Autoridades de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales STAFF

Decano Dr. Jorge Raúl Lemos Vicedecano Dr. Jorge Emilio Salvel Secretario Académico Dr. Osvaldo Luis Perillo Secretaria Adjunta Dra. Amanda Raquel Llistosella Director de Estudios y Coordinación Dr. Ángel Vicente Iommi Consejeros del Honorable Consejo Académico de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Dr. Miguel Gregorio Skubic Dra. Norma Beatríz Irigoyen Dr. Raúl Roque Orellano Lic. Luis Antonio Leo Dr. Sergio Andrés Ghedin Dr. Domingo José Mazza Representante de Profesores ante el H. C. S. Dra. Alicia I. Montagut de Rodriguez Directores de Carrera: Dr. Raúl Roque Orellano (Contador Público) Dr. Miguel Gregorio Skubic (Licenciatura en Administración) Lic. Domingo José Mazza (Licenciatura en Economía) Lic. Carlos Alberto Ferreras (Licenciatura en Comercialización / Técnico Superior en Comercialización) Lic. Guillermo José Garberi (Licenciatura en Recursos Humanos / Analista Universitario en Recursos Humanos) Lic. Luis Antonio Leo (Licenciatura en Relaciones Públicas / Analista Universitario en Relaciones Públicas) Dra. Amanda Raquel Llistosella (Licenciatura en Seguros / Técnico Superior en Seguros) Lic. Marcelo Emilio Mirón(Tecnicatura en Comercialización Minorista) Lic. Germán Avelino Kraus (Licenciatura en Comercio Internacional) Directores de Institutos de Investigación: • Instituto de Investigaciones Contables Dr. Isaac Aizik Senderovich • Instituto de Investigaciones Económicas Dr. Vicente H. Monteverde • Instituto de Investigaciones Administrativas Dr. Jorge Rumbo • Instituto de Investigaciones de Matemática Aplicada Ing. Luinor Edelfio Vilches • Instituto de Investigaciones Tributarias Dr. Juan Ferrari Herrero Subdirector: Dr. Alfredo Destuniano • Instituto de Metodologia Jurídica Aplicada en las Ciencias Económicas Dr. Eduardo Mario Favier Dubois • Instituto de Investigaciones de la Pequeña y Mediana Empresa Dr. Horacio Armando Irigoyen • Instituto de Investigaciones de Humanidades y Ciencias Sociales Aplicadas a las Ciencias Económicas y Empresariales Prof. Elvira Venturo Directores de Departamentos Pedagógicos • Área Pedagógica de Administración Dr. Jorge Eduardo Marcos • Área Pedagógica de Contabilidad Dr. Sergio Daniel Arguissain • Área Pedagógica de Economía Dr. Vicente Filleti • Área Pedagógica de Humanidades Prof. Elvira Venturo • Área Pedagógica Jurídica Dr. Eduardo Mario Favier Dubois • Área Pedagógica de Matemática Ing. Martín Adler • Área Pedagógica de Comercialización Dr. Fernando Appesseche

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ÍNDICE Índices bursátiles - Composición y estructura del índice bursátil Merval Autor: Dr. Eduardo Alfredo Villafañe Vinculación de la Administración con la Matemática Autor: Dr. Jorge A. Rumbo ¿Qué hay de especial en el hexágono para que la naturaleza lo use repetidamente? Autora: Lic. Adriana Martínez de Ares Propuestas de modificaciones en la forma de enseñar Matemática Autor: Prof. Juan Carlos López Predicción de la demanda de agua mediante redes neuronales artificiales aplicadas Autores: Profesores: Lisandro Curia, Andrea Lavalle y Federico Alegre La importancia de la Matemática Aplicada PERT-CPM Autor: Ing. Martín Oscar Adler

Instituto de Investigaciones de Matemática Aplicada de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la UM

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LOS CONTENIDOS DE LOS NÚMEROS 1 A 12 DE ESTE BOLETÍN ESTÁN INSTALADOS EN LA PÁGINA WEB DE LA UNIVERSIDAD DE MORÓN: http://www.unimoron.edu.ar/espa/informacion/academica/facultades/economicas/publicaciones

(*) Profesor Titular Consulto de Macroeconomía y de Fluctuaciones Económicas en la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad de Morón.

ÍNDICES BURSÁTILES – COMPOSICIÓN Y ESTRUCTURA DEL ÍNDICE BURSÁTIL MERVAL Por el Dr. Eduardo Alfredo Villafañe (*) Los indicadores bursátiles son números índice que reflejan la evolución en el tiempo de los precios de los títulos cotizados en un mercado. La muestra de activos que compone el índice obedece a ciertos criterios de elección que, en general, tienen que ver con el volumen negociado y la capitalización bursátil. Dado que existen distintos tipos de títulos cotizados (acciones, derivados) se pueden calcular diferentes tipos de índices, aunque los más conocidos son los que se refieren a las acciones. Los índices pueden suponer agrupaciones parciales de valores (sectoriales) o globales (generales). El índice bursátil MERVAL fue elaborado por el Mercado de Valores de Buenos Aires. Permite apreciar la evolución del mercado accionario en lo referente al movimiento diario. Su estructura se basa en fórmulas que integran una cartera de acciones seleccionadas, siguiendo pautas financieras bien definidas. En todo índice bursátil debe tenerse en consideración cuál será la media matemática utilizada, la muestra a utilizar definiendo principalmente su tamaño y cuáles serán los criterios de ponderación a utilizar. Los análisis han revelado –una vez sondeados los mercados– que, seleccionando 20 o 30 acciones de empresas cotizantes, se puede establecer un buen conjunto de valores para construir un índice aceptable. Todo, naturalmente, estará relacionado con el total que puede tener el mercado en papeles de las diferentes empresas. La importancia (o peso relativo) de cada acción, para que se la incluya en el índice, se pondera de acuerdo con: 1) el precio de las

acciones, 2) el volumen negociado, 3) el valor de mercado de las acciones y 4) el peso equivalente de las acciones. Las diferentes bolsas del mundo han adoptado el criterio que interpretan más representativo para una estructura de mercado. Hay conceptos comunes asociados, tales como: la sensibilidad al mercado; que el indicador sea adaptable y perdurable; el aspecto de negociación en las transacciones (ruedas); selección de acciones adecuadas; el tiempo que se aplique, y un buen acceso del público en las operaciones. Cuando nos referimos a la “estructura del índice” partimos de la premisa que debe ser un elemento viable como indicador de la rentabilidad de las acciones negociadas en la Bolsa. En tal sentido, la Base de comparación se entiende comenzando con una inversión inicial de $ 0,01 para el 30/06/1986, formando a esa fecha una cartera teórica. Esto tiene como objetivo servir como indicador medio del comportamiento del mercado. La participación de cada acción en la cartera teórica está en relación con su representatividad en el mercado contado, corregida al tamaño de la muestra. La selección de acciones integrantes se hace conforme a criterios que para este caso son: a) orden decreciente de participación hasta llegar a cubrir el 80% del volumen negociado en el mercado contado en los últimos seis meses, b) que existan operaciones en por lo menos el 80% de las ruedas. Determinadas las ponderaciones y la cotización en cada momento, el índice se obtendrá por medio de esta fórmula: cuyos elementos representan: n = cantidad de acciones que integran la cartera teórica;

,i tP = precio de la acción “i” en el momento “t”;

,i tQ = cantidad de la acción “i” en la cartera

teórica. En cuanto al criterio de ponderación de las acciones que componen el índice, se conoce como cantidad teórica, calculada sobre la base de:

Pi = .i in vN V

Los componentes de esta expresión significan: ni = participación de “i” en el conjunto de operaciones y volumen operado. N = número totsl de operaciones realizadas. vi = volumen efectivo total de mercado. V = volumen efectivo negociado en la acción “i”. Pi = número de operaciones efectuadas con la acción “i”. Con estos elementos y cálculos se consideran todas las acciones en orden decreciente de participación, hasta un acumulado que llegue al 80%. La participación correspondiente a todo el mercado será reajustada para la composición de la cartera, llegándose de esta manera a una participación ajustada.

A continuación se calcula la rentabilidad constituida por el último índice conforme a los precios de las acciones. Como la rentabilidad está dada (precio por cantidad), para obtener la cantidad teórica del trimestre siguiente basta dividir el lucro por el precio del cierre de la última rueda del trimestre pasado. La expresión que nos permite determinar la cantidad teórica es :

en la cual:

cuyos componentes son:

En definitiva, el cálculo del Índice(rentabilidad) de la cartera teórica en una determinada fecha será: donde:

es el valor de las acciones constitutivas del Índice en el instante “0” y

es el valor de las acciones componentes de la cartera del índice en el instante deseado.

AI = índice anterior;

N= número de operación ; V= volumen efectivo total negociado ; Z = suma de la participación sobre el volumen total de las acciones seleccionadas ; vi = volumen efectivo negociado de la especie “i” ; n = número de operaciones de la especie “i” ; Pri = precio de la especie “i”.

La nueva cartera se actualizará al final de los tres meses. Ésta podrá ser alterada en función de: dividendos en efectivo, dividendos en acciones, revalúo en acciones y suscripciones. Destaquemos que, actualmente, dentro de los índices de la Bolsa de Comercio de Buenos Aires se encuentran: el MERVAL Argentino, que refleja el comportamiento de las empresas argentinas dentro del sistema bursátil, recuperando la esencia histórica del índice MERVAL y el Índice MERVAL 25, que representa los 25 papeles más operados. BIBLIOGRAFÍA - MERCADO DE VALORES DE BUENOS AIRES: Publicaciones periódicas. - BOLSA DE COMERCIO DE BUENOS AIRES: Cotizaciones e Índices. - MARTÍN MARÍN, José L.: Mercados derivados sobre índices bursátiles; Madrid, España, Gesmovasa; 1994. - FERRUZ AGUDO, Luis A.: Índices bursátiles y análisis financieros de la volatilidad; España; Centro de Cálculo de la Universidad de Zaragoza; 2000. - SÁNCHEZ FERNÁNDEZ, José L.: Curso de Bolsa y Mercados Financieros; Barcelona, España, Ariel, 2000.

Una primera gran división de las ciencias las

clasifica en formales (o ideales) y fácticas (o

materiales). Las ciencias formales, que son la

Lógica y la Matemática, formulan relaciones

entre signos o entes ideales que existen sólo en

la mente humana que no son objetos de la

realidad. Pero esas relaciones son racionales,

sistemáticas verificables.

Las ciencias fácticas (la Física, la

Química, la Economía, la Sociología, etc.)

formulan enunciados que se refieren a sucesos

y procesos de entes reales. Emplean símbolos

que no son ideales, sino interpretación de la

realidad. Si bien también exigen que sus

enunciados sean racionales y lógicos, además

requieren que sean verificables en la

experimentación, ya sea directa o indirecta.

Pero utilizan, en general, las ciencias formales

para establecer sus métodos y realizar sus

cálculos y sus verificaciones.

Mario Bunge

(*) Profesor Titular Extraordinario de Planeamiento y de Administración

General, en la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad de Morón

VINCULACIÓN DE LA

ADMINISTRACIÓN CON

LA MATEMÁTICA

Por el Dr. Jorge A. Rumbo (*)

Concepto de Administración:

Según Koontz, la administración es el proceso de diseñar y mantener un entorno en el que, trabajando en grupos, los individuos cumplan eficientemente objetivos específicos.

Administración:

La Administración se dedica a uno de los aspectos que constituye uno de los más importantes de la actividad humana: el manejo de todo tipo de organizaciones. Según Peter Drucker, el máximo exponente actual del Management, la administración “es la función central en nuestra sociedad”.

Las organizaciones han sido definidas como conjuntos de personas que tienen un fin en común, según la conocida definición de Etzione. A partir de estos conceptos vamos a ver algunas pocas definiciones sobre administración. Una de ellas indica: “la administración se define como el proceso de diseñar y mantener un ambiente en el que las personas, trabajando en grupos, alcancen con eficiencia metas seleccionadas. De esta definición surge la incorporación de un nuevo elemento: las personas interactúan y tienen un fin en común.

La Administración. Teoría y práctica:

Para poder llevar a cabo cualquier actividad se necesitan dos conceptos que se complementan.

En primer lugar, un cuerpo de doctrina que, previamente conocido, permite desarrollar en mejores condiciones la aplicación de sus conocimientos.

La ciencia es conocimiento organizado y su característica principal es la aplicación del método científico al desarrollo del conocimiento. Toda ciencia comprende conceptos, teorías, experimentación y análisis. Así como los ingenieros aplican principios físicos en la preparación de un instrumento, los administradores que aplican la teoría a la administración deben combinar, habitualmente, principios con realidades.

Siguiendo esta línea de razonamiento aparece la vinculación de la Administración con la Matemática. En efecto, la comprobación numérica de las experimentaciones es la que da sustento a conceptos que se constituyen en leyes y principios administrativos. El método científico supone determinar hechos objetivos por medio de la observación. Después de clasificar y analizar tales hechos, los científicos buscan relaciones causales. La cuantificación aritmética y la utilización de herramientas matemáticas diversas sirven de apoyo indispensable para validar las teorías administrativas.

Técnicas Administrativas:

Las técnicas son elaboraciones que provienen de las ciencias. No hay técnica posible sin un sustento científico. Las técnicas son las maneras de hacer las cosas, métodos para obtener un resultado determinado. Son importantes en todos los casos prácticos y también son relevantes en Administración. Entre ellas podemos mencionar –sólo a título de ejemplo– la contabilidad de costos, las técnicas presupuestarias, la determinación del punto de equilibrio, la realización del control de gestión, técnicas que enunciamos más adelante.

Tanto considerada como ciencia o como técnica, la Matemática complementa con gran utilidad los conceptos administrativos. Así es que especialmente la aritmética sustenta a la ciencia, como la geometría es aplicada también en diversas técnicas.

Administración: ¿Es un Arte?

Como todas las demás prácticas profesionales (medicina, composición musical, ingeniería, contabilidad y fútbol) la administración puede ser considerada un arte. Por lo tanto, en la práctica, según algunos autores, la administración es un arte; los conocimientos organizados en los que se basa la práctica constituyen un arte. En este contexto, ciencia y arte no son mutuamente excluyentes, sino complementarios. Cuando la ciencia mejora, también mejora el arte, como ha ocurrido en las ciencias físicas y biológicas. Es decir que cuanto más se conoce sobre una ciencia, mayores son las posibilidades de mejorar sus aplicaciones.

Elementos Administrativos de los diferentes niveles organizacionales

Se podría resumir que la Administración estudia los siguientes conceptos fundamentales: “Elementos” y “Funciones”

Definiciones de Eficacia y Eficiencia:

La productividad implica eficacia y eficiencia en el desempeño individual y organizacional. La eficacia es el cumplimiento de objetivos. La eficiencia es el logro de las metas con la menor

P = Planeamiento O = Organización D = Dirección C = Control

cantidad de recursos. Es imposible que los administradores sepan si son productivos a menos que primero conozcan sus metas, las de la organización y las que puedan cuantificar y comparar.

Diversas contribuciones de autores y especialistas dieron como resultado diferentes enfoques de la administración, los cuales, según Koontz, originaron el surgimiento de múltiples ideas y conceptos, e interpretarlos y conocerlos implica adentrarse en una verdadera “selva de las teorías administrativas”.

Productividad, Eficacia y Eficiencia:

PRODUCTIVIDAD EN LA ADMINISTRACIÓN

Desde los primeros estudios sobre el tema hasta la actualidad, se ha considerado que la Administración comprende los conceptos de eficacia, eficiencia y productividad. Esta última se define como:

Escuela de Administración Científica. Frederick Taylor:

Se reconoce la escuela de la administración científica como el punto de partida de la administración contemporánea. Los aspectos básicos que aportaron los autores de esta escuela fueron:

a) constituyó el primer desarrollo que científica e integralmente se propone analizar y normalizar los procesos productivos con el objeto de aumentar la eficiencia y la productividad.

Productos

Productividad =

( en un período determinado

Insumos y considerando la cantidad)

b) respondió con éxito las necesidades de racionalización y eficiencia fabril que el contexto y las organizaciones de esa época le requirieron.

c) complementó la tecnología de esa época, desarrollando técnicas y métodos que normalizan la producción y logran aumentos efectivos en la productividad.

PRINCIPIOS DE LA ADMINISTRACIÓN CIENTÍFICA

Principios de la Administración Científica de Taylor

A partir de los conceptos de Taylor, le gerencia adquirió nuevas atribuciones y responsabilidades descritas por los cuatro principios siguientes: (éste es el primer autor que escribe sobre el tema aplicando el término “Administración”).

1. Ciencia en lugar de empirismo y de improvisación.

2. Selección y entrenamiento de los trabajadores

3. Articulación del trabajo con la ciencia.

4. División del trabajo y de las responsabilidades.

Aportes de Henry Lawrence Gantt

Originario del sur de Maryland, Estados Unidos, nació en 1861 y murió en 1919. Obtuvo el título de ingeniero y conoció a Taylor en 1887, en la Midvales Steel Co. A partir de esa fecha se convirtió en fiel discípulo y colaborador, hasta 1901, cuando conformó su propia firma de ingenieros. Sin embargo, Gantt prestó más atención a crear un ambiente que permita obtener mayor cooperación de sus trabajadores, fijándoles tareas bien definidas. A tal efecto estableció un sistema de remuneración a los obreros al que llamó primas y tareas de Gantt.

Asimismo, desarrolló métodos de adiestramiento de obreros para formarlos profesionalmente. Su aporte más relevante fue el desarrollo de técnicas gráficas para planear y controlar, las cuales en la actualidad llevan su nombre, como la famosa Gráfica de Gantt.

Escuela de la Administración Industrial y General. Henry Fayol:

Fayol nació en Francia y era ingeniero en minas. Hizo un estudio sobre la combustión en las minas de carbón que recibió un premio de la Academia de Ciencias de Francia.

La ciencia de la administración, como toda ciencia, se debe basar en leyes o principios; Fayol adopta la denominación de principios, apartándose de cualquier idea de rigidez, por cuanto nada hay de rígido o absoluto en materia administrativa. Tales principios, por lo tanto, son maleables y se adaptan a cualquier circunstancia, tiempo o lugar.

Las Funciones Administrativas

Para Fayol, las funciones administrativas difieren claramente de los otros cinco elementos esenciales. Es necesario no confundirlas con la dirección, porque dirigir es conducir la empresa, teniendo en cuenta los fines y buscando obtener las mayores ventajas posibles de todos los recursos de que ella dispone. Es asegurar la marcha de las seis funciones esenciales. La administración no es sino una de las seis funciones, cuyo ritmo es asegurado por la gerencia.

Los Neoclásicos:

Continuadores de los clásicos trataron de mejorar los criterios expuestos por éstos, definiendo elementos, principios y funciones.

El organigrama y la estructura formal de la organización. El modelo ACME

Los neoclásicos adecuaron las herramientas de Fayol a las necesidades de la época. De los modelos elaborados por los neoclásicos, uno alcanzó notable difusión. El modelo ACME (Asociación de Consultores en Ingeniería Mecánica).

Habilidades Administrativas y Jerarquía Organizacional:

Las funciones administrativas engloban los elementos de la administración que constituyen el llamado proceso administrativo y que son localizables en cualquier trabajo de administración, en cualquier nivel o área de actividad de la empresa.

El Estructuralismo. La “Burocracia”:

Una nueva forma geométrica parece instalarse con el esquema instaurado por el sociólogo Max Weber. Este autor provenía de la ciencia política y buscaba diseñar un esquema que sirviera para un gobierno racional de las naciones. Estableció un sector principal: “el sistema mayor” (la legalidad) y

Alto nivel Niveles Niveles operativos medios

un sistema que llamó “menor”, que era la estructura. Esta última constituía el sector visiblemente importante tanto por su aspecto exterior, la cantidad de personal que lo constituía, como por su extensión geográfica. La estructura, por sus dimensiones piramidales, pasó erroneamente a ser considerada símbolo de la democracia.

Las dimensiones geométricas y sus vinculaciones tienen dibujos geométricos que fueron explicados por la autoridad legal.

SIMON O LA TEORÍA DE LA ORGANIZACIÓN

Herbert Simon dijo que toda

organización es un sistema de toma de decisiones; lo que él más destaca de las empresas es que en ellas se toman decisiones de todo tipo y en todos los niveles. Las más importantes se toman en la gerencia general y a medida que se desciende de nivel, las decisiones son menos relevantes.

Esquema de toma de decisiones racionales según Simon:

SITUACIÓN INFORMACIÓN POSIBILIDADES ALTERNATIVAS

EVALUACIÓN SELECCIÓN

DECISIÓN

Otros métodos de toma de decisiones:

Éstos pasan por análisis de base económica y entre ellos se pueden citar:

- Análisis marginal: busca mejorar los resultados, objetivo que se logra cuando los ingresos adicionales superan los costos de producir una unidad adicional.

- Análisis de costo-beneficio: persigue la mayor proporción de beneficios y costos; esto significa determinar el medio menos costoso para cumplir un objetivo o para obtener un mayor ingreso con relación a ciertos gastos involucrados.

- Experimentación: es muy común su aplicación en la investigación científica. Se dice que se debería emplear más frecuentemente en administración y que probando las diversas alternativas se podría identificar la mejor de ellas. Aunque puede ser muy costosa, admite la experimentación parcial en producción y comercialización, en zonas geográficas o en algunas sucursales, con grandes ventajas antes de proceder a su aplicación a escala nacional.

Aunque estos métodos son de tipo individual, algunos más recientes admiten e intentan incorporar la creatividad mediante las decisiones grupales. Las más conocidas son las de “brainstorming” o tormenta de ideas, la Técnica de Grupo Nominal o el Método de Delfos.

LA TEORÍA GENERAL DE SISTEMAS

Esta teoría también se aplica en Administración, ante circunstancias del medioambiente que nos circunda que -a veces- condiciona nuestro actuar y por decisiones que tomamos.

El esquema sistémico conjuntamente con el de contingencias - aplicado a las organizaciones (con una gran visualización geométrica), puede ser graficado de la siguiente forma:

Si la respuesta es favorable significa que se puede continuar con la actual forma de gestión. Si la retroalimentación fuera negativa, habría que volver al punto de partida tratando de detectar los aspectos que contribuyen desfavorablemente al desempeño no esperado. En caso de que no se corrigieran los desvíos se podría poner en peligro la estabilidad de todo el sistema.

Y dentro de la organización, cabe insertar el correspondiente proceso administrativo, que está compuesto por los siguientes elementos, mencionados previamente.

Medioambiente

contexto

entorno

Proveedores

Clientes

Empresa

Retroalimentación + (Respuesta) -

Retroalimentación

Estos elementos deben seguir en orden sucesivo y el resultado final, en términos matemáticos, determinará su eficacia.

APLICACIONES

Así como hasta ahora describimos las distintas Escuelas que enunciaron la teoría, vamos a mencionar a continuación algunas de las aplicaciones nombradas anteriormente.

El Presupuesto:

Se parte del presupuesto de ventas financiero, porque el ingreso de fondos originado en la facturación podría originar los medios para hacer frente a las erogaciones de los diversos rubros. Por otra parte, es el punto de partida para proyectar la producción y la comercialización, de las cuales surgirán los requerimientos de las funciones administrativas y financieras. Es decir que todos los presupuestos de la organización se derivan de la facturación.

En el caso de organismos públicos que no obtienen ingresos por la prestación de sus servicios (seguridad, salud, educación, etc.), la contrapartida de los egresos que tienen que afrontar deriva del presupuesto público, ya que el Estado proveerá los medios para que dichos servicios puedan ser prestados.

La información que se origina en los presupuestos se basa en estimaciones sobre el futuro; es decir que si las suposiciones son equivocadas, el presupuesto será inadecua-do y no servirá para cumplir con su función.

Planeamiento Organización Dirección Control

Presupuesto de ingresos y gastos

Así como el pronóstico de ventas es la base y el origen del presupuesto de ventas, el presupuesto de ventas es la base del presupuesto de la cual se desprende el control presupuestario. Aunque es posible presupuestar otros ingresos: rentas de valores mobiliarios, utilidades por venta de activos fijos y de otras fuentes diversas, la venta de productos o de servicios constituye el principal recurso para financiar las actividades de una compañía.

Presupuesto de tiempo, espacio, materiales y productos

Algunos presupuestos se entienden mejor en cantidad de unidades que en términos monetarios. Lo usual es que figure con ambos valores, pero parecen ser más visibles cuando se los indica en cantidades físicas. Los más habituales son los de mano de obra, materiales, horas-máquina a trabajar, metros cuadrados utilizados y unidades producidas.

Veamos a continuación un ejemplo:

Presupuesto de ventas para un año determinado.

Análisis del punto de equilibrio

Es una forma de comparar los ingresos con los costos, con el fin de encontrar el punto en donde se igualen: el punto de equilibrio.

Producto y área Ventas en unidades Precio unitario Ventas totales

Producto A Departamento 1 10.000 $8 $80.000 Departamento 2 15.000 $8 $120.000 Departamento 3 18.000 $8 $144.000

Subtotal $344.000 Producto B

Departamento 1 20.000 $9 $180.000 Departamento 2 19.000 $9 $171.000 Departamento 3 22.000 $9 $198.000

Subtotal $549.000 Total $893.000

CONTROL DE GESTIÓN

Todo sistema posee un núcleo que es el centro de su actividad esencial, y entradas “a” y salidas “de” ese núcleo. Además, está formado por un circuito de realimentación que produce que los efectos de la salida incidan en las entradas posteriores.

En toda empresa los sistemas de decisión, planeamiento, influencia, ejecución y control están interconectados; de esta manera el sistema de control se constituye en el canal de realimentación del sistema de decisión.

El control operativo no es útil para las grandes decisiones organizacionales; para ellas se debe contar con el control de gestión, el cual responde a las necesidades de la dirección utilizando para este fin diferente herramientas, siendo la más importante el control presupuestario, además del análisis de estado y las auditorias de operaciones.

Este último tipo de control se vale de diversas técnicas para interpretar mejor los hechos, a través de comparaciones, planes, cuadros o gráficos, por lo cual se lo suele denominar Tablero de Comando.

Según Robert Kaplan: “el Tablero de Comando es una herramienta que permite traducir la estrategia y la misión de la empresa en un conjunto de indicadores que proporciona la estructura necesaria para medir la gestión”.

Ingreso Total Beneficio $ Costos variables Quebranto Costos Fijos

Cantidad producida y vendida

Punto de equilibrio

Según W. H. Inman: “Un Data Warehouse es un conjunto de datos integrados orientados a una materia, que varían en el tiempo y que no son transitorios, los cuales soportan el proceso de toma de decisiones de una administración”.

Una nueva modalidad del control de gestión es el control de calidad; el cual comprende las técnicas y actividades de carácter operativo destinadas a satisfacer los requisitos relativos a la calidad. Se acompaña de un sistema de garantía de la calidad, que es el conjunto de acciones planificadas dirigidas a proporcionar la confianza de que un producto o servicio satisface los requisitos dados sobre la calidad.

Este tipo de control comprueba si la calidad de la producción responde a la calidad de diseño. Es un proceso de gestión durante el cual se mide el comportamiento real de los procesos y productos, se compara el comportamiento real con los objetivos y se actúa sobre las diferencias.

BIBLIOGRAFÍA

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- CHIAVERATO, J.: Introducción a la Teoría General de Administración, Colombia, Mc Graw Hill, 1999.

- DONELLY, J.; GIBSON, J.; IVANCEVICH, J.: Dirección y Administración de Empresas, Wilmington, Mc Graw Hill, 1994.

- GILLI, J. J. y colaboradores: Sistemas Administrativos, Buenos Aires, Hernandarias.

- HERMIDA, J., SERRA, S., KASTIKS, E.: Administración y Estrategia, Buenos Aires, Macón, 1993.

- KOONTZ, H y WEIHRICH: Administración, México, Mc Graw Hill, 1998, Capítulo 1, págs. 4-37.

- KEPNER, Ch. y TREGOE, G.: El nuevo directivo racional, México, Mc Graw Hill, 1989.

- PERTIERRRA, O.: Manual de Estudio de Administración, La Plata, Lex, 1992, págs 1-3.11.

- ROBLE VALDÉS, G. y ALCÉRRECA, C.: Administración, México, Pearson, 2000, Págs. 3-17.

¿QUÉ HAY DE ESPECIAL EN EL

HEXÁGONO PARA QUE LA

NATURALEZA LO USE

REPETIDAMENTE?

Por la Lic. Adriana Martínez de Ares (*)

“El estudio profundo de la naturaleza es la fuente más fértil de descubrimientos matemáticos.” Joseph Fourier

Objetos y formas de diversos campos de la matemática aparecen en muchos fenómenos naturales.

El hexágono regular es uno de los tres polígonos (hexágono, cuadrado y triangulo equilátero) que pueden teselar un plano. (Recordemos que un polígono es regular cuando sus lados tienen igual longitud y sus ángulos la misma amplitud).

De esos tres polígonos, el hexágono abarca la mayor superficie con la menor cantidad de material.

Veámoslo con el siguiente ejemplo particular:

Supongamos que tenemos un perímetro de 12 unidades para el cuadrado, el triángulo equilátero y el hexágono regular; si hallamos las áreas de cada uno veremos que la del cuadrado es 9 u2 (lado por lado), la del triángulo 6.9 u2 (base por altura dividido

(*) Profesora Adjunta de Análisis I en la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales y Profesora Asociada de Geometría Análitica en la Facultad de Ingeniería, ambas de la Universidad de Morón.

dos) y la del hexágono 10.4 u2 (nº de lados por longitud de cada lado por apotema dividido dos). Comprobamos que esta última es la más grande, como lo citamos anteriormente.

Otra particularidad del hexágono es que posee seis líneas de simetría, como lo mostramos en la siguiente figura, que permiten que su figura rote más veces sin alterarse.

Vamos a observar que la esfera, que es un cuerpo que posee el mayor volumen usando la menor superficie, también está relacionada con el hexágono. Cuando se colocan esferas lado a lado dentro de una caja, cada esfera es tangente a las otras seis que la rodean; si dibujamos segmentos de líneas en los puntos de tangencia obtenemos un hexágono regular.

Si pensamos en las esferas como burbujas de jabón, tenemos una explicación simplificada de por qué en un racimo las esferas se juntan formando lo que se conoce como triple juntura (tres ángulos de 120º), la misma medida de los ángulos interiores de un hexágono regular: 180ª(n-2)/n ).

Ya que de naturaleza hablamos, la triple juntura se encuentra en la pulpa interna de una banana o en los granos de una espiga de maíz.

Es asombroso descubrir las apariciones del hexágono en la naturaleza, como lo fue al observar el caparazón de una tortuga, la colmena de las abejas, o en la forma de un cristal.

La naturaleza también hace sus hexágonos en la roca, como los que se contemplan en California, Mammouth Lakes: Devils Postpile Nacional Monument.

En la actualidad los científicos han concentrado su atención en avistar hexágonos en el espacio exterior. Desde 1987, los astrónomos se ocuparon de observar la gran nube de Magallanes, en particular la supernova 1987 A: no es la primera vez que se han avistado burbujas de gas luego de explosiones estelares, pero es la primera vez que aparecen arracimadas en forma de panal de abejas; Lifan Wang (**) (Universidad de Manchester, Inglaterra) descubrió el panal que mide aproximadamente 30 por 90 años luz, compuesto por 20 burbujas de un diámetro de alrededor de 10 años luz.

(**) PAPPAS, Theoni: La magia de la Matemática; Buenos Aires; Ed. Divulgación; 1944.

Podríamos hacer un poco de cuentas…Recordemos que un año luz es una medida de distancia y no de tiempo, es decir la distancia que recorre la luz en un año.

Si nos planteamos un cálculo rápido, la velocidad de la luz es 300.000 km. por segundo; si la multiplicamos por 60 para transformarla en km por minuto y otra vez por 60 para transformarla en km por hora, resulta: mil ochenta millones de kilómetros por hora (1.080.000.000). Si ahora la multiplicamos por 24 resulta que la luz viaja 25 millones de km en un día. Finalmente, al multiplicarla nuevamente por 365 días, un año luz es aproximadamente ¡9 billones y medio de km! (9.460.000.000.000).

Estábamos en que el diámetro de cada burbuja del panal de Wang mide alrededor de 10 años luz. Este investigador afirma que un racimo compuesto por estrellas de tamaño similar, que evolucionan con el mismo promedio durante varios miles de años, crean en algún momento vientos de tal magnitud que moldean las burbujas con una configuración hexagonal.

Vamos a poner ahora nuestra atención en las primeras etapas de un copo de nieve. Éstas empiezan con un triángulo equilátero; dividimos cada lado en tercios; sobre el tercio del medio se construye otro triángulo equilátero de lado igual al tercio y así sucesivamente, como lo muestra la figura.

Este copo de nieve que se va armando sirve para ilustrar la simetría hexagonal y la geometría fractal.

El crecimiento de un copo de nieve es simulado por la curva copo de nieve de Koch. Este fractal se genera a partir de un triángulo equilátero, como dijimos, y su longitud está dada

Recordemos la frase de Fourier: El estudio profundo de la naturaleza es la fuente más fértil de descubrimientos matemáticos.

Los objetos de la naturaleza han proporcionado y nos proporcionan modelos para estimular los descubrimientos matemáticos y los instrumentos de la matemática y nos brindan un medio para que podamos explicar y copiar fenómenos naturales; un descubrimiento lleva al otro y éste nos conduce al siguiente. ¿A qué nos conducirá el descubrimiento de hexágonos en el espacio exterior?.

Una explicación de un fenómeno es

científica únicamente cuando se funda

en un mecanismo.

Immanuel Kant

La lógica ordinaria puede servir para estudiar

relaciones de causa a efecto, pero deviene

impotente en relaciones de mutua

dependencia. Éstas, en Mecánica Racional y

en Economía Pura, necesitan el uso de la

Matemática.

Vilfredo Pareto

PROPUESTAS DE

MODIFICACIONES EN

LA FORMA DE

ENSEÑAR MATEMÁTICA

Por el Prof. Juan Carlos López (*)

Las siguientes propuestas de modificaciones en la forma de enseñar Matemática no son, aparentemente, de peso, y tal vez ya fueron pensadas por algunos de nuestros lectores, pero considero que el exponerlas puede mejorar sensiblemente la calidad de la enseñanza de esta ciencia.

La primera modificación que propongo, y la más importante, es la división del programa de Análisis I en dos partes:

I) desarrollo del programa actual con funciones sólo polinómicas

II) desarrollo del programa actual con las demás funciones

El programa vigente es:

Funciones

Funciones algebraicas

Funciones trascendentes

Límites con ambos tipos de funciones

Derivadas de las funciones de ambos tipos

Fórmulas de Taylor y de Maclaurin

Integrales indefinidas

Integrales definidas

Series numéricas

Series de potencias

Nosotros proponemos dividir el curso en dos partes: la relacionada con los polinomios y la relacionada con polinomios + funciones algebraicas y trascendentes:

(*) Profesor Adjunto Extraordinario de Álgebra en la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad de Morón.

Parte I

Funciones polinómicas

Límites (incluyen cocientes de

polinomios)

Derivadas (de polinomios)

Fórmulas de Taylor y de Maclaurin

(sólo polinomios)

Integrales indefinidas (polinomios)

Integrales definidas (polinomios)

Series numéricas

Series de potencias

Ecuaciones diferenciales (con

soluciones polinómicas y series de

potencias)

Parte II

Todos los temas de la Parte I, pero con el agregado de las funciones trigonométricas y exponenciales y sus respectivas funciones inversas.

Al terminar la Parte I, sin embargo, se pueden, ya, calcular integrales definidas con funciones trascendentes, aunque no se sepan calcular las derivadas de este tipo de funciones. Basta para ello consultar una tabla de integrales indefinidas y utilizar la regla de Barrow. Asimismo, con una tabla de derivadas se pueden calcular soluciones de ecuaciones diferenciales, aunque éstas sean trascendentes. De este modo se podría ayudar a las materias como Física, que utilizan integrales y ecuaciones diferenciales con soluciones trascendentes (exponenciales y trigonométricas, sobre todo). Y permitiría dar ejemplos de aplicaciones de integrales definidas y de ecuaciones diferenciales en casos reales. Y esto ya a mitad de año.

En particular, propongo comenzar el cálculo de límites con el empleo de la calculadora y recién después pasar al cálculo analítico de esos límites. También se puede empezar con la calculadora el cálculo de integrales definidas, ya sea sumando trapecios o, simplemente, rectángulos. En ambos casos se buscaría introducir los conceptos en forma intuitiva, para luego transformarlos a la forma técnica. Este enfoque, utilizado largamente por el autor, le ha reportado un buen resultado en la comprensión de los conceptos de límites y de integrales definidas por parte de los alumnos.

Debería aclararse siempre que las operaciones inversas, como división, radicación, resta, resolución de ecuaciones algebraicas, entre las cuales están la integración y la resolución de ecuaciones diferenciales, indefectiblemente se realizan por tanteo. Esto está poco aclarado en los libros de Matemática y los alumnos deben esforzarse tratando de encontrar la fórmula que les permita resolver cada problema, cuando en la práctica profesional los problemas que pueden resolverse sin apelar al método de ensayo y error tal vez no lleguen al 1% del total.

Es necesario volver a enseñar en Álgebra, como en otros tiempos, las leyes de monotonía, y deducir de ellas el pasaje de términos de uno a otro miembro, y no enseñar sólo el pasaje de términos, que retrasa la comprensión de la Matemática. Porque el pasaje de términos no puede aplicarse a las desigualdades, a las operaciones con matrices, a las operaciones con vectores, y dificilmente se aplica a las operaciones con logaritmos. Ni hablar de integrales definidas y otras cosas.

Se sugiere mejorar, en Álgebra, las definiciones de monomio y de polinomio. Los paréntesis señalan el principio y el fin de un monomio, cuyo signo es el que antecede al primer paréntesis. Aunque dentro de los dos paréntesis haya mil polinomios de polinomios, los paréntesis encierran un solo monomio.

Un ejemplo sencillo:

Se sugiere volver a dictar Geometría en los colegios secundarios y hacerlo con los teoremas y no con simples enunciados. Es necesario el orden

que, además, es un ejemplo de presentación de un trabajo y del informe subsiguiente y sirve para aleccionar al alumno sobre la forma ordenada de abordar y resolver problemas profesionales

(a + b) es un monomio a + b es un binomio

cotidianos.

La falta de la Geometría en los colegios secundarios provoca un vacío sensible en la preparación matemática de sus alumnos.

Finalmente, el docente debe diferenciar el método del calculista, que es el que él está acostumbrado a utilizar en sus tareas cotidianas, del método que le enseña al alumno. El calculista puede tomar atajos, pero al alumno no le conviene hacerlo porque ello no le permite aprender el verdadero mecanismo matemático de resolución, lo que iría en contra de la calidad de los conceptos que son, al fin y al cabo, las herramientas del alumno. Es necesario dar detalle de cada una de las reglas que se aplican en cada paso de un procedimiento algebraico, aunque a veces el detalle parezca un poco exagerado. Estoy convencido de que, en esto, nunca se exagera.

PREDICCIÓN DE LA DEMANDA

DE AGUA MEDIANTE REDES

NEURONALES ARTIFICIALES

APLICADAS

Por los Profesores: Lisandro Curia (*), Andrea Lavalle (**) y Federico Alegre (*)

Resumen- En la literatura de las Redes Neuronales Artificiales, pueden encontrarse numerosos ejemplos que muestran sus excelentes cualidades durante tareas de aprendizaje de patrones, adaptabilidad a los cambios y generalización de resultados a nuevas muestras. En este trabajo se analiza el rendimiento de distintas arquitecturas de redes neuronales destinadas a la predicción de demanda de agua correspondiente a la localidad de Puerto Madryn. Para ello, se analizan los resultados provenientes de ensayos realizados en MATLAB que tuvieran por objeto abordar la problemática de predicción de valores futuros de la serie de tiempo correspondiente. Durante la investigación se consideraron dos aspectos a destacar: por un lado se trató el problema de realizar un pronóstico de valores futuros con las redes Perceptrón Multicapa y Adaline. Por otra parte, a los fines de examinar las características modulares de estas redes, se establecieron modificaciones con etapas de retardos, las cuales, configurando adecuadamente los conjuntos de entrenamiento, permitieron realizar las tareas de predicción.

I - INTRODUCCIÓN

La predicción basada en series de tiempo es de gran interés práctico, pues permite conocer con un determinado margen de error los valores futuros de una serie, basándose en sus valores pasados. Este hecho, a su vez, puede facilitar la toma de decisiones y la planificación. En particular, al considerar la tarea de predicción de la demanda de agua de un determinado sector de la población, permitirá a los gestores de los centros de abastecimiento y distribución analizar aspectos relacionados con la calibración de la red de

(*) Depto. de Matemática. (**) Depto. de Estadística. Facultad de Economía, Universidad Nacional del Comahue.

suministro, realizar ajustes en los mismos y diseñar redes hidráulicas que satisfagan las necesidades de la población (Arévalo, 2004 y Havlik, 2005). En Estadística, para poder predecir valores de una serie de tiempo, frecuentemente se emplean los modelos de Box y Jenkins (BuHamra, 2003 y Olmedo, 2005). Estas metodologías requieren el criterio de un experto y los pasos a realizar dependen del tipo de datos, donde se analiza su estacionalidad, los gráficos de correlaciones, se evalúa la adecuación del modelo, se mide el error de predicción, etc.

La Inteligencia Artificial ha surgido como una nueva área del conocimiento, formada por un conjunto de técnicas que intentan imitar, en forma artificial, las habilidades relacionadas con la inteligencia humana (Haykin, 1994). Una de las técnicas que trata de simular el pensamiento humano mediante conexión de neuronas es la denominada RNA, utilizada recientemente con un relativo éxito para la predicción de series de tiempo (Olmedo et al. 2005).

En este apartado se presentan las RNA como una alternativa a los métodos tradicionales de predicción. En particular, se muestran los resultados provenientes de ensayar dos modelos de RNA (MLP y Adaline) destinados a la predicción de series temporales correspondientes a la demanda de agua en la localidad costera de Puerto Madryn (Chubut, Argentina).

II – MATERIALES Y MÉTODOS

Haciendo uso del lenguaje de programación MATLAB, se lleva a cabo el estudio de tres casos: se ensayan una red MLP (feedforward) y dos variaciones de la red Adaline. En todos los casos se utiliza el algoritmo Backpropagation (BPN) para realizar el entrenamiento de las redes. El empleo de este tipo de redes en la aproximación de funciones matemáticas ha permitido obtener resultados con un alto nivel de convergencia hacia los valores exactos y por tanto son conocidos como “aproximadores universales” (Hagan et al., 1996).

Los datos históricos de demanda corresponden al período comprendido desde enero de 1985 hasta diciembre de 2004; es decir, se trabaja sobre una base formada por registros mensuales que componen un conjunto de 240

valores. Para hacer referencia a estos períodos, se numeraron los años del 1 al 20 y los meses en forma correlativa. Asimismo, siguiendo las recomendaciones bibliográficas (Isasi, 2004 y del Brío, 2002), los conjuntos de entrenamiento se construyen con el 80% de los datos disponibles y el 20% restante se utiliza para validar los modelos entrenados.

El ensayo de los distintos modelos en estudio se realizó mediante la siguiente serie de pasos:

a) Entrenamiento: Definición de las características de la red y generación de un set de entrenamiento con los 16 primeros años.

b) Validación: Validación de los modelos propuestos utilizando los datos de demanda de agua de los 3 años siguientes (años 17, 18 y 19) y cálculo del error cuadrático medio (ECM).

c) Pronóstico: Pronóstico para el año 20 y comparación de resultados con la demanda real.

d) Simulación: Entrenamiento de la red con los datos completos correspondientes a los 20 años y simulación de la red.

III - RESULTADOS Y DISCUSIÓN

A. Red MLP

En primer lugar se define una red con dos capas ocultas con neuronas sigmoidales, la primera con doce neuronas y la segunda con diez y una sola neurona lineal a la salida. Se trabaja con 100 ciclos del entrenamiento. Para este ensayo los conjuntos de datos de entrada fueron previamente normalizados y los valores resultantes pertenecen al intervalo [0,1].

En la Figura 1 se presenta un esquema de la arquitectura de esta red.

El paso siguiente consiste en la validación de la red. La Figura 2 muestra la demanda real y la demanda pronosticada durante los tres años correspondientes al período de validación de esta red.

Con la red entrenada y validada, se pronostica el año 20. La Figura 3 muestra las demandas reales y pronosticadas para este año.

Finalmente, una vez que la red neuronal MLP fue entrenada, se simula con la demanda de agua correspondiente a la serie completa. La gráfica de ambas series aparece en la Figura 4:

B. Red Adaline

La red Adaline, ADAptive LInear NEuron, tiene características operativas similares a las del Perceptron (Isasi, 2004), pero su función de transferencia es del tipo lineal en reemplazo del limitador fuerte presente en el Perceptron. Se trabaja con una red Adaline con una línea de entrada con 4 retardos. La función de los retardos consiste en tomar ejemplos de la señal original en puntos inmediatamente anteriores a los actuales; esta información es recopilada y ayuda a la red a disponer de un conjunto más amplio de información (Haykin et al., 1994). En este caso, las entradas a la red y los valores a copiar (target) corresponden directamente a los datos de la demanda, tanto en la etapa de entrenamiento como en la de validación. Una vez que la red fue entrenada se pasa a la etapa de validación de la red Adaline. La Figura 5 muestra la demanda real y la demanda pronosticada durante los tres años correspondientes al período de validación de esta red.

0 5 10 15 20 25 30 35 405

6

7

8

9

10

11

12x 10

5

Mes

Dem

anda

Demanda originalRed Adaline

Figura 5. Gráficas de la demanda real y la demanda pronosticada durante la validación

(ADALINE)

Una vez que la red Adaline fue entrenada, se grafica la demanda real y la simulada con la misma. Las gráficas de ambas series se muestran en la Figura 6; como puede apreciarse, las diferencias son practicamente imperceptibles a simple vista.

Figura 6. gráfica de la demanda original y la

demanda simulada (ADALINE)

Debido principalmente a las características con las que se han construido los conjuntos de entrenamiento de esta red, se han obtenido buenos resultados en las etapas de validación y simulación, como se muestra en las figuras 5 y 6. Sin embargo, se ha obtenido un pobre desempeño al predecir valores futuros.

C. Red Adaline con entradas defasadas

Observando las características constitutivas de la red Adaline tradicional, se procede a hacer una modificación en el modo en el que esta red recibe los conjuntos de entrada. Para utilizar la red Adaline con el objeto de predecir valores futuros de una serie temporal a partir de su valor su valor actual, es

0 50 100 150 200 2503

4

5

6

7

8

9

10

11

12x 10

5

Mes

Dem

and

a

Demanda original

Red Adaline

necesario basarse en un aprendizaje en el que se emplea como entrada el valor retardado de la señal actual (la señal en algún momento anterior) y como salida esperada el valor actual de la señal. La red intentará minimizar el error entre su salida y la señal actual, basándose en una entrada que es el valor de la señal en algún instante anterior. Una vez que la red predice con corrección la serie actual, basándose en los datos anteriores, se puede utilizar directamente la actual como entrada. Dicha red realizará una predicción del valor futuro. La misma se entrena con un defasaje de 12 meses en forma tal que la salida esperada (target) de un mes determinado es el mismo mes pero del año siguiente.

El paso siguiente consiste en la validación de la red Adaline con entradas defasadas. La Figura 8 muestra la demanda real y la demanda pronosticada durante los tres años correspondientes al período de validación de esta red.

Figura 8. Gráficas de la demanda real y la demanda pronosticada durante la validación (ADALINE II)

Con la red entrenada y validada, se pronostica el año 20. La Figura 9 muestra las demandas reales y pronosticadas para este periodo.

Figura 9. Gráfica de la demanda real y del

pronóstico para el año 20 (ADALINE II)

0 2 4 6 8 10 126

7

8

9

10

11

12x 10

5

Mes

Dem

anda

Demanda original

Red Adaline con entradas desfasadas

Esta red ha sido diseñada con el propósito de pronosticar valores futuros, es por ello que no tiene sentido simularla con los datos completos de la serie de tiempo. Pese a ello, mostró excelentes cualidades en la etapa de pronóstico.

En la siguiente tabla se muestra el desempeño de cada una de las configuraciones.

IV – CONCLUSIONES

Debido a su constitución y a sus fundamentos, las redes neuronales artificiales presentan un gran número de características semejantes a las del cerebro. Por ejemplo, son capaces de aprender de la experiencia, de categorizar información anterior a nuevos casos, de sustraer características esenciales a partir de entradas que representan información irrelevante, etc. La implementación de los modelos MLP y Adaline, entrenadas con el algoritmo BP, no ofreció mayores dificultades. Son redes de diseño sencillo, robustas y de excelente rendimiento, particularmente en el trabajo de aproximación funcional y en la elaboración de modelos predictivos. Estas características, sumadas a las posibilidades que ofrecen al combinarlas para formar modelos más eficientes, justifican el hecho de que ofrezcan numerosas ventajas frente a otros métodos clásicos, particularmente en la predicción de valores futuros de una serie de tiempo y que este tipo de tecnología se esté aplicando en múltiples áreas.

BIBLIOGRAFÍA

- ARÉVALO, J., GARCÍA, R.: Estado del Arte en la Utilización de Técnicas Avanzadas para la Búsqueda de Información no Trivial a partir de Datos en los Sistemas de Abastecimiento de Agua Potable, España, Universidad Politécnica de Valencia, Dpto. de Ingeniería Hidráulica y Medio Ambiente, 2004.

- BAHVE, P.: Analysis of Flow in Water Distribution Networks, Reino Unido, Lancaster, Technomic Publishing Co, 1991.

- BOULOS, P., WOOD, D.: An Explicit Method for Calculating Operating Parameters for Water Networks, Nueva York, Civil Engineering Systems, Vol. 8, Pp.115-122, 1991.

- BUHAMRA, S., SMAOUI, N., GABR, M. : The Box-Jenkins analysis and neural networks: prediction and time series, Nueva York, Elsevier, 2003.

- HAGAN, M., DEMUTH, H., BEALE, M.: Neural Network Design, Nueva York, PWS Publishing Company, 1996.

- FREEMAN, J., SKAPURA, D.: Neural Networks Algorithms Applications and programming Technique,. Nueva York, Addison Wesley, 1991.

- HAVLIK, V. : Solution of water supply and distribution networks, Praga.

- HAYKIN, S.: Neural Networks – A Comprehensive Foundation, Nueva York, Prentice Hall, 1994.

- HILERA, J., MARTÍNEZ, V.: Redes Neuronales Artificiales. Fundamentos, Modelos y Aplicaciones, Madrid, Ra-Ma , 1995.

- HYDROINFORM, Thákurova 7, Prague 6, CZ. 2005.

- ISASI VIÑUELA, P. , GALVÁN LEÓN, I.: Redes de Neuronas Artificiales, Un Enfoque Práctico, Nueva York, Pearson, Prentice Hall,.2004.

- MARTÍN DEL BRIO, Bonifacio. Redes neuronales y sistemas borrosos: introducción teórica y práctica, Madrid, Ed. Rama, 1997.

- MATLAB: Matlab Neural Network Toolbox, The Mathworks, Nueva York,1993.

- OLMEDO, E., VALDERAS, M., MATEOS, R., GIMENO, R.: Utilización de Redes Neuronales en la Caracterización, Modelización y Predicción de Series Temporales Económicas en un Entorno Complejo, Dep. Economía Aplicada, Fac. C. Económicas y Empresariales, Sevilla, España. 2005.

LA IMPORTANCIA DE LA

MATEMáTICA APLICADA;

PERT-CPM

Por el Ing. Martín Oscar Adler (*)

Los nuevos tiempos que hoy nos toca vivir nos muestran a diario el cambio constante y dinámico que se aprecia en todos los órdenes y ámbitos, afectando a todas las instituciones y, en consecuencia, a sus propias organizaciones. Para que una empresa sea exitosa le toca convivir y avanzar en un mundo donde la estrategia es moneda corriente o cosa de todos los días, con las diferentes y complejas situaciones que se presentan.

Considero que en el ámbito empresario quienes se desempeñan en la dirección o gestión empresarial, no siempre manejan o comprenden los métodos o modelos operativos; por lo que es fácil inferir que las respuestas adoptadas frente a los problemas de toma de decisiones no siempre provienen de un serio estudio, donde estas técnicas son de intervención imprescindible.

La Investigación Operativa se basa en la utilización de métodos, técnicas e instrumentos científicos de origen matemático, para encontrar respuestas a diferentes tipos de problemas. Los métodos o modelos más utilizados, entre otros, son: Programación Lineal, Simplex, Simulación, Teoría de Colas o Líneas de Espera, Teoría de Juegos, Programación por Camino Crítico, Gantt, Lote Económico de Producción y de Compras, Stock, Transporte, Programación Cuadrática, Programación Dinámica.

Por su importancia y posibilidades de aplicación en todos los campos, nos vamos a referir a PERT_CPM (Programación por Camino Crítico).

(*) Profesor Titular Consulto de Administración de la Producción y Análisis Matemático I y II y Director del Departamento Pedagógico de Matemática, de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad de Morón.

Es de señalar que el método PERT-CPM se utiliza para la planificación, programación y control en todo tipo de actividades y ámbitos, ya que en todo proyecto los factores que interesan son el costo, el tiempo y la disponibilidad de recursos.

A diferencia del método de Gantt, PERT o CPM separan el proceso de planificación del proceso de programación; ya que en el diagrama de Gantt se realiza la planificación y la programación al mismo tiempo, o sea que la longitud del trazo que representa cada actividad indica las unidades de tiempo.

Ambas técnicas: PERT (program evaluation and review technique) y CPM (critical path method) se desarrollaron al final de la década del cincuenta, siendo las técnicas de programación de la ruta crítica más difundidas y aplicadas.

El PERT nace en la Armada de los EE.UU en el año 1958, a manera de herramienta gerencial para programar y controlar el proyecto del submarino atómico Polaris, debido a que a las dificultades científicas y técnica se agregaban las de la coordinación y control de este proyecto de tamaña envergadura. Es de señalar que en este proyecto había más de 250 contratistas y más de 9000 subcontratistas, que involucraban una gran cantidad de recursos humanos y materiales, lo que obligaba a la intervención de nuevas técnicas facilitadoras del desarrollo del proyecto, con la eficacia y eficiencia exigibles. La intervención de las empresas Booz, Hamilton y Allen viabilizó la iniciación de los conceptos básicos del sistema PERT, como herramienta de planificación, comunicación, control e información. Cabe recordar que el resultado de la aplicación de esta nueva técnica se tradujo en el ahorro del 40% del tiempo del proyecto, que originalmente era de cinco años.

El CPM, que es muy similar al PERT, fue desarrollado en 1957 por J. E. Kelly, de Remington-Rand, y M. R. Walker, de Du Pont, para la planificación y programación en la construcción y mantenimiento.

Ambos modelos se concentran en buscar el camino de mayor consumo de tiempo en una red de tareas, para planificar y controlar un proyecto. La diferencia fundamental entre ambos radica en que el PERT estima la duración de cada tarea del proyecto basándose en un nivel de costo, mientras que el CPM relaciona duración y costo, por lo que surge una diversidad de duraciones para cada operación, eligiéndose la duración adecuada de tal manera que el costo total del proyecto sea mínimo.

PERT y CPM no resuelven los problemas por sí solos, sino que presentan una perspectiva más clara para su ejecución. Están diseñados para asistir a la dirección en las actividades donde la incertidumbre podría comprometer su eficacia.

La diferencia fundamental entre PERT y CPM es que el PERT utiliza tres estimaciones de tiempo de una actividad, tales como: optimista, pesimista y mejor, mientras que CPM usa la mejor estimación. PERT nace y se aplica en proyectos caracterizados por la incertidumbre; mientras que CPM lo hace en proyectos con programación de tareas más rutinarias.

PERT y CPM preparan el plan efectuando la representación gráfica de todas las tareas que intervienen en el proyecto, relacionándolas y coordinándolas ajustándose a las exigencias técnicas.

De acuerdo con lo expresado, es más conveniente utilizar PERT en los proyectos de investigación en los que existe dificultad en la estimación de los tiempos de trabajo y no se tienen antecedentes para calcular los costos por unidad de tiempo.

CPM se aplica en aquellos proyectos donde es sencillo estimar los tiempos y los costos, interesando saber cuál es la combinación de costo-duración de cada actividad para poder alcanzar el costo total mínimo del proyecto.

La planificación consiste en un análisis de las actividades que intervienen en el proyecto y el orden en que las mismas acontecen. En el PERT las programaciones se refieren a la estimación de las duraciones de las tareas, se refieren a la estimación de las duraciones de las tareas, tanto en el sentido determinístico como probabilístico. En CPM, la programación consiste en estimar las duraciones de las tareas con la intervención de los menores recursos; por lo que el tiempo y el costo están intimamente relacionados en un proyecto.

A los efectos de utilizar una denominación que no genere dificultades de interpretación lo denominaremos PERT-CPM.

Las tareas del proyecto se representan por flechas que componen el diagrama de flechas del proyecto, conformado por el orden de realización de las tareas, desde el comienzo hasta el final. La representación de las mismas puede ser en forma rectilínea o curva; aunque en general se utiliza la primera. La conformación de las flechas no tiene sentido vectorial, no estando en escala, como es el caso del diagrama de Gantt.

En el Cuadro 1 se representan varias tareas, que responden a trazados curvos o rectilíneos, además de no estar en escala.

Cuadro 1. Conformación de las flechas

La actividad está compuesta por la propia ejecución de la operación, representada graficamente con una flecha de izquierda a derecha y dos círculos o nodos en los extremos, que se llaman sucesos. Tanto el suceso inicial como el final, que cumplen la función de puntos de control, son instantes de la actividad, los cuales corresponden al momento de comienzo o terminación de una actividad.

Cada actividad debe estar terminada para que la subsiguiente pueda comenzar.

En el Cuadro 2 se aprecia que existen actividades y sucesos.

Las actividades son: A: 1-2, B: 2-3, C: 3-4, D: 2-4, E: 4-5 y F: 5-6.

Los sucesos o nodos son: 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

Como cada actividad tiene dos números; a los sucesos iniciales los llamamos i y a los finales j.

Cuadro 2. Actividades y sucesos

1 2 4

3 5

6 A D

B

C

E

F

Cuadro 3. Sucesos inicial y final

i A D

B

C

E

F

j i j

i j

i j

i j

En el Cuadro 3 se observa que en todas las actividades el suceso final de la precedente coincide con el suceso inicial de la siguiente.

En todo proyecto, antes de la realización del diagrama de flechas hay que formularse una serie de preguntas tales como: ¿Qué actividades deben preceder a la referente? ¿Qué actividad puede continuar a ésta? ¿Cuáles se pueden desarrollar con simultaneidad? Una vez que se tengan las respuestas a estas preguntas se está en condiciones de elaborar la red de flechas.

El Cuadro 4 es un diagrama de flechas correspondiente a un proyecto de construcción de una obra civil, equivalente al ejemplificado en el método de Gantt, en donde cada una de las flechas es la representación de las actividades del mismo. Es de señalar que la primera tarea corresponde a lo conocido como tiempo de preparación, el cual puede pertenecer a actividades tales como: espera de la decisión para el lanzamiento del proyecto, obtención de la financiación o logro de autorizaciones oficiales. Todas estas actividades no pertenecen al proyecto en estudio; por lo que no tienen tiempo ni costo para el mismo.

En el caso analizado aparecen todas las actividades conformando un diagrama en serie, que no es el que corresponde a la real situación de materialización del proyecto, ya que algunas actividades pueden desarrollarse con simultaneidad; por lo que el indicado para representar el desarrollo temporal del mismo es el perteneciente al Cuadro 5.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Limpieza del Terreno

ExcavaciónArmadero de

hierroAjuste

horizontal

Carpintería de obra

MontajeTiempo de

preparaciónNivelación

Hormigueado

DesencofradoAjuste vertical

Cuadro 4. Proyecto de construcción de una obra civil

Cuadro 5. Proyecto de construcción de una obra civil

Este diagrama es el que corresponde a lo que en realidad acontece; ya que luego de la actividad de nivelación 2-3, pueden realizarse simultaneamente la de carpintería 3-4 y la de armadura de hierro 3-5, de la misma manera que sin relación de precedencia pueden realizarse la de ajuste horizontal 7-8 y la de ajuste vertical 7-9, una vez finalizada la de montaje 6-7. Se aprecian trazos cortados que corresponden a las llamadas tareas ficticias, que son aquellas que establecen una vinculación entre tareas con relación de precedencia, que responden a circunstancias particulares y que no tienen costo, ni insumen tiempo, ni requieren operaciones previas.

Cumplida la etapa de planificación se comienza con la de programación, en la que se estima la duración de cada una de las actividades del proyecto, pudiendo ser la misma determinística o probabilística.

Desarrollaremos un ejemplo de carácter determinístico, es decir uno en el que las duraciones sean únicas.

Para la elaboración del diagrama de flechas se requiere la participación de todos los sectores involucrados, decidiéndose las actividades del mismo, su relación de precedencia y estimándose la duración de cada actividad. Hay que determinar también el tiempo más temprano posible de comienzo y de terminación de una actividad, además del tiempo lo más tarde permisible de comienzo y finalización. La duración de cada actividad se expresa con: d(i,j).El tiempo más temprano posible de comienzo de cada actividad lo expresamos con: t(i) y el más temprano posible de finalización con: t(j).

En el Cuadro 6 representamos las tareas del proyecto, con su duración, los tiempos más tempranos de iniciación y terminación y los tiempos más tardíos de comienzo y de finalización. El tiempo más tardío de iniciación lo expresamos con: t*(i) y el más tardío de finalización con: t*(j).

Observamos en ese Cuadro que el tiempo más temprano posible de comenzar es t(1) = 0 y el más

temprano posible de terminar es t(2) = 4, obtenido este último de la suma de t(1) = 0 más la d(1,2) = 4. Se procede de la misma manera con el resto de las actividades, sumando el tiempo más temprano a la duración correspondiente. Cuando a un nodo llega más de una actividad, el tiempo más pronto de terminación que se considera para la misma, es el mayor, pues hasta que la actividad que insume más tiempo no finalice, no se puede continuar con el desarrollo del proyecto. Por ejemplo, para obtener el tiempo más temprano de terminación de las actividades que llegan al suceso 3, se consideran las siguientes sumas:

t(2) + d(2,3) = 4+6 = 10

t(1) + d(1,3) = 0+3 = 3

Se elige 10 por ser el mayor valor.

Aplicando el criterio explicado se llega al final del proceso, obteniendo como tiempo más temprano de terminación del proceso t(8) = 40, que corresponde al trayecto más largo del proyecto, debido a que como tiempo de cada nodo se selecciona el máximo de las duraciones de las actividades.

El tiempo más temprano de terminación del proyecto coincide con el tiempo más tardío de terminación del mismo, que es t*(8) = 40.

2 7 8

0 1 3 6

4 5

t(0)=0

t*(0)=0d(0;1)=0

t*(1)=0

t(1)=0

d(1,2)=4 d(2,3)=6

d(1,3)=3

d(1,4)=2 d(3,4)=4

t*(4)=18

d(4,5)=8

t(3)=10

t*(3)=14

t(4)=14

t*(5)=26

d(5,6)=2

t(5)=22

t*(6)=28

t(6)=24d(3,6)=5

d(6,7)=2

t*(7)=30

t(7)=30d(2,7)=26

t(2)=4

t*(2)=4

d(7,8)=10t(8)=40

t*(8)=40

d(3,5)=2

Cuadro 6. Fechas más tempranas y más tardías

Se procede ahora a obtener los valores de los tiempos más tarde permisible de iniciación y terminación de cada actividad, hasta llegar al nodo inicial. Al tiempo más tarde permisible de terminación del proyecto se le resta la duración de las tareas precedentes. Para obtener el tiempo más tarde permisible de iniciación de la tarea (7-8) se resta t*(8) - d(7,8) = 40 - 10 = 30, coincidiendo este valor con el más tarde permisible de terminación de las tareas (6-7) y (2-7).

El tiempo más tarde permisible para el inicio de la tarea 6-7 surge de restar t*(7) - d(6,7) = 30 – 2 = 28, que es el mismo que el tiempo más tarde permisible de terminación de las tareas (3-6) y (5-6).

Cuando a un nodo llega más de una tarea, es necesario analizar los tiempos más tardíos de terminación de ellas, para adoptar el menor de los resultados; ya que no se puede demorar la continuidad del proyecto pues se estaría afectando la concreción del mismo en el tiempo establecido.

Por ejemplo, para obtener el tiempo más tardío de iniciación de las tareas (3-4), (3-5) y (3-6), se consideran las restas:

t*(4) - d(3,4) = 18 – 4 = 14

t*(5) - d(3,5) = 26 – 2 = 24

t*(6) - d(3,6) = 28 – 5 = 23

De las tres se elige el menor de los tiempos, ya que no se puede esperar más que 14, pues en caso contrario se estaría afectando el desarrollo del proyecto.

Continuando con las otras actividades se llega al comienzo del proyecto, observando que el tiempo más tardío t(0) de iniciación coincide con el más temprano de comienzo del proyecto.

En todo proyecto existen tareas flexibles y tareas críticas, siendo las últimas las que no pueden tener demora en el tiempo establecido en la programación, debido a que una demora en alguna de ellas afecta a todo el proyecto.

Todas estas tareas de carácter inflexible componen el camino crítico, que es el que insume el mayor tiempo de duración del proyecto. En el camino crítico no existen posibilidades de holguras o márgenes de tiempo para comenzar o finalizar. En todo proyecto hay como mínimo un camino crítico, que en general está compuesto por un porcentual del total de tareas que oscila entre el 10 y el 20% de las tareas que lo conforman. La concentración de la atención, por parte de los responsables del proyecto, en las tareas críticas disminuye el esfuerzo de contralor, lo que no significa que deben desatenderse las no críticas, ya que las mismas pueden transformarse en críticas.

Dada la importancia de los márgenes, holguras o flotantes de tiempo realizaremos el cálculo de los mismos, definiendo primero los variados conceptos. Cabe señalar que la expresión holgura es propia del PERT y la de flotante o márgenes del CPM. Con el objeto de simplificar utilizaremos el término margen como el indicado para realizar nuestros estudios.

Se llama holgura del suceso a la diferencia entre el tiempo más tardío y él más temprano del propio suceso.

En el Cuadro 7 se representan los diferentes márgenes. Por ejemplo, para el suceso 2, el margen del suceso es:

Ms = t*(2) - t(2) = 4 – 4 = 0

Para el suceso o nodo 5, el margen es:

Ms = t*(5) - t(5) = 26 – 22 = 4

Cuando en el comienzo o final de una actividad existe margen cero, significa que no se puede demorar el inicio o terminación de esa operación.

Con respecto a las actividades, existen varios tipos de márgenes. Se denomina margen total de la actividad, a la diferencia que existe entre el tiempo más tardío de terminación de la actividad y la suma de la duración de la misma y el tiempo más temprano de iniciación de la actividad en estudio.

Mt = t*(j) - (d i,j + t(i))

En nuestro ejemplo, para la actividad (1,2), el margen total es:

Mt = 4 - (4 + 0) = 0

El margen total de la actividad (2,3) es:

Mt = 14 - (6 + 4) = 4

Se efectúa el mismo análisis hasta llegar a la última actividad, apreciándose que existen actividades que tienen márgenes de tiempo en su realización de acuerdo con lo programado y otras no. Las tareas (1,2); (2,7) y (7,8) son tareas cuyos tiempos de realización son inflexibles o críticos; por lo que las mismas, resaltadas en trazo grueso, componen el camino crítico del proyecto, comprobándose que los márgenes de tiempo correspondientes a cada uno de los nodos de comienzo y finalización de las tareas mencionadas también son iguales a cero.

Se define como margen libre a la cantidad de tiempo disponible después de efectuar la actividad, si todas las actividades del proyecto comenzaron en sus tiempos más tempranos posibles. Es la diferencia que existe entre el tiempo más temprano de finalización de una actividad y la suma de la duración de la misma y el tiempo más temprano de comienzo.

Ml = t(j) - (d i,j + ti)

En nuestro caso del Cuadro 7, para la actividad (1,2) el margen libre es:

Ml = 4 - (4 + 0) = 0

El margen libre de la actividad (2,3) es:

Ml = 10 – (6 + 4) = 0

En el caso (3,6) el margen libre es:

Ml = 24 – (5 + 10) = 9

El margen libre resulta más indicado para el control del proyecto.

Analizaremos una subruta como la integrada por (2,3), (3,4) y (4,5). Se aprecia que cada una de las tres actividades tiene 4 unidades de margen total para la concreción de sus operaciones; es decir que toda la subruta tiene ese tiempo disponible. Si se consumen esas 4 unidades de tiempo en la tarea (2,3), no quedaría posibilidad de demora para las actividades (3,4) y (4,5); ya que el proyecto debe terminarse en 40 unidades de tiempo.

El concepto de margen libre expresa que si se desea que comience la actividad (3,4) y (4,5) en su tiempo más temprano t(3) = 10 y t(4) = 14 la actividad que la precede (2,3) no debe tener demora de ningún tipo.

El margen independiente es el margen disponible de una actividad cuando la anterior ha finalizado en el tiempo más tarde permisible y la subsiguiente en el tiempo más pronto posible.

Mi = t(j) - (d i,j + t*(i))

Por ejemplo, el margen independiente de la actividad (1,2) es:

Mi = 4 - (4 + 0) = 0

El correspondiente a la (5,6) es:

Mi = 24 - (2 + 26) = - 4

Tal lo apreciado, el margen independiente puede ser negativo.

Existe otro margen denominado programado,

que tiene por objeto la distribución del tiempo margen total de una subruta no crítica sobre la base de algún criterio. En el ejemplo en estudio se aprecia que en la subruta (2,3), (3,4) y (4,5) hay un margen total de 4 unidades de tiempo y un margen libre de 0 unidades. El margen total disponible de 4 unidades se repartirá entre las tres tareas, teniendo en consideración una serie de aspectos vinculados a la realidad de lo que acontece con la misma, tal como: el grado de incertidumbre de la estimación de la duración esperada, dudas sobre el cumplimiento por parte de los proveedores, afectación generada por la cercanía de tareas críticas.

Si el criterio de la distribución del margen total es la magnitud de la varianza de cada tarea, el margen programado está determinado por la ponderación sobre el grado de incertidumbre de la duración estimada.

Representamos con Wij = s2 = Sigma cuadrado, la ponderación de la actividad, que varía entre 1 y 9, siendo Wij la sumatoria de las ponderaciones de la rama o subruta en estudio.

Si en el ejemplo analizado a la actividad (2,3) le asignamos s2 = 3, a la (3,4) s2 = 0 y a la (4,5) le asignamos s2 = 5, podemos obtener los márgenes programados de cada una de ellas. Para la actividad (2,3) Fp es:

Para la (3,4) es:

Para la (4,5) es:

Si existieran más tareas a analizar, a cada una de ellas le adjudicaríamos un valor de Sigma o ponderación con relación a la situación de compromiso de las mismas dentro del proyecto, de acuerdo con lo explicado anteriormente.

Confeccionamos un cuadro con todos los datos obtenidos hasta ahora.

En el Cuadro 8 solamente se indican los valores del margen programado en las tareas (2,3), (3,4) y (4,5), pues son las únicas analizadas en la subruta estudiada. Los datos obtenidos de los márgenes programados para las tareas estudiadas se representan en un diagrama calendario, con el objeto de apreciar de qué manera el margen total de 4 para la subruta analizada, se distribuye entre las tareas que la componen.

En el Cuadro 9 se observa que la primera representación corresponde al camino crítico, compuesto por las tareas (1,2), (2,7) y (7,8). La segunda representación es la correspondiente a las tareas (2,3), (3,4) y (4,5), que son las que fueron estudiadas para obtener el margen programado. La

parte con trazo grueso de la tercera gráfica tiene incorporados en línea cortada, los márgenes programados de cada una de las tareas estudiadas. Se completa esta gráfica con las otras tareas que permiten completar el diagrama calendario con el tiempo total del proyecto, que es de 40 unidades de tiempo.

Si el proyecto en estudio no es de carácter determinístico, pues no se conoce con exactitud la fecha de terminación, se puede tener el tiempo más probable en el cual el trabajo se puede terminar sobre la base de experiencias anteriores y teniendo en consideración los recursos y disponibilidades. El método PERT-CPM permite obtener tres fechas de duración de la actividad: fecha más probable, más optimista y más pesimista.

La probable (m) es el tiempo normal en que la actividad puede concretarse.

La optimista (a) es el tiempo mínimo necesario para realizar la actividad si todos los factores se desempeñan sin dificultades.

La pesimista (b) es el mayor tiempo en que la actividad puede realizarse, siendo los motivos posibles: demora en la entrega de materiales, corte de energía eléctrica, roturas de máquinas o enfermedad del personal.

Los datos de estos tres tiempos provienen del ámbito donde las tareas van a realizarse. Con los mismos se halla la estimación media del tiempo de duración, aplicando la fórmula siguiente:

De acuerdo con lo expresado, cuando la estimación del tiempo de duración es única, la actividad finalizará en la fecha establecida, encontrándonos en el caso determinístico; siendo en este caso la probabilidad de éxito del 100%.

El valor de De (media aritmética), que es el que divide la distribución en dos áreas con el 50% de probabilidades aproximadamente, en general no coincide con el más probable. Si la distribución es asimétrica no se divide en partes iguales.

En todo proyecto la duración de la actividad es una variable aleatoria, siguiendo una distribución de probabilidad. La medida de la incertidumbre se obtiene por medio de la varianza de la distribución de probabilidades. La varianza es el riesgo de no acertar la duración media calculada de la actividad.

Su fórmula es:

De la fórmula se aprecia que si la fecha optimista y la pesimista están muy separadas, hay una gran incertidumbre con respecto al tiempo requerido para terminar la actividad; ocurre lo contrario cuando se encuentran próximas.

Bibliografía

- ADLER, Martín Oscar y otros: Producción y Operaciones, Buenos Aires, Editorial Macchi, Septiembre 2006.

Las ciencias son sistemas

de verdades cada vez menos

imperfectas. En cada etapa del saber

humano, el amor a la verdad aconseja

no considerar inmutables las hipótesis

legítimas de las ciencias, pero obliga a

reputar ilegítimas las que no

concuerdan con sus leyes

demostrables.

José Ingenieros

Las teorías metafísicas de los

economistas literarios no sirven de

nada; mientras que las teorías de los

economistas científicos se adaptan

perfectamente a los hechos.

Vilfredo Pareto

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2417.

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