articulo plie gues

La cinemtica del plegamiento: algunas claves geomtricas para su interpretacin

F. Bastida1, J. Aller1, N. C. Toimil1 y N. C. Bobillo-Ares2

1 Departamento de Geologa, Universidad de Oviedo. c/ Jess Arias de Velasco s/n. 33005 Oviedo.

2 Departamento de Matemticas. Universidad de Oviedo. Avda. de Calvo Sotelo s/n. 33007 Oviedo.

Correspondencia: [email protected]

Resumen: La modelizacin por ordenador de perfiles de pliegues formados por un determinadomecanismo de plegamiento es posible cuando se conocen las ecuaciones que permiten encontrarlas relaciones de transformacin de puntos de la configuracin inicial de la capa en puntos de laconfiguracin plegada. De este modo, se han modelizado pliegues formados mediante la superpo-sicin sucesiva o simultnea de deformacin longitudinal tangencial, flexural-flow y diversostipos de deformacin homognea (acortamiento de la capa, compactacin, y aplastamiento yachatamiento de pliegues). La geometra y distribucin de la deformacin interna en los plieguestericos as obtenidos permiten predecir las caractersticas de pliegues naturales formados por loscitados mecanismos de plegamiento. El estado de deformacin de la capa plegada es tpico de ca-da mecanismo o superposicin de mecanismos y puede describirse mediante dos tipos de curvas,que muestran la variacin de la inclinacin del eje mayor de la elipse de deformacin y la varia-cin del cociente entre las longitudes de los ejes de dicha elipse en funcin del buzamiento de lacapa plegada. La deformacin longitudinal tangencial es el nico de los mecanismos analizadosque, cuando interviene en el plegamiento, da lugar a curvas distintas para los dos lmites de la ca-pa plegada. La clasificacin de Ramsay o las clasificaciones basadas en parmetros derivados deella dan lugar tambin a resultados especficos para cada mecanismo o superposicin de mecanis-mos de plegamiento. El anlisis de los mecanismos que formaron un pliegue natural dado puedehacerse por tanteo mediante la modelizacin de un pliegue con las mismas caractersticas geom-tricas que el pliegue natural. Los rasgos geomtricos a analizar en este ltimo son los implicadosen la modelizacin. En pliegues naturales con clivaje, puede obtenerse una aproximacin a la cur-va de la inclinacin del eje mayor de la elipse de deformacin en funcin del buzamiento, midien-do la variacin del buzamiento del clivaje en funcin del buzamiento de la capa. El mayor proble-ma en el anlisis cinemtico de pliegues estriba en la dificultad de realizar medidas de deforma-cin interna en las rocas plegadas.Palabras clave: pliegues, modelizacin, clasificacin, deformacin, clivaje.

Abstract: Computer modelling of fold profiles formed by a specific folding mechanism ispossible when the equations to find transformation relationships from points of the initialconfiguration to points of the folded configuration of the layer are known. From these equations,folds formed by the successive or simultaneous superposition of tangential longitudinal strain,flexural flow and several types of homogeneous strain (layer shortening, compaction, and foldflattening parallel or perpendicular to the axial trace) have been modelled. The geometry andstrain pattern of the theoretical folds allow predictions about the characteristics of natural foldsformed by the above mechanisms. The strain state in the folded layer is a typical feature of everymechanism or mechanism superposition and it can be described by two types of curves, whichshow the variation of the major axis plunge of the strain ellipse and the variation of the aspectratio of this ellipse with the layer dip. Tangential longitudinal strain is the only mechanismanalysed that produces different curves for the two boundaries of the folded layer. Ramsaysclassification or classifications based on parameters derived from it also give results specific for

Trabajos de Geologa, Univ. de Oviedo, 24 : 9-41 (2004)

Los pliegues son estructuras frecuentes cuya geometraes un buen reflejo de la deformacin sufrida por las ro-cas, por lo que su estudio puede facilitar una aproxima-cin muy til al conocimiento de sta. El primer paso eneste estudio suele consistir en un anlisis de los plieguesmediante la observacin y la adquisicin de datos en elcampo. Sin embargo, no resulta obvio a priori conocerlos aspectos geomtricos precisos que son relevantes pa-ra entender el origen y desarrollo de los pliegues, por loque el estudio de la geometra de stos precisa tambinde su conocimiento cinemtico, estando ambos aspec-tos, geometra y cinemtica, ntimamente relacionados.Los mecanismos cinemticos de plegamiento represen-tan formas tericas de producirse o transformarse lospliegues, definidas mediante unas leyes geomtricas quedeterminan los desplazamientos que se van a producir,as como el patrn de deformacin interna final dentrode la capa o capas plegadas. Para establecer los meca-nismos bsicos es conveniente producir pliegues en di-versos tipos de materiales mediante experimentos fsi-cos sencillos y conocer la deformacin asociada a ellos,as como su desarrollo progresivo. A partir de estos ex-perimentos es posible establecer los mecanismos comoidealizaciones tericas susceptibles de ser analizadasmatemticamente. De este modo, aplicando las condi-ciones requeridas para cada mecanismo, debe ser posi-ble modelizar tericamente la geometra de la capa ple-gada y la distribucin de la deformacin dentro de ella apartir de la configuracin inicial de la capa. Aunque elplegamiento implica necesariamente una deformacinheterognea, la intervencin de una deformacin homo-gnea durante el plegamiento puede modificar profun-damente la geometra de los pliegues o la distribucinde la deformacin interna en ellos, por lo cual este tipode modificaciones sern tambin incluidas dentro de losmecanismos de plegamiento.

El anlisis terico de la cinamtica del plegamiento per-mite conocer cules deben ser los aspectos a consideraren el anlisis geomtrico de los pliegues naturales. Eneste sentido, una manera de abordar el conocimiento delos mecanismos que han dado lugar a un pliegue naturaldeterminado consiste en aprovechar toda la informacin

posible que aporta la estructura para modelizar medianteordenador, combinando adecuadamente mecanismos deplegamiento, un pliegue con la misma geometra. Comoconsecuencia, los rasgos geomtricos a considerar en elcampo son los requeridos para realizar la modelizacinterica y para poder comparar adecuadamente los plie-gues modelizados con los pliegues reales.Aunque un anlisis geomtrico detallado de los plie-gues naturales puede permitir una aproximacin muyvaliosa al conocimiento de la cinemtica de plega-miento, el grado de incertidumbre de los resultadosdisminuye enormemente cuando se disponen ademsde medidas de la deformacin en puntos de la capaplegada. En este sentido, las medidas pertinentes, a re-alizar sobre el perfil del pliegue, se refieren al cocienteentre los ejes de la elipse de la deformacin, a lasorientaciones de dichos ejes y al cambio de rea con ladeformacin. Desgraciadamente, el primero y sobre to-do el tercero de los aspectos citados son difciles dedeterminar. Sin embargo, no es tan difcil en muchoscasos realizar medidas aproximadas de las direccionesprincipales de la deformacin en la configuracin ple-gada de la roca. Esto puede hacerse cuando existe unafoliacin tectnica primaria cuyas superficies, deacuerdo con los resultados de numerosas medidas dedeformacin, son aproximadamente perpendiculares ala direccin de mxima deformacin finita. Esta infor-macin es esencial para poder comparar los plieguesnaturales con los obtenidos experimentalmente. El objetivo del presente trabajo consiste en elaborar unarevisin terica de los principales mecanismos de plega-miento y de los mtodos geomtricos que hay que utili-zar para el anlisis cinemtico del plegamiento. A partirde la modelizacin terica de los pliegues originadosmediante estos mecanismos se intentarn predecir lascaractersticas geomtricas y cinemticas de los plieguesresultantes (problema directo), y mediante el ajuste y lacomparacin de pliegues naturales concretos bien carac-terizados geomtricamente, con pliegues modelizadostericamente, se intentar exponer una metodologa paraaproximarnos al conocimiento cinemtico de aqullos(problema inverso).

10 F. BASTIDA, J. ALLER, N. C. TOIMIL Y N. C. BOBILLO-ARES

every folding mechanism or mechanism superposition. Analysis of folding mechanisms thatoperated in a specific natural fold can be made by trial and error modelling a fold with the samegeometrical characteristics as the natural fold. The geometrical features to be analysed in the latterare those involved in the modelling. In natural folds with cleavage, an approach to the curve ofthe major axis plunge of the strain ellipse against the layer dip can be obtained by measuring thedip variation of the cleavage as a function of the layer dip. The greatest problem in thekinematical analysis of folding is posed by the difficulty of obtaining strain measurements infolded rocks.Key words: folds, modelling, classification, strain, cleavage.

Mecanismos bsicos de plegamientoEl anlisis de los mecanismos que se realizar a lo largodel presente trabajo ser bidimensional, considerando ladeformacin asociada al plegamiento en el plano per-pendicular al eje del pliegue. Esto es una prctica gene-ral en el estudio cinemtico del plegamiento, aunquerestringe la aplicacin de los resultados a los plieguescilndricos, en los cuales todas las secciones perpendicu-lares al eje presentan la misma geometra. Con esta sim-plificacin, las superficies plegadas se convierten en l-neas plegadas, definiendo el perfil del pliegue.Para el estudio terico de los mecanismos de plegamien-to es conveniente utilizar una lnea auxiliar, denominadalnea gua, que facilita el seguimiento de la geometrade la capa durante el plegamiento y que habitualmentees la lnea inicialmente equidistante de los lmites de lacapa, aunque no tiene que ser necesariamente as. Laparte del pliegue que se utiliza como unidad en el estu-dio cinemtico del plegamiento es el flanco, definidocomo la parte del perfil entre el origen de coordenadas(generalmente el punto de charnela) y el punto de la l-nea gua donde la curvatura cambia de signo (punto deinflexin; Fig. 1); esta definicin plantea algunos pro-blemas que se analizarn ms adelante. Un parmetronecesario para la modelizacin de diversos mecanismosde plegamiento es la relacin de aspecto (o amplitudnormalizada) de un flanco, definida como el cociente (h= y0/x0) entre su altura (o amplitud) y anchura medidasen su lnea gua (Fig. 1).

El mtodo general para la descripcin de un mecanismode plegamiento consiste en formular unas ecuacionespara encontrar las relaciones de transformacin que,cumpliendo los requisitos geomtricos que caracterizanel mecanismo, permitan determinar la posicin de lospuntos de la capa plegada en funcin de la posicin delos correspondientes puntos de la configuracin originalde sta. Una vez conseguido esto, es necesario determi-nar el estado de deformacin en los puntos de la capaplegada. Para ello se dibuja en el perfil de la capa origi-nal un retculo de cuadrados o rectngulos y se aplicanlas relaciones de transformacin a los nodos del retcu-lo, con lo cual se obtiene el retculo deformado y, porconsiguiente, la forma de la capa plegada. Si los cuadri-lteros del retculo son suficientemente pequeos, la de-formacin en cualquier punto de cada cuadriltero pue-de obtenerse con tanta precisin como se desee anali-zando la relacin entre los vrtices de la configuracininicial y los de la configuracin plegada (Bastida et al.,2003; Bobillo-Ares et al., 2004). De este modo, la de-formacin en cada punto de la capa plegada puede serobtenida con la ayuda de un ordenador.

Dos tipos de grficos son tiles para ilustrar el estado dedeformacin en la capa plegada producido por los dis-tintos mecanismos de plegamiento. Ambos se refierenhabitualmente a datos obtenidos en los lmites de la ca-pa plegada. Uno de estos grficos describe la variacinde la inclinacin del eje mayor de la elipse de la defor-macin, dada por el ngulo (medido entre 0 y 180),

CINEMTICA DEL PLEGAMIENTO 11

Figura 1. Sistema de referencia general usado para analizar la deformacin en las capas plegadas y ngulos utilizados para describir la distribucinde la deformacin interna; es el buzamiento de la capa en P y define la inclinacin del eje mayor de la elipse de la deformacin en dicho punto.LG es la lnea gua y E el punto de enlace con el flanco adyacente. El origen de coordenadas O est situado en el punto de charnela de la lnea gua.

en funcin del buzamiento (Fig. 1). Cuando la curvaresultante presenta = 90 para cualquier valor de , ladisposicin de los ejes mayores de la elipse de deforma-cin se mantiene paralela a la traza axial; cuando en lacurva > 90 en todos sus puntos, los ejes mayores des-criben un abanico convergente hacia el ncleo del plie-gue; y cuando < 90 en todos los puntos, los ejes ma-yores describen un abanico divergente. El otro grfico describe la variacin de la relacin de as-pecto de la elipse de la deformacin (o relacin entreejes, ) en funcin del buzamiento . Con el ob-jeto de indicar el rea en la que el desarrollo de clivajees probable dentro de la capa plegada para un mecanis-mo determinado, la parte del grafico con R 2 (corres-ponde a un acortamiento mximo del orden del 30%cuando no hay cambio de rea) se ha representado tra-mada. Es claro, no obstante, que el desarrollo de clivajedepende de otros factores, adems del valor del acorta-miento, como por ejemplo, del comportamiento reolgi-co de las rocas, pero la experiencia sugiere que el cliva-je es una estructura comn para R 2.

Deformacin longitudinal tangencialLa definicin de este mecanismo se basa en el hechobien conocido de que cuando se pliega experimen-talmente una capa muy competente, las lneas prximasal arco externo, originalmente paralelas a los lmites decapa, sufren un alargamiento final mientras que las pr-ximas al arco interno sufren acortamiento final (porejemplo, Kuenen y de Sitter, 1938). Separando estas zo-nas de alargamiento y acortamiento tangencial existeuna superficie que no sufre deformacin longitudinal fi-nal, y que recibe el nombre de superficie neutra (l-nea neutra en dos dimensiones). Estos hechos puedencomprobarse fcilmente si se dibuja un retculo de cua-drados sobre el perfil original de la capa, observndoseadems cmo las lneas originalmente perpendiculares alos lmites de capa se mantienen aproximadamente rec-tas y normales a dichos lmites durante el plegamiento.Estos sencillos resultados permiten definir la deforma-cin longitudinal tangencial.Supongamos, para definir este mecanismo, que la lneagua es originalmente horizontal y equidistante de los l-mites de la capa (Fig. 2). Despus de la deformacin, di-cha lnea (L) se transforma en la curva l, descrita mate-mticamente por la funcin f(X). En estas condiciones,la deformacin longitudinal tangencial es un mecanismode plegamiento que cumple las siguientes condiciones(Bobillo-Ares et al., 2000): Existencia de una lnea dentro de la capa plegada, de-nominada lnea neutra, definida por puntos sin de-formacin final. Esta lnea separa un rea externa (o

parte convexa de la capa plegada) con alargamientotangencial, de un rea interna (o parte cncava) conacortamiento tangencial, y coincide con la lnea gua.Una consecuencia de esta condicin es que las lneasoriginalmente normales a la lnea neutra permanecennormales a ella durante el desarrollo del plegamiento.De acuerdo con esta condicin, la imagen q(X0) delpunto Q(X0) de L, a una distancia X0 de O, puede de-terminarse asumiendo que la longitud del arco Oq estambin X0 (Fig. 2).

Las lneas rectas originalmente normales a la lneaneutra permanecen rectas despus del plegamiento. Enconsecuencia, los puntos de la capa no situados en lalnea gua permanecen siempre durante el plegamientoen la misma lnea normal a la lnea gua. Por tanto, lasimgenes de los puntos extremos del segmento PQ,normal a L en Q, son los puntos extremos del segmen-to pq, normal a l en q (Fig. 2).

El rea permanece constante durante el plegamientoen todas las partes del perfil de la capa plegada.

Si Y es la longitud del segmento PQ, se cumplir que:P = Q + YN, (1)

donde N es el vector unitario normal a L en Q. En estaecuacin y en lo que sigue se utilizar la notacin ha-bitual en geometra afn, segn la cual, dado un puntoA y un vector v, la suma A + v da el punto B, tal que

.

La imagen p de P est a la distancia d del punto q, deforma que:

p = q + dn(X), (2)


Figura 2. Imgenes q(X0) y p de dos puntos Q(X0) y P plegados pordeformacin longitudinal tangencial y situados en la lnea gua y fuerade ella respectivamente. L y l describen la posicin de la lnea gua an-tes y despus del plegamiento respectivamente.

v = AB

donde n(X) es el vector unitario normal a l en q(X). Asu-miendo la condicin de conservacin de rea, el valorde d viene dado por (Bobillo-Ares et al., 2000):

(3)

donde es la curvatura de la lnea gua l en el punto q.De este modo, es posible conocer la posicin de la ima-gen p de cualquier punto P de la capa original. Para ello,se determina primero la imagen q de un punto Q de la l-nea gua situado en la normal por P a dicha lnea (sa-biendo que la distancia OQ es igual a la longitud del ar-co Oq) (Fig. 2). A continuacin se obtiene el valor de dmediante la ecuacin (3), y se lleva desde q en la direc-cin de la normal para determinar la posicin de p. Conello se puede determinar la forma de la capa plegada yla deformacin en todos sus puntos. Un ejemplo, obteni-do mediante ordenador, de la configuracin final de unacapa plegada por deformacin longitudinal tangencial y

de la distribucin de la deformacin dentro de ella semuestra en la Fig. 3b.La Fig. 4 muestra las grficas R- para los arcos externoe interno de capas con distinto espesor plegadas por de-formacin longitudinal tangencial con una lnea neutraparablica y una relacin altura/anchura del flanco iguala la unidad. Como puede observarse, para un buzamien-to dado, R aumenta en los lmites de la capa con el espe-sor de sta, o lo que es lo mismo, con la distancia delpunto considerado a la superficie neutra. Este aumentoes mucho ms acusado en el arco interno. Se observatambin que el valor mximo de R se presenta en elpunto de charnela, que es donde la curvatura es mxima.La zona con R 2 en una capa con un espesor determi-nado depende del valor de h alcanzado mediante defor-macin longitudinal tangencial, aunque se sita siempreen la zona de charnela del arco interno; en el caso de laFig. 4, el clivaje slo parece probable cuando el semies-pesor de la capa es aproximadamente 0,1.


Figura 3. Plegamiento de una capa (a) por deformacin longitudinal tangencial (DLT) (b) y por flexural flow (FF) (c). En los pliegues se ilus-tra la distribucin de la deformacin dentro de la capa; h = y0/x0 es la relacin de aspecto de los pliegues.

La Fig. 5 muestra las grficas - para los arcos exter-no e interno de capas con destinto espesor plegadas pordeformacin longitudinal tangencial con una lnea neu-tra parablica y una relacin altura/anchura del flancoigual a la unidad. De la observacin de las curvas se de-duce que las direcciones del eje mayor de la elipse dedeformacin en el arco externo y del eje menor en el ar-co interno no son perfectamente tangenciales al corres-pondiente lmite de capa. Esta desviacin aumenta conel espesor y se hace particularmente grande en el arcointerno de capas gruesas. Para un espesor dado, la des-viacin aumenta al aumentar la variacin de curvaturade la lnea neutra (Bobillo-Ares et al., 2000). Cuando lacapa es muy gruesa, la desviacin es mxima en las in-mediaciones de la zona de charnela del arco interno. Es-to se debe a que en esta zona la curvatura es grande y Raumenta mucho, a la vez que la deformacin se hacefuertemente heterognea para conservar el rea, con locual la capa se hace ms gruesa en la zona de charnela yaparece una protuberancia, desvindose mucho las di-recciones principales de la deformacin de las direccio-nes radial y tangencial (Fig. 3b). No es raro encontraresta protuberancia en pliegues naturales y sugiere la ac-

tuacin de deformacin longitudinal tangencial (Fig. 6).Desde un punto de vista mecnico, esta protuberanciapuede aumentar la resistencia a la flexin en la zona decharnela, de forma que ello puede hacer que la progre-sin posterior del plegamiento se produzca por rotacinde los flancos alrededor de los lmites laterales de laprotuberancia, lo que puede dar lugar a pliegues con lacharnela muy redondeada en el arco externo de la capacompetente o a pliegues con doble charnela. En este l-timo caso, la charnela original desaparecera para con-vertirse en una lnea de cresta o seno y apareceran late-ralmente dos nuevas charnelas. Adems de clivaje y protuberancias en la zona de char-nela del arco interno de la capa plegada, no es raro en-contrar en la zona de charnela del arco externo de capasplegadas naturales grietas de tensin con forma de cuay abiertas hacia el arco externo de la capa (Fig. 7) o fa-llas inversas en el arco interno (Stoces y White, 1935,Fig. 227; Billings, 1954, p. 89, Fig. 76; de Sitter, 1965,p. 187, Fig. 123; Ramsay, 1967, p. 401, Fig. 7.65; Mat-tauer, 1973, p. 232, Fig. 11.2; Ramsay y Huber, 1987,pp. 458-459, Figs. 21.18 y 21.19; Price y Cosgrove,1990, p. 251, Fig. 10.26; Hatcher, 1995, p. 308, Fig.


Figura 4. Curvas R- para los arcos externos e internos de una capaplegada por deformacin longitudinal tangencial. El significado de Ypuede verse en la Fig. 3. El campo con R 2 aparece tramado.

Figura 5. Curvas - para los arcos externos e internos de una capaplegada por deformacin longitudinal tangencial.

15.15; entre otros). Estas estructuras, producidas por es-tiramiento o acortamiento tangencial, son indicativas dela actuacin de deformacin longitudinal tangencial. Como resultado del plegamiento mediante el mecanis-mo descrito hasta ahora, la lnea neutra cambia de posi-cin con relacin a los lmites de capa, aproximndoseal arco externo, pero aparece siempre ligada a las mis-mas partculas durante el plegamiento. La actuacin deeste mecanismo genera problemas de compatibilidad dedeformacin en el arco interno a medida que la curvatu-ra de la capa aumenta, de forma que cuando el radio decurvatura de la lnea neutra es en algn punto menor oigual que el espesor de la capa, el plegamiento se haceimposible. Incluso en algunos casos particulares en losque el radio de curvatura es mayor que el espesor de lacapa, el comportamiento reolgico de las rocas puedehacer muy difcil acomodar la enorme deformacin dc-til requerida por este mecanismo en la zona de charneladel arco interno. Un cambio en el mecanismo de plega-miento o en la distribucin de la curvatura a travs de lacapa plegada, desarrollo de estructuras de acomodacintales como fracturas, o migracin de la lnea neutra ha-cia el arco interno son algunas de las soluciones pro-puestas para facilitar el desarrollo del plegamiento enestos casos (Ramsay, 1967, pp. 400-401; Ramsay y Hu-ber, 1987, pp. 460-461). Otra posibilidad es el desarro-llo de un clivaje en el que la actuacin de disolucin porpresin conduzca a una disminucin de rea cerca delarco interno. Un cambio en la distribucin de curvaturatendente a uniformizarla a lo largo del pliegue podra

dar lugar a problemas de compatibilidad de la deforma-cin en los puntos de enlace entre flancos. En conse-cuencia, una solucin probable es la migracin de la l-nea neutra, de forma que la deformacin interna en losdos lmites de capa se mantenga similar.Un modelo implicando migracin de lnea neutra ha si-do desarrollado por Bobillo-Ares et al. (2000). En l, lalnea neutra se sita equidistante de los lmites de capaen la iniciacin del plegamiento y luego migra, hacien-do que la relacin R se mantenga la misma en los dospuntos de los limites de capa situados en la misma nor-mal a la lnea neutra, es decir, Rinterno = Rexterno. Como con-secuencia, la lnea neutra final no esta ligada a las mis-mas partculas que la lnea neutra inicial, y no deriva delplegamiento de la lnea inicialmente equidistante de loslmites de capa. La migracin de la lnea neutra surgecomo un mecanismo para balancear la deformacin in-terna en los arcos interno y externo. Por tanto, la suposi-cin de que en ambos arcos existe una misma relacin Rcorresponde al caso en el que el balance ha sido comple-tado. Como consecuencia, los pliegues reales en los queha tenido lugar migracin de lnea neutra representanprobablemente una situacin intermedia entre el casosin migracin analizado anteriormente y el modelo ana-lizado por Bobillo-Ares et al. (2000). Uno de los resul-tados de este ltimo modelo es que el desarrollo del ple-gamiento da lugar a un adelgazamiento de la capa en lazona de charnela. La experiencia sugiere que el mecanismo de deforma-cin longitudinal tangencial presenta una mayor parti-


Figura 6. Protuberancias desarrolladas por deformacin longitudinal tangencial en el arco interno de la zona de charnela de una capa competenteplegada. (a) Pliegue desarrollado en rocas cambro-ordovcicas dominantemente arenosas (Tapia de Casariego, Asturias); la protuberancia (o plie-gue festoneado) se encuentra situada en la zona indicada por la flecha. (b) Dibujo realizado a partir de una fotografa de J. G. Ramsay (en Fleuty,1987; fig. 4).

cipacin en el desarrollo del plegamiento cuanto ma-yor es la competencia de las capas plegadas. Estudiosexperimentales o del elemento finito parecen indicarque la zona de alargamiento tangencial est muy res-tringida a la vecindad de la zona de charnela del arcoexterno en capas muy competentes (Dieterich, 1969;Shimamoto y Hara, 1976; Gairola, 1978). En estos tra-bajos, aparecen evidencias de otros mecanismos queactan en combinacin con la deformacin longitudi-nal tangencial, y que pueden contribuir a que los pro-blemas de compatibilidad de deformacin que planteaste mecanismo se resuelvan. Cuando existen rocas incompetentes intercaladas entrecapas de rocas competentes, las primeras, al fluir de ma-nera dctil con facilidad, tienden a acomodar su geome-tra a la impuesta por las capas competentes. Como con-secuencia, cuando se pliegan por deformacin tangen-cial dos capas competentes separadas por una capa in-

competente, el arco externo de la capa competente coin-cide con el interno de la competente y sufrir acorta-miento tangencial, mientras el arco interno de la capacompetente coincide con el externo de la competente ysufrir alargamiento tangencial. Este mecanismo ha sidodescrito por Ramsay y Huber (1987, pp. 448 y 462) ydenominado deformacin longitudinal tangencial in-versa. Sin embargo, an no se han establecido las con-diciones precisas para que se puedan deducir las ecua-ciones de transformacin de puntos para este mecanis-mo y para poder conocer la correspondiente distribucinde la deformacin en el interior de la capa plegada.

Deformacin por cizalla simple heterognea a lo largo delos lmites de la capa: flexural flow y flexural slipSi se lleva a cabo un experimento sencillo plegando unapila de cartulinas, se observa que el plegamiento se de-sarrolla con facilidad gracias a que las hojas deslizan


Figura 7. Grietas en forma de cua, rellenas de cuarzo, abrindose hacia el arco externo de la zona de charnela en capas competentes (plieguesdesarrollados en una alternancia de areniscas y pizarras carbonferas; Santo Toribio de Libana, Potes, Cantabria).

entre s. Resulta intuitivo imaginar que si se intentaraplegar una sola cartulina del mismo material y con elmismo espesor que la pila, el material ofrecera muchamayor resistencia al plegamiento que en el primer casodescrito y los pliegues se desarrollaran con mayor difi-cultad. Por otro lado, si dibujamos un conjunto de crcu-los a lo largo del perfil original de las capas (Fig. 8), esdecir, en la superficie definida por los bordes largos delas cartulinas, su configuracin despus del plegamientonos describe, sobre el perfil del pliegue, una distribucinde la deformacin completamente diferente que en elcaso de la deformacin longitudinal tangencial, ya quese observa que la relacin de aspecto R de la elipse de ladeformacin es prcticamente nula en la zona de char-nela y crece progresivamente hasta alcanzar un valormximo en las zonas de los flancos con mayor buza-miento. Si nos imaginamos que las cartulinas son muygruesas, los desplazamientos entre ellas sern aprecia-bles y el mecanismo de plegamiento recibe el nombrede flexural slip; en tal caso, la deformacin del con-junto de las capas en el perfil del pliegue no podr seranalizada como si fuera un medio continuo. Si, por elcontrario, nos imaginamos que se trata de un conjuntode hojas finsimas de papel, el carcter discreto de losdesplazamientos puede ser despreciado y la deforma-cin puede ser analizada como si se tratase de un campocontinuo de desplazamientos desarrollado en una solacapa mecnicamente anistropa; en este caso, el meca-nismo de plegamiento se denomina flexural flow. So-bre el perfil de la capa, se puede considerar que sta estconstituida por infinitas fibras paralelas a los lmites de

capa que facilitan los desplazamientos en su direccin ylos inhiben en cualquier otra.Flexural flow: De acuerdo con el experimento descritoanteriormente, y asumiendo un campo continuo de des-plazamientos sobre el perfil del pliegue, el flexuralflow puede ser definido como un mecanismo de plega-miento en el que los desplazamientos se producen ex-clusivamente a lo largo de lneas paralelas a los lmitesde la capa. En este mecanismo, puede considerarse quecualquier porcin elemental del perfil de la capa sufreuna deformacin por cizalla simple en la direccin delas fibras que pasan por el elemento y con intensidad ca-racterizada por una valor de igual al buzamiento de lasfibras (en radianes), ms una rotacin de un nguloigual al buzamiento (se considera como buzamiento nu-lo de referencia el de la capa en el punto charnela). Estosignifica que la intensidad de la cizalla disminuye pro-gresivamente hacia la charnela, donde se anula; adems,la deformacin por cizalla cambia de signo al pasar deun flanco a otro del pliegue. En consecuencia, la defor-macin dentro de la capa plegada puede ser consideradauna cizalla simple heterognea con una direccin de ci-zalla variable y paralela a los lmites de capa. De la an-terior definicin se deducen las siguientes propiedadesbsicas para el flexural flow:

la longitud del arco medida a lo largo de los lmites decapa o a lo largo de las lneas paralelas a ellos se man-tiene constante durante el plegamiento;

el espesor ortogonal de la capa se mantiene constantea lo largo de la capa plegada y es igual al espesor ori-ginal de sta; y

el rea se mantiene constante durante el plegamientoen cualquier parte del perfil de la capa plegada.

Las anteriores condiciones son suficientes para determi-nar la imagen de cualquier punto de la configuracininicial. Consideremos el punto P de la Fig. 9; su imagense obtiene encontrando el punto q(X1) para el cual lalongitud del arco Op a lo largo de l es X0. En conse-cuencia,

p = q(X1) + dn(X1). (4) Detalles sobre el clculo de X1 pueden encontrarse enBastida et al. (2003) y Bobillo-Ares et al. (2004). Unejemplo de la forma de una capa plegada mediante estemecanismo y de la distribucin de la deformacin den-tro de ella, obtenido mediante un ordenador, puede ver-se en la Fig. 3c.La curva - para flexural-flow se muestra en la Fig.10a. En este caso, la forma de la grfica no depende delespesor ni de la curvatura de las fibras, y por tanto es in-dependiente de la forma que presenten las funciones que


Figura 8. Sencillo experimento realizado en un conjunto de cartulinaspara ilustrar la distribucin de la deformacin interna en pliegues for-mados mediante cizalla simple heterognea a lo largo de los lmites delas capas. Obsrvese cmo la deformacin es prcticamente nula en lazona de charnela y la relacin R entre los ejes de la elipse de deforma-cin aumenta con el buzamiento de las capas.

describen las fibras de la capa plegada. nicamente de-be cumplirse, para que sea posible el plegamiento, queel centro de curvatura de las fibras se site siempre fue-ra de la capa plegada. La curva - muestra que los ejesmayores de la elipse de la deformacin dibujan un aba-nico que es divergente para buzamientos inferiores aunos 58, pasando a ser convergente para buzamientosmayores.La grfica R- se muestra en la Fig. 10b, y es una curvacreciente desde la charnela (R = 1; deformacin nula)hasta los flancos. La zona con desarrollo probable declivaje (R 2) se presenta en las partes de los flancoscon buzamiento superior a unos 40.Flexural slip: En este mecanismo los desplazamientosse concentran a lo largo de los lmites entre las capasplegadas, por lo cual no puede ser analizado desde elpunto de vista de la cinemtica del medio continuo. Unclculo sencillo del desplazamiento a lo largo de las ca-pas plegadas por flexural slip ha sido llevado a cabopor Ramsay (1967, pp. 392-393). De acuerdo con esteautor, si se tiene un conjunto de capas del mismo espe-sor, el valor del deslizamiento entre ellas viene dado porel producto del buzamiento (en radianes) por el espesorde la capa. Por consiguiente, para una capa dada, la dis-tancia desplazada debe ser nula en la charnela y aumen-tar a medida que nos alejamos de ella y crece el buza-miento de los flancos. De acuerdo con esto, los lmitesentre capas actuaran como fallas inversas de estratifica-cin con un desplazamiento decreciente hacia la charne-la. La frecuencia con que se observan fibras de minera-les sobre la estratificacin en pliegues naturales, as co-

mo venas desplazadas por la estratificacin, sugierenque el flexural slip debe ser un mecanismo frecuente. Observado en detalle, el flexural slip es la consecuen-cia de la superposicin de capas competentes sufriendoindividualmente deformacin longitudinal tangencial. Eldeslizamiento es entonces el resultado de la coinciden-cia espacial del arco externo alargado de una capa con elarco interno acortado de la capa adyacente, lo cual seproducir siempre que el rozamiento entre capas adya-centes permita el movimiento relativo entre capas. Enestas condiciones, el deslizamiento entre capas dependeprincipalmente de los espesores entre capas adyacentes.

Deformacin homognea Este mecanismo no produce por s solo pliegues y re-quiere la actuacin de otro mecanismo capaz de produ-cir plegamiento. No obstante, la deformacin homog-nea puede dar lugar a importantes modificaciones en lageometra de los pliegues (Ramsay, 1962, 1967; Muk-hopadhyay, 1965). Adems, en la mayora de los casos,la aparicin de una deformacin de este tipo durante elplegamiento parece ser el resultado normal de la evolu-cin progresiva de ste. As, por ejemplo, un aumentoexcesivo de la curvatura de la lnea gua o de la ampli-tud del pliegue puede hacer inviable la continuacin delplegamiento por deformacin longitudinal tangencial opor flexural flow, en cuyo caso, la deformacin ho-mognea o casi homognea puede ser el mecanismoms viable para proseguir el plegamiento. La deforma-cin homognea que puede operar durante el plega-miento puede ser muy variada, siendo til hacer una pri-mera distincin entre deformacin irrotacional o defor-macin rotacional.En el caso de deformacin irrotacional, pueden desta-carse varios tipos que difieren en la orientacin de lasdirecciones principales de la deformacin homognea oen el momento en que sta se produjo durante el plega-miento. En todos estos tipos, una vez fijadas las direc-ciones principales, la definicin de la deformacin ho-mognea requiere especificar en cada caso los dos valo-res principales de la deformacin implicada ( y ),o bien uno de estos valores y el cambio de rea con ladeformacin. A continuacin describiremos brevemen-te los tipos de deformacin homognea ms destaca-bles como mecanismos cinemticos en el desarrollodel plegamiento.Acortamiento de la capa: Tiene lugar en los estadiostempranos del plegamiento; su direccin de mximoacortamiento es perpendicular a la superficie axial.Combinando este mecanismo con los ya descritos, paraque puedan producirse pliegues, tenemos los dos tipossiguientes:


Figura 9. Imgenes q(X0) y p de dos puntos Q(X0) y P plegados porflexural flow y localizados en la lnea gua y fuera de ella respecti-vamente. L y l, lneas gua original y deformada; L y l, lneas parale-las a la lnea gua en la configuracin inicial y en la deformada.

a) Acortamiento de la capa seguido de deformacin lon-gitudinal tangencial (Fig. 11): En el ejemplo de la Fig.11a, las curvas - del arco interno indican un modelode distribucin de la direccin del eje mayor de la elipsede la deformacin convergente y aproximadamente ra-dial. Sin embargo, en el arco externo las curvas presen-tan, para valores relativamente altos de |Y |, una impor-tante discontinuidad, de modo que las direcciones de 1pasan de una distribucin casi concntrica a una en aba-nico convergente. Esta discontinuidad refleja el cambioen las direcciones de los ejes donde la relacin R = 1. Elbuzamiento de la capa donde se produce la discontinui-dad y el rea donde se produce alargamiento tangencialaumentan con el progreso del plegamiento. Este resulta-do es similar al obtenido experimentalmente por Gairola(1978, Fig. 9) mediante el plegamiento de una capa deplastilina embebida en masilla. Este tipo de distribucinde la deformacin puede verse en la Fig. 11c. Con altosvalores de RAC (relacin entre los ejes de la elipse de de-formacin asociada el acortamiento de la capa), mayo-res que los mostrados en la Fig. 11, la distribucin delas direcciones del eje largo de la elipse de la deforma-cin tiende a ser convergente y radial, tanto en el arcoexterno como en el interno; el valor concreto de RAC pa-ra el que esto ocurre depende del valor de h.Las curvas R- muestran diferentes modelos en los ar-cos interno y externo (Fig. 11b). En los arcos internos, Raumenta con la distancia original a la lnea neutra y des-de los flancos a la charnela. Construyendo curvas condistintos valores del acortamiento de la capa, puede


Figura 10. Curvas que muestran la variacin del ngulo la inclinacin del eje mayor de la elipse de la deformacin (a) y de la relacin R deaspecto de la elipse de la deformacin (b) en funcin del buzamiento de una capa plegada por flexural flow. El campo del diagrama R-con R 2 aparece tramado.

Figura 11. Caractersticas de la distribucin de la deformacin en unacapa plegada por acortamiento homogneo de la capa seguido de de-formacin longitudinal tangencial (DLT). Curvas - (a) y R- (b)para los arcos externos e internos de la capa plegada. (c) Distribucinde la deformacin dentro de la capa plegada.

comprobarse que el campo con R 2 aumenta al au-mentar la intensidad del acortamiento de la capa. En elarco externo, las curvas exhiben un mnimo suave, querepresenta la transicin del campo de estiramiento tan-gencial al campo de acortamiento tangencial. Cuando elvalor del mximo acortamiento es mayor que el consi-

derado en la Fig. 11b, las curvas son ligeramente cre-cientes en el arco interno, y slo aparece un campo conR 2 cuando la relacin RAC 2.b) Acortamiento de la capa seguido de flexural flow:La geometra y distribucin de la deformacin en la ca-pa plegada se muestran en la Fig. 12. Este caso ha sidoanalizado previamente por Ramsay y Huber (1987, p.470, Fig. 21.34). De acuerdo con este autor y con la Fig.13a, las curvas -, correspondientes a diferentes rela-ciones entre los ejes de la elipse de acortamiento de lacapa ( ), muestran un mnimo que tiende adesaparecer a medida que RAC aumenta. Por otro lado, eldiagrama R- para varios valores de RAC (Fig. 13b) pre-senta curvas crecientes; adems para un valor determi-nado de , R aumenta al aumentar RAC.Aplastamiento de pliegues: Tiene lugar en los estadiosfinales del plegamiento; su direccin de mximo acorta-miento es perpendicular a la superficie axial. Una senci-lla experiencia que ilustra este mecanismo se muestra enla Fig. 14. Igualmente que en el caso del acortamientode la capa pueden definirse dos modalidades:a) Deformacin longitudinal tangencial ms aplasta-miento (Fig. 15): Las curvas - (Fig. 16a) para dos va-lores de la intensidad del aplastamiento ( )muestran que en el arco externo la distribucin de ejesmayores de la elipse de deformacin se transforma conel aplastamiento en una distribucin divergente, que pa-sa a ser muy prxima a una de plano axial cuando elaplastamiento es grande. En el arco interno la distribu-cin es convergente, aunque para alta intensidad delaplastamiento, pasa a ser muy prxima a la de planoaxial. Las curvas R- (Fig. 16b) son crecientes para elarco externo y decrecientes para el interno. En el arco


Figura 13. Curvas - (a) y R- (b) para pliegues formados por acortamiento homogneo seguido de flexural flow (FF).

Figura 12. Forma de una capa y distribucin de la deformacin enella despus de un plegamiento, con lnea gua parablica, por acorta-miento homogneo seguido de flexural flow (FF).

interno, el campo con R 2 aumenta con el aumento delaplastamiento hasta que todo el arco se sita dentro dedicho campo. En el arco externo, la deformacin internaes mucho menor. En este caso, el arco completo quedadentro del campo con R 2 cuando la intensidad delaplastamiento es muy grande, penetrando progresiva-mente el arco en dicho campo desde el flanco hacia lacharnela y desde la lnea neutra hacia el lmite de la ca-pa, al revs de lo que ocurre en el arco interno.b) Flexural flow ms aplastamiento (Fig. 17): Este ca-so corresponde exactamente al modelo de pliegues para-lelos aplastados descrito por Ramsay (1962, 1967, pp.411-415). En la Fig. 18a se muestra un conjunto de cur-vas - que corresponden a diversos valores de RAP. Ca-da curva est caracterizada por la presencia de un mni-mo que se hace ms suave y aparece ms a la derecha amedida que aumenta el valor de RAP. En consecuencia, elpatrn de direcciones de los ejes mayores de la elipse dela deformacin es en abanico divergente para buzamien-tos bajos o medios de la capa y convergente para buza-mientos elevados; adems, a medida que RAP aumenta, elpatrn de ejes mayores se aproxima al de plano axial.Por otro lado, las curvas R- (Fig. 18b) son crecientes ypresentan los mayores incrementos de R en la parte debuzamientos ms elevados.Aunque la distincin entre acortamiento de la capa yaplastamiento de pliegues se hace evidente en los casosanteriores, en casos reales en los que la superposicin dela deformacin homognea es ms complicada y puede

tener lugar en estadios intermedios del desarrollo delplegamiento, la distincin entre acortamiento y aplasta-miento puede ser muy difcil de realizar y carecer porello de sentido. Asimismo, en los apartados anteriores,se ha asumido que la direccin de mximo acortamientoes perpendicular o longitudinal a la traza axial del plie-


Figura 14. Sencillo experimento realizado en una esponja sinttica que ilustra el mecanismo de aplastamiento (b) de pliegues previos paralelos(a). Debido a la naturaleza del material, que presenta una gran porosidad, el aplastamiento se ha producido en este caso mediante una importantereduccin de volumen.

Figura 15. Distribucin de la deformacin interna en un pliegue for-mado por deformacin longitudinal tangencial (DLT) ms aplasta-miento.


Figura 16. Curvas - (a) y R- (b) para los arcos externos e internos de una capa plegada por deformacin longitudinal tangencial (DLT) msaplastamiento. El campo del diagrama R- con R 2 aparece tramado.

Figura 17. Forma de la capa plegada y distribucin de la deformacinen tres flancos con lnea gua parablica y plegados por flexural flow(FF) y aplastamiento. En (a) y (b) se ha dibujado la forma y la orienta-cin de las elipses de deformacin, mientras que en (c) solamente seha dibujado, por problemas de espacio, la orientacin y la longitud delos ejes mayores de dichas elipses.

Figura 18. Curvas - (a) y R- (b) para pliegues formados por fle-xural flow y aplastados con diferentes intensidades. El campo deldiagrama R- con R 2 aparece tramado.

(a) (b)

gue. Pueden considerarse tambin casos con la direccinde mximo acortamiento oblicua a la traza axial; as, porejemplo, Hudleston (1973) ha considerado el caso de unaplastamiento oblicuo, el cual conduce al desarrollo depliegues asimtricos.Compactacin de la capa: En este caso, la deforma-cin homognea no se encuentra generalmente asocia-da con el plegamiento progresivo, siendo una respuestaa un proceso diferente, generalmente asociado a la dia-gnesis de la roca. La compactacin implica un adelga-zamiento de la capa previo al plegamiento. La super-posicin de deformacin longitudinal tangencial oflexural flow sobre la capa compactada da lugar apliegues con la misma forma de la capa que cuando es-tos dos mecanismos actan sin compactacin previa(Fig. 19a y b). No obstante, la compactacin influyenotablemente en el patrn de distribucin de la defor-macin interna final en la capa plegada (Fig. 19). As,para deformacin longitudinal tangencial superpuesta acompactacin, las curvas - son crecientes y, si lacompactacin es suficientemente grande, se alcanza

una distribucin de los ejes mayores de las elipses dedeformacin tangencial a los dos lmites de la capaplegada (Figs. 19a y c). En el caso de flexural flowsuperpuesto, la curva - es tambin creciente, pero elpatrn de los ejes mayores, aunque fuertemente diver-gente, no es tangencial, desvindose progresivamentede este patrn a medida que aumenta el buzamiento delflanco (Fig. 19b y d). En el caso de deformacin longi-tudinal tangencial superpuesta, la curva R- es cre-ciente para el arco interno (Fig. 19e) y decreciente parael arco externo (Fig. 19f), alcanzndose valores de Rnotablemente mayores en ste que en aqul. En el casode flexural flow superpuesto, la curva R- es cre-ciente (Fig. 19g), presentando una forma similar a ladel arco interno de la deformacin longitudinal tangen-cial, aunque se distingue de ella por corresponderle va-lores notablemente mayores de R para una misma in-tensidad de la compactacin previa.Achatamiento de pliegues: Consiste en una deformacinhomognea irrotacional posterior al plegamiento y conun acortamiento mximo en la direccin de la traza


Figura 19. Distribucin de la deformacin interna en pliegues formados por compactacin seguida por deformacin longitudinal tangencial (DLT)[(a), (c), (e) y (f)], y por compactacin seguida por flexural-flow (FF) [(b), (d) y (g)]. El campo del diagrama R- con R 2 aparece tramado.

axial. En este caso, la capa plegada muestra un adelga-zamiento en la zona de charnela con relacin a los flan-cos (Fig. 19a y b), tanto en el caso de deformacin lon-gitudinal tangencial como en el caso de flexural flow.No obstante, en el primer caso puede aparecer un engro-samiento local en la zona de charnela si la capa es sufi-cientemente gruesa (Fig. 20a). Las curvas - para plie-gues formados por deformacin longitudinal y achata-dos presentan un patrn de distribucin de ejes mayoresde la elipse en la capa plegada fuertemente convergentepara el arco interno (Fig. 20c) y fuertemente divergentepara el arco externo (Fig. 20d), si bien en este ltimo ca-so los ejes no se desvan mucho de la perpendicularidada la traza axial. En pliegues por flexural flow achata-dos, la curva - es fuertemente creciente (Fig. 20e),dominando un patrn divergente de ejes mayores. Parauna misma intensidad del achatamiento, las curvas R-(Fig. 20f, g y h) muestran en general un mayor nivel devalores de R en los pliegues por deformacin longitudi-nal achatados que en los pliegues por flexural flow

achatados; en aqullos los mayores valores de R se danen la zona de charnela del arco externo.Deformacin homognea rotacional: Aunque a vecespuede suponerse como una buena aproximacin que lamodificacin en la geometra de pliegues es el resultadode la superposicin de una deformacin homogneairrotacional sobre pliegues previos, en la mayora de loscasos la deformacin que se superpone es probablemen-te rotacional. En este caso, las direcciones principales dela deformacin en la configuracin deformada final nocoinciden con los de la configuracin inicial y la evolu-cin progresiva del plegamiento es ms complicada quela de los casos descritos hasta el momento. Este tipo dedeformacin es probablemente una de las principalesfuentes de asimetra de los pliegues. La especificacinde este tipo de deformacin, supuesta bidimensional, re-quiere conocer la orientacin de los ejes de referencia ylos cuatro componentes del correspondiente gradientede deformacin (los coeficientes de las ecuaciones detransformacin). El modo ms sencillo de deformacin


Figura 20. Distribucin de la deformacin interna en pliegues formados deformacin longitudinal tangencial (DLT) ms achatamiento [(a), (c),(d), (f) y (g)], y flexural-flow (FF) ms achatamiento [(b), (e) y (h)]. El campo del diagrama R- con R 2 aparece tramado.

homognea rotacional es la cizalla simple, que es un ti-po de deformacin que se ha supuesto muy importanteen muchos medios geolgicos, como, por ejemplo, enzonas de cizalla dctiles, por ser el que menos proble-mas de compatibilidad de deformacin conlleva (vase,por ejemplo, Ramsay y Huber, 1987, pp. 610-613). Eneste caso, la deformacin queda completamente definidapor dos parmetros: la direccin de cizalla y la deforma-cin por cizalla en dicha direccin. La deformacinpor cizalla simple homognea has sido considerada porHudleston (1977) para explicar los pliegues que a menu-do se desarrollan en los glaciares y por Ramsay et al.(1983) para explicar la geometra de algunos MantosHelvticos. Modelos algo ms complicados, implicandouna deformacin rotacional resultante de la superposi-cin de un cizalla pura sobre una cizalla simple, han si-do tambin aplicados en algunos casos (por ejemplo,Dietrich y Casey, 1989, en los Mantos Helvticos). Unejemplo de pliegue formado por deformacin longitudi-nal tangencial seguida por la superposicin de cizallasimple homognea se muestra en la Fig. 21.Deformacin por cizalla simple heterognea a travs delas capasLa idea de este mecanismo surge de una experienciamuy sencilla. Supongamos una pila de cartulinas y dibu-jemos sobre sus cantos largos, y perpendicularmente a

los planos de las cartulinas, el perfil de una capa plana.Introduzcamos a continuacin las cartulinas en un mol-de de madera o de hierro con dos paredes laterales pla-nas verticales y una base formada por una superficie ci-lndrica (Fig. 22), de forma que los planos de las cartuli-nas sean paralelos a las paredes del molde y sus cantoscortos tengan la direccin axial de la superficie cilndri-ca. Como consecuencia, el perfil de la capa dibujadapreviamente adquirir una forma plegada. Los desplaza-mientos implicados en este plegamiento se producennicamente en la direccin vertical, de forma que unpunto, cuyas coordenadas originales son (X, Y), se trans-forma con la deformacin en un punto, cuyas coordena-das (x, y) vienen dadas por:

x = X

y = f(X) + Y (5)

donde f(X) es una funcin continua dentro del intervaloen el que se define el plegamiento, que determina la for-ma de la superficies plegadas. La deformacin implica-da en el plegamiento es una cizalla simple heterogneaparalela al eje Y con una deformacin por cizalla va-riable. En la Fig. 23 se muestra un ejemplo de plega-miento por este mecanismo. Los pliegues as formadospresentan las siguientes propiedades:


Figura 21. Distribucin de la deformacin en un pliegue formado pordeformacin longitudinal tangencial (a) seguida de una deformacinpor cizalla simple (b) con cizalla angular de 60 actuando en la di-reccin indicada.

Figura 22. Sencillo experimento realizado introduciendo un conjuntode tarjetas en una carcasa de madera con fondo cilndrico, para simu-lar un pliegue formado mediante deformacin por cizalla simple hete-rognea a travs de las capas.

El desplazamiento para puntos con el mismo valor deX es constante, lo cual significa que las curvas que defi-nen los lmites de la capa plegada son iguales, de formaque una puede obtenerse por una traslacin de la otra enla direccin Y. El espesor T de la capa plegada medidoparalelamente a la superficie axial es constante a travsde toda la capa plegada e igual al espesor original de lacapa. Esto es as porque la direccin Y es la de cizalla ypor tanto es una lnea sin deformacin longitudinal fi-nal. Un pliegue con estas caractersticas se denominapliegue similar. Los segmentos paralelos al eje Y mantienen invariablela distancia entre ellos, lo cual significa que no existeacortamiento final en la direccin del eje x, es decir, enla direccin perpendicular al plano axial.Este mecanismo, aunque posible geomtricamente, hasido fuertemente objetado desde el punto de vista mec-nico. En el pasado se pens que los desplazamientos enla direccin de cizalla se producan a lo largo del clivajede plano axial, lo que haca posible este mecanismo. Sinembargo, despus de numerosas medidas de deforma-cin interna en rocas con clivaje pizarroso (vase, porejemplo, Wood, 1974), se admite que los planos de cli-vaje son aproximadamente perpendiculares a la direc-cin de mximo acortamiento final. Esto implica que lospliegues con clivaje de plano axial presentan una distri-bucin de orientaciones de los ejes de la elipse de la de-formacin que es incompatible con este mecanismo de

cizalla simple heterognea a travs de las capas. En estemismo sentido, la presencia de un clivaje de plano axiales incompatible con una ausencia de acortamiento en ladireccin perpendicular al plano axial. Ramsay (1967,pp. 422-423) superpuso un aplastamiento a la deforma-cin por cizalla heterognea a travs de las capas; noobstante, la distribucin de la deformacin interna obte-nida de este modo no est tampoco de acuerdo con laque cabe esperar a partir de un clivaje de plano axialasociado al plegamiento.

El cambio de sentido de la deformacin por cizalla, im-plicado por la deformacin por cizalla simple heterog-nea a travs de las capas, al pasar de un flanco a otro delpliegue es tambin difcil de explicar mecnicamente.Para resolver este problema, Ragan (1969) supuso unadireccin de cizalla originalmente oblicua a los lmitesde la capa; no obstante, la distribucin de la deforma-cin interna a travs de la capa plegada tampoco esacorde con los modelos de clivaje comnmente frecuen-tes en los pliegues naturales. De acuerdo con lo expues-to, puede afirmarse que la deformacin por cizalla sim-ple heterognea a travs de las capas es un mecanismode plegamiento geomtricamente posible, pero mecni-camente improbable. Deformacin por cizalla simplecon una cierta heterogeneidad acta probablemente enmuchos casos a travs de las capas durante el desarrollodel plegamiento, pero es improbable que pueda explicarpor s sola la geometra del plegamiento, requiriendo la


Figura 23. Pliegue formado mediante deformacin por cizalla simple heterognea a travs de las capas. La direccin de cizalla es perpendicular alos lmites de la capa inicial.

existencia de pliegues previos, aunque estos puedan pre-sentar una amplitud pequea; as lo han supuesto, porejemplo, Ramsay et al. (1983) para explicar la geome-tra del manto de Morcles (Suiza).

Mecanismos de plegamiento y geometra de los plie-guesEl estudio terico y experimental de los mecanismos deplegamiento permite conocer las caractersticas estruc-turales de los pliegues formados por cada mecanismo yaplicar este conocimiento, mediante anlisis geomtricocomparativo, al estudio cinemtico de pliegues natura-les. Para llevar a cabo este anlisis, interesa consideraraquellos rasgos, relacionados con los inputs y losoutputs de los modelos, que pueden ser obtenidos me-diante medidas en pliegues naturales. En dos dimensio-nes, estos rasgos pueden ser divididos en tres categoras,segn estn referidos al perfil de las superficies plega-das aisladas, a la geometra del perfil de las capas plega-das, o a la posicin de los pliegues.

Anlisis del perfil de superficies plegadas aisladasPara caracterizar y clasificar superficies plegadas sehan utilizado diversos parmetros. A modo de ejemplo,uno muy usado es el ngulo entre flancos (Fleuty,1964). Sin embargo, desde el punto de vista del anli-sis cinemtico del plegamiento interesa describir las

superficies plegadas, y en particular las lneas gua,mediante una funcin matemtica que ajuste adecuada-mente en cada caso el perfil de la superficie plegada.Esto se debe a que las ecuaciones de transformacin depuntos implicadas en los mecanismos de plegamientorequieren el uso de una funcin para describir la lneagua. Las funciones usadas deben reunir algunas condi-ciones, ya que el perfil de una superficie plegada debepoder ser usado como un objeto matemtico para quesu anlisis cinemtico sea posible. Dado que un par-metro bsico en la deformacin longitudinal tangenciales la curvatura () de la lnea gua [ecuacin (3)], esnecesario que las funciones usadas sean al menos dosveces derivables. Es conveniente tambin que las fun-ciones usadas para ajustar pliegues con un solo puntode charnela presenten un aumento de curvatura conti-nuo hasta alcanzar un mximo en el punto de charnela.Finalmente, dado que el anlisis cinemtico tericoimplica el cambio, durante el plegamiento, de los par-metros que definen la funcin que define la lnea gua,es conveniente que las funciones a usar estn definidaspor un nmero pequeo de parmetros, ya que de otromodo el anlisis puede ser inviable.

Para el anlisis de perfiles de superficies plegadas es ne-cesario definir un sistema de referencia. El sistema ele-gido est constituido por la tangente al perfil en el puntode charnela (eje x) y su normal por dicho punto (eje y)(Fig. 24a). En el caso de pliegues de doble charnela, el


Figura 24. Sistema de referencia y elementos geomtricos utilizados para el anlisis geomtrico de las capas plegadas. (a) caso general: O, puntode charnela; E, punto de enlace; A, rea encerrada bajo el perfil del flanco. (b) pliegue de doble charnela. (c) pliegue con un arco circular. (d) plie-gue chevron. (e) pliegues festoneado. (f) pliegue con un segmento recto en el flanco.

origen de coordenadas es el punto de la superficie ple-gada que equidista de ambas charnelas (punto de cierrede Twiss, 1988) (Fig. 24b), mientras que en el caso deun pliegue con un arco de curvatura constante, el origende coordenadas se sita en el punto medio de dicho arco(Fig. 24c). En pliegues chevron y festoneados, el eje yes la bisectriz del ngulo entre flancos y el eje x es per-pendicular al eje y por el vrtice de la superficie plegada(Fig. 24d y e).La unidad considerada para el anlisis de las superfi-cies plegadas es generalmente el perfil de un flanco delpliegue. La definicin de flanco dada al comienzo deeste trabajo es problemtica en los casos en los que elpunto de inflexin no est bien definido, tales como enlos pliegues con un segmento recto en el flanco, plie-gues chevron y pliegues festoneados. En los dos pri-meros casos, el punto de enlace entre pliegues adya-centes es definido por el punto medio del segmentorecto (Fig. 24d y f), mientras que en el tercer caso, elarco entre el vrtice y la charnela adyacente puede serconsiderado como un flanco para los dos pliegues ad-yacentes. En este caso, un mismo flanco puede ser ana-lizado con dos sistemas de referencia diferentes, unopara cada pliegue (Fig. 24e).Dado que es difcil encontrar una familia nica de fun-ciones que permita aproximar adecuadamente todas lasmorfologas de pliegues comunes, es til dividir lospliegues en dos categoras: pliegues aloclinales (nguloentre flancos > 0) y pliegues isoclinales (ngulo entreflancos = 0). Los pliegues con ngulo entre flancos < 0son raros y no sern considerados aqu.Se han utilizado varias familias diferentes de funcionespara describir los pliegues. Diversos autores han utiliza-do series de Fourier para describir flancos aislados depliegues (Chapple, 1968; Stabler, 1968; Hudleston1973; Ramsay y Huber, 1987, pp.314-316; Stowe,1988). No obstante, cuando se usan pocos coeficientes,estas series dan una aproximacin muy grosera a losperfiles de superficies plegadas, y cuando se usan mu-chos, aunque permiten una buena aproximacin global,no ajustan bien importantes propiedades locales del per-fil, tales como la curvatura y la pendiente. Adems, losfrecuentes puntos de inflexin y valores extremos quesuele presentar este tipo de curvas dentro del intervalode ajuste hacen inviable el anlisis cinemtico.Bastida et al. (1999, 2003) y Bobillo-Ares et al. (2004)han utilizado funciones de la forma y = y0 f(x)n (n > 0).Entre ellas, la ms sencilla es aquella en la que f(x) =x/x0, es decir,

(6)

en el intervalo [0, x0]. El significado de x0 e y0 se mues-tra en la Fig. 24a; x0 ha sido introducida en (6) para eli-minar el efecto del tamao en la clasificacin. Medianteesta familia de funciones, un flanco de un pliegue puededescribirse mediante dos parmetros: la relacin de as-pecto (o amplitud normalizada, h = y0/x0), y el exponente(n) de la funcin, que describe la forma del flanco. LaFig. 25 ilustra algunas morfologas de pliegues obteni-das para diversos valores de n y h. El valor de n caracte-riza las principales formas de pliegues: n < 1, plieguesfestoneados; n = 1, pliegues chevron; n = 2/(-2) 1,75,ajuste de pliegues sinusoidales; n = 2, pliegues parabli-cos; n > 2, pliegues con doble charnela (para valores den prximos a 2, esta morfologa es visualmente imper-ceptible); n , pliegues caja. En consecuencia, estafamilia de funciones ofrece una buena descripcin delos pliegues aloclinales, de tal modo que cada flancopuede aproximarse mediante una funcin explcita. La familia de funciones (6) facilita un buen mtodo grfi-co para clasificacin de perfiles de superficies plegadassobre un diagrama en el que se represente la relacin deaspecto (h) frente al exponente (n). Sin embargo, esta fa-milia presenta algunos inconvenientes matemticos cuan-do se aplica al anlisis de los mecanismos de plegamien-tos. As, las funciones (6) slo tienen curvatura finita en x= 0 cuando n = 2 (pliegues parablicos); cuando n < 2 lacurvatura es infinita en ese punto, y cuando n > 2 la cur-vatura es all nula. Esta caracterstica hace que dichasfunciones no sirvan para el anlisis de la distribucin dela deformacin interna en perfiles de pliegues. Otro tipo de funciones que han sido usadas para aproxi-mar perfiles de flancos son las curvas cnicas (Aller et al.2004). Estas curvas resultan de la interseccin de un conopor un plano en diferentes posiciones y tienen la propie-dad comn de que la distancia desde un punto cualquiera(P) de la curva a un punto fijo (foco, O), dividida por ladistancia desde P a una lnea recta determinada (directriz)es una cantidad constante, denominada excentricidad(e). Si 0 e < 1, la cnica es una elipse; si e = 1, es unaparbola, y si e > 1, es una hiprbola. La gama de formasdisponibles para representar pliegues puede aumentarsemediante el uso de la relacin de aspecto h, que permiterepresentar un pliegue mediante un trozo de la cnicadentro de un intervalo determinado [0, x0]. La Fig. 26ilustra como el parmetro h hace posible que una sola c-nica pueda ser usada para caracterizar diversas morfolog-as de pliegues. El parmetro h puede tomar cualquier va-lor positivo en el caso de la parbola, pero en el caso de laelipse y de la hiprbola, h tiene un valor positivo condi-cionado por las siguientes expresiones:

para elipses, (7)


donde la igualdad corresponde a un cuarto de elipse, y

para hiperbolas. (8)

En estas ltimas, el lmite superior de h es alcanzadocuando x0 tiende a infinito:

(9)

y corresponde al pliegue chevron.Las cnicas no tienen los inconvenientes de la familiade funciones (6), ya que permiten un buen ajuste paralas formas ms comunes de pliegues y tienen curvaturafinita en todos sus puntos, con un valor extremo de staen su vrtice y al menos un eje de simetra. Una impor-tante ventaja adicional es que las cnicas se transformanmediante una deformacin homognea en cnicas delmismo tipo, es decir, las elipses en elipses, las parbolasen parbolas, y las hiprbolas en hiprbolas (Brannan etal., 1999, p. 85). Esta es una propiedad caracterstica delas cnicas que hace posible analizar casos en los que ladeformacin homognea superpuesta a pliegues modifi-

ca el perfil de stos para dar lugar al desarrollo de plie-gues asimtricos. En estos casos, si las curvas que des-criben el perfil del pliegue antes y despus de la defor-macin homognea pertenecen a distintas familias, elcambio de forma es muy difcil de describir, lo que dalugar a un problema grave en el anlisis de la cinemticadel plegamiento. Las cnicas son las curvas ms senci-llas que no presentan dicho problema, lo cual representauna razn poderosa para que sean idneas en dicho an-lisis cinemtico. Una vez escogida la familia de funciones para describirla geometra del perfil del pliegue, es necesario utilizarun mtodo de ajuste para aproximar cada flanco de unpliegue natural a una ecuacin de dicha familia. Paraello es conveniente utilizar fotografas del perfil delpliegue, a partir de las cuales puede dibujarse el perfil yel sistema de coordenadas. A continuacin se determinala relacin de aspecto h = y0/x0, y dado que sta es un pa-rmetro caracterstico de los pliegues, deberemos buscaruna funcin para la curva de ajuste que tenga el mismovalor de h que el perfil del pliegue natural. El mtodollamado del punto medio, descrito por Aller et al.


Figura 25.Morfologa de perfiles de pliegues correspondientes a funciones dadas por la expresin (6) con diferentes valores de la relacin de h ydel exponente n. Para una mejor visualizacin de las formas, el origen de coordenadas se ha situado en el ncleo de los pliegues.

(2004), consiste en encontrar una cnica que pase por elpunto del perfil del pliegue natural con abscisa x = x0/2.Este mtodo requiere diversos clculos para obtener laexcentricidad e de la cnica, que pueden encontrarse enAller et al. (2004, apndice A). Si, aparte del anlisis cinmatico de los pliegues ajusta-dos por cnicas, se desean clasificar de una manera gr-fica los flancos ajustados, es fcil construir para ello undiagrama de h frente a e en el que cada flanco quede re-presentado por un punto. Sin embargo, este diagramapresenta algunas desventajas. As, el campo disponiblepara representar flancos es pequeo, y los puntos que re-presentan los pliegues chevron y elpticos definen luga-res geomtricos representados por curvas. En conse-cuencia, la trayectoria correspondiente al desarrollo deun pliegue puede ser difcil de interpretar; por ejemplo,el aplastamiento del perfil de una superficie plegada se-guira una curva en el diagrama. Para evitar estos incon-venientes, es til usar un rea normalizada, definida por:

A = 2A/(x0y0), (10)donde A es el rea encerrada en la parte cncava de lacnica dentro del intervalo del flanco (Fig. 27a). El pa-rmetro A depende de e y h, viniendo dado por:

, (11)

donde . El resultado del clculo de laintegral de la expresin (11) puede encontrarse en Alleret al. (2004). Una vez conocido A puede construirse un diagrama deh frente a A en el que las formas tpicas de pliegues(chevron, sinusoidal, parablica y elptica) estn repre-sentadas por rectas paralelas al eje de ordenadas (Fig.27). Para incluir en este diagrama los pliegues isocli-nales, no representados adecuadamente por cnicas,stos se han ajustado mediante funciones compuestaspor un segmento de longitud c, paralelo al eje y, y uncuarto de elipse con vrtice en el origen de coordena-das. En este caso, la funcin est definida por la rela-cin de aspecto h y el parmetro de forma c/y0, queaparece tambin representado en el diagrama de la Fig.27. Estas formas para ajustar pliegues isoclinales esta-ran representadas en el diagrama por puntos situadosen el campo que aparece a la derecha de la recta verti-cal correspondiente a los pliegues elpticos. La manerade encontrar c mediante el mtodo del punto medio pa-ra ajuste de pliegues naturales isoclinales puede encon-trarse en Aller et al. (2004).


Figura 26. Conjuntos de trozos de cnicas con distintos valores de la excentricidad e (un valor para cada conjunto de curvas) y de la relacin deaspecto h (nmeros sobre las curvas).

A

El diagrama h vs A permite introducir en l diferentes fa-milias de funciones que pueden ser relacionadas entre smediante el rea normalizada, puesto que este parmetropuede tambin determinarse para la familia de funcionesdada por la expresin (6) o para cualquier otra familiausada para describir los perfiles de las superficies plega-das. As, por ejemplo, la integracin de la funcin (6) per-mite obtener que A =2n/(1 + n) para dichas funciones, locual hace que el diagrama de la Fig. 27 pueda ser utiliza-do para obtener un valor de n para ajustar los plieguesmediante las funciones (6), ya que n = A/(2 A). En con-secuencia, A permite obtener todos los tipos de funcionesparticulares que pueden ser usados para describir el perfilde un flanco de una superficie plegada, o inversamente,permite clasificar en un mismo diagrama pliegues ajusta-dos mediante diferentes familias de funciones. Los plie-gues festoneados no pueden ser ajustados por cnicas, pe-ro pueden ser introducidos en el diagrama h vs A ajustn-dolos mediante la familia (6) con un n < 1. Los tipos bsi-cos de pliegues estarn definidos por los siguientes valo-res de A: A < 1, pliegues festoneados; A = 1, pliegueschevron; A = 4/ = 1,2732, pliegues sinusoidales; A = 4/3, pliegues parablicos; A = /2 = 1,5708, plie-gues elpticos; A = 2, pliegues caja.Si elegimos las cnicas para ajustar pliegues aloclinalesnaturales, la clasificacin del perfil de un flanco en el

diagrama h vs A (Fig. 27) puede hacerse siguiendo lossiguientes pasos:1) calcar el perfil del pliegue en un transparente a partirde una fotografa;2) localizar los puntos de charnela y de enlace en el per-fil y dibujar el sistema de coordenadas;3) determinar x0 e y0 sobre el dibujo, y obtener h = y0/x0;4) usar el mtodo del punto medio para encontrar e, mi-diendo para ello en el perfil dibujado el valor yM para x =x0/2 (vase Aller et al., 2004 para detalles del clculo);5) obtener A a partir de e y h mediante la expresin (11)(vase Aller et al., 2004 para detalles del clculo); y6) proyectar el rea normalizada A y la relacin de as-pecto h sobre el diagrama de la Fig. 27 para obtener elpunto representativo del perfil del flanco de la superfi-cie plegada.

Anlisis conjunto de los dos flancos de un pliegue: si-metra de las superficies plegadas: Cuando se dibu-jan conjuntamente los dos flancos de un pliegue, seobserva habitualmente que el perfil es asimtrico res-pecto al eje y. Esta propiedad de los pliegues es unresultado de los mecanismos que los produjeron y de-be ser tenida en cuenta en el estudio cinemtico. Paraevaluar esta asimetra pueden usarse los dos parme-tros siguientes:


Figura 27. Diagrama de la relacin de aspecto (h) frente al rea normalizada (A) mostrando la localizacin de las principales formas de pliegues.

Asimetra en forma: Sa = AL/ AC. (12)Asimetra en amplitud: Aa = y0L/ y0c. (13)donde AL y AC son las reas normalizadas de los flancoslargo y corto respectivamente, e y0L e y0C son los parme-tros y0 de los flancos largo y corto respectivamente. Laproyeccin de estos parmetros en un diagrama de Safrente a Aa para un conjunto determinado de pliegues,permite visualizar la variacin en asimetra de stos. El desarrollo de pliegues asimtricos formados por lasuperposicin de una deformacin homognea oblicua orotacional sobre pliegues previos puede implicar unamigracin del punto de charnela. Esto hace difcil el es-tudio cinemtico de los dos flancos por separado, ya queen el punto de charnela, donde ambos flancos enlazan,aparecer una discontinuidad en curvatura que puedehacer inviable el anlisis. Por esta razn, en los plieguesasimtricos es conveniente buscar una funcin nicaque ajuste los dos flancos. Las curvas cnicas son nue-vamente las ms adecuadas para el ajuste, el cual puedeser llevado a cabo en estos casos mediante el mtodo demnimos cuadrados. Para llevar a cabo el ajuste, se di-bujan los dos flancos del perfil de la superficie plegada;luego se localiza el punto de charnela y se dibuja el sis-tema de coordenadas (Fig. 24), y despus se elige unconjunto de puntos del perfil y se determinan sus res-pectivas coordenadas. El mtodo para obtener la cnicaque mejor se ajusta a los puntos consiste en elegir losvalores de e y h que hagan que el error cuadrtico aso-ciado al ajuste sea mnimo.

Anlisis geomtrico de las capas plegadas: compara-cin de resultados para los diferentes mecanismosSi se compara la geometra de pliegues obtenidos pordistintos mecanismos, resulta evidente que la variacinde espesor de la capa plegada es diferente en muchoscasos. As, por ejemplo, en los pliegues formados porflexural flow el espesor se mantiene constante (Fig.3c), en los formados por flexural flow ms aplasta-miento la capa plegada aparece engrosada en la charnelarespecto a los flancos (Fig. 17), y en los formados porflexural flow ms achatamiento sucede lo contrario(Fig. 20b). En consecuencia, parece razonable suponerque el anlisis de la variacin del espesor de la capa ple-gada a lo largo del flanco puede ser un criterio relevantepara discriminar mecanismos de plegamiento. En estaidea se basa la clasificacin clsica de Ramsay (1962,1967), quien defini el espesor ortogonal de la capa (t)y el espesor paralelo al plano axial (T) en la forma ilus-trada en la Fig. 28a. Para medir ambos espesores se to-ma como unidad de medida el espesor en la zona decharnela (t0 = T0), es decir, t = t/t0 y T = T/T0. Parallevar a cabo la clasificacin se proyecta uno de los es-pesores (habitualmente se usa el espesor ortogonal) enfuncin del buzamiento (Fig. 28b), de manera que cadaflanco es representado por una curva en el diagrama. Deacuerdo con la posicin y la pendiente de dicha curva,Ramsay (1967) distingui tres clases de pliegues: clase1, clase 2 (pliegues similares) y clase 3, con tres subcla-ses para los pliegues de clase 1: 1A, 1B (pliegues para-lelos) y 1C. Como puede verse en la Fig. 28b, los plie-


Figura 28. (a) Definicin de espesor ortogonal t y de espesor paralelo a la superficie axial T de una capa plegada (segn Ramsay, 1967, p. 361).(b) Clases de pliegues definidas en el diagrama t- (segn Ramsay y Huber, 1987, p. 349).

gues paralelos y similares corresponden a geometrasque estn representadas en el diagrama por curvas espe-cficas, mientras que dentro de los pliegues de las clases1A, 1C y 3 se incluyen una amplia gama de formas queestn representadas en los campos separados por las ci-tadas lneas.Una ligera modificacin al diagrama de Ramsay (1967),basada en la propuesta por Hudleston (1973), consisteen proyectar t2 en funcin de sen2, con lo cual la cur-va de los pliegues similares del diagrama t- pasa aser una recta. Este diagrama tiene algunas ventajas so-bre el diagrama de Ramsay, ya que, como se ver msadelante, hace ms sencillo el uso de la clasificacin yfacilita la interpretacin de los resultados.El uso de la clasificacin de Ramsay (1967), o de la mo-dificacin indicada en el prrafo anterior, es laboriosapero aporta una excelente herramienta para el anlisis dela geometra de pliegues individuales, y es indispensablepara hacer estudios de mecanismos cinemticos en plie-gues especficos, puesto que aporta una descripcin fun-cional precisa de la geometra de la capa plegada. Sinembargo, cuando dicha clasificacin se aplica a un con-junto numeroso de pliegues, se obtiene un enjambre decurvas que hace difcil obtener conclusiones basadas enun anlisis realmente cuantitativo. En tales casos, estaclasificacin no parece adecuada y se hace convenienteuna clasificacin en la que cada flanco est representadopor un punto en vez de por una curva. Para lograr esto,

consideremos la curva del flanco de un pliegue en eldiagrama de t2 frente a sen2, y dos puntos de ella(Fig. 29): A (de abscisa (sen2m)/2; m es el buzamientomximo de la capa plegada) y B (de abscisa sen2m). Di-bujemos a continuacin los segmentos OA y AB, y defi-namos los parmetros s1 y s2 por (Fig. 29):

(14)

(15)

donde 1 y 2 pueden tomar valores entre 0 y 180. Unsencillo grfico de s1 frente a s2 (Fig. 30) permite reali-zar una clasificacin de las capas plegadas en las quecada flanco est representado por un punto. La rectadel diagrama sen2 vs t2 que representa el pliegue pa-ralelo estar representada por el origen del diagrama s1vs s2, y la curva que representa el pliegue similar estarrepresentada en el diagrama s1 vs s2 por el punto 2, concoordenadas (1, 1). El diagrama s1 vs s2 (Fig. 30) con-tiene varios campos y lneas sobre los que se proyectanpuntos que representan pliegues de una clase o combi-nacin de clases determinada. Los pliegues de las cla-ses 1A, 1C y 3 se sitan sobre tres de estos campos.Los otros campos y todas las lneas corresponden apliegues compuestos de dos clases de la clasificacinde Ramsay, una clase definida por el parmetro s1 yotra por el parmetro s2. La recta s1 = s2 es el lugar geo-


Figura 29. Diagrama de t2 frente a sen2 y definicin de los ngulos 1 y 2 a partir de la curva representativa de un pliegue.

Figura 30. Campos y lneas definidas sobre el diagrama s1-s2. y suscorrespondientes clases de pliegues.

mtrico de los puntos cuyas grficas en el diagrama t2vs sen2 son lneas rectas.La Fig. 31 muestra curvas t2 vs sen2 para diferentescampos y lneas del diagrama s1 vs s2. En el diagramat2 vs sen2, la clase a la que pertenece un pliegue estdeterminada por la pendiente de la curva y no estricta-mente por el campo en el que la curva est situada. Eneste sentido, el diagrama s1 vs s2 representa mejor a me-nudo la clase de pliegue que la curva t2 vs sen2, o quela curva de Ramsay t vs , puesto que s1 y s2 definen lapendiente media de las partes correspondientes de lacurva. Adems el mtodo permite una subdivisin natu-ral de las clases de Ramsay en los tipos compuestosmostrados en las Figs. 30 y 31. La representacin del flanco de un pliegue en el diagra-ma s1 vs s2 requiere la medida de tres espesores ortogo-nales (t0, t1 y t2) en cada flanco, a partir de los cualespueden obtenerse s1 y s2 mediante las expresiones (14) y(15). El ngulo de buzamiento 1, correspondiente a laabscisa (sen2m)/2, para el cual debe medirse t1 vienedado por:

(16)

El uso de este diagrama implica una prdida de informa-cin del valor de m de los flancos. Este problema puedeser mitigado usando diferentes smbolos para diferentes

intervalos de m. En la Fig. 32 se muestra la representa-cin de pliegues formados por diversos mecanismos deplegamiento en el diagrama s1 vs s2. La observacin deesta figura nos permite concluir lo siguiente: Los pliegues formados por flexural flow se sitanen el origen de coordenadas (pliegues de clase 1B oparalelos). El acortamiento o la compactacin previosal plegamiento por este mecanismo alteran el espesor dela capa que se va a plegar pero no la forma final de lacapa plegada, que sigue siendo de la clase 1B. Los pliegues formados mediante deformacin por ci-zalla simple heterognea a travs de las capas se proyec-tan en el punto (1, 1) (pliegues similares). Los pliegues formados por deformacin longitudinaltangencial se sitan en el campo de la clase 1C, aunquemuy cerca de la lnea que representa los pliegues 1C-1B(pliegues de clase 1C para buzamientos bajos y de clase1B para buzamientos altos). Su situacin en el diagramadepende del espesor de la capa plegada. En este sentido,la existencia de acortamiento o compactacin previos alplegamiento por este mecanismo alteran nicamente elespesor de la capa que se va a plegar. A medida que au-menta dicho espesor, aumenta la distancia del punto re-presentativo del flanco al punto que representa el plie-gue paralelo. En conjunto, los puntos que representanestos pliegues describen una trayectoria curva suave-mente creciente. Los pliegues formados por flexural flow ms aplas-tamiento se sitan en el campo 1C sobre la recta s1 = s2.Los puntos representativos se acercan al punto (1, 1) delpliegue similar a medida que aumenta la relacin de as-pecto de la elipse de deformacin asociada al aplasta-miento. Los pliegues formados por deformacin longitudinaltangencial ms aplastamiento se sitan en el campo 1C,alejndose de la recta s1 = s2 a medida que aumenta elespesor de la capa plegada. Los pliegues formados por flexural flow ms acha-tamiento se sitan en el campo 1A sobre la recta s1 = s2,alejndose del punto (0, 0) del pliegue paralelo a medidaque aumenta la relacin de aspecto de la elipse de defor-macin asociada al achatamiento. Los anteriores resultados muestran que ninguno de losmecanismos descritos da lugar a pliegues de clase 3. Sinembargo, la experiencia geolgica indica que estos plie-gues son frecuentes en capas incompetentes cuando es-tn intercaladas entre capas competentes plegadas de cla-se 1. En estos casos, la geometra y la distribucin de de-formacin interna en las capas incompetentes estn con-dicionadas por las de las capas competentes. Uno de losmecanismos implicados en la formacin de pliegues declase 3 es la deformacin longitudinal tangencial inversa


Figura 31. Curvas t2-sen2 representativas de los pliegues que co-rresponden a diversos campos y lneas del diagrama s1-s2.

anteriormente citada. Un mecanismo comparable sera elflexural flow inverso, que puede definirse como el me-canismo que acta en una capa incompetente cuando lascapas competentes adyacentes se pliegan por flexuralflow. Sin embargo las ecuaciones de transformacin pa-ra estos mecanismos no han sido an desarrolladas.

Posicin de los plieguesEl conocimiento de algunos aspectos relativos a la posi-cin de un pliegue es necesario para abordar su anlisiscinemtico, ya que, por ejemplo, los mecanismos impli-cados en pliegues con distinto buzamiento de su planoaxial son diferentes. Los aspectos relevantes de la posi-cin de los pliegues desde un punto de vista cinemticoquedan perfectamente especificados si se conocen lasorientaciones de la superficie axial y de la charnela delpliegue, que suelen ser descritas utilizando diagramas deproyeccin estereogrfica. No obstante, en la mayorade los casos basta con considerar el buzamiento de lasuperficie axial y la inmersin de la charnela (Fleuty,1964). En el caso de un anlisis cinemtico bidimensio-

nal, es suficiente conocer la inclinacin de la traza axialen el plano de perfil del pliegue, considerando este pla-no como vertical.

Distribucin del clivaje en plieguesUn rasgo relevante para discriminar mecanismos de ple-gamiento es la distribucin de los ejes mayores de laelipse de la deformacin a travs del perfil de la capaplegada, y ha sido descrito mediante las curvas -, queson caractersticas de cada mecanismo de plegamiento.Cuando los pliegues naturales presentan un clivaje aso-ciado, su distribucin a travs de las capas plegadas esun rasgo esencial para poder conocer los mecanismosque dieron lugar al pliegue. Esto es as si se acepta que elclivaje pizarroso, o en general las foliaciones tectnicasdesarrolladas directamente sobre una fbrica sedimenta-ria, definen planos que coinciden aproximadamente conel plano XY del elipsoide de deformacin finita (X > Y >Z). Por tanto, el conocimiento del buzamiento del clivajeen funcin del buzamiento de la capa, medidos sobre elperfil del pliegue (tomando como buzamiento nulo el de


Figura 32. Representacin en un diagrama s1-s2 de flancos de pliegues modelizados tericamente mediante la aplicacin de diversos mecanismosde plegamiento. Por problemas de espacio, los campos de la proyeccin correspondientes a los campos de las clases 1C (a) y 1A (b) se muestranseparadamente.

capa en el punto de charnela), permite construir curvas- a partir de pliegues naturales y analizar los mecanis-mos de plegamiento de los pliegues implicados mediantecomparacin de tales curvas con las obtenidas a partir demodelos tericos de perfiles de pliegues construidos me-diante la aplicacin de las ecuaciones de transformacinde los distintos mecanismos.

Pliegues originados por una combinacin de meca-nismos de plegamientoLos mecanismos bsicos de plegamiento descritos sonsin duda simplificaciones razonables de los que real-mente operan en la naturaleza. Probablemente, los plie-gues reales pueden ser explicados como el resultado decombinaciones complejas de diversos mecanismos bsi-cos. Una modelizacin terica bidimensional de combi-nacin de mecanismos puede llevarse a cabo por adicinde sucesivos pasos de plegamiento a partir de una confi-guracin inicial del perfil de la capa. Para llevar a cabodicha modelizacin se ha elaborado el programa Fold-Modeler que permite desarrollar pliegues simtricos yque ha sido desarrollado en el entorno deMATHEMATICATM (Bobillo-Ares et al., 2004). En dichoprograma, pueden combinarse deformacin longitudinaltangencial, flexural flow y diversas modalidades dedeformacin homognea (compactacin, acortamientode la capa, y aplastamiento y achatamiento de pliegues).El primer paso en la modelizacin consiste en definir laconfiguracin inicial del perfil de la capa que se va aplegar para transformarse en el flanco de un pliegue. Pa-ra ello, el perfil se divide en una red de cuadrados o rec-tngulos que son lo suficientemente pequeos como pa-ra poder asumir que su deformacin va a ser prctica-mente homognea dentro de ellos. Los nodos de la reddefinen los puntos que se transformarn por los diferen-tes mecanismos de plegamiento, y que permitirn anali-zar la deformacin de la capa plegada. La configuracininicial del perfil de la capa se define por los parmetrosde la lnea gua (x0, e y h), el espesor de la capa por en-cima y por debajo de la lnea gua, el nmero de cuadri-lteros de cada fila y el nmero de filas por encima ypor debajo de la lnea gua.Una vez definida la capa con su lnea gua, sta se de-forma aplicando pasos de plegamiento. Cada paso co-rresponde a un mecanismo especfico e implica la apli-cacin de sus ecuaciones de transformacin a los nodosde la configuracin de partida del paso, con el fin de ob-tener las correspondientes imgenes en la nueva confi-guracin. Por tanto, para definir un paso de plegamientoes necesario especificar el mecanismo de plegamiento aaplicar y los cambios que dicho paso producir en losparmetros de la lnea gua (variacin en la forma y la

relacin de aspecto). Como resultado de la superposi-cin de un nmero finito de pasos, podemos obtenerpliegues tericos originados por una combinacin de va-rios mecanismos de plegamiento.Para organizar la informacin, los pasos de plegamientose agrupan en bloques, de forma que cada bloque estconstituido por una secuencia de pasos de plegamiento yun nmero natural que indica las veces que la secuenciadebe ser ejecutada. Un programa completo para formarpliegues tericos est definido por una secuencia de blo-ques que se ejecutarn en el orden indicado. Medianteeste mtodo se puede modelizar la formacin de plie-gues por mecanismos que se aplican sucesivamenteunos detrs de otros, o por superposicin simultnea devarios mecanismos; esta ltima puede simularse reali-zando la superposicin sucesiva en un bloque de variospasos de plegamiento, uno de cada mecanismo, de talforma que cada uno de ellos produce un incrementomuy pequeo en la relacin de aspecto del pliegue, y re-pitiendo estos pasos un nmero grande de veces en elbloque hasta conseguir la amplitud deseada. Entre la informacin que el programa FoldModeleraporta de los pliegues modelizados, podemos destacar lasiguiente: El dibujo de la capa plegada, mostrando la red de cua-drilteros deformada, la distribucin de las elipses dedeformacin y sus ejes, y una variacin en el nivel degris dependiendo del valor de R de la elipse. Las curvas que muestran la variacin de la inclinacindel eje mayor de la elipse de la deformacin en funcindel buzamiento de la capa para los arcos externo e inter-no de la capa plegada (curvas -). Las curvas que describen la variacin del cociente en-tre los ejes de la elipse de la deformacin en funcin delbuzamiento de la capa para los arcos externo e internode la capa plegada (curvas R-). La clasificacin de Ramsay (1967) y curva t2 vssen2.

Los parmetros s1 y s2. El acortamiento global debido al plegamiento. Los parmetros que definen la cnica final que des-cr

articulo plie gues

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