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WhitePaper:CartadeSmithyparmetrosS

PARMETROSS & CARTADESMITH

Javier De Castro Rivas Luis Manuel Gonzlez Morales Luis Medina Bootello Juan Jess Pedrera Gmez

Eva Rodrguez Snchez Raquel Snchez Quirs Eliecer Varad Lpez Alfredo Vales Gmez

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NDICE: PARAMETROSS 1.Introduccin 1.1.Lneasdetransmisin 1.2.Reddemicroondas

2.Parmetrosdedispersin 2.1.Definicin 2.2.Significadofsico 2.3.propiedades

3.Redde2puertos 3.1.Clculodelosparmetrosdedispersin 3.2.Ejemplos

CARTADESMITH 4.Definicin 4.1.Representacindeimpedancias

5.ObtencindelcoeficientedereflexinyROE 6.Transformacindeimpedancias 7.ConvirtiendoImpedanciasenadmitanciasyviceversa

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PARMETROSS1. INTRODUCCIN.1.1 LINEAS DE TRANSMISION.Una lnea de transmisin constituye bsicamente un sistema destinado a guiar o dirigir energa electromagntica. Las lneas de transmisin constituyen un elemento clave de cualquier sistema de telecomunicacin en los que se ocupan de conducir la energa electromagntica entre otros bloquees del sistema. Los sistemas de telecomunicacin utilizan diferentes tipos de lneas de transmisin segn la banda en la que operen.

1.2 RED DE MICROONDAS.Todo circuito integrado por elementos pasivos concentrados (resistencias, bobinas y condensadores), dispositivos activos (diodos y transistores) y lneas de transmisin. Las lneas de transmisin que conectan a un circuito de microondas al exterior se suelen llamar accesos o puertos, y para la caracterizacin del circuito se elige un plano de referencia en cada una de dichas lneas donde se definen unas magnitudes de tensin y corriente. Una posible caracterizacin de los circuitos de microondas es a travs de las llamadas matrices de impedancias (Z) o admitancias (Y) cuyos elementos relacionan las magnitudes de tensin y corriente. No obstante a frecuencias de microondas, estas matrices presentan diversos que se evitan empleando otras matrices, matrices de dispersin(S), cuyos parmetros relacionan ondas de tensin incidentes y reflejadas. Estas ondas se definirn de Nuevo en los planos de referencia escogidos en los accesos del circuito bajo anlisis. La matriz de dispersin (matriz scattering, matriz parmetros S) no relaciona la las citadas ondas de tensin incidente (Vi+) y reflejada (Vi-), sino unas nuevas ondas de tensin incidente (ai) y reflejada (bi) normalizadas, que se expresan en funcin de las anteriores como sigue:

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Las ondas incidentes (ai) se dirigen en direccin entrante al circuito, mientras que las ondas reflejadas (bi) se propagan en direccin saliente del circuito. Por otra parte, el factor de reflexin en el acceso i-ensimo del circuito se relaciona con las nuevas ondas de tensin normalizadas a travs de la siguiente expresin:

i =

U i bi Z ci bi = = U + i ai Z ci ai

2. PARMETROS DE DISPERSIN.2.1 DEFINICIN.Se considera una red de microondas conectada al exterior mediante N accesos o lneas de transmisin. Debe definirse un plano de referencia en el que se consideran las ondas de tensin normalizadas en ai (direccin entrante al circuito) y bi (en direccin saliente al circuito) as, la matriz de dispersin del circuito de microondas permitir relacionar las citadas ondas de tensin normalizadas incidentes y reflejadas. En trminos matemticos:

Donde se observa que b y a representan los vectores columna de dimensiones Nx1 cuyas componentes son, respectivamente, ondas salientes bi y entrantes ai del circuito bajo estudio, mientras que S designa a la matriz de parmetros de dispersin de dicho circuito, que ser de tamao NxN. Si nos fijamos en la fila j-sima:

b j = S j1a1 + S j 2 a2 + ....... + S ji ai + .... + S jN a NDe donde:

S

ji

bj = a i para :a k = 0 ( k i )4


Se concluye que para obtener el parmetro de dispersin Sij es necesario que todos los accesos de la red se carguen con sus respectivas impedancias caractersticas a excepcin del i-simo en el que se conectar un generador capaz de producir la onda incidente ai. Cuando un acceso de una red est cargado se dice que est terminado. Aunque los parmetros de dispersin se calculan bajo determinadas condiciones de carga una vez obtenidos permiten representar el comportamiento del circuito de microondas independientemente de las cargas que se conecten en los extremos de sus accesos.

2.2 SIGNIFICADO FISICO.Bajo las condiciones de carga de la red anteriores el parmetro de dispersin se puede expresar del siguiente modo:U i

b Z Sii = i = + ci = i a i para:ak =0 ( k i ) U i Z ci

De donde se concluye que es igual que el factor de reflexin. Si tomamos los mdulos al cuadrado y se hace uso de las definiciones de potencia que transportan las ondas en los accesos de red se deduce que: S ji =2

bj ai

2 2

=

Pj Pi +

La figura representa la ganancia en potencia del circuito.

2.3 PROPIEDADES.Todo circuito de microondas descrito en trminos de la matriz S cumple las siguientes propiedades: - Si el circuito es pasivo, no introduce ganancia, el mdulo de todos los elementos de la matriz S es menor o igual que la unidad 1, |Sij| |Sii| 1. - Si la red que describe la matriz es recproca, es decir, no contiene elementos que funcionan de modo diferente en funcin del sentido de propagacin tales 5


como amplificadores, ferritas, trts polarizados, la matriz de parmetros S es simtrica o lo que es lo mismo, la matriz S es igual a su traspuesta. Sji = Sij No debe confundirse la reciprocidad con la simetra fsica del circuito. Si la red posee simetra fsica respecto a un plano del circuito, se cumple que: Sji = Sii -Si la red es pasiva y sin prdidas, su matriz S en unitaria, la matriz inversa de S es igual a la matriz traspuesta conjugada que de forma abreviada. Al ser el circuito, pasivo y sin prdidas, la potencia entrante es igual a la potencia saliente del circuito.

3. RED DE DOS PUERTOS.Una red de dos accesos es un circuito de microondas que se conecta al exterior mediante dos lneas de transmisin. A estas redes se las suele llamar cuadripolos.

3.1 CLCULO DISPERSIN.-

DE

LOS

PARMETROS

DE

Para calcular los elementos de la primera columna de la matriz de parmetros S de una red de dos accesos, S11 y S21, ser necesario cargar el segundo de los accesos con su impedancia caracterstica.

El significado de cada parmetro S es: S11 es el coeficiente de reflexin a la entrada. Cantidad de onda que vuelve a la fuente.

S12 es la ganancia directa. 6

S21 es la ganancia inversa.


S22 es el coeficiente de reflexin a la salida. Cantidad de onda que vuelve a la carga.

Y vienen calculados de la siguiente manera:S11 = S 22 = b2 a2 = 2 =a1 = 0

b1 a1

= 1 =a2 = 0

Z1 Z c1 Z1 + Z c1

S 21 =

Z c1 U 2 (1 + S11 ) Z c 2 U1

Z2 Zc2 Z 2 + Zc2

S12 =

Z c 2 U1 (1 + S 22 ) Z c1 U 2

Una vez calculados los parmetros S podemos utilizarlos para obtener otras caractersticas del circuito como pueden ser:

Ganancia (dB)

Aislamiento ganancia inversa (dB) Coeficiente de reflexin a la entrada Coeficiente de reflexin a la salida

o

Prdidas de insercin (dB) Prdidas de retorno en la entrada (dB) Prdidas de retorno en la salida (dB)

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3.2 EJERCICIOS DE EJEMPLO:Ejercicio 1

Se pide encontrar la matriz de dispersin de un tramo de lnea con impedancia caracterstica Z, exponente lineal de propagacin y longitud l cuyos dos accesos presentan una impedancia caracterstica igual a la propia lnea de transmisin:

La matriz de dispersin consta de 4 elementos aunque en este caso no hace falta calcularlos todos debido a las propiedades de la red. La lnea de transmisin es una red pasiva, lineal y con dielctrico istropo red recproca por lo que S12 = S 21 quedandolamatrizdedispersin: S11 S 21 S12 = S S 21 11

Paracalcularlosparmetrosdebemoscargarelsegundoaccesodelaredcon suimpedanciacaracterstica Z c obteniendolasiguienteconfiguracin:

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La lnea de transmisin real est terminada en una carga adaptada (impedancia de carga = impedancia caracterstica), sabemos que la impedancia en cualquier plano de la lnea es igual a su impedancia caracterstica, por lo que en el plano de referencia R1 se ve una impedancia Z1 de valor:Z1 = Z c Sustituyendoelvalorde Z1 enladefinicindelparmetro S11 obtenemos:

S11 = 1 =

Z1 Z c Z c Z c = =0 Z1 + Z c Z c + Z c

Paracalcular S 21 =

Z c1 U 2 (1 + S11 ) ,necesitamoslarelacinentrelastensionesen Z c 2 U1

losplanosdereferenciaR1yR2. Dicharelacinlaobtenemosdeexpresarlaevolucindelamagnitud( U )alolargode lalneadetransmisinrealconimpedanciacaracterstica Z c .Sabemosque U = U + e z + U e z dondelasondasdetensinincidente U + yreflejada U estnrelacionadasentresporelfactordereflexindefinidoenelplanodecargadelalnea (z=0):

L =

U + Z L Zc = U Z L + Zc

= 0 Factordereflexin=0Zl =Zc

De acuerdo con esto obtenemos que U = U + e z como corresponde a una lnea detransmisinterminadaenunacargaadaptada. LatensinenelplanodereferenciaR2( U 2 )serporlotanto:

U 2 = U ( z = 0) = U + LatensinenelplanodereferenciaR1( U 1 )ser:

U 1 = U ( z = l ) = U + e l Conseguimosaslarelacinentrelasdostensiones:

U2 U + = = e l + l U1 U e 9


Asobtenemoselparmetro S 21 S 21 = Z c1 U 2 (1 + S11 ) = e l (1 + 0) = e l Z c2 U1

Porlotantoobtenemosfinalmentelamatrizdedispersin: S11 S 21 0 e l S12 = S S = e l 0 21 11

Ejercicio 2

Se piden los parmetros de dispersin de una impedancia de valor Z conectada en serie a dos accesos de impedancia caracterstica Z c .Lageometradeestaestructuraeslasiguiente:

Como la red a caracterizar es de nuevo recproca (pasiva, lineal y con dielctrico istropo), y adems presenta simetra fsica respecto asus dos accesos (de igual impedancia caracterstica)slotenemosquecalculardosdelos4parmetros:

S11 S 21 S12 = S S 21 11

Paraelclculodelosparmetroscargamoselsegundoaccesodelaredconsu impedanciacaracterstica Z c ,obteniendolasiguienteconfiguracin:

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Dadoqueelsegundoaccesoestterminado(impedanciadecarga=impedanciacaracterstica), enelplanodereferenciaR2tenemosimpedanciadevalor Z c . As la impedancia que se ve en direccin entrante al circuito en el plano R1 ( Z1 ), ser la conexinenseriedeZy Z c quedando:

Z1 = Z + Z c Sustituyendoestevalorcalculamos S11 :

S11 = 1 = Ahorabuscamoscalcular S 21 Paraencontrarlarelacinobtenemos:

Z1 Z c Z + Z c Z c Z = = Z1 + Z c Z + Z c + Z c Z + 2 Z c

U2 nosfijamoseneldivisordetensindenuestraconfiguracin, U1

U 2 = U1

Zc Zc U 2 = Z + Zc U1 Z + Z c U2 obtenemos S 21 : U1

Sustituyendolosvaloresobtenidosde S11 y

Teniendo en cuenta que las impedancias caractersticas en ambos accesos son iguales( Z c1 = Z c 2 )

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S 21 =

Zc 2Z c Z c1 U 2 Z (1 + S11 ) = (1 + )= Z + Zc Z + 2Z c Z + 2Z c Z c2 U1

Aslamatrizdedispersindelaredseexpresacomo: S11 S 21 1 Z 2Z c S12 = S S = Z + 2Z 2Z Z c 21 11 c

Ejercicio Propuesto:

Se piden los parmetros de dispersin de una admitancia de valor Y conectada en paralelo a dos accesos de impedancia caracterstica Z c comopuedeobservarseenlasiguienteestructura:

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CARTADESMITH

4.DEFINICIN.La carta de Smith es una herramienta grfica que permite la obtencin de diversos parmetros de las lneas de transmisin y la resolucin de problemas de adaptacin de impedancias, evitando las operaciones con nmeros complejos que suelen implicar estos clculos. Desarrollada en 1939 por Phillip Hagar Smith en los Bell Telephone Laboratories, debido a los problemas que tena para calcular la adaptacin de las antenas debido a su gran tamao, se trata de un diagrama polar especial que contiene crculos de resistencia constante, crculos de reactancia constante, crculos de relacin de onda estacionaria constante y curvas radiales que representan los lugares geomtricos de desfase en una lnea de valor constante. La carta de Smith se puede utilizar para una variedad de propsitos incluyendo la determinacin de la impedancia, adaptacin de la impedancia, optimizacin del ruido, la estabilidad, etc. Por tratarse de una relacin grfica entre la impedancia de entrada normalizada y el coeficiente de reflexin del voltaje en el mismo punto de la lnea, se pueden evitar los laboriosos clculos con nmeros complejos para conocer la impedancia de entrada a la lnea o el coeficiente de reflexin, como veremos a continuacin.

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4.1 REPRESENTACIN DE IMPEDANCIAS.-

Si tenemos la siguiente lnea de transmisin:

Donde: ZL es la impedancia de la carga. Zo es la impedancia de la lnea

Recordemos la expresin del coeficiente de reflexin en la carga, , en funcin de sta, ZL, y de la impedancia caracterstica de la lnea, Z0:

que se puede expresar en forma de mdulo y fase imaginaria

, o como parte real e

La impedancia de carga ZL, normalizada con respecto a la impedancia caracterstica de la lnea Z0, tambin puede escribirse en sus partes real e imaginaria como:

donde: r es la resistencia normalizada x es la reactancia normalizada

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Por un lado, sobre el eje horizontal de la carta de Smith se encuentran las resistencias, en medio est el valor 1, hacia la izquierda este valor va disminuyendo hasta que en el extremo izquierdo vale 0 y hacia la derecha va creciendo hasta que en el extremo derecho vale infinito. Sobre cada uno de esos valores de resistencia se puede trazar un crculo que llega hasta el eje derecho, todo el crculo tiene el mismo valor de resistencia.

Por otro lado, la parte reactiva de la impedancia se busca sobre unos semicrculos que van desde el extremo derecho del crculo hasta algn punto del crculo, si es positivo hacia la parte superior del crculo y si es negativo hacia la parte inferior del crculo, como podemos ver en la figura:

La interseccin de un crculo r y un crculo x define un punto que representa una impedancia normalizada: r+jx.

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Por ejemplo:

El punto P de la figura 1 representa la impedancia normalizada 0.5+j Un cortocircuito, cc, se representa en el punto (-1, 0) Un circuito abierto, ca, en el punto (1, 0).

5.OBTENCIN REFLEXIN Y ROE.

DEL

COEFICIENTE

DE

La distancia de este punto al origen de coordenadas se corresponde con el mdulo del coeficiente de reflexin y el ngulo con respecto al eje real positivo se corresponde con su fase, de manera que todas las impedancias que presenten el mismo mdulo del coeficiente de reflexin se situarn sobre un crculo centrado en el origen. A la hora de tomar estas medidas nos encontraremos con que en la parte exterior de la carta hay varias escalas. La ms exterior es la escala "ngulo del coeficiente de reflexin en grados", de manera que a partir de sta se puede obtener directamente el valor del argumento del coeficiente de reflexin. Por ejemplo, el punto P(0.5, 1) se corresponde con un coeficiente de reflexin 0.6283 y en la figura se observa el crculo que representa 62.0=.

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Podremos obtener la razn de onda estacionaria (ROE) si recordamos la expresin que la relaciona con el coeficiente de reflexin:

Observando que la ROE coincide con el valor de la impedancia normalizada cuando la fase del coeficiente de reflexin es cero, es decir, la interseccin del crculo con el eje real positivo.

6. TRANSFORMACIN DE IMPEDANCIAS.La transformacin de impedancias producida a lo largo de la lnea puede deducirse observando los valores de r y x que se leen al desplazarse sobre crculos centrados en la carta (espirales si hay prdidas), ya que como sabemos, a medida que nos desplazamos por una lnea el valor de impedancia en cada punto considerado ser diferente (siempre y cuando la impedancia de carga no coincida con el valor de Zo). La carta de Smith proporciona dos escalas adicionales sobre su permetro en z/ (calibradas en longitudes de onda), una de ellas corre en el sentido de las manecillas del reloj, denominada de longitudes de onda hacia el generador, de manera que si se utiliza esta escala se estar avanzando hacia el generador, hacia la entrada de la lnea. La otra escala corre en sentido contrario de las manecillas del reloj y se denomina de longitudes de onda hacia la carga, indicando que si se utiliza esta escala se estar avanzando hacia la carga, hacia el final de la lnea (crculo amarillo de la figura). La escala angular en el borde tiene divisiones de 1/500 de una longitud de onda (0,72 grados) y la escala del coeficiente de reflexin se puede leer a una precisin de 0,02. Adems, la carta es peridica con la longitud de onda, de periodicidad circular / 2. Ntese que si se realiza una rotacin de 0,5 que corresponde a 360 en el grfico se llega exactamente al mismo punto del grfico lo que significa que cada 1/2 se repite la impedancia. Este fenmeno es muy til pues si se corta la lnea de alimentacin de una antena en mltiplos de media onda, podemos efectuar mediciones directas en el lado del generador sin tener que transformarlas para averiguar el verdadero valor.

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En una lnea sin prdidas, que se corresponde con la ecuacin:

Un desplazamiento z se traduce en un cambio de fase del coeficiente de reflexin, pero el mdulo se mantiene constante. Por ejemplo, un desplazamiento de z=/8 supone un incremento de fase de +/2 sobre el crculo de mdulo constante. En este sentido muy til resultar el caso de un desplazamiento de un cuarto de longitud de onda equivale a un cambio de fase de radianes en el coeficiente de reflexin, ya que el punto de la admitancia est diametralmente opuesto al de la impedancia correspondiente.

7. CONVIRTIENDO IMPEDANCIAS EN ADMITANCIAS Y VICEVERSA. UnavezgraficadoelpuntocorrespondientealaImpedancia,bastatrazaruna lneaque,partiendodesdelypasandoporelcentro,intersectealcrculodeGamma constantesobreelladoopuesto.Endichainterseccinpodremosleerdirectamenteel valordeConductanciaySusceptancia. 18


Otras aplicaciones de la carta de Smith son en el clculo del inverso de un nmero complejo o el acoplamiento de las lneas de transmisin. Son tantas y tan variadaslasposibilidadesquebrinda,quesolotratardemencionarlasharaextender estedocumentomuchomsalldeloestablecido. Originalmente,lacartadeSmitheraunaherramientadediseoenpapel.Ms recientemente, las actividades de RF se han convertido casi nicamente en una cuestindecomputadores.Sofisticadasherramientasdediseoasistidoporordenador (CAD)hanpermitidoincrementarsignificativamentelacomplejidaddelosproblemas quepuedenserafrontadosyeltiempodediseoreducido.Sinembargo,elextendido usodelasherramientasdeCADnohareducidoparanadaelusodecartasdeSmith. Los paquetes de software de diseo permiten que los resultados se muestren en grficos con este formato. De la misma manera, los analizadores de redes ms modernostambinpermitenvisualizarresultadosgrficamenteenunacartadeSmith.

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