bateria ecuaciones
TRANSCRIPT
![Page 1: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/1.jpg)
ECUACIONES DIFERENCIALES
PRACTICA #1
I) Soluciones de ecuaciones diferenciales
1) Demostrar por sustitución directa en la ecuación diferencial, comprobando las constantes arbitrarias, que cada primitiva a lugar a la correspondiente ecuación diferencial.
a) es solución de
Solución:
y=C1 Senx+C2 x
……….. (1)
…………………. (2)
y=C1 Senx+C2 x…………….. (3)
Luego sumamos (1), (2) y (3)
b) y=C1ex+C2 xe
x+C3e−x+2 x2ex es solución de
Solución:
y=C1ex+C2 xe
x+C3e−x+2 x2ex
.......… .. (1)
……………………..… … (2)
… ….. (3)
y=C1ex+C2 xe
x+C3e−x+2 x2ex………………….. (4)
Luego sumamos (1), (2), (3) y (4)
![Page 2: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/2.jpg)
2) Demostrar que y=2x+Cex es la solución de la ecuación diferencial,
y hallar la solución particular para x=0 , y=3 ( esto es la ecuación de la curva integral que pasa por (0,3))
Solución:
y=2x+Cex
…………………….. (1)
……………………..(2)
Luego sumamos (1) y (2)
La ecuación de la curva integral es:
3) Demostrar que y=C1ex+C2 e
2 x+ x es solución de
y hallar la ecuación de la curva integral que pase por los puntos (0,0) y (1,0)
Solución:
y=C1ex+C2 e
2 x+ x
………………….…… (1)
…….………..… (2)
….…………….. (3)
Luego sumamos (1), (2) y (3)
![Page 3: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/3.jpg)
La ecuación de la curva integral es:
4) Demostrar que ( y−C )2=Cx es la primitiva de la ecuación
diferencial y hallar las ecuaciones de las curvas integrales que pasan por el punto (1,2)
5) La primitiva de la ecuación diferencial es y=Cx . Hallar la ecuación de la curva integral que pasa por el punto (1,2)
Solución:
y=Cx
La ecuación de la curva integral es:
6) Comprobar que y, son
primitivas de demostrar también que ambas ecuaciones son, en realidad, una sola.
Solución:
.
…………………….. (1)
………………………(2)
Luego sumamos (1) y (2)
.
………………. (3)
…………………(4)
![Page 4: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/4.jpg)
Luego sumamos (3) y (4)
. Ahora demostraremos que y son, en realidad, una sola.
Como y son constantes, pueden asumir el valor de
7) Demostrar que ln (x2 )+ln ( y
2
x2)=A+x
se puede escribir así
y2=Be x
Solución:
ln (x2 )+ln ( y2
x2)=A+x
ln (x2 .y2
x2)=A+x
ln ( y2)=A+x
eA+x= y2
eA .ex= y2
Como eA
es una constante eA=B
Reemplazamos en eA .ex= y2
⇒ Bex= y2
8) Demostrar que arcSenx−arcSeny=A se puede escribir así
x √1− y2− y √1−x2=B
Solución:
arcSenx−arcSeny=A
Derivamos:
![Page 5: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/5.jpg)
Integramos:
9) Demostrar que ln (1+ y )+ln (1+x )=A se puede escribir como
xy+x+ y=C
Solución:
ln (1+ y )+ln (1+x )=A
ln [ (1+ y )(1+x ) ]=A
ln (1+x+ y+xy )=A
eA=1+x+ y+xy
eA−1=x+ y+ xy
Como eA−1 es constante, entonces puede tomar el valor
eA−1=C
⇒ x+ y+xy=C
10) Demostrar que Senhy+Coshy=Cx se puede escribir como y=ln( x )+A
Solución:
Senhy+Coshy=Cx
Como es constante entonces le damos el valor de
y=ln( x )+A
II) Origen de las ecuaciones diferenciales
1) Se define una curva por la condición que cada uno de sus puntos
su pendiente es igual al doble de la suma de las coordenadas del punto. Exprese la condición mediante una ecuación diferencial.
Solución:
![Page 6: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/6.jpg)
La pendiente es
2) Una curva esta definida por la condición que representa la condición que la suma de los segmentos x e y interceptados por sus tangentes en los ejes coordenados es siempre igual a 2, Exprese la condición por medio de una ecuación diferencial.
3) Cien gramos de azúcar de caña que están en agua se convierten en dextrosa a una velocidad que es proporcional a la cantidad que aun no se ha convertido, Hállese la ecuación diferencial que exprese la velocidad de conversión después de “t” minutos.
Sol:
Sea “q ” la cantidad de gramos convertidos en “t ” minutos, el
numero de gramos aun no convertidos será “(100−q )” y la velocidad de
conversión vendrá dada por
dqdt=K (100−q )
, donde K es la constante
de proporcionalidad.
4) Una partícula de masa “m” se mueve a lo largo de una línea recta (el eje x) estando sujeto a :
i) Una fuerza proporcional a su desplazamiento x desde un punto fijo “0” en su trayectoria y dirigida hacia “0”.
ii) Una fuerza resistente proporcional a su velocidad
Expresar la fuerza total como una ecuación diferencial
5) Demostrar que en cada uno de las ecuaciones
a) y=x2+A+B
b) y=Aex+B
c) y=A+ln(Bx ) Solamente es esencial una de las dos constantes arbitrarias.
![Page 7: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/7.jpg)
6) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva
y=Ax2+Bx+C
Solución:
y=Ax2+Bx+C
7) Obténgase la ecuación diferencial asociada con la primitiva
x2 y3+x3 y5=C
8) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva
Siendo A y B constantes arbitrarias y “a ” es una constante fija
Solución:
………………..(1)
….................….. (2)
Luego sumamos (1) y (2)
9) Obténgase la ecuación diferencial asociada con la primitiva
y=Ae2 x+Bex+C
Solución:
y=Ae2 x+Bex+C………………………….. (1)
Multiplicamos con la ecuación (1)
Derivamos respecto a
………………………….. (2)
Multiplicamos con la ecuación (2)
Derivamos respecto a
………….. (3)
Multiplicamos con la ecuación (3)
![Page 8: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/8.jpg)
Derivamos
10) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva y=C1e
3 x+C2e2 x+C3e
x
Solución:
11) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva
y=Cx2+C2
Solución:
y=Cx2+C2
12) Halle la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio fijo “r” cuyos centros están en el eje x.
Solución:
![Page 9: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/9.jpg)
13) Hallar la ecuación diferencial de la familia de parábolas cuyos focos están en el origen y cuyos ejes están sobre el eje x.
Solución:
Derivamos:
![Page 10: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/10.jpg)
PRACTICA # 2
SEPARACION DE VARIABLES:RESOLVER LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.
1.- X3dx+¿
∫ X3dx+¿∫¿¿¿ x
4
4+¿¿
2 .- X2 ( y+1 )dx+ y2(x+1)dy=0
x2( y+1)dx( y+1 )(x−1)
+y2(x−1)dy( y+1 )(x−1)
=0
∫ x2dx(x−1)
+¿∫ y2dy( y+1)
=∫0¿
∫ (x+1)(x−1)dx( x−1)
+¿∫ dx(x−1)
+∫ ( y−1)( y−1)dy( y+1)
+∫ dy( y−1)
=¿c ¿¿
x2
2+x+ ln|x+1|+ y
2
2− y+ ln|y+1|=c
3 .- 4 xdy− ydx=x2dy
(4 x−x2)dy− ydx=0x(4−x)dyx (4−x) y
− ydxx (4−x) y
=0
dyy− dxx (4−x)
=0=dyy+ dx
x2+4 x+4−4
∫ dyy +∫dx
x2+4 x+4−4=∫ 0
lny+ tan−1 ¿¿
4.- X (Y−3 )dy
yx=4 ydx
yx(Y−3 )dy
y=4 dx
x
∫ (Y−3 )dyy
=∫ 4 dxx
y−3 lny=4 lnx+cy−c=ln y3+ln x4=ln y3 x4
ke y= y3 x4
5.- ( y2+x y2)dy+( x2+x2 y )dx=0
y2 (1+x )dy(1+ x )(1− y )
+x2 (1− y )dx(1+ x )(1− y )
=0
∫ y2 (1+x )dy(1+x )(1− y )
+∫ x2 (1− y )dx(1+x )(1− y )
=∫ 0
∫ y2dy(1− y )
+∫ x2dx(1+x )
=∫0
−∫ ( y+1 )( y−1)dy( y−1)
−∫ dy( y−1)
+∫ ( x+1 )(x−1)dy(x+1)
+∫ dx(x+1)
=c
−∫ ( y+1 )dy−ln|y−1|+ x2
2−x+ ln|x+1|=c
− y2
2− y−ln|y−1|+ x
2
2−x+ln|x+1|=c
![Page 11: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/11.jpg)
x2− y2
2− ( y+x )+ ln| x+1
y−1|=cln| x+1y−1|= ( y+ x )−( x2− y2
2 )+c2 ln| x+1
y−1|=2 ( y+x )−(( y+x) ( x− y ) )+c
2 ln| x+1y−1|=( y+x ) (2−x+ y )+c
6.- x √1+ y2+ y √1+x2 dydx=0
x √1+ y2+ y √1+x2 dydx=0
x √1+ y2dx
√1+ y2√1+ x2+ y √1+ x2dy
√1+ y2√1+x2=0
∫ xdx
√1+ x2+∫ ydy
√1+ y2=∫0
(1+x2)12+(1+ y2)
12=c
7.- (1+x3)dy(1+x3) y
− x2 ydx(1+x3) y
=0
∫ (1+x3)dy
(1+ x3) y−∫ x2 ydx
(1+ x3) y=∫ 0
∫ dyy−∫ x2dx
(1+x3)=∫0
ln|y|+ 13
ln|1+x3|=c
ln| y
1+x3|=c para x=1 y=2
| y
1+x3|=ec=k= y
(1+ x3)13
k= 2
(1+13)13
=3√4 entonces
| y
1+x3|=k= 3√4
8.- e xsec ydxsec y (1+e x)
+(1+e¿¿ x )sec y tan ydy
sec y (1+e x)=0¿
∫ ex dx(1+e¿¿ x )
+∫ tan ydy=∫ 0¿
ln|1+ex|−ln|cosy|=c
ln|1+excosy|=c ec=1+ex
cosy=k para x=3 y=600
1+e3
cos600=k=2 (1+e3 )2 (1+e3 )=1+e x
cosy
9.- ylnydxyxlny
+ xdyyxlny
=0
∫ dxx +∫dyylny
=∫ 0
ln|x|+ ln|lny|=cln|xlny|=c xlny=ec=k para x=1 y=1entoncesln|xlny|=0
10.- dp=ptgθdθ
![Page 12: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/12.jpg)
dpp= ptgθdθ
p
∫ dpp =∫ptgθdθp
ln|p|+ ln|cosθ|=c
ln|p||cosθ|=c|p||cosθ|=k para p=1θ=0→k=1 ln|pcosθ|=0
II) REDUCCION A VARIABLE SEPARABLE
1.- ( x+ y )dx+ (3x+3 y−4 )dy=0
( x+ y )dx+ (3(x+ y )−4 )dy=0entonces x+ y= z
x+ y=z→dydx=dzdx−1
zdx+(3 z−4 )dy=0=zdx+(3 z−4 )( dzdx−1)=0
zdx+(3 z−4 )( dzdx−1)=0
z+(3 z−4 )( dz−dxdx
)=0
zdz+(3 z−4 )dz−(3 z−4)dx=0zdz+(z−3 z+4)dx=0(3 z−4 )dz(4−2 z )
+(4−2 z )dx(4−2 z)
=0
(3 z−4 )(4−2 z )
+ 32−3
2¿dz+dx=0
∫ 2dz(4−2 z )
−∫ 3dz2+∫ dx=∫0
−ln|2 z−4|−3 z2+ x=c
x−ln|2 z−4|−3 z2=c
2.-(x+ y )2 y ´=a2
(x+ y )2 dydx=a2 x+ y=z→ dy
dx=dzdx−1
( z )2( dzdx−1)=a2
( z )2(dz−dx)=a2dx( z )2dz−( z )2dx=a2dx
∫ z2dza2+z2−∫
(a¿¿2+z2)dxa2+z2 =∫ 0¿
∫( z2
a2+z2−1+1)dz−∫dx=c∫ −a2
a2+z2 dz−∫ dz+x=c
−a2 1a
tan−1 za+ z=x+c
−a tan−1 (x+ y)a
+x+ y=x+c
y−a tan−1 (x+ y )a
=c
![Page 13: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/13.jpg)
3.- y ´=cos2(ax+bx+c)hacemosax+bx+c=z
a+b dydx= dzdx→dydx= dzbdx
−ab
dzbdx−ab=cos2 z
dzdx−a=bcos2 z
dz−adx=bcos2 zdxdz
a+bcos2 z=(a+bcos2 z )(a+bcos2 z )
dx
∫ dz
a+bcos2 z=∫ dx
∫ dz
a (cos2 z+sen2 z )+bcos2 z=x+c
∫ dz
(a+b)cos2 z+asen2 z=x+c
∫1
cos2 zdz
(a+b)+a tan2 z=x+c
∫ sec2 zdz(a+b)+a tan2 z
=x+c=∫ sec2 zdz
√a+b2+√a2
tan2 z1
√a(a+b)tan−1( √a tanz
√(a+b)¿)=x+c ¿
4.- y ´+1=(x+ y )m
( x+ y )n+(x+ y )p
x+ y=z→ dydx=dzdx−1
dydx+1= zm
zn+z p
dzdx−1+1= zm
zn+z p
(z¿¿n+z p)dz=zmdx ¿(z¿¿n+z p)dz
zm= z
mdxzm
¿
(z¿¿n−m+z p−m)dz=dx ¿(z¿¿n−m+z p−m)dz=dx ¿∫ zn−mdz+∫ z p−mdz=∫dxzn−m+1
n−m+1+ z p−m+1
p−m+1=x+c
( p−m+1 ) zn−m+1+(n−m+1 ) z p−m+1=(x+c) (p−m+1 ) (n−m+1 )
5.- x y2 ( xy ´+ y )=a2
xy=z→ y=zx→dydx=xdzdx−z
x2 =dzxdx−z
x2
x2 y2
x ( x( dzxdx− zx2 )+ zx )=a2
z2
x (( dzdx− zx )+ zx )=a2
∫ z2dz=∫a2 xdx
z3
3=a
2 x2
2+c
![Page 14: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/14.jpg)
z3
3−a
2 x2
2=c
6.- (lnx+x3 )dx−3 x y2dy=0
(lnx+x3 )=z→ dzdx=1x+3 y2 dy
dx→3 y2 dy
dx= dzdx−1x
z−3 x y2 dydx=z−x ( dzdx− 1
x )=0
z− xdzdx+1=0
z dx−xdz+dx=0(z+1)dxx (z+1)
− xdzx (z+1)
=0
∫ dxx −∫dzz+1
=∫0
ln|x|−ln|z+1|=c=lnxz+1
=lnk
xz+1
=k→ x=( z+1 ) k
x=(lnx+ x3+1 )k
7.- y ´=tan ( x+ y )−1
x+ y=z→dydx=dzdx−1
dydx=tan ( z )−1
dzdx−1=tan (z )−1
dz=tan ( z )dxdz
tan ( z )=
tan ( z )dx( tanz )
∫ dz( tanz )
=∫dx=∫ ctanz=¿ x+c¿ln|senz|=x+c
8.- (6 x+4 y+3 )dx+ (3x+2 y+2 )dy=0
(2(3 x+2 y)+3 )dx+(3 x+2 y+2 )dy=0(2(3 x+2 y+2−2)+3 )dx+(3 x+2 y+2 )dy=0
3 x+2 y+2=z→3+2dydx= dzdx→dydx= dz
2dx−3
2(2 z−1 )dx+ zdy=0
(2 z−1 )+z ( dz2dx
−32)=0
(2 z−1 )dx+ z dz2−z 3dx
2=0
(2 z−1−z 32 )dx+ z dz2 =0=( z2−1)dx+z dz2
( z−22 ) 1
z−2dx+z dz
2(z−2)=0
∫ dx2 +12¿
∫ dx2 +12 (∫( 2
z−2 )dz+∫ dz)=∫ 0
x2+ln|z−2|+1
2z=c
3 x+2 y+2=zx2+ln|3 x+2 y|+1
2(3x+2 y+2 )=c
9.- cos (x+ y )=xsen ( x+ y )dx+xsen (x+ y )dy
![Page 15: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/15.jpg)
x+ y=z→ dydx=dzdx−1
cos (z )= xsen ( z )dx+xsen ( z )dy
cos (z )dx=xsen (z )+xsen ( z ) dydx
cos (z )dx=xsen (z )+xsen ( z )( dzdx−1)
cos (z )dx=xsen (z )−xsen ( z )+ xsen ( z )dzdx
cos (z )dx= xsen ( z )dzdx
∫ dxx =∫ tanz dz=ln|x|+ln|cosz|+c
ln|x|−ln|cosz|=lnkln
xcosz
=lnk
x=k (cosz)
10.- y ( xy+1 )dx+x (1+xy+x2 y2 )dy=0
xy=z→ y=zx→dydx=xdzdx−z
x2 =dzxdx−z
x2
zx( z+1 )dx+x (1+ z+z2 )dy=0
zx( z+1 )dx+x (1+ z+z2 )( dz
xdx− z
x2)=0
zx( z+1 )dx+(1+z+z2 )( dz
dx)−(1+z+z2 ) z
x¿=0
zx( z+1−1−z−z2 )+(1+z+z2 )( dz
dx)=0
−z3
x+(1+z+z2 )( dz
dx)=0
∫−z3
x z3 +∫(1+z+z2)dz
z3 =0
−ln|x|+∫ z−3dz+¿∫ z−2dz+∫ dzz =c ¿
−ln|x|+ z−3+1
−2+ z
−2+1
−1+ ln|z|=c
ln|zx|− 1
2 z2−1z=c pero xy=z
ln|xyx |− 1
2(xy )2− 1xy=c
ln|y|− 1
2(xy)2− 1xy=c
11.- ( y+x y2 )dx−(x+x2 y )dy=0
xy=z→ y=zx→dydx=xdzdx−z
x2 =dzxdx−z
x2
( zx− z2
x )dx−( x+ x2 zx )dy=0
( zx− z2
x ) dxdx−( x+xz ) dydx=0
( zx− z2
x )−( x+xz )( dzxdx− zx2 )=0
( zx− z2
x )−( x+xz ) dzxdx+ ( x+xz ) z
x2=0
zx− z
2
x− dzdx− zdzdx+ zx+ z
2
x=0
![Page 16: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/16.jpg)
2 zx−dzdx− zdzdx=0
2 zdxx−dy−zdz=0
∫ 2dxx−∫ dzz −∫ dz=∫ 0
2 ln|x|−ln|z|−z=c2 ln|x|−ln|xy|−xy=c
12.- (1−xy+x2 y2 )dx+ (x3 y−x2 )dy=0
xy=z→ y=zx→dydx=xdzdx−z
x2 =dzxdx−z
x2
(1−z+z2 )dx+(x3 zx−x2)dy=0
(1−z+z2 )dx+(x2 z−x2 )dy=0
(1−z+z2 )+(x2 z−x2) dydx=0
(1−z+z2 )+(x2 z−x2) ( dzxdx− z
x2)=0
(1−z+z2 )+(z−1)( x dzdx−z)=0
(1−z+z2 )+( z−1 )( dzdx )−z2+z=0
1+zx dzdx−x dz
dx=0
dx+zxdz−xdz=0=dxx+x (z−1)dz
x
∫ dxx +∫ zdz−∫dz=∫ 0
ln|x|+ z2
2−z=c
ln|x|+(xy )2
2−xy=c
13.- cosy ´=0cosy ´=0
y ´=cos−1 00=π2(2k+1 )donde kϵZ
dydx=π
2(2k+1 )
∫ dy=∫ π2 (2k+1 )dx
y= π2(2k+1 ) x+c
14.- e y ´=1
lne y ´=ln1
y ´=0dydx=0dy=0∫ dy=∫0
y=c
15.- lny ´=x
ex= y ´ dydx=ex dy=e xdx
∫ dy=∫ex dx y=ex+c
16.- x2 y ´ cosy+1=0
x2 dydxcosy+1=0
x2 cosydy+1dx=0
![Page 17: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/17.jpg)
∫ x2cosydyx2 +∫ dx
x2=∫0
∫ cosydy+∫ dxx2=∫ 0
seny+ x−2+1
−1=c
seny−1x=c para y=16 π
3x→∝
sen( 16 π3 )− 1
∝=c=−
3√32
−3√32=seny−1
x
17.- tany ´=xy ´=tan−1 xdydx=tan−1 x
dy=tan−1 x dx
∫ dy=∫ tan−1 x dx
y=x tan−1 x−12
ln|x2+1|+c
y=x tan−1 x−12
ln|x2+1|+c
PRACTICA # 3
I.- Funciones Homogéneas
Determinar cuáles de las siguientes funciones son homogéneas:
1) f(x,y) = x2y – 4y3
f(x, y) = (x)2 (y) - 4(y)3
= 3 (x2y - 4y3)
f es homogénea de grado n=3
2) f(x,y) = y2Tg(x/y)
f(1x, 1y) = (1y)2 Tg( xxxy )=12 y2 Tg( xy )
Es homogénea de grado n=2
3) f(x,y) = 3√ x3− y3
f(x, y) = 3√( λx )3−( λy )3
= λ3√x3− y3
f es homogénea de grado n=1
4) f(x,y) =
x2− y2
xy
f (1x ,1 y )=(1x )2−(1 y )2
(1 x )(1 y )=10 ( x2− y2
xy ) Es homogénea de grado n=0
![Page 18: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/18.jpg)
5) f(x,y) = x2 + Senx.Cosy
f no es homogénea.
6) f(x,y) = ex
f (1x ,1 y )=e1 x
No es homogénea.
7) f(x,y) = ex/y
f(x, y) = ex/y = y0 ex/y
f es homogénea de grado n=1
8) f(x,y) = (x2+y2)3/2
f(1x, 1y) = (1x)2 + (1y)23/2 = 13 (x2 + y2)3/2
Es homogénea de grado n=3
9) f(x,y)=x-5y+6
f no es homogénea.10) f(x,y) = xSen( yx )− ySen( xy )
f (1x ,1 y )=1xSen (1 y1 x )−1 ySen(1 x1 y )=1( xSen ( yx )− ySen (xy ) ) Es homogénea de grado n=1
III.- Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
1) (x3+y3)dx – 3xy2 dy = 0
y = x dy = xdy + udx
(x3+ux3)dx – 3x3u2(x du + udx) = 0
x3(u+1)dx – 3x4u2du – 3x3u3dx = 0
x3(u+1-3u3)dx - 3x4 u2 du = 0
∫ dxx−3∫ u
2
(1+u−3u3 )du=C
∴ C=Lnx+12(1−2 y3
x3)
2) xdy− ydx−√ x2− y2 dx=0
( y+√ x2+ y2 )dx−xdy=0 . ..( a)Sea : y=vxdy=vdx+ xdv
En (a):
![Page 19: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/19.jpg)
(vx+√ x2−(vx )2 )dx−x ( vdx+ xdv )=0√1−v 2dx=xdv
∫ dxx=∫dv√1−v2
+LnC
Lnx=ArcSenv+ LnC
Ln( xC )=ArcSenv∴ x=CeArcSen( y / x )
3) (2x6Senh y/x+3yCosh y/x)dx – 3x. Cosh y/x = 0
y = ux dy = xdu + udx
(2x.Senhu + 3y Coshu)dx – 3x2. Coshu(xdu+udx)
2x.Senhudx – 3x2.Coshudu = 0
23 ∫
dxx−∫Ctghu du=C
∴ 23Lnx−Ln(Senh y /x )=C
4) (2x+3y)dx+(y-x)dy=0
y=vx
dy=vdx+xdv
(2x+3(vx)dx + (vx-x)(vdx+xdv)
(v2+2v+2)dx + x(v-1)dv = 0
∫ dxx=∫ (v−1)dv
(v2+2 x+2)+LnC
Lnx+ 12Ln (v2+2 v+2=−2 ArcTg ( v+1)=LnC
Ln(x √v2+2 v+2C )=2 Arc Tg ( v+1)
∴ 2x2+2xy+ y2= C2e4 Arc Tg( x+4 )x )
5) (1+2ex/y)dx + 2ex/y(1-
xy)dy=0 …(1)
x=Ly⇒ y .dudy+U=dx
dy
De (1):
dxdy=
2eu(−1+u )(1+2eu )
= y dudy+U
∫ dyy=∫(1+2eu)
(2eu+U )dU
− [ x / y−Ln(1+2ex / y )+Ln(2ex / y )]=C
6) (x2+3xy+y2) dx – x2dy = 0
y = vx
dx = vdx + xdv
(x2+3x(vx) + v2x2)dx – x2(vdx+xdv) = 0
![Page 20: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/20.jpg)
(v2 + 2x + 1)dx = xdv
∫ dxx =∫ dv(v2+2v+1)
+LnC
Lnx+1( v+1)
=LnC
Ln( xC )+xx+ y =0
x=Ce− xx+ y
7) ( y+√ y2− x2 dx−xdy=0
y = ux dy = x.du+udx
(ux+x √u2−1)dx−(xdu+udx )=0
∫ dxx−∫ du√u2−1
=C
∴ Lnx−Ln( x / y+√( xy )2−1 )=C
8) (x-yLny+yLnx)dx + x(Lny-Lnx)dy = 0y = vxdy = vdx + xdv(x-(vx)Lnv) dx + xLnv(vdx + xdv) = 0dx + x Lnv dv = 0
∫ dxx +∫ Lnvdv=LnC
Lnx + v(Lnv-1) = LnC
Ln(xc )=v−v Lnvx=ce
yx . ( yx )
−(yx )
9) (x-yarctg
yx)dx+x .arctg
yxdy=0
y=u.x dy = xdu +udx
(x-u.x.arctgu) dx + x.arctgu (xdu+udx) = 0
∫ dxx +∫arctgu .du=C
∴ Lnx+ yx
.arctgyx−1
2Ln (1+( yx )
2
)=C
IV.- Ecuaciones Diferenciales Reductibles a Homogéneas
1) (2x-5y+3)dx – (2x+4y-6)dy = 0
![Page 21: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/21.jpg)
2x-5y+3 = 0 y=1 ,P(h
1, k1)
-2x-4y-6=0 x=1
x=z+h , y=w+K
x=z+1 , y=w+1
2(z+1)-5(w+1)+3dz - 2(z+1)-4(w+1)-6dw = 0
* Homogénea: (2z+5w)dz – (2x+4w)dw = 0
z=u .w ⇒ ∫ dww+ ∫(2u−5 )
(2u2−7u−4 )du+=C
∴ LnW +12Ln[2(x−1
y−1 )−7(x−1y−1 )−4]+4
5Ln[2(x−1
y−1 )−4 ]=C
2) (x-y-1)dx + (4y+x-1)dy = 0 … (m)
Sea: x=x0+h ; y = y0+k ; h=1 ; k=0
En (m):
(x0 - y0)dx0 + (x0+4y0)dy0 = 0
Sea: y0=vx0 dy = vdx0 + x0dv
(x0 – vx0) dx0 + (x0 + 4vx0)(vdx0 + x0dv) = 0
(1-4v2)dx0 + x0(1+4v)dv
∫dx0x0
+∫(1+4 v )(1−4v2 )
dv=Lnc
Lnx0+14Ln(1+2v
1−2 v )−12Ln(1−4 v2 )=LnC
x0=C (1−2( y 0
x0) )
x=C(1−2( yx−1 ) )+1
3) (x-4y-9)dx + (4x+y-2)dy = 0
x = x0 + h , y = yo+K
h – 4K = 9 h = 1 ; h = -2
4h + K = 2
(x0+1-4(y0-2)-9)dx + (4(x0+1)+(y0-2)-2)dy = 0
(x0 – 4y0)dx + (4x0+y0) dy = 0
y0 = v.x0 dy0 = vdx0 + x0.dv
(x0 - 4v.x0)dx + (4x0 + vx0) (vdx0 + x0dv) = 0
∫dx0x0
+∫ ( v+4 )v2+1
=C
Lnx0 +
12 Ln.(v2+1) + 4Arc(Tgv) = 0
![Page 22: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/22.jpg)
∴ √( x−)2+( y+2 )2 = K e4¿
4) (x-y-1)dy-(x+3y-5)dx=0
(x+3y-5)dx – (x-y-1)dy=0
x=x0+2; y=y0+1
(x0 + 3y0)dx0 – (x0 – y0)dy0 = 0
y0 = vx0 dy0 = vdx0 + x0dv
(x0 + 3vy0)dx0 – (x0 – vx0)(vdx0 + x0dv) = 0
(3v-v2)dx0 + x0(v-1)dv = 0
∫dx0x0
−∫( v−1)dvv2−3v
=LnC
Ln x0−12Ln(v2−3v )−1
6Ln(v−3
3 )=LnCx0=C (v
3−bv 2+9v )1/3
x−2=Cx−2
[9 (x−2)2( y−1)−6( x−2 )( y−1)2+( y−1 )3]1/3
5) (4xy2)dx + (3x2y-1)dy = 0
y=zx dy = x(zx-1)dz
4xz2 dx + (3x2 z – 2) (.z-1) dz = 0
2-1 = -1 = -2
y = z-2 dy -2z-3 dz
4xz-4 dx + (3x2 – z -2) (-2z-3)dz = 0
4xz- dx - 2(3x2 – z2) dz = 0 homogénea
Z = ux dz = x.du + udx
4x-2 udx - (6x2 – z2) (x.du + udx) = 0
∫(2u2−6 )du
(2u3−2u )+ ∫dx
x=0
∴ Ln+12Ln((1√ yx −1) )−3 Ln(√1
√ yx−1
1
√ yx)
6) yCosxdx + (2y-Senx)dy = 0
Sen-x=z Cosx.dx = dz
ydz +(2y-z)dy = 0 homogénea
z=u.y dz = y.du + u.dy
y(ydu + udy) + (2y-uy)dy = 0
∫ du+2∫ dyy = C
∴ Senxy
+2 Lny = C
![Page 23: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/23.jpg)
7) (2x2+3y2-7)xdx – (3x2+2y2-8)ydy = 0
Sea: x2 = m ; y2 = n
2xdx = dm ; 2ydy = dn
(2m+3n-7)dm – (3m+2n-8)dn = 0
m=m0+2 ; n=n0+1
(2m0 + 3vn0)dm0 – (3m0 + 2vm0) (vdm0+m0dv) = 0
2(1-v2)dm0 – (2v+3)m0dv = 0
2∫dm0m0
+∫ (2v+3)v2+1
dv=LnC
2Lnm0+ Ln2( v2−1)+32Ln(v−1
v+1 )=LnC(n0−m0 )
2
n0+m0
=C2=K
∴ y2−x2+1
y2+x2+3=K
8) Tg2(x+y)dx – dy = 0
z=x+y dz = dx + dy = 0
Tg2z dx – (dz-dx) = 0
∫ dx−∫Cos2 zdz=Cx−z
2−1
4Sen2 z=C
4x-2(x+y)-Sen2(x+y) =4X=K
PRACTICA # 4
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
1) (4x3y3-2xy)dx + (3x4y2 – x2)dy
M N∂ μ∂ y=12 x3 y2 =
∂ N∂ x
=12 x3 y2−2 y
∂ f ( x , y )∂ x
=M
f ( x , y )=∫(4 x2 y2−2 xy )dx+g( y )¿ x4 y3−xy+g( y )= x4y3 - xy + g(y)
N=∂ f ( x , y )∂ y
=3 y2 x4−x2+g ' ( y )=3 x4 y2−x2
g '( y )=0 ⇒ g( y )=C
∴ f ( x , g )=x4 y3−xy+C
![Page 24: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/24.jpg)
2) (3xc3xy - 2x)dx + e3x dy = 0
M N
∂ μ∂ y=3e3 x=
∂N∂ x
=3ex 3
∂ f ( x , y )∂ x
=M
f ( x , y )=∫(3 x3 x y2−2x )dx+g( y )¿e3 x−x2+g( y )
N=∂ f ( x , y )∂ y
=e3 x+g '( g)=C
∴ f ( x , y )=e3x y−x2+C
3) (Cosy+yCosx) dx + (Senx-xSeny) dy=C
M N
∂ μ∂ y=−Seny+Cosx=
∂N∂ x
=Cosx−Seny
∂ f ( x , y )∂ x
=M
f ( x , y )=∫(Cosy+ yCosx )dx+g( y )¿ xCosy+ ySenx+g( y )
N=∂ f ( x , y )∂ y
=−xSeny+Senx+g '( y )=Senx−xSeny
g '( y )=0⇒ g( y )=C∴ f ( x , y )=xCosy+ ySenx+C
4) (2xyex2 - 2x) dx + ex2dy=0
M N∂M∂ y
=2 xex 2+Cosx=∂ N∂ x
=2xex 2
∂ f ( x , y )∂ x
=M
f ( x , y )=∫(2 xyex 2−2 x )dx+g( y )¿ yex 2−x2+g( y )
N=∂ f ( x , y )∂ y
=−ex 2+g '( y )=ex 2
g '( y )=0⇒ g( y )=C
∴ f ( x , y )= y ex 2−x2+C
5) (6x5y3+yx3y5) dx + (3x6y2 + 5x4y4) dy=0
M N
![Page 25: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/25.jpg)
∂ μ∂ y=18 x5 y2+20 x3 y4=
∂N∂ x
=18x5 y2+20 x3 y4
∂ f ( x , y )∂ x
=M
f ( x , y )=∫(6 x5 y3+4 x3 y5 )dx+g( y )¿ x6 y3+ x4 y5+g( y )
N=∂ f ( x , y )∂ y
=3 x6 y2+5 y4 x4+g '( y )=3 x6 y2+5x 4 y4
g '( y )=0⇒ g( y )=C
∴ f ( x , y )=x6 y3+ y4 y5+C
6) (2x3+3y)dx + (3x+y-1)dy = 0
M N
dMdy
=3=dNdx=3
df ( x , y )dx
=M
f ( x , y )=∫(2 x3+3 y )+g( y )
¿ x4
2+3 xy+g(g)
N=∂ f ( x , y )∂ y
=3 x+g '( y )=3 x+ y−1
g '( y )= y−1⇒ g( y )=y2
y− y=C
∴ f ( x , y )=x4
2+3 xy+ y
2
2
− y+C
7) (y2exy2+4x3)dx + (2xyexy2 – 3y2) dy = 0
M N
dMdy
=2 yex y2+2 xy3 exy2
dNdk=2 yex y2+2xy 3exy 2
df ( x , y )dk
=M
f ( x , y )=∫( y2e xy3+4 x3)dx+g( y )
df ( x , y )dx
=M
N=∂ f ( x , y )∂ y
=2xye xy 2+g '( y )=2 xyexy 2−3 y2
g '( y )=−3 y2⇒ g( y )=− y3+C
∴ f ( x , y )=exy2+x4− y3+C8) (2xy2 + 2y)dx + (2x2y+ 2x) dy = 0
M N
![Page 26: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/26.jpg)
∂M∂ y
=4 xy+2=∂N∂ y
=4 xy+2
∂ f ( x , y )∂ k
=M
f ( x , y )=∫(2 xy2+2 y )dx+g( y )= x2y2 + 2xy + g(y)
N=∂ f ( x , y )∂ y
=2 yx+2x+g '( y )=2x2 y+2K
g '( y )=0⇒ g( y )=C
∴ f ( x , y )=x2 y2+2 xy+C
9) (exSeny + 2ySenx) dx + (exCosy+ 2Cosx) dy = 0
M N
∂M∂ y
=exCosy−2 Senx=∂N∂ y
=e xCosy−2Senx
∂ f ( x , y )∂ x
=M
f ( x , y )=∫(e xSeny−2 ySenx )dx+g( y )= exSeny + 2yCosx + g(y)
N=∂ f ( x , y )∂ y
=exCosy+2Cosx+g '( y )=exCosy+2Cosx
g '( y )=0⇒ g( y )=C
∴ f ( x , y )=ex Seny+2 yCosx+C
9) (2xy3 + yCosx) dx + (3x2y2+ Senx) dy = 0
M N
∂M∂ y
=6 xy2+Cosx=∂ N∂ y
=6 xy 2∗Cosx
∂ f ( x , y )∂ x
=M
f ( x , y )=∫(2 xy3 yCosx )dx+g( y )= x2y3+ySenx + g(y)
N=∂ f ( x , y )∂ y
=3 x2 y2+Senx+g '( y )=3 xx y2+2Cosx
g '( y )=0⇒ g( y )=C
∴ f ( x , y )=ex Seny+2 yCosx+C
10) (2xy3 + yCosx) dx + (exCosy+ 2Cosx) dy = 0
M N
![Page 27: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/27.jpg)
∂M∂ y
=exCosy−2 Senx=∂N∂ y
=e xCosy−2Senx
∂ f ( x , y )∂ x
=M
f ( x , y )=∫(2 xy3+ yCosx )dx+g( y )= e2y3 + ySenx + g(y)
N=∂ f ( x , y )∂ y
=3 x2 y2+Seny+g '( y )=3 x2 y2+Senx
g '( y )=0⇒ g( y )=C
∴ f ( x , y )=x2 y3+ ySenx+C
11) (Seny+ySenx+
1x x) dx + (xCosy. Cosx+
1y ) dy
M N
∂M∂ y
=Cosy+Senx
∂N∂ x
=Cosy+Senx
∂ f ( x , y )∂ x
=M
f ( x , y )=∫( Seny+ ySenx+ 1x) dx+g( y )
= xSeny + yCosx + Lnx + g(y)
N=∂ f ( x , y )∂ y
=xCosy−Cosx+g' ( y )=xCosy−Cosx+1y
g '( y )=1y⇒ g( y )=Lny+C
∴ f ( x , y )=xSeny− yCosx+Lnx+Lny+C
12)( y
1+x2+Arctgy )dx+( x
1+ y2+Arctgy )dy=0
M N
∂M∂ y
=1
1+x2+
1
1+ y2=∂ N∂ x
=1
1+ y2
∂ f ( x , y )∂ x
=M
f ( x , y )=∫( y
1+ x2+arctgy )dx+g( y )
= yarctgx + (arctgy) (x) + g(y)
N=∂ f ( x , y )∂ y
=Arctgx+x1+ y 2
+g '( y )=x1+ y2
+arctgx
x1+ y2
+arctgx
g '( y )=0 ⇒ g( y )=C∴ f ( x , y )= yarctgx+arctgy+C
![Page 28: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/28.jpg)
FACTORES INTEGRANTES
1) (x2 + y2+x) dx + xy dy = 0
M N
∂M∂ y
=2 y≠∂ N∂ x
= y
2 x− yxy
=1x=f (x )
e∫ f (x )= e∫ dxx =x
Luego: x(x2+y2+x) dx + x2 ydy=0
M N∂M∂ y
=2 xy=∂N∂ x
=2 xy
∂ f ( x , y )∂ y
=M
f ( x , y )=∫( x3+xy 2+x2 )dx+g( y )
¿ x4
4+x
2 y2
2+x
3
3+g( y )
N=∂ f ( x , y )∂ y
=x2 y+g '( y )=x2
g '( y )=0⇒ g( y )=C
∴ f ( x , y )=x4
4+x
2 y2
2+x
3
3+C
2) (1 - x2y) dx + x2 (y-x) dy = 0
M N
∂M∂ y
=2 y≠∂ N∂ x
= y
2 x− yxy
=1x=f (x )
e∫ f (x )= e∫ dxx = 1
x2
Luego:
1
x2(1−x2 y )dx+ 1
x2( x2 y−x3 )dy=0
M N
∂M∂ y
=−1=∂ N∂ x
=−1
∂ f ( x , y )∂ y
=M
![Page 29: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/29.jpg)
f ( x , y )=∫(1x2
3
− y )dx+g( y )
¿−1x−xy+g( y )
N=∂ f ( x , y )∂ y
=−x+g '( y )= y−x
g '( y )= y⇒ g( y )=y2
2=C
∴ f ( x , y )=−1x−xy+ y
2
2+C
3) (2xy4e4+2xy3+y) dx + (xy4e4-x2y2-3x) dy = 0
M N
∂M∂ y
=8 y3 xe4+2 xy 4e4+6 y2+1
∂M∂ y
=2 xy 4ex−2 xy2−3
(8 y3 xe4+2xy 4 ey+6 y2+1−2xy 4ex+2xy 2+3)(2 xy4 e4+2 xy 3+ y )
=−4y=g( y )
e∫ g(x )= e−∫ 4 dy
y = 1y4
Luego: 1
y4(2 xy4 y4 e4+2 xy 3+ y )dx+ 1
y4( x2 y4e4−x2 y2−3 y ) dy=0
M N
∂M∂ y
=2 xe y−2 xy−2−3 y−4=∂N∂ x
=2 xe y−2xy−2−3 y−4
∂ f ( x , y )∂ y
=M
f ( x , y )=∫(2 xe y+2 xy+
1
y3)dx+g( y )
¿ x2e y+−x2
y+xy3+g( y )
N=∂ f ( x , y )∂ y
=x2e y−−3 xy4+g '( y )=x
2e y− x2
y2−3xy4
g '( y )=0⇒ g( y )=C
∴ f ( x , y )=x2e y+x2
y+xy3+C
4)
yxdx+( y3−Lnx ) dy=0
M N
![Page 30: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/30.jpg)
∂M∂ y
=1x≠∂N∂ y
=−1x
∂M∂ y
=1x=2y=g( y )
e∫ g( y )=e∫2ydy=1y2
Luego:
1
y2.yxdx+ 1
y2( y3−Lnx ) dy=0
M N
∂M∂ y
=−1
y2 x=∂ N∂ x
=−1
y2x∂ f ( x , y )∂ x
=M
f ( x , y )=∫(dxyx +g( y )¿ Lnxy
+g( y )
N=∂ f ( x , y )∂ y
=Lnxy2+g '( y )= y−
Lnxy2
g '( y )= y⇒ g( y )=y2
2+C
∴ f ( x , y )=Lnxy
+ y2
2+C
5) (2xy3y2+4xy2+y+2xy2+xy2+2y) dx + 2(y3+x2y+x) dy = 0
M N
∂M∂ y
=4 yx 3+4 x2+4 xy+4 xy 3+2≠∂M∂ y
=4 xy+2
(4 y3+4 x2+4 xy+4 xy 3+2−4 xy−2
(2 xy3+ x2+x2 y+ x )=
4 x ( y2+x+ y3 )2 ( y3+x2 y+x )
=x=f ( x )
e∫ g(x )=e∫2 xdx=e x2
Luego:
e x2(2 xy3 y2+4 x2 y+2xy 2d+xy 4 x+2 y ) dx+2ex
2
( y3+ x2 y+x )dy=0
MN
∂M∂ y
=4 ex2 x3 y+4ex 2 xy−4ex 2 x3 y3+2ex 2
∂N∂ y
=4ex 2 x3 y+4 ex2 x2−4 ex2 xy+4ex 2xy 3+2ex2
∂f ( x , y )dx
=M
f ( x , y )=∫(2ex 2 y3+2ex 2x2 y3+2ex2 ) dy+h (x )
¿ex 2 y4
2+ex 2 x2 y2+2xe x2 y+h( x )
M=∂ f ( x , y )∂ x
=ex2 y 4
2+ex 2 x2 y2−2 xee2 y+h ' ( x )=2x3 ex2 y2+4e x2 x2 y+2ex2 xy 2+ex2 xy 4+2e x2 y
![Page 31: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/31.jpg)
h '( x )=−ex2 y4
2−ex 2x2 y2−2 xee2 y+2ex2 x3 y2+4e x2 x2 y+2ex2 x3 y2+ex 2xy 4+2ex2 y
h (x )=−ex2 y4
2−e
x 2 y2
2+e
x2 y2
2 x−e x2 y+e
x 2 x2 y2
2−3ex2
4+2ex2 xy−2e x2
x+ex2 y
+ex2 y4
2+e
x2 yx
∴ f ( x , y )= ex2 y 4
2+e
x 2
y2+2 xex 2 y+h( x )
6) (xCosy-yseny) dy + (xSeny-yCosy) dy = 0
M N
∂M∂ y
=xCosy+Cosy− ySeny≠∂N∂ x
=Cosy
xCosy+Cosy− ySeny−CosyxCosy− ySeny
=+1= f ( x )
e∫ f (x )=e∫dx=exLuego:
e x2( xCosy− ySeny )dy+ex (xSeny− yCosy )dx=0
M N
∂M∂ y
=Cosyex x+exCosy−ex ySeny=∂ N∂ x
=Cosye x x+e xCosy−ex ySeny
∂ f ( x , y )∂ x
=M
f ( x , y )=∫(e x xSeny+ex yCosy ) dy+g( y )¿ Senyex( x−1 )+ex yCosy+g( y )
N=∂ f ( x , y )∂ y
=Cosyex( x−1 )+e yCosy . ehySeny+g '( y )=ex xCosy−e x ySeny
g’(y) = 0 g(y) = C
∴ f ( x , y )=Seny ex (x−1)+e4Cosy+C
7) (x4+y4) dx – xy3 dy = 0
M N
M(dx, dy)=d4M(x,4) N(dx, dy)=14N(x,4) Homogéneas
Luego:1
Mx+Ny= 1
( x4+ y4 ) x−(xy 3 ) y= 1
xr
Entonces:1
x5(x 4+ y 4 ) dx− 1
x5( xy 3 )dy=0
dfdxdfdy
Integrando respecto a “x”:
![Page 32: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/32.jpg)
f ( x , y )=Lnx− y4
4 x4+g( y )
N=∂ f ( x , y )∂ y
=− y3
x4+g '( y )=
− y3
x 4
g’(y) = 0 g(y) = C
∴ f ( x , y )=Lnx− y4
4 x4+C
8) y2dx + ex2 – xy – y2)dy = 0 Es homogénea.
Luego:
1
y2 x+( x2−xy− y2 ) y= 1
y ( x2 y2 )
Entonces:
y2dxy ( x2 y2 )
+( x2−xy− y2 )y ( x2− y2)
dy=0
∂Mdy
=x2+ y2
( x2 y2 )2=∂Ndx
=x2+ y2
( x2 y2 )2
∂ f ( x , y )dx
=M
f ( x , y )=∫( yx2 y2 )dx+g( y )f ( x , y )=
12Ln(x− yx ´+ y )+g( y )
N=∂ f ( x , y )∂ y
= −12 (x− y )
+ −12( x+ y )
+g '( y )=( x2−xy− y2)y ( x2− y2 )
g’(y) =
1y g(y) = Lny + C
∴ f ( x , y )=12Ln( x− yx+ y )+Lny+C
10) y(2x+1)dx + x (1+2xy – x3 y3)dy = 0
(2xy2+y) dx + (x+2x2y – x4y3) dy = 0
∂Mdy
=4 xy+1∂Ndx
=1+4 xy−4 x3 y3
∂M∂ y
≠∂N∂ x
Usamos:∂M∂ y
−∂N∂ x
=Nf ' (x )f (x )
−Mg' ( y )g ( y )
4 x3 y3=( x+2x2 y−x4 y3 )f ( x ' )f ( x )
−(2 xy 2+ y )g ' ( y )g( y )
f ( x )'f ( x )
=−4x→Lnf (x )=−4 Lnx f ( x )=x−4
g( y )'f ( x )
=−4x→Lng ( y )=−4 Lnx g( x )= y−4
![Page 33: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/33.jpg)
μ( x , y )=f ( x ) .g( y )=1
x4 . y 4
M=1
x4.y4(2xy 2+ y )∂M
∂ y=−2
x3 y3+−3
x4 y4
M=1
x4.y4( x+2x2 y−x4 y3 )∂N
∂ x=−2x3 y3
+−3x4 y4
Ahora:
∂M∂ y=∂N∂ x
∂+( x , y )∂ x
=1x 4 y4
(2 xy2+ y )
f ( x , y )=∫(2 xy2+ y )
x4 y 4dx+g( y )=∫d (−x−2
y2−−x−3
3 y3 )+g ( y )f ( x , y )=−x
−2
y2+−x
−3
3 y3+g( y )=−1
x2 y2−1
3 y3 x3+g( y )
∂ f ( x , y )∂ y
=2 x2 y
x4 y4+xx4 y4
+g '( y )
Pero:
∂ f ( x , y )∂ y
=N
2 x2 yx4 y4
+xx4 y 4
+g ' ( y )=xx 4 y4
+2 x2 yx4 y4
−x4 y3
x4 y4
g '( y )=−1y→ g( y )=Ln|y|+C
Reemplazamos:
f ( x , y )=− 1
x2 y2− 1
3 y3 x3−Ln ( y )+C
FACTORES INTEGRANTES POR SIMPLE INSPECCIÓN
Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales
1) ydx + x(1-3x2y2)dy = 0
ydx + ydx – 3x3y2 dy = 0 … Multiplicando por:−2
3
−23(xdy+ ydx )+2x3 y 2dy = 0
… en:
1
x3 y3
−23( xdy+ ydx )x3 y3
+2 x3 y2dy = 0
−23( xdy+ ydx )x3 y3
+2 x3 y2dy
x3 y3= 0
−23( xdy+ ydx )x3 y3
+2dyy
= 0
∫ d (1( xy ) 2 .13)+∫ d(2 Lny )=C
13
.1( xy )2
+2 Lny=C
2) xdy + ydx + 4y3(x2+y2)dy = 0
![Page 34: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/34.jpg)
xdx+ ydx( x2+ y2 )
+4 y3( x2+ y2)dy( x2+ y2 )
=0
xdx+ ydx( x2+ y2 )
+4 y3 dy=0
12d ( x2+ y2 )( x2+ y2)
+ d ( y 4 )=0
∫12d ( x2+ y2 )( x2+ y2)
+ ∫d ( y 4 )=0
12Ln|x2+ y2 |+ y 4=C
3) xdy – ydx – (1-x2)dx = 0
xdy− ydxx2
−(1−x2 )x2
dx = 0
xdy− ydxx2
−(1x2−1 )dx = 0
∫ d (xy)+∫d ( x+1
x)=C
yx+ x+
1x=C
4) xdy – ydx + (x2+y2)2dx = 0
Sabemos que: xdx + ydx =
12d ( x2+ y2 )
xdy− ydx( x2+ y2 )2
+( x2+ y2)( x2+ y2)2
dx = 0
∫12d ( x2+ y2 )( x2+ y2)
+∫ dx=C
−12
1(x2+ y2 )
+ x=C
5)x(xdy+ydx) + √1−x2 y2 dx=0
x( xdy+ ydx )
x√1−x2 y2+ √1−x2 y2 dx
x √1−x2 y2=0
−12x( xdy+ ydx )
√1−x2 y2+−1
2xdxx=0
∫ d (1−x2 y2 )1 /2 +∫ dxx =C
(1−x2 y2 )1/2+−Ln|x|
2=C
6) (x3+xy2)-y)dx + (y3+x2y+x)dy=0
(x(x2+xy2)-y)dx + (y(x2+y2)+x)dy=0
![Page 35: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/35.jpg)
[( x2+ y2 )− yx ]dx+[ yx ( x2+ y2 )+1]dy=0
( x2+ y2 )dx− yxdx+ y
x( x2+ y2 )dy+dy=0
( x2+ y2 )( xdx+ ydy )x
+( xdx− ydy )x
=0
( x2+ y2 ) ( xdx+ ydy )+( xdy− ydx )=0
( xdx+ ydy )+(xdy− ydx )(x2+ y2 )
=0
∫12d ( x2+ y2)+∫ d( arc Tg( y
x) )=C
12( x2+ y2 )+arc Tg(
yx)=C
10) (x2+y2) (xdy +ydx) = xy(xdy-ydx)
( x2+ y2 )( x2+ y2 )
( xdy+ ydx )−xy( xdy− ydx )( x2+ y2 )
=0
( xdy+ ydx )xy
−xy ( xdy− ydx )xy ( x2+ y2 )
=0
( xdy+ ydx )xy
−( xdy− ydx )( x2+ y2 )
=0
∫ d (Ln (xy )) −∫ d (arc Tg ( yx ) )=0
Ln( xy )−arc Tg( yx)=C
11) xdy – ydx = x2√ x2− y2 dx
xdy− ydx
√x2− y2=x2 √x2− y2
√x2− y2dx
xdy− ydx
√x2− y2−xdx=0
∫ d (arc Sen( yx) )−∫d ( x
2
2)=C
Arc Sen( yx)−x
2
2=C
12) x3dy – x2ydx = x5y dx
xdy – ydx = x3y dx , para: x 0
xdy− ydxxy
=x2dx
dLn( yx)=( x
3
3)
∫ dLn( yx )=∫ d (x3
3)+C
Ln( yx)=x
3
3+C
13) 3ydx + 2xdy + 4xy2dx + 3x2ydy=0
![Page 36: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/36.jpg)
Multiplicamos por x2y
3y2x2dx+2x3 ydy + 4x3y3dx + 3x4 y2dy = 0
d(x3y3) + d(x4y3) = 0
∫ d (x3 y3 )+∫d ( x4 y3)=C
x3 y3+x4 y3=C
14) √ y2−1 (1− y √x2−1)dx+√x2−1 (1−x √ y2−1)dx=0
√ y2−1 y √ y2−1√ x2−1 dx +√ x2−1 x √x2−1 . √ y2−1 dy=0
√ y2−1+ √x2−1−√ y2−1 √ x2−1 ( ydx+ xdy )=0
Todo entre :1
√ y2−1 √x2−1
1dx
√x2−1+
1dy
√ y2−1−( ydx+xdy )=0
dx
√x2−1+ dy
√ y2−1−d ( xy )=0
∫ dx√x2−1+∫dy√ y2−1
−∫d ( xy )=C
Ln|x+√ x2−1|−Ln |y+√ y2−1|−xy=C
15)
dydx=
y (xy+1 )y (1−x2)−2
Para : x=1 , y=−2
y(1-x2)-xdy = y(xy+1)dx
ydy - yx2dy - xdy = xy2dx = ydx
ydy - yx2dy – xy2dx = ydx = dy
ydy – (yx2dy + xy2dx) = ydx+ xdy
ydy−d ( x2 y 2
2 )=d ( xy )∫ ydy –
∫ d ( x2 y2 )2
=∫ d ( xy )+Cy2
2− y
2 x2
2=xy+C
y2 – x2y2 = 2xy + C Para: x=1 , C=4
Su solución particular es: y2(1-x2) – 2xy = 4
16) arseny dx +
x+2√1− y2 Cosy dy
√1− y2=0
arseny dx+ xdy
√1− y2+ 2Cosydy=0
d(x. arcseny) + 2Cosydy = 0
∫ d(x . arcseny) + ∫ 2Cosydy = C
x . Arcseny + 2Seny = C
![Page 37: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/37.jpg)
PRACTICA 5
I).- ECUACIONES LINEALES.
1) dydx
+ 2xy = 4x
y = e−∫2 xdx [ ∫ e ∫ 2xdx 4 xdx+c ]
y = e− x [ ∫ ex4 xd+c ]y = e− x
∫ex.4xdx = ∫4 xcx dxU = 4x du = 4dxdv = ex dx v =ex
4x ex= ∫ex. 4xdx∫ex.4xdx = 4x . ex- ∫ex4xdx = 2x.ex
y = e− x. [2 x . ex+c ]y = 2x + e− x . k
2) x dydx
= y + x3 + 3 x2 – 2
dydx
= yx
+ x2 + 3x – 2
dydx
– ( 1x
) y= (x2 + 3x – 2)
y = e− ∫ (−1
x)dx . [ ∫ e ∫ ( 4
x)dx(x2+3 x – 2)dx+c ]
y = e lnx . ¿y = x . ¿
y = x . ∫ [ x+3 –2 x−1¿dx+c ]y = x ( x
2
2 + 3x – 2lnx ) + c )
y = x3
2 + 3x2 - 2xmx + kx
3) ( x-2 ) dydx
= y + 2( x – 2 ¿3
dydx
= y
(x−2) + 2 ( x – 2 ¿2
dydx
– ( 1x−2
) y = 2 ( x –2 )
y = e−∫−¿( 1
x−2)dx¿( ∫e
∫−¿( 1x−2
)dx ¿ . 2( x – 2 ¿2 dx + c )
y = e ln (x−2 ) . ( ∫ e−ln(x−2). 2 (x - 2¿2 dx + c )y = ( x – 2 ) . ( ∫( x – 2¿−1 .2¿ dx + c )y = ( x – 2 . ( 2 ∫ (x – 2) dx + c )
y = ( x – 2 ) ( 2 ( x2
– 2x) + c )
y = ( x – 2 ) ( x2 - 4x + 2c )y = x3 - 4x2 + 2cx – 2x2 + 8x + 4cy = x3 - 6x2 + 8x + 2c ( x + 2)
4) dydx
+ ydgx = 5ecosx x = π2
Y = -4y = e− ∫ cot xdx . [ ∫ e ∫ cot xdx .5 eco s x dx+c ]y = e−ln 1 senxl . [ ∫ eln (senx) .5eco sx dx+c ]y = (sen x¿−1 [ ∫ sen x .5ecosx dx+c ]y = (sen x¿
−1 [5( ∫ ecosx sen x dx+c)]⏟ c = ∫ ecos x . sen x dx
![Page 38: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/38.jpg)
u = sen x du = cos x dxdv = ecosxdx v = ecosx
ecosx . sen x - ∫ ecos x .cos x dx⏟
u = cos x du = sen x dxdv = ecosx dx v=ecosx cos x ecosx + ∫ ecos xsen x dx∫ ecos x sen x dx = ecosx. Sen x – cos x . ecosx - ∫ecosx sen x dx
∫ ecos x sen x dx = ecosx . sen x
2 – cos x . ecosx
2
y = sen−1. 5 [ ecos x . sen x2
− cos x .ecos x
2+c ]
y = 52ecosx
- 52t gx .ecos x
+ sen−1 xk
-4 = 52ecos
π2
- 52tg
π2 . ecos
π2
+ ksen π
2
k = 6,5
5) x3 dydx
+ ( 2 – 3x2 ) y = x2
dydx
+ ( 2
x3 - 3x
) y = 1
y = e− ∫ (2x3
❑ −3x )dx . [∫ e∫(2 x
3
❑− 3x )dx+1dx+c ]
y = e (−2 ln x3+3 lnx ) [ ∫ e(2 ln x3+3 lnx) . dx+c ]y = e ln x−6+ln x3 [∫e ln x6+mx3
. dx+c ]y = e lnx
6. x3
[∫ eln x6 x3
. dx+c ] y = x−3 . [∫ x9dx+c ] y = x−3.[ x10
10+c]
y = x7
10+c . x−3
6) ( x−lny )dydx=− ylny
Hacemos cambio de variable:z = ( x−lny ) lny = x – z
dz = dx - dyy
dzdx
= 1 - dyydx
dyydx
= 1 - dzdx
Reemplazando en la ecuación:
z = (1−dzdx ) = z – x
z - dzdx
= z – x
dzdx
= -x
dz = xdx
∫ dz = ∫−xdx
z = −x2
2 + c
Reemplazando:
![Page 39: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/39.jpg)
z = x – lny
x – lny = −x2
2 + c
c = x2
2 + x - lny
8) dydx
+ ey = x p + 2x
Resolviendo:
dydx
+ 2y = xe + 2x p (x) = 2, q(x) = x p + 2x
La ecuación general:
y = e−∫ p ( x )dx [∫ e p (x )dxd ( x )dx+c ]
y = e−∫2dx [∫ e ∫ 2dx (x p+2 x )dx+c ]
y =e−2x [∫e2x (xp+2 x )dx+c ]Integrando por partes:
y = 2x2+2 x−14
+ ce−2x
9) xtnxdydx
- y = x3 (eln(x) – 1)
Resolviendo:
De la ecuación diferencial:
dydx
- 1xlnx
y=x2(3 ln ( x )−1)
lnx
De la ecuación general
y = e−∫ −dx
xln( x) [∫ e ∫ −dxxln( x) x2(3 ln ( x )−1)
ln (x )dx+c ]
y = e ln (ln ( x ))[∫e ln (ln ( x )) x2(3 ln ( x )−1)
ln (x )dx+c]
y = l n (x )[ ∫ x2(3 ln ( x )−1)l np (x )
dx+c ]y = ln ( x )[∫ d ( x3
ln ( x ))+c ]=ln ¿)( x3
ln ( x )+c)
y = x3+ cln(x)
10) dydx
+Ø 1 ( x ) y – Ø(x) Ø 1(x) = 0
![Page 40: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/40.jpg)
Resolviendo:
De la ecuación diferencial:
dydx
+ Ø 1 ( x ) y = Ø(x) Ø 1(x)
De la ecuación general:
y = e−∫Ø 1(x)dx (∫ eØ
1 (x)dx Ø (x )Ø 1 ( x )dx+c¿
y = e−∅ (x)¿∫e∅ (x) Ø (x )Ø 1 ( x )dx+c)
Integrando por partes:
u = Ø (x ) ⤳ du = Ø 1 ( x )
dv = e∅ (x)Ø 1 ( x ) dx ⤳v = e∅ (x)
y = e−∅ (x) (Ø (x ) e∅( x)−e∅( x)+c )
y = Ø (x ) - 1 + ce−∅ (x)
11) dydx
= 1
x sen y+2 sen2 y
dydx
= 1
x sen y+2 sen2 y ⤳
dxdy
= x sen y + 2 sen 2y
dxdy
= - (sen y) = 2 sen 2y, ecuación lineal en x:
x = e—∫−¿ sen ydy¿ [∫ e∫−sen y dy2 sen2 ydy+c ]
x = e−cos y [∫ecos y2 sen2 ydy+c ]
x = e−cos y [4∫ ecos y sen y .cos ydy+c ]Integrando por partes:
x = e−cos y [−4 cos y ecos y+4ecos y+c ]
x = 8 sen2 y
2 + c . e−cos y
12) dydx
– y ctg x = 2x - x2ctg x
Resolviendo:
y = e−∫ ctg xdx [ ∫ e∫−ctg xdx (2 x−x2ctg x )dx+c ]
y = e ln sen x [∫e−ln senx (2 x−x2 ctg x )dx+c ]Simplificando:
![Page 41: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/41.jpg)
y = sen x [∫ ex−x2ctg xsen x
dx+c ]Integrando:
y = sen x (x2 + x + cosec x + c) = x2 + c sen x
x = π2
, y = π2
4 + 1
∵ π2
4 + 1 = π
2
4 + c c = 1 ∵ y= x2 + sen x
13) (1 + x2) ln (1 + x2)dydx
- 2xy = ln (1 + x2) – 2xar
ctg x
y = π2
, x → ∞
dydx
- 2 x
(x2+1 ) ln(x2+1)y =
1
1+ x2− 2xar ctg x
(4 x2 ) ln (1+ x2)
De la ecuación general:
y = e−∫ −2 xdx
(x¿¿ 2+1)ln (x2+1)¿ [e∫ −2dx
(x2+1) ln (x2+1) ( 1
1+x2−2 xar ctg x
(1+x2 ) ln (1+x2 ) )dx+c ]
y = e ln ¿¿ ¿
y = ln (1 + x2¿¿ dx + c)
y = ln (1 + x2¿¿+ c) ⟹ ln (1 + x2¿ ( ar ctg x
ln (1+ x2 )) + c )
y = ar ctg x+x ln (1 + x2¿ donde: c = y
ln (1+x2 ) - ar ctg x
ln (1+x2 )
para: y→−π
2 , x →∞
c = −π
2∞
- −π
2∞
= 0– 0 = 0
c = 0
14) dydx
- 2xy = cos x – 2x sen x
Resolviendo:
dydx−2xy = cos x – 2x sen x
y = e−∫−2xdx¿
y = ex2
¿
![Page 42: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/42.jpg)
y = ex2
¿ ⟹ (ex2
sen x+c ex2
¿
y = sen x + ec x2
, x varia x = -1; x = 1 x →∞
∵ y = sen x
15) dydx
= 1
e4−x
Resolviendo:
dydx
= 1
e4−x ⤳dxdy
= e y - x de donde: dxdy
+ x = e y
Ecuación lineal en x
x = e−∫ dy [ ∫ e∫ dye y dy+c ]
Integrando tenemos:
x = e− y [ ∫ e2 y dy+c ]⟹⟹e− y ( e2 y2+c)
x = ey
2 + c . e− y
II.- ECUACIONES DE BERNOULLI
1) dydx
– y = xy5 (1 – n)
1 – (5)
dydx
- y = xy5 ( y−5)
y5 dydx
- y−4 = x (−4 )
-4y5 dydx
+ 4 y−4= -4x
Luego: z = y−4 dzdx
= -4y5 dydx
Reemplazando:
dzdx
+ 4z = -4x
z = e− ∫ 4dx . [ ∫ e−∫ 4dx .4 xdx+c ]
z = e−4 x . [− ∫ e4 x .4 xdx+c ]
Resolviendo por partes:
u = x du = dx
dv = e4 x v = e4 x
z = e−4 x [−4 xe4 x−4 e4x+c ]
z = -4x – 4 + c . e−4 x
![Page 43: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/43.jpg)
Reemplazando: z = y−4
y−4 = -4x – 4 + c . e−4 x
2) dydx
+ 2xy + xy4 = 0
dydx
= 2xy = -x y4 ( y−4 )
y−4 dydx
+ 2xy−3 = -x (-3)
3 y−4 dydx
- 6xy−3 = 3x
Hacienda cambio de variado:
z = y−3 dzdx=¿ -3 y−4
dydx
Reemplazando:
dzdx−6 xz = 3x
z = e− ∫ 6xdx . [∫ e∫ 6xdx .3 xdx+c ]
z = e−3 x2
. [∫ e3 x2
.3xdx+c ]
z = e−3 x2
. [3∫e3x2
. xdx+c ]Resolviendo por partes:
z = e−3 x2
. [3 x e3 x2
.3e3 x2
+c ]
z = 3x + 3 + c . e3x2
Reemplazando z = y−3
y−3 = 3x + 3 + c . e−3 x2
3) dydx
+ 13y =
13(1−2 x) y4
dydx
+ 13
y = 13(1−2 x) y4 . ( y−4)
y−4 dydx
+ 13y−3
= 13(1−2 x) . ( -3 )
3y−4 dydx
- y−3 = −1+2 x
z = y−3 dzdx
= 3y−4 dydx
dzdx
– z = 2x – 1
z = e− ∫ dx . [ ∫ e ∫ dx . (2x−1 )dx+c ]
![Page 44: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/44.jpg)
z = e− x . [ ∫ ex . (2x−1 )dx+c ]
Resolviendo por partes:
z = e− x . [2ex . x−2ex−ex+c ]
z = e− x . [2ex . x−3e x+c ]
z = x – 3 + c
Remplazando z = y−3
y−3 = x – 3 + c
4) dydx
+ y = (cos x−sen x ) y2
dydx
+ y = (cos x−sen x ) y2 ( y−2)
y−2 dydx
+y−1 = cos x−sen x (−1 )
y−2 dydx
+y−1 = sen x−¿ cos x
z = y−1 dzdx
= -y−2 dydx
Reemplazando:
dzdx
- z = sen x – cos x
z = e−∫−¿dx ¿. ¿
z = ex. ¿
z = ex. [ ∫ e−x . sen xdx− ∫ e− xcos xdx+c ]
Resolviendo por partes:
z = ex. [ ∫ e−x . sen xdx− ∫ e− xcos x− ∫ e− xsen xdx+c ]
z = ex. [−e− x .cos x+c ]
z = −cos x+e x. c
Reemplazando: z = y−1
y−1 = −cos x+e x. c
5) xdy – [ y+x y3(1+ lnx)] dx = 0
x dydx
– y + xy3 (1 + lnx) = 0
dydx
– yx− y3
(1 + lnx) = 0
dydx
– ( 1x¿ y=+ y3
(1 + lnx) ( y¿¿−3)¿
![Page 45: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/45.jpg)
y−3 dydx
– ( 1x¿ y−2
= 1 + lnx (-2)
−2 y−3 dydx
– 2xy−2
= 2(1 + lnx)
z = y−2 dzdx
= −2 y−3 dydx
Reemplazando:
dzdx
+ 2xz = 2 (1 + lnx )
z = e− ∫ 2
xdx . [∫ e∫ 2
xdx. (2+2lnx )dx+c ]
z = e−2 lnx . [∫ e2 lnx . (2+2 lnx )+c ]
z = x−2 . [∫ x2 . (2+2 lnx )+c ]
z = x−2 . [∫2 x2dx+2 ∫ x2lnxdx+c ]
Resolviendo por partes:
z = x−2 . [ 23 x3+ x3lnx− x
3
9+c]
z = 23x+ x
3lnx− x
9+x−2 .c
z = 59x+ x
3lnx+x−2 . c
Reemplazando: z = y−2
y−2 = 59x+ xlnx
3+x−2 . c
6) 2xdy + 2ydx = xy3dx
dydx
+ 2 y2 x= xy
3
2 x
dydx
+ yx= y
3
2 (y−3 ¿
y−3 dydx
+ y−2
x=1
2 (-2)
z = y−2 dzdx
= -2y−3 dydx
dzdx
– 2xz = -1
z = e− ∫ 2
xdx
.[ ∫ e ∫ 2xdx
.−1dx+c ]
![Page 46: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/46.jpg)
z = e−2 lnx . [ ∫ e2lnx . dx+c ]
z = x−2 . [ ∫ x2dx+c ]
z = x−2[ x3
3+c ]
z = x3
+ x−2 . c
Reemplazando: z = y−2
y−2 = x3
+ x−2 . c
7) dydx
= x
x2 y+ y3
dxdy
= x2 y+ y3
x
dxdy
= xy + y3
x (x)
xdxdy
- xy = y3 (2)
2xdxdy
– 2yx2 = 2y3
Haciendo cambio de variable:
z = x2 dzdy
= 2xdxdy
dzdy
- 2yz = y3
z = e−∫−2 ydy [∫ e∫−2 ydy . y3dy+c ]
z = e y2 [∫ e− y2
. y3dy+c ]Resolviendo por partes:
z = e y2[ y3 e
− y2
9+ y
3 e− y2
9+ 2 y4 e− y
2
9+c ]
z = e y2[ 29 y4 e− y
2
+c ]z =
29y 4+e y
2
. c
Reemplazando:
z = x2
x2 = 29y 4+e y
2
. c
8) y2(y6- x2) y1 = 2x
(y8-y2 x2 ¿ y1 = 2x
![Page 47: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/47.jpg)
dydx
= 2x
y8− y2 x2
dxdy
= y8− y2 x2
2x
dxdy
= y8
2x - y
2 x2
dxdy
+ y2
2x = y
8
2. x−1 (x)
x dxdy
+ y2
2x2 = y
8
2 (2)
2x dxdy
+ y2 x2 = y8
Haciendo cambio de variable:
z = x2 dzdy
= 2xdxdy
dzdy
- y2 z = y8
z = e−∫ y2dy . [∫ e∫ y2dy . y8dy+c ]
z = e− y3
3 .[∫ e y3
3 . y8dy+c] Resolviendo por partes:
z = e− y3
3 .[ y8 . ey3
3
8– y7 e
y3
3 + 7 y6 e− y3
3
8+c ]
z = y8
8 - y7+¿
7 y6
8 + c . e
− y3
3
Reemplazando:
z = x2
x2 = y8
8 - y7+¿
7 y6
8 + c . e
− y3
3
9) ydx + ( x - x3 y2
) dy = 0
ydxdy
+ x - x3 y2
= 0
dxdy
+ xy
- x3
2 = 0
dxdy
+ xy
= x3
2 (x−3 ¿
x−3 dxdy
+ x−2
y =
12
(-2)
−2 x−3 dxdy
- 2x−2
y = -1
![Page 48: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/48.jpg)
z = x−2 dzdy
= -2x−3 dxdy
Reemplazando:
dzdy
- 2yz = -1
z = e−∫−2
ydy. [∫ e∫−2
ydy.−1dy+c ]
z = e2 lny. [–∫ e−2 lnydy+c ]
z = y2. [ – y−2+c ]
z = -1 + y2. c
Reemplazando:
z = x−2
x−2 = -1 + y2c
10) 3xdy = y( 1 + x sen x - 3y3sen x ) dx
3x dy = ( y + yx sen x – 3x y3sen x ) dx
dydx
= y
3x+ y
3 sen x - y3sen x
dydx
- (1
3x+ sen x
3) y= y3sen x ( y3 ¿
y3 dydx
- (1
3x+ sen x
3) y−2=¿sen x (-2)
2 y−3 dydx
+ 2 (1
3x+ sen x
3) y−2=¿-2sen x
Luego: z = y−2 dzdx
= -2y−3 dydx
dzdx
+ 2 (1
3x+ sen x
3) z=¿-2sen x
z = e− ∫ ( 2
3x+ 2 senx
3 )dx.[∫e ∫ ( 2
3x+2 sen x
3 )dx.−2 sen xdx+c ]
z = e(−2lnx
3+2 cosx
3 ).[∫ e( 2 lnx3
−2 cosx3 )
2 sen xdx+c ]z = e
( 2cos x3
−2 ln x3 ).[2∫ e( 2 lnx3
−2 cosx3 )
2 sen xdx+c ]
Resolviendo por partes:
z = e23
cosx−23lnx. [e(23 lnx−2cos
3x). sen x . e
(2 lnx3 −2 cos3
x)+c ]
![Page 49: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/49.jpg)
z = sen x – cos + e(23
cosx−23lnx) . c
11) 3xdydx
- 2y = x3
yz
dydx
- 2
3xy = x
2
3y−2 . (y2 ¿
y2 dydx
- 2 y3
3x= x
2
3(3)
3 y+2 dydx
- 2 y3
x = x
2
3
z = y3 dzdx
= 3y2 dydx
dzdx
- 2xz = x2
z = e−∫−2
xdx. [∫ e∫−2
xdx. x2dx+c ]
z = e2 lnx. [∫ e−2 lnx . x2dx+c ]
z = x2. [∫ x−2 . x2dx+c ]
z = x2 [ ∫ dx+c ]
z = x2 [ x+c ]
z = x3 + c . x2
Reemplazando:
z = y3
y3 = x3 + c . x2
12) (2xy3 - y) dx + 2xdy = 0
2xy3 – y + 2xdydx
= 0
y3 – y
2x +
dydx
= 0
dydx
– y
2x =− y3 . (y−3 ¿
y−3 dydx
– y−2
2x =−1 . (−2¿
−2 y−3 dydx
– y−2
x =2
z = y−2 dzdx
= -2y−3 dydx
Reemplazando:
dzdx
- zx = 2
![Page 50: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/50.jpg)
z = e−∫ dxx . [∫ e∫ dxx .2dx+c ]
z = e−lnx. [2∫e lnx . dx+c ]
z = x−1. [2∫ x dx+c ]
z = x−1. [ x+c ]
z =. 1+c . x−1
Remplazando:
z = y−2
y−2 = 1+c . x−1
13) 2ydydx
+ y2 ctg x=¿cosec x
dydx
+ y2ctg x= cosec x
2
dydx
+ yctg x
2= y−1 cosec x
2 (y)
ydydx
+y2 ctg x
2= cosec x
2 (2)
2ydydx
+y2 ctg x=cosec x
z = y2 dzdx
= 2ydydx
Reemplazando:
dzdx
+ zctg x = cosec x
z = e− ∫ ctg xdx. [∫ e∫ ctg xdx . cosec xdx+c ]
z = e−ln (senx). [∫ eln (senx) . cosec xdx+c ]
z = 1
sen x [ ∫ dx+c ]
z = 1
sen x [ x+c ]
z = x
sen x +
csen x
Reemplazando:
z = y2
y2= x
sen x +
csen x
![Page 51: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/51.jpg)
14) dydx
+ yx+1
= −12
(x+1)3 y2
dydx
+( yx+1
¿ y = −12
(x+1)3 y2 .(y2 ¿
y2 dydx
+ yx+1
. y−1 = −12
(x+1)3 . (-1)
-1y2 dydx
- 1x+1
. y−1 =
12
(x+1)3
z = y−1 dzdx
= -y−2 y
dydx
Reemplazando:
dzdx
- 1x+1
. z = 12
(x+1)3
z = e−∫−dxx+1 . [∫ e∫−dxx +1 .
12(x+1)3dx+c ]
z = e ln ( x+1). [ 12∫ e−ln (x+1).(x+1)3dx+c]z = ( x + 1). [ 12∫ 1
x+1.(x+1)3dx+c]
z = ( x + 1). [ 12 ∫ (x+1)2dx+c ]
z = ( x + 1) [ x3
6+ x
2
4+ x
2+c]
z = x4
6+ 5 x3
12+ 3x2
4+ x
2+ ( x+1 ) . c
Reemplazando: z = y−1
y−1 = x4
6+ 5 x3
12+ 3x2
4+ x
2+ ( x+1 ) . c
PRACTICA 6
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN “N”
I) INDEPENDENCIA LINEAL DE FUNCIONES
1)
Derivando
(1) + (2)
![Page 52: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/52.jpg)
2)
3)
ç
![Page 53: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/53.jpg)
4) 5)
6)
![Page 54: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/54.jpg)
7)
![Page 55: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/55.jpg)
8)
WRONSKIANO
1) |1 x x2
0 1 2 x00⋮0
000
200
x3 …… xn−1
3 x2 …… n+ x2
6 x60
……¿……
(n−1 ) (n−2 ) x3
¿ (n−1 )1 ! |=1!2 !3 !…… (n−1 )!≠0
⇒1 , x , x2,……xn−1 sonC . I .
w=1 !2! 3!…… (n−1 ) !
2) | 2nx enx
memx nenx|=ne(m+n )x−me(m+n)x=(n−m ) e (m+n) x comon≠m
| emx enx
memx nenx|≠0⇒emx , en x son L. I . w=(n−m)e(m+n )x
3) |senhx coshxcoshx senhx|=se n2hx−cosn2hx=−1⇒ senhx ,coshx son L . I .
![Page 56: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/56.jpg)
ω=−1
4) |x x 2x
1 2x+xe x|=x2x+x2 ex−x ex=x2 ex
si x=0⇒ x , x ex sonL .O .
si x ≠0⇒ x , x ex sonL . I .
w=x2 ex
5)
| ex senx ex cosxexcosx+ex senx e xcosx−ex senx|=e2x senx cosx−e2x senx−e2x cos2 x−e2 xsenx cosx
¿−e2x (se n2 x+cos2 x )=−e2x≠0
⇒ e2x senx ,−2x cosx−son L . I .
w=−22 x
6) |1+cos2 x co s2 x−2 sen2x −2cos x sen x|=¿
¿−2cos x sen−cos2 x2cos x52nx+252n2 x cos2 x
¿−sen2 x−sen2 xcos2 x+2 sen2 x cos2 x
¿−sen2 x−¿
¿−sen2 x (co s2 x+sen2 x+co s2 x−sen2 x−2cos2 x )
¿0
⇒1+cos 2x ;co s2 x son L. D .
w=0
7) | e−x x2−x
−e−x e− x−e−x|=e−2x−2−2x+ xe−2x=e−2x
⇒2−x ; x 2− x son L. I .
w=e−2 x
8) |1 2−x 2e2x
0 −2−x 4e2x
0 2−x 8e2 x|=|1 e− x 2e2x
0 −e−x 4e2x
0 0 12e2 x|=−12 2− x
⇒1 ,2− x y 2e2x son L . I .
w=−12e−x
9) |2 cos x cos 2x0 −sen x −2 sen2x0 −cos x −4cos2 x|=2|−senx −2 sen2x
– cos x −4cos2 x|
¿2¿
![Page 57: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/57.jpg)
¿2(2 se xcos 2x−2 sen2x xcos ¿ x+2 sen x cos 2 x)¿
¿2¿
¿2 (−2 se n2 x )=−8 se n3 x=¿
¿2 ; x y cos2 x son L. I .
w=¿
10) | e−3 x sen2 x e−3 xcos2 x−3e−3 x sen2x+2e−3x cos2 x −3e−3x cos2 x+2e−3 xsen 2x|=¿
¿−3e−6 xsen 2x+cos2 x−¿2e−6x sen2 x sen2 x+−3e−6x sen2 x x cos2 x−¿2e−6x cos22 x¿¿
¿2e−6x (se n2 2x+co s22 x )¿2e−6x ≠0
⇒ e−3 x sen2x ;2−3 xcos2 x son L . I .
w=2 2−6 X
III) MEDIANTE EL WRONSKIANO, DEMOSTRAR QUE CADA
UNA DE LOS SIGUIENTES CONJUNTOS DE FUNCIONES
SON L.I.
Para demostrar que son L.I. basta probar que la determinante es
distinta de cero.
1> |lnx xlnx1x
lnx+1| = ln2x + lnx – lnx = ln2x ≠ 0 lnx, xlnx son L.I.
2> |1 2−x 222 x
0 −2−x 422x
0 2−x 822x| = |1 2−x 2 22x
0 −2−x 4 22 x
0 2−x 12 22x| = -12 2x ≠ 0
3> | x1 /2
x1 /3
12x−1 /2 1
3x−1 /3| =
13
x−16 -
12
x−16 =
−16
x−16 ≠ 0 cuando x ≠ 0
4> | 2ax senbx 2axcosbxa2ax senbx+bcosbx2ax a2axcosbx+bsenbx 2ax|=
a2ax senbx cosbx - b2ax se n2bx -a2ax senbx cosbx - b2ax cos2bx = - b2ax (sen2bx + co s2bx) = - b2ax ≠ 0
5> |1 sen2 x 1−cosx0 2 senx cosx senx0 2co s2 x2 sen2 x cosx | = | sen2x senx
2 cos2 x cosx| =
L. L L
![Page 58: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/58.jpg)
sen2x cosx – 2cos2x senx + 2 sen2 x co s2 x - 2co s2 x sen❑ x + 12sen3x =
2sen3x ≠ 0 cuando x ≠ mk, K ∈ Z
6> |ln (x−1) ln (x+1) 11x−1
− 1x+1
0| = 1x+1
- 1x−1
= x−1−x−1( x+1 )( x−1)
=
−2( x+1 )( x−1) ≠ 0; x ≠1 ∧ x ≠ -1
7> | √1−x2 x
−2√1−x2
21| = √1−x2 +
x2
√1−x2 =
1−x2+ x2
√1−x2 =
1
√1−x2 ≠ 0 ; x
≠1 ∧ x≠-1
8> | sen x2 cos2 x
12
cosx2−2cosxsenx| = -2senx cosxsen x
2 -
12
cos x2
cos2 x
Sen x2
y cos2x son L.I.
9> |x2 x4 xc
2x 4 x3 g x7
2 12 x2 s66| = |x2 x4 x8
0 2x3 6 x7
2 12 x❑ s 66| =|x2 x4 x8
0 2 x3 6 x7
0 10 x2 s 66| =|x
2 x4 x8
0 2 x3 6 x7
0 10 x2 2 46| =48x6. x3 x2=48 x11
10> 2x xex x2 ex
2x 2X+xe X 2 x2x+ x2 ex
e x 2ex+x ex 2ex+2 xe x+2 x ex+x2 ex =
ex x ex x2 ex
0 ex 2x ex
0 22x 2ex+4 xe x
= ex x ex x2ex
0 ex 2 x ex
0 o 2ex = 2ex ex ex=2e3 x≠0
ex , xe2 y x2 ex son L. I .
IV) DEMOSTRAR QUE LAS FUNCIONES SON L.I. Y SU WRONSKIANO ES CERO (GRAFICARLOS)
1) SI XE [ -1,0] → ∝1 f1 (X) + ∝2 f2 (X) = 0
→ ∝1 X2 + ∝2 0 = 0 ∝1 = 0
SI XE [0, 1] → ∝1 f, (X) + ∝2 f2 (X) = 0
→0 + ∝2 X2 = 0 ∝2 = 0
UROSKIANO EN [-1,0]
f1 y P2 Son L.I.
![Page 59: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/59.jpg)
X2 0
2X 0
UROSKIANO EN [0,1]
0 X2
0 2X
2) SI XE [0, 2] → ∝1 f1 (X) + ∝2 f2 (X) = 0
∝1 0 + ∝2 (X-2)2 = 0 ∝2 = 0
Si XE [2, 4] → ∝1 f1 (0) + ∝2 f2 (X) = 0
∝1 (X-2)2 + 0 = 0 ∝1 = 0
WROSKIANO EN [-0,2]
0 (X-2)2
0 2(X-2)
WROSKIANO EN [2,4]
(X-2)2 0
2(X-2) 0
3) SI XE [-2, 0] → ∝1 f1 (X) + ∝2 f2 (X) = 0
∝1 X3 + ∝2 0 = 0 ∝1 = 0
SI XE [0, 1] → ∝1 f1 (X) + ∝2 f2 (X) = 0
0 + ∝2 X2 = 0 ∝2 = 0
WROSKIANO EN [-2,0]
X3 0
3 X2 0
UROSKIANO EN [0,1]
0 X2
0 2X
X -1 < x < 0 -X2 -1 < x < 0
X2 0 < x < 1 X2 X2 0 < x < 1
SI XE [-1,0] → ∝1 X2 - ∝2 X2 = 0 (X) = 0
→ ∝1 X2 + ∝2 0 = 0 ∝1 = 0
SI XE [0, 1] → ∝1 f, (X) + ∝2 f2 (X) = 0 f1 y P2
→0 + ∝2 X2 = 0 ∝2 = 0 son L.I.
UROSKIANO EN [-2,0]
X3 0
3 X2 0
UROSKIANO EN [0,1]
0 X2
0 2X
V) DEMOSTRACIONES
= 0=
= 0=
= 0
= 0
W=
W=
4
0 2 4
= 0W=
= 0W=
f2 (X) =
4) f1=
= 0
W=
= 0
W=
f1 y P2
Son L.I.
P1 y P2 son L.I.
-2 0 1
-8
-1
-1
-1 -1
![Page 60: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/60.jpg)
1)
3)
PRÁCTICA Nº 7ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
I) ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
A) Raíces reales distintas.
1. y `+`2y´` - `15 `y`=````0`} {¿
Ecuación característica
λ2 + 2λ − 15 = 0 ⇔ ( λ − 3 ) ( λ+5) = 0λ −3 λ = 3 λ =−5 raíces de la ecuaciónλ +5La solución general es:
y = C1 e3 x + C2 e
−5 x
3. y ` - y`=````0`} {¿Ecuación característica
λ2 − 1 = 0 ⇔ ( λ + 1) ( λ−1)λ= −1 λ =1 Raíces de la ecuación
La solución general es:
y = C1 e− x + C2 e
x
7. y ´´´−6 y `+11y´` - `6y`=````0`} { ¿Ecuación característica
λ3 − 6 λ2 +11 λ − 6 = 0 ⇔ ( λ + 1) ( λ−2) ( λ−3 )= 0λ = 1 λ =2 λ=3 Raíces de la ecuación
![Page 61: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/61.jpg)
1 -6 11 -6
1 1 -5 6
21
-52
6-6
0
1 -3 0
La solución general es:
y = C1 e3 x + C2 e
2 x + C3 ex
9. y ´´−4 y ´ +1= 0Ecuación característica
λ3 − 4 λ +1 = 0
λ =−(−4 )± √(−4 )2 . 4 (1 ) (1)2(1)
λ = 4 ± √122
λ = 4 ± 2√32
¿
{λ1 = 2+√3 ¿ ¿¿¿
La solución general es:
y = C1 e(2+√3 )x + C2 e
(2−√3 )x
B) Raíces múltiples
1. y ´´´−3 y `+3y´` - `y`=````0`} {¿
Ecuación característica
λ3 − 3 λ2 +3 λ − 1 = 0 ⇔ ( λ + 1)3 = 0λ = 1
Raíces de la ecuación de múltiplicidad 3
La solución general es:
y = C1 ex + C2 x e
x + C3 x2 ex
3. yIV − yI II −9 y II − 11 yI −4 y = 0
Ecuación característica:
λ4 − 3 λ3−9 λ2 −11 λ − 4 = 0 ⇔ ( λ + 1)3 ( λ−4 ) = 0λ =−1λ = 4
Raíz de la multiplicidad 3
1 -1 -9 -11 -4
-1 -1 2 7 4
-11
-2-1
-73
-44
0
-11
-3-1
-44
0
1 -4 0
La solución general es:
![Page 62: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/62.jpg)
y = C1 e− x + C2 x e
−x + C3 x2 e− x+ C4 e
4 x
5. yIV −6 y II +12 y II − 8 yI= 0
Ecuación característica
λ ( λ3 − 6 λ2 +12 λ − 8 ) = 0 ⇔ λ ( λ − 1)3 = 0λ = 0λ =2 Raíz de multiplicidad 3
1 -6 +12 -8
1 2 -8 8
21
-42
4-4
0
1 -2 0
La solución general es:
y = C1 + C2 e2 x + C3 x e
2 x+ C4 x2e2 x
7. yIII +3 y II +3 y I + y= 0
Ecuación característica
λ3 + 3 λ2 +3 λ +1 = 0 ⇔ ( λ + 1 )3 = 0λ =−1
Raíz de multiplicidad 3La solución general es:
y = C1 e−x + C2 x e
−x+ C3 x2e− x
9. yIV −8 yII +16 y 0
Ecuación característica
λ4 − 8 λ2 +16 = 0 ⇔ ( λ2−4 ) ( λ2−4 ) = 0λ2 − 4 ( λ+2)( λ−2)( λ+2)( λ−2 )= 0λ2 −4 ( λ+2)2 ( λ−2)2= 0
λ =−2 Raíz de multiplicidad 2λ = α Raíz de multiplicidad 2
La solución general es:
y = C1 e−2 x + C2 x e
−2 x+ C3 x2 x + C4 xe
2 x
C) Raíces complejas
1. y} } `+y`=```0} {¿¿¿
Ecuación característica
λ4 + 1 = 0λ2 =−1λ =± i Raíces de la Ec .
La solución general es:y = C1 Cos x + C2 senx
3. y} } `+4y`=```0} {¿ ¿¿
Ecuación característica
λ2 + 41 = 0λ2 =−4 ⇔ λ=± 2i Raíces de la Ecuación
La solución general es:
![Page 63: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/63.jpg)
y = C1 Cos 2 x + C2 sen2x
5. y} } `+4y´`+13 y`=```0} {¿ ¿¿
Ecuación característica
λ2 + 4 λ + 13 = 0
λ =−(−4 )± √(−4 )2−4 (13)(1 )2( t )
λ = 4 ± √16 − 522
λ = 4 ± √−362
λ = 4 ± 6 i2
¿ {λ = 2 + 3 i ¿ ¿¿
¿
¿
La solución general es:
y = C1 e2 x (3 x ) + C2 e
2 x sen (3 x )
7. y} } `+y´`+y`=```0} {¿ ¿¿
Ecuación característica
λ2 + λ + 13= 0
λ =−(1) ± √(1)2−4(1)(1 )2(1 )
λ =−1± √−32
¿
{λ1=−1+√3 i2
¿¿¿¿
La solución general es:
y = C1 e− x cos(3 x ) + C2 e
−x sen (3x )
9. y} } ` - 2y´`+4y`=```0} { ¿¿¿
Ecuación característica
λ2 −2 λ + 4 = 0
λ =−(−2)± √(−2)2−4 (1)(4 )2(1 )
λ = 2± √−122
λ = 2± 2√ 3 i2
¿ {λ1= 1+√3i ¿¿¿
La solución general es:
y = C1 ex cos(√3 x ) + C2 e
x sen (√3 x )
10. y} } ` - `6y´`+ 25y`=```0} { ¿¿¿
Ecuación característica
![Page 64: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/64.jpg)
λ2 −6 λ + 25 = 0
λ =−(−6) ± √(−6 )2−4 (1 )(25)2(1 )
λ = 6 ± √ 36 − 1002
λ = 6± √−642
¿ {λ1= 3+4 i ¿ ¿¿
La solución general es:
y = C1 e3 x cos (4 x ) + C2 e
3 x sen ( 4 x )
D) Raíces de cualquier índole
1. yIII
+4 y I = 0
Ecuación característica
λ3 +4 λ = 0λ ( λ2 + 4 ) =0 λ = 0 λ=2 i λ=−2 iRaíces de la ecuación .
La solución general es:
y = C1 + C2 cos(2 x ) + C3 sen (2x )
2. yIII
− yII
+ yI
− y = 0
Ecuación característica
λ3 − λ2+ λ − 1 = 0λ2 ( λ + 1) + ( λ+1 )=0 ( λ −1 ) ( λ2+1 )=0
λ= 1 λ=i λ =−iRaíces de la ecuación .
La solución general es:
y = C1ex + C2 cos x + C3 sen x
3. yIV
− y = 0
Ecuación característica
λ4 − 1 = 0( λ2+ 1) ( λ2−1 )=0λ = i λ=−i λ =1 λ=−1 Raíces de la ecuación .
La solución general es:
y = C1ex + C2 e
−x + C3 cos x + C4 sen x
4. yIV
+ 2 y II
+ y = 0
Ecuación característica
λ4 + 2 λ2 + 1 = 0 ⇔ ( λ2 + 1)2 = 0λ = i λ=−iRaíz de multiplicidad 2
La solución general es:
![Page 65: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/65.jpg)
y = C1 Cos x + C2 Sen x + C3 x cos x + C4 x sen x
5. yIV
+ 16 yIV + 9 yII = 0
Ecuación característica
λ6 + 6 λ4 + 9 λ2 + 4 = 0( λ2 + 1) ( λ4−λ2 + 1 )+3 (2 λ4 + 3 λ2 + 1) = 0( λ2 + 1) ( λ4−λ2 + 1 )+3 (2 λ2 + 1) ( λ2 + 1 ) = 0( λ2 + 1) ( λ4−λ2 + 1+6 λ2 + 3 ) = 0( λ2 + 1) ( λ4 +5 λ2 +4 ) = ( λ2 +1 ) ( λ2 +1) ( λ2 +4 )=0
= ( λ2 +1)2 ( λ2 +4 ) =0λ = i Raíz de multiplicidad 2λ =− i Raíz de multiplicidad 2λ =2 iλ =−2 iLa solución general es:
y = C1 Sen x + C2 Cos x + C3 x sen x + C4 x Cos x +C5 sen (2 x ) + C6 Cos (2 x )
6. yIII
+ 3 yII+ 3 yI + y = 0
Ecuación característica
λ3 + 3 λ2 + 3 λ + 1 = 0 ( λ +1)3=0λ =−1 Raíz de multiplicidad 3
La solución general es:
y = C1 e−x + C2 x e
− x + C3 x2 e−x
7. yIII
− yII+ yI− y = 0
Ecuación característica
λ3 − λ2 + λ − 1 = 0λ2 ( λ −1 ) + ( λ − 1 ) = 0( λ −1) ( λ2 + 1 ) = 0
¿
λ= 1¿ } λ = i ¿ }¿¿ Raíces de la ecuación ¿ ¿¿
La solución general es:
y = C1 ex + C2 cos x + C3 senx
8. yIII
− y = 0
Ecuación característica
λ3 − 1 = 0( λ −1) ( λ2 +λ + 1)⏟ = 0
λ2 +λ + 1= 0 λ =−1± √(1)2−9 (1 )(1)2(1 )
λ= −1± √3 i2
¿ {λ = −12+ √3 i
2¿ ¿¿
Las raíces de la ecuación son:
![Page 66: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/66.jpg)
λ =−12
+ √3i2
λ=−12
− √3i2
La solución general es:
y = C1 ex + C2 e
− x2 cos (√3 x
2 ) + C3 e− x
2 sen (√32x)
10. yIV
− y = 0
Ecuación característica
λ4 − 1 = 0( λ2 +1) ( λ2−1 ) = 0λ=1 λ =−i λ=1 λ=−1 raíces de la ecuación
La solución general es:
y = C1 ex + C2 e
−x+ C3 cos x + C4 sen x
11. yIII
− yII − 3 y I − y= 0
Ecuación característica
λ3 − λ2−3 λ−1 = 0( λ +1 ) ( λ2−2 λ −1) = 0
λ =−(−2)± √(−2)2−4 (1)(−1)2(1 )
λ = 2± √ 4+42
λ = 2±2 √ 22
λ = 1 ± √2 λ = 1 + √2λ = 1 − √2 λ = 1 − √2 λ =−1Raíces de la ecuación
La solución general es:
y = C1 ex + C2 e
x (1+√2)+ C3 ex(1−√2)
12. yIII
+4 y II + 4 yI= 0
Ecuación característica
λ3 − 4 λ2 +4 λ = 0λ ( λ2 +4 λ+4 ) = 0 λ( λ+2)2=0
λ= 0 λ=−2 Raíz de multiplicidad 2
La solución general es:
1 -1 -3 -1
-1 -1 2 1
1 -2 -1 0
1 -1 -3 -1
-1 -1 2 1
1 -2 -1 0
![Page 67: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/67.jpg)
y = C1 + C2 e−2 x+ C3 x e
−2 x
13. yIV
−14 y III− 2 y= 0
Ecuación característica
λ4 − 1 4 λ2−2 = 0
λ2 =−(−14 ) ± √(−14 )2−4 (1 )(−2)2(1)
λ2 = 14 ± √196 + 82
λ2 = 14 ± √1082
λ2 = 14 + √1082
λ2 = 14 + √1082
La solución general es:
y = C1 e√14+√108
2x+ C2 e
−√14+√1082
x+ C3 e
−√14−√1082
x+
C4 e−√14−√108
2x
14. yIV
−2 yIII + yII+2 y ´−2 y 00
Ecuación característica
λ4 − 2λ3 + λ2 +2 λ +2= 0
Las raices son:
λ = 1 λ =−1λ = 1+iλ = 1−i( λ+1 ) ( λ−1 ) ( λ2−2 λ+2 ) = 0
λ =−(−2 ) ± √(−2 )2−4 (2)(1)2
λ = 2 ± √−42
λ = 1 ± i
La solución es
y = C1 ex + C2 e
−x+ C3 ex cos x + C4 e
x senx
15. yIV
+5 y II − 9 y= 0
1 -2 1 2 -2
1 1 -1 0 2
-111
-1-1
02
2-2
0
1 -2 2 0
![Page 68: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/68.jpg)
Ecuación característica
4 λ4 + +5 λ2−9 = 04 λ2 +9λ2 −1
(4 λ2+9) ( λ2−1) = 0 4 λ2 +9 =0 λ2−1 =0
λ2 =±√94i λ =±1
λ =±32i λ =±1
Raíces de la ecuación
La solución general es:
y = C1 ex+ C2 e
−x + C3 (32 x)+ C4 sen ( 32 x)
PRACTICA 8
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS
1.- y’’ + 3y’ = 3 Solución:
y’’ + 3y’ = 3 y’ = p y’’ = dpdx
dpdx
+ 3p = 3 → dpdx
= 3 - 3p → ∫ dp3−3 p
=∫ dx U= 3 – 3p → du = - 3dp
-∫ du3u=∫dx=−3 lnu=x → x = -3lnu + c
X = - 3ln(3 – 3p) + c1
2.- yIV – 3y’’ – 4y = - 4x5 + 390x Solución:
yIV – 3y’’ – 4y = - 4x5 + 390x y’’ = px y’’’=p yIV = dpdx
y = P6
x3
dpdx−¿3px – 4
P6
x3 = - 4x5 + 390x
dpdx=¿ - 4x5 + 390x + 3px +
46
px3
dp = (- 4x5 + 390x + 3px + 46
px3 )dx
∫dp = - 4∫x5dx + 390∫xdx + 3p∫xdx + 46
p∫x3dx
p = - 4 x6
6 + 390 x
2
2 + 3p x
2
2 +
46
p x4
4 + c1
![Page 69: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/69.jpg)
p = - 2 x6
3 + 195x2 + 3p x
2
2 + p x
4
6 + c1
3.- y’’ – 4y’ = xe4 x Solución:
y’’ – 4y’ = xe4 x y’ = p y’’ = dpdx
dpdx−4 p=¿ xe4 x dp = ( xe4 x + 4p)dx
∫ x eaxdx=¿ eax
a2 ¿ (ax – 1) + c
∫ dp=∫ x e4x dx+∫ 4 pdx
p = e4x
42(4 x−1 )+4 px
p = e4x
42(4 x−1 )+4 px c1
4.- y’’ – 4y’ + 8y = e2x(sen2x – cos2x) Solución:y’’ – 4y’ + 8y = e2x(sen2x – cos2x)
y’ = p y’’ = dpdx
y = px
∫ excosxdx=12ex (senx+cosx )
∫ ex senxdx=12ex (sen−cosx)
dpdx−4 p+ px=e2x ( sen2 x−cos2 x )
dp=[4 p−px+e2x ( sen2x−cos2 x ) ]dx∫ dp=∫ 4 pdx−∫ pxdx+∫ e2x sen 2xdx−∫ excos2 xdx
p=4 px−p x2
2+ 1
2e2 x (sen 2x−cos2x )−1
2e2 x(sen2 x−cos2 x)
5.- y’’’ – 4y’ = xe2x+senx+ x2
Solución:y’’’ – 4y’ = xe2x+senx+ x2
y’ = px y’’’ = p y’’’ = dpdx
dpdx−4 px=xe2x+senx+x2
dp=(4 px+x e2x+senx+x2 )dx∫ dp=∫ 4 pxdx+∫ x e2 xdx+∫ senx dx+∫ x2dx
∫ x eaxdx= eax
a2(ax−1 )+c
p=4 px2
2+ e
2x
22(2 x−1 )−cosx+ x
3
3+c1
p=2 p x2+ e2x
4(2 x−1 )−cosx+ x
3
3+c1
6.- y’’ – y’ = x2
Solución:
y’’ – y’ = x2 y’ = p y’’ = dpdx
dpdx−p=x2
dp=( p+x2 )dx p=px+ x3
3+c1
7.- y’’’ – y’ = x + 1 Solución:
y’’’ – y’ = x + 1 y’ = px y’’ = p y’’’ =dpdx
![Page 70: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/70.jpg)
dpdx−px=x+1
dpdx=x+1+ px
∫ dp=∫ ( x+1+ px )dxdp=∫ xdx+∫ dx+∫ pxdx
p= x2
2+x+ p x
2
2+c1
8.- y’’ + 2y’ + 2y = 2(x + 1)2
Solución:y’’ + 2y’ + 2y = 2(x + 1)2
y = px y’ = p y’’ = dpdx
dpdx+2 p+ px=2 (x+1)2
dpdx=2(x+1)2−2 p−px
dpdx=2(x2+2 x+1)−2 p−px
dpdx=2 x2+4 x+2−2 p−px
∫ dp=¿ (2 x2+4 x+2−2 p−px )dx ¿∫ dp=∫2 x2dx+∫ 4 xdx+∫ 2dx−∫ 2 pdx−∫ pxdx
p=2x3
3+4x2
2+2 x−2 px−p x
2
2+c1
p=2x3
3+2 x2+2 x−2 px−p x
2
2+c1
9.- yIV + 4y’’ = 8(6x2 + 5) Solución:
yIV + 4y’’ = 8(6x2 + 5) y’’ = px y’’’ = p yIV =dpdx
dpdx+4 px=8 (6 x2+5 )⇾ dp
dx= (6 x2+5 )−4 px
dpdx=48x2+40−4 px
∫ dp=48∫ x2dx+∫ 40dx−4∫ pxdxp=48
x3
3+40 x−4 p
x2
2⇾ p=16 x3+40x−2 p x2
10.- 2y’’ – 9y’ + 4y = 18x – 4x2
Solución:
2y’’ – 9y’ + 4y = 18x – 4x2 y = px y’ = p y’’ =dpdx
2dpdx=18 x−4 x2+9 p−4 px
dpdx=9 x−2 x2+ 9
2p−2 px ⇾ dp=(9 x−2x2+ 9
2p−2 px )dx
∫ dp=9∫ xdx−2∫ x2dx+ 92px−2 p
x2
2
p=9x2
2−2 x3
3+ 9
2px−2 p
x2
2
p=92x2−2
x3
3+ 9
2px−p x2+c
![Page 71: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/71.jpg)
VARIACIÓN DE PARÁMETROS1.- y’’ + y = cosecx Solución:
y’’ + y = cosecx y = px y’ = p y’’ = dpdx
dpdx+ px=cosecx⇾ dp
dx=cosecx−px
dp=(cosecx−px )dx⇾∫dp=∫cosecxdx−p∫ xdxp=ln|cosecx−cotx|+ p x
2
2+c1
2.- y’’ + y = sec2x Solución:
y’’ + y = sec2x y = px y’ = p y’’ = dpdx
dpdx+ px=sec2 x⇾ dp
dx=sec2 x−px
dp=( sec2 x−px )dx⇾∫ dp=∫ sec2 xdx−p∫ xdxp=tgx−p x
2
2+c
3.- y’’ + y = cotgx Solución:
y’’ + y = cotgx y = px y’ = p y’’ = dpdx
dpdx+ px=cotx
dp=(cotx−px )dx⇾∫dp=∫cot xdx−p∫ xdx
p=ln|senx|−p x2
2+c
4.- y’’ + 4y = 4ctg2x Solución:
y’’ + 4y = 4ctg2x y = px y’ = p y’’ = dpdx
dpdx+4 px=4ctg 2x⇾dp=(4ctg 2x−4 px )dx
∫ dp=4∫ctg 2xdx−4 p∫ xdx∫ cotudu=ln|senu|+c 2x=u2dx=du
∫ ctgu du2 =12
ln|senu|+c=12
ln|sen2 x|+c
p=4 (12 ln|sen2 x|)−4 px2
2+c
p=2 ln|sen2 x|−2 p x2+c
5.- y’’ + 4y’ + 4y = e-2e2x Solución:
y’’ + 4y’ + 4y = e-2e2x y = px y’ = p y’’ = dpdx
dpdx+4 p+4 px=e−2 e−2x
dpdx=e−2 e−2x−4 p−4 px
∫ dp=¿ e−2∫ e−2x dx−4 p∫ dx−4 p∫ xdx ¿∫ e−udu=−e−u+c u=−2 x du=−2dx
![Page 72: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/72.jpg)
∫ e−u(−du2 )=−12
(−eu+c )=12e2x
p=12e2x e−2−4 px−4 p
x2
2+c
p=12e2x e−2−4 px−2 p x2+c
6.- y´´+ y´=sec2x.cscx
y=px y´=p y´´= dpdx
dpdx+ px=sec 2 x . cs cx
dpdx=sec 2x . cscx−px
dp=( sec2 x . cscx−px )dx∫ dp=¿∫ sec2 x . cscxdx−p∫ xdx ¿
sec2 x=1+ tan2 x
∫ sec2 x . cscxdx=∫ (1+ tan2 x )cscxdx=¿¿∫ cscx+∫ tan2 x .cscx
∫ cscxdx+¿∫ . sen2 x
cos2 x.
1senx
dx ¿∫ cscxdx+¿∫ . senxcosx.
1cosx
dx ¿
∫ cscxdx+¿∫secx . tanx dx ¿∫ dp=¿∫cs cxdx−p∫ secx .tanxdx−p∫ xdx¿
p=ln|cscx−cotx|+secx−p x2
2
7.- y ´ ´−3 y ´+2 y=e2 x (1+e2x )−1
y ´ ´−3 y ´+2 y= e2 x
1+e2x
y=px y´=p y´´= dpdx
dpdx−3 p+2 px= e2x
1+e2x
dpdx= e2x
1+e2x+3 p−2 px
dpdx= e2x
1+e2x+3 p−2 px
dp=∫ e2x
1+e2 x+3 p∫ dx−2 p∫ xdx
∫ duu =ln|u|u=1+¿ e2x ;du=e2xdx ¿
p=ln|1+e2x|+3 px−2 px2
2p=ln|1+e2x|+3 px−p x2
8. y´´+ y= tanx
y=px y´=p y´´= dpdx
dpdx+ px=tanx
dpdx=tanx−px
dp=∫¿¿)dx
∫ dp=∫ tanx−p∫ xdx P=ln|sec2 x|- p x
2
2+c
10.- y´´-3y´+2y=cos (e− x)
y= px y´= p y´´= dpdx
dpdx+3 p−2 px=cos (e−x )
dp=[cos (e−x )dx+3 p−2 px ]dx∫ p=∫ cos (e− x )dx−3 p∫ dx−2 p∫ xdx
![Page 73: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/73.jpg)
P=sen(e− x¿+3px-px2 +c9.- y´´+ y=x2 . e
x2
2
y=px y´=p y´´= dpdx
dpdx
-px=x2 . ex2
2
dp=(px+x2 . ex2
2 )dx
∫ x . ex2
2 dx=a(x−a)exa+c
∫ p=p∫ xdx+∫ x2 .ex2
2 dx
P=p x2
2+2(x2−2)e
x2
2 +c
ECUACIONES DIFERENCIALES DE EULER1. x2y´´+xy´-y=0
X=e t→t=ln ( x )dydx=e−t dy
dt d2 yd x2=e
−2 t ( d2 ydt−dydt)
En la ecuación diferencial
e2 t . e−2t ( d2 yd t2−dydt )−et .e−t dydx− y=0
d2 ydt− y=0
α 2−1=0→ (α−1 ) (α+1 )=0α=1 ; α=-1y(t)=c1 x+ c2x
2.- x2y´´+xy´+9y=0X=et t=lnx
dydx=e−t dy
dx d2 yd x2=e
−2 t ( d2 ydt−dydt)
e2 t . e−2t ( d2 yd t2−dydt )−et .e−t dydx−9 y=0
d2 ydt+9 y=0
α 2+9=0α =∓√9 i =∓3iy(t)=c1 e√9 i+c2 e
−√9 i=c1 e3 i+c2 e
−3i
y=c1 x√9 i+
c2
c1 x√9i=c1 x
3i+c2
x3i
y=c1 x3 i+
c2
x3 i
3.- x2y´´-3xy´+7y=0X=et t=lnx
dydx=e−t dy
dx d2 yd x2=e
−2 t ( d2 ydt−dydt)
e2 t . e−2t ( d2 yd t2−dydt )−3et . e−t
dydt+7 y=0
d2 yd t2−4
dydt
+7y=0
![Page 74: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/74.jpg)
α 2−4 α+7=0→(α−2)2=−3α1=2+√3i; α2=2-√3iy(t)=c1 e(2+√3 i)t+c2 e
(2−√3i ) t
y=c1 e2+√3 i+ c2
x2−√3 i
4.- (x-2)2y´´-(3x-2)y´+7y=0X+2=et t=ln(x+2)
dydx=e−t dy
dx d2 yd x2=e
−2 t ( d2 ydt−dydt)
e2 t . e−2t ( d2 yd t2−dydt )+8e t . e−t
dydt+12 y=0
d2 yd t2
+2dydt−3 y=0
α 2+2α−3=0α1=-3; α2=1y(t)=c1 et+c2e
−3 t
y=c1(x−2)+c2
(x+2)3
5.- .- (x-1)2y´´-8(x-1)y´+12y=0 X-1=et t=ln(x-1)dydx=e−t dy
dx d2 yd x2=e
−2 t ( d2 ydt−dydt)
e2 t . e−2t ( d2 yd t2−dydt )+8e t . e−t
dydt+12 y=0
d2 yd t2
+7dydt+12 y=0
α 2+7α+12=0α1=-4; α2=-3y(t)=c1 e−4 t+c2 e
−3 t
y= c1
(x−1)4+
c2
(x−1)3
6.- x2y´´+xy´+y=x(6-lnx) X=et t=lnxdydx=e−t dy
dx d2 yd x2=e
−2 t ( d2 ydt−dydt)
e2 t . e−2t ( d2 yd t2−dydt )+e t . e−t dydt + y=e t(6−t)
d2 yd t2
+ y=e t(6−t )
α 2+1=0α1=i ; α2=-iy(t)=c1 cost++c2 senty(t)=c1 coslnx++c2 senlnxyp=c1(At+B)e tYg=- t2+ 72Yp= lnx
2+7
2 Y=yp+yg=c1cos(lnx) +c2sen(lnx) - - lnx2 + 72
7.- x2y´´-xy´+y=2x
![Page 75: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/75.jpg)
X=et t=lnxdydx=e−t dy
dx d2 yd x2=e
−2 t ( d2 ydt−dydt)
e2 t . e−2t ( d2 yd t2−dydt )−et .e−t dydt + y=2e t
d2 yd t2−2
dydt+ y=2e t
α 2−2α+1=0α=1y(t)=c1 e
t+c2et→ yp=c1x+c2xlnxYp(t)=At2e t → Yp(t)= t2e tYp=xln2xY=c1x+c2xlnx+xln2x
8.- x2y´´-xy´-3y=-(16 lnx) x-1
X=et t=lnxdydx=e−t dy
dx d2 yd x2=e
−2 t ( d2 ydt−dydt)
e2 t . e−2t ( d2 yd t2−dydt )−et .e−t dydt −3 y=−16 e−t .t
d2 yd t2−2
dydt−3 y=−16 t e−t
α 2−2α−3=0α 1=3 ,α 2=−1yg(t)=c2 e
3 t+c2e−t
yg(t)=c1x3+c2x
yp(t)=t(At+B)e−t
yp(t)=2t2e−t+ t e−t
yp=2 ln2 xx+ lnxx
y= yp+ ygy=c1x3+c2x+2
ln2 xx
+lnxx
9.- x2y´´+4xy´+2y=-2 ln2x+12xX=et t=lnx
dydx=e−t dy
dx d2 yd x2=e
−2 t ( d2 ydt−dydt)
e2 t . e−2t ( d2 yd t2−dydt )+4e t . e−t
dydt+2 y=2 t2+12e t
d2 yd t2
+3dydt+2 y=2 t2+12e t
α 2+3α+2=0α 1=−1 ,α 2=−2yg(t)=c1 e
−t+c2 e−2t
yg(t)= c1
x+c2
x2
yp(t)=At2+Bt+D+Det
yp(t)=t2−3 t+7+2et
yp =ln2x- 3lnx+7+2xy= =c1x+ c2x+ ln2 x+3 lnx+7+2x
10.- (1+x)2y´´-3(1+x)y´+4y=(1+x)3
X=et t=lnx
![Page 76: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/76.jpg)
dydx=e−t dy
dx d2 yd x2=e
−2 t ( d2 ydt−dydt)
e2 t . e−2t ( d2 yd t2−dydt )−3et . e−t
dydt+4 y=e3 t
d2 yd t2−4
dydt+4 y=e3 t
α 2−4 α+4=0α=2yg(t)=c1 e
−2t
yg(t)= c1 x2
yp(t)=Ae3 t
yp(t)=e3 t
32−1 → x3
32−1
y= yp+ yg=c1 x2+ x3
32−1
ECUACIONES DE BESSEL Y GAUSS
1) Comprobar que :
d J 0(X)
dx=−J 1(X)
J0( X)=∑n=0
∞
¿¿
J0( X)=1−( x
2)
2
+ 1(2! )2
( X2)
4
− 1(3 !)2
( X2)
6
+….+¿¿
d J 0(X )
dx=−( x2 )+ 1
1!2 ! ( x2 )3
− 12!3 ! ( x2 )
5
++…(−1)n+1 1(n !) (n+1 ) !
( x2)2n+1
d J 0(X )
dx=¿ −¿¿]
d J 0(X )
dx=−∑
n=0
∞
¿¿
d J 0(X )
dx=−J 1(X)
2) Comprobar que :
a)ddx (x
K J k ( X ))=xK J k−1( X )
xK J k( X )=( x
2
2)k
¿
+12 ! (k+2 )! ( x2 )
4
−…+ 1n! (k+1 ) ! ( x2 )
2n}
ddx (x
K J k ( X ))=(2k )x2 K−1
2k { 1k !− 1
1 ! (k+1 ) ! ( x2 )2
![Page 77: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/77.jpg)
+12! ( k+2 )! ( x2 )
4
−…+(−1) n
n! (k+n )! ( x2 )2n
}
+ x2 K
2k { −10 ! (k+1 ) ! ( x2 )+ 1
1 ! (k+2 )! ( x2 )3
− −12! ( k+3 ) ! ( x2 )
5
+…+(−1)n+1
n! ( k+n+1 ) ! ( x2 )(2n+1)}
ddx (x
K J k ( X ))= x2 K−1
2k−1 ¿
k2! ( k+2 )! ( x2 )
4
−…+(−1¿¿ )n kn ! (k+n )! ( x2 )
2n
}¿
+
x2 K−1
2k−1 { −10 ! (k+1 )! ( x2 )
2
+ 11! ( k+2 )! ( x2 )
4
− −12 ! (k+3 )! ( x2 )
6
+…+(−1)n+1
n ! (k+n+1 ) ! ( x2 )2(n+1)}
ddx (x
K J k ( X ))= x2 K−1
2k−1 ¿
k+22! ( k+2 )! ( x2 )
4
−…+k+n
n! (k+n )! ( x2 )2n
}
ddx (x
K J k ( X ))= x2 K−1
2k−1 ¿
12! ( k+1 )! ( x2 )
4
−…+(−1)n
n! (k+n−1 )! ( x2 )2n
}
Por lo tanto :
ddx (x
K J k ( X ))=xK J k−1( X )
b)ddx (x
−K Jk ( X ))=−x−K J k +1( X )
Debemos llegar a :
−x−K J k+1( X )=−x−K ( x
2
2)k +1
¿
+12! ( k+3 ) ! ( x2 )
4
−…+1
1! (k+n+1 ) ! ( x2 )2n
}
K ! = (k-1)! K KK!= 1
(K−1 )!
(K+1)! = K! (K+1) K+1(K+1)!
= 1K !
![Page 78: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/78.jpg)
−x−K J k+1( X )=−X
2k+1¿
+12! (K+3 )! ( x2 )
4
−…+1
1 ! (K+n+1 )! ( x2 )2n
}
Partimos de :
x−K J k ( X )= 1
2K¿
+12 ! (k+2 )! ( x2 )
4
−…+ 1n! (k+1 ) ! ( x2 )
2n}ddx (x
−K Jk ( X ))=¿
12K { −1
0 ! (k+1 )! ( x2 )+ 11! (k+2 ) ! ( x2 )
3
− −12 ! (k+3 )! ( x2 )
5
+…+(−1)n+1
n ! (k+n+1 )! ( x2 )(2n+1)}
ddx (x
−K Jk ( X ))=¿
−X2K+1 { 1
0 ! ( k+1 )!− 1
1 ! (k+2 ) ! ( x2 )2
+ 12! (k+3 ) ! ( x2 )
4
−…+(−1)n+1
n! (k+n+1 ) ! ( x2 )2n}
ddx (x
−K Jk ( X ))=¿ −x−K J k+1( X )
4.- probar que:
ex2(t−1
t)=J0 ( x )+ t J 1 ( x )+⋯+t
k J k ( x )+⋯+1tJ−1 ( x )+⋯+
1t kJ−k ( x )+⋯⋯=∑
n=−∞
∞
tn J n (x )
Partimos de la igualdad:
ex2(t−1
t)=J0 ( x )+ t J 1 ( x )+⋯+t
k J k ( x )+⋯+1tJ−1 ( x )+⋯+
1t kJ−k ( x )+⋯
x2 (t−1
t )=ln (1×J 0 (x ) )+ ln (t × J 1 ( x ) )+⋯+ ln ( tk×J k ( x ) )+⋯+ ln( 1t × J−1 ( x ))+⋯+ ln( 1
t k×J−k ( x ))+⋯
x2 (t−1
t )=ln (1 )+ ln (J 0 ( x ))+ ln ( t )+ ln (J 1 ( x ) )+⋯+ ln (t k)+ ln (Jk ( x ) )+⋯+ln( 1t )+ ln (J−1 ( x ) )+⋯+ ln( 1
t k )+ln (J−k ( x ) )+⋯⋯
x2 (t−1
t )=ln (J 0 (x )×J1 ( x )×⋯×J k ( x )×⋯ )+ ln (J−1 ( x )×⋯×J−k (x )×⋯ )+ ln (1×t×t 2×⋯×t k×⋯ )+ln( 1t × 1
t 2×⋯×1
t k×⋯)
Hallando el equivalente en sumatorias:
![Page 79: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/79.jpg)
x2 (t−1
t )=∑n=0
∞
ln (Jn ( x ))+∑n=−∞
−1
ln (J n (x ) )+∑n=0
∞
ln (t n )+∑n=−∞
−1
ln (tn )
x2 (t−1
t )=∑−∞∞
ln (J n ( x ))+∑−∞
∞
ln (t n )
x2 (t−1
t )=∑−∞∞
[ ln (Jn ( x ) )+ln (t n ) ]x2 (t−1
t )=∑−∞∞
ln (t n×J n ( x ) )
ex2(t−1
t)=∑−∞
∞
t n×J n (x )
∴ ex2(t−1
t)=J0 ( x )+t J1 ( x )+⋯+t
k J k (x )+⋯+1tJ−1 ( x )+⋯+
1t kJ−k ( x )+⋯⋯=∑
n=−∞
∞
t n Jn ( x )
5.-
SOLUCION:
+ + 1 = 2 ; = 3/2
= 1 - = 1/4
(1 - ) = 1/4
- 2 - ¼ = 0
2 - + ¼ = 0
= ½ ; = ½ ; = 3/2
ANALOGAMENTE:
![Page 80: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/80.jpg)
y = Ay1 + By2
6.- resolver mediante serie:(x−x2 ) y´ ´+4 (1−x ) y´−2 y=0
Solución:(x−x2 ) y´ ´+4 (1−x ) y´−2 y=0 ,mediante gaussγ=4 , αβ=2 , α+β+1=4 , resolviendoobtenemos :
α=1 , β=2 , γ=4 , x=xy 1=F (α , β , γ , x ) , reemplazandoobtenemos :
y 1=(1+ x2+ 3
10x2+ 1
5x3……)
Análogamente:y 2=x1−γ F (α−γ+1 , β−γ+1,2−γ , x ) , reemplazandoobtenemos
y 2=x1−γ F (−2 ,−1 ,−2 , x )y 2=x−3 (1+2x .. )
La solución completa será:
y=A (1+ x2 + 310x2+ 1
5x3……)+Bx−3 (1+2 x .. )
7.- probar que:
a) F (α , β , β , x )=(1−x )−α
b) xF (1,1,2 ,−x )=ln(1+x )
a) F (α , β , β , x )=(1−x )−α
Como:
y=F (α ,β , γ , x )=F (α ,β , β , x )tenemos : α=α , β=β , γ=β , x=x
Como:
y=1+αβ1 γ
x+α ( α+1 )β ( β+1)1x 2xγ (γ+1)
x2+
α (α+1)(α+2) β (β+1 )( β+2 )1 x2 xγ( γ+1 )(γ+2 )
x3+.. . .
Reemplazando obtenemos:
![Page 81: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/81.jpg)
y=1+x+α(α+1)1 x2
x2+
α (α+1)(α+2)1 x2 x3
x3+
α (α+1)(α+2)(α+3)1 x2 x3 x 4
x4+. .. .. . ..
Como :
(1−x )−n=1+x+n(n+1)2 !
x2+
n( n+1)(n+2 )3 !
x3+
n( n+1)(n+2 )(n+3 )4 !
x 4+. .. . .. ..
entonces :y= (1−x )−αEntonces queda probado que:
F (α , β , β , x )=(1−x )−α
b) xF (1,1,2 ,−x )=ln(1+x )
Como:
y=F (α ,β , γ , x )=F (1,1,2 ,−x )tenemos : α=1 , β=1 , γ=2 , x=−x
Como:
y=xalignl [1+ αβ1 γx+ ¿] [α (α+1 )β ( β+1)
1 x2 xγ (γ+1 )x2+ ¿][α (α+1)(α+2) β (β+1 )( β+2 )
1 x2 xγ( γ+1)( γ+2 )x3 ¿]¿
¿¿¿
Reemplazando obtenemos:
y=xalignl [1−x2 +2x 22x 2x 3
x2+2x 3 x2 x32x 3 x2 x3 x 4
x3 ¿]¿¿
¿¿
¿
¿
Entonces queda probado que:xF (1,1,2 ,−x )=ln(1+x )
![Page 82: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/82.jpg)
8.- probar que el cambio de variable dependiente y=z √ x transforma
la ecuación y' '+ y=0en una ecuación de Bessel.
Hacemos el cambio de variable y=z √ xy=z √ xy '=z '√ x+z
2√xy ' '=z ' ' √x+z
'
2√x+z '
2√ x−z
4 x3
2
y ' '=z ' ' √x+z'
√ x−z
4 x3
2Reemplazando en la ecuación
obtenemos:
y ' '+ y=z ' ' √x+z'
√ x−z
4 x3
2
+z √x=0
x2 z ' '+x z '−z4+x2 z
x3
2
=0 , para∀ x>0
x2 z ' '+x z '−z4+x2 z=0
x2 z ' '+x z '+( x2− z4) z=0
Vemos que con el cambio de variable de
y=z √ x a la ecuación y' '+ y=0 se transforma en una ecuación de
Bessel.
INTEGRACION POR SERIES
1).-Resolver y '− y−x2=0 mediante una serie de potencia de x que satisfaga la condición y= y0 para x=o.
SoluciónSuponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x
2+A3 x3+A4 x
4+…+An xn+…---(¿)
Donde A0= y0 y las restantes Ai∀ i=1,2 ,…son constantes para determinar.Sea:y '=A1+2 A2 x+3 A3 x
2+4 A4 x3+5 A5 x
4+…+nAn xn−1+…
− y=−A0−A1 x−A2 x2−A3 x
3−A4 x4−…−An x
n−…
−x2=−x2
![Page 83: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/83.jpg)
y '− y−x2= (A1−A0 )+ (2 A2−A1 ) x+ (3 A3−A2−1 ) x2+(4 A4−A3 ) x3+…+(n An−An−1 ) xn−1+((n+1)An+1−An ) xn+…0=( A1−A0 )+(2 A2−A1) x+(3 A3−A2−1 ) x2+(4 A4−A3) x3+…+(n An−An−1 ) xn−1+ ((n+1) An+1−An ) xn+…
Por lo tanto: A1−A0=0 ⇒ A1=A0= y0 ⇒ A1= y0
2 A2−A1=0 ⇒ A2=12A
1 ⇒ A2=
12y
0
3 A3−A2−1=0 ⇒ A3=13(A¿¿2+1)¿ ⇒ A3=
12∗3
( y¿¿0+2)¿
4 A4−A3=0 ⇒ A4=14(A ¿¿3)¿ ⇒ A4=
12∗3∗4
( y¿¿0+2)¿
.
.
nAn−An−1=0 ⇒ An=1n(A ¿¿n−1)¿ ⇒ An=
1n !( y¿¿0+2)∀ n≥3¿
.
.Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en (¿) se tiene:
y= y0+ y0 x+y0
2x2+ 1
3 !( y0+2 ) x3+ 1
4 !( y 0+2 )x4+…+ 1
n!( y0+2 ) xn+…
NOTA.-
ex= 10 !+ x
1!+ 1
2!x2+ 1
3 !x3+ 1
4 !x4+…+ 1
n!xn+…
y=( y¿¿0+2−2)+( y0 x+2 x−2x )+( y0
2x2+ 2
2x2−2
2x2)+ 1
3 !( y0+2 ) x3+…+ 1
n!( y0+2 ) xn+…¿
y=( y0+2 )
0 !1+
( y0+2 )1 !
x+( y0+2)
2 !x2+ 1
3 !( y0+2 ) x3+…+ 1
n !( y0+2 ) xn+…+(−2−2 x−x2)
![Page 84: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/84.jpg)
y=( y0+2 )ex+(−2−2x− x2)
∴ y=( y0+2 )ex−(2+2 x+x2)
2).- Resolver y '=x2−4 x+ y+1 satisfaciendo la condición y=3 cuando x=2.SoluciónSea:y0= y=3 ; x0=x=2i ¿.−Hacemos v=x−2⇒ x=v+2⇒ dx=dv
Luegodydx=dydv=v2+ y−3=F(v , y)
ii¿ .−¿Suponiendo que:y=A0+A1 v+A2 v
2+A3 v3+A4 v
4+…+An vn+…---(¿)
Luego:y '−v2− y+3=0 será de la forma:y '=A1+2 A2 v+3 A3 v
2+4 A4 v3+…+nAn v
n−1+…−v2=−v2
− y=−A0−A1 v−A2 v2−A3 v
3−A4 v4−…−An v
n−…3=3
y '−v2− y+3=( A1−A0+3 )+(2 A2−A1 ) v+(3 A3−A2−1 )v2+¿
Como y '−v2− y+3=0 se dirá lo siguiente: 2 A0−A1=0 ⇒ A1=A0−3= y0−3 ⇒A1=O
2 A0−A1=0 ⇒ A2=0
3 A3−A2−1=0 ⇒ A3=13
4 A4−A3=0 ⇒ A4=1
4∗3
5 A5−A4=0 ⇒ A5=1
5∗4∗3
![Page 85: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/85.jpg)
.
. An=1
n∗(n−1 )∗…4∗3∗(2
2)
⇒ An=2n!
∀n≥3
Luego reemplazando en (¿) tenemos lo siguiente:
y=3+ 13v3∗( 22 )+…+ 2
n !vn+…
iii¿ .−Haciendov=x−2 se tiene :
∴ y=3+ 23!(x−2)3+ 2
4 !(x−2)4…+ 2
n!( x−2)n+…
3).- Resolver (1−x ) y'=2x− y mediante una serie que satisfaga la condición y= y0 cuando x=o.SoluciónLa ecuación diferencial será:
(1−x ) y'+ y−2x=0Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x
2+A3 x3+A4 x
4+…+An xn+…---(¿)
Donde A0= y0 y las restantes Ai∀ i=1,2 ,…son constantes para determinar.Sea:(1−x ) y '=A1 (1−x )+2 A2 (x−x2 )+3 A3 (x2−x3 )+…+nAn(x¿¿n−1−xn)+(n+1)An+1(x¿¿n−x
n+1)+…¿¿y=A0+A1 x+A2 x
2+A3 x3+A4 x
4+…+An xn+An+1 x
n+1+…−2 x=−2 x
(1−x ) y '+ y−2 x=( A1+A0 )+ (2 A2−2 ) x+¿0=( A1+A0 )+ (2 A2−2 ) x+¿
![Page 86: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/86.jpg)
Por lo tanto: A1+A0=0 ⇒ A1=−A0=− y 0 ⇒ A1=− y0
2 A2−2=0 ⇒ A2=1
−A2+3 A3=0 ⇒ A3=13
−2 A3+4 A4=0 ⇒A4=1
2∗3.
−(n−1)An−(n+1)An+1=0 ⇒
2
(n−1 )∗n∀n≥2
.Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en (¿) se tiene:
∴ y= y0− y0 x+22x
2
+ 2∗12∗3
x3+ 24∗3
x4+…+ 2(n−1)∗n
xn+…
5).- Resolver xy '− y=x+1 mediante potencias de (x−1).
SoluciónLa ecuación diferencial será:
xy '− y−x−1=0Además:v=x−1⇒ x=v+1⇒ dx=dv
Luegodydx=dydv= y+v+2
(v+1 )=F (v , y )
Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 v+A2 v
2+A3 v3+A4 v
4+…+An vn+…---(¿)
Luego:( v+1 ) y '− y−v−2=0 será de la forma:
![Page 87: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/87.jpg)
( v+1 ) y '=A1v+A1+2 A2 v+2 A2 v2+3 A3 v
2+4 A4 v3+4 A4 v
4+…+nAn vn−1+nAn v
n+…− y=A0−A1 v−A2 v
2−A3 v3−A4 v
4−…−An vn−…
−v=−v−2=−2
( v+1 ) y '− y−v−2=(−A0−2+A1 )+(2 A2−1 )v+(3 A3+A2 )v2+¿
Como: ( v+1 ) y '− y−v−2=0
Se dirá lo siguiente: −A0−2+A1=0 ⇒ A1=3
2 A2−1=0 ⇒ A2=12
3 A3+A2=0 ⇒ A3=−12∗3
4 A4+2 A3=0 ⇒ A4=2
2∗3∗4
3 A4+5 A5=0 ⇒ A5=6
2∗3∗4∗5.
⇒ An+1=−(n−1)An
(n+1 ) n∀ ≥2
Luego reemplazando en (¿) tenemos lo siguiente:
y=1+3 v+ v2
2− v3
2∗3+ 2v4
2∗3∗4− 6v5
2∗3∗4∗5+…
y=1+3 v+ v2
2 !− v
3
3 !+2 v4
4 !−6v5
5!+…
![Page 88: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/88.jpg)
y=Haciendo v=x−1 setiene :
∴ y=1+3(x−1)+(x−1)2
2 !−( x−1)3
3 !+
2( x−1)4
4 !−
6 (x−1)5
5!+…
7).- Resolver (1+x2 ) y ' '+x y '− y=0 mediante potencias de x.SoluciónLa ecuación diferencial será:
(1+x2 ) y ' '+x y '− y=0Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x
2+A3 x3+A4 x
4+…+An xn+…---(¿)
Sea:(1+x2) y ' '=2 A2+2 A2 x
2+6 A3 x+6 A3 x3+12 A4 x
2+12 A4 x4+20 A5 x
3+20 A5 x5+30 A6 x
4+30 A6 x6+…+(n∗(n−1 ) ) An xn−2+(n∗(n−1 ) ) An xn+…
x y'=A1 x+2 A2 x2+3 A3 x
3+4 A4 x4+5 A5 x
5+6 A6 x6+…+nAn x
n+…− y=A0−A1 x−A2 x
2−A3 x3−A4 x
4−…−An xn−…
(1+x2 ) y ' '+x y '− y=(2 A2−A0 )+(6 A3 ) x+¿
0=(2 A2−A0)+ (6 A3 ) x+¿
Por lo tanto:
2 A2−A0=0 ⇒ A2=A0
2 6 A3=0 ⇒ A3=0
3 A2+12 A4=0 ⇒ A4=−A0
8
8 A3+20 A5=0 ⇒A5=0
2 A6+A4=0 ⇒ A6=A0
16.
![Page 89: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/89.jpg)
Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en (¿) se tiene:
y=A0+A1 x+A0
2x2+(0 ) x3−
A0
8x4+(0 ) x5+
A0
16x6+…
∴ y=A0(1+ x2
2− x
4
8+ x
6
16…)+A1 x+5¿ XXXX
9).- Resolver y ' '−2x2 y '+4 xy=x2+2 x+2 mediante potencias de x.Solución
La ecuación diferencial será:y ' '−2x2 y '+4 xy−x2−2 x−2=0
Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x
2+A3 x3+A4 x
4+…+An xn+…---(¿)
Sea:y ' '=2 A2+6 A3 x+12 A4 x
2+20 A5 x3+30 A6 x
4+…+¿(n∗(n−1 )) An x
n−2+…−2 x2 y '=−2 A1 x
2−4 A2 x3−6 A3 x
4−8 A4 x5−10 A5 x
6−…−2nAn xn+1−…
4 xy=4 A0 x+4 A1 x2+4 A2 x
3+4 A3 x4+4 A4 x
5+…+4 An xn+1+…
−x2=−x2
−2 x=−2 x−2=−2
y ' '−2x2 y '+4 xy−x2−2 x−2=(2 A2−2 A1−2 )+(6 A3+4 A0−2 ) x+¿
0=(2 A2−2 A1−2 )+(6 A3+4 A0−2 ) x+¿
Por lo tanto: 2 A2−2 A1−2=0 ⇒ A2=A1+1
![Page 90: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/90.jpg)
6 A3+4 A0−2=0 ⇒ A3=1−2 A0
3
12 A4−2 A1+4 A1−1=0 ⇒ A4=1−2 A1
12
2 0 A5−4 A2+4 A2=0 ⇒A5=0
30 A6−6 A3+4 A3=0 ⇒ A6=1−2 A0
45.
(n+1 )∗(n+2) An+2−(2n−2)An−1+4 An−1=0
.
.Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en (¿) se tiene:
y=A0+A1 x+(A ¿¿1+1)x2+( 1−2 A0
3 )x3+( 1−2 A1
12 ) x4+(0 ) x5+(1−2 A0
45)x6+…¿
∴ y=A0(1−23x3− 2
45x6+…)+A1+5¿(x+x2−1
6x 4+…)+x2+ 1
3x3 +1
12x
4
+ 145x6
10).- Resolver y ' '+ (x−1 ) y '+ y=0 mediante potencias de (x−2).Solución
La ecuación diferencial será:y ' '+ (x−1 ) y '+ y=0
Además:v=x−2⇒ x=v+2⇒ dx=dv
Luegodydx=dydv=−( y¿¿ ' '+ y )
(v+1 )=F(v , y)¿
Suponiendo que la solución es de la forma:
![Page 91: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/91.jpg)
y=A0+A1 v+A2 v2+A3 v
3+A4 v4+…+An v
n+…---(¿)Luego:y ' '+ (v+1 ) y '+ y=0 será de la forma:y ' '=2 A2+6 A3 v+12 A4 v
2+12 A5 v3+30 A6 v
4+…+n∗(n−1)An vn−2+…
( v+1 ) y '=A1v+A1+2 A2 v+2 A2 v2+3 A3 v
2+4 A4 v3+4 A4 v
4+…+nAn vn−1+nAn v
n+…y=A0+A1 v+A2 v
2+A3 v3+A4 v
4+…+An vn+…
y ' '+ (v+1 ) y '+ y=(A1+2+2 A2 )+(2 A2+2 A1+6 A3 )v+(3 A3+3 A2+12 A4 )v2+¿
Como:
y ' '+ (v+1 ) y '+ y=0
Se dirá lo siguiente:
A1+2+2 A2=0 ⇒ A2=−2−A1
2
2 A2+2 A1+6 A3=0 ⇒ A3=2−A1
6
3 A3+3 A2+12 A4=0 ⇒ A4=4 A1+4
48
4 A4+4 A3+20 A5=0 ⇒ A5=4 A1−20
240
⇒ An+2=An+An+1
(n+2 )n∀ ≥1
Luego reemplazando en (¿) tenemos lo siguiente:
y=A0+A1 v+(−2−A1
2 )v2+( 2−A1
6 )v3+( 4 A1+4
48 )v4+( 4 A1−20
240 ) v5+…
y=A0+A1(v− v2
2− v
3
6+ v
4
12+ v
5
60+…)+ v2
2+ v
3
3+ v
4
12− v
5
12+…
![Page 92: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/92.jpg)
Haciendo v=x−2 se tiene :
∴ y=A0+A1((x−2)−(x−2)2
2−(x−2)3
6+(x−2)4
12+(x−2)5
60+…)+ (x−2)2
2+(x−2)3
3+(x−2)4
12−(x−2)5
12+…
11).- Resolver (1−x ) y '=x2− y según potencias de x.
SoluciónLa ecuación diferencial será:
(1−x ) y '−x2+ y=0Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x
2+A3 x3+A4 x
4+…+An xn+…---(¿)
Sea:(1−x ) y '=A1−A1 x+2 A2 x−2 A2 x
2+3 A3 x2−3 A3 x
3+4 A4 x3−4 A4 x
4+…+nAn xn−1−nAn x
n+…−x2=−x2
y=A0+A1 x+A2 x2+A3 x
3+A4 x4+…+An x
n+…
(1−x ) y '−x2+ y=( A1+A0 )+(2 A2 ) x+ (3 A3−A2 ) x2+ (4 A4−2 A3) x3+…+( (n+1 ) An+1−(n−1)An ) xn+…
0=( A1+A0 )+ (2 A2 )x+(3 A3−A2 ) x2+(4 A4−2 A3 ) x3+…+( (n+1 ) An+1−(n−1)An ) xn+…xn+…
Por lo tanto: A1+A0=0 ⇒ A1=−A0=− y 0
2 A2=0 ⇒ A2=0
3 A3−A2=0 ⇒ A3=0
4 A4−2 A3=0 ⇒A4=0
..
![Page 93: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/93.jpg)
(n+1 ) An+1−(n−1)An=0
..Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en (¿) se tiene:y= y0− y0 x
∴ y= y0(1−x )
13).- Resolver y '=2 x2+3 y mediante potencias de x .
SoluciónLa ecuación diferencial será:
y '−3x−2x2=0Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x
2+A3 x3+A4 x
4+…+An xn+…---(¿)
Sea:y '=A1+2 A2 x+3 A3 x
2+4 A4 x3+5 A5 x
4+…+nAn xn−1+…
−3 y=−3 A0−3 A1 x−3 A2 x2−3 A3 x
3−3 A4 x4−…−3 An x
n−…−2 x2=−2x2
y '−3 x−2 x2=(A1−3 A0 )+(2 A2−3 A1 ) x+ (3 A3−3 A2−2 )x2+(4 A4−3 A3 ) x3+(5 A5−3 A4 ) x4+…+( (n+1 ) An+1−(n−1)An ) xn+…
0=( A1−3 A0 )+(2 A2−3 A1 ) x+ (3 A3−3 A2−2 )x2+(4 A4−3 A3 ) x3+(5 A5−3 A4 ) x4+…+((n+1 ) An+1−(n−1)An ) xn+…Por lo tanto: A1−3 A0=0 ⇒ A1=3 y0
2 A2−3 A1=0 ⇒ A2=3 y0
2
3 A3−3 A2−2=0 ⇒ A3=9 y0+4
2∗3
4 A4−3 A3=0 ⇒A4=3(9 y0+4)
2∗3∗4
![Page 94: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/94.jpg)
5 A5−3 A4=0 ⇒ A5=9 (9 y0+4 )2∗3∗4∗5
. (n+1 ) An+1−(n−1)An=0
.
Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en (¿) se tiene:
y= y0+3 y 0 x+3 y0
2x2+(9 y0+4)
2∗3x3+( 3(9 y0+4)
2∗3∗4 ) x4+( 9(9 y0+4)2∗3∗4∗5 )x5+…
∴ y= y0+3 y0 x+3 y0
2x2+(9 y0+4 )[ x3
3 !+ 3 x4
4 !+ 9 x5
5 !+… ]
17).- Resolver y ' '−x y '+x2 y=0 mediante potencias de x.
SoluciónLa ecuación diferencial será:
y ' '−xy '+x2 y=0Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x
2+A3 x3+A4 x
4+…+An xn+…---(¿)
Sea:y ' '=2 A2+6 A3 x+12 A4 x
2+20 A5 x3+30 A6 x
4+…+¿(n∗(n−1 )) An x
n−2+…−x y '=−A1 x−2 A2 x
2−3 A3 x3−4 A4 x
4−5 A5 x5−6 A6 x
6−…−nAn xn−…
x2 y '=A0 x2+A1 x
3+A2 x4+A3 x
5+A4 x6+…+An x
n+2+…
y ' '+2 x2 y−1−x−x2=(2 A2 )+(6 A3−A1 ) x+¿
![Page 95: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/95.jpg)
0=(2 A2 )+(6 A3−A1 ) x+¿Por lo tanto: 2 A2=0 ⇒ A2=0
6 A3−A1=0 ⇒ A3=A1
6
12 A4−2 A2+A0=0 ⇒ A4=−A0
12
2 0 A5−3 A3+A1=0 ⇒A5=3 A1
40
30 A6−4 A4+A2=0 ⇒ A6=−A0
90.
(n+1 )∗(n+2 ) An+2−n An+An−2=0
.
.Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en (¿) se tiene:
y=A0+A1 x+A0
6x3+(−A0
12 )x 4+( 3 A1
40 ) x5+(−A0
90) x6+…
∴ y=A0(1− x4
12− x
6
90+…)+A1+5¿(x+ x3
6+ 3x5
40+…)
19).- Resolver y ' '+x2 y=1+x+x2según potencias de x.
SoluciónLa ecuación diferencial será:
![Page 96: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/96.jpg)
y ' '+2 x2 y−1−x−x2=0Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x
2+A3 x3+A4 x
4+…+An xn+…---(¿)
Sea:y ' '=2 A2+6 A3 x+12 A4 x
2+20 A5 x3+30 A6 x
4+…+¿(n∗(n−1 )) An x
n−2+…x2 y '=A0 x
2+A1 x3+A2 x
4+A3 x5+A4 x
6+…+An xn+2+…
−1=−1−x=−x−x2=−x2
y ' '+2 x2 y−1−x−x2=(2 A2−1 )+(6 A3−1 )x+¿
0=(2 A2−1 )+(6 A3−1 ) x+¿
Por lo tanto:
2 A2−1=0 ⇒ A2=12
6 A3−1=0 ⇒ A3=16
12 A4+A0−1=0 ⇒ A4=1−A0
12
2 0 A5+A1=0 ⇒A5=−A1
20
30 A6+A2=0 ⇒ A6=−160
. (n+1 )∗(n+2) An+2+An−2=0
.Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en (¿) se tiene:
![Page 97: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/97.jpg)
y=A0+A1 x+x2
2+ x
3
6+( 1−A0
12 ) x4+(−A1
20 ) x5+(−160) x6+…
∴ y=A0(1− x4
12+…)+A1+5¿(x− x5
20+…)+ x2
2+ x
3
6+ x
4
12+ x
6
60+…
Operadores Diferenciales
I) Ecuación lineal homogénea
1.- d2 yd x2 +
dydx−6 y=0
Sol:Haciendo la sig. Sustitución dydx=Dy , Reemplazando en la ecuación. Diferencial y Factorizando
“y” se tieneF (D )=(D2+D−6 ) y=0 →r1=3 , r2=−2 La solución general de la ecuación homogénea es:Y g=c1 e
3 x+c2 e−2x
2.- d3 yd x3 +
d2 yd x2−12
dydx=0
Sol:Haciendo la sig. Sustitución dydx=Dy
Reemplazando en la ec. Diferencial y Factorizando ”y” se tieneF (D )=(D3−D2−12D ) y=0
→r1=4 , r2=−13
La solución general de la ecuación homogénea es:
Y g=c1 e4 x+c2 e
−13x
3.- d3 yd x3 +2
d2 yd x2−5
dydx−6 y=0
Sol:Haciendo la sig. Sustitución dydx=Dy
Reemplazando en la ec. Diferencial y Factorizando ”y” se tieneF (D )=(D3+2D 2−5D−6 ) y=0
→r1=−1 , r2=−3 , r3=2 La solución general de la ecuación homogénea es:Y g=c1 e
−x+c2e−3 x+c3 e
2x
4.- (D3−3D 2+3D−1 ) y=0 Sol:F (D )=(D3−3D2+3D−1 ) y=0 →r1=−1 , r2=1 , r3=1 La solución general de la ecuación homogénea es:Y g=c1 e
−x+ex (c2+c3 x )
5.- (D 4−6D3+5D2−24D−36 ) y=0 Sol:
F (D )=(D4−6D3+5D 2−24D−36 ) y=0
![Page 98: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/98.jpg)
→r1=−1 , r2=6 , r3=3 , r 4=−2 La solución general de la ecuación homogénea es:
Y g=c1 e−x+c2e
6 x+c3 e3x+c4 e
−2x
6.- (D 4−D3−9D 2−11D−4 ) y=0 Sol:F (D )=(D4−D3−9D2−11D−4 ) y=0 →r1=−1 , r2=−1 , r3=−1 , r4=4 La solución general de la ecuación homogénea es:Y g=e
− x(c1+c2 x+c3 x2)+c4 e
4 x
7.- (D2−2D+10 ) y=0Sol:
F (D )=(D2−2D+10 ) y=0→r1=1+3 i , r2=1−3 i La solución general de la ecuación homogénea es:Y g=e
x (c1 cos3 x+c2 sen3 x)
8.- (D3+4D ) y=0 Sol:
F (D )=(D2−2D+10 ) y=0 →r1=−1 , r2=2 i , r3=−2i La solución general de la ecuación homogénea es: Y g=c1 e
−x+c2cos 2x+c3 sen2 x
9) (D 4+D3+2D2−D+3 ) y=0 Sol:F (D )=(D4+D3+2D2−D+3 ) y=0
→r1=−1 , r2=1 , r3=−12+ √11
2i ,r 4=
−12−√11
2i
La solución general de la ecuación homogénea es:
Y g=c1 e−x+c2e
x+c3 e−12xcos √11
2x+c4 e
−12xsen √11
2x
10) (D 4+5D 2−36 ) y=0 Sol:
F (D )=(D4+5D2−36 ) y=0→r1=2 , r2=−2 , r3=3 i ,r 4=−3 iLa solución general de la ecuación homogénea es:Y g=c1 e
2 x+c2 e−2x+c3 cos3 x+c4 sen3 x
11) (D2−2D+5 ) y=0 Sol:
F (D )=(D2−2D+5 ) y=0 →r1=1+4 i , r2=1−4 iLa solución general de la ecuación homogénea es:Y g=e
x (c1 cos4 x+c2sen 4 x )
12) (D2+2D−15 ) y=0 Sol:
F (D )=(D2+2D−15 ) y=0→r1=−5 , r2=3La solución general de la ecuación homogénea es:Y g=c1 e
−5 x+c2e3x
13) (D3+D2−2D ) y=0Sol: F (D )=(D3+D2−2D ) y=0 →r1=0 , r2=1 , r3=−2La solución general de la ecuación homogénea es:Y g=c1+c2 e
x+c3 e−2x
![Page 99: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/99.jpg)
14) (D 4−6D3+13D2−12D+4 ) y=0 Sol:
F (D )=(D4−6D3+13D2−12D+4 ) y=0 →r1=1 , r2=1 ,r 3=2 , r4=2La solución general de la ecuación homogénea es:Y g=e
x (c1+c2 x )+e2x (c3+c3 x)
II) Ecuaciones lineales con coeficientes constantes:
1.- (D2−3D+2 )Y=eXSol: P(r )=r
2−3 r+2=0
r1=2; r2=1
Y c=C1 e2 X+C2 e
X
Y p= ex
(D−1 )(D−2) Y p=e
2 X∫e(1−2) X∫e−X eXdx2
Y p=−X eX−ex
y g=C1e2X+C2e
X−X eX−ex
2.-(D3+3D−4 )Y=Xe−2X
Sol:P(r )=r
2+3r−4=0
r1=−2, multiplicidad 2; r2=1
Y c=C1 e−2 X+C2 xe
−2 X+C3 eX
Y p= xe−2x
(D+2 )2(D−1) Y p=e
−2X∫ e(0) X∫ e3X∫ e−X Xe−2X dx3
Y p=e−2X (−x
3
18− X
2
18)
y g=C1e−2 x+C2 xe
−2 x+C3ex+
e−2 x(−x2
18−x
2
18 )3.-(D2−3D+2 )Y=e5X
Sol: P(r )=r
2−3 r+2=0
r1=2; r2=1
Y c=C1 e2 X+C2 e
X
Y p= e5 x
(D−2)(D−1) Y p=e
2 X∫e−X∫ e−X e5 Xdx2
Y p=e5 X ( 1
12)
y g=Y c=C1e2 X+C2 e
X+e5 X ( 112)
![Page 100: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/100.jpg)
4.-(D2+5D+4 )Y=3−2 X Sol:
P(r )=r2+5 r+4=0
r1=−4; r2=−1
Y c=C1 e−4 X+C2 e
−X
Y p= 3−2 X
(D+4)(D+1) Y p=e
−4 X∫e3X∫ eX (3−2 X)dx2
Y p=(2116− X
2)
y g=C1e−4 X+C2 e
−X+( 2116− X
2)
5.- (D3−5D2+8D−4 )Y=e2X
Sol:P(r )=r
3−5 r2+8 r−4=0 r1=1; r2=2,multiplicidad 2
Y c=C1 eX+C2 e
2X+C3 Xe2X
Y p= e2X
(D−1)(D−2)2
Y p=e2 X∫e0 X∫e−X∫e−X e2 Xdx3
Y p=e2 X x
2
2
y g=C1eX+C2 e
2 X+C3 Xe2 X+e2 X x
2
2
6.-(D2+9 )Y=X cos xSol: P(r )=r
2+9=0
r1=0−3 i; r2=0+3 i Y c=C1 cos3 X+C2 sen3 X
Y p= XcosX
D2+9
Y p=XcosX
D2+9−cosX 2D
(D¿¿2+9)2¿
Y p=XcosX
8−X2 senX
4
y g=C1cos3 X+C2 sen3 X+X cosX8−X2 senX
4
7.-(D2+4 )Y=2cos xcos 3 xSol:P(r )=r
2+4=0r1=2 i; r2=−2i Y c=C1 cos2 X+C2 sen 2 X
Y p= 2cosXcos3 X
D2+4 y g=C1cos2 X+C2 sen2 X
8.-(D2−9D+18 )Y=ee−3 X
Sol: P(r )=r
2−9 r+18=0 r1=6; r2=3
Y c=C1 e6 X+C2 e
3 X
Y p= ee
−3 X
(D−6 )(D−3)
Y p=XcosX
D2+9−cosX 2D
(D¿¿2+9)2¿
![Page 101: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/101.jpg)
Y p=XcosX
8−X2 senX
4 y g=C1e
6 X+C2 e3 X
9.-(D2−4D+3 )Y=1Sol: P(r )=r
2−4 r+3=0 r1=3; r2=1
Y c=C1 e3 X+C2 e
X
Y p= R0 X
k
k=
13X2
y g=C1e3X+C2e
X+ 13X2
10.-(D2−4D )Y=5Sol: P(r )=r
2−4 r=0 r1=0; r2=4
Y c=C1+C2 e4 X
Y p= R0 X
k
k=−54X
y g=C1+C2 e4 X+−5
4X
11.-(D3−4D2 )Y=5Sol: P(r )=r
3−4 r2=0 r1=0 ,multiplicidad 2; r2=4
Y c=C1+C2 x+C3 e4 X
Y p= R0 X
k
k=−54X
y g=C1+C2 x+C3 e4 X+−5
4X
12.-(D5−4D3 )Y=5Sol: P(r )=r
5−4 r3=0 r1=0 ,multiplicidad 3; r2=4
Y c=C1+C2 x+C3 X2+C4 e
4 X
Y p= R0 X
k
k=−54X 2
y g=C1+C2 x+C3 X2+C4 e
4 X+−54X2
III) Ecuaciones lineales con coeficientes constantes (variación de parámetros, coeficientes indeterminados, otros):
![Page 102: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/102.jpg)
1.- (D ²−2D ) y=exSenx
Sol:F (D )=D ²−2D=0 D= 0
D=2
yC=C1e0 x+C2e
2 x
yP=ex SenxD (D−2 )
= ex
(D+1 ) (D−2+1 ).Senx
yP=ex .[ SenxD ²−1 ]=ex[ Senx−1−1 ]
yP=−12ex Senx
y g=C1+C2e2 x−1
2xSenx
2.- (D ²−6D+9 ) y=x−2e3 x
Sol:F (D )=(D−3 ) ²=0 D = 3 (multiplicidad 2)
yC=C1e3 x+C2 xe
3 x ………. (1)
yP=x−2e3 x
(D−3 ) (D−3 )=e3 x .
1(D−3 ) (D−3 )
x−2
yP=e3 x
(D−3+3 ) (D−3+3 )x−2
yP=e3 x . x−2
D ²= e3 x
D ² x ²= e
3 x
2 ..….. (2)
y g=C1e3 x+C2 xe
3 x+ e3 x
2
4.- (D ²−2D ) y=exSenxSol: D = 0F (D )=D (D−2 )=0
D = 2
yC=C1e0 x+C2e
2 x …………… (1)
yP=ex
D (D−2 ).Senx= e xSenx
(D+1 ) (D−2+1 )
yP=exSenxD ²−1
yP=exSenx−1−1
=−12e xSenx
y g=C1+C2e2 x−1
2exSenx
5.- (D ²−2D+3 ) y=x ³+SenxSol:
F (D )=D ²−2D+3=0 D=1±√2iyC=C1e
xCos√2x+C2ex Sen√2 x
![Page 103: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/103.jpg)
yP=x ³
D ²−2D+3+ SenxD ²−2D+3
yP=( 13 + 29D+ 1
27D ²− 2
81D ³) x ³+ Senx
−1−2D+3
yP=13x ³+6
x ²9+ 6 x
27−12
81+ Senx(2−2D )
(2+2D )(2+2D )
yP=x ³3+ 2x ²
3+ 2x
9−4
9+ 1
4(Senx+Cosx )
y g=C1exCos (√2 x )+C2 e
xSen (√2 x )
+ x ³3+ 2 x ²
3+ 2x
9−4
9+ 1
4(Senx+Cosx )
6.- (D ³+2D ²−D−2 ) y=ex+x ²
Sol:
F (D )=D ³+2D ²−D−2=0 D = -1D = -2 D = 1
(D+2 ) (D+1 ) (D−1 )=0yC=C1e
−2 x+C2e−x+C3 e
x
yP=e x
(D+2 ) (D+1 ) (0−1 )+ x ²D ³+2D ²−D−2
yP=ex
(3 ) (2 ) (D−1 )+(−1
2+ 1
4D−5
8D ²) x ²
yP=16xex−1
2x ²+ x
2−5
4
y g=C1e−2 x+C2e
− x+C3ex+ 1
6xe x−1
2x ²+ x
2−5
4
11.- (D2−4D+3 ) y=(1+e− x)−1
Sol:(D2−4D+3 ) y=(1+e− x)−1
(D−3 )(D−2 ) y=(1+e− x)−1
La solución complementaria es:yc=c1ex+c2e3x
La solución particular es:
y p=1
(1+e− x)(D−3)(D−2)Resolviendo obtenemos:
y p=1
8 (1+e− x )
La solución general:
y g=c 1e x+c 2e3 x+ 1
8 (1+e− x )
13.- (D2+2 ) y=2+ex
Sol:(D2+2 ) y=2+ex
La solución complementaria es:yc=c1 cos (√2 x)+c2 sen (√2x )
La solución particular es:
![Page 104: Bateria Ecuaciones](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061413/55cf9d9d550346d033ae686e/html5/thumbnails/104.jpg)
y p=2+ex
(D2+2 ), resolviendoobtenemos
y p=2
(D2+2 )+ ex
(D2+2 )
y p=2+ ex
(12+2 )=2+ e
x
3
La solución general es:
y g=c 1cos (√2 x )+c 2 sen (√2x )+ ex
3+2
14.- (D¿¿2−1) y=e xsen 2x ¿Sol:
(D¿¿2−1) y=e xsen 2x ¿
(D+1 )(D−1) y=ex sen2xLa solución complementaria es:
yc=c1e−x+c 2e x
La solución particular es:
y p=ex sen2x
(D+1 )(D−1)
y p=e x sen2x
(D+1+1 )(D−1+1)= ex sen2x
(D+2 )(D)
y p=ex sen 2xD2+2D
= ex sen2x−4+2D
y p=ex sen 2x (D+2 )
2 (−4−4 )=−ex sen2x (D+2 )
16
y p=ex (sen2 x+cos2x )
16La solución general:
y g=c 1e− x+c2ex+ex (sen2 x+cos2 x)
16
15.- (D2+2D+2 ) y=senx+x2
Sol:(D2+2D+2 ) y=senx+x2
La solución complementaria es:yc=c1e−x cos2x+c2e−x sen2 x
La solución particular es:
y p=senx+x2
(D2+2D+2 )
y p=senx
(D2+2D+2 )+ x2
(D 2+2D+2 )La solución general:
y g=c 1e− xcos 2x+c 2e− x sen2 x+ y p