bÉzierove krive

BÉZIEROVE KRIVE

Miloš NovkovićNikola Ristovski

Uroš StegićŽeljko Jovanović

OPIS BÉZIEROVE KRIVE

Označimo sa P skup određenih tačaka u ravni;

P = {P1, P2, ... , Pn} Bezierova kriva je zadata sa:

CRTANJE BÉZIEROVE KRIVE

Algoritam aproksimacija(Tacka *ktacke, int n)

Ulaz: kontrolne tačke smeštene u niz (Tacka *ktacke), dimenzija niza (int n);

Izlaz: niz tačaka, dimenzije 1000, koji predstavlja aproksimaciju Bezierove krive (Tacka *P).

begin

P[0] = ktacke[0]

koef = 0.001

lambda = koef


i = 0

while i < 1000 do

while j < n do

niz[j] = ktacke[j]

P[i] = deCasteljau(niz, n, lambda)

i++

lambda += koef

return P

end

CRTANJE BÉZIEROVE KRIVEAlgoritam deCasteljau(Tacka *ktacke, int n, float l)

Ulaz: niz kontrolnih tačaka, njegova dimenzija, preciznost aproksimacije;

Izlaz: Tačka dobijena nakon n-2 iteracije algoritma deCasteljau.

begin

if(n == 2)

Tacka q

Tacka AB

AB.x = ktacke[1].x - ktacke[0].x

AB.y = ktacke[1].y - ktacke[0].y

MnozenjeSkalarom(AB,l,&q)

ZbirVektora(ktacke[0],q,&q)

return q


else

i = 0

while i<n-1 do

AB.x = ktacke[i+1].x - ktacke[i].x

AB.y = ktacke[i+1].y - ktacke[i].y


ZbirVektora(ktacke[i],q,&q)

P[i] = q

i++

return deCasteljau(P,n-1,l)

end

PROMENA STEPENA KRIVE

Algoritam PovecajStepen(Tacka* ktacke, int n, int m, Tacka* niz)

Ulaz: niz kontrolnih tačaka, njegova dimenzija, stepen povećanja i novi niz;

Izlaz: popunjen niz niz.

begin

i = 0

kopiranje niza ktacke u niz niz

i = 0

while i<m do

Stepen(niz,n+1)

end


Prva i zadnja (n-та) tačka u nizu ostaju iste jer se oblik krive ne menja. Od ostalih n-2 tačaka treba napraviti n-1, odnosno povećati stepen krive za jedan.

Svaka od tih tačaka se određuje pomoću formule:


Algoritam Stepen(Tacka* niz, int n)Ulaz: niz kontrolnih tačaka kome treba dodati još

jednu tačku, dimenziju niza;Izlaz: niz sa dodatom jednom tačkom.begin //proširivanje niza za jedan niz[n] = niz[n-1] i = n-1


while i>0 do

l, h - tacke

float w = (1.0 * i) / (n+1)

float v = 1 - ((1.0 * 1) / (n+1))

MnozenjeSkalarom(niz[i-1], w, &l)

MnozenjeSkalarom(niz[i], v, &h)

niz[i].x = l.x + h.x

noz[i].y = l.y + h.y

end

Složenost funkcije je О(m * n).

PODELA KRIVE

Algoritam sadrži sledeće korake:

1) Prva kontrolna tačka krive takođe je i prva kontrolna tačka nove krive, kao i da je zadnja kontrolna tačka krive zadnja kontrolna tačka druge krive.

2) Izračunamo vektor od prve do druge kontrolne tačke, uzmemo njegovu polovinu i dodamo na prvu tačku.Rezultat je nova tačka.

AB.x = ktacke[i+1].x - ktacke[i].x

AB.y = ktacke[i+1].y - ktacke[i].y


ZbirVektora(ktacke[i],q,&q)

PODELA KRIVE

3) Ponavljamo korak 2) dok ne prođemo kroz sve tačke.

4) Ponavljamo korake 2) i 3) i svakim ponavljanjem imaćemo po jedan vektor manje. Ponavljanje se vrši dok ne dobijemo samo dve tačke, tj. Jedan vektor, odredimo njegovu polovinu i ta tačka predstavlja traženu tačku koja deli početnu Bezierovu krivu na dva jednaka dela.

PODELA KRIVE

PODELA KRIVE

Prvi set kontrolnih tačaka za prvu polovinu krive predstavljaju tačke dobijene u prvom deljenju vektora pri svakom od n deljenja,

tako da su kontrolne tačke prve polovine krivine (po oznakama na slici) 00, 10, 20, 30, 40, 50, 60.

Dalje primetimo da su kontrolne tačke druge krivedobijene pri svakom deljenju trenutnog poslednje vektora pri

svakom od n deljenja tako da su kontrolne tačke druge polovine krive (po oznakama na slici) 60, 51, 42, 33, 24, 15, 06.

Kao što možemo primetiti tačka koja se nalazi na sredini ili(po slici) 60 pripada obema krivima.

APROKSIMACIJA

Krivu možemo aproksimirati na dva načina: Koristeći formulu iz definicije De Casteljau-ovim algoritmom

APROKSIMACIJA

UPOTREBA

Najčešća mesta gde se sreću krive: Fontovi Vektorska grafika Animacije

bÉzierove krive

Documents