betonové konstrukce (s)rovnice paraboly a tg úhlů tečen na začátku a konci paraboly . Účinky...
TRANSCRIPT
Betonové konstrukce (S) Přednáška 3
Obsah Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce
Silové působení kabelu na beton
Ekvivalentní zatížení
Staticky neurčité účinky předpětí
Konkordantní kabel, Lineární transformace kabelu
Návrh předpětí metodou vyrovnání zatížení
1
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – Silové působení kabelu na beton
1. Silové působení kabelu na beton
Osamělou silou v místech zakotvení
Silami v místech změny směru kabelu
Obecně - výslednice Rozklad na složky do
vodorovného a svislého směru
2
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – Silové působení kabelu na beton
Parabolický kabel
Přesné řešení - předpínací síla se mění po délce vlivem ztrát
předpětí třením
- radiální síly působí ve směru normály
H = P = konst
V = P∙tg α
α α
Rozklad sil pro přesné řešení Rozklad sil pro zjednodušené řešení H = P∙cos α
V = P∙sin α P
3
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – ekvivalentní zatížení
α
H = P∙cos α
V = P∙sin α P
2. Ekvivalentní zatížení
Přímý kabel
prostý nosník - přesné řešení
Silové působení kabelu: Pouze koncové účinky:
Ohybový moment lze spočítat přímo:
(za předpokladu, že P je kladné číslo)
𝑀𝑃 𝑥 = −𝑃 ∙ 𝑒(𝑥)
Ekvivalentní zatížení
statické schéma: idealizace nosníku pomocí těžišťové osy
tvoří pouze koncové účinky, výsledné síly musí být vztaženy k těžišti !!!
reakce ekvivalentního zatížení jsou nulové
4
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – – ekvivalentní zatížení
Přímý kabel
prostý nosník - přesné řešení konzola - přesné řešení
Protože reakce ekvivalentního zatížení jsou nulové, průběh vnitřních sil nezávisí na
způsobu podepření (platí pouze u staticky určitých konstrukcí).
5
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – – ekvivalentní zatížení
Přímý kabel
prostý nosník - přesné řešení prostý nosník – zjednodušené řešení
H = P = konst
V = P∙tg α
α α
H = P∙cos α
V = P∙sin α P
6
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – – ekvivalentní zatížení
Lomený kabel
prostý nosník - přesné řešení prostý nosník – zjednodušené řešení
7
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – – ekvivalentní zatížení
Parabolický kabel - geometrie
rovnice tečny paraboly, tj.
směrnice tečny = tg (γ):
rovnice paraboly:
𝑡𝑔 𝛾 𝑥 =𝑑𝑒(𝑥)
𝑑𝑥= −
8𝑓
𝐿2𝑥 +
4𝑓
𝐿+𝑒𝑏 − 𝑒𝑎
𝐿
𝑒 𝑥 = −4𝑓
𝐿2𝑥2 +
4𝑓
𝐿𝑥 +
𝑒𝑏 − 𝑒𝑎𝐿
𝑥 + 𝑒𝑎
a odtud sklony tečen na
začátku a na konci
paraboly
𝑡𝑔 𝛼 = 𝑡𝑔 𝛾 𝑥 = 0 =4𝑓
𝐿+𝑒𝑏 − 𝑒𝑎
𝐿
𝑡𝑔 𝛽 = 𝑡𝑔 𝛾 𝑥 = 𝐿 = −8𝑓
𝐿2𝐿 +
4𝑓
𝐿+𝑒𝑏 − 𝑒𝑎
𝐿=
= −4𝑓
𝐿+𝑒𝑏 − 𝑒𝑎
𝐿
Souřadný systém x,y , kde e(x) = y(x)
Parametry paraboly:
• délka L
• vzepětí f v L/2 (s příslušným
znaménkem)
• excentricitou na počátku paraboly
ea a na konci paraboly eb (s
příslušným znaménkem)
8
Předpoklad:
• H = P = konstantní (plochý kabel, vliv
změn předpětí po délce zanedbán)
• P je kladná
Silové působení:
koncové účinky (rozklad na svislou a
vodorovnou sílu):
radiální síly po délce kabelu představují
rovnoměrné spojité zatížení působící na
nosník v úseku paraboly:
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – – ekvivalentní zatížení
Parabolický kabel – účinky předpětí
𝑝 =𝑑2𝑀𝑃 𝑥
𝑑𝑥2= −𝑃
𝑑2𝑒 𝑥
𝑑𝑥2= −𝑃
8𝑓
𝐿2
Ph = P = konst
Pv = P∙tg α
α
𝑀𝑃 𝑥 = −𝑃 ∙ 𝑒(𝑥)
Ohybový moment lze spočítat přímo,
protože platí:
reakce nulové !!!
9
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – – ekvivalentní zatížení
Parabolický kabel – účinky předpětí
𝑝 =𝑑2𝑀𝑃 𝑥
𝑑𝑥2= −𝑃
𝑑2𝑒 𝑥
𝑑𝑥2= −𝑃
8𝑓
𝐿2
P = 1000 kN
10
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce - – ekvivalentní zatížení
Nosníky s proměnným průřezem
11
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky neurčité konstrukce
3. Účinky předpětí na staticky neurčitých konstrukcích
staticky určitá konstrukce
1x staticky neurčitá konstrukce
vazby nebrání deformaci
nevznikají reakce
přidaná vazba (zabránění
pootočení v bodě a) brání
deformaci vznikají
reakce
12
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky neurčité konstrukce
Postup výpočtu – silová metoda (uvolnění pootočení v podpoře a)
1x staticky neurčitá konstrukce
• přidáme tolik stupňů volnosti (tedy
odebereme vazby), kolikrát je konstrukce
staticky neurčitá
• v bodě a odebereme vetknutí a nahradíme
pevnou podporou – odebraná jedna vazba
• každou odebranou vazbu nahradíme
deformační podmínkou
• uvolnili jsme pootočení v uzlu a –
deformační podmínka bude 𝜑𝑎𝑏𝑐𝑒𝑙𝑘 = 0
• v místě každé odebrané vazby přidáme
příslušnou sílu (moment) – neznámou
veličinu
• v našem případě moment v bodě a: 𝑀𝑎𝑠
Poznámka – kolik odebereme vazeb, tolik
vznikne deformačních podmínek a tolik bude
neznámých sil soustava rovnic (silová
metoda)
základní staticky určitá konstrukce
13
𝑀𝑎𝑠
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky neurčité konstrukce
Postup výpočtu – silová metoda
1x staticky neurčitá konstrukce
primární stav – účinky předpětí na základním
staticky určitém nosníku
• 𝜑𝑎𝑏𝑝
primární stočení v uzlu a od předpětí
(pomocí ekvivalentního zatížení od předpětí)
• primární vnitřní síly od předpětí 𝑁𝑝, 𝑉𝑝, 𝑀𝑝
sekundární stav
• 𝜑𝑎𝑏𝑠 sekundární stočení v uzlu a od
momentu 𝑀𝑎𝑠 v bodě a (neznámá veličina)
𝜑𝑎𝑏𝑠 = 𝑀𝑎
𝑠 ∙ 𝛼𝑎𝑏
kde 𝛼𝑎𝑏 je stočení v uzlu a
od jednotkového momentu
působícího v uzlu a
celkové účinky
součet primárních a sekundárních účinků
𝜑𝑎𝑏𝑐𝑒𝑙𝑘 = 𝜑𝑎𝑏
𝑝+𝜑𝑎𝑏
𝑠 = 0
𝜑𝑎𝑏𝑝
+ 𝑀𝑎𝑠 ∙ 𝛼𝑎𝑏 = 0 výpočet 𝑀𝑎
𝑠 a zbylých
reakcí a vnitřních sil 𝑁𝑠 , 𝑉𝑠, 𝑀𝑠
• výpočet celkových účinků 𝑁𝑐 , 𝑉𝑐 , 𝑀𝑐
základní staticky určitá konstrukce
primární stav – primární účinky předpětí
sekundární stav – sekundární účinky předpětí
14
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky neurčité konstrukce
Postup výpočtu – silová metoda (uvolnění svislého podpření v bodě b)
1x staticky neurčitá konstrukce
základní staticky určitá konstrukce
primární stav – primární účinky předpětí
sekundární stav – sekundární účinky předpětí
15
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky neurčité konstrukce
Účinky předpětí
16
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky neurčité konstrukce
Příklad
17
Pootočení od ekvivalentního zatížení v bodě b
Deformační podmínka v bodě b
dopočet reakcí v sekundárním stavu např. z momentové podmínky
z rovnováhy svislých sil
Ekvivalentní zatížení – svislé složky sil
Předpoklad směru působení
momentu
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky neurčité konstrukce
Příklad – dtto jako předchozí ale uvolněná jiná vazba (svislý posun v bodě a)
Vnitřní síly viz předchozí strana 18
s
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky neurčité konstrukce
Spojitý nosník
reakce
19
Nosník ab Nosník bc
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky neurčité konstrukce
Spojitý nosník
20
Ekvivalentní zatížení
Svislé složky sil
Rovnice paraboly a tg úhlů tečen na začátku
a konci paraboly
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky neurčité konstrukce
Spojitý nosník
deformační podmínka
21
Sekundární moment vyšel se záporným znaménkem, tzn. že působí opačným
směrem, než bylo předpokládáno
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky neurčité konstrukce
Příklad
22
Celkové účinky získáme:
• součtem účinků primárních a
sekundárních
• nebo výpočtem účinků od ekvivalentního
zatížení a reakcí sekundárního stavu na
prostých nosnících
• kombinací obou
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce
Staticky neurčité účinky předpětí – ještě jednou
R/2 R/2
sekundární
primární
celkový
celkový
Reakce od
sekundárních
účinků
Reakce od
sekundárních
účinků jsou
nulové
23
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce
4. Tlaková čára
sekundární
celkový
• V průřezu (x) působí celkové účinky
předpětí 𝑀𝑐 a 𝑁𝑐
• Bod, ve kterém působí síla 𝑁𝑐, je
působiště tlakové síly v průřezu
• Spojnice působištˇ tlakové síly v
průřezech po délce nosníků tlaková čára
- poloha tlakové čáry měřená od těžiště
nosníku:
𝑒𝑐 = 𝑀𝑐 𝑁𝑐
- poloha tlakové čáry měřená od těžiště
kabelu
ν = 𝑒𝑐 − 𝑒𝑝 = 𝑀𝑐 𝑁𝑐 −𝑀𝑝 𝑁𝑝 = 𝑀𝑠 𝑁𝑐
pro 𝑁𝑝 = 𝑁𝑐
𝒆𝒄
24
x
Vzdálenost tlakové čáry od polohy kabelu je dána vztahem
Pokud jsou sekundární účinky od předpětí nulové, poloha tlakové čáry se
shoduje s polohou kabelu (𝑒𝑝 = 𝑒𝑐 → ν = 0) a takovému kabelu se říká
konkordantní kabel.
Poznámka: z praktického hlediska to nemá význam, ale je výhodný právě
proto, že jsou sekundární účinky nulové. Polohu takového kabelu lze nalézt,
a pokud se upraví do proveditelného tvaru, lze předpokládat že sekundární
účinky budou malé.
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce
5. Konkordantní kabel
ν = 𝑀𝑝 𝑁𝑐
25
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce
• Mějme momentový obrazec od
vnějšího zatížení na spojitém
nosníku.
• Vydělíme-li průběh momentů
konstantou, dostaneme průběh
tlakové čáry.
• Umístíme-li do této tlakové čáry
kabel, bude konkordantní.
• 𝑀𝑎/𝑘 = 𝑒𝑎 𝑘 = 𝑒𝑎/𝑀𝑎
• 𝑀𝑏/𝑘 = 𝑒𝑏 𝑘 = 𝑒𝑏/𝑀𝑏
• 𝑀𝑐/𝑘 = 𝑒𝑐 𝑘 = 𝑒𝑐/𝑀𝑐
•𝑒𝑎
𝑀𝑎=
𝑒𝑏
𝑀𝑏=
𝑒𝑐
𝑀𝑐= 𝑘
• konstanta 𝑘 odpovídá velikosti
předpínací síly
26
Jak nalézt polohu konkordantního
kabelu?
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce
Lineární transformace kabelu
Předpoklad:
• plochý kabel
• změnou geometrie se
nezmění velikost ztrát
v daném místě
Celkové statické účinky kabelu na nosník se nezmění, pokud se se změnou jeho
geometrie nezmění ekvivalentní zatížení (kromě svislých sil, které se přenášejí
přímo do podpory 𝑉𝑎, 𝑉𝑏, 𝑉𝑐, 𝑉𝑑), tedy:
• zůstanou stejné koncové excentricity kabelu (𝑒𝑎, 𝑒𝑑)
• zůstane stejná křivost kabelu v každém místě (stejné vzepětí parabol v polích
ac a bc)
• zůstanou stejné diskontinuity kabelu (stejná změna úhlu v poli cd)
Poznámka: celkové účinky se nemění, ale změní se primární účinky a tím
pádem i sekundární účinky změní se reakce 27
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce
Návrh předpětí metodou vyrovnání zatížení • vyrovnává se 80 až 100% ztížení
stálých pomocí ekvivalentních zatížení
od parabol v poli
• paraboly nad podporou – radiální síly
jdou přímo do podpory
• V krajním poli max 𝑒𝑝 by měla
odpovídat místu s maximálním
momentem
• momenty od stálých zatížení
(uvažovaného procenta) a předpětí se
odečtou a v průřezu zůstane jen
tlaková rezerva daná velikosti
předpínací síly, která slouží k vykrytí
napětí od ostatního zatížení, tj. zbytku
stálých zatížení a proměnných zatížení
• návrh P:
28
𝑝 = −𝑃8𝑓
𝐿2