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Cahier d’exercices

Mécanique des fluidesIntroduction à l’hydraulique pour les ingénieurs civils

Christophe Ancey

ii

C. Ancey,EPFL, ENAC/IIC/LHE,

Ecublens, CH-1015 Lausanne, Suisse

[email protected], lhe.epfl.ch

Hydraulique à surface libre / C. Ancey

version 2.1 du 10 février 2021, Lausanne

Attribution : pas d’utilisation commerciale, pas de modification, 3.0. LicenceCreative Common 3.0. Ce travail est soumis aux droits d’auteurs. Tous les droits sont réser-vés ; toute copie, partielle ou complète, doit faire l’objet d’une autorisation de l’auteur. Lagestion typographique a été réalisée à l’aide du package efrench de Bernard Gaulle. Tousles clichés sont de Christophe Ancey sauf mention contraire. Remerciements : MathildeMétral.

Crédit des illustrations. Première de couverture : la Reuss à Lucerne. Table desmatières : fresque mycénienne, vers -1300 (musée archéologique, Mycènes). Chapitre 1 :Botticelli, Vénus et les Trois Grâces offrant des présents à une jeune fille, 1483–1485 (muséedu Louvre, Paris). Chapitre 2 : Giorgione, le lever de soleil, vers 1510 (National Gallery,Londres). Chapitre 3 : Nicolas Poussin, le printemps ou le paradis terrestre, 1660–1664(musée du Louvre, Paris). Chapitre 4 : Antoine Watteau, embarquement pour Cythère,1718 (Château Charlottenbourg, Berlin). Chapitre 5 : Edgar Degas, jeunes Spartiates àl’entraînement, 1860 (National Gallery, Londres). Chapitre 6 : Vassily Kandinsky, impro-visations 3, 1909 (Beaubourg, Paris). Bibliographie : François Bocion, port d’Ouchy, 1885(musée Jenisch, Vevey). Index : Willi Baumeister, hommage à Jérôme Bosch, 1953 (Kunst-museum, Stuttgard).

Ce recueil comprend des exercices et des problèmes corrigés. Les exercices sont spé-cifiques au chapitre traité, mais les problèmes peuvent faire appel à des notions vues aucours de chapitres différents. Les problèmes marqués du symbole † dans le titre sontconsidérés comme difficiles.

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/fr/

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/fr/

Table des matières

Table des matières iii

1 Propriétés des fluides 1

2 Analyse dimensionnelle 7

3 Hydrostatique 37

4 Principes de conservation 57

5 Hydraulique 103

6 Équations de Navier-Stokes 167

Bibliographie 195

Bibliographie 195

Index 197

iii

CHAPITRE1Propriétés des fluides

Rappel du cours

Loi de Newton

Tirée d’expériences en cisaillement simple entre deux parois, la loi de Newton énoncela proportionnalité entre contrainte de cisaillement τ et le rapport entre vitesse relative Udes parois et l’entrefer h :

τ = µU

h,

avec µ la viscosité dynamique [Pa·s].

Tension de surface

La force résultant de la tension de surface sur tout élément de longueur ds de l’inter-face orientée par la normale n est

dF = γn× ds

où γ est la tension de surface [N·m−1]. À travers toute interface entre deux fluides, il existeune saute de pression ∆p égale à

∆p = pi − pe = γ

(1

R+

1

R′

),

avec R et R′ les rayons de courbure principaux (R > 0 si la surface est convexe, et R < 0si elle est concave), et où pi et pe désignent les pressions intérieure et extérieure. C’est laloi de Laplace.

Exercice 1 : cisaillement entre deux plaques

On étudie un écoulement de Couette plan : une grande plaque mobile est située entredeux grandes plaques fixes (voir figure 1.1), et deux fluides newtoniens de viscosité µ1 =0,02 Pa·s et µ2 = 0,01 Pa·s occupent les deux espaces entre les plaques. Déterminer les

1

2 Chapitre 1 Propriétés des fluides

contraintes τi (norme et direction) exercées par les fluides sur chacune des parois quand laplaque centrale mobile se déplace à la vitesse u = 4 m/s parallèlement aux autres plaques.On supposera que le profil de vitesse entre les plaques est linéaire et qu’il n’y a pas d’effetde bord.

Figure 1.1 : cisaillement entre deux plaques.

Exercice 2 : viscosimètre de Couette

On étudie un écoulement de Couette cylindrique. Déterminer le coupleM nécessairepour faire tourner un cylindre vertical de rayon Ri = 50 mm à une vitesse constantede ω = 30 rad/s à l’intérieur d’un cylindre de rayon Re = 50,2 mm. L’espace entre lescylindres est rempli d’une huile de viscositéµ = 0,1 Pa·s à 20 C. La longueur des cylindresest h = 200mm. On négligera les effets de bord et supposera que le profil de vitesse entreles deux cylindres est linéaire. De quel pourcentage le couple sur le cylindre intérieur variesi la température de l’huile est augmentée jusqu’à 80 C (µ80 = 0,008 Pa·s) ?

Figure 1.2 : principe du viscosimètre de Couette.

Exercice 3 : rhéologie newtonienne?

Le caractère newtonien ou non newtonien d’un fluide est généralement déterminé demanière expérimentale en étudiant la contrainte de cisaillement τ en fonction du tauxde cisaillement γ. Afin de déterminer la viscosité d’un échantillon de sang, on mesure lacontrainte de cisaillement à différents taux de cisaillement à l’aide d’un viscosimètre. Àpartir des données reportées au tableau 1.1, il faut déterminer si le sang est un liquidenewtonien ou non newtonien.

Chapitre 1 Propriétés des fluides 3

Tableau 1.1 : contrainte de cisaillement τ en fonction du taux de cisaillement γ.

γ [s−1] 2,25 4,50 11,25 22,25 45,0 90,0 225 450τ [Pa] 0,04 0,06 0,12 0,18 0,30 0,52 1,12 2,10

Exercice 4 : insecte sur une surface liquide

Un insecte (qui a donc 6 pattes) de masse m = 10−5 kg marche sur l’eau. Ses pattessont de même longueur et reposent à plat sur la surface libre du liquide. Les pattes sont-elles hydrophobes ou hydrophiles ? Quelle est la longueur minimale ℓm des pattes pourqu’il ne coule pas?

On considérera que la force due à la tension de surface agit verticalement et que lapoussée d’Archimède est négligeable. La tension de surface est γ = 72 mN/m pour del’eau.

Figure 1.3 : insecte à la surface de l’eau.

Exercice 5 : flottaison d’une lame de rasoir

Une lame de rasoir évidée en son centre flotte à la surface de l’eau (de tension de surfaceγ = 72 mN/m). Les caractéristiques de la lame sont les suivantes : périmètre extérieur154 mm, périmètre intérieur 52 mm, et masse 1,3 g. Quel doit être l’angle de contact θpour que la lame flotte? Que se passe-t-il si la lame n’est pas évidée? On négligera lapoussée d’Archimède.

Figure 1.4 : lame de rasoir flottant à la surface de l’eau.

4 Chapitre 1 Propriétés des fluides

Exercice 6 : remontée capillaire

Un tube en verre vertical ouvert à ses deux extrémités est plongé dans un bac d’eau à20 C. Quel doit être le rayon minimal rm du tube afin que l’eau ne monte pas de plus de1,0 mm dans le tube?

On prendra un angle de contact θ = 0 et une tension de surface γ = 72 mN/m.

Figure 1.5 : tube capillaire.

Exercice 7

Un tube en verre de diamètre 3 mm ouvert à ses deux extrémités est plongé dans unbac de mercure liquide à 20 C. Quelle va être la différence de hauteur entre le mercure dutube et celui contenu dans le bac?

L’angle de contact mercure/verre est de 130, la tension de surface γ = 0,485 N/m, etla masse volumique ρ = 13 546 kg/m3.

Chapitre 1 Propriétés des fluides 5

Correction des exercices

Correction de l’exercice 1 τ1 = τ2 = 13,3 Pa.

Correction de l’exercice 2 M = 0,589 M·m et ∆M/M = 92 %.

Correction de l’exercice 3 Le sang est rhéofluidifiant.

Correction de l’exercice 4 Les pattes sont hydrophobes en sorte que la tension desurface s’oppose à l’action de la gravité. ℓm = 0,12 mm.

Correction de l’exercice 5 θ = 149,3. Si la lame n’est pas évidée, elle ne peut pasflotter.

Correction de l’exercice 6 rm = 1,47 cm.

Correction de l’exercice 7 h = −3,12 mm.

CHAPITRE2Analyse dimensionnelle

Rappel du cours

Nombres sans dimension

La mécanique fait un usage intensif des nombres sans dimension. Parmi les plus im-portants en hydraulique, on trouve les nombres de Reynolds et de Froude

Re =ϱUH

µet Fr = U√

gH,

avec ϱ la masse volumique [kg·m−3], µ la viscosité dynamique [Pa·s], U une échelle devitesse [m·s−1], H une échelle de vitesse, et L une dimension caractéristique.

Détermination des nombres sans dimension d’un problème

Il existe plusieurs méthodes plus ou moins rigoureuses, plus ou moins bien adaptées àun problème donné :

– méthode de Rayleigh. Supposons qu’on souhaite exprimer une variable x en fonc-tion de n paramètres yi. On écrit que dimensionnellement on a :

[x] = [y1]a[y2]

b · · · [yn]s,

où a, b, …, s sont des coefficients à déterminer de telle sorte que le produit des unitésdes ai soit cohérent avec l’unité de x.

– théorème de Vaschy-Buckingham. Dans un problème avec k variables et dont lerang de la matrice dimensionelle est r, on peut former n − r nombres sans dimen-sion.

– adimensionnalisation des équations. Quand on dispose d’un jeu d’équations décri-vant la physique du problème, on peut introduire des variables adimensionnelles etdes échelles caractéristiques à la place des variables dimensionnelles. On peut ainsiformer des nombres sans dimension.

Dans tous les cas, on doit déterminer l’unité de chaque variable. Le plus souvent en méca-nique, on se sert d’un système MLT (masse, longueur, temps).

7

8 Chapitre 2 Analyse dimensionnelle

Exercice 1

Soit F une force, P une pression, a une accélération,E une énergie et x une longueur,quelles sont les dimensions dans le système métrique de a, F , P , dF/dx, d3P/dx3,

∫Fdx,

E ?

Exercice 2

Lors d’un examen, des étudiants ont utilisé les formules suivantes :

– a = Ut/l où U est une vitesse, t un temps, l une longueur ;– F = ϱV U/t où F est une force, V un volume, ϱ une masse volumique ;– E = mV gz où g est la constante de gravité, V un volume, z une hauteur etm une

masse.

Identifier celles qui sont fausses à l’aide d’arguments dimensionnels.

Exercice 3

Si p est une pression, V une vitesse et ϱ une masse volumique, quelles sont les dimen-sions de p/ϱ, pϱV et p/(ϱV 2)?

Exercice 4

Retrouver la dimension de la viscosité dynamique µ, puis celle de la viscosité ciné-matique ν = µ/ϱ, où ϱ est la masse volumique du fluide. Soit V une vitesse et l unelongueur, identifier les combinaisons adimensionnelles parmi les suivantes : νlV , lV /ν,νV 2 et V /(νl).

Exercice 5

Déterminer les dimensions des coefficients A et B de l’équation homogène suivante :

d2xdt2 +A

dxdt +Bx = 0 (2.1)

où x est une longueur et t un temps.

Exercice 6 : écoulement de Poiseuille

L’écoulement de Poiseuille est un écoulement laminaire d’un liquide visqueux dansune conduite cylindrique rectiligne (voir figure 2.1). Le débit total à travers une telle conduite

Chapitre 2 Analyse dimensionnelle 9

s’exprime comme :

Q =πR4∆p

8µl(2.2)

où R est le rayon de la conduite, ∆p la chute de pression le long de la conduite, µ laviscosité dynamique du fluide et l la longueur de la conduite. Déterminer la dimension dela constante π/8. Peut-on qualifier cette équation d’homogène?

Figure 2.1 : profil de vitesse d’un écoulement de Poiseuille

Exercice 7 : sténose

La différence de pression∆p à travers une obturation partielle (appelée sténose) d’uneartère peut être estimée par l’équation

∆p = KvµV

D+Ku

(A0

A1− 1

)2

ϱV 2 (2.3)

où V est la vitesse du sang, µ la viscosité du sang, ϱ la masse volumique du sang, Dle diamètre de l’artère, A0 la section de l’artère avant l’obturation et A1 la section de lasténose. Déterminer les dimensions des constantesKv etKu. Cette équation est-elle validedans n’importe quel système d’unités ?

Exercice 8 : déversoir

La formule suivante sert à estimer le débit Q par-dessus un barrage (déversoir pourl’évacuation des crues) :

Q = C√2gB(H + V 2/2g)3/2 (2.4)

où C est une constante, g l’accélération de la gravité, B la largeur du déversoir, H laprofondeur de l’eau au-dessus du déversoir, et V la vitesse de l’eau juste à l’amont dubarrage. Cette équation est-elle valide dans n’importe quel système d’unités ?

Exercice 9

Utiliser le tableau 2.1 pour exprimer les quantités suivantes en unités SI : 10,2 in/min ;4,81 slugs ; 3,02 lb ; 73,1 ft/s2 ; 0,0234 lb · s/ft2.


Tableau 2.1 : tableau de conversion.Unités anglaises Conversion SIin (pouce) 2,540 × 10−2 mslug (unité de masse) 1,459 × 10 kglb (livre-force) 4,448 Nft (pied) 3,048 × 10−1 m

Exercice 10 : sédimentation

On veut calculer une vitesse de sédimentation. On se place dans de l’air de masse vo-lumique ϱf et nous considérons la chute d’une sphère de rayon R = 5 cm et de massevolumique ϱs. Faire le bilan des forces qui s’exercent sur la sphère et calculer la vitessede sédimentation en régime permanent. La force de traînée est donnée par l’équation sui-vante :

FD =1

2CDϱfSv

2, (2.5)

où CD est le coefficient de traînée qui peut être estimé par l’abaque de la figure 2.2 (quimontre CD en fonction du nombre de Reynolds Re), S la surface projetée de la sphère(πR2), et v sa vitesse. On supposera le nombre de Reynolds très grand. Une fois la vitesselimite calculée, vérifier cette dernière hypothèse. Nous utiliserons les données suivantes :ϱf = 1,2 kg·m−3, µf = 2× 10−5 Pa·s et ϱs = 1000 kg·m−3.

Figure 2.2 : variation de CD en fonction du nombre de Reynolds.

Exercice 11 : soufflerie

Un avion de ligne d’envergure L vole à une vitesse de croisière U dans l’air. On sou-haite étudier en soufflerie certaines propriétés de l’avion et pour cela on a recours à l’uti-lisation d’un modèle réduit à l’échelle ε = 1/10. On rappelle les viscosités dynamiques del’air (1,8× 10−5 Pa·s) et de l’eau (1,0× 10−3 Pa·s).

1. Déterminer la vitesse que doit avoir l’écoulement en soufflerie afin de reproduire laréalité. Cette vitesse semble-t-elle réalisable?


2. La force de traînée exercée par l’écoulement sur l’avion s’exprime comme FD =ϱSU2 avecS la surface apparente de l’avion vu d’en face. On supposera queS = L2.Calculer la force de traînée ressentie par le modèle réduit Fm ainsi que la force detraînée ressentie par l’avion F . Évaluer le rapport Fm/F . Ce rapport est-il satisfai-sant ?

3. Au lieu d’une soufflerie à air, on utilise une veine liquide (tunnel à écoulement d’eau).Déterminer la vitesse que doit avoir l’eau afin de reproduire la réalité.

Exercice 12 : explosion nucléaire

Lors de l’explosion d’une bombe nucléaire, une onde de choc de forme hémisphériquese propage dans l’air. On se propose d’estimer l’évolution dans le temps du rayon de cetteonde de choc par une analyse dimensionnelle. Pour ce faire, on va supposer que le rayonR ne dépend que de la quantité d’énergie libérée E au moment de l’explosion, de la massevolumique ϱ du milieu dans lequel a lieu l’explosion et du temps t écoulé depuis l’instantinitial. On va utiliser deux approches différentes pour arriver à cette estimation : une ap-proche « intuitive » entièrement basée sur l’analyse dimensionnelle et une approche baséesur le théorème de Vaschy-Buckingham.

1. On suppose que le rayon de l’onde de choc est proportionnel à l’énergie libérée, àla masse volumique du fluide où se propage l’onde ainsi qu’au temps écoulé; c’est-à-direR ∼ Eaϱbtc. Trouver les valeur des coefficients a, b et c tels que cet équationsoit homogène du point de vue dimensionnel.

2. En utilisant le théorème de Vaschy-Buckingham, déterminer le nombre adimension-nel qui caractérise ce problème. En déduire la relation qui lie le rayon R de l’ondede choc aux autres variables du problème.

3. En se servant des données obtenues par G. I. Taylor (voir tableau 2.2), montrer quela loi d’échelle R ∝ tc est correcte. Peut-on estimer l’énergie relâchée lors de l’ex-plosion de l’essai nucléaire Trinity sachant qu’après 0,062 s le rayon de l’onde dechoc mesure 185 m (voir figure 2.3) ?

4. Taylor a montré qu’au temps t, l’énergie E d’une onde de choc de rayonR généréepar une explosion est donnée

E = KϱR5t2,

avec K = 0,857 pour un gaz diatomique comme l’air. En déduire la valeur dunombre sans dimension associé et l’énergie de l’essai Trinity.

Exercice 13 : déversoir

On étudie un seuil à paroi mince, avec un déversoir de forme triangulaire d’angleϕ, comme le montre la figure 2.4. Ce déversoir contrôle le débit dans un canal ; l’eau estdéversée dans un canal en contrebas, qui n’a aucune action en retour sur l’écoulementamont (seuil dénoyé). La hauteur d’eau au niveau du déversoir estH . Le débitQ transitantest fonction de H , de la vitesse U à l’approche du déversoir (resserrement des lignes decourant dû à la contraction de la section d’écoulement), de l’accélération de la gravitation


Figure 2.3 : essai Trinity dans le cadre du projet Manhattan à t = 0,025 s le 16 juillet 1945au Nouveau-Mexique.

g, et naturellement de l’angle d’ouverture ϕ. À l’aide du théorème Vaschy-Buckingham,identifiez les nombres adimensionnels qui décrivent le problème.

H

φ

Figure 2.4 : déversoir mince.

Exercice 14 : modèle réduit

Un modèle réduit de digue à l’échelle 1/20 est constitué d’un empilement de blocs enbéton de masse 1 kg. Cette digue est censée protéger un port contre la houle. On a observéqu’il n’y avait aucun dommage tant que la hauteur H de la houle ne dépassait pas 30 cmsur le modèle réduit. Quel doit être le poids minimal des blocs en béton pour que la diguerésiste à une houle géométriquement et dynamiquement similaire à celle du modèle réduitsachant que la houle peut atteindre 6 m de haut?

Indications : Supposer que le soulèvement d’un corps exposé aux vagues intervientlorsque Fp/Fa = ε avec Fp le poids du corps, Fa la force d’arrachement due à l’eau et ε


Tableau 2.2 : valeurs de R en fonction de t. D’après (Taylor, 1950).

t (ms) R (m)0,1 11,1

0,24 19,90,38 25,40,52 28,80,66 31,90,8 34,2

0,94 36,31,08 38,91,22 411,36 4281,5 44,4

1,65 461,79 46,91,93 48,73,26 594,61 67,315 106,534 14562 185

une constante indépendante de l’échelle. En première approximation, on considérera queFa est proportionnelle à la surface apparente du corps et au carré de la vitesse de l’eau :Fa ∝ U2L2 avec U la vitesse de l’eau et L la longueur caractéristique du corps. Égaliserensuite les nombres de Froude.

mer

digue

H

Figure 2.5 : Digue de protection contre la houle.

Exercice 15 : diagramme de Moody

Vous êtes chargés d’étudier en laboratoire la chute de pression par unité de longueurdans un tuyau de section circulaire.

1. Identifier les paramètres qui contrôlent cet écoulement. Sans utiliser le théorème deVaschy-Buckingham, quel plan d’expérience envisageriez-vous pour réaliser cetteexpérience?


2. Utilisermaintenant le théorème de Vaschy-Buckinghampour connaître les nombressans dimensions sur lesquelles se construit le phénomène physique. Quel plan d’ex-périence peut-on maintenant envisager?

3. La figure 2.6 montre le diagramme de Moody, qui permet de calculer le coefficientde frottement de Darcy-Weissbach défini par :

f =2d

ρU2

dPdx

en fonction du nombre de ReynoldsRe pour un tube cylindrique de diamètre d. Surla base de ce que vous avez déterminé avec le théorème de Vaschy-Buckingham, ex-pliquer l’intérêt de ce graphique? Existe-t-il un degré de liberté supplémentaire quiaurait été oublié dans l’analyse dimensionnelle ? Indiquer le nombre d’expériencesnécessaires pour décrire le phénomène pour Re ≫ 105 et une rugosité de ϵ

D = 0,03

Exercice 16

On introduit une plaque rectangulaire de largeur w et de hauteur h dans un écoule-ment. Celle-ci est placée perpendiculairement à l’écoulement afin de provoquer une fortetraînée. On suppose que la force de traînée ne dépend que de w, h, la viscosité µ du fluide,sa masse volumique ϱf et sa vitesse v. Déterminer les termes adimensionnelsΠ (coefficientde traînée) nécessaires à l’étude expérimentale de ce problème.


Figure 2.6 : diagramme de Moody montrant comment varie ∆Pl = dP

dx en fonction dunombre de Reynolds.


Problème 1 : vidange du Giétro†

Au printemps 1818, des avalanches de glace issues du glacier du Giétro formèrentun barrage de glace, qui obstrua la vallée de la Drance au niveau de l’actuel barrage deMauvoin (Valais). La rupture du lac glaciaire fut une menace qui plana sur le val de Bagneset Martigny durant plusieurs semaines. La figure 2.7 montre une gravure de l’époque. Lesautorités cantonales dépêchèrent le jeune ingénieur Ignace Venetz pour déterminer si desmesures de protection pouvaient être prises. Venetz proposa de drainer le lac en creusantun tunnel à travers le barrage. Pendant 66 h, le lac se vidangea, perdant le tiers de sonvolume. Malheureusement, le 18 juin, le sol à l’aval du barrage céda sous l’effet de l’érosion,entraînant avec lui le barrage et causant une vidange brutale du lac en une demie heure. Ladébâcle glaciaire dévasta le val de Bagnes, causant lamort d’environ 40 personnes.QuoiqueVenetz ne soit pas parvenu à supprimer la menace, son action a réduit fortement l’ampleurde la débâcle.

Figure 2.7 : gravure à l’eau forte (attribuée àThéophile Steinlen) montrant le lac du Giétroen mai 1818. Source : Médiathèque du Valais.

Dans ce problème, vous devez étudier les premiers instants du drainage. Le lac glaciaireétait alimenté par les eaux de la Drance avec un débit d’environQin = 20m3/s. La surfacedu lac était de S = 800 × 103 m2 et son volume V atteignait 2,5 × 107 m3 au momentoù le drainage commença. Dès que l’eau pénétra dans le tunnel creusé par Venetz, le lacentama sa phase lente de drainage, avec un débit estimé en première approximation avecune formule de type « seuil »

Qout = Cdwd√gd,

avec Cd ≈ 0,6 le coefficient de débit, w = 1 m la largeur du tunnel, et d = h − zs ladifference de cotes entre le niveau d’eau du lac h(t) et la cote du fond du tunnel zs(t).Initialement, on a zs(0) = 60 m. On prend comme origine des temps le moment où le


drainage commence. Les cotes h et zs sont mesurées à partir du fond du lac. L’eau entredans un tunnel de longueur L = 195 m et de pente i = 1 %. La section du tunnel est rec-tangulaire (largeur w = 1m, hauteurD = 5m). La figure montre une coupe schématiquedu barrage à l’instant initial de la vidange.

22 m

195 m

z = 60 m

600 m

70 m

s

barrage de glace

sol

tunnel

Figure 2.8 : schéma de définition d’après une esquisse du pasteur Gilliéron établie justeaprès la catastrophe.

(a) Faire le bilan demasse du lac et montrer que l’évolution de d(t) est décrite par une équationdifférentielle ordinaire du premier ordre.

(b) Adimensionnaliser l’équation en introduisant les échelles de longueur et de temps sui-vantes :

L∗ = w et T∗ =Sw

Qin.

Quel est le nombre adimensionnel Π qui en résulte ? Faire une application numérique. Onmettra l’équation différentielle adimensionnelle sous la forme

dddt

= F (d, Π), (2.6)

avec F la fonction de d et Π à déterminer.(c) Montrer qu’asymptotiquement, pour t grand, l’équation différentielle établie à la question

(a) admet une solution stationnaire où les débits entrant et sortant s’équilibrent. En déduirela cote d∞, solution de l’équation différentielle pour t→ ∞. Faire l’application numérique.

(d) Montrer que pour t petit (t ≪ Π−1), l’équation différentielle (2.6) admet une solution dela forme d = At, avec A une constante à déterminer. Donner la forme dimensionnelle decette solution.

(e) En déduire une estimation du temps (en heures) qu’il faut pour que d(t) atteigne sa valeurasymptotique. Tracer l’allure de la solution.

La débâcle du Giétro a été décrite dans les deux articles de Ancey et al. (2019a) etAncey et al. (2019b).


Problème 2 : dimensionnement d’un cargo

On souhaite concevoir un cargo pour le transport de marchandises en haute mer. Salongueur estL = 100m, sa masse (à charge pleine) estM = 104 t, et sa vitesse de croisièreest U = 10m/s. On souhaite étudier le comportement de ce cargo en bassin, à une échelleréduite k = Lm/L de 1 : 100 ; la longueur du modèle réduit est donc Lm = 1 m. Ons’intéresse plus particulièrement à la puissance P des moteurs nécessaires au déplacementdu cargo à charge pleine. Dans le bassin, contrairement au monde réel, c’est la maquette dunavire qui est maintenue immobile, tandis que des pompes assurent un mouvement d’eauà la vitesse Um autour de la maquette. On mesure la force Fm exercée par l’eau sur cettemaquette. L’eau est un fluide newtonien de masse volumique ϱ et viscosité µ.

Comme pour tout problème de similitude, les techniques de résolution et hypothèsespeuvent mener à des résultats différents. On juge ici le raisonnement, et on admet qu’ilexiste plus d’une réponse à certaines questions ci-dessous, et plus d’une manière d’y ré-pondre. Il convient d’expliciter ses hypothèses (de façon concise).

(a) Quelle est la puissance Pm des efforts exercés par l’eau sur le modèle réduit ? En déduire,quelle devrait être la puissance des pompes du modèle réduit s’il était équipé de pompescomme le modèle en grandeur réelle (au lieu d’être immobilisé et que cela soit l’eau envi-ronnante qui est mise en mouvement).

(b) Quelles sont les variables du problème et combien de nombres adimensionnels indépen-dants peut-on former?

(c) Exprimer sous forme adimensionnelle la relation liant la puissanceP et les autres variablesdu problème? Parmi les groupes adimensionnels, on prendra soin d’introduire le nombrede ReynoldsRe = ϱUL/µ et le nombre de Froude Fr = U/

√gL, et on justifiera ses choix

pour les autres groupes adimensionnels.(d) Selon vous, est-il possible de réaliser une similitude complète entre le cargo et le modèle

réduit ? Si ce n’est pas possible que proposeriez-vous comme critère de similitude? Justifiervotre choix.

(e) Faire une application numérique si la puissance déduite expérimentalement estPm = 1W:que vaut P ?


Problème 3 : étude du vent en soufflerie

On réalise une étude en soufflerie de l’effet du vent sur une cheminée en béton delongueur 20 m et de diamètre 1 m. Le modèle réduit est à l’échelle 1 : 100 et il est constituéd’un tube en aluminium lisse. Dans la soufflerie, l’air est injecté à 45 m/s à une températurede 20 et à une pression de pa = 105 Pa. Un dynamomètre permet de mesurer la forceexercée par l’air sur le cylindre.

(a) En soufflerie, on mesure une force F = 2,2± 0,1 N. Est-ce que cette valeur est cohérenteavec le diagramme CD = f(Red) de la figure 2.9? (Bien justifier sa réponse).

(b) Indiquer la force correspondante pour la cheminée et la plage de vitesse du vent pourlaquelle le coefficient CD est constant pour la cheminée réelle.

(c) Le modèle réduit a été réalisé en métal. Pensez-vous que ce choix soit judicieux?

Données :

– caractéristiques de l’air : voir les valeurs reportées dans le tableau 1 (les interpolersi nécessaire).

– masse volumique béton armé ϱ = 2400 kg·m−3

– masse volumique aluminium ϱ = 2690 kg·m−3

– Expression de la force de traînée F = 12CDSϱu

2 (S surface apparente offerte àl’écoulement)

Tableau 2.3 : caractéristiques de l’air en fonction de T (température en kelvins) à pressionatmosphérique constante (pa = 1 bar), avec ϱ, masse volumique ; µ, viscosité dynamique ;ν, viscosité cinématique. D’après FrankM.White,Heat and Mass transfer, Addison-Wesley,1988.

T ϱ µ νK kg·m−3 Pa·s m2·s−1

250 1,413 1,60×10−5 0,949×10−5

300 1,177 1,85×10−5 1,57×10−5

350 0,998 2,08×10−5 2,08×10−5

400 0,883 2,29×10−5 2,59×10−5

450 0,783 2,48×10−5 2,89×10−5

500 0,705 2,67×10−5 3,69×10−5


Figure 2.9 : valeur du coefficient de traînée CD en fonction du nombre de ReynoldsRe =ϱUd/µ avec d le diamètre de la sphère ou du cylindre pour un obstacle lisse. D’après FrankM. White, Heat and Mass transfer, Addison-Wesley, 1988.


Problème 4 : dimensionnement d’un pipeline

Un pipeline transporte du pétrole de masse volumique ϱ = 800 kg/m3 et de viscositédynamique µ = 6 mPa s. Le débit nominal est Q = 500 l/s. Une station de pompage com-pense exactement les pertes de charge ∆H sur une distance L = 10 km. Le diamètre dutube cylindrique estD = 800mm. Un modèle réduit est fabriqué avec un rapport d’aspectde 1:50. On emploie de l’air comme fluide dans l’essai à échelle réduite. Lamasse volumiquede l’air est 1,2 kg/m3 et sa viscosité dynamique est µ = 2× 10−5 Pa s. L’accélération de lagravité vaut g = 9,8 m/s2. L’écoulement est en charge.

(a) Combien de nombre sans dimension peut-on former?(b) Calculer le nombre de Reynolds à l’échelle 1 (celle du pipeline).(c) Quelle est la vitesse de l’air dans le modèle réduit ?


Problème 5 : cuisson de la dinde†

Une dinde est cuite à point lorsque la température en son centre atteint une valeur Tcdonnée (mesurée avec une sonde). Pour permettre l’estimation du temps de cuisson tc, leslivres de cuisines traditionnels indiquent le nombre de minutes de cuisson par kilogrammede dinde, quand celle-ci est placée dans un four à température Tf constante et uniforme.Par exemple : « pour une dinde de 3 à 4 kg, il faut compter environ 50 mn par kg. »

Figure 2.10 : schéma et notation pour la dinde.

(a) Nous avons une dinde de 6 à 7 kg. Estimer alors le temps de cuisson tc en fonction desdonnées du problème (voir figure 2.10) en considérant que le temps de cuisson est linéaireavec le poids de la dinde.Qu’en pensez vous? On souhaite affiner cette première approche.Une analyse dimensionnelle de la cuisson de la dinde doit nous permettre de déterminerla relation entre le temps de cuisson et la taille L de la volaille. Le transfert de chaleurdans la dinde se fait par conduction donc le temps de cuisson tc dépend notamment dela longueur L, de la diffusivité thermique χ de la chair ainsi que de la température quel’on veut atteindre Tc en comparaison avec la température du four Tf . Pour rappel, voicil’équation de la chaleur qui sert à identifier le lien entre ces différentes grandeurs (il nefaut pas la résoudre) :

∂T

∂t= χ

∂2T

∂x2(2.7)

(b) Utiliser le théorème de Vaschy-Buckingham pour établir une relation générale entre latempérature dans la dinde et le temps passé dans le four ainsi que les autres paramètressans dimension du problème.

(c) En supposant que, quand elles grossissent, les dindes restent géométriquement semblableset gardent les mêmes valeurs de ϱ et de χ, trouver la relation entre masse et temps decuisson dans un four à température Tf .

(d) Application numérique : dans ces conditions, quel est le temps de cuisson d’une dinde de6 à 7 kg? Comparer le temps de cuisson nécessaire avec celui trouvé en 1.

Pour en savoir plus, le problème de la cuisson de la dinde est abordé par Carslaw& Jaeger (1959), et plus récemment par This (1993). Ce dernier révèle les « secrets de lacasserole » et comment la loi de Fick vient au secours du cuisinier.


Problème 6 : stabilité au vent d’une rame de train

Le 3 janvier 2018, le train de la Compagnie du Montreux-Oberland bernois (MOB) adéraillé à La Lenk dans le canton de Berne à cause du vent. Vous êtes l’ingénieur en chargede l’étude de la sécurité sur cette ligne. Dans cette étude, on s’intéresse à la stabilité d’untrain soumis à un vent latéral.

Figure 2.11 : déraillement d’une train du MOB. Source : 20 minutes.

On emploie les variables suivantes :

– force de traînée F exercée par le vent sur la face latérale du train ;– géométrie du train : surface latérale A et hauteur h ;– vitesse du vent u et angle d’incidence par rapport à la direction de la ligne de trainψ ;

– vitesse du train v ;– masse volumique et viscosité dynamique de l’air ϱ et µ.

On traitera le problème de stabilité comme un problème quasi-statique. On supposeraque F et u sont colinéaires. Le profil du vent est uniforme. Il n’y a pas de changement dedirection. On néglige l’action des rails sur le train.

(a) Déterminer à l’aide de la méthode de votre choix (théorème de Vaschy-Buckingham, mé-thode de Rayleigh, etc.) les nombres adimensionnels du problème et comment s’écrit ladépendance entre la force de traînée adimensionnelle F et les autres nombres sans dimen-sion.

(b) En déduire que l’on peut introduire un coefficient de traînée Cd qui permette de relier laforce Fy exercée par le vent sur la face latérale du train en fonction des nombres sansdimension trouvés précédemment.

(c) Pour quelles raisons ce coefficient Cd serait constant et indépendant de tout nombre sansdimension?

https://www.20min.ch/fr/story/un-lecteur-a-filme-le-deraillement-du-mob-449258150204


Figure 2.12 : avancée d’un train soumis à un vent.

(d) On simplifie la géométrie de la rame en considérant que la section d’une rame (voiture etessieu) peut être remplacée par une section rectangulaire de largeurW et hauteur h ; voirfigure 2.13. La masse est uniformément répartie. On néglige la force de frottement et deréaction du sol. Sous l’action d’un vent latéral créant une force Fy , la rame peut pivoterautour du pointO. Faire le bilan des forces. À quelle hauteur par rapport au sol s’appliquela force Fy ? Écrire le moment des forces en O. Pour quelle vitesse |u| (connaissant lavitesse du train et l’angle d’incidence du vent) le train se renverse-t-il sous l’effet d’unvent latéral de vitesse constante?

(e) Faire l’application numérique. Il s’agit d’un modèle très simple.Que feriez-vous pour amé-liorer le calcul de stabilité tout en restant dans le cadre de calculs réalisables à la main?

Figure 2.13 : renversement d’une rame de train. Le rectangle en tireté symbolise la sectionéquivalente sur laquelle on fait le calcul de stabilité.

Données numériques :

– coefficient de traînée Cd = 2,0 ;– longueur L = 42 m;– largeurW = 2,6 m;– hauteur h = 4 m;


– massem = 63 t ;– vitesse du vent : u = 100 km/h ;– vitesse du train : v = 100 km/h ;– angle d’incidence : ψ = 90°.



Correction de l’exercice 1

– [a] : m·kg−2 ;– [F ] : kg·m·s−2 ;– [P ] : kg·m−1·s−2 ;– [dF/dx] : kg·s−2 ;– [d3P/dx3] :kg·m−4·s−2 ;– [∫Tdx] : kg·m2·s−2 ;

– [E] : kg·m2·s−2.


– [Ut/l] = [−] : sans unités, donc faux ;– [ϱV U/t] =MLT−2 : homogène donc juste ;– [mV gz] =ML5T−2 : non homogène donc faux.


– [p/ϱ] = L2T−2 ;– [pϱV ] =M2L−3T−3 ;– [p/(ϱV 2)] = [−].


– [µ] =ML−1T−1 ;– [ν] = L2T−1 ;– [νlV ] = L4T−2 ;– [lV /ν] = [−] ;– [νV 2] = L4T−3 ;– [V /(νl)] = L−2.


– [A] = T−1 ;– [B] = T−2.

Correction de l’exercice 6 L’équation est homogène.

Correction de l’exercice 7 Les constantes Kv et Ku sont adimensionnelles. Ellessont donc valables dans n’importe quel système d’unités.

Correction de l’exercice 8 Afin que l’équation soit homogène, la constante C doitêtre sans unité. L’équation est donc valable dans n’importe quel système d’unités.



– 4,3× 10−3 m/s ;– 70,2 kg ;– 13,4 N;– 22,28 m/s2 ;– 1,12 Ns/m2.

Correction de l’exercice 10 vs ≈ 46,7 m/s.

Correction de l’exercice 11 (1) L’écoulement en soufflerie doit être 10 fois plus ra-pide si la maquette est à l’échelle 1/10. (2) Fm

F = 1. (3) La vitesse dans la veine liquide doitêtre égale à la vitesse de l’avion.

Correction de l’exercice 12 (1) R ∝ E1/5ϱ−1/5t2/5. (2) RE−1/5ϱ1/5t−2/5 = C ⇔R = C × E1/5ϱ−1/5t2/5. (3) On ne peut pas répondre car l’équation fait intervenir leproduit C ×E1/5, et on ne peut donc déterminer que ce produit avec l’information dispo-nible. (4) En comparant l’expression de Taylor et la formulation adimensionnelle, on tireque C = 1,03 ≈ 1 De là on déduit E = ϱR5

t2= 9,45× 1013 J, ce qui correspond à 22,5 ki-

lotonnes (équivalent TNT). La vraie valeur de l’essai Trinity était de 18,6 kilotonnes ; c’estdonc le bon ordre de grandeur.

Correction de l’exercice 13 Φ(Π1,Π2,Π3) = 0, avec Π1 = ϕ, Π2 = QH5/2g1/2

, etΠ3 =

U√gH

= Fr.

Correction de l’exercice 14 mr = mmL2r

L2m

U2r

U2m

= mme3

= mm × 8000 = 8000 kg

Correction de l’exercice 15 (1) Les différentes variables qui contrôlent cet écoule-ment sont la masse volumique ϱ de l’eau exprimée en ML−3, la viscosité dynamique µde l’eau exprimée enML−1T−1, le rayon R de la conduite exprimé en L, la vitesse U del’écoulement exprimé en LT−1 et la chute de pression par unité de longueur dP/dx del’eau exprimée enML−2T−2 dans un système d’unitésMLT . (2) Le théorème de Vaschy-Buckingham nous assure queΦ(Re,Π1) = 0 ou bien encoreΠ1 = f(Re). (3) Le coefficientde frottement de Darcy-Weissbach f est équivalent à Π1 à un facteur 4 près.

Correction de l’exercice 16 Π1 = FDϱw2u2 , Π2 = h

w , Π3 = µϱuw = 1

Re . On peutréécrire Π1 = Re au lieu de Π1 = 1/Re sans perte de généralité.


Correction du problème 1

Question (a)

Pendant un temps dt, la variation incrémentale de volume V du lac est

dV = Sdh = (Qin −Qout)dt,

soit encoreSdhdt = Qin −Qout = Qin − Cdwd

√gd,

et comme h = zs + d, on a aussi dh = dd. L’équation de conservation s’écrit finalement

Sdddt = Qin − Cdwd

√gd. (2.8)

Question (b)

On introduit les échelles de longueur et de temps

L∗ = w et T∗ =Sw

Qin.

et les variables adimensionnelles

d =d

L∗et t = t

T∗.

L’équation (2.8) devientdddt

= Qin − Cd

√gw5d3/2,

soit après simplification

dddt

= 1−Πd3/2 avec Π =Cd

√gw5

Qin. (2.9)

Application numérique : Π = 0,093.

Question (c)

Quand t est grand, on peut supposer que l’équation (2.8) admet une solution asympto-tique correspondant à dd/dt = 0. L’équation (2.8) devient

Cdwd∞√gd∞ = Qin ⇒ d∞ =

(Qin

Cdw√g

)2/3

. (2.10)

Application numérique : d∞ = 4,8 m.


Question (d)

Comme Π est petit, on peut négliger le terme Πd3/2 dans l’équation (2.9)

dddt

= 1,

dont l’intégration est triviale : d = t compte tenu de la condition initiale. (On a doncA = 1.) Donc aux petits temps, la formulation dimensionnelle de cette solution est

d(t) =L∗T∗t =

Qin

St. (2.11)

Question (e)

On peut estimer le temps de convergence tc vers la solution asymptotique en cherchantquand

d(tc) = d∞ ⇒ tc =S

Qin

(Qin

Cdw√g

)2/3

=S

c2/3g1/3Q1/3w2/3

Application numérique : tc = 53 h.

0 50 100 150 200

0

1

2

3

4

5

t (h)

d(m

)

Figure 2.14 : solution numérique de l’équation (2.8) avec report des solutions asympto-tiques (2.11) (pour t≪ tc) et (2.10).


Question (a)

La puissance des efforts est Pm = UmFm. Les moteurs doivent fournir une puissancequi compense exactement la puissance dissipée, donc la puissance des moteurs est Pm.


Question (b)

Il y a en tout n = 7 variables : P , U , ϱ, µ, g, L, et M . On ne compte pas la force Fparmi ces variables car il y aurait redondance avec P . Les unités sont au nombre deK = 3.D’après le théorème de Vashy-Buckingham, on peut dont former n−K = 4 nombres sansdimension indépendants.

Question (c)

Il y a une infinité de possibilités. On cherche une expression adimensionnelle de larelation explicite

P = P (U, ϱ, µ, g, L,M).

On pourrait employer une matrice dimensionnelle comme en cours (exercice du calcul dela force de traînée). On va procéder ici de façon plus empirique (et efficace). Comme onimpose d’employer les nombres de Reynolds et de Froude (Re = ϱUL/µ etFr = U/

√gL),

il ne reste qu’à adimensionnaliser la puissance du cargo et trouver un quatrième nombretraduisant le rôle joué par la masse. Pour ce dernier, c’est simple : on définit le nombreadimensionnel Π de la façon suivante

Π =m

ρL3.

Pour la puissance, il faut réfléchir un peu plus. La puissance des pompes sert à vaincre lesforces de frottement Ff , qui sont de type traînée, donc de la forme Ff ∝ CdϱU

2S avec Sla surface exposée et le Cd le coefficient de traînée. Cela implique que la puissance variecomme P ∝ FfU c’est-à-dire P ∝ ϱU3L2. On en déduit que la relation adimensionnellepeut s’écrire sous la forme

P

ϱU3L2= P (Re, Fr,Π) .

Question (d)

Si on impose une similitude complète, alors on doit avoir

Re = Rem ⇒ Um

U= k−1 = 100,

tandis queFr = Frm ⇒ Um

U= k1/2 = 0,1,

et donc en déduit une incompatibilité. En hydraulique, comme les phénomènes faisantintervenir de la turbulence développée ne dépendent que faiblement de Re, on fonde lasimilitude sur le respect du nombre de Froude.

Question (e)

La similitude partielle impose

Fr = Frm ⇒ Um

U= k1/2 = 0,1 donc Um = 1 m/s


etΠm = Π ⇒ Mm

M= k3 = 0,1 doncMm = 10 kg

donc on déduit

Pm

ϱmU3mL

2m

=P

ϱU3L2⇒ P = k−2

(U

Um

)3

= 0,1 doncMm = 10 MW


Question (a)

On calcule tout d’abord les caractéristiques de l’air à T = 293 K et pa = 105 Pa. Parinterpolation linéaire des valeurs tabulées, on trouve

ϱ = 1,21kg ·m3 et µ = 1,81× 10−5Pa · s.

On en déduit que

Red =45× 0,20× 1,21

1,81× 10−5= 3× 104

Les valeurs tabulées dans la figure 2.9 nous disent que l’on devrait avoirCd = 0,91.Quandon calcule le coefficient de traînée du cylindre en soufflerie, on a

Cd =F

12ϱSu

2=

2,2

0,5× 0,2× 0,01× 1,2× 452= 0,905

avecS = Ld. Il y a donc un écart relatif de (0,905−0,91)/0,91 = 0,5%. On peut considérerque la valeur est cohérente car l’erreur est plus petite que l’incertitude sur la mesure de laforce.

Question (b)

La figure 2.9 nous dit que la valeur Cd = 0,91 est valable pour la plage 104 < Red <105, or comme

Uchem. = Redµ

ϱd,

cela implique que la gamme de validité en termes de vitesse va de 15 cm/s à 1,5 m/s.

Question (c)

La nature du matériau n’importe pas, ce qui compte c’est la rugosité de la surface. Eneffet, le coefficient de traînée dépend de la rugosité à grand nombre de Reynolds. Ici onn’indique pas de rugosité. Un béton lisse se comporte a priori comme de l’aluminium lisseen laboratoire, donc le choix du matériau ne semble pas poser de problème.



Question (a)

Il y a n = 6 variables : ϱ, µ, Q, L,D, et ∆H . Il y a 3 unités physiques. On peut formerla matrice

ϱ µ Q L D ∆H

m -3 1 3 1 1 1kg 1 -1 0 0 0 0s 0 -1 -1 0 0 0

dont le rang est r = 3. On peut former n − r = 3 nombres sans dimension: ∆H/L,L/D, et Re = ϱuD/µ (avec u = 4Q/(πD2) la vitesse débitante).

Question (b)

C’est une simple application numérique : Re = 4ϱQD/(πµD2) = 1,06× 105.

Question (c)

On doit résoudre l’équation

ϱauaDa/µa = 1,06× 105 ⇒ ua =µaϱaDa

1,06× 105 avec Da =D

50.

On trouve ua = 110 m/s.


Question (a)

D’après les livres de cuisine, il faut 50 minutes pour cuire 1 kg de dinde, ce qui pourune dinde de 6 à 7 kg nous donne un temps de cuisson d’à peu près 300 minutes, soit 5 h.

Question (b)

L’équation de la chaleur s’écrit

∂T

∂t= χ

∂2T

∂x2,

ce qui nous permet de définir les unités du coefficient de diffusion thermique comme [χ] =L2T−1. Les variables importantes du problème sont la température de la dinde T expriméeen K , la température du four Tf exprimée en K , la taille ℓ de la dinde exprimée en L, letemps de cuisson tc de la dinde exprimé en T et la masse m de la dinde exprimé en M .Le tout est exprimé dans un système d’unités KMLT ou K est la température. Étant


donné que l’on a six variables pour quatre dimensions, il y a donc 6 − 4 = 2 nombresadimensionnels qui caractérisent ce problème. Ils s’écrivent sous la forme

Πi = T aT bfχ

cℓdtecmf i = 1,2.

On peut donc écrire l’équation dimensionnelle suivante

[−] = [K]a[K]b[L2T−1]c[L]d[T ]e[M ]f ,

[−] =MfL2c+dT e−cKa+b.

De cette équation, on tire le systèm d’équations linéaires suivant

f = 0

2c+ d = 0

e− c = 0

a+ b = 0.

Il y a six variables pour trois équations, on peut donc choisir librement trois paramètresparmi les cinq (a, b, c, d, e et f ). Cependant on voit tout de suite que f = 0 quel que soitle choix des paramètres. On a donc finalement plus que deux options possibles. On choisita et c car le premier paramètre correspond à la température, soit la variable physique quinous intéresse réellement, et le deuxième paramètre correspond à la variable qui contientle plus de dimensions. Dans un premier temps, on fixe c = 0 et a = 1. La résolution dusystème d’équations donne donc b = −1 et f = c = d = e = 0. Le nombre adimensionnelcorrespondant est

Π1 =T

Tf.

Dans un deuxième temps on fixe c = 1 et a = 0. La résolution du système d’équationsdonne donc e = −1, d = −2 et f = b = e = 0. Le nombre adimensionnel correspondantest

Π2 =χ

ℓ2tc.

Question (c)

On suppose que les propriétés physiques de la dinde ne changent pas avec la tempé-rature, ce qui veut dire que χ et ϱ sont constants malgré le changement de température.On va utiliser le nombre Π2 pour estimer la relation entre les temps de cuisson pour deuxdindes de taille différente (ou de masse différente).(

χtcℓ2

)1

=

(χtcℓ2

)2

,

⇒ ℓ1ℓ2

=

(tc1tc2

)1/2

.

Maintenant on peut exprimer le rapport des longueurs des dindes par un rapport desmasses des dindes, en supposant quem = ϱℓ3. On a donc quem1 = ϱℓ31 etm2 = ϱℓ32, cequi nous permet d’écrire la relation entre les masses et les longueurs

ℓ1ℓ2

=

(m1

m2

)1/3

.


En remplaçant cette expression dans l’expression des temps nous obtenons donc

tc2tc1

=

(m2

m1

)2/3

.

Question (d)

En utilisant le temps de cuisson obtenu à la question 1, on peut estimer le temps decuisson pour une dinde de 3 à 4 kg. Ce temps sera notre temps tc1 = 150 min. On peutdonc maintenant estimer le temps de cuisson d’une dinde de 6 à 7 kg sachant le rapportdes masses. On a donc

tc2 = tc1

(m2

m1

)2/3

= 150

(6

3

)2/3

= 238 min.

Le temps de cuisson est donc bien inférieur à notre première approximation.


Question (a)

Comme le train se déplace à vitesse constante, on se place dans un préférentiel galiléenattaché au train. La vitesse relative du vent est w = v − u. On compte dans de problèmep = 7 variables indépendantes exprimées dans r = 3 unités physiques : la vitesse w =|w|, F = |F | [kg m s−2] (comme on connaît sa direction, seule la norme entre dans ledécompte), la surface et hauteur de la rame A [m2] et h [m] (il est inutile de préciser lalongueur puisqu’elle est fixée par A et h), l’angle d’incidence ψ [°], la masse volumique etla viscosité dynamique de l’air ϱ [kg m−3] et µ [kg m−1 s−1]. On peut former 4 nombressans dimension. Le problème est très proche de celui de la sédimentation d’une sphèredans un liquide. En s’inspirant de ce résultat, on peut écrire

F

ϱw2A= f(Re,A/h2,ψ) avec Re = ϱwh

µ.

Question (b)

Toujours par analogie avec la force de traînée d’une sphère, on introduit le coefficientde traînée

Cd(Re,A/h2,ψ) =

F12ϱw

2A

Comme d’habitude on définit le coefficient de traînée par rapport à la surface apparenteA et l’inertie du fluide ϱw2/2.

Question (c)

À grand nombre de Reynolds, le coefficient de traînée devient indépendant du nombrede Reynolds. On peut aussi considérer que A/h2 est un facteur de forme, et que la force


exercée par le vent n’en dépend pas. Au final, on retient une dépendance Cd(ψ). Pour unproblème de vent latéral qui est au cœur du problème, il faut probablement considérer quel’on s’intéresse uniquement à la force dans la direction y et alors

Fy =1

2Cdϱw

2A.

Question (d)

Le profil de vitesse était uniforme, le point d’application de la force est h/2 par rapportau sol. Le moment de force est donc :

MO,F =h

2Fy = Cd

h

4ϱw2A.

Comme la masse est uniformément répartie, le point d’application du poids P est le centrede gravité, et le bras de levier est doncW/2 :

MO,P = −W2P = −W

2mg.

En quasi-statique, l’équilibre des moments nous fournit

Cdh

4ϱw2A =

W

2mg,

La vitesse relative du vent nécessaire à un basculement est donc

w2cr =

2

Cd

W

h

m

ϱAg,

et si on introduit une masse volumique moyenne du train ϱt = m/(WA), on a

wcr =

√2

Cd

W

h

ϱtϱWg,

Question (e)

On trouveWcr = 42,9 m/s soit encore 154 km/h.

Le modèle a des hypothèses qu’on pourrait améliorer :

– considérer un vent avec un profil plus réaliste, p. ex. logarithmique ;– un vent tempétueux souffle en rafale. Il faudrait caractériser ces rafales (intensité,

durée, fréquence) et voir en quoi le calcul est changé. Cela doit amener à se poser laquestion du temps durant lequel la rafale doit souffler pour ébranler l’équilibre dutrain ;

– prendre en compte le roulement du train (bougie et essieu). Le basculement se faitau niveau des roues ;

– déterminer la dépendance Cd(ψ) ;– prendre en compte l’écoulement d’air sous la rame.

CHAPITRE3Hydrostatique

Rappel du cours

Loi de Pascal

Un fluide au repos est soumis à un champ de pression p(z) en son sein qui est décritpar la loi de Pascal ou loi hydrostatique

dpdz = −ϱg,

avec ϱ la masse volumique du fluide. Cette pression crée une force de pression infinitési-male dF sur tout élément de surface dS orienté par sa normale n :

dF = −pndS.

Principe d’Archimède

Le principe d’Archimède s’énonce ainsi : « tout corps immergé dans un fluide au reposest soumis de la part du fluide à une poussée verticale, opposée à la force de gravité, égaleau poids du volume de fluide déplacé et appliquée au centre de masse de ce fluide. » Cetteforce est appelée force (ou poussée) d’Archimède.

Exercice 1 : tube en U

Dans un tube en forme de U, on place un fluide demasse volumique ϱ1 = 1000 kg·m−3.On ajoute ensuite d’un côté du U un fluide non miscible de masse volumique ϱ2 < ϱ1 surune hauteur h2. Que se passe-t-il ? Peut-on déduire la valeur de ϱ2 à partir des mesuresdes hauteurs de fluide?

Exercice 2 : pression d’aspiration

Un vacancier se demande quelle dépression ∆P il doit fournir par aspiration pourque le jus de fruit remonte jusqu’à sa bouche, située à une altitude z (voir figure 3.1). Il se

37

38 Chapitre 3 Hydrostatique

sert d’un verre de rayonR, qui est initialement rempli jusqu’à une hauteur h0. La paille, delongueur totale l et de rayon r, est posée verticalement dans le verre. Une de ses extrémitéstouche le fond du verre. Calculer ∆P = Pb − Patm nécessaire (le volume de jus de fruitest conservé).

PatmPb

h0

z

R

Figure 3.1 : schéma d’une paille.

Exercice 3

On dit que la pression atmosphérique Patm ressentie au niveau du sol est équivalenteau poids de la colonne d’air par mètre carré au-dessus du sol :∫ ∞

0ϱgdz.

1. Est-ce vrai ?2. Même question si on se place sous la coque d’un bateau. Est-ce que la pression au

point le plus bas correspond au poids de la colonne de bateau au-dessus de ce point ?

Figure 3.2 : schéma d’un bateau.

Chapitre 3 Hydrostatique 39

Exercice 4 : pression sur dôme

Le dôme posé au fond du Golfe duMexique pour colmater la fuite d’hydrocarbure peutêtre représenté par un hémisphère de rayon a qui repose à une profondeur h dans un fluidede masse volumique ϱ.

1. Calculer la force de pression hydrostatique exercée sur le dôme. On prendra h =1500 m, a = 10 m, ϱ = 1020 kg/m3.

– Exprimer la pression p(ϕ, θ) sur le dôme dans les coordonnées sphériques.– Exprimer la force de pression verticale Fz(ϕ, θ, dS) exercée sur un petit élé-

ment de surface dS du dôme. NB : dS = a2 sinϕ dϕ dθ.– Intégrer la force de pression verticale sur toute la surface du dôme.

2. Si le dôme de béton pèse 2 tonnes et est fixé sur sa circonférence grâce à des ancragesrésistants à une force de 10 kN/m, quelle est la pression maximale d’hydrocarbureadmissible en son sein?

h a

Figure 3.3 : dôme.

Exercice 5 : iceberg

Un iceberg de masse volumique ϱg = 920 kg/m3 flotte sur l’océan (ϱe = 1020 kg/m3).Quelle fraction de son volume se trouve sous l’eau?

Figure 3.4 : iceberg.


Exercice 6 : barrage-poids

Un barrage triangulaire de base l et de masse volumique ϱs retient un plan d’eau deprofondeur h et de masse volumique ϱ. Quelle est la force de pression (par unité de lon-gueur) exercée sur le barrage? Quelle est la condition de non-renversement?

Indice : pour écrire la condition de non-renversement, déterminer les moments exercéspar chaque force.

L

h

Figure 3.5 : barrage-poids.

Exercice 7 : stabilité d’une digue

Après des inondations ayant touché une grande ville, vous êtes mandaté pour vérifierle dimensionnement de nouvelles digues. Ces nouvelles digues se présentent sous la formed’un barrage-poids en béton, dont la masse volumique est égale à ϱb. Lors d’une crue, l’eaude masse volumique ϱe atteint le sommet de la structure. Pour le calcul de la stabilité de lastructure on admet que la section du barrage est triangulaire (figure 3.6).

Figure 3.6 : barrage-poids en béton.

1. Calculer les deux composantes de la force de pression due à l’eau, appliquée auparement du barrage (considérer les axes x et z indiqués).


2. Quelle devra être la valeur minimale de la masse volumique du béton ϱb pour ga-rantir l’équilibre des moments autour du point O? Admettez qu’une sous-pressionFs s’exerce sur la face horizontale du barrage. Cette dernière varie linéairement lelong de cette face depuis la pression maximale jusqu’à zéro (point O).

3. Quelles sont les faiblesses de ce calcul ? Que devriez-vous inclure en plus?

Données : ϱeau = 1030 kg/m3, h = 30 m , α = 65, β = 45.

Exercice 8

Un bassin contenant de l’eau sur une profondeur de 9 m est fermé par une porte ver-ticale constituée par 3 panneaux plans A, B et C (figure 3.7).

1. Quelle doit être la hauteur hi de chaque panneau i pour que chacun supporte lemême effort total ? Donner les profondeurs z1 et z2.

2. Chaque panneau doit être renforcé au niveau du centre de poussée zc. Calculer laposition de ces renforts.

3. Quelle est la valeur de la force agissant sur chaque panneau?

Figure 3.7 : schéma des 3 panneaux plans.

Exercice 9 : vanne de fond

Une vanne de fond CD de 1,8 m de large et de 2 m de long est disposée selon la figure3.8. On suppose que la vanne est composée d’un matériau homogène et on néglige le frot-tement en C. Déterminer le poids nécessaire de la vanne pour la garder fermée jusqu’à ceque le niveau d’eau atteigne 2 m au dessus de C.

Exercice 10 : vanne radiale

Une vanne radiale maintient un niveau d’eau constant à 10 m au dessus du sommetd’un barrage à Manchester (figure 3.9). Le rayon de la vanne est de 22 m et sa longueur 10


Figure 3.8 : vanne de fond.

m. Le point de pivot A est situé à 10 m du sommet du barrage C. Déterminer la norme dela résultante des forces sur la vanne. La résultante passe-t-elle à travers le pivot ?

Figure 3.9 : vanne semi-circulaire.


Problème 1 : pression sur un cylindre

Un cylindre de masse M , de longueur L et diamètre D = 2R repose sur un fondhorizontal (voir figure 3.10). Il sert à séparer deux fluides : à gauche, le fluide 1 a une massevolumique ϱ1 et une hauteur h1 = D tandis qu’à droite, le fluide 2 a une épaisseur h2 = Ret une masse volumique ϱ2. On ignore la pression atmosphérique.

(a) Calculer la force de pression exercée par le fluide 1 sur le cylindre. Pour cela on écrirala distribution de pression hydrostatique et on l’intégrera sur la surface de contact ducylindre.

(b) Calculer la force de pression exercée par le fluide 2 sur le cylindre.(c) En déduire pour quelles conditions le cylindre ne bouge pas (on ne fera ici qu’un bilan des

forces sans considérer les moments de force).(d) Considérer le volume de contrôleΣ1 dans la couche de fluide 1. Écrire le bilan de forces sta-

tiques sur ce volume et en déduire la force de pression exercée par le fluide 1 sur la surfacegauche du cylindre. Comparer avec le résultat de la première question. Qu’en concluez-vous quant à la méthode de calcul des forces de pression?

h = D

x

z

h

1

Σ1

2

Figure 3.10 : schéma du cylindre.


Problème 2 : pression sur une vanne

Un réservoir contient un volume d’eau (voir figure 3.11). La hauteur est h = 8 m. Laparoi du réservoir est munie d’une vanne de forme semi-circulaire de rayon R = 2 m. Onsouhaite calculer la force de pression exercée par l’eau sur cette vanne afin de concevoirun dispositif de fermeture adapté. On suppose que la pression atmosphérique est pa = 0.

(a) Donner l’expression de la distribution de pression au sein du volume d’eau selon la verti-cale.

(b) Calculer la résultante des forces de pression qui s’exercent sur la vanne.(c) Faire l’application numérique.(d) Calculer la position du point d’application de la résultante des forces et lemoment résultant

des forces de pression par rapport à la charnière supposée être le long du sol.

Formulaire :

•∫cos2 xdx = x/2 + sin(2x)/4 et

∫sin2 xdx = x/2− sin(2x)/4

•∫sinx cosxdx = − cos2 x/2 et

∫sin2 x cos2 xdx = x/8− sin(4x)/32

•∫cos2 x sinxdx = − cos3 x/3 et

∫sinx cos2 xdx = sin3 x/3

R = 2 m

h = 8 m

6 m

vue de côté vue de face

Figure 3.11 : schéma du réservoir.


Problème 3 : pression sur un quart de sphère

Un récipient, dont la forme est celle d’un quart de sphère, est limité par une sectionverticale et une section horizontale, cette dernière étant ouverte à l’air libre. Ce récipiententièrement rempli d’un liquide de masse volumique ϱ.

(a) Déterminer la résultante des forces de pression exercées sur la paroi verticale (OADB)par le liquide et l’air extérieur. Montrer que ces forces sont équivalentes du point de vuede leur résultante et de leur moment résultant, à une force unique passant par un point Pde cette paroi (P est le centre de pression), dont on précisera la position.

(b) Déterminer la résultante des forces de pression exercées sur la paroi en quart de sphère,et montrer de même l’équivalence à une force unique passant par un centre de pressionQsur cette face.

(c) Retrouver la position de P à partir de celle du centre de masse G du liquide, que l’ondéterminera au préalable.

Figure 3.12 : récipient en forme de quart de sphère.



Exercice 1 On appelle h1 la hauteur de fluide 1 comptée à partir du point A situé àl’interface entre les deux fluides

Patm + ϱ2gh2 = Patm + ϱ1gh1,ϱ2 = ϱ1h1h2

= 1000× h1h2

kg/m−3.

Exercice 2∆P = −ϱg

(z − R2h0 − r2l

R2 − r2

)

Exercice 3 (1) oui et (2) non.

Exercice 4 (a)Fhyd = ϱga2π [h− 2a/3]. (b)Fhyd = 4′694′000 kN,Fpoids = 2000 kg×9,81 mathrmm s−2 = 1′962 kN, Fancrages = 10 kN/m × 2πr = 6′283 kN, Fin =Fpoids + Fancrages + Fhyd = 4′694′600 kN. Pour obtenir la pression intérieure maximumacceptable, il faut diviser la force de pression associée Fin par la surface d’application, soitla projection du dôme dans le plan horizontal (la résultante de la force de pression étantorientée verticalement) : Pin = Fin/(πa

2) = 1′494× 107 N m−2.

Exercice 5 On obtient : α = ϱg/ϱe = 90 %.

Exercice 6 La hauteur d’eau maximale dans le barrage est h = l√2ϱs/ϱ pour que ce

dernier ne bascule pas.

Exercice 7 (1)F = ϱegh2

2

(1

cotα

). (2) ϱeg hl2

3 +ϱegh3

6 =(l2 +

l13

)ϱbg

hl12 +2l2

3 ϱbghl22 +(

l2 +2l13

)ϱeg

h2

2 cotα. Avec ϱe = 1000 kg/m3, h = 30m , α = 65° et β = 45°, on obtientalors l1 = h

tanα = 14 m, l2 = htanβ = 30 m, l = l1 + l2 = 44 m, d1 = 29,3 m, d2 = 10,0

m, e1 = 34,67 m, e2 = 20m et e3 = 39,3 m. Ainsi, Fx = 4410 kN/m, Fz = 2056,4 kN/m,Fs = 6468 kN/m, et donc ϱb = 957,7 kg/m3. (3) On a négligé les ancrages.

Correction détaillée de l’exercice 8

(1) z21 =z222 z21 = h2 − z22 . En résolvant ces equations, on obtient z2 = h

√2/3 =

−7,35 m et z1 = z2/√2 = h/

√3 = −5,2 m, ou bien HA = 5,2 m, HB = z2 − z1 = 2,15

m et HC = h− z2 = 1,65 m. (2) Le centre de poussée vérifie

zc =2

3

(z3b − z3a

)(z2b − z2a

) .Cela donne pour A (za = z1 = −5,2 m, zb = 0) zcA = 2

3z1 = −3,46 m. Pour B (za =z2 = −7,35 m, zb = z1 = −5,2 m) zcB = −6,33 m. Pour C (za = h = −9 m, zb = z2 =−7,35 m) zcC = −8,2 m. (3) La force qui agit sur chaque panneau, FA = FB = FC =ϱgz21/2 = 1,35× 105 N/m.



m = 2ϱLsin θ

(hl2 + l2

3 cos θ)= 180 kN. AN:m = 18,4 tonnes. Tout d’abord, il nous faut

définir notre repère d’étude ainsi que nos variables. On considère le repère (x, y, z) définicomme dans la figure 5. De plus, on pose:

– L = 2 m;– h = 2 m;– e = 1,8 m;– θ = arctan(3/4) = 36,87.

L’énoncé demande de calculer le poids de la vanne de telle sorte que celle-ci restefermée sous le poids de l’eau, ce qui signifie

∑MC = 0.

La vanne est soumise à :

– son poids :W =Mg

– la force de pression de l’eau :dFp = −pndS

oùp(z) = ϱwg(h− z) = ϱwg(h− (−r cos θ))

n =

− cos θ0

sin θ

On vérifie bien que p(z = h) = 0.

Note : on considère une force infinitésimale pour la force de pression car celle-ci est répartiesur la surface de la vanne, on ne connaît donc pas son point d’application pour le calcul dumoment. En revanche, le poids est une force ponctuelle appliquée au centre de la vanne.

Calculons maintenant le moment de chacune de ces forces. Pour rappel, le moment secalcule comme:

MC =

∫PCP × dF

ou|MC | = Force× d

avec d : le bras de levier. Ainsi, on a :

– Le moment associé au poids :

M cPy

=W sin θ × L

2=Mg sin θL

2

Seule la composante dans la direction n provoque la rotation en C, c’est-à-dire lacomposanteW sin θ.


– Le moment associé à la force de pression:

MCFp

=

∫r × dFp

=

∫ L

0

r sin θ0r cos θ

× (−ϱwg(h+ r cos θ))

− cos θ0

sin θ

edr

=

∫ L

0−ϱwg(h+ r cos θ)

0−r cos2 θ − r sin2 θ

0

edr

=

∫ L

0ϱwg(h+ r cos θ)

0r0

edr

Ainsi, seule la composante selon Oy intervient :

MCFpy

=

∫ L

0ϱwg(hr + r2 cos θ)edr

= ϱwge(1

2hL2 +

1

3L3 cos θ)

∑MC

y = 0 nous donne donc:

ϱwge

(1

2hL2 +

1

3L3 cos θ

)=Mg sin θL

2

M =ϱwge(

12hL

2 + 13L

3 cos θ)g sin θL2

A. N. :M =1000×10×1,8( 1

22×22+ 1

323 cos (36,79))

10 sin (36,87) 22

= 18,4 t

Figure 3.13 : vanne de fond.


Figure 3.14 : projection du vecteur normal de la vanne.


Comme précédemment, il nous faut définir notre repère de base, ainsi que le systèmede coordonnées. Les coordonnées sphériques semblent être le choix le plus judicieux pource problème (voir figure 3.15). La force de pression s’exprime par:

F =

∫dF

=

∫−pndS

où :p(z) = ϱgR sin θ

n =

(− cos θ− sin θ

)dS = LRdθ

La variable d’intégration étant θ, il faut donc définir convenablement les bornes. Onintègre sur l’intervalle 0 ≤ θ ≤ θmax = arcsin ( hR) :

F p =

∫ θmax

0ϱgR2L

(cos θ sin θsin2 θ

)dθ

=

∫ θmax

0ϱgR2L

( cos θ sin θ1− cos 2θ

2

)dθ

= ϱgR2L

sin2 θ2

θ

2− sin 2θ

4

θmax

0

= ϱgR2L

sin2 θmax2

θmax

2− sin 2θmax

4

=ϱgL

2

((R sin θmax)

2

R2 arcsin hR

−R sin θmaxR cos θmax

)

=ϱgL

2

(h2

R2 arcsin hR

− h√R2 − h2

)

=ϱgL

2

h2

R2

(arcsin h

R− h

R

√1− h2

R2

)


Le résultat peut être exprimé à l’aide de la variable θmax ou par les variables h et R.De plus, comme la vanne est circulaire et que la pression est normale à la surface de lavanne, cette dernière agit sur le rayon de la vanne. La résultante de la force de pressionpasse donc à travers le pivot.

Figure 3.15 : schéma du système de coordonnées.


Question (a)

Tout d’abord, il faut définir le système de coordonnées que nous allons utiliser ; comptetenu la géométrie de la surface, le système de coordonnées sphériques (r, θ, z′) semblejudicieux (le zéro étant pris au centre du cercle). On a introduit la coordonnée telle quez′ = R sin θ.

Figure 3.16 : schéma du système de coordonnées

La force de pression globale s’exprime comme F =∫dF où dF représente la force

de pression infinitésimale (appliquée sur une surface dS) :

dF = −pndS


où :

– p(z′) = ϱ1g(R− z′) = ϱ1gR(1− sin θ) : le champ de pression. On vérifie bien quep(z′ = R) = 0 (on néglige la pression atmosphérique patm) ;

– n = (− cos θ, sin θ) : vecteur normal orienté vers l’extérieur ;– dS = LRdθ : l’élément de surface infinitésimal.

Ainsi, la force de pression totale du fluide 1 sur le cylindre est :

F1 =

∫ π/2

−π/2−ϱ1gR(1− sin θ)

(− cos θsin θ

)RLdθ

= −ϱ1gR2L

∫ π/2

−π/2

(− cos θ + sin θ cos θ

sin θ − sin2 θ

)dθ

= −ϱ1gR2L

∫ π/2

−π/2

(− cos θ− sin2 θ

)dθ−ϱ1gR

∫ π/2

−π/2

(sin θ cos θ

sin θ

)dθ

La deuxième intégrale est nulle car on intègre des fonctions impaires sur un intervallesymétrique [−π/2,π/2]. De plus, on utilise la relation

sin2 θ = 1− cos 2θ2

et on déduit :

F 1 = −ϱ1gR2L

∫ π/2

−π/2

(− cos θ−1−cos 2θ

2

)dθ

= ϱ1gR2L

(2π2

)Note : nous utilisons la système de coordonnée sphérique (r, θ, z′) afin de paramétriser

la surface du cylindre et d’exprimer le vecteur normal dans le repère (x, y, z). Ainsi, lapression et la force de pression F sont aussi exprimées dans le repère (x, y, z).

Question (b)

La procédure de calcul est identique. Cependant, quelques variables doivent être redé-finies :

– la distribution de pression est p(z′) = ϱ2gz′ avec z′ = −R sin θ (de sorte que

z′ > 0) et p(z′ = 0) = 0 ;– n = (cos θ, sin θ) : vecteur normal orienté vers l’extérieur ;– on intègre sur l’intervalle −π/2 ≤ θ ≤ 0.

Ainsi, la force de pression totale du fluide 2 sur le cylindre est :

F2 =

∫ 0

−π/2−ϱ2g(−R sin θ)

(cos θsin θ

)RLdθ,

= ϱ2gR2L

∫ 0

−π/2

(cos θ sin θsin2 θ

)dθ,

= ϱ2gR2L

(−1

2π4

).


Figure 3.17 : schéma du système de coordonnées.

Question (c)

Dans cette partie, on nous demande de vérifier l’équilibre du cylindre, c’est-à-dire que∑Fx=0 et

∑Fz=0. Le cylindre est soumis à :

– son poids propre :Mg = ϱLπR2g où ϱ est la masse volumique du cylindre ;– la réaction du sol R ;– la force de pression du fluide 1 sur le cylindre F 1 ;– la force de pression du fluide 2 sur le cylindre F 2.

Figure 3.18 : schéma du bilan des forces sur le système.

Nous ne connaissons pas la force de réaction R. Ainsi pour qu’il y ait équilibre, ilfaut que les composantes horizontale de F 2 et F 1 se compensent. Pour la direction z, lesforces de pressions tendent à soulever le cylindre, il faut donc que le poids soit supérieurà F 1,z + F 2,z (la différence de forces sera reprise par la force de réaction du sol).

Mathématiquement, cela se traduit par :F2,x = −F2,x

F2,z + F1,x ≤Mg2ϱ1gR

2L = 12ϱ2gR

2L

gR2L(π2ϱ1 +π4ϱ2) ≤ ϱLπR2g

4ϱ1 = ϱ2

ϱ2 + 2ϱ1 ≤ 4ϱ


Question (d)

On considère un volume de contrôle/systèmeΣ1. Ce système est choisi arbitrairement,on peut donc lui assigner une valeur de largeur l arbitrairement telle que l ≥ R. Ce systèmeest soumis à:

– son poids propre P : poids du rectangle 2R× l – poids du demi-cylindre

P = −ϱ1gL(l2R− 1

2πR2)

– la force de réaction du sol S : inconnue– la force de pression sur la surface droite à gauche du volume F p :

F p =

∫ 2R

0−ϱ1gz

(−10

)Ldz =

(12ϱ1gL(2R)

2

0

)=

(2ϱ1gLR

2

0

)– la force de réaction du cylindre F cyl→Σ1 qui est l’opposée de la force F 1 :

F cyl→Σ1 = −F 1

Le bilan statique s’écrit donc: ∑Fx = 0∑Fy = 0

F1,x = Fp

F1,z = P − S

Cependant, nous ne connaissons pas la force S. Comment pouvons-nous calculerF 1,z ? Précédemment, nous avons défini une longueur l arbitraire. On comprend aisémentque cette longueur influe sur la réaction du sol S mais pas sur la force de pression exer-cée par le fluide 1 sur la surface gauche du cylindre. Le résultat de la question (a) nous enconvainc. Ainsi, cette force sera égale à tous les termes de forces projetées dans la directionOz, indépendants de l. Finalement:

F1,x = 2ϱ1gLR2

F1,z =12ϱ1gLπR

2

On conclut donc qu’un bilan des forces sur le volume de contrôleΣ1 permet de calculerplus simplement que pour la question (a) la résultante des forces de pression. Notons quel’application du principe d’Archimède ne nous aurait donné que la composante verticalede cette résultante.


Question (a)

La pression est hydrostatique, donc si on note z l’axe vertical orienté vers le haut, avecpour origine le sol, on a

p(z) = ϱg(h− z),

avec ϱ et g la masse volumique de l’eau et l’accélération de la gravité.


Figure 3.19 : schéma du bilan des forces sur le volume Σ1.

Question (b)

On calcule la surface élémentaire sur laquelle s’exerce un incrément infinitésimal deforce de pression dF tel que p y soit homogène

dS = 2R cos θdz = 2R2 cos2 θdθ,

avec z = R sin θ et dz = R cos θdθ. On en déduit qu’en norme

dF = pdS = ϱg(h−R sin θ)2R2 cos2 θdθ,

et donc en intégrant

F =

∫dF =

∫ π/2

0ϱg(h−R sin θ)2R2 cos2 θdθ = 2ϱgR2

(hπ

4− R

3

).

Question (c)

On trouve F = 440,784 kN.

Question (d)

Par définition le moment par rapport à l’axe Oy (y orienté perpendiculairement auplan de la feuille) est

M =

∫zdF =

∫ π/2

0ϱgR sin θ(h−R sin θ)2R2 cos2 θdθ = ϱgR3

24(16h− 3πR)

Par définition, le point d’application correspond au bras de force d tel queM = Fd, d’où

d =ϱgR3

48ϱgR2

16h− 3πR

hπ

4− R

3

=R(16h− 3πR)

4(3hπ − 4R).

Question (e)

AN:M = 356,9 kN·m et d = 81 cm.



Question (a)

La pression du liquide à l’altitude z est P0 − ϱgz où P0 est la pression atmosphérique.Mais l’air ambiant exerce également une pressionP0 de l’autre côté de la paroi etP0 n’inter-vient donc pas. La résultante cherchée est doncF , telle queF =

∫ ∫(OADB)−ϱgz dS. Pour

calculer cette intégrale, décomposons le 1/2 disque en bandes parallèles à y′y, [z,z + dz].

z = −R sin θ,dS = 2R cos θ dz = −2R2 cos2 θ dθ,

F =

∫ π/2

02ϱgR3 sin θ cos2 θ dθ

= 2ϱgR3[− cos3 θ/3

]π/20

d’où F = 2ϱgR3/3. Le moment des forces de pression par rapport à Oy s’écrit :

MOy = −∫ ∫

(OADB)ϱgz2 dS =

∫ π/2

02ϱgR4 sin2 θ cos2 θ dθ

avecsin2 θ cos2 θ = 1

4sin2 2θ = 1

8(1− cos 4θ)

et ∫ π/2

0

1

8(1− cos 4θ) dθ = π

16.

On a doncMOy = −πϱgR4/8. Le moment par rapport à Ox est nul (forces parallèlesà Ox); celui par rapport à Oz également en raison de la symétrie de la répartition depression par rapport au plan xOz. Le moment résultant des forces pressantes exercéessur la paroi verticale en O, et par suite en tout point, est donc le même que celui d’uneforce unique F = 2ϱgR3ex/3, dont le bras de levier passe par le point P de Oz, tel queMOy = OP × F . On en déduit : OP =MOy/Fx = −3πR/16 (le résultat est applicable àtout système de forces parallèles : leur moment est le même que celui d’une force passantpar leur barycentre).

Question (b)

Les forces de pression exercées sur le 1/4 de sphère sont radiales donc leur moment enO est nul. Analysons l’équilibre du liquide contenu dans le récipient : la contribution dela pression atmosphérique P0 agit sur la totalité de la surface qui limite le liquide (surfacelibre et action des parois), elle n’intervient donc pas. En éliminant P0, le liquide ne subit,en plus de la pesanteur, que des forces de résultante −F de la part de la paroi verticale(OABD), et des forces de pression de la part du 1/4 de sphère dont nous noterons larésultante −F ′. L’équilibre des forces s’écrit doncmg − F + F ′ = 0 d’où :

F ′x = −Fx = −2

3ϱgR3,

F ′z = −mg = −π

3ϱgR3


ou F ′x et F ′

z sont les composantes horizontale et verticale de F ′. Leur moment en O étantnul, les forces de pression exercées sur cette paroi en 1/4 de sphère sont équivalentes à uneseule force F ′ dont la direction passe par O et par un point Q de l’arc de cercle (CD) duplan xOz. Ce point Q fait un angle α avec l’horizontal dont la tangente est défini par

tanα =F ′z

F ′x

= π/2.

Question (c)

Il suffit d’annuler le moment des actions exercées sur le liquide, par rapport a Oy, lacontribution de P0 étant nulle. Le moment des actions exercées par la paroi verticale est,compte non tenu de P0,OP ×F ; celui qu’exerce le 1/4 de sphère est nul. Enfin le momentdes forces de pesanteur par rapport à Oy est xG ×mg = πϱR3g/3xG. On a donc

−OP × Fx +π

3ϱR3gxG = 0

d’oùOP = πxG/2 = xG tanα. Le centre de masse G est situé dans le plan de symétriexOz, et sur la 1ère bissectrice des axes Ox et Oy, car le plan bissecteur de ces axes estégalement plan de symétrie pour le récipient : xG = zG. En décomposant le volume en1/2 cylindres d’épaisseur dx et de rayon

√R2 − x2, (x ∈ [−R,0]), donc de volume dV =

π2 (R

2 − x2) dx il vient :

xG =1

V

∫ 0

−Rx dV =

3

2R3

∫ 0

−Rx(R2 − x2) dx,

(V =

π

3R3).

Soit xG = zG = −3R/8 (on a donc OG = 3R√2/8). On retrouve alors OP =

−3πR/16.

ii)

Q

C

z

xO

D

G

F' M g -F'

OxG

P

G

z

x

M g

a-F

A

iii)

R

B

z

D

AO

θ

i)

α

CHAPITRE4Principes de conservation

Rappel du cours

Dérivée matérielle

On appelle dérivée matérielle (ou de Lagrange) l’opérateur différentielle

dfdt =

∂f

∂t+ u

∂f

∂x,

en dimension 1, ou biendfdt =

∂f

∂t+ (u · ∇)f

en dimension 2 ou 3, avec u (ou u) la vitesse du fluide.

Théorème de transport

Le théorème de transport est le pendant de la définition de la dérivée matérielle pourdes quantités f intégrées sur un volume de contrôle matériel V , c.-à-d. qu’il est composéde fluide et se déplace à la vitesse que le fluide. Il nous dit que l’on peut décomposer lavariation temporelle d’une quantité scalaire ou tensorielle f en une dérivée temporellelocale et un dérivée convective liée au flux de f à travers la surface S (orientée par lanormale n) du volume de contrôle :

ddt

∫VfdV =

∫V

∂f

∂tdV +

∫Sfu · ndS =

∫V

(∂f

∂t+∇ · (fu)

)dV.

Si le volume de contrôle Va est arbitraire et si ses frontières se déplacent à la vitessew, on considère un volume matériel Vm qui coïncide avec le volume arbitraire au temps t.On obtient

ddt

∫Vm

fdV =ddt

∫Va

fdV +

∫Sa

f(u−w) · ndS.

Si le volume de contrôle V est fixe, alors Par exemple si on prend un volume arbitraire Vafixe au cours du temps alors w = 0 le long de Sa et

ddt

∫Va

fdV =

∫Va

∂f

∂tdV.

57

58 Chapitre 4 Principes de conservation

Théorème de Reynolds

Le théorème de Reynolds s’applique à des quantités massiques f

ddt

∫VϱfdV =

∫VϱddtfdV.

En prenant f = 1, f = u et f = e (énergie massique), on peut obtenir les équations deconservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie.

Conservation de la masse

La conservation de la masse impose que pour un volume de contrôle V

ddt

∫VϱdV =

∫VϱddtfdV = 0

Si f est continue, alors on peut déduire la forme différentielle

∂ϱ(x, t)

∂t+∇ · (ϱu) = 0.

Cette relation est appelée équation de continuité pour un fluide incompressible car elleimpose une contrainte de continuité sur les composantes du champ de vitesse u :

∇ · u = 0.

Conservation de la quantité de mouvement : formulation ma-croscopique

Le théorème de conservation de la quantité de mouvement appliqué à un volume decontrôle non matériel V s’écrit

ddt

∫VϱudV +

∫Sϱu(u · n)dS = ϱV g +

∫Sσ · ndS

où S est la surface de contrôle enveloppant V , n est la normale à la surface de contrôleorientée de l’intérieur vers l’extérieur de V ,σ est le tenseur des contraintes (pour un fluideparfait σ = −p1 avec p la pression), et u est la vitesse matérielle du fluide.

Le théorème de conservation appliqué à un volume de contrôle arbitraire (non maté-riel) Va s’écrit

ddt

∫Va

ϱudV +

∫Sa

ϱu[(u−w) · n]dS = ϱVag +

∫Sa

σ · ndS

où Sa est la surface enveloppant Va,w est la vitesse de déplacement de la surface arbitraireSa, n est la normale à la surface de contrôle orientée de l’intérieur vers l’extérieur de Va.

Chapitre 4 Principes de conservation 59

Conservation de la quantité de mouvement : formulation diffé-rentielle

Quand on précise la loi de comportement, c.-à-d. la relation entre le tenseur des contraintesσ et le tenseur des taux de déformation, on peut transformer la formulationmacroscopiquede la conservation de la quantité de mouvement en une équation aux dérivées partielles.Quand le fluide est parfait, la forme différentielle du principe de conservation s’appelle« équations d’Euler ». Pour un fluide incompressible, elles s’écrivent :

– Conservation de la masse (équation de continuité)

∇ · u = 0

– Conservation de la quantité de mouvement

∂

∂tu+ (u · ∇)u = g − 1

ϱ∇p

Pour un fluide newtonien (σ = −p1+2µd), on aboutit aux équations deNavier-Stokes(voir chap. 6).

Conditions aux limites

Pour une paroi solide imperméable de normale n, un fluide newtonien vérifie deuxconditions :

– adhérence : u = 0 le long de la paroi ;– non-pénétration : u · n = 0 (pas de flux).

La condition à la limite à la surface libre d’un écoulement dont la surface libre estsituée en y = h(x, t) est

ddt(y − h) = 0 ⇒ v(x, h, t) =

dhdt =

∂h

∂t+ u(x, h, t)

∂h

∂x.

Théorème de Bernoulli

Le théorème de Bernoulli énonce que si

– l’écoulement est permanent ;– l’écoulement est isochore ou bien le matériau incompressible ;– les dissipations d’énergie sont négligeables ;

alors le long de toute ligne de courant, la quantité (traduisant une énergie)Ψ = k+ψ+ pse conserve ; l’énergie potentielle s’écrit la plupart du temps comme ψ = ϱgz. La pressionest p tandis que l’énergie cinétique est k = 1

2u2 (avec u = |u|).alors on a :

Ψ = ϱgz + ϱu2

2+ p = cte.


Exercice 1 : hauteur de jet

Appliquer le théorème de Bernoulli pour calculer la hauteur maximale d’un jet unidi-mensionnel de section S et de débit Q.

Exercice 2 : pompe

Une pompe installée sur une conduite aspire de l’eau à la base d’un réservoir (hauteurd’eau h = 2 m) pour la refouler dans un bassin à l’air libre dont la surface libre est situéeà une hauteur de htot = 10 m par rapport au fond du reservoir. Le débit de la pompe estde 50 l/s. Calculer la puissance de cette pompe

A

B

O

h = 2 m

z

2 m

6 m

réservoir

bassin

pompe

Figure 4.1 : Schéma du système hydraulique de pompage

Exercice 3 : torpille

Quelle est la pression qui s’exerce sur le nez d’une torpille se déplaçant sous 10 m d’eauà la vitesse v = 50 km/h?

Exercice 4 : force sur un coude

Une conduite circulaire de rayonR transporte un fluide de masse volumique ϱ avec undébit Q. Tout d’abord horizontale, la conduite subit une inflexion d’un angle α. Calculerla force subie par le coude en considérant un volume de contrôle englobant ce coude. Onnégligera la gravité.

Exercice 5 : force d’un jet

Un jet circulaire de rayon a projette horizontalement un fluide de masse volumique ϱsur un mur vertical avec une vitesse v. Calculer la force d’impact du jet.


Exercice 6 : Ingénieurs du Monde

Vous travaillez pour Ingénieurs du Monde dans une vallée reculée des montagnes duNépal. Vous devez estimer la vitesse d’écoulement de l’eau dans une rivière d’une petitevallée située à 5 jours de marche de la route la plus proche avec les moyens rudimentaires àdisposition sur place (un récipient et un long tuyau). Connaissant le volume V du récipientet le temps t nécessaire pour le remplir, déterminer la vitesse v de l’eau dans la rivière. Vousconnaissez encore le diamètre du tuyau d, sa longueur l, la pression atmosphérique Pa, lapente de la rivière p. Les autres mesures déjà prises sont indiquées sur la figure 4.2.

vh

h

1

2

Figure 4.2 : schéma de l’installation rudimentaire de mesure.

Exercice 7 : contraction

Considérons un écoulement avec un débit Q, à travers une contraction. Les pressionsà l’amont et à l’aval de la contraction sont mesurées à l’aide d’un manomètre (voir figure4.3) contenant de l’huile de masse volumique ϱhuile < ϱeau. Les sections amont et avalsont notées respectivement A1 et A2. Déterminer la hauteur h donnée par le manomètre.

h

A1

A2

eau

huile

Figure 4.3 : contraction dans une conduite.


Exercice 8 : vidange

Le fond d’un récipient cylindrique, de rayon R et hauteur 2h, est percé à la base d’untrou circulaire de rayon r. Initialement, le récipient est à moitié plein (voir figure 4.4).

1. Calculer le temps nécessaire pour le vider, en formulant les hypothèses convenables.2. Supposons maintenant que la face supérieure du cylindre soit initialement fermée

de façon hermétique. Que se passe-t-il lorsque le liquide s’écoule? En particulier,pour quelle hauteur de fluide s’arrêtera-t-il de couler ?

2R

2h

h

2r

z

Figure 4.4 : vidange d’un récipient.

Hypothèses :

– les dimensions vérifient R ∼ h≫ r ;– l’eau s’écoule tant que la pression à l’orifice est plus grande que la pression atmo-

sphérique p0 ;– l’air est un gaz parfait isotherme: p(z)V (z) = cte.

Exercice 9 : siphon

De l’eau circule dans un tuyau de siphonage immergé dans un réservoir (voir figure4.5). Le niveau d’eau dans le réservoir est de 1,50 m. Le diamètre du tuyau est de 3 cm. Letuyau monte à 1 m au-dessus du niveau d’eau. L’eau quitte le tuyau à la même cote que labase du réservoir.

1. Calculer le débit à travers le siphon.2. Calculer les pressions aux points 1, 2 et 3.


bb

b

1

2

3

1 m

1,50 m

Figure 4.5 : vidange d’un récipient.

Exercice 10 : tremplin

L’Exposition Eau 2020 est déjà en préparation. Un architecte est invité à faire unecréation censée occuper un espace consacré au thème de l’eau. Il a fait un premier dessind’une fontaine, alimentée par un grand réservoir relié à un siphon. La sortie du siphonest libre, formant un jet d’eau contre un déflecteur convexe. La trajectoire du jet est déviéevers un petit lac (voir figure 4.6). L’architecte prévoit un passage pour les piétons au-dessusdu jet. Vous êtes l’ingénieur chargé de vérifier si l’effet désiré est réalisable. On négligeles pertes de charges par frottement (et donc les vitesses aux points 1 et 2 sont égales).Déterminer :

1. le débit du siphon. Justifier vos hypothèses ;2. la force R exercée le fluide sur le point de liaison entre la structure concave et la

base (point F) ;3. la hauteur zB minimale pour le passage des piétons au-dessus du jet.

Figure 4.6 : schéma de principe du tremplin.


Exercice 11 : siphonnage d’un bassin

Figure 4.7 : siphonage d’un bassin.

Un tuyau d’arrosage fait 10 m de l’eau et son diamètre intérieur est 20 mm. Il sert àvider un bassin comme le montre la figure 4.7.Quel est le débit à travers le tube (on négligeles pertes de charge par frottement) ?

Exercice 12

Figure 4.8 : soufflerie.

Un véhicule est placé dans une soufflerie. L’air est injecté à la vitesse u = 90 km/h ;sa densité est 1,3× 10−3. Un manomètre à deux fluides (eau et huile) est utilisé ; la massevolumique est ϱ = 900 kgm−3. La hauteur d’huile est 2,5 cm.

1. déterminer la pression donnée par le manomètre (on donnera la hauteur d’eau h) ;2. déterminer la différence de pression entre le front de la voiture (point 3 sur la figure

4.8) et la section test (point 2).


Problème 1 : vanne-secteur du barrage de laMaigrauge

Le barrage de la Maigrauge à Fribourg est le plus vieux barrage en béton d’Europe(construit entre 1870 et 1872). Il est équipé de vannes-secteurs (radial gate ou bien Taintergate en anglais), c.-à-d. de vannes métalliques dont la paroi forme un arc de cercle d’angle2θ (voir figure 4.9) qui pivote autour d’un axe. Elles sont mises en mouvement à l’aide devérins hydrauliques et permettent de maintenir la hauteur d’eau au niveau souhaité dansla retenue d’accumulation. On étudie dans ce problème le fonctionnement hydraulique deces vannes.

Figure 4.9 : vanne-secteur du barrage de la Maigrauge (FR) à gauche et schéma de principedu fonctionnement de la vanne-secteur (vanne ouverte).

La figure 4.10(a) montre un schéma de la vanne (fermée). Le point O est le pivot de lavanne. On considère qu’initialement, la retenue est remplie jusqu’au sommet de la vanne.L’axe Ox est un axe de symétrie de la vanne. h désigne la hauteur d’eau. La vanne a unelargeur W et un rayon R. Quand la vanne est ouverte, l’eau s’écoule le long d’un radieren béton de pente i = 1/200 sur une longueur L = 50 m et, en premier approximation,on prend un coefficient de Chézy constant C = 60 m1/2·s−1. La largeur du radier estidentique à celle de la vanne :W = 5 m.

(a) Quelle est la distribution de pression en fonction de la profondeur h dans la retenue (l’eauétant au repos) ?

(b) Écrire la définition de la résultante des forces de pression. Déterminer l’expression de cetteforce de pression dans le cas de la vanne fermée (voir figure 4.10(a)).

(c) Faire l’application numérique pour θ = π/4 et R = 2 m.(d) Calculer le moment des forces de pression par rapport au pivot O.(e) On ouvre partiellement la vanne (voir figure 4.10(b)). La hauteur d’eau sous la vanne est d,

et l’on suppose que la hauteur d’eau h reste constante dans la retenue. En négligeant lespertes de charge locales, utilisez le théorème de Bernoulli en justifiant les hypothèses per-mettant son application, puis calculez le débit transitant sous la vanne et faire l’applicationnumérique quand d = 50 cm et h = 3 m.

(f) On cherche maintenant à aller au-delà de l’approximation de Bernoulli, qui reste assezsommaire. Comme alternative, on se propose d’utiliser les équations de conservation dela masse et de la quantité de mouvement sur un volume de contrôle V (voir figure 4.10(b))comme pour le calcul de l’équation de conjugaison pour le ressaut hydraulique, qui a étévu en cours. Comment s’écrivent les équations de conservation en régime permanent?


(a)

x

z

hΣ

R

O

θ

(b)

x

z

hΣ

R

O

d

V

écoulement1

2

Figure 4.10 : (a)schéma de définition et notation (vanne fermée). (b) vanne partiellementouverte. Le volume grisé représente le volume de contrôle considéré aux questions (f) et(g). Σ désigne la surface de la vanne en contact avec le volume V .

(g) On appelle N = (N, T ) la force de réaction de la vanne sur l’écoulement. On néglige laforce de frottement exercée par le radier sur l’écoulement ainsi que la composante motricede la gravité (la pente i étant faible). On va projeter les équations de conservation sur l’axex. On notera u1 et h1 = h les variables d’écoulement à l’entrée du volume de contrôle V ,et u2 et h2 = d la vitesse et hauteur à la sortie du volume V . Comment s’expriment laconservation de la masse et celle de la quantité de mouvement. En déduire la composanteN en fonction du débit par unité de largeur q, et des hauteurs supposées connues d et h.

(h) Que vaut cette force pour q = 0? Était-ce prévisible?(i) Pour déterminerN pour d’autres valeurs de q, il nous faut de l’information supplémentaire

sur les vitesses à la sortie du volume de contrôle. En première approximation, on supposeque le débit sous la vanne est donné par la relation de Bernoulli telle qu’on a l’a vue àla question (e). En vous servant de cette relation, calculez la force adimensionnelle N enfonction de la hauteur adimensionnelle ξ = d/h. La force adimensionelle N est définiecomme la force N normalisée par la pression hydrostatique 1

2ϱgWh2 :

N =N

12ϱgWh2

.

(j) On peut craindre que l’expression de Bernoulli soit trop approximative. Des expériencesde laboratoire ont montré que pour de petites ouvertures d et des vannes-secteur d’angle2θ = π/2, le coefficient de débit Cd est voisin de 0,7. Ce coefficient de débit permet dedéterminer empiriquement le débit sous la vanne à l’aide d’une formule de type « seuil »

Q = CdWd√2gh.


Servez-vous de cette équation pour fermer l’équation de N . En vous servant de cette re-lation, déterminez la nouvelle expression de la force adimensionnelle N en fonction de lahauteur adimensionnelle ξ = d/h. Tracez l’allure de la force adimensionnelle en fonctionde ξ (on rappelle que 0 ≤ ξ ≤ 1). On s’intéresse surtout à ξ ≤ 0,2. Qu’en concluez-vousquant à la pertinence du théorème de Bernoulli ici ?

(k) On considère maintenant que la vanne libère un débit de Q = 20 m3/s. On veut détermi-ner ce qui passe dans le radier de pente i = 1/200. La hauteur d’eau initiale – comptetenu de la contraction sous la vanne – est d = 50 cm. Calculer la hauteur critique et lahauteur normale sur le radier. Caractériser le régime d’écoulement et tracer l’allure de lacourbe de remous. Est-ce qu’un ressaut hydraulique se forme? Si oui, le caractériser et lepositionner approximativement sur la courbe de remous. Si vous faites l’approximation decanal infiniment large, il convient de justifier cette hypothèse.

Problème 2 : propagation des vagues†

On souhaite réaliser un modèle réduit d’une rivière autour d’un pont. Comme le fac-teur d’échelle est important entre le modèle réduit et le phénomène en grandeur réelle,se pose la question de l’effet de la tension de surface σ. Est ce qu’elle va affecter les me-sures expérimentales? Pour étudier se problème, on s’intéresse à la façon dont la tensionde surface modifie la vitesse de propagation des ondes en eaux peu profondes.

On rappelle qu’en l’absence d’effets induits par la viscosité ou la tension de surface,la vitesse de propagation des ondes à la surface de l’eau est c =

√gh0 (où h0 désigne la

hauteur d’eau et g l’accélération de la pesanteur) quand la hauteur d’eau est petite par rap-port à la longueur d’onde. En première approximation, on néglige les effets de la viscositéet on suppose que l’écoulement est de hauteur h(x, t), le fluide (eau) de masse volumiqueconstante ϱ, et donc que la vitesse du fluide u = (u, v) peut s’écrire dans un repère carté-sien (x, y) comme dérivant du potentiel ϕ

u(x, y, t) = ∇ϕ, (4.1)

avec ϕ(x, y, t) la « fonction potentiel » et ∇ = (∂x, ∂y) l’opérateur gradient. (Cette pro-priété définit ce qu’on appelle un écoulement irrotationnel.) Initialement le fluide est aurepos (donc u = 0 et h = h0). On suppose que la pression atmosphérique est nulle :pa = 0.

hy

x

η

0

Figure 4.11 : notation pour l’exercice. Un fond imperméable se situe en y = 0. La surfacelibre est la courbe y = h(x, t).


(a) Comment se traduit la conservation de la masse pour ϕ.Quelle est la condition aux limitesvérifiée par ϕ en y = 0?

(b) Écrire la conservation de la quantité de mouvement pour la composante v. Exprimer cetteéquation en y = h et la condition à la limite afin d’obtenir un système d’équations pour vet h. On fait une linéarisation, c’est-à-dire un développement asymptotique en ne gardantque les termes du premier ordre ; on pose h = h0 + η (avec η ≪ h0), u ≪ 1 et v ≪1, ce qui revient donc à supposer que les termes quadratiques d’accélération convectivedisparaissent dans la conservation de la quantité de mouvement. Comment se simplifie lesystème d’équations? Et si on substitue v par ∂yϕ, comment peut-on obtenir un systèmed’équations pour η et ϕ?

(c) En introduisant le potentiel gravitaire ψ = −gy (c.-à-d. g = ∇ψ), intégrer l’équation deconservation de la quantité de mouvement selon y pour obtenir une équation aux dérivéespartielles pour ϕ sous la forme ∂tϕ = f(ϕ, η, g, x, y, p) qui est valable en y = h. Onutilisera le fait que la constante d’intégration est nulle car ϕ est une fonction potentiel(donc valable à une constante arbitraire près).

(d) On cherche à relier la pression p en h aux variations de η. Comment s’écrit la loi de Laplacequand on fait un développement asymptotique au premier ordre?

(e) En se servant de l’équation de continuité et de l’approximation de la loi de Laplace au pre-mier ordre pour éliminer p et η, montrer par une différentiation appropriée que le systèmed’équations pour ϕ et η peut se réduire à une seule équation linéaire aux dérivées partiellespour ϕ d’ordre 3 :

∂2ϕ

∂t2+ g

∂ϕ

∂y+ C

∂3ϕ

∂y3= 0 en y = h.

(On démontrera ce résultat et on donnera l’expression de C).(f) Pour résoudre cette équation, on applique la méthode de séparation des variables en cher-

chant ϕ sous la forme d’un produit ϕ = A(x, t)F (y) où A traduit le phénomène de pro-pagation et prend une forme d’onde progressive A(kx − ωt), où ω est la pulsation 1 et kest le nombre d’onde 2 ; F représente la variation du champ de vitesse avec la profondeur.En considérant l’équation de continuité pour ϕ, montrer que F (y) est nécessairement dela forme

F (y) = cosh(ky).(L’éventuelle constante multiplicative – d’intégration – sera absorbée dans la constanteAci-dessous).

(g) Comme nous sommes dans le domaine des ondes linéaires, on peut supposer que A peutse décomposer en fonctions harmoniques et on pose donc A(x, t) = Aeı(kx−ωt) où A estune constante et ı le nombre imaginaire. La vitesse de l’onde est c = ω/k. En vous servantde l’équation obtenue précédemment et de l’équation obtenue à la question (e), écrire larelation de dispersion, c.-à-d. la relation algébrique ω = ω(k).

(h) Quelle est la condition portant sur σ pour que l’effet de la tension de surface soit négli-geable? Montrer que lorsque kh0 ≪ 1 et que la tension de surface est négligeable, alorsc =

√gh0.

Formulaire :

– La loi de Laplace exprimant le saut de pression à travers la surface libre y = h(x, t)est

p− pa =σ

R1. ω est encore fréquence angulaire dans la terminologie anglo-saxonne.2. ω = 2π/T et k = 2π/λ avec λ la longueur d’onde, T sa période.


avec pa la pression atmosphérique (on pose pa = 0) et R le rayon de courbure dela surface libre

R = −(1 + h′2)3/2

h′′

avec ici h′ = ∂xh.– Pour les développements asymptotiques, on rappelle que

– loi puissance au premier ordre

(1 + x)n = 1 + nx+O(x2)

– la fonction tanh au premier ordre

tanhx = x+O(x3)

– définition du cosinus hyperbolique : coshx = 12(e

x + e−x)

Problème 3 : écoulement à la sortie d’une buse

On considère une buse, c.-à-d. l’embout d’une conduite cylindrique présentant unecontraction de sa section (voir figure 4.12). Cette buse éjecte dans l’atmosphère un fluidesous la forme d’un jet comme l’illustre la figure 4.12(a). Le fluide est de masse volumiqueϱ et se déplace suffisamment vite pour que les effets visqueux soient considérés commenégligeables en première approximation. On noteAe la surface à l’entrée de la contractionet As celle en sortie. La vitesse et pression du fluide à l’entrée sont respectivement notéesve et pe, et celles au sortir de la buse vs et ps. On considère un écoulement permanent, etdonc le débit injecté est constant : Q = Aeve. On ignorera la pression atmosphérique pa,et on supposera donc ps = pa = 0. On considère un repère cylindrique (r, z) comme lemontre la figure 4.12(a) ; le point origine est situé à la sortie de la buse.

(a) Qu’implique la conservation de la masse dans le cas présent?(b) Qu’implique la conservation de la quantité de mouvement pour le volume de contrôle de

la figure 4.12(a) ? En déduire la force F due à l’action du fluide sur la paroi de la buse dansle cas où les effets de la pesanteur sont négligeables.

(c) Toujours en négligeant l’effet de la pesanteur et la dissipation visqueuse, écrire la conser-vation de l’énergie cinétique en se servant du théorème de Bernoulli le long d’une lignede courant reliant Ae à As. En déduire une expression analytique de F en fonction de Q,Ae, et du rapport de contraction r = As/Ae.

(d) On s’intéresse maintenant aux caractéristiques du jet. Il n’est plus possible d’ignorer leseffets de la pesanteur. Comme première application, on considère un jet vertical (cylin-drique), le fluide étant éjecté de la buse vers le haut [voir figure 4.12(b)]. En vous servantdu théorème de Bernoulli établir la vitesse ascendante v(z) au centre du jet à une altitudez. Quelle est l’altitude maximale par le jet ? Calculer la section du jet – notée A(z) – à unealtitude z. Est-ce que ces calculs vous semblent réalistes et s’ils ne l’étaient pas, quelle enserait la cause selon vous?

(e) On considère maintenant le jet orienté d’un angle α par rapport à l’horizontale [voir figure4.12(c)]. En vous inspirant des calculs de balistique, écrire l’équation du mouvement pourune parcelle de fluide éjectée de la buse à la vitesse vs. Ce résultat est-il compatible avecl’équation de Bernoulli ?


α

es

z

0

AA

r

(a) schéma d’une buse

(b) (c)

position verticale position inclinée

z

r

r

z

cylindre alimentant

la busebuse

Figure 4.12 : (a) schéma de principe d’une buse placée à la sortie d’une conduite cylin-drique. (b) Buse en position verticale. (c) Buse en position inclinée (d’un angle α par rap-port à l’horizontale).

Problème 4 : écoulement sous une vanne

Un canal industriel de section rectangulaire (et de largeur B) est muni d’une vanneguillotine de même largeur. La vanne est ouverte en partie et laisse passer une lame d’eaud’épaisseur d (voir figure 4.13). Un régime permanent est établi, avec un débit total Q. Onnéglige le frottement de l’eau sur les parois du canal.

(a) En appliquant le théorème de Bernoulli, établir le débit qui transite sous la vanne sachantqu’à l’amont de ladite vanne, il y a une hauteur d’eau h1. Pour ce faire, on pourra s’inspirerde la démonstration de la formule de Torricelli. On suppose que la vanne est « dénoyée »,c’est-à-dire que l’écoulement aval ne perturbe pas l’écoulement amont.

(b) Des mesures montrent que le débit sous la lame est

Q = CdBd√

2gh1

avec Cd = 0,67. Si cette équation est différente de l’équation obtenue précédemment,justifier la raison de l’écart. Faire l’application numérique.


(c) On souhaite calculer la forceF qu’il faut exercer pour maintenir en place la vanne lorsqu’ily a écoulement. Pour cela on va se servir des équations de conservation sur un volume decontrôle arbitraire fixe qui englobe la vanne et les deux tronçons du canal de part et d’autrede la vanne (voir figure 4.13). Le fluide est parfait (non visqueux). Exprimer la conservationde la masse en établissant une relation liant les variables h1, h2, u1 et u2.

(d) Calculer la force de pression qui s’exerce sur la face amont et celle qui s’exerce sur la faceaval du volume de contrôle. On prendra garde de fournir ici des valeurs algébriques (laprojection de la force sur l’axe x).

(e) Calculer les flux de quantité de mouvement à travers les faces amont et aval du volume decontrôle.

(f) En appliquant le principe de conservation de la quantité de mouvement, établir la force Fde réaction qui s’exerce sur la vanne.

(g) Faire l’application numérique.

Données :

– B = 10 m, d = 1 m– h1 = 5 m et h2 = 80 cm.

h

1

2u

h1

2

u

F

d

amont volume de contrôle

x

y

aval

Figure 4.13 : schéma de principe d’une vanne à guillotine et positionnement du volumede contrôle fixe Va.

Problème 5 : un but d’anthologie†

En 1997, Roberto CaRlos marqua un but d’anthologie face à la France. Il utilisa pourcela un effet bien connu qui est l’effet Magnus. Cet effet permet, en outre, de donner l’effetlifté ou coupé à une balle de ping pong ou de tennis. Nous allons essayer de comprendre ceteffet dans cet exercice. Soit un ballon de rayon a, de massem et de vitesse vballon. Pendantsa course le ballon tourne sur lui même à la vitesse angulaire ω.

(a) On suppose que la rotation du ballon entraîne le fluide autour de lui. Déterminez dans leréférentiel du terrain, puis dans le référentiel du ballon, la vitesse du fluide au point A et


Figure 4.14 : l’effet Magnus.

au point B (ces points étant très proches on pourra considérer qu’ils sont sur la surface duballon).

(b) A l’aide du théorème de Bernoulli déterminez la différence de pression entre A et B.(c) En supposant que la pression A est homogène sur la demi-sphère supérieure et la pression

B homogène sur la demi-sphère inférieure, déterminez la force résultante sur la ballon.Cette force est à l’origine de l’effet Magnus.

(d) En s’aidant du schéma ci-dessous trouver le rayon de courbure R de la frappe que l’onconsidère constant. On négligera touts frottements et on traitera le problème dans le planhorizontal (on ne prend pas en compte le déplacement vertical du ballon). Indication: laforce centrifuge (Fc = mω2R) doit être égale à la force de Magnus pour maintenir unrayon constant.

(e) Considérons que Roberto Carlos a tiré le ballon de foot (de rayon a = 11 cm et de massem = 450 g) dans l’alignement du but à une distance l = 35 m. La balle garde une vitesseconstante de 130 km/h pendant le vol et sa vitesse de rotation est de 6 tr/s (dans le sensinverse des aiguilles du montre). On néglige les frottements. Sachant que le ballon est tiréavec un angle de α = 12o, déterminer si le ballon rentre dans les cages et si oui, à quelledistance D du centre des cages (une cage de foot fait 7,3 m de large)? Indication : commeR≫ l on pourra considérer que la longueur de l’arc de la trajectoire du ballon est égale àl.

Figure 4.15 : effet Magnus et Roberto Carlos vu du dessus.

Problème 6 : force exercée par un jet sur un mur

On considère la jonction en T de trois conduites circulaires (voir figure 4.16). La sectiond’entrée est appelée S1 et a pour diamètre D1 = 450 mm; elle est horizontale et orientée


dans le sens des x > 0. Les deux autres sections, notées S2 et S3, ont un diamètre identiqueD2 = D3 = 200mmet sont verticales. Le débit à l’entrée S1 estQ1 = 300 l/s et la pression(uniforme sur la section S1) vaut p1 = 500 kPa. Les conduites transportent de l’eau demasse volumique ϱ = 1000 kg·m−3. On prend g = 9,81 m·s −2 comme accélérationde la gravité. Pour le calcul des forces on considère également un volume de contrôleavec une surface de contrôle, dont la normale n est orientée de l’intérieur vers l’extérieur(convention usuelle).

S

S

S

1

2

3

V : volume de contrôle

x

y

n

Figure 4.16 : jonction en T de trois conduites.

(a) Calculer les vitesses moyennes entrante (à travers S1) et sortantes (dans les sections S2 etS3).

(b) Calculer les pressions dans les sections de sortie S2 et S3 (on négligera la différence d’al-titude) ?

(c) Que valent les forces de pression (composantes cartésiennes) sur chacune des sections?(d) Que valent les flux de quantité de mouvement (composantes cartésiennes) sur chacune des

sections?(e) En vous servant de l’équation d’Euler sous forme intégrale et en négligeant la contribution

due aux forces de pesanteur, calculer la force de réaction (F rx ; F r

y ) sur le fluide contenudans le volume de contrôle?



Exercice 1 hmax = (Q/S)2 /(2g)

Exercice 2 L’énergie par unité de volume fournie par la pompe au fluide : e = ϱg(htot−h). Puisque l’on a un débit Q, la puissance P à fournir est : P = Qe = 3924 W.

Exercice 3 On considère une ligne de courant horizontale entre le nez de la torpille(point A) et un point très éloigné (non perturbé) en avant de celle-ci (point B). On obtientpA = pB + ϱ

(v2B2 − v2A

2

)= 194,55 kPa.

Exercice 4 F = Q2

πR2 ϱ

(1− cosα− sinα

).


Dans ce problème, il est demandé de calculer la force d’impact R d’un jet circulairede rayon a projeté horizontalement sur un mur vertical avec une vitesse v. La figure 4.17permet d’avoir une représentation graphique du problème.

Étant donné que l’on demande de calculer une force, on pense à utiliser le principefondamental de la dynamique, qui énonce que toute variation (temporelle) de quantité demouvement résulte de l’application de forces. Dans le cas d’un problème de mécanique desfluides, cela s’exprime par :

dQdt =

ddt

∫Vc

ϱudV = ΣFextérieur sur Vc , (4.2)

où :

– Vc est le volume de contrôle. Pour rappel, le principe fondamental de la dynamiques’applique sur un système défini. Dans le cas des fluides, ce système correspond àun volume de contrôle fixé et défini arbitrairement. Le volume de contrôle choisi(Fig. 4.17) à 3 surfaces où le fluide rentre/sort, notées Σ1, Σ2 et Σ3 ;

– les forces extérieures sont le poids W (dans la direction −ey) et la force d’impactR (dans la direction −ex) ;

– u est le champ de vitesse du fluide ;– la masse volumique ϱ est constante.

Ainsi, l’équation (4.2) est telle que:(−R−W

)=

∫Vc

∂ϱ(x,t)

∂tudV +

∫Σϱu(u · n)dS

= 0 +

∫Σ1

ϱ

(−v0

)((−v−0

)·(−10

))dS

+

∫Σ2

ϱ

(0u

)((0u

)·(01

))dS +

∫Σ3

ϱ

(0−u

)((0−u

)·(

0−1

))dS.


Étant donné que nous souhaitons calculer R, on projette l’équation ci-dessus selon−ex. On a finalement :

R =

∫r

∫θϱv2rdθdr,

= ϱv2∫ a

0

∫ 2π

0ϱv2rdθdr,

= ϱv22π1

2a2,

= ϱv2πa2.

Pour trouver l’élément infinitésimal de surface dS, nous effectuons une coupe de Σ1. Σ1

correspond à un cercle de rayon a (fig. 4.18). L’élément infinitésimal de surface dS corres-pondant s’exprime donc par rdθdr.

Note : on peut aussi appliquer le théorème de Bernoulli en calculant la pression aupoint d’impact contre le mur, puis R = Pressionimpact × Surface. Cependant, la diffi-culté réside dans le choix de la ligne de courant tout en considérant la symétrie des jetsverticaux et horizontaux.

Figure 4.17 : schéma du problème.

Exercice 6 vR =

√(4Vtd2π

)2+ 2gh2


Appliquons le théorème de Bernoulli en deux points, 1 et 2, situés le long d’une lignede courant (voir figure 4.19) :

P1 + ϱegz1 +1

2ϱev

21 = P2 + ϱegz2 +

1

2ϱev

22,


Figure 4.18 : vue en coupe de Σ1 et de dS (en noir).

ce qui peut aussi s’écrire sous la forme suivante :

P2 − P1 = ϱeg(z1 − z2) +1

2ϱe(v

21 − v22). (4.3)

Les pressions P1 et P2 sont mesurées à l’aide d’un manomètre contenant de l’huile demasse volumique ϱhuile < ϱeau. On considère que le manomètre est en équilibre hydrosta-tique. En effet, les tuyaux sont minces, il n’y a donc pas d’écoulement. De cette manière, lapression en un point donné dans le manomètre est simplement égale au poids des colonnesde fluides situées au dessus de ce point. Ainsi :

– P1 = ϱeghb + ϱhgh+ PB ;– P2 = ϱeg(z1 − z2) + ϱeghb + ϱegh+ PA.

Les points A et B sont définis de telle façon à ce que leur pressions soient égales. En effet, cesderniers sont situés à la même hauteur et il n’y a que de l’huile, répartie symétriquement,au-dessus de ces points. Ainsi :

P2 − P1 = ϱeg(z1 − z2) + ϱeghb + ϱegh− (ϱeghb + ϱhgh)

= ϱe(z1 − z2) + ϱegh− ϱhgh

En combinant l’équation précédente et l’équation (4.3), on a :

ϱeg(z1 − z2) + ϱegh− ϱhgh = ϱeg(z1 − z2) +1

2ϱe(v

21 − v22),

ϱegh− ϱhgh =1

2ϱe(v

21 − v22),

h =1

2g

ϱeϱe − ϱh

(v21 − v22).

Nous pouvons aussi exprimer le résultat en fonction des données du problème. Eneffet, nous avons Q = A1v1 = A2v2 par conservation du débit (il n’y a aucune perte ouaucun apport d’eau). Finalement, on obtient :

h =1

2g

ϱeϱe − ϱh

Q2(A−21 −A−2

2 ).




Question (a)

On considère un récipient cylindrique de rayon R et hauteur 2h, percé à la base d’untrou circulaire de rayon r. Initialement, le récipient est à moitié plein (Fig. 4.20). Cet exer-cice consiste à expliquer la vidange dans un réservoir. Dans un premier temps, on souhaitecalculer le temps nécessaire pour le vider. Premièrement, on suppose que l’écoulement estincompressible, homogène et parfait, mais n’est pas stationnaire. Au vu du problème, nousaimerions trouver une équation différentielle en sorte d’exprimer la hauteur d’eau en fonc-tion du temps t.

Comme l’écoulement est incompressible et homogène, le débit volumique se conserveentre la section d’entrée Ss et la section de sortie So (il n’y a pas de perte ou d’apport defluide). On dénote par vs(t) et vo(t) les vitesses au temps t en S et en O, respectivement.Ainsi, la conservation du débit se traduit par :

vs(t)Ss = vo(t)So, (4.4)

vs(t)

vo(t)=SoSs.

On suppose que r/R ≪ 1, donc So/Ss ≪ 1 et finalement vs(t)/vo(t) ≪ 1. Celasignifie que l’on pourra négliger vs(t) devant vo(t) par la suite. Attention, cela ne signifiepas que vs(t) = 0. De plus, on repère la hauteur d’eau dans le réservoir par la variablez. La vitesse au point S est donnée par −vs(t) = dz(t)

dt . Le signe − provient du fait que lavitesse est descendante.

Précédemment, nous avons trouver une formule reliant vs(t) et vo(t). Nous aime-rions maintenant exprimer une de ces deux variables à l’aide des paramètres du problème.


L’application du théorème de Bernoulli semble donc judicieux entre les points S et O situésle long d’une ligne de courant.

Po +1

2ϱvo(t)

2 + ϱgzo(t) = Ps +1

2ϱvs(t) + ϱgzs(t).

Or on a :

– Ps = Patm car le point S se situe à la surface ;– Po = Patm, on suppose que le point O est pris à l’ouverture et donc que la pression

est la pression atmosphérique ;– zs(t) = z(t) ;– zo(t) = 0.

v2o(t) = 2gz(t) + v2s(t)

v2o(t)

(1− vs(t)

2

v2o(t)

)= 2gz(t)

Comme v2s(t)

v2o(t)≪ 1, on a finalement :

vo(t) =√

2gz(t).

Finalement, par l’équation (4.4), il est possible d’obtenir une équation différentiellevérifiée par z(t) :

dzdt = −vs(t) = −So

Ssvo(t),

dzdz = − r2

R2

√2gz(t),

1√2g

dz√z= − r2

R2dt,

1√2g

∫ h

0z−1/2dz = − r2

R2

∫ Tf

0dt,

1√2g

[−11/2z

1/2]h0= − r2

R2

[t]Tf

0,

− 1√2g

2√h = − r2

R2Tf ,

Tf =R2

r2

√2h

g.

Nous pouvons vérifier la pertinence du résultat :

– si g diminue, le temps augmente : la pesanteur est le moteur de la vidange ;– si R augmente, le temps augmente : il y a plus d’eau à évacuer ;– si r diminue, le temps augmente : la finesse du tuyau de sortie limite la vidange.

A.N. On donne les valeurs suivantes :

– h = 0,1 m;


– R = 0,05 m;– r = 0,005 m;– ϱ = 1 g/cm3 ;– Patm = 105 Pa.

On trouve Tf = 14,28 s.

Figure 4.20 : Représentation des points O et S le long d’une ligne de courant.

Question (b)

Supposons maintenant que la face supérieure du cylindre soit initialement fermée defaçon hermétique. Initialement, il y a une hauteur h d’air et h d’eau. Cela signifie qu’unedépression va apparaître au dessus de l’eau, lorsque celle-ci s’écoule. Cette dépression d’airva influer la pression au niveau de l’orifice qui, à un certain moment, va être égale à lapression atmosphérique. Lorsque cette condition est remplie, l’eau arrête de s’écouler. Cephénomène peut se caractériser de manière mathématique.

On désigne par (Fig. 4.21) :

– P0 = patm : la pression de l’air à l’état initial, c’est-à-dire lorsque la hauteur d’airest de h ;

– V0 : le volume d’air à l’état initial, c’est-à-dire V0 = πR2h ;– Pf : la pression de l’air à l’état final, c’est-à-dire lorsque l’eau ne s’écoule plus ;– Vf : le volume d’air à l’état final, c’est-à-dire Vf = πR2(2h− z) où z représente la

hauteur d’eau encore présente.

On suppose que l’air vérifie l’équation des gaz parfaits :

PV = nRT = constante,

car il n’y a pas de modification du nombre de moles n ou de la température. Ainsi :

P0V0 = PfVf ,

Pf = P0V0Vf,


Pf = Patmh

2h− z.

Calculons maintenant la pression à l’orifice, celle-ci vaut la pression à la surface del’eau + la pression due au poids de l’eau:

Po = Pf + ϱgz.

Po = Patmh

2h− z+ ϱgz.

L’eau ne s’écoule plus lorsque la pression en O vaut la pression atmosphérique ; voyez cettecondition comme un équilibre des pressions, analogue à un équilibre des forces.

Patmh

2h− z+ ϱgz = Patm.

Patmh+ ϱgz(2h− z) = Patm(2h− z),

ϱgz2 − z(ϱg2h+ Patm) + Patmh = 0.

On résout cette équation de deuxième degré à l’aide du discriminant :

∆ = [−(ϱg2h+ Patm)]2 − 4ϱgPatmh

= (ϱg2h)2 + P 2atm

= 10003849444.

Cette équation nous donne donc deux solution réelles :z1 =

ϱg2h+Patm+√∆

2ϱg = 10,29 m,z1 =

ϱg2h+Patm−√∆

2ϱg = 0,099 m.

Comme on doit avoir z < h, la solution z2 est retenue. L’eau s’écoule donc de h− z2= 1 mm avant de s’arrêter.

Figure 4.21 : représentation du problème à l’état initial (droite) et final (gauche).



De l’eau circule dans un tuyau de siphonage immergé dans un réservoir (Fig. 4.22). Leniveau d’eau dans le réservoir est de h = 1,50 m. Le diamètre du tuyau est de D = 3 cm.Le tuyau monte à H = 1 m au-dessus du niveau d’eau. L’eau quitte le tuyau à la mêmecote que la base du réservoir.

Question (a)

Tout d’abord, le débit est constant dans le siphon car il n’y a ni apport ni perte d’eau.Le tuyau ayant un diamètre constant, cela signifie que la vitesse est constante le long dusiphon carQ = v×S. Ainsi, pour connaître le débit à travers le siphon, il suffit de calculerla vitesse dans un point du siphon. Appliquons le théorème de Bernoulli en deux points Aet B (Fig. 4.22) judicieusement choisis le long d’une ligne de courant.

PA + ϱgzA +1

2ϱv2A = PB + ϱgzB +

1

2ϱv2B

où:

– vA = 0 : surface libre ;– PA = PB = Patm ;– zB = 0 ;– zA = h = 1,5 m.

Ainsi:1

2ϱv2B = ϱgzA

D’où:

vB =√2gh

= 5,42 m/s

Finalement:

Q = S√

2gh,

= πD2

4

√2gh,

= 3,9× 10−3 m3/s.

Question (b)

Dans cette partie, il est demandé de calculer les pressions aux points 1, 2 et 3. Plusparticulièrement, on demande de calculer une différence de pression, c’est-à-dire ∆P =P − Patm. Une autre manière serait de considérer Patm = 0, ainsi ∆P = P .

Appliquons, une première fois, le théorème de Bernoulli au point A et 1, situés le longd’une ligne de courant.

PA + ϱgzA +1

2ϱv2A = P1 + ϱgz1 +

1

2ϱv21,


où :

– vA = 0 : surface libre ;– PA = Patm ;– z1 = zA ;– v1 = vB = 5,42 m/s.

Ainsi:Patm = P1 +

1

2ϱv2B

∆P1 = P1 − Patm

= −1

2ϱv2B

= −14,7 kPa

Comme le point 3 se situe à la même hauteur que le point 1, et que la vitesse estconstante dans le siphon, on a directement : p3 = p1 = −14,7 kPa.

Appliquons une seconde fois le théorème de Bernoulli au point A et 2, situés le longd’une ligne de courant :

PA + ϱgzA +1

2ϱv2A = P2 + ϱgz2 +

1

2ϱv22

où :

– vA = 0 : surface libre ;– PA = Patm ;– z2 − zA = H = 1 m;– v2 = vB = 5,42 m/s ;

Ainsi:Patm = P2 + ϱgH +

1

2ϱv2B

∆P2 = P2 − Patm

= −ϱgH − 1

2ϱv2B

= −24,5 kPa


Question (a)

Tout d’abord, le débit à l’intérieur du siphon est constant. Il suffit d’appliquer la for-mule de Torricelli qui établit que le carré de la vitesse d’écoulement d’un fluide, sous l’effetde la pesanteur est proportionnel, à la hauteur de fluide située au-dessus de l’ouverture par


Figure 4.22 : représentation de la ligne de courant

laquelle il s’échappe du cylindre qui le contient. La vitesse d’écoulement dans le siphonvérifie :

v =√2gz1.

Cette formule peut aussi être retrouvée en appliquant le théorème de Bernoulli endeux points, S et O, placés le long d’une ligne de courant (voir figure 4.23). Attention,ici le point O est défini comme étant le point 1, donné par la figure de l’exercice. Nouschangeons simplement le nom de ce point pour ne pas confondre son altitude zo avec lahauteur donnée comme référence z1 = 5 m. Comme l’écoulement est incompressible, ledébit volumique se conserve entre la section d’entrée Ss et la section de sortie So (il n’ya pas de perte ou d’apport de fluide). On dénote par vs et vo les vitesses en S et en Orespectivement. Ainsi, la conservation du débit se traduit par :

vsSs = voSo, (4.5)

vsvo

=SoSs.

On suppose que la surface du réservoir est bien plus grande que la surface de l’orifice,c’est-à-dire So/Ss ≪ 1 et finalement vs/vo ≪ 1. Cela signifie que l’on pourra négliger vsdevant vo dans la suite :

Po +1

2ϱv2o + ϱgzo = Ps +

1

2ϱvs + ϱgzs.

Or :

– Ps = Patm car le point S se situe à la surface ;– Po = Patm, on suppose que le point O est pris à l’ouverture et donc que la pression

est la pression atmosphérique ;– zs − zo = z1 = 5 m.

v2o = 2gz1 + v2s ,

v2o

(1− v2s

v2o

)= 2gz1.


Comme v2s/v2o ≪ 1, on a finalement la vitesse d’écoulement dans le siphon :

v =√2gz

Finalement, le débit est donné par :

Q = vSsiphon

=√2gz1π

(D

2

)2

= 0,0778 m3/s

Figure 4.23 : schéma de la ligne de courant entre O et S.

Question (b)

Appliquons le principe fondamental de la dynamique, qui stipule que toute variation(temporelle) de quantité de mouvement résulte de l’application de forces. Dans le cas d’unproblème de mécanique des fluides, cela s’exprime par :

dQdt =

ddt

∫Vc

ϱudV = ΣFext, (4.6)

où :

– Vc est notre volume de contrôle. Le volume de contrôle choisi (voir figure 4.24) adeux surfaces par lesquelles le fluide rentre et sort, qui sont notées Σ1 et Σ2 ;


– la forceR exercée le fluide sur le point de liaison correspond aux forces extérieuresappliquées. Le poids est ici négligé compte tenu du petit volume considéré ;

– u est le champ de vitesse du fluide ;– la masse volumique ϱ est constante.

Ainsi, l’équation (4.6) est telle que :(Rx

Rz

)=

∫Vc

∂ϱ(x,t)

∂tudV +

∫Σϱu(u · n)dS

= 0 +

∫Σ1

ϱ

(0

−v1

)((0

−v1

)·(01

))dS +

∫Σ2

ϱ

(v2 cosαv2 sinα

)((v2 cosαv2 sinα

)·(cosαsinα

))dS

=

∫Σ1

ϱ

(0v21

)dS +

∫Σ2

ϱ

(v22 cosαv22 sinα

)dS

= ϱ

((0v21

)S1 +

(v22 cosαv22 sinα

)S2

)En supposant que nous n’avons ni perte, ni apport, nous exprimons la conservation

entre les surfaces Σ1 et Σ2. Ainsi, Q = v1S1 = v2S2. Finalement, on déduit :(Rx

Rz

)= ϱQ

(v2 cosα

v1 + v2 sinα

)=

(6671155

)N

avec :

– v1 = v2 = v = 9,905 m/s car on ignore les frottements entre les points 1 et 2 ;– Q = 0,0778 m3/s ;– α = 30 ;– ϱ = 1000 kg/m3.

Note : ici, on néglige le poids du volume de contrôle pour simplifier, cela peut s’avérerêtre une grosse approximation selon la taille du volume V par rapport au changement dequantité de mouvement. On néglige aussi le poids du déflecteur. Si on souhaitait faire uncalcul structurel, il aurait fallu en tenir compte.

Question (c)

Appliquons le théorème de Bernoulli aux points 2 et 3, situés le long d’une ligne decourant (voir figure 4.25) :

P2 +1

2ϱv22 + ϱgz2 = P3 +

1

2ϱv3 + ϱgz3

où :

– P2 = P3 = Patm ;– v3 = 0 en effet, le jet n’a plus assez de vitesse pour monter plus haut ;– z3 − z2 = zB ;– v2 =

Q sinα

πD2

4

.


Figure 4.24 : schéma du volume de contrôle (en bleu).

Il est important de noter que nous considérons ici les vitesses verticales car ce sontelles qui sont responsables du mouvement vertical. Finalement, on déduit :

zB = z3 − z2,

=1

2gv22,

=1

2g

Q sinα

πD2

4

2

,

= 1,25 m.

Exercice 11 Q = Sv2 = π(d/2)2v2 = π(0,02/2)2 × 2,90 = 9,11× 10−4 m3/s.

Exercice 12 (1) h = ϱoilg0,025−p2ϱwaterg

= 900×9,81×0,025−(−382)1000×9,81 = 0,0614 m. (2) p3 − p2 =

12ϱv

22 = 0,5 · 1,225 · 252 = 0,382 kPa


Figure 4.25 : schéma de la ligne de courant entre 2 et 3.



Question (a)

La pression hydrostatique : p(z) = ϱg(h/2− z) pour −h/2 ≤ z ≤ h/2.

Question (b)

Soit β l’angle de la normale n = (cosβ, sinβ). La résultante des forces de pressionest définie comme étant

F = −∫ +θ

−θpndS,

avec dS =WRdθ. Après substitution et comme z = R sinβ et h = 2R sin θ, on trouve

F = −∫ +θ

−θϱg(h/2−z)(cosβ, sinβ)WRdθ = −ϱgWR2

∫ +θ

−θ(sin θ−sinβ)(cosβ, sinβ)dθ

Soit finalementF = −ϱgWR2

(2 sin2 θ,

−θ + sin θ cos θ

). (4.7)

Question (c)

Application numérique :

F =

(−196,255,99

)kN.

Question (d)

La force infinitésimale de pression dF étant portée par n, qui passe par le point O,le moment des forces est nul en O. C’est la raison pour laquelle les vannes-secteurs sontintéressantes : un moindre effort pour les actionner, mais également moins de vibrations(les forces sont transmises à l’axe du pivot), et elles retombent sous leur propre poids.

Question (e)

On applique le théorème de Bernoulli en faisant l’analogie avec la vidange d’une cuvevue en cours (formule de Torricelli), c.-à-d. le long d’une ligne de courant allant de la sur-face libre à l’amont de la vanne à la surface libre à l’aval. Les mêmes réserves s’appliquentque pour la formule de Torricelli : il faut que les surfaces libres restent à la même cote aucours du temps (hypothèse de régime permanent), que l’on puisse négliger la dissipationd’énergie en dépit de la forte constriction de la veine d’écoulement et on fait le calcul surune courte distance (hypothèse d’écoulement non visqueux), et que la ligne de courantexiste telle qu’on l’imagine. Il y a une différence avec la cuve : la vitesse du point de départn’est pas nécessairement petite devant la vitesse de vidange.


On a donc pour deux points 1 et 2 à la surface libre de part et d’autre de la vanne

z1 + p1 +q2

2gh21= z2 + p2 +

q2

2gh22.

On a p1 = p2 = 0, et, avec la notation de l’énoncé, on déduit immédiatement

h+q2

2gh2= d+

q2

2gd

soit après réarrangement des termes, on trouve le résultat demandé

q = dh

√2g

d+ h⇒ Q =Wq =Wdh

√2g

d+ h. (4.8)

A.N. : q = 3,55 m2/s, Q = 17,75 m3/s.

Question (f)

En régime permanent, la conservation de la masse s’écrit∫Sϱ(u · n)dS = 0,

tandis que la conservation de la quantité de mouvement s’écrit∫Sϱu(u · n)dS = ϱV g +

∫Sσ · ndS,

Question (g)

La projection de la conservation de la masse sur l’axe x s’écrit par unité de largeur

u1h1 = u2h2 ⇒ q = u1h = u2d,

tandis que la conservation de la quantité de mouvement s’écrit

ϱu21h1 − ϱu22h2 =1

2ϱgh22 −

1

2ϱgh21 +

N

W.

On déduit après substitution que N est une fonction de q, h et d

N

W= ϱ

(−q2

(1

d− 1

h

)+g(h2 − d2)

2

). (4.9)

Question (h)

Quand q = 0, on a nécessairement d = 0 et u2 = u1 = 0, donc

N

W=

1

2ϱgh21,

qui n’est rien d’autre que la force hydrostatique (4.7) trouvée précédemment à la question(b) en remplaçant 2R2 sin2 θ par h2/2.


Question (i)

Le débit calculé à l’équation (4.8) est

q = dh

√2g

d+ h

et il peut s’exprimer comme une fonction de ξ = d/h

q2 = d2h22g

d+ h= 2gh3

ξ2

ξ + 1.

En reportant cette expression dans l’équation (4.9) mise sous forme adimensionnelle, ontrouve

N =N

12ϱgWh2

= 1− ξ2 + 4ξ2

1 + ξ

(1− 1

ξ

)= 1− ξ2 + 4ξ

ξ − 1

1 + ξ. (4.10)

Question (j)

Le débit défini dans l’énoncé

q = Cdd√2gh (4.11)

peut s’exprimer comme une fonction de ξ = d/h

q2 = 2gC2dh

3ξ2.

En reportant cette expression dans l’équation (4.9), on obtient une relation proche du ré-sultat précédent

N = 1− ξ2 + 4C2dξ(ξ − 1). (4.12)

Comme le montre la figure 4.26, les deux expressions sont similaires dans l’allure géné-rale, mais les différences sont importantes pour ξ ∼ 0,5 (l’écart atteint alors 100 %). Undéveloppement limité à l’ordre 1 en ξ = 0 donne

N ≈ 1− 4ξ

pour l’application de Bernoulli contre

N ≈ 1− 4C2dξ

pour la loi empirique et commeCd ≈ 0,7 (et donc N ≈ 1−2ξ), la pente varie d’un facteur2 selon la méthode de calcul employé. Comme il n’y a pas de prise en compte de la pertede charge, le théorème de Bernoulli tend à surestimer la force N .

Question (k)

On considère un canal par lequel transite un débit par unité de largeur q = Q/W =4 m2/s. Comme ce canal est rectangulaire, la hauteur critique est

hc =3

√q2

g= 1,17 m.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ξ

N

Figure 4.26 : variation de la force adimensionnelle N obtenue en se servant du théorèmede Bernoulli (courbe rouge en tireté) ou de la relation empirique (4.11) (courbe bleue).

Avec une loi de Chézy et si on fait l’hypothèse un canal infiniment large, la hauteurnormale est

hn =

(q2

C2 sin i

)1/3

= 0,96 m. (4.13)

Avec hn/W ≈ 0,27, on n’est pas vraiment dans le domaine de validité de l’approximationdu canal infiniment large. Si on maintient cette hypothèse, on hn > hc donc le régime àl’aval est supercritique. Comme initialement le régime est également supercritique puisque

Fr = q√gd3

= 1,17.

Comme on a un régime supercritique, la courbe de remous – appelée équation de Bressepour ces hypothèses – est

dhdx = i

1− (hn/h)3

1− (hc/h)3, (4.14)

et elle est croissante le long du radier, partant de h = d en x = 0 et tendant vers h = hnpour x→ ∞. Il n’est pas aisé de déterminer la vitesse de convergence, mais elle est lente.En effet, dans l’équation de Bresse (4.14), on a h ∼ hn ∼ hc 1 m, donc le rapport est peuinformatif. En revanche, il est pondéré par à i = 1/200 et on peut s’attendre qu’il failledes distances x ∼ O(h)/i = 200 m pour voir la convergence. L’intégration numériqueconfirme une lente convergence (voir figure 4.27).

Le calcul exact – sans approximation de canal large – nous dit que hn est la solutionimplicite de

Wh3nW + 2hn

sin[i] = q2

c2⇒ hn = 1,08 m, (4.15)

qui est environ 10 % plus élevée que la valeur trouvée précédemment. Le nombre de Froudeassocié à la hauteur normale

Fr(hn) =q√gh3n

= 1,13.


0 100 200 300 400 500

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

x (m)

h(m

)

Figure 4.27 : courbe de remous solution de l’équation de Bresse (4.14).

contre Fr = 1,17 précédemment. Pour trouver la courbe de remous on résout l’équationpour un canal rectangulaire

dhdx =

i− j

1− Fr2, (4.16)

avec j = u2/C2/Rh la pente d’énergie et Rh = Wh/(w + 2h) le rayon hydraulique. Lacourbe de remous a la même allure (voir figure 4.28), mais h tend vers une hauteur normaleun peu plus grande.

0 100 200 300 400 500

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

x (m)

h(m

)

Figure 4.28 : courbe de remous : solution de l’équation de Bresse (4.14) (courbe en tireté).



Question (a)

La conservation de la masse implique

∇ · u = 0

or comme u = ∇ϕ, on a

∇ · ∇ϕ = 0 ⇒ ∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2= 0. (4.17)

Le potentiel vérifie l’équation de Laplace. La conditions aux limites en y = 0 impose v = 0car il y a non-pénétration du fluide au fond. Il est plus délicat de supposer a priori u = 0au fond si les effets de la viscosité sont négligés (la condition d’adhérence ne s’applique apriori qu’aux fluides newtoniens). Comme cette relation ne sert pas par la suite, on n’irapas plus loin dans l’analyse.

Question (b)

De l’équation de conservation de la quantité de mouvement

∂

∂tu+ (u · ∇)u = g − 1

ϱ∇p,

on tire que pour la composante v

∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y= −g − 1

ϱ

∂p

∂y

qui est valable quel que soit y. La condition à la limite à la surface libre y = h s’exprimede la façon suivante

v(x, h, t) =dhdt =

∂h

∂t+ u(x, h, t)

∂h

∂x,

et lorsqu’on linéarise les équations (c’est-à-dire on fait un développement au premier ordreen η et v), on a

∂v

∂t

∣∣∣∣y=h

= −g − 1

ϱ

∂p

∂y

∣∣∣∣y=h

,

v(x, h, t) =∂η

∂t.

On se sert de la relation v = ∂yϕ et on obtient

∂2ϕ

∂t∂y

∣∣∣∣y=h

= −g − 1

ϱ

∂p

∂y

∣∣∣∣y=h

,

∂ϕ

∂y

∣∣∣∣y=h

=∂η

∂t.

(4.18)


Question (c)

On peut récrire la première équation du système (4.18) sous la forme

∂

∂y

(∂ϕ

∂t+ gy +

p

ϱ

)= 0 en y = h,

(avec h′ = ∂xh) qui donne après intégration

∂ϕ

∂t

∣∣∣∣y=h

+ gη +1

ϱp(h,t) = 0.

La constante d’intégration est supposée nulle.

Question (d)

La loi de Laplace s’écrit

p(h, t) =σ

R= −σ h′′

(1 + h′2)3/2,

dont le développement au premier ordre est

p(h, t) = −σ∂2η

∂x2.

Question (e)

Le système d’équations (4.18) s’écrit donc∂ϕ

∂t

∣∣∣∣y=h

+ gη − σ

ϱ

∂2η

∂x2= 0,

∂ϕ

∂y

∣∣∣∣y=h

=∂η

∂t.

(4.19)

Pour réduire ce système d’équations à une seule équation, on différentie la première équa-tion du système (4.19) par t et la seconde deux fois par x :

∂ϕ2

∂t2

∣∣∣∣y=h

+ g∂η

∂t− σ

ϱ

∂3η

∂x2∂t= 0,

∂3ϕ

∂y∂x2

∣∣∣∣y=h

=∂3η

∂t∂x2,

(4.20)

ce qui donne∂ϕ2

∂t2+ g

∂ϕ

∂y− σ

ϱ

∂3ϕ

∂y∂x2= 0 en y = h. (4.21)

Comme l’équation de continuité (4.17) impose ∂xxϕ = −∂yyϕ, on obtient finalement lerésultat demandé

∂ϕ2

∂t2+ g

∂ϕ

∂y+σ

ϱ

∂3ϕ

∂y3= 0 en y = h (4.22)

On a donc C = σ/ϱ.


Question (f)

On poseϕ = A(kx− ωt, t)F (y).

La substitution dans l’équation de continuité (4.17) donne

k2FA′′ +AF ′′ = 0,

or comme A et F portent sur des variables différentes, on déduit que l’on doit avoir

A′′ +A = 0 et k2F − F ′′ = 0,

pour qu’en les ajoutant, les contributions de chaque variable se compensent exactement.On note queA′′+A = 0 donne bien naissance à une solution sous la forme d’harmoniquestandis que l’équation k2F − F ′′ = 0 admet des solutions de la forme aeky + be−ky . Lacondition à la limite ∂yϕ(x, 0, t) = 0 implique a = b. Comme l’énoncé nous y invite, onpose a = 1/2 en sorte que

F (y) = cosh(ky).

Question (g)

On pose maintenant

ϕ = A(x, t) cosh(ky) avec A(x, t) = Aeı(kx−ωt).

et pour déterminer la relation de dispersion donnant la relation ω = ω(k), on substitue ϕdans l’équation (4.22), et on évalue le résultat pour y = h

gk sinh(kh) + k3σ

ϱsinh(kh)− ω2 cosh(kh) = 0,

et on obtient après simplification

ω2 = k tanh(kh)(g + k2

σ

ϱ

). (4.23)

Question (h)

Dans l’équation (4.23), on voit que le terme pondérant les effets capillaires est

κ = k2σ

ϱ,

et donc si κ ≪ g alors les effets de tension de surface sont bien négligeables devant lagravité. Dans ce cas, on a :

ω2 = gk tanh(kh) + o(κ).

Dans la limite kh≪ 1, on a tanh(kh) = kh, donc

ω2 = gk2h+ o(kh) ⇒ c2 =(ωk

)2= gh.



Question (a)

La conservation de la masse impose la conservation du débit, donc

Q = Aeve = Asvs. (4.24)

Question (b)

Dans le volume de contrôle ouvert Va, qui est stationnairew, le fluide a un écoulementpermanent, donc les termes temporels disparaissent. L’équation de conservation

ddt

∫Va

ϱudV +

∫Sa

ϱu[(u−w) · n]dS = ϱVag +

∫Sa

σ · ndS

se simplifie grandement en l’absence d’effet de la pesanteur et compte tenu de nos hypo-thèses ∫

Sa

ϱu(u · n)dS =

∫Sa

σ · ndS. (4.25)

Si on décompose la surface de contrôle en la surface entranteAe, sortanteAs, et la surfacede la buse Ab, alors en tenant compte de la condition de non-pénétration, on a pour leterme d’inertie (ou convection)∫

Sa

ϱu(u · n)dS =

∫Ae

ϱu(u · n)dS +

∫As

ϱu(u · n)dS,

dont les contributions s’évaluent facilement∫Ae

ϱu(u · n)dS = −ϱAev2eez,∫

As

ϱu(u · n)dS = +ϱAsv2sez.

On a introduit ez le vecteur unitaire orientant l’axe z. Pour les forces qui s’exercent auxfrontières du volume de contrôle, on opère une décomposition similaire

−∫Sa

pndS = −∫Ae

pndS −∫As

pndS −∫Ab

pndS.

On évalue chacune des contributions :

−∫Ae

pndS = +peAeez,

−∫As

pndS = 0,

tandis que le troisième terme représente la force recherchée

−∫Ab

pndS = F .


On peut donc écrire la conservation de la quantité de mouvement (4.25)ϱ(Asv

2s −Aev

2e)ez = F + peAeez

et doncF =

(ϱ(Asv

2s −Aev

2e)− peAe

)ez. (4.26)

Comme la buse est une structure de révolution autour de l’axe z, les efforts dans la directionradiale r s’annulent ; il n’y a qu’une composante dans la direction z.

Question (c)

Le long de l’axe z, on a d’après Bernoulli1

2ϱv2e + pe =

1

2ϱv2s + ps,

or ps = 0, donc on tire

pe =1

2ϱv2s −

1

2ϱv2e =

1

2ϱv2e

(v2sv2e

− 1

),

qui, compte tenu de la conservation débit (4.24), donne

pe =1

2ϱv2e

(1

r2− 1

).

L’équation (4.26) de la force peut s’écrire

F = ϱQve

((r−1 − 1)− 1

2

(1

r2− 1

))ez,

soit après simplification

F = − 1

2r2ϱQ2

Ae(1− r)2 ez.

Notons le signe négatif : telle que calculée, F représente l’action de la buse sur le fluide.Si on veut calculer l’effort généré par le fluide sur la buse, le principe d’action et réactionnous dit que c’est −F .

Question (d)

On applique le théorème de Bernoulli le long d’une ligne de courant située au centredu jet

ps + ϱgzs +1

2ϱv2s = pa + ϱgz +

1

2ϱv(z),

avec les hypothèses employées, on a pour expression de la vitesse ascendante1

2ϱv2s − ϱgz =

1

2ϱv(z) ⇒ v(z) =

√v2s − 2gz,

qui n’est définie que pour 0 ≤ z ≤ zlim = v2s/(2g). La conservation de la masse implique

Q = Asvs = A(z)v(z) ⇒ A(z) =Asvsv(z)

= As

(1− z

zlim

)−1/2

.

La section du jet s’élargit et devient infiniment grande à l’approche du point d’arrêt zlim.Le calcul n’est pas réaliste loin de la buse car au fur et à mesure que la vitesse, et doncl’inertie, diminue, les effets visqueux ne deviennent plus négligeables. De plus, le fluide vafinir par retomber, et donc perturber l’écoulement.


Question (e)

On introduit un repère cartésien (x, y) avec x selon l’horizontale et y la verticale. Laloi de Newton pour une parcelle de fluide de massem et vitesse v(t) est

mdvdt = mg,

avec pour condition initiale v(0) = vsez = vs(cosα, sinα). On en déduit la position dela parcelle de fluide au temps t

x = vst cosα et y = vst sinα− 1

2gt2.

Il n’y a aucune différence ici entre une parcelle de fluide et une masse ponctuelle ne su-bissant aucun frottement. Comme on a ignoré la pression au sein du jet, le théorème deBernoulli est strictement équivalent au théorème de l’énergie cinétique pour une masseponctuelle.


Question (a)

On reproduit le raisonnement suivi pour l’expérience de Torricelli. Un des points in-connus est la vitesse d’un point sur une ligne de courant au niveau de la surface libre.En première approximation, on va supposer qu’elle est nulle. De même, un autre pointconcerne la pression au bout de la ligne de courant, au niveau de la vanne. Celle-ci n’estpas égale à la pression atmosphérique comme dans l’expérience de Torricelli. L’ordre degrandeur est ϱgd/2. On note qu’il y a un facteur 10 avec le terme potentiel ϱgh1. Une ap-proximation grossière consiste donc à considérer que l’ordre de grandeur de la vitesse auniveau de la vanne est donnée par la formule de Torricelli

v ∼√2gh1,

d’où l’on tireQ = Bd

√2gh1.

Question (b)

Compte tenu des approximations faites et des pertes de charges singulières, on s’attendà avoir un débit plus faible que le débit théorique trouvé précédemment. Dimensionnellement,la formule précédente semble correcte. L’analyse dimensionnelle nous pousse à poserQ = CdBd

√2gh1. Le fait que Cd < 1 est cohérent.

AN: Q = 66,4 m3/s

Question (c)

La conservation de la masse implique la conservation du débit en régime permanent,donc

q =Q

B= u1h1 = u2h2.


Question (d)

La force de pression (projetée sur x) sur la face amont est facile à déterminée à partirde la loi de Pascal

F1 =1

2ϱgh21B

tandis que sur la face aval on a

F2 = −1

2ϱgh22B.

Question (e)

Le flux de quantité de mouvement projeté sur x est

P1 = ex ·∫ h1

0ϱu(u · n)dS

avec n = −ex la normale au volume de contrôle orientée de l’intérieur vers l’extérieur.Donc on a

P1 = −ϱu21Bh1.

De même sur la face aval, on aP2 = ϱu22Bh2.

Question (f)

Le principe de conservation de la quantité de mouvement implique

P1 + P2 = F + F1 + F2,

avec F la force exercée par la vanne sur le volume de contrôle. On a donc

F = P1 + P2 − F1 − F2 = ϱB(−u21h1 + u22h2) +1

2ϱgB(h22 − h21),

et en se servant de la conservation de la masse, on élimine u2 et on obtient

F = ϱBu21h1

(h1h2

− 1

)− 1

2ϱgBh21

(1− h22

h21

)ou bien encore

F = ϱu1Q

(h1h2

− 1

)− 1

2ϱgBh21

(1− h22

h21

)

Question (g)

AN F = −732,5 kN.



Question (a)

Dans le référentiel du terrain, le ballon fait tourner localement l’air autour de lui.vA,t = ω ∗ a et vB,t = −ω ∗ a. Dans le référentiel du ballon (en translation rectilignepar rapport au terrain, c’est à dire sans rotation), tout se passe comme si l’air est animé dela vitesse du ballon en sens opposé, vA,b = ωa− vballon et vB,b = −ωa− vballon.

Question (b)

On se place dans le référentiel du ballon car dans ce dernier l’écoulement est perma-nent. On va supposer zA = zB . D’après le théorème de Bernoulli ce qui permet d’écrire

ϱv2A,b

2+ pA =

ϱv2B,b

2+ pB

d’où

pA−pB =ϱ

2

(v2B,b − v2A,b

)=ϱ

2

((−ωa− vballon)

2 − (ωa− vballon)2)=ϱ

2(4ωavballon) .

Comme pA − pB est positif, la balle va subir une force vers le bas sur le schéma.

Question (c)

On intègre la force sur la surface de la sphère et on trouve que la force exercé est ladifférence de pression fois l’aire du disque :

|| FMagnus ||= FMagnus = (pA − pB)πa2 = 2πϱωa3vballon.

Question (d)

On égalise la force centrifuge Fc = mRω2 = mv2ballon/R avec la force de MagnusFMagnus et on trouve l’expression du rayon :

R =mv

2πϱωa3.

Question (e)

Nous avons maintenant l’ensemble des données nécessaires pour trouver la distanceD. Il faut pour cela faire un peu de trigonométrie. Sur la figure, ci-dessous, on a tracé lacourbe de la trajectoire de rayon R, dont la tangente en C fait un angle α avec AC. Ontrouve le point B en traçant la perpendiculaire à AC, passant par A et coupant l’arc, lepoint B correspond au point où la balle quitte le terrain. Le triangle OBC est isocèle doncon a la relation

β + 2γ = π.


On observe que l’angle η = α+ γ − π2 . Le triangle ABC est rectangle donc

tan η = D/l.

Donc, on a :D = l tan(α− β/2).

Il faut encore déduire l’angle β, on utilise pour cela l’approximation des petits angles ondisant que l est approximativement égal à l’arc entre B et C. Ainsi

β =l

R.

On déduitD = l tan(α− l

2R).

Application numérique : D = 3,6 m donc le ballon rentre bien dans les cages puisqueelles font 7,3 m de large.

D

α

β

lη

γ

γA

B

CO

Figure 4.29 : Resolution trigonométrique


Question (a)

Il suffit d’écrire la relation entre débit et hauteur

u1 = 4Q1

πD21

, u2 = 4Q2

πD22

, et u3 = 4Q3

πD23

L’application numérique donne : u1 = 1,88 m·s−1 et u2 = u3 = 4,77 m·s−1.


Question (b)

On applique le théorème de Bernoulli

p2 = p3 = p1 +1

2ϱ(u21 − u22),

dont l’application numérique fournit p2 = p3 = 490,38 kPa.

Question (c)

Les forces de pression ont pour amplitude Fi = piπD2i /4. Le signe dépend de chaque

section de contrôle : positif pour les sections 1 et 3, mais négatif pour la 2. Les valeursnumériques sont F p

1 = (79,52 ; 0) kN; F p2 = (0 ; − 15,40) kN; et F p

3 = (0 ; 15,40) kN.

Question (d)

Par définition le flux est la force définie par

Fmi =

∫Si

ϱu(u · n)dS,

L’application numérique est directe : Fm1 = (0,566 ; 0) kN; Fm

2 = (0 ; 0,716) kN; etFm

3 = (0 ; − 0,716) kN.

Question (e)

On note que pour les sections 2 et 3, les forces de pression et de flux de quantité demou-vement se contrebalancent exactement, donc F r

y = 0. La section 1 (entrante) est associéeà une force effective totale

F 1 = F p1 − Fm

1 = −∫S1

(pn+ ϱu(u · n))dS,

et d’après le principe d’action et de réaction de Newton, la force de réaction doit contreba-lancer exactement cette force horizontale pour que la paroi verticale de la fonction soit enéquilibre, donc

F rx = −|F 1|,

soit numériquement F rx = −78,9 kN.

CHAPITRE5Hydraulique

Rappel du cours

Charge totale et charge spécifique

La charge totale hydraulique est définie comme :

H = yℓ + h+u2

2g︸︷︷︸Hs

,

avec yℓ la cote du fond, h la hauteur d’eau, u la vitesse moyenne. Il est souvent plus com-mode de travailler avec la charge spécifique Hs.

Condition d’équilibre

Pour un canal de section quelconque, l’écoulement est en équilibre si le frottement lié àla contrainte pariétale τp le long du périmètre mouillé χ compense la composante motricedu poids

χτp = Sϱg sin θ,avec S la section mouillée et θ la pente du fond, ce qui donne la condition d’équilibre:

τp = ϱg sin θRH ≈ ϱgiRH ,

Pour des pentes faibles, on a en effet sin θ ≈ tan θ = i (i est la pente du lit). On a introduitle rayon hydraulique RH = S/χ. Pour un canal infiniment large, la condition d’équilibredevient

τp = ϱgh sin θ ≈ ϱgih.

Lois de frottement

La loi la plus employée car valable pour une large gamme de débits et de rugosité estla loi de Manning-Strickler ; la contrainte pariétale τp s’écrit

τp =ϱg

K2

u2

R1/3H

,

103

104 Chapitre 5 Hydraulique

avecK le coefficient de Manning-Strikler souvent relié à la rugosité du lit, par exemple laloi de Meyer-Peter (1948) :

K =26

d1/690

.

La loi de Chézy est la formule historique, peu utilisée aujourd’hui si ce n’est pour obtenirdes ordres de grandeur

τp =ϱg

C2u2,

avec C le coefficient de Chézy

La loi de Keulegan est une formule bien adaptée pour les écoulements sur des lits àgravier. Elle revient à supposer que la contrainte à la paroi serait similaire à celle donnéepar la formule de Chézy, mais avec un coefficient C =

√gκ−1 ln(11h/ks) fonction de la

hauteur d’eau et de la rugosité, soit encore :

τp =κ2

ln2 (11h/ks)ϱu2, (5.1)

avec κ la constance de von Kármán et ks une taille caractéristique des rugosités du lit(ks ≈ 2d90).

Hauteur normale

La hauteur normale est la profondeur moyenne d’eau en régime permanent uniforme.Elle se calcule en égalant contrainte pariétale et contrainte motrice. Par exemple, si l’onapplique une loi de type Manning-Strickler, on obtient une équation implicite pour hn

Q = hBu = KR2/3H

√iS,

(avec S = hB = f(hn) la section d’écoulement, B la largeur au miroir, Q le débit total,h la hauteur moyenne d’eau) qui peut se résoudre explicitement dans le cas d’un canalinfiniment large (B ≫ h, soit RH ≈ h) :

hn =

(q

K√i

)3/5

,

avec q le débit par unité de largeur.

Hauteur critique

La hauteur critique est la hauteur d’eau pour laquelle le nombre de Froude vaut 1. Pourun canal quelconque caractérisé par la relation S(h), le nombre de Froude est défini par

Fr2 =Q2

gS3

∂S

∂h.

Lorsque le canal est à section rectangulaire (largeur B), alors S(h) = Bh et Q = qB, etdonc la définition de Fr se simplifie

Fr2 =q2

gh3=u2

gh.

Chapitre 5 Hydraulique 105

Pour ce type de canaux, la condition Fr = 1 nous donne l’expression suivante de la hau-teur critique

hc =3

√q2

g.

Régimes d’écoulement

On distingue trois régimes d’écoulement :

– régime subcritique (ou fluvial) : Fr < 1 ou encore hn > hc ;– régime supercritique (ou torrentiel) : Fr > 1 ou encore hn < hc ;– régime critique : Fr = 1.

Courbe de remous

L’équation de la courbe de remous est l’équation différentielle régissant la variation dehauteur h(x) en régime permanent non uniforme. Pour un canal rectangulaire, elle s’écrit

dhdx =

jf − i

Fr2 − 1.

Les conditions aux limites dépendent du régime d’écoulement :

– régime subcritique : il faut placer la condition sur h à l’aval ;– régime supercritique : l’écoulement est commandé par l’amont.

Ressaut hydraulique

Un ressaut hydraulique se forme lorsque l’écoulement passe de supercritique à sub-critique. Sous certaines conditions (voir cours), on peut calculer la hauteur h2 à l’aval enfonction de ce qui passe à l’amont (hauteur h1 et Froude Fr1) :

h2h1

=1

2

(√1 + 8Fr21 − 1

).

Cette relation s’appelle équation du ressaut ou équation de conjugaison.

Seuil et déversoir

Les déversoirs sont des ouvrages aux formes variées : déversoir à paroi mince pourmesure un débit (plaque mince verticale), barrage-déversoir (barrage au fil de l’eau avecévacuation du trop plein), déversoir mobile (vanne à clapet, vanne à batardeaux, etc.) quipermet d’ajuster la pelle, et déversoir à seuil épais (ouvrage souvent profilé). Un seuil per-met de « contrôler » un débit, par exemple pour créer un plan d’eau, pour augmenter leshauteurs d’eau à l’étiage, ou alimenter des prises d’eau.

Lorsqu’un seuil est dénoyé (c.-à-d. l’aval n’influence pas l’amont), le débit au-dessusdu seuil vaut

q = CD√g

(2

3(H − p)

)3/2

,


avec CD le coefficient de débit, H la charge à l’amont immédiat du seuil, et p la pelle (lahauteur) du seuil. Ce coefficient dépend de la géométrie du seuil (épais, à paroi mince), desa largeur, et de la géométrie d’écoulement (contraction ou non de la lame). Si le seuil estnoyé, la loi de débit est alors une relation liant le débit et la différence de hauteur h1 − h2de part et d’autre du seuil noyé

Q = CD√g

(2

3(h1 − h2)

)1/2

(h2 − p).

Exercice 1 : écoulement dans une conduite circulaire

On s’intéresse au débit Q s’écoulant dans une conduite circulaire de diamètre d =1000mm. La conduite est en béton et le coefficient deManning-Strickler vautK = 80m1/3s−1.La pente vaut i = 0,1 %. Le tirant d’eau (c.-à-d. la profondeur d’eau maximale) observé esthmax = 80 cm.

1. Dessiner une coupe en travers de la conduite et indiquer le tirant d’eau hmax, lalargeur au miroir B, le périmètre mouillé χ ainsi que la section mouillée S.

2. L’écoulement est-il à surface libre ou en charge ? Rappeler la force motrice de l’écou-lement dans chacun des cas.

3. Calculer le périmètre mouillé χ, la section mouillée S et le rayon hydraulique RH .4. ExprimerQ en fonction de S,RH , i etK selon la loi de Manning-Strickler. Rappeler

pour quel régime la loi de Manning-Strickler est valide. Est-ce le cas ici ?5. Calculer Q selon la loi de Manning-Strickler.

Exercice 2 : canal à section triangulaire

Soit un débit Q s’écoulant dans un canal à section triangulaire. Pour un canal à l’étatneuf, le niveau d’eau correspondait à la marque L1 = 2 m sur la paroi du canal (voirfigure 5.1). Après plusieurs années d’utilisation, la rugosité du canal a augmentée et lecoefficient de Manning-Strickler K a diminué de moitié. Calculer la valeur de la nouvellemarque L2 sur la paroi du canal.

Exercice 3 : canal à section rectangulaire

Soit un canal à section rectangulaire de largeur constante où s’écoule de l’eau à undébit par unité de largeur q = 0,52 m2/s. La hauteur d’eau à l’amont d’une rampe de15 cm est h1 = 69 cm (voir figure 5.2).

1. Rappeler la définition de la hauteur critique hc, l’exprimer en fonction de q (partirde la formule du nombre de Froude) et la calculer.

2. Calculer la hauteur d’eau à l’aval de la rampe h2 en utilisant le diagramme de lacharge spécifique adimensionelle de la figure 5.2 (commencer par écrire la chargetotale et la charge spécifique à l’amont et à l’aval de la rampe). On négligera leseffets visqueux.


Figure 5.1 : coupe en travers du canal.

Figure 5.2 : profil en long de la rampe.

Exercice 4 : canal à section trapézoïdale

Soit un écoulement d’eau en régime permanent uniforme dans un canal de sectiontrapézoïdale dont la largeur au fond est b = 5 m. La pente des berges est de 45°(voirfigure 5.4). La hauteur d’eau observée est h = 4 m. Le coefficient de Manning-Strickler,qui décrit la rugosité du lit, vautK = 40 m1/3s−1.

1. Calculer la largeur au miroir B, le périmètre mouillé χ, la section mouillée S et lerayon hydraulique RH .

2. Sachant que le débit vaut Q = 100 m3/s, calculer la pente i du canal.3. Donner la hauteur normale hn. La formule hn = (q/(K

√i))3/5, dérivée de la loi de

Manning-Strickler, est-elle valide ici (avec q le débit par unité de largeur) ? Justifiervotre réponse.

4. Calculer le nombre de Froude. Le régime est-il subcritique (fluvial) ou supercritique(torrentiel) ?


Figure 5.3 : variation de la charge spécifique,H∗ = Hs/hc et ξ = h/hc.

5. Calculer la hauteur critique hc puis la comparer avec h. Faire le lien avec la questionprécédente.

Figure 5.4 : coupe en travers du canal.

Exercice 5 : canal à section rectangulaire

Le long d’un canal de section rectangulaire, la hauteur d’eau h entre une section amontet une section aval est diminuée de moitié. Le nombre de Froude passe d’une valeur sub-critique Fr1 = 0,5 à une valeur supercritique Fr2 = 3. Sachant que la largeur de la sectionamont est B1 = 4 m, déterminer la largeur B2 de la section aval.


Exercice 6 : rivière de montagne

Une rivière de montagne dont le lit est composé d’un gravier grossier (d90 = 200mm),arrive en plaine avec une transition brusque de pente de fond: iam = 20,0 % et iav = 0,5 %.Sa largeur reste partout constante :B = 4m. Le débit en crue de cette rivière est deQ = 6m3 s−1. Un pont, s’élevant 2,50 m au-dessus du lit de la rivière, est situé 140 m en aval dela transition de pente. Voir figure 5.5.

Figure 5.5 : schéma de l’aménagement.

1. Vérifier la sécurité du pont au passage de la crue.2. Existe-il un ressaut hydraulique causé par la transition de pente? Si oui, calculer sa

position.

Indications :

– Pensez à estimer la rugosité du lit à l’aide du d90 et ainsi pouvoir utiliser une loi defrottement.

– Considérez les équations pour un canal infiniment large.– Lorsqu’il y a passage brusque d’un régime supercritique à un régime subcritique,

un ressaut se forme. Suivant les conditions hydrauliques, le ressaut peut se formerdans la première partie de l’écoulement ou dans la seconde. Utiliser la méthode dela courbe conjuguée pour déterminer la position du ressaut

Exercice 7 : courbe de remous

Un canal de section rectangulaire et de pente constante (0,5%) est divisé en deux partiesde 1 km de longueur chacune, et il se termine par un seuil de 1 m de hauteur. Dans lapremière partie, la largeur du canal est de 10 m et le lit est fait de graviers grossiers (d90 =10 cm). Dans la seconde partie, la largeur est de 5 m et le lit est fait de graviers plus fins(d90 = 1 cm). Voir figure 5.6. Tracez l’allure de la courbe de remous. Le débit étantQ = 20m3 s−1.


1.0 m

d90=0.1

d90=0.015.0 m

10.0 m

i = 0.005

vue de dessus

vue de côté

1.0 km

1.0 km

Figure 5.6 : schéma des deux biefs.

1. Donnez la hauteur critique pour chaque partie.2. Donnez la hauteur normale pour chaque partie (le canal n’est pas supposé infini-

ment large).3. Quel est la hauteur d’eau juste à l’amont du seuil ?4. Quels régimes d’écoulement peut on observer? Y a-t-il un ressaut hydraulique?5. Tracez l’allure de la courbe de remous, ainsi que les hauteurs critiques et normales.

Exercice 8 : canal d’irrigation

Un petit canal agricole de section rectangulaire et largeur b1 = 1 m, a une porte ver-ticale avec une ouverture a pour contrôler l’écoulement sortant (µ = 0,6). Le débit estusuellement déterminé par un rétrécissement de largeur b2 = 0,3met de hauteur hs = 0,2m. Le débit mesuré est Q = 0,25 m3/s et vous savez que l’écoulement est subcritique surla section (1) (voir figure 5.7). Quelles sont les hauteurs dans les sections (1) à (5) de ma-nière à ce que les hauteurs (4) et (5) soient conjuguées? Quelle est l’ouverture pour cettecondition?

Hypothèses :

– à l’aval de la porte verticale, il n’y a pas de contrôle hydraulique sur l’écoulement ;– les pertes de charge sont négligeables.

Exercice 9 : rétrécissement d’un canal

Le canal de la figure 5.8 (bA, iA, K) a un pas de hauteur a où il change de pente (iB)et un changement de largeur (bA).

1. Déterminer les hauteurs dans les sections (1) à (4), indiquées sur la figure, en négli-geant les pertes de charge singulières.

2. Classifiez et tracez qualitativement la courbe de remous, avec les hauteurs caracté-ristiques des différentes parties.


(1) (2) (3) (4) (5)

b1 b2 b1

hs a,μ

Q

Figure 5.7 : coupe transversale et profil en long du canal agricole

Données : Q = 0,5 m3/s, K =55 m1/3/s, iA = 0.01, iB = 0,0005 , a = 0,25 m,bA = 1,5 m, bB = 1 m.

(1) (2) (3) (4)

a

Q

Q

bA bB

iB

iA

Figure 5.8 : coupe transversale et profil en long du canal.


Problème 1 : évacuateur de crue

Les évacuateurs de crue sont des ouvrages hydrauliques disposés sur des barrages pourlaisser transiter une crue lorsque le niveau dans le lac d’accumulation dépasse un certainniveau et présente un danger. Lorsque le débit à évacuer est important, il faut parfois desouvrages complexes qui présentent une convergence marquée de la largeur du coursier(voir l’exemple de la figure 5.9). On étudie ici un tel dispositif.

On considère un évacuateur de crue de section rectangulaire en béton : le radier (lefond) et les bajoyers (murs droits) sont du même béton. Sa pente est constante et notéei. Sa longueur est L. Sa largeur est variable, et c’est une fonction supposée connue notéeB(x). Le frottement est de type Chézy, avec un coefficient de rugosité C . Le débit Q àlaisser transiter est constant.

(a) On souhaite établir l’équation de la courbe de remous pour un canal convergent. En s’ins-pirant de la démonstration vue en cours pour le canal de largeur constante, considérerl’équation de la charge hydrauliqueH

h+ z +u2

2g= H,

avec h la hauteur d’eau, z la cote du radier, u la vitesse moyenne. En différentiant parrapport à x et en introduisant la pente d’énergie j = −H ′(x) et la pente du radier i,obtenir l’équation différentielle de la hauteur d’eau h.

(b) On suppose que la largeur du canal est grande par rapport à la hauteur en sorte de pouvoirsimplifier l’expression du rayon hydraulique. En déduire les équations algébriques vérifiéespar la hauteur normale hn et la hauteur critique hc (on rappelle que celles-ci correspondentrespectivement aux cas h′ = 0 et h′ → ∞).

(c) Dans le cas d’un radier droit (à largeur constante), quelle est la condition portant sur lenombre de Froude pour que l’écoulement soit supercritique? Dans le cas d’un frottementde type Chézy, montrer que cette condition est indépendante du débit et permet de mettreen évidence une pente critique séparant régimes sub- et supercritique.

(d) On considère le cas d’une convergence linéaire :

B(x) = B0 − kx,

avec k > 0. En supposant que k ≪ 1, faire un développement asymptotique à l’ordre1 de l’équation algébrique et en déduire une expression analytique. Pour quelles condi-tions l’écoulement est-il supercritique? Est-ce qu’une contraction de la largeur du radieraugmente ou diminue la pente critique?

(e) On considère le cas limite k = 0 (canal à largeur constante). Calculer la hauteur normaleet la hauteur critique dans le cas où L = 200 m, Q = 500 m3/s, B0 = 50 m, i = 0,2, etC = 80m1/2/s. Tracer l’allure de la courbe de remous dans le cas où la hauteur au sommetde l’évacuateur de crue est h0 = 1 m.


Figure 5.9 : example d’évacuateur de crue avec une convergence.


Problème 2 : mesure de débit à l’aide d’un Parshall

Un Parshall est un dispositif qui sert à mesurer le débit dans un canal à partir de lamesure de la hauteur (voir figure 5.10). Il comporte :

– un tronçon convergent, tout d’abord ascendant puis horizontal, où l’écoulement estsubcritique ;

– un coursier à pente descendante, étroit de largeur constante W2, où l’écoulementest critique ;

– un tronçon divergent et légèrement ascendant, où l’écoulement est supercritique.

On mesure la hauteur d’eau h1 dans un puits relié au premier tronçon au niveau de lasection 1 (voir figure 5.10). La largeur du canal en cette section est notéeW1. Le débit totalest Q. Le régime est permanent. La différence d’altitude entre le sommet du seuil (section2) et le lit du canal est notée ∆z. On appelle hc la hauteur critique atteinte dans le secondtronçon où l’écoulement est critique (on a donc h2 = hc). Le seuil est dénoyé.

(a) Donner l’expression de l’énergie totale à la section 2 en fonction de ∆z et hc. On peutrépondre en termes d’énergie totale ou de charge hydraulique.

(b) Donner l’expression de l’énergie totale à la section 1 en fonction de ∆z, Q,W1 et h1. Onpeut répondre en termes d’énergie totale ou de charge hydraulique.

(c) En négligeant la dissipation d’énergie entre les sections 1 et 2, déterminer l’équation (im-plicite) permettant de calculer le débit si on suppose que h1 est déterminée (à partir d’unemesure dans le puits).

(d) Faire une application numérique.(e) Dans l’expression de l’énergie spécifique à la section 1, laquelle des deux contributions est

négligeable et pourquoi ? En déduire une expression approchée permettant de déduire Qen fonction de∆z,W2,W1 et h1. Faire une application numérique. Quelle est la précisionde cette approximation?

Données numériques :

– Largeur des tronçons :W1 = 6 m etW2 = 2 m– Hauteur mesurée h1 = 1 m– Hauteur de la marche ∆z = 30 cm


convergence crête du déversoir

coursier

divergent

écoulement

ressaut hydraulique

écoulement

vue en plan

vue en coupeseuil noyé

seuil dénoyé

puits de mesure

section 1 section 2

∆ z

Figure 5.10 : schéma d’un canal Parshall.


Problème 3 : canal de laboratoire

On considère un écoulement permanent d’eau dans un canal de laboratoire. Le fondest composé d’un lit en gravier. La section est rectangulaire de largeur W = 60 cm. Lesparois sont en verre. La pente du lit est 2 %. Le diamètre d90 est 6 mm. Le débit liquideest Q = 25 l/s. La longueur du canal est 20 m. À la sortie du canal, l’eau chute dans unréservoir (on peut considérer que l’écoulement devient critique à la sortie du canal).

(a) Pourquoi peut-on faire l’approximation d’écoulement indéfiniment large dans le cas pré-sent.

(b) Calculer la hauteur normale et la hauteur critique.(c) Quel est le régime d’écoulement.(d) [0,40] Tracer le profil de hauteur (courbe de remous) en prenant 3 hauteurs initiales (c.-à-d.

la hauteur à l’entrée du canal x = 0) h = 2 cm, 5 cm, 10 cm. Justifier la forme des courbestracées.


Problème 4 : embranchement

Un canal rectangulaire de largeur B = 5 m et de longueur l = 1000 m a une pentei = 10−3. Le débit vaut Q = 10 m3/s et la hauteur d’eau est de h0 = 3,1 m dans la partiedu bief où la hauteur est uniforme. Ce canal se divise ensuite en deux canaux secondairesde même section et de pente is = 1 % (voir figure 5.11).

(a) En supposant que la résistance du lit peut être décrite à l’aide de la loi généralisée deKeulegan, déterminer la rugosité ks du lit. On prendra κ = 0,41 pour la constante de vonKármán. Discuter la validité de cette formule dans notre cas.

(b) Répondre à la même question en prenant la loi de Manning-Strickler : que vaut le coeffi-cient de Manning-StricklerK ?

(c) Quel est le débitQ1 correspondant à une hauteur d’eau h1 = 4,5mdans le canal principal ?On répondra en utilisant les lois de Keulegan et de Manning-Strickler.

(d) Calculer le nombre de Froude Fr et le nombre de Reynolds Re pour le canal principallorsque le débit vautQ1. On utilisera le débit trouvé avec loi deManning-Strickler. Caractériserle régime d’écoulement. Rappel: pour les écoulements à surface libre, on utilise le rayon hy-drauliqueRH comme dimension caractéristique dans la définition du nombre de Reynolds.On utilise souventRe = 4RHU/ν, avec ν la viscosité cinématique du fluide et U la vitessemoyenne de l’écoulement.

(e) Quelle est la hauteur d’eau h2 dans les canaux secondaires pour un régime permanentuniforme lorsque la hauteur vaut h1 dans le canal principal ? On négligera le coefficientde perte de charge singulière au niveau de l’embranchement et on se servira de la loi deManning-Strikler.

(f) Que vaut la hauteur critique hc dans les canaux secondaires?(g) Quelle est la forme de la surface libre? La tracer qualitativement en plaçant les éléments

remarquables.(h) On remplace les canaux secondaires par des canaux à section trapézoïdale de base b = 3m.

Le fruit des berges est 1:3. Calculer la hauteur d’eau pour un canal secondaire en régimepermanent uniforme lorsque le débit vaut Q1. Calculer le nombre de Froude.

Figure 5.11 : vue en plan du canal principal se scindant en deux canaux secondaires.


Problème 5 : déverse d’un lac dans un canal

Un lac de retenue est situé derrière un barrage de hauteur h0. Les pentes de talus sontϕ = 30° par rapport à l’horizontale. Ce barrage est percé par une buse de vidange dediamètreD sur toute sa largeur comme le montre la coupe ci-dessous. La hauteur de pleinbord est notée également h0. Lorsque que la retenue est pleine, une vanne vidange le lacpar l’intermédiaire de la buse. L’eau est déversée dans un canal de pente i, de largeur ℓ,et de longueur L. Au bout du canal se trouve un seuil dont la pelle est p. Le canal est engravier. Pour simplifier les calculs, on négligera l’effet de la largeur dans le calcul du rayonhydraulique (on supposera donc que la largeur est bien plus grande que la hauteur d’eaumême si ce n’est pas le cas numériquement). Voir figure 5.12.

p

L

h

Figure 5.12 : schéma de l’aménagement étudié.

Données :

– la hauteur du barrage est h0 = 10 m;– la granulométrie du gravier du canal est d90 = 20 mm;– le diamètre de la buse est D = 0,5 m;– les longueur et largeur du canal sont respectivement L = 1000 m et ℓ = 5 m;– la pelle vaut p = 1 m et le seuil est dénoyé ;– la pente du canal est i = 0,1 %.

(a) Calculez la force de pression totale par unité de largeur qui s’exerce sur la face amont dubarrage lorsque la retenue est pleine d’eau. Faites l’application numérique.

(b) En vous servant de la formule de Torricelli en déduire le débit transitant par la buse.(c) En supposant que le jet à la sortie de la buse occupe immédiatement toute la largeur du

canal et que la vitesse reste identique, calculez la hauteur d’eau juste en aval de la buse?(d) Calculez le coefficient de Manning-Strickler en vous servant de la formule de Jäggi. Pour

la suite des calculs, on arrondira la valeur deK à la valeur entière la plus proche.(e) Calculez la hauteur normale dans le canal en considérant une loi de Manning-Strikler pour

la résistance du lit (avec la valeur deK trouvée précédemment).(f) Calculez la hauteur critique dans le canal.(g) Quel est le régime d’écoulement une fois que l’eau a atteint un régime permanent uni-

forme?(h) En négligeant toute dissipation d’énergie en amont du seuil, calculez la charge spécifique

au niveau du seuil.


(i) En déduire la hauteur d’eau juste à l’amont du seuil.(j) Tracez qualitativement la ligne d’eau (courbe de remous) en la plaçant correctement par

rapport aux grandeurs caractéristiques. Commentez le graphique avec les caractéristiquesessentielles de la ligne d’eau.


Problème 6 : méthode demesure sommaire du débit

Vous travaillez pour le compte d’une commune de montagne qui souhaite créer un lacd’accumulation en détournant une partie du débit d’un torrent. Pour cela, une conduite dediamètreD = 2R, de longueurL, et de pente i est placée dans le torrent et capte une partiedu débit transitant par le torrent. Un jet se forme à la sortie de la conduite. La question quise pose à vous est de savoir comment déterminer le débit dévié dans la conduite avec desmoyens rudimentaires.

(a)

(b)

Figure 5.13 : géométrie de la conduite. (a) vue de face. (b) vue de côté ; le cadre noir repré-sente le volume de contrôle pour le calcul.


On adoptera les notations usuelles du cours :

– périmètre mouillé χ, rayon hydraulique Rh, et section mouillée S ;– vitesse moyenne u = Q/S ;– θ l’angle que fait la surface libre par rapport à la verticale ;– On appelle x la direction de l’écoulement.

On considère que dans la conduite, l’écoulement est à surface libre. Sur la plus majeurepartie de la longueur, l’écoulement a une hauteur d’eau qui est égale à la hauteur normalehn. La conduite est en acier avec un coefficient de Manning-Strickler K . On rappelle quecette loi s’écrit

τp =ϱg

K2

u2

R1/3h

Si on exprime la formule en termes de pente de frottement, cette loi s’écrit

jf =τp

ϱgRh= −dH

dx =u2

K2R4/3h

On considère que le taux de remplissagemaximal est de 50 %, c.-à-d. que θ ≤ π/2 ou h ≤ Rpour la gamme d’écoulements étudiés. Pour les applications numériques, on prendra lesvaleurs suivantes :

– R = 20 cm, L = 50 m, et i = 10 %;– Q = 200 L/s ;– K = 85 m1/3/s.

(a) Quelle est l’expression de la hauteur normale en régime permanent? (on se contentera dedonner l’équation implicite vérifiée par la hauteur normale).

(b) Calculer la relation entre section mouillée S, hauteur d’eau h, rayonR, et angle θ. Montrerqu’en première approximation, cette surface mouillée est voisine de S =

√Dh3. Quelle

est l’erreur (relative) maximale commise?(c) Écrire la définition de la charge spécifiqueHs. On va s’inspirer ici de ce qu’on avait fait en

cours pour établir la hauteur critique.Montrer qu’à débit constant, la fonctionHs admet unminimum, qui sépare deux domaines : le domaine supercritique et le domaine subcritique.Quelle est la définition de la hauteur critique? (on se contentera de donner l’équationimplicite vérifiée par la hauteur critique).

(d) En vous servant de l’approximation S =√Dh3 et du développement asymptotique au

premier ordre arccos(1 − x) =√2x quand x → 0, calculer une approximation explicite

des hauteurs critique et normale.(e) Faire l’application numérique. Caractériser le régime d’écoulement. Est-ce que ce résultat

peut changer sachant que l’on a fait des approximations pour arriver à ce résultat ? Si onveut résoudre l’équation de la courbe de remous, où faut-il placer la condition aux limites ?

(f) En vous inspirant de ce qu’on a vu en cours pour établir l’équation de la courbe de remous,déduire l’équation de la courbe de remous en différentiant l’équation de conservation dela charge H par rapport à x dans le cas d’un écoulement permanent. En vous servant del’approximation S =

√Dh3 et des approximations trouvées précédemment pour les hau-

teurs normale et critique, écrire une approximation de l’équation de la courbe de remouspour une conduite circulaire inclinée sous la forme d’une équation de Bresse :

dhdx = i

1− (hn/h)p

1− (hc/h)q,


avec p et q deux coefficients à déterminer.(g) À la sortie de la conduite, un jet se forme. La pression qui était hydrostatique dans l’écou-

lement d’eau dans la conduite devient uniforme (en première approximation) et égale àla pression atmosphérique (cela sera utilisé à la question 9). On cherche à déterminer lahauteur d’eau he à l’exutoire de la conduite. On va pour cela appliquer le théorème deconservation de la quantité de mouvement (5.22) sur un volume de contrôle – voir figure1(b) – pour un écoulement d’eau en régime permanent. Que vaut la résultante des forcesde pression sur la face amont S0 en supposant qu’on est suffisamment loin de l’exutoireet que la pression est hydrostatique (comme d’habitude on supposera que la pression am-biante est nulle) ? Montrer que cette force (sous forme algébrique) peut être approchée parl’expression :

Fp =3

4ϱg

√Rh5.

(h) Comment s’exprime le flux de quantité de mouvement Φ0 (projeté le long de x)à traversS0 en supposant le profil de vitesse uniforme? En vous servant de l’approximation S =√2Rh3, proposez une approximation Φ0.

(i) À l’exutoire de la conduite, il se forme un jet. La pression devient non hydrostatique sur laface Se : p ≈ ϱg(h−z)−ϱg(h−z)2/h. Comme le montre la figure 5.14, la pression est plusfaible que la pression hydrostatique. En conséquence, en première approximation, on vasupposer que la pression est égale à la pression atmosphérique surSe et qu’en conséquence,la résultante des forces de pression surSe est nulle. Le profil de vitesse est également affectédans la zone de transition « écoulement à surface libre »→ « jet ». On va toutefois supposerqu’il est uniforme. Exprimez le flux de quantité de mouvement Φe et une approximationΦe en vous servant de S.

(j) En vous servant de l’équation de la conservation de la quantité de mouvement (5.22), écri-vez la relation (approchée) liant les flux de quantité de mouvement Φe et Φe à la forcede pression Fp sur S0 (on néglige : l’effet de la pesanteur, le frottement sur les parois, etla pression à l’exutoire). Simplifiez cette relation en introduisant le nombre de Froude àl’amont et le rapport de hauteur :

Fr20 =3

4

Q2

gRh40et Y =

heh0.

Faire une application numérique en supposant que h0 = hn.(k) Tracez la forme de la courbe de remous en prenant comme hauteur d’eau à l’entrée de la

conduite : hi = 20 cm.(l) Est-ce qu’en mesurant la hauteur d’eau he à l’exutoire on dispose d’un moyen commode

et précis d’estimer le débit ? Quelle précision pensez-vous obtenir ?


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figure 5.14 : profil (adimensionnalisé) de pression à l’exutoire de la conduite : profil hydro-statique (trait continu) et approximation d’un profil non hydrostatique (trait discontinu).




Données :

– diamètre de la conduite : d = 1000 mm;– coefficient de Manning-Strickler :K = 80 m1/3. s−1 ;– pente : i = 0,1 %;– tirant d’eau : hmax = 80 cm.

Question (a)


Question (b)

L’hydraulique à surface libre se différencie de l’hydraulique en charge par l’existenced’une surface libre, c’est-à-dire d’une surface où l’écoulement est en contact direct avecl’atmosphère. La conduite n’étant que partiellement remplie d’eau, l’écoulement est bien àsurface libre. La gravité est l’agent moteur des écoulements à surface libre, alors que, pourles écoulements en charge, c’est le gradient de pression.

Question (c)

Tout d’abord, exprimons l’angle θ (voir figure 5.15) en fonction des données du pro-blème.

d

2− (d− hmax) =

d

2sin θ,

hmax −d

2=d

2sin θ.


Ainsi :

θ = arcsin(2(hmax − d

2

)d

)

= arcsin(2hmax

d− 1

)= 0,644 rad

De cette manière, nous pouvons calculer :

– Le périmètre mouillé :

χ = πd

2+ 2

d

2θ

= 2,21 m

– La surface mouillée :

S =

(d

2

)2 (π2+ θ)+

(hmax −

d

2

)(d

2cos θ

)=

(d

2

)2 (π2+ θ + sin θ cos θ

)= 0,67 m2

La surface mouillée peut être vue comme la somme d’un cercle non rempli délimitéepar les angles−π−θ et π+θ et d’un triangle de base d cos θ et de hauteur hmax− d

2

– Le rayon hydraulique :

RH =S

χ

= 0,303 m

Question (d)

La loi de Manning-Strickler est valide en régime permanent uniforme, c’est-à-direlorsque les caractéristiques de l’écoulement, comme la vitesse et la hauteur d’eau ne va-rient ni dans le temps, ni le long de la direction d’écoulement. Ici, le débit est constantdans le temps et l’écoulement est établi ; le régime est donc permanent. La conduite estuniforme (toutes les sections en travers sont identiques). Le régime est donc uniforme.Celle-ci permet d’exprimer le débit Q tel que :

Q = SR2/3H

√iK.

Question (e)

En appliquant la loi de Manning-Strickler, nous obtenons :


Q = SR2/3H

√iK,

= 0,67× 0.32/3√

0,1

10080,

= 0,77 m3/s.


On peut appliquer la loi de Manning-Strickler exprimée par :

Q = KR2/3H

√iS.

Deux états sont ici à considérer. On notera les variables (K , RH et S) par les indices 1et 2, l’état neuf et abîmé, respectivement. Les variablesQ et i ne dépendent pas de l’état ducanal. En considérant un canal trapézoïdal avec (b = 0), la section et le périmètre mouillés’expriment respectivement par :

– S = 12Bh ;

– χ =2h

cosϕ .

En faisant référence à la figure 5.16, on a :

– B = 2L sin θ ;– h = L cos θ ;– ϕ = θ ;

d’où :

– S = L2 sin θ cos θ ;– χ = 2L.

Comme le débit est constant entre les deux états, nous avons d’après la loi de Manning-Strickler :

K1R2/3H,1

√iS1 = K2R

2/3H,2

√iS2,

K1S5/31

χ2/31

= K2S5/32

χ2/32

,

K1(L2

1 sin θ cos θ)5/3

2L2/31

=K1

2

(L22 sin θ cos θ)5/3

2L2/32

,

L8/31 =

1

2L8/32 ,

L2 = 2L3/81 ,

L2 = 2,59 m.


Figure 5.16 : coupe transversale du canal.


Question (a)

La hauteur pour laquelle on a Fr = 1 s’appelle la hauteur critique hc. On distinguedeux régimes selon la valeur du nombre de Froude:

– Fr < 1, régime subcritique plus couramment appelé régime fluvial pour lequel ona h > hc ;

– Fr > 1, régime supercritique plus couramment appelé régime torrentiel pour lequelon a h < hc.

Le nombre de Froude est donné par la formule :

Fr =u√gh.

La hauteur critique hc, dans le cas d’un canal rectangulaire de largeur B, s’exprimedonc par :

Q

S√ghc

= 1,

qB

Bhc√ghc

= 1,

q =√gh3/2c ,

hc =

(q2

g

)1/3

,

hc = 0,30 m.


Question (b)

Pour rappel, lorsque l’on considère un canal rectangulaire avec un débit constant q[m2/s], l’énergie spécifique est telle que :

Hs(h) = h+q2

2gh2,

que l’on peut aussi écrire sous forme adimensionnelle en divisant par hc :

H∗ =Hs

hc= ξ +

1

2

1

ξ2,

avec ξ = hhc

. La charge totale se conservant entre l’amont et l’aval, on doit avoir unediminution de la charge spécifique d’une valeur y2 (hauteur de la rampe) car :

H1 = H2,

y1 + h1 +u212g

= y2 + h2 +u222g,

0 +Hs,1 = y2 +Hs,2,

Hs,2 = Hs,1 − y2,

H∗,2 = H∗,1 −y2hc.

À l’amont, nous avons un régime subcritique car h1 = 0,69m> hc = 0,30m. À l’aide dudiagramme fourni par la figure 5.17, on peut calculer la hauteur spécifique adimensionnelleà l’aval et ensuite en déduire la valeur h2. Par lecture graphique, on a :

H∗,1 = 2.4 car h1hc

= 2,3,

d’oùH∗,2 = H∗,1 −

y2hc

= 1,9,

puisξ =

h2hc

= 0,6; 1,7.

Le régime est subcritique à l’amont, donc est contrôlé par les conditions à l’aval. Lechangement de hauteur n’est pas suffisant pour arriver à la hauteur critique ; il n’y a pasun changement de régime. Ainsi :

h2 = 1,7hc = 0,51 m.


Question (a)

En posant α = 45, l’angle entre les berges et l’horizontal, on est capable de détermi-ner :

– la largeur du miroir B = b+ 2h tanα = 13 m;


Figure 5.17 : variation de la charge spécifique, H∗ = Hs/hc et ξ = h/hc.

– le périmètre mouillé χ =2h

cos (90 − α)+ b = 16,3 m;

– la section mouillée S =h

2(B + b) = 36 m2 ;

– le rayon hydraulique RH =S

χ= 2,21 m.

Question (b)

La loi de Manning-Strickler permet de relier la pente du lit i au débit Q :

Q = KSR2/3H

√i,

i =

(Q

KSR2/3H

)2

.

A.N. Les données sont :

– K = 40 m1/3/s ;– Q = 100 m3/s ;– S = 36 m2 ;– RH = 2,21 m;

La pente du lit est donc i = 0,17%.


Question (c)

Dans notre cas, il n’est pas possible de calculer la hauteur normale par la formule

hn =(

q

K√i

)3/5car la condition B ≪ h n’est pas satisfaite. Physiquement, cela signifie

que le frottement au niveau des berges ne peut être négligé. Dans notre cas, l’écoulementest permanent et uniforme. La hauteur d’eau h dans le canal est égale à la hauteur normalehn. On a donc hn = 4 m.

Question (d)

Le nombre de Froude s’exprime par :

Fr =u√gh

=Q

S√gh

= 0,44.

Comme Fr < 1, le régime est subcritique (fluvial).

Question (e)

La hauteur critique hc se déduit du nombre de Froude Fr lorsque celui-ci est égal à 1.On a donc :

Fr = 1,

Q

S√ghc

= 1,

Qhc2 (b+ 2hc tanα+ b)

√ghc

= 1

Q = (b+ hc)√gh3/2c car α = 45,

hc =

(Q

(b+ hc)√g

)2/3

.

À l’exercice 7, nous détaillerons un code afin de résoudre une équation de la formehc = f(hc) à l’aide de la méthode de Newton-Raphson. Dans cette série, nous détaillonsla méthode de résolution à l’aide d’une calculatrice non programmable.

1. On choisit une valeur de départ cohérente et consistance avec la réalité. Dans cecas, nous pouvons choisir comme valeur initiale hc,0 = hn = 4 m. On tape donc lavaleur de 4 sur notre calculatrice.

2. On écrit la fonction f(hc) sur notre calculatrice, en utilisant la touche « ANS » pourla variable hc.

3. On appuie sur « ENTER » jusqu’à convergence de la solution. Dans ce cas, la solu-tion converge vers hc = 2,6 m.

Comme hn = 4 m >hc = 2,6 m, le régime est subcritique (fluvial), ce qui confirmenotre réponse à la question (d).



Tout d’abord, on considère un régime permanent et continue. Le débit se conservedonc le long du canal. Il est possible de relier le débit au nombre de Froude comme suit :

Fr =u√gh,

Fr =Q

S√gh,

Q = S√ghFr.

Le canal étant perpendiculaire, la section mouillée s’exprime par S = Bh. De plus, lahauteur d’eau entre les sections 1 et 2, associées au nombre de Froude Fr1 et Fr2 respec-tivement, est diminuée de moitié ; c’est-à-dire h1 = 2h2. L’équation de conservation dudébit entre les deux sections s’exprime donc par :

B1h1√gh1Fr1 = B2h2

√gh2Fr2,

B12h2√2h2Fr1 = B2h2

√h2Fr2,

B2 = B12√2Fr1

Fr2,

B2 = 1,89 m.


Question (a)

La sécurité du pont est garantie au passage de la crue lorsque la hauteur d’eau dansle tronçon 2 ne dépasse pas la hauteur du pont ; autrement dit si hn2 < h0 = 2,5 m.Ce critère est très simplifié car nous ne considérons pas les phénomènes de transport dessédiments ainsi que le phénomène d’érosion. La loi de frottement de Manning-Stricklerpermet de relier le débit Q et la hauteur normale du tronçon 2 hn2. Pour simplifier lescalculs, nous supposons que le canal est infiniment large. Ainsi la hauteur normale d’eaus’exprime directement par

hn2 =

(Q

BK√iav

)3/5

,

où :

– le débit de crue Q = 6 m3/s est supposé constant le long de la rivière (régimepermanent et uniforme);

– la rugosité du lit est déterminée à l’aide de la formule de Jäggi : K =23,2

d1/690

= 30,3

m1/3/s ;– la largeur du lit B = 4 m;– la pente du lit dans le tronçon 2 est iav = 0,5 %.

hn2 = 0,81 m.

La sécurité du pont est donc garantie car hn2 < h0 = 2,5 m.


Question (b)

Pour rappel, un ressaut est une variation rapide du niveau d’eau lors du passage d’unécoulement supercritique à subcritique. En d’autres termes, il correspond à une vaguestationnaire au sein de laquelle le régime d’écoulement passe de supercritique à subcritique.Il y a donc une perte d’énergie entre les deux régimes. Pour savoir s’il existe un ressaut,nous devons donc déterminer les régimes d’écoulement dans le tronçon 1 et le tronçon 2.La hauteur normale du tronçon 1 se calcule de la même manière que dans le tronçon 2 :

hn1 =

(Q

BK√iamont

)3/5

,

hn1 = 0,27 m.

Nous devons maintenant calculer la hauteur critique hc correspondante. Celle-ci s’ex-prime par :

hc =

(Q

B√g

)2/3

,

hc = 0,61 m.

Comme nous avons hn1 > hc et hn2 < hc, le régime est supercritique dans le premiertronçon et subcritique dans le deuxième tronçon. L’écoulement passe donc d’un régimesupercritique à un régime subcritique, il y a donc un ressaut qui se forme au changementde régime. Dans la zone où se produit le ressaut, l’écoulement est très turbulent, locale-ment la hauteur d’eau peut être importante avec une forte érosion. On va donc déterminerla position du ressaut. Pour ce faire on va utiliser la méthode de conjugaison. Il faut com-mencer par tracer l’allure des courbes de remous en résolvant l’équation de Bresse pourune loi de Manning-Strickler.

dhdx = i

1− (hn/h)10/3

1− (hc/h)3. (5.2)

Comme dans le premier tronçon l’écoulement est partout supercritique car hn1 < hc,le ressaut ne pourra se former. Le ressaut se situera donc quelque part dans le deuxièmetronçon, nous allons donc tracer la courbe de remous afin d’estimer à quel endroit auralieu le ressaut. On doit donc résoudre numériquement l’équation 5.2. La résolution numé-rique de cette équation peut se faire de plusieurs manières, soit avec l’outil Matlab soit enutilisant la méthode des différences finies. En utilisant cette dernière méthode, les calculssont longs. Il est cependant bien de connaître cette méthode dans le cas où l’utilisation deMatlab est impossible ou si on souhaite vérifier le résultat. On préférera donc la résolutionsur Matlab grâce à la fonction ode45. De cette manière, il vous sera possible de faire varierles différents paramètres pour voir leurs influences sur la position du ressaut. Dans la suitedu corrigé, nous ne vous fournirons pas le code complet mais simplement les étapes quevous devez effectuer afin de résoudre ce problème. Pour rappel, la hauteur conjuguée estdonnée par la formule de conjugaison

h2h1

=1

2

(√1 + 8F 2

r1 − 1

)

avec Fr1 =u√gh1


1 c l e a r a l l2 c l o s e a l l3 c l c456 % 1) d e f i n i r l e s parametres du probleme789 Q = %[m3/ s ]

10 B = %[m]11 q = % [m2/ s ]12 g = %[m/ s2 ]13 i 1 = %[ −]14 i 2 = %[ −]15 d90 = %[m]16 K = 23 . 2 /( d90 ) ^(1/6) % Formule de Jagg i [m^(1/3) / s ]171819 % 2 . Entrer l a formule des hauteurs normales et c r i t i q u e .2021 hn1 = (Q/(B∗K∗ i 1 ^0 . 5 ) ) ^(3/5)22 hn2 = (Q/(B∗K∗ i 2 ^0 . 5 ) ) ^(3/5)23 hc = (Q/(B∗g^0 . 5 ) ) ^(2/3)2425 % 3 . Reso lut ion a l ' amont du r e s s a u t − s u p e r c r i t i q u e26 % On va resoudre numeriquement l ' equat ion de courbe de ...

remous a l ' a ide du27 % s o l v e r ode45 ( pour p lus d ' in f o rmat i ons a son su j e t , taper ...

” he lp ode45 ”28 % dans l e te rmina l de Matlab ) . La r e s o l u t i o n se f a i t ...

d ' amont en ava l car29 % l ' ecoulement e s t s u p e r c r i t i q u e au niveau de l a rupture de ...

pente , l a30 % hauteur d ' eau i n i t i a l e h0 e s t ega l e a l a hauteur d ' eau a ...

l a f i n du premier t roncon .31 % On va resoudre a rb i t r a i r ement de 0 a 14 m , c ' e s t l a32 % v a r i a b l e xspan = [0 14 ] m qui s p e c i f i e l e s bornes de ...

r e s o l u t i o n et l e33 % sens de r e s o l u t i o n ( de 0 ver s 14 m) .3435 xspan = [0 1 4 ] ;3637 h0 = hn1 ; % hauteur i n i t i a l e : on c h o i s i t l a hauteur normale ...

du premier troncon3839 [ x2 , h2 ] = ode45 (@(x , h) i 2 ∗(1 − ( hn2/h) ^(10/3) ) /(1 − ...

( hc/h) ^3) , xspan , h0 ) ; % l a f o n c t i o n ODEFUN correspond a ...l a f o n c t i o n f de l ' equat ion de Bresse t e l l e que dh/dx = ...f (h , x )

4041 % Calcu l du nombre de Froude42 Fr2 = q . / s q r t ( g∗ h2. ^3) ;4344 % Calcu l de l a hauteur conjuguee45


46 h2c = h2. ∗0 . 5 . ∗(−1 + sq r t (1 + 8∗ Fr2. ^2) ) ;4748 % 4 . Reso lut ion a l ' ava l du r e s s a u t − s u b c r i t i q u e49 % On va maintenant c a l c u l e r l a courbe de remous en ava l du ...

r e s saut ,50 % c ' est −a−d i r e dans l e regime s u b c r i t i q u e . Dans ce cas , i l ...

f au t mettre l a51 % cond i t i on l i m i t e en ava l ( a l a f i n de l a courbe ) et ...

r e soudre l ' equat ion52 % de l ' ava l ve r s l ' amont. Pour c e l a on va s p e c i f i e r a ode45 ...

que l e s bornes53 % d ' i n t e g r a t i o n sont inve r s e e , xspan = [20 0 ] . On met l a ...

c ond i t i on l i m i t e54 % en aval h0 = hn2 ; on suppose que l o i n du r e s s a u t ...

l ' ecoulement e s t en55 % regime permanent et un i fo rme .565758 xspan = [20 0 ] ;59 h0 = hn2 ;60 [ x3 , h3 ] = ode45 (@(x , h) i 2 ∗(1 − ( hn2/h) ^(10/3) ) /(1 − ...

( hc/h) ^3) , xspan , h0 ) ;6162 % Calcu l du nombre de Froude63 Fr3 = q . / s q r t ( g∗ h3. ^3) ;6465 % Calcu l de l a hauteur conjuguee66 h3c = h3. ∗0 . 5 . ∗(−1 + sq r t (1 + 8∗ Fr3. ^2) ) ;6768 % 5 . On a f f i c h e l a courbe de remous a i n s i que l e s courbe ...

con juguee .6970 % On va maintenant a f f i c h e r toute s l e s courbes de remous ...

a i n s i que l e u r71 % courbes conjuguee a f i n de determiner l a p o s i t i o n du ...

r e s s a u t .7273 f i g u r e ( )74 p lo t ( x2 , h2 , '−+' , ' MarkerSize ' , 6 , ' LineWidth ' , 2 , ' Color ' , ...

' k ' )75 hold on76 p lo t ( x2 , h2c , '−+' , ' MarkerSize ' , 6 , ' LineWidth ' , 2 , ' Color ' , ...

' r ' )77 hold on78 p lo t ( x3 , h3 , '−+' , ' MarkerSize ' , 6 , ' LineWidth ' , 2 , ' Color ' , ...

' b ' )79 x l a b e l ( ' $x$ [m] ' )80 y l a b e l ( ' $h ( x ) $ [m] ' )81 l egend ( ' avant r e s s a u t ' , ' courbe conjuguee avant r e s s a u t ' , ...

' apres r e s s a u t ' )

L’intersection entre les courbes de remous et les conjugués marque la position duressaut. Le résultat est présenté à la figure 5.18. Graphiquement on estime la position duressaut à xr = 10 m.


Figure 5.18 : courbes de remous et courbes conjuguées.

Exercice 5 B1h√ghFr1 = B2

h2

√g h2Fr2. En résolvant pour B2 on trouve B2 = 1,89

m.

Exercice 6 (1) hn2 =(

QBK

√iav

)3/5= 0,81. (2) On a hn1 =

(Q

BK√iam

)3/5= 0,27

m, hc =(

QB√g

)2/3= 0,61 m. On trouve hn1 < hc < hn2 m. L’écoulement passe donc

d’un régime supercritique à un régime subcritique, il y a donc un ressaut qui se forme auchangement de régime.


Question (a)

Notons par les indices I et II, les variables correspondantes à la première partie (largeurde 10 m) et à la seconde partie du canal (largeur de 5 m) respectivement.


Le raisonnement est analogue à la Question (a) de l’exercice 3. Nous considérons uncanal rectangulaire avec un débit constant Q = qB = 20 m3/s. D’où :

hc =

((Q/B)2

g

)1/3

,

hc,I =

((Q/BI)

2

g

)1/3

=

((20/10)2

9,81

)1/3

= 0,74 m;

hc,II =

((Q/BII)

2

g

)1/3

=

((20/5)2

g

)1/3

= 1,18 m .

Question (b)

La hauteur normale est la profondeur moyenne d’eau en régime permanent uniforme.Le canal n’est pas supposé infiniment large, la hauteur normale se calcule donc par l’inter-médiaire de la loi de Manning-Strickler.

Q = KR2/3H

√iS,

où :

– K : la résistance à l’écoulement qui dépend de la taille des grains. Cette résistancepeut être déduite de la formule de Jäggi, pour chaque partie du canal.

K =23,2

d1/690

,

KI =

23,2

d90,II1/6=

23,2

0,11/6= 34,1 m1/3/s ;

KII =23,2

d1/690,II

=23,2

0,011/6= 50 m1/3/s .

– RH : le rayon hydraulique tel que RH =S

χ. Dans le cas d’un canal rectangulaire,

on a :

S = Bhn =

SI = BIhn,I ;SII = BIIhn,II .

χ = B + 2hn =

χI = BI + 2hn,I ;χII = BII + 2hn,II .

En appliquant la loi de Manning-Strickler, on obtient une équation implicite pour hn :

Q−K

(Bhn

B + 2hn

)2/3√iBhn = 0,

Q(B + 2hn)2/3 −K(Bhn)

5/3√i = 0,

f(hn) = 0.


Résoudre cette dernière équation est bien trop fastidieuse à la main. Nous utiliserons l’arl-gorithme de Newton-Raphson qui nous donne une valeur approchée de la solution parprocessus d’itération. La méthode est la suivante :

– On fixe une valeur initiale et cohérente de la solution. Dans notre cas, nous prenonsla hauteur normale d’un canal supposé infiniment large, c’est-à-dire :

hn(0) =

(Q/B

K√i

)3/5

=

hn(0)I =

(20/10

34,1√0,005

)3/5

= 0,89 m ;

hn(0)II =

(20/5

50√0,005

)3/5

= 1,08 m

– On calcule hn(i+ 1) à partir de hn(i) grâce à la formule suivante :

hn(i+ 1) = hn(i)−f(hn(i))

f ′(hn(i)),

jusqu’à convergence de la solution. On prendra comme critère d’arrêt :

| hn(i+ 1)− hn(i) |< tol

où tol représente la tolérance de convergence de notre solution hn(i+ 1) ;– f(hn) = Q(B + 2hn)

2/3 −K(Bhn)5/3

√i;

– f ′(hn) = Q43(B + 2hn)

−1/3 −K 53B(Bhn)

2/3√i.

Cet algorithme peut être implémenté sur Matlab de la façon suivante :

1 c l e a r a l l2 c l o s e a l l3 c l c45 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%6 % Methode de Newton−Raphson %7 % %8 % hn_( i +1) = hn_( i ) − f (hn_( i ) ) / f ' ( hn_( i ) ) %9 % %

10 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1112 %% Tolerance de convergence %%13 t o l=1e −3;1415 %% Parametres du probleme %%16 Q=20;17 i_p=0.005 ; %pente1819 B=10; %p a r t i e I20 %B=5; %p a r t i e I I2122 K=34 . 1 ; %p a r t i e I23 %K=50; %p a r t i e I I2425 %% Condit ions i n i t i a l e s %%26 hn = [ ] ;27


28 i =1; %i t e r a t i o n s2930 hn( i ) =0; %on d e f i n i t une va l eur n u l l e pour eva lue r ...

abs (hn( i +1)−hn( i ) )>t o l31 hn( i +1)=((Q/B) /(K∗i_p^0 . 5 ) ) ^(3/5) ; %va l eur i n i t i a l e3233 %% Boucle jusqu ' a convergence de l a s o l u t i o n %%34 whi le abs (hn( i +1)−hn( i ) )>t o l3536 %% I t e r a t i o n su ivante %%37 i f (hn ( i )==0)38 i =2;39 e l s e40 i=i +1;41 end4243 %% Methode d ' eva lua t i on %%44 f=Q∗(B+2∗hn( i ) ) ^(2/3)−K∗( i_p^0 . 5 ) ∗(B∗hn( i ) ) ^(5/3) ; ...

%f o n c t i o n : f45 fp=Q∗(4/3) ∗(B+2∗hn( i ) ) ^(−1/3)−K∗(5/3) ∗( i_p^0 . 5 ) ∗B∗(B∗hn( i ) ) ^(2/3) ; ...

%de r i v e e : f '4647 hn( i +1)=hn( i )−f / fp ;4849 end

Finalement, on trouve la hauteur normale pour chaque partie du canal :hn,I = 0,96 m;hn,II = 1,27 m.

Question (c)

On utilise la même procédure que dans la question (b) de l’exercice 3. La charge totalese conservant entre l’amont et le seuil, on doit avoir une diminution de la charge spécifiquecorrespondant à la hauteur du seuil ys − ya = 1 m car :

Ha = Hs,

ya + ha +u2a2g

= Hs,

ha +

(Q

BIIha

)2

2g= Hs.

Or la hauteur d’eau au niveau du seuil correspond à la hauteur critique, c’est-à-dire hs =hc,II = 1,18 m. Donc

Hs = (ys − ya) + hs +

(Q

BIIhs

)2

2g= 1 + 1,18 +

(20

5× 1,18

)2

2× 9,81= 2,765 m.


On résout l’équation f(ha) = 0 à l’aide de la méthode de Newton-Raphson telle que :

f(ha) = h3a +

(Q

BII

)2

2g−Hsh

2a,

f ′(ha) = 3h2a − 2Hsha.

On fixe comme valeur initiale :

ha(0) = Hs = 2,765 m.

1 c l e a r a l l2 c l o s e a l l3 c l c45 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%6 % Methode de Newton−Raphson %7 % %8 % ha_( i +1) = ha_( i ) − f (ha_( i ) ) / f ' ( ha_( i ) ) %9 % %

10 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1112 %% Tolerance de convergence %%13 t o l=1e −3;1415 %% Parametres du probleme %%16 Q=20;17 B=5;18 g=9.81 ;19 hc=1.18 ;20 y=1; %hauteur du s e u i l : ys−ya21 Hs=y+hc+((Q/(B∗hc ) ) ^2) /(2∗ g ) ;2223 %% Condit ions i n i t i a l e s %%24 ha = [ ] ;2526 i =1; %i t e r a t i o n s2728 ha ( i ) =0; %on d e f i n i t une va l eur n u l l e pour eva lue r ...

abs ( ha ( i +1)−ha ( i ) )>t o l29 ha ( i +1)=Hs ; %va l eur i n i t i a l e3031 %% Boucle jusqu ' a convergence de l a s o l u t i o n %%32 whi le abs ( ha ( i +1)−ha ( i ) )>t o l3334 %% I t e r a t i o n su ivante %%35 i f ( ha ( i )==0)36 i =2;37 e l s e38 i=i +1;39 end4041 %% Methode d ' eva lua t i on %%


42 f=ha ( i ) ^3+((Q/B) ^2) /(2∗ g )−Hs∗ha ( i ) ^2 ; ...%f o n c t i o n : f

43 fp=3∗ha ( i )^2−2∗Hs∗ha ( i ) ; ...%de r i v e e : f '

4445 ha ( i +1)=ha ( i )−f / fp ;4647 end

Finalement, la hauteur d’eau à l’amont du seuil est ha = 2,65 m.

Question (d)

Pour rappel, on observe :

– un régime subcritique plus couramment appelé régime fluvial lorsque h > hc ;– un régime supercritique plus couramment appelé régime torrentiel lorsque h < hc.

Comme :

– hn,I = 0,96 > hc,I = 0,74, l’écoulement est en régime subcritique dans la premièrepartie du canal ;

– hn,II = 1,27 > hc,II = 1,18, l’écoulement est en régime subcritique dans ladeuxième partie du canal ;

Question (e)


Question (a)

Dans un premier temps calculons le débit par unité de largeur dans chacune des sec-tions, le débitQ = 0,25m3/s étant constant. Il est à noter que les sections (1), (2), (4) et (5)ont une largeur identique égale à b1 = 1 m. La section (3) a une largeur b2 = 0,3 m. On adonc :

q1 = q2 = q4 = q5 =Q

b1= 0,25 m2/s,

q3 =Q

b2= 0,833 m2/s.

Les hauteurs dans les sections (4) et (5) sont dites conjuguées dès lors qu’elles vérifientla formule de conjugaison :

h5h4

=1

2

(√1 + 8F 2

r4 − 1

), (5.3)

où :Fr4 =

u4√gh4

=

√b1Q√gS3/2

.

Pour connaître les hauteurs d’eau dans la section (5), il est nécessaire de calculer lahauteur d’eau dans la section (4). Pour cela, nous utilisons la conservation de la charge


Figure 5.19 : courbe de remous.

totale entre les sections (3) et (4), ainsi qu’entre les sections (2) et (3) pour connaître lahauteur h2.

u32

2g+ h3 + hs =

u22

2g+ h2 + 0

u32

2g+ h3 + hs =

u42

2g+ h4 + 0,

q232gh23

+ h3 + hs =q22

2gh22+ h2 + 0

q232gh23

+ h3 + hs =q24

2gh24+ h4 + 0.

Tout d’abord, la hauteur d’eau dans (3) correspond à la hauteur critique. En effet, àl’amont, le régime est subcritique et la hauteur d’eau correspond à la hauteur normale.Dans cette configuration, il y a trois possibilités pour la hauteur d’eau dans la section (3) :

– la hauteur d’eau reste normale ;– la hauteur augmente car elle dépend des conditions imposées à l’aval ;– la hauteur d’eau diminue en générant une chute d’eau, permettant ainsi une transi-

tion vers un régime supercritique.

Comme la porte verticale contrôle l’écoulement en amont de celle-ci, et qu’il y a unressaut entre (4) et (5), la hauteur d’eau dans la section (4) doit être inférieure à hc. C’estdonc la troisième condition qui est retenu ; la hauteur d’eau dans la section (3) corresponddonc à la hauteur critique. Ainsi:

h3 = hc3 =

(q23g

)1/3

= 0,414 m.


Les hauteurs d’eau h2 et h3 vérifient donc :

q22/4

2gh22/4+ h2/4 = 0,82 m,

La résolution de cette équation donne deux solutions : 0,065 m et 0,816 m. La hauteurh2 est contrôlée par l’écoulement en (1), qui est sub-critique. La hauteur h4 est conjuguéeà la hauteur h5 qui est fixée par la porte verticale. La section (4) est donc en régime super-critique. On en déduit que :

h2 = 0,816 m,h4 = 0,065 m.

On suppose que les pertes de charges sont négligeables de sorte que h1 = h2 = 0,816m. En injectant la solution obtenue pour h4 dans l’équation 5.3, on obtient h5 = 0,412 m.

Question (b)

Pour connaître l’ouverture a dans cette condition, il faut calculer la hauteur d’eaunotée hµa au niveau de l’ouverture. On suppose qu’il y a conservation de la charge entreles section (5) et (µa) :

u52

2g+ h5 + 0 =

uµa2

2g+ hµa + 0

q252gh25

+ h5 =q2µa

2gh2µa+ hµa.

Cette équation nous donne deux solution pour hµa égales à 0,097 m et 0,412 m. Commecette hauteur d’eau est inférieure à celle dans la section (5), on a forcément hµa = 0,097m. Au niveau d’une porte verticale, le flux se contracte de sorte que la hauteur du flux hµaest égale à µa. Ainsi :

a =hµaµ

= 0,167 m.


Question (a)

Dans un premier temps, nous calculons les hauteurs critiques hcA et hcB dans lessections de largeur bA et bB respectivement.

hcA =

(Q2

gb2A

)1/3

= 0,225 m,

hcB =

(Q2

gb2B

)1/3

= 0,294 m.

Trois hauteurs normales vont être observées dans ce canal ; le changement de ces hau-teurs normales est dû soit à un changement de pente soit à un changement de largeur.


Pour déterminer la première hauteur normale dans la section correspondant à une largeurbA et à une pente iA, on utiliser la loi de Manning-Strickler.

Q = K√iASAR

2/3HA,

Q = K√iA

(bAhnA)5/3

(bA + 2hnA)2/3.

Cette équation peut soit se résoudre par la méthode de Newton-Raphson, soit par calcula-trice en isolant hnA. La valeur initiale peut être fixée par la hauteur dans le cas d’un canalinfiniment large :

h0nA =

(Q

bAK√iA

)3/5

= 0,186 m.

Finalement, on trouve hnA = 0,205 m <hcA. L’écoulement dans la section (1) est doncsuper-critique. La hauteur normale dans la section de largeur bA et de pente iB , notéehn2/3 est déterminée sur la base du même raisonnement que précédemment. On trouvealors hn2/3 = 0,573m >hcA = 0,225m. L’écoulement entre les sections (2) et (3) est doncsubcritique. De même pour la hauteur normale dans la section de largeur bB et de pente iB ,notée hnB , on trouve hnB = 0,873 m >hcB = 0,294. L’écoulement est donc sub-critiquedans cette partie du canal. De cette manière, les hauteurs d’eau dans les sections (1) et (4)sont directement déterminées par les hauteurs normales dans les sections correspondantes,c’est-à-dire :

h1 = hnA = 0,205 m,h4 = hnB = 0,873 m.

Question (b)

Dans le but de tracer les courbes de remous le plus précisément possible, il est néces-saire de déterminer les hauteurs d’eau dans les sections (2) et (3). Pour rappel :

– l’écoulement sub-critique est déterminé par la condition en aval ;– l’écoulement super-critique est déterminé par la condition en amont.

De cette manière, h3 est déterminée par h4. On néglige les pertes de charge entre lesdeux sections. La conservation de la charge nous donne :

Q2

2gh23b2A

+ h3 =Q2

2gh24b2B

+ h4,

Q2

2gh23b2A

+ h3 = 0,89 m.

Cette équation peut se résoudre par la méthode de Newton-Raphson ou à l’aide d’unecalculatrice. La résolution donne h3 = 0,883 m. La conservation de la charge entre lessections (1) et (2) nous permet de déterminer la hauteur h2 :

Q2

2gh21b2A

+ h1 + a =Q2

2gh22b2A

+ h2,

0,59 =Q2

2gh22b2A

+ h2.

La résolution donne deux solutions 0,108m ou 0,573m. On remarque que cette dernièrehauteur est identique à la hauteur normale hn2/3, c’est donc cette dernière solution qui estretenue. Finalement, un schéma des hauteurs est donnée à la figure 5.20.


Figure 5.20 : hauteurs dans le canal.



Question (a)

La conservation du débit nous impose

Q = B(x)h(x)u(x). (5.4)

La charge hydraulique s’écrit

h+ z +u2

2g= H,

soit encore

h+ z +Q2

2gB2h2= H.

On différentie par rapport à x et on introduit i = −z′ et j = −H ′

h′ − Q2

gB2h2

(B′

B+h′

h

)= i− j.

En regroupant les termes, on a

h′ =

i− j +u2

g

B′

B

1− Fr2, (5.5)

avec Fr2 = u2/(gh) = Q2/(gB2h3).

Question (b)

La hauteur normale hn est définie comme la hauteur pour laquelle le numérateur durapport dans l’équation de la courbe de remous (5.5) est nul :

i− j +u2

g

B′

B= i− u2

C2Rh+

Q2

gh2B2

B′

B= 0,

avecRh = Bh/(B+2h) le rayon hydraulique. Autrement dit c’est la solution de l’équationalgébrique

B + 2h

C2Bh− 1

g

B′

B=ih2B2

Q2. (5.6)

Pour la hauteur critique hc, on est en terrain connu puisque l’on retrouve la conditionsur le dénominateur nul, qui donne

Fr2 = 1 ⇒ hc =3

√Q2

gB2.


Question (c)

Un écoulement est supercritique quand

Fr > 1.

En termes de vitesse cela imposeu2 > gh,

or d’après la loi de Chézy, on a u = C√ih, donc en substituant cette loi dans la condition

ci-dessus, on aC2i > g.

Il existe donc une pente critiqueic =

g

C2

telle que pour i > ic l’écoulement est supercritique, et réciproquement pour i < ic il estsubcritique. Cela est indépendant du débit (contrairement à ce qui est trouvé avec des loisplus réalistes comme Manning-Strickler).

Question (d)

Avec B(x) = B0 − kx et Rh ∝ h, l’équation (5.6) devient

1

C2h+

1

g

k

B=ih2B2

Q2.

Soit encoreh3 =

Q2

iC2B2

(1 +

k

g

C2h

B

),

On a donc

h =

(Q2

iC2B2

)1/3(1 +

k

g

C2h

B

)1/3

,

et comme k est petit, on a au premier ordre en k

h =

(Q2

iC2B2

)1/3(1 +

1

3

k

g

C2h

B

).

En regroupant les termes en h et en faisant un nouveau développement limité en k, ondéduit

hn =

(Q2

iC2B2

)1/3(1 +

1

3

k

g

C2

B

(Q2

iC2B2

)1/3).

L’écoulement est supercritique lorsque hn < hc, soit quand

hn < hc ⇒(

Q2

iC2B2

)1/3(1 +

1

3

k

g

C2

B

(Q2

iC2B2

)1/3)< 3

√Q2

gB2.

En simplifiant on trouve

1 +1

3

k

g

C2

B

(Q2

iC2B2

)1/3

< 3

√iC2

g.


Un développement limité donne une expression simplifiée

i >g

C2︸︷︷︸ic0

+k1

B

(Q2

iC2B2

)1/3

. (5.7)

On a vu au (c) que si le canal était droit (k = 0), la condition i > ic0 = g/C2 est la conditionusuelle pour observer un écoulement supercritique avec un frottement à la Chézy, et celaindépendamment du débit. On voit que la contraction du radier avec un coefficient k apour effet d’augmenter la pente à partir de laquelle le régime supercritique est observé carle second terme dans le membre de droite dans (5.7) est positif (quelle que soit la valeur dei). Pour s’en convaincre on peut poser i = ic0 + δi avec δi ≪ 1. En reportant dans (5.7),on trouve

δi >α

1 + α/3avec α =

k

B

(Q2

ic0C2B2

)1/3

.

Le facteur correctif dépend du débit.

Question (e)

Le débit critique est

hc =3

√Q2

gB2= 2,16 m

La hauteur normale est solution de l’équation.

Q2 = B2C2ih2Bh

B + 2h,

qui donne hn = 43 cm. Si on fait l’approximation d’un canal large, alors

hn =3

√Q2

iC2B2= 42,7 cm.

Comme le régime est supercritique et que la condition initiale vérifie hc > h0 > hn,on doit avoir une courbe de remous décroissante qui tend vers son asymptote hn. Si onintègre numériquement l’équation de la courbe de remous (5.5) avec pour condition initialeh(0) = h0 on obtient la solution tracée sur la figure 5.21.

Cette figure a été obtenue avec Mathematica en quelques lignes

Q = 500B = 50i = 0.2Ch = 80q = Q/Bg = 9.81

eqn = NDSolve[h[0] == 1,h'[x] == (i - q^2/Ch^2/h[x]^3)/(1 - q^2/g/h[x]^3), h, x, 0, 200]

Plot[h[x] /. eqn, x, 0, 200, Frame -> True, FrameLabel -> "x", "h",BaseStyle -> FontFamily -> "Times New Roman", 12]


0 50 100 150 200

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

x

h

Figure 5.21 : courbe de remous.


Question (a)

L’énergie totale au point 2 (en prenant le fond du canal comme référence des z) est

E2 = ∆z + h2 +u222g,

avec h2 = hc et u2 = Q/(W2h2). Comme Fr = 1, on en déduit que

h2 = hc =3

√Q2

gW 22

On a donc Fr = 1 ⇒ u22/(2g) = hc/2 et donc

E2 = ∆z +3

2h2,

Question (b)

Par définition, on a

E1 = ∆z + h1 +u212g

avec u1 = Q/(W1h1).


Question (c)

Les deux points étant sur le même plan, il y a égalité des énergies spécifiques en l’ab-sence de perte de charge. Donc

E1 = ∆z + h1 +u212g

= E2 ⇒ h1 +Q2

2gW 21 h

21

=3

23

√Q2

gW 22

ou bien encore

Q =2√2g

3√3W2

(h1 +

Q2

2gW 21 h

21

)3/2

Question (d)

AN: Q = 3,5 m3/s.

Question (e)

Comme l’écoulement est subcritique, on peut supposer que l’énergie cinétique est bienplus faible que la pression, donc

h1 ≫Q2

2gW 21 h

21

Il s’ensuit alorsQ ≈ 2

√2g

3√3W2h

3/21

AN Q = 3,41 m3/s. L’erreur relative est donc

∆Q

Q=

3,41− 3,5

3,5= −2,6 %


Question (a)

Les parois en verre sont bien plus lisses que le fond en gravier. Le frottement y estdonc moindre. Négliger le frottement des parois en verre est donc pertinent.

Question (b)

On aK = 23,2/d1/690 = 54 m1/3/s. On calcule les hauteurs demandées

hn =

(q

K√i

)3/5

= 4,4 cm et hc =(q2

g

)1/3

= 5,6 cm.


Question (c)

Commehn < hc le régime est supercritique. Le nombre de Froude estFr = q/√gh3n =

1,45 dans la partie du canal où la hauteur atteint la hauteur normale.

Question (d)

L’équation de la courbe de remous est

dhdx =

jf − i

Fr2 − 1=N(h)

D(h)= i

(hn/h)10/3 − 1

(hc/h)3 − 1

On voit que le signe de h′ dépend de la position de h par rapport à hn et hc. Pour h0 = 2cm, on a h0 < hn < hc, doncN(h0) < 0 etD(h0) < 0. La courbe est croissante. Elle tendvers hn.

Pour h0 = 5 cm, on a hn < h0 < hc, donc N(h0) > 0 et D(h0) < 0. La courbe estdécroissante. Elle tend vers hn.

Pour h0 = 10 cm, on a hn < hc < h0, donc N(h0) > 0 et D(h0) > 0. La courbe estcroissante. Elle croît indéfiniment.

On note que la condition à la limite aval (chute d’eau avec passage à un écoulementcritique) n’influe pas sur la solution calculée ici car l’écoulement est supercritique dans lecanal, donc pas influencé par ce qui se passe à l’aval.

0 5 10 15 20

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Figure 5.22 : solution numérique de la courbe de remous pour les trois conditions impo-sées.



Question (a)

La formule généralisée de Keulegan permet d’exprimer la contrainte à la paroi τp (c.-à.-d. le frottement au fond) en fonction de la hauteur d’eau h et de la vitesse moyenne del’écoulement u :

τp =κ2

ln2(11hks)ϱu2.

En régime permanent uniforme, le frottement au fond reprend le poids de la colonned’eau (qui est la force motrice de l’écoulement) et on peut écrire que τp = ϱgRh sin θ ≈ϱgRHi pour des pentes faibles, avec θ l’angle du fond avec l’horizontale et i la pente dufond. Ici, on ne peut pas faire l’approximation RH ≈ h car le canal ne peut pas être consi-déré comme infiniment large.

Pour h = h0, on a u = Q/Bh0 et RH = h0B/(2h0 +B). On peut donc écrire

ϱgRHi =κ2

ln2(11RHks

)ϱQ2

B2h20,

ou encore

ks = 11RH exp(±

√κ2

gRHi

Q2

B2h20

).

On trouve ks = 1,56 m (l’autre solution de l’équation, ks = 147,44 m, n’est pasréaliste, on rappelle que ks ≈ 2d90).

On remarque que h/ks < 10. La formule généralisée de Keulegan est donc valide dansnotre cas. Cependant, il faut garder à l’esprit que cela ne signifie pas qu’elle est forcémentla loi la plus adaptée.

Question (b)

D’après la loi deManning-Strickler,Q = SR2/3H

√iK . Ici,S = Bh0 etRH = h0B/(2h0+

B). En résolvant pour K on trouve K = 16,5 m1/3s−1. Cette valeur indique que le canalest très rugueux.

Question (c)

En utilisant ks = 1,56 m etK = 16,5 m1/3s−1 on trouve

Q1 =

√B2h21gRHi ln2(11RH

ks)

κ2= 17,1 m3/s

pour la formule généralisée de Keulegan et

Q1 = KR2/3H

√iBh1 = 16,1 m3/s

pour la loi de Manning-Strickler.


Question (d)

On trouveFr = Q1

Bh1√gh1

= 0,11

qui indique un écoulement subcritique (fluvial) et

Re = 4RHūν

= 5 · 109

qui indique un écoulement turbulent.

Question (e)

Le débit dans chacun des canaux secondaires vautQ1/2. En appliquant la loi deManning-Strickler dans un des canaux secondaires on peut donc écrire

Q1

2= KR

2/3H

√isBh2.

En exprimant RH en fonction de h2 et en résolvant pour h2, on trouve h2 = 1,15 m.

Question (f)

En partant de la définition de la hauteur critique et de la formule du nombre de Froudeon trouve

hc =

(Q1/2

B√g

)2/3

= 0,64 m.

On remarque que h2 > hc dans les canaux secondaires, ce qui indique que le régime estsubcritique (fluvial). Le régime ne change donc pas du canal principal aux canaux secon-daires. Il n’y a ni chute (passage de fluvial à torrentiel) ni ressaut hydraulique (passage detorrentiel à fluvial).

Question (g)

Doivent figurer sur le schéma la hauteur d’eau h (c.-à.-d. la surface libre), la hauteurnormale hn et la hauteur critique hc pour chaque bief; ainsi que les éventuels ouvrageshydrauliques et ressauts hydrauliques. Ici, de l’amont vers l’aval,

– h = hn loin de l’embranchement (régime permanent uniforme);– hc < h < hn à l’approche de l’embranchement (la hauteur diminue mais il n’y a

pas de changement de régime, c.-à.-d. que h ne croise pas hc);– après le changement de pente, h tend vers la nouvelle valeur de hn (le régime rede-

vient permanent uniforme loin de l’embranchement).

Puisque le régime est subcritique (fluvial) dans les deux biefs, h et hn sont toujours au-dessus de hc.


Figure 5.23 : courbe de remous qualitative au passage du canal principal aux canaux se-condaires.

Question (h)

Par souci de simplification, on note iciQ le débit, h la hauteur d’eau et i la pente danschacun des canaux secondaires.

Dans le cas de la section trapézoïdale on a S = h(b + 3h) pour la section mouillée,χ = b+ 2h

√10 pour le périmètre mouillé et RH = h(b+3h)

b+2h√10

pour le rayon hydraulique.

La loi de Manning-Strickler permet d’écrire :

Q2 − S2R4/3H K2i = 0

On note f(h) cette fonction. La solution peut être approchée par la méthode itérative deNewton qui dit que

hn+1 = hn − f(hn)

f ′(hn).

On calcule donc f ′(h) :

f ′(h) = −2dSdh · SR4/3

H K2i− 4

3S2 dRh

dh R1/3h K2i

d’oùf ′(h) = −K2iS

(2dSdhR

4/3H +

4

3SdRh

dh R1/3h

)avec

dSdh = b+ 6h

etdRh

dh =b2 + 6hb+ 12h2

√10− 6h2

√10

(b+ 2h√10)2

.

La valeur initiale h0 de h est obtenue avec l’hypothèse d’un canal infiniment large(Rh ≈ h) et d’une section rectangulaire simple (S = bh). Pour Q = 8 m3/s, K = 16,5m1/3s−1, i = 0,01 et b = 3 m, on trouve

h0 =

(Q2

b2K2i

)3/10

= 1,33 m.


On itère ensuite jusqu’à convergence de hn+1:

h1 = h0 −f(h0)

f ′(h0)= 1,131 m,

h2 = h1 −f(h1)

f ′(h1)= 1,051 m,

h3 = 1,0404 m, h4 = 1,0402 m, etc.

Astuce : il est utile d’utiliser la touche ANS de sa calculatrice à la place de h pourautomatiser le calcul : >> ANS− f(ANS)/f ′(ANS).

h converge vers 1,04 m. Le nombre de Froude vaut 0,39, le régime est subcritique (flu-vial).

Exercice 3

Question (a)

On va calculer la force de pression par unité de largeur qui s’exerce sur le barrage. Enconsidérant la pression atmosphérique comme patm = 0 Pa, on peut écrire la distributionde pression hydrostatique le long du barrage comme p = ϱg(h0 − y). On a prit le fond dulac comme altitude 0. On sait que la force de pression totale s’exprime comme:

F =

∫S−pnds

y

xdx

dsdy

φ

Figure 5.24 : Incrément de surface infinitésimale sur le barrage

Étant donné la géométrie du problème (voir figure 5.24) on peut exprimer ds en fonc-tion de la hauteur du barrage comme suit : ds = ldy/ sinϕ = 2ldy, où l est la largeur(inconnue) du barrage. On veut calculer l’intensité de force de pression qui s’exerce sur lebarrage, c’est-à-dire la norme de F = ∥F ∥.

F = ∥F ∥ =

∥∥∥∥∫S−pnds

∥∥∥∥ =

∫S∥−pn∥ ds =

∫Spds

Car ∥n∥ = 1. On peut donc écrire:

F =

∫ h0

0ϱg(h0 − y)ldy = 2ϱgl[h0y −

1

2y2]h0

0 = ϱglh20 (5.8)

La force de pression totale par unité de largeur est donc f = F/l = ρgh20. L’applicationnumérique donne: f = 981 kN/m


Question (b)

En se servant de la formule de Torricelli, on peut évaluer la vitesse de l’écoulement ensortie de la buse

u =√

2gh0 = 14ms−1

Le débit correspondant à cette vitesse est

Q = uSbuse = uπD2

4= 2,75m3 s−1 (5.9)

Question (c)

Soit hsortie la hauteur de l’écoulement dans le canal juste en aval de la buse et Ssortie =ℓhsortie la surface de l’écoulement dans le canal juste en aval de la buse. On a supposé quel’écoulement occupe toute la largeur du canal. La conservation du débit impose

Q = uSsortie = uℓhsortie ⇒ hsortie =Q

uℓ= 3,9 cm

Question (d)

En appliquant la formule de Jäggi:

K =23.2

d1/690

= 44,52 ≈ 45 m1/3 s−1

Question (e)

Nous allons utiliser la loi de Manning-Strickler pour calculer la hauteur normale hn,c’est-à-dire la hauteur de l’écoulement en régime permanent et uniforme. Comme noussupposons le canal infiniment large (ℓ≫ h), le rayon hydraulique devient :

RH =ℓhn

ℓ+ 2hn=

hn

1 + 2hnℓ

≈ hn

En utilisant la loi de Manning-Strickler et u = Q/hnℓ il vient:

τp =ϱg

K2

u2

h1/3n

= ϱgiRH

⇒ h1/3 =u2

K2iRH

⇒ h1/3n =Q2

h3nℓ2K2i

⇒ hn =

(Q

ℓK√i

)3/5

L’application numérique donne hn = 56,5 cm


Question (f)

La hauteur critique du canal se calcule en considérant l’écoulement comme étant ànombre de Froude égal à 1. Soit

Fr = 1 =u√ghc

=Q

ℓhc√ghc

⇒ hc =3

√Q2

ℓ2g= 31,4 cm

Question (g)

Lorsque l’écoulement est permanent et uniforme la hauteur d’eau est hn (par défini-tion). On peut donc calculer le nombre de Froude pour cette hauteur d’eau:

Fr = u√ghn

=Q

ℓh3/2n

√g= 0,41

L’écoulement est en régime subcritique.

Question (h)

La charge spécifique est défini comme :

Hs = h+u2

2g= h+

Q2

2ℓ2h2g(5.10)

On fait l’hypothèse que le seuil soit suffisamment épais pour que l’écoulement soit à lahauteur critique au niveau du seuil (voir les notes de cours). La charge spécifique vautdonc Hs = 0,47 m.

Question (i)

On suppose qu’il n’y a pas de dissipation d’énergie (question 8), on peut donc dire quela charge totale se conserve. La charge totale étant défini comme :

H = Hs + p = 1,47 m

avec p la hauteur du seuil. On peut exprimer la charge totale en amont comme une fonctionde la hauteur en amont ha :

H =Q2

2ℓ2h2ag+ ha

⇒ f(h) = h3a −Hh2a +Q2

2ℓ2g


Afin de résoudre cette équation polynômiale du troisième ordre, on va utiliser la mé-thode de Newton. Comme indiqué dans le cours, si la vitesse est très faible en amont duseuil on peut estimer que H ≈ ha. On va donc utiliser h0 = H = 1,47 m comme valeurinitiale dans le calcul de la méthode de Newton. Elle converge vers la valeur ha = 1,46 men 5 itérations.

Figure 5.25 : Courbe de remous du canal

Problème 2

Question (a)

La hauteur normale s’obtient en égalant force de frottement et composante motrice dela gravité :

χτp = ϱgSi,

et comme on utilise la loi de Manning-Strickler, il vient :

χϱg

K2

u2

R1/3h

= ϱgSi,

et après élimination, on obtient une équation implicite

Q2 = K2S10/3χ−4/3i. (5.11)

Question (b)

Le calcul de la surface mouillée a été vu en cours. On considère une surface infinitési-male

dS = 2R sin θ × dz (5.12)

avec :z = R cos θ et dz = −R sin θdθ.

L’angle θ est donné par

θ = arccos(1− h

R

).


L’intégration donneS = R2(θ − cos θ sin θ).

S et S sont deux fonctions croissantes de h, qui sont nulles pour h = 0 et atteignentles valeurs maximales respectives (pour θ = π/2) :

Smax =π

2R2 et Smax =

√2R2.

L’erreur relative maximale commise est donc :

ϵ = 1−π2R

2

√2R2

= 1− π

2√2≈ −11 %.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

Figure 5.26 : variation de S (trait continu) et S (trait discontinu) en fonction de h. Lesvariables ont été adimensionnalisées.

On pourrait obtenir une meilleure approximation de la surface mouillée en faisant undéveloppement limité à l’ordre 2. En effet, on a

arccosx =√2√x+

x3/2

6√2+O

(x5/2

),

et √x(2− x) =

√2√x− x3/2

2√2+O

(x5/2

).

On montre ainsi en posant ξ = h/R que

S =4

3

√2R2ξ3/2 +O(xi5/2) =

4

3

√2Rh3 +O(xi5/2).

Ce développement est plus précis pour h → 0, mais il l’est moins pour h → R (l’erreuratteignant 20 %).


Question (c)

La charge spécifique est

Hs = h+Q2

2gS2.

Comme S ∝√h, on aHs ∝ h−1 quand h→ 0 (domaine supercritique) etHs ∝ h quand

h→ ∞ (domaine subcritique). Il existe un minimum deHs atteint quand la dérivée deHs

s’annule :dHs

dh = 1− 2Q2

2gS3

dSdh = 0 ⇒ 1 =

Q2

gS3

dSdh .

On peut transformer cette égalité en introduisant le nombre de Froude

Fr2 =Q2

gS3

dSdh . (5.13)

La hauteur hc qui vérifie Fr = 1 est la hauteur critique. C’est une équation implicite.

Question (d)

Avec S =√Dh3, on a d’après (5.11) et le développement asymptotique θ = arccos(1−

h/R) =√2h/R pour h≪ R (l’erreur commise quand h→ R est de l’ordre de 10 %) :

Q2 = K2S10/3χ−4/3i ≈ K2i(2Rh3)5/3

(2hR)2/3

En regroupant les puissances de h, on déduit

Q2

2K2iR= h13/3n

On obtient la solution recherchée

hn =

(Q2

2K2iR

)3/13

. (5.14)

Pour la hauteur critique, on a moins de travail. D’après (5.13) et en servant toujours deS =

√Dh3, on a

Fr2 = 1 =Q2

g(2Rh3)3/23

2(2Rh)1/2 =

3

4

Q2

gRh4.

On en déduit une approximation de la hauteur critique

hc =

(3

4

Q2

gR

)1/4

. (5.15)

Comme le montre la figure 5.27, l’approximation S =√Dh3 permet d’obtenir les

hauteurs normale et critique avec une erreur relative maximale de 13 % pour la gamme dedébits testés.


(a)0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

0.00

0.05

0.10

0.15

(b)0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

Figure 5.27 : variation de la hauteur normale hn et de la hauteur critique hc en fonction dudébit Q. Les courbes continues sont les solutions aux équations implicites (5.11) et (5.13),respectivement, et les courbes en tireté sont les solutions approchées (5.14) et (5.15).

Question (e)

On fait l’application numérique et on trouve : hn = 13 cm, hc = 35 cm. La résolutiondes équations implicites (5.11) et (5.13) donne hn = 14,3 cm, hc = 32 cm. Le régime estsupercritique puis que hn < hc. L’ordre de grandeur de l’incertitude est 10 %. L’écart entrehn et hc est un ordre de grandeur supérieur à cette incertitude, donc même en résolvantles équations implicites (5.11) et (5.13), le régime ne changera pas de nature. En régimesupercritique, la condition à la limite se place à l’amont.

Le nombre de Froude vaut :

Fr =

√3

4

Q2

gRh4= 7,3.


Question (f)

En régime permanent, la charge s’écrit

H = z + h+Q2

2gS2.

En différentiant par rapport à x, on obtient

dHdx =

dzdx +

dhdx − 2

Q2

2gS3

dSdx ,

soit encore, après introduction de la pente d’énergie jf et de la pente du fond i :

dHdx = −jf = −i+ dh

dx − Q2

gS3

dSdh

dhdx.

On reconnaît le nombre de Froude (5.13), et on peut écrire :

dhdx =

i− jf1− Fr2

.

Avec l’approximation S =√Dh3 et les expressions approchées (5.14) et (5.15) des

hauteur normale et critique, on a

dhdx = i

1− u2

iK2R4/3h

1− 3

4

Q2

gRh4

.

Si on considère le numérateur, on a

u2

iK2R4/3h

=S10/3n

S10/3

χ4/3h

χ10/3n

,

où sn et χn sont les surface et périmètre mouillés. En servant de l’équation (5.14), on peutsimplifier

S10/3n

χ4/3n

= 2Rh13/3n .

On peut fait de même pour les autres termes et on trouve finalement

dhdx = i

1− (hn/h)p

1− (hc/h)q,

avec p = 13/3 et q = 4.

Question (g)

Le calcul de la force de pression nécessite de reprendre les éléments de calcul vus à laquestion (b). La force infinitésimale de pression s’écrit :

dF p = −p(z)ndS,


avec n = ex la normale à S0, p = ϱg(h0 − z′) la pression hydrostatique, et dS donné par(5.12) : dS = 2R2 sin2 θdθ. On a z = R cos θ (position par rapport à l’axe de la conduite)et z′ = R − z (position par rapport au fond de la conduite). On a donc en projection surl’axe x

dFp = 2ϱgR2(h0 −R+R cos θ) sin2 θdθ,

que l’on intègre sur [0,θ0] avec θ0 = arccos(1− h0/R). L’intégration donne

Fp =1

3ϱgR3

(2 sin3(θ) + 3(ξ − 1)(θ − sin(θ) cos(θ))

),

avec ξ = h/R et θ = arccos(1− h/R). On peut aussi tout mettre en fonction de θ

Fp =1

12ϱgR3 (9 sin θ + sin(3θ)− 12θ cos θ) , (5.16)

ou bien de ξ

Fp =1

3ϱgR3

(√(2− ξ)ξ

(ξ2 − 2ξ + 3

)+ 3(ξ − 1) cos−1(1− ξ)

)(5.17)

Comme le montre l’analyse rapide de (5.16), Fp est une fonction croissante de θ (Fp ∝θ5). L’erreur est donc maximale quand θ = Π/2, et on trouve alors que

Fp =2

3ϱgR3,

alors que l’approximation proposée dans l’énoncé donne

Fp =3

4ϱgR3,

soit une erreur relative de 12,5 %. L’approximation semble correcte. On peut réitérer celaen deux ou trois points pour vérifier que l’approximation est correcte.

On peut le démontrer de façon plus rigoureuse en faisant un développement limité àl’ordre 3 en ξ = 0 de (5.17) donne

Fp =8

15

√2ξ5/2ϱgR3 +O(ξ7/2) (5.18)

et une application numérique montre que

8

15

√2 = 0,7542 ≈ 3

4.

On va donc pouvoir se servir de l’approximation de la force de pression sur S0 :

Fp =3

4ξ5/2ϱgR3 (5.19)

avec ξ0 = h0/R. La figure 5.28 montre le bon accord entre solution théorique et approxi-mation.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Figure 5.28 : variation de la force de pression Fp en fonction de la hauteur h : calcul exactreprésentant (5.17) (trait continu) et approché (5.18) (trait discontinu).

Question (h)

La projection du flux de quantité de mouvement à travers S0 s’écrit

Φ0 =

∫S0

ϱu · ex(u · n)dS = ϱu20S0,

puisque la vitesse est uniforme. La conservation du débit impose : u0 = Q/S0. D’où lerésultat demandé

Φ0 = ϱQ2

S0,

et en se servant de l’approximation S0 =√2Rh30, on déduit

Φ0 = ϱQ2

S0= ϱ

Q2√2Rh30

. (5.20)

Question (i)

Comme les hypothèses sont identiques à celles utilisées pour la question (8), on déduitimmédiatement

Φe = ϱQ2

Se,

et en se servant de l’approximation Se =√2Rh3e , on déduit

Φe = ϱQ2

Se= ϱ

Q2√2Rh3e

. (5.21)


Question (j)

La conservation de la quantité de mouvement s’écrit

ddt

∫VϱudV +

∫Sϱu(u · n)dS = ϱV g +

∫Sσ · ndS, (5.22)

et donc en projetant sur x, en considérant un régime permanent (donc pas de terme d’ac-célération) et les hypothèses de l’énonce, on aboutit à une équation relativement simple

Fp +Φ0 = Φe. (5.23)

On peut simplifier cette équation à l’aide des approximations (5.19), (5.20) et (5.21) vuesprécédemment :

Fp + Φ0 = Φe,

soit encore3

4ξ5/2ϱgR3 + ϱ

Q2√2Rh30

= ϱQ2√2Rh3e

.

On divise cette équation par Fp :

1 +4

3

Q2

gR3√2Rh30ξ

5/20

=4

3

Q2

gR3√2Rh3eξ

5/20

.

Comme on a ξ0 = h0/R, on peut tout exprimer en fonction de h0 :

1 +4

3

Q2

gR√2h40

=4

3

Q2

gR√2h40

(h0he

)3/2

.

On identifie le nombre de Froude donné dans l’énoncé et trouvé également à la question(4), et cela nous conduit à

1 +16

9√2Fr20 =

16

9√2Fr20Y

−3/2.

Le résultat est immédiat

Y =

( 169√2Fr20

1 + 169√2Fr20

)2/3

.

Soit encore, après réarrangement des termes :

Y ≈(

Fr200,8 + Fr20

)2/3

.

Avec les valeurs trouvées à la question (5), on trouve : Y = 0,99. C’est un résultat sanssurprise : à grand nombre de Froude, la perturbation causée par la formation d’un jet estminime. La figure 5.29 montre l’allure de la courbe Y .

Question (k)

On a un régime supercritique. La condition à la limite est donnée par l’amont. Lacondition initiale est entre les hauteurs normale hn et critique hc, donc la courbe de remousva tendre vers hn (voir figure 5.30).


0 1 2 3 4 5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figure 5.29 : variation de la Y en fonction du nombre de Froude Fr0.

0 10 20 30 40 50

15

20

25

30

35

Figure 5.30 : courbe de remous (trait continu) et hauteurs normale hn (trait discontinu)et critique hc (trait pointillé).

Question (l)

Si la conduite est suffisamment longue et le régime supercritique, la hauteur d’eau àla sortie de la conduite est très proche de la hauteur normale. On peut donc calculer lacourbe de débitance en servant de l’équation (5.14) de la hauteur normale. Il s’agit d’uneapproximation précise à environ 10 %. Avec une simple règle, on peut mesurer la hauteurhe et en déduire Q avec une précision de l’ordre de 10 %.

CHAPITRE6Équations de Navier-Stokes

Rappel du cours

Loi de comportement newtonienne

Un fluide est dit newtonien si les contraintes Σ varient linéairement avec les taux dedéformation D (et donc si la viscosité est constante) :

Σ = −p1+ 2µD ou bien T = 2µD,

avec T le tenseur des extra-contraintes.

Équations de Navier-Stokes

Lorsque le fluide est newtonien, les équations de conservation (masse et quantité demouvement) s’appellent équations de Navier-Stokes :

ϱ

(∂u

∂t+ u∇u

)= ϱg −∇p+ 2µ∇ ·D.

Les équations de Navier-Stokes d’un fluide incompressible s’écrivent en coordonnéescartésiennes (x, y, z) :

ϱ

(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z

)= −∂p

∂x+ ϱgx + µ

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

),

ϱ

(∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z

)= −∂p

∂y+ ϱgy + µ

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2+∂2v

∂z2

),

ϱ

(∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z

)= −∂p

∂z+ ϱgz + µ

(∂2w

∂x2+∂2w

∂y2+∂2w

∂z2

),

avec p pression du fluide, u = (u, v, w) les composantes du champ de vitesse, g =(gx, gy, gz) l’accélération de la gravité. L’équation de continuité est

∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z= 0.

167

168 Chapitre 6 Équations de Navier-Stokes

Équations moyennées de Navier-Stokes

Lorsque l’écoulement est turbulent, on cherche principalement à déterminer les carac-téristiques de l’écoulement moyen. Pour cela on considère la décomposition de Reynolds dela vitesse en une valeur moyenne et une fluctuation : u = ⟨u⟩+u′ (le symbole ⟨·⟩ désignel’opérateur moyenne, u′ la fluctuation de vitesse).

Les équations moyennées de Navier-Stokes s’écrivent :

ϱ

(∂⟨u⟩∂t

+∇ · ⟨u⟩⟨u⟩)

= −∇⟨p∗⟩+∇ · T − ϱ∇ · ⟨u′u′⟩,

où p∗ est la pression généralisée. Cette équation est appelée équation de Reynolds. Elle estsemblable à la première (Navier-Stokes) si ce n’est qu’un nouveau terme est apparu

Σt = −ϱ⟨u′u′⟩.

C’est le tenseur de Reynolds qui représente la turbulence. Ce nouveau tenseur (symétrique)introduit de nouvelles inconnues et il faut donc fournir des relations supplémentaires pourrésoudre le système d’équations. On parle de fermeture des équations du mouvement.

Modèle de longueur de mélange

Le modèle de longueur de mélange fournit une équation de fermeture simple (car al-gébrique). On écrit que la contrainte turbulente est

τ = µtd⟨u⟩dy ,

avec µt la viscosité turbulente et ⟨u⟩ la vitesse moyennée. Dans ce modèle, la viscositéturbulente vérifie

µt = ϱℓ2∣∣∣∣d⟨u⟩dy

∣∣∣∣ ,où ℓ = κy est la « longueur de mélange » (κ = 0,41 la constante de von Kármán).

Exercice 1 : écoulement laminaire entre deux plansparallèles

Dans cet exercice, nous allons considérer l’écoulement d’un fluide newtonien entredeux plaques horizontales séparées d’une distance 2b. Voir figure 6.1. L’écoulement se faitselon l’axe x, la longueur des plaquesL ainsi que leur largeur ℓ sont beaucoup plus grandesque l’espace 2b qui les séparent (L ≫ 2b, ℓ ≫ 2b), si bien que l’on peut considérer queles plaques sont de taille infinie selon x et z. Une pompe impose un gradient de pressiondp/dx dans la direction x. Le fluide est de masse volumique ϱ et de viscosité µ. On supposeque l’écoulement est permanent, laminaire et on néglige les effets de la pesanteur.

1. Déterminer le champ de vitesse au sein de l’écoulement. Pour cela, partir des équa-tions de Navier-Stokes, projeter les dans le repère xyz puis éliminer tous les termesnuls et intégrer l’équation différentielle pour obtenir le champ de vitesse.

Chapitre 6 Équations de Navier-Stokes 169

y

x2bℓ

2S

1S

L

Figure 6.1 : schéma de principe.

y

x

y=e=2b

y=b

Figure 6.2 : vue en coupe

2. Déterminer le débit par unité de largeur transitant dans la conduite, en déduire lavitesse moyenne de l’écoulement.

3. Déterminer la contrainte de cisaillement τ dans l’écoulement.4. Déterminer la puissance dissipée.

Exercice 2 : circulation sanguine

On considère le sang comme un fluide newtonien de masse volumique constante ϱ =1000 kg/m3 ; la viscosité cinématique est ν = 5mm2/s. Une grosse artère est assimilable àune conduite circulaire de diamètre d = 8 mm et de longueur moyenne L = 12,5 cm. Unadulte a environ n = 40 grosses artères. La pression à l’entrée de l’aorte est de 13 kPa. Ledébit artériel total est de 5 L/min.

1. Quel est le débit dans une grosse artère?2. Quelle est la vitesse moyenne?3. Quel est le nombre de Reynolds? Le régime est-il laminaire ou turbulent ?4. Calculez la forme du champ de vitesse en supposant un régime laminaire. (On dé-

montre ici la loi de Poiseuille dans un cylindre)5. Intégrer le profil de vitesse pour déterminer le débit.6. Calculer la variation de pression caractéristique pour une grosse artère en suppo-

sant que le débit est constant (on néglige le caractère pulsé de la circulation san-guine). Qu’en déduisez-vous par rapport à la pression à l’entrée de l’aorte? Que sepasse-t-il si le diamètre de l’artère diminue? (sténose).




Hypothèses : écoulement laminaire, gravité négligée.

Exercice 3 : vidange d’un réservoir defluide visqueux

Un réservoir de glycérol dont le niveau est maintenu à une hauteur H = 10 cm ali-mente une conduite circulaire de rayon r = 2 mm et de longueur L = 5 cm. Déterminer,à l’aide des réponses de l’exercice 2 :

1. Le débit de sortie.2. La vitesse moyenne et maximale de l’écoulement3. La force totale de frottement sur le tube


H Glycérol

µ = 1 Pa · s

ρ = 1,3 · 103 kg/m3

2rL

xy


Exercice 4

En station d’épuration, une des étapes du traitement primaire des boues est la décan-tation. Pour déterminer combien de temps on va devoir attendre pour que les particulessupérieures à un diamètreD = 10 µm soient déposées au fond du bassin, l’ingénieur doitfaire au préalable le calcul de la sédimentation de ces particules. Les particules ont unemasse volumique ϱp = 2650 kg/m3, elles sédimentent dans de l’eau (ϱf = 1000 kg/m3,ν = 10−6 m2/s. On étendra le raisonnement à un parachutiste.

1. Le régime étant supposé laminaire, donner l’expression de la force visqueuse, dupoids et de la poussée d’Archimède qui s’exerce sur les particules de diamètreD =10 µm.

2. Calculer la vitesse de sédimentation.3. Calculer le nombre de Reynolds particulaire 1. Somme-nous bien dans un régime

laminaire?4. Combien de temps doit-on attendre pour que les particules tombent au fond sachant

que la hauteur du bassin est H = 1,5 m.5. Calculer la vitesse de chute dans le cas d’un parachutiste (D = 1,8 m) dans l’air

(ϱf = 1,2 kg/m3 et ν = 10−5 m2/s). La vitesse vous semble-t-elle raisonnable?6. Sachant qu’un parachutiste chute à environ 10m/s, calculer le nombre de Reynolds.

Quel est le régime?

Exercice 5 : viscosimètre de type Couette

On se propose de mesurer expérimentalement la viscosité d’un fluide newtonien. Pource faire on dispose d’un viscosimètre muni d’une géométrie de type Couette (voir figure

1. « Particulaire » signifie ici que l’on prend le diamètre de la particule comme longueur carac-téristique


Figure 6.6 : décanteur dans une station d’épuration

6.7). Il s’agit en fait de deux cylindres concentriques d’axe z entre lesquels se trouve lefluide. Le cylindre intérieur de rayon R1 = 5,0 cm est en rotation à vitesse angulaireconstanteΩ1, tandis que le cylindre extérieur de rayonR2 = 5,5 cm est fixe (Ω2 = 0). Pourentretenir la rotation, on doit appliquer un couple C constant sur le cylindre intérieur.

Hypothèses : écoulement laminaire, gravité négligée.

1. Déterminer les composantes non nulles du champs de vitesse au sein du fluide àl’aide de considérations de symétrie et de l’équation de conservation de la masse.

2. Simplifier les équations de conservation de la quantité de mouvement.3. Établir la relation

1

r

∂

∂r

(r∂uθ∂r

)− uθr2

=∂

∂r

(1

r

∂(ruθ)

∂r

).

4. Donner l’expression du champ de vitesse dans la cellule grâce aux conditions li-mites.

5. Déterminer la relation entre le couple qu’il faut exercer pour maintenir la vitessede rotation du cylindre intérieur constante et la viscosité du fluide sachant que lescylindres ont une hauteur h = 10 cm. Calculer ensuite la viscosité du fluide sachantque pour Ω1 = 0,1 rad/s on mesure un couple C = 2,42 · 10−3 N m.


ez

M

r

y

x

θR1

R2

Figure 6.7 : vue et représentation schématique d’une géométrie de type Couette.


Problème 1

Au LHE, un doctorant étudie les écoulements granulaires. À cet effet, il utilise un canalincliné dont le fond est mobile (c’est un tapis roulant) ; voir figure 6.8. Avec ce dispositif,il peut créer des écoulements permanents d’épaisseur uniforme h. La vitesse du fond estnotée u0. L’écoulement granulaire est supposé isochore. Il est constitué de grains dont lediamètre est d ; la masse volumique moyenne du mélange est ϱ. La pente du canal est notéθ. Le fond est rugueux et il y a adhérence à la paroi. L’air n’exerce aucune contrainte surla surface libre. Voir figure 6.9.

Figure 6.8 : vue du canal incliné composé d’un tapis roulant. Dans cette expérience, unfluide interstitiel est utilisé afin de rendre le mélange iso-indice (donc transparent). Lesparticules sont marquées avec un colorant fluorescent qui réfléchit la lumière d’une nappelaser émise dans une certaine longueur d’once, permettant ainsi de les repérer.

(a) Écrire les équations de conservation de la quantité demouvement et les simplifier en tenantcompte des symétries du problème. Comment s’écrivent les conditions aux limites ?

(b) En déduire une relation pour la contrainte normale totale Σy = σy − p et la contraintetangentielle τ après intégration en fonction de y.

(c) En première approximation, le doctorant suppose que le matériau granulaire se comportecomme un fluide newtonien de viscosité dynamique µ. Intégrer la relation τ(y) en tenantcompte des conditions aux limites afin d’obtenir le profil de vitesse u(y). Calculer le débit(par unité de largeur) associé à ce profil.

(d) Il suppose maintenant que le matériau granulaire se comporte comme un fluide non new-tonien dont la viscosité µ(γ) peut être estimée à partir de la loi empirique dite « µ(I) »qui généralise la loi de Coulomb en supposant que le frottement varie avec le taux decisaillement γ

τ = µ(I)|σy| avec I =dγ√|σy|/ϱ

(I est un nombre adimensionnel appelé le plus souvent « nombre inertiel »). Le calage surdes données de laboratoire a permis de proposer une loi (dite loi de Jop), qui a la forme


suivanteµ(I) = µ1 +

µ2 − µ1I0/I + 1

,

avec µ1 et µ2 deux constantes correspondant aux frottements en statique et dynamique, etI0 une autre constante (reflétant un critère de transition entre régimes). On supposera quela pression est nulle (p = 0) à travers toute la couche (dans ce modèle, on suit le principede Terzaghi, c’est-à-dire la contrainte totale Σy = σy −p résulte de la superposition d’unecontrainte fluide p – supposée isotrope – et d’une contrainte σy dite effective représentantles contraintes dans le milieu granulaire). Intégrer τ(y) et obtenir u(y) en tenant comptedes conditions aux limites. Tracer l’allure du profil de vitesse ainsi obtenu et le compareravec le profil newtonien.

x

y

y = h

u0

u(y)

O

Figure 6.9 : schéma de principe du canal incliné composé d’un tapis roulant.


Problème 2

On considère l’écoulement permanent d’un fluide newtonien incompressible de visco-sité cinématique ν entre deux plans parallèles de grandes dimensions, placés horizontale-ment, et séparés d’une distance d (voir figure 6.10). Le fluide est mû par un gradient depression constant ∂px = −a < 0 (avec a une constante positive). L’axe x est orienté dansle sens de l’écoulement.

(a) En supposant que l’écoulement est en régime laminaire, écrire les équations de Navier-Stokes et les conditions aux limites. Les simplifier en tenant compte des symétries simplesdu problème.

(b) Résoudre les équations : déterminer le profil de vitesse en fonction de a, le tracer. Quelleest la vitesse moyenne du fluide u?

(c) Calculer la contrainte de cisaillement et tracer son profil.(d) Le coefficient de Darcy-Weisbach f est lié aux pertes de charges (ici le gradient de pression

qu’il faut imposer pour mouvoir le fluide) de telle sorte que

|∆p| = 1

2fL

Dhϱu2

avec Dh = d le diamètre hydraulique, L la longueur sur laquelle est appliqué le gradientde pression (si∆p est la différence de pression entre deux points séparés de L, alors ∂xp =∆p/L = −a), ϱ la masse volumique du fluide.Calculer f en régime laminaire en fonction du nombre de Reynolds Re = 4Dhu/ν.

(e) On considère maintenant que l’écoulement est en régime turbulent. On adopte une équa-tion algébrique de fermeture de type « longueur de mélange » pour la viscosité turbulente.Quelle est la forme du profil de vitesse moyennée près de la paroi (on supposera que lacontrainte est constante et égale à la contrainte pariétale).

y = d

x

y

d g

Figure 6.10 : écoulement entre deux plaques parallèles.


Problème 3

On étudie un des problèmes de Stokes : l’écoulement oscillant d’un fluide newtoniende viscosité cinématique ν et masse volumique ϱ placé entre deux plaques (supposéesde dimensions infinies). L’épaisseur de fluide est notée h. La plaque supérieure subit unmouvement oscillant dans la direction x : x(t) = A sin(ωt) avec A l’amplitude et ω lafréquence angulaire du mouvement (ou pulsation). La plaque inférieure est immobile. Oncherche à calculer le champ de vitesse fluide entre les deux plaques. La pression est notéep. Le champ de vitesse est notéu = (u,v). On admet qu’il n’y a pas de gradient de pressiondans le sens horizontal : ∂xp = 0. On introduit un repère cartésien galiléen fixe (0, x, y)tel qu’il est montré sur la figure 6.11. Le vecteur gravité est dans ce repère g = (0,− g).

x

y

h

O

Figure 6.11 : oscillation d’une plaque entraînant un fluide newtonien.

(a) Déterminez les conditions aux limites cinématiques.(b) Compte tenu des symétries du problème (qui permettent de simplifier sa formulation),

déterminer quelles sont les variables du problème.(c) Sur la base de la dernière question, comment se simplifie l’équation de Navier-Stokes

(conservation de la quantité de mouvement) projetée selon y ?(d) Comment se simplifie l’équation de Navier-Stokes projetée selon x?(e) Quelle est la solution à l’équation de Navier-Stokes parmi celles reportées ci-dessous?




Question (a)

Tout d’abord, le fluide considéré est un fluide newtonien avec une masse volumique ϱet une viscosité dynamique µ. L’écoulement est supposé laminaire, et le champ de vitessepeut donc s’écrire sous la forme u =

(u, v, w

); comme il est supposé permanent, les

fonctions u, v etw ne dépendent pas du temps. De plus, une pompe impose un gradient depression dp/dx dans la direction x. Les effets de pesanteur sont négligés. En considérantles équations de Navier-Stokes dans le système (x, y, z), on a :

ϱ

(∂u

∂t+ u∇u

)= ϱg −∇p+ 2µ∇ ·D.

Dans le cas d’un fluide incompressible, les équations de Navier-Stokes s’écrivent :

ϱ

(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z

)= ϱgx −

∂p

∂x+ µ

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

),

ϱ

(∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z

)= ϱgy −

∂p

∂y+ µ

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2+∂2v

∂z2

),

ϱ

(∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z

)= ϱgz −

∂p

∂z+ µ

(∂2w

∂x2+∂2w

∂y2+∂2w

∂z2

).

De plus, le champ de vitesse doit vérifier l’équation de continuité :

∇ · u =∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z= 0.

L’écoulement est unidirectionnel selon x, c’est-à dire que seule la composante u du champde vitesse est non nulle : u =

(u, 0, 0

). L’équation de continuité se réduit simplement

à :∂u

∂x= 0.

Reprenons les hypothèses afin de simplifier au maximum les équations de Navier-Stokes :

– l’écoulement est permanent : le champ de vitesse ne dépend pas du temps, ainsi lestermes de la forme ∂t· = 0 ;

– l’écoulement est unidirectionnel donc v = 0 et w = 0 ;– la conduite est supposée de dimension infinie dans la direction z, on se ramène donc

à un problème en 2D (x, y), les termes sous la forme ∂z· = 0 et ∂zz· = 0 ;– les effets de pesanteur sont négligés : les termes ϱgx, ϱgy et ϱgz sont nuls ;– l’équation de continuité nous dit que ∂xu = 0 et donc ∂xxu = 0 .


Avec les simplifications citées ci-dessus, les équations de Navier-Stokes se réduisentà :

0 = −∂p∂x

+ µ∂2u

∂y2,

0 = −∂p∂y.

La deuxième équation nous permet de savoir que le champ de pression n’est pas fonc-tion de y. En intégrant successivement la première équation, il est possible de déterminerle champ de vitesse.

∂2u

∂y2=

1

µ

∂p

∂x,

∂u

∂y=

1

µ

∂p

∂xy + C1,

u(y) =1

µ

∂p

∂x

y2

2+ C1y + C2,

où C1 et C2 sont les constantes d’intégration déterminées par les conditions aux limites :

u(y = 0) = 0u(y = 2b) = 0

d’où

C2 = 0

C1 = − b

µ

∂p

∂x

Ainsi le champ de vitesse s’exprime par u =

1

µ

∂p

∂x

(y2

2− by

)00

Question (b)

Le débit infinitésimal est défini tel que :

dq = u(y)dS.

On s’intéresse au débit par unité de largeur q. On considère donc dS = 1 × dy, ainsi ledébit par unité de largeur infinitésimale est défini de la manière suivante :

dqdy = u(y).

Par intégration, on obtient :

q =

∫ 2b

0

1

µ

∂p

∂x

(y2

2− by

)dy,

=1

µ

∂p

∂x

[1

2

y3

3− by2

2

]2b0

,

= −2

3

b3

µ

∂p

∂x.


La vitesse moyenne se déduit directement du débit par unité de largeur, grâce à larelation suivante :

u =q

2b= −1

3

b2

µ

∂p

∂x.

Question (c)

Dans le cas d’un écoulement laminaire et en considérant un fluide newtonien, la contraintede cisaillement τ est telle que :

τ = µγ = µ∂u

∂y= µ

(1

µ

∂p

∂xy − b

µ

∂p

∂x

)=∂p

∂x(y − b) .

Question (d)

La puissance dissipée infinitésimale correspondante au volume dV = 1 × dy × 1 esttelle que :

dϕ = τ γdV

=1

µ

(∂p

∂x

)2

(y − b)2 dy

En intégrant cette expression, on obtient que la puissance dissipée est égale à :

ϕ =1

µ

(∂p

∂x

)2 ∫ 2b

0(y − b)2 dy

=1

µ

(∂p

∂x

)2 [y3

3+ b2y − by2

]2b0

=2

3

b3

µ

(∂p

∂x

)2

.


Question (a)

Le débit dans une artère Qart est simplement égal au débit artériel total Qtot = 5L/min = 8,33× 10−5 m3/s divisé par le nombre d’artère n = 40. On a donc :

Qart =Qtot

n= 2,08× 10−6 m3/s.

Question (b)

La vitesse moyenne u est définie par :

u =Qart

Sart,


où Sart est la surface d’une artère traversée par le débit Qart. On suppose qu’une artèreest assimilable à une conduite circulaire de diamètre d = 8 mm. Ainsi, Sart = π (d/2)2 =50,3× 10−6 m2.

u = 0,0414 m/s.

Question (c)

Le nombre de Reynold Re est tel que :

Re =ud

ν= 66

Comme Re ≪ 2000, l’écoulement peut être considéré comme laminaire.

Question (d)

Posons le champ de vitesse u =(ur, uθ, uz

)dans le repère de coordonnées cylin-

driques. En partant de l’équation de continuité pour un fluide incompressible, on a :

∇ · u = 0,

1

r

∂rur∂r

+1

r

∂uθ∂ϕ

+∂uz∂z

= 0.

On suppose que la vitesse est symétrique selon les coordonnées θ et z ainsi le champde vitesse est simplement fonction de r : u = u(r). L’équation de continuité se réduit à :

1

r

∂rur∂r

= 0.

Par intégration, on a :rur = C,

ur =C

r,

où C est une constante d’intégration. On la détermine à l’aide des conditions aux limites :ur(r = −d

2) = ur(r =d2) = 0. On en déduit que C = 0, et par conséquent :

ur = 0.

En coordonnées cylindriques, les équations de Navier-Stokes s’expriment par :

ϱ

(∂ur∂t

+ ur∂ur∂r

+ uθ

(1

r

∂ur∂θ

− uθr

)+ uz

∂ur∂z

)= −∂p

∂r+1

r

∂rTrr∂r

+1

r

∂Trθ∂θ

+∂Trz∂z

−Tθθr,

ϱ

(∂uθ∂t

+ ur∂uθ∂r

+ uθ

(1

r

∂uθ∂θ

+urr

)+ uz

∂uθ∂z

)= −1

r

∂p

∂θ+

1

r2∂r2Trθ∂r

+1

r

∂Tθθ∂θ

+∂Tθz∂z

,

ϱ

(∂uz∂t

+ ur∂uz∂r

+uθr

∂uz∂θ

+ uz∂uz∂z

)= −∂p

∂z+

1

r

∂rTrz∂r

+1

r

∂Tθz∂θ

+∂Tzz∂z

.

Nous devons faire quelques hypothèses afin de simplifier au maximum ces équations :

– l’écoulement est permanent : le champ de vitesse ne dépend du temps, ainsi lestermes de la forme ∂t· = 0 ;


– l’équation de continuité nous a donné que ur = 0 ;

– l’écoulement est supposé unidirectionnel. De plus, par symétrie la composante uθest indépendante de θ ainsi on pose uθ = 0. En effet, sans cette supposition, cettevariable devrait être fonction de r. Pour garantir l’uniformité de l’écoulement, ilfaudrait un terme source de quantité de mouvement (ex: la conduite aurait un mou-vement de rotation avec une vitesse uniforme).

On a finalement :

−∂p∂r

= 0,

−∂p∂θ

= 0,

−∂p∂z

+1

r

∂

∂r

(rµ∂uz∂r

)= 0,

Les deux premières équations nous montrent que le champ de pression p n’est pasfonction de r et θ ; d’après l’énoncé, on a ainsi ∂zp = a = 13 kPa. Par intégration de latroisième équation, on a :

∂

∂r

(r∂uz∂r

)= a

r

µ,

r∂uz∂r

=a

µ

r2

2+ C1,

∂uz∂r

=a

µ

r

2+C1

r,

uz =a

µ

r2

4+ C1 ln r + C2,

où C1 et C2 sont les constantes d’intégration. Le terme du logarithme donne une diver-gence du profil de vitesse en r = 0 ainsi,C1 = 0 pour garantir la convergence du terme devitesse. La constante C2 doit vérifier les conditions de bord uz(r = d

2) = uz(r = −d2) = 0

et donc C2 =−a4µ

(d2

)2.

u(r) =

00

a4µ

(r2 −

(d2

)2)


Question (e)

Le débit est déterminé par intégration du profil de vitesse :

Q =

∫ d/2

0

a

4µ

(r2 −

(d

2

)2)

dS

=

∫ d/2

0

a

4µ

(r2 −

(d

2

)2)2πrdr

=aπ

2µ

∫ d/2

0

(r3 −

(d

2

)2

r

)dr

=aπ

2µ

[14r

4 − 12r

2(d2

)2]d/20

= − π

8µ

((d

2

)4)∂p

∂z

Question (f)

En supposant le débit comme constant, on a :

∂p

∂z=

∆p

L= −8µQ

π

(2

d

)4

= −128µ

πd4Q

La variation de pression est négative, on en déduit qu’il y a une perte de pression le long dela conduite dans la direction de l’écoulement. Cette variation de pression est proportion-nelle à d−4, ainsi pour des canaux plus fins, la perte de pression peut être très importanteet entraîner des complications au niveau du cœur.


Question (a)

En se référant à l’exercice précédent, le débit est donné par :

Q = −πR4

8µ

∂p

∂z

La différence de pression au niveau de la conduite est approchée par ∆p = −ϱgH . Ainsi,le gradient de pression correspond donc à

∂p

∂z=

∆p

∆z=

−ϱgHL

.

Finalement, nous avons :

Q =πR4

8µ

ϱgH

L= 1,6× 10−7 m3.


Question (b)

La vitesse moyenne dans la conduite est simplement calculée par la formule :

u =Q

S=

Q

πR2= 0,0128 m/s.

En considérant le profil de vitesse dans la conduite comme une parabole, la vitessemaximale est atteinte en r = 0. D’après les réponses démontrées lors de l’exercice 2, on a :

umax = uz(r = 0) = −∂p∂z

R2

4µ= 0,0255 m/s.

Question (c)

Les contraintes de cisaillement orientées selon la normale er et dans la direction ezsont données par :

τrz = µ

(∂ur∂z

+∂uz∂r

),

avec ∂ur∂z = 0. La force de frottement sur le tube s’exprime donc par :

F = −∫ ∫

τrz(r = R)dS,

= −∫ L

0

∫ 2π

0τrz(r = R)dzRdθ,

= −Lµ2πR∂p∂z

R

2µ,

= −πR2∆p,

= 0,016 N.


Question (a)

Trois forces s’appliquent sur chacune des particules :

– la force visqueuse. Elle correspond à la force exercée par le fluide sur une particule.Dans le cas d’un régime laminaire, elle s’exprime par :

Fh = 3µπDu∞

où µ = ϱfν et u∞ est la vitesse de sédimentation ;– le poids, donné par :

FP = ϱpgVp = ϱpg4

3π

(D

2

)3

= ϱpgπD3

6;

– la poussée d’Archimède donnée par :

FA = ϱfgVp = ϱfg4

3π

(D

2

)3

= ϱfgπD3

6.


Question (b)

Les particules vérifient l’équilibre car la vitesse de sédimentation est considérée commeconstante. Ainsi : ∑

F = 0,

FP − FA − Fh = 0,

(ϱp − ϱf )gπD3

6− 3νϱfπDu∞ = 0,

u∞ =1

18

ϱp − ϱfϱf

g

νD2,

u∞ = 90 µm/s.

Question (c)

Le nombre de Reynolds s’exprime par :

Re =u∞D

ν= 9× 10−4.

Comme Re ≪ 1, le régime est bien laminaire.

Question (d)

Le temps que mettent les particules à atteindre le fond du bassin – appelé temps desédimentation – est déterminé de la façon suivante :

ts =H

u∞,p= 16 667 s = 4,6 h.

Question (e)

En supposant le parachutiste de forme sphérique et composé essentiellement d’eau, ontrouve que sa vitesse est donnée par la même expression que pour la question (b) :

u∞,p =1

18

ϱeau − ϱairϱair

g

νD2,

u∞,p = 1,47× 108 m/s.Cela veut dire que le parachutiste chuterait à une vitesse proche de celle de la lumière3× 108 m/s, ce qui est irréaliste.

Question (f)

En moyenne, un parachutiste chute avec une vitesse de 10 m/s. Dans ce cas, le nombrede Reynolds est donné par :

Re =u∞,pD

ν=

10× 1,8

10−5= 1,8× 106.

L’écoulement est turbulent. Dans un tel problème, il faudrait prendre en compte la forcede traînée donnée par Fd = CdϱfD

2u2∞,p.



Question (a)

Le mouvement est un mouvement de rotation, et les composantes de vitesse ur et uzsont donc nulles. Le champ de vitesse se réduit à :

u =

0uθ(r,θ,z)

0

De plus, la conservation de la masse dans le système de coordonnées cylindriques

s’exprime par :1

r

∂(rur)

∂r+

1

r

∂uθ∂θ

+∂uz∂z

= 0,

∂uθ∂θ

= 0.

La vitesse est donc uniforme selon la composante θ.

Question (b)

Pour rappel, dans un système de coordonnées cylindriques, les équations de Navier-Stokes s’expriment par :

ϱ

(∂ur∂t

+ ur∂ur∂r

+ uθ

(1

r

∂ur∂θ

− uθr

)+ uz

∂ur∂z

)= ϱgr−

∂p

∂r+1

r

∂rTrr∂r

+1

r

∂Trθ∂θ

+∂Trz∂z

−Tθθr,

ϱ

(∂uθ∂t

+ ur∂uθ∂r

+ uθ

(1

r

∂uθ∂θ

+urr

)+ uz

∂uθ∂z

)= ϱgθ−

1

r

∂p

∂θ+

1

r2∂r2Trθ∂r

+1

r

∂Tθθ∂θ

+∂Tθz∂z

,

ϱ

(∂uz∂t

+ ur∂uz∂r

+uθr

∂uz∂θ

+ uz∂uz∂z

)= ϱgz −

∂p

∂z+

1

r

∂rTrz∂r

+1

r

∂Tθz∂θ

+∂Tzz∂z

.

où T est le tenseur des extra-contraintes :

T = 2µ

∂ur∂r

1

2

(1

r

∂ur∂θ

+∂uθ∂r

− uθr

)1

2

(∂ur∂z

+∂uz∂r

)1

2

(1

r

∂ur∂θ

+∂uθ∂r

− uθr

)1

r

∂uθ∂θ

+urr

1

2

(∂uθ∂z

+∂uz∂r

)1

2

(∂ur∂z

+∂uz∂r

)1

2

(∂uθ∂z

+∂uz∂r

)∂uz∂z

.

En outre, en supposant que le poids est négligeable et que l’on est dans un régime d’écou-lement permanent, on peut simplifier les équations de Navier-Stokes :

−u2θr

= −∂p∂r,


0 = −1

r

∂p

∂θ+

1

r2∂r2Trθ∂r

,

0 = −∂p∂z.

Finalement, on a donc :u2θr

=∂p

∂r,

1

r

∂p

∂θ= µ

(1

r

∂

∂r

(r∂uθ∂r

)− uθr2

),

0 =∂p

∂z.

Question (c)

En développant le terme de droite, nous avons :

∂

∂r

(1

r

∂(ruθ)

∂r

)=

∂

∂r

(uθr

+∂uθ∂r

)=

∂

∂r

(uθr

)+

∂

∂r

(∂uθ∂r

)=

1

r

∂uθ∂r

− uθr2

+∂

∂r

(∂uθ∂r

)=

1

r

(∂uθ∂r

+ r∂

∂r

(∂uθ∂r

))− uθr2

=1

r

(∂r

∂r

∂uθ∂r

+ r∂

∂r

(∂uθ∂r

))− uθr2

=1

r

(∂

∂r

(r∂uθ∂r

))− uθr2.

Question (d)

Le champ de pression n’est fonction que de r, c’est-à-dire p = p(r). Ainsi :

∂p

∂θ= 0,

∂p

∂z= 0.

De cette manière, nous avons par intégration successive :

∂

∂r

(1

r

∂(ruθ)

∂r

)= 0.

1

r

∂(ruθ)

∂r= C1,

d(ruθ) = C1rdr,

ruθ =C1

2r2 + C2,


uθ =C1

2r +

C2

r.

Les conditions aux limites sont telles que :uθ(R2) = 0,

uθ(R1) = R1Ω1,

d’où C2 = −C1

R222 ,

Ω1 =C12

(1− R2

2

R21

).

Ainsi :

C1 =2Ω1

1− R22

R21

C2 = −Ω1R2

2

1− R22

R21

Finalement :

uθ =Ω1r

1− R22

R21

(1− R2

2

r

)

Question (e)

La contrainte de cisaillement est donnée par :

τrθ = µ

(r∂

∂r

(uθr

)+

1

r

∂ur∂θ

),

= µ

(r∂

∂r

(uθr

)),

= µrΩ1

1− R22

R21

(R2

2

r2

).

La contrainte au niveau du cylindre intérieur est donc :

τrθ(r = R1) = µR1Ω1

1− R22

R21

(R2

2

R21

).


Le couple C appliqué au niveau du cylindre intérieur s’exprime par :

C =

∫dM

=

∫r × dF

=

∫R1τrθ(r = R1)dS

=

∫ 2π

0

∫ h

0R1τrθ(r = R1)dzdθ

= 4πhµR21

Ω1

1− R22

R21

(R2

2

R21

)

= 4πhµR22

Ω1

1− R22

R21

.

La viscosité du fluide peut être déduite de l’équation précédente :

µ =C

4πhR22

1− R22

R21

Ω1

= 1,34 Pa · s.


Question (a)

La conservation de la quantité de mouvement s’écrit

ϱddtu = ϱg −∇p+∇ · σ.

Comme on est en régime permanent uniforme, les termes en ∂x et ∂t disparaissent. Doncon peut simplifier grandement. Par ailleurs l’équation de continuité impose que v = 0(voir démonstration du cours). La projection de cette équation dans un repère cartésiennous donne

0 = ϱg sin θ + dτdy ,

et0 = −dp

dy − ϱgy cos θ +dσydy .

Question (b)

En tenant compte de τ(h) = 0 et Σy(h) = 0, l’intégration est triviale et nous indiqueque le champ de contraintes est linéaire avec la profondeur, et cela indépendamment de la


forme de la loi de comportement

τ(y) = ϱg sin θ(h− y), (6.1)

Σy(h) = σy − p = −ϱg cos θ(h− y). (6.2)

Question (c)

La loi de comportement est τ = µγ que l’on égale à la distribution (6.1) :

γ =dudy =

ϱ

µg sin θ(h− y),

soumis à u(0) = −u0. L’intégration donne le profil parabolique

u(y) =ϱ

µg sin θ

(hy − 1

2y2)+ C

avec la constante d’intégration telle que u(0) = −u0, donc C = −u0. Le profil est donc

u(y) =ϱ

µg sin θ

(hy − 1

2y2)− u0. (6.3)

Une nouvelle intégration donne le débit par unité de largeur :

q =

∫ h

0u(y)dy =

[ϱ

µg sin θ

(1

2hy2 − 1

6y3)− u0y

]h0

=gh3 sin θ

3ν− hu0,

avec ν = µ/ϱ.

Question (d)

La loi de comportement est τ = µ(I)σy que l’on égale à la distribution (6.1) :

τ = µ(I)|σy| = ϱg sin θ(h− y),

soumis à u(0) = −u0. On a pris p = 0 et donc σy est donné par (6.2). On a donc

µ(I) = tan θ.

Comme on utilise la loi empirique de Jop

µ(I) = µ1 +µ2 − µ1I0/I + 1

,

on tire la relation entre I et θ :I = I0

tan θ − µ1µ2 − tan θ .

Un écoulement permanent n’est possible que sur la plage de pentes : µ2 ≥ tan θ ≥ µ1. Enutilisant la définition de I , on en déduit le taux de cisaillement :

γ =I0d

√g cos θ(h− y)

tan θ − µ1µ2 − tan θ .


L’intégration donne le profil en loi puissance 3/2

u(y) = C − a√g cos θ(h− y)3 avec a =

2I03d

tan θ − µ1µ2 − tan θ

avec la constante d’intégration telle que u(0) = −u0, donc C = −u0 + a√g cos θh3. Le

profil est donc

u(y) = −u0 + a√g cos θh3

(1−

(1− y

h

)3/2). (6.4)

La figure 6.12 compare les deux profils, qui ont des formes assez similaires (ce qui estnormal car l’un varie en (h − y)2 et l’autre en (h − y)3/2) en dépit de la différence derhéologie.

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u(y)

y

Figure 6.12 : profil de vitesse pour un fluide newtonien (trait discontinu) – donné parle profil (6.3) – et granulaire (trait continu) – donné par le profil (6.4) – ; les unités sontarbitraires. Les paramètres ont été choisis en sorte que la vitesse au fond et celle à la surfacelibre prennent les mêmes valeurs pour les deux rhéologies.


Question (a)

Il y a adhérence du fluide aux parois donc u = 0 et v = 0 en y = 0, tandis qu’en y = h,u = dx/dt = Aω cos(ωt) et v = 0.


Question (b)

Le fluide est mu par la plaque supérieure. On s’attend à avoir une pression hydrosta-tique, pas de vitesse verticale, et une vitesse horizontale qui ne dépend que de la profondeury. Donc u(y,t) et p(y) sont les variables qui nous intéressent.

Question (c)

L’équation originale à résoudre est

ϱ

(∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)= −∂p

∂y− ϱg + µ

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

),

Compte tenu des symétries, on obtient directement

0 = −1

ϱ

∂p

∂y− g

Cela confirme que la distribution de pression est hydrostatique.

Question (d)

L’équation originale à résoudre est

ϱ

(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)= −∂p

∂x+ µ

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

),

Après simplification, on obtient∂u

∂t= ν

∂2u

∂y2.

Question (e)

Dans la limiteh→ ∞, l’effet de la paroi immobile sur l’écoulement devient négligeable.On recherche alors une solution périodique de la forme

u(y, t) = f(y) cos(ωt+ ϕ) = R(f(y)eıωt),

avec f une fonction complexe. Pour simplifier la notation, on a fait un changement devariable : l’ordonnée y pointe désormais vers le bas et la position de la plaque mobile esten y = 0.

On a donc∂u

∂t= ν

∂2u

∂y2⇒ ıω = νf ′′.

La solution générale est de la forme

f(y) = ae−(1+ı)ky + be(1+ı)ky où k =

√ω

2ν,


et a et b sont deux constantes d’intégration. Les conditions aux limites imposent b = 0et a = Aω. La composante horizontale de la vitesse est donc

u = ωAe−ky cos(ωt− ky)

tandis que v = 0.

Bibliographie

Ancey, C., BaRdou, E., FunK, M., Huss, M., TRewhela, T. &WeRdeR, M. 2019a Hydraulicreconstruction of the 1818 Giétro glacial lake outburst flood. Water Resources Research55, 8840–8863.

Ancey, C., BaRdou, E. & TRewhela, T. 2019b Reconstruction hydraulique de la débâcleglaciaire du Giétro. Annales valaisannes pp. 89–106.

CaRslaw, H. & JaegeR, J. 1959 Conduction of Heat in Solids, second edition. Oxford:Clarendon Press.

TayloR, G. 1950The formation of a blast wave by a very intense explosion. - II. The atomicexplosion of 1945. Proceedings of the Royal Society of London series A 201, 175–186.

This, H. 1993 Les secrets de la casserole. Paris: Belin.

195

Index

adhérence, 59angle

de contact, 3artère, 180

barrage, 112Maigrauge, 65poids, 40

bombe, 11buse, 69, 106

canal, 106–108, 174charge

spécifique, 106, 121charge hydraulique, 103coefficient

de Chézy, 103de Darcy-Weisbach, 176de débit, 105de traînée, 10, 14, 19

conditionaux limites, 59, 105d’équilibre, 103

constantede von Kármán, 168

contraction, 13, 61contrainte

pariétale, 103coude, 60, 63courbe

de remous, 90, 109, 112, 116, 118, 121cylindre, 43

diagrammede Moody, 13

digue, 12, 40débit, 120décomposition

de Reynolds, 168dérivée

convective, 57locale, 57

matérielle, 57déversoir, 9, 11, 16, 105dôme, 39

écoulementCouette cylindrique, 2, 171Couette plan, 1en charge, 21granulaire, 174Poiseuille cylindrique, 8Poiseuille plan, 168, 176

effetMagnus, 71

énergiespécifique, 103

équationde Bresse, 90, 121de conjugaison, 105de continuité, 58de fermeture, 168de Jäggi, 118de la chaleur, 22de la quantité de mouvement, 58de Navier-Stokes, 167de Reynolds, 168du mouvement, 167du ressaut, 105moyennée, 168

équationsd’Euler, 59, 65de Navier-Stokes, 59

explosion, 11

fluidenewtonien, 178

fonctionpotentiel, 67

forcebuse, 69canal, 70coude, 60, 63, 72

197

198 Index

d’Archimède, 37, 39, 171jet, 60traînée, 23vanne, 65

Giétro, 16

hauteurcritique, 106, 107, 109normale, 104, 121

houle, 12

iceberg, 39insecte, 3

jet, 121force, 60, 72hauteur, 60

lac, 16, 112, 118linéarisation, 67loi

µ(I), 174de Chézy, 103, 112de Jurin, 4de Keulegan, 103, 117de Laplace, 1de Manning-Strickler, 103, 104, 106,

107, 117, 118de Meyer-Peter, 103de Newton, 1, 167de Pascal, 37

manomètre, 61modèle

de longueur de mélange, 168, 176réduit, 12, 67

méthodede Newton, 156de Rayleigh, 7, 11Newton-Raphson, 135

nombrede Froude, 7, 12, 104, 108de Reynolds, 7, 171

Parshall, 114pertes de charge, 21pompe, 60pression, 40, 41, 58

aspiration, 37atmosphérique, 38

principed’Archimède, 37de Terzaghi, 174

problèmede Stokes, 177

périmètremouillé, 103

rayonhydraulique, 103

remontéecapillaire, 4

ressaut, 105, 109rhéologie, 2régime

d’écoulement, 105subcritique, 105, 114supercritique, 105, 114supercritrique, 107

sang, 2, 9, 169section

mouillée, 103seuil, 16, 105

dénoyé, 105, 114, 118noyé, 105

siphon, 62–64soufflerie, 10, 64sous-pression, 40surface

libre, 59sédimentation, 10, 171

tenseurdes contraintes, 58, 167des extra-contraintes, 167

tensionde surface, 1, 3, 67

théorèmede Bernoulli, 59–61, 65, 69de Reynolds, 58de Vaschy-Buckingham, 7, 11, 13, 18,

19, 21–23torpille, 60torrent, 120train, 23

vague, 67vanne

circulaire, 44de fond, 41

Index 199

radiale, 41secteur, 65

vent, 23vidange, 16, 62, 63, 170viscosimètre, 171viscosité, 2

cinématique, 8, 10dynamique, 8, 10

volumearbitraire, 57de contrôle, 57, 121matériel, 57

évacuateur de crue, 112

cahierd’exercices - lhe

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