permutation グラフと distance-hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

25
Permutation ググググ Distance-Hereditary ググググ グググググググググ ググ グ ○ ググ ググ ググ ググ JAIST グググ 3 ググ

Upload: orien

Post on 05-Jan-2016

69 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム.   清見 礼 ○ 斎藤 寿樹   上原 隆平. ( JAIST 仲良し 3 人組). v 2. v 4. v 1. v 3. v 5. v 2. v 4. v 1. v 4. v 2. v 4. v 1. v 2. v 1. v 2. グラフ G. v 3. v 3. v 5. v 3. v 5. v 1. v 5. v 3. v 5. v 4. グラフ再構築問題. - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Page 1: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

Permutation グラフとDistance-Hereditary グラフの再構築アルゴリズム

  清見 礼○斎藤 寿樹  上原 隆平

( JAIST 仲良し 3 人組)

Page 2: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

グラフ再構築問題 グラフ G=(V, E) の Deck: グラフの多重集合 {G-v | v∈V} グラフの多重集合 D の Preimage: D を Deck とするグラフ

v1

v2

v3 v5

v4

グラフG

v2

v3 v5

v4

G-v1

v1

v3 v5

v4

G-v2

v1

v2

v5

v4

G-v3

v1 v2

v3 v5

G-v4

v1 v2

v3 v4

G-v5

G のDeckPreimage

Page 3: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

グラフ再構築問題 入力: n-1 頂点の n 個のグラフ D 質問: D を Deck とする Preimage は存在するか ?

入力: D

ラベルなしグラフ

Page 4: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

グラフ再構築予想 n-1 頂点のグラフが n 個与えられたとき (n 3)≧ ,そ

れを Deck とする Preimage は高々一つ

入力: D

上のグラフとは異なるグラフ

Page 5: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

グラフ再構築予想 Ulam と Kelly によって提唱 [1957 年 ]

未解決問題 予想が成立するグラフクラス

正則グラフ、木、非連結グラフなど

関連研究 再構築可能なもの ( 一意に決定 )

次数列、彩色数など グラフの同型性判定問題と深い関係

再構築問題は同型性判定問題以上に難しい

Page 6: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

単純なグラフ再構築アルゴリズム1. Gi∈D を選択2. Gi に頂点 v と v に接続する辺を追加( Gi

v )3. Gi

v の Deck Div を作る

4. Div と D が等しいかをチェック (Deck Checking)

等しければ, D の Preimage は Giv

等しくなければ, 2 に戻る

入力: D

v

グラフGi

v

Giv の Deck

Page 7: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

単純なグラフ再構築アルゴリズム1. Gi∈D を選択2. Gi に頂点 v と v に接続する辺を追加( Gi

v )3. Gi

v の Deck Div を作る

4. Div と D が等しいかをチェック (Deck Checking)

等しければ, D の Preimage は Giv

等しくなければ, 2 に戻る

入力: D

v

グラフGi

v

Giv の Deck

≠D は Gi

v の Deck ではない

Page 8: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

単純なグラフ再構築アルゴリズム1. Gi∈D を選択2. Gi に頂点 v と v に接続する辺を追加( Gi

v )3. Gi

v の Deck Div を作る

4. Div と D が等しいかをチェック (Deck Checking)

等しければ, D の Preimage は Giv

等しくなければ, 2 に戻る

入力: D

グラフGi

v

Giv の Deck

v

=D は Gi

v のDeck

Page 9: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

単純なグラフ再構築アルゴリズム1. Gi∈D を選択2. Gi に頂点 v と v に接続する辺を追加( Gi

v )3. Gi

v の Deck Div を作る

4. Div と D が等しいかをチェック (Deck Checking)

等しければ, D の Preimage は Giv

等しくなければ, 2 に戻る

同型性判定

候補が指数個

このアルゴリズムは遅い! 多項式時間アルゴリズムの開発

入力に制限:同型性判定を多項式時間で行えるグラフクラス

入力 D のすべてのグラフが、あるグラフクラスに属する

多項式時間

Page 10: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

今回の結果

Permutation グラフ

Tree

Distance-Hereditary グラ

Chordal グラフ

Interval グラフ

HHD-free グラフ

Perfect グラフ

Proper Interval グラフ

Threshold グラフ

GI- 完全:同型性判定問題が一般のグラフと同程度に難しい

Comparability グラフ

GI 完全なグラフクラス

同型性判定が多項式時間

アルゴリズムが存在

再構築予想が成立

M. Kiyomi et al. (2009)つまらない!

今回の発表

Page 11: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

Permutation グラフの再構築問題 入力:グラフの多重集合 D

各グラフ Gi∈D は Permutation グラフ 質問: D を Deck とするグラフが存在する

か?入力: D

Permutation グラフ

・・・

Page 12: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

Permutation グラフ

ライン表現を持つグラフクラス

1 2 3 4 5 6

3 6 4 1 5 2

1

23

4

5

6

ライン表現 Permutation グラフ

Page 13: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

Permutation グラフの特徴 補題 0

Permutation グラフの誘導部分グラフは Permutation グラフ

61 2 3 4 5 6

3 6 4 1 5 2ライン表現

1

23

4

5

Permutation グラフ

Preimage が Permutation グラフ⇒ Deck の中のグラフはすべて Permutation グラフ

逆は成り立たない!

Preimage が Permutation グラフの禁止グラフ

Page 14: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

Permutation グラフの禁止グラフ [T. Gallai 1967]

k

2k+3

Preimage が禁止グラフかチェック

k+1 k k 2k+3 2k+2

k 0≧

これらのグラフとこの補グラフ

Page 15: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

考えるべき問題 入力:グラフの多重集合 D

各グラフ Gi∈D は Permutation グラフ 質問: D を Deck とする Permutation グ

ラフが存在するか?

入力:D

・・・ Permutation グラフ

Page 16: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

Permutation グラフを再構築するアルゴリズム?

Deck のグラフ Gi のライン表現に線分を追加

入力:D

・・・

グラフGi

O(n2)通りを試せば OK?

ライン表現が一意(高々 4 通り)に定まるもの

指数通りのライン表現が存在

Page 17: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

ライン表現が一意の Permutation グラフ

補題 1 [T. Ma and J. Spinrad, 1994] Permutation グラフ G が modular decomposition において

prime であるとき、 G のライン表現は一意である

入力:D

・・・

グラフGi

O(n2)通りを試せばOK

Page 18: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

Modular Decomposition G=(V, E) の module M: 頂点集合

V \ M の頂点は M のすべての頂点と隣接 , or   M のすべての頂点と隣接しない

module M が trivial: M=φ, M=V, or |M|=1 グラフ G が prime: G は trivial な module しか持たない

Permutation グラフとは独立の話

Prime

M の頂点の隣接関係は M の外を見るとどれも同じ

Page 19: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

ライン表現が一意の Permutation グラフ

補題 1 [T. Ma and J. Spinrad, 1994] Permutation グラフ G が modular decomposition において

prime であるとき、 G のライン表現は一意である 補題 2 [J.H. Schmerl, W.T. Trotter, 1993]

グラフ G を prime なグラフとするG-v が prime であるような v が存在 ⇔ G が H2n や H2n ではない

グラフ H2n

・・・ ・・・

・・・ ・・・

x1

x2

xi

xn

y1

y2

yi

yn

PrimePrime

Page 20: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

アルゴリズム( Preimage がprime )1. D の中から Prime なグラフを探す2. If Prime なグラフ Gi が存在

3.      Gi のライン表現に線分を追加( O(n2) 回)

4.   else Preimage が H2n または H2n かチェック

Page 21: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

アルゴリズム 入力:グラフの多重集合 D

各グラフ Gi∈D は Permutation グラフ1. Preimage が禁止グラフかチェック

Preimage が Permutation グラフのみを考えるため2. Preimage が prime のとき

Preimage のライン表現が一意3. Preimage が prime でないとき

Modular Decomposition を用いて、問題を“Preimage が prime のとき”におとす

Page 22: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

Modular Decomposition G=(V, E) の module M: 頂点集合

V \ M の頂点は M のすべての頂点と隣接 , or   M のすべての頂点と隣接しない

module M が strong: M は他の module と overlap しない strong module の包含関係を木で表現可能

Permutation グラフとは独立の話

M1M2

M3

M4

M5

M1 M2 M3

M4 M5

Page 23: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

M4

M5

M1 M2 M3

Modular Decomposition とライン表現

strong module を含まない module のライン表現は一意

M1M2

M3

M1M2 M3

M5M4M4 M5

M3M5

M1 M2 M3

M4 M5

Page 24: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

アルゴリズム( Preimage が prime でない)

1. For グラフ Gi∈D (i=1 to n)

2. Gi の Modular Decomposition を計算

3. For strong module を含まない module M

4. M のライン表現に線分を追加 (O(n2)回 )

5.   Preimage が H2n や H2n を含むかチェック

Page 25: Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

まとめと今後の課題

Permutationグラフ

Tree

Distance-Hereditaryグラ

Chordal グラフ

Intervalグラフ

HHD-free グラフ

Perfect グラフ

Proper Interval グラフ

Threshold グラフ

GI- 完全:同型性判定問題が一般のグラフと同程度に難しい

Comparability グラフ

GI 完全なグラフクラス

同型性判定が多項式時間

アルゴリズムが存在

再構築予想が成立

M. Kiyomi et al. (2009)

Circle グラフCircular-arc グラ

フ再構築予想が成立?

多項式時間アルゴリズムの開発