10

24961 k

EI

Lk

EI

Lk

EI

L=+=

y, por tanto,

311

10

192

L

EI k =

Valor de k 12 .-

En la figura 8.16 se muestran los esfuerzos en el punto 2 en lassecciones extremas de los tramos comprendidos entre los puntos 1 y 2 yentre el 2 y el empotramiento.

Figura 8.16

En la rebanada 2 actúa el momento M (externo), con lo que, porequilibrio de la rebanada,

M = M1 + M2

Pero:

221115

48

20

192

2 L

EI

L

EI Lk M ===

( ) ( ) 23

3

2225

24

10

192

962

6

2

6

L

EI

L

EI

EI

L

L

EI

L

EI M === λ

con lo cual

M = M1 + M2 = 72/5 EI/L 2

A

M2

k11 k11 k11 k11 k11

M2 M1 M1M



20

Valor de k 22 .-

El valor de k22 es el del momento que da lugar a un giro de valor

unidad en el punto 2 en la barra que se muestra en la figura 8.17; k 21 es la reacción en el apoyo y por ello puede obtenerse conjuntamente conk22.

Figura 8.17

Utilizando los teoremas de Mohr se obtiene:

L

EI k

EI

Lk

5

64

64

51 22

222 =→==θ

2

22

215

72

8

69

L

EI

L

k k ==

8.2 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOSITERATIVOS

Supóngase, como ejemplo, la estructura cuya geometría y cargas semuestran en la figura 8.18

Figura 8.18

Un procedimiento alternativo para su análisis (método de Cross)se comenta a continuación detallando todos sus pasos.

12

k 21

k 22

L/2L/2

B

C

A L

2L

p



21

a) Se retiran las cargas y se impide el giro de los nodosmediante algún sistema de “clavijas”, figura 8.19.

Figura 8.19b) Se colocan de nuevo las cargas

Al haberse impedido el giro del nudo A, las dos barras CA y BAactúan independientemente trasmitiendo al sistema de sujeción delnudo, como cargas exteriores, los momentos de empotramiento en elnudo A, producidos por las cargas, cambiados de signo. En el caso delejemplo, M´0 = 0 y M0 =pl2/12 y, por lo tanto, el momento que soporta laclavija es

M = M0 - M´0 = 0 - pl2/12

La acción de la “clavija” (impedir el giro) es pues equivalente a laactuación en A de un momento M igual y opuesto a la suma de losmomentos de empotramiento de las barras (figura 8.20).

Figura 8.20

B

C

A L

2L

B

C

A L

2L

p

A

C

A L

2L

p

B

M0 M0

M´0

M´0



22

Las cargas sobre las barras unidas al momento en el nudo queimpide el giro de este constituyen un estado E1.c) Se liberan las “clavijas” permitiendo que el nudo girelibremente.-

Esta acción equivale a aplicar sobre los nodos un momento igual y de signo contrario al momento que la clavija ejerce sobre el nudo(suma de los momentos de empotramiento). Este momento actuandosobre el nudo constituye un estado E2 (figura 8.21) La suma de losestados E1 y E2 es, evidentemente, igual al estado de cargas inicial.

Figura 8.21

d) En el estado E2 se reparte a las barras el momento exterior enfunción de las rigideces de aquellas (figura 8.22).

Figura 8.22

B

C

A

M

L

2L

A

C

A L

2L

B

M2M1



23


kAB = 3EI/ L y kAC = 4EI/ (2L)


5

3

2

43

3

=

+

=

L

EI

L

EI L EI

R AB

5

2

2

432

4

=

+

=

L

EI

L

EI L

EI

R AC

con lo cual los momentos absorbidos son:

MAB = M RAB = pL 2/12 3/5 = pL 2/20

MAC = M RAC = pL 2/12 2/5 = pL 2/30


MB = MAB CAB = 0. MAB = 0

MC = MAC CAC = 0.5 MAC = pL 2

/60e) Se calculan los momentos finales en los extremos de barra enel nudo A como suma de los obtenidos en los estados E1 y E2.

Barra AB.-

• El momento en A del estado 1 es pL 2/12 y el momento del estado2 es - pL 2/20 con lo cual el momento total es:

pL 2/12- pL 2/20= pL 2/30

• El momento en B del estado 1 es 0 y el del estado 2 (momentotrasmitido) es 0 también con lo cual el momento total es 0.

Barra AC.-

• El momento en A del estado 1 es 0 y el momento del estado 2 es -pL 2/30 con lo cual el momento total es:

0- pL 2/30= -pL 2/30



24

• El momento en C del estado 1 es 0 y el del estado 2 (momentotrasmitido) es pL 2/60 con lo cual el momento total es pL 2/60.

En la estructura del ejemplo anterior, el proceso descrito norequiere más una operación de sujetar y soltar nodos. Sin embargo, si

la estructura tiene un mayor complejidad incluyendo barras cuyos dosextremos sean nodos sin coacción externa (es decir, que no son apoyosde la estructura) puede requerirse más de una operación de sujetar ysoltar nodos. Esto es así porque el momento trasmitido desde un nudoal extremo opuesto de una estas barras es soportado por la clavija allícolocada y, en consecuencia, es, también, objeto de reparto. Laaplicación del método descrito a este tipo de estructuras es pues unproceso iterativo de la operación de sujetar y soltar nodos que terminacuando se observa que los momentos trasmitidos son muy pequeños.

8.3 ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS DEBARRAS

8.3.1 Introducción.-

Los métodos de análisis planteados por los científicos del XIX (Maxwell,Cullman, Navier, Mohr,...) dotaron a los ingenieros estructuralistas deherramientas cada una de las cuales tenía un campo de aplicación

restringido; esta característica provenía del hecho de que, en aras dehacer sencillo su uso, llevaban implícitas simplificaciones que lashacían aplicables a estructuras con condiciones particulares. Suaplicación a estructuras complicadas requería grandes dotes desimplificación y sentido ingenieril y, en cualquier caso, inducía unagran complejidad y volumen en los cálculos; esta complejidad eraparcialmente paliada con toda una tecnología práctica basada entablas, ábacos,... que demostraba, una vez más, la capacidad deinventiva de la Ingeniería.

La aparición de los ordenadores posibilitó el análisis deestructuras más complejas, utilizando algoritmos de cálculo en los queno eran necesarias las simplificaciones y que, en consecuencia, eranaplicables a cualquier tipo de estructura. Los nuevos métodos seguíanbasándose en los teoremas fundamentales del cálculo clásico a cuyasecuaciones daban un tratamiento numérico con técnicas del álgebramatricial ("métodos matriciales").

Los métodos matriciales son técnicamente muy simples,pudiéndose decir que no han aportado ideas nuevas a la panoplia deherramientas para el análisis de estructuras. Su éxito se debe a su

adaptación a las sistemáticas de funcionamiento y de ordenación dedatos de los ordenadores. El análisis de estructuras con un método



25

matricial y utilizando un ordenador se reduce a la definición de unosdatos descriptivos de su geometría, de los materiales que la constituyen y de las cargas a las que está sometida.

8.3.2 Hipótesis

• Son aplicables las ecuaciones generales de la mecánica de losmedios continuos:

a) Ecuaciones de equilibrio interno (tensiones y fuerzas devolumen), en el contorno (tensiones en el contorno y fuerzasexternas) y externo (ecuaciones de la estática),

b) Ecuaciones que establecen la relación entre movimientos ydeformaciones

c) Ecuaciones que establecen la relación entre tensión ydeformación

• La aplicación de las ecuaciones anteriores se reduce a los casosde pequeñas deformaciones

• Se considera una relación lineal entre tensión y deformaciónpudiéndose, en consecuencia, aplicar el principio desuperposición entre diferentes estados de carga

• Se consideran solamente cargas actuando en los nodos delmodelo de la estructura: cargas en elementos habrán de serconvertidas en cargas en nodos.

• Son aplicables los siguientes PRINCIPIOS Y TEOREMAS:

a) Principio de los trabajos virtuales

b) Teorema de Castigliano

c) Teorema de mínimos de la energía de deformación

d) Teorema de reciprocidad de Maxwell

8.3.3. Fases del análisis matricial (método directo o dela rigidez)

El proceso de análisis matricial de una estructura incluye lossiguientes pasos:

1/ Numeración de nodos y barras



26

2/ Selección y numeración de grados de libertad

3/ Construcción de la matriz de rigidez de cada elemento

3.1 en ejes locales

3.2 en ejes globales (mediante transformaciones decoordenadas)

4/ Ensamblaje de las matrices de rigidez de los elementos para darlugar a la matriz de rigidez completa

5/ Construcción del vector de cargas

6/ Introducción de las condiciones de contorno en la matriz de

rigidez7/ Resolución del sistema de ecuaciones (vector de desplazamientos

en nodos de la estructura)

8/ Cálculo de esfuerzos en cada elemento a partir de losdesplazamientos de los nodos

9/ Cálculo de las reacciones en los apoyos

A continuación se desarrollan todas y cada uno de las fases del

análisis matricial de estructuras formadas por elementos lineales(barras).

8.3.4 Numeración de nodos y barras

Considérese como ejemplo la estructura cuya geometría y cargasse muestran en la figura 8.23.

Figura 8.23



27

Los puntos en los que confluyen las barras han de ser,

razonablemente, nodos del modelo (figura 8.24) que se utilizará en elanálisis, aunque podrían seleccionarse como nodos del modelo otrospuntos de la estructura. En dicha figura se han numerado, también, las

barras (rodeados sus números por un círculo)

De cada uno de estos nodos se obtendrán, como resultado delanálisis, algunos de sus movimientos y de estos movimientos seobtendrán, a su vez, los esfuerzos en los elementos de la estructura.

Figura 8.24

8.3.5 Elección y numeración de grados de libertad.-

En el caso de estructuras planas, cada nodo tiene tres grados delibertad (g.d.l.) (dos desplazamientos y un giro); aunque las condicionesde apoyo de la estructura impiden los movimientos de los nodos 1, 2 y3, inicialmente se eligen los tres grados de libertad de todos y cada uno

de los nodos (figura 8.25). No habiendo, en principio, criteriosespeciales de numeración, en la figura se muestran los númerosasignados a los 24 g.d.l. Con flechas de puntos se identifican los g.d.l.restringidos por el sistema de apoyos.

6

8

1 2 3

4 5 6

7 8

31

5

4 7

2



28

Figura 8.25

8.3.6 Matriz de rigidez de la estructura

El proceso a seguir consiste en plantear, en primer lugar, la matriz derigidez de una barra (primero en ejes locales de la barra y, luego, en ejesglobales de la estructura) y después mediante un proceso sistemático

denominado “ensamblaje”, montar la matriz de rigidez de la estructuracompleta.

8.3.6.1 Matriz de rigidez de una barra en ejes locales.-

Barra empotrada.-

Sea la barra de la figura 8.26 que va del nudo inicial i (en lo quesigue, al nudo inicial de la barra le denominaremos 1) y al nudo final j (numerado como 2 en lo que sigue). No hay que confundir esta

numeración (nudos 1 y 2) que emplearemos en ejes locales con lanumeración de nudos global que, previamente, se ha realizado en todala estructura.

1

2

3

10

11

12

19

20

21 22

23

24

16

17

18

7

8

94

5

6

13

14

15



29

Figura 8.26

En el caso de una estructura plana, los esfuerzos en los nodos alos que la barra puede estar sometida (S'x1, S' y1, S'θ1, S'x2, S' y2, S'θ2) asícomo los correspondientes movimientos de dichos nodos (u'1, v'1, θ '1,u'2, v'2, θ '2) son los que se especifican en la figura 8.27.

Figura 8.27

A continuación se plantean las relaciones existentes entre losesfuerzos y los movimientos en los nodos extremos de la barra.

a) Esfuerzos axiles.-

Si L es la longitud inicial y L´ la longitud final,

L' = L + (u'2 - u'1)

y, por equilibrio,

S'x1 + S'x2 = 0

2

1

y

xS´x2

S´y2

S´θ2

S´θ1

S´y1

S´x1

u´1

v´1

v´2

u´2

θ´1

θ´2

i

z

xZ

Y

X



30

El alargamiento de la barra vendrá dado por

u'2 - u'1 = (S'x2 L)/(EA)

de donde

S'x2 = EA/L (u'2 - u'1) (1)

y como S'x1 = -S'x2 resulta

S'x1 = (EA/L) (u'1 - u'2) (2)

b) Momentos flectores

Utilizando las expresiones deducidas en 8.1.3 se relacionan los

movimientos en los nodos con los momentos aplicados en estos:

S'θ1 = (4EI/L)θ'1 + (2EI/L)θ'2 + (6EI/L 2) (v'1-v'2) (3)

S'θ2 = (2EI/L)θ'1 + (4EI/L)θ'2 + (6EI/L 2) (v'1-v'2) (4)

c) Esfuerzos cortantes

Estableciendo el equilibrio de fuerzas en dirección perpendiculara la barra así como el equilibrio de momentos:

S' y1 = (S'θ1 + S'θ2)/L = -S' y2

de dondeS' y1 = (6EI/L 2)θ´1 + (6EI/L 2)θ´2 + (12EI/L 3)(v'1-v'2) (5)

S' y2 =-(6EI/L 2)θ´1 – (6EI/L 2)θ´2 – (12EI/L 3)(v'1-v'2) (6)

Las ecuaciones anteriores pueden expresarse en forma matricialcomo:

S'x1 EA/L 0 0 u'1 -EA/L 0 0 u'2

S' y1 = 0 12EI/L 3 6EI/L 2 v'1 + 0 -12EI/L 3 6EI/L 2 v'2

S'θ1 0 6EI/L 2 4EI/L θ'1 0 -6EI/L 2 2EI/L θ '2

S'x2 -EA/L 0 0 u'1 EA/L 0 0 u'2

S' y2 = 0 -12EI/L 3 -6EI/L 2 v'1 + 0 12EI/L 3 -6EI/L 2 v'2

S'θ2 0 6EI/L 2 2EI/L θ'1 0 -6EI/L 2 4EI/L θ'2



31

y, llamando:

S'x1 S'x1 u'1 u'2

S´1 = S' y1 S´2 = S' y2 d´1 = v'1 d'2 = v'2

S'θ1 S'θ2 θ'1 θ'2

y, tambien:

S'1 d'1 S' = d' =

S'2 d'2

resulta que:

S'1 K'11 K'12 d'1 =

S'2 K'21 K'22 d'2

y, en forma matricial compacta:

{S'} = [K’] {d'}

La matriz [K’] es la matriz de rigidez de la barra expresada en ejeslocales de la misma.

Barra biarticulada.-

Sea la barra biarticulada de la figura 8.28. La relación entreesfuerzos (axiles) y movimientos (en dirección del eje de la barra) es, eneste caso, (ley de Hooke):

S'x1 1 -1 u'1

= EA/L S'x2 -1 1 u'2

y, por tanto, la matriz de rigidez, es

1 -1 EA/L

-1 1



32

Figura 8.28

8.3.6.2 Transformación de coordenadas

Para poder plantear las ecuaciones que establecen el equilibrio de unnudo sometido a las cargas que actúan directamente sobre él y a lasacciones de las barras que en él confluyen, es necesario que todas estascargas estén referidas a los mismos ejes globales de la estructura.

La relación entre los ejes locales de una barra y los ejes globalesde la estructura es la correspondiente a un cambio de sistema dereferencia y se establece a través de una matriz de transformación [T].Así, por ejemplo, los esfuerzos en extremos de barra se expresan en ejesglobales en función de su valor en ejes locales del siguiente modo:

Sx Xx Xy Xz 0 0 0 S´x

Sy Yx Yy Yz 0 0 0 S´y

Sz = Zx Zy Zz 0 0 0 S´z

Sx 0 0 0 Xx Xy Xz S´θx

Sy 0 0 0 Xx Xy Xz S´θ y

Sz 0 0 0 Xx Xy Xz S´θz

donde Xn es el coseno del ángulo que el eje local n forma con el ejeglobal N.

La expresión matricial de la igualdad anterior es

2

Y

X

Sx2

Sy2

1 Sx1

S 1

x

y



33

{S} = [T] {S´}

ecuación que permite obtener los esfuerzos en los extremos de barra enfunción de los mismos expresados en ejes locales.En el caso de los desplazamientos:

{d} = [T] {d´}

La matriz [T] es ortogonal es decir:

[T]-1 = [T] T con lo cual

{S´} = [T] T {S} y {d´} = [T] T {d}

En el caso plano la matriz de transformación es

cosα -senα 0

[T] = senα cosα 0

0 0 1

Barra biarticulada.-

En la barra biarticulada de la figura 8.28, la matriz de rigidez enejes globales es:

Sx1 u1 K11 K12

S y1 v1 =

Sx2 u2 K21 K22

S y2 v2

siendo:

cos2α cosα senα [K11] = [K22] = EA/L

cosα senα sen2α

cos2α cosα senα [K12] = [K21] = -EA/L

cosα senα sen2α



34

8.3.6.3 Esfuerzos en cada barra a partir de los desplazamientos de

sus nodos extremos.-

a) En coordenadas locales.

Los esfuerzos en extremos de barra se relacionan con los movimientosen nodos en coordenadas locales mediante las expresiones

{S'1 } = [K'11] {d'1 } + [K'12] {d'2 }

{S'2 } = [K'21] d'1 + [K'22] {d'2 }

Pero dado que

{d´1 } = [T] T

{d1 } y {d´2 } = [T] T

{d2 }resulta:

{S´1 } = [K´11][T] T {d1 } + [K'12] [T] T {d2 }

{S'2 } = [K'21][T] T {d1 } + [K'22][T] T {d2 }

que proporciona los esfuerzos que aparecen en los extremos de lasbarras en ejes locales debido a los movimientos en los extremos de estasexpresados en ejes globales.

b) En coordenadas globales.-

Pre-multiplicando las expresiones anteriores por [T], se obtiene:

[T]{S´1 }= {S1 } = [T][K´11][T] T {d1 } + [T][K'12][T] T {d2 }

[T]{S'2 } = {S2 } = [T][K'21][T] T {d1 } + [T][K'22][T] T {d2 }

Como [Kij] = [T][K´ij][T] T se obtiene:

{S1 } = [K11]{d1 } + [K12]{d2 }

{S2 } = [K21]{d1 } + [K22]{d2 }o, en expresión matricial,

S1 K11 K12 d1 =

S2 K21 K22 d2

es decir: {S} = [K]{d}



35

8.3.6.4 Ensamblaje de las matrices elementales de rigidez.-

Considérese una estructura como la que se muestra en la figura

8.29.

1

23

4

y24x13

x23=y34

x24x34

y12

y13

x12 = y23

{f 3}{f 2}

X

Y

{f1} {f4}

1

23

4

y24x13

x23=y34

x24x34

y12

y13

x12 = y23

{f 3}{f 2}

X

Y

{f1} {f4}

Figura 8.29

Supóngase que para cada una de las barras de la estructura sehan calculado [K11], [K12], [K21] y [K22] de forma que

{S1 } = [K11] {d1 } + [K12] {d2 }

{S2 } = [K21] {d1 } + [K22] {d2 }

siendo 1 el nodo inicial y 2 el nodo final de la barra.

Las ecuaciones que establecen el equilibrio de cada uno de los 4nodos de la estructura son las siguientes.

Nodo 1.-

La figura 8.30 representa el nodo 1 de la estructura y las fuerzasque sobre él actúan.



36

{S1}12

-{S1}12-{S1}13

{f 1}

{S1}13

Barra 1-3

Barra 1-2

{S1}12

-{S1}12-{S1}13

{f 1}

{S1}13

Barra 1-3

Barra 1-2

Figura 8.30

Planteando el equilibrio de estas fuerzas se obtiene

{f 1 } - (S1)12 - (S1)13 = {0}

con lo cual:

{f 1 } = {S1 }12 + {S1 }13 = [K11]12 {d1 } + [K12]12 {d2 } + [K11]13 {d1 } + [K12]13 {d3 }

Nodo 2.-

{f 2 } – {S2 }12 – {S1 }23 – {S1 }24 = {0}

con lo cual:

{f 2 } = {S2 }12 + {S1 }23 + {S1 }24 =

=[K21]12 {d1 }+[K22]12 {d2 }+[K11]23 {d2 }+[K12]23 {d3 }+[K11]24 {d2 }+[K12]24 {d4 }

Nodo 3.-

{f 3 } – {S2 }13 – {S2 }23 – {S1 }34 = {0}

con lo cual:

{f 3 } = {S2 }13 + {S2 }23 + {S1 }34 =

=[K21]13{d1 }+[K22]13{d3 }+[K21]23{d2 }+[K22]23{d3 }+[K11]34{d3 }+[K12]34{d4 }



37

Nodo 4.-

{f 4 } – {S2 }24 – {S2 }34 = {0}

con lo cual

{f 4 } = {S2 }24 + {S2 }34 =

=[K21]24{d2 } + [K22]14{d4 } + [K21]34{d3 } + [K22]34{d4 }

Matricialmente, las ecuaciones anteriores se pueden expresarcomo:

f 1 (K11)12+ (K12)12 (K12)13 0 d1 (K11)13

f 2 (K21)12 (K22)12 + (K12)23 (K12)24 d2 + (K11)23

= + (K11)24

f 3 (K21)13 (K21)23 (K22)13 (K12)34 d3 + (K22)23

+ (K11)34

f 4 0 (K21)24 (K21)34 (K22)24 d4 +(K22)34

es decir

{f} = [K] {d}

siendo

{ f} el vector de fuerzas actuantes en nodos

[K] la matriz de rigidez de la estructura

{ d} el vector de movimientos en los grados de libertad

Observación.- Todos los vectores y matrices se encuentran referidos a los ejes globales

Propiedades.-

a) La matriz K (matriz de rigidez global de la estructura) es simétrica .-

Esto es así por serlo [K11] y [K22] y traspuestas una de la otra [K12] y [K21]



38

b) La matriz K es singular .-

Dado que en el proceso de obtención de la matriz K no se hanconsiderado, aún, las condiciones de apoyo de la estructura, al vector

de fuerzas { f} no le corresponde un único vector de movimientos { d}. Si{ d1} fuera un vector de movimientos compatible con el vector de fuerzas{ f}, un vector { d1+dsr}, siendo { dsr} un vector de movimientoscorrespondientes a un movimiento global de la estructura como sólidorígido, es también compatible con { f} dado que este movimiento comosólido rígido ni afecta ni es afectado por las cargas. En consecuencia, enel sistema de ecuaciones { f} = [K] {d} a un vector de términosindependientes {f} le corresponden infinitos vectores solución {d} por loque la matriz del sistema [K] ha de ser singular.

Reglas para la formación de la matriz K.-

Considerando una barra genérica cuyo primer nodo es el i de laestructura y cuyo segundo nodo es el j de la estructura,

{S1 }ij = [K11]ij {di } + [K12]ij {d j }

{S2 }ij = [K21]ij {di } + [K22]ij {d j }

al plantear (separadamente) el equilibrio de los nudos i y j se obtiene:

{f i } = {S1 }ij + contribución de las otras barras que concurren en el nudo i

{f j } = {S2 }ij + contribución de las otras barras que concurren en el nudo j

siendo las contribuciones de las otras barras los vectores { S1} para lasbarras con el extremo 1 en el nodo considerado ó { S2} para las barrascon el extremo 2 en el nodo considerado. Es decir

• {f i } = [K11]ij {di } + [K12]ij {d j }+ contribución de las barras queconcurren en el nudo i

• {f j } = [K21]ij {di } + [K22]ij {d j }+ contribución de las barras queconcurren en el nudo j

Por tanto, la barra que conecta los nudos i y j aporta a la matrizde rigidez de la estructura global las submatrices [Kij] del siguientemodo:

Columna i Columna j

Fila i [K11]ij [K12]ij

Fila j [K21]ij [K22]ij



39

• El elemento de la diagonal principal de la fila i-ésima es la sumade las submatrices [K11] ó [K22] de todas las barras que concurrenen el nudo i ([K11] si la barra tiene su extremo 1 en i, [K22] si labarra tiene su extremo 2 en i).

• El elemento fuera de la diagonal en la fila i-ésima y columna j-

ésima es la submatriz [K12] de la barra que une el nudo i con elnudo j; si un nodo k no está unido directamente por ningunabarra con el nudo i, los elementos [Kik] y [Kki] estarían ocupadospor la matriz nula.

Ancho de banda.-

Si los nudos i y j no están directamente unidos por un elementoestructural, el término Kij de la matriz de rigidez de la estructura estaráocupado por la matriz (3x3) nula. Esto hace que las matrices de rigidez

de estructuras lineales sean matrices con “muchos ceros” (matricesdispersas). Se define como “ancho de banda” el valor de la mayordiferencia entre la numeración de los nudos de la estructura que estándirectamente unidos por elementos. Así, por ejemplo, en la matriz quese esquematiza en la figura 8.31 en la que las celdas obscuras estánocupadas por elementos no nulos, el ancho de banda es 3 obtenidocomo la diferencia 7-4 (obsérvese que el elemento K74 es no nulo).

Figura 8.31

Una numeración oportuna puede disminuir el ancho de banda deuna matriz aumentando con ello la eficiencia de los algoritmosnuméricos que se utilizarán, después, para resolver el sistema deecuaciones.

8.3.7 Construcción del vector de cargas.-

a) Vector de cargas por barra.-

En análisis matricial solamente se consideran cargas actuando en los

nodos de la estructura. El vector de cargas estará constituido, en estecaso, por las cargas actuantes en los nodos.



40

Si las cargas de la estructura actúan directamente sobre loselementos (barras) una primera opción es crear nodos en los puntos deaplicación. Este incremento del número de nodos da lugar, obviamente,a mayor trabajo de preparación del input, a mayor tiempo de ejecución y al aumento del "volumen" de resultados. Si las fuerzas actuantes son

de tipo repartido habría, además, que proceder a concentrarlasintroduciendo con ello fuertes imprecisiones.

El proceso más recomendable a seguir consiste en llevar lascargas de los elementos a los nodos (figura 8.32) siempre que estascargas equivalentes actuando en los nodos del elemento den lugar a losmismos movimientos en dichos nodos que el sistema original de cargasactuante sobre el elemento. Una vez obtenidos los esfuerzos en loselementos asociados a los movimientos de sus nodos, se habrán desuperponer los esfuerzos en el elemento producidos directamente por

las cargas actuantes (en su sitio) en el elemento.

Figura 8.32

Así, en una barra como la BC sometida a una carga distribuida q,se terminarían las reacciones {ré1 } y {ré2 } en los empotramientos en ejeslocales. Estas reacciones, en este caso son {ré1 } = (0, Q1, M1) T y {ré2 } =(0, Q2, M2) T siendo

Q1 = Q2 = qL/2 y M1 = -M2 = qL 2/12.

Cargas térmicas.-

Las cargas térmicas actuantes sobre una estructura son generalmentegradientes a través del espesor de los elementos. Estos gradientes

producen elongaciones de las piezas y, sobre todo, curvaturas como

M1

Q1 Q2

M2



41

resultado del diferente alargamiento de las fibras de una mismasección.

El proceso a seguir es similar al que se ha de aplicar en el caso decargas actuantes sobre los elementos y consiste, esquemáticamente, en

• calcular los movimientos de los nodos del elemento libre sometidoal gradiente térmico

• calcular las fuerzas en nodo necesarias para "devolver" alelemento a sus dimensiones originales

• construir el vector de cargas en nodos incluyendo las fuerzasanteriores

Descenso de apoyo.-

El proceso a seguir, en este caso, es el siguiente:

• en el vector (incógnita) de desplazamientos en nodos, sustituir losvalores de los desplazamientos en los nodos que asientan

• resolver el subsistema constituido por las ecuaciones relativas alos nodos que no tienen asiento forzado

• obtener las reacciones en todos los nodos

b) Ensamblaje del vector de cargas.-

Para cada barra, las reacciones expresadas en ejes globales seobtendrían como

{rei } = [T] {r´ei }

El vector { f i} de cargas actuantes en el nudo i se obtendríasumando los vectores –{rei} de todas las barras que confluyen en el nudoi. Si, además, en el nudo i actuasen directamente cargas { Pi}, el vectorde cargas { f i} se obtendrá como:

{f i} = {Pi} - ∑{rei}

estando el sumatorio extendido a todas las barras conectadas al nudo i.

El vector f de cargas en nodos de la estructura sería, finalmente,

f 1 f 2

f = …f n

8.3.8 Condiciones de contorno.-

Sea el sistema de ecuaciones



42

{f} = [K] {d}

En este sistema se conocen

• las fuerzas { f i } en los nodos donde se aplican cargas exteriores• los movimientos { di } en aquellos nodos donde existen ligaduras.

El balance es

n nodos

3*n g.d.l. (en el plano)

r coacciones

3*n-r movimientos desconocidos

El objetivo es obtener un sistema

{f * } = [K*] {d* }

en el que se relacionen las cargas conocidas con los movimientosincógnitas.

Sea, por ejemplo, la estructura de la figura 8.33 en la cual, elmovimiento horizontal del g.d.l. 7, entre otros, está impedido, es decird7 = 0.

Figura 8.33

Para reflejar esta coacción en el sistema, se eliminan la fila 7 y lacolumna 7 del sistema de ecuaciones:

1

2

3

4

5

6

10

11

12

79

8



43

f 1 = K11d1 + ..... + K17d7 + ..... + K1,12 d12

..............................................................

f 7 = K71 d1 + ..... + K77 d7 + ..... + K7,12 d12

..............................................................

f 12 = K12,1 d1 + ...+ K12,7 d7 + .....+ K12,12 d12

Con este criterio se eliminan también, las ecuacionescorrespondientes a los g.d.l. 1, 2, 3, 10, 11 y 12 resultando un sistemade cinco ecuaciones y cinco incógnitas que son los movimientos de los

g.d.l. 4, 5, 6, 8 y 9 (únicos g.d.l. no coaccionados) resultando unsistema cuya matriz de coeficientes (K*) ya no es singular.

f 4 = K44d4 + K45d5 + K46 d6 + K48d8 + K49d9

f 5 = K54d4 + K55d5 + K56 d6 + K58d8 + K59d9

f 6 = K64d4 + K65d5 + K66 d6 + K68d8 + K69d9

f 8 = K84d4 + K85d5 + K86 d6 + K88d8 + K89d9

f 9 = K94d4 + K95d5 + K96 d6 + K98d8 + K99d9

ó, en forma matricial,

{f * }= [K*] {d*}

en el que la matriz [K*] ya no es singular y, por lo tanto, es invertible.

8.3.9 Resolución del sistema de ecuaciones

El sistema de ecuaciones anterior se resuelve por métodos algebráicosque requieren invertir la matriz de rigidez.

{d*} = [k*] -1 {f*}

La matriz de rigidez es simétrica y dispersa; estas circunstanciashacen especialmente aplicables técnicas numéricas específicas para lainversión de este tipo de matrices.



44

8.3.10 Cálculo de esfuerzos en cada barra.-

A los esfuerzos en extremos de barra producidos por losmovimientos de los nodos de la barra

{S'1 } = [K'11][T] T {d1 } + [K'12] [T] T {d'2 }

{S'2 } = [K'21][T] T {d1 } + [K'22] [T] T {d'2 }

habrán de superponerse, en su caso, los esfuerzos de empotramientodebidos a las cargas que actuasen directamente sobre las barras.

{S'1 } = [K'11][T] T {d1 }+ [K'12] [T] T {d'2 } + {r´1

e }

{S'2 } = [K'21][T] T {d1 } + [K'22][T] T {d'2 } + {r´2e }

8.3.11 Cálculo de las reacciones en los apoyos.-

El vector de movimientos en todos los g.d.l. de la estructura (incluidoslos coaccionados) se construye término a término asignando el valorobtenido a los g.d.l. que han intervenido en el cálculo y el valor 0 a losg.d.l. coaccionados.

Multiplicando este vector por las filas de la matriz del sistemarelativas a los g.d.l. coaccionados (filas eliminadas al considerar lascondiciones de contorno) se obtienen los esfuerzos aplicados a estosg.d.l., es decir, las reacciones. A estos reacciones habrán de sumárselelas cargas que actuasen directamente sobre los g.d.l. coaccionados.

8.3.12 Condensación

Definición .- Se denomina Condensación al proceso de reducción deltamaño de la matriz de coeficientes del sistema {f} = [K] {d} comoresultado de la eliminación de g.d.l. Esta eliminación se desarrolla demodo tal que la influencia del g.d.l. eliminado se tiene en cuenta através de las ecuaciones que describen el comportamiento

deformacional de los g.d.l. no eliminados.

En el sistema inicial {f} = [K]{d} se identifican separadamente lassubmatrices que engloban los g.d.l. que se condensan (eliminan) y losque se mantienen:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

c

p

cccp

pc pp

c

p

d

d

K K

K K

f

f

La expresión matricial anterior equivale a las ecuacionesmatriciales



45

{f p } = [Kpp]{dp } + [Kpc] {dp }

{f p } = [Kcp]{dp } + [Kcc] {dc }

De la segunda ecuación se despeja {dc }, obteniéndose

{dc } = [Kcc]-1 ({f c } -[Kcp]{dp })

Substituyendo en la primera ecuación se obtiene

{f p } = [Kpp] {dp } + [Kpc] [Kcc]-1 ({f c } -[Kcp]{dp })

con lo cual

{f p } - [Kpc] [Kcc]-1

{f c } = ([Kpp] - [Kpc] [Kcc]-1

[Kcp]){dp }o, también,

{f*p } = [K*pp] {dp }

El vector de cargas equivalente es, pues,

{f*p }= {f p } - [Kpc] [Kcc]-1{dp }

y la matriz de rigidez equivalente es

[K*pp]= [Kpp] - [Kpc] [Kcc]-1 [Kcp]

Una vez resuelto el sistema de ecuaciones condensado (yobtenido, en consecuencia, el vector {dp }), el vector de movimientos delos g.d.l. condensados {dc } se obtiene (expansión) como

{dc } = [Kcc]-1 ({f c } -[Kcp]{dp })

El procedimiento de condensación es utilizado, habitualmente, enanálisis dinámico de estructuras pues el comportamiento dinámico deestas puede reflejarse adecuadamente suponiendo concentrada sumasa en algunos nodos.

EJEMPLO.- Sea la viga de la figura 8.34 de la cual se desea conocer losmovimientos de los puntos de aplicación de las cargas despreciando lasdeformaciones originadas por esfuerzo axil (caso de que los hubiera). Eltramo 3-4 tiene una sección con un momento de inercia I, el tramo 2-32xI y el tramo 1-2 3xI.



46

Figura 8.34

Considerando los cuatro nodos definidos en la estructura, elsistema tiene 12 g.d.l. En dirección de la barra no hay desplazamientoslo que permite no tener en cuenta los g.d.l. en esta direcciónreduciéndose entonces el número a 12-4 = 8 que corresponden a losmovimientos verticales y giros de los cuatro nodos (figura 8.35).

Figura 8.35

Las 3 coacciones de los apoyos (la traslación horizontal del nodo 1 ya ha sido considerada) reducen los 8 g.d.l. a 8-3 (figura 8.36).

Figura 8.36

Sin embargo la información que se pide es exclusivamente elmovimiento de los nodos 2 y 3 con lo cual el giro del nodo 4 sería unainformación no necesaria.

La matriz de rigidez de una barra es (en este caso en que no seconsideran las deformaciones por axil) de orden 4

12 6L -12 6L 4L 2 -6L 2L 2

[K] = EI/L 3 12 -6L

4L 2

42

P

L L L

2P

31

42 31

1

2

3

4

5

6

7

8

42 31

3

4

5

6 8



47

y los vectores de carga y de movimientos

S y1 u1 Sθ1 θ1 S y2 u2

Sθ2 θ2

El proceso de ensamblaje de la matriz se esquematiza acontinuación

(k11)12 (k12)12 0 0

(k22)12 (k12)23 0+(k11)23

(k22)23

(k12)34

+(k11)34

(k22)34

Con lo cual la matriz de rigidez ensamblada (orden 8) es,

6 3L -6 3L 0 0 0 02L 2 -3L L 2 0 0 0 010 -L -4 2L 0 0

[K]=6EI/L 3 10L 3/3 -2L 2L 2/3 0 06 -L -2 L

2L 2 -L L 3/32 -L

2L 2/3

Eliminando las filas y columnas correspondientes a los g.d.l.coaccionados (1,2 y 7) resulta

P2 10 -L -4 2L 0 V2

M2 10L 3

/3 -2L 2L 2

/3 0 θ2 P3 = 6EI/L 3 6 -L L V3 M3 2L 2 L 3/3 θ3 M4 2L 2/3 θ4

Para obtener los movimientos verticales en los puntos 2 y 3 secondensan los g.d.l. 4, 6 y 8 reduciéndose el sistema anterior a losg.d.l. 3 y 5.

Reordenando el sistema:



48

M2 10L 2/3 2L 2/3 0 -L -2L θ2 M3 2L 2 L 2/3 2L -L θ3 M4 =6EI/L 3 2L 2/3 0 L θ4

P2 10 -4 V2 P3 6 V3

Utilizando la expresión

[K*pp] = [Kpp]-[Kpc][Kcc] –1[Kcp]

la matriz K*pp resulta

41.12 -19.06

[K*pp] =EI/L 3 -19.06 15.53

y, en consecuencia, el vector de desplazamientos (incógnitas) puedeobtenerse como

V2 0.00564 0.0692 2P 0.18

=[K*pp]-1{f*p } = -L 3/EI =-PL 3/EIV3 0.0692 0.1494 P 0.29

Deshaciendo la expansión se obtienen los movimientos según elresto de g.d.l.

θ2 -0.2371

θ3 = PL 2/EI 0.0493

θ4 0.4070

8.3.14 SubestructuraciónDefinición .- Se califica de subestructura a aquella estructura que, a suvez, forma parte de una estructura mayor.

Definición .- Subestructuración es la técnica que habitualmente se utilizaen el análisis de estructuras que, bien por su gran tamaño o bien porsus características y/o disposiciones especiales no pueden ser resultasen forma directa.

Considérese la estructura esquemática de la figura 8.37

constituida por dos partes S1 y S2 (subestructuras) que tienen encomún un conjunto Ci de nodos.



49

Figura 8.37

Ambas partes pueden ser consideradas separadamente si en lospuntos de conexión se sitúan, en cada una de ellas, unas fuerzasequivalentes a las acciones ejercidas por la otra.

Las ecuaciones de comportamiento de ambas subestructuras son:

11 S

c

e

ccce

ecee

S

c

e

d

d

K K

K K

f

f

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

22 S

c

e

ccce

ecee

S

c

e

d

d

K K

K K

f

f

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Ambos sistemas de ecuaciones se han reordenado para dejar

matricialmente agrupadas las ecuaciones e incógnitas relativas a losg.d.l. de los nodos exclusivos de cada subestructura (subíndice e) y lasrelativas a los g.d.l. de los nodos compartidos (subíndice c).

Las condiciones de compatibilidad entre ambos subsistemas son:• igualdad (acción-reacción) de las fuerzas actuantes sobre ambas

subestructuras• igualdad de los desplazamientos en los g.d.l. de los nodos

compartidos,

f CS1 = -f CS2 dCS1 = -dCS2

C1 C2

C1 C2

S1

S2



50

El subsistema que incluye las ecuaciones de comportamiento decada una de las subestructuras se condensa en los g.d.l.correspondientes a los nodos exclusivos de la subestructuraobteniéndose un sistema condensado

{f*c }i = [K*cc]i {dc }idonde

{f*c }i = {f c }i - [Kcb]i ([Kbb]i)-1 {f b }i = {f c }i - {f ce }i

[K*cc]i= [Kcc]i - [Kcb]i ([Kbb]i)-1 [Kbc]i

El vector de cargas del sistema condensado {f*c }i está compuestode dos sumandos:

• {f c }

i que representa el vector de cargas externas (fuerzas ymomentos) directamente aplicadas sobre los nodos de tipo c

• {f ce }i que se interpreta del siguiente modo:

o ([Kbb]i)-1{f b }i que es el vector de movimientos de todos losnudos de la subestructura considerando que los nudos cestán empotrados y que sobre la subestructura actúa elvector de cargas {f b }i

o [Kcb]i ([Kbb]i)-1{f b }i vector de cargas (reacciones) que

aparecerían en los nudos de tipo c en la hipótesis anterior.

Si existiesen cargas exteriores actuando en los nudos de lainterfase, sólo se deberán tener en cuenta una vez en una cualquiera delas subestructuras involucradas en la interfase.

En el caso del ejemplo anterior los vectores de cargas de ambossistemas condensados son:

{f*c }S1 = {f c }S1 - {f ce }S1 = [Kcc*] S1{dc }S1

{f*c }S2 = {f c }S2 - {f ce }S2 = [Kcc*] S2{dc }S2

Ensamblando convenientemente los vectores de carga y lasmatrices de rigidez de ambas subestructuras se obtiene el sistema final

{f*c } = [Kcc*] {dc }

Una vez tenidas en cuenta las condiciones de apoyo de laestructura, se resuelve el sistema obteniendo con ello los movimientosen los g.d.l. de los nodos de conexión.



51

Utilizando las ecuaciones matriciales de la expansión en cadasubestructura se obtienen los movimientos en los nodos exclusivos decada subestructura.

{db }S1= -[Kbb] –1 S1[Kbc]S1 {dc }S1 + [Kbb] –1 S1{f b }S1

{db }S2= -[Kbb] –1 S2[Kbc]S2 {dc }S2 + [Kbb] –1 S2{f b }S2

La técnica de subestructuración se aplica generalmente aaquellas estructuras que por

• su gran tamaño (número de nodos que exceden la capacidad decálculo,...)

• sus características especiales (desglosables en partes claramentediferenciables,...)

• su situación en el momento del análisis (una parte en estadoavanzado de diseño y otra de la que se conocen solamente suscaracterísticas globales de rigidez,...)

así lo aconsejen.

Ha de considerarse que identificar una serie de subestructurascomo integrantes de una estructura es un proceso formalmente idénticoa la modelización de la estructura con elementos más simples(barras,...). Cada subestructura puede ser considerada como unsuperelemento del que se obtiene su matriz de rigidez, matrices que aposteriori son ensambladas para obtenerse la matriz de rigidez de la

estructura.

EJEMPLO.- Obténgase los desplazamientos horizontales de los nodosde la estructura articulada de la figura 8.38.

Figura 8.38

1 2

3 4

65

P

P

P

P 4

6

3

5

3 4

21 2

4

3

5

1S1

S2

L

L

L



52

Las cajas de la matriz de rigidez de una barra biarticulada son:

cos2α cosα senα [K11] = [K22] = EA/L

cosα senα sen2α

cos2α cosα senα [K12] = [K21] =-EA/L

cosα senα sen2α

con lo cual, en este caso, la matriz de rigidez de la subestructura S1 es

u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 3 -1 -2 0 0 0 -1 1

-1 3 0 0 0 -2 1 -1-2 0 3 1 -1 -1 0 00 0 1 3 -1 -1 0 -2

EA/(2L) 0 0 -1 -1 1 1 0 00 -2 -1 -1 1 3 0 0-1 1 0 0 0 0 1 -11 -1 0 -2 0 0 -1 3

y la de la S2 es

u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4

1 1 0 0 0 0 -1 11 3 0 0 0 -2 -1 -10 0 1 -1 -1 1 0 00 0 -1 3 1 -1 0 -2

EA/(2L) 0 0 -1 1 3 -1 -2 00 -2 1 -1 -1 3 0 0-1 -1 0 0 0 0 3 1-1 -1 0 -2 0 0 1 3

Los vectores de desplazamientos y fuerzas en nudos en ambassubestructuras son:

u1 u5 Px1 Px5 v1 v5 P y1 P y5 u2 u6 Px2 Px6

{d}1 = v1 {d}2 = v6 {f}1 = P y2 {f}2 = P y6 u3 u3 Px3 Px3 v3 v3 P y3 P y3 u4 u4 Px4 Px4 v4 v4 P y4 P y4

• Las componentes de los vectores de fuerzas son todas nulashecha excepción de Px1 y Px3 que son iguales a P. En cuanto a la



53

fuerza Px3 = P puede incluirse en el vector {f}1 o en el {f}2 pero noen ambos.

• Los movimientos u5, v5, u6 y v6 son nulos; esta circunstancia debeser tenida en cuenta en el proceso de condensación.

En la subestructura S1:

u3 v3 u4 v41 0 -1 0 3

0 0 0 0 7[K*cc]S1=EA/(7L) {f*c }1=P/7

-1 0 1 0 4

0 0 0 0 -7

En la subestructura S2:

u3 v3 u4 v43 -1 -2 0 1

-1 3 0 0 0[K*cc]S2=EA/(2L) {f*c }2=P

-2 0 3 1 0

0 0 1 3 0

y para la estructura completa

23 -7 -16 0 10

-7 21 0 0 7[K*cc] = EA/(14L) {f*c }1=P/7

-16 0 23 7 4

0 0 7 21 -7

Invirtiendo se obtiene:

1.69 0.56 1.31 -0.44

0.56 0.85 0.44 -0.15[K*cc]-1 = L/(EA)

1.31 0.44 1.69 -0.56

-0.44 -0.15 -0.56 0.85

con lo cual



54

u3 4.16

v3 2.06{dc }= = PL/EA

u4 3.84

v4 -1.95

u1 9.69

v1 2.67{db }= = PL/EA

u2 9.31

v2 -2.33

8.3.15 Modificación de la rigidez de la estructura.-

Si como resultado del estudio de los resultados del análisis seconsiderase necesario modificar las características de algún elementoestructural o de los materiales con los que van a ser fabricados ointroducir cualquier otra modificación sobre la matriz de rigidez de laestructura, puede simularse esta modificación sin necesidad de repetirel proceso de resolución del sistema de ecuaciones.

El sistema de ecuaciones "modificado" sería

{f} = ([K] + [K']){d}

donde [K´] es una matriz que incluye las modificaciones a la matriz [K].

La expresión anterior puede escribirse como

{f} = [K](I + [K]-1[K']){d}

y, por tanto,

{d} = (I + [K]-1[K'])-1 [K]-1 {f}

El factor [K]-1 {f} coincide con el vector {d}0 de movimientos en laestructura antes de la modificación (vector del que se dispone comoresultado del previo análisis)

{d} = (I + [K]-1[K'])-1 {d}0

Por lo tanto el vector de movimientos del sistema "modificado"

puede obtenerse a partir del vector {d}0 y de las matrices [K] y [K´]. Estaúltima matriz es tratable de forma eficiente pues estará (si las



55

"modificaciones" no afectan a demasiados nodos) mayoritariamenteformada por ceros; así, podrá ser razonablemente ordenada agrupandolos g.d.l. afectados.

capitulo 8.-analisis matricial de estructuras reticuladas

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