グラフとネットワーク - university of...

グラフとネットワーク

岡本吉央[email protected]

電気通信大学情報理工学研究科情報・通信工学専攻情報数理工学コース

2014年 10月 23日

この資料の在処：http://goo.gl/BRU9jN

岡本吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 1 / 35

数学とコンピュータの使い方

情報数理工学コースのページhttp://mi.cei.uec.ac.jp/wordpress/

概要

主題

離散最適化の入門として，次を概説するI グラフとネットワークを用いた数理モデル化I アルゴリズム的解法の背後にある数理

キャッチフレーズ：「本当の離散数学がここから始まる」

達成目標

以下の 4項目をすべて達成すること

1 グラフやネットワークに関する用語を正しく使うことができる

2 現実世界の諸問題をグラフやネットワークで表現し，数理モデルを構築できる

3 アルゴリズム的解法の背後にある数理，特に，最小最大定理の重要性を説明でき，それを用いて最適性の証明ができる

4 グラフとネットワークに関する簡単な数学的事実を証明できる

注意：科目名変更

変更前変更後

数理解析グラフとネットワーク(3年後学期) (3年前学期)

シミュレーション理工学第二離散数理工学(4年前学期) (3年後学期)

シミュレーション理工学第一シミュレーション理工学(3年後学期) (3年後学期)

開講学期と関連科目

キャッチフレーズ

離散数学系科目の流れ

離散数学 → グラフとネットワーク → 離散数理工学

語学としての数学本当の離散数学が離散数学を使うここから始まる

どんな問題を扱うのか：例 1

MLB アメリカンリーグ東地区 1996年 8月 30日金曜日

チーム名勝敗残 NYY BAL BOS TOR DET 他地区NYY 75 59 28 – 3 8 7 3 7BAL 71 63 28 3 – 2 7 4 12BOS 69 66 27 8 2 – 0 0 17TOR 63 72 27 7 7 0 – 0 13DET 49 86 27 3 4 0 0 – 20

NYY = ニューヨーク・ヤンキース，BAL = ボルティモア・オリオールズ，

BOS = ボストン・レッドソックス，TOR = トロント・ブルージェイズ，

DET = デトロイト・タイガース

優勝可能性判定問題

DETはまだ地区優勝が可能か？ (注：引き分けはない)

最大流 http://lyle.smu.edu/˜olinick/riot/detroit.html

MLB アメリカンリーグ東地区 1996年 8月 30日金曜日

チーム名勝敗残 NYY BAL BOS TOR DET 他地区NYY 75 59 28 – 3 8 7 3 7BAL 71 63 28 3 – 2 7 4 12BOS 69 66 27 8 2 – 0 0 17TOR 63 72 27 7 7 0 – 0 13DET 49 86 27 3 4 0 0 – 20

NYY = ニューヨーク・ヤンキース，BAL = ボルティモア・オリオールズ，

BOS = ボストン・レッドソックス，TOR = トロント・ブルージェイズ，

DET = デトロイト・タイガース

優勝可能性判定問題

DETはまだ地区優勝が可能か？ (注：引き分けはない)

最大流 http://lyle.smu.edu/˜olinick/riot/detroit.html

センサネットワークにおける通信

どのようにルーティング経路を設定すれば十分か？

全域木 http://www.ipros.jp/product/detail/153568008/

除雪計画

除雪車を効率よく運行するルートを決定したい

オイラー回路，マッチングhttps://www.city.niigata.lg.jp/nishi/kohoshi/pr/h24/nishi 1202/nishi 136 2.html

除雪計画

除雪車を効率よく運行するルートを決定したい

オイラー回路，マッチングhttps://www.city.niigata.lg.jp/nishi/kohoshi/pr/h24/nishi 1202/nishi 136 2.html

コンパイラにおけるレジスタ割当

1: A = 2

2: B = 3

3: B = B + 2

4: C = A + 1

5: A = C + 3

6: D = 4

7: D = C + 2

8: C = 3

1: R1 = 2

2: R2 = 3

3: R2 = R2 + 2

4: R2 = R1 + 1

5: R1 = R2 + 3

6: R1 = 4

7: R1 = R2 + 2

8: R2 = 3

彩色

どんな問題を扱うのか：例 5 — David Galeの Bridg-It；ルール

2人で競うゲーム

I 先手と後手が交互に点を結ぶ線を引くI 先手は隣り合う黒点を結び，後手は隣り合う白点を結ぶ

どんな問題を扱うのか：例 5 — David Galeの Bridg-It：ルール

2人で競うゲーム

I 結んだ線が交差してはいけないI 先に両岸を結ぶ経路を作った方が勝ち

どんな問題を扱うのか：例 5 — David Galeの Bridg-It：実際にやってみる

実際にやってみる

先手の勝ち全域木岡本吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 13 / 35

どんな問題を扱うのか：例 6 — 正多面体 (3次元)

正多面体とは，各面が合同な正多角形であり，各頂点に集まる面の数が同じであるような多面体のこと

正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体

http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic solid

疑問

この 5つの他に，正多面体はあるのか？

解答

この 5つの他に，正多面体は存在しない

平面グラフ岡本吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 14 / 35

どんな問題を扱うのか：例 6 — 正多面体 (3次元)

正多面体とは，各面が合同な正多角形であり，各頂点に集まる面の数が同じであるような多面体のこと

正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体

http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic solid

疑問

この 5つの他に，正多面体はあるのか？

解答

この 5つの他に，正多面体は存在しない

平面グラフ岡本吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 14 / 35

ネットワークの展覧会：路線図

http://www.kotsu.city.nagoya.jp/subway/sub route.html

ネットワークの展覧会：道路ネットワーク

http://en.wikipedia.org/wiki/File:International E Road Network green.png

ネットワークの展覧会：輸送ネットワーク

J. T. Bowen Jr. (2012), J. Trans. Geography, 24, pp. 419–431

ネットワークの展覧会：食物網

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Soil food webUSDA.jpg

ネットワークの展覧会：分子模型

https://en.wikipedia.org/wiki/Acetyl-CoA

ネットワークの展覧会：状態遷移図

http://automatown.org/automata

ネットワークの展覧会：オブジェクトモデル図

http://en.wikipedia.org/wiki/File:OMT object diagram.png

ネットワークの展覧会：ケーニヒスベルクの橋の問題 (オイラー，1735年)

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Konigsberg bridges.png

ネットワークの展覧会：ケーニヒスベルクの橋の問題：続き

http://en.wikipedia.org/wiki/Seven Bridges of Konigsberg

ネットワークの展覧会：Twitterのネットワーク

http://mentionmapp.com/

ネットワークの展覧会：World Wide Web

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:WorldWideWebAroundWikipedia.png

ネットワークの展覧会：World Wide Web

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:WorldWideWebAroundWikipedia.png

ネットワークの展覧会：紹介した例に共通すること

間違った認識

現実世界にはたくさんネットワークが存在する

正しい認識

現実世界にはたくさんネットワークと見なせることが存在する

I 「ネットワーク」としてモデル化しているI 「グラフ」はネットワークの数理モデルとして使われる

社会ネットワーク

「人のつながり」→ ネットワーク

I Twitter, Facebook

I World Wide Web

I 俳優の共演関係I 研究者の論文共著関係I クラスにおける友人関係I …

共通した性質が多くみられる…

社会ネットワーク：共演関係

The Oracle of Bacon

http://oracleofbacon.org/

Kevin Baconの代表作I Footloose (1984)

I Wild Things (1998)

I JFK (1991)

I A Few Good Men (1992)

I Apollo 13 (1995)

I Mystic River (2003)

I Frost/Nixon (2008)

https://www.flickr.com/photos/gageskidmore/14823923553/

Kevin Bacon Number

Kevin Bacon Numberの定義I KevinBaconNumber(Kevin Bacon) = 0

I KevinBaconNumber(P)= 1 + min{KevinBaconNumber(Q) | PとQは共演したことがある }

KevinBaconNumber(Mana Ashida) = ???

Mana AshidaPacific Rim (2013)−−−−−−−−−−−→ Ron Perlman

Balto (1995)−−−−−−−→ Kevin Bacon

As of Oct 23, 2014

Kevin Bacon Number

KevinBaconNumber(Mana Ashida) = 2

Mana AshidaPacific Rim (2013)−−−−−−−−−−−→ Ron Perlman

Balto (1995)−−−−−−−→ Kevin Bacon

As of Oct 23, 2014

Kevin Bacon Number

Kevin Bacon Number # of People

0 11 29022 3340043 11590454 2903725 225896 23837 2398 7

Average Kevin Bacon number= 3.002

As of Oct 23, 2014

レポート課題

Wikipedia (日本語版) にて，次のようなリンクの列を見つけてみる

A → B → C → D

レポート記載事項I 必須である：上のような図 ( A ～ D を項目名に代えて)

I 必須ではない： A と D が全く関係ない項目のように見える説明

評価基準I A と D が全く関係ない項目のように見える (意外性)

I 他の学生がレポートで挙げたものと観点が異なる (独自性)

レポート課題

A → B → C → D

注意I これら以外のリンクがあってもよい (例： B → D ， C → B )

ルールI 「Category:」，「Portal:」，「Help:」，「Wikipedia:」，「特別:」，「ノート:」のページ，トップページは除く

I 自らページを作ったり，リンクを増やしてはいけない

レポート課題

A → B → C → D

提出法I 形式：A4用紙 1枚片面 (表紙不要)

I 締切：10月 29日 (水)

I 提出場所：西 9号館 3階情報・通信工学科事務室前

提出場所：

レポート提出ボックス 27番 (先週と同じ)

I 注意：必ず「岡本教員の課題」と明記I 注意：必ず氏名と学籍番号を明記

レポート課題：例

サザエさん → 刑務所 → 国際連合薬物犯罪事務所 → 人身売買

グラフとネットワーク - university of...

Documents