講義「アルゴリズムとデータ構造」

第１２回 グラフとネットワークのアルゴリズム(1)

大学院情報科学研究院 情報理工学部門情報知識ネットワーク研究室

喜田拓也

2019/5/22講義資料

今日の内容

2

グラフとはなんでグラフ？グラフの数学的な定義，ネットワーク（重み付きグラフ）の定義

グラフデータの取り扱いのしかた隣接行列による表現隣接リストによる表現

グラフの探索の仕方深さ優先探索幅優先探索

ケーニヒスベルクの橋問題

プレーゲル川

なんでグラフ？

3

モノとモノのつながりを簡潔に記述し，解析できる！

世の中のすべてはグラフ！

無向グラフ(undirected graph) 有向グラフ(directed graph)

例） 𝑉𝑉 = 𝑣𝑣0, 𝑣𝑣1, 𝑣𝑣2, 𝑣𝑣3, 𝑣𝑣4 ,𝐸𝐸 = {𝑒𝑒0, 𝑒𝑒1, 𝑒𝑒2, 𝑒𝑒3, 𝑒𝑒4, 𝑒𝑒5}のとき

ただし，𝑒𝑒0 = 𝑣𝑣0, 𝑣𝑣1 , 𝑒𝑒1 = 𝑣𝑣1, 𝑣𝑣2 , 𝑒𝑒2 = 𝑣𝑣0, 𝑣𝑣2 ,𝑒𝑒3 = 𝑣𝑣2, 𝑣𝑣3 , 𝑒𝑒4 = 𝑣𝑣3, 𝑣𝑣4 , 𝑒𝑒5 = (𝑣𝑣4, 𝑣𝑣0)

有向グラフの場合，辺(𝑢𝑢,𝑣𝑣)は頂点𝑢𝑢から頂点𝑣𝑣への辺（有向辺）を表す無向グラフでは辺(𝑢𝑢, 𝑣𝑣)を{𝑢𝑢,𝑣𝑣}と書く場合もある

グラフ(graph)とは

4

頂点(vertex)の集合𝑉𝑉と

辺(edge)の集合𝐸𝐸 ⊆ 𝑉𝑉 × 𝑉𝑉の組(𝑉𝑉,𝐸𝐸)のこと

𝑣𝑣0

𝑣𝑣1

𝑣𝑣2 𝑣𝑣3

𝑣𝑣4𝑒𝑒0

𝑒𝑒1𝑒𝑒2

𝑒𝑒3

𝑒𝑒4

𝑒𝑒5𝑣𝑣0

𝑣𝑣1

𝑣𝑣2 𝑣𝑣3

𝑣𝑣4𝑒𝑒0

𝑒𝑒1𝑒𝑒2

𝑒𝑒3

𝑒𝑒4

𝑒𝑒5

ネットワーク(network)とは

5

各辺𝑒𝑒𝑖𝑖に重み（整数値または実数値）𝑤𝑤𝑖𝑖が付いたグラフ

のこと．重み付きグラフ(weighted graph)ともいう

例） 𝑉𝑉 = 𝑣𝑣0, 𝑣𝑣1, 𝑣𝑣2, 𝑣𝑣3, 𝑣𝑣4, 𝑣𝑣5 ,𝐸𝐸 = {𝑒𝑒0, 𝑒𝑒1, 𝑒𝑒2, 𝑒𝑒3, 𝑒𝑒4, 𝑒𝑒5}のとき

ただし，𝑒𝑒0 = 𝑣𝑣0, 𝑣𝑣1 , 𝑒𝑒1 = 𝑣𝑣1, 𝑣𝑣2 , 𝑒𝑒2 = 𝑣𝑣0, 𝑣𝑣2 ,𝑒𝑒3 = 𝑣𝑣2, 𝑣𝑣3 , 𝑒𝑒4 = 𝑣𝑣3, 𝑣𝑣4 , 𝑒𝑒5 = (𝑣𝑣4, 𝑣𝑣0)𝑤𝑤0 = 2,𝑤𝑤1 = 3,𝑤𝑤2 = 4,𝑤𝑤3 = 2,𝑤𝑤4 = 1,𝑤𝑤5 = 2

𝑣𝑣0

𝑣𝑣1

𝑣𝑣2 𝑣𝑣3

𝑣𝑣42

34

21

2𝑣𝑣0

𝑣𝑣1

𝑣𝑣2 𝑣𝑣3

𝑣𝑣42

34

21

2

無向ネットワーク 有向ネットワーク

𝐴𝐴 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 = �1 𝑣𝑣𝑖𝑖 ,𝑣𝑣𝑗𝑗 ∈ 𝐸𝐸 ,

0 𝑣𝑣𝑖𝑖 ,𝑣𝑣𝑗𝑗 ∉ 𝐸𝐸)

𝑣𝑣0 𝑣𝑣1 𝑣𝑣2 𝑣𝑣3 𝑣𝑣4

※ 無向グラフの場合は，各辺を両方向の２辺からなる有向グラフとみなして表現する

隣接行列(adjacency matrix)による表現

6

𝑣𝑣0

𝑣𝑣1

𝑣𝑣2 𝑣𝑣3

𝑣𝑣4𝑒𝑒0

𝑒𝑒1𝑒𝑒2

𝑒𝑒3

𝑒𝑒4

𝑒𝑒5

𝑣𝑣0

𝑣𝑣1

𝑣𝑣2 𝑣𝑣3

𝑣𝑣42

34

21

2

有向グラフについて，各辺の有無を行列で表したもの

（有向ネットワークの場合は重みを要素とした行列）

0 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 11 0 0 0 0

𝑣𝑣0𝑣𝑣1𝑣𝑣2𝑣𝑣3𝑣𝑣4

𝑣𝑣0 𝑣𝑣1 𝑣𝑣2 𝑣𝑣3 𝑣𝑣40 2 4 0 00 0 3 0 00 0 0 2 00 0 0 0 12 0 0 0 0

𝑣𝑣0𝑣𝑣1𝑣𝑣2𝑣𝑣3𝑣𝑣4

𝐴𝐴 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 =

�𝑤𝑤𝑘𝑘 𝑣𝑣𝑖𝑖 , 𝑣𝑣𝑗𝑗 = 𝑒𝑒𝑘𝑘 ∈ 𝐸𝐸 ,

0 𝑣𝑣𝑖𝑖 ,𝑣𝑣𝑗𝑗 ∉ 𝐸𝐸)

01234

2 NULL12 NULL

3 NULL

4 NULL

0 NULL

01234

2 NULL33 NULL24 NULL10 NULL2

1 2 2 NULL4

隣接リスト(adjacency list)による表現

7

有向グラフについて，各辺の有無を連結リストの配列で

表したもの（ネットワークの場合は重みを付加する）

※ 無向グラフの場合は，各辺を両方向の２辺からなる有向グラフとみなして表現する

𝑣𝑣0

𝑣𝑣1

𝑣𝑣2 𝑣𝑣3

𝑣𝑣4𝑒𝑒0

𝑒𝑒1𝑒𝑒2

𝑒𝑒3

𝑒𝑒4

𝑒𝑒5

𝑣𝑣0

𝑣𝑣1

𝑣𝑣2 𝑣𝑣3

𝑣𝑣42

34

21

2

重みは第２要素に格納

隣接行列と隣接リストの利点，欠点

8

利点 欠点

２頂点間に辺があるか否か

をO(1)時間でチェック可能

O(𝑛𝑛2)の記憶領域が必要

１つの頂点の隣接頂点を求

めるのにO(𝑛𝑛)時間必要

隣

接

行

列

隣

接

リ

スト

利点 欠点

O(𝑚𝑚)の記憶領域で済む ２頂点間に辺があるか否かをチェックするのに，隣接頂点数に比例した時間が必要

１つの頂点の隣接頂点を求めるのは，その隣接頂点数に比例した時間だけで可能

連結リストを線形探索するから

グラフの探索

9

頂点数𝑛𝑛の入力グラフ 𝐺𝐺 = (𝑉𝑉,𝐸𝐸) が与えられたとき，そのすべての頂点を訪問すること．

• 入力グラフは，隣接リスト表現で与えられるとする

• 出力として，訪問した頂点の並びを出力する．ただし，同じ頂点は2回以上重複して出力しないものとする

応用

• ゲーム（迷路，盤ゲーム），画像処理，etc…

探索法には主に次の２つがある。

１．幅優先探索(Breadth-First Search, BFS)２．深さ優先探索(Depth-First Search, DFS)

各種グラフ処理の基本アルゴリズム

幅優先探索の考え方

10

基本的なアイデア

• ソース（スタート地点となる頂点）𝑠𝑠から「波」を伝播させて，

波の「先端」(frontier）を横断的に訪問（展開）することで，

すべての頂点を探索する

アルゴリズムの動き

1. ソース𝑠𝑠を一つ決め，キュー（FIFO）に入れる

2. キューから一つ頂点𝑣𝑣を取り出して𝑣𝑣をたどる

3. 𝑣𝑣の隣接頂点のうち未訪問（かつ未発見）の頂点をすべて

キューに入れる

4. キューが空になるまで２と３を繰り返す

特長

• ソースから近い順番に訪問できる

ab

cde

f g

h

幅優先探索アルゴリズム BFS

11

色 意味

白 未訪問

赤 発見済

黒 訪問済

頂点𝑣𝑣の状態の意味Procedure BFS (𝐺𝐺: グラフ)1: for each 𝑣𝑣 ∈ 𝑉𝑉 do 状態[𝑣𝑣] ← 白; 2: Q ← 空のキュー; 3: 状態[𝑠𝑠] ← 赤; // ソース𝑠𝑠は適当な頂点4: Q.Enqueue(𝑠𝑠); 5: while (Q が空でない) do begin6: 𝑣𝑣 ← Q.Dequeue(); 7: 𝑣𝑣を出力する; // その頂点を処理8: for each (𝑣𝑣の隣接頂点𝑢𝑢) do9: if (状態[𝑢𝑢]=白 & 状態[𝑢𝑢]≠赤) then10: 状態[𝑢𝑢] ← 赤; 11: Q.Enqueue(𝑢𝑢); 12: end if13: 状態[𝑣𝑣] ← 黒; 14: end while

最悪/平均の時間計算量はO(𝑛𝑛 + 𝑚𝑚)(𝑛𝑛:頂点数，𝑚𝑚:辺の数)

幅優先探索の計算例

12

問い： 右図の隣接リスト表現で与えられるグラフ𝐺𝐺のBFSで出力される頂点リストを与えよ．

解答： a, b, f, g, h, d, c, e

頂点 隣接リストa b, f, g, hb d, c, fc d, ed nulle nullf nullg nullh g

𝐺𝐺の隣接リスト表現

ステップ訪問頂点𝑣𝑣

𝑣𝑣の隣接頂点リスト

キューQの内容

0 - a1 a b, f, g, h b, f, g, h2 b d, c, f f, g, h, d, c3 f null g, h, d, c4 g null h, d, c5 h g d, c6 d null c7 c d, e e8 e null -

※ 下線は次に取り出される頂点．赤字は新たに追加された頂点．

ab

cde

f g

h

深さ優先探索の考え方

13

基本的なアイデア

• ソース（スタート地点となる頂点）𝑠𝑠から，未発見の頂点を

優先的に可能な限り深い方へと探索する

アルゴリズムの動き

1. ソース𝑠𝑠を一つ決め，スタック（FILO）に入れる

2. スタックから一つ頂点𝑣𝑣を取り出して𝑣𝑣をたどる

3. 𝑣𝑣の隣接頂点のうち未訪問（かつ未発見）の頂点をすべて

スタックに入れる

4. スタックが空になるまで２と３を繰り返す

ab

cde

f g

h特長

• メモリ使用量が少なくなることが多い

• 特に再帰版は実装が簡単

深さ優先探索アルゴリズム DFS

14

色 意味

白 未訪問

赤 発見済

黒 訪問済

頂点𝑣𝑣の状態の意味

最悪/平均の時間計算量はO(𝑛𝑛 + 𝑚𝑚)(𝑛𝑛:頂点数，𝑚𝑚:辺の数)

Procedure DFS (𝐺𝐺: グラフ)1: for each 𝑣𝑣 ∈ 𝑉𝑉 do 状態[𝑣𝑣] ← 白; 2: Q ← 空のスタック; 3: 状態[𝑠𝑠] ← 赤; // ソース𝑠𝑠は適当な頂点4: Q.Push(𝑠𝑠); 5: while (Q が空でない) do begin6: 𝑣𝑣 ← Q.Pop(); 7: 𝑣𝑣を出力する; // その頂点を処理8: for each (𝑣𝑣の隣接頂点𝑢𝑢) do9: if (状態[𝑢𝑢]=白 & 状態[𝑢𝑢]≠赤) then10: 状態[𝑢𝑢] ← 赤; 11: Q.Push(𝑢𝑢); 12: end if13: 状態[𝑣𝑣] ← 黒; 14: end while

深さ優先探索の計算例

15

問い： 右図の隣接リスト表現で与えられるグラフ𝐺𝐺のDFSで出力される頂点リストを与えよ．

解答： a, h, g, f, b, c, e, d

頂点 隣接リストa b, f, g, hb d, c, fc d, ed nulle nullf nullg nullh g

ステップ訪問頂点𝑣𝑣

𝑣𝑣の隣接頂点リスト

スタックQの内容

0 - a1 a b, f, g, h b, f, g, h2 h g b, f, g3 g null b, f4 f null b5 b d, c, f d, c6 c d, e d, e7 e null d8 d null -

※ 下線は次に取り出される頂点．赤字は新たに追加された頂点．

ab

cde

f g

h

深さ優先探索アルゴリズム DFS （再帰版）

16

Procedure DFS (𝐺𝐺: グラフ)1: for each (𝑣𝑣 ∈ 𝑉𝑉) do 状態[𝑣𝑣] ← 白; 2: 𝑠𝑠 ←ソース頂点; // ソース𝑠𝑠は適当な頂点3: Visit(𝑠𝑠); // 再帰手続きの開始

Procedure Visit(𝑣𝑣: 頂点)1: 𝑣𝑣を出力する; 2: 状態[𝑣𝑣] ← 黒; 3: for each (𝑣𝑣の隣接頂点𝑢𝑢) do4: if (状態[𝑢𝑢]=白 & 状態[𝑢𝑢]≠赤) then5: Visit(𝑢𝑢); //再帰呼び出し6: end if6: end for

色 意味

白 未訪問

黒 訪問済

頂点𝑣𝑣の状態の意味

このアルゴリズム場合，隣接リストの順に未訪問の頂点を可能な限り深く探索するので，スタックを使うアルゴリズムとは出力順が異なる点に注意

【練習】 先の例のグラフ𝐺𝐺に対してどのような順番で出力されるか？