CAP - marzo 2010

Formulación Hamiltoniana para un

sistema no conservativoElizabeth Galindo Linares

Asesor: Dr. Gerardo F. Torres del Castillo

CAP - marzo 2010

Contenido

Resumen Objetivo Antecedentes

Helmholtz Douglas Pardo Torres y Rubalcava

Trabajo actual Bibliografía

CAP - marzo 2010

Resumen

Se busca al menos una expresión hamiltoniana clásica

que reproduzca a un sistema de 2n ecuaciones

diferenciales ordinarias de primer orden.

CAP - marzo 2010

Objetivo

Comprobar que todo sistema de 2n ecuaciones diferenciales

ordinarias (ODE’s) de primer orden, puede escribirse en forma

Hamiltoniana.

CAP - marzo 2010

Antecedentes (1)

H. Helmholtz (1887)

.n,...,1j,0t,x,xGxt,x,xG ij

n

1iij

.xG

.0xL

txL

xxx

Lx

xxL

xL

xL

dtd

k

i

n

1j i

n

1j i

2

jji

2n

1jj

ji

2

ii

y

CAP - marzo 2010

Condiciones de Helmholtz

.x

G

xG

tx

xx

21

x

G

xG

x

G

x

G

,t

Gx

x

G2

x

G

xG

GG

i

j

j

ik

kkk

i

j

j

i

i

jk

k

ij

ij

kk

k

ij

i

j

j

ijiij

,

,

Antecedentes (1a)

CAP - marzo 2010

Antecedentes (2)

Douglas

, 1222

211 xxxxx

Buscar la función lagrangiana para el sistema de ecuaciones anterior

.2,1i,0GxG ik

2

1kik

Las derivadas temporales de primer término son cero, por lo tanto las G’s son

constantes de movimiento.

CAP - marzo 2010

Antecedentes (3)

Pardo

.0x21

L

xxxx

22

2221

que de conclusión la a Llegando

. ,

CAP - marzo 2010

A L T O

Si no existe una lagrangiana

que dependa de las

coordenadas o simplemente no

existe una lagrangiana.

¿Puede existir al menos una

expresión Hamiltoniana?

CAP - marzo 2010

Formulación hamiltoniana Vs. lagrangiana

Más amplia: Independencia entre coordenadas y momentos

generalizados.Posibilidad de mezclar las variables de maneras infinitas.

Lagrangiana natural (Arnold).

CAP - marzo 2010

Antecedentes (4)

Torres del Castillo y Rubalcava (2006)

.t,y,xh,t,y,xgx

t,x,xFx

y

.t,y,xppt,p,qKy

,t,y,xqqt,p,qGx

.

,

,qH

p

.pH

q

.htK

ppK

qqK

y

,gtG

ppG

qqG

x

CAP - marzo 2010

Antecedentes (4a)Por una parte se toma a g y h como funciones de las variables canónicas,

por otra parte x y y son las variables de las funciones g y h;

entonces, es posible considerar la forma diferencial

.dttG

pH

qK

tG

qH

pK

tK

qH

pG

tK

pH

qG

dppG

tK

pK

tG

pG

pH

qK

pK

pH

qG

dqqG

tK

qK

tG

qK

qH

pG

qG

qH

pK

hdxgdy

CAP - marzo 2010

Antecedentes (4b)

.dttK

pG

tG

pK

qH

dttG

qK

tK

qG

pH

dppG

tK

pK

tG

dqqG

tK

qK

tG

dppH

dqqH

q,pK,G

hdxgdy

.dttH

dqqH

dppH

dH

Por otra parte:

la ecuación del jacobiano que relaciona a las variables (x, y) con

(q,p) y la diferencial de la hamiltoniana es

.

p,qK,G

qy

px

py

qx

CAP - marzo 2010

Antecedentes (4c)

.dtdx

tK

dytG

dHq,pK,G

dtdppG

dqqG

tK

dppK

dqqK

tG

dHq,pK,G

hdxgdy

en términos

en términos

Entonces, ),t,q,p(dHdyfdxg dependen y donde

además se definen como las derivadas parciales temporales de “y” y “x” respectivamente.

CAP - marzo 2010

Antecedentes (4d)Por simplicidad se elige a la transformación canónica q=x, por lo cual ,0

el jacobiano se reduce a ,dyfdxfdygdxpy

-g-con comparar aly

Especificando los momentos canónicos y reescribiendo dp y dy, se tiene

.pxp

fg

qH

,qfpH

,dtftH

fdpdqxp

fg

dH

donde .t

)t,p,q(xy

t)t,p,q(y

CAP - marzo 2010

EjemploOscilador Armónico (1)

Masa m conectada a un resorte de constante k.

La coordenada generalizada es el desplazamiento x de m con res-pecto a la posición de equilibrio del resorte

La energía cinética T y la energía potencial U son

La Lagrangiana natural del sistema es

La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada x es

txm

k

dt

txd

xmkxx

L

dt

d

x

L

kxxmUTL

tkxUtxmT

2

2

22

22

0

2

1

2

1

2

1;

2

1

CAP - marzo 2010

Ejemplo:

vkxma

0xdtdx

2dt

xd 202

2

1 2

1- Fza. elástica2- Fza. de rozamiento

mk2

0 m

2

Usando

CAP - marzo 2010

0xx2x 20

xy2y

xy20

xy2g

yf20

.e2yg

xf

dtd C2111

1

.y

dHeydydx)xy2( C220

CAP - marzo 2010

Trabajo en proceso

Encontrar al menos una expresión H equivalente a las ecuaciones de movimiento.

¿Cuáles son las restricciones para que exista a lo menos una hamiltoniana?

Primero: usando campos vectoriales que representan el sistema de ODE’s.

CAP - marzo 2010

Trabajo en proceso

Partiendo de las ecuaciones de mov. de Hamilton A

Tomando a p y q coordenadas locales de una variedad diferenciable.

Se toma a

Presenta 2n integrales funcionalmente

independientes

.2,...,2,1, ),,( njitxfx jii

CAP - marzo 2010

Trabajo en proceso

Procedimiento:

Escribir x’’ en su análogo sistema de x’1 y x’2.

Se comprueba que el sistema no cumple las condiciones de Helmholtz.

Se obtiene un conjunto de primeras integrales funcionalmente independientes.

CAP - marzo 2010

Bibliografía Douglas, J. (1941), Trans. Amer. Math. Soc. 50, 71.

Arnold, V.I. (1978), Mathematical methods of classical mechanics, Springer-Verlag, New York.

Helmholtz, H. (1887), Journal für die reine und angewandte Mathematik, Berlin, 100, 137.

Pardo, F. (1989), J. Math. Phys. 30, 2054-2061.

Torres del Castillo, G.F. and Rubalcava García, I. (2006), Rev. Mex. Fís. 52, 429.

Torres del Castillo, G.F. (2009), J. Phys. A, Math. and Theor. 42, 265202.

CAP - marzo 2010

Por su atención, gracias.

CAP - marzo 2010

Anexos

Trabajando adecuadamente con las ecuaciones: Haciendo cambio de variables se puede reducir a ecuaciones

independientes. Así podrá encontrarse la solución general del sistema.

Es decir, se hizo una transformación lineal de las coordenadas que convierten el sistema de ecuaciones diferenciales en ecuaciones desacopladas en las nuevas variables.

Torres del Castillo demuestra que la descomposición es posible en sistemas bidimensionales acoplados linealmente.

CAP - marzo 2010

EjemploOscilador Armónico (2)

La solución de la ecuación de movimiento para la posición de la masa es

La amplitud A del movimiento y la fase dependen de las con-diciones iniciales del sistema

Para = 1/s, A = 1m y = /2 (posición inicial = 1m, velocidad inicial = 0 m/s) el movimiento es oscilatorio con periodo T = 2s

m

k

tAtx

sin

CAP - marzo 2010

Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica (1)

Principio de Hamilton: Describe el movimiento de un sistema mecánico Para sistemas monogénicos (toda fuerza es derivable a partir

de un potencial escalar):El movimiento de un sistema del tiempo t1 al tiempo t2 es tal que la integral de línea

donde L = T – V, tiene un valor estacionario para el camino corrrecto del movimiento.T es la energía cinética del sistema y V el potencial al que este está sujeto

I se conoce como la acción o integral de acción

,2

1

dtLIt

t

CAP - marzo 2010

Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica(2)

El principio de Hamilton se puede expresar diciendo que el movimiento es tal que la variación de la integral de línea I es cero para t1 y t2 fijos

qi se llaman coordenadas generalizadas y sus derivadas son las velocidades generalizadas

Siempre y cuando las restricciones del sistema sean holonómicas

Este es un problema variacional

0;,;,2

111 dttqqqqLI

t

t nn

CAP - marzo 2010

Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica(3)

En mecánica las ecuaciones de Euler- Lagrange son

Cada coordenada genera-lizada representa un grado de libertad

Se debe resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden

Los momentos generali-zados se definen como

0

ii q

L

dt

d

q

L

ii q

Lp

CAP - marzo 2010

Ventajas de la Formulación Variacional

Involucra cantidades físicas (energía cinética y potencial) independientes de las coordenadas con que se especifique el sistema. Esto hace que la formulación sea invariante con respecto a los sistemas de coordenadas.

El Lagrangiano es indeterminado a una derivada total temporal de cualquier función de coordenadas y tiempo.

Se puede extender a sistemas que no se consideran en la dinámica de partículas

La imposición de la conservación de la energía lleva a la formulación Hamiltoniana de la mecánica

CAP - marzo 2010

Consecuencias Inmediatas de la Formulación Variacional

Teoremas de Conservación Si el Lagrangiano de un sistema es independiente de una

coordenada qj pero sí depende de la velocidad correspondiente, entonces el momento correspondiente es independiente del tiempo (se conserva)

Propiedades de Simetría La simetría del sistema con respecto a sus coordenadas

generalizadas está íntimamente ligada con la conservación de los momentos con respecto a los ejes de simetría

cte,0 jj p

dt

dp

CAP - marzo 2010

Otros ejemplosPéndulo Simple

Masa m colgada del techo de una cuerda de longitud l, restringida a moverse en el plano xy

La coordenada generalizada es el ángulo de l con respecto al eje y

La energía cinética T y la energía potencial U son

El Lagrangiano del sistema es

La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada es

Para ángulos pequeños la solución es idéntica a la del oscilador armónico

tl

g

dt

td

mlmglL

dt

dL

mgllm

UTL

mglUlm

T

sin

0sin

cos2

cos;2

2

2

2

22

22

CAP - marzo 2010

Otras Áreas de la FísicaTeoría de Campos

La formulación Lagrangiana de partículas se puede extender a la descripción de campos.

Se trabaja con la densidad Lagrangiana del sistema

Las ecuaciones de campo que se deducen de esta formulación son

Esta formulación tiene aplicaciones en electromagnetismo, relatividad, mecánica cuántica, etc…

xxxLL ;,~

x

LL

xA

AAA

3,2,1,0~~