ravanske krive

1

0.

0.1.

. . : , ... .

: - : , - : , - : .

.

. 0.2.

, ( ) . , , :

, .

0.2.1 Oxy ,

Cuv, : Oxy Cuv.

. 0.1

. 0.1. C Cuv Oxy : C(p,q), . 0.1. Oxy (x,y), Cuv (u,v). , . 0.1, :

x pu, y qv. (0.1)

o : Cuv Oxy,

u xp, v y q. (0.2)

0.2.2 Oxy ,

Ouv , : Oxy Ouv.

. 0.2

. 0.2. Oxy (x,y), Ouv (u,v). , . 0.2, :

x ucos vsin , y usin vcos . (0.3)

: Ouv Oxy, . 0.2, :

u xcos ysin , v xsin ycos . (0.4) , , : .

2

0.3.

, x y . . 0.3.1 :

A x B y C 0, (0.5) : A, B , C , x , y . (0.5) . : implicare , . , .

(0.5) . x (0.5) y 0, : A x C 0. x :

CxA

.

y (0.1) x 0, : B y C 0. y :

CyB

.

. 0.3.

. 0.3

0.3.2 (0.5) B y A x C B,

y k x n, (0.6)

:

k ; k tg AB

,

x ,

n y ; CnB

.

(0.6) . : explicitus , , . , .

, , . 0.3.

:

y = k x. (0.7)

3

0.3.3 (0.5) : A x B y C, C .

: xm

yn

1, (0.8)

: m x ; CmA

, n y ; CnB

.

: segmentum , , , . . 0.4.

. 0.4

0.3.4

. 0.5.

. 0.5

I . x , x : m . (0.8) :

y h x , (0.9)

y 0 x . (0.10)

4

II . y , y : n . (0.8) :

x k y , (0.11)

x 0 x . (0.12)

0.3.5

. (0.6), . (. . 0.6) k tg 1 1 , k tg 2 2 . x 1 2 () . , 1 2 . . 0.6 : 2 1 (. - ; : - , III, . 4).

- , XXI, . 10, :

tg tgtg tgtg tg

2 12 1

2 1

1 .

k tg 1 1 , k tg 2 2 :

k ktg

k k

2 1

2 1

1.

(0.13)

. 0.6

0.3.5.1 x 1 2 , . 2 1 ,

tg tg 2 1 , :

k k2 1 . (0.14)

0.3.5.2 ()

: 2 1 90 2,

(. - , XXI, . 10 LVII, . 21):

tg tg tg tg tg tg

2 12 1

2 190

1

tg tg tg tg

2 1

2 11 tg tg 2 11 0 ,

tg tg 1 2 1

., () :

k k 1 2 1 , k k 2

1

1 . (0.15)

5

0.4. ( )

(. - , . 18) , , (. - , LXXXIII, . 45).

, , . . , [ , 375 325 ], . : , [ , 250 170 ] [i].

, . - :

conus (), ( ).

- :

i [ ] , ( ), .

: ii [] , .

(. . 0.7): : ; : ( ); : ; : .

. 0.7 : ) , ) , ) , ) .

)

)

)

)

. 0.7

6

0.5 - - .

, . (. - , . 75 - 78, 80 - 83). , . .

0.5.1

: , - 2a, . , F1 F2 , M (. . 0.8). : F F e1 2 2 . : 2a > 2e. F1 F2 . F F1 2 O. O, .

e O. : e a, () :

ea

. (0.16)

, (0.16), e < a, :

1 . (0.17) r1 r2 . ,

F1 : r F M1 1 , F2 : r F M2 2 .

(. . 0.8):

r r a 1 2 2 . (0.18)

(0.18) M .

Oxy. (. - , VII, . 5), M :

r x e y 2 21 , r x e y 2 2

2 . (0.19)

(0.19) (0.18) :

x e y x e y a 2 22 2 2 . (0.20)

. 0.8

(0.20) :

x e y a x e y 2 22 22 . (0.21)

7

(0.21) (. - , LX, 1, . 23):

x e y a a x e y x e y 2 2 22 2 2 24 4 . , :

a x e y a ex 2 2 2 . :

a x e y a ex 222 2 2 ,

, , :

a e x a y a a e 2 2 2 2 2 2 2 2 .

a a e2 2 2 : x ya a e

2 2

2 2 2 1 . (0.22)

a > e :

b a e 2 2 2 . (0.23)

(0.23) (0.22) : x ya b

2 2

2 2 1 . (0.24)

, (0.24), . 0.9. a , b . .

. 0.9

, M(x, y) (0.20) (0.24). : M(x, y) (0.24) (0.18).

, (0.23),

e a b 2 2 2 e a b 2 2 . (0.25) e (0.22) :

a ey a e xa

2 2

2 2 2 22 .

(0.19), y2 , :

8

a e er x e a e x x ex e a e x xa a

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 22 ,

,

e e e er a ex x a a x x a xa aa a

22 22 2 2 2

1 2 22 2

er a xa

1 ,

, (0.16),

r a x 1 . (0.26)

(0.19), y2 , :

a e er x e a e x x ex e a e x xa a

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 ,

, , : er a xa

2 ,

, (0.16),

r a x 2 . (0.27)

(0.26) (0.27) (0.18). , , x y M, (0.24), r1 r2 (0.18).

( ) P P'.

() , : PP p 2 , (. . 0.9). - p, , . (0.24), M(x, y):

by b xa

2

2 22 .

F1 , P P' : x = e, P, , (0.25),

b b by e p b e b a b b ba a a 2 2 4

2 2 2 2 2 2 22 2 2 ,

, : bpa

2

. (0.28)

0.5.2

: : a b , r a b . O.

, (0.25), a b , :

e 0 .

, (0.24) r a b , :

x y r 2 2 2 . (0.29)

, (0.28), :

p r .

9

0.5.3

: , - 2a, . : F1 F2 , M, (. . 0.10).

F F e1 2 2 . : 2a < 2e. F1 F2 . O F F1 2 . O, .

e O. e

a, () : ea

. (0.30)

e > a, , (0.30),

1 . (0.31)

r1 r2 . F1 : r F M1 1 , F2 : r F M2 2 .

. 0.10

(. . 0.10):

r r a 2 1 2 . (0.32) (0.32) M .

(0.32) (. - , LXIII, . 24):

r r a 2 1 2 . (0.33)

r1 r2 (0.19). (0.19) (0.33) :

x e y x e y a 2 22 2 2 . (0.34)

(0.34) :

x e y a x e y 2 22 22 .

(0.34) (. - , LX, 1, . 23):

x e y a a x e y x e y 2 2 22 2 2 24 4 .

, :

a x e y ex a 2 2 2 .

10

:

a x e y ex a 222 2 2 ,

:

e a x a y a e a 2 2 2 2 2 2 2 2 .

a e a2 2 2 : , x ya e a

2 2

2 2 2 1 . (0.35)

a < e :

b e a 2 2 2 . (0.36)

(0.36) (0.35) : x ya b

2 2

2 2 1 . (0.37)

, (0.37), . 0.11. a , b x - .

. y x (0.37) y - , , , . , , a b , !

, M(x, y) (0.33) (0.37). : M(x, y) (0.37) (0.33).

. 0.11

, (0.36), e a b 2 2 2 e a b 2 2 . (0.38)

e (0.35) : e ay x e a

a

2 2

2 2 2 22 .

11

(0.19), y2 , :

e a er x e x e a x ex e x x e aa a

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 22 ,

,

e e e er a ex x a a x x a xa aa a

22 22 2 2 2

1 2 22 2

er a xa

1 ,

, (0.30),

r a x 1 . (0.39) (0.19), y2 , :

e a e er x e x e a x ex e x x e a a xaa a

22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 ,

, , : er a xa

2 ,

, (0.30),

r a x 2 . (0.40)

(0.39) (0.40) r1 r2 . (0.37) : x a 0 . M (x,y) x > 0, x < 0, (0.37) 1 , :

x a . (0.41)

, (x > 0, a > 0, 1 ) :

(0.39): r a x 1 , x > 0; (0.40): r a x 2 , x > 0.

(x < 0, a < 0, 1 ) :

(0.39): r a x 1 , x < 0; (0.40): r a x 2 , x < 0.

, x > 0 x < 0 , (0.32), . (0.33):

r r a 2 1 2 . (0.37) : (. . 0.11).

, . , :

by xa

. (0.42)

( ) P P'.

() , PP p 2 , (. . 0.11). p, , . (0.37) M(x, y) :

by x ba

2

2 22 .

12

F1 , P1 P1 : x = e, P1 , , (0.38):

b b by e p e b a b b b ba a a 2 2 4

2 2 2 2 2 2 22 2 2 ,

:

bpa

2

. (0.42)

0.5.4

: , , , . : F, : D, M (. . 0.12).

(directrice (), ), (directrix ()). directrix 1649. [Jan de Witt, (1625 1672)] .

F, .: r MF . M D, A, : d MA . F D

D. : p FD .

, (. . 0.12):

r d . (0.43)

(0.43) M .

r MF D d MA :

MF rdMA

. (0.44)

(0.43), , (0.44) :

1 . (0.45)

. 0.12

, ,

O p FD (. . 0.12). Ox F D, . Oy D.

() : pF ,

02

, : M(x, y).

13

F,

(. . 0.12) :

pr MF x y

22

2. (0.46)

M D M A (. . 0.12): pd MA x 2

. (0.47)

(0.46) (0.47) (0.43) :

p px y x

22

2 2.

: p px y x

2 22

2 2,

: p px px y px x

2 22 2 2

4 4,

: y px2 2 . (0.48)

(0.48) . p , : . (0.48), p 0 , . 0.13.

. p 0 y - [. . 72, - , 2.)].

. 0.13

, M (x, y) (0.43) (0.48). : M (x, y) (0.48) (0.43).

(0.48) (0.46), :

p pr x y x px

2 22 2

2 2,

14

, ,

p p p pr x px x px px x px x

2 22 22 22 2

2 4 4 2,

, (0.47), : pr x d 2

.

(0.43) . , x y M, (0.48); r d (0.43).

F P P'. PP

. PP , je ( Ox), : PP p 2 (. . 0.13). p , : .

F, P P' : x = e, P P', (0.48):

p py p p

222

2 2 py p

2,

, ( p FD ):

py p FP 2

. (0.49)

(. . 0.13):

px 2

. (0.50)

0.5.5

. . , , ( ). , .

, , :

krunica, 0 , elipsa, 1 ,

parabola, 1 , hiperbola, 1 . , ,

. .

, : 1 , :

[ ] , ( ).

, :

ellipsis ( ).

, : 1 , :

[ ] , , ( ).

, : 1 , :

[ ] , , , ( ).

15

0.6

, . : . , , 0 , . D F, . () F. O , .

0.6.1

(0.24), (0.16) , (0.17), a b . .

: ea

. (0.16)

:

MF rdMA

. (0.44)

1D , F1 y, (. O) X. 1D . , 2D , F2 , y, X . (. . 0.14).

1D F1 M (x, y) , (0.44), :

MF rdMA

1 111

. (0.51)

. 0.14

M (x, y) F1 , :

r MF x e y 2 21 1 . (0.52)

M (x, y) 1D (. . 0.14): d MA X x 1 1 . (0.53)

(0.52) (0.53) (0.51) :

16

x e yX x

2 2

,

, (0.16), :

x e y X x 2 2 ex e y X xa

22 22 .

, :

a e eX X ax e x y ea a a

2 2 2 22 2 2

2 2 22 1 . (0.54)

(0.24) x , (0.54) :

eXa

21 0 ,

X 1D , (0.16), .:

a aXe

2

. (0.55)

(0.55) (0.54) (0.24). (0.55) 1D , 1 ,

1D : X a . 1D y - .

, (0.55), . 0.14 . 69 - , 1.), :

a axe

2

. (0.56)

2D F2 M (x, y), , (. . 0.14):

MF rdMA

2 222

. (0.57)

M (x, y) F2 :

r MF x e y 2 22 2 . (0.58)

M (x, y) 2D , y - , : d MA X x 2 2 . (0.59)

(0.59), (0.58), (0.57) (16), , :

ex e y X xa

22 22 .

, :


2 2 2 22 2 2

2 2 22 1 . (0.60)

(0.60) X 2D , (0.56).

(. . 0.14), (0.56), :

a axe

2

. (0.61)

(0.61) 2D , 1 , 2D : X a .

17

(0.51) (0.57) : r rd d

1 21 2

. (0.62)

(0.62) :

.

- : a aXe

2

: a aXe

2

,

(0.26) r a x 1 , . 0.14, (0.16),

a a xd X x x

1

ra xd

11 .

: rd

11

. (0.63)

(0.27) r a x 2 , . 0.14, (0.16),

a a xd X x x

2

ra xd

22 .

: rd

22

. (0.64)

(0.63) (0.64) (0.62). . 1D

F1 , (0.55) (0.25) . 0.14, :

a a ba a eD F X e ee e e

2 2 22 2 2

1 1 1 .

, F1 1D :

b be a

2 2

11 .

F2 2D , , , :

a a ba a eD F X e ee e e

2 2 22 2 2

2 2 2 ,

F2 2D , ,

b be a

2 2

21 .

: 2 1 , (0.28), :

b b pe a

2 21 . (0.65)

18

0.6.2

(0.37), (0.30) , (0.30). :

ea

. (0.30)

:

MF rdMA

. (0.44)

F1 1D , y , . O, X (..0.15). 1D . 2D - , F2 , , y, X . y - , . . . 69 - , 1.).

1D F1 M (x, y), , (0.44), :

MF rdMA

1 111

. (0.66)

. 0.15

M (x, y) F1 , :

r MF x e y 2 21 1 . (0.67)

M (x, y) 1D (. . 0.15): d MA X x 1 1 . (0.68)

(0.68) (0.67) (0.66) :

x e y X x 2 2 ,

19

(0.30), :

ex e y X xa

22 22 .

, :

e a eX a Xx e x y ea a a

2 2 2 22 2 2

2 2 22 1 . (0.69)

(0.37) x , (0.69) :

eXa

21 0 ,

X 1D , (0.31), a aXe

2

. (0.70)

(0.70) (0.69) (0.38), (0.37).

(0.70) 1D , 1 , 1D : X a , (. . 0.15).

, (0.70) - , 1.), . 69, :

a axe

2

. (0.71)

2D F2 , M (x, y), , (. . 0.15):

MF rdMA

2 222

. (0.72)

M (x, y) F2 :

r MF x e y 2 22 2 . (0.73)

M (x, y) 2D :

d MA X x 2 2 . (0.74)

(0.74), (0.73), (0.72) (30), , :

ex e y X xa

22 22 .

, :


2 2 2 22 2 2

2 2 22 1 . (0.75)

(0.75) X 2D , (0.70).

, , (. . 0.15): a axe

2

. (0.76)

(0.66) (0.72) :

r rd d

1 21 2

, (0.77)

:

20

.

- : a aXe

2

: a aXe

2

,

(0.39)

r a x 1 ,

, (0.30), . 0.15,

a a xd X x x

1

ra xd

11 .

: rd

11

. (0.78)

(0.40)

r a x 2 ,

, (0.30) . 0.15:

a a xd X x x

2

ra xd

22 ,

: rd

22

. (0.79)

(0.78) (0.79) (0.77). . 1D

F1 , (0.70) (0.38), . 0.15, :

a e a a b aD F X e ee e e

2 2 2 2 2 2

1 1 1 .

F1 1D :

b be a

2 2

11 .

F2 2D , , :

a a e a a bD F X e ee e e

2 2 2 2 2 2

2 2 2 ,

:

b be a

2 2

21 .

: 2 1 , (0.42), :

b b pe a

2 21 . (0.80)

(0.80) (0.65) , 1 . : p , : 1 .

21

0.7 0.7.1 O ,

Ox. , . 0.16 . . : r, .

. 0.16

: M(r,). . 0.16.

: , , . , () .

( ):

, , .

111

0.7.2 ,

F ( ) , , , D , F. , e e L D , (. . 0.17). D , F .

O F L, . Fx, Fx FM = r, OP = p, . 0.17.

D O F, . F DF = . M D M = d, (. . 0.17). - L. , (0.44), (0.51), (0.66):

MF rdMA

, (0.81)

, . 0.17 :

d MA MN NA MN DF r cos . (0.82)

(0.65), (0.80) (0.81), (0.82) :

r pr cos .

22

r L :

prcos

1

. (0.83)

(0.83) ( ), . (0.83) .

. 0.17

F ( ) , , D F, e e L D , (. . 0.18). D , F . !

O F L, . Fx, Fx FM= r, . 0.18.

D O F, . F DF = . M D M = d, (. . 0.18). , (0.51), (0.66):

MF rdMA

, (0.81)

, . 0.18, :

d MA r cos . (0.84)

(0.65), (0.80) (0.81), (0.84) :

r p r cos .

: prcos

1

. (0.85)

(0.85) ( ) . , (0.85) , , .

23

. 0.18 ( ) (0.83) (0.85) :

prcos

1

; 0 1 , (0.86)

"+" , ; "-" , .

(0.83), 1 , : prcos

1

. (0.87)

, .

, , O F2 (. . 0.19), . F x Ox2 , F x Ox2 M F M MO r 2 , . 0.19. 2, M F2 . : F P F P p 2 2 1 1 , . 0.19.

D , F O2 OD . M D MA d , (. . 0.19). , (0.62), 2,

MO rdMA

, (0.88)

, . 0.19, :

d MA r cos . (0.89)

e (0.80) D (0.79), (0.89) :

r pr cos .

r :

prcos

1

. (0.90)

24

. 0.19 (0.90) . .

. (0.90) , :

cos 0 1 cos 1 cos

1

cos

22

1 .

cos tg (. - , XXVII, . 11) (0.38) :

etga

2

2 221

a b btga a

2 2 2

2 22 21 1

btga

- .

, , , (0.83) (0.90) :

prcos

1

; 1 , (0.91)

"+" , ; "-" , .

0.7.3 () -

, [Johannes Kepler, : Ioannes Keplerus, (1571 -1630)]. 1604. ; : focus = , , . , , , : (Alhazen), (965 -1039). , , , : focus = , . , . , .

(. . 5) , 1604. , . , . , , , 1639. , [Girard Desargues, (1591 -1661)].

25

0.8

0.8.1

x, y. x y : . :

A x 2 B x y C y 2 D x 2 E y F 0, (0.92) : A, B, C, D, E, F ; A B C 0, x , y .

(0.92): A x 2 B x y C y , ; : D x 2 E y ; F , x y. (0.92) :

(A x B y D) x (B y C y E) y (D x E y F) 0, (0.93)

(0.92).

(0.92) . : x, y ,u v . :

1. uv ; 2. u v ( ); 3. .

(0.92) , , . (. . 1) : . , .

0.8.2 (0.92) :

x pu, y qv. (0.1)

(0.92), Oxy, Cuv, Oxy C:(p,q). (0.1) (0.92) :

A (pu) 2 B (pu) (qv) C (qv) 2 D (pu) 2 E (qv) F 0,

., :

A u 2 Bu v C v 2 (Ap Bq D) u 2 (Bp Cq E) v

A p 2 B pq C q 2 D p 2 E q F 0,

, (0.92) Ouv :

A' u 2 B' uv C' v 2 D' u 2 E' v F' 0. (0.94)

(0.94) :

A' A, B' B, C' C,

D' Ap Bq D, E' Bp Cq E, (0.95)

F' A p 2 B pq C q 2 D p 2 E q F. , (0.1) (0.92)

(0.94), (0.95). , : A', B', C' , : D', E' F'.

26

0.8.2 (0.92)

, , : x ucos vsin , y usin vcos . (0.3)

(0.3) (0.92) :

A (ucos vsin ) 2 B (ucos vsin ) (usin vcos ) C (usin vcos )

2 D (ucos vsin ) 2 E (usin vcos ) F 0. u,u v,v, ... :

(Acos 2 B cos sin C sin) u 2 (Bcos- (A- C) cos sin -B sin) u v

(A sin - 2 B cos sin C cos) v 2 (Dcos Esin )u 2 (E cos - Dsin )v F 0.

Ouv :

A' u 2 B' uv C' v 2 D' u 2 E' v F' 0, (0.96)

()':

A' Acos 2 B cos sin C sin , B' Bcos- (A- C) cos sin -B sin,

C' A sin - 2 B cos sin C cos, (0.97) D' Dcos Esin , E' E cos - Dsin , F' F.

, , F' , : (A A', B B', ...), (0.97).

0.8.3

(0.92) I (A, B, C, D, E, F), (0.94), (0.96) , I (A', B', C', D', E', F'), :

I (A', B', C', D', E', F') I(A, B, C, D, E, F),

I (A, B, C, D, E, F) , , , . , , .

, : invariant .

:

A x 2 B x y C y 2 D x 2 E y F 0, (0.92)

(A x B x y D x) (B x y C y E y) (D x E y F) 0, :

(A x B y D) x (B x C y E) y (D x E y F) 0. (0.98)

(0.92), A x 2 B x y C y :

A BB C

. (0.99)

(0.99) .

(0.92) (0.98) , ,

A B DB C ED E F

. (0.100)

27

1. (0.99), (. - , . 29),

:

I T A C 1 . (0.101)

2. (0.99) , :

A BI AC B

B C 22 . (0.102)

3. (0.100) , , :

A B DI B C E

D E F 3 . (0.103)

(0.101) - (0.103)

(0.92) .

0.8.4

(0.101), (0.102) (0.103) .

Oxy (0.92), (0.1) Cuv (0.94). C Oxy C: (p,q).

(0.94) (0.95). (0.94).

(0.94), (0.99) :

A BB C

. (0.99' )

(0.94), (0.100) :

A B DB C ED E F

. (0.100' )

: (0.99' ) (0.94), :

T' A' + C'.

, (0.95), : A' A C' C, :

T' A' + C' A + C . (0.101) :

T' T I 1 . , I1 .

: (0.99' ) (0.94) :

A BB C

.

(0.95), : A' A, B' B C' C, : A B A BB C B C

.

28

(0.102) :

I 2 . I2 , .

: (0.100' ) (0.94) :

A B DB C ED E F

.

(0.95), : A' A, B' B C' C, :

A B D A B DB C E B C ED E F D E F

.

(0.95)

D' Ap Bq D, E' Bp Cq E,

(0.94), D' E', :

F' A p 2 B pq C q 2 D p 2 E q F (Ap Bq D)p (Bp Cq E)q D p E q F

F' D'p E'q (D p E q F).

' p, q [ 6. , (. - , . 28)] :

A B D A B D A B DB C E B C E B C ED E F D E F D pA qB E pB qC F pD qE

.

: D' - (p A q B) Ap Bq D - (p A q B) D ;

E' - (p B q C) Bp Cq E - (p B q C) E ;

F' - (p D' q E') D'p E'q (D p E q F) - (p D' q E') D p E q F, ' :

A B D A B D A B Ap Bq DB C E B C E B C Bp Cq ED E F D E Dp Eq F D E Dp Eq F

.

' p, q [ 6. (. - , . 28)] :

A B D A B Ap Bq D A B Ap Bq D pA qBB C E B C Bp Cq E B C Bp Cq E pB qCD E F D E Dp Eq F D E Dp Eq F pD qE

A B D A B DB C E B C E D E F D E F

(0.103) : I 3 .

29

I3 , .

, , , : I1 , I2 I3 .

0.8.5

(0.101), (0.102) (0.103) . , , u v, , , : A' , B' , C' , ... .

(0.3) Oxy , (0.92) Ouv. (0.92) (0.96).

(0.96) (0.97). (0.96).

(0.96), (0.99) :

A BB C

. (0.99" )

(0.96), (0.100) :

A B DB C ED E F

. (0.100" )

: (0.99" ) (0.96), :

T' A' + C'. , (0.97), :

A' Acos 2 B cos sin C sin C' A sin - 2 B cos sin C cos,

, , - , XVI, . 9, :

T' A' + C' Acos 2 B cos sin C sin + A sin - 2 B cos sin C cos

A (cos sin) C (sin cos) A 1 + C 1 A + C, (0.101) :

T' T I 1 . , I1 .

: (0. 99" ) (0.96) :

A BA C B

B C

2 .

(0.97), :


C' A sin - 2 B cos sin C cos,

:

A C B 2 (Acos 2 B cos sin C sin) (A sin - 2 B cos sin C cos) - - (Bcos- (A- C) cos sin -B sin)

AC B cos AB B A C BC cos sin A B A C C cos sin

AB B A C BC cos sin AC B sin .

22 4 3 2 2 2 2 2

3 2 4

2 2

2

30

:

AB B A C BC B A A C C 2 2 0 ; A B A C C A B A AC C C AC B

22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 ;

AB B A C BC B A A C C 2 2 0 ,

cos sin 3 cos sin 3 , :

A C B AC B cos AC B cos sin AC B sin

= AC B cos cos sin sin AC B cos sin ,

2 2 4 2 2 2 2 4

22 4 2 2 4 2 2 2

2

2

(. - , XVI, . 9), :

A B A BA C B AC B

B C B C

2 2 .

(0.102) : I 2 .

I2 , (0.92).

: (0.100") (0.96):

A B DB C ED E F

,

(. - , LXVIII, . 27), :

A B DB D A D A B

B C E D E FC E B E B C

D E F

.

(0.97), :


C' A sin - 2 B cos sin C cos, D' Dcos Esin , E' E cos - Dsin , F' F.

( ), (. - , LXVIII, . 26), .

- B D

B E C DC E

(Bcos- (A- C) cos sin -B sin) (E cos - Dsin ) -

- (A sin - 2 B cos sin C cos) (Dcos Esin ).

:

B DB E C D BE CD cos BD CE A C E cos sin

C E

+ BE AD A C D cos sin BD AE sin

3 2

2 3

cos sin 2 cos sin 2 :

BD CE A C E BD CE AE CE BD AE , BE AD A C D BE AD AD CD BE CD .

:

31

B D B E C D BE CD cos cos sin BD AE cos sin sinC E

3 2 2 3 ,

B D B E C D BE CD cos sin cos AE BD cos sin sinC E

2 2 2 2 ,

je (. - , XVI, . 9). :

B D B D A DB E C D BE CD cos AE BD sin cos sinC E C E B E

.

-

A D

A E B DB E

(Acos 2 B cos sin C sin) (E cos - Dsin ) -

- (Bcos- (A- C) cos sin -B sin) (Dcos Esin ),

A DA E B D AE BD cos BE A C D AD cos sin

B E

+ CE A C E BD cos sin BE CD sin

3 2

2 3

cos sin 2 cos sin 2 :

BE A C D AD BE AD CD AD BE CD ,

CE A C E BD CE AE CE BD AE BD . , , :

A D A E B D AE BD cos sin cos BE CD cos sin sinB E

2 2 2 2 ,

A D A D B DA E B D AE BD cos BE CD sin cos sinB E B E C E

.

- A B A BB C B C

.

, :

A B DB D A D

B C E D cos E sin cos sinC E B E

D E F

A D B D A B E cos D sin cos sin F

B E C E B C

A B DB D B D A D

B C E D cos D sin E sin cos sinC E C E B E

D E F

A D B D A B E cos cos sin F

B E C E B C

2 2

B D A D B D A DD cos D cos sin E sin cos E sin

C E B E C E B EA D B D A D B D A B

E cos E cos sin D sin cos D sin F .B E C E B E C E B C

2 2

2 2

32

:

B D A D A BD cos sin E sin cos FC E B E B C 2 2 2 2 .

(. - , XVI, . 9) :

A B DB D A D A B

D E F B C E C E B E B C

D E F .

, : A B D A B DB C E B C ED E F D E F

.

(0.103) : I 3 .

I3 , (0.92).

, , , : I1 , I2 I3 .

0.8.6

: T I 1 , I 2 , I 3 (0.92), - ( ) , . , :

(0.92) , : T I 1 , I 2 , I 3 . 0.8.7

(0.92) x, y:

A x 2 B x y C y 2 D x 2 E y F 0. (0.92)

(x, y) (u, v), (0.92) (0.96) u v. uv . .

, : x ucos vsin , y usin vcos , (0.3)

(0.92) Ouv, (. . 26):

A' u 2 B' uv C' v 2 D' u 2 E' v F' 0, (0.96)

:


C' A sin - 2 B cos sin C cos, (0.97) D' Dcos Esin , E' E cos - Dsin , F' F.

, F F' , . (0.96) uv !

uv (0.96), . :

B' Bcos- (A- C) cos sin -B sin 0. (0.104)

(0.104) uv (0.96) .

33

(0.104) - . (0.104) B cos tg :

A Ctg tg B

2 1 0 . (0.105)

(0.105)

A C A C BB B

22 2

2

14 4 0

, . (0.105) :

,A C A Ctg A C A C B

B B B

22 2

1 21 14 42 2

. (0.106)

1 2 , (. - , . 45), (0.106) :

tg tg A C A C B A C A C B

B B

= A C A C B .B

2 22 21 2

2 2 22

1 14 42 2

1 4 14

. tg1 (0.92), tg2 , . (0.92). .

(0.104). (0.104) :

2B(cos - sin) - (A- C) 2 cos sin 0,

(. - , XXIV, . 11):

2Bcos 2- (A- C) sin 2 0,

(. - , XVI, . 9), (A- C) cos 2, : Btg

A C

22 . (0.107)

(. - , XXIV, . 11): tgtgtg

222

1,

(0.106) (0.105) (0.107) :

A C A C BBtg

A C A C BB

2 2

22 2

12 42211 4

2

,

B A C A C Btg

B A C A C A C B A C B

2 2

2 2 22 2 2

4 42

4 2 4 4

,

, , :

B A C A C Btg

A C A C A C B

2 2

2 2

4 42

2 4

fl

Btg

A C

422

fl

BtgA C

22 .

(0.106) (0.107) .

34

0.8.8

: (x, y) (u, v). (0.104), . uv (0.96), (0.96) :

A h Acos B cos sin C sin 2 22 , B 0 ,

C k Asin 2Bcos sin Ccos , D l Dcos E sin , E m E cos D sin ,

F F ,

, uv , :

A x B x y C y Dx Ey F 2 22 2 2 2 2 2 2 0hu kv lu mv F . (0.108)

(0.104), (0.96) uv , (0.108), :

B' - (A cos + B sin ) sin + (B cos + C sin ) cos 0.

, (. - , LXVIII, . 26), :

Acos B sin B cos C sincos sin

0 .

() () (. - , LXVIII, 3, . 28), ( 0):

A cos + B sin = cos , B cos + C sin = sin .

R, :

( )cos B sin 0, B cos (C ) sin 0. (0.109)

(0.109) ( ) (. - , 4, . 35):

A BB C

0 .

:

AC AC B 0. (0.110)

1. (0.101) (0.102), . 27, (0.110) :

I I 2 1 2 0 , (0.111) : I A C T 1 - , I AC B

22 - .

(0.110) (0.111) . , (0.110), , .:

A C AC B A C B 2 22 24 4 0 . (0.110), (0.111), (. - , 5, . 35). (0.110), (0.111), :

, A C A C B I I I 2 2 2

1 2 1 1 21 14 42 2

, (0.112)

, A C B 0, .

1 2 (0.92).

1 2 . x - : 1 2 1 2

.

35

(. - , 5, . 36), (0.100) (0.101)

, (0.110) (0.111), :

I T A C 1 1 2 , (0.113) I AC B 22 1 2 . (0.114)

2. 1 2 , (0.92) (0.5), : A B C 0.

(0.110), (0.111).

. : 1 2 , (0.110): A C B

2 24 0 . (0.109) :

A BtgB C

. (0.115)

(0.115) , 0.7.6.

. : 1 2 , (0.110): A C B

2 24 0 . : A C B 0. ,

(0.92) : A x A y. . 0.8.9

, (0.112), (0.115) :

A C A C B AAtg A C A C BB B B

2 2

2 211

1 4 12 42

,

(0.112), (0.115) :

B B Btg

C A C A C B C A C A C B

12 22 21 1 14 4

2 2

,

[. - , LXI, 20. iii), . 23] :

B A C A C B B A C A C BBtgC A C A C B B

2 22 2

12 2 2 21

4 4

1 14 42 2

,

:

Btg A C A C BC B

2 21

1

1 42

.

(0.106) . 33.

, (0.112), (0.115) :

A C A C B AAtg A C A C BB B B

2 2

2 222

1 4 12 42

,

(0.112), (0.115) :

B B Btg

C A C A C B C A C A C B

22 22 22 1 14 4

2 2

.

36

[. - , LXI, 20. iii), . 23] :

B A C A C B B A C A C BBtgC A C A C B B

2 22 2

22 2 2 22

4 4

1 14 42 2

,

:

Btg A C A C BC B

2 22

2

1 42

.

(0.106) . 33.

0.8.10

x, y (0.3) (0.92), (0.104), , .:

A x B x y C y Dx Ey F 2 22 2 2 0 2 2 2 2 0hu kv lu mv F , (0.108)

(. . 34):

A h Acos B cos sin C sin 2 22 , B 0 ,

C k Asin B cos sin C cos 2 22 ,

D l Dcos E sin , E m E cos D sin ,

F F .

A h C k , (0.106). (. - , XXVI, . 11):

coscos 2 1 22

, cossin 2 1 22

,

u2 : cos cosh Acos B cos sin C sin A B sin C 2 2 1 2 1 22 22 2

,

, , A C A Ch cos B sin 2 2

2 2. (0.116)

cos 2 sin 2 tg 2 (. - , XXVII, . 11), :

costg

2

121 2

, tgsintg

222

1 2,

, . 33 , :

BtgA C

22 , (0.107)

:

A Ccos

B B A CA C

2 22

122 41

,

BBA Csin

B B A CA C

2 22

222

2 41

.

(0.116), :

A C A C A C A C A C Bh cos B sin B

B A C B A C

2 22 2

22 22 2 2 2 4 4

,

, ,

37

B A CA C A Ch B A CB A C

2222

22

41 1 42 2 2 24

,

h A C B A C

221

1 42

. (0.117)

, u2 (0.112), . 34.

, 2v : cos cosk Asin B cos sin C cos A B sin C 2 2 1 2 1 22 22 2

,

A C A C A C A C A C Bk cos B sin B

B A C B A C

2 22 2

22 22 2 2 2 4 4

B A CA C A Ck B A CB A C

2222

22

41 1 42 2 2 24

k A C B A C

222

1 42

. (0.118)

v2 (0.112), . 34.

u2 2v (0.117) (0.118) (0.108) . 36, . () :

u v lu mv F 2 21 2 2 2 0 . (0.119)

, (0.92), (0.119).

0.9

(0.114), (0.92), (0.119).

0.9.1 , . :

I AC B 22 1 2 0 , (0.120) :

1 0 , 2 0 . (0.119) :

l mu u v v F

2 2

1 21 2

2 2 0 ,

, l

2

21

m

2

22

:

l l m m l mu u v v F

2 2 2 22 2

1 22 2 2 21 21 2 1 2

2 2 0 ,

(. - , LX, 1., . 23), :

l m l mu v F

2 2 2 2

1 2 2 21 2 1 2

. (0.121)

u v, (0.1): lu

1

mv

2

l mH F

2 2

2 21 2

,

(0.121) : H 2 21 2 . (0.122)

38

(0.122) .

1. : , : 1 0 2 0 . H 0 ( H 0 H 0 ). (0.122) :

H H

2 2

1 2

1 . (0.123)

(0.123) , (0.24) .7, .

- 1 2 , : a H1

, b H2

a b ; () - .

- 1 2 , : a H2

, b H1

a b ; () - .

2. : , : 1 0 2 0 . - H 0 . (0.122) :

H H

2 2

1 2

1 . (0.124)

(0.124) (0.37) .10 , - , :

a H1

, b H

2

.

- H 0 ( H 0 ). (0.122) :

H H

2 2

2 1

1 . (0.125)

(0.125) : a H

1

, b H2

, . 10,

- [ - , 7.) . 76,]. - , . (. . .10).

, ( 2 1 2 0I ): - (0.92) 2 1 2 0I ; - (0.92) 2 1 2 0I .

0.9.2 , . :

I AC B 22 1 2 0 , (0.126) , , :

1 0 , 2 0 . (0.127) (0.119), (127), :

u lu mv F 21 2 2 0 . (0.128)

(0.128) :

lu u mv F

2

11

2 2 0 ,

, l

2

21

, :

l l lu u mv F

2 22

1 2 21 1 1

2 2 0 .

39

(. - , LX, 1., . 23),

lK F

2

21

, :

2

11

2 0lu mv K . (0.129)

(0.129) m. .

1. : m , .: m 0 . (0.129) :

2

11

2 02

l Ku m vm

.

u v, (0.1), lu

1

Kvm

2

, :

m 21 2 0 . (0.130)

, m p

1

2 2 , (0.130) :

p 2 2 . (0.131)

(0.131) : mp

1

, p 0 . 0.13

. 13, p 0 , . 13, . 72, - , 7.).

2. : m , .: m 0 . (0.129) :

2

11

0lu K .

u (0.1), lu

1

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K 21 0 . , .

0.9.3

C, , (0.92), , O C, (0.92) , :

A u 2 Bu v C v G.

:

(u,v) (- u, - v) A (- u) 2 B(- u) (- v) C (- v) A u 2 Bu v C v.

C.

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A x 2 B x y C y 2 D x 2 E y F 0. (0.92)

, . C. : p,q. O C (0.1), .: x pu y qv (0.92),

A (pu) 2 B (pu) (qv) C (qv) 2 D (pu) 2 E (qv) F 0.

u,u v,v, u,v :

A u 2 Bu v C v 2 (Ap Bq D) u 2 (Bp Cq E) v

A p 2 B pq C q 2 D p 2 E q F 0. (0.132) (0.132) u v .

40

:

A p B q D 0, B p C q E 0. (0.133)

(0.133) , (. - , . 33-35). (. - , . 33), :

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2

,

A D D AB E E B BD AEqA B A B AC BB C B C

2

. (0.134)

(0.134) (0.133) , (0.101) :

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(0.134) C(p,q) 4. 5. (. - , . 28). (0.132) :

F A p 2 B pq C q 2 D p 2 E q F

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(A p B q D)p (C q B p E)q (D p E q F).

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F D p E q F.

(0.134) :

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E

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F

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.

5. (. - , . 28) , (. - , . 27), :

F

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32

,

, : F I

I

32

(0.136)

(0.132) :

A u 2 Bu v C v 0. (0.137)

(0.136) (0.102) (0.103), . 27.

, (0.137), u v, - u - v. , (u,v) (- u,- v) : C. C , , : . Oxy, (0.134), :

C: (p,q) BE CD BD AE BE CD BD AE, ,I IAC B AC B

2 2

2 2

.(0.138)

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41

, (0.92) (0.92) : I AC B 22 0 . (0.138). C, (0.3), (0.137) :

,

2 21 2 0 . (0.139)

1 ,2 II

3

2

, (0.139)

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() , , (0.92) , , , . .

, , . , , . .

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1 0, 2 0, AC B 1 2 0 : ,

1 0, 2 0, AC B 1 2 0 : ,

1 0, 2 0, AC B 1 2 0 : ,

1 0, 2 0, AC B 1 2 0 : . , , .

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1 2 0

I 3 0

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I I 1 3 0

I 2 0 1 2 0

I 3 0

I 2 0 1 2 0

I 3 0

42

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43

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: A, B, C, D, E, F, G, H, K, L ;

A B C D 0, x, y .

je 1704. [Isaac Newton, (16431727)]. (0.140) , . , .

, , : .

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B C D E F G H L 0; A 0, K 0,

: A x 3 K y 0.

:

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a . (0.141) .

0.10.2 ( ; ) 1656. [William

Neile, (16371670)], 1657. , 1659. . (0.140) .

: (0.140) :

B C D E F H K L 0; A 0, G 0,

: A x 3 G y 0.

( x ):

y a x, (0.142)

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a .

: (0.140) :

A B C F H K L 0; D 0, E 0,

: D y 3 E x 0,

( y ):

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x a y32 . (0.145)

a .

(0.142) (0.145) .

44

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r b , b 0; (0.147) : r , , [rad]; b .

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:

r 2 b cos 2; b 0. (0.151) : r , , [rad]; b .

:

x y d x d x y 22 2 2 2 2 . (0.152) (0.149) (0.152) .

45

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46

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0.7 0.2 x 0.5y 1 = 0. 0.8 0.3x 0.6 y = 0. 0.9 0.3 y 0.6 = 0.

0.2.

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) y . y x 0, () :

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() u , :

47

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, x u 2; y v 9,

() v u, ()

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0.13 y x 6 x 7. 0.14 y x 6 x 25. 0.15 y x 6 x 10.

0.16 y 6 x 25 x 14. 0.17 y 4 x 12 x 9. 0.18 y 9 x 18 x 10.

0.19 y x 4 x 13. 0.20 y 4 x 8 x 13. 0.21 y 5 x 6 x 2.

0.22 y 2 x 6 x 5. 0.23 y 8 x 12 x 5. 0.24 y 18 x 18 x 5.

0.25 y x 2 x 2. 0.26 y x 2 x 5. 0.27 y 9 x 18 x 10.

0.28 y x 4 x 3. 0.29 y 4 x 12 x 9. 0.30 y x 6 x 13.

0.31 y x 7 x 8. 0.32 y x x 12. 0.33 y x x 20.

0.34 y x 8 x 7. 0.35 y x 9 x 10. 0.36 y x 6 x 27.

0.37 y x 11 x 12. 0.38 y x 2 x 63. 0.39 y x x 20.

48

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0.3.1. :

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0.46 y 7x 7. 0.47 y 5 x. 0.48 y 4x.

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0.55 y 5 x 25. 0.56 y x 9. 0.57 y 3 x 27.

0.5.

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:

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52

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0.70 x y 10 x 24 y 0. 0.71 x y 24 x 24 y 63. 0.72 x y 18 x 18 y 63.

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. 0.7.2

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0.79 50 x 32 y 800. 0.80 64 x 289 y 18 496. 0.81 27 x 75 y 675.

0.82 100 x 36 y 900. 0.83 45 x 125 y 1125. 0.84 32 x 50 y 450.

0.6.

0.6.1. :

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16 (x 5) 25 (y 4) 400.

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25 (x 4) 16 (y 5) 400.

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0.89 25 x 9 y 100 x 108 y 199 0. 0.90 25 x 9 y 100 x 72 y 19 0.

0.91 9 x 25 y 18 x 50 y 191 0. 0.92 9 x 25 y 54 x 100 y 44 0.

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62

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0.97 144 y 25 x 3 600. 0.98 18 y 32 x 288. 0.99 25 y 144 x 3 600. 0.100 64 y 36 x 2 304.

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0.113 16 x 9 y 160 x 72 y 400 0. 0.114 16 x 9 y 96 x 90 y 63 0.

0.115 x y 8 x 8 y 16 0. 0.116 x y 6 x 6 y 25 0.

0.9.

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0.121 x y = 16. 0.122 x y = 25. 0.123 x y = 9. 0.124 x y = 16.

0.125 x y = 100. 0.126 x y = 0.49. 0.127 x y = 0.04. 0.128 x y = 0.25.

0.10.

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fl cos

ravanske krive

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