Cálculo Vectorial

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• Identifica un campo Escalar y Vectorial.

• Determina el Gradiente, Divergencia y Rotacional de un campo escalar o vectorial.

• Establece condiciones suficientes y necesarias, para que un campo vectorial sea conservativo.

• Determina la función Potencial.

Habilidades

Son funciones del tipo T = f(x, y) ó T = f(x, y, z) que ya estudiamos (representamos, derivamos e integramos) como casos particulares que son de funciones de dos o tres variables.

Sea E un conjunto de R3 [R2]. Un campo vectorial sobre E es una función F que asigna a cada punto (x, y, z) [(x, y)] de E un vector tridimensional [bidimensional] F(x, y, z) [F(x, y)].

Campo escalar

Campo vectorial

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Campos escalares y vectoriales.

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Campos Vectoriales

Sea D un subconjunto de R2. Un campo vectorial sobre R2 es una función F que asigna, a cada punto (x; y) D, un vector de dos dimensiones F(x; y).

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http://www.youtube.com/watch?v=PQY6ik_lrNs&feature=player_embedded

Ejemplo 1. Considere el campo vectorial F: R2 R2 dado por

2, R :x y xyyx ,, F

(a) Describa gráficamente el campo vectorial F.(b) Efectúe el producto escalar e interprete el resultado.

yxyx ,, F

En R3, el campo vectorial F se puede expresar como zyxRzyxQzyxPzyx ,,;,,;,,,, F

Campos Vectoriales

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Suponga que RR: 2 Df es una función real

de dos variables; el gradiente

),(;),(, yxfyxfyxf yx

es llamado el campo vectorial gradiente de f.

Campo gradiente

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(a) 22 3, yxyxyxf

(b)

Ejemplo 2 Halle le campo vectorial gradiente de cada una de las funciones siguientes:

222,, xyzzxyyzxzyxf

kjizyx

zyx

;;

Operador diferencial vectorial “Nabla”

Si es un campo vectorial sobreR3 y existen las derivadas parciales entonces la divergencia de F, es el campo escalar definido por:

Mediante el operador Nabla:

kjiF RQP

zR

yQ

xP

Fdiv

FF div

,;zRy

yQ

xP

Divergencia de un campo vectorial

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Determine la divergencia del campo vectorial

Ejemplo 3:

kjiF 222),,( xyzzxyyzxzyx

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Si es un campo vectorial sobre R3 y existen las derivadas parciales de P, Q y R, entonces el rotacional de F, es el campo vectorial sobre R3

definido por:

kjiF RQP

kjiF

yP

xQ

xR

zP

zQ

yRrot

Mediante el operador Nabla:

FF rot

RQPzyx

kjiF

Rotacional de un campo vectorial

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Halle el rotacional del campo vectorial kjiF 2),,( yxyzxzzyx

Ejemplo 4:

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Teorema1: Si f es un campo escalar que posee segundas derivadas parciales continuas, entonces:

Teorema 2: Si F es un campo vectorial cuyas componentes poseen segundas derivadas parciales continuas, entonces:

rot( )f 0

div(rot( ) ) 0 F

Relación entre el gradientes, la divergencia y el rotacional.

(b) Sean un campo vectorial y A un subconjunto no vacío de D. Se dice que F, es un campo vectorial conservativo en A, si existe una función real f que cumpla la siguiente propiedad

33: RRD F

),,(),,(:),,( zyxzyxfAzyx F

(a) Sean un campo vectorial y A un subconjunto no vacío de D. Se dice que F es un campo vectorial conservativo en A, si existe una función real f que cumpla la siguiente propiedad

22: RRD F

),(),(:),( yxyxfAyx F

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Función Potencial y campos conservativos.

Si F es el gradiente de f, entonces:1. f es una función potencial de F.2. F es un campo conservativo.

Condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial sea conservativo.

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Teorema: Si F es un campo vectorial cuyas componentes poseen segundas derivadas parciales continuas, entonces una condición necesaria y suficiente para que F sea conservativo es que

rot(F) = 0

La condición anterior, se particulariza para campos en el plano tomando F(x; y; z) = P(x; y)i + Q(x; y)j + 0 k y se obtiene:

Teorema: Si F(x; y) = P(x; y)i + Q(x; y)j es un campo vectorial en el plano, cuyas componentes poseen segundas derivadas parciales continuas, entonces una condición necesaria y suficiente para que F sea conservativo es que

yP

xQ

Condición suficiente y necesaria para que un campo vectorial sea conservativo.

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es una de sus funciones potenciales, entonces se cumple:

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¿Cómo hallar una función potencial de un campo vectorial ?

Si es un campo vectorial y 22: RRD FRRD:f 2

1

)2.......();();()1.......();();(

yxQyxfyxPyxf

y

x

),(;),(),( yxQyxPyx F

Función Potencial y campos conservativos.

Determine, si el campo vectorial

F(x, y) = (2x – 3y)i + (2y – 3x)j es conservativo. Si lo es, halle una función potencial.

Ejemplo 5:

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¿Cómo hallar una función potencial de un campo vectorial dado ?

donde

zyxRzyxQzyxPzyx ,,;),,(;),,(),,( F

)3........();;();;()2.......();;();;()1.......();;();;(

zyxRzyxfzyxQzyxfzyxPzyxf

z

y

x

es una de sus funciones potenciales, entonces se cumple:

Si es un campo vectorial y 22: RRD F

RRDf 21:

Función Potencial y campo conservativo

Determine si el campo vectorial

es conservativo. Si lo es, halle una función potencial.

kjiF )2()2()2(),,( 222222 xyzxyyxxzxyzzxyzzyxyzzyx

Ejemplo 6:

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