campos escalares e vetoriais - cálculo 2

AM2/C2

AnaliseMatematica2/ Calculo 2

Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Campos Escalares e Vetoriais

Analise Matematica 2/ Calculo 2

2013/14 - Semestre de Verao

1/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

FuncoesNeste capıtulo trabalhamos com funcoes

~f : Rn −→ Rm (n, m ∈ N, nao simultaneamente iguais a 1)

Se m = n = 1 estas funcoes designam-se por funcoes reais devariavel real e foram estudadas em AM1.

f : R −→ RSe m = 1 estas funcoes designam-se por campos escalares oufuncoes escalares.

f : Rn −→ R (n > 1)

Se m > 1 estas funcoes designam-se por campos vetoriais oufuncoes vetoriais.

~f : Rn −→ Rm (n ≥ 1)

2/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exemplos:

1 f : D ⊂ R3 −→ R tal que f (x , y , z) = x + y + z

2 ~f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que

~f (x , y) =

(x + y , x − y , xy ,

x

y

)3 f : D ⊂ R2 −→ R tal que

f (latitude, longitude) = (altitude)

4 ~f : D ⊂ R2 −→ R3 tal que~f (latitude, longitude) = (altitude, humidade, temperatura)

5 ~f : D ⊂ R2 −→ R2 tal que ~f (latitude, longitude) =vetor que indica a direccao e intensidade do vento

6 ~f : D ⊂ R3 −→ R3 tal que ~f (x , y , z) =vetor que indica a direccao de escoamento de um fluıdo emmovimento

3/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exemplos:


2 ~f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que

~f (x , y) =

(x + y , x − y , xy ,

x

y

)

3 f : D ⊂ R2 −→ R tal quef (latitude, longitude) = (altitude)




3/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exemplos:


2 ~f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que

~f (x , y) =

(x + y , x − y , xy ,

x

y

)3 f : D ⊂ R2 −→ R tal que

f (latitude, longitude) = (altitude)




3/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

4/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

5/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

6/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

7/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

8/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

9/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

10/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

11/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

12/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

13/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Dado o campo vetorial

~f : R2 −→ R4

~f (x , y) =

(xy , x2 − y , x − 3y ,

x√

y

)e composto por 4 funcoes componentes ou funcoescoordenadas que sao:

f1(x , y) = xy

f2(x , y) = x2 − y

f3(x , y) = x − 3y

f4(x , y) =x√

y

Nota: estas funcoes sao campos

escalares.

14/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Dado o campo vetorial

~f : R2 −→ R4

~f (x , y) =

(xy , x2 − y , x − 3y ,

x√

y

)e composto por 4 funcoes componentes ou funcoescoordenadas que sao:

f1(x , y) = xy

f2(x , y) = x2 − y

f3(x , y) = x − 3y

f4(x , y) =x√

y

Nota: estas funcoes sao campos escalares.

14/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exercıcios

Faca um esboco do grafico das seguintes funcoes:

1 f (x , y) = 5

2 f (x , y) = x

3 f (x , y) = x + y

4 f (x , y) = y 2

5 f (x , y) = 2 + cos(x)

6 f (x , y) = x2 + y 2

7 f (x , y) = −√

x2 + y 2 + 3

8 f (x , y) = −√

x2 + y 2 + 3

9 f (x , y) =√

9− x2 − y 2

10 f (x , y) = −√

25− x2

15/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Domınio

Definicao (Domınio de uma funcao)

Dada uma funcao ~f : Rn −→ Rm (n,m ≥ 1) define-se odomınio de ~f por

D~f = {~x ∈ Rn : ∃1~y ∈ IRm, ~f (~x) = ~y}

Exemplo:

~f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que ~f (x , y) =

(x + y , x − y , xy ,

x

y

)tem como domınio

D = {(x , y) ∈ R2 : y 6= 0}

16/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Domınio

Definicao (Domınio de uma funcao)

Dada uma funcao ~f : Rn −→ Rm (n,m ≥ 1) define-se odomınio de ~f por

D~f = {~x ∈ Rn : ∃1~y ∈ IRm, ~f (~x) = ~y}

Exemplo:

~f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que ~f (x , y) =

(x + y , x − y , xy ,

x

y

)tem como domınio D = {(x , y) ∈ R2 : y 6= 0}

16/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

1

a⇒

a ∈ R \ {0}√

a⇒ a ∈ R+0

ln(a)⇒ a ∈ R+

|a| ⇒ a ∈ Ran ⇒ a ∈ R (n ∈ N)

cos(a)⇒ a ∈ Rsin(a)⇒ a ∈ R

tan(a)⇒ a ∈ R \{π

2+ kπ, k ∈ Z

}arccos(a)⇒ a ∈ [−1, 1]

arcsin(a)⇒ a ∈ [−1, 1]

arctan(a)⇒ a ∈ R...

17/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

1

a⇒ a ∈ R \ {0}√

a⇒

a ∈ R+0

ln(a)⇒ a ∈ R+

|a| ⇒ a ∈ Ran ⇒ a ∈ R (n ∈ N)



2+ kπ, k ∈ Z

}arccos(a)⇒ a ∈ [−1, 1]

arcsin(a)⇒ a ∈ [−1, 1]


17/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

1

a⇒ a ∈ R \ {0}√

a⇒ a ∈ R+0

ln(a)⇒

a ∈ R+

|a| ⇒ a ∈ Ran ⇒ a ∈ R (n ∈ N)



2+ kπ, k ∈ Z

}arccos(a)⇒ a ∈ [−1, 1]

arcsin(a)⇒ a ∈ [−1, 1]


17/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

1

a⇒ a ∈ R \ {0}√

a⇒ a ∈ R+0

ln(a)⇒ a ∈ R+

|a| ⇒

a ∈ Ran ⇒ a ∈ R (n ∈ N)



2+ kπ, k ∈ Z

}arccos(a)⇒ a ∈ [−1, 1]

arcsin(a)⇒ a ∈ [−1, 1]


17/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

1

a⇒ a ∈ R \ {0}√

a⇒ a ∈ R+0

ln(a)⇒ a ∈ R+

|a| ⇒ a ∈ Ran ⇒

a ∈ R (n ∈ N)



2+ kπ, k ∈ Z

}arccos(a)⇒ a ∈ [−1, 1]

arcsin(a)⇒ a ∈ [−1, 1]


17/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

1

a⇒ a ∈ R \ {0}√

a⇒ a ∈ R+0

ln(a)⇒ a ∈ R+

|a| ⇒ a ∈ Ran ⇒ a ∈ R (n ∈ N)

cos(a)⇒

a ∈ Rsin(a)⇒ a ∈ R


2+ kπ, k ∈ Z

}arccos(a)⇒ a ∈ [−1, 1]

arcsin(a)⇒ a ∈ [−1, 1]


17/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

1

a⇒ a ∈ R \ {0}√

a⇒ a ∈ R+0

ln(a)⇒ a ∈ R+

|a| ⇒ a ∈ Ran ⇒ a ∈ R (n ∈ N)

cos(a)⇒ a ∈ Rsin(a)⇒

a ∈ R


2+ kπ, k ∈ Z

}arccos(a)⇒ a ∈ [−1, 1]

arcsin(a)⇒ a ∈ [−1, 1]


17/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

1

a⇒ a ∈ R \ {0}√

a⇒ a ∈ R+0

ln(a)⇒ a ∈ R+

|a| ⇒ a ∈ Ran ⇒ a ∈ R (n ∈ N)


tan(a)⇒

a ∈ R \{π

2+ kπ, k ∈ Z

}arccos(a)⇒ a ∈ [−1, 1]

arcsin(a)⇒ a ∈ [−1, 1]


17/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

1

a⇒ a ∈ R \ {0}√

a⇒ a ∈ R+0

ln(a)⇒ a ∈ R+

|a| ⇒ a ∈ Ran ⇒ a ∈ R (n ∈ N)



2+ kπ, k ∈ Z

}arccos(a)⇒

a ∈ [−1, 1]

arcsin(a)⇒ a ∈ [−1, 1]


17/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

1

a⇒ a ∈ R \ {0}√

a⇒ a ∈ R+0

ln(a)⇒ a ∈ R+

|a| ⇒ a ∈ Ran ⇒ a ∈ R (n ∈ N)



2+ kπ, k ∈ Z

}arccos(a)⇒ a ∈ [−1, 1]

arcsin(a)⇒

a ∈ [−1, 1]


17/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

1

a⇒ a ∈ R \ {0}√

a⇒ a ∈ R+0

ln(a)⇒ a ∈ R+

|a| ⇒ a ∈ Ran ⇒ a ∈ R (n ∈ N)



2+ kπ, k ∈ Z

}arccos(a)⇒ a ∈ [−1, 1]

arcsin(a)⇒ a ∈ [−1, 1]

arctan(a)⇒

a ∈ R...

17/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

1

a⇒ a ∈ R \ {0}√

a⇒ a ∈ R+0

ln(a)⇒ a ∈ R+

|a| ⇒ a ∈ Ran ⇒ a ∈ R (n ∈ N)



2+ kπ, k ∈ Z

}arccos(a)⇒ a ∈ [−1, 1]

arcsin(a)⇒ a ∈ [−1, 1]


17/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Determine o domınio das seguintes funcoes e represente-ogeometricamente:

1 ~f (x , y) = (ln(x), ln(y), x − y)

2 f (x , y) = xy

3 f (x , y) = 1√4−x2−y2

4 ~f (x , y) = (√−x2 + 1,

√4− y 2)

5 ~f (x , y , z) = ( −3√x2+y2+z2−9

, zex , y)

6 f (x , y) = arcsin( x2 ) +√

xy

7 f (x , y) = ln( x−y2x )

8 f (x , y) =√

y − 2x2

18/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Linhas e Superfıcies de Nıvel

Definicao

Seja f : R2 −→ R chama-se curva ou linha de nıvel k aoconjunto:

Nk = {(x , y) ∈ R2 : k = f (x , y), (x , y) ∈ Df}, (k ∈ D ′f )

Se f : R3 −→ R chama-se superfıcie de nıvel k aoconjunto:

Nk = {(x , y , z) ∈ R3 : k = f (x , y , z), (x , y , z) ∈ Df} (k ∈ D ′f )

http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/contours/index.html

19/86

http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/contours/index.html

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

20/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

21/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

22/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

23/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

24/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

25/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

26/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

27/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exercıcios

Calcule algumas linhas de nıvel das funcoes que se seguem ateconseguir fazer um esboco do grafico da funcao:

1 f (x , y) = xy

2 f (x , y) = y − cos(x)

3 f (x , y) = e1

x2+y2

4 f (x , y) = ln(x2 + y 2)

5 f (x , y) = |x |+ |y |6 f (x , y) = (x−y)2

x2+y2 (atencao: domınio em k=1)

7 f (x , y , z) =√

x2 + y 2 − z2

(ver figuras)

28/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

29/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

30/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

31/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

32/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

33/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

34/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

35/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

36/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

37/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

38/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

39/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Distancia

Definicao (Distancia)

Dados dois pontos de Rn, P = (x1, ..., xn) e P ′ = (x ′1, ...x′n) a

distancia euclideana entre eles e dada por

d(P,P ′) =√

(x1 − x ′1)2 + (x2 − x ′2)2 + ...+ (xn − x ′n)2

Nota: d(P,P ′) = ||−−→PP ′|| e a norma ou comprimento do vetor

−−→PP ′.

40/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Bola aberta ou Vizinhanca

Definicao (Bola aberta ou Vizinhanca)

Diz-se vizinhanca ε de um ponto ~a ∈ Rn (Bola aberta decentro em a e raio ε) ao conjunto

Bε(~a) = {~x ∈ Rn : d(~x ,~a) < ε}

ouBε(~a) = {~x ∈ Rn : ||~x −~a|| < ε}.

41/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Calcule:B5(3) =

B2(2,−3) =

B3(1, 2, 3) =

42/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Limite

Definicao (Limite de campo escalar definido em R2)

Seja f : Df ⊆ R2 −→ R e (a, b) um ponto de acumulacao dodomınio Df .O limite de f (x , y) quando (x , y) tende para (a, b) e l , eescreve-se

lim(x ,y)→(a,b)

f (x , y) = l

se e so se

∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀(x , y) ∈ Df \ {(a, b)},

(x , y) ∈ Bε(a, b) =⇒ f (x , y) ∈ Bδ(l)

ou seja,√(x − a)2 + (y − b)2 < ε =⇒ |f (x , y)− l | < δ)

43/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

GeometricamenteEste limite implica que,para qualquer ponto (x , y) 6= (a, b) do domınio de f ,no disco de raio ε,o valor de f (x , y) esteja entre os planos de equacao z = l − δ ez = l + δ,ou seja, todos contidos no cilindro de raio ε e altura 2δ.

44/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

45/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

46/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

47/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exemplo:

Vejamos selim

(x ,y)→(0,0)5 + 4

√x2 + y 2 = 5

ou seja, vejamos se

∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀(x , y) ∈ Df \ {(0, 0)},

(x , y) ∈ Bε(0, 0) =⇒ f (x , y) ∈ Bδ(5)

ou seja,√(x − 0)2 + (y − 0)2 < ε =⇒ |f (x , y)− 5| < δ)

Determine ε sendo δ = 10, δ = 110 , δ = 1

100 , δ qualquer...

48/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Revisoes: |ab|

= |a| |b|

∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

|a + b| ≤ |a|+ |b|∣∣∣ab∣∣∣ = |a|b

|a| =√

a2

|a| ≤√

a2 + b2

0 ≤ a2

a2 + b2≤ 1

| sin(a)| ≤ 1

| arctan(a)| ≤ π

2

49/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Revisoes: |ab| = |a| |b|

∣∣∣ab

∣∣∣

=|a||b|

|a + b| ≤ |a|+ |b|∣∣∣ab∣∣∣ = |a|b

|a| =√

a2

|a| ≤√

a2 + b2

0 ≤ a2

a2 + b2≤ 1

| sin(a)| ≤ 1

| arctan(a)| ≤ π

2

49/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade


∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

|a + b|

≤ |a|+ |b|∣∣∣ab∣∣∣ = |a|b

|a| =√

a2

|a| ≤√

a2 + b2

0 ≤ a2

a2 + b2≤ 1

| sin(a)| ≤ 1

| arctan(a)| ≤ π

2

49/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade


∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

|a + b| ≤ |a|+ |b|∣∣∣ab∣∣∣

= |a|b

|a| =√

a2

|a| ≤√

a2 + b2

0 ≤ a2

a2 + b2≤ 1

| sin(a)| ≤ 1

| arctan(a)| ≤ π

2

49/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade


∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

|a + b| ≤ |a|+ |b|∣∣∣ab∣∣∣ = |a|b

|a|

=√

a2

|a| ≤√

a2 + b2

0 ≤ a2

a2 + b2≤ 1

| sin(a)| ≤ 1

| arctan(a)| ≤ π

2

49/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade


∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

|a + b| ≤ |a|+ |b|∣∣∣ab∣∣∣ = |a|b

|a| =√

a2

|a|

≤√

a2 + b2

0 ≤ a2

a2 + b2≤ 1

| sin(a)| ≤ 1

| arctan(a)| ≤ π

2

49/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade


∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

|a + b| ≤ |a|+ |b|∣∣∣ab∣∣∣ = |a|b

|a| =√

a2

|a| ≤√

a2 + b2

0 ≤ a2

a2 + b2≤

1

| sin(a)| ≤ 1

| arctan(a)| ≤ π

2

49/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade


∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

|a + b| ≤ |a|+ |b|∣∣∣ab∣∣∣ = |a|b

|a| =√

a2

|a| ≤√

a2 + b2

0 ≤ a2

a2 + b2≤ 1

| sin(a)| ≤

1

| arctan(a)| ≤ π

2

49/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade


∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

|a + b| ≤ |a|+ |b|∣∣∣ab∣∣∣ = |a|b

|a| =√

a2

|a| ≤√

a2 + b2

0 ≤ a2

a2 + b2≤ 1

| sin(a)| ≤ 1

| arctan(a)| ≤

π

2

49/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade


∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

|a + b| ≤ |a|+ |b|∣∣∣ab∣∣∣ = |a|b

|a| =√

a2

|a| ≤√

a2 + b2

0 ≤ a2

a2 + b2≤ 1

| sin(a)| ≤ 1

| arctan(a)| ≤ π

2 49/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exercıcios: I

Mostre, por definicao de limite, que:

1 lim(x ,y)→(0,0)

f (x , y) = 0 onde f (x , y) = 3√

x2 + y 2 cos(xy)

2 lim(x ,y)→(0,0)

f (x , y) = 0 onde

f (x , y) = 2 sin(x + y)√

x2 + y 2

3 lim(x ,y)→(2,3)

f (x , y) = 7 onde f (x , y) = 2x + y

4 lim(x ,y)→(2,1)

x = 2

5 lim(x ,y)→(0,0)

4xy = 0

50/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exercıcios: II

6 lim(x ,y)→(0,0)

x2y 2

x2 + y 2= 0 (ver fig.)

7 lim(x ,y)→(0,0)

4x3

x2 + y 2= 0

8 lim(x ,y)→(0,0)

1

x2 + y 2= 0 (se possıvel - ver fig.)

9 lim(x ,y)→(0,0)

x4 + 2y 3

x2 + y 2= 0

10 lim(x ,y)→(0,0)

xy sin(y

x) = 0

51/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exercıcios: III

11 lim(x ,y)→(0,0)

(x2 + y 2) arctan(xy) = 0

52/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Limite

Definicao (Limite de campo escalar definido em Rn)

Seja f : Df ⊆ Rn −→ R e ~a um ponto de acumulacao dodomınio Df .O limite de f (~x) quando ~x tende para ~a e l , e escreve-se

lim~x→~a

f (~x) = l

se e so se

∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀~x ∈ Df \ {~a},

~x ∈ Bε(~a) =⇒ f (~x) ∈ Bδ(l)

ou seja,√(x1 − a1)2 + ...(xn − an)2 < ε =⇒ |f (~x)− l | < δ)

53/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Limite

Proposicao (Propriedades dos limites)

Sejam f : Df ⊆ Rn −→ R e g : Dg ⊆ Rn −→ R duas funcoesescalares e ~a um ponto de acumulacao de Df ∩ Dg .Se lim~x→~a f (~x) = l1 e lim~x→~a g(~x) = l2 entao

O limite e unico.

lim~x→~a

(f (~x) + g(~x)) = l1 + l2

lim~x→~a

(f (~x).g(~x)) = l1.l2

lim~x→~a

(f (~x)

g(~x)

)=

l1l2

lim~x→~a

(cf (~x)) = c .l1

54/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Limite relativo

Definicao (Limite relativo a um conjunto)

Seja S um subconjunto de Df , f : Df ⊆ Rn −→ R e ~a umponto de acumulacao do domınio Df . O limite de f (~x)relativo a S quando ~x tende para ~a e l , e escreve-se

lim~x→~a~x∈S

f (~x) = l

se e so se

∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀~x ∈ S \ {~a},

~x ∈ Bε(~a) =⇒ f (~x) ∈ Bδ(l)

No caso em que S ={

(x , y) ∈ R2 : y = mx + b}

a esteslimites chamam-se os limites direccionais.

55/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Proposicao

Se o limite existir entao o limite relativo a qualquer conjuntoexiste e tem o mesmo valor.

Exercıcio:Que pode concluir se encontrar dois limites relativos

diferentes?

iguais?

56/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

ExercıciosUtilize limites relativos para estudar os limites:

1 lim(x ,y)→(0,0)

x2

x2 + y 2(ver fig.)

2 lim(x ,y)→(0,0)

xy

x2 + y 2(ver fig.)

3 lim(x ,y)→(0,0)

x

x2 + y 2(ver fig.)

4 lim(x ,y)→(0,0)

x − y

x + y

5 lim(x ,y)→(0,0)

4xy

x2 + y 2

6 lim(x ,y)→(0,0)xy2

(x+y2)257/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

58/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

59/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

60/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Limites e propriedades

Definicao (Limites iterados ou sucessivos)

Seja f : Df ⊂ R2 −→ R e (a, b) um ponto de acumulacao dodomınio Df , entao os limites

limx→a

(limy→b

f (x , y)

), lim

y→b

(limx→a

f (x , y))

dizem-se limites iterados ou sucessivos.

Nota: o caso geral, de uma funcao definida em Rn, elimx1→a1 (· · · (limxn→an f (x1, · · · , xn))).

Proposicao

Se dois limites iterados forem diferentes (existirem e foremfinitos) entao nao existe limite.

61/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exercıcios

Utilize limites iterados para estudar os limites:

1 lim(x ,y)→(0,0)

x − 2y

x + y

2 lim(x ,y)→(0,0)

4xy

(x2 + y 2)5

62/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exercıcios Globais de Limites I

Estude a existencia dos seguintes limites.

1 lim(x ,y)→(0,0)

x4 + 2y 2

x2 + y 2

2 lim(x ,y)→(0,0)

y 2

x2 + y 2

3 lim(x ,y)→(0,0)

x2y

(x2 + y 2)2

4 lim(x ,y)→(−3,2)

y − 2

x + 3

64/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exercıcios Globais de Limites II

5 lim(x ,y)→(0,0)

xy + 3

1− 2x2

6 lim(x ,y)→(0,0)

xy 2

x2 + y 4

7 lim(x ,y)→(0,0)

x sin

(1

y

)

8 lim(x ,y)→(0,0)

xy

x2 + 3y 2

9 lim(x ,y)→(0,0)

x2y

(x2 + y)2

65/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exercıcios Globais de Limites III

10 lim(x ,y)→(0,0)

x4y

y 3 − x6

11 lim(x ,y)→(0,0)

x2y

(y + x2)2

12 lim(x ,y)→(1,1)

x + y − 2

x − y

13 limite de f nos pontos (0, 0); (1, 1); (1, 0); (0, 1), sendo

f (x , y) =

1− 2y + x se x + y < 1

1 se x + y = 12− x + y se x + y > 1.

66/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exercıcios Globais de Limites IV

14 limite de f nos pontos (1, 1); (−1, 0); (0, 2), sendo

f (x , y) =

x + y se x > 0

2 se x = 0x − y + 2 se x < 0.

15 indique para que pontos da recta y = −x existe limite def , sendo

f (x , y) =

1− 2y + x se x + y < 0

4 se x + y = 06− x + y se x + y > 0.

67/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exercıcios Globais de Limites V

16 limite de f nos pontos (1, 2); (2, 1); (2, 2), sendo

f (x , y) =

{2x − y se y < x

x2 se y ≥ x .

17 lim(x ,y)→(0,0)

g(x , y) e lim(x ,y)→(0,2)

g(x , y) onde

g(x , y) =

e4−x2−y2

se x2 + y 4 ≥ 4e se (x , y) = (0, 0)1

x2+y2 se 0 < x2 + y 2 < 4

68/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exercıcios Globais de Limites VI

18 lim(x ,y)→(0,−4)

f (x , y) onde

f (x , y) =

{x2

x2+(y+4)2 se (x , y) 6= (0,−4)

1 se (x , y) = (0,−4)

69/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Limite

Definicao (Limite de funcoes vetoriais)

Seja

~f : Df ⊆ Rn −→ Rm

~x 7−→ ~y = ~f (~x) = (f1(~x), ..., fm(~x))

e ~a um ponto de acumulacao do domınio O limite de ~f (~x)quando ~x tende para ~a e um vetor de m coordenadas ondecada uma corresponde ao limite da funcao coordenadarespetiva. Assim

lim~x→~a

~f (~x) =

(lim~x→~a

f1(~x), ... lim~x→~a

fm(~x)

)

70/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exercıcios

Calcule:

1 lim(x ,y)→(1,2)

~f (x , y) onde ~f (x , y) = (x2, xy 2)

2 lim(x ,y)→(0,0)

~f (x , y) onde ~f (x , y) =(

ln(4− x2 − y 2), 3xyx2+y2

)

71/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Continuidade

Definicao

Seja f : Df ⊂ Rn −→ R, e ~a um ponto de Df . Diz-se que f econtınua em a se e so

∃ lim~x→~a

f (~x) e lim~x→~a

f (~x) = f (~a)

Definicao

f diz-se contınua num dado conjunto S se f e contınua emtodos os pontos de S .

Nota: Se S = Df diz-se simplesmente que f e contınua.

72/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Propriedades das funcoescontınuas

Proposicao

Sejam f e g duas funcoes escalares com domınio contido emRn e contınuas em ~a. Entao,

f + g , f − g , f .g ef

g(g(~a) 6= 0)

sao contınuas em ~a.

Proposicao

Sejam g : Dg ⊆ Rn −→ R contınua em ~a e f : Df ⊆ R −→ Rcontınua em g(~a). Entao

f ◦ g e contınua em ~a.

73/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exercıcios I

Estude quanto a continuidade:1(ver figuras)

1

f (x , y) =x2 +

√sin(x + y)− ecos(y)

x − 3

2

f (x , y) =

2xy

x2 + y 2se (x , y) 6= (0, 0)

0 se (x , y) = (0, 0)

3

f (x , y) =

xy 2

x2 + y 2se (x , y) 6= (0, 0)

0 se (x , y) = (0, 0)

74/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exercıcios II

4

f (x , y) =

xy(x2 − y 2

)x2 + y 2

se (x , y) 6= (0, 0)

0 se (x , y) = (0, 0)

5

f (x , y) =

2x + 3y

x − yse x 6= y

5 se x = y

6

f (x , y) =

xy + 1

x2 − yse y 6= x2

0 se y = x2

7

f (x , y) =

{ √1− x2 − y 2 se x2 + y 2 ≤ 1

0 se x2 + y 2 > 1

75/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exercıcios III

8

f (x , y) =

{x + y se x 6= y

0 se x = y

9

f (x , y) =

{ xy

x2 − y 2se x2 6= y 2

0 se x2 = y 2

10

f (x , y) =

(x − 1)y 2

(x − 1)2 + y 2se (x , y) 6= (1, 0)

10 se (x , y) = (1, 0)

11

f (x , y) =

{x + y se y ≤ x2

3x − 1 se y > x2

76/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exercıcios IV

12

f (x , y) =

{ey − 2x se y ≤ 2x

ln(y − 2x) se y > 2x

13

f (x , y) =

1− 2y + x se y + x < 0

4 se y + x = 06− x + y se y + x > 0

1Pode confirmar usando http://math.hws.edu/xFunctions/77/86

http://math.hws.edu/xFunctions/

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

78/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

79/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

80/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

81/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

82/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

83/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Prolongamento contınuo

Uma funcao f : Df ⊂ Rn −→ R diz-se prolongavel porcontinuidade ao ponto ~a ( ~a 6∈ Df ),se e so se

~a ∈ D ′f e existe lim(~x)→~a

~f (~x) .

O Prolongamento (contınuo) de f a ~a e

f (~x) =

{f (~x) se ~x ∈ Df

lim~x→~a

~f (~x) se ~x = ~a

Nota: esta funcao e contınua.

84/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Exercıcios I

Determine, se existirem, prolongamentos contınuos de:

1 f (x , y) = e− 1

x2+y2

2 f (x , y) = x2 cos(

1x2+y2

)3 f (x , y) = x2y

x4+y−sin(x)ao ponto (0, 0)

4 f (x , y) = x2

x3+y−tan(x)ao ponto (0, 0)

5 f (x , y) = x3 cos(y)+y3 cos(x)x2+y2 ao ponto (0, 0)

85/86

AM2/C2


Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Vizinhanca

Limites

Continuidade

Continuidade de funcoes vetoriais

Definicao

Uma funcao vetorial e contınua num ponto se e so se todasas suas funcoes coordenadas forem contınuas nesse ponto.

Exercıcios:Estude quanto a continuidade a funcao vetorial~f (x , y) = (f1(x , y), f2(x , y)) onde

f1(x , y) =

x5

x2 + y 2se (x , y) 6= (0, 0)

1 se (x , y) = (0, 0)

ef2(x , y) = cos(x + y)

86/86

campos escalares e vetoriais - cálculo 2

Education