bateria de ecuaciones 1
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Escuela Profesional de Ingeniería Eléctrica
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FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICAEscuela Profesional de Ingeniería Eléctrica
CURSO : EECCUUAACCIIOONNEESS DDIIFFEER R EENNCCIIAALLEESS
DOCENTE : FERNANDEZ, Juan Raymundo
TEMA : BBAATTEER R IIAA 22001133 -- BB
ALUMNOS :
VALLEJOS HOLGUIN CESAR 092542K
2013
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ECUACIONES DIFERENCIALES
PRACTICA #1
I) Soluciones de ecuaciones diferenciales
1) Demostrar por sustitución directa en la ecuación diferencial,comprobando las constantes arbitrarias, que cada primitiva a lugar a lacorrespondiente ecuación diferencial.
a)1 2
y C senx C x es solución de (1 ) 0 xctgx y xy y
Solución:
xC SenxC y21
1 2 y C cosx C
1 y C Senx
1 1 2(1 c ) (1 )( ) cos x tgx y xctgx C Senx C senx C x x ……….. (1)
1 2 1 2( ) xy x C cosx C xC cosx C x …………………. (2)
xC SenxC y 21 …………….. (3)
Luego sumamos (1), (2) y (3)
1 1 1 2 1 2(1 c ) cos cos x tgx y xy y C senx C x x C x x C x C senx C x
(1 c ) 0 x tgx y xy y
b) x x x x e xeC xeC eC y 2321
2 es solución de
8 x
y y y y e
Solución:
x x x xe xeC xeC eC y
2
321 2
2
1 2 2 3 4 2 x x x x x x y C e C e C xe C e xe x e
2
1 2 2 2 3 4 4 4 2 x x x x x x x x x y C e C e C e C xe C e e xe xe x e
1 2 2 2 2 3 4 x x x x x x x y C e C e C e C e C xe C e e
24 4 4 4 4 2
x x x x x x
e xe e xe xe x e .......… .. (1)
1 2 2 2 3 4
x x x x x x y C e C e C e C xe C e e
24 4 2 x x x xe xe x e ……………………..… … (2)
2
1 2 2 3 4 2
x x x x x x y C e C e C xe C e xe x e … ….. (3)
x x x x e xeC xeC eC y 2
321 2 ………………….. (4)
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Luego sumamos (1), (2), (3) y (4)
y y y y 1 2 2 2 2 3 x x x x x xC e C e C e C e C xe C e
4 4 4 x x xe e xe 24 4 4 2 x x x xe xe xe x e
1 2 2 2 3
x x x x xC e C e C e C xe C e
4 4
x x
e xe
24 2 x x xe x e 1 2 2 3
x x x xC e C e C xe C e 24 2 x x xe x e 21 2 3 2
x x x xC e C xe C e x e
8 x y y y y e
2) Demostrar que xCe x y 2 es la solución de la ecuación diferencial,
y 2 2 y y x hallar la solución particular para 3,0 y x ( esto
es la ecuación de la curva integral que pasa por (0,3))
Solución:
xCe x y 2
2 x y Ce …………………….. (1)
2 x y x Ce ……………………..(2)
Luego sumamos (1) y (2)
2 2 x x y y Ce x Ce
2 2 y y x
( , ) (0, 3) x y 03 2(0) Ce 3C
La ecuación de la curva integral es: 2 3 x y x e
3) Demostrar que xeC eC y x x
2
21 es solución de3 2 2 3 y y y x y hallar la ecuación de la curva integral que
pase por los puntos (0,0) y (1,0)
Solución:
xeC eC y x x
2
21
2
1 22 1
x x y C e C e
2
1 24 x x y C e C e ………………….…… (1)
2
1 23 3 6 3 x x y C e C e …….………..… (2)
2
1 22 2 2 2 x x y C e C e x ….…………….. (3)
Luego sumamos (1), (2) y (3)
3 2 y y y 21 2
4 x xC e C e 2
1 23 6 3
x xC e C e
2
1 22 2 2
x xC e C e x
3 2 2 3 y y y x
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( , ) (0, 0) x y 0 2(0)1 20 0C e C e
1 20 C C
2 1C C
( , ) (1, 0) x y 1 2(1)1 20 1C e C e
2
1 10 1C e C e 1 ( 1) 1C e e
1
1
( 1)C
e e
21
( 1)C
e e
La ecuación de la curva integral es:
2
( 1) ( 1)
x xe e
y xe e e e
4) Demostrar que CxC y 2)( es la primitiva de la ecuación
diferencial 4 2 0 xy xy y y hallar las ecuaciones de las curvas
integrales que pasan por el punto (1,2)
5) La primitiva de la ecuación diferencial xy y es Cx y . Hallar
la ecuación de la curva integral que pasa por el punto (1,2)
Solución:
Cx y
y C xy xC
xy y
( , ) (1, 2) x y 2 (1)C 2C
La ecuación de la curva integral es: 2 y x
6) Comprobar que1 2
y C cosx C senx y, ( ) y Acos x B son
primitivas de 0 y y demostrar también que ambas ecuaciones
son, en realidad, una sola.
Solución:
.1 2
y C cosx C senx
1 2
cos y C senx C x
1 2 y C Cosx C Senx …………………….. (1)
1 2 y C cosx C senx ………………………(2)
Luego sumamos (1) y (2)
y y 1 2C Cosx C Senx 1 2C cosx C senx
0 y y
. ( ) y Acos x B
( ) y Asen x B
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( ) y Acos x B ………………. (3)
( ) y Acos x B …………………(4)
Luego sumamos (3) y (4)
y y ( ) ( ) Acos x B Acos x B
0 y y
. Ahora demostraremos que 1 2 y C cosx C senx y ( ) y Acos x B
son, en realidad, una sola.
( ) y Acos x B
cos cos y A x B AsenxsenB
Como AcosBy AsenB son constantes, pueden asumir el valor de
1C AcosB 2C AsenB
1 2 y C cosx C senx ( ) Acos x B
7) Demostrar que x A x
y x )ln()ln(
2
22
se puede escribir así
x
Be y 2
Solución:
x A x
y x )ln()ln(
2
22
x A x
y x ).ln(
2
22
x A y )ln( 2
2
ye x A
2. yee x A
Como Ae es una constante Be A
Reemplazamos en 2. yee x A
2
y Be x
8) Demostrar que AarcSenyarcSenx se puede escribir así
B x y y x 22 11
Solución:
AarcSenyarcSenx
Derivamos:
2 2 01 1
dx dy
x y
2 2
2 2
1 10
1 1
dx y dy x
x y
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2 21 1 0dx y dy x
Integramos:
2 21 1 0 y dx x dy
2 21 1 x y y x B
9) Demostrar que A x y )1ln()1ln( se puede escribir como
C y x xy
Solución:
A x y )1ln()1ln(
A x y )]1)(1ln[(
A xy y x )1ln(
xy y xe A 1
xy y xe A 1
Como 1 Ae es constante, entonces puede tomar el valor
C e A
1
C xy y x
10) Demostrar que CxCoshySenhy se puede escribir como
A x y )ln(
Solución:
CxCoshySenhy
2 2
y y y ye e e e
Cx
ye Cx
lnCx y
ln lnC x y
Como lnC es constante entonces le damos el valor de ln A C
A x y )ln(
II) Origen de las ecuaciones diferenciales
1) Se define una curva por la condición que cada uno de sus puntos( , ) x y su pendiente es igual al doble de la suma de las coordenadas del
punto. Exprese la condición mediante una ecuación diferencial.
Solución:
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La pendiente es y
m x
2( ) y
x y x
2 2 y
x y x
22 2 y x yx
22
1 2
x y
x
2
2
4 (1 2 ) 2 ( 2)
(1 2 )
dy x x x
dx x
2
4 (1 )
(1 2 )
dy x x
dx x
2) Una curva esta definida por la condición que representa la condición
que la suma de los segmentos x e y interceptados por sus tangentes enlos ejes coordenados es siempre igual a 2, Exprese la condición pormedio de una ecuación diferencial.
3) Cien gramos de azúcar de caña que están en agua se convierten endextrosa a una velocidad que es proporcional a la cantidad que aun nose ha convertido, Hállese la ecuación diferencial que exprese lavelocidad de conversión después de “t” minutos.
Sol:
Sea “q ” la cantidad de gramos convertidos en “t ” minutos, el
numero de gramos aun no convertidos será “ )100( q ” y la velocidad de
conversión vendrá dada por )100( q K dt
dq , donde K es la constante
de proporcionalidad.
4) Una partícula de masa “m” se mueve a lo largo de una línea recta (eleje x) estando sujeto a :
i) Una fuerza proporcional a su desplazamiento x desde un punto fijo “0” en su trayectoria y dirigida hacia “0”.
ii) Una fuerza resistente proporcional a su velocidad
Expresar la fuerza total como una ecuación diferencial
5) Demostrar que en cada uno de las ecuaciones
a) B A x y 2
b) B x Ae y
c) )ln( Bx A y
Solamente es esencial una de las dos constantes arbitrarias.
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6) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva
C Bx Ax y 2
Solución:
C Bx Ax y 2
2 y Ax B
2 y A
0 y
7) Obténgase la ecuación diferencial asociada con la primitiva
C y x y x 5332
8) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva( ) ( ) y Acos ax Bsen ax Siendo A y B constantes arbitrarias y “ a ”
es una constante fija
Solución:
( ) ( ) y Acos ax Bsen ax
( ) cos( ) y aAsen ax aB ax
2 2( ) ( ) y a ACos ax a BSen ax ………………..(1)
2 2 2( ) ( )a y a Acos ax a Bsen ax ….................….. (2)
Luego sumamos (1) y (2)
2 0 y a y
9) Obténgase la ecuación diferencial asociada con la primitiva
C Be Ae y x x 2
Solución:
C Be Ae y x x 2 ………………………….. (1)
Multiplicamos xe con la ecuación (1)
x x x ye Ae B Ce
Derivamos respecto a x
x x x x y e ye Ae Ce ………………………….. (2)
Multiplicamos xe con la ecuación (2)
2 2 2 x x x y e ye A Ce
Derivamos respecto a x
2 2 2 2 22 2 2
x x x x x
y e y e y e ye Ce
………….. (3)
Multiplicamos2 xe con la ecuación (3)
2 2 2 y y y y C
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Derivamos
3 2 0 y y y
10) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva x x x eC eC eC y 3
2
2
3
1
Solución:
3 2
3 2
6
3 2
3 2
1 1 1
3 2 13 20
9 4 19 4
27 8 127 8
x x x
x x x
x
x x x
x x x
ye e e y
ye e e ye
ye e e y
ye e e y
6 ( 2 12 22 12 ) 0 xe y y y y
2 12 22 12 0 y y y y
6 11 6 0 y y y y
11) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva22
C Cx y
Solución:22 C Cx y
2 y Cx
2 y C
0 y
12) Halle la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radiofijo “r” cuyos centros están en el eje x.
Solución:
2 2 2( ) x a y r
2 2 x a r y
2 2
1 21 0 .
2
yy
r y
2 21
yy
r y
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2 2r y yy
2 2 2 2( )r y y y
2 2(1 ( ) ) y r
13) Hallar la ecuación diferencial de la familia de parábolas cuyos focosestán en el origen y cuyos ejes están sobre el eje x.
Solución:
2 4 ( ) y p x a 2
4( )
y p
x a
Derivamos:
2
2
2 ( )0
( )
y x a y x
x a
22 ( ) 0 y x a y x
2
2 ( ) y x y x a
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PRACTICA # 2SEPARACION DE VARIABLES:
RESOLVER LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.
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II) REDUCCION A VARIABLE SEPARABLE
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PRACTICA # 3
I.- Funciones Homogéneas
Determinar cuáles de las siguientes funciones son homogéneas:
1) f(x,y) = x2y – 4y3
f(x, y) = (x)2 (y) - 4(y)3
= 3 (x2y - 4y3)
f es homogénea de grado n=3
2) f(x,y) = y2Tg(x/y)
f(1x, 1y) = (1y)2
Tg
y
x
Tgy1xy
xx 22
Es homogénea de grado n=2
3) f(x,y) = 3 33
yx
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f(x, y) = 3 33 )y()x(
3 33 yx
f es homogénea de grado n=1
4) f(x,y) =xy
yx 22
xy
yx1
)y1)(x1(
)y1()x1()y1,x1(f
220
22
Es homogénea de grado n=0
5) f(x,y) = x2 + Senx.Cosy
f no es homogénea.
6) f(x,y) = exx1e)y1,x1(f
No es homogénea.
7) f(x,y) = ex/y
f(x, y) = ex/y = y0 ex/y
f es homogénea de grado n=1
8) f(x,y) = (x2+y2)3/2
f(1x, 1y) = (1x)2 + (1y)23/2 = 13 (x2 + y2)3/2
Es homogénea de grado n=3
9) f(x,y)=x-5y+6
f no es homogénea.10) f(x,y) = xSen
y
xySen
x
y
)y
xySen
x
yxSen(1
y1
x1ySen1
x1
y1xSen1)y1,x1(f
Es homogénea de grado n=1
III.- Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
1) (x3+y3)dx – 3xy2 dy = 0
y = x dy = xdy + udx
(x3
+ux3
)dx – 3x3
u2
(x du + udx) = 0
x3(u+1)dx – 3x4u2du – 3x3u3dx = 0
x3(u+1-3u3)dx - 3x4 u2 du = 0
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)x
y21(
2
1LnxC
Cdu)u3u1(
u3
x
dx
3
3
3
2
2) 0dxyxydxxdy 22
xdvvdxdy
vxy:Sea
)a...(0xdydx)yxy( 22
En (a):
)x/y(ArcSen
2
22
Cex
ArcSenvC
xLn
LnCArcSenvLnx
LnCv1
dv
x
dx
xdvdx2v1
0)xdvvdx(xdx))vx(xvx(
3) (2x6Senh y/x+3yCosh y/x)dx – 3x. Cosh y/x = 0
y = ux dy = xdu + udx
(2x.Senhu + 3y Coshu)dx – 3x2. Coshu(xdu+udx)
2x.Senhudx – 3x2.Coshudu = 0
C)x/ySenh(LnLnx3
2
CduCtghux
dx
3
2
4) (2x+3y)dx+(y-x)dy=0y=vx
dy=vdx+xdv
(2x+3(vx)dx + (vx-x)(vdx+xdv)
(v2+2v+2)dx + x(v-1)dv = 0
LnC)2x2v(
dv)1v(
x
dx2
LnC)1v(ArcTg22v2v(Ln2
1Lnx 2
x
)4xTgArceCyxy2x2
)1v(TgArc2C
2v2vxLn
4222
2
5) (1+2ex/y)dx + 2ex/y(1- )y
xdy=0 …(1)
dy
dx
Udy
du
.yLyx
De (1):
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C)e2(Ln)e21(Lny/x
dU)Ue2(
)e21(
y
dy
Udy
duy
)e21(
)u1(e2
dy
dx
y/xy/x
u
u
u
u
6) (x2+3xy+y2) dx – x2dy = 0
y = vx
dx = vdx + xdv
(x2+3x(vx) + v2x2)dx – x2(vdx+xdv) = 0
(v2 + 2x + 1)dx = xdv
yx
x
2
Cex
0yx
x
C
xLn
LnC)1v(
1Lnx
LnC
)1v2v(
dv
x
dx
7) 0xdydxxyy( 22
y = ux dy = x.du+udx
C)1)y
x
(y/x(LnLnx
C1u
du
x
dx
0)udxxdu(dx)1uxux(
2
2
2
8) (x-yLny+yLnx)dx + x(Lny-Lnx)dy = 0
y = vx
dy = vdx + xdv
(x-(vx)Lnv) dx + xLnv(vdx + xdv) = 0
dx + x Lnv dv = 0
LnCLnvdvx
dx
Lnx + v(Lnv-1) = LnC
x
y
x
y
x
y.cex
Lnvvvc
xLn
9) (x-yarctg 0dyx
yarctg.xdx)
x
y
y=u.x dy = xdu +udx(x-u.x.arctgu) dx + x.arctgu (xdu+udx) = 0
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C)x
y1(Ln
2
1
x
yarctg.
x
yLnx
Cdu.arctgux
dx
2
IV.- Ecuaciones Diferenciales Reductibles a Homogéneas
1) (2x-5y+3)dx – (2x+4y-6)dy = 0
2x-5y+3 = 0 y=1 , )1
k ,
1
h(P
-2x-4y-6=0 x=1
x=z+h , y=w+K
x=z+1 , y=w+1
2(z+1)-5(w+1)+3dz - 2(z+1)-4(w+1)-6dw = 0
* Homogénea: (2z+5w)dz – (2x+4w)dw = 0
C41y
1x
2Ln5
4
41y
1x
71y
1x
2Ln2
1
LnW
Cdu)4u7u2(
)5u2(
w
dww.uz
2
2) (x-y-1)dx + (4y+x-1)dy = 0 … (m)
Sea: x=x0+h ; y = y0+k ; h=1 ; k=0
En (m):
(x0 - y0)dx0 + (x0+4y0)dy0 = 0
Sea: y0=vx0 dy = vdx0 + x0dv
(x0 – vx0) dx0 + (x0 + 4vx0)(vdx0 + x0dv) = 0(1-4v2)dx0 + x0(1+4v)dv
1)1x
y21(Cx
)x
y21(Cx
LnC)v41(Ln2
1
v21
v21Ln
4
1Lnx
Lncdv)v41(
)v41(
x
dx
0
00
2
0
2
0
0
3) (x-4y-9)dx + (4x+y-2)dy = 0
x = x0 + h , y = yo+K
h – 4K = 9 h = 1 ; h = -2
4h + K = 2
(x0+1-4(y0-2)-9)dx + (4(x0+1)+(y0-2)-2)dy = 0
(x0 – 4y0)dx + (4x0+y0) dy = 0
y0 = v.x0 dy0 = vdx0 + x0.dv
(x0 - 4v.x0)dx + (4x0 + vx0) (vdx0 + x0dv) = 0
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23
C v
v
x
dx
1
)4(2
0
0
Lnx0 +2
1Ln.(v2+1) + 4Arc(Tgv) = 0
)1
2(422 )2()(
x
y Arctg
e K y x
4) (x-y-1) dy-(x+3y-5)dx=0
(x+3y-5)dx – (x-y-1)dy=0
x=x0+2 ; y=y0+1
(x0 + 3y0)dx0 – (x0 – y0)dy0 = 0
y0 = vx0 dy0 = vdx0 + x0dv
(x0 + 3vy0)dx0 – (x0 – vx0)(vdx0 + x0dv) = 0
(3v-v2)dx0 + x0(v-1)dv = 0
3/1322
3/123
0
2
0
2
0
0
)1y()1y)(2x(6)1y()2x(92x
C2x
)v9 bvv(Cx
LnC3
3vLn
6
1)v3v(Ln
2
1xLn
LnCv3v
dv)1v(
x
dx
5) (4xy2)dx + (3x2y-1)dy = 0
y=zx dy = x(zx-1)dz
4xz2 dx + (3x2 z – 2) (.z-1) dz = 0
2-1 = -1 = -2
y = z-2 dy -2z-3 dz
4xz-4 dx + (3x2 – z -2) (-2z-3)dz = 0
4xz- dx - 2(3x2 – z2) dz = 0 homogéneaZ = ux dz = x.du + udx
4x-2 udx - (6x2 – z2) (x.du + udx) = 0
yx
yx Ln yx
Ln Ln
x
dx
uu
duu
1
11
3)11(21
0)22(
)62(3
2
6) yCosxdx + (2y-Senx)dy = 0
Sen-x=z Cosx.dx = dz
ydz +(2y-z)dy = 0 homogénea
z=u.y dz = y.du + u.dy
y(ydu + udy) + (2y-uy)dy = 0
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24
C Lny y
Senx
C y
dydu
2
2
7) (2x2+3y2-7)xdx – (3x2+2y2-8)ydy = 0
Sea: x2 = m ; y2 = n
2xdx = dm ; 2ydy = dn
(2m+3n-7)dm – (3m+2n-8)dn = 0
m=m0+2 ; n=n0+1
(2m0 + 3vn0)dm0 – (3m0 + 2vm0) (vdm0+m0dv) = 0
2(1-v2)dm0 – (2v+3)m0dv = 0
LnCdv1v
)3v2(
m
dm2
2
0
0
K 3xy
1xy
K Cmn
)mn(
LnC1v
1vLn
2
3)1v(2LnLnm2
22
22
2
00
2
00
2
0
8) Tg2(x+y)dx – dy = 0
z=x+y dz = dx + dy = 0
Tg2z dx – (dz-dx) = 0
Cz2Sen4
1
2
zx
CzdzCosdx 2
4x-2(x+y)-Sen2(x+y) =4X=K
PRACTICA # 4
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
1) (4x3y3-2xy)dx + (3x4y2 – x2)dy
M N
)y(
34
)y(
22
2323
gxyyx
gdx)xy2yx4()y,x(f
Mx
)y,x(f
y2yx12x
Nyx12
y
= x4y3 - xy + g(y)
Cxyyx)g,x(f
Cg0'g
xyx3)y('gxxy3y
)y,x(f N
34
)y()y(
224242
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25
2) (3xc3xy - 2x)dx + e3x dy = 0
M N
)y(
2x3
)y(
2x3
3xx3
gxe
gdx)x2yx3()y,x(f
Mx
)y,x(f
e3x
Ne3
y
Cxye)y,x(f
C'gxey
)y,x(f N
2x3
)g(
3
3) (Cosy+yCosx) dx + (Senx-xSeny) dy=CM N
)y(
)y(
gySenxxCosy
gdx)yCosxCosy()y,x(f
Mx
)y,x(f
SenyCosxx
NCosxSeny
y
CySenxxCosy)y,x(f
Cg0'g
xSenySenx'gSenxxSenyy
)y,x(f N
)y()y(
)y(
4) (2xyex2 - 2x) dx + ex2dy=0
M N
)y(
22x
)y(
2x
2x2x
gxye
gdx)x2xye2()y,x(f
Mx
)y,x(f
xe2x
N
Cosxxe2y
M
Cxey)y,x(f Cg0'g
e'gey
)y,x(f N
22x
)y()y(
2x
)y(
2x
5) (6x5y3+yx3y5) dx + (3x6y2 + 5x4y4) dy=0
M N
)y(
5436
)y(
5335
43254325
gyxyx
gdx)yx4yx6()y,x(f
Mx
)y,x(f
yx20yx18x
Nyx20yx18
y
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26
4426
)y(
4426 yx5yx3'gxy5yx3y
)y,x(f N
Cyyyx)y,x(f
Cg0'g
5436
)y()y(
6) (2x3+3y)dx + (3x+y-1)dy = 0
M N
)g(
4
)y(
3
gxy32x
g)y3x2()y,x(f
Mdx
)y,x(df
3dx
dN3
dy
dM
Cy2
yxy3
2
x)y,x(f
Cyy
yg1y'g
1yx3'gx3y
)y,x(f N
24
2
)y()y(
)y(
7) (y2exy2+4x3)dx + (2xyexy2 – 3y2) dy = 0
M N
M
dk
)y,x(df
exy2yye2dk
dN
exy2yye2dy
dM
2xy32x
2xy32x
)y(33xy2 gdx)x4ey()y,x(f
Mdx
)y,x(df
Cygy3'g
y3xye2'gxye2y
)y,x(f N
3
)y(
2
)y(
22xy
)y(
2xy
Cyxe)y,x(f 342xy
8) (2xy2 + 2y)dx + (2x2y+ 2x) dy = 0
M N
Mk
)y,x(f
2xy4y
N2xy4
y
M
)y(2
gdx)y2xy2()y,x(f
= x2y2 + 2xy + g(y)
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27
Cxy2yx)y,x(f
Cg0'g
K 2yx2'gx2yx2y
)y,x(f N
22
)y()y(
2
)y(
9) (exSeny + 2ySenx) dx + (exCosy+ 2Cosx) dy = 0
M N
Mx
)y,x(f
Senx2Cosyey
NSenx2Cosye
y
M xx
)y(x
gdx)ySenx2Senye()y,x(f
= exSeny + 2yCosx + g(y)
CyCosx2Senye)y,x(f
Cg0'g
Cosx2Cosye'gCosx2Cosyey
)y,x(f N
x
)y()y(
x
)y(
x
10) (2xy3 + yCosx) dx + (3x2y2+ Senx) dy = 0
M N
Mx
)y,x(f
Cosx*xy6y
NCosxxy6
y
M 22
)y(3 gdx)yCosxxy2()y,x(f
= x2y3+ySenx + g(y)
CyCosx2Senye)y,x(f
Cg0'g
Cosx2yx3'gSenx2y2x3y
)y,x(f N
x
)y()y(
2x
)y(
11) (2xy3 + yCosx) dx + (exCosy+ 2Cosx) dy = 0
M N
Mx
)y,x(f
Senx2Cosye
y
NSenx2Cosye
y
M xx
)y(3 gdx)yCosxxy2()y,x(f
= e2y3 + ySenx + g(y)
CySenxyx)y,x(f
Cg0'g
Senxyx3'gSenyyx3y
)y,x(f N
32
)y()y(
22
)y(
22
12) (Seny+ySenx+x
1x) dx + (xCosy. Cosx+
y
1) dy
M N
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Mx
)y,x(f
SenxCosyx
N
SenxCosyy
M
)y(gdx)x1
ySenxSeny()y,x(f
= xSeny + yCosx + Lnx + g(y)
CLnyLnxyCosxxSeny)y,x(f
CLnyg
y
1'g
y
1CosxxCosy'gCosxxCosy
y
)y,x(f N
)y()y(
)y(
13) 0dy)Arctgyy1
x(dx)Arctgy
x1
y(
22
M N
Mx
)y,x(f
y1
1
x
N
y1
1
x1
1
y
M222
)y(2 gdx)arctgyx1
y()y,x(f
= yarctgx + (arctgy) (x) + g(y)
arctgxy1
x
arctgxy1
x'g
2y1
xArctgx
y
)y,x(f N
2
2)y(
Carctgyyarctgx)y,x(f
Cg0'g )y()y(
FACTORES INTEGRANTES
1) (x2 + y2+x) dx + xy dy = 0
M N
)x(f x
1
xy
yx2
yx
N
y2y
M
xee xdx
)x(f
Luego: x(x2+y2+x) dx + x2 ydy=0
M N
My
)y,x(f
xy2x Nxy2
yM
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29
)y(
3224
)y(
223
g3
x
2
yx
4
x
gdx)xxyx()y,x(f
2
)y(
2 x'gyx
y
)y,x(f N
C3
x
2
yx
4
x)y,x(f
Cg0'g
3224
)y()y(
2) (1 - x2y) dx + x2 (y-x) dy = 0
M N
)x(f x
1
xy
yx2
yx
Ny2y
M
2x
dx
)x(f
x
1ee
Luego: 0dy)xyx(x
1
dx)yx1(x
1 322
2
2
M N
My
)y,x(f
1x
N1
y
M
)y(
)y(
3
2
gxyx
1
gdx)y
x
1()y,x(f
xy'gxy
)y,x(f N )y(
C2
y
xyx
1
)y,x(f
C2
ygy'g
2
2
)y()y(
3) (2xy4e4+2xy3+y) dx + (xy4e4-x2y2-3x) dy = 0
M N
)y(344
2x42443
2x4
24443
gy
4
)yxy2exy2(
)3xy2exy21y6eyxy2xey8(
3xy2exy2y
M
1y6exy2xey8y
M
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30
4
y
dy4
)x(g
y
1ee
Luego:
0dy)y3yxeyx(y
1dx)yxy2eyxy2(
y
1 224424
3444
4
M N
My
)y,x(f
y3xy2xe2x
Ny3xy2xe2
y
M 42y42y
)y(3
2y2
)y(3
y
gy
x
y
xex
gdx)y
1
y
x2xe2()y,x(f
42
2y2
)y(4
y2
y
x3
y
xex'g
y
x3ex
y
)y,x(f N
Cy
x
y
xex)y,x(f
Cg0'g
3
2y2
)y()y(
4) 0dy)Lnxy(dxx
y 3
M N
2
dy
y
2
)y(g
)y(
y1ee
gy
2
x
1
y
M
x
1
y
N
x
1
y
M
Luego: 0dy)Lnxy(y
1dx
x
y.
y
1 322
M N
Mx
)y,x(f xy
1
x
N
xy
1
y
M22
)y(
)y(
gy
Lnx
gyx
dx()y,x(f
2)y(2
y
Lnxy'g
y
Lnx
y
)y,x(f N
C2
y
y
Lnx)y,x(f
C2
ygy'g
2
2
)y()y(
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5) (2xy3y2+4xy2+y+2xy2+xy2+2y) dx + 2(y3+x2y+x) dy = 0
M N
)x(f x)xyxy(2)yxy(x4
)xyxxxy2(2xy42xy4xy4x4y4(
2xy4y
M2xy4xy4x4yx4
y
M
23
32
223
323
323
2xxdx2)x(g eee
Luego:
0dy)xyxy(e2dx)y2xxydxy2yx4yxy2(e 23x422232x 2
M
N
2x32x2x22x32x
2x332x2x32x
e2xye4xye4xe4yxe4y
N
e2yxe4xye4yxe4y
M
)x(hyxe2yxex2
ye
)x(hdy)e2yxe2ye2()y,x(f
Mdx
)y,x(f
2x22242x
2x322x32x
ye2xyexye2yxe4yex2)x('hyxe2yxe2
yex
x
)y,x(f M 2x42x22x22x22x32e222x
42
ye2xyeyxe2yxe4yxe2yxe2yxe2
yex)x('h 2x42x232x22x232x2e222x
42
x
ye
2
ye
yex
e2xye2
4
e3
2
yxeye
x2
ye
2
ye
2
yex)x(h
2x42x
2x2x
2x2x222x
2x22x22x42
)x(hyxe2ye2
ye)y,x(f 2x2
42x2x
6) (xCosy-yseny) dy + (xSeny-yCosy) dy = 0
M N
)x(f 1ySenyxCosy
CosyySenyCosyxCosy
Cosyx
NySenyCosyxCosy
y
M
xdx)x(f eee
Luego:
0dx)yCosyxSeny(edy)ySenyxCosy(e x2x
M N
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32
Mx
)y,x(f
ySenyeCosyexCosyex
NySenyeCosyexCosye
y
M xxxxxx
)y(gyCosye)1x(Senye
)y(gdy)yCosyexSenye()y,x(f
xx
xx
ySenyexCosye'gehySeny.Cosye)1x(Cosyey
)y,x(f N
xx
)y(
yx
g’(y) = 0 g(y) = C
CCosye)1x(eSeny)y,x(f 4x
7) (x4
+y4
) dx – xy3
dy = 0
M N
M(dx, dy)=d4M(x,4) N(dx, dy)=14 N(x,4) Homogéneas
Luego:
r 344 x
1
y)xy(x)yx(
1
NyMx
1
Entonces:
0dy)xy(x
1dx)yx(
x
1 35
44
5
dy
df
dx
df
Integrando respecto a “x”:
)y(4
4
gx4
yLnx)y,x(f
4
3
)y(4
3
x
y'g
x
y
y
)y,x(f N
g’(y) = 0 g(y) = C
Cx4
yLnx)y,x(f
4
4
8) y2dx + ex2 – xy – y2)dy = 0 Es homogénea.
Luego:)yx(y
1
y)yxyx(xy
122222
Entonces:
Mdx
)y,x(f
)yx(
yx
dx
N
)yx(
yx
dy
M
0dy)yx(y
)yxyx(
)yx(y
dxy
222
22
222
22
22
22
22
2
)y(
)y(22
gy´x
yxLn
2
1)y,x(f
gdxyx
y)y,x(f
)yx(y
)yxyx('g
)yx(2
1
)yx(2
1
y
)y,x(f N
22
22
)y(
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33/124
g y g
33
g’(y) =y
1 g(y) = Lny + C
CLnyyx
yxLn
2
1)y,x(f
10) y(2x+1)dx + x (1+2xy – x3 y3)dy = 0
(2xy2+y) dx + (x+2x2y – x4y3) dy = 0
x
N
y
M
yx4xy41dx
N1xy4
dy
M 33
Usamos:
)y(g
)y('g)yxy2(
)x(f
)'x(f )yxyx2x(yx4
)y(g
)y('g
M)x(f
)x('f
Nx
N
y
M
234233
4
4
y)x(gLnx4)y(Lngx
4
)x(f
)'y(g
x)x(f Lnx4)x(Lnf x
4
)x(f
)'x(f
4433
342
4.4
44332
4.4
44
yx
3
yx
2
x
N)yxyx2x(
yx
1M
yx3
yx2
yM)yxy2(
yx1M
y.x
1)y(g).x(f )y,x(
Ahora:
x
N
y
M
)y(gy3
x
y
xd)y(gdx
yx
)yxy2()y,x(f
)yxy2(yx
1
x
)y,x(
3
3
2
2
44
2
2
44
)y('gyx
x
yx
yx2
y
)y,x(f
)y(gxy3
1
yx
1
)y(gy3
x
y
x
)y,x(f
4444
2
33223
3
2
2
Pero: Ny
)y,x(f
CyLn)y(gy1)y('g
yx
yx
yx
yx2
yx
x)y('g
yx
x
yx
yx244
34
44
2
444444
2
Reemplazamos:
C)y(Lnxy3
1
yx
1)y,x(f
3322
FACTORES INTEGRANTES POR SIMPLE INSPECCIÓN
Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales
1) ydx + x(1-3x2y2)dy = 0
ydx + ydx – 3x3y2 dy = 0 … Multiplicando por:3
2
0dyyx2)ydxxdy(3
2 23 … en:33
yx
1
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34/124
g y g
34
CLny2)xy(
1.
3
1
C)Lny2(d)3
1.2
)xy(
1(d
0y
dy2
yx
)ydxxdy(
3
2
0yx
dyyx2
yx
)ydxxdy(
3
2
0dyyx2yx
)ydxxdy(
3
2
2
33
33
23
33
23
33
2) xdy + ydx + 4y3(x2+y2)dy = 0
CyyxLn2
1
0)y(d)yx(
)yx(d
2
1
0)y(d)yx(
)yx(d
2
1
0dyy4)yx(
ydxxdx
0)yx(
dy)yx(3y4
)yx(
ydxxdx
422
4
22
22
4
22
22
3
22
22
22
22
3) xdy – ydx – (1-x2)dx = 0
Cx
1x
x
y
C)
x
1x(d)
y
x(d
0dx)1x
1(
x
ydxxdy
0dxx
)x1(
x
ydxxdy
22
2
2
2
4) xdy – ydx + (x2+y2)2dx = 0
Sabemos que: xdx + ydx = )yx(d2
1 22
Cx)yx(
1
2
1
Cdx)yx(
)yx(d
2
1
0dx)yx(
)yx(
)yx(
ydxxdy
22
22
22
222
22
222
5) x(xdy+ydx) + 0dxyx1 22
0yx1x
dxyx1
yx1x
)ydxxdy(x22
22
22
0x
dxx
2
1
yx1
)ydxxdy(x
2
122
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-
8/17/2019 Bateria de Ecuaciones 1
35/124
g y g
35
Cx
dx)yx1(d
2/122
C2
xLn)yx1( 2/122
6) (x3+xy2)-y)dx + (y3+x2y+x)dy=0
(x(x2+xy2)-y)dx + (y(x2+y2)+x)dy=0
C)x
y(Tgarc)yx(
2
1
C))x
y(Tgarc(d)yx(d
2
1
0)yx(
)ydxxdy()ydyxdx(
0)ydxxdy()ydyxdx()yx(
0x
)ydyxdx(
x
)ydyxdx()yx(
0dydy)yx(x
ydx
x
ydx)yx(
0dy1)yx(x
ydx
x
y)yx(
22
22
22
22
22
2222
2222
10) (x2+y2) (xdy +ydx) = xy(xdy-ydx)
C)x
y(Tgarc)xy(Ln
0))x
y(Tgarc(d))xy(Ln(d
0
)yx(
)ydxxdy(
xy
)ydxxdy(
0)yx(xy
)ydxxdy(xy
xy
)ydxxdy(
0)yx(
)ydxxdy(xy)ydxxdy(
)yx(
)yx(
22
22
2222
22
11) xdy – ydx = x2 dxyx 22
C2
x)
x
y(SenArc
C)2
x(d))
x
y(Senarc(d
0xdxyx
ydxxdy
dxyx
yxx
yx
ydxxdy
2
2
22
22
22
2
22
12) x3dy – x2ydx = x5y dx
xdy – ydx = x3
y dx , para: x 0
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8/17/2019 Bateria de Ecuaciones 1
36/124
36
C3
x)
x
y(Ln
C)
3
x(d)
x
y(dLn
)3
x()
x
y(dLn
dxxxy
ydxxdy
3
3
3
2
13) 3ydx + 2xdy + 4xy2dx + 3x2ydy=0
Multiplicamos por x2y
3y2x2dx+2x3 ydy + 4x3y3dx + 3x4 y2dy = 0
d(x3y3) + d(x4y3) = 0
Cyxyx
C)yx(d)yx(d
3433
3433
14) 0dx)1yx1(1xdx)1xy1(1y 2222
1x1y1:entreTodo
0)xdyydx(1x1y1x1y
0dy1y.1xx1xdx1x1yy1y
22
2222
222222
Cxy1yyLn1xxLn
C)xy(d1y
dy
1x
dx
0)xy(d1y
dy
1x
dx
0)xdyydx(1y
dy1
1x
dx1
22
22
22
22
15) 2y,1x:Para2)x1(y
)1xy(y
dx
dy2
y(1-x2)-xdy = y(xy+1)dx
ydy - yx2dy - xdy = xy2dx = ydx
ydy - yx2dy – xy2dx = ydx = dy
ydy – (yx2dy + xy2dx) = ydx+ xdy
)xy(d2
yxdydy
22
ydy – C)xy(d2
)yx(d
22
Cxy2
xy
2
y 222
y2 – x2y2 = 2xy + C Para: x=1 , C=4
Su solución particular es: y2(1-x2) – 2xy = 4
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8/17/2019 Bateria de Ecuaciones 1
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37
16) arseny dx + 0y1
dyCosyy12x
2
2
0Cosydy2y1
xdydxarseny
2
d(x. arcseny) + 2Cosydy = 0
d(x . arcseny) + 2Cosydy = C
x . Arcseny + 2Seny = C
PRACTICA 5
I).- ECUACIONES LINEALES.
1) + 2xy = 4xy =
y =
y =
∫ .4xdx = ∫ U = 4x du = 4dx dv = v = 4x = ∫ . 4xdx ∫ .4xdx = 4x . - ∫ 4xdx= 2x. y = .
y = 2x + . k
2) x = y + + – 2
= + + 3x – 2
– ( ) y= ( + 3x – 2)
y = .
y = .
y = x .
y = x . ∫
y = x ( + 3x – 2lnx ) + c )
y = + 3 - 2xmx + kx
3) ( x-2 ) = y + 2( x – 2
= + 2 ( x – 2
– ( ) y = 2 ( x – 2 )
y = ( ∫ . 2( x – 2 dx + c )
y = . ( . 2 (x - 2 dx + c )y = ( x – 2 ) . ( ∫( x – 2 dx + c ) y = ( x – 2 . ( 2 ∫ (x – 2) dx + c ) y = ( x – 2 ) ( 2 ( – 2x) + c )
y = ( x – 2 ) ( - 4x + 2c ) y = - 4 + 2cx – 2 + 8x + 4c y = - 6 + 8x + 2c ( x + 2)
4) + ydgx = x =
Y = -4
y = .
y = .
y = (sen x
y = (sen x
c = . sen x dx
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38
u = sen x du = cos x dx
dv = dx v =
. sen x -
u = cos x du = sen x dx
dv = dx
cos x + sen x dx
sen x dx = . Sen x – cos x . - ∫ sen x dxsen x dx = –
y = . 5
y = - +
-4 = - +
k = 6,5
5) + ( 2 – 3 ) y =
+ ( - ) y = 1
y = .
y =
y =
y =
y = .
y = .
y =
6)
Hacemos cambio de variable:z = lny = x – z
dz = dx - = 1 -
= 1 -
Reemplazando en la ecuación:
z = = z–
x
z - = z – x
= -x
dz = xdx
=
z = + c
Reemplazando:
z = x – lny
x – lny = + c
c = + x - lny
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-
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39/124
39
8) + ey = + 2x
Resolviendo:
+ 2y = + 2x p (x) = 2, q(x) = + 2x
La ecuación general:
y =
y =
y =
Integrando por partes:
y = + c
9) xtnx - y = (eln(x) – 1)
Resolviendo:
De la ecuación diferencial:
-
De la ecuación general
y =
y =
y =
y = )( )
y = + cln(x)
10) + – Ø(x) (x) = 0
Resolviendo:
De la ecuación diferencial:
+ = Ø(x) (x)
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-
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40
De la ecuación general:
y = (
y = ∫ )
Integrando por partes:
u = ⤳ du =
dv = dx ⤳v =
y = ( )
y = - 1 + c
11) =
= ⤳ = x sen y + 2 sen 2y
= - (sen y) = 2 sen 2y, ecuación lineal en x:
x =
x =
x =
Integrando por partes:
x =
x = 8 + c .
12) – y ctg x = 2x - ctg x
Resolviendo:
y =
y =
Simplificando:
y = sen x
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8/17/2019 Bateria de Ecuaciones 1
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41
Integrando:
y = sen x ( + x + cosec x + c) = + c sen x
x = , y = + 1
∵ + 1 = + c c = 1 ∵ y= + sen x
13) (1 + ) ln (1 + ) - 2xy = ln (1 + ) – 2xar ctg x
y = , x
- y =
De la ecuación general:
y =
y =
y = ln (1 + dx + c)
y = ln (1 + + c) ln (1 + + c )
y = ar ctg x+x ln (1 + donde: c = -
para: y , x
c = - = 0– 0 = 0
c = 0
14) - 2xy = cos x – 2x sen x
Resolviendo:
= cos x – 2x sen x
y =
y =
y = ⟹ (
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-
8/17/2019 Bateria de Ecuaciones 1
42/124
42
y = sen x + e , x varia x = -1; x = 1 x
∵ y = sen x
15) =
Resolviendo:
= = - x de donde: + x =
Ecuación lineal en x
x =
Integrando tenemos:
x =
x = + c .
II.- ECUACIONES DE BERNOULLI
1) – y = x (1 – n)
1 – (5)
- y = x
- = x
-4 + = -4x
Luego: z = = -4
Reemplazando:
+ 4z = -4x
z = .
z = .
Resolviendo por partes:
u = x du = dx
dv = v =
z =
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-
8/17/2019 Bateria de Ecuaciones 1
43/124
43
z = -4x – 4 + c .
Reemplazando: z =
= -4x – 4 + c .
2) + 2xy + x = 0
= 2xy = -x
+ 2x = -x (-3)
- 6x = 3x
Hacienda cambio de variado:
z = -
Reemplazando:
= 3x
z = .
z = .
z = .
Resolviendo por partes:
z = .
z = 3x + 3 + c .
Reemplazando z =
= 3x + 3 + c .
3) + y =
+ y = . ( )
+ = . ( -3 )
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-
8/17/2019 Bateria de Ecuaciones 1
44/124
44
3 - =
z = = 3
– z = 2x – 1
z = .
z = .
Resolviendo por partes:
z = .
z = .
z = x – 3 + c
Remplazando z =
= x – 3 + c
4) + y =
+ y =
+ =
+ =
z = = -
Reemplazando:
- z = sen x – cos x
z = .
z = .
z = .
Resolviendo por partes:
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-
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45/124
45
z = .
z = .
z = . c
Reemplazando: z =
= . c
5) xdy – dx = 0
x – y + x (1 + lnx) = 0
– (1 + lnx) = 0
– ( (1 + lnx)
– ( = 1 + lnx (-2)
– = 2(1 + lnx)
z = =
Reemplazando:
+ = 2 (1 + lnx )
z = .
z = .
z = .
z = .
Resolviendo por partes:
z = .
z =
z =
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-
8/17/2019 Bateria de Ecuaciones 1
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46
Reemplazando: z =
=
6) 2xdy + 2ydx = x
+
+ (
+ (-2)
z = = -2
– = -1
z =
z =
z =
z =
z = + . c
Reemplazando: z =
= + . c
7) =
=
= xy + (x)
- xy = (2)
2 – 2y = 2
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-
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47
Haciendo cambio de variable:
z = = 2x
- 2yz =
z =
z =
Resolviendo por partes:
z =
z =
z =
Reemplazando:
z =
=
8) ( - ) = 2x
( - = 2x
=
=
= -
+ = . (x)
x + = (2)
2x + =
Haciendo cambio de variable:
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8/17/2019 Bateria de Ecuaciones 1
48/124
48
z = = 2x
- =
z =
z =
Resolviendo por partes:
z =
z = - + c .
Reemplazando:
z =
= - + c .
9) ydx + ( x - ) dy = 0
y + x - = 0
+ - = 0
+ = (
+ = (-2)
- = -1
z = = -2
Reemplazando:
- = -1
z = .
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49
z = .
z = .
z = -1 + . c
Reemplazando:
z =
= -1 + c
10) 3xdy = y( 1 + x sen x - 3 sen x ) dx
3x dy = ( y + yx sen x – 3x sen x ) dx
= sen x - sen x
- ( ) sen x (
- ( ) sen x (-2)
+ 2 ( ) -2sen x
Luego: z = = -2
+ 2 ( ) -2sen x
z =
z =
z =
Resolviendo por partes:
z =
z = sen x– cos + . c
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-
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50
11) 3x - 2y =
- = . (
- =
- =
z = = 3
- =
z = .
z = .
z = .
z =
z =
z = + c .
Reemplazando:
z =
= + c .
12) (2x - y) dx + 2xdy = 0
2x – y + 2x = 0
– + = 0
– = . (
– = . (
– =
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-
8/17/2019 Bateria de Ecuaciones 1
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51
z = = -2
Reemplazando:
- = 2
z = .
z = .
z = .
z = .
z =.
Remplazando:
z =
=
13) 2y + cosec x
+
+ y (y)
y + (2)
2y +
z = = 2
Reemplazando:
+ zctg x = cosec x
z = .
z = .
z =
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-
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52/124
52
z =
z = +
Reemplazando:
z =
= +
14) + =
+( = .(
+ = . (-1)
-1 - =
z = = -
Reemplazando:
- . z =
z = .
z = .
z = ( x + 1).
z = ( x + 1).
z = ( x + 1)
z =
Reemplazando: z =
=
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53
PRACTICA 6
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN “N”
I) INDEPENDENCIA LINEAL DE FUNCIONES
1) 1 22 2 0............ 1 x x
Derivando
1 22 2 0............ 2 x x
(1) + (2)
1 1 1 2
2
2 2 0 0 7 7 .
0
x y son L I
2) 1 1 2 2 3 0 x x x
1 2 3
1 2 3
1 2
2 0......... 1
2 0............ 2
2 4 0
x x x
x x x
x x
e e x e
e e e
e e
1 2
3
3
1 2
1 2 3
2 0
2 0
0
0
, .
xe
no aon L I
3) 21 2 32 0............. 1 x x x
1 2 3 3
3 2 2 1 1 2
1 2
2 2 0.................. 2
0 2 2 , . .
cos 0
x
y n son L I
senax ax
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-
8/17/2019 Bateria de Ecuaciones 1
54/124
54
1 2 3
2 3
2 2 2
1 2 3
2
1 2 3
2 3
2 2 2 2
2 3
1 2
2 2 2 0
0 2 2 0
2 2 0
1 3
0
0 2 2 0
0 2 2 0
ax bx cx
bx cx
ax bx cx
ax bx cx
bx cx
bx cx
ax tenemos
b a c a
a b e c
a x tenemos
e e e
b a c a
b a c a
4) 1 2 0 senax senax
1 2
2
1 2
2
1 2
2 2
1
2 2
1
1 1 2
cos 0
(1)
cos . 0
2 cos
cos cos 0
cos 0
cos 0
0 0 0
a ax a senax
de xasenax
a sen ax a ax senax
de x ax
a ax a axsenax
a sen ax a ax
a sen ax ax
a
5) 21 2 31; ; f x f x x f x x
21 2 3
2 3
3
3 2 1
1 2 3
0
0 2 0
0 02 0
0 0; 0
, . .
x derivando
x derivando
y
f x f x y f x son L I
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-
8/17/2019 Bateria de Ecuaciones 1
55/124
55
6) 1 22 ; cosax ax
f senbx f x e bx
1 2
1 2
1 2
1 2
2 2 cos 0
cos 0
cos 0 1
cos 0 2
ax
ax
senbx ax bx
R senbx bx
senbx bx derivando
b bx b senbx derivando
2
1 2
2
1 2
2 2
1
1 1 2
1 2
1 2 cos
.cos 0
cos cos 0
cos 0
0 0 0
. .
xbsenbx x bx
b sen bx b senbx bx
b bx b senbx bx
b sen bx bx
b
f x y f x son L I
7) 1 2 32 , 2 ; 2 xax bx f x f x f x
1 2 3
2
1 2 3
2 2 2
1 2 3
2 2 2 0 1
2 2 2 0 2
2 2 2 0 (3)
ax bx cx
ax bx cx
ax bx cx
a b c
derivando
a b c derivando
a b c
1 2 3
2 3
2 2 0.................................. 4ax bx cx
a b x tenemos
e
2 3
2 2
3
3
2
2
1 1
1 2
0 2 2 0................... 5
0 0 2 0.... 6
2 0
2 0
0
(4)
2 0 0
. .
bx cx
cx
cx
bx
ax
b a c a
c a a b c a
c a a b c a
como a c c b
b a como b a
de
f x y f x son C I
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-
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56/124
56
8) 21 2 3ln ; ln ln f x x f x x y f x x x 2
1 2 3 0 Lnx xLnx x Lnx
2
1 2 3
2 3
3
3 2 1
1 2 3
0
0
0 2 0
0 0 2 0
0; 0 0
; . .
como Lnx
x x derivando
x derivando
y
f x f x y f x son L I
WRONSKIANO
1)
2)
3)
4)
5)
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-
8/17/2019 Bateria de Ecuaciones 1
57/124
57
6)
7)
8)
9)
10)
III) MEDIANTE EL WRONSKIANO, DEMOSTRAR QUE CADA
UNA DE LOS SIGUIENTES CONJUNTOS DE FUNCIONES
SON L.I.
Para demostrar que son L.I. basta probar que la determinante es
distinta de cero.
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-
8/17/2019 Bateria de Ecuaciones 1
58/124
58
1> = ln2x + lnx – lnx = ln2x 0 lnx, xlnx son L.I.
2> = = -12 2x 0
3> = - = 0 cuando x 0
4> =
- - -
= - ( + ) = - 0
5> = =
sen2x cosx – 2cos2x senx + - + 12sen3x =
2sen3x 0 cuando x mk, K Z
6> = - = = 0; x 1
x -1
7> = + = = 0 ; x 1 x -1
8> = -2senx cosx - cos c
Sen y cos2x son L.I.
9> = =
= =48 =48
10> =
= = 2
L.
L1(x
L2(x
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59
IV) DEMOSTRAR QUE LAS FUNCIONES SON L.I. Y SUWRONSKIANO ES CERO (GRAFICARLOS)
1) SI XE [ -1,0 ] 1 f 1 (X) + 2 f 2 (X) = 0
1 X2 + 2 0 = 0 1 = 0
SI XE [0, 1] 1 f, (X) + 2 f 2 (X) = 0
0 + 2 X2 = 0 2 = 0
UROSKIANO EN [-1,0]
X2 0
2X 0
UROSKIANO EN [0,1]
0 X2
0 2X
2) SI XE [0, 2] 1 f 1 (X) + 2 f 2 (X) = 0
1 0 + 2 (X-2)2 = 0 2 = 0
Si XE [2, 4] 1 f 1 (0) + 2 f 2 (X) = 0
1 (X-2)2 + 0 = 0 1 = 0
WRO SKIANO EN [-0,2]
0 (X-2)2
0 2(X-2)
WRO SKIANO EN [2,4]
(X-2)2 0
2(X-2) 0
3) SI XE [-2, 0] 1 f 1 (X) + 2 f 2 (X) = 0
1 X3 + 2 0 = 0 1 = 0
SI XE [0, 1] 1 f 1 (X) + 2 f 2 (X) = 0
0 + 2 X2 = 0 2 = 0
WRO SKIANO EN [-2,0]X3 0
3 X2 0
UROSKIANO EN [0,1 ]
0 X2
0 2X
X -1 < x < 0 -X2 -1 < x < 0
X2 0 < x < 1 X2 0 < x < 1
SI XE [-1, 0] 1 X2 - 2 X2 = 0 ( X) = 0
1 X2 + 2 0 = 0 1 = 0
SI XE [0, 1] 1 f, (X) + 2 f 2 (X) = 0 f 1 y P2
0 + 2 X2 = 0 2 = 0 son L.I.
UROS KIANO EN [-2,0]
X3 0
3 X2 0
= 0=
= 0=
= 0
= 0
W=
W=
4
0 2 4
= 0W=
= 0W=
f 2 (X)
=
4)
f 1=
=W=
f 1 y P2 Son
L.I.
f 1 y P2 SonL.I.
P1 y P2 son L.I.
-2 0 1
-8
-1
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60
UROSKIANO EN [0,1 ]
0 X2
0 2X
V) DEMOSTRACIONES
1)
2
2 2
1 2
2 0
22 1
1
x x
r r
r r r
r
yg C e C e
3)4 3 2
3 5 2 0r r r r
3
1 2 3
2
1 2 3
2
4 2
1 3 2 0
1 2 1 0
1, 2, 1
x x x
x x
r r r
r r r
r r r
yg C e C e C e
yg C e C e
PRÁCTICA Nº 7ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
I) ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
A) Raíces reales distintas.
1. 015´2" y y y
Ecuación característica
5
533
0)5()3(01522
ecuaciónladeraíces
La solución general es: x x
eC eC y 5
2
3
1
3. 0" y y
Ecuación característica
ecuaciónlade Raíces11
)1()1(012
La solución general es: x x
eC eC y 21
7. 06´11"6´´́ y y y y
Ecuación característica
=W=
-1
-1 -1
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61
ecuaciónlade Raíces321
0)3()2()1(06116 23
1 -6 11 -6
1 1 -5 6
2
1
-5
2
6
-6
0
1 -3 0
La solución general es: x x xeC eC eC y
3
2
2
3
1
9. 01´4´´ y y
Ecuación característica
ecuaciónlade Raíces
32
32
2
324
2
124
)1(2
)1()1(4.)4()4(
014
2
1
2
3
La solución general es:
x xeC eC y
)32(
2
)32(
1
B) Raíces múltiples
1. 0´3"3´´́ y y y y
Ecuación característica
3
1
0)1(0133 323
dad múltiplicideecuaciónlade Raíces
La solución general es: x x xe xC e xC eC y
2
321
3. 04119 y y y yI y I II II IV
Ecuación característica:
3
4
1
0)4()1(041193 3234
dad multiplicilade Raíz
1 -1 -9 -11 -4
-1 -1 2 7 4
-1
1
-2
-1
-7
3
-4
4
0
-1
1
-3
-1
-4
4
0
1 -4 0
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62
La solución general es: x x x x
eC e xC e xC eC y 4
4
2
321
5. 08126 I II II IV y y y y
Ecuación característica
32
00)1(0)8126(
323
dad multiplicide Raíz
1 -6 +12 -8
1 2 -8 8
2
1
-4
2
4
-4
0
1 -2 0
La solución general es: x x x
e xC e xC eC C y 22
4
2
3
2
21
7. 033 y y y y I II III
Ecuación característica
3
1
0)1(0133 323
dad multiplicide Raíz
La solución general es:
x x xe xC e xC eC y
2
321
9. 0168 y y y II IV
Ecuación característica
2
22
0)2()2(4
0)2)(2)(2)(2(4
0)4()4(0168
222
2
2224
dad multiplicide Raíz
dad multiplicide Raíz
La solución general es: x x x x
xeC xC e xC eC y 2
4
2
3
2
2
2
1
C) Raíces complejas
1.0
"
y y Ecuación característica
.
1
01
2
4
Eclade Raícesi
La solución general es:
senxC xCosC y 21
3. 04"
y y Ecuación característica
Ecuaciónlade Raícesi24
041
2
2
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63
La solución general es:
x senC xCosC y 2221
5. 013´4" y y y
Ecuación característica
)(2
)1)(13(4)4()4(
0134
2
2
t
2
52164
Raícesi
ii
32
32
2
64
2
364
La solución general es:
)3()3( 222
1 x seneC xeC y x x
7. 0´"
y y y
Ecuación característica
ecuaciónlade Raícesi
i
2
31
2
31
2
31
)1(2
)1)(1(4)1()1(
013
2
1
2
2
La solución general es:
)3()3cos( 21 x seneC xeC y x x
9. 04´2" y y y
Ecuación característica
2
122
)1(2
)4)(1(4)2()2(
0422
2
ecuaciónlade Raíces
i
ii
31
31
2
322
2
1
La solución general es:
)3()3cos( 21 x seneC xeC y x x
10. 025´6"
y y y
Ecuación característica
2
100366
)1(2
)25)(1(4)6()6(
0256
2
2
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64
ecuaciónlade Raícesi
i
43
43
2
646
2
1
La solución general es:
)4()4cos( 3
2
3
1 x seneC xeC y x x
D) Raíces de cualquier índole
1. 04 I y y
III
Ecuación característica
.
2200)4(
04
2
3
ecuaciónlade Raíces
ii
La solución general es:
)2()2cos( 321 x senC xC C y
2. 0 y y y y I II III
Ecuación característica
.
1
0)1()1(0)1()1(
01
22
23
ecuaciónlade Raíces
ii
La solución general es:
x senC xC eC y x
321 cos
3. 0 y y IV
Ecuación característica
.11
0)1()1(
01
22
4
ecuaciónlade Raícesii
La solución general es:
x senC xC eC eC y x x 4321 cos
4. 02 y y y I I
IV
Ecuación característica
2
0)1(012 2224
dad multiplicide Raíz
ii
La solución general es: x sen xC x xC xSenC xCosC y 4321 cos
5. 0916 II IV y y y
IV
Ecuación característica
0)4()1(
0)4()1()1()45()1(0)361()1(
0)1()12(3)1()1(
0)132(3)1()1(
0496
222
222242
2242
22242
24242
246
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65
i
i
dad multiplicide Raíz i
dad multiplicide Raíz i
2
2
2
2
La solución general es:
)2()2( 65
4321
xCosC x senC
xCos xC x sen xC xCosC xSenC y
6. 033 y y y y I II
III
Ecuación característica
31
0)1(0133 323
dad multiplicide Raíz
La solución general es: x x x
e xC e xC eC y
2
321
7. 0 y y y y I II
III
Ecuación característica
ecuaciónlade Raíces
i
i
1
0)1()1(
0)1()1(
01
2
2
23
La solución general es:
senxC xC eC y
x
321 cos
8. 0 y y III
Ecuación característica
)1(2
)1)(1(9)1(101
0)1()1(
01
2
2
2
3
2
3
2
1
2
3
2
1
2
31
i
i
i
Las raíces de la ecuación son:
2
3
2
1
2
3
2
1
i
i
La solución general es:
x seneC x
eC eC y
x x
x
2
3
2
3cos 23
221
10. 0 y y IV
Ecuación característica
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66
ecuaciónladeraícesi 111
0)1()1(
01
22
4
La solución general es:
x senC xC eC eC y x x 4321 cos
11. 03 y y y y I II III
Ecuación característica
0)12()1(
013
2
23
2
222
2
442)1(2
)1)(1(4)2()2( 2
ecuaciónlade Raíces
12121
2121
La solución general es:
)21(
3
)21(
21
x x x
eC eC eC y
12. 044 I II
y y y III
Ecuación característica
220
0)2(0)44(
044
22
23
dad multiplicide Raíz
La solución general es:
x x e xC eC C y 232
21
13. 0214 y y y III
IV
Ecuación característica
2
10814
2
10814
2
108142
819614
)1(2
)2)(1(4)14()14(
0241
2
22
2
22
24
1 -1 -3 -1
-1 -1 2 1
1 -2 -1 0
1 -1 -3 -1
-1 -1 2 1
1 -2 -1 0
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67
La solución general es:
x
x x x
eC
eC eC eC y
2
10814
4
2
10814
3
2
10814
2
2
10814
1
14. 002´22 y y y y y II III
IV
Ecuación característica
0222 234
Las raices son:
i
i
1
1
11
i
1
2
42
2
)1)(2(4)2()2(
0)22()1()1(
2
2
La solución es
senxeC xeC eC eC y x x x x
4321 cos
15. 095 y y y II
IV
Ecuación característica
1
94
0954
2
2
24
ecuaciónlade Raíces
i
i
12
3
14
9
010940)1()94(
2
2222
La solución general es:
x senC xC eC eC y x x
2
3
2
34321
1 -2 1 2 -2
1 1 -1 0 2
-1
1
1
-1
-1
0
2
2
-2
0
1 -2 2 0
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PRACTICA 8
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NOHOMOGÉNEAS
1.- y’’ + 3y’ = 3 Solución:
y’’ + 3y’ = 3 y’ = p y’’ =
+ 3p = 3 → = 3 - 3p →
U= 3 – 3p → du = - 3dp- → x = -3lnu + c
X = - 3ln(3 – 3p) + c1
2.- yIV – 3y’’ – 4y = - 4x5 + 390x
Solución:
yIV – 3y’’ – 4y = - 4x5 + 390x y’’ = px y’’’=p yIV =
y = x3
3px – 4 x3 = - 4x5 + 390x
- 4x5 + 390x + 3px + px3
dp = (- 4x5 + 390x + 3px + px3 )dx
∫dp = - 4∫x5dx + 390∫xdx + 3p∫xdx + p∫x3dx
p = - 4 + 390 + 3p + p + c1 p = - 2 + 195x2 + 3p + p + c1
3.- y’’ – 4y’ = x Solución:
y’’ – 4y’ = x y’ = p y’’ =
x dp = ( x + 4p)dx
(ax – 1) + c
p =
p = c1
4.- y’’ – 4y’ + 8y = (sen2x – cos2x)Solución:
y’’ – 4y’ + 8y = (sen2x – cos2x)y’ = p y’’ = y = px
5.- y’’’ – 4y’ = x Solución:
y’’’ – 4y’ = x y’ = px y’’’ = p y’’’ =
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69
6.- y’’ – y’ = x2 Solución:
y’’ – y’ = x2 y’ = p y’’ =
7.- y’’’ – y’ = x + 1 Solución:
y’’’ – y’ = x + 1 y’ = px y’’ = p y’’’ =
8.- y’’ + 2y’ + 2y = 2(x + 1)2 Solución:
y’’ + 2y’ + 2y = 2(x + 1)2
y = px y’ = p y’’ =
9.- yIV + 4y’’ = 8(6x2 + 5)
Solución:
yIV + 4y’’ = 8(6x2 + 5) y’’ = px y’’’ = p yIV =
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70
10.- 2y’’ – 9y’ + 4y = 18x – 4x2
Solución:
2y’’ –
9y’ + 4y = 18x – 4x2 y = px y’ = p y’’ =
⇾
VARIACIÓN DE PARÁMETROS1.- y’’ + y = cosecx
Solución:
y’’ + y = cosecx y = px y’ = p y’’ =
2.- y’’ + y = sec2x
Solución:
y’’ + y = sec2x y = px y’ = p y’’ =
3.- y’’ + y = cotgx Solución:
y’’ + y = cotgx y = px y’ = p y’’ =
4.- y’’ + 4y = 4ctg2x
Solución:
y’’ + 4y = 4ctg2x y = px y’ = p y’’ =
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71
5.- y’’ + 4y’ + 4y = e-2e2x
Solución:
y’’ + 4y’ + 4y = e-2e2x y = px y’ = p y’’ =
6.- y´´+ y´=sec2x.cscx y=px y´=p y´´=
7.-
y=px y´=p y´´=
8. y´´+ y= tanx y=px y´=p y´´=
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8/17/2019 Bateria de Ec