aritmatika a

of 55 /55
ARITMATIKA MODUL PEMBINAAN OLEH TIM PEMBINA OLIMPIADE KOMPUTER ILMU KOMPUTER UDAYANA (DISAJIKAN UNTUK PESERTA PEMBINAAN BIDANG KOMPUTER –OSN 2009) PEMERINTAH DAERAH PROPINSI BALI DINAS PENDIDIKAN PEMUDA DAN OLAHRAGA 2009

Author: masjunrohul

Post on 03-Jan-2016

150 views

Category:

Documents


6 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • ARITMATIKA MODUL PEMBINAAN

    O L E H

    T I M P E M B I N A O L I M P I A D E K O M P U T E R

    I L M U K O M P U T E R U D A Y A N A

    ( D I S A J I K A N U N T U K P E S E R T A P E M B I N A A N B I D A N G

    K O M P U T E R O S N 2 0 0 9 )

    P E M E R I N T A H D A E R A H P R O P I N S I B A L I

    D I N A S P E N D I D I K A N P E M U D A D A N O L A H R A G A

    2 0 0 9

  • DA F TA R I S I

    PENDAHULUAN ............................................................................................................. 3 TEORI BILANGAN ......................................................................................................... 4

    DEVISIBILITAS (KETERBAGIAN) ...................................................................................... 4 BILANGAN PRIMA ............................................................................................................ 6 FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR ............................................................................... 9 KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL .......................................................................... 13 ARITMATIKA MODULAR ................................................................................................ 14 DIGIT TERAKHIR ........................................................................................................... 15

    DEFINISI REKURSIF ................................................................................................... 18 DERET ............................................................................................................................. 19 KOMBINATORIKA ...................................................................................................... 22

    KONSEP DASAR PENCACAHAN ..................................................................................... 23 PRINSIP PENJUMLAHAN (RULE OF SUM)........................................................................ 23 PRINSIP PERKALIAN (RULE OF PRODUCT) ..................................................................... 24 PERMUTASI DAN KOMBINASI ....................................................................................... 25

    Permutasi .................................................................................................................. 26 Permutasi dari n-objek yang terpilih ....................................................................... 26 Permutasi sebanyak r dari n objek ........................................................................ 27 Permutasi Keliling (Circular Permutation) ............................................................. 27 Permutasi sebanyak r dari n objek dengan pengembaliam objek yang terpilih .. 29 Permutasi sebanyak r dari n obyek yang tidak seluruhnya dapat dibedakan ....... 29 Kombinasi ................................................................................................................. 30 Kombinasi sebanyak r dari n objek yang berbeda. ............................................... 32

    TEOREMA BINOMIAL DAN MULTINOMIAL ................................................................... 35 PIGEONHOLE PRINCIPLE/PERINSIP SARANG MERPATI .............................................. 40 PERINSIP INKLUSI DAN EKSLUSI .................................................................................. 42

    MEMBUAT MODEL ARITMATIKA/MATEMATIKA ........................................... 46 KONTEKS MASALAH ................................................................................................. 48 BERPIKIR SECARA CERDAS .................................................................................... 49 LATIHAN SOAL ARITMATIKA DAN KOMBINATORIKA .................................50

  • 3

    PENDAHULUAN

    Secara umum materi uji tertulis terbagi atas tiga komponen utama: materi uji

    analitika dan logika, materi uji aritmattika dan materi uji algoritmika. Materi uji analitika

    dan logika bertujuan untuk menguji potensi akademis peserta namun sedapat mungkin

    memiliki relevansi yang tinggi dengan problem solving dan elemen penting dalam

    menguasai pemrograman computer.

    Materi aritmatika sebenarnya sejalan dengan analitika dan logika di atas karena

    soal aritmatika di OSN bidang Informatika bukan sekedar menguji ketrampilan dalam

    hitung menghitung, tetapi lebih pada cara berpikir yang logis dan analitis namun dengan

    soal bertemakan aritmatika.

    Sedangkan materi algoritmika bertujuan untuk menguji kemampuan peserta

    dalam memahami dan menyusun suatu algoritma. Aspek-aspek yang terkait dengan

    pengetahuan dan bahasa pemrograman direduksi seminimal mungkin ke tingkat

    pseudocode.

    Materi Uji Aritmatika

    Terdapat enam aspek analitis dalam persoalan aritmatika yang umumnya dijadikan

    sebagai materi uji pada OSN bidang informatika, yaitu:

    1. Memahami sifat-sifat bilangan (Teori Bilangan);

    2. Memahami formula rekursif (Sifat Rekursif);

    3. Menentukan pola dari sebuah deret bilangan;

    4. Eksplorasi dalam masalah kombinatorik;

    5. Mampu membentuk model aritmatika/matematika serta melakukan deduksi/

    induksi model;

    6. Mengkaitkan dengan konteks masalah;

    7. Berpikir secara cerdas.

  • TEORI BILANGAN

    DEVISIBILITAS (KETERBAGIAN)

    Untuk bilangan a dan b, a 0, kita katakan a membagi b jika b =ac untuk sebuah

    bilangan bulat c. Kita tunjukkan dengan menggunakan notasi a|b. Dapat juga dikatakan

    bahwa b terbagi oleh a. Berikut adalah sifat-sifat turunan dari a|b :

    1. Jika a|b, b 0, maka |a| |b|

    2. If a|b and a|c, maka a|b+c untuk sembarang bilangan bulat dan

    3. Jika a|b dan a|b c maka a|c

    4. a|a (refleksif)

    5. Jika a|b dan b|c maka a|c (transitif)

    6. Jika a|b dan b|a maka |a| = |b|

    Teorema: untuk sembarang bilangan bulat positif a dan b akan ada sebuah pasangan

    unik (q,r) bilangan bulat positif yang memenuhi

    b = aq + r, r < a

    Hal ini juga dikenal dengan Algoritma Pembagian. Algoritma Pembagian dapat diperluas

    untuk bilang bulat lainnya sebagai berikut: untuk sembarang bilangan bulat a dan b, a 0,

    akan terdapat pasangan unik (q,r) bilangan bulat sehingga b = aq + r, 0 r < |a|.

    Contoh Soal 1: Buktikan n5 5n3 + 4n terbagi oleh 120!

    Solusi: n5 5n3 + 4n = n(n2-1)(n2-4)

    = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)

    Lima produk persamaan diatas berturut-turut adalah: n 2, n 1, n, n + 1, n + 2. jika n

    {-2, -1, 0, 1, 2} kita dapat katakan bahwa n5 5n3 + 4n = 0 terpenuhi. Maka untuk n 3

    kita bisa nyatakan:

    n5 5n3 + 4n = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)

    =

    +5

    2(!5

    n

  • 5

    =

    +5

    2(120

    n

    Untuk n -3, ambil n = -m, dimana m 3 akan diperoleh

    n5 5n3 + 4n =

    +5

    2(120

    m

    jadi berdasarkan persamaan diatas dapat dikatakan bahwa 120| n5 5n3 + 4n.

    Contoh Soal 2: temukan semua bilangan bulat positif n dimana bilangan yang diperoleh

    dengan menghilangkan digit terakhir n tersebut adalah sebuah pembagi dari n.

    Solusi: Ambil b sebagai digit terakhir dari bilangan n dan ambil a sebagai bilangan yanng

    diperoleh dari menghilang digit terakhir. Maka n = 10a + b. Karena a adalah pembagi n,

    maka kita bisa nyatakan bahwa a membagi b. Semua bilangan n yang berakhir dengan 0

    adalah solusinya. Untuk b 0 maka a adalah satu digit dan solusi yang mungkin untuk n

    adalah bilangan-bilangan berikut: 11, 12,. . . , 19, 22, 24, 26, 28, 33, 36, 39, 44, 48, 55, 66,

    77, 88 atau 99.

    Contoh Soal 3: Misalkan p > 2 adalah bilangan ganjil dan n adalah bilangan bulat positif.

    Buktikan bahwa nnn ppp p )1(...21 +++ terbagi oleh p.

    Solusi: Misalkan npk = dan perhatikan bahwa k adalah bilangan ganjil. Maka ])(...)([)( 121 ++=+ kkkkk dpdpddpdpd . Dengan menjumlahkan

    persamaan-persamaan tersebut dari d=1 sampai 2

    1= pd , kita bisa menghasilkan

    persamaan nnn ppp p )1(...21 +++ pada ruas kiri, yang ternyata terbukti bisa

    dibagi p (terlihat pada ruas kanan).

    Contoh Soal 4: Temukan semua bilangan bulat positif n yang untuk semua bilangan

    bulat ganjil a, jika na 2 maka a|n

    Solusi: Misalkan a adalah bilangan ganjil terbesar sehingga na

  • 4486 223 +++ aaaaa . Maka 0447 23 + aaa atau 0)1(4)7(2 + aaa , solusinya adalah a = 1, 3 atau 5.

    Jika a = 1, maka 22 31 n sehingga }8,...,2,1{n

    Jika a = 3, maka 22 53 n dan 1.3|n sehingga }24,21,18,15,12,9{n

    Jika a = 5, maka 22 75 n dan 1.3.5|n sehingga }45,30{n .

    Karena itu }45,30,24,21,18,15,12,89,7,6,5,4,3,2,1{n

    SOAL LATIHAN:

    1. Tunjukkan bahwa untuk sembarang bilangan natural n, diantara n2 dan (n+1)2

    bisa ditemukan tiga bilangan natural berbeda a, b dan c sehingga a2 + b2 bisa

    terbagi oleh c.

    2. Temukan semua bilangan bulat positif n sehingga 11 53 + nn bisa membagi nn 53 +

    BILANGAN PRIMA

    Bilangan bulat p > 1 dikatakan prima jika tidak ada bilangan bulat lain d > 1 yang

    memenuhi d|p. Sembarang bilangan bulat n > 1 mempunya setidaknya satu pembagi

    prima. Jika n adalah bilangan prima maka pembagi primanya adalah n itu sendiri. Jika n

    bukan bilangan prima, misalkan a > 1 sebagai pembagi terkecilnya. Selanjutnya n = a.b,

    dimana 1 < a b. Jika a bukan bilangan prima maka akan ada a1 dan a2 sehingga a = a1.a2

    dengan 1 < a1 a2 1 yang bukan merupakan bilangan prima disebut bilangan

    komposit. Jika n adalah komposit maka n memiliki sebuah pembagi prima yang tidak

    melebihi n . Sesungguhnya seperti yang telah ditunjukkan diatas, n = a.b, dimana 1 < a

    b dan a adalah pembagi terkecil dari n. Maka n > a2 sehingga a n .

    Teorema 1:

    (Euclid) Ada jumlah tak terbatas bilangan-bilangan prima.

  • 7

    Bukti: Asumsikan dengan kontradiksi bahwa hanya ada jumlah terbatas dari bilangan

    prima: mppp 1

    yang merupakan salah satu dari mppp ,...,, 21 , kita misalkan kp . Ini diikuti dengan

    1...| 21 +mk pppp sedangkan karena kp salah satu dari mppp ,...,, 21 , berarti mk pppp ...| 21 ini mengarah ke 1|kp . Ini merupakan kontradiksi.

    Perhatikan: Bilangan prima terbesar yang diketahui adalah 232582657 1. Bilangan itu

    ditemukan pada 2006 dan memiliki 9808358 digit. Hasil fundamental dari aritmatika

    menghadapi tantangan terbesarnya, faktorisasi dari bilangan bulat.

    Teorema 2:

    (Teorema faktorisasi prima) Setiap bilangan bulat n > 1 mempunyai sebuah

    representasi unik sebagai produk dari bilangan-bilangan prima.

    Bukti: Keberadaan presentasi tersebut dapat diperoleh dari cara berikut: Misalkan 1p

    adalah pembagi prima (faktor) dari n. Jika 1p = n, maka n = 1p adalah faktorisasi prima

    dari n. Jika 1p < n, maka 11rpn = dimana 1r > 1. Jika 1r prima maka 21 ppn = dimana 2p = 1r , ini adalah foktorisasi yang diingin dari n (sesuai dengan teorema). Jika 1r adalah

    komposit maka 221 rpr = dimana 2p prima, 2r > 1 sehingga 221 rppn = . Jika 2r prima maka 321 pppn = dimana 2r = 3p , dan kita selesai. Jika 2r adalah komposit, maka kita lanjutkan algoritma ini sehingga memperoleh deret bilangan 1...21 >> rr . Setelah langkah yang terhingga, kita akan memperoleh 11 ==kr sehingga kpppn ...21= .

    Untuk keunikannya, mari kita asumsikan ada setidaknya satu bilangan bulat positif n

    sehingga hk qqqpppn ...... 2121 == dimana 1p , 2p , ..., kp , 1q , 2q , ..., hq adalah bilangan-bilangan prima. Terlihat jelas bahwa 2k dan 2h . Misalkan n adalah bilangan minimal yang memenuhi syarat tersebut. Kita menyatakan bahwa ji qp untuk setiap i = 1, 2, , k, j = 1, 2, , h. Jika, sebagai contoh, pqp hk == , maka

    1111/' === hk qqpppnn LL dan 1 < n < n, merupakan kontradiksi dari

  • minimalitas n. Asumsikan bahwa 1p adalah faktor prima terkecil dari n dalam

    representasi diatas. Dengan menerapkan Algoritma Pembagian sebagai berikut:

    1111 rcpq += 2212 rcpq += K hhh rcpq += 1

    Dimana .,,1,1 1 hipri K= Kita akan peroleh )())(( 122111121 hhh rcprcprcpqqqn +++== KK

    Dengan memperluas persamaan ini kita akan memperoleh hrrrApn K211 += . Dengan mengetahui bahwa hrrrn K21'= kita peroleh '121 nAppppn k +== K . Dari sini kita dapat ketahui bahwa '|1 np dan issspn K211'= , dimana isss ,,, 21 K adalah bilangan prima.

    Dari sudut lain, menggunakan faktorisasi dari hrrr ,,, 21 K kedalam bentuk prima,

    semua faktor dari 1pri < . Dari hrrrn K21'= diikuti n sudah difaktorkan kedalam bentuk jtttn K21'= dimana 1pts < , s = 1, 2, ..., j. Faktorisasi ini berbeda dari bentuk

    issspn K211'= . Namun n < n, ini merupakan kontradiksi dari minimalitas n.

    Dari teorema ditas dapat diturunkan bahwa untuk setiap bilangan bulat n > 1 bisa

    dituliskan secara unik dalam bentuk

    kkppn K11=

    Dimana 1p , 2p , ..., kp adalah bilangan-bilangan prima unik dan k ,,, 21 K adalah bilangan bulat positif. Representasi ini disebut faktorisasi kanonikal (canonical

    factorization) dari n.

    Contoh Soal 1 : Buktikan bahwa untuk sembarang bilangan bulat n > 1 bilangan

    145 ++ nn bukan bilangan prima.

  • 9

    Solusi: Kita peroleh 145 ++ nn = 1223345 +++++ nnnnnnnn = )1()1()1( 2223 +++++++ nnnnnnnn = )1)(1( 32 +++ nnnn , hasil perkalian dari dua bilangan bulat diatas 1. Oleh karena itu 145 ++ nn bukan bilangan prima.

    Contoh Soal 2: Carilah semua bilangan prima a, b, c sehingga ab + bc + ac > abc.

    Solusi: Misalkan cba . Jika 3a maka ab + bc + ac > 3bc, sebuah kontradiksi. Karena a adalah bilangan prima, maka ini mengarahkan ke a = 2. Pertidaksamaannya

    akan menjadi 2b + 2c + bc > 2bc, sehingga:

    2111 >+

    bc

    jika 5b , maka 5c dan 52

    51

    5111

    21 =+ nn pppp K untuk 4n , dimana K,3,2 21 == pp adalah deret menaik dari bilangan-bilangan prima.

    FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR

    Untuk sebuah bilangan bulat positif k kita nyatakan kD sebagai himpunan dari

    semua pembagi positifnya. Jelas bahwa kD adalah himpunan terhingga. Untuk bilangan

  • bulat positif m dan n, elemen maksimal dari himpunan nm DD disebut faktor persekutuan terbesar (greatest common divisor) dari m dan n, kita menggunakan notasi fpb(m,n).

    Pada kasus dimana nm DD ={1}, kita mengatakan bahwa fpb(m,n)=1 dan kita nyatakan m dan n adalah relatif prima.

    Hal berikut bisa diturunkan secara langsung dari definisi di atas:

    1. Jika d = fpb(m,n), m = dm, n = dn maka fpb(m,n)=1

    2. Jika d = fpb(m,n), m = dm, n = dn maka fpb(m,n) = 1 maka d = d

    3. Jika d adalah faktor persekutuan dari m dan n maka d bisa membagi fpb(m,n)

    4. Jika

    kkppm K11= , k

    kppn K11= ,

    kiiiii ,,2,1,1,0, K=+ , maka ),min(),min(

    111),( kkkppnmfpb

    K= . 5. Jika m = nq + r maka fpb(m,n) = fpb(n,r)

    Mari kita buktikan poin 5. Misalkan d = fpb(m,n) dan d = fpb(n,r). Karena d|m dan

    d|n diikuti d|r. Karena d|d. Kebalikannya dari d|n dan d|r diikuti oleh d|m, jadi

    d|d. Oleh karena itu d = d.

    Sebuah algoritma yang berguna untuk menemukan faktor persekutuan terbesar dari

    dua bilangan bulat positif adalah Algoritma Euclidean. Ini berisi penerapan berulang dari

    Algoritma Pembagian:

    nrrnqm

  • 11

    112 1, >>> K21 .

    Sisa bagi yang tidak nol, kr , adalah faktor persekutuan terbesar dari m dan n.

    Sebenarnya dengan menggunakan aturan 5) diatas kita dapatkan

    kkk rrrfpbrrfpbrnfpbnmfpb ===== ),(),(),(),( 1211 K

    Proposisi 1: Untuk bilangan bulat positif m dan n, terdapat bilangan bulat a dan b

    sehingga am +bn = fpb(m,n).

    Bukti: Dari Algoritma Euclidian bisa diperoleh

    K),1(, 212211 qqnmqrnqmr ++== Secara umum kinmr iii ,,1, K== . Karena 111 ++ = iiii qrrr , sehingga

    ==

    ++

    ++

    iiii

    iiii

    qq

    111

    111

    i = 2, ..., k-1. Akhirnya, kita mendapatkan bahwa nmrnmfpb kkk +==),( .

    Kita bisa mendefinikan faktor persekutuan terbesar dari beberapa bilangan bulat

    positif smmm ,, ,21 K dengan memperhatikan:

    ),(,),,(),,( 21312211 sss mdfpbdmdfpbdmmfpbd === K Bilangan bulat 1= sdd disebut faktor persekutuan terbesar dari smmm ,, ,21 K dan dinotasikan sebagai ),,( ,21 smmmfpb K

    Contoh Soal 1: Temukan faktor persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan yang

    memenuhi 26263 532 ++ ++= nnnnA .dimana n = 0, 1, ..., 1999.

    Solusi: Kita dapatkan 7.53525910 ==++=A

    Menggunakan kongruen mod 5 kita peroleh

    )5(mod)1(232 133263 ++ ++ nnnnnA . Untuk )5(mod09,1 1 = An , karena itu n bukan faktor persekutuan.

  • Sebaliknya, nnnnA33 25.259.98 ++=

    nn 33 4.42.21 ++ nn 64.48.21 ++

    nn 1.41.21 ++

    )7(mod0

    Oleh sebab 7 dapat membagi nA , untuk semua bilangan bulat 0n . Akibatnya, faktor persekutuan terbesar dari bilangan 19991 ,,, AAAo K adalah 7.

    Contoh Soal 2: Temukan semua tripel bilangan bulat positif (a, b, c) sehingga 333 cba ++ bisa dibagi accbba 222 ++

    Solusi: Biarkan g sebagai faktor persekutuan terbesar dari a dan b. Maka 3g bisa

    membagi ba 2 jadi 3g bisa membagi 333 cba ++ dan g bisa membagi c. Dengan ini, fpb dari setiap pasangan (dua bilangan) dari a, b, c adalah fpb untuk ketiganya.

    Biarkan (l,m,n) = (a/g, b/g, c/g). Maka (l, m, n) adalah tripel yang memenuhi kondisi

    permasalahan, dan l, m, n merupakan pasangan-pasangan relatif prima. Karena 2l , 2m

    dan 2n semuanya bisa membagi 333 nml ++ , sekarang kita mempunyai 333222 | nmlnml ++

    Asumsikan tanpa kehilangan arti umumnya bahwa nml . Kita akan mempunyai

    3333222 3lnmlnml ++ dan karena itu, lnm 3/22 . Karena )(| 332 nml + , kita juga mempunyai

    333244 39/ mnmlnm +

    Jika 2n maka nm

  • 13

    Jika 2m maka ml > karena l dan m relatif prima, jadi

    33322 21 lmlnm , sehingga

    1324 +< mlm , dan 4m . Tidaklah sulit untuk melihat bahwa satu-satunya solusi adalah (3, 2, 1).

    KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL

    Berlawanan dengan himpunan kD yang sudah kita pelajari di sub bahasan

    sebelumnya, kM adalah himpunan terhingga bilangan bulat. Untuk bilangan bulat positif

    s dan t, elemen terkecil dari himpunan ts MM disebut kelipatan persekutuan terkecil dari s dan t dan dinotasikan sebagai kpk(s,t).

    Berikut adalah turunan langsung dari definisi tersebut:

    1. Jika m = kpk(s,t), m = ss = tt, maka fpb(s,t) = 1.

    2. Jika m adalah kelipatan persekutuan dari s dan t dan m = ss = tt,

    fpb(s,t)=1, maka m=m

    3. Jika m adalah kelipatan persekutuan dari s dan t maka m|m.

    4. Jika kpk

    p pps K11= dan kpkp ppt K11= , 1,0, + iiii , i = 1, ..., k, maka

    )max()max(1

    11),( kkkpptskpk K=

    Hal berikut menunjukkan hubungan antara fpb dengan kpk.

    5. Untuk setiap bilangan bulat positif m dan n akan memenuhi hubungan

    berikut:

    ),().,( nmkpknmfpbmn =

  • ARITMATIKA MODULAR

    Untuk bilangan bulat a, b dan n, dimana n 0. Kita katakan a dan b adalah modulo

    kongruen n jika n|a-b. Kita notasikan dengan a b (mod n). Relasi pada himpunan Z

    bilangan bulat disebut relasi kongruen. Jika m tidak bisa membagi a b, maka kita

    katakan bilangan bulat a dan b bukan modulo kongruen n. Berikut pernyataan yang bisa

    diturunkan dari hal ini:

    1. a a (mod n) (reflektif)

    2. jika a b (mod n) dan b c (mod n), maka a c (mod n) (transitif)

    3. jika a b (mod n) maka b a (mod n)

    4. Jika a b (mod n) dan c d (mod n) maka a+c b+d (mod n) dan a c

    b d (mod n)

    5. Jika a b (mod n) maka untuk sembarang bilangan bulat k, ka kb (mod n)

    6. Jika a b (mod n) dan c d (mod n) maka ac bd (mod n)

    Teorema 1: Untuk a, b, n bilangan bulat, 0n sehingga 11 rnqa += , 22 rnqb += , 10 r , || nrs . Maka )(modnba jika dan hanya jika 21 rr = .

    Bukti: Karena )()( 2121 rrqqnba += , ini menghasilkan n|a-b jika dan hanya jika 21| rrn . Dengan memperhatikan bahwa |||| 21 nrr

  • 15

    DIGIT TERAKHIR

    Misalkan anan-1....a0 adalah representasi desimal dari bilangan bulat positif N. Digit

    terakhir N adalah l(N) = a0 dan untuk k 2, k digit terakhir adalah lk(N) = ak-1 ... a0.

    Konsep sederhana ini muncul dalam berbagai situasi. Sangat berguna mengetahui digit

    terakhir dari kn, dimana untuk k = 2, 3, ..., 9:

    Dan jelas bahwa jika l(N)=0 maka ln(Nn) = 0...0 (0 sebanyak n) dan jika l(N) = 1 maka

    l(Nn) = 1 untuk semua n 2.

    Contoh Soal 1: Apakah digit terakhir dari (. . . (((77)7)7) . . .7)? Ada 1001 buah 7 dalam

    formula tersebut.

    Solusi: Digit terakhir dari bilangan desimal adalah sisa modulo 10. Sekarang 72 = 49 -1

    (mod 10). Sehingga 77 = (72)3.7 -7 (mod 10) dan

    (77)7 (-7)7 -(77) -(-7) 7 (mod 10)

    Melanjutkan proses tersebut kita akan melihat bahwa ((77)7)7) 7 (mod 10) dan secara

    umum ((((77)7)7).7) 7 (mod 10), dimana tandanya + jika jumlah kemunculan 7

    adalah ganjil dan jika kemunculan 7 adalah genap. Jadi untuk pertanyaan diatas

    jawabannya adalah 7

    Contoh Soal 2: Berapa digit terakhir dari 22003?

  • Solusi: Dengan mengubah n=1,2,3dst, perhitungan 2n menghasilkan deret 1, 2, 4, 8,

    16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, dst. Amati angka terakhir dari setiap bilangan,

    kita mendapatkan perulangan dari 6 2 4 8 pada n mod 4 = 0, 1, 2, 3. Jadi jika

    n=2003, diperoleh 2003 mod 4 = 3, yaitu memiliki digit terakhir 8.

    Contoh Soal 3: Ketiga digit awal dari hasil perkalian 22002 x 52005 jika dijumlahkan

    adalah?

    Solusi: Ini juga tidak mungkin dihitung manual. Perhatikan bilangan dasarnya 2 dan 5

    yang jika dikalikan menjadi 10. Karena setiap pasang faktor 2 dan 5 menghasilkan 10

    berarti hanya menambah 0 di digit terkanan. Ada 2002 pasang faktorfaktor tersebutg

    sehingga 22002 x 52005 = 53 x 102002= 125 102002. Penjumlahan tiga digit awal

    1+2+5=8

    Contoh Soal 4: Hitunglah (80! x 38!) /(77! x 40!).

    Solusi: Menggunakan sifat sbb untuk a dan b bulat positif, a > b, maka a!/b! = a.(a

    1).(a 2)(b + 1). Maka

    (80! x 38!) /(77! x 40!) = (80!/77!) / (40!/38!)

    = (80x79x78) / (40x39)

    = (80/40) x (78/39) x 79

    = 2 x 2 x 79 = 316

    yang dapat dihitung tanpa kalkulator.

    Contoh Soal 5: Jika n dan p adalah dua bilangan bulat, dan n + p berharga ganjil,

    manakah dari berikut ini bil ganjil?

    (A) n p + 1

    (B) np

    (C) n2 + p2 1

    (D) 3p + 5n

  • 17

    (E) (p n)(n p)

    Solusi : A bukan, karena (n+p) adalah ganjil maka dari n dan p salah satu ganjil dan yang

    lain genap. Selisih antara n dan p pasti ganjil sehingga jika ditambah 1 menjadi genap.

    B bukan karena perkalian antara suatu bilangan genap dengan bilangan apapun akan

    menjadi genap.

    C bukan karena pangkat bulat positif berapapun dari bilangan genap, tetap genap, dan

    ganjil tetap ganjil, kemudian ganjil ditambah genap dan dikurang ganjil menjadi genap.

    D bukan karena pangkat bulat positif berapapun dari bilangan ganjil tetap bilangan ganjil,

    dan jumlah dua bilangan ganjil menjadi genap. E benar, karena perkalian antara dua

    bilangan ganjil menghasilkan bilangan ganjil.

  • DEFINISI REKURSIF

    Definisi rekursif adalah bagaiman membangun sesuatu dari versi sederhana dari hal yang

    sama. Definisi rekursif mempunyai dua bagian :

    1. Kasus basis (base case) yang tidak tergantung dengan apapun

    2. Kasus Kombinasi yang bergantung pada kasus yang lebih sederhana.

    Sebagai contoh kita ambil definisi rekursif dari faktorial:

    >==

    0),1(.0,1

    )(xxfacx

    xxfac

    Kasus basis dari contoh diatas adalah fac(x)=1 untuk x=0 dan kasus kombinasinya adalah

    f(x) = x.fac(x-1) untuk x >0

    Contoh lain adalah deret Fibonacci, yang telah disinggung di bab sebelumnya. Misalkan kita

    memiliki fungsi fib(n) yang mengembalikan bilangan fibonacci ke-n. Maka dengan cara

    rekursif dapat kita definisikan bahwa:

    >+==

    =1),2()1(

    1,10,0

    )(nnfibnfib

    nn

    nfib

    Untuk fungsi diatas kasus basisnya ada dua yaitu fib(n) = 0 untuk n=0, dan fib(n) = 1 untuk

    n=1. Sedangkan kasus kombinasinya adalah fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2), n > 1.

    Cara tradisional untuk mendefinisikan fungsi Fibonacci adalah dengan menggunakan

    dan sudah dianggap sebagai definisi informal dari fungsi Fibonacci. Contoh Soal 1: Jika didefinisikan f(n)=n.f(n-1) untuk setiap n > 0 dan f(0)=1 maka berapakah

    f(10)/(f(7).f(6)) ?

  • 19

    Solusi: Fungsi ini adalah fungsi faktorial yang definisikan secara rekursif. Yaitu sama dengan

    contoh diatas (fungsi fac). Jadi f(10) = 10!, f(7)= 7! Dan f(6) = 6!

    Sehingga, 10!/7! = (10.9.8.7.6.5.4.3.2.1)/(7.6.5.4.3.2.1) = 10.9.8

    dan (10.9.8) /(6.5.4.3.2.1) = 1

    Contoh Soal 2: Jika suatu fungsi didefinisikan f(x, y) = x2-y2 untuk x dan y dua bilangan real.

    Maka f(3, f(3, 4)) adalah?

    Solusi: f(x, y) = x2-y2 maka f(3, f(3,4) = f(3, 3.3-4.4)

    = f(3, -7)

    = 3.3 + (-7)(-7)

    = 9 - 49

    = -40

    SOAL LATIHAN:

    Jika

    >+

    ==

    1,),13(),2/(

    1,1)(

    nganjilnnfgenapnnf

    nnf untuk n bilangan bulat positif n > 0. Berapakah

    f(2008)?

  • DERET

    Ada dua macam deret yang sering menjadi topik, yaitu deret aritmatika dan deret

    geometri. Kedua deret ini berbeda dalam hal definisi suku berikutnya terhadap suku

    sebelumnya.

    Deret aritmatika adalah deret bilangan yang selisih suku-suku bersebelahan selalu tetap.

    Contohnya deret bilangan bulat: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... Misalkan Un melambangkan suku

    ke n dari deret aritmatika, maka Un-Un-1 =b atau beda antar sukunya. Suku pertama dari

    deret ini U1 kita misalkan a. Maka akan berlaku hal berikut:

    Un = a + (n-1)b

    Misalkan Sn adalah jumlah n suku pertama, U1+U2+U3+ ... + Un, berlaku

    2

    )( UnanSn +=

    dengan kata lain

    2))1(2( bnanSn +=

    Pembuktian untuk formula Sn ini sudah kita lakukan pada bab sebelumnya.

    Selanjutnya kita akan membahas mengenai deret geometri. Deret geometri adalah deret

    bilangan dimana hasil bagi suku-suku bersebelahan selalu tetap. Contoh deret geometri

    adalah sebagai berikut: 1, 2, 4, 8, ... Un/Un-1 selalu menghasilkan 2, hal ini kita sebut sebagai

    rasio r. Maka akan berlaku

    Un = arn-1, dan

    1

    )1(=

    rraSnn

  • 21

    Contoh Soal 1: 12. Diberikan dua deret bilangan

    R: 1, 2, 3, 4, 5, 6

    S: 2, 5, 8, 11,14, 17

    Tunjukkan persamaan yang menunjukkan hubungan antara R dan S?

    Solusi: Kita dapat lihat deret tersebut adalah deret aritmatika. Mari kita lihat masing-masing

    deret mulai dari deret R. ar = 1 dan br =1, maka Unr = ar +(n-1)br = 1 + (n-1).1 = n.

    Sedangkan untuk deret S. as = 2 dan bs = 3, maka Uns = as + (n-1)bs = 2 + (n-1)3 = 3n-1.

    Maka kita dapat lihat bahwa hubungan antara kedua deret itu adalah S = 3R -1

  • KOMBINATORIKA

    Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan

    objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. Kombinatorial

    merupakan bahasan yang penting dalam matematika diskrit. Blaise Pascal (1623-1662) adalah

    seorang bangsawan Perancis yang membaktikan seluruh hidupnya untuk matematika,

    bahkan bisa disebut matematikawan terbaik pada jamannya. Pada usia 17 tahun ia sudah

    menulis essai tentang kerucut. Belum sampai usia 20 tahun ia menjadi salah seorang yang

    pertama menemukan perhitungandalam mekanika. Ia meninggal di usia 39 tahun, tetapi

    sebelumnya telah bekerja sama dengan Pierre de Fermat meletakkan dasar-dasar probabilitas.

    Dari konsep-konsep kombinatorik Paskal menyusun segitiga Pascal yang digunakan untuk

    menghitung banyaknya cara memilih r unsur dari n unsur yang ada. Selain itu, Pascal juga

    tertarik pada probabilitas dari kejadian-kejadian yang jarang muncul. Menjelang akhir

    hidupnya ia berharap dapat mencari tahu probabilitas dari kejadian-kejadian semacam ini.

    Sekarang kita menggunakan probabilitas yang Pascal kembangkan untuk mempelajari

    keajaiban-keajaiban yang jarang muncul dari berbagai macam kejadian, seperti kecelakaan,

    kerusakan mesin, dan kerusakan akibat cuaca buruk. Meskipun sebagai manusia kita tidak

    tahu pasti apa yang akan terjadi nanti namun ahli-ahli statistika dapat mengestimasi

    kemungkinan dari kejadian-kejadian tertentu yang akan terjadi menggunakan probabilitas

    (teori peluang/kemungkinan). Banyak dari para ahli matematika yang pertama kali

    mengembangkan teori probabilitas sebenarnya adalah orang-orang yang menyukai judi.

    Mereka berharap bahwa pemahaman mengenai probabilitas dapat meningkatkan peluang

    mereka untuk memenangkan permainan yang mereka lakukan.

    Girolamo Cardano, salah seorang penjudi yang juga merupakan seorang professor

    dalam bidang matematika, menghitung probabilitas dari pelemparan dadu tertentu dan

    probabilitas dari penarikan kartu As dari sekotak kartu. Ia memperlihatkan hasil kerjanya

    dalam bukunya yang berjudul Ludo Aelae (Book of Games of Chance). Dalam buku ini, ia tidak

    hanya membicarakan kemungkinan untuk memenangkan permainan saja tetapi juga

    menyarankan cara-cara yang menarik untuk bermain curang. Misalnya ia menjelaskan

    bagaimana caranya untuk meningkatkan peluang penarikan kartu tertentu dari sebuah kotak

    kartu dengan cara menggosoknya dengan sabun. Banyak aspek dalam kehidupan kita

  • 23

    didasarkan kepada peluang yang mungkin terjadi diluar jangkauan kita. Matematika dapat

    digunakan untuk memprediksi peluang yang mungkin dari kejadian-kejadian tersebut.

    Mungkin juga ahli-ahli ekonomi menggunakan statistika untuk membantu mereka

    memprediksikan perubahan-perubahan dalam pasar-pasar uang atau bursa saham, yang dapat

    menyebabkan perolehan ataupun kehilangan uang dalam jumlah yang sangat besar. Inilah

    yang menyebabkan konsep kombinatorika penting dalam penalaran matematika.

    KONSEP DASAR PENCACAHAN

    Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan dengan masalah penghitungan.

    Misalnya ada berapa cara yang dapat dilakukan pada saat memasukan sebuah kelereng ke

    dalam sebuah kantung, begitu pula apabila memasukan beberapa kelereng ke dalam beberapa

    kantung, berapa cara memilih wakil dari bebarapa kelompok mahasiswa dan masih banyak

    lagi kasus yang lain. Salah satu prinsip dasar yang mendasari perkembangan probabilitas

    terutama yang terkait dengan masalah penghitungan adalah konsep dasar pencacahan. Ada

    dua perinsip dasar pada konsep dasar pencacahan yaitu prinsip penjumlahan dan prinsip perkalian

    PRINSIP PENJUMLAHAN (RULE OF SUM)

    Apabila kita mempunyai dua buah himpunan yang tidak memiliki unsur bersama, maka

    jumlah anggota dari dua himpunan ini adalah jumlah dari banyak anggota dari masing-masing

    himpunan.

    Definisi 5.1.

    Jika ada sebanyak m cara untuk memilih benda jenis A dan ada n cara untuk memilih

    benda jenis B , maka total ada sebanyak mn + cara untuk memilih benda jenis A atau benda jenis B dengan = BA . Perinsip ini disebut sebagai Perinsip Penjumlahan.

    Secara umum apabila dalam suatu pelaksanaan tugas diperoleh hal berikut:

    - Jika tugas I dilaksanakan dengan 1m cara

    - Jika tugas II dilaksanakan dengan 2m cara

    M M - Jika tugas ke k dilaksanakan dengan km cara

  • Dengan syarat tugas yang diberikan harus disjoint (saling asing), maka seluruh tugas dapat

    dilaksanakan dengan kmmm +++ ...21 .

    Contoh 5.2.

    Misalkan ada tujuh kuliah yang berbeda yang ditawarkan di pagi hari dan lima kuliah yang

    berbeda yang ditawarkan di siang hari. Maka ada sebanyak 1257 =+ pilihan bagi mahasiswa yang akan mengambil hanya satu kuliah saja.

    PRINSIP PERKALIAN (RULE OF PRODUCT)

    Apabila dalam suatu prosedur (urutan pengerjaan) yang dapat dilakukan dalam dua

    langkah yang saling lepas (tidak bergantung). Jika langkah pertama ada sebanyak m cara dan

    langkah kedua dapat dilakukan dengan n cara maka prosedur tersebut dapat dilakukan

    dengan nm cara.

    Definisi 5.3.

    Jika ada m cara untuk memilih benda jenis A dan untuk setiap pilihan tersebut ada n

    cara untuk memilih benda jenis B , maka total ada sebanyak nm cara untuk memilih satu benda jenis A dan satu jenis benda B . Perinsip ini disebut Perinsip Perkalian.

    Secara umum apabila diberikan suatu langkah yang terdiri dari beberapa tugas misalkan

    saja sampai sebanyak k tugas dengan ketentuan berikut:

    - Jika tugas I dilaksanakan dengan 1m cara

    - Jika tugas II dilaksanakan dengan 2m cara

    M M - Jika tugas ke k dilaksanakan dengan km cara

    Dengan pelaksanaan yang saling lepas antara tugas satu dan tugas yang lain, maka

    pasangan tugas dalam suatu langkah dapat dilaksanakan dengan kmmm ...21 cara.

    Contoh 5.4.

    Sebuah warung menyediakan menu yang terdiri dari 4 jenis makanan (sate, soto, nasi

    campur, dan bakso) dan 3 jenis minuman (Es Jeruk, Es Teh, dan Es Degan). Banyaknya

  • 25

    macam hidangan (terdiri dari 1 makanan dan 1 minuman) yang dapat disusun adalah sebagai

    berikut:

    9 Langkah pertama, kita memilih makanan yang bisa di lakukan dalam 4 cara

    9 Langkah kedua, kita memilih minuman yang bisa dilakukan dalam 3 cara,

    Sehingga banyaknya macam hiadangan adalah sebanyak 1234 = cara.

    PERMUTASI DAN KOMBINASI

    Secara garis besar persoalan pencacahan dapat dikelompokkan sebagai berikut:

    a. Pencacahan pola terurut dari beberapa benda, dalam hal ini susunan (urutan) dari benda

    tersebut sangat diperhatikan, jadi baab .

    b. Pencacahan pola yang tak terurut dari beberapa benda, dalam hal ini susunan (urutan)

    dari benda tersebut tidak diperhatikan, jadi baab = .

    Berdasarkan cara pengambilan, kelompok ini terbagi lagi ke dalam dua bagian yaitu:

    - Pengambilan dengan pemgembalian/pengulangan.

    - Pengambilan tanpa pengembalian/tanpa pengulangan

    Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menghadapi masalah pengaturan suatu obyek

    yang terdiri dari beberapa unsur, baik yang disusun dengan mempertimbangkan urutan sesuai

    posisi yang diinginkan maupun yang tidak. Misalnya menyusun kepanitiaan terdiri dari ketua,

    sekretaris dan bendahara dimana urutan untuk posisi tersebut dipertimbangkan atau memilih

    beberapa orang untuk mewakili sekelompok orang dalam mengikuti suatu kegiatan yang

    urutan tidak diperhatikan. Dalam matematika, penyusunan obyek yang terdiri dari beberapa

    unsur dengan mempertimbangkan urutan disebut Permutasi, sedangkan yang tidak

    memperhatikan urutan disebut Kombinasi.

  • PERMUTASI

    Dalam berapa cara tiga buah buku A, B, C yang berbeda dapat disusun secara teratur di

    atas sebuah meja? Cara yang paling sederhana untuk menjawab pertanyaan ini adalah dengan

    mencatat semua susunan yang mungkin dapat dibuat dengan bantuan metode ruang.

    Persoalan yang dihadapi sebetulnya sama saja dengan mengisikan 3 ruang kosong dengan

    buku A, B, C. Ketiga ruang tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

    3 2 1

    Bawah tengah atas

    Jika ruang pertama diisi dengan salah satu dari ketiga buku A, B, C maka akan terdapat

    tiga kemungkinan cara untuk mengisinya. Ini berarti untuk yang paling bawah kita dapat

    mengisi dengan memilih satu diantara tiga buah buku. Setelah meletakkan satu buku pada

    lokasi paling bawah maka kita hanya dapat mengisi ruang kedua dengan dua cara saja, karena

    hanya sisa dua buku saja yang dapat digunakan untuk mengisi ruang kedua. Karena dua buku

    sudah diletakkan maka untuk pengisian ruang ke tiga masih tersisa satu buku saja.

    Menggunakan prinsip perkalian maka hasilnya ketiga ruang tersebut dapat diisi dengan

    6123 = cara. Dari contoh tersebut penyusunan secara teratur berarti penyusunan atau pengaturan suatu kelompok objek dalam suatu urutan (order) tertentu. Urutan penyusunan

    atau pemilihan merupakan ciri khas dari masalah permutasi.

    Definisi 5.6.

    Permutasi sejumlah objek adalah penyusunan objek tersebut dalam suatu urutan tertentu.

    Berikut akan dibicarakan terlebih dahulu permutasi dari n objek yang berbeda tanpa

    pengembalian objek yang telah terpilih.

    PERMUTASI DARI n-OBJEK YANG TERPILIH

    Dari contoh penyusunan buku diperoleh cara menyusun tiga buah buku yang berbeda

    adalah 6123 = cara, secara umum untuk n objek berbeda dapat dipermutasikan dalam !)1)(2)(3).....(2)(1( nnnn = cara yang berbeda.

  • 27

    Definis 5.7.

    Bila n menyatakan bilangan bulat positif maka hasil penggandaan bilangan tersebut dari

    1 sampai dengan n dinamakan n faktorial dan dilambangkan dengan !n .

    Teorema 5.8.

    Permutasi dari keseluruhan n objek yang berbeda adalah jumlah cara penyusunan dari

    suatu kelompok yang terdiri dari n obyek yang berbeda kedalam sebanyak n ruang, secara

    keseluruhan menjadi !n dan dilambangkan sebagai !),( nnnP =

    PERMUTASI SEBANYAK r DARI n OBJEK

    Definisi 5.9.

    Pengaturan atau penyusunan sebanyak r obyek yang diambil dari suatu kelompok obyek

    yang terdiri dari n obyek yang berbeda dinamakan permutasi sebanyak r dari n objek yang

    berbeda dimana nr dan secara simbolis permutasi tersebut dinotasikan sebagai ),( rnP .

    Teorema 5.10.

    Jumlah permutasi sebanyak r dari n objek yang berbeda dimana nr dan pengambilan r tanpa pengulangan adalah

    )!(!),(rn

    nrnP = .

    Contoh 5.11.

    Dari 7 orang anak akan disusun suatu perangkat kelas yang terdiri dari ketua, sekretaris

    dan bendahara. Berapa cara yang dapat dilakukan untuk memilih perangkat kelas tersebut?

    Persoalan ini dapat diselesaikan dengan permutasi. Dari soal diketahui 7=n dan 3=r . Jadi banyaknya cara memilih perangkat kelas adalah 210

    !4!7

    )!37(!7)3,7( ===P cara.

    PERMUTASI KELILING (CIRCULAR PERMUTATION)

    Definisi 5.12.

    Permutasi suatu kelompok objek yang membuat suatu lingkaran dinamakan permutasi

    keliling (Circular Permutation).

  • Bila suatu kelompok objek disusun secara teratur dalam sebuah lingkaran maka

    permutasi objek yang bersangkutan sebetulnya hanya mempersoalkan kedudukan relatif

    obyek-oyek bila melintasi lingkaran dalam syarat tertentu. Penyusunan obyek A, B, C dalam

    susunan melingkar berikut dianggap sama.

    Gambar 5.1.

    Dalam persoalan tentang permutasi keliling, hal yang terpenting adalah kedudukan objek

    yang tertentu relatif terhadap objek yang lain. Untuk mencari jumlah permutasi dalam

    susunan keliling tersebut kita harus berusaha menentukan terlebih dahulu kedudukan salah

    satu objek secara tetap. Kemudian dilanjutkan menghitung jumlah permutasi dari obyek

    yang lain seperti apabila obyek tersebut tersusun berjajar.

    Teorema 5.13.

    Permutasi keliling dari n obyek apabila n obyek tersebut disusun dalam sebuah

    lingkaran dapat disusun secara teratur dalam )!1( n cara.

    Teorema 5.14.

    Permutasi keliling r dari n obyek apabila r obyek tersebut disusun dalam sebuah

    lingkaran dapat disusun secara teratur dalam )!(

    !),(rnr

    nrnP = cara.

    Contoh 5.15.

    Ada 4 orang yang akan duduk di dalam tiga buah bangku yang disusun melingkar di

    taman. Ada berapa macam cara posisi duduk yang dapat dilakukan apabila disyaratkan bahwa

    jika penempatan yang diperoleh dari penempatan lain dengan memindahkan seseorang r

    tempat duduk searah jarum jam, penempatan tersebut dianggap identik? Terlebih dahulu kita

    nyatakan keempat orang tersebut sebgai A, B, C, D. Karena penempatan yang diperoleh

    dengan rotasi dianggap sama maka langkah pertama kita bisa menempatkan A secara

  • 29

    sembarang. Untuk menempatkan 2 dari 3 orang sisanya kita bisa mengurutkan mereka

    kemudian meletakkannya dalam urutan searah jarum jam dari A. Untuk menempatkan 2 dari

    3 orang dapat diperoleh dengan sebanyak C(3,2) = 3 cara. Berarti ada 3 posisi yang sama

    (identik). Sedangkan untuk memilih 3 diantara 4 orang dapat dilakukan dengan sebanyak

    P(4,3) = 24 cara. Jadi banyaknya cara duduk melingkar yang dapat dilakukan oleh keempat

    orang tersebut adalah 83

    )3,4( =P cara.

    PERMUTASI SEBANYAK r DARI n OBJEK DENGAN PENGEMBALIAM OBJEK YANG TERPILIH

    Teorema 5.16.

    Permutasi sebanyak r dari n objek dengan pengembaliam objek yang terpilih adalah jumlah

    permutasi dari suatu kelompok yang terdiri dari n obyek dan yang diambil sekaligus

    sebanyak r dengan pengembalian objek yang telah terpilih dilambangkan dengan rnrnR =),( dengan ketentuan nr dan merupakan bilangan bulat positif.

    PERMUTASI SEBANYAK r DARI n OBYEK YANG TIDAK SELURUHNYA DAPAT

    DIBEDAKAN

    Secara intuitif jumlah pemilihan obyek yang dapat dibedakan tentunya lebih banyak dari

    pada jumlah pemilihan dimana terdapat beberapa himpunan obyek yang sama (tidak dapat

    dibedakan). Misalnya kumpulan { }aaa ,, terdiri dari 3 unsur yang tidak dapat dibedakan hanya dapat dipermutasikan dalam 1 cara saja. Sedangkan apabila kita bedakan unsur

    himpunan tersebut menjadi { }321 ,, aaa maka jumlah permutasinya akan menjadi sebanyak 3! = 6. Jadi apabila dibandingkan maka jumlah permutasinya berkurang hingga 1/6 dari jumlah

    semula apabila himpunan { }321 ,, aaa diubah sedemikian hingga menjadi { }aaa ,, sehingga tidak bisa dibedakan dari anggota himpunan yang satu dengan anggota himpunan yang lain.

    Teorema 5.17. Jika terdapat suatu kelompok yang terdiri dari n obyek dimana 1n merupakan kumpulan

    objek yang sama, 2n merupakan kumpulan objek yang sama, dan seterusnya hingga kn

    merupakan kumpulan objek yang sama, sedangkan nnnnn k =++++ ....321 maka jumlah

  • permutasi dari n obyek yang meliputi seluruh obyek di atas adalah sebanyak

    !!!!

    2121 kk nnnn

    nnnn

    LL =

    Contoh 5.18.

    Dalam berapa carakah kata MISSISSIPPI dapat dipermutasikan? MISSISSIPPI

    tersusun dari 4 huruf yang terdiri dari 1M, 4I, 4S dan 2P. Dengan sendirinya diperoleh n1 =

    1, n2 = 4, n3 = 4, n4 = 2, dan n = 11. Jadi permutasi 11 huruf di atas diperoleh:

    34650!2!4!4!1

    !112441

    11 ==

    cara .

    KOMBINASI

    Perbedaan dasar antara permutasi dan kombinasi terletak pada diperhatikan atau tidaknya

    suatu urutan dalam pemilihan serangkaian obyek. Permutasi memberikan tekanan pada

    urutan pemilihan sedangkan kombinasi tidak memperhatikan urutan pemilihan.

    Definisi 5.19.

    Kombinasi dari sejumlah objek merupakan cara pemilihan objek yang bersangkutan

    tanpa memperhatikan urutan objek itu sendiri. Susunan ABC, BAC, ACB, BCA, CAB dan

    CBA dianggap sama.

    Contoh 5.20.

    Terdapat empat mata kuliah yang ditawarkan kepada Andi. Karena IP-nya kecil, Andi

    hanya bisa mengambil dua dari empat mata kuliah yang ditawarkan. Ada berapa cara

    pemilihan yang dapat dilakukan oleh Andi?

    Cara 1:

    Misalkan empat mata kuliah tersebut diberi nama 1M , 2M , 3M dan 4M . Dapat dibentuk pasangan sebagai berikut:

    1M, 2M

    1M , 3M

    1M , 4M

  • 31

    2M , 1M 2M , 3M 2M , 4M

    M 3M

    , 4M

    M 4M , 3M

    Jelas terdapat sebanyak 34 pasangan dari urutan ini. Tapi karena adanya pasangan yang sama muncul dua kali maka diperoleh banyaknya pemilihan adalah 6

    234 = cara.

    Cara 2:

    Dibentuk pasangan sebagai berikut:

    3,,,

    41

    31

    21

    MMMMMM

    2

    ,,

    42

    32

    MMMM

    }1, 43 MM Pasangan ini dapat ditulis sebagai 634

    21123

    26 ==++=

    cara. Jika diperluas

    maka diperoleh )1(21

    2=

    nnn cara. Untuk pengambilan tiga mata kuliah diperoleh daftar

    sebagai berikut:

    31223

    ,,,,

    421

    431

    321

    =+=

    MMMMMMMMM

    .

    Jadi banyaknya pasangan berurutan yang diawali dengan 1M adalah 3 buah yaitu

    } 122

    , 432 =

    MMM .

  • Jadi banyaknya pasangan berurutan yang diawali dengan 2M adalah 1 buah. Jadi

    422

    23

    34 =

    +

    =

    .

    Secara umum maka diperoleh persamaan

    +

    ++

    +

    +

    =

    11

    113

    12

    11

    rr

    rr

    rn

    rn

    rn

    rn L

    Inilah yang disebut pemilihan sebanyak k dari n obyek yang berbeda.

    KOMBINASI SEBANYAK r DARI n OBJEK YANG BERBEDA.

    Definisi 5.21.

    Pemilihan suatu kelompok terdiri dari r obyek yang mungkin dipilih dari suatu

    kelompok yang terdiri dari n obyek berbeda tanpa memperhatikan urutan pengambilan

    dengan nr

  • 33

    Tiap kombinasi dari n obyek yang berbeda dan yang diambil sekaligus sebanyak r akan

    menciptakan sebanyak !r permutasi karena tiap kelompok yang terdiri dari r obyek tersebut

    dapat dipermutasikan diantara mereka sendiri dalam !r cara. Oleh karena itu diperoleh

    bahwa !rrn

    = ),( rnP . Jadi )!(!

    !!

    ),(rnr

    nrrnP

    rn

    ==

    , dengan nr

  • pilih 1 anggota 1H diperoleh sebanyak

    1100

    cara, pilih 1 anggota 2H diperoleh

    sebanyak

    1100

    cara.

    Karena terjadi bersama-sama dengan menggunakan prinsip perkalian diperoleh

    pengambilan sebanyak

    1100

    1100

    1100

    =3

    1100

    cara.

    Jadi total cara memilih tiga bilangan sehingga jumlahnya habis dibagi tiga adalah

    3100

    +

    3100

    +

    3100

    +3

    1100

    = 3

    3100

    +3

    1100

    = 1498501000 cara.

    Teorema 52.24.

    Untuk setiap rn berlaku

    =

    rnn

    rn

    . Hal ini dapat dilihat pada tabel kombinatorial

    berikut:

    Tabel 5.1.

    n

    0n

    1n

    2n

    3n

    4n

    5n

    0 1 - - - - -

    1 1 1 - - - -

    2 1 2 1 - - -

    3 1 3 3 1 - -

    4 1 4 6 4 1 -

    5 1 5 10 10 5 1

  • 35

    Pada baris ke-3 : 323

    233

    13 =

    =

    =

    . Pada baris ke-5 : 1035

    255

    25 =

    =

    =

    .

    Teorema 5.25.

    Andaikan n dan r adalah dua bilangan bulat yang memenuhi )1(1 nr maka berlaku

    bahwa :

    +

    =

    111

    rn

    rn

    rn

    .

    TEOREMA BINOMIAL DAN MULTINOMIAL

    Teorema Binomial

    Sebelum kita membahas tentang Teorema Binomial, akan diperkenalkan dulu tentang

    Koefisien Binomial. Koefisien Binomial disusun berdasarkan definisi kombinatorik. Hasil

    susunan dari kombinatorik yang bersesuaian dalam tingkat orde tertentu dalam koefisien

    binomial akan menyusun segitiga Pascal. Selanjutnya konsep segitiga Pascal tersebut dipakai

    untuk menyelesaikan kasus yang lebih kompleks. Dari teorema-teorema dalam sub bab

    kombinasi sebelumnya diperoleh tabel berikut:

    n

    0n

    1n

    2n

    3n

    4n

    5n

    0 1 - - - - - .

    1 1 1 - - - - ..

    2 1 2 1 - - - ..

    3 1 3 3 1 - - ..

    4 1 4 6 4 1 - ..

    5 1 5 10 10 5 1 .

    M M M M M M M M

    Pasangan

    rn ini disebut koefisien binomial. Pasangan

    nr bisa disusun dengan

    susunan berikut yang kemudian dikenal sebagai segitiga pascal.

  • n = 1

    n = 2

    n = 3

    n = 4

    n = 5

    Batas dari segitiga itu terdiri dari bilangan-bilangan 1 dan nilai-nilai di dalamnya

    merupakan hasil penjumlahan dari dua bilangan diantasnya, identitas yang dihasilkan dari

    suatu proses penghitungan tersebut identitas kombinatorial, dan argumen yang mengarah

    pada pembentukannya disebut argumen kombinatorial. Untuk selanjutnya akan dibahas

    tentang Teorema Binomial.

    Teorema 5.26. (Teorema Binomial)

    Jika n adalah bilangan bulat positif, maka untuk setiap a dan b dipenuhi persamaan

    ( ) =

    =+

    n

    k

    kknn bakn

    ba0

    .

    Contoh 5.27.

    Jabarkan ( )423 yx dengan menggunakan teorema binomial. Jawaban : sesuai dengan teorema binomial, kita ambil xa 3= , yb 2= dan 4=n ,

    maka kita dapatkan :

    1 1

    11

    1 1

    11

    1 1

    2

    3 3

    4 6 4

    5 10 10 5

    3

  • 37

    ( ) ( )4423 bayx +=

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

    432234

    443322223344

    4031221304

    4031221304

    169621621681223.423.623.43

    2344

    2334

    2324

    2314

    2304

    44

    34

    24

    14

    04

    yxyyxyxxyyxyxyxx

    yxyxyxyxyx

    bababababa

    ++=++++=

    +

    +

    +

    +

    =

    +

    +

    +

    +

    =

    Contoh 5.28.

    Carilah koefisien dari 45ba dalam penjabaran ( )9ba + . Solusi : suku yang melibatkan 45ba muncul dalam teorema binomial dengan mengambil

    9=n dan 4=k 4545 12649

    bababakn kkn =

    =

    Sehinga koefisien dari 45ba adalah 126.

    Bertikut persamaan-persamaan yang merupakan hasil pengembangan teorema Binomial.

    1. =

    =

    n

    k

    n

    kn

    02

    2.

    +

    =

    +

    11

    kn

    kn

    kn

    dengan nk 1

    3. 12...2

    ...420

    =+

    ++

    +

    +

    n

    knnnn

    4. 12...12

    ...531

    =+

    +++

    +

    +

    n

    knnnn

    5. =

    =

    nr

    nnnr

    0

    22

  • 6.

    +=

    ++

    +

    +

    +1210 1.... nn rrrrr yang bersekawan dengan

    =

    ++

    +

    +

    +++++ 121 ....210 rnrnnnn rr

    Teorema Multinomial

    Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 10 digit dapat dibuat dengan menggunakan

    bilangan 4,4,4,4,3,3,3,2,2,1? Banyaknya cara menempatkan 10 bilangan ke dalam 10 tempat

    dapat dilakukan dengan 10! cara. Akan tetapi bilangan-bilangan tersebut dapat

    dikelompokkan ke dalam 4 golongan yaitu bilangan 4 ada 4 buah, bilangan 3 ada 3 buah,

    bilangan 2 ada 2 buah dan bilangan 1 ada 1 buah. Karena urutan bilangan yang sama dalam

    satu golongan memiliki nilai yang sama maka 10! harus dibagi dengan banyaknya cara

    penempatan bilangan 4,3,2 dan 1. diperoleh 600.12!1!2!3!4

    !10 = cara. Cara lain yang dapat di tempuh adalah dengan menggunakan kombinasi yang diperumum yaitu:

    - Meletakkan 4 bilangan ke dalam 10 kotak dapat ditempuh dalam

    410 cara.

    - Meletakkan 3 bilangan ke dalam 6 kotak yang tersisa dapat ditempuh dalam

    36 cara.

    - Meletakkan 2 bilangan ke dalam 3 kotak yang tersisa dapat ditempuh dalam

    23 cara.

    - Meletakkan 1 bilangan ke dalam 1 kotak yang tersisa dapat ditempuh dalam

    11 cara.

    Karena kejadian terjadi bersama-sama maka cara mengatur 10 angka tersebut ke dalam

    10 digit adalah

    410

    36

    23

    11 = 600.12

    !1!2!3!4!10 = . Secara umum jika 2r dan

    rkkkkk ,.....,,,, 4321 adalah bilangan bulat dengan nkkkkk r =+++++ ....4321 , maka

  • 39

    banyaknya cara meletakkan InI bilangan ke dalam r kotak adalah !!....!

    !.... 2121 rr kkk

    nkkk

    n =

    .

    Bentuk inilah yang di kenal sebagai Koefisien Multinomial. Ekspansi binomial dapat

    diperumum menjadi ekspansi multinomial yaitu:

    ( )( ) ( )

    ri

    r

    r

    kr

    kk

    nkkkkkk r

    rr

    nr

    aaakkk

    n

    aaaaaaaaaaaa

    .........

    ...............

    2

    21

    21

    21

    ...0..., 21

    kalin sebanyak

    321321

    321

    =+++

    =

    ++++++++=++++

    444444444 3444444444 21

    Sifat Koefisien Multinomial adalah

    ++

    +

    =

    1....1

    ...,....11

    ....,11

    .... 21212121 rrrr kkkn

    kkkn

    kkkn

    kkkn

    Contoh 5.29.

    Tentukan koefisien zyx 32 pada ekspansi 6)32( zyx + .

    Jawaban Dari soal diketahui 6=n , 21 =k , 32 =k , 13 =k sedangkan koefisien 1=x , )2(=y , dan 3=z . Koefisien dari zyx 32 pada ekspansi 6)32( zyx + adalah

    ( ) ( ) ( ) )1440()24(!1!.3!.2

    !6321132

    6 132 ==

    .

    Teorema 5.30. (Teorema Multinomial)

    Untuk n suatu bilangan bulat positif, maka untuk setiap bilangan real

    tXXXXX ,....,,,, 4321 akan berlaku :

    ntXXXXX )....( 4321 +++++ ntnnnt

    nXtXXXnnn ........ 33

    22

    1121 = dengan syarat

    nnnnn t =++++ ...321

  • Contoh 5.31.

    1. Expansikan bentuk 754321 )( XXXXX ++++ sehingga anda dapat menentukan koefisien )( 5

    343

    21 XXXX

    Solusi : koefisien )( 53

    432

    1 XXXX adalah 420!1!3!1!0!2!7

    131027 ==

    2. Bila yang diekspansikan ( )6321 532 XXX + maka tentukan koefisien 23231 XXX .

    Solusi: koefisiennya = ( ) ( ) ( ) 36000532213

    6 213 =

    2. Tentukan koefisien zyx 32 pada ekspansi 6)32( zyx + .

    Solusi:

    Dari soal diketahui n = 6, k1 = 2, k2 = 3, k3 = 1 sedangkan koefisien x = 1, y = (-2) , dan

    z = 3. Koefisien dari zyx 32 pada ekspansi 6)32( zyx + adalah

    ( ) ( ) ( ) )1440()24(!1!.3!.2

    !6321132

    6 132 ==

    .

    PIGEONHOLE PRINCIPLE/PERINSIP SARANG MERPATI

    Pigeonhole Principle atau Prinsip Sangkar Merpati pertama kali dinyatakan oleh ahli

    matematika dari Jerman yang bernama Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet pada tahun 1834

    sehingga prinsip ini juga dikenal dengan istilah Prinsip Laci Dirichlet. Jika sekawanan merpati

    terbang kedalam suatu himpunan sarang merpati dimana dalam kasus ini diasumsikan bahwa

    jumlah merpati lebih banyak dari jumlah sarangnya maka paling sedikit dua merpati harus

    terbang ke dalam sarang yang sama. Dengan kata lain jika ada 6 burung merpati yang

    ditempatkan ke dalam 5 rumah, maka salah satu rumah pasti ditempati oleh lebih dari satu

    burung.

  • 41

    Teorema 5.32.

    Jika n di dalam bilangan asli N dan n + 1 atau lebih obyek didistribusikan ke dalam n

    himpunan maka paling sedikit satu diantara himpunantersebut pasti terdiri dari paling sedikit

    dua obyek.

    Generalisasi dari teorema tersebut adalah:

    Jika k dan n adalah bilangan asli dan sejumlah kn + 1 obyek akan didistribusikan ke

    dalam n himpunan maka paling sedikit satu diantara himpunan tersebut pasti memuat paling

    sedikit k + 1 obyek.

    Contoh 5.33.

    Jika ada 367 orang disuatu ruangan maka paling sedikit dua diantaranya memiliki tanggal

    dan bulan kelahiran yang sama.

    Contoh 2.34.

    Jika 51 surat didistribusikan ke dalam 5 kotak surat maka paling sedikit satu diantara

    kotak surat tersebut pasti memuat paling sedikit sejumlah k + 1 = 10 +1 = 11 surat.

    Berikut akan diberikan beberapa contoh permasalahan yang dapat diselesaikan dengan

    menggunakan prinsip pigeonhole.

    Contoh 5.35.

    Seorang pemain catur handal mempunyai waktu 11 minggu untuk mengikuti turnamen.

    Sebagai persiapan ia ingin berlatih setiap hari dengan memainkan sedikitnya 1 permainan

    catur (gim), tetapi tidak ingin lebih dari 12 kali gim dalam seminggu. Buktikan bahwa ia

    pernah melakukan permainan sebanyak tepat 21 kali gim dalam beberapa hari berturutan.

    Solusi:

    Tulis 1a sebagai jumlah gim yang dimainkan pada hari pertama, 2a sebagai jumlah gim

    yang dimainkan pada hari pertama dan kedua, 3a jumlah gim yang dimainkan sampai dengan

    hari ketiga dan seterusnya. Diperoleh barisan bilangan 77,4,3,2,1 ...aaaaa terdiri dari angka

    yang berbeda-beda dan semakin memnesar. Angka 77 berasal dari latihan selama 11 minggu

  • (77 hari). Berdasarkan syarat bahwa setiap munggu tidak boleh lebih dari 12 gim maka

    diperoleh 132111277 =a . Jadi kita memiliki barisan

    132...1 774321

  • 43

    Prinsip inklusi-eksklusi dapat dirapatkan untuk operasi lebih dari dua himpunan, Untuk

    tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku teorema berikut :

    Teorema 536.

    Misalkan A, B, dan C adalah himpunan berhingga, maka CBA berhingga dan CBACBCABACBACBA +++= .

    Selanjutnya jika dilakukan generalisasi untuk r buah himpunan maka akan diperoleh

    teorema berikut:

    Teorema 5.37.

    Misalkan A1,A2.... Ar adalah himpunan berhingga , maka berlaku

    rr

    rkjikji

    rjiji

    iir AAAAAAAAAAAA ++ + =

  • mengambil kuliah Bahasa Inggris dan Perancis, 23 orang mengambil kuliah Bahasa Inggris

    dan Jerman, dan 14 orang mengambil kuliah Bahasa Perancis dan Bahasa Jerman. Jika 2092

    orang mengambil paling sedikit satu buah kuliah Bahasa Inggris, Bahasa Perancis, dan

    Bahasa Jerman, berapa banyak mahasiswa yang mengambil kuliah ketiga buah bahasa

    tersebut?

    Solusi:

    Misalkan,

    I = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah Bahasa Inggris

    P = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah Bahasa Perancis.

    J = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah Bahasa Jerman.

    maka, | I | = 1232, | P | = 879, | J | = 114

    ,103|| = PI ,23|| = JI 14|| = JP dan 2092|| = JPI Dengan menggunakan prinsip inklusi-ekslusi diperoleh:

    |||||||||||||||| JPIJPJIPIJPIJPI +++= memberikan ||142310311487912322092 JPI +++= sehingga 7|| = JPI . Jadi, ada 7 orang mahasiswa yang mengambil ketiga buah

    kuliah Bahasa Inggris, Perancis, dan Jerman.

    SOAL-SOAL LATIHAN

    1. Banyaknya bilangan bulat positif di antara 200 dan 2000 yang merupakan kelipatan dari 6

    atau 7 tetapi tidak keduanya adalah

    2. Dari lomba matematika nasional yang terdiri dari peserta laki-laki dan perempuan yang

    jumlahnya kurang dari sama dengan 2006 peserta. Jumlah peserta laki-laki lebih banyak

    dari peserta perempuan. Jika peluang juara 1 dan 2 adalah dari jenis kelamin yang sama

    adalah , berapa jumlah peserta perempuan?

    3. Bentuk sederhana dari =

    n

    k kn

    k1

    , dengan !)!(

    !kkn

    nkn

    =

    adalah....

  • 45

    4. A, B, C dan D bersama-sama bermain bridge. Setiap pemain dibagikan 13 kartu.

    Banyaknya kemungkinan pembagian kartu jika A dan B memiliki semua kartu As

    adalah

    5. Diberikan sebuah segi sepuluh konveks dengan sifat tidak ada tiga diagonalnya yang

    berpotongan pada satu titik di dalam daerah segi sepuluh tersebut. Dapat dibagi menjadi

    berapa ruas gariskah diagonal-diagonal itu oleh titik-titik potongnya?

    6. 33 buah benteng disebar pada papan catur berukuran 88 . Buktikan bahwa dapat diambil 5 benteng dengan sifat tidak ada di antara mereka yang saling menyerang.

    7. Nomor telepon di Kota Malang terdiri dari enam angka. Banyaknya nomor telepon di

    kota itu yang habis dibagi 5 adalah...

    8. Lima orang pemuda pergi berekreasi menggunakan sebuah mobil. Mobil yang digunakan

    memiliki 2 tempat duduk di depan (termasuk pengemudi) dan 3 tempat duduk di

    belakang. Dari kelima orang pemuda tersebut hanya dua orang yang bisa menjadi

    pengemudi. Banyak cara mereka duduk adalah.....

    9. Sebuah kelompok terdiri dari 2005 anggota. Setiap anggota memegang tepat satu buah

    rahasia. Setiap anggota dapat mengirimkan surat kepada anggota lain manapun untuk

    menyampaikan seluruh rahasia yang telah dipegangnya. Banyaknya surat yang perlu

    dikirimkan agar semua anggota kelompok mengetahui seluruh rahasia adalah.

    10. Di dalam sebuah kotak terdapat 4 buah bola, masing-masing bernomor 1,2,3 dan 4.

    Anggi mengambil sebuah bola secara acak, mencatat nomornya dan mengembalikannya

    kembali ke dalam kotak. Hal yang sama ia lakukan sebanyak 4 kali. Misalkan jumlah dari

    keempat nomor bola yang terambil adalah 12. Berapakah peluang bahwa bola yang

    terambil selalu bernomor 3?

  • MEMBENTUK MODEL ARITMATIKA/MATEMATIKA

    Dalam problem solving, seringkali diperlukan tahapan pemodelan masalah yang

    sebagian menggunakan model matematika/aritmatika dan menyederhanakannya sehingga

    menjadi model yang lebih sederhana dan siap dikomputasikan dalam bentuk algoritma.

    Model yang tidak tepat berakibat pada kegagalan dalam pemecahan masalah.

    Contoh:

    1. Uang Amir lebih banyak dari uang Ali. Jika dijumlahkan uang keduanya lebih dari 50

    ribu rupiah, sementara selisih uang Amir dengan uang Ali lebih dari 30 ribu rupiah.

    Berapakah uang Amir yang paling tepat?

    Model permasalahan: Uang Amir = x, Uang Ali = y, dan dari deskripsi diatas

    diperoleh:

    Pers-I : x > y Pers-II : x + y > 50.000 Pers-III : |x y | > 30.000

    Pers-I dan Pers-III menghasilkan Pers-IV : x y > 30.000

    Jika Pers-II dan Pers-IV dijumlahkan menghasilkan: 2x > 80.000.

    Maka, x > 40.000

    2. Seorang ingin memasang iklan sebanyak 3 baris untuk menjual barangnya. Untuk hari

    pertama ia harus membayar Rp 250,- tiap baris. Untuk 5 hari berikutnya ia harus

    membayar Rp 150,- tiap baris, dan untuk sehari-hari berikutnya ia harus membayar

    Rp 100,- tiap baris. la membayar Rp 6.000,-. Berapa hari Iklan itu dipasang?

    3. Persis tiga tahun sebelum Anisa lahir adalah tahun 1980-x. Jadi ulang tahun ke-20

    Anisa jatuh pada tahun?

    4. Tiga orang diberi tugs. Masing- masing dari mereka dibayar Rp. 75,-, Rp. 100,-, Rp.

    125,- tiap jamnya. Mereka menerima uang sebesar Rp. 63.000,- setelah menyelesaikan

  • 47

    tugas tersebut. Bila mereka bekerja 7 jam dalam sehari. Dan 6 hari dalam seminggu.

    Berapa minggukah tiga orang tersebut bekerja....

    5. Sebuah tes diikuti oleh 60 siswa dan nilai dari 0 sampai dengan 100, hanya 21 siswa

    yang mendapat nilai lebih besar atau sama dengan 80. berapa nilai rata rata terkecil

    yang mungkin bagi ke 60 siswa ?

  • KONTEKS MASALAH

    Konteks dari soal perlu diperhatikan dan konteks tersebut kadang kadang hanya tersirat saja.

    Yang dimaksud dengan konteks di sini adalah pemahaman umum akan sesuatu yang sewajar

    nya diketahui pula.

    Contoh:

    Jika lonceng berdentang setiap 1 detik, dalam jumlah dentang yang sesuai waktu yang ditunju

    kkan, maka tepat pada pukul berapa dentang terakhir yang menunjukkan jam 6? Apakah

    pukul 6:00:06?

    Salah, seharusnya pukul 6:00:05 karena dentangdentang tsb pada pukul 6:00:00, pukul

    6:00:01, pukul 6:00:02, pukul 6:00:03, pukul 6:00:04 dan pukul 6:00:05!! Konteks disini adalah

    dentang pertama terjadi pada tepat pukul 6, dan penomoran detik/menit dimulai dari

    0, 1, ... dst.

  • 49

    BERPIKIR SECARA CERDAS

    Jika menghadapi suatu masalah komputasi yang kelihatannya tidak

    mungkin, pasti ada sesuatu di balik itu!! Dapatkanlah dengan bantuan pemahaman akan sifat-

    sifat operasi aritmatika untuk mendapatkan model matematis yang lebih sederhana.

    Contoh Soal : Berapa digit terakhir dari 35055?

    Solusi: Dengan mengubah n=1,2,3dst, perhitungan 3n menghasilkan deret 3, 9, 27, 81,

    243, 729, 2187, 6561, 19683 dst. Amati angka terakhir dari setiap bilangan, kita mendapatkan

    perulangan dari 1 3 9 7 pada n mod 4 = 0, 1, 2, 3. Jadi jika n=5055, diperoleh 5055

    mod 4 = 3, yaitu memiliki digit terakhir 7. (Bisa dilihat pada pembahasan digit terakhir di

    teori bilangan)

    Contoh Soal 3: Ketiga digit awal dari hasil perkalian 22002 x 52005 jika dijumlahkan adalah?

    Solusi: lihat pada materi digit terakhir di teori bilangan

    Contoh Soal 4: Tentukan penjumlahan 1.1! + 2.2! +3.3! + ... + (n-1).(n-1)! Dinyatakan

    dalam n dengan n! = n(n-1)(n-2) ... 2.1.

    Solusi:

  • LATIHAN SOAL ARITMATIKA DAN KOMBINATORIKA

    1. Seorang ingin memasang iklan sebanyak 3 baris untuk menjual barangnya. Untuk hari

    pertama ia harus membayar Rp 250,- tiap baris. Untuk 5 hari berikutnya ia harus membayar Rp 150,- tiap baris, dan untuk sehari-hari berikutnya ia harus membayar Rp 100,- tiap baris. la membayar Rp 6.000,-. Berapa hari Iklan itu dipasang?

    2. Persis tiga tahun sebelum Anisa lahir adalah tahun 1980-x. Jadi ulang tahun ke-20

    Anisa jatuh pada tahun?

    3. Suatu seri angka terdiri dari 4 10 8 14 12 18 angka selanjutnya adalah:

    4. Selisih antara bilangan terbesar dan terkecil dari bilangan yang terbentuk dari 2 angka (digit) yang dapat dibuat yang habis dibagi 4 adalah :

    5. Marni berusia 5 tahun lebih tua dari pada Joni. Joni berusia 2 tahun lebih muda

    daripada Parto. Berapa tahunkah Marni lebih tua dari Parto ?

    6. Joko mempunyai uang sebanyak setengah dari uang Bono. Jika Bono memberikan Rp. 5,00 kepada Joko, maka Joko akan mempunyai uang Rp. 4,00 lebih sedikit daripada uang terakhir Bono. Berapakah jumlah uang mereka ?

    7. Seorang Pedagang membeli buku dari penyalur di kawasan Pasar

    Cikapundung, Bandung seharga Rp. 36.000, dia harus menyisakan biaya ongkos sebesar 10%. Selain itu dia juga harus menyisakan keuntungansebesar Rp. 9.000 per bukunya. Harga jual buku tersebut akan naik berapa persen jika dibandingkan harga belinya ?

    8. ((80x79x...x2x1)(38x37x...x2x1))/((77x76x...x2x1)(40x39x...x2x1)) = ...

    9. Ibu Dina sedang mencoba untuk membuka usaha bakery disebuah ruko

    di perumahan elit di kawasan Cibubur. Dari resep yang ia pelajari, untuk suatu campuran adonan brownies kukus diperlukan 1 cangkir terigu dan 4 cangkir air. Bila ternyata sisa tepung terigu yang tersisa di lemari tinggal cangkir, berapa cangkirkah air yang diperlukan ?

    10. Berapa banyak segi empat yang terbentuk dari tabel berukuran 3x3?

    11. Jika n adalah sebuah bilangan bulat ganjil, maka pernyataan yang benar adalah:

    (i) n3 n2 pasti ganjil (ii) n2 n pasti genap (iii) n3 n pasti ganjil (iv) n4 n2 pasti genap

  • 51

    12. Si Upik pandai menjumlahkan, namun ia hanya dapat menulis angka 1 dan 2. Oleh

    karena itu, saat Upik ingin menuliskan sebuah angka yang lebih dari 2, ia menuliskan beberapa angka 1 dan beberapa angka 2 sedemikian sehingga jika dijumlahkan jumlahnya adalah bilangan tersebut. Contohnya, untuk menuliskan angka 3, Upik memiliki tepat 3 cara yaitu 12, 21, atau 111 (1+2=3 ; 2+1=3 ; 1+1+1=3). Untuk menuliskan angka 2, sebenarnya Upik memiliki 2 cara yaitu 2 dan 11 (2=2; 1+1=2), tapi hanya ada 1cara untuk menuliskan angka 1. Berapa banyakcara Upik untuk menuliskan angka 8?

    13. Jika susan memiliki uang 5 ribu lebih banyak daripada Tomi, dan Tomi memiliki 2

    ribu lebih banyak dari pada Edi, bagaimanakah mereka harus saling berbagi untuk memastikan ketiganya memiliki jumlah uang yang sama?

    a. Susan harus memberikan 3 ribu kepada Edi dan seribu kepada Tomi b. Tomi harus memberikan 4 ribu kepada susan dan susan harus memberikan 5

    ribu kepada Edi c. Edi harus memberi Susan seribu dan susan juga harus memberi Tomi seribu d. Susan harus menyerahkan kepada kepada Edi 4 ribu dan Tomi juga harus

    memberi Edi 5 ribu e. Baik Susan maupun Edi harus memberi Tomi 7 Ribu

    14. Huruf-huruf A,G,E,T,W,O,N masing-masing mewakili sebuah angka antara 1 sampai

    dengan 9 secara unik. AGE, TWO, NOT dan TO masing-masing merupakan bilangan kuadrat dari bilangan bulat, apakah hasil TWO+TO+TOO ?

    a. NET b. NAG c. TON d. TEN e. ONE

    15. Nainggolan 2 tahun lebih muda dari pada Marno yang usianya dua lipat usia dari

    Lisma. Jika umur ketiganya dijumlahkan, totalnya adalah 23 tahun, berapakah umur Marno ?

    16. Sebuah laci berisikan 4 buah kaus kaki berwarna hitam, 4 buah kaus kaki berwarna

    putih dan 4 buah kaus kaki berwarna merah. Jika kita tidak dapat melihat isi laci, berapakah jumlah kaus kaki minimum yang perlu diambil agar kita pasti mendapat setidaknya sepasang kaus kaki dengan warna yang sama ?

    17. Jumlah dua digit pertama dari bilangan hasil perkalian 530003 x 810004 adalah:

    18. Ada tiga buah kotak tertutup yang masing-masing berisikan 2 buah kelereng . Kotak

    pertama berisikan dua kelereng putih, kotak kedua berisikan dua kelereng hitam, dan kotak ketiga berisikan satu kelereng putih dan satu kelereng hitam. Sewaktu akan diberi label, secara tidak sengaja urutan ketiga buah kotak itu tertukar sedemikian sehingga isi setiap kotak tidak sama dengan apa yang tertulis pada label kotak tersebut. Dengan asumsi kita hanya bisa mengetahui isi kota dengan mengeluarkan

  • kelereng satu per satu tanpa melihat ke dalam kotak, berapakah jumlah urutan minimal seluruh kelereng yang harus dikeluarkan dari kotak-kotak tersebut agar kita dapat memastikan isi dari ketiga kotak tersebut ?

    Deskripsi Soal

    Ada empat topeles masing-masing berisi sejumlah permen sama banyaknya. Topeles no.1 disediakan untuk si Ali, Topeles no.2 disediakan untuk si Badu, topeles no. 3 disediakan untuk si cecep, dan topeles no.4 disediakan untuk si Dedi. Si Ali setiap kali mengambil selalu mengambil tepat tiga permen sekaligus. Si Badu setiap kali selalu mengambil tepat 5 butir sekaligus. Si Cecep setiap kali mengambil selalu tepat 7 butir permen sekaligus. Si Dedi selalu mengambil tepat 9 butir permen sekaligus. Hingga suatu ketika topeles no. 1 bersisa 2 butir permen, topeles no.2 bersisa 3 butir permen dan topeles no.3 bersisa 2 butir permen. Sementara no.4, tidak jelas berapa sisanya, yang pasti kurang dari 9 butir.

    19. Tentukan jumlah permen tersisa di nomor 4 tersebut ?

    20. Berapa kalikan pengambilan yang dilakukan oleh Badu ?

    21. Jika si Badu setiap kali mengambil tepat 6 butir permen berapakah banyaknya butir

    permen akan sisanya?

    Deskripsi Soal Mari kita bermain kartu BLCC. Kartu-kartu dalam permainan ini berwarna biru, hijau, jingga, merah, dan kuning. Setiap pemain masing-masing memainkan lima kartu secara bergiliran, dengan aturan main sebagai berikut. Tidak boleh memainkan kartu merah jika sebelum atau sesudahnya pemain

    tersebut memainkan kartu kuning. Seorang pemain tidak boleh memainkan kartu berwarna biru sebagai kartu

    pertama yang dimainkannya, kecuali jika dia memiliki kartu warna jingga. Selain itu ia harus memainkan kartu jingga ini kemudian.

    Seorang pemain tidak boleh memainkan kartu hijau, jika ia tidak memiliki kartu hijau lainnya. Selain itu ia harus memainkan kartu hijau yang kedua ini kemudian.

    22. Mana diantara urutan kartu berikut yang dapat dimainkan oleh pemain ?

    a. hijau, merah, kuning, biru, hijau b. hijau, merah, jingga, biru, kuning c. jingga, hijau, hijau, biru, kuning d. biru, merah, hijau, hijau, kuning e. biru, biru, kuning, biru, jingga

    23. Jika seorang pemain sudah memainkan kartu-kartunya dengan urutan berikut :

    kuning, hijau, biru, dan hijau; maka diantara daftar berikut ini menunjukkan kartu yang dapat dimainkannya pada putaran kelima. Pilihlah yang selengap mungkin :

    a. hijau b. hijau, biru c. hijau, biru, jingga

  • 53

    d. hijau, biru, jingga, kuning e. hijau, biru, jingga, kuning, merah

    24. Berapa digit ke-4 dari kanan pada bilangan 55231 ?

    25. Bila Z bilangan bulat positif terkecil yang memberi sisa 5 jika dibagi dengan 13, dan memberikan sisa 3 jika dibagi dengan 18, berapa jika dibagi dengan 7 ?

    26. Jika x2 + 2xy + y2 = 9. Berapa (x + y)4 ?

    27. Di suatu negeri terdapat hanya dua golongan warga, pertama golongan ksatria yang

    selalu jujur dan golongan pemimpin yang selalu bohong, suatu ketika anda bertemu dengan Adi dan Bima, setelah ditanya mereka menjawab :

    Adi : Bima golongan ksatria Bima : Golongan kami berbeda

    Manakah yang merupakan pernyataan yang paling benar : a. Adi seorang pemimpin b. Bima seorang pemimpin c. Adi seorang ksatria d. Bima seorang ksatria e. Mereka berdua pemimpin

    28. Berapa digit terakhir dari 22003?

    29. Seutas tali dipotong-potong menjadi 14 bagian yang panjangnya membentuk barisan

    aritmatika. Jika tali yang terpanjang 21 cm dan bagian terpendek 4 cm, tentukan panjang tali semula!

    30. Di antara bilangan 3 dan 99 disisipkan 15 buah bilangan sehingga bilangan-bilangan

    yang disisipkan membentuk suatu barisan aritmatika. Cari beda barisan tersebut dan carilah jumlah deret aritmatika tersebut !

    31. Dua dadu dengan sisinya dicat merah atau biru. Dadu pertama terdiri dari 5 sisi

    merah dan 1 sisi biru. Ketika kedua dadu tersebut dilempar, peluang munculnya sisi dadu berwarna sama adalah . Ada berapa banyak sisi dadu kedua yang berwarna merah ?

    32. Jika n dan p adalah dua bilangan bulat, dan n + p berharga ganjil, manakah dari

    berikut ini bil ganjil? a. n - p + 1 b. np c. n2 + p2 - 1 d. 3p + 5n e. (p - n)(n - p)

  • 33. Hitunglah jumlah bilangan antara 1 dan 400 yang habis dibagi 5 tetapi tidak habis dibagi 7 ?

    34. Jika (x+2), (2x+3), (5x-2) merupakan tiga suku pertama yang berurutan dari barisan

    aritmatika. Tentukan nilai x dan jumlah 20 suku pertama barisan tersebut!

    35. Sebuah fungsi f didefinisikan pada bilangan bulat yang memenuhi f(1) + f(2) + ... + f(n) = n2f(n) dan f(1) = 1996 untuk semua n > 1. Hitunglah nilai f(1996) !!

    36. Jika didefinisikan f(n) = n f(n-1) untuk setiap n > 0 dan f(0) = 1, maka berapakah

    f(10)/(f (7) x f(6)) ?

    37. Untuk mengalikan matrik i x j dengan matrik j x k menggunakan metode umum

    diperlukan i x j x k perkalian elementer. Bagaimana dengan mengalikan empat matrik

    yaitu A(20 x 2), B (2 x 30), C (30 x 12) dan D (12 x 8)? Dengan mengingat perkalian

    matrik bersifat asosiatif, mana diantara perkalian berikut yang memerlukan jumlah

    perkalian elementer terkecil (optimal), A(B(CD)), (AB)(CD), A((BC)D), ((AB)C)D,

    (A(BC))D?

    38. Pak Dengklek memiliki buku yang bernomor halaman mulai 1 s.d. N.

    Jika semua nomor halaman buku tersebut ditulis secara berderet dibutuhkan

    552 digit. Berapakah N?

    39. Si Upik pandai menjumlahkan, namun ia hanya dapat menulis angka 1 dan 2. Oleh

    karena itu, saat Upik ingin menuliskan sebuah angka yang lebih dari

    2, ia menuliskan beberapa angka 1 dan beberapa angka 2 sedemikian sehingga jika

    dijumlahkan jumlahnya adalah bilangan tersebut. Contohnya, untuk

    menuliskan angka 3, Upik memiliki tepat 3 cara yaitu 12, 21, atau 111

    (1+2=3 ; 2+1=3 ; 1+1+1=3). Untuk menuliskan angka 2, sebenarnya

    Upik memiliki 2 cara yaitu 2 dan 11 (2=2; 1+1=2), tapi hanya ada 1cara untuk menuli

    skan angka 1. Berapa banyak cara Upik untuk menuliskan angka 8?

    40. Jika a, b, c, d dan e adalah bilanganbilangan bulat yang tidak nol dan tidak negatif

    serta tidak ada yang sama, dan diketahui pula a+b+c+d=10, berapakah harga t

    erbesar yang mungkin dari ab+cd ?

  • 55

    41. Pepen berdiri sejauh 18 meter di sebelah utara Tugu Pemuda, Fanny berdiri 24

    meter di sebelah barat Tugu yang sama. Berapakah jarak terdekat antara

    Fanny dan Pepen yang dapat ditempuh ?

    42. Sebuah tes diikuti oleh 60 siswa dan nilai dari 0 sampai dengan 100, hanya 21 siswa

    yang mendapat nilai lebih besar atau sama dengan 80. berapa nilai rata rata terkecil

    yang mungkin bagi ke 60 siswa ?

    43. Pak Ganesh menulis angka 1 s.d. 10000. Berapa banyak angka 1 yang muncul pada

    hasil tulisan Pak Ganesh?

    44. Tahun "semi-kabisat" adalah tahun yang bukan merupakan tahun kabisat,

    tetapi jika tiap bilangan penyusun angka tahunnya dijumlahkan, hasilnya habis

    dibagi dengan 4. Ada berapa tahun "semi-kabisat" semenjak tahun hingga

    1960?

    45. Bilangan a, b, c adalah digit-digit dari suatu bilangan yang memenuhi 49a + 7b + c =

    286. Apakah bilangan 3 angka (100a + 10b + c)?

    46. Sebuah bilangan dipilih secara acak dari bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 999,

    1000. Peluang bialangan yang terpilih merupakan pembagi M dengan M adalah

    bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan 1000 adalah 0.01. Tentukan nilai

    maksimum dari M?