basico de bonos

7/26/2019 Basico de Bonos

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ENSAYOS

Anlisis bsico de bonos

Joanna Place

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CENTRO DE ESTUDIOS MONETARIOS LATINOAMERICANOS


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Primera edicin, 2005

Derechos exclusivos en espaol reservados conforme a la ley

Centro de Estudios Monetarios Latinoamericanos, 2005

Durango n 54, Mxico, D. F., 06700Prohibida su venta

Impreso y hecho en Mxico

Printed and made in Mxico


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Resumen

El conocimiento de las matemticas bsicas es esencial para cual-quier anlisis de mercado de bonos. Este Manual abarca las carac-tersticas bsicas de un bono, y permite al lector comprender losconceptos implicados en la fijacin de precio de un bono y la eva-luacin de su valor relativo.

El Manual establece como fijar el precio de un bono, con flujosde efectivo simples y mltiples entre perodos de cupn, y con di-ferentes perodos de cupn. Asimismo explica las diferentes me-

didas de rendimiento y los usos (y limitaciones) de cada una deellas. Una discusin ms detallada sobre las curvas de rendimientoayuda al lector a comprender sus distintas aplicaciones. Se sumi-nistran ejemplos cuidadosamente elaborados. Estos proceden tpi-camente del mercado del Reino Unido y estn destinados a ayu-dar al lector en la comprensin de los conceptos: otros mercadosde bonos pueden muy bien estar sujetos a condiciones ligeramen-te diferentes. La seccin acerca de los diferentes tipos de bonos

comenta las principales caractersticas de cada uno de ellos y lasventajas y desventajas tanto para el emisor como para el inversor.La Seccin final explica cmo estimar el valor relativo, y el riesgo yrendimiento, que son los factores clave en la estrategia de las ope-raciones.

En la prctica, la mayora de los operadores tendrn computa-doras para elaborar todas estas medidas, pero sigue siendo esen-cial, empero, tener cierto conocimiento de las matemticas bsicasque se hallan tras estos conceptos. Hay otras tcnicas ms sofisti-cadas, que no trata este Manual, pero se proporciona una lista delecturas para permitir al lector estudiar el tema con mayor pro-fundidad.

Al final del Manual se suministra un glosario de trminos confines de claridad.

1. Introduccin

A fin de obtener una mejor comprensin de la relacin entre pre-cio y rendimiento, as como para interpretar las curvas de rendi-miento y estrategias de operacin, es necesario entender algo el


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anlisis bsico de bonos. Este Manual establece como se fija el pre-cio de los bonos (y sus limitaciones a este respecto); qu informa-cin se puede derivar de las distintas curvas de rendimiento, y laspropiedades de riesgo/retorno*de los distintos bonos.

2. Fijacin de precio de un bono

El precio de un bono es el valor presente de su esperado flujo(s)de efectivo.

El valor presente ser inferior al valor futuro, puesto que la te-nencia de 100 la prxima semana valdr menos que la tenenciade 100 hoy da. Existen varias posibles razones para ello: si la in-flacin es alta, el valor se habr erosionado para la semana si-guiente; si permanece en posesin de otra persona por una sema-na adicional, se presenta un riesgo potencial de crdito; y no hayoportunidad de invertir el dinero hasta la semana siguiente, porlo que cualquier rendimiento potencial resulta aplazado.

Esto se discute ms detalladamente en los ejemplos que siguen:

la aritmtica da por supuesto que no habr riesgo de crdito uotros efectos (por ejemplo, de liquidez, de impuestos). Calcula elprecio de un bono libre de riesgo, y por lo tanto tendra que serajustado para tener en cuenta otros factores. La mayora de losprecios de bonos se cotizan en decimales,1por lo que en este Ma-nual seguimos esa prctica.

2.1 Flujo de efectivo simple

Para calcular el valor futuro de una inversin:

A comenzar por el ejemplo ms simple, la inversin de 100 a8% por un perodo dara el retorno siguiente:

Retorno = 100 (1 + 8/100) = 108

En otras palabras:

FV=PV(1 +r)

*N. del T.: Ver Glosario de trminos al final del documento.1La excepcin notable es el mercado de bonos de Estados Unidos, que son cotiza-

dos en 1/32(libras)[ticks(variaciones de precio mnimas)].


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dondeFVes el valor futuro (es decir, el flujo de efectivo esperadoen el futuro);PVes el valor presente;res la tasa de retorno.

Suponiendo la misma tasa de retorno, si la inversin se realiza

por dos perodos, entonces:FV= 100 (1 + 8/100) (1 + 8/100)

En otras palabras:

FV=PV(1 +r)2

Y en general:

FV=PV(1 +r)n

donde nes el nmero de perodos en que se ha invertido, a unatasa de retornor.

Si deseamos calcular el precio (es decir, el valor presente) de unbono como funcin de su valor futuro, podemos reordenar esta

ecuacin:

n)r(

FVP

+=

1

dondePes el precio del bono que es el mismo que su valor pre-sente.

El valor futuro es el esperado flujo de efectivo, es decir, el pagoa su rescate o reembolso en perodosndespus.

2.2 Tasa de descuento

Asimismo se hace referencia a r como la tasa de descuento, esdecir, la tasa de descuento aplicada al pago futuro, a fin de cercio-rarse del precio actual.

nr)1(1+

es el valor de la funcin de descuento en el perodon.

Si se multiplica la funcin de descuento en el perodonpor el flu-jo de efectivo esperado en el perodon, obtenemos el valor del flu-jo de efectivo hoy da.


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Un comentario adicional sobre la tasa que se debe usar en lafuncin de descuento se ofrece ms adelante.

2.3 Flujo de efectivo mltipleEn la prctica, la mayora de los bonos tienen ms de un flujo

de efectivo, por lo que cada flujo de efectivo tiene que ser descon-tado, con objeto de averiguar su valor presente (precio corriente).Esto puede verse con otro ejemplo muy simple: un bono conven-cional, que paga un cupn anual y un valor nominal a su venci-miento. El precio en cuestin se da como sigue:

(1) nn)r(Rc...

)r(c

)r(c

)r(cP

++++

++

++

+=

1111 332

21

1

DondeP = precio sucio (es decir, incluido el inters acumula-do (vase el apartado 2.4); C= cupn anual;ri = % de tasa de re-torno que se usa en eliesimoperodo para descontar el flujo de efec-tivo (en este ejemplo, cada perodo es un ao);R= pago de resca-

te en el momenton.El ejemplo citado anteriormente nos muestra que para cada pe-

rodo (r1, r2, etc.) se usa una tasa de descuento diferente. Aunqueesto parece razonable, la prctica ms comn en los mercados debonos es efectuar el descuento mediante el uso de un rendimientode rescatey descontar todos los flujos de efectivo con el uso de estatasa. Las limitaciones que esto encierra se discuten ms adelante.

En teora, cada inversionista tendr una opinin ligeramentediferente sobre la tasa de retorno requerida, puesto que el costode oportunidad, de no contar con dinero en el momento, ser di-ferente, al igual que sus opiniones sobre, por ejemplo, la futurainflacin, apetito por el riesgo, naturaleza de las obligaciones o pa-sivos, horizonte de tiempo de inversin, etc. En consecuencia, elrendimiento requerido debera de reflejar estas consideraciones.En la prctica, los inversores determinarn lo que consideran es

un rendimiento equitativo para sus propias circunstancias. A con-tinuacin podrn calcular el precio correspondiente y compararesto con el precio de mercado, antes de decidir si deben compraro vender (y en qu cantidad).

La fijacin de precio de un bono con un cupn semianual sigue


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los mismos principios que los de un cupn anual. Un bono a diezaos, con cupones semianuales, contendr 20 perodos (cada unocon vencimiento a seis meses); y la ecuacin de precio ser:

202 211002

212

212

)/y(/c...

)/y(/c

/y/cP

++++

++

+=

donde c= cupn;y= rendimiento de rescate (en % sobre una ba-se anualizada).

En general, la notacin de las matemticas de bono para expre-sar el precio de un bono se da por:

)cf(PVP tnt 1==

Donde PV (cft) es el valor presente del flujo de efectivo en elmomento t.

2.4 Precios sucios y precios limpios

Cuando se compra o vende un bono a la mitad del plazo delperodo de un cupn, se habr acumulado cierta cantidad de inte-rs devengado por el cupn. El pago del cupn siempre se recibepor la persona que tiene en su poder el bono en el momento delpago del cupn (puesto que entonces el bono estar registrado asu nombre).2Como es posible que no haya tenido el bono en supoder durante todo el perodo del cupn, tendr que pagar al te-nedor anterior cierta compensacin por la cantidad del inters

devengado mientras el bono fue de su propiedad. A fin de calcu-lar el inters devengado, necesitamos saber el nmero de das quetranscurrieron durante el perodo de ese inters devengado, elnmero de das correspondientes al perodo del cupn, y la canti-dad de dinero pagada por el cupn. En la mayora de los mercadosde bonos, el inters devengado se calcula sobre la base siguiente:3

Inters del cupnx nm. de das que han transcurrido en el perodo del cupn

nmero total de das en el perodo del cupn

2Ciertos bonos, por ejemplo, los bonos al portador, no estarn registrados.3En algunos mercados, el nmero real de das en el perodo no se usa como deno-

minador, sino ms bien un nmero supuesto, por ejemplo, 360 365 (incluso en aobisiesto).


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Los precios en el mercado generalmente se cotizan sobre baselimpia (es decir sin lo que han acumulado), pero se liquidan sobreuna base sucia (es decir, con lo que acumularon).

Ejemplos

Usando los principios bsicos discutidos anteriormente, losejemplos que siguen muestran como se deben fijar los precios delos distintos bonos.

Ejemplo 1

Calcular el precio (a la emisin) de un bono a tres aos por va-lor de 100 nominales con un cupn de 5%, si los rendimientos detres aos son 6% (cotizados sobre una base anual). El bono pagasemianualmente.

Luego:

El perodo de vencimiento es de 3 aos, es decir, 6 pagos decupn semianuales de 5/2.

El rendimiento usado para el descuento es .2

06

Usando la ecuacin (1) anterior (de la pgina 4):

632

206

1

10025

206

1

25

206

1

25

206

1

25

).

(

/

).

(

/

).

(

/.

/

+

++

++

++

+= L

Ejemplo 2

Supongamos que estamos fijando el precio de un bono (100nominales) en el mercado secundario, y en consecuencia el tiempopor transcurrir hasta el siguiente pago de cupn no es un aoneto. Este bono comprende un cupn de pago anual (el 1 de ju-nio de cada ao). El bono posee un cupn de 5% y lo redimir el

1 de junio de 2005. Un operador desea fijar el precio del bono el5 de mayo de 2001. Los rendimientos de rescate quinquenalesson de 5% y por lo tanto esta es la tasa que usaremos en la fun-cin de descuento. Se aplica la frmula que se seala a continua-cin:


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7

365274365

27136527 .05)(1

105.05)(1

5.05)(15

+++

+++

+= K

El primer perodo es la cantidad de tiempo que hay hasta elpago del primer cupn, dividida por el nmero de das en el pe-rodo del cupn. El segundo perodo es el que sigue a ese prime-ro, etc.

Se trata del precio sucio, es decir, de la cantidad que puede es-perarse que el inversionista pague. Para derivar el precio limpio(el precio cotizado) habr que sustraer la cantidad que representaal inters acrecentado.

Ejemplo 3

Se emite un bono a 3 aos con un cupn de 10% anual. Quprecio tendra usted que pagar a la emisin por 100 nominales siusted deseara un retorno (es decir un rendimiento) de 11%?

Si el rendimiento requerido es mayor que el cupn, el precioestar bajo par (y viceversa).

5697.11)(1

110.11)(1

10111

1032

..

=+

++

++

=

Ejemplo 4

Calcular el inters devengado al 27 de octubre de un bono de

100 nominales con un cupn de 7% anual, a pagarse el 1 de di-ciembre (no se trata de un ao bisiesto).

Desde el perodo de cupn previo han transcurrido 331 das (esdecir, en los cuales el inters se ha acumulado). Si asumimos laconvencin arriba citada para calcular el inters devengado:

Inters devengado = p.346365331

x100

7x100=

2.5 Relacin entre precio y rendimiento

Existe una relacin directa entre el precio de un bono y su ren-dimiento. El precio es la cantidad que el inversor pagar por los


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futuros flujos de efectivo; el rendimiento es una medida del retor-no de esos futuros flujos de efectivo. En consecuencia, el preciocambiar en direccin opuesta al cambio en el rendimiento reque-rido. Hay varias frmulas diferentes para la relacin entre precio

y rendimiento.4Una explicacin ms detallada de la relacin pre-cio/rendimiento puede encontrarse en un documento publicadopor la Oficina de Administracin de Deuda del RU intituladoFrmulas para calcular precios de bonos del gobierno britnico apartir de sus rendimientos, junio de 1998.

Si observamos la relacin precio-rendimiento de un bono es-tndar, es decir, un bono no rescatado o liberado anticipadamen-te, sera de esperar que tenga una forma como la que aparece acontinuacin:

A medida que el rendimiento requerido se incrementa, el factor

por el cual se descuentan los futuros flujos de efectivo tambin seincrementa, y por consiguiente el valor presente del flujo de efec-tivo decrece. De modo que el precio decrece a medida que el ren-dimiento se incrementa.

4Un ejemplo de ello se da en la seccin 4.6 acerca de los bonos de cupn cero.


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3. Rendimientos y curvas de rendimiento

No es posible comparar el valor relativo de los bonos mediante laobservacin de sus precios, puesto que los diferentes vencimien-

tos, cupones, etc., afectarn el precio, de modo que un bono deprecio inferior no necesariamente es un mejor valor. En conse-cuencia, a fin de calcular el valor relativo, los inversores compara-rn los rendimientos de los bonos. Los rendimientos generalmen-te se cotizan sobre una base anual, lo que permite al inversionistaver cul fue el retorno durante un perodo de un ao. Con objetode hacer una conversin a base semianual (y viceversa), se aplicala siguiente frmula:

(2) 2x11 )A(SA +=

(3) 12

1 2+= )SA

(A

DondeA= rendimiento anual; SA= rendimiento semianual.

Ejemplo 5

Si el rendimiento semianual es de 5%, cul es el rendimientoanual? Utilizando la ecuacin (3):

1205

1 2 += ).

(A

5.0625%=A En general, la frmula aplicada para la conversin de un ren-

dimiento de perodo anual a otro rendimiento de perodo es:

Nueva tasa = (1 +A)1/n- 1) xn

Dondenes el nuevo perodo.

3.1 Rendimientos de mercado de dinero

Este Manual se concentra en los rendimientos de los bonos. Losrendimientos del mercado de dinero se cotizan sobre una base di-ferente y, en consecuencia, para comparar bonos a corto plazo e


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instrumentos del mercado de dinero, es necesario examinarlos so-bre una base comparable. Las diferentes frmulas se dan en elapndice I.

3.2 Usos de curvas de rendimiento y teoras de curvas de rendimiento

Una curva de rendimiento es la representacin grfica del tr-mino estructura de rendimientos para un mercado dado. Intentademostrar que, para una serie de bonos con diferentes vencimien-tos, pero que tienen caractersticas similares en otros aspectos, elrendimiento de un bono vara con su vencimiento. Las curvas derendimiento se construyen, por lo tanto, (hasta donde es posible)

como un grupo homogneo de bonos: no podramos construir oelaborar una curva de rendimiento mediante el uso de ttulos gu-bernamentales y corporativos, teniendo en cuenta las distintas ca-tegoras de riesgo.

Las curvas de rendimiento se usan con diferentes propsitos.Por ejemplo, las curvas de rendimiento de los ttulos gubernamen-tales demuestran la rigidez (as como la esperada rigidez) de la po-ltica monetaria; permiten las comparaciones entre pases; ayudana fijar los precios de nuevas emisiones; evalan el valor relativoentre bonos; permiten asimismo derivar las tasas de inters a pla-zo o a trmino; y ayuda a operadores/inversores a comprender elriesgo. Como existen diferentes tipos de curva de rendimientoque pueden ser construidas, se usan distintas curvas para diferen-tes propsitos.

Hay varias teoras acerca de la curva de rendimiento, que tratan

de explicar la forma de la curva, que depende, entre otras cosas,de las preferencias y opiniones de los inversores. Las ms comu-nes son la Teora de Preferencia de Liquidez(aumento de la prima deriesgo con el tiempo, de modo que, si las dems condiciones novaran, sera de esperar una alza de la curva de rendimiento); laHiptesis de Expectativas Puras (las tasas de inters a plazo gobier-nan la curva, que son simplemente expectativas de futuras tasasde inters al contado y no toman en cuenta la prima de riesgo); la

Hiptesis de Mercados Segmentados(la curva de rendimiento depen-de de la oferta y la demanda en distintos sectores y cada sector dela curva de rendimiento slo dbilmente est conectado a otros);la deHbitat Preferido(nuevamente los inversores tienen una pre-ferencia en cuanto al vencimiento, pero cambiarn esa preferenciade vencimiento si el incremento en el rendimiento se considera


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compensacin suficiente para actuar de esa manera). Todas estaspreferencias estn basadas en la demanda; los factores basados enla oferta incluyen la poltica del gobierno (posicin fiscal, opinio-nes sobre el riesgo, criterios acerca de la cartera ptima, etc.). Una

explicacin detallada de las teoras de la curva de rendimiento vams all de lo que se propone este Manual (por favor, recurra a lalista de lecturas).

Los diferentes tipos de rendimiento y las curvas de rendimientose discuten tambin ms adelante.

3.3 Rendimiento uniforme

Esta es la medida ms simple del rendimiento (tambin conoci-do como rendimiento corriente, rendimiento de inters, rendi-miento de ingreso o rendimiento mvil). La da la siguiente fr-mula:

100xlimpioPreciocupndeTasa

=fijooRendimient (%)

Esta es una medida muy cruda. No toma en cuenta el intersdevengado; ni tampoco toma en cuenta las ganancias y prdidasde capital (es decir, da por supuesto que los precios no cambiarndurante el perodo de tenencia del bono); ni reconoce el valortiempo del dinero. nicamente puede usarse, si se quiere ser ra-zonable, como medida del valor cuando el plazo de vencimiento esmuy largo (puesto que el ingreso del cupn ser el dominante en

el rendimiento o retorno total comparado con las ganan-cias/prdidas de capital.

3.4 Rendimiento simple

Esta es una medida ligeramente ms sofisticada del retorno queel rendimiento uniforme, que toma en cuenta la ganancia de capi-tal, aunque da por supuesto que devenga intereses de modo lineal

durante la vigencia del bono. Sin embargo, no admite el interscompuesto; ni toma en cuenta el inters devengado puesto queusa el precio limpio en el clculo.

limpiopreciox100xovencimientalAos

limpio)precio-(100cupndeTasa:simpleoRendimient

+


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Obviamente, un bono en su perodo de cupn final es, en tr-minos de flujo de efectivo, directamente comparable con un ins-trumento de mercado de dinero. En este caso, se usan los clculosde rendimiento de inters simple (es decir, no se necesita descon-

tar a una tasa de inters compuesta).

3.5 Rendimiento de rescate o rembolso (rendimiento al vencimiento)

Un rendimiento de rescate o liberacin es aquella tasa de inte-rs en que los valores totales descontados de futuros pagos de in-gresos y capital son iguales a su precio en el mercado.

n)y(Rc

)y(c

)y(c

ycP

+++

++

++

+=

1111 32 L

DondeP= precio sucio (es decir, incluidos los intereses devenga-dos); c= cupn;R= pago de rescate;n= nmero de perodos; ey= rendimiento de rescate.

Se hace referencia al mismo tambin como Tasa de Retorno In-

terna o el Rendimiento al Vencimiento.Cuando se cotiza el rendimiento de un bono, normalmente es

el rendimiento de rescate el que se usa, puesto que todos los facto-res que contribuyen al retorno pueden ser capturados en un solonmero. El rendimiento de rescate toma en cuenta el valortiempo del dinero mediante el uso de la funcin de descuento:cada flujo de efectivo se descuenta para que d su valor presenteneto. Obviamente, un cupn cercano vale ms que un cupn leja-no, ya que puede ser reinvertido, pero tambin, en casi todos loscasos (salvo por lo que concierne a la tasas de inters negativas),la cantidad del cupn real ser mayor cuanto ms pronto sea re-cibida.

Sin embargo, esta medida no da ms que el retorno potencial.Las limitaciones del uso del rendimiento de rescate para descon-tar los flujos de efectivo futuros son las que se sealan a continua-

cin: El rendimiento de rescate supone que el bono es conservado

hasta el vencimiento; (es decir, el rendimiento de rescate no selogra ms que si el bono es sostenido hasta su vencimiento);

descuenta cada flujo de efectivo a la misma tasa;


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da por supuesto que un tenedor de bono puede reinvertir to-dos los cupones recibidos a la misma tasa, es decir, la tasa derendimiento de rescate (o sea, adopta una curva de rendimien-to fija o uniforme), mientras que en realidad los cupones sern

reinvertidos a la tasa de mercado prevaleciente en que son reci-bidos; y,

la tasa de descuento usada para el flujo de efectivo, digamos, alcabo de tres aos para un bono de 5 aos, ser diferente de laempleada para descontar el pago de tres aos en un bono dediez aos.

La curva de rendimiento de rescate sufre de estas limitaciones.

La curva se usa para anlisis simples, y puede ser tambin em-pleada cuando no se dispone de suficientes bonos para construiruna curva de rendimiento ms sofisticada.

Rendimientos de rescate netos

La ecuacin que aparece ms arriba es adecuada para grandesretornos, pero los inversores en bonos es probable que estn suje-

tos a impuestos: posiblemente tanto sobre el ingreso como sobrelas ganancias de capital.

El rendimiento de rescate neto, en caso de ser objeto de im-puesto tanto en el cupn como en el pago de rescate, se da en lasiguiente ecuacin:

nnetnet )r(

)impositivatasa

(R)impositivatasa

(c

r

)impositivatasa

(c

P +

+

++

= 1 100

1

100

1

1 100

1

K

Donde,P= precio sucio; c= cupn;R= pago de rescate; y,rneto== rendimiento de rescate neto.

Este es un ejemplo simple. En la prctica, si se impone el im-puesto retenido, la ecuacin no resulta tan simple, dado que unporcentaje del impuesto gravar a la fuente, mientras que el resto

ser contabilizado despus de recibido el pago. Como las regula-ciones impositivas pueden afectar materialmente el precio de losbonos, sus efectos tendrn que ser tomados en cuenta en cual-quier proceso de modelado de curva de rendimiento, a fin de evi-tar las distorsiones en la curva de rendimiento estimada.


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3.6 Tasa al contado y curva de cupn cero

Dadas las limitaciones del Rendimiento de Rescate, parecerams lgico descontar cada flujo de efectivo mediante una tasa

apropiada a su vencimiento; es decir, mediante el uso de una tasaal contado.

nn)z(

Rc...

)z(

c

)z(

c

z

cP

+

+++

++

++

+=

1111 332

21

DondeP= precio (sucio); c= cupones;n= nmero de perodos;zi= tasa al contado para el perodoi;y,R= pago de rescate.

Cada tasa al contado es el rendimiento del cupn cero especfi-co relacionado con ese vencimiento y, en consecuencia, ofrece unatasa de descuento ms exacta en ese vencimiento que el rendi-miento de rescate. Significa tambin que las hiptesis en cuanto alas tasas de reinversin no son necesarias. Las tasas al contado to-man en cuenta tasas al contado corrientes, expectativas de tasas alcontado a plazo, inflacin esperada, prima de liquidez y prima deriesgo.

La curva resultante de las tasas (al contado) de cupn cero es amenudo conocida como Estructuras de tasas de inters a plazo;que es el trazado de tasas al contado de vencimientos variados porcontrapartida de esos vencimientos. Esta curva ofrece una relacininequvoca entre rendimiento y vencimiento.

La curva de cupn cero puede ser estimada a partir de los bo-nos existentes o mediante el uso de las tasas cero reales en el mer-cado.

Para estimar una curva de cupn cero a partir de los bonos existentes

Si conocemos la tasa al contado (r1) de un bono a un ao, po-demos determinar la tasa al contado a dos aos (r2).

Usando un bono existente a dos aos:

2

21

2)1(1 r

Rc

r

cP

+

++

+=

Como las otras variables son conocidas,r2se puede calcular.


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Luego,r3, el tercer perodo de la tasa al contado, puede encon-trarse si se observa un bono a 3 aos:

332213 111 )r(

Rc

)r(

c

r

c

P +

++

++

+=

Este proceso contina para obtener la curva de cupn cero.

Claro est, hay cierto nmero de bonos de un perodo, dos pe-rodos, etc., y por lo tanto se encontrarn diferentes valores de r1r2, etc., segn los bonos que se usen.

Adems de este mtodo (conocido como bootstrapping o de au-toasistencia), los operadores pueden (y generalmente as ocurre)usar modelos ms sofisticados para crear la curva cero. Sin em-bargo, la experiencia sugiere que la curva cero construida comobootstrappingy la curva cero construida a partir de un modelo mssofisticado son muy similares.

La ecuacin de la curva de cupn cero puede rescribirse como:

P= Cd1 + Cd2 + Cd3 +(c+R)dn

Donde la funcin de descuento (d1) es una funcin de tiempo.

Por ejemplo, si suponemos que la funcin de descuento es li-neal,5la funcin de descuento puede ser:

df(t) =a+ bt

Es posible resolver la ecuacin anterior para cualquier d1, ydespus obtener los coeficientes aplicando una regresin. La cur-va, entonces, resulta ajustada o correcta. Los detalles de todo estovan ms all de lo que abarca este Manual, pero la lista de lecturasofrece orientacin para encontrar ms detalles referentes a lastcnicas de ajuste de curva.

Elaboracin de una curva de cupn cero medianteel uso de tasas observadas en el mercado

La curva de cupn cero puede construirse tambin a partir de

5En realidad, la funcin de descuento no ser lineal, sino un polinomio ms com-plicado.


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las tasas de cupn cero actuales (en caso de que se emitan suficien-tes bonos de cupn cero o si se permite el desmantelamiento delbono, con lo cual se contar con suficiente nmero de separacio-nes6que regularmente se intercambian, de modo que las tasas de

mercado resultan significativas). Empero, el desmantelamiento enel Reino Unido, por ejemplo, no ha creado, hasta ahora, suficien-tes ceros para crear una curva apreciable.

En teora, una vez que el mercado de separaciones o tiras es lobastante lquido, los operadores deberan estar en aptitud decomparar la curva cero teortica y la curva de separaciones o ti-ras, para averiguar si hay suficientes oportunidades de arbitraje.En la prctica, la curva de separaciones del RU revela ms acercade la iliquidez que la informacin del mercado, puesto que slo el2.2% de los bonos gubernamentales desmantelados se tenan enforma de separaciones (en noviembre del 2000).

Los principales usos de la curva de cupn cero residen en elhallazgo de bonos relativamente minusvalorados, la valoracin decarteras swap, y la valoracin de nuevos bonos en licitaciones. Laventaja de esta curva es que descuenta todos los pagos a la tasa

apropiada, proporciona valores actuales exactos, y no requiereque se hagan suposiciones acerca de la tasa de reinversin.

3.7 Rendimiento de cupn cero a trmino o futuro(tasa de inters a trmino implcito)

Los rendimientos al contado a trmino indican el esperadorendimiento al contado en alguna fecha futura, que pueden deri-

varse simplemente de las tasas al contado: La tasa al contado a un ao es la tasa disponible ahora para una

inversin por un ao (tasa =r1).

La tasa al contado a dos aos es la tasa disponible ahora parauna inversin por dos aos (tasa =r2).

Esta implicada, pues, una tasa para inversin por el perodo deun ao durante el tiempo de un ao (f1,2), es decir:

(1 +r1) (1 +f1,2)= (1 +r2)2

6 Vase la seccin 4.6, para una discusin ms detallada del desmantelamiento oseparacin de los cupones del bono.


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o sea, la tasa a trmino o plazo es tal que el inversor se mostrarindiferente a invertir por dos aos o invertir por uno y luego re-novar el producto por un ao ms.

La curva de la tasa cero a trmino se deriva, pues, de la curvade cupn cero, mediante el clculo del implicado perodo de tasasa trmino. Si se expresa el precio del bono en trminos de estas ta-sas, el resultado es:

)f)...(f)(f(

c

)f)(f)(f(

c

)f)(f(

c

)f(

cP

n++++

++++

+++

+=

111111111 21321211K

Donde f1 = tasa a trmino del perodo isimo para un nuevo pe-rodo ms (o sea, la tasa a un ao en i ao en tiempo).

Todas las curvas de rendimiento a trmino pueden ser calcula-das en esta forma. Sin embargo, esta sencilla frmula da por su-puesto la hiptesis de expectativas (vase referencia anterior), esdecir, que la implicada tasa a plazo o trmino es igual a la tasa alcontado que prevalece en el futuro. Sin embargo, la hiptesis deprima de liquidez sugiere que la tasa a trmino implicada es igual

a la esperada tasa al contado futura ms una prima de riesgo.

3.8 Tasas reales a plazo implicadas

Mediante el uso de bonos vinculados por un ndice, es posiblecrear una curva de tasa real implicada a futuro. Sin embargo, exis-ten limitaciones en cuanto a la exactitud de esta curva a causa dedos constricciones principales:

Para la mayora de los pases, el nmero de observaciones sermenor que para los de la curva nominal a futuro o a plazo im-plicada.

Generalmente hay un rezago en la indizacin y, por lo tanto, seregistrar cierto supuesto inflacionario en el seno de la curva.

A pesar de las limitaciones, la identidad Fisher,7 que aparecems adelante, nos permite derivar una sencilla estimacin para lastasas de inflacin a plazo implicadas, es decir, medir las expectati-vas de inflacin. (Esta identidad puede ser usada tambin con los

7La identidad Fisher se us primeramente para ligar las tasas de inters nominalesy reales ex ante con las tasas de inflacin esperadas.


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18

rendimientos corrientes, a fin de derivar las expectativas corrien-tes de inflacin.)

(1 + nominal futura o a plazo) = (1 + real futura)[(1 + inflacin futura)]

A modo de aproximacin, podemos usar:

Nominal futura o a plazo = real futura + inflacin futura

Esta es, empero, la forma ms simple de la ecuacin Fisher, queposee cierto nmero de variantes que dependen de si se usa el in-ters compuesto y se incluye la prima de riesgo. Asimismo, ade-

ms de las limitaciones descritas ms arriba, puede existir unaprima de liquidez segn el mercado de ndices ligados. Estos con-ceptos se discuten ms detalladamente en un Documento de Tra-bajo del Banco de Inglaterra.8

3.9 Rendimiento a la par

El rendimiento a la par es un rendimiento hipottico. Es el cu-

pn que el bono tendra, a fin de que se le fijara precio a la par,mediante el uso de tasas de cupn cero en la funcin de descuen-to. Esto puede verse en la siguiente ecuacin.

Si se fija el precio a la par, el precio sera el valor de rescate, esdecir:

nn)z

Ry...

)z(

y

)z(

y

z

yR

+

+++

++

++

+=

1111 3321

Dondeyes el rendimiento a la par;zies la tasa de retorno al ven-cimiento (es decir, las tasas al contado al vencimiento i); y Res elpago de rescate.

Ejemplo 6

Calcular el rendimiento a la par de un bono a 3 aos, si las tasas

al contado de 1, 2 y 3 aos se dan como:

8Documento de Trabajo 23 del Banco de Inglaterra, de julio de 1994, DerivingEstimates of Inflation Expectations from the Prices of UK Government Bonds, porAndrew Derry y Mark Deacon, ofrece mayores detalles para estimar las expectativas in-flacionarias y el modo en que debe usarse esta informacin.


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1 ao 2 aos 3 aos

12,25% 11,50% 10,50%

As, tenemos que calcular el cupn en un bono, de modo que se

fije al bono un precio a la par.

32 10501100

11501122501100

).(

c

).(

c

).(

c

+

++

++

+=

La solucin de esto da c = 10.95%. As, pues, ese es el rendi-miento a la par de este bono a 3 aos.

La curva de rendimiento a la par se usa para determinar el cu-pn que debe asignarse a las nuevas emisiones de bonos, as comopara calcular su valor relativo.

3.10 Relacin entre curvas

Las curvas a la par, cero y adelantada estn relacionadas.

En un ambiente de curvas de rendimiento de pendiente ascen-dente, la curva cero quedar arriba de la curva a la par, ya que elrendimiento de un bono con cupn resulta afectado por el hecho


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de que parte del ingreso se recibe antes de la fecha de su venci-miento, y la tasa usada para descontar estos pagos ser inferior ala tasa usada para descontar el pago a su vencimiento. Asimismo,como la curva a plazo da tasas marginales derivadas de la curva

cero, quedar arriba de esta curva.9Lo opuesto es asimismo verdad en una curva de rendimiento

con pendiente descendente:

3.11 Otros rendimientosHay tambin cierto nmero de medidas de rendimiento que se

usan comnmente, por ejemplo, el de vigencia promedio, por re-querimiento, etc. Estos no son examinados en este Manual.

4. Productos para gestin de la deuda

4.1 Letras o bonos de la Tesorera

Las letras o bonos de la Tesorera son instrumentos de descuen-

9Ya que las tasas al contado pueden ser consideradas como tasas promedio, de lascuales se derivan tasas (adelantadas) marginales.


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to a corto plazo (generalmente con menos de un ao para el ven-cimiento) y, por lo tanto, resultan instrumentos de consolidacinmuy tiles en las primeras fases de un mercado de deuda, cuandolos inversores no desean comprometerse con vencimientos largos.

Se emiten con un descuento sobre su valor nominal y se rescatancon un solo pago. Las ventajas de las letras de la Tesorera es queson documentos sencillos, intercambiables en el mercado secunda-rio y constituyen un riesgo de crdito del gobierno.

Sin embargo, a causa de su corto vencimiento, tienen que ser re-novados con frecuencia, lo que significa que el costo futuro del ser-vicio de la deuda es incierto. Asimismo, los vencimientos cortos danpor resultado una curva de rendimiento gubernamental muy breve:obviamente, una curva con un vencimiento ms largo resulta benefi-ciosa para el desarrollo de los mercados financieros, puesto que pro-vee informacin y permite la fijacin de precio de nuevos productos.

Hay cierto nmero de cuestiones que deben tomarse en cuentaantes de emitir las letras de la Tesorera. Por ejemplo, cmo se-rn emitidas y a quin? Si el gobierno desea abarcar una ampliaserie de inversionistas, incluido el sector minorista, ello podra in-

terpretarse como que el gobierno es un competidor del sistemabancario, que podra en realidad sofocar el desarrollo del mercado(aunque esto, desde luego, proveera al sector privado con un ni-vel de referencia). Asimismo, si la emisin es dirigida a los inver-sores del sector minorista, el proceso de licitacin puede resultardifcil de comprender, as como para que se fije el precio correc-tamente. El gobierno puede tener que pensar en otros canales dedistribucin (por ejemplo, los propios bancos, aunque posible-

mente cargaran una comisin por ello, haciendo ms cara la emi-sin). Otra cosa a considerar es la denominacin mnima (que tie-ne que ser ms pequea si se quiere atraer al inversor minorista) ysi se debe establecer un precio mnimo.

En los pases ms desarrollados, las letras de la Tesorera seusan tambin con propsitos de gestin monetaria. El incremento(decremento) de la emisin de letras de la Tesorera afectar laposicin de liquidez de los bancos, al retirar liquidez (de manera

creciente) del mercado.

Clculo de rendimiento/precio de la letra de la Tesorera

La letra de la Tesorera es un instrumento de descuento, o sea,


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vendido con un descuento sobre su valor nominal. Con propsitosde ejemplo en la fijacin de precio, la siguiente frmula se refiereal mercado del Reino Unido: otros mercados se guiarn por dife-rentes convenciones (as, el mercado de EUA usa un ao de 360

das).La tasa de descuento se describe como el retorno o rendimiento

de un instrumento de descuento, por comparacin con su valorde rescate (al que asimismo se hace referencia como valor nominala la par) en el futuro. Lo da la siguiente frmula que se seala acontinuacin:

ovencimientelparadas100x365

xparcompradeprecio-Par

%descuentodeTasa =

Reordenando la anterior ecuacin para hallar el descuento real(en precio, ms bien que en porcentaje), ello nos da:

365ovencimientelparaDas

xdescuentodetasaxnominalcantidadDescuento =

A fin de averiguar el rendimiento y precio de una Letra de laTesorera, se usan las siguientes frmulas:

=

compradepreciopar

xdescuentodetasaoovencimientelparadas

100X365x

compradepreciocompradeprecio-par

oRendimient

=

365

ovencimientparadasxdescuentodetasa-100Precio

O, simplemente, el valor a la par menos el descuento.

Es importante hacer notar que la tasa de descuento (a la que amenudo se hace referencia como la tasa de inters) y el rendi-miento de una letra de la Tesorera no son lo mismo. La tasa dedescuento es una convencin de mercado, y precede el uso diariode computadoras en los mercados de bonos. El uso de la tasa dedescuento permiti un clculo fcil para por la tasa conocer elprecio y tambin una aproximacin bastante ajustada al rendi-miento real.10

10Especialmente en pocas de tasas de inters bajas.


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Ejemplo 7

Si una letra de la Tesorera (con valor nominal de 100, tieneuna tasa de descuento de 6%, el rendimiento se calcula as:

p4936530

x100

6x100Descuento ==

La letra, en consecuencia, se vende en 99.51p

El rendimiento ser:

029565199

100

x100

6.. =

4.2 Bonos convencionales

Un bono convencional es el que tiene una serie de cupones fi-jos y un pago de rescate a su vencimiento. Los cupones se paganen general anualmente o semianualmente.

El bono convencional, por ejemplo, 6% 2005, es un bono quecuenta con un cupn de 6% y una fecha de rembolso en 2005. Elprospecto11explicar en detalle los trminos y condiciones aplica-bles al bono, incluidas las fechas de los pagos del cupn y el ven-cimiento final del bono. Por ejemplo, si el bono citado ms arribacuenta con pagos de cupn semianuales, entonces por cada 100del bono comprado, el tenedor recibir 3 por pago de cupn ca-da seis meses, hasta el vencimiento del bono.

Este es el bono estndar emitido por los gobiernos, aunque nonecesariamente es adecuado para todos los inversores, en gradono pequeo porque el recibo de pagos de cupn regulares intro-duce el riesgo de reinversin, puesto que los cupones tiene queser reinvertidos a tasas de inters que son inseguras en el momen-to de adquirir el bono.

El bono convencional puede considerarse como algo que ofrece

un rendimiento nominal, que toma en cuenta el rendimiento realy la inflacin anticipada. El rendimiento real requerido puede es-

11En la mayora de los pases, el emisor tendr que elaborar un prospecto que de-

talle los trminos y condiciones de la emisin. Esto se aplica tambin a los bonos corpo-rativos.


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timarse como la suma de dos componentes: un retorno real y unaprima de riesgo, que reflejan la incertidumbre de la inflacin,12locual puede escribirse como:

N=R+Pc+RP5

DondeNes el retorno nominal; Res el rendimiento real; Pces latasa de inflacin esperada durante el perodo de tenencia del bo-no; y,RPes la prima de riesgo.

La prima de riesgo es la cantidad que el mercado demanda porinflacin no anticipada. Es difcil fijar exactamente el precio de laprima de riesgo, pero si conocemos la opinin del mercado sobrelas expectativas inflacionarias, entonces ser posible hacerse unaidea del tamao de la prima de riesgo, con slo ver la diferenciaentre tasas nominales y reales en el mercado.

Obviamente, en pases con elevada inflacin, la prima de riesgoser mayor, dada la incertidumbre, pero el simple acto de emitirun ndice ligado a la deuda (lo que sugiere que el gobierno confaen reducir la inflacin), puede contribuir a disminuir la prima de

riesgo integrada en la deuda convencional. En los pases donde lainflacin ha sido baja y estable, los inversores se sentirn ms se-guros de que no habr erosin de sus inversiones y, en conse-cuencia, exigirn una menor prima de riesgo.

(La fijacin de precio de un bono convencional con mltiplesflujos de efectivo se explic ya en la seccin 2.3.)

4.3 Bonos de tasa flotanteUn bono de tasa flotante (flotador) tiene un cupn vinculado

a cierta tasa de referencia a corto plazo, o sea, una tasa interban-caria. Suele emitirse con cierto margen (o diferencial) por arribade esta tasa de referencia. Esto garantiza que el inversor obtienela tasa de retorno corriente, mientras (usualmente) inmoviliza lainversin por un perodo de tiempo superior al indicado. El pre-cio del flotador depende del diferencial por arriba o por abajo

de la tasa de referencia, y de cualesquiera restricciones que pue-dan imponerse en la reposicin del cupn (por ejemplo, si tiene

12La prima de riesgo no se tom en cuenta en la identidad Fisher simple, descritaanteriormente.


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topes o mnimos), ms las usuales consideraciones de liquidez ycrdito.

La tasa es usualmente la tasa de mercado. En el RU, por ejem-

plo, la tasa sobre el flotador denominado en libras esterlinas conbase en la LIBID (Tasa Interbancaria de Licitacin de Londres) alas 11 am del da anterior a la fecha del pago del cupn previo. Elcupn se paga sobre una base trimestral y por lo tanto es calcula-do 3 meses y un da antes de su pago.

(De esta manera, los operadores siempre sabrn el valor nomi-nal del siguiente pago de cupn, lo que es importante, puesto quepermite calcular el inters devengado y determinar el precio justo

de una operacin.) La tasa se determina por parte de los agentes omediadores del Banco de Inglaterra, despus de telefonear (a las11 am) a los 20 bancos principales13del RU para solicitarles su ta-sa LIBID relevante, las que se sitan en sus extremos son elimi-nadas y las dems promediadas. Ms detalles pueden encontrarseen los prospectos mencionados.

Una medida obvia de valor para el emisor es el retorno por en-cima o por abajo del ndice del mercado o tasa de referencia (esdecir, la LIBID en el caso del Reino Unido). Estos valores margi-nales (si estn por debajo de la norma del mercado) indican la me-jor calidad de crdito de la emisin del gobierno. Las corporacio-nes tambin emiten flotadores y pueden pagar pequeos mrge-nes por encima de la tasa de referencia, segn su calidad de cr-dito.

Como el valor del cupn en el futuro no se conoce, es imposible

determinar los futuros flujos de efectivo. Esto quiere decir que lamedida del rendimiento del rescate no puede ser calculada paraun bono de tasa flotante.

Margen simple

Una medida de evaluar el retorno al inversor es el margen sim-ple, que se da por:

ovencimientelparaaosprecio-par

cotizacindemrgensimpleMrgen +=

13Medidos por el tamao de la hoja de balance al final del ao de calendario previo.


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Ejemplo 8

Si un flotador pag un cupn de LIBOR+1/4, tena un venci-miento de 3 aos, y se le fij un precio de 99, entonces el retorno

se calculara como sigue:

Margen simple = 5803302503

9910041 ...

)(/ =+=

De modo que el retorno global esperado es LIBOR + 0.58%

El margen simple usa una comparacin con el ndice y la cal-cula durante toda la vigencia del bono. Sin embargo, no toma en

cuenta el efecto del rendimiento corriente sobre el precio del flo-tador, dado que a los pagos de cupn recibidos se les otorga lamisma ponderacin, tanto si el precio est por arriba o por abajode par. Asimismo, la prima/descuento del bono se amortiza a lapar en una lnea recta sobre la vigencia del flotador, en lugar deefectuar un descuento a una tasa compuesta constante. A fin desuperar estos impedimentos, es posible usar un margen descon-tado.

Margen de descuento

La ecuacin que sigue es un simple clculo del valor presenteneto de todos los flujos de efectivo, mediante el uso de:

100)(LIBOR d+

como tasa de descuento para cada perodo.

La siguiente ecuacin puede ser resuelta para d, el margen dedescuento:

++

++++

++

+=

100d

1

RcotizacindemrgenLIBOR

100d

1

cotizacindemrgenLIBORPrecio

LIBORLIBOR K

Esta medida intenta descontar todos los flujos de efectivo y enesa forma dar una idea del Valor presente Neto de cada flujo deefectivo. Empero, se basa en el supuesto de que la LIBOR (TasaInterbancaria de Oferta de Londres) seguir siendo la misma du-


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rante toda la vigencia del bono. Una tcnica ms sofisticada seraconstruir una proyectada curva LIBOR, y proceder as a descon-tar a una tasa ms exacta. Sin embargo, como el vencimiento delflotador es generalmente a corto plazo (y este mtodo tambin re-

quiere cierto grado de suposicin), usualmente no se utiliza.

4.4 Bonos vinculados a un ndice14

Cierto nmero de gobiernos emiten ttulos indizados. El ndicems comn es el ndice de precios al consumidor (IPC), pero po-dran utilizarse otras medidas, por ejemplo, ganancias promedio,precios del productor (insumos o producto), o aun ndice del

mercado de valores.15

Entre los gobiernos de la OCED, el RU es elmayor emisor de ttulos indizados a los precios al consumidor. Losttulos indizados participaron con el 22.5% de la deuda negociabledel gobierno del RU a fines de noviembre del 2000 (incluida unaalza por inflacin). Otros gobiernos emisores de la OCED de ttu-los indizados incluyen a Australia, Canad, Hungra, Islandia,Mxico, Nueva Zelanda, Polonia, Suecia, Turqua y, ms recien-temente, EUA (1997) y Francia (1998). Tambin se efectan sus-

tanciales emisiones en Chile, Colombia e Israel.

Eleccin de ndice

Los ttulos indizados dependen de la existencia de un buen n-dice. Los inversores tendrn que ser persuadidos de que las serieescogida es la ms digna de confianza y la ms relevante paraellos, y no deber existir la percepcin de que el gobierno influye

en el ndice artificialmente. Si surge la incertidumbre acerca de loapropiado que es el ndice o su confiabilidad, entonces los ttulosindizados habrn sustituido un tipo de incertidumbre por otro.

14Vase el Manual, no11, Government Securities: Primary Issuance. [N. del E.: versinen espaol: Valores gubernamentales: la emisin primaria, CEMLA, Mxico, 1999 (serie En-sayos, no65).]

15Un problema de magnitud con el uso de ganancias promedio es que, si bien enprincipio podra satisfacer las necesidades de muchos inversionistas, tales series son t-

picamente menos robustas que el IPC, pues a menudo implican un elemento de juicio.El precio al productor o la indizacin al mercado de valores resultara tcnicamentemuy simple, pero la primera sera menos adecuada para los inversores que la indiza-cin al precio a los consumidores, mientras que este ltimo sera sin lugar a dudas mu-cho ms voltil, y probablemente no satisfara las necesidades de los inversores ms po-tenciales en ttulos del gobierno (la falta de riesgo de crdito, un crack en la bolsa redu-cira el valor del ttulo, la estabilidad, etctera).


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Dicho de otra manera, si el seguro de inflacin que el gobiernovende es de pobre calidad, el gobierno no debe esperar que se lepague gran cosa por ello. El ndice escogido no debe estar sujeto aindebida revisin y se deber publicar regularmente y con breves

rezagos.La indizacin al IPC es diferente en varios respectos a la vincu-

lacin de un ttulo, ya sea en tasas interbancarias o rendimientosde mercado secundario de otros ttulos.

El gobierno tiene una influencia ms directa sobre losrendimientos a corto plazo y las tasas de inters, por medio delas operaciones de mercado del banco central, que para afectar

la inflacin en el corto plazo. El IPC, por lo tanto, es enprincipio ms independiente.

La indizacin al IPC ofrece al inversor cierto retorno real ex an-te,16 mientras retiene el ttulo, pero el precio del mercado se-cundario fluctuar en lnea con las tasas de inters reales. Lavinculacin a una tasa del mercado de dinero a corto plazo nodar un retorno real mientras se conserva el ttulo, pero el valordel ttulo en el mercado secundario tpicamente estar cercanoa la par (es decir, el valor nominal del ttulo es estable y el in-versor est protegido contra las fluctuaciones de la tasa de inte-rs real).

Normalmente, se requerir usar un ndice precios ligeramenteanticuado, de modo que el cupn y los pagos principales pue-dan ser calculados y pagados en la fecha debida (esto puede serel caso de los ndices basados de las tasas interbancarias). Ello,

porque la inflacin slo puede observarse con cierto rezago. Engeneral, cuanto ms largo el vencimiento del ttulo (con tal deque la indizacin principal sea capitalizada y pagada a su ven-cimiento), menos significacin tiene el rezago. Un rezago detres meses en un ttulo a treinta aos, claramente es menos sig-nificativo que el mismo rezago en un ttulo a seis meses. En al-gunos pases, el sistema impositivo requiere efectivamente queel inversor conozca el valor del siguiente cupn que debe ser

pagado, y el rezago de la indizacin, en consecuencia, tiene queser mayor que el perodo cubierto por el cupn. En Australia y

16El retorno logrado en cualquier inversin en ttulos depender, claro est, de siel ttulo se mantiene hasta su vencimiento o es objeto de reventa en el mercado secun-dario.


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Nueva Zelanda, el perodo del cupn para los ttulos vinculadosal ndice ha sido establecido, por lo tanto, en 3 meses. En el RU,el rezago de la indizacin es de 8 meses.

Algunos piensan que la emisin de ttulos indizados a los pre-cios al consumidor (especialmente en ausencia de las necesariasmedidas correctivas fiscales) pueden llegar a ser interpretadas co-mo algo que valida un uso ms extenso de la indizacin, lo que a suvez tendera a debilitar la resistencia a la inflacin por parte de lapoblacin en su conjunto. Este argumento fue utilizado por la Ban-ca dItalia en 1981 para oponerse a la indizacin.17Hay ejemplos deextensa indizacin en una economa que crean un nivel de infla-cin inercial; pero resulta ms difcil demostrar que la indizacinde los ttulos de gobierno en s misma valida un uso ms amplio dela indizacin. Ciertamente que esto no ha ocurrido en el RU.

Beneficios de la emisin vinculada al ndice

Pueden mencionarse varias ventajas potenciales que tiene laemisin de ttulos vinculados a un ndice:

Si el gobierno tiene xito en bajar o frenar la tasa de inflacin,en mayor medida de lo que espera el mercado, sus costos de fi-nanciamiento sern inferiores si emite ttulos indizados, que sivende ttulos de cupn fijo.18Esto ofrece al gobierno un incen-tivo para no aflojar excesivamente en la poltica monetaria, pe-ro tambin indica que los ttulos indizados pueden resultar cos-tosos si la resolucin antinflacionaria del gobierno no es sufi-cientemente firme (aunque si la inflacin es mayor de lo espe-

rado, el ingreso nominal del gobierno tambin ser superior alpresupuestado. Los ttulos indizados pueden reforzar la credibi-lidad antinflacionaria del gobierno, al reducir sus incentivos pa-ra erosionar la carga de la deuda nacional por medio de la in-flacin.

Los ttulos indizados tambin reducen cualquier conflicto de in-

17

Constituira una seria equivocacin avanzar hacia la indizacin de la deuda p-blica a los precios, sin primero haber eliminado las causas fundamentales del desequili-brio del presupuesto, Informe Anual 1981, pgina 406. Italia subsecuentemente emiti(sin xito) un bono indizado en agosto de 1983.

18Claro que no es posible fiarse de ello para adoptar decisiones de poltica, es decir.tal vez el mercado no sobrestime consistentemente la inflacin, razn por la cual la po-ltica no puede establecerse sobre esta hiptesis.


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tereses a corto plazo entre la poltica monetaria y los costos fi-nancieros del gobierno. Particularmente en una economa al-tamente inflacionaria, donde la deuda del gobierno es predo-minantemente a corto plazo, una mayor intensificacin de la

poltica monetaria restrictiva rpidamente incrementar los cos-tos por intereses, tanto de los ttulos de cupn fijo como de losttulos vinculados a las tasas del mercado de dinero a corto pla-zo, lo que har que el gobierno se muestre renuente a adoptarlas necesarias acciones de poltica econmica.

Los ttulos indizados podran tambin servir como coberturacontra las variaciones relacionadas con la inflacin en los ingre-sos del gobierno y de ese modo minimizar el riesgo de inflacinen las finanzas del gobierno. Si la inflacin baja, los ingresos porimpuestos a las personas, las corporaciones, y al valor agregadotambin tendern a disminuir ms de lo que en otras circuns-tancias sera el caso, dado que la base nominal gravada con losimpuestos se incrementa a una tasa inferior de lo que ocurrirasi la inflacin hubiera sido ms elevada. De la misma manera, sila inflacin es mayor que lo pronosticado, los ingresos nomina-les tambin aumentarn. Esta amplia cobertura es en s mismatil, puesto que tender a nivelar el camino del dficit presu-puestal. Por lo dems, el gobierno deber esperar beneficiarsede una reduccin de la inflacin gracias, entre otras cosas ysiempre que las restantes condiciones no varen, de un ms ele-vado crecimiento econmico.

Muchos inversionistas (particularmente inversores minoristas)pagaran una prima por el seguro de inflacin proporcionado

por la deuda vinculada al ndice. Cuanto ms alta y ms voltilla inflacin, mayor ser la prima por seguro de inflacin (pri-ma de riesgo) que los inversores estarn dispuestos a pagarpor un ttulo de cupn fijo.

Los ttulos indizados pueden permitir al gobierno emitir msdeuda a largo plazo de lo que sera posible con ttulos de cupnfijo. Esto puede ser de ayuda para las economas con elevadainflacin, donde la deuda es predominantemente a corto plazo

y debe ser renovada con frecuencia. Los emisores, empero, de-beran avanzar slo gradualmente en el alargamiento de losvencimientos, pues los inversores acostumbrados a los ttulos a3 y 6 meses se mostraran muy precavidos ante la repentina in-troduccin de los bonos indizados a 10 aos.


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Estos ttulos amplan, por otra parte, la serie de instrumentosque el gobierno puede ofrecer a los inversionistas, lo que debe-ra incrementar la demanda, particularmente de aquellos inver-sores que prefieren la estabilidad en valores reales a los flujos

de efectivo nominales. Los bonos indizados, por lo dems, permiten a las autoridades

extraer informacin acerca de las expectativas inflacionarias delmercado.

La tasa de inters real

En ausencia de controles de capital, podra esperarse un mun-do de tasas de inters real; este, sin embargo, no parece ser el ca-so (aunque las comparaciones a lo largo y ancho del pas puedenser engaosas, a causa del efecto de los diferentes regmenes im-positivos en cuanto a la tasa de inters real bruta nominal). Tam-bin parecen destinados a influir en esta rea los efectos polticos.En el RU, las primeras emisiones de ttulos indizados pagaron unrendimiento real de aproximadamente 2%, que se elev a 4% aprincipios de los aos 90, pero volvieron a retroceder a alrededorde 2% en el 2000. Los rendimientos reales en el RU, a junio del2000, fueron muy inferiores a los de otros mercados vinculados aun ndice, a causa del desequilibrio en la oferta/demanda en elRU. Esto ha reducido la percepcin de la fiabilidad de los rendi-mientos de los ttulos del gobierno vinculados a un ndice, comomedida de tasas reales de retorno libres de riesgo en el conjuntode la economa.

Tasa de inflacin de punto de equilibrio (BEIR)

Cabe preguntarse si los inversores comprarn ttulos vinculadosa un ndice de preferencia a los ttulos convencionales, pero larespuesta depende de la esperadatasa de inflacin de punto de equi-librio.Es la tasa en que el rendimiento monetario neto del ttulovinculado a un ndice, equivale al rendimiento de rescate neto delttulo convencional, a la tasa impositiva del inversor. De modo que

si los inversionistas esperan que la inflacin sea superior a la tasade punto de equilibrio, obtendrn un mejor retorno real median-te la compra de bonos vinculados a un ndice.

A fin de calcular una tasa de inflacin de punto de equilibrio,de rendimiento nominal (N) de un bono convencional, se estable-


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ce la comparacin con el rendimiento real (R) de un bono vincu-lado a un ndice que tiene el mismo vencimiento. (Al calcular elrendimiento real, obviamente se plante la hiptesis de cul serala inflacin, es decir, la supuesta inflacin promedio durante la vi-

gencia del bono.)Cuando N - R es igual a las expectativas de inflacin (I), es la

BEIR. Se trata, pues, un proceso interactivo en el que la hiptesissobre la inflacin dentro del rendimiento real es igual a las expec-tativas inflacionarias derivadas de la diferencia entre el rendimien-to real y el nominal.

NR=I

dondeI=BEIReIes la hiptesis de inflacin conR.

Si la BEIR se eleva, entonces N tiene una alza ms aceleradaque R,de modo que, si las dems condiciones no varan, las ex-pectativas de inflacin del mercado estarn a la alza. Si un inver-sor espera que la inflacin sea superior a la tasa de punto de equi-librio, entonces, si las dems circunstancias son iguales, comprar

bonos vinculados a un ndice.

Ejemplo 9

Los ejemplos19 mencionados a continuacin utilizan datos ac-tuales del mercado de bonos del RU y los clculos interactivos hansido computados usando un modelo. Aunque aqu no es posibleestablecer un clculo interactivo, ste demuestra que cuanto ms

corto el vencimiento del bono vinculado a un ndice, mas significa-tiva es la eleccin del supuesto de inflacin.

Datos de mercado para el 20 de julio del 2000, en el siguientecuadro:

Bono Rendimiento

7% 2001 6.06 (N)

21/2% Vinculado a un ndice 2001 3.991 (R)

19Los clculos se hacen simplemente mediante el uso de los retornos brutos, peroseran ms exactos siBEIRse calculara usando diferentes tasas de impuesto. Asimismo,el clculo que aparece ms arriba supone que no hay liquidez o prima de riesgo.


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Utilizando una BEIR simple y si se ignora el hecho de que elrendimiento real depende del supuesto de inflacin, entonces:

BEIR = N R= 2.069

Usando un mtodo interactivo, tal como BEIR es igual al su-puesto de inflacin en el rendimiento real:

BEIR= 1.048

Ejemplo 10

Fecha de mercado para el 20 de julio del 2000:

Bono Rendimiento

8% 2005 4.877 (N)

21/2% Vinculado a un ndice 2.044 (R)

UnaBEIRsimple se calcula porN R= 2.833LaBEIR,usando mtodo interactivo es 2.815

Flujos de pago

La corriente de pagos de los bonos indizados esta concentradaen los desembolsos al final del perodo del acuerdo. Normalmen-te, una parte del rendimiento que est relacionada con la inflacin

actual se halla efectivamente capitalizada y es rembolsada a suvencimiento (si el principal est indizado y todo el principal serembolsa a su vencimiento ms bien que durante la vigencia del t-tulo). Esto reduce el dficit presupuestario del gobierno sobre unabase de valores de cajaen los primeros aos de la vigencia del bono.En estas circunstancias, un gobierno irresponsable podra versetentado a aflojar la poltica fiscal, dejando la carga a futuros go-biernos y generaciones. Si el mercado percibiera que este es el ca-

so, la credibilidad antinflacionaria del gobierno se debilitara. (Elmismo argumento resulta vlido por lo que respecta a la emisinde ttulos de cupn cero con vencimiento de ms de un ao.)

Los cuadros en el apndice 2 indican los perfiles de flujo deefectivo de cupn fijo y ttulos indizados, con dos variaciones de


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indizacin. En la primera, el pago de inflacin se hace en su tota-lidad en el rescate, de modo que el flujo de efectivo es bajo duran-te la vigencia del ttulo y alto al final.20Esto puede ser adecuado ala demanda de algunos inversores (particularmente en una econo-

ma con una inflacin relativamente elevada) y, adems, reducir elcosto de financiamiento.21Lo segundo paga el aumento de la infla-cin al trmino de cada perodo del cupn, lo cual quiere decir que,ex ante, el flujo de los pagos ser similar a los de un ttulo de cupnfijo, en el supuesto de que no se pague prima de inflacin a esteltimo y que el nivel de inflacin se espere que sea estable.Ex post,el patrn seguido y la suma de los pagos ser diferente, en la medi-da que el resultado de la inflacin difiera de las expectativas. Las co-

lumnas en el fondo de cada Cuadro muestran el valor presente ne-to de los flujos de efectivo, y para ello usan el rendimiento nominaldel ttulo de cupn fijo como deflactor. (Un tercer posible flujo depagos-cupn cero, en que los intereses reales, as como el aumentode la inflacin se pagan al vencimiento, no se ilustran aqu. Estemtodo ha sido usado en Islandia, Polonia y Suecia.)

Para cada tipo de ttulo se muestran cifras en cuando a dos tasasdiferentes de inflacin esperada: 10% y 50%; y existe una variantepara el escenario de inflacin de 50%, con una prima de riesgo deinflacin pagadera al ttulo de cupn fijo. Queda claro por lo quese observa en los cuadros, que los flujos de efectivo para los dife-rentes tipos de ttulos divergen de forma creciente a medida quela inflacin se eleva.

4.5 Bonos convertibles

Algunos gobiernos han emitido bonos convertibles. Estos, nor-malmente, ofrecen al inversionista la opcin de convertir un tipode ttulo en otro, o sea, de corto a largo plazo, o viceversa, de fijo aflotante o indizado. Al emitirlos, el gobierno espera que el inver-sor pagar una prima por la opcin, y que esta prima ms quecompensar el costo al gobierno, en caso de ejercerse la opcin.

20

La duracin (el plazo promedio ponderado hasta el vencimiento de los flujos deefectivo descontados) de esos ttulos ser mayor que para los ttulos de inters fijos.(Vase la seccin 5.1 para una discusin ms detallada de la duracin.)

21 Una discusin de las preferencias del inversionista y los beneficios potencialespara el gobierno como emisor, en la identificacin de los habitantes preferidos de losinversores, puede encontrarse en el Manual, no 5. [N. del E.: versin en espaol: Elmanejo de la deuda gubernamental,CEMLA, Mxico, 1997 (serie Ensayos, no55).]


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Los bonos convertibles en accionespueden ser tiles si el gobiernoproyecta privatizar ciertos activos, por ejemplo empresas propie-dad del Estado, y desea obtener pronto parte del valor del pro-ducto de la privatizacin. As, un ttulo convertible en acciones

podra ser vendido por 100, rescatable al cabo de dos aos, o bienconvertido por opcin del inversor en, digamos, 10 participacio-nes de cierta empresa que va a ser privatizada. Si el valor de mer-cado estimado de dicha empresa se eleva durante el perodo, elinversor ejercer su opcin y har la conversin; y si el valor haaumentado mucho ms rpido de lo esperado, el costo de oportu-nidad para el gobierno (mediante la venta de la opcin para com-prar a precio fijo) puede superar el valor de la prima recibida por

la venta de la opcin. Si el valor estimado de la empresa declina, elinversionista comprar las acciones a menor costo en el mercadosin ejercer la opcin. Si ocurre, por cualquier razn, que la em-presa no llega a ser privatizada, se tendr que pagar cierta com-pensacin al inversor.

4.6 Bonos de cupn cero y separaciones o tiras (strips)

El bono de cupn cero no tiene ms que un pago (de rescate) yse vende con descuento por su valor nominal. En la fijacin delprecio del bono, el mismo ser descontado a su tasa de contado, esdecir, la tasa de descuento especfica a ese vencimiento.

En consecuencia, el precio del bono de cupn cero lo da:

)Z(

R

i+

=1

Precio

DondeRes el pago de rescate; y Zies la tasa al contado relativa alperodoi: (el vencimiento del bono).

La tasa de descuento usada (Zi) puede ser considerada como elrendimiento de rescate de un bono de cupn cero.

El bono de cupn cero cuenta con varias ventajas sobre su con-

traparte convencional. El bono de cupn cero consiste en un solopunto de flujo de efectivo y, en consecuencia, al comprar una se-leccin de tales bonos, el inversor puede aumentar los flujos deefectivo que desea, en lugar de recibir (teniendo, posiblemente,que reinvertirlos) frecuentes cupones. Esto permite un manejo deactivos/obligaciones mucho ms eficiente y elimina el riesgo de re-


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inversin. De ah que los bonos de cupn cero puedan ser usadoscomo elementos bsicos para elaborar instrumentos financieroscomo bonos perpetuos o bonos de pago diferido.

El bono de cupn cero tiene tambin mayor duracin (para unmismo vencimiento) y asimismo mayor convexidad (para unamisma maduracin) que los bonos de cupn. (Vase la seccin 5para una discusin ms detallada sobre duracin y convexidad.)Esto los hace potencialmente atractivos para una gran parte delmercado; por ejemplo, corredores de bolsa, que operan a base deriesgo y andan en busca de una creciente volatilidad; inversoresque desean activos de larga duracin; gestores de fondos que bus-can equiparar la duracin de sus carteras y tienen, por ejemplo,obligaciones de pensiones de larga duracin.

Antes de emitir bonos de cupn cero, los gobiernos desearnconocer que lugar ocupa la demanda en la curva de rendimiento.Suele estar en el extremo inferior (pues los corredores de bolsa es-tn ansiosos de intercambiar estos instrumentos potencialmente vo-ltiles) o en el extremo superior, donde la duracin es elevada. Lademanda es menos obvia en lo que concierne a los ceros de venci-

miento medio, por lo que ciertos especuladores pueden mostrarsemenos dispuestos a deshacerse de las tiras o separaciones del bono(vase ms abajo), por temor a que estos productos de relativa altaduracin perduren en sus hojas de balance. Por esta razn, losbancos centrales pueden estar dispuestos a servirse de ellos comogaranta en sus operaciones monetarias, a fin de sacarles provecho

Segn sean los mtodos contables gubernamentales, algunosgobiernos pueden mostrarse algo adversos a la emisin de cupo-nes cero, ya que el dinero recibido por la emisin obviamente sermenor que la de un bono de cupn con el mismo vencimiento.

Tiras o separaciones

Una tira o separacin es un bono de cupn cero, cuyo nombrese deriva de la separacin de un bono de cupn cero estndar ensus pagos de inters y principal que lo constituyen, los cuales pue-

den conservarse separadamente o negociados como bonos de cu-pn cero.22Por ejemplo, un bono a 5 aos, con un cupn anual,

22Cuando se introdujeron las tiras o separaciones por primera vez en Estados Uni-dos, STRIP (tira) era un acrnimo de Intereses y Principal Registrados SeparadamenteNegociados. En el RU no tiene uso como acrnimo.


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podra ser separado en seis bonos de cupn cero, en donde cincorepresentaran los flujos de efectivo provenientes de tales cuponesy uno relacionado con el rembolso del principal. Para 100 de va-lor nominal de este bono con, digamos, un cupn de 6% pagadero

el 1ode junio de cada ao, el flujo de efectivo que resultara de laseparacin sera el siguiente:

De modo que la separacin dejara cinco bonos de cupn cerode 6.00 (valor nominal), que venceran el 1 de junio de cada ao,

y un bono de cupn cero de 100 (valor nominal) que vencera el1 de junio al cabo de cinco aos.

Como la mayora de los mercados de separaciones o tiras nego-cian el rendimiento ms bien que el precio, de ello se deduce queser preciso usar una frmula de rendimiento estndar para cal-cular el valor de liquidacin y evitar disputas. El Banco de Ingla-terra design la siguiente relacin precio/rendimiento para el mer-cado de separaciones o tiras de los ttulos del gobierno britnico:

s

rn

y

P+

+

=

21

100


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donde:P= precio de la separacin o tira por 100 nominales;y== rendimiento de rescate bruto (decimal), es decir, si el rendi-miento es de 8%, entonces y= 0.08; r= nmero exacto de dasdesde la fecha de liquidacin/emisin hasta la siguiente fecha delquasicupn;s= nmero exacto de das en el perodo quasicupnen que cae la fecha de liquidacin; n= nmero de los restantesperodos quasi-cupn una vez transcurrido el perodo corriente; yr&sno han sido ajustados por los das no laborables.

El Banco de Inglaterra propuso que los rendimientos se coti-zaran hasta tres posiciones decimales, y los precios fueran co-tizados a un mximo de 6 posiciones decimales

Una fecha quasi-cupn es una fecha en la que un cupn serapagadero si el bono fuera de cupones en lugar de serlo de ti-ras o separaciones.

La frmula es el equivalente semianual de la frmula de laTesorera francesa, y difiere de la frmula de EUA en el usode un inters compuesto ms bien que un inters simple pa-ra la tira o separacin ms corta.

El rendimiento se divide por 2, dado que el mercado de tiraso separaciones del gobierno del RU se basa en una cotizacindeliberada para que sea compatible con el mercado subya-cente, en el que los bonos son cotizados sobre una base semi-anual.

Si los inversores consideran la separacin de las tiras como unproceso til, debern estar dispuestos a pagar una prima por elproducto, y as reducir los rendimientos en valores provenientesde las tiras o separaciones desmanteladas (con lo que se abaratanlos costos de financiamiento). Sin embargo, la operacin del des-mantelamiento tiene sus costos y las autoridades necesitarn sabersi los inversores la considerarn til, antes de embarcarse en ella.

A este respecto, hay cierto nmero de cuestiones que debentomarse en consideracin antes de pasar a establecer un mercadode tiras o separaciones. Algunos de los ms importantes se men-

cionan ms abajo: Es importante establecer el mercado de tiras o separaciones

(potencialmente) lo ms lquido posible. Si todos los valorespueden ser desmantelados, pero tienen diferentes fechas decupn, las tiras derivadas de cada cupn sern relativamente


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pequeas. Empero, si los valores tienen la misma fecha de cu-pn, y las tiras de cupn de diferentes valores son fungibles,obviamente ello contribuir a que el mercado sea ms lquido.En este caso, una vez que el valor es desmantelado, cada tira de

cupn es sencillamente un flujo de efectivo con una particularfecha de vencimiento: el valor matriz original deja ya de ser re-levante. (Un documento del Banco de Inglaterra El ServicioOficial de Tiras de Bonos Gubernamentales: octubre de 1997,publicado poco antes de iniciarse el mercado de tiras del RU,suministraba detalles de los flujos de efectivo de los valoresdesmantelables, a fin de demostrar el potencial vigente de las ti-ras.)

En algunos pases (aunque no en el RU), las tiras de cupn sonfungibles. Esto significa que una vez el bono desmantelado desus tiras, el principal y las tiras de cupn que tienen la mismafecha de vencimiento son indistinguibles. En consecuencia, esposible crear ms valores de los que originalmente se han emi-tido, mediante el proceso de reconstituir el bono usando tirasde cupn de cualquier otro valor, en lugar del principal origi-nal (obviamente las tiras de cupn tendrn la misma fecha devencimiento que el pago de rescate del que est siendo reconsti-tuido).

El desmantelamiento y el proceso de reconstitucin deben serdirectos y relativamente baratos, a fin de alentar a los que parti-cipan en el mercado a desmantelar el valor de sus tiras.

Todo beneficio proveniente de una tira es ganancia de capital y,por lo tanto, cualquier anomala entre el impuesto a las ganan-cias de capital y el impuesto al ingreso deber ser reducida o,en el mejor de los casos, eliminada antes de introducir el des-mantelamiento. Es importante que no haya ventajas impositivasen la operacin de desmantelamiento, pues de lo contrario elmercado negociara anomalas en lugar de elementos funda-mentales. Podra tambin significar que cualquier ganancia ob-tenida por costos de financiamiento inferiores, fuera ms quecontrarrestada por la reduccin del ingreso impositivo.

Otros detalles de las cuestiones que enfrent el mercado de ti-ras del RU antes de su introduccin figuran en El Servicio Oficialde Tiras de Bonos Gubernamentales, un documento del Bancode Inglaterra, que apareci en octubre de 1997. Tras la intro-duccin del mercado de tiras en el RU en diciembre de 1997, ya


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para fines de junio del 2000, un poco ms de 2 800 millones(2.2%) en bonos desmantelables estaban vigentes en forma des-mantelada y la produccin semanal de tiras de bonos del gobiernopromediaba alrededor de 50 millones en valor nominal, contra

aproximadamente una produccin de 30 000 millones en valornominal tambin de valores sin tiras.

5. Medidas de riesgo y retorno

5.1 Duracin

En el pasado haba varias maneras de medir el riesgo del bo-no, y tal vez la ms comn consista en el tiempo hasta el venci-miento. Si no haba cambios en las dems condiciones, cuanto msduradero el bono, mayor la volatilidad de su precio (riesgo). Sinembargo, esta medida no toma en cuenta sino el pago final (nin-gn otro flujo de efectivo), y para nada considera el valor moneta-rio del tiempo, por lo que no ofrece una comparacin exacta delriesgo relativo a travs de los bonos. Por ejemplo, es acaso un

bono a once aos con un cupn de 10% ms riesgoso que un bonoa diez aos con un cupn de 2%?

La duracin es una medida ms sofisticada, puesto que toma encuenta todos los flujos de efectivo y el valor monetario del tiempo.La duracin Macauley mide, en aos, el riesgo (o la volatilidad)de un bono, al calcular el punto en que se registra el retorno del50% de los flujos de efectivo (sobre una base de su valor netopresente). La duracin, en consecuencia, es el promedio ponde-rado de los valores netos actuales de los flujos de efectivo. Nospermite comparar el riesgo de los bonos con diferentes venci-mientos, cupones, etc. Al calcular los valores netos actuales de losflujos de efectivo, se usa el Rendimiento de Rescate como tasa dedescuento.

En trminos matemticos, esto se expresa como:

PT)CF(PV t xMacauleyDuracin

n

1t==

DondePV(CFt) = valor presente del flujo de efectivo en el tiempot; t= tiempo (en aos) de cada particular flujo de efectivo; y,P=precio del bono (sucio).


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Posiblemente sea ms fcil verlo grficamente. Para el caso deun bono a 5 aos con un cupn de 10% anual, imagnese que elrea sombreada representa el valor neto presente de cada flujo deefectivo; y que las reas sombreadas son pesas a lo largo de un co-

lumpio. La duracin Macauley es el punto en que el columpio seequilibra.

La relacin entre duracin Macauley, precio, y rendimiento, lada:

(4)

fc

yP

y

P

+=

1

x

Donde yP/ = cambio proporcional en precio con respecto alcambio en rendimiento;P= precio;y/fc= frecuencia/rendimientode pagos de cupn por ao; y,D= duracin Macauley.

A partir de la duracin Macauley, se puede expresar la Dura-cin Modificada, que es una medida de la sensibilidad-precio de

un bono:

)fc

y+

=(1

MacauleyDuracinMacauleyDuracion


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Si se sustituye la Duracin Modificada por la ecuacin (4) msarriba y con un ligero reordenamiento, se obtiene:

(5) modificadaDuracin

1=

py

P

La Duracin Modificada describe la sensibilidad del precio deun bono a pequeos cambios en su rendimiento, a la que a menu-do se hace referencia como la volatilidad del bono. Y captura, enun solo nmero, la manera en que el vencimiento del bono y cu-pn afectan su exposicin al riesgo de tasa de inters. Proporcionauna medida de la volatilidad del precio de porcentaje, no de la vo-latilidad del precio absoluto, y constituye una medida de la volati-lidad del precio de porcentaje del precio (sucio) en su totalidad.Para cualquier pequeo cambio en el rendimiento, puede hallarseel cambio en el precio de porcentaje resultante, mediante la mul-tiplicacin del cambio de rendimiento por la Duracin Modifica-da, como aparece abajo:

(6) yx)modificadaDuracin

(P

P

= % de cambio en el precio = (Duracin Modificada) x

x cambio de rendimiento(en puntos de base)

El signo negativo en la ecuacin es, desde luego, necesario,puesto que el precio se mueve en la direccin opuesta al rendi-miento.

Factores que afectan la duracin

Si no hay cambios en las dems condiciones, la duracin sermayor: cuanto ms largo el vencimiento, ms bajo el cupn, y msbajo el rendimiento. Esto se explica ms adelante:

i) VencimientoSi observamos la grfica 5.1, a medida que el vencimiento se

alarga, el punto pivote necesario para equilibrar el columpio re-querir ser cambiado ms a la derecha y, por lo tanto, la duracinse incrementar.


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Este cambio a la derecha, empero, no proseguir indefinida-mente a medida que el vencimiento se alarga. Para un bono es-tndar, la duracin no es infinita y, por ejemplo, la duracin deun bono a 30 aos y una perpetua ser similar. Esto se entiende si

observamos de nuevo las matemticas: el valor neto presente delos flujos de efectivo a 30 aos son pequeos, y cuanto ms largoel perodo, sern ms pequeos. De modo que al calcular la dura-cin, estos trminos (en el numerador) se volvern insignificantes.La duracin mxima para un bono estndar depende del entornopara el rendimiento: por ejemplo, a junio del 2000, el bono a 30aos en Estados Unidos tena una duracin de mercado deaproximadamente 14 aos; la duracin ms prolongada, la del

bono japons, era de 18 aos. El siguiente diagrama muestra larelacin aproximada entre duracin y vencimiento del bono:23

La duracin de un bono perpetuo se da por:

r

rD

+=

1

23De hecho, a medida que el cupn es pagado, la duracin decrecer ligeramente yas, con mayor exactitud, se la podra representar como una curva dentada (un patrnde dientes de sierra).


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Para un cupn cero, la duracin (Macauley) ser siempre igualal vencimiento. Esto puede verse a partir de la frmula, ya que elcupn cero no tiene ms que un flujo de efectivo y el punto pivoteestar en consecuencia en el flujo de efectivo

ii) Cupn

Asimismo, segn la grfica 5.1, podemos ver que a medida queel cupn decrece, el punto pivote tendr que ser movido nueva-mente hacia la derecha (un aumento de duracin), a fin de equili-brar el columpio.

iii) Rendimiento

La relacin entre duracin y rendimiento es quizs menos obviaen el diagrama de arriba, pero puede entenderse intuitivamente.A medida que los rendimientos se incrementan, todos los valoresnetos actuales de los futuros flujos de efectivo declinan, dado quesus factores de descuento se incrementan, pero los flujos de efecti-vo ms lejanos son los que, proporcionalmente, mostrarn el ma-

yor decremento. De modo que los primeros flujos de efectivo ten-drn mayor peso con relacin a los flujos de efectivo postreros y,en el diagrama, el punto de equilibrio tendra que ser movido a laizquierda, a fin de mantener el columpio en equilibrio. A medidaque los rendimientos declinan, ocurrir lo contrario.

Duracin de la cartera

Un uso de la duracin es la inmunizacin, caso en el cual los ac-tivos de cartera son seleccionados de modo que su duracin seaigual a la duracin de las obligaciones de la cartera. Muchos gesto-res de fondos tratan de que la duracin sea equivalente a la de suscarteras: esto es ms eficiente que ajustar la duracin de sus ac-tivos y obligaciones individuales. La duracin de una cartera es laduracin promedio ponderada de todos los bonos en la cartera, esdecir, la duracin de cada bono ponderado por el porcentaje que

le corresponde en la cartera (el porcentaje en la cartera se deter-mina usando valores actuales).

Los ejemplos que siguen muestran cmo los bonos de distintaduracin sern afectados por los cambios en la curva de rendi-miento.


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Ejemplo 10

Considrese un bono con Duracin Modificada de 9. Su rendi-miento se incrementa en 10 puntos base. El cambio de porcentaje

aproximado en el precio resulta de la averiguacin mediante laecuacin (5):

% de cambio en el precio = -9(0.10) = 0.90

es decir, una cada en el precio de 0.9%.

Ejemplo 11

Dos bonos a diez aos tienen una duracin de 6 y 8.5. Hay unapequeo cambio en la curva de rendimiento, de modo que ambosrendimientos de bonos caen 3 puntos de base. Calcular el preciode porcentaje:

Bono 1:% de cambio en el precio = -8.5(-,03) = +.18%

Bono 2:% de cambio en el precio = -8.5(.03) = +.255%

El bono con mayor duracin es el que da mejor resultado.Si los bonos se estuvieran negociando en 96.30 y 98.20, las alzas

de precio actuales seran:

Bono 1: 1703096x100

180..

.= Nuevo precio = 96.47

Bono 2:Nuevo precio = 98.45

Ejemplo 12

La Duracin Modificada de la tira a 10 aos, que actualmentese vende a 85.50 (por 100 nominales), se calcula mediante la si-guiente ecuacin:

Duracin Macauley aos10

585

105085=

.

X.

Duracin Modificada =y+1

10 (El rendimiento puede calcularse

mediante la frmula dada en la seccin 4.6).


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Limitaciones en el uso de la Duracin Modificada

Debe tenerse en cuenta que el uso de la Duracin Modificadatiene limitaciones en la prediccin de la relacin precio/rendimiento.

Es nicamente vlida para pequeos cambios en el rendimiento;para desplazamientos paralelos en la curva de rendimiento; y parapequeos horizontes de tiempo. La razn de estas limitacionespuede observarse ms claramente en la Grfica que sigue. La rela-cin precio/rendimiento, estimada a partir de la Duracin Modifi-cada de un bono es lineal (como lo muestra la tangente a la curvaen Po), en tanto que la relacin real precio/rendimiento es unacurva. Existe, pues, un error cuando se usa la Duracin Modifica-da para estimar los movimientos de precios.

La grfica muestra que cuanto mayor el cambio en el rendi-miento, mayor ser el grado de error en el cambio de precio, cal-

culado mediante la duracin modificada. Este error se debe fun-damentalmente a la convexidad.

5.2 Convexidad

La Duracin Modificada indica la variacin del precio de un


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bono a causa de pequeos cambios en el rendimiento. Sin embar-go, en lo que se refiere a grandes cambios en el rendimiento, dosbonos que tienen el mismo rendimiento y la misma Duracin Mo-dificada, pueden comportarse de manera muy diferente. Esto se

debe al error en el uso de la duracin modificada, que ya se dis-cuti anteriormente. Este error se explica por la convexidad, quees el segundo derivado del precio de un bono con respecto al ren-dimiento. La convexidad de un bono es una medida de la curva-tura de su relacin precio/rendimiento. Usada conjuntamente conla Duracin Modificada, la convexidad provee una aproximacinms exacta del porcentaje de cambio en el precio, resultado de uncambio especificado en el rendimiento de un bono, que la que

pueda proporcionar el uso por s solo de la duracin modificada.24

El cambio del precio de porcentaje debido a la convexidad es

aproximadamente:

% cambio de precios = 1/2x convexidad x (porcentaje de cambiode rendimiento)2

La convexidad de un bono est positivamente relacionada conla dispersin de los flujos de efectivo. As, si no hay variacin enlas dems cosas, en caso de que los flujos de efectivo del bono es-tn extendidos en el tiempo ms que los de otro, claramente ten-dr una mayor dispersin y, en consecuencia, una ms elevadaconvexidad. La convexidad est tambin positivamente relaciona-da con la duracin.

La convexidad es generalmente considerada deseable, y los

operadores pueden estar dispuestos a ceder rendimiento para ob-tener convexidad. Esto es porque, en general, un bono ms con-vexo, tendr un superior desempeo en un entorno de rendi-mientos declinantes, y uno peorsi los rendimientos estn a la alza.Lo que es ms, el efecto de convexidad es asimtrico; para unacada especificada en los rendimientos, el alza de precio a causa dela convexidad ser mayor (en magnitud) que la cada relacionadacon el factor convexidad por la mismaalzaen los rendimientos. La

convexidad, en consecuencia, puede ser asociada con el potencialde un bono para un superior desempeo que el estndar. Sin em-bargo, la convexidad es una buena cosa si el cambio de rendimien-

24Seguir habiendo algunos pequeos errores, a causa de un tercer (etc.) orden de

derivados.


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to basta para que la mayor convexidad desemboque en un supe-rior desempeo del bono. (Para pequeas alteraciones en el ren-dimiento nicamente, el cambio de precio estimado por la dura-cin modificada constituye una buena gua y en consecuencia es

posible que no valga la pena pagar por la convexidad.) Si los bo-nos convexos estn sobrevaluados en un ambiente de baja volatili-dad, algunos inversores querrn vender convexidad. Y, claro est,los rendimientos pueden modificarse repentinamente, lo queconduce a cambios en la convexidad.

La grfica que aparece ms abajo muestra dos bonos AB y CDque, en el punto P1tienen la misma duracin.

La grfica 5.2 muestra la lnea de duracin modificada relativaa los bonos AB y CD (o sea, una tangente a la curva de pre-cio/rendimiento en el punto P1).

La curva precio/rendimiento para el bono CD es claramentems convexa que la del bono AB. Esto quiere decir que, en estepunto, para cualquier cambio de rendimiento dado, el bono CDtendr mejor desempeo que AB. Sin embargo, a lo l

basico de bonos

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