Actividad # 11

Actividad # 11. Conferencia # 5.- Parmetros Imgenes. Redes Adaptadoras de Impedancia.Sumario.

Introduccin

Parmetros Imgenes. Definicin

Cadena Imagen

Prdidas de transmisin

Prdidas de Insercin. Distintas redes adaptadoras

Rechazo de frecuencias.

Bibliografa

FTCE II Transmission Lines and network, Johnson Linear Electric Circuits, Cassell

Communications Engineering, Everitt and Anner.

- Radio transmitters.

ObjetivosIntroduccin Los cuadripolos se caracterizan por diferentes parmetros, el primer juego de parmetros surgi a partir de la teora de las lneas de transmisin y fueron nombrados parmetros imgenes. Estos parmetros se usan para el diseo de distintos tipos de redes muy comn en telecomunicaciones.

Parmetros Imgenes. Definicin.

Para caracterizar un cuadripolo reciproco pasivo, se necesitan tres parmetros, dos impedancias imgenes y una constante transferencial imagen.Impedancias imgenes.

Las impedancias imgenes se definen como un par de impedancias Z1i y Z2i Tal que cuando se conecta Z2i como carga a la salida, la impedancia que se observa a la entrada es Z1i y cuando se conecta a la entrada la impedancia Z1i , la impedancia que se observa a la salida es la impedancia Z2i

Cuadripolo en condicin imagen.

Un cuadripolo se dice que est en condicion imagen cuando las impedancias de carga y suministro son las impedancias imgenes.

Constante Transferencial Imagen.

Se define como constante transferencial Imagen y se representa por i a la relacin

Los voltajes y corrientes a la entarda y la salida son complejos, por lo que es de esperar que la constante trandsferencial imagen tambien lo sea.

Donde i es la constante de atenuacin imagen y es

Y i es la constante de fase imagen y se obtiene como

Si el cuadripolo es simtrico se dice que es la impedancia caracterstica del cuadripolo y es

Y la constante transferencial imagen ser

Parmetros imgenes en funcin de las impedancias de corto circuito y circuito abierto.

Los parmetros imgenes caracterizan al cuadripolo reciproco, tan bien como los parmetros Z, Y cualquiera de los otros parmetros, de ah que se pueda encontrar una relacin entre cualquiera de los parmetros conocidos y los parmetros imgenes. Una relacin muy importante es la que existe entre los parmetros imgenes y las impedancias de corto circuito y circuito abierto de un cuadripolo. Se puede demostrar fcilmente que:

Se conoce que

Note que los signos son ms y menos, eso hace que existan diferentes combinaciones de signos por lo que tendramos diferentes juegos de parmetros, se puede demostrar que de todas las combinaciones solo son validas aquellas que se obtienen de seleccionar los tres parmetros con signos positivos o los tres parmetros con signos negativos.

Cadena Imagen

Una cadena imagen es una asociacin de cuadripolos en cascada donde todos los cuadripolos estn en condicin imagen.

Se puede obtener que las impedancias imgenes de la entrada es la del primer cuadripolo y la de la salida es la del ltimo cuadripolo

As se puede demostrar tambin que la constante transferencial de la asociacin es la suma de todas las constantes transferenciales de los cuadripolos de la asociacin.

Ejemplo 1

Calcule los parmetros imgenes del cuadripolo

Ejemplo 2

Calcule los parmetros imgenes del siguiente cuadripolo. Si la frecuencia aumenta 3 veces, calcule los parmetros de nuevo.

Prdidas de Transmisin.Es la prdida que sufre la potencia de una seal al pasar a travs de un cuadripolo y se define como:

Sea P1 la potencia activa que una fuente le entrega a un cuadripolo y P2 la potencia activa que se disipa en la carga, o sea la potencia activa que el cuadripolo le entrega a la carga.

Se define como prdida de transmisin en dB a la relacin.

Y como prdida de transmisin en nepers a:

Prdida de transmisin de un cuadripolo resistivo en funcin de los parmetros imgenes.

Para el cuadripolo resistivo se puede demostrar que

Donde;

Kr2 es el coeficiente de reflexin en el recibo

yR es el coeficiente de reflexin en el recibo.

Note que las prdidas de transmisin no dependen de la condicin que hay a la entrada y que si hay condicin imagen a la salida KR2 = 0 y R = 0 entonces:PTdB=8.8686 iLas prdidas de transmisin sern mayores o iguales que cero, son cero si el cuadripolo es reactivo puro.

Impedancia de entrada en funcin del coeficiente de reflexin. Se puede demostrar que:

Analizar la expresin.Prdidas de Insercin.

Se tiene una fuente real de impedancia interna ZS y se le conecta una impedancia de carga ZR y sea P0 la potencia activa que se disipa en la impedancia de carga.

Intercalemos un cuadripolo entre la fuente y la carga.

Se define como prdida de insercin PI

Aplicando la expresin de la potencia activa P=I2R se obtiene

Prdidas de insercin en funcin de los parmetros imgenes, se puede demostrar que

Donde

PIS es la prdida de insercin en el suministro y es

PIR es la prdida de insercin en el recibo y es

PIRS es la prdida de insercin entre el suministro y el recibo

PII es la prdida de insercin por interaccin entre suministro y recibo.

Las prdidas de insercin pueden ser mayores, menores o iguales a cero.

- PI < 0 si est en condicin imagen a la entrada, a la salida es reactivo puro y no es simtrico.

- PI = 0 si est en condicin imagen a la entrada, a la salida es reactivo puro y es simtrico.

Ejemplo propuesto.

Calcule los parmetros imgenes del cuadripolo a las frecuencias de 1 radian y 5 radian

Introduccin.

En las comunicaciones los niveles de potencia de trabajo son normalmente pequeos, ello hace que se trate de obtener condicin de mxima transferencia de potencia.

Cualquier sistema, con una impedancia interna fija, que alimente una carga puede ser sustituido por su equivalente de Thevenin. La condicin de mxima transferencia de potencia es:

Dado una fuente de suministro de energa conectada directamente a una carga que recibe energa.

La condicin de mxima transferencia plantea que:

ZS = ZR*RS+JXS = RR-JXRLa potencia mxima ser

Pmax = E2/(4RS)

Ahora si

ZSZR*Entonces no existir condicin de mxima transferencia de potencia, para obtenerla se debe insertar un cuadripolo entre la fuente(el suministro) y la carga (el recibo) que cumpla con determinada caracterstica.

El cuadripolo a insertar debe cumplir con las siguientes caractersticas:

1. Un cuadripolo que no consuma potencia activa, o sea no disipativo, por lo tanto debe ser un cuadripolo reactivo puro.

2. La impedancia que se vea a la entrada Z1 = ZS* 3. La impedancia que se ver a la salida Z2 = ZR*Esto se puede lograr de la siguiente forma:

El cuadripolo Q2 es la red que se encarga de adaptar las partes resistivas, es propiamente la red adaptadora, los cuadripolos Q1 y Q3 son cuadripolos formados por un solo elemento, para completar la impedancia de la entrada y de la salida, el elemento que lo forma es reactivo y es el complemento de la impedancia del suministro y de la impedancia del recibo, para anular su parte reactiva.

El cuadripolo Q2 es reactivo tiene que tener impedancias imgenes resistivas, las impedancias imgenes en funcin de las impedancias de corto y abierto son:

esto se puede lograr si las impedancias de corto y abierto son de diferentes signos,

De donde;Redes adaptadoras de impedancia tipo T.

Supongamos que se tiene el siguiente cuadripolo

Se pueden obtener las impedancias imgenes de este cuadripolo reactivo segn:

Sustituyendo por las reactancias se obtiene:

Analizando la expresin se llega a la conclusin de que, para que las impedancias imgenes sean resistiva, tiene que cumplirse que una de las reactancias tenga signo contrario a las otras dos, para que el signo menos de la expresin tenga la posibilidad de cancelarse, o sea si una es capacitiva, las otras dos deben ser inductivas.

El diseo de la red adaptadora consiste en obtener los valores de las reactancias del cuadripolo X1, X2 y X3, tenemos dos ecuaciones y tres incgnitas, por lo que el sistema tendr infinitas soluciones. Una variante puede ser introducir una nueva ecuacin, considerando algn otro criterio para el diseo del cuadripolo, o simplemente asignarle un valor a uno de los parmetros y obtener los otros dos. Las ecuaciones quedaran:

Se puede despejar cualquiera otras dos variables, es de destacar que la cantidad subradical tiene que ser mayor que cero para que las reactancias sean reales, entonces se tiene que cumplir.

Despejando se obtiene que

Si se considera el signo igual queda:

Quedando dos posibles redes de la forma siguiente

Diseo con especificaciones de fase

Se puede introducir en el diseo una nueva condicin, la diferencia de fase entre la entrada y la salida, o sea establecer como parmetro de diseo adems de las resistencias imgenes el defasaje entre la corriente de entrada y la corriente de salida. Procesando se llega a que en este caso a que las ecuaciones toman la forma

Donde es la diferencia de fase entre la entrada y la salida

=Arg{IE}- Arg{IS}

Redes tipo (Aplicando el principio de dualidad para las expresiones de la red en T se obtienen las ecuaciones para la red en (:

Redes tipo L

La red adaptadora tipo L es una red adaptadora con el menor nmero de elementos.

Las ecuaciones en este caso quedaran

Es de notar que las redes adaptadoras de impedancia diseadas por este mtodo adaptan la impedancia a una frecuencia, a la frecuencia de diseo, pero una vez que nos separamos de ella la adaptacin disminuye, por lo que se puede hablar de un ancho de banda de la red adaptadora.

Rechazo de frecuencias

En ocasiones interesa que la seal de una frecuencia no llegue a la carga, o sea que el cuadripolo, la red adaptadora la rechace, eso se puede obtener poniendo un corto circuito en una rama paralelo o poniendo un circuito abierto en una rama serie, se puede lograr este efecto poniendo un circuito serie LC en una rama paralelo o un circuito paralelo LC en una rama serie, las caracterstica de estos circuitos a la frecuencia de resonancia hacen que se comporten como corto circuito o circuito abierto respectivamente.

Sea una red adaptadora de impedancia tipo T

A la frecuencia de diseo fd la impedancia de la rama paralela tiene dos posibilidades por el mtodo de diseo;

Si se quiere rechazar la frecuencia fR se debe sustituir la impedancia de diseo Z3 por un circuito serie LC

de forma que se cumpla a la frecuencia de diseo fd que

y a la frecuencia de rechazo fR que

sustituyendo por las impedancia del inductor y del capacitor a la frecuencia de diseo

a la frecuencia de rechazo queda

Quedara un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incgnitas que se deben resolver.

Es de notar el signo mas o menos que puede tener X3, el signo mas significa que es inductivo y menos significa que es capacitivo, esto determina si el rechazo se puede o no hacer, pues el circuito serie a una frecuencia mayor que la frecuencia de resonancia se comporta como un inductor, por lo tanto si el signo es positivo, la X3 es una inductancia y la frecuencia de diseo tiene que ser mayor que la frecuencia de rechazo, para que el circuito serie LC se comporte como un inductor a la frecuencia de diseo y el sistema tenga solucin.

Otra variante es poner un circuito paralelo en rama serie

Las ecuaciones quedan como:

Z2i

Z1i

Z2i

Z1i

Z2i

Z1i

V1i

V2i

I2i

I1i

+

+

+

i = (1/2) ln

V1i I1i

V2i I2i

i = iji

i = (1/2) ln

V1i I1i

V2i I2i

i = (1/2)Arg

V1i I1i

V2i I2i

Z1i= Z2i= Z0

i = ln

I1i

I2i

i = ln

V1i

V2i

Z1i= Z1A Z1C

Z2i= Z2A Z2C

tanghi = Z1C /Z1A

tanghi = Z2C /Z2A

tangh-1 x =(1/2) ln [(1+x)/(1-x)]

Z1i=+ Z1A Z1C

Z2i=+ Z2A Z2C

tanghi =+ Z1C /Z1A

tanghi =+ Z2C /Z2A

Z1i= - Z1A Z1C

Z2i= - Z2A Z2C

tanghi = - Z1C /Z1A

tanghi = - Z2C /Z2A

ZS

V1i

I1i

+

+

ZR

V2i

I2i

+

Q1

Qn

Q2

ZS = Z1i ; Z12i = Z21i Zn2i = Z2R

i =i+ini

Z1i=+15.87

Z2i=+7.94

i =+1.384 neper

3

6

12

18J

-4J

-4J

Z1i=+6.928

Z2i=+6.928

i =+J/3 Radianes

6J

-12J

-12J

Z1i=-5.37J

Z2i=-5.37J

i =1.578 verificar

ZR

ZS

P1

P2

+

PTdB= 10 log

P1

P2

PTn= () ln

P1

P2

RR

RS

P1

P2

+

PTdB= 8.8686 i 20log KR2 +10log [1-2R e-4i ]

PTdB= 20log ei 20log KR2 +10log [1-2R e-4i ]

R2=

2RRR2i

RR +R2i

R =

RR -R2i

RR +R2i

Z1=R1i

1+ R e-2i

1- R e-2i

ZR

ZS

P0

+

ZR

ZS

P1

P2

+

PIn= () ln

P0

P2

PIdB= 10 log

P0

P2

PIn= ln

I0

I2

PIn= ln

V0

V2

PIn= i -PIS PIR +PIRS +PII

PIS= ln KS1

S1=

2ZSZ1i

ZS +Z1i

R2=

2ZRZ2i

ZR +Z2i

PIR= ln KR2

RS=

2ZSZR

ZS +ZR

PIRS= ln KRS

I= 1 -

(ZS +Z1i ) (ZR +Z2i )

(ZS -Z1i ) (ZR -Z2i )

PIn= ln KS1

Z1i=+6.93

Z2i=+6.93

i =+J1.047 rad

Z1i=5.37J

Z2i=5.37J

i =-/4

4H

1/8 F

4H

ZR

ZS

+

E

ZR

ZS

+

E

Z1= ZS*

Z2 =ZR*

ZS

+

E

ZS*

ZR

ZR*

RS

RR

Q3

Q2

Q1

JX

Z1i= Z1A Z1C

Z2i= Z2A Z2C

Z1i=JX1A JX1C

-

+

Z2i=JX2A JX2C

-

+

R1i=+X1A X1C

R2i=+X2A X2C

Z2

Z3

Z1

Z1i= [(Z1 +Z3)/ (Z2 +Z3)](Z1 Z2 +Z2 Z3 +Z1 Z3)

Z2i= [(Z2 +Z3)/ (Z1 +Z3)](Z1 Z2 +Z2 Z3 +Z1 Z3)

R21i= - [(X1 +X3)/ (X2 +X3)](X1X2+X2X3+X1X3)

R22i= - [(X2 +X3)/ (X1 +X3)](X1X2+X2X3+X1X3)

X1= [R2i/ R1i](X32 -R1i R2i)

X2= [R1i/ R2i](X32 -R1i R2i)

X32 -R1i R2i 0

X32 R1i R2i

X3 R1i R2i

X1=X2=-X3=R1i R2i

L1

C3

L2

C1

L3

C2

X1=-[R1i /Tan ]- X3

X2=-[R2i /Tan ]- X3

X3=-R1i R2i /Sen

B2

B3

B1

Z3

Z1

X3= R2i R1i /(R2i R1i)

X1= R1i /(R2i R1i)

-

+

Z2

Z3

Z1

Z3=JX3

C

L

Z3= ZL+ ZC

0= ZL+ ZC

JX3= J(dL - J1/((dC)

0= J(RL - J1/((RC)

X3= (dL - 1/((dC)

0= (RL - 1/((RC)

JX3= J(L - J1/((C)

L

C

B2= (dC - 1/((dL)

0= (RC - 1/((RL)

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