REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD PEDAGOGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR

INSTITUTO PEDAGOGICO “RAFAEL ALBERTO ESCOBAR LARA”MARACAY-EDO. ARAGUA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

Cálculo de Varias Variables.Unidad II: Funciones de Varias

Variables

Prof. Yerikson Suárez HuzP.A: 2012-1

Maracay, Mayo de 2012

Definición función real de varias variables reales (campo escalar)Una función f:D⊆Rn →R es una función real de varias variables reales(campo escalar) si asigna a cada n-úpla (x1,x2,….,xn) de Rn un úniconúmero real w denotado por f (x1,x2,….,xn)

Ejemplos. Consideremos los siguientes campos escalares:

1) f:D⊆R2 →R tal que f(x,y) = 2x + y2 = z

2) g:D⊆R3→R tal que g(x,y,z) = Cos (xyz) + 5xy3z2 = w

3) h:D⊆R4→R tal que h(x1,x2,x3,x4) = Ln(x12 + x2

2 + x32 + x4

2) = t

Nombre de la Función

VariablesIndependientes

Variable Dependiente

1 f x, y z2 g x, y, z w3 h x1, x2 ,x3 , x4 t

Para calcular la imagen de una n-úpla real a través de un campo escalar,procedemos de manera similar al caso de funciones reales de variable real.

Ejemplos:

1) Sea f:R4→R tal que f(x,y,z,w) = (x2 + y2 + z2 + w2)1/2 . Entonces f (0,3,0,4)= 5f (0,-1,-1,0)=√2

2) Sea g:R3→R tal que g(x,y,z) = xyLn(z) . Entonces g (1,-2,3)= -2Ln(3)g(1,3,-5)= No existe

3) Sea h:R2→R tal que h(x,y) =2xy2 + 3x2y. Entonces h(2,1)= 16 h(-1,3)=-9

Observación: Al conjunto formado por todas las imágenes del Campo Escalar f se le denomina Rango o Conjunto Imagen de f y se denota por Rng f. (Obviamente el rango de un campo escalar es un Intervalo real o unión de ellos)

Definiremos Dominio de un campo escalar f:D⊆Rn →R alconjunto D formado por todas las n-úplas reales de Rn para lascuales f está bien definida, esto es, f (x1,x2,….,xn) existe, es unnúmero real.

Veamos algunos ejemplos: Hallar el dominio (y representar gráficamente) de los siguientes campos escalares

9),( 22 −+= yxyxfPara que f(x,y) exista, es decir, sea un número real, es necesario que 0922 ≥−+ yx

{ }9/),( 222 ≥+∈= yxRyxDEntonces

Pero el conjunto D está formado por todos los puntos delplano que se encuentran fuera y sobre la circunferencia concentro en el origen y radio 3

{ }9/),( 222 ≥+∈= yxRyxD

xyyxg 1),( = Para que g(x,y) exista, es decir, sea un

número real, es necesario que 0. ≠yx

{ }0./),( 2 ≠∈= yxRyxD

Ahora, el conjunto D en este caso está formado por todos los puntos del plano real excepto los que se encuentran sobre los ejes coordenados (el eje X de la abscisas y el Eje Y de las Ordenadas)

{ }00/),( 2 ≠∧≠∈= yxRyxD

Entonces

O lo que es equivalente a

{ }00/),( 2 ≠∧≠∈= yxRyxD

22

2

)1(),(

−+−

=yx

xyyxh Para que h(x,y) exista, es decir, sea un

número real, es necesario que se cumplanlas siguientes condiciones

≠−+∧≥−= 0)1(0 222 yxxyD

Ahora, el conjunto D en este caso está formado por todos lospuntos del plano sobre (y dentro de) la parábola que abrehacia arriba con vértice en el origen de coordenadas conexcepción del punto (0,1)

Esto es

≠−+∧≥= 0)1( 222 yxxyD

≠−+∧≥= 0)1( 222 yxxyD

Función Dominio Rango

Todo el espacio R3 [0,+∞)

R3 - {(0,0,0)} (0,+∞)

(-∞,+∞)

R2 [-1,1]

[0,+∞)

En el caso donde el dominio de un campo escalar es unsubconjunto de Rn (n≥3), la representación gráfica del dominiose hace más compleja (n=3) o imposible (n>3). Sin embargo esposible describir tanto el dominio como el rango de maneraanalítica

222),,( zyxzyxf ++=

222

1),,(zyx

zyxg++

=

)ln(),,( zxyzyxh = { }0),,( 3zRzyx ∋∈

)(),( xySenyxw =

2),( xyyxm −=2xy ≥

Función Dominio Rango

Todo el espacio R3 [0,+∞)

R3 - {(0,0,0)} (0,+∞)

(-∞,+∞)

R2 [-1,1]

[0,+∞)

222),,( zyxzyxf ++=

222

1),,(zyx

zyxg++

=

)ln(),,( zxyzyxh = { }0),,( 3zRzyx ∋∈

)(),( xySenyxw =

2),( xyyxm −=2xy ≥

Función Dominio Rango

Todo el espacio R3 [0,+∞)

R3 - {(0,0,0)} (0,+∞)

(-∞,+∞)

R2 [-1,1]

[0,+∞)

222),,( zyxzyxf ++=

222

1),,(zyx

zyxg++

=

)ln(),,( zxyzyxh = { }0),,( 3zRzyx ∋∈

)(),( xySenyxw =

2),( xyyxm −=2xy ≥

Álgebra de los Campo Escalares

Considere los campos escalares f:D1⊆Rn →R y g:D2⊆Rn →R.Entonces para todo w en el dominio de D1∩D2

Entonces:

Rkwkfwkf

wgwgwfw

gf

wgwfwgfwgwfwgf

∈=

≠=

=±=±

),())((

0)(,)()()(

)().())(.()()())((

Por ejemplo. Si 222 ),(,( yxyxgyxxf +=∧

Entonces:

Rcyxcwcg

Rkyxkwkf

yxyx

yxwgf

yxyxwgf

yxyxwgf

∈+=

∈=

≠+

=

+=

+±=±

,))((

),())((

)0,0(),(,)(

).())(.(

))((

22

2

22

2

222

222

Representaciones gráficas de campos escalares.

(SUPERFICIES Y CURVAS DE NIVEL)

22 yxz +=

PARABOLOIDE

CURVAS DE NIVELPor la complejidad a la hora de dibujar una superficie en elespacio, una buena aproximación a la “forma” de las mismasviene dada por las curvas de nivel; las cuales representan lascurvas que se obtienen al cortar la superficie por planos paralelosal eje Z.

Así las curvas de nivel vienen dadas por la ecuación f(x,y)=k (k: constante real)

Curvas de nivel Asociadas a la superficie 22 yxz +=Rkyxk ∈+= ,22

Nótese que las curvas de nivel se corresponden con circunferencias concentricas (con centro en el origen) y radio √k

Veamos otro Ejemplo: consideremos el campo escalar 22440),( yxyxf −−=

Superficie dada por 22440 yxz −−=

Veamos a continuación algunas curvas de nivel

Z = 33 Z = k; k real

A qué tipo decurvas secorresponden lascurvas de nivel detal superficie.Describiranalíticamente

Consideremos el campo escalar

Cuya gráfica viene dada por la superficie

Veamos la intersección de la superficie con el plano z=3

CURVAS DE NIVEL DE LA SUPERFICIE

LÍMITES DE FUNCIONESDE VARIAS

VARIABLES REALES

El límite del campo escalar f(x,y) esigual al número real L, si y sólo si amedida que (x,y) se acerca el punto(x0,y0) entonces f(x,y) tiende a L.

Lo cual se escribe LyxfLimyxyx

=→

),(),(),( 00

Veamos algunos ejemplos: Determinar el límite de los siguientescampos escalares

22

2

)1,1(),()(

yxyxLima

yx +→ xyxyLimb

yx +

−

→ 1)(cos)(

1

)1,2/1(),(

22

44

)0,0(),()(

xyxyLimc

yx +−

→ yxxyyxyxLimd

yx +++++

→

22

)0,0(),(

2)(

A continuación veremos como es posiblecomprobar que el límite de un ciertocampo escalar f en un cierto punto (x0,y0)no existePara esto utilizaremos el principio delas múltiples trayectorias.

Para poder aproximarnos aun número real x tenemossólo dos alternativas: Por laizquierda o por la derecha.

Sin embargo paraaproximarnos al punto (a,b)tenemos infinidad dealternativas paraproximarnos al mismo

IMPORTANTE: Si el límite de un campoescalar existe y es igual a L; entonceseste límite es siempre el mismoindependientemente de las trayectoriasseleccionadas para su estudio.

En consecuencia, si a través de trayectoriasdistintas se obtienen límites distintos, el límitede f(x,y) cuando (x,y) tiende a (x0,y0) no existe

Veamos a continuación el siguiente ejemplo:

Demuestre que no existe. Para esto utilice las siguientes

trayectorias: (a) y=0 (b) x=0 (c) y=x (d) y =mx

yxyxLim

yx +−

→ )0,0(),(

y=0 x=0y=x

Otra alternativa es la de los límites iterados:

∧

→→→→),(),(

0000

yxfLimLimyxfLimLimxxyyyyxx

Si tales límites existen pero son diferentesentonces el límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a(x0,y0) no existe

Por ejemplo, Veamos a través de los límites iterados que no existe

22

22

)0,0(),( yxyxLim

yx +−

→

Observación importante: el hecho deque los límites iterados existan y seaniguales no significa que el límite delcampo escalar exista. Basta con ver elsiguiente ejemplo

Veamos que no existe.

Para esto calculemos los límites iterados yutilicemos la trayectoria y=mx

22)0,0(),( yxxyLim

yx +→

Es importante resaltar que las propiedades del álgebra de límites en funciones reales de una variable real también son válidas en el contexto de los campos escalares.

EjerciciosDemuestre que los siguientes límites no existen

22

2

)1,1(),()(

yxyxLima

yx +→ yxxyyxLimb

yx +−−

→ )0,0(),()(

24

2

)1,1(),(

2)(yxyxLimc

yx +→

Sugerencia. Utilice las trayectorias de la forma y=kx2