cálculo de uma poligonal

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Cálculo de uma poligonal

Universidade do AlgarveInstituto Superior de EngenhariaLicenciatura em Engenharia Topográfica

Disciplina de Topografia

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Poligonal

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1. Preenchimento dos quadros de campo

1.1 Cálculo da distância horizontal entre a estação e o ponto

Entre dois pontos com coordenadas conhecidas:

2 22 2P1P0 0 1 0 1P P P PD M P M M P P

em que:

DP1P0 – distância horizontal entre os pontos P1 e P0(m);

MP0 – coordenada M do ponto P0 (m);

PP0 – coordenada P do ponto P0 (m);

MP1 – coordenada M do ponto P1 (m);

PP1 – coordenada P do ponto P1 (m).

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Desconhecendo a coordenada de, pelo menos, um dos pontos:

2D = K × S × sin z

em que:

D – distância horizontal entre a estação e o ponto visado (m);K – constante estadimétrica do equipamento;

S – diferença entre a fs e fi (m);

z – ângulo zenital (grd);

fs – leitura superior dos fios do retículo (m);

fi – leitura inferior dos fios do retículo (m).

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2D = K × S × sin z

Na situação em que o giro é efectuado na posição inversa (IP), o ângulo zenital a utilizar é igual a:

z 400 z IP (grd)

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1.2 Cálculo do desnível entre a estação e o ponto

Entre pontos de coordenadas conhecidas:

P1P0 P0 P1DN = N - N

em que:

DNP1P0 – desnível entre os pontos (m)

NP0 – coordenada N do ponto P0 (m)

NP1 – coordenada N do ponto P1 (m)

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Desconhecendo a coordenada de, pelo menos, um dos pontos:

em que:

DN – desnível entre a estação e o ponto visado (m);

D – distância horizontal entre a estação e o ponto

visado (m);

z – ângulo zenital (grd);

i – altura do aparelho (m);

o – leitura do fio médio do retículo (m).

DN = D × cotg z + i - o

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DN = D × cotg z + i - o

Na situação em que o giro é efectuado na posição inversa

(IP), o ângulo zenital a utilizar é igual a:

z 400 z IP (grd)

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2. Cálculo da distância e desnível médio

2.1 Cálculo da distância média

i j i j j i j i

i j

(DP)P P (IP)P P (DP)P P (IP)P P*P P

D + D D + DD =

4

em que:

D*Pi Pj – distância horizontal média entre os pontos Pi e Pj (m);

D(DP)Pi Pj – distância horizontal entre o ponto Pi e Pj na posição

directa (m);

D(IP)Pi Pj – distância horizontal entre o ponto Pi e Pj na posição

inversa (m);

D(DP)Pj Pi – distância horizontal entre o ponto Pj e Pi na posição

directa (m);

D(IP)Pj Pi – distância horizontal entre o ponto Pj e Pi na posição

inversa (m).

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2. Cálculo da distância e desnível médio

2.2 Cálculo do desnível médio

em que:

DN*Pi Pj – desnível médio entre os pontos Pi e Pj (m);

DN(DP)Pi Pj – desnível entre o ponto Pi e Pj na posição directa

(m);

DN(IP)Pi Pj – desnível entre o ponto Pi e Pj na posição inversa

(m);

DN(DP)Pj Pi – desnível entre o ponto Pj e Pi na posição directa

(m);

DN(IP)Pj Pi – desnível entre o ponto Pj e Pi na posição inversa

(m).

i j i j j i j i

i j

(DP) P P (IP) P P (DP) P P (IP) P P*P P

(DN + DN ) - (DN DN )DN =

4

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3. Leituras azimutais e ângulos azimutais

3.1 Cálculo do erro de fecho angular do giro

Em campo, ao ser efectuado um giro, a leitura azimutal obtida para o mesmo ponto, na primeira e na última visada apresentam, de modo geral, um valor diferente (mas muito próximo). Assim é necessário realizar uma primeira compensação devido ao erro de fecho angular do giro. Sequência dos giros realizados em campo

EstaçãoPonto visado

GiroLeitura azimutal

(H)

DP H1

IP H4

DP H2

IP H5

DP H3

IP H6

E

Pi

Pj

Pi

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3.1 Cálculo do erro de fecho angular do giro

O cálculo do erro de fecho angular do giro, é dado por:

Sequência dos giros realizados em campo

EstaçãoPonto visado

GiroLeitura azimutal

(H)

DP H1

IP H4

DP H2

IP H5

DP H3

IP H6

E

Pi

Pj

Pi

giro 3 1e DP = H fechodogiro - H iníciodogiro = H - H

giro 6 4e IP = H fechodogiro - H iníciodogiro = H - H

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3.2 Primeira compensação das leituras azimutais

A compensação é dada por:

*giroH1 = H1 - 0,0 × e DP

*giroH2 = H2- 0,5 × e DP

*giroH3 = H3 - 1,0 × e DP

*giroH4 = H4 - 0 × e IP

*giroH5 = H5 - 0,5 × e IP

*giroH6 = H6 - 1,0 × e IP

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3.3 Última compensação das leituras azimutais

No trabalho de campo são realizadas as leituras na posição directa e na posição inversa. Como se sabe, a diferença entre essas duas posições é de 200 grados. Assim, a segunda compensação consiste em:

* *

**H1 + H4 ±200grd

H1 =2

* *

**H2 + H5 ±200grd

H2 =2

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3.4 Cálculo dos ângulos azimutais provisórios ()

O ângulo azimutal entre duas direcções é dado pela diferença

entre duas leituras azimutais realizadas em campo, ou seja:

** **à frente atrásα = H - H = H2 - H1

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4. Cálculo do erro de fecho angular

4.1 Cálculo do rumo inicial

Entende-se por rumo de uma direcção, o ângulo azimutal que essa direcção faz com a linha N-S cartográfica, contado a partir do Norte no sentido do movimento dos ponteiros do relógio.

Como o primeiro estacionamento é realizado num ponto de coordenadas conhecidas e é visado um outro ponto de coordenadas conhecidas, é possível calcular o rumo inicial.

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4. Erro de fecho angular


Como o primeiro estacionamento é realizado num ponto de coordenadas conhecidas e é visado um outro ponto de coordenadas conhecidas (ponto de orientação), é assim possível calcular o rumo inicial RP0 P1. Como ambos os pontos

são de coordenada conhecida, o rumo é dado por:

P0 P1

Real P1 P0

P1 P0

M -MΔMR = arctg = arctg

ΔP P -P

em que:

MP0 e PP0 – coordenada M e P do ponto P0 (ponto de orientação)

(m);

MP1 e PP1 – coordenada M e P do ponto P1 (ponto de estação) (m).

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Quando se calcula o rumo através das coordenadas dos pontos, é necessário realizar o estudo do quadrante, visto que os cálculos realizados apenas nos dão valores no primeiro e no quarto quadrante.

Para o estudo do quadrante é necessário saber o sinal de M e

P.

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4.1 Cálculo do rumo inicial – Estudo do quadrante

IR

II

NC

I

III

III

+ R

NC

IV

NC

II

IV

+200grd

- R

R

+200grd

R

IV- R

+400grd

R

IR

NC

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4.2 Cálculo do rumo final

PX PY

Real PY PX

PY PX

M -MΔMR = arctg = arctg

ΔP P -P

Como o último estacionamento é realizado num ponto de coordenadas conhecidas (PX) e é visado um outro ponto de coordenadas conhecidas (ponto de orientação(PY)), é assim possível calcular o rumo final RPX PY. Como ambos os pontos são de coordenada conhecida, o rumo é dado por:

em que:

MPX e PPX – coordenada M e P do ponto PX (ponto de estação);

MPY e PPY – coordenada M e P do ponto PY (ponto de orientação).

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4.3 Cálculo do rumo final transmitido

PX PY P0 P1

Transmitido RealR = R + α - n × 200grd

O rumo final transmitido é dado por:

em que:

– somatório dos ângulos azimutais

(grd);

n – número de estacionamentos

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4.4 Erro de fecho angular ()

Transmitido RealPX PY PX PYε = R - R (grd)

O erro de fecho angular é dado por:

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4.5 Tolerância do erro de fecho angular ()

εT = 4 × n

Para poligonais vulgares, a tolerância é igual a:

em que:

n – número de estacionamentos.

Nota: A unidade da tolerância do erro de fecho angular é em minutos centesimais de grado.

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5. Cálculo dos ângulos azimutais compensados

5.1 Compensação dos ângulos azimutais

ε-

n

A compensação do erro de fecho angular é realizada em

função do número de estacionamento sendo dada por:

A compensação dos ângulos azimutais é igual a:

*1 1

εα = α + -

n

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6. Cálculo dos rumos compensados

6.1 Rumos compensados

Sabendo o primeiro rumo e os ângulos azimutais

compensados, é agora possível calcular todos os rumos.

grdRR

grdRR

grdRR

PXPPXPY

PPPP

alPPPP

200

200

200

*6

*5

*

*2

*21

*32

*1

Re10

*21

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7. Cálculo dos acréscimos de coordenada (M e P)

* *1 P1P2 P1P2

* *1 P1P2 P1P2

ΔM = D × sen R

ΔP = D × cos R

7.1 Cálculo dos acréscimos de coordenada

O acréscimo de coordenada é dado por:

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8. Erro de fecho em M, P e linear

8.1 Cálculo do erro de fecho em M e em P

i f

i f

fM = M - M + ΣΔM

fP = P - P + ΣΔP

em que:

fM - erro de fecho em M (m);fP - erro de fecho em P (m);Mi – coordenada M do ponto de primeiro estacionamento (m);Mf – coordenada M do ponto de último estacionamento (m);Pi – coordenada P do ponto de primeiro estacionamento (m);Pf – coordenada P do ponto de último estacionamento (m);M – somatório dos acréscimos de coordenada em M (m);P – somatório dos acréscimos de coordenada em P (m).

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2 2fL= fM + fP

O erro de fecho linear é dado por:

em que:

fL - erro de fecho linear (m);fM – erro de fecho em M (m);fP – erro de fecho em P (m).

8.2 Cálculo do erro de fecho linear

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8.3 Cálculo da tolerância do erro de fecho linear

Para poligonais vulgares com distanciómetros e mira vertical:

fLT = 0,06 × L

em que:

TfL – tolerância do erro de fecho linear (m);

L – comprimento total da poligonal (m).

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9. Distribuição do erro de fecho em M e P

9.1 Distribuição do erro de fecho em M

Σ ΔM

i

- fM

ΔM ix

em que:

|M|– somatório dos módulos dos acréscimos de coordenada em M (m);fM – erro de fecho em M (m);

Mi – acréscimo de coordenada M do troço i (m);

xi – compensação em M no troço i (m).

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9. Distribuição do erro de fecho em M e P

9.2 Distribuição do erro de fecho em P

Σ ΔP

i

- fP

ΔP iy

em que:

|P| – somatório dos módulos dos acréscimos de coordenada em P (m);fP – erro de fecho em P (m);

Pi – acréscimo de coordenada P do troço i (m);

yi – compensação em P no troço i (m).

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10. Cálculo das coordenadas M e P compensadas

22

*P2

*P3

22*P2

*P3

11P1*P2

11P1*P2

yΔPPP

xΔMMM

yΔPPP

xΔMMM

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11. Cálculo das cotas compensadas

11.1 Cálculo do erro de fecho em N

em que:

fN – erro de fecho em N (m);

Ni – cota real do ponto de primeiro estacionamento (m);

Nf – cota real do ponto de último estacionamento (m);

DNi – somatório dos desníveis médios (m);

n - número de estacionamentos.

n

1iifi DNNNfN

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11.2 Tolerância do erro de fecho em N

em que:

TfN – tolerância do erro de fecho em N (m);

L – comprimento da poligonal (km).

Lm 0,30TfN

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11.3 Distribuição do erro de fecho em N em função da distância horizontal

em que:

fN – erro de fecho em N (m);

dhi – distância horizontal média do troço i (m);

zi – compensação em N no troço i (m);

n - número de estacionamentos.

n

1ii

ii

dh

dhfNz

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11.4 Cálculo das cotas compensadas

em que:

NPi – cota do ponto anterior (m);

N*Pi – cota compensada (m);

DNi – desnível médio no troço i (m);

zi – compensação altimétrica no troço i (m).

2

*P2

*P3

1P1*P2

zDN2NN

zDN1NN

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