ecuaciones y sistemas de ecuaciones

MATEMÁTICAS 4ºESO OPCIÓN A

1

ECUACIONES

Ecuaciones de primer grado

1. Agrupar la incógnita.

El primer paso será agrupar en un lado del = todos los términos que tengan la

incógnita y juntar en el otro todos los términos en los que no aparece. Para hacer esta

trasposición los signos que van delante de cada número cambia. Así, el que está

sumando en un lado pasa al otro restando y viceversa; y el que está multiplicando en

un lado pasa al otro dividiendo, y viceversa.

Ejemplo:

Trasposición:

2. Despejar cada lado.

Una vez hecho esto se hacen las operaciones de cada lado. Al final en uno de los

lados quedará un número multiplicando a la incógnita, y al otro lado del igual quedará

solamente un número.

Resolver:

3. Resolverlo.

Para despejar la incógnita, el número que multiplica a la 'x' pasa al otro lado

dividiendo. Siguiendo nuestro ejemplo,

,por lo que

Ecuaciones de segundo grado:

1. Ordenarlo:

El primer paso será ordenar la ecuación para que queden todos los términos a un lado

de la igualdad ordenados de mayor a menor grado de la siguiente manera:

Ejemplo:

2. Aplicar la fórmula:

Hemos de encontrar a, b y c y “meterlos” en la siguiente fórmula:

Ejemplo:


2

3. Resolverlo:

Ecuaciones polinómicas

Son las ecuaciones de grado tres o mayor.

Para resolver una ecuación polinómica debemos de factorizar el polinomio hasta poder

escribirlo como un producto de factores todos de grado menor o igual que dos.

Veámoslo con un ejemplo:

Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación

El primer paso es igualar la ecuación a 0

Ahora escribimos las posibles raíces: 1,-1,2,-2,4,-4

Hacemos Ruffini con las posibles raíces hasta llegar a resto=0

1 0 -3 0 -4

1 1 1 -2 -2

1 1 -2 -2 -6 Por tanto 1 no es raíz

1 0 -3 0 -4

- 1 -1 1 2 2

1 -1 -2 2 -2 Por tanto -1 no es raíz

1 0 -3 0 -4

2 2 4 2 4

1 2 1 2 0


3

Por tanto 2 es raíz y podemos escribir

Como todavía no tenemos el polinomio escrito como un producto de polinomios de

grado menor o igual que dos hemos de seguir factorizándolo, seguimos con el

cociente que tiene grado=3.

1 2 1 2 Ahora las posibles raíces son 1,-1,2.-2

-2 -2 0 - 2

1 0 1 0 Luego -2 es raíz

Y tenemos que

Como teníamos que resolver esto es lo mismo que resolver

Y como para que un producto de 0 alguno de los términos tiene que ser 0, hacemos:

Por tanto las soluciones son .

Ecuaciones irracionales

Para resolver una ecuación en la que aparece una raíz hemos de seguir los

siguientes pasos:

4. Dejamos a un lado de la igualdad SOLO la raíz

Ejemplo:

5. Eliminamos la raíz elevando ambos lados del igual al cuadrado.

Ejemplo:

6. Resolvemos la ecuación obtenida.

Ejemplo:


4

Ecuaciones racionales

Seguimos los siguientes pasos:

1. Sacamos el mínimo común múltiplo de los denominadores:

Ejemplo:

2. Eliminamos denominadores:

Para ello colocamos como denominador en todos los términos el m.c.m.

multiplicando cada término en el numerador y el denominador por lo que le falte

para que el denominador sea el m.c.m.

Ejemplo:

3. Resolvemos la ecuación obtenida:

Ejemplo:

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

a) 2(x - 3) + 3(x - 1) = 1

b) 4x + 2(x - 1) - 3(x - 2) = 13

c) (1 - x) + 2(2x + 3) = 4

d) x + 2x + 3x = 5(1 - x) + 6

Solución:

a) x = 2; b) x = 3; c) x = -1; d) x = 1.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

a) 5x + 10 = 12x - 4

b) 4x + 2 - 2x = 8x

c) 6x - 9x = 18 - 27

d) 2 + 4x - 15 = - 13x + 4

Solución: a) x = 2; b) x = 1/3; c) x = 3; d) x = 1


5

24x4x2482x72

167x4

128

xx212

3. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 02410xx2

b) 09x2

c) 04x2

d) 023xx2

Solución:

a) x = 4 y x = 6; b) x = -3 y x = 3; c) x = -2 y x = 2; d) x = 1 y x = 2


a) 106x2

b) 167x4

c) xx5x

Solución:

a) x = 2

b)x = 9

c) x = 0 y x = 16


a)

b)

c)

Solución:

a) Solución válida, x = 5 b) x = 9 c) Solución válida, x = 64


6

6. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:

a)

b)

c)

Solución

a) x= -1,2,-2

b) x= 0, -1, 3/2

c) x=0, 2, -2, -8


a)

b)

c)

d)

Solución:

a) x=1, 4 b)x=1/4, 3/3 c)x=2, -7/5 d)x=-4, -4/3


7

SISTEMAS DE ECUACIONES

Sistemas lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas:

Un sistema de ecuaciones lineal es aquel en que cada ecuación es de primer

grado, existen tres métodos de resolución: SUSTITUCIÓN, IGUALACIÓN Y

REDUCCIÓN.

SUSTITUCIÓN:

1. Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones:

Ejemplo:

2. Sustituimos en la otra ecuación:

3. Resolvemos la ecuación de primer grado que nos queda:

4. Hallamos la otra incógnita:

IGUALACIÓN:

1. Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones:

Ejemplo:

2. Igualamos :


4. Hallamos la otra incógnita, sustituyendo en una de las ecuaciones:

REDUCCIÓN

1. Igualamos en ambas ecuaciones los coeficientes de una de las

incógnitas.

Para ello multiplicamos toda la ecuación por el entero que nos del coeficiente

que buscamos:

2. Sumamos o restamos las ecuaciones para eliminar una de las incógnitas:


8


4. Hallamos la otra incógnita, sustituyendo en una de las ecuaciones:

Sistemas no lineales

Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de

sus ecuaciones no es de primer grado. La resolución de estos

sistemas se suele hacer por el método de sustitución , para llegar a

un sistema de ecuaciones lineal.

Es este tipo de sistemas suelen aparecer raíces, polinomios en el

denominador o incógnitas con grado mayor o igual que 2.

Ejemplo:

y = 7 − x

x2 + (7 − x)2 = 25

x2 + 49 − 14x + x2 = 25

2x2 − 14x + 24 = 0

x2 − 7x + 12 = 0

x = 3 y = 7 − 3 y = 4

x = 4 y = 7 − 4 y = 3


9

Ejemplo:

Sistemas de 3 ecuaciones y tres incógnitas:

Veámoslo con un ejemplo:

1. Despejamos una de las incógnitas en cualquiera de las ecuaciones (la

que nos resulte más fácil de despejar).

2. Sustituimos en las dos otras ecuaciones:

3. Simplificamos ambas ecuaciones hasta llegar a un sistema lineal de

dos ecuaciones y dos incógnitas:

4. Resolvemos el sistema resultante:


10

1625

73

yx

yx

Solución: .

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

1.

4

1

3

1

3413

yx

yx

SOLUCIÓN: x = 4 ; y = – 3

2.

02

13

4

23

y

x

yx

SOLUCIÓN: x = 1 ; y = 2

3.

SOLUCIÓN: x = – 2 ; y = 3

4.

SOLUCIÓN: x= 2,123 y= 5,677

5.

SOLUCIÓN: x= 3 y= -2

6.

SOLUCIÓN: No tiene solución

7.

SOLUCIÓN: x= 3 y= 2


11

8. Resuelve:

SOLUCIÓN:

a) x=4, y=3

b) x=8, y=5 x=-1, y=-1

c) x=6, y=6

d) x=3, y=1 x=2, y=-1

9. Resuelve:

SOLUCIÓN:

a) x=0, y=1, z=9

b) x=1, y=1, z=1

10. Resuelve:

SOLUCIÓN:

a) x=3/2 y=1/2 z=2

b) No tiene solución


12

PROBLEMAS DE SISTEMAS

2 ecuaciones

1. Seis camisetas y cinco gorras cuestan 227 euros. Cinco camisetas y 4 gorras

cuestan 188 euros. Halla el precio de una camiseta y de una gorra.

(Solución: 32 camisetas, 7 gorras )

2. He comprado un cuaderno que costaba 3 euros y para pagarlo he utilizado nueve

monedas, unas de 20 céntimos y otras de 50 céntimos. ¿Cuántas monedas de cada

clase he utilizado? (Solución: 5 monedas de 20 céntimos, 4 de 50 céntimos)

3. En un examen tipo test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada

respuesta correcta y se restan 0,25 por cada error. Si un alumno ha sacado 10,5

puntos ¿Cuántos aciertos y cuántos errores ha cometido?

(Solución: 18respuestas correctas , 12 respuestas incorrectas )

4. Calcula dos números cuya suma sea 191 y su diferencia 67.

(Solución: primer número 129 y segundo número 62 )

5. La diferencia de dos números es de 14 y la cuarta parte de su suma es 13. Halla

dichos números.

(Solución: primer número 33 y segundo número 19 )

6. Dos números suman 21. Si el primero lo dividimos entre 3 y le restamos la sexta

parte del segundo, nos da 1. Halla el valor de los dos números.

(Solución: primer número 9 y segundo número 12)

7. Ente María y Pedro tienen un total de 65 CD’s . Sabemos que Pedro tiene 7 CD’s

más que María. ¿Cuántos CD’s tiene cada uno?

(Solución: María tiene 29 CD’s y Pedro 36)

8. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 80 m y la altura es

2/3 de su base. (Solución: base 24 m y altura 16)

9. En el aula de 3º A hay doble número de alumnos que en el aula de 3ºB. Además

se sabe que si se pasan 8 alumnos de 3º A a 3ºB ambas aulas tendrán el mismo

número de alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en cada aula?

(Solución: En el aula de 3º A hay 32 alumnos y en 3ºB 16)

11. Tenemos dos grifos A y B. Si abrimos el grifo A durante 3 minutos y el grifo B

durante 1 minuto, salen en total 50 l de agua. Si en cambio abrimos el grifo B

durante 2 minutos y el A durante 1 minuto, entonces salen en total 40l. ¿Cuántos

litros de agua arroja cada grifo en 1 minuto?

(Solución: Grifo A 12 l/min y grifo B 14 l/min)

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