Manyetizma Bölüm 28

http://kisi.deu.edu.tr/mehmet.tarakci/

Manyetik Alan ve Manyetik Kuvvetler

Akım Taşıyan Bir İletken Tel Üzerine Etki Eden Manyetik Kuvvet

Düzgün Bir Manyetik Alanda Yüklü Parçacığın Hareketi

Manyetik Alanda Hareket Eden Yüklü Parçacıkları İçeren Uygulamalar.

Düzgün Bir Manyetik Alandaki Halka Üzerine Etki Eden Tork

1/39

Amaçlar

Mıknatısları ve mıknatısların birbirlerine uyguladıkları kuvvetleri öğrenmek

Hareketli yük üzerine etki eden manyetik kuvveti hesaplamak

Elektrik alan çizgileri ile manyetik alan çizgilerini karşılaştırmak

Manyetik alandaki yüklü parçacığın hareketini analiz etmek

Manyetizmanın Fizik ve Kimyadaki uygulamalarını görmek ve anlamak

Akım taşıyan bir iletken tele etki eden manyetik kuvveti analiz etmek

Manyetik alandaki akım halkalarının davranışını öğrenmek.

2/39

M.Ö. 13. Yüzyılda Çin’de, manyetik bir iğneden oluşan pusulanın kullanıldığı tarihçiler tarafından ileri sürülmüştür. M.Ö. 800 yıllarda Yunanlı araştırmacılar, Manyetit Taşının (Fe3O4) bazı demir parçalarını çektiğini keşfetmişlerdi. Demir, nikel gibi cisimleri çekme özelliğine mıknatıslık, bu özelliğe sahip cisimlere de mıknatıs denir.

Elektrik akımından yararlanarak ta elektro mıknatıslar yapılabilmektedir.

Manyetit gibi doğal mıknatıslar olduğu gibi bazı maddeler, mıknatısların yakınında veya temas halinde olmaları durumunda yapay olarak mıknatıslanmaktadırlar.

Manyetik Alan

3/39

Manyetik kuzey ve güney kutuplarının davranışları elektrik yüklerinden farklı değildir.

Çubuk mıknatısın her iki kutbu da mıknatıslanmamış ancak içinde demi bulunan

bir cismi (çivi gibi) çekecektir.

Manyetik Alan

4/39

Manyetik Alan

5/39

Yerin Manyetik Alan

6/39

Manyetik Monopoller

7/39

Elektrik yüklerinin aksine manyetik kutuplar daima çift şekilde oluşur, yani tek başına manyetik kutup olamaz. (Manyetik monopol olmaz)

Manyetik alan içinde hareket eden elektron demeti

Manyetik alan içinde elektron – pozitron çiftinin oluşumu ve hareketi

Manyetik Alan İçinde Hareket Eden Elektrik Yükü

8/39

𝐹 = 0 𝐹 = 𝑞 𝑣𝐵 sin 𝜃 𝐹𝑚𝑎𝑘. = 𝑞 𝑣𝐵

Manyetik kuvvetin yönünün bulunması (Sağ el kuralı)

(1)

Şekilde görüldüğü gibi parmaklar hız vektörü avuç içi manyetik alan vektörünü göstersin,

(2)

Açılan baş parmak kuvveti gösterecektir.

(3)

"Kuvvet hız ve manyetik alan vektörlerinin oluşturdukları düzleme diktir. "

hareket eden yüklü bir parçacığa etki eden manyetik kuvvet

𝑭 = 𝒒 ∙ 𝒗 × 𝑩 𝑩 =

𝑭

𝒒𝒗 ⇒ 𝑩 ≡

𝑵

𝑪 ∙𝒎𝒔

≡𝑵

𝑨 ∙ 𝒎≡ 𝑻𝒆𝒔𝒍𝒂 (𝑻)

SI birim sisteminde manyetik alan birimi.

𝐵 Manyetik alanın yanında bir de 𝐸 elektrik alanı varsa ortamda, q yüküne etki edecek kuvvet bu iki kuvvetin vektörel toplamı olacaktır.

𝑭 = 𝒒 ∙ 𝑬 + 𝒗 × 𝑩

1 T = 104 G (Gauss)

Lorentz Kuvveti

9/39

𝑣 ve 𝐵 vektörlerinin başlangıçları birleştirilir.

Manyetik Alan İçinde Hareket Eden Elektrik Yükleri

10/39

11/39

Şekilde gösterildiği gibi, büyüklüğü 𝟐. 𝟎𝟎 𝑻 ve pozitif 𝑧- ekseni boyunca yönelmiş düzgün bir manyetik alan içerisindeki bir proton demeti (𝒒 = 𝟏. 𝟔𝟎 × 𝟏𝟎;𝟏𝟗 𝐶) 𝟑. 𝟎𝟎 × 𝟏𝟎𝟓 𝒎/𝒔 hız ile hareket ediyor. Her bir protonun hızı 𝑥𝑧-düzleminde ve 𝑧-ekseni ile 30° lik açı yapıyor. Tek bir proton üzerine etki eden kuvveti bulunuz.

Örnek 29.1

𝑣 = 3.00 × 105 𝑚/𝑠 sin 30° i + 3.00 × 105 𝑚/𝑠 cos 30° k

𝐵 = 2.00 𝑇 k

𝐹 = 𝑞𝑣 × 𝐵

𝐹 = 1.60 × 10;19𝐶 3.00 × 105 𝑚/𝑠 𝑠𝑖𝑛 30° 𝒊 + 𝑐𝑜𝑠 30° k × 2.00 𝑇 k

𝐹 = −4.80 × 10;14𝑁 j

12/39

Manyetik Alan İçinde Hareket Eden Elektrik Yükleri Manyetik alanın sayfa düzlemine dik ve sayfa düzleminin içine doğru olduğu bir bölgeye pozitif q yükü manyetik alan dik v ile hareket eden bir parçacığı düşünelim.

Sadece bir manyetik alanın etkisi altındaki yüklü parçacığın hareketi her zaman sabit hızlıdır. Manyetik alan sadece parçacığın yönünü değiştirir.

Newton II yasasına göre: 𝐹 𝑛𝑒𝑡 = 𝑚𝑎

𝑣 × 𝐵 hıza dik olup merkeze yöneliktir. 𝑞𝑣 × 𝐵 = 𝑚𝑎

𝑞 𝑣𝐵 sin 90° = 𝑚𝑎𝑟𝑎𝑑

𝑞 𝑣𝐵 = 𝑚𝑣2

𝑟 𝑟 =

𝑚𝑣

𝑞 𝐵

𝑟 dairesel yörüngenin yarıçapı

𝜔 =𝑣

𝑟=

𝑞 𝐵

𝑚

𝜔 açısal frekans

𝑓 =1

𝑇=

𝜔

2𝜋=

𝑞 𝐵

2𝜋𝑚

𝑓 frekans

Manyetik kuvvet yüklü cisimler üzerinde iş yapamaz. Zamanla kinetik enerjisi değişmez.

𝑊 = ∆𝐾 𝑊 = 𝐹 𝐵 ⋅ 𝑑𝑠 = 𝐹𝐵𝑑𝑠 cos 90° = 0

∆𝐾 = 0

13/39

Örnek 29.2 Bir proton büyüklüğü 𝟎. 𝟑𝟓 𝑻 olan düzgün bir manyetik alana dik olarak giriyor ve 𝟏𝟒 𝒄𝒎 yarı çapında dairesel yörüngede hareket ediyor. Protonun hızını bulunuz.

𝑣 =𝑞𝐵𝑟

𝑚𝑝

𝑣 =1.60 × 10;19 C 0.35 𝑇 0.14 𝑚

1.67 × 10;27 kg

= 4.7 × 106 𝑚/𝑠

𝐹 𝑛𝑒𝑡 = 𝑚𝑝𝑎

𝑞𝑣 × 𝐵 = 𝑚𝑝𝑎 𝑟𝑎𝑑

𝑞 𝑣𝐵 = 𝑚𝑝

𝑣2

𝑟

14/39

Örnek 29.3 Sağdaki şekil kağıt düzleminden içeriye doğru yönelmiş düzgün bir manyetik alanı göstermektedir. Negatif yüklü bir parçacık bu düzlem içinde hareket ediyor. Şekildeki 1, 2, veya 3 yollardan hangisini izler? Yüklü parçacığın alanı terk etme hızı ne olur?

𝐹 = 𝑞 𝑣 × 𝐵

𝑣 = 𝑣𝑖

𝐵 = −𝐵𝑘

Negatif yüklü parçacık bir (3) yolunu izler. Parçacığın hızının büyüklüğü değişmez. Sadece manyetik alanda yön değiştirir.

𝐹 = − 𝑞 𝑣𝑖 × −𝐵𝑘

𝐹 = − 𝑞 𝑣𝑖 × −𝐵𝑘

𝐹 = 𝑞 𝑣𝐵 𝑖 × 𝑘 = 𝑞 𝑣𝐵 −𝑗 = − 𝑞 𝑣𝐵𝑗

15/39

Örnek 29.4 Kinetik enerjisi 5.00 𝑀𝑒𝑉 olan ve 𝑥-ekseni yönünde giden proton, şekildeki gibi, 0 ile 1.00 m aralığında etkin, büyüklüğü 50.0 𝑚𝑇 olan ve sayfa düzleminden dışarı doğru yönelmiş düzgün bir manyetik alan bölgesine giriyor. Proton, manyetik alan bölgesini hangi hızla terk ederler.

Parçacığın hızının büyüklüğü değişmez. Sadece manyetik alanda yön değiştirir.

𝑊 = ∆𝐾

𝑊 = 𝐹 𝐵 ⋅ 𝑑𝑠 = 𝐹𝐵𝑑𝑠 cos 90° = 0

𝐾𝑠𝑜𝑛 − 𝐾𝑖𝑙𝑘 = 0

𝐾𝑠𝑜𝑛 = 𝐾𝑖𝑙𝑘 =1

2𝑚𝑣2

𝑣 =2𝐾𝑖𝑙𝑘

𝑚

𝑣 =2 5.00 × 106 ⋅ 1.60 × 10;19

1.67 × 10;27

= 3.10 × 107 𝑚 𝑠

16/39

Örnek 29.5 Düzgün bir manyetik alanın büyüklüğünü ölçmede tasarlanan bir deneyde, durgun durumdaki elektronlar 350 𝑉 luk bir potansiyel fark altında hızlandırılır ve elektron dementinin hızı manyetik alana dik olacak şekilde ayarlanır. Bu elektronlara uygulanan manyetik kuvvetin etkisinde, yarı çapı 7.5 𝑐𝑚 olan çembersel yörüngede dolandıkları görüldüğüne göre;

a) Manyetik alanın büyüklüğünü bulunuz.

b) Elektronun açısal hızı ne olur ?

Enerjinin korunumu yasasına göre ∆𝐾 + ∆𝑈 = 0

1

2𝑚𝑒𝑣2 − 0 + 𝑞∆𝑉 = 0

𝑣 =−2𝑞∆𝑉

𝑚𝑒=

−2 −1.60 × 10;19𝐶 350 𝑉

9.11 × 10;31 𝑘𝑔

𝑣 = 1.11 × 107 𝑚/𝑠

𝐵 =𝑚𝑒𝑣

𝑒𝑟=

9.11 × 10;31 𝑘𝑔 1.11 × 107 𝑚/𝑠

1.60 × 10;19𝐶 0.075 𝑚= 8.4 × 10;4 𝑇

𝐹 𝑛𝑒𝑡 = 𝑚𝑒𝑎

𝑞𝑣 × 𝐵 = 𝑚𝑒𝑎

𝑞 𝑣𝐵 = 𝑚𝑒

𝑣2

𝑟

𝜔 =𝑣

𝑟=

1.11 × 107 𝑚/𝑠

0.075 × 10;19𝑚= 1.5 × 108 𝑟𝑎𝑑/𝑠

17/39

Yüklü parçacık , düzgün manyetik alana herhangi bir açı ile girerse, parçacığın yörüngesi bir helis olur.

İki dairesel yörüngenin arasındaki uzaklığa (p) adım diyoruz.

Yandaki şekilde düzgün olmayan manyetik alandaki yüklü parçacığın hareketi görülmektedir. Bu şekle ‘’Manyetik Şişe’’ denir. Yerin manyetik kutupları, güneşten gelen

zararlı ışınlara manyetik şişe gibi davranır.

Manyetik Alanda Hareket Eden Yüklü Parçacıklar Helisel hareketi

Burada 𝑇 hareketin periyodudur. Hareketin frekansına da ‘’cyclotron frekansı’’ denir.

𝑝 = 𝑣∥𝑇

18/39

Örnek 29.6 Şeildeki yüklü parçacık, protondur ( 𝑞 = 1.60 × 10;19𝐶 , 𝑚 = 1.67 × 10;27𝑘𝑔 ) ve büyüklüğü 0.50 𝑇olan manyetik alan 𝑥 −ekseni boyunca yönelmiştir. 𝑡 = 0.0 da, proton

𝑣𝑥 = 1.50 × 105 𝑚/𝑠 , 𝑣𝑦 = 2.00 × 105 𝑚/𝑠 ve 𝑣𝑧 = 0 hız bileşenlerine sahiptir. Proton

üzerine sadece manyetik kuvvet etki etmektedir. Proton üzerine etki eden kuvveti ve onun ivmesini bulunuz. Helisel yolun yarı çapını , açısal hızını ve helis adımını hesaplayınız.

𝑟 =𝑚𝑝𝑣⊥

𝑞𝐵=

1.67 × 10;27𝑘𝑔 2.00 × 105m/s

1.60 × 10;19𝐶 0.500 𝑇= 4.18 𝑚𝑚

𝐹 𝑛𝑒𝑡 = 𝑚𝑝𝑎

𝐹 = 𝑞 𝑣 ∥ × 𝐵

sin 0°

+ 𝑣 ⊥ × 𝐵sin 90°

= 𝑞𝑣𝑧𝐵 −𝑘

𝐹 = 1.60 × 10;19𝐶 2.00 × 105 m/s 0.500 𝑇

O noktası için

= 1.60 × 10;14𝑁

𝑎 =𝐹

𝑚𝑝=

1.60 × 10;14𝑁

1.67 × 10;27𝑘𝑔= 9.85 × 1012 𝑚 𝑠2

𝜔 =𝑞𝐵

𝑚𝑝=

1.60 × 10;19𝐶 0.500 𝑇

1.67 × 10;27𝑘𝑔= 4.79 × 107 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑝 = 𝑣∥𝑇 = 𝑣∥

2𝜋

𝜔= 1.50 × 105 𝑚/𝑠

2 ∙ 3.14

4.79 × 107 𝑟𝑎𝑑/𝑠= 19.7 𝑚𝑚

𝟎. 𝟏𝟓𝟎 𝑻 büyüklüğündeki düzgün bir manyetik alan, pozitif 𝑥 ekseni boyunca yönelmiştir. 𝟓. 𝟎𝟎 × 𝟏𝟎𝟔 𝒎/𝒔 hızla hareket etmekte olan bir pozitronun 𝑥 ekseni ile θ = 85° lik açı yapacak şekilde manyetik alan girdiği bilinmektedir. Parçacığın yörüngesi şekilde görüldüğü gibi helis şeklindedir. Bu yörüngeye ilişkin, a) 𝑟 yarıçapını, b) 𝑝 adımını hesaplayınız.

19/39

Ödev 29.1

Şekillerde gösterildiği gibi yüklü parçacıkların manyetik alanlara girdiklerinde

uygulanan manyetik kuvvetin yönünü ve tahmini yörüngelerini gösteriniz.

20/39

Örnek 29.7

21/39

Örnek 29.7

Kinetik enerjisi 5,00 MeV olan ve x-ekseni yönünde giden protonlar, şekildeki gibi, 0 ile 1,00 m

aralığında etkin, büyüklüğü 50,0 mT olan ve sayfa düzleminden dışarı doğru yönelmiş düzgün

bir manyetik alan bölgesine giriyor. Protonlar manyetik alan bölgesini hangi hızla terk ederler.

22/39

Ödev 29.2

Lorentz Kuvveti ve Uygulamaları

Hareketli yüklü parçacıkları içeren çoğu deneyde, parçacıkların aynı hızla hareket ediyor olmaları gerekmektedir. Bunu sağlamak için şekildeki düzenek kurulur. Elektrik ve manyetik alanların birbirine dik olduğu bölgeye gönderilen yüklü taneciklerden hızları E/B oranına eşit olanları x doğrultusunda hareket eder ve engeli geçer.

Hız Seçici:

23/39

Kütle Spektrometresi : Kütleleri yüklerine oranına göre iyonları ayıran düzenektir.

Şekildeki gibi Bo manyetik alanına v=E/B sabit hızı ile giren yüklü tanecikler r yarıçaplı yörüngeyi izleyerek P noktasında fotoğraf plağı üzerinde bir iz oluştururlar.

𝑚

𝑞=

𝑟𝐵𝑜𝐵

𝐸

Yüklü parçacığın

dinamiğinden

𝐹 𝑁𝑒𝑡 = 𝑚𝑎 𝑟

𝑞𝑣𝐵 = 𝑚𝑣2

𝑟

Lorentz Kuvveti ve Uygulamaları

24/39

q pozitif ise iyonlar şekildeki yolu izleyerek P noktasına düşerler. q negatif ise iyonlar aşağı doğru saparlar.

25/39

Örnek 29.8 Normal havada hemen hemen hiç helyum bulunmaz. O nedenle vakum sisteminden çevreye sızan helyum, bu sisteme bağlanmış bir vakum pompasının çıktısında hemen kendini gösterir. Sizden 𝐻𝑒: iyonlarını 𝑦ü𝑘 + 𝑒 = 1.60 × 10;19C, kütle 6.65 × 10;27kg bulmanız istenir. İyonlar hız seçiciden 1.00 × 105𝑚/𝑠 hızla çıkmaktadır. 𝐵 manyetik alanı tarafından yarım çember biçiminde eğrildikten sonra s yarığından 10.16 𝑐𝑚 uzaklığında algılanmaktadır. Manyetik alan 𝐵′ için gerekli değeri bulunuz.

𝑟 =(10.16 × 10;2m)

2= 5.08 × 10;2m dir.

𝐵 =𝑚𝑣

𝑞𝑟=

6.65 × 10;27 𝑘𝑔 1.00 × 105 𝑚/𝑠

1.60 × 10;19 𝐶 5.08 × 10;2𝑚= 0.0818 𝑇

s

Tek bir yüklü parçacık, bir manyetik alan içinden geçerken bir kuvvet etkisinde kalıyorsa, üzerinden akım geçen bir tel manyetik alan içinde ise, manyetik alan tarafından tele bir kuvvet uygulanır.

Tele uygulanan net kuvvet, telde akımı oluşturan tüm yüklü parçacıklara uygulanan manyetik kuvvetlerin vektörel toplamıdır. Hareket halindeki yüklü parçacıklara etkiyen kuvvet, parçacıklar ile teli oluşturan atomlar arasındaki etkileşmelerle tele iletilmiş olur.

Akım Taşıyan İletken Bir Tel Üzerine Etki Eden Manyetik Kuvvet

26/39

Şekildeki gibi düzgün bir 𝑩𝒊ç𝒆 dış manyetik alanı içinde I kadar akım taşıyan, kesit alanı A ve

uzunluğu L olan düz bir tel parçasını ele alalım.

Tel içinde 𝒒 yükünün 𝒗𝒔 hızı ile hareket ettiğine göre q yüküne uygulanan Lorentz kuvveti;

𝐹 = 𝑞 ∙ 𝑣 × 𝐵

Tele uygulanan toplam kuvvet her bir yüke uygulanan kuvvetlerin toplamı olur. n yük

yoğunluğu ise L parçasındaki yük sayısı n.A.L olur ve buna uygulanan toplam kuvvet

𝐹 = 𝑞 ∙ 𝑣 × 𝐵 ∙ 𝑛 ∙ 𝐴 ∙ 𝐿

𝑖 = 𝑛 ∙ 𝑞 ∙ 𝐴 ∙ 𝑣

𝐹 = 𝑛 ∙ 𝑞 ∙ 𝐴 ∙ 𝑣 ∙ 𝐿 × 𝐵

𝐹 = 𝑖 ∙ 𝐿 × 𝐵

Burada 𝑳, I akımının yönünde bir vektör olup 𝑳′nin büyüklüğü parçanın uzunluğuna yani L ye eşittir.

Akım Taşıyan İletken Bir Tel Üzerine Etki Eden Manyetik Kuvvet

27/39

𝑖 𝐿

28/39

Örnek 29.9 Bir elektromagnetin kutupları arasında batıdan doğuya doğru düzgün bir bakır çubuk 50.0 𝐴 lik bir akım taşımaktadır. Bu bölgedeki manyetik alanın büyüklüğü 1.20 𝑇 ve kuzey

doğuya doru 𝑘𝑢𝑧𝑒𝑦𝑖 𝑖𝑙𝑒 45° uzanan bir manyetik alan bulunmaktadır. Bu bakır çubuğun

1.00 𝑚 lik kesimi üzerindeki kuvvetin büyüklüğünü ve yönünü bulunuz. Çubuğun yatay konumunu saklı tutarak, çubuk üzerine uygulanan kuvvetin maksimum olduğu yönü belirleyiniz. Bu durumda kuvvetin büyüklüğü ne olur ?

𝜃 = 90°

𝐹 = 𝑖 ∙ 𝐿 × 𝐵

𝐹 = 50.0 𝐴 ∙ 1.00 𝑚 𝑖 × 1.20 𝑇 cos 45° 𝑖 + sin 45° 𝑗

𝐹 = 42.4 𝑁 𝑘

𝐹 𝑚𝑎𝑘. = 50.0 𝐴 ∙ 1.00 𝑚 𝑖 × 1.20 𝑇 cos 90° 𝑖 + sin 90° 𝑗

𝐹 𝑚𝑎𝑘. = 60.0 𝑁 𝑘

Birim uzunluğunun kütlesi 𝝁 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟎 𝒌𝒈/𝒎 olan bir metal çubuk, 𝑰 = 𝟓. 𝟎 𝑨 ’lik bir akım taşımaktadır. Çubuk şekilde görüldüğü gibi düzgün bir manyetik alan içerisinde iki telle asılmıştır. Denge halinde, teller düşeyle 𝜽 = 𝟒𝟑° ’lik bir açı yaptığı görülmektedir. Çubuğun serbest cisim diyagramını çizerek manyetik alanın büyüklüğünü bulunuz?

29/39

Örnek 29.10

𝐹 𝑛𝑒𝑡 = 𝑚𝑎

2𝑇 + 𝐺 + 𝐹 𝐵 = 0

𝑎 = 0

2𝑇 + 𝐺 + 𝐹 𝐵 = 0

−2𝑇 sin 𝜃 𝑖 + 2𝑇 cos 𝜃 𝑗 − 𝑚𝑔𝑗 + 𝐼𝐿𝐵𝑖 = 0

𝑥 → −2𝑇 sin 𝜃 + 𝐹𝐵 = 0

𝑦 → −2𝑇 cos 𝜃 − 𝑚𝑔 = 0 → 𝑇 =𝑚𝑔

2 cos 𝜃

−2𝑚𝑔

2 cos 𝜃sin 𝜃 + 𝐼𝐿𝐵 = 0

𝐹 𝐵 = 𝐼𝐿 × 𝐵 = 𝐼 𝐿𝑘 × −𝐵𝑗

𝐹 𝐵 = 𝐼𝐿𝐵 −𝑘 × 𝑗 = 𝐼𝐿𝐵𝑖

𝐵 =𝑚

𝐿

𝑔

𝐼

sin 𝜃

cos 𝜃= 0.010 𝑘𝑔/𝑚

9.81 𝑚/𝑠2

5.0 𝐴

sin 43°

cos 43°= 0.0183 𝑇

Şekildeki küpün her kenarı 𝟒𝟎. 𝟎 𝒄𝒎 dir. Üzerinden 𝟓. 𝟎𝟎 𝑨’lik akım geçen iletken tel kapalı bir ilmek oluşturacak şekilde bükülmüştür. Pozitif y yönünde 𝑩 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟎𝟎 𝑻 büyüklüğünde düzgün bir manyetik alan bulunduğuna göre, tele etki eden kuvvetin yönü ve büyüklüğünü bulunuz.

30/39

Örnek 29.11

𝐵 = 𝐵𝑗

𝒂 → 𝒃

𝐹 = 𝐼𝐿 × 𝐵

𝐿 = 𝑙 −𝑗 → 𝐹 𝑎𝑏 = 𝐼 −𝑙𝑗 × 𝐵𝑗 = 0

𝒃 → 𝒄

𝐿 = 𝑙 𝑘 → 𝐹 𝑏𝑐 = 𝐼 𝑙𝑘 × 𝐵𝑗 = −𝐼𝑙𝐵𝑖

𝒄 → 𝒅

𝐿 = 𝑙 −𝑖 + 𝑗 → 𝐹 𝑐𝑑 = 𝐼𝑙 −𝑖 + 𝑗 × 𝐵𝑗 = −𝐼𝑙𝐵𝑘

𝒅 → 𝒂

𝐿 = 𝑙 𝑖 − 𝑘 → 𝐹 𝑑𝑎 = 𝐼𝑙 𝑖 − 𝑘 × 𝐵𝑗 = 𝐼𝑙𝐵 𝑖 + 𝑘 𝐹 = 𝐹 𝑎𝑏 + 𝐹 𝑏𝑐 + 𝐹 𝑐𝑑 + 𝐹 𝑑𝑎

𝐹 = 0 − 𝐼𝑙𝐵𝑖 − 𝐼𝑙𝐵𝑘 + 𝐼𝑙𝐵 𝑖 + 𝑘 = 0

Akım taşıyan tel düzgün olmadığı durumlarda, telin küçük bir 𝒅𝒔 uzunluğuna uygulanan kuvvet

𝑑𝐹 𝐵 = 𝐼𝑑𝑠 × 𝐵 → 𝐹 𝐵 = 𝐼 𝑑𝑠 × 𝐵𝑏

𝑎

𝐹 𝐵 = 𝐼 𝑑𝑠 𝑏

𝑎

× 𝐵

𝐹 𝐵 = 𝐼𝐿 × 𝐵

Akım Taşıyan İletken Bir Tel Üzerine Etki Eden Manyetik Kuvvet

31/39

32/39

Örnek 29.13 Şekildeki manyetik alan 𝑩 kağıt düzleminden dışarıya doğru ve şekil düzlemine dik düzgün bir manyetik alandır. 𝑰 akımı taşıyan iletken bir tel üç segmenten oluşmuştur. Bu iletken tel üzerine etki eden toplam kuvveti bulunuz.

𝐹 = 𝐹 ∞𝑎 + 𝐹 𝑎𝑏 + 𝐹 𝑏𝑐

𝑑𝑠 = 𝑅𝑑𝜃

𝐹 ∞𝑎 = 𝐼 𝑑𝑠 × 𝐵sin 0°

𝑎

∞

= 0 ∞𝒂 →

𝐹 𝑎𝑏 = 𝐼 𝑑𝑠 × 𝐵𝑏

𝑎

𝒂𝒃 →

𝑑𝑠 × 𝐵 = −𝑑𝑠 sin 𝜃 𝑖 + 𝑑𝑠 cos 𝜃 𝑗 × 𝐵𝑘

= 𝐵𝑑𝑠 sin 𝜃 𝑗 + 𝐵𝑑𝑠 cos 𝜃 𝑖

= 𝐵𝑅 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑗 + 𝐵𝑅 cos 𝜃 𝑑𝜃 𝑖

𝐹 𝑎𝑏 = 𝐼𝑅𝐵 sin 𝜃 𝑑𝜃𝜋

0

2

𝑗 + cos 𝜃 𝑑𝜃𝜋

0

0

𝑖 = 2𝐼𝑅𝐵𝑗

𝐹 𝑏𝑐 = 𝐼 𝑑𝑠 𝑐

𝑏

× 𝐵 𝒃𝒄 →

= 𝐼𝐿 × 𝐵 = 𝐼 −𝐿𝑖 × 𝐵𝑘

= 𝐼𝐿𝐵𝑗

𝐹 = 𝐹 ∞𝑎 + 𝐹 𝑎𝑏 + 𝐹 𝑏𝑐 = 0 + 2𝐼𝑅𝐵𝑗 + 𝐼𝐿𝐵𝑗 = 𝐼𝐵 2𝑅 + 𝐿 𝑗

Akım taşıyan kapalı tel üzerine uygulanan manyetik kuvvet

𝐹 𝐵 = 𝐼 𝑑𝑠 𝑏

𝑎

× 𝐵 = 𝐼 0 × 𝐵 = 0

Düzgün bir manyetik alan içerisindeki herhangi bir akım ilmeğine uygulanan net manyetik kuvvet sıfırdır.

Akım Taşıyan İletken Bir Tel Üzerine Etki Eden Manyetik Kuvvet

33/39

𝐿 = 𝑑𝑠 𝑏

𝑎

= 0

Düzgün Bir Manyetik Alan İçindeki Bir Akım İlmeğine Etkiyen Tork

34/39

Şekildeki gibi +z yönünde düzgün bir manyetik alan içinde bulunan, I akımı taşıyan Oy ekseni etrafında dönebilen dikdörtgen bir ilmek alalım.

𝜙 ilmeğin oluşturduğu düzlemin normali ile

𝐵 manyetik alan arasındaki açıdır.

𝐹 = 𝐹 1 + 𝐹 2 + 𝐹 3 + 𝐹 4

𝐹 = 0

𝐹 1 = 𝐼𝐿 × 𝐵 = 𝐼𝑏𝐵 sin 90° − 𝜙 𝑗 = 𝐼𝑏𝐵 cos 𝜙 𝑗

𝐹 2 = 𝐼𝑏𝐵 sin 90° − 𝜙 −𝑗 = −𝐼𝑏𝐵 cos 𝜙 𝑗

𝐹 3 = 𝐼𝑎𝐵 sin 90° 𝑖 = 𝐼𝑎𝐵𝑖

𝐹 4 = 𝐼𝑎𝐵 sin 90° −𝑖 = −𝐼𝑎𝐵𝑖

Düzgün Bir Manyetik Alan İçindeki Bir Akım İlmeğine Etkiyen Tork

35/39

-y yönüne göre;

Akım ilmeğinin Manyetik Dipol Moment olarak adlandırılır.

𝜏 = 𝜏 1 + 𝜏 2 + 𝜏 3 + 𝜏 4

𝜏 1 = 𝑟 1 × 𝐹 1 =𝑎

2𝑗 × 𝐼𝑏𝐵 cos 𝜙 𝑗 = 0

𝜏 2 = 𝑟 2 × 𝐹 2 = −𝑎

2𝑗 × −𝐼𝑏𝐵 cos 𝜙 𝑗 = 0

𝜏 3 = 𝑟 3 × 𝐹 3 =𝑏

2cos 𝜙 𝑖 + sin 𝜙 𝑘 × 𝐼𝑎𝐵𝑖 =

𝑏

2𝐼𝑎𝐵sin 𝜙 𝑦

𝜏 4 = 𝑟 4 × 𝐹 4 =𝑏

2− cos 𝜙 𝑖 − sin 𝜙 𝑘 × −𝐼𝑎𝐵𝑖 =

𝑏

2𝐼𝑎𝐵sin 𝜙 𝑦

𝜏 = 0 + 0 +𝑏

2𝐼𝑎𝐵sin 𝜙 𝑦 +

𝑏

2𝐼𝑎𝐵sin 𝜙 𝑦

𝜏 = 𝐼𝑎𝑏𝐵 sin 𝜙 𝑦 = 𝐼𝐴𝐵 sin 𝜙 𝑦

𝜏 = 𝐼𝐴 × 𝐵 𝜇 = 𝐼𝐴

𝜏 = 𝜇 × 𝐵

36/39

Düzgün Bir Manyetik Alan İçindeki Bir Akım İlmeğine Etkiyen Tork

Tork Maksimumdur.

𝜙 = 0° → 𝜏 = 𝜇 × 𝐵

𝜏 = 𝐼𝐴𝐵 sin 0° = 0 𝜙 = 90° → 𝜏 = 𝜇 × 𝐵

𝜏 = 𝐼𝐴𝐵 sin 90° = 𝐼𝐴𝐵

Genel olarak Tork ifadesi

A vektörü ilmeğin sınırladığı alanın büyüklüğünde ve yönü alana dik sağ el kuralı ile belirlenir.

Bu ifade tek bir ilmek için geçerlidir. Eğer akım taşıyan N tane ilmek varsa bu N sarımlı bobine etkiyen Tork

𝜇 = 𝐼𝐴 𝜏 = 𝜇 × 𝐵

𝜏 = 𝑁 ∙ 𝜏 𝑖𝑙𝑚𝑒𝑘 = 𝑁 ∙ 𝜇 × 𝐵 = 𝑚𝐵𝑜𝑏𝑖𝑛 × 𝐵

Manyetik alan içerisindeki bir manyetik dipolün potansiyel enerjisi, dipolün manyetik alan içerisindeki yönelimine bağlıdır.

𝑈 = −𝜇 ⋅ 𝐵

Manyetik Moment

37/39

38/39

Örnek 29.14 Boyutları 𝟓. 𝟒𝟎 𝒄𝒎 × 𝟖. 𝟓𝟎 𝒄𝒎 , ve 𝟐𝟓 sarımdan oluşan dikdörtgen bir bobin 15 𝑚𝐴 lik akım taşımaktadır. Bobinin düzlemine paralel olarak 0.350 𝑇 lık bir manyetik alan uygulanıyor.

(a) Bobinin manyetik dipol momentinin büyüklüğünü hesaplayınız.

(b) Bu halka üzerine etki eden torkun büyüklüğü ne olur?

𝜇𝐵𝑜𝑏𝑖𝑛 = 𝑁𝐼𝐴 = 25 15.0 × 10;3𝐴 0.0540 𝑚 0.0850 𝑚

𝜇𝐵𝑜𝑏𝑖𝑛 = 1.72 × 10;3𝐴 ⋅ 𝑚2

𝜏 = 𝜇𝐵𝑜𝑏𝑖𝑛𝐵 = 1.72 × 10;3𝐴 ⋅ 𝑚2 0.350 𝑇

𝜏 = 6.02 × 10;4𝑁 ⋅ 𝑚

39/39

Örnek 29.15 𝟎. 𝟎𝟓𝟎𝟎 𝒎 yarı çapındaki dairesel bir bobin, 𝟑𝟎 sarıma sahip olup, yatay düzlemde bulunmaktadır. Bu bobin saatin tersi yönünde 𝟓. 𝟎𝟎 𝑨 akım taşımaktadır. Bobin, büyüklüğü 𝟏. 𝟐𝟎 𝑻 olan sağa doğru yönelmiş düzgün bir manyetik alan içerisine konmuştur. Manyetik momentin ve bobin üzerine uygulanan torkun büyüklüğünü bulunuz.

𝜇𝐵𝑜𝑏𝑖𝑛 = 𝑁𝐼𝐴 = 30 5.00 𝐴 𝜋 0.0500 𝑚 2

𝜇𝐵𝑜𝑏𝑖𝑛 = 1.18 𝐴 ⋅ 𝑚2

𝜏 = 𝜇𝐵𝑜𝑏𝑖𝑛𝐵 sin 𝜃 = 1.18 𝐴 ⋅ 𝑚2 1.20 𝑇 sin 90°

𝜏 = 1.41 𝑁 ⋅ 𝑚