campo gravitatorio narciso reyes garcíadepartamento de física y química i.e.s. francisco de los...
TRANSCRIPT
CAMPO GRAVITATORIO
Narciso Reyes GarcíaDepartamento de Física y Química
I.E.S. Francisco de los Cobos.
Úbeda (Jaén)
LEYES DE KEPLER
• DISERTACION HISTÓRICA.
Leyes de Kepler
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Enunciada por Isaac Newton en 1687.
Dos partículas materiales se atraen mutuamente con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
221
d
mmGF
2
21110.67,6
kg
mNG
1m
2m
2,1F
1,2F
1,22,1 FF
1,22,1 FF
2,122,1
212,1 u
r
mmGF
2,1F
FORMA VECTORIAL DE LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
2,1r
2,1u 2,1
2,12,1 r
ru
1,221,2
211,2 u
r
mmGF
1,2F
FORMA VECTORIAL DE LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
1,2r
1,2u
1,2
1,21,2 r
ru
¿Cómo calcular el vector unitario?
2,1r
jyyixxr)()( 12122,1
212
2122,12,1 )()( yyxxrr
2,1
2,12,1 r
ru
CONCEPTO DE CAMPO
Campo: Decimos que en una región del espacio existe un campo, cuando a cada punto le podemos asignar el valor de una magnitud.
Campo escalar: Cuando la magnitud característica es un escalar.
Campo vectorial: Cuando la magnitud característica es una magnitud vectorial.
En una región del espacio existe un campo de fuerza cuando al colocar un cuerpo en un punto de esa región, dicho cuerpo queda sometido a una fuerza
CAMPO GRAVITATORIO
Es la perturbación que un cuerpo produce en el espacio que le rodea por el hecho de tener masa.
Cualquier otra masa situada en esta región del espacio, interacciona con el campo y experimenta una fuerza gravitatoria.
Campo gravitatorio
Intensidad del campo gravitatorio
La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza que actúa sobre la unidad de masa colocada en ese punto.
Unidad: N/kg
Intensidad del campo gravitatorio
La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza que actúa sobre la unidad de masa colocada en ese punto.
ur
mMGF
2
Intensidad del campo gravitatorio en el punto P:
Expresión de la intensidad del campo gravitatorio creado por una masa en un punto.
Propiedades del campo gravitatorio
Es radial.
Disminuye con el cuadrado de la distancia.
La intensidad del campo siempre se dirige hacia la partícula que crea el campo.
Es un campo central.
Las fuerzas gravitatorias son siempre atractivas.
FUERZAS CONSERVATIVAS
Una fuerza es conservativa, cuando el trabajo que realiza cuando se traslada el objeto sobre el que actúa, solo depende de los puntos inicial y final y es independiente del camino.
A
BI
II
III
IIIBA
IIBA
IBA WWW ,,,
FUERZAS CONSERVATIVAS
Una fuerza es conservativa, cuando el trabajo que realiza cuando el objeto sobre el que actúa, describe una trayectoria cerrada, es nulo.
A
BI
III
0 rdFW
TRABAJO
F
r
cos dFW
rFW
El trabajo mide la energía transferida entre dos cuerpos entre los que se ejercen fuerzas.
rd
TRABAJO
F
r0
º0cos dFWEl trabajo es máximo si la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección.
rddFW
TRABAJO
F
r
cos dFW El trabajo es negativo si el ángulo es superior a 90º.
rd
Un trabajo negativo indica que la fuerza hace que la energía del objeto disminuya.
TRABAJO
F
r
º180
º180cos dFW El trabajo toma su máximo valor negativo si la fuerza es opuesta al desplazamiento.
rd
Un trabajo negativo indica que la fuerza hace que la energía del objeto disminuya.
dFW
TRABAJO
F
r
º90
º90cos dFW El trabajo es nulo si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares.
rd
Un trabajo nulo indica que la fuerza no modifica la energía del cuerpo sobre el que actúa.
0W
cos dFW
El trabajo realizado por una fuerza es nulo si:
La fuerza es nula, F=0
No ha desplazamiento.
El ángulo que forman las direcciones de la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares. º90
FORMULA GENERAL DEL TRABAJO
Las ecuaciones que hemos visto antes para calcular el trabajo, solo son válidas en caso de fuerzas constantes o desplazamientos rectilíneos.
F
En este caso al ser la trayectoria curva, el ángulo que forman la fuerza y el desplazamiento va cambiando.
A
B
FORMULA GENERAL DEL TRABAJO
F
F
F
0A
B
FORMULA GENERAL DEL TRABAJO
F
F
F
0
En este caso se divide la trayectoria en pequeños trozos.
A B
FORMULA GENERAL DEL TRABAJO
F
F
F
0
Cada trozo se puede considerar recto.
rd
cos drFdW cos, drFWB
A
BA
AB
A
B
TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS
Relaciona el trabajo que realizan las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, con la variación de energía que experimenta dicho cuerpo.
Consideremos un cuerpo que se desplaza entre los puntos A y B, y calculemos el trabajo total que realizan todas las fuerzas o trabajo resultante.
TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS
amFFR B
A
RBA drFW ,dr
dt
dvmdramW
B
A
B
A
BA ,
B
A
B
A
BA dvvmdt
drdvmW ,
B
A
BA
mvW
2
2
,
22
22
,AB
BA
vmvmW
cAcBBA EEW , cBA EW ,
TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS
cAcBRESULTANTEBA EEW )( ,
cRESBA EW )( ,
El trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, es igual a la variación de su energía cinética.
A
B
En cada punto el objeto tendrá cierta energía cinética.
2
2A
cA
vmE
2
2B
cB
vmE
El teorema de las fuerzas vivas establece que la variación de energía cinética que experimenta el cuerpo cuando se desplaza entre dos puntos, es igual al trabajo que realizan todas las fuerzas que han actuado sobre él.
cRESBA EW )( ,
A
BMasa del objeto: 2 kg
Velocidad en A: 2 m/s.Velocidad en B: 5 m/s.
Jsmkgvm
E AcA 4
2
)/2(2
2
22
Jsmkgvm
E BcB 25
2
)/5(2
2
22
JJJEW cRESBA 21425)( ,
º30
NP 30
NN 26rozF
NNFroz 6,2261,0 d
JdPWP 1505,01030º60cos
cos dFW
JdNWN 0º90cos JdFW rozroz 26)1(106,2º180cos
º30
NP 30
NN 26rozF
d
JWP 150
JWN 0
JWroz 26
JJJJWRES 124)26(0150
JWE RESc 124
¿Y si la caja ha sido lanzada hacia arriba?
º30
sube
N
P rozF
º120
JdPWP 150)5,0(1030º120cos JdNWN 0º90cos
JdFW rozroz 26)1(106,2º180cos
d
¿Y si la caja ha sido lanzada hacia arriba?
º30
sube
N
P rozF
º120
JWP 150JWN 0
JWroz 26
d
JJJJWRES 176)26(0150
JWE RESc 176
Simulación trabajo-energía cinética.
Plano inclinado: fuerzas y energía
ENERGÍA POTENCIAL
Cuando realizamos un trabajo sobre un cuerpo, no todo él se convierte en energía cinética.
F
rozF
JWF 300
JWroz 100
JWRES 200
JEC 200
De los 300J de trabajo que yo he hecho, solo 200J se han convertido en energía cinética. ¿Qué ha ocurrido con los 100 restantes?
Se han empleado en vencer la fuerza de rozamiento. Se han convertido en energía térmica.
JWF 300
JWP 100JWRES 200
JEC 200
F
P
De los 300J de trabajo que yo he hecho, solo 200J se han convertido en energía cinética. ¿Qué ha ocurrido con los 100 restantes?
Se han empleado en vencer la fuerza peso. Se han convertido en energía potencial.
La fuerza peso es capaz de devolver el trabajo empleado en vencerla.
La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa.
También son fuerzas conservativas la fuerza elástica y la fuerza eléctrica.
F
P
voconservatiP WE
EXPRESIÓN DE LA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
La energía potencial se define de forma que:
A
Bº180cos
, dPW
BAP
)1()(,
ABP hhgmWBA
)(, BAP hhgmWBA
BAP hgmhgmWBA
,
ABP hgmhgmE
F
P
EXPRESIÓN DE LA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
A
BAB PPP EEE
ABP hgmhgmE
AP hgmEA
BP hgmEB
hgmEP
F
P
voconservatiP WE
EXPRESIÓN DE LA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
¿Porqué la energía potencial se define de la forma?
A
B
cuando la energía potencial aumenta, el trabajo que realiza la fuerza conservativa es negativo.
Cuando la energía potencial disminuye, el trabajo que realiza la fuerza conservativa es positivo.
Porque: 0 PE 0voconservatiW
0 PE 0voconservatiW
Principio de la energía mecánica
Teorema de las fuerzas vivas: cteresul EW tan
Definición de energía potencial:pvoconservati EW
voconservatinovoconservatiteresul WWW tan
voconservatinopc WEE
pcvoconservatino EEW
mvoconservatino EW
mcm EEE Energía mecánica
A
B
Principio de la energía mecánica:comprobación.
JhhgmEW BAppeso 5000)(
JWWW voconservatinovoconservatiteresul 2000tan
JEEE pcm 3000
mvoconservatino EW
NFroz 30
NP 100
md 100
mh 50
JmNdFW rozroz 3000)1(10030)º180cos(
JEc 2000
JhhgmE ABp 5000)( A
B
Principio de conservación de la energía mecánica
pcvoconservatino EEW
mvoconservatino EW
BBAA pcpc EEEE
Si 0 voconservatinoW 0 mE
teconsEm tan
BA mm EE
A
B
Principio conservación de la energía mecánica.
Simulación: plano inclinado y muelle
Simulación: Bucle, plano inclinado y muelle
Simulación: movimiento en una parabola
EXPRESIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
La expresión anterior es una simplificación pues la fuerza gravitatoria no es constante.
B
A
gF externaF
B
A
GBA
cons drFW cos,.
B
A
cons drr
mMGW
BAº180cos
2. ,
B
A
cons drr
mMGW
BA 2. ,
EXPRESIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
B
A
gF externaF
B
A
Gcons drFWBA
cos,.
B
A
cons drr
mMGW
BA 2. ,
B
A
B
A r
mMGdr
r
mMG
2
B
Acons r
mMGW
BA
,
ABcons r
mMG
r
mMGW
BA
,
EXPRESIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
B
A
gF externaF
ABcons r
mMG
r
mMGW
BA
,
BABA PPvoconservati EEW ,
voconservatiP WE
AP r
mMGE
A
BP r
mMGE
B
r
mMGEP
¿Qué representa la energía potencial gravitatoria de una masa?
AP r
mMGE
A
r
Infinito.0
r
mMGEP
PPvoconservati EEW
AA ,
0
ABA Pvoconservati EW ,
La energía potencial gravitatoria de una masa en un punto es el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar la masa desde ese punto hasta el infinito.
¿Cómo varía la energía potencial?
M
La energía potencial es negativa.
A medida que las masas se alejan, la energía potencial aumenta.
r JEP 500
JEP 200r
r
mMGEP
POTENCIAL GRAVITATORIO
r
mMGEP
El potencial gravitatorio en un punto de un campo es la energía potencial gravitatoria que adquiere la unidad de masa colocada en ese punto.
P r
MGV
m
EV P
mrmM
GV
M
El potencial gravitatorio de en un punto es el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar la unidad de masa desde ese punto hasta el infinito.
Diferencia de potencial entre dos puntos
A
B
M
Pvoconservati EW BABA PPvoconservati EEW
,
Como
m
EV P VmEP
BAvoconservati VmVmWBA
,
)(, BAvoconservati VVmWBA
La diferencia de potencial gravitatorio entre dos puntos es el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar la unidad de masa desde el primer punto hasta el segundo.
Diferencia de potencial entre dos puntos
B
A
M
)(, BAvoconservati VVmWBA
El trabajo es positivo cuando:
La masa se desplaza por acción de la fuerza del campo gravitatorio.
La masa m disminuye su energía potencial.
Cuando se acercan las dos masas.
Diferencia de potencial entre dos puntos
A
B
M
)(, BAvoconservati VVmWBA
El trabajo es negativo cuando:
La masa se desplaza por acción de una fuerza exterior al campo gravitatorio.
La masa m aumenta su energía potencial.
Cuando se separan las dos masas.
¿Cómo se calcula el potencial en un punto cuando el campo es creado por varias masa?
1M
3M
2M
1r
2r
3r
1
11 r
MGV
2
22 r
MGV
3
33 r
MGV
321 VVVV
V
Representación del campo gravitatorio
Líneas de campo: Tangentes al vector intensidad del campo gravitatorio en cada punto.
Representación del campo gravitatorio
Superficies equipotenciales: Todos los puntos de una superficie equipotencial tienen el mismo potencial.
F
CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE
Es la perturbación que la Tierra produce en el espacio que la rodea por el hecho de tener masa.
Cualquier objeto situado en esa región se ve sometido a una fuerza proporcional a su masa.
F
r
u
P
INTENSIDAD DELCAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE
La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza que la Tierra ejerce sobre la unidad de masa situada en ese punto.
ur
mMGF T
G
2
m
Fg G
ur
MGg T
2
F
r
u
P
INTENSIDAD DELCAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE
m
Fg G
ur
MGg T
2
F
r
u
P
INTENSIDAD DELCAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE
m
Fg G
ur
MGg T
2
uhR
MGg
T
T 2)(
FP
INTENSIDAD DELCAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE
m
Fg G
2r
MGg T
2)( hR
MGg
T
T
TR
h
FP
PESO DE UN CUERPO
gmp
El peso de un cuerpo es la fuerza con que la Tierra lo atrae
GFp
m
Fg G
Como la intensidad del campo gravitatorio no es constante, tampoco lo es el peso de un cuerpo.
P
Variación de la gravedad con la altura.
m
Fg G
2)( hR
MGg
T
T
TR
h
2T
To
R
MGg
Intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra
2
2
2
2
)(
)(
hR
R
RM
G
hRM
G
g
g
T
T
T
T
T
T
o
P
Variación de la gravedad con la altura.
TR
h
2
2
)( hR
R
g
g
T
T
o
2
2)(
1
T
To
RhRg
g
2
1
1
T
o
Rhg
g
2
1
T
To
RhRg
g
P
Variación de la gravedad con la altura.
TR
h
2
1
1
T
o
Rhg
g
2
1
T
o
Rh
gg
Variación del peso con la altura.
P
TR
h
2
1
T
o
Rh
gg
2
1
T
o
Rh
gmgm
2
1
T
o
Rh
pp
halturaunaapesopTierraladeerficielaenpesopo sup
Energía potencial gravitatoria terrestre
P
TR
h
r
mMGE T
p
La energía potencial gravitatoria en un punto de una masa m en un punto del campo gravitatorio terrestre es el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar la masa desde dicho punto hasta el infinito.
hR
mMGE
T
Tp
Validez de la expresión m.g.h
P
TR
h
r
mMGE T
p
hgmEp
¿Cómo es posible que se pueda calcular la energía potencial con las dos expresiones?
La segunda expresión es una aproximación que supone que la intensidad del campo gravitatorio es constante.
Ambas expresiones indican que la energía potencial aumenta al alejarnos de la Tierra.
Validez de la expresión m.g.h
r
mMGE T
p
hgmEp
Lo importante es que con las dos se puede obtener la misma diferencia de energía potencial para puntos próximos a la superficie de la tierra.
A
B
A
Tp r
mMGE
A
B
Tp r
mMGE
B
Validez de la expresión m.g.h
A
B
A
Tp r
mMGE
A
B
Tp r
mMGE
B
A
T
B
Tpp r
mMG
r
mMGEE
AB
BATp rrmMGE
11
BA
ABTp rr
rrmMGE
.
Validez de la expresión m.g.h
A
B
BA
ABTp rr
rrmMGE
.
Pero:ABAB hhrr
Y si los puntos están próximos a la superficie terrestre:
TAB Rrr 2TAB Rrr
2T
ABTp R
hhmMGE
Validez de la expresión m.g.h
A
B
BA
ABTp rr
rrmMGE
.
Si los puntos están próximos a la superficie terrestre:
2T
ABTp R
hhmMGE
ABT
Tp hh
R
mMGE
2
ABp hhgmE
Validez de la expresión m.g.h
A
B ABp hhgmE
r
mMGE T
p
hgmEp
Es decir: Con las dos expresiones de arriba se obtiene el mismo valor para la diferencia de potencial entre dos puntos próximos a la superficie de la Tierra.
La expresión sólo es válida para punto próximos a la superficie de la Tierra.
hgmEp
Potencial gravitatorio terrestre
P
TR
h
r
mMGE T
p
El potencial gravitatorio en un punto en un punto del campo gravitatorio terrestre es el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar la unidad de masa desde dicho punto hasta el infinito.
r
MGV T
m
EV p
hR
MGV
T
T
Trabajo en el campo gravitatorio
A
B
La fuerza gravitatoria es conservativa por tanto:
piogravitator EW
)(AB ppiogravitator EEW
BA ppiogravitator EEW
)( BAiogravitator VVmW
El trabajo que realiza la fuerza gravitatoria terrestre solo depende de los puntos inicial y final y no del camino recorrido.
MOVIMIENTO DE SATÉLITES
2r
mMGF T
G
amF Segunda ley de la
dinámica
Como el movimiento es circular uniforme
r
va
2
r
vm
r
mMG T
2
2
2vr
MG T
r
MGv T
Velocidad orbital del satélite
GF
r
MGv TVelocidad orbital del satélite
Periodo de revolución (T)
Es el tiempo empleado por el satélite en dar una vuelta completa.
T
rv
2 r
MG
T
r T2
r
MG
T
r T2
224
TMG
rT
324 3
2
2
4TM
Gr T
GF
r
MGv TVelocidad orbital del satélite
TMG
rT
324
Cuanto mayor es la distancia a la que orbita el satélite, menor es su velocidad y mayor su periodo.
Satélite geoestacionario
Es aquel cuyo periodo coincide con el de la tierra.
GF
Satélite geoestacionario
Es aquel cuyo periodo coincide con el de la tierra.
TMG
rT
324
32
2
4TM
Gr T
Los satélites geoestacionarios se encuentran describiendo órbitas de radio 42600 km.
r
MGv T
Energía mecánica.
GF
2
2
1vmEc
r
mMGEP
Como
r
MGmE T
c 2
1
pcm EEE
r
mMG
r
mMGE T
m
2
1
r
mMGE T
m
2
1
Energía mecánica.
GF
r
mMGE T
m
2
1La energía mecánica negativa, indica que el objeto no tiene suficiente energía para escapar de la atracción terrestre.
Velocidad de escape.
Si lanzamos un objeto hacia arriba subirá hasta detenerse, para luego volver a caer.
A
B
T
T
TA r
mMG
R
mMGvm
2
2
1
BB
Tm r
mMGE
B
Si solo ha actuado la fuerza gravitatoria (conservativa), la energía mecánica permanece constante:
BA mm EE
T
TAm R
mMGvmE
A
2
2
1
Expresión que permite conocer hasta donde asciende el objeto si sabemos con que velocidad se lanzó.
Velocidad de escape.
Es la velocidad con que hay que lanzar un objeto hacia arriba para que salga fuera del campo gravitatorio.
A
02
1 2
T
TA R
mMGvm
00
c
Tcm E
r
mMGEE
Si solo ha actuado la fuerza gravitatoria (conservativa), la energía mecánica permanece constante:
mm EE
A
T
TAm R
mMGvmE
A
2
2
1
Velocidad de escape.
Es la velocidad con que hay que lanzar un objeto hacia arriba para que salga fuera del campo gravitatorio.
A
02
1 2
T
TA R
mMGvm
mm EE
A
T
TA R
mMGvm
2
2
1
T
TA R
MGv22
T
TA R
GMv
2
Velocidad de escape: T
Tescape R
GMv
2
Velocidad de escape.
A
J
Jescape R
GMv
2
La velocidad de escape, es un concepto que se puede aplicar a otros planetas, siendo diferente en cada caso su valor.
I.E.S. Francisco de los Cobos. Ubeda (Jaén)
Departamento de Física y Química
Narciso Reyes García.