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FORMULACION HAMILTONIANA DE LA MECANICA. CARLOS S. CHINEA

DIVULGACIÓN DE LA MATEMÁTICA EN LA RED. MARCHENA 2002

1

INDICE:

01. Introducción:

01.1. Sistemas de partículas.01.2. Grados de libertad y condiciones de ligadura.01.3. Coordenadas. Coordenadas generalizadas. El espa-

cio de configuración de un sistema mecánico.

02. El Principio de Mínima Acción:

02.1. El Principio de Hamilton de la Mínima Acción.02.2. Expresión matemática de la Acción.02.3. Ecuaciones de Lagrange.02.4. La lagrangiana.

02.4.1. Determinación.02.4.2. Lagrangiana de una partícula libre. La la-

grangiana de una particula en un campoexterior.

03. Ecuaciones de Hamilton:

03.1. Definición del momento lineal.03.1.1. Momento lineal.03.1.2. Coordenadas ignoradas.03.1.3. Espacio fásico.

03.2. La función hamiltoniana.03.2.1. Significado.03.2.2. Invariancia en los sistemas holónomos es-

clerónomos.03.3. Las Ecuaciones de Hamilton.

04. Teoremas básicos de la formulación.

04.1. El Teorema de Hamilton-Jacobi.04.2. El Teorema de transformación canónica de

variables.04.3. El Teorema de los Corchetes de Poisson.04.4. El Teorema del Jacobiano.04.5. El Teorema de Liouville.



2

La primera de las formulaciones de la Mecánica Teórica fue ladesarrollada por Isaac Newton (1643-1727), basándola, comosabemos, en tres leyes o principios. Posteriormente, JosephLuis de Lagrange (1736-1813), desarrolló su concepción de laMecánica obteniendo sus famosas ecuaciones diferencialespara describir la evolución de los sistemas mecánicos.

William Rowan Hamilton (1805-1865) utilizó los principios delcálculo variacional para dotar a la Mecánica Teórica de unaconcepción intrínseca que superaba a la concepcióndesarrollada antes por Lagrange.

NEWTON LAGRANGE HAMILTON

Los trabajos de Hamilton fueron desarrollados por grandesfísicos y matemáticos como Carl Gustav J. Jacobi (1804-1851), Simeón Poisson (1781-1840), o Joseph Liouville (1809-1882).

JACOBI POISSON LIOUVILLE



3

La Formulación Hamiltoniana de la Mecánica tiene comoreferente a la anterior Formulación Lagrangiana. Hamiltonconsideró como variables independientes no solamente lascoordenadas generalizadas, sino también los momentos oímpetus asociados, definiendo lo que llamó el Espacio de laFases.

La función principal de Hamilton, o hamiltoniana, tiene unaforma relacionada con la función principal de Lagrange, sumade los productos de cada ímpetu por la velocidad menos lafunción lagrangiana, pudiendo, con ella obtener unasecuaciones de evolución de los sistemas mecánicos muchomás potentes que las ecuaciones de Lagrange.



4

01. Introducción:

01.1. Sistemas de partículas.01.2. Grados de libertad y condiciones de ligadura.01.3. Coordenadas. Coordenadas generalizadas. El

espacio de configuración de un sistema.

01.1. Sistemas de partículas:

Un conjunto de partículas con una propiedad común α es un α-sistema de partículas. En realidad, todos los objetos son sistemas departículas en la mecánica clásica. Un sistema puede, no obstante,estudiarse, en múltiples aspectos como si fuera una sola partícula, yesto ocurre en los casos en que la interacción mutua de las partículasdel sistema puede despreciarse en el estudio mecánico de suspeculiaridades dinámicas.

Un sistema de partículas diremos que es cerrado si no sufreinteracción desde ningún sistema exterior, es decir, si consideramosque no está sometido a ningún campo de interacción externo.

Un sistema se dice conservativo si está exclusivamente sometido acampos externos que originan fuerzas conservativas, esto es, siexiste una función potencial V tal que la fuerza que sufre el sistemaes

Vf ∇−=vv

Si el sistema de partículas está sometido además a otras fuerzas noconservativas, que llamaremos fuerzas disipativas, esto es, noprovenientes de una función potencial, tales como el rozamiento,etc.., diremos que el sistema es no conservativo o bien que esdisipativo.

01.2. Grados de libertad y condiciones de ligadura:

El grado de libertad de cada una de las partículas de un sistema físicopuede estar restringido por condiciones de ligadura, es decir, porcondiciones que impiden que todo el sistema o una parte de él sepueda desplazar libremente en algún sentido. Estas condiciones



5

pueden ser dependientes del tiempo, y pueden ser representablesmediante ecuaciones matemáticas o ecuaciones diferencialesintegrables. o bien, en muchos casos, solo son representablesmediante inecuaciones o sistemas de diferencias.

Un sistema se dice holonomo, o bien, sometido a ligadurasholónomas, si las condiciones de ligadura son expresables medianteecuaciones matemáticas entre sus coordenadas o ecuacionesdiferenciales integrables. En caso contrario, se dice que el sistemamecánico es no holónomo.

Un sistema se dice que es esclerónomo si las condiciones de ligadurason independientes del tiempo. En caso contrario el sistema se diceque es reónomo o sometido a ligaduras reónomas.

Por tanto:

Un sistema holonomo esclerónomo es un sistema sometido acondiciones de ligadura independientes del tiempo expresablesmediante relaciones matemáticas entre sus coordenadas.

Un sistema holónomo reónomo es un sistema sometido a condicionesde ligadura dependientes del tiempo expresables mediante relacionesmatemáticas entre sus coordenadas.

Un sistema no holónomo esclerónomo es un sistema sometido acondiciones de ligadura independientes del tiempo no expresablesmediante relaciones matemáticas entre sus coordenadas.

Un sistema no holónomo reónomo es un sistema sometido acondiciones de ligadura dependientes del tiempo no expresablesmediante relaciones matemáticas entre sus coordenadas.

Los sistemas mas usuales son, naturalmente, los holónomosesclerónomos.

01.3. Coordenadas. Coordenadas generalizadas. El espacio deconfiguración de un sistema mecánico:

sea un sistema de N partículas pi, i =1, 2, ..., N. Cada partícula tienetres coordenadas en el espacio ordinario, por lo que en total hay 3Ncoordenadas para el sistema de partículas.

Si hay k ecuaciones de ligadura entre estas variables se tiene que elnúmero total de variables independientes es n = 3N - k. Podemos



6

representar por qi , i =1,2,...,n a estas variables independientes, quese denominan coordenadas generalizadas. Sus correspondientesderivadas temporales se llaman velocidades generalizadas.

Se llama espacio de configuración de un sistema de partículas alespacio cuyos puntos son las 2n-plas formadas por las coordenadasgeneralizadas y las velocidades generalizadas y el tiempo.

Espacio de configuración:

= genercoordqtqqEc iii _/,,

.



7

02. El Principio de Mínima Acción:

02.1. El Principio de Hamilton de la Mínima Acción.02.2. Expresión matemática de la Acción.02.3. Ecuaciones de Lagrange.02.4. La lagrangiana.

02.4.1. Determinación.02.4.2. Lagrangiana de una partícula libre. La

lagrangiana de una particula en uncampo conservativo.

02.1. El Principio de Hamilton de la Mínima Acción:

En todo sistema de N partículas en donde es →

if la fuerza aplicada

sobre una partícula de radio vector →

ir se verifica que existe siempre

una función escalar Γ que llamaremos "energía cinética" del sistema,tal que la integral

dtrfSt

t

i

N

ii .∫ ∑

+Γ=→

=

→2

1 1

es mínima en el movimiento real del sistema en el espacio deconfiguración.

A la integral S la llamaremos "acción" del sistema de partículas.

La trayectoria, pues, ha de ser la extremal de la integral definidacomo acción. O sea, es la curva para la cual es mínima la acción:

0=Sδ

02.2. Expresión matemática de la Acción:

Si la fuerza aplicada a cada partícula,→

if , tiene una componente

conservativa, →

icf , y otra componente no conservativa, →

'if , se tiene

que

→→→→→

+∇−=+= iiici fvfff



8

Siendo V una función de las coordenadas generalizadas quellamaremos "energía potencial" del sistema de partículas. La acción,en definitiva, puede expresarse matemáticamente así:

∫∫ ∫∫ ∑→→→→

=

→→+∇−Γ=

+Γ= dtrfdtrVdtdtrfS ii

t

t

i

t

t

t

t

N

iii ..'....

2

1

2

1

2

1 1

02.3. Ecuaciones de Lagrange:

Aplicando el Principio de Mínima Acción, se tiene:

=∂∂

+∂∂

∇−Γ= ∫ ∫ ∑∑∫=

→→

=

→→

dtqq

rfdtq

q

rVdtS

t

t

t

t

n

jj

j

ii

n

jj

j

it

t

......2

1

2

1

2

111

δδδδ

02

1

2

1

2

1 11

=+∂∂−Γ= ∫ ∫ ∫ ∑∑

==

t

t

t

t

t

t

n

jjj

n

jj

j

dtqQdtqq

Vdt .... δδδ

aplicando cálculo variacional a la primera integral (ver ecuacionesvariacionales de Euler), se tiene:

02

1

1

1

2

1111

=+∂∂−

∂

Γ∂−∂

Γ∂= ∫ ∑∫ ∑∫ ∑===

dtqQdtqq

Vdtq

qdt

d

qS

t

t

n

jjj

t

t

n

jj

j

t

t

n

jj

jj

......

δδδδ

o bien:

02

11

=

+

∂∂−

∂

Γ∂−∂

Γ∂= ∫ ∑=

dtqQq

V

qdt

d

qS

t

t

n

jjj

jj

j

...

δδ

o, lo que es lo mismo:

( ) ( )0

2

11

=

+

∂

−Γ∂−∂

−Γ∂= ∫ ∑=

dtqQq

V

dt

d

q

VS

t

t

n

jjj

jj

...

δδ

verificándose entonces las n ecuaciones siguientes:

( ) ( )njQ

q

V

dt

d

q

Vj

jj

,...,;.

210 ==+∂

−Γ∂−

∂−Γ∂



9

que son las ecuaciones de Lagrange del sistema de partículas. Lafunción VL −Γ= se denomina "lagrangiana" del sistema. En funciónde la lagrangiana sería:

njQq

L

dt

d

q

Lj

jj

,...,;.

210 ==+∂

∂−

∂∂

(Ecuaciones de Lagrange)

Para sistemas conservativos es njQ j ,...,,, 210 == por lo que las

ecuaciones anteriores quedan así:

njq

L

dt

d

q

L

jj

,...,;.

210 ==∂

∂−∂∂

(Ecuaciones de Lagrange para sistemas conservativos)

Para estos sistemas, en donde no existen fuerzas disipativas, laacción del sistema de partículas es, simplemente, la integral en eltiempo de la función lagrangiana:

∫=2

1

t

t

dtLS .

02.4. La lagrangiana:

La lagrangiana de un sistema se define, como ya hemos visto, por laexpresión VL −Γ= , donde es Γ la energía cinética y V la energíapotencial.

02.4.1. Determinación:

Toda función L' que difiera de la lagrangiana en la derivada temporalde una función de las coordenadas generalizadas y del tiempo es,también, lagrangiana del sistema de partículas.

Efectivamente:

alagrangianLalagrangianL

tqfdtd

LL j '),(' ⇒

+=

se tiene que si es 02

1

==⇒ ∫t

t

dtLSalagrangianL .δδ

por tanto, es:



10

∫∫∫ −+=

+=

+

2

1

2

1

2

1

2

1

12

t

t

jj

t

tj

t

t

t

t

j tqftqfdtLtqfdtLdttqfdt

dL ),(),('.),('..),(' δδδδδ

y siendo 012 == ),(),( tqftqf jj δδ , se tendrá que ∫ =2

1

0t

t

dtL'.δ y L' es

también lagrangiana.

02.4.2. Lagrangiana de una partícula libre. La lagrangiana de unaparticula en un campo conservativo:

a) El caso de una partícula libre:

La lagrangiana de una partícula libre, al ser una función característicade la misma, no puede depender de las coordenadas de la partícula nidel tiempo, en virtud de la homogeneidad del espacio-tiempo. Tendráque depender solamente de la velocidad, pero en virtud de laisotropía del espacio, no ha de depender de la dirección de lavelocidad, sino, en todo caso de su módulo, por tanto, ha de poderexpresarse en función del cuadrado de la velocidad:

)()(.

22

vLqLL j ==

Por otra parte, si consideramos una variación infinitesiamal, u, de lavelocidad, se tendría:

uvvv +=→ '

y la lagrangiana también se puede expresar en función de v':

( ) ( )2222 2 uuvvuvLvL ++=+= .)()'(

desarrollando en serie y despreciando los términos de órden superioral segundo, se tiene:

....)()'( +∂∂+= uv

LvLvL 2

2

22

Y siendo lagrangianas tanto )( 2vL como )'( 2vL , se deduce, en virtud

de un ressultado expuesto antes, que el termino restante ha de ser,necesariamente, la derivada temporal de una función de lascoordenadas y del tiempo:

),(.. tqfdtd

uvv

Lj=

∂∂

22



11

pero esto indicaría que la derivada parcial ha de ser constante, luego:

aconstv

L ==∂∂

2

y, en definitiva, es 2vaL .= .

Llamamos "masa" de la partícula a la constante m = 2.a. Luego, lalagrangina se puede expresar así:

2

21

mvL =

Si se trata de un sistema de N partículas en movimiento libre:

∑=

=N

jjj vmL

1

2

21

.

b) Una partícula en un campo exterior de potencial V:

Siendo VL −Γ= , se tiene que si V= 0 (movimiento libre), hemos

visto que 2

21

0 mvL =Γ=−Γ= , por tanto, será:

VmvL −= 2

21

Y si se trata de un sistema de N partículas en movimiento libre,tenemos:

VvmLN

jjj −= ∑

=1

2

21

.



12

03. Ecuaciones de Hamilton:

03.1. Definición del momento lineal.03.1.1. Momento lineal.03.1.2. Coordenadas ignoradas.03.1.3. Espacio fásico.

03.2. La función hamiltoniana.03.2.1. Significado.03.2.2. Invariancia en los sistemas holóno-

mos esclerónomos.03.3. Las Ecuaciones de Hamilton.

03.1. Definición de momento lineal:

03.1.1. Momento lineal:

Se define el momento lineal con respecto a la coordenada qj de unapartícula de lagrangina L por

njq

Lp

j

j ,...,,.

21=∂

∂=

Al n-vector ( )npppp ,...,, 21=→

se le llama vector momento lineal o

impulso de la partícula.

03.1.2. Coordenadas ignoradas o cíclicas:

Si la lagrangiana L no depende explícitamente de la coordenada qj sedice que qj es ignorada o cíclica.

Si una determinada coordenada es cíclica, el momento linealcorrespondiente es constante, y, al revés, si el momento esconstante, la coordenada correspondiente es cíclica.

Coord qj cíclica constq

Lp

q

L

dt

d

q

LqLL

j

j

jj

j ..)(

∂

∂=⇒=

∂

∂⇒=

∂∂

⇒≠⇒ 00

⇒≠⇒=∂∂

⇒=∂

∂⇒

∂

∂= )(

.. jj

jj

j qLLq

L

q

L

dt

dconst

q

Lp 00 qj ignorada



13

03.1.3. Espacio de las fases:

Se define el espacio de las fases de un sistema de partículas como elespacio cuyos puntos son las 2n componentes

nn pppqqq ,...,,,,...,, 2121

es decir, las coordenadas generalizadas y las correspondientescomponentes de momento lineal.

Espacio fases = ( )nn pppqqqE ,...,,,,...,, 2121

Se define el Corchete de Poisson para dos funciones, f1 y f2, en lasvariables del espacio de las fases, y se representa por [ ]21 , ff , a la

suma de derivaciones parciales siguiente:

[ ] ∑=

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=n

i kkkk qf

pf

pf

qf

ff1

212112 ..,

Naturalmente, si una coordenada es ignorada, y como su componentede momento lineal es constante, el espacio fásico tendría doscomponentes menos.

En el caso de que hubiera m coordenadas ignoradas, las dimensionesdel espacio de las fases sería, entonces, 2(n-m).

03.2. La función hamiltoniana:

Se define como hamiltoniana de un sistema de partículas delagrangiana L a la función siguiente:

LqpHn

jjj −= ∑

=1

.

.

donde las pj son las correspondientes componentes de momentolineal.

03.2.1. Significado:

En un sistema sometido a un campo exterior de potencial V, sabemosque la lagrangiana es de la forma



14

VqmVmvLn

jj −=−= ∑

=1

22

21

21 .

por tanto, se tiene:

VVmvVqmVqmqm

VqmqqmVqmqq

LLqpH

n

jj

n

jj

n

jj

n

jj

n

jjj

n

jj

n

jj

j

n

jjj

+Γ=+=+=+−=

=+−=+−∂

∂=−=

∑∑∑

∑∑∑∑∑

===

=====

2

1

2

1

2

1

2

1

2

11

2

11

21

21

21

21

21

...

.....

.

.

.

.

Es decir, la Hamiltoniana de un sistema sometido a un campo exteriorconstante, no dependiente del tiempo ni de la velocidad, es la energíatotal del sistema, suma de la energía cinética más la energíapotencial.

03.2.2. Invariancia en los sistemas holónomos esclerónomos:

En un sistema holónomo esclerónomo, esto es, en un sistemasometido a condiciones de ligadura independientes del tiempoexpresables mediante relaciones matemáticas entre sus coordenadas,su lagrangiana, naturalmente, no depende por tanto expresamentedel tiempo, sino, todo lo más, de sus coordenadas y velocidadesgeneralizadas.

Por tanto, al derivar con respecto al tiempo:

constHHdt

dLqp

dt

d

dt

dLqp

dt

d

dt

dLqp

dt

dqp

dt

dqpqp

dt

qd

q

L

dt

dq

q

L

dt

d

dt

qd

q

L

dt

dq

q

L

dt

dL

j

n

jjj

n

jj

j

n

jjj

n

jjj

n

jjj

n

jj

n

j

j

j

n

j

j

j

n

j

j

j

n

j

j

j

→=→=

−→=−

→

→=

→

=+=

=∂

∂+

∂

∂=∂

∂+∂∂=

∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

==

====

====

00011

1111

1111

..

......

.

..

.

.

.

La invariancia de la Hamiltoniana se debe, en definitiva, a launiformidad del tiempo, al hecho de que la lagrangiana no dependeexplicitamente del tiempo en estos sistemas.

Como la Hamiltoniana de un sistema cerrado o sometido a un campoexterior constante es la energía total del sistema, se deduce, conesto, que la energía total de un sistema de este tipo es constante.



15

03.3 Las Ecuaciones de Hamilton:

Haciendo la diferencial de la Hamiltoniana:

dtt

LdqQ

dt

dpqdp

dtt

LqdpdqQ

dt

dpdqpqdp

dtt

Lqd

q

Ldq

q

Ldqpqdp

dLdqpqdpLqpddH

j

n

jj

jn

jjj

j

n

jjj

n

jj

jn

jjj

n

jjj

j

n

jj

j

n

j j

n

jjj

n

jjj

n

jjj

n

jjj

n

jjj

...

.....

.....

...

.

...

.

.

..

...

∂∂−

−−=

=∂∂−−

−−+=

=∂∂−

∂

∂−∂∂−+=

=−+=

−=

∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑

==

====

====

===

11

1111

1111

111

en definitiva, se tiene:

dtt

Ldq

q

Hdp

p

HdH

dttL

dqQdt

dpqdpdH

j

n

j j

n

jj

j

j

n

jj

jn

jjj

..

....

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂−

−−=

∑∑

∑∑

==

==

11

11

por tanto, al identificar se obtienen un conjunto de ecuaciones que seconocen como Ecuaciones de Hamilton:

tL

tH

pQqH

qpH

jjj

jj ∂

∂−=∂∂−=

∂∂=

∂∂

;;..

(j=1,2,...,n)

Si se trata de sistemas conservativos:

tL

tH

pqH

qpH

jj

jj ∂

∂−=∂∂−=

∂∂=

∂∂

;;..

(j=1,2,...,n)



16

04. Teoremas básicos de la formulación:

04.1. El Teorema de Hamilton-Jacobi.04.2. El Teorema de transformación canónica de variables.04.3. El Teorema de los Corchetes de Poisson.04.4. El Teorema del Jacobiano.04.5. El Teorema de Liouville.

04.1. El Teorema de Hamilton-Jacobi:

Para todo sistema sometido exclusivamente a fuerzas conservativas,existe una ecuación de la forma:

0=+∂∂

HtS

siendo suficiente que tenga una solución completa, S0=S0(qj,pj,t),para que sean integrables las 2n ecuaciones de Hamilton.

Efectivamente:

a) Sabemos que si el sistema es conservativo, entonces la acción Ses la integral en el tiempo de la función de Lagrange:

dtHdt

dqpdtLS

t

t

n

j

jj

t

t

.. ∫ ∑∫

−==

=

2

1

2

1 1

Por tanto, la diferencial dS será:

dtHdqpdtHdt

dqpdS

n

jjj

n

j

jj ... −=

−= ∑∑

== 11

Y por otra parte, al ser la acción S función de las coordenadasgeneralizadas y del tiempo, se tiene:

∑= ∂

∂+∂∂=

n

jj

j

dttS

dqqS

dS1

por lo cual, al identificar, tenemos que es:



17

)...,,(,, njHtS

pqS

jj

21=−=∂∂=

∂∂

podemos escribir estas relaciones de la forma:

0=+∂∂=∇

→→

Ht

SpS ,

( ,0=+∂∂

Ht

S Ecuación de Hamilton-Jacobi)

b) Veamos que si existe una función S0=S0(qj,pj,t) que verifica laEcuación de Hamilton-Jacobi, entonces existen las integrales de lasecuaciones de Hamilton, es decir se pueden calcular las integralessiguientes:

∫ ∫∫ ∫ ==∂∂−=−=

∂∂

jjj

jjj

qdqdtpH

pdpdtqH

,

diferenciando la integral S0:

dtHdpp

Sdq

q

Sdt

t

Sdp

p

Sdq

q

SdS

n

jj

j

n

jj

j

n

jj

j

n

jj

j

∑∑∑∑====

−∂∂

+∂∂

=∂

∂+

∂∂

+∂∂

=1

0

1

00

1

0

1

00

Despejando la H:

∑∑∑∑====

−∂∂

+∂∂

=→−∂∂

+∂∂

=n

jj

j

n

jj

j

n

jj

j

n

jj

j

Spp

Sq

q

SHdSdp

p

Sdq

q

SHdt

10

0

1

0

10

0

1

0...

y siendo, por otra parte:

dttH

pdtpH

qdtqH

dHn

jj

j

n

jj

j ∂∂+

∂∂+

∂∂= ∑∑

== 11

..

..

al integrar respecto al tiempo:

dttH

pdtpH

qdtqH

Hn

jj

j

n

jj

j∫∑ ∫∑ ∫ ∂

∂+∂∂+

∂∂=

== 11

..

..

lo que nos permite identificar:

dt

dSdt

tH

p

Sdt

pH

q

Sdt

qH

jjjj

000 −=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂ ∫∫∫ ,,



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04.2. El Teorema de transformación canónica de variables:

La condición necesaria y suficiente para que una transformación devariables de la forma

( ) ( )iiii PQpq ,, →

mantenga la invariancia de las ecuaciones de Hamilton

),...,3,2,1( ni

pH

q

qH

p

ii

ii

=

∂∂=

∂∂−=

&

&

es que exista una función de las coordenadas generalizadas y deltiempo, ),,( 1 tQqff i= , tal que

),...,3,2,1(

'

ni

tf

HH

Qf

Pi

qf

pi

i

i

=

∂∂+=

∂∂−=

∂∂=

siendo H’ función hamiltoniana del sistema con respecto a las nuevascoordenadas.

Este tipo de transformación se dice Transformación canónica devariables.

En efecto:

- Veamos que es necesaria esa condición si se cumplen lasecuaciones de Hamilton en las nuevas coordenadas y ímpetusgeneralizados:

Sea L’ y H’ las funciones de lagrange y Hamilton respecto de lasnuevas coordenadas. Se cumple, como ya sabemos, que, para todafunción de las coordenadas y del tiempo f(qi, Qi, t) es:

( )dtHHdQPdqpdf

dfdtHdQPHdtdqpdtdf

LL

n

iii

n

iii

n

iii

n

iii

−+−=→

→+−=−→+=

∑∑

∑∑

==

==

'

''

11

11



19

por otra parte:

dttf

dQQf

dqqf

dfn

ii

i

n

ii

i ∂∂+

∂∂+

∂∂= ∑∑

== 11

por lo que, identificando:

HHtf

PQf

Pqf

ii

ii

−=∂∂−=

∂∂=

∂∂

',,

que es la condición indicada y resulta ser, pues, necesario sucomplimiento.

- Veamos ahora que es suficiente esa condición para que se deduzcanlas ecuaciones de Hamilton en las nuevas coordenadas e ímpetusgeneralizados:

si se cumplen HHtf

PQf

Pqf

ii

ii

−=∂∂−=

∂∂=

∂∂

',, , se tendrá entonces que:

dtHHdQPdqpdttf

dQQf

dqqf

dfn

iii

n

iii

n

ii

i

n

ii

i

)'(1111

−+−=∂∂+

∂∂+

∂∂= ∑∑∑∑

====

dtdf

LLLLHdt

dQPH

dtdq

pdtdf n

i

ii

n

i

ii +=→−=+−−= ∑∑

==

'''11

Por tanto las funciones L’ y H’ son respectivamente lagrangiana yhamiltoniana del sistema en las nuevas variables, cumpliéndose portanto las ecuaciones de Hamilton:

),...,3,2,1( ni

PH

Q

QH

P

ii

ii

=

∂∂=

∂∂−=

•

•

04.3. El Teorema de los Corchetes de Poisson:

La variación temporal de una función )),(),(( ttptqff ii= , de las

coordenadas e ímpetus generalizados, es expresable en la forma



20

[ ]fHtf

dtdf

,+∂∂=

Donde H es la función hamiltoniana del sistema, y [H, f] es elcorchete de Poisson de las funciones H y f.

En efecto:

[ ]fHtf

dqdH

pf

dpdH

qf

tf

dtdp

pf

dtdq

qf

tf

dtdp

pf

dtdq

qf

tf

dtdf

n

k kkkk

n

k

k

k

k

k

n

k

k

k

n

k

k

k

,1

111

+∂∂=

∂∂−

∂∂+

∂∂=

=

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∑

∑∑∑

=

===

04.4. El teorema del Jacobiano:

El jacobiano de una transformación canónica de variables es siempreigual a la unidad. O sea:

( )( ) 1

;;

=

∂∂∂∂

=∂∂

=

k

i

k

i

ii

ii

P

p

q

Q

pqPQ

D

En efecto:

Sea f una función de las coordenadas generalizadas y del tiempo queverifica la condición de la transformación canónica de variables:

HHtf

PQf

Pqf

ii

ii

−=∂∂−=

∂∂=

∂∂

',,

y construyamos una función de la forma ∑=

+=n

kkk QPf

1

φ . Se tiene, al

diferenciar:

( ) ∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑

====

====

==

++−+−=

=++∂∂+

∂∂+

∂∂=

=++=

n

kkk

n

kkk

n

kkk

n

kkk

n

kkk

n

kkk

n

kk

k

n

kk

k

n

kkk

n

kkk

dPQdQPdtHHdQPdqp

dPQdQPdttf

dQQf

dqqf

dPQdQPdfd

1111

1111

11

'

φ



21

quedando, en definitiva:

( )dtHHdPQdqpdn

kkk

n

kkk −++= ∑∑

==

'11

φ

por otra parte, es:

dtt

dPP

dqq

dn

kk

k

n

kk

k ∂∂+

∂∂+

∂∂= ∑∑

==

φφφφ11

por tanto, al identificar:

HHt

q

Q

qPQ

P

P

p

Pqp

q

i

k

ik

k

k

i

k

ik

k

k

−=∂∂

∂∂=

∂∂∂→=

∂∂

∂∂=

∂∂∂→=

∂∂

'φ

φφ

φφ

2

2

de lo cual:

1=

∂∂∂∂

=→∂∂

=∂∂

i

k

i

k

i

k

i

k

q

Q

P

p

Dq

Q

P

p

04.5. El Teorema de Liouville:

Dado el espacio de las fases del movimiento real de un α-sistema departículas con n grados de libertad, y llamando

nn dpdpdpdqdqdqd ........... 2121=Γ

al elemento diferencial de volumen, se verifica que la integral ∫ Γd es

invariante con respecto a las transformaciones canónicas devariables. O sea:

∫ =Γ consanted

En efecto:

Bastará probar que en una transformación canónica de variables elvolumen expresado en unas variables es el mismo que expresado enlas otras.

En las variables (qi, pi): ∏=

=n

iiidqdpdU

1



22

En las variables (Qi, Pi): ∏=

=n

iii dPdQdW

1

.

Ahora bien, el jacobiano de la transformación es, precisamente elcociente:

dW

dU

dQdP

dqdp

D n

kkk

n

iii

==

∏

∏

=

=

1

1

y, por el teorema anterior para el jacobiano:

∫ ∫ ∏∏==

=→=→=n

iii

n

iii dQdPdqdpdWdUD

11

1

por tanto, se cumple que ∫ =Γ consanted

formulacion hamiltoniana de la mecanica. …casanchi.com/fis/forham.pdf · formulacion hamiltoniana...

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