aritmatika a

of 55 /55
ARITMATIKA MODUL PEMBINAAN OLEH TIM PEMBINA OLIMPIADE KOMPUTER ILMU KOMPUTER UDAYANA (DISAJIKAN UNTUK PESERTA PEMBINAAN BIDANG KOMPUTER –OSN 2009) PEMERINTAH DAERAH PROPINSI BALI DINAS PENDIDIKAN PEMUDA DAN OLAHRAGA 2009

Author: masjunrohul

Post on 03-Jan-2016

150 views

Category:

Documents

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

• ARITMATIKA MODUL PEMBINAAN

O L E H

T I M P E M B I N A O L I M P I A D E K O M P U T E R

I L M U K O M P U T E R U D A Y A N A

( D I S A J I K A N U N T U K P E S E R T A P E M B I N A A N B I D A N G

K O M P U T E R O S N 2 0 0 9 )

P E M E R I N T A H D A E R A H P R O P I N S I B A L I

D I N A S P E N D I D I K A N P E M U D A D A N O L A H R A G A

2 0 0 9

• DA F TA R I S I

PENDAHULUAN ............................................................................................................. 3 TEORI BILANGAN ......................................................................................................... 4

DEVISIBILITAS (KETERBAGIAN) ...................................................................................... 4 BILANGAN PRIMA ............................................................................................................ 6 FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR ............................................................................... 9 KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL .......................................................................... 13 ARITMATIKA MODULAR ................................................................................................ 14 DIGIT TERAKHIR ........................................................................................................... 15

DEFINISI REKURSIF ................................................................................................... 18 DERET ............................................................................................................................. 19 KOMBINATORIKA ...................................................................................................... 22

KONSEP DASAR PENCACAHAN ..................................................................................... 23 PRINSIP PENJUMLAHAN (RULE OF SUM)........................................................................ 23 PRINSIP PERKALIAN (RULE OF PRODUCT) ..................................................................... 24 PERMUTASI DAN KOMBINASI ....................................................................................... 25

Permutasi .................................................................................................................. 26 Permutasi dari n-objek yang terpilih ....................................................................... 26 Permutasi sebanyak r dari n objek ........................................................................ 27 Permutasi Keliling (Circular Permutation) ............................................................. 27 Permutasi sebanyak r dari n objek dengan pengembaliam objek yang terpilih .. 29 Permutasi sebanyak r dari n obyek yang tidak seluruhnya dapat dibedakan ....... 29 Kombinasi ................................................................................................................. 30 Kombinasi sebanyak r dari n objek yang berbeda. ............................................... 32

TEOREMA BINOMIAL DAN MULTINOMIAL ................................................................... 35 PIGEONHOLE PRINCIPLE/PERINSIP SARANG MERPATI .............................................. 40 PERINSIP INKLUSI DAN EKSLUSI .................................................................................. 42

MEMBUAT MODEL ARITMATIKA/MATEMATIKA ........................................... 46 KONTEKS MASALAH ................................................................................................. 48 BERPIKIR SECARA CERDAS .................................................................................... 49 LATIHAN SOAL ARITMATIKA DAN KOMBINATORIKA .................................50

• 3

PENDAHULUAN

Secara umum materi uji tertulis terbagi atas tiga komponen utama: materi uji

analitika dan logika, materi uji aritmattika dan materi uji algoritmika. Materi uji analitika

dan logika bertujuan untuk menguji potensi akademis peserta namun sedapat mungkin

memiliki relevansi yang tinggi dengan problem solving dan elemen penting dalam

menguasai pemrograman computer.

Materi aritmatika sebenarnya sejalan dengan analitika dan logika di atas karena

soal aritmatika di OSN bidang Informatika bukan sekedar menguji ketrampilan dalam

hitung menghitung, tetapi lebih pada cara berpikir yang logis dan analitis namun dengan

soal bertemakan aritmatika.

Sedangkan materi algoritmika bertujuan untuk menguji kemampuan peserta

dalam memahami dan menyusun suatu algoritma. Aspek-aspek yang terkait dengan

pengetahuan dan bahasa pemrograman direduksi seminimal mungkin ke tingkat

pseudocode.

Materi Uji Aritmatika

Terdapat enam aspek analitis dalam persoalan aritmatika yang umumnya dijadikan

sebagai materi uji pada OSN bidang informatika, yaitu:

1. Memahami sifat-sifat bilangan (Teori Bilangan);

2. Memahami formula rekursif (Sifat Rekursif);

3. Menentukan pola dari sebuah deret bilangan;

4. Eksplorasi dalam masalah kombinatorik;

5. Mampu membentuk model aritmatika/matematika serta melakukan deduksi/

induksi model;

6. Mengkaitkan dengan konteks masalah;

7. Berpikir secara cerdas.

• TEORI BILANGAN

DEVISIBILITAS (KETERBAGIAN)

Untuk bilangan a dan b, a 0, kita katakan a membagi b jika b =ac untuk sebuah

bilangan bulat c. Kita tunjukkan dengan menggunakan notasi a|b. Dapat juga dikatakan

bahwa b terbagi oleh a. Berikut adalah sifat-sifat turunan dari a|b :

1. Jika a|b, b 0, maka |a| |b|

2. If a|b and a|c, maka a|b+c untuk sembarang bilangan bulat dan

3. Jika a|b dan a|b c maka a|c

4. a|a (refleksif)

5. Jika a|b dan b|c maka a|c (transitif)

6. Jika a|b dan b|a maka |a| = |b|

Teorema: untuk sembarang bilangan bulat positif a dan b akan ada sebuah pasangan

unik (q,r) bilangan bulat positif yang memenuhi

b = aq + r, r < a

Hal ini juga dikenal dengan Algoritma Pembagian. Algoritma Pembagian dapat diperluas

untuk bilang bulat lainnya sebagai berikut: untuk sembarang bilangan bulat a dan b, a 0,

akan terdapat pasangan unik (q,r) bilangan bulat sehingga b = aq + r, 0 r < |a|.

Contoh Soal 1: Buktikan n5 5n3 + 4n terbagi oleh 120!

Solusi: n5 5n3 + 4n = n(n2-1)(n2-4)

= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)

Lima produk persamaan diatas berturut-turut adalah: n 2, n 1, n, n + 1, n + 2. jika n

{-2, -1, 0, 1, 2} kita dapat katakan bahwa n5 5n3 + 4n = 0 terpenuhi. Maka untuk n 3

kita bisa nyatakan:

n5 5n3 + 4n = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)

=

+5

2(!5

n

• 5

=

+5

2(120

n

Untuk n -3, ambil n = -m, dimana m 3 akan diperoleh

n5 5n3 + 4n =

+5

2(120

m

jadi berdasarkan persamaan diatas dapat dikatakan bahwa 120| n5 5n3 + 4n.

Contoh Soal 2: temukan semua bilangan bulat positif n dimana bilangan yang diperoleh

dengan menghilangkan digit terakhir n tersebut adalah sebuah pembagi dari n.

Solusi: Ambil b sebagai digit terakhir dari bilangan n dan ambil a sebagai bilangan yanng

diperoleh dari menghilang digit terakhir. Maka n = 10a + b. Karena a adalah pembagi n,

maka kita bisa nyatakan bahwa a membagi b. Semua bilangan n yang berakhir dengan 0

adalah solusinya. Untuk b 0 maka a adalah satu digit dan solusi yang mungkin untuk n

adalah bilangan-bilangan berikut: 11, 12,. . . , 19, 22, 24, 26, 28, 33, 36, 39, 44, 48, 55, 66,

77, 88 atau 99.

Contoh Soal 3: Misalkan p > 2 adalah bilangan ganjil dan n adalah bilangan bulat positif.

Buktikan bahwa nnn ppp p )1(...21 +++ terbagi oleh p.

Solusi: Misalkan npk = dan perhatikan bahwa k adalah bilangan ganjil. Maka ])(...)([)( 121 ++=+ kkkkk dpdpddpdpd . Dengan menjumlahkan

persamaan-persamaan tersebut dari d=1 sampai 2

1= pd , kita bisa menghasilkan

persamaan nnn ppp p )1(...21 +++ pada ruas kiri, yang ternyata terbukti bisa

dibagi p (terlihat pada ruas kanan).

Contoh Soal 4: Temukan semua bilangan bulat positif n yang untuk semua bilangan

bulat ganjil a, jika na 2 maka a|n

Solusi: Misalkan a adalah bilangan ganjil terbesar sehingga na

• 4486 223 +++ aaaaa . Maka 0447 23 + aaa atau 0)1(4)7(2 + aaa , solusinya adalah a = 1, 3 atau 5.

Jika a = 1, maka 22 31 n sehingga }8,...,2,1{n

Jika a = 3, maka 22 53 n dan 1.3|n sehingga }24,21,18,15,12,9{n

Jika a = 5, maka 22 75 n dan 1.3.5|n sehingga }45,30{n .

Karena itu }45,30,24,21,18,15,12,89,7,6,5,4,3,2,1{n

SOAL LATIHAN:

1. Tunjukkan bahwa untuk sembarang bilangan natural n, diantara n2 dan (n+1)2

bisa ditemukan tiga bilangan natural berbeda a, b dan c sehingga a2 + b2 bisa

terbagi oleh c.

2. Temukan semua bilangan bulat positif n sehingga 11 53 + nn bisa membagi nn 53 +

BILANGAN PRIMA

Bilangan bulat p > 1 dikatakan prima jika tidak ada bilangan bulat lain d > 1 yang

memenuhi d|p. Sembarang bilangan bulat n > 1 mempunya setidaknya satu pembagi

prima. Jika n adalah bilangan prima maka pembagi primanya adalah n itu sendiri. Jika n

bukan bilangan prima, misalkan a > 1 sebagai pembagi terkecilnya. Selanjutnya n = a.b,

dimana 1 < a b. Jika a bukan bilangan prima maka akan ada a1 dan a2 sehingga a = a1.a2

dengan 1 < a1 a2 1 yang bukan merupakan bilangan prima disebut bilangan

komposit. Jika n adalah komposit maka n memiliki sebuah pembagi prima yang tidak

melebihi n . Sesungguhnya seperti yang telah ditunjukkan diatas, n = a.b, dimana 1 < a

b dan a adalah pembagi terkecil dari n. Maka n > a2 sehingga a n .

Teorema 1:

(Euclid) Ada jumlah tak terbatas bilangan-bilangan prima.

• 7

prima: mppp 1

yang merupakan salah satu dari mppp ,...,, 21 , kita misalkan kp . Ini diikuti dengan

1...| 21 +mk pppp sedangkan karena kp salah satu dari mppp ,...,, 21 , berarti mk pppp ...| 21 ini mengarah ke 1|kp . Ini merupakan kontradiksi.

Perhatikan: Bilangan prima terbesar yang diketahui adalah 232582657 1. Bilangan itu

ditemukan pada 2006 dan memiliki 9808358 digit. Hasil fundamental dari aritmatika

menghadapi tantangan terbesarnya, faktorisasi dari bilangan bulat.

Teorema 2:

(Teorema faktorisasi prima) Setiap bilangan bulat n > 1 mempunyai sebuah

representasi unik sebagai produk dari bilangan-bilangan prima.

Bukti: Keberadaan presentasi tersebut dapat diperoleh dari cara berikut: Misalkan 1p

adalah pembagi prima (faktor) dari n. Jika 1p = n, maka n = 1p adalah faktorisasi prima

dari n. Jika 1p < n, maka 11rpn = dimana 1r > 1. Jika 1r prima maka 21 ppn = dimana 2p = 1r , ini adalah foktorisasi yang diingin dari n (sesuai dengan teorema). Jika 1r adalah

komposit maka 221 rpr = dimana 2p prima, 2r > 1 sehingga 221 rppn = . Jika 2r prima maka 321 pppn = dimana 2r = 3p , dan kita selesai. Jika 2r adalah komposit, maka kita lanjutkan algoritma ini sehingga memperoleh deret bilangan 1...21 >> rr . Setelah langkah yang terhingga, kita akan memperoleh 11 ==kr sehingga kpppn ...21= .

Untuk keunikannya, mari kita asumsikan ada setidaknya satu bilangan bulat positif n

sehingga hk qqqpppn ...... 2121 == dimana 1p , 2p , ..., kp , 1q , 2q , ..., hq adalah bilangan-bilangan prima. Terlihat jelas bahwa 2k dan 2h . Misalkan n adalah bilangan minimal yang memenuhi syarat tersebut. Kita menyatakan bahwa ji qp untuk setiap i = 1, 2, , k, j = 1, 2, , h. Jika, sebagai contoh, pqp hk == , maka

1111/' === hk qqpppnn LL dan 1 < n < n, merupakan kontradiksi dari

• minimalitas n. Asumsikan bahwa 1p adalah faktor prima terkecil dari n dalam

representasi diatas. Dengan menerapkan Algoritma Pembagian sebagai berikut:

1111 rcpq += 2212 rcpq += K hhh rcpq += 1

Dimana .,,1,1 1 hipri K= Kita akan peroleh )())(( 122111121 hhh rcprcprcpqqqn +++== KK

Dengan memperluas persamaan ini kita akan memperoleh hrrrApn K211 += . Dengan mengetahui bahwa hrrrn K21'= kita peroleh '121 nAppppn k +== K . Dari sini kita dapat ketahui bahwa '|1 np dan issspn K211'= , dimana isss ,,, 21 K adalah bilangan prima.

Dari sudut lain, menggunakan faktorisasi dari hrrr ,,, 21 K kedalam bentuk prima,

semua faktor dari 1pri < . Dari hrrrn K21'= diikuti n sudah difaktorkan kedalam bentuk jtttn K21'= dimana 1pts < , s = 1, 2, ..., j. Faktorisasi ini berbeda dari bentuk

issspn K211'= . Namun n < n, ini merupakan kontradiksi dari minimalitas n.

Dari teorema ditas dapat diturunkan bahwa untuk setiap bilangan bulat n > 1 bisa

dituliskan secara unik dalam bentuk

kkppn K11=

Dimana 1p , 2p , ..., kp adalah bilangan-bilangan prima unik dan k ,,, 21 K adalah bilangan bulat positif. Representasi ini disebut faktorisasi kanonikal (canonical

factorization) dari n.

Contoh Soal 1 : Buktikan bahwa untuk sembarang bilangan bulat n > 1 bilangan

145 ++ nn bukan bilangan prima.

• 9

Solusi: Kita peroleh 145 ++ nn = 1223345 +++++ nnnnnnnn = )1()1()1( 2223 +++++++ nnnnnnnn = )1)(1( 32 +++ nnnn , hasil perkalian dari dua bilangan bulat diatas 1. Oleh karena itu 145 ++ nn bukan bilangan prima.

Contoh Soal 2: Carilah semua bilangan prima a, b, c sehingga ab + bc + ac > abc.

Solusi: Misalkan cba . Jika 3a maka ab + bc + ac > 3bc, sebuah kontradiksi. Karena a adalah bilangan prima, maka ini mengarahkan ke a = 2. Pertidaksamaannya

akan menjadi 2b + 2c + bc > 2bc, sehingga:

2111 >+

bc

jika 5b , maka 5c dan 52

51

5111

21 =+ nn pppp K untuk 4n , dimana K,3,2 21 == pp adalah deret menaik dari bilangan-bilangan prima.

FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR

Untuk sebuah bilangan bulat positif k kita nyatakan kD sebagai himpunan dari

semua pembagi positifnya. Jelas bahwa kD adalah himpunan terhingga. Untuk bilangan

• bulat positif m dan n, elemen maksimal dari himpunan nm DD disebut faktor persekutuan terbesar (greatest common divisor) dari m dan n, kita menggunakan notasi fpb(m,n).

Pada kasus dimana nm DD ={1}, kita mengatakan bahwa fpb(m,n)=1 dan kita nyatakan m dan n adalah relatif prima.

Hal berikut bisa diturunkan secara langsung dari definisi di atas:

1. Jika d = fpb(m,n), m = dm, n = dn maka fpb(m,n)=1

2. Jika d = fpb(m,n), m = dm, n = dn maka fpb(m,n) = 1 maka d = d

3. Jika d adalah faktor persekutuan dari m dan n maka d bisa membagi fpb(m,n)

4. Jika

kkppm K11= , k

kppn K11= ,

kiiiii ,,2,1,1,0, K=+ , maka ),min(),min(

111),( kkkppnmfpb

K= . 5. Jika m = nq + r maka fpb(m,n) = fpb(n,r)

Mari kita buktikan poin 5. Misalkan d = fpb(m,n) dan d = fpb(n,r). Karena d|m dan

d|n diikuti d|r. Karena d|d. Kebalikannya dari d|n dan d|r diikuti oleh d|m, jadi

d|d. Oleh karena itu d = d.

Sebuah algoritma yang berguna untuk menemukan faktor persekutuan terbesar dari

dua bilangan bulat positif adalah Algoritma Euclidean. Ini berisi penerapan berulang dari

Algoritma Pembagian:

nrrnqm

• 11

112 1, >>> K21 .

Sisa bagi yang tidak nol, kr , adalah faktor persekutuan terbesar dari m dan n.

Sebenarnya dengan menggunakan aturan 5) diatas kita dapatkan

kkk rrrfpbrrfpbrnfpbnmfpb ===== ),(),(),(),( 1211 K

Proposisi 1: Untuk bilangan bulat positif m dan n, terdapat bilangan bulat a dan b

sehingga am +bn = fpb(m,n).

Bukti: Dari Algoritma Euclidian bisa diperoleh

K),1(, 212211 qqnmqrnqmr ++== Secara umum kinmr iii ,,1, K== . Karena 111 ++ = iiii qrrr , sehingga

==

++

++

iiii

iiii

qq

111

111

i = 2, ..., k-1. Akhirnya, kita mendapatkan bahwa nmrnmfpb kkk +==),( .

Kita bisa mendefinikan faktor persekutuan terbesar dari beberapa bilangan bulat

positif smmm ,, ,21 K dengan memperhatikan:

),(,),,(),,( 21312211 sss mdfpbdmdfpbdmmfpbd === K Bilangan bulat 1= sdd disebut faktor persekutuan terbesar dari smmm ,, ,21 K dan dinotasikan sebagai ),,( ,21 smmmfpb K

Contoh Soal 1: Temukan faktor persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan yang

memenuhi 26263 532 ++ ++= nnnnA .dimana n = 0, 1, ..., 1999.

Solusi: Kita dapatkan 7.53525910 ==++=A

Menggunakan kongruen mod 5 kita peroleh

)5(mod)1(232 133263 ++ ++ nnnnnA . Untuk )5(mod09,1 1 = An , karena itu n bukan faktor persekutuan.

• Sebaliknya, nnnnA33 25.259.98 ++=

nn 33 4.42.21 ++ nn 64.48.21 ++

nn 1.41.21 ++

)7(mod0

Oleh sebab 7 dapat membagi nA , untuk semua bilangan bulat 0n . Akibatnya, faktor persekutuan terbesar dari bilangan 19991 ,,, AAAo K adalah 7.

Contoh Soal 2: Temukan semua tripel bilangan bulat positif (a, b, c) sehingga 333 cba ++ bisa dibagi accbba 222 ++

Solusi: Biarkan g sebagai faktor persekutuan terbesar dari a dan b. Maka 3g bisa

membagi ba 2 jadi 3g bisa membagi 333 cba ++ dan g bisa membagi c. Dengan ini, fpb dari setiap pasangan (dua bilangan) dari a, b, c adalah fpb untuk ketiganya.

Biarkan (l,m,n) = (a/g, b/g, c/g). Maka (l, m, n) adalah tripel yang memenuhi kondisi

permasalahan, dan l, m, n merupakan pasangan-pasangan relatif prima. Karena 2l , 2m

dan 2n semuanya bisa membagi 333 nml ++ , sekarang kita mempunyai 333222 | nmlnml ++

Asumsikan tanpa kehilangan arti umumnya bahwa nml . Kita akan mempunyai

3333222 3lnmlnml ++ dan karena itu, lnm 3/22 . Karena )(| 332 nml + , kita juga mempunyai

333244 39/ mnmlnm +

Jika 2n maka nm

• 13

Jika 2m maka ml > karena l dan m relatif prima, jadi

33322 21 lmlnm , sehingga

1324 +< mlm , dan 4m . Tidaklah sulit untuk melihat bahwa satu-satunya solusi adalah (3, 2, 1).

KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL

Berlawanan dengan himpunan kD yang sudah kita pelajari di sub bahasan

sebelumnya, kM adalah himpunan terhingga bilangan bulat. Untuk bilangan bulat positif

s dan t, elemen terkecil dari himpunan ts MM disebut kelipatan persekutuan terkecil dari s dan t dan dinotasikan sebagai kpk(s,t).

Berikut adalah turunan langsung dari definisi tersebut:

1. Jika m = kpk(s,t), m = ss = tt, maka fpb(s,t) = 1.

2. Jika m adalah kelipatan persekutuan dari s dan t dan m = ss = tt,

fpb(s,t)=1, maka m=m

3. Jika m adalah kelipatan persekutuan dari s dan t maka m|m.

4. Jika kpk

p pps K11= dan kpkp ppt K11= , 1,0, + iiii , i = 1, ..., k, maka

)max()max(1

11),( kkkpptskpk K=

Hal berikut menunjukkan hubungan antara fpb dengan kpk.

5. Untuk setiap bilangan bulat positif m dan n akan memenuhi hubungan

berikut:

),().,( nmkpknmfpbmn =

• ARITMATIKA MODULAR

Untuk bilangan bulat a, b dan n, dimana n 0. Kita katakan a dan b adalah modulo

kongruen n jika n|a-b. Kita notasikan dengan a b (mod n). Relasi pada himpunan Z

bilangan bulat disebut relasi kongruen. Jika m tidak bisa membagi a b, maka kita

katakan bilangan bulat a dan b bukan modulo kongruen n. Berikut pernyataan yang bisa

diturunkan dari hal ini:

1. a a (mod n) (reflektif)

2. jika a b (mod n) dan b c (mod n), maka a c (mod n) (transitif)

3. jika a b (mod n) maka b a (mod n)

4. Jika a b (mod n) dan c d (mod n) maka a+c b+d (mod n) dan a c

b d (mod n)

5. Jika a b (mod n) maka untuk sembarang bilangan bulat k, ka kb (mod n)

6. Jika a b (mod n) dan c d (mod n) maka ac bd (mod n)

Teorema 1: Untuk a, b, n bilangan bulat, 0n sehingga 11 rnqa += , 22 rnqb += , 10 r , || nrs . Maka )(modnba jika dan hanya jika 21 rr = .

Bukti: Karena )()( 2121 rrqqnba += , ini menghasilkan n|a-b jika dan hanya jika 21| rrn . Dengan memperhatikan bahwa |||| 21 nrr

• 15

DIGIT TERAKHIR

Misalkan anan-1....a0 adalah representasi desimal dari bilangan bulat positif N. Digit

terakhir N adalah l(N) = a0 dan untuk k 2, k digit terakhir adalah lk(N) = ak-1 ... a0.

Konsep sederhana ini muncul dalam berbagai situasi. Sangat berguna mengetahui digit

terakhir dari kn, dimana untuk k = 2, 3, ..., 9:

Dan jelas bahwa jika l(N)=0 maka ln(Nn) = 0...0 (0 sebanyak n) dan jika l(N) = 1 maka

l(Nn) = 1 untuk semua n 2.

Contoh Soal 1: Apakah digit terakhir dari (. . . (((77)7)7) . . .7)? Ada 1001 buah 7 dalam

formula tersebut.

Solusi: Digit terakhir dari bilangan desimal adalah sisa modulo 10. Sekarang 72 = 49 -1

(mod 10). Sehingga 77 = (72)3.7 -7 (mod 10) dan

(77)7 (-7)7 -(77) -(-7) 7 (mod 10)

Melanjutkan proses tersebut kita akan melihat bahwa ((77)7)7) 7 (mod 10) dan secara

umum ((((77)7)7).7) 7 (mod 10), dimana tandanya + jika jumlah kemunculan 7

Contoh Soal 2: Berapa digit terakhir dari 22003?

• Solusi: Dengan mengubah n=1,2,3dst, perhitungan 2n menghasilkan deret 1, 2, 4, 8,

16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, dst. Amati angka terakhir dari setiap bilangan,

kita mendapatkan perulangan dari 6 2 4 8 pada n mod 4 = 0, 1, 2, 3. Jadi jika

n=2003, diperoleh 2003 mod 4 = 3, yaitu memiliki digit terakhir 8.

Contoh Soal 3: Ketiga digit awal dari hasil perkalian 22002 x 52005 jika dijumlahkan

Solusi: Ini juga tidak mungkin dihitung manual. Perhatikan bilangan dasarnya 2 dan 5

yang jika dikalikan menjadi 10. Karena setiap pasang faktor 2 dan 5 menghasilkan 10

berarti hanya menambah 0 di digit terkanan. Ada 2002 pasang faktorfaktor tersebutg

sehingga 22002 x 52005 = 53 x 102002= 125 102002. Penjumlahan tiga digit awal

1+2+5=8

Contoh Soal 4: Hitunglah (80! x 38!) /(77! x 40!).

Solusi: Menggunakan sifat sbb untuk a dan b bulat positif, a > b, maka a!/b! = a.(a

1).(a 2)(b + 1). Maka

(80! x 38!) /(77! x 40!) = (80!/77!) / (40!/38!)

= (80x79x78) / (40x39)

= (80/40) x (78/39) x 79

= 2 x 2 x 79 = 316

yang dapat dihitung tanpa kalkulator.

Contoh Soal 5: Jika n dan p adalah dua bilangan bulat, dan n + p berharga ganjil,

manakah dari berikut ini bil ganjil?

(A) n p + 1

(B) np

(C) n2 + p2 1

(D) 3p + 5n

• 17

(E) (p n)(n p)

Solusi : A bukan, karena (n+p) adalah ganjil maka dari n dan p salah satu ganjil dan yang

lain genap. Selisih antara n dan p pasti ganjil sehingga jika ditambah 1 menjadi genap.

B bukan karena perkalian antara suatu bilangan genap dengan bilangan apapun akan

C bukan karena pangkat bulat positif berapapun dari bilangan genap, tetap genap, dan

ganjil tetap ganjil, kemudian ganjil ditambah genap dan dikurang ganjil menjadi genap.

D bukan karena pangkat bulat positif berapapun dari bilangan ganjil tetap bilangan ganjil,

dan jumlah dua bilangan ganjil menjadi genap. E benar, karena perkalian antara dua

bilangan ganjil menghasilkan bilangan ganjil.

• DEFINISI REKURSIF

Definisi rekursif adalah bagaiman membangun sesuatu dari versi sederhana dari hal yang

sama. Definisi rekursif mempunyai dua bagian :

1. Kasus basis (base case) yang tidak tergantung dengan apapun

2. Kasus Kombinasi yang bergantung pada kasus yang lebih sederhana.

Sebagai contoh kita ambil definisi rekursif dari faktorial:

>==

0),1(.0,1

)(xxfacx

xxfac

Kasus basis dari contoh diatas adalah fac(x)=1 untuk x=0 dan kasus kombinasinya adalah

f(x) = x.fac(x-1) untuk x >0

Contoh lain adalah deret Fibonacci, yang telah disinggung di bab sebelumnya. Misalkan kita

memiliki fungsi fib(n) yang mengembalikan bilangan fibonacci ke-n. Maka dengan cara

rekursif dapat kita definisikan bahwa:

>+==

=1),2()1(

1,10,0

)(nnfibnfib

nn

nfib

Untuk fungsi diatas kasus basisnya ada dua yaitu fib(n) = 0 untuk n=0, dan fib(n) = 1 untuk

n=1. Sedangkan kasus kombinasinya adalah fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2), n > 1.

dan sudah dianggap sebagai definisi informal dari fungsi Fibonacci. Contoh Soal 1: Jika didefinisikan f(n)=n.f(n-1) untuk setiap n > 0 dan f(0)=1 maka berapakah

f(10)/(f(7).f(6)) ?

• 19

Solusi: Fungsi ini adalah fungsi faktorial yang definisikan secara rekursif. Yaitu sama dengan

contoh diatas (fungsi fac). Jadi f(10) = 10!, f(7)= 7! Dan f(6) = 6!

Sehingga, 10!/7! = (10.9.8.7.6.5.4.3.2.1)/(7.6.5.4.3.2.1) = 10.9.8

dan (10.9.8) /(6.5.4.3.2.1) = 1

Contoh Soal 2: Jika suatu fungsi didefinisikan f(x, y) = x2-y2 untuk x dan y dua bilangan real.

Solusi: f(x, y) = x2-y2 maka f(3, f(3,4) = f(3, 3.3-4.4)

= f(3, -7)

= 3.3 + (-7)(-7)

= 9 - 49

= -40

SOAL LATIHAN:

Jika

>+

==

1,),13(),2/(

1,1)(

nganjilnnfgenapnnf

nnf untuk n bilangan bulat positif n > 0. Berapakah

f(2008)?

• DERET

Ada dua macam deret yang sering menjadi topik, yaitu deret aritmatika dan deret

geometri. Kedua deret ini berbeda dalam hal definisi suku berikutnya terhadap suku

sebelumnya.

Deret aritmatika adalah deret bilangan yang selisih suku-suku bersebelahan selalu tetap.

Contohnya deret bilangan bulat: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... Misalkan Un melambangkan suku

ke n dari deret aritmatika, maka Un-Un-1 =b atau beda antar sukunya. Suku pertama dari

deret ini U1 kita misalkan a. Maka akan berlaku hal berikut:

Un = a + (n-1)b

Misalkan Sn adalah jumlah n suku pertama, U1+U2+U3+ ... + Un, berlaku

2

)( UnanSn +=

dengan kata lain

2))1(2( bnanSn +=

Pembuktian untuk formula Sn ini sudah kita lakukan pada bab sebelumnya.

Selanjutnya kita akan membahas mengenai deret geometri. Deret geometri adalah deret

bilangan dimana hasil bagi suku-suku bersebelahan selalu tetap. Contoh deret geometri

adalah sebagai berikut: 1, 2, 4, 8, ... Un/Un-1 selalu menghasilkan 2, hal ini kita sebut sebagai

rasio r. Maka akan berlaku

Un = arn-1, dan

1

)1(=

rraSnn

• 21

Contoh Soal 1: 12. Diberikan dua deret bilangan

R: 1, 2, 3, 4, 5, 6

S: 2, 5, 8, 11,14, 17

Tunjukkan persamaan yang menunjukkan hubungan antara R dan S?

Solusi: Kita dapat lihat deret tersebut adalah deret aritmatika. Mari kita lihat masing-masing

deret mulai dari deret R. ar = 1 dan br =1, maka Unr = ar +(n-1)br = 1 + (n-1).1 = n.

Sedangkan untuk deret S. as = 2 dan bs = 3, maka Uns = as + (n-1)bs = 2 + (n-1)3 = 3n-1.

Maka kita dapat lihat bahwa hubungan antara kedua deret itu adalah S = 3R -1

• KOMBINATORIKA

Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan

objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. Kombinatorial

merupakan bahasan yang penting dalam matematika diskrit. Blaise Pascal (1623-1662) adalah

seorang bangsawan Perancis yang membaktikan seluruh hidupnya untuk matematika,

bahkan bisa disebut matematikawan terbaik pada jamannya. Pada usia 17 tahun ia sudah

menulis essai tentang kerucut. Belum sampai usia 20 tahun ia menjadi salah seorang yang

pertama menemukan perhitungandalam mekanika. Ia meninggal di usia 39 tahun, tetapi

sebelumnya telah bekerja sama dengan Pierre de Fermat meletakkan dasar-dasar probabilitas.

Dari konsep-konsep kombinatorik Paskal menyusun segitiga Pascal yang digunakan untuk

menghitung banyaknya cara memilih r unsur dari n unsur yang ada. Selain itu, Pascal juga

Sekarang kita menggunakan probabilitas yang Pascal kembangkan untuk mempelajari

keajaiban-keajaiban yang jarang muncul dari berbagai macam kejadian, seperti kecelakaan,

kerusakan mesin, dan kerusakan akibat cuaca buruk. Meskipun sebagai manusia kita tidak

tahu pasti apa yang akan terjadi nanti namun ahli-ahli statistika dapat mengestimasi

(teori peluang/kemungkinan). Banyak dari para ahli matematika yang pertama kali

mengembangkan teori probabilitas sebenarnya adalah orang-orang yang menyukai judi.

Mereka berharap bahwa pemahaman mengenai probabilitas dapat meningkatkan peluang

mereka untuk memenangkan permainan yang mereka lakukan.

Girolamo Cardano, salah seorang penjudi yang juga merupakan seorang professor

dalam bidang matematika, menghitung probabilitas dari pelemparan dadu tertentu dan

probabilitas dari penarikan kartu As dari sekotak kartu. Ia memperlihatkan hasil kerjanya

dalam bukunya yang berjudul Ludo Aelae (Book of Games of Chance). Dalam buku ini, ia tidak

hanya membicarakan kemungkinan untuk memenangkan permainan saja tetapi juga

menyarankan cara-cara yang menarik untuk bermain curang. Misalnya ia menjelaskan

bagaimana caranya untuk meningkatkan peluang penarikan kartu tertentu dari sebuah kotak

kartu dengan cara menggosoknya dengan sabun. Banyak aspek dalam kehidupan kita

• 23

Mungkin juga ahli-ahli ekonomi menggunakan statistika untuk membantu mereka

memprediksikan perubahan-perubahan dalam pasar-pasar uang atau bursa saham, yang dapat

menyebabkan perolehan ataupun kehilangan uang dalam jumlah yang sangat besar. Inilah

yang menyebabkan konsep kombinatorika penting dalam penalaran matematika.

KONSEP DASAR PENCACAHAN

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan dengan masalah penghitungan.

Misalnya ada berapa cara yang dapat dilakukan pada saat memasukan sebuah kelereng ke

dalam sebuah kantung, begitu pula apabila memasukan beberapa kelereng ke dalam beberapa

kantung, berapa cara memilih wakil dari bebarapa kelompok mahasiswa dan masih banyak

lagi kasus yang lain. Salah satu prinsip dasar yang mendasari perkembangan probabilitas

dua perinsip dasar pada konsep dasar pencacahan yaitu prinsip penjumlahan dan prinsip perkalian

PRINSIP PENJUMLAHAN (RULE OF SUM)

Apabila kita mempunyai dua buah himpunan yang tidak memiliki unsur bersama, maka

jumlah anggota dari dua himpunan ini adalah jumlah dari banyak anggota dari masing-masing

himpunan.

Definisi 5.1.

Jika ada sebanyak m cara untuk memilih benda jenis A dan ada n cara untuk memilih

benda jenis B , maka total ada sebanyak mn + cara untuk memilih benda jenis A atau benda jenis B dengan = BA . Perinsip ini disebut sebagai Perinsip Penjumlahan.

Secara umum apabila dalam suatu pelaksanaan tugas diperoleh hal berikut:

- Jika tugas I dilaksanakan dengan 1m cara

- Jika tugas II dilaksanakan dengan 2m cara

M M - Jika tugas ke k dilaksanakan dengan km cara

• Dengan syarat tugas yang diberikan harus disjoint (saling asing), maka seluruh tugas dapat

dilaksanakan dengan kmmm +++ ...21 .

Contoh 5.2.

Misalkan ada tujuh kuliah yang berbeda yang ditawarkan di pagi hari dan lima kuliah yang

berbeda yang ditawarkan di siang hari. Maka ada sebanyak 1257 =+ pilihan bagi mahasiswa yang akan mengambil hanya satu kuliah saja.

PRINSIP PERKALIAN (RULE OF PRODUCT)

Apabila dalam suatu prosedur (urutan pengerjaan) yang dapat dilakukan dalam dua

langkah yang saling lepas (tidak bergantung). Jika langkah pertama ada sebanyak m cara dan

langkah kedua dapat dilakukan dengan n cara maka prosedur tersebut dapat dilakukan

dengan nm cara.

Definisi 5.3.

Jika ada m cara untuk memilih benda jenis A dan untuk setiap pilihan tersebut ada n

cara untuk memilih benda jenis B , maka total ada sebanyak nm cara untuk memilih satu benda jenis A dan satu jenis benda B . Perinsip ini disebut Perinsip Perkalian.

Secara umum apabila diberikan suatu langkah yang terdiri dari beberapa tugas misalkan

saja sampai sebanyak k tugas dengan ketentuan berikut:

- Jika tugas I dilaksanakan dengan 1m cara

- Jika tugas II dilaksanakan dengan 2m cara

M M - Jika tugas ke k dilaksanakan dengan km cara

Dengan pelaksanaan yang saling lepas antara tugas satu dan tugas yang lain, maka

pasangan tugas dalam suatu langkah dapat dilaksanakan dengan kmmm ...21 cara.

Contoh 5.4.

Sebuah warung menyediakan menu yang terdiri dari 4 jenis makanan (sate, soto, nasi

campur, dan bakso) dan 3 jenis minuman (Es Jeruk, Es Teh, dan Es Degan). Banyaknya

• 25

macam hidangan (terdiri dari 1 makanan dan 1 minuman) yang dapat disusun adalah sebagai

berikut:

9 Langkah pertama, kita memilih makanan yang bisa di lakukan dalam 4 cara

9 Langkah kedua, kita memilih minuman yang bisa dilakukan dalam 3 cara,

PERMUTASI DAN KOMBINASI

Secara garis besar persoalan pencacahan dapat dikelompokkan sebagai berikut:

a. Pencacahan pola terurut dari beberapa benda, dalam hal ini susunan (urutan) dari benda

tersebut sangat diperhatikan, jadi baab .

b. Pencacahan pola yang tak terurut dari beberapa benda, dalam hal ini susunan (urutan)

dari benda tersebut tidak diperhatikan, jadi baab = .

Berdasarkan cara pengambilan, kelompok ini terbagi lagi ke dalam dua bagian yaitu:

- Pengambilan dengan pemgembalian/pengulangan.

- Pengambilan tanpa pengembalian/tanpa pengulangan

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menghadapi masalah pengaturan suatu obyek

yang terdiri dari beberapa unsur, baik yang disusun dengan mempertimbangkan urutan sesuai

posisi yang diinginkan maupun yang tidak. Misalnya menyusun kepanitiaan terdiri dari ketua,

sekretaris dan bendahara dimana urutan untuk posisi tersebut dipertimbangkan atau memilih

beberapa orang untuk mewakili sekelompok orang dalam mengikuti suatu kegiatan yang

urutan tidak diperhatikan. Dalam matematika, penyusunan obyek yang terdiri dari beberapa

unsur dengan mempertimbangkan urutan disebut Permutasi, sedangkan yang tidak

memperhatikan urutan disebut Kombinasi.

• PERMUTASI

Dalam berapa cara tiga buah buku A, B, C yang berbeda dapat disusun secara teratur di

atas sebuah meja? Cara yang paling sederhana untuk menjawab pertanyaan ini adalah dengan

mencatat semua susunan yang mungkin dapat dibuat dengan bantuan metode ruang.

Persoalan yang dihadapi sebetulnya sama saja dengan mengisikan 3 ruang kosong dengan

buku A, B, C. Ketiga ruang tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

3 2 1

Bawah tengah atas

Jika ruang pertama diisi dengan salah satu dari ketiga buku A, B, C maka akan terdapat

tiga kemungkinan cara untuk mengisinya. Ini berarti untuk yang paling bawah kita dapat

mengisi dengan memilih satu diantara tiga buah buku. Setelah meletakkan satu buku pada

lokasi paling bawah maka kita hanya dapat mengisi ruang kedua dengan dua cara saja, karena

hanya sisa dua buku saja yang dapat digunakan untuk mengisi ruang kedua. Karena dua buku

sudah diletakkan maka untuk pengisian ruang ke tiga masih tersisa satu buku saja.

Menggunakan prinsip perkalian maka hasilnya ketiga ruang tersebut dapat diisi dengan

6123 = cara. Dari contoh tersebut penyusunan secara teratur berarti penyusunan atau pengaturan suatu kelompok objek dalam suatu urutan (order) tertentu. Urutan penyusunan

atau pemilihan merupakan ciri khas dari masalah permutasi.

Definisi 5.6.

Permutasi sejumlah objek adalah penyusunan objek tersebut dalam suatu urutan tertentu.

Berikut akan dibicarakan terlebih dahulu permutasi dari n objek yang berbeda tanpa

pengembalian objek yang telah terpilih.

PERMUTASI DARI n-OBJEK YANG TERPILIH

Dari contoh penyusunan buku diperoleh cara menyusun tiga buah buku yang berbeda

adalah 6123 = cara, secara umum untuk n objek berbeda dapat dipermutasikan dalam !)1)(2)(3).....(2)(1( nnnn = cara yang berbeda.

• 27

Definis 5.7.

Bila n menyatakan bilangan bulat positif maka hasil penggandaan bilangan tersebut dari

1 sampai dengan n dinamakan n faktorial dan dilambangkan dengan !n .

Teorema 5.8.

Permutasi dari keseluruhan n objek yang berbeda adalah jumlah cara penyusunan dari

suatu kelompok yang terdiri dari n obyek yang berbeda kedalam sebanyak n ruang, secara

keseluruhan menjadi !n dan dilambangkan sebagai !),( nnnP =

PERMUTASI SEBANYAK r DARI n OBJEK

Definisi 5.9.

Pengaturan atau penyusunan sebanyak r obyek yang diambil dari suatu kelompok obyek

yang terdiri dari n obyek yang berbeda dinamakan permutasi sebanyak r dari n objek yang

berbeda dimana nr dan secara simbolis permutasi tersebut dinotasikan sebagai ),( rnP .

Teorema 5.10.

Jumlah permutasi sebanyak r dari n objek yang berbeda dimana nr dan pengambilan r tanpa pengulangan adalah

)!(!),(rn

nrnP = .

Contoh 5.11.

Dari 7 orang anak akan disusun suatu perangkat kelas yang terdiri dari ketua, sekretaris

dan bendahara. Berapa cara yang dapat dilakukan untuk memilih perangkat kelas tersebut?

Persoalan ini dapat diselesaikan dengan permutasi. Dari soal diketahui 7=n dan 3=r . Jadi banyaknya cara memilih perangkat kelas adalah 210

!4!7

)!37(!7)3,7( ===P cara.

PERMUTASI KELILING (CIRCULAR PERMUTATION)

Definisi 5.12.

Permutasi suatu kelompok objek yang membuat suatu lingkaran dinamakan permutasi

keliling (Circular Permutation).

• Bila suatu kelompok objek disusun secara teratur dalam sebuah lingkaran maka

permutasi objek yang bersangkutan sebetulnya hanya mempersoalkan kedudukan relatif

obyek-oyek bila melintasi lingkaran dalam syarat tertentu. Penyusunan obyek A, B, C dalam

susunan melingkar berikut dianggap sama.

Gambar 5.1.

Dalam persoalan tentang permutasi keliling, hal yang terpenting adalah kedudukan objek

yang tertentu relatif terhadap objek yang lain. Untuk mencari jumlah permutasi dalam

susunan keliling tersebut kita harus berusaha menentukan terlebih dahulu kedudukan salah

satu objek secara tetap. Kemudian dilanjutkan menghitung jumlah permutasi dari obyek

yang lain seperti apabila obyek tersebut tersusun berjajar.

Teorema 5.13.

Permutasi keliling dari n obyek apabila n obyek tersebut disusun dalam sebuah

lingkaran dapat disusun secara teratur dalam )!1( n cara.

Teorema 5.14.

Permutasi keliling r dari n obyek apabila r obyek tersebut disusun dalam sebuah

lingkaran dapat disusun secara teratur dalam )!(

!),(rnr

nrnP = cara.

Contoh 5.15.

Ada 4 orang yang akan duduk di dalam tiga buah bangku yang disusun melingkar di

taman. Ada berapa macam cara posisi duduk yang dapat dilakukan apabila disyaratkan bahwa

jika penempatan yang diperoleh dari penempatan lain dengan memindahkan seseorang r

tempat duduk searah jarum jam, penempatan tersebut dianggap identik? Terlebih dahulu kita

nyatakan keempat orang tersebut sebgai A, B, C, D. Karena penempatan yang diperoleh

dengan rotasi dianggap sama maka langkah pertama kita bisa menempatkan A secara

• 29

sembarang. Untuk menempatkan 2 dari 3 orang sisanya kita bisa mengurutkan mereka

kemudian meletakkannya dalam urutan searah jarum jam dari A. Untuk menempatkan 2 dari

3 orang dapat diperoleh dengan sebanyak C(3,2) = 3 cara. Berarti ada 3 posisi yang sama

(identik). Sedangkan untuk memilih 3 diantara 4 orang dapat dilakukan dengan sebanyak

P(4,3) = 24 cara. Jadi banyaknya cara duduk melingkar yang dapat dilakukan oleh keempat

)3,4( =P cara.

PERMUTASI SEBANYAK r DARI n OBJEK DENGAN PENGEMBALIAM OBJEK YANG TERPILIH

Teorema 5.16.

Permutasi sebanyak r dari n objek dengan pengembaliam objek yang terpilih adalah jumlah

permutasi dari suatu kelompok yang terdiri dari n obyek dan yang diambil sekaligus

sebanyak r dengan pengembalian objek yang telah terpilih dilambangkan dengan rnrnR =),( dengan ketentuan nr dan merupakan bilangan bulat positif.

PERMUTASI SEBANYAK r DARI n OBYEK YANG TIDAK SELURUHNYA DAPAT

DIBEDAKAN

Secara intuitif jumlah pemilihan obyek yang dapat dibedakan tentunya lebih banyak dari

pada jumlah pemilihan dimana terdapat beberapa himpunan obyek yang sama (tidak dapat

dibedakan). Misalnya kumpulan { }aaa ,, terdiri dari 3 unsur yang tidak dapat dibedakan hanya dapat dipermutasikan dalam 1 cara saja. Sedangkan apabila kita bedakan unsur

himpunan tersebut menjadi { }321 ,, aaa maka jumlah permutasinya akan menjadi sebanyak 3! = 6. Jadi apabila dibandingkan maka jumlah permutasinya berkurang hingga 1/6 dari jumlah

semula apabila himpunan { }321 ,, aaa diubah sedemikian hingga menjadi { }aaa ,, sehingga tidak bisa dibedakan dari anggota himpunan yang satu dengan anggota himpunan yang lain.

Teorema 5.17. Jika terdapat suatu kelompok yang terdiri dari n obyek dimana 1n merupakan kumpulan

objek yang sama, 2n merupakan kumpulan objek yang sama, dan seterusnya hingga kn

merupakan kumpulan objek yang sama, sedangkan nnnnn k =++++ ....321 maka jumlah

• permutasi dari n obyek yang meliputi seluruh obyek di atas adalah sebanyak

!!!!

2121 kk nnnn

nnnn

LL =

Contoh 5.18.

Dalam berapa carakah kata MISSISSIPPI dapat dipermutasikan? MISSISSIPPI

tersusun dari 4 huruf yang terdiri dari 1M, 4I, 4S dan 2P. Dengan sendirinya diperoleh n1 =

1, n2 = 4, n3 = 4, n4 = 2, dan n = 11. Jadi permutasi 11 huruf di atas diperoleh:

34650!2!4!4!1

!112441

11 ==

cara .

KOMBINASI

Perbedaan dasar antara permutasi dan kombinasi terletak pada diperhatikan atau tidaknya

suatu urutan dalam pemilihan serangkaian obyek. Permutasi memberikan tekanan pada

urutan pemilihan sedangkan kombinasi tidak memperhatikan urutan pemilihan.

Definisi 5.19.

Kombinasi dari sejumlah objek merupakan cara pemilihan objek yang bersangkutan

tanpa memperhatikan urutan objek itu sendiri. Susunan ABC, BAC, ACB, BCA, CAB dan

CBA dianggap sama.

Contoh 5.20.

Terdapat empat mata kuliah yang ditawarkan kepada Andi. Karena IP-nya kecil, Andi

hanya bisa mengambil dua dari empat mata kuliah yang ditawarkan. Ada berapa cara

pemilihan yang dapat dilakukan oleh Andi?

Cara 1:

Misalkan empat mata kuliah tersebut diberi nama 1M , 2M , 3M dan 4M . Dapat dibentuk pasangan sebagai berikut:

1M, 2M

1M , 3M

1M , 4M

• 31

2M , 1M 2M , 3M 2M , 4M

M 3M

, 4M

M 4M , 3M

Jelas terdapat sebanyak 34 pasangan dari urutan ini. Tapi karena adanya pasangan yang sama muncul dua kali maka diperoleh banyaknya pemilihan adalah 6

234 = cara.

Cara 2:

Dibentuk pasangan sebagai berikut:

3,,,

41

31

21

MMMMMM

2

,,

42

32

MMMM

}1, 43 MM Pasangan ini dapat ditulis sebagai 634

21123

26 ==++=

cara. Jika diperluas

maka diperoleh )1(21

2=

nnn cara. Untuk pengambilan tiga mata kuliah diperoleh daftar

sebagai berikut:

31223

,,,,

421

431

321

=+=

MMMMMMMMM

.

Jadi banyaknya pasangan berurutan yang diawali dengan 1M adalah 3 buah yaitu

} 122

, 432 =

MMM .

422

23

34 =

+

=

.

Secara umum maka diperoleh persamaan

+

++

+

+

=

11

113

12

11

rr

rr

rn

rn

rn

rn L

Inilah yang disebut pemilihan sebanyak k dari n obyek yang berbeda.

KOMBINASI SEBANYAK r DARI n OBJEK YANG BERBEDA.

Definisi 5.21.

Pemilihan suatu kelompok terdiri dari r obyek yang mungkin dipilih dari suatu

kelompok yang terdiri dari n obyek berbeda tanpa memperhatikan urutan pengambilan

dengan nr

• 33

Tiap kombinasi dari n obyek yang berbeda dan yang diambil sekaligus sebanyak r akan

menciptakan sebanyak !r permutasi karena tiap kelompok yang terdiri dari r obyek tersebut

dapat dipermutasikan diantara mereka sendiri dalam !r cara. Oleh karena itu diperoleh

bahwa !rrn

= ),( rnP . Jadi )!(!

!!

),(rnr

nrrnP

rn

==

, dengan nr

• pilih 1 anggota 1H diperoleh sebanyak

1100

cara, pilih 1 anggota 2H diperoleh

sebanyak

1100

cara.

Karena terjadi bersama-sama dengan menggunakan prinsip perkalian diperoleh

pengambilan sebanyak

1100

1100

1100

=3

1100

cara.

Jadi total cara memilih tiga bilangan sehingga jumlahnya habis dibagi tiga adalah

3100

+

3100

+

3100

+3

1100

= 3

3100

+3

1100

= 1498501000 cara.

Teorema 52.24.

Untuk setiap rn berlaku

=

rnn

rn

. Hal ini dapat dilihat pada tabel kombinatorial

berikut:

Tabel 5.1.

n

0n

1n

2n

3n

4n

5n

0 1 - - - - -

1 1 1 - - - -

2 1 2 1 - - -

3 1 3 3 1 - -

4 1 4 6 4 1 -

5 1 5 10 10 5 1

• 35

233

13 =

=

=

. Pada baris ke-5 : 1035

255

25 =

=

=

.

Teorema 5.25.

Andaikan n dan r adalah dua bilangan bulat yang memenuhi )1(1 nr maka berlaku

bahwa :

+

=

111

rn

rn

rn

.

TEOREMA BINOMIAL DAN MULTINOMIAL

Teorema Binomial

Sebelum kita membahas tentang Teorema Binomial, akan diperkenalkan dulu tentang

Koefisien Binomial. Koefisien Binomial disusun berdasarkan definisi kombinatorik. Hasil

susunan dari kombinatorik yang bersesuaian dalam tingkat orde tertentu dalam koefisien

binomial akan menyusun segitiga Pascal. Selanjutnya konsep segitiga Pascal tersebut dipakai

untuk menyelesaikan kasus yang lebih kompleks. Dari teorema-teorema dalam sub bab

kombinasi sebelumnya diperoleh tabel berikut:

n

0n

1n

2n

3n

4n

5n

0 1 - - - - - .

1 1 1 - - - - ..

2 1 2 1 - - - ..

3 1 3 3 1 - - ..

4 1 4 6 4 1 - ..

5 1 5 10 10 5 1 .

M M M M M M M M

Pasangan

rn ini disebut koefisien binomial. Pasangan

nr bisa disusun dengan

susunan berikut yang kemudian dikenal sebagai segitiga pascal.

• n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

Batas dari segitiga itu terdiri dari bilangan-bilangan 1 dan nilai-nilai di dalamnya

merupakan hasil penjumlahan dari dua bilangan diantasnya, identitas yang dihasilkan dari

suatu proses penghitungan tersebut identitas kombinatorial, dan argumen yang mengarah

pada pembentukannya disebut argumen kombinatorial. Untuk selanjutnya akan dibahas

tentang Teorema Binomial.

Teorema 5.26. (Teorema Binomial)

Jika n adalah bilangan bulat positif, maka untuk setiap a dan b dipenuhi persamaan

( ) =

=+

n

k

kknn bakn

ba0

.

Contoh 5.27.

Jabarkan ( )423 yx dengan menggunakan teorema binomial. Jawaban : sesuai dengan teorema binomial, kita ambil xa 3= , yb 2= dan 4=n ,

maka kita dapatkan :

1 1

11

1 1

11

1 1

2

3 3

4 6 4

5 10 10 5

3

• 37

( ) ( )4423 bayx +=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

432234

443322223344

4031221304

4031221304

169621621681223.423.623.43

2344

2334

2324

2314

2304

44

34

24

14

04

yxyyxyxxyyxyxyxx

yxyxyxyxyx

bababababa

++=++++=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

Contoh 5.28.

Carilah koefisien dari 45ba dalam penjabaran ( )9ba + . Solusi : suku yang melibatkan 45ba muncul dalam teorema binomial dengan mengambil

9=n dan 4=k 4545 12649

bababakn kkn =

=

Sehinga koefisien dari 45ba adalah 126.

Bertikut persamaan-persamaan yang merupakan hasil pengembangan teorema Binomial.

1. =

=

n

k

n

kn

02

2.

+

=

+

11

kn

kn

kn

dengan nk 1

3. 12...2

...420

=+

++

+

+

n

knnnn

4. 12...12

...531

=+

+++

+

+

n

knnnn

5. =

=

nr

nnnr

0

22

• 6.

+=

++

+

+

+1210 1.... nn rrrrr yang bersekawan dengan

=

++

+

+

+++++ 121 ....210 rnrnnnn rr

Teorema Multinomial

Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 10 digit dapat dibuat dengan menggunakan

bilangan 4,4,4,4,3,3,3,2,2,1? Banyaknya cara menempatkan 10 bilangan ke dalam 10 tempat

dapat dilakukan dengan 10! cara. Akan tetapi bilangan-bilangan tersebut dapat

dikelompokkan ke dalam 4 golongan yaitu bilangan 4 ada 4 buah, bilangan 3 ada 3 buah,

bilangan 2 ada 2 buah dan bilangan 1 ada 1 buah. Karena urutan bilangan yang sama dalam

satu golongan memiliki nilai yang sama maka 10! harus dibagi dengan banyaknya cara

penempatan bilangan 4,3,2 dan 1. diperoleh 600.12!1!2!3!4

!10 = cara. Cara lain yang dapat di tempuh adalah dengan menggunakan kombinasi yang diperumum yaitu:

- Meletakkan 4 bilangan ke dalam 10 kotak dapat ditempuh dalam

410 cara.

- Meletakkan 3 bilangan ke dalam 6 kotak yang tersisa dapat ditempuh dalam

36 cara.

- Meletakkan 2 bilangan ke dalam 3 kotak yang tersisa dapat ditempuh dalam

23 cara.

- Meletakkan 1 bilangan ke dalam 1 kotak yang tersisa dapat ditempuh dalam

11 cara.

Karena kejadian terjadi bersama-sama maka cara mengatur 10 angka tersebut ke dalam

410

36

23

11 = 600.12

!1!2!3!4!10 = . Secara umum jika 2r dan

rkkkkk ,.....,,,, 4321 adalah bilangan bulat dengan nkkkkk r =+++++ ....4321 , maka

• 39

banyaknya cara meletakkan InI bilangan ke dalam r kotak adalah !!....!

!.... 2121 rr kkk

nkkk

n =

.

Bentuk inilah yang di kenal sebagai Koefisien Multinomial. Ekspansi binomial dapat

( )( ) ( )

ri

r

r

kr

kk

nkkkkkk r

rr

nr

aaakkk

n

aaaaaaaaaaaa

.........

...............

2

21

21

21

...0..., 21

kalin sebanyak

321321

321

=+++

=

++++++++=++++

444444444 3444444444 21

++

+

=

1....1

...,....11

....,11

.... 21212121 rrrr kkkn

kkkn

kkkn

kkkn

Contoh 5.29.

Tentukan koefisien zyx 32 pada ekspansi 6)32( zyx + .

Jawaban Dari soal diketahui 6=n , 21 =k , 32 =k , 13 =k sedangkan koefisien 1=x , )2(=y , dan 3=z . Koefisien dari zyx 32 pada ekspansi 6)32( zyx + adalah

( ) ( ) ( ) )1440()24(!1!.3!.2

!6321132

6 132 ==

.

Teorema 5.30. (Teorema Multinomial)

Untuk n suatu bilangan bulat positif, maka untuk setiap bilangan real

tXXXXX ,....,,,, 4321 akan berlaku :

ntXXXXX )....( 4321 +++++ ntnnnt

nXtXXXnnn ........ 33

22

1121 = dengan syarat

nnnnn t =++++ ...321

• Contoh 5.31.

1. Expansikan bentuk 754321 )( XXXXX ++++ sehingga anda dapat menentukan koefisien )( 5

343

21 XXXX

Solusi : koefisien )( 53

432

131027 ==

2. Bila yang diekspansikan ( )6321 532 XXX + maka tentukan koefisien 23231 XXX .

Solusi: koefisiennya = ( ) ( ) ( ) 36000532213

6 213 =

2. Tentukan koefisien zyx 32 pada ekspansi 6)32( zyx + .

Solusi:

Dari soal diketahui n = 6, k1 = 2, k2 = 3, k3 = 1 sedangkan koefisien x = 1, y = (-2) , dan

z = 3. Koefisien dari zyx 32 pada ekspansi 6)32( zyx + adalah

( ) ( ) ( ) )1440()24(!1!.3!.2

!6321132

6 132 ==

.

PIGEONHOLE PRINCIPLE/PERINSIP SARANG MERPATI

Pigeonhole Principle atau Prinsip Sangkar Merpati pertama kali dinyatakan oleh ahli

matematika dari Jerman yang bernama Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet pada tahun 1834

sehingga prinsip ini juga dikenal dengan istilah Prinsip Laci Dirichlet. Jika sekawanan merpati

terbang kedalam suatu himpunan sarang merpati dimana dalam kasus ini diasumsikan bahwa

jumlah merpati lebih banyak dari jumlah sarangnya maka paling sedikit dua merpati harus

terbang ke dalam sarang yang sama. Dengan kata lain jika ada 6 burung merpati yang

ditempatkan ke dalam 5 rumah, maka salah satu rumah pasti ditempati oleh lebih dari satu

burung.

• 41

Teorema 5.32.

Jika n di dalam bilangan asli N dan n + 1 atau lebih obyek didistribusikan ke dalam n

himpunan maka paling sedikit satu diantara himpunantersebut pasti terdiri dari paling sedikit

dua obyek.

Jika k dan n adalah bilangan asli dan sejumlah kn + 1 obyek akan didistribusikan ke

dalam n himpunan maka paling sedikit satu diantara himpunan tersebut pasti memuat paling

sedikit k + 1 obyek.

Contoh 5.33.

Jika ada 367 orang disuatu ruangan maka paling sedikit dua diantaranya memiliki tanggal

dan bulan kelahiran yang sama.

Contoh 2.34.

Jika 51 surat didistribusikan ke dalam 5 kotak surat maka paling sedikit satu diantara

kotak surat tersebut pasti memuat paling sedikit sejumlah k + 1 = 10 +1 = 11 surat.

Berikut akan diberikan beberapa contoh permasalahan yang dapat diselesaikan dengan

menggunakan prinsip pigeonhole.

Contoh 5.35.

Seorang pemain catur handal mempunyai waktu 11 minggu untuk mengikuti turnamen.

Sebagai persiapan ia ingin berlatih setiap hari dengan memainkan sedikitnya 1 permainan

catur (gim), tetapi tidak ingin lebih dari 12 kali gim dalam seminggu. Buktikan bahwa ia

pernah melakukan permainan sebanyak tepat 21 kali gim dalam beberapa hari berturutan.

Solusi:

Tulis 1a sebagai jumlah gim yang dimainkan pada hari pertama, 2a sebagai jumlah gim

yang dimainkan pada hari pertama dan kedua, 3a jumlah gim yang dimainkan sampai dengan

hari ketiga dan seterusnya. Diperoleh barisan bilangan 77,4,3,2,1 ...aaaaa terdiri dari angka

yang berbeda-beda dan semakin memnesar. Angka 77 berasal dari latihan selama 11 minggu

• (77 hari). Berdasarkan syarat bahwa setiap munggu tidak boleh lebih dari 12 gim maka

diperoleh 132111277 =a . Jadi kita memiliki barisan

132...1 774321

• 43

Prinsip inklusi-eksklusi dapat dirapatkan untuk operasi lebih dari dua himpunan, Untuk

tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku teorema berikut :

Teorema 536.

Misalkan A, B, dan C adalah himpunan berhingga, maka CBA berhingga dan CBACBCABACBACBA +++= .

Selanjutnya jika dilakukan generalisasi untuk r buah himpunan maka akan diperoleh

teorema berikut:

Teorema 5.37.

Misalkan A1,A2.... Ar adalah himpunan berhingga , maka berlaku

rr

rkjikji

rjiji

iir AAAAAAAAAAAA ++ + =

• mengambil kuliah Bahasa Inggris dan Perancis, 23 orang mengambil kuliah Bahasa Inggris

dan Jerman, dan 14 orang mengambil kuliah Bahasa Perancis dan Bahasa Jerman. Jika 2092

orang mengambil paling sedikit satu buah kuliah Bahasa Inggris, Bahasa Perancis, dan

Bahasa Jerman, berapa banyak mahasiswa yang mengambil kuliah ketiga buah bahasa

tersebut?

Solusi:

Misalkan,

I = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah Bahasa Inggris

P = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah Bahasa Perancis.

J = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah Bahasa Jerman.

maka, | I | = 1232, | P | = 879, | J | = 114

,103|| = PI ,23|| = JI 14|| = JP dan 2092|| = JPI Dengan menggunakan prinsip inklusi-ekslusi diperoleh:

|||||||||||||||| JPIJPJIPIJPIJPI +++= memberikan ||142310311487912322092 JPI +++= sehingga 7|| = JPI . Jadi, ada 7 orang mahasiswa yang mengambil ketiga buah

kuliah Bahasa Inggris, Perancis, dan Jerman.

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Banyaknya bilangan bulat positif di antara 200 dan 2000 yang merupakan kelipatan dari 6

atau 7 tetapi tidak keduanya adalah

2. Dari lomba matematika nasional yang terdiri dari peserta laki-laki dan perempuan yang

jumlahnya kurang dari sama dengan 2006 peserta. Jumlah peserta laki-laki lebih banyak

dari peserta perempuan. Jika peluang juara 1 dan 2 adalah dari jenis kelamin yang sama

adalah , berapa jumlah peserta perempuan?

3. Bentuk sederhana dari =

n

k kn

k1

, dengan !)!(

!kkn

nkn

=

• 45

4. A, B, C dan D bersama-sama bermain bridge. Setiap pemain dibagikan 13 kartu.

Banyaknya kemungkinan pembagian kartu jika A dan B memiliki semua kartu As

5. Diberikan sebuah segi sepuluh konveks dengan sifat tidak ada tiga diagonalnya yang

berpotongan pada satu titik di dalam daerah segi sepuluh tersebut. Dapat dibagi menjadi

berapa ruas gariskah diagonal-diagonal itu oleh titik-titik potongnya?

6. 33 buah benteng disebar pada papan catur berukuran 88 . Buktikan bahwa dapat diambil 5 benteng dengan sifat tidak ada di antara mereka yang saling menyerang.

7. Nomor telepon di Kota Malang terdiri dari enam angka. Banyaknya nomor telepon di

kota itu yang habis dibagi 5 adalah...

8. Lima orang pemuda pergi berekreasi menggunakan sebuah mobil. Mobil yang digunakan

memiliki 2 tempat duduk di depan (termasuk pengemudi) dan 3 tempat duduk di

belakang. Dari kelima orang pemuda tersebut hanya dua orang yang bisa menjadi

pengemudi. Banyak cara mereka duduk adalah.....

9. Sebuah kelompok terdiri dari 2005 anggota. Setiap anggota memegang tepat satu buah

rahasia. Setiap anggota dapat mengirimkan surat kepada anggota lain manapun untuk

menyampaikan seluruh rahasia yang telah dipegangnya. Banyaknya surat yang perlu

dikirimkan agar semua anggota kelompok mengetahui seluruh rahasia adalah.

10. Di dalam sebuah kotak terdapat 4 buah bola, masing-masing bernomor 1,2,3 dan 4.

Anggi mengambil sebuah bola secara acak, mencatat nomornya dan mengembalikannya

kembali ke dalam kotak. Hal yang sama ia lakukan sebanyak 4 kali. Misalkan jumlah dari

keempat nomor bola yang terambil adalah 12. Berapakah peluang bahwa bola yang

terambil selalu bernomor 3?

• MEMBENTUK MODEL ARITMATIKA/MATEMATIKA

Dalam problem solving, seringkali diperlukan tahapan pemodelan masalah yang

sebagian menggunakan model matematika/aritmatika dan menyederhanakannya sehingga

menjadi model yang lebih sederhana dan siap dikomputasikan dalam bentuk algoritma.

Model yang tidak tepat berakibat pada kegagalan dalam pemecahan masalah.

Contoh:

1. Uang Amir lebih banyak dari uang Ali. Jika dijumlahkan uang keduanya lebih dari 50

ribu rupiah, sementara selisih uang Amir dengan uang Ali lebih dari 30 ribu rupiah.

Berapakah uang Amir yang paling tepat?

Model permasalahan: Uang Amir = x, Uang Ali = y, dan dari deskripsi diatas

diperoleh:

Pers-I : x > y Pers-II : x + y > 50.000 Pers-III : |x y | > 30.000

Pers-I dan Pers-III menghasilkan Pers-IV : x y > 30.000

Jika Pers-II dan Pers-IV dijumlahkan menghasilkan: 2x > 80.000.

Maka, x > 40.000

2. Seorang ingin memasang iklan sebanyak 3 baris untuk menjual barangnya. Untuk hari

pertama ia harus membayar Rp 250,- tiap baris. Untuk 5 hari berikutnya ia harus

membayar Rp 150,- tiap baris, dan untuk sehari-hari berikutnya ia harus membayar

Rp 100,- tiap baris. la membayar Rp 6.000,-. Berapa hari Iklan itu dipasang?

3. Persis tiga tahun sebelum Anisa lahir adalah tahun 1980-x. Jadi ulang tahun ke-20

4. Tiga orang diberi tugs. Masing- masing dari mereka dibayar Rp. 75,-, Rp. 100,-, Rp.

125,- tiap jamnya. Mereka menerima uang sebesar Rp. 63.000,- setelah menyelesaikan

• 47

tugas tersebut. Bila mereka bekerja 7 jam dalam sehari. Dan 6 hari dalam seminggu.

Berapa minggukah tiga orang tersebut bekerja....

5. Sebuah tes diikuti oleh 60 siswa dan nilai dari 0 sampai dengan 100, hanya 21 siswa

yang mendapat nilai lebih besar atau sama dengan 80. berapa nilai rata rata terkecil

yang mungkin bagi ke 60 siswa ?

• KONTEKS MASALAH

Konteks dari soal perlu diperhatikan dan konteks tersebut kadang kadang hanya tersirat saja.

Yang dimaksud dengan konteks di sini adalah pemahaman umum akan sesuatu yang sewajar

nya diketahui pula.

Contoh:

Jika lonceng berdentang setiap 1 detik, dalam jumlah dentang yang sesuai waktu yang ditunju

kkan, maka tepat pada pukul berapa dentang terakhir yang menunjukkan jam 6? Apakah

pukul 6:00:06?

Salah, seharusnya pukul 6:00:05 karena dentangdentang tsb pada pukul 6:00:00, pukul

6:00:01, pukul 6:00:02, pukul 6:00:03, pukul 6:00:04 dan pukul 6:00:05!! Konteks disini adalah

dentang pertama terjadi pada tepat pukul 6, dan penomoran detik/menit dimulai dari

0, 1, ... dst.

• 49

BERPIKIR SECARA CERDAS

Jika menghadapi suatu masalah komputasi yang kelihatannya tidak

mungkin, pasti ada sesuatu di balik itu!! Dapatkanlah dengan bantuan pemahaman akan sifat-

sifat operasi aritmatika untuk mendapatkan model matematis yang lebih sederhana.

Contoh Soal : Berapa digit terakhir dari 35055?

Solusi: Dengan mengubah n=1,2,3dst, perhitungan 3n menghasilkan deret 3, 9, 27, 81,

243, 729, 2187, 6561, 19683 dst. Amati angka terakhir dari setiap bilangan, kita mendapatkan

perulangan dari 1 3 9 7 pada n mod 4 = 0, 1, 2, 3. Jadi jika n=5055, diperoleh 5055

mod 4 = 3, yaitu memiliki digit terakhir 7. (Bisa dilihat pada pembahasan digit terakhir di

teori bilangan)

Contoh Soal 3: Ketiga digit awal dari hasil perkalian 22002 x 52005 jika dijumlahkan adalah?

Solusi: lihat pada materi digit terakhir di teori bilangan

Contoh Soal 4: Tentukan penjumlahan 1.1! + 2.2! +3.3! + ... + (n-1).(n-1)! Dinyatakan

dalam n dengan n! = n(n-1)(n-2) ... 2.1.

Solusi:

• LATIHAN SOAL ARITMATIKA DAN KOMBINATORIKA

1. Seorang ingin memasang iklan sebanyak 3 baris untuk menjual barangnya. Untuk hari

pertama ia harus membayar Rp 250,- tiap baris. Untuk 5 hari berikutnya ia harus membayar Rp 150,- tiap baris, dan untuk sehari-hari berikutnya ia harus membayar Rp 100,- tiap baris. la membayar Rp 6.000,-. Berapa hari Iklan itu dipasang?

2. Persis tiga tahun sebelum Anisa lahir adalah tahun 1980-x. Jadi ulang tahun ke-20

3. Suatu seri angka terdiri dari 4 10 8 14 12 18 angka selanjutnya adalah:

4. Selisih antara bilangan terbesar dan terkecil dari bilangan yang terbentuk dari 2 angka (digit) yang dapat dibuat yang habis dibagi 4 adalah :

5. Marni berusia 5 tahun lebih tua dari pada Joni. Joni berusia 2 tahun lebih muda

daripada Parto. Berapa tahunkah Marni lebih tua dari Parto ?

6. Joko mempunyai uang sebanyak setengah dari uang Bono. Jika Bono memberikan Rp. 5,00 kepada Joko, maka Joko akan mempunyai uang Rp. 4,00 lebih sedikit daripada uang terakhir Bono. Berapakah jumlah uang mereka ?

7. Seorang Pedagang membeli buku dari penyalur di kawasan Pasar

Cikapundung, Bandung seharga Rp. 36.000, dia harus menyisakan biaya ongkos sebesar 10%. Selain itu dia juga harus menyisakan keuntungansebesar Rp. 9.000 per bukunya. Harga jual buku tersebut akan naik berapa persen jika dibandingkan harga belinya ?

8. ((80x79x...x2x1)(38x37x...x2x1))/((77x76x...x2x1)(40x39x...x2x1)) = ...

9. Ibu Dina sedang mencoba untuk membuka usaha bakery disebuah ruko

di perumahan elit di kawasan Cibubur. Dari resep yang ia pelajari, untuk suatu campuran adonan brownies kukus diperlukan 1 cangkir terigu dan 4 cangkir air. Bila ternyata sisa tepung terigu yang tersisa di lemari tinggal cangkir, berapa cangkirkah air yang diperlukan ?

10. Berapa banyak segi empat yang terbentuk dari tabel berukuran 3x3?

11. Jika n adalah sebuah bilangan bulat ganjil, maka pernyataan yang benar adalah:

(i) n3 n2 pasti ganjil (ii) n2 n pasti genap (iii) n3 n pasti ganjil (iv) n4 n2 pasti genap

• 51

12. Si Upik pandai menjumlahkan, namun ia hanya dapat menulis angka 1 dan 2. Oleh

karena itu, saat Upik ingin menuliskan sebuah angka yang lebih dari 2, ia menuliskan beberapa angka 1 dan beberapa angka 2 sedemikian sehingga jika dijumlahkan jumlahnya adalah bilangan tersebut. Contohnya, untuk menuliskan angka 3, Upik memiliki tepat 3 cara yaitu 12, 21, atau 111 (1+2=3 ; 2+1=3 ; 1+1+1=3). Untuk menuliskan angka 2, sebenarnya Upik memiliki 2 cara yaitu 2 dan 11 (2=2; 1+1=2), tapi hanya ada 1cara untuk menuliskan angka 1. Berapa banyakcara Upik untuk menuliskan angka 8?

13. Jika susan memiliki uang 5 ribu lebih banyak daripada Tomi, dan Tomi memiliki 2

ribu lebih banyak dari pada Edi, bagaimanakah mereka harus saling berbagi untuk memastikan ketiganya memiliki jumlah uang yang sama?

a. Susan harus memberikan 3 ribu kepada Edi dan seribu kepada Tomi b. Tomi harus memberikan 4 ribu kepada susan dan susan harus memberikan 5

ribu kepada Edi c. Edi harus memberi Susan seribu dan susan juga harus memberi Tomi seribu d. Susan harus menyerahkan kepada kepada Edi 4 ribu dan Tomi juga harus

memberi Edi 5 ribu e. Baik Susan maupun Edi harus memberi Tomi 7 Ribu

14. Huruf-huruf A,G,E,T,W,O,N masing-masing mewakili sebuah angka antara 1 sampai

dengan 9 secara unik. AGE, TWO, NOT dan TO masing-masing merupakan bilangan kuadrat dari bilangan bulat, apakah hasil TWO+TO+TOO ?

a. NET b. NAG c. TON d. TEN e. ONE

15. Nainggolan 2 tahun lebih muda dari pada Marno yang usianya dua lipat usia dari

Lisma. Jika umur ketiganya dijumlahkan, totalnya adalah 23 tahun, berapakah umur Marno ?

16. Sebuah laci berisikan 4 buah kaus kaki berwarna hitam, 4 buah kaus kaki berwarna

putih dan 4 buah kaus kaki berwarna merah. Jika kita tidak dapat melihat isi laci, berapakah jumlah kaus kaki minimum yang perlu diambil agar kita pasti mendapat setidaknya sepasang kaus kaki dengan warna yang sama ?

17. Jumlah dua digit pertama dari bilangan hasil perkalian 530003 x 810004 adalah:

18. Ada tiga buah kotak tertutup yang masing-masing berisikan 2 buah kelereng . Kotak

pertama berisikan dua kelereng putih, kotak kedua berisikan dua kelereng hitam, dan kotak ketiga berisikan satu kelereng putih dan satu kelereng hitam. Sewaktu akan diberi label, secara tidak sengaja urutan ketiga buah kotak itu tertukar sedemikian sehingga isi setiap kotak tidak sama dengan apa yang tertulis pada label kotak tersebut. Dengan asumsi kita hanya bisa mengetahui isi kota dengan mengeluarkan

• kelereng satu per satu tanpa melihat ke dalam kotak, berapakah jumlah urutan minimal seluruh kelereng yang harus dikeluarkan dari kotak-kotak tersebut agar kita dapat memastikan isi dari ketiga kotak tersebut ?

Deskripsi Soal

Ada empat topeles masing-masing berisi sejumlah permen sama banyaknya. Topeles no.1 disediakan untuk si Ali, Topeles no.2 disediakan untuk si Badu, topeles no. 3 disediakan untuk si cecep, dan topeles no.4 disediakan untuk si Dedi. Si Ali setiap kali mengambil selalu mengambil tepat tiga permen sekaligus. Si Badu setiap kali selalu mengambil tepat 5 butir sekaligus. Si Cecep setiap kali mengambil selalu tepat 7 butir permen sekaligus. Si Dedi selalu mengambil tepat 9 butir permen sekaligus. Hingga suatu ketika topeles no. 1 bersisa 2 butir permen, topeles no.2 bersisa 3 butir permen dan topeles no.3 bersisa 2 butir permen. Sementara no.4, tidak jelas berapa sisanya, yang pasti kurang dari 9 butir.

19. Tentukan jumlah permen tersisa di nomor 4 tersebut ?

20. Berapa kalikan pengambilan yang dilakukan oleh Badu ?

21. Jika si Badu setiap kali mengambil tepat 6 butir permen berapakah banyaknya butir

permen akan sisanya?

Deskripsi Soal Mari kita bermain kartu BLCC. Kartu-kartu dalam permainan ini berwarna biru, hijau, jingga, merah, dan kuning. Setiap pemain masing-masing memainkan lima kartu secara bergiliran, dengan aturan main sebagai berikut. Tidak boleh memainkan kartu merah jika sebelum atau sesudahnya pemain

tersebut memainkan kartu kuning. Seorang pemain tidak boleh memainkan kartu berwarna biru sebagai kartu

pertama yang dimainkannya, kecuali jika dia memiliki kartu warna jingga. Selain itu ia harus memainkan kartu jingga ini kemudian.

Seorang pemain tidak boleh memainkan kartu hijau, jika ia tidak memiliki kartu hijau lainnya. Selain itu ia harus memainkan kartu hijau yang kedua ini kemudian.

22. Mana diantara urutan kartu berikut yang dapat dimainkan oleh pemain ?

a. hijau, merah, kuning, biru, hijau b. hijau, merah, jingga, biru, kuning c. jingga, hijau, hijau, biru, kuning d. biru, merah, hijau, hijau, kuning e. biru, biru, kuning, biru, jingga

23. Jika seorang pemain sudah memainkan kartu-kartunya dengan urutan berikut :

kuning, hijau, biru, dan hijau; maka diantara daftar berikut ini menunjukkan kartu yang dapat dimainkannya pada putaran kelima. Pilihlah yang selengap mungkin :

a. hijau b. hijau, biru c. hijau, biru, jingga

• 53

d. hijau, biru, jingga, kuning e. hijau, biru, jingga, kuning, merah

24. Berapa digit ke-4 dari kanan pada bilangan 55231 ?

25. Bila Z bilangan bulat positif terkecil yang memberi sisa 5 jika dibagi dengan 13, dan memberikan sisa 3 jika dibagi dengan 18, berapa jika dibagi dengan 7 ?

26. Jika x2 + 2xy + y2 = 9. Berapa (x + y)4 ?

27. Di suatu negeri terdapat hanya dua golongan warga, pertama golongan ksatria yang

selalu jujur dan golongan pemimpin yang selalu bohong, suatu ketika anda bertemu dengan Adi dan Bima, setelah ditanya mereka menjawab :

Adi : Bima golongan ksatria Bima : Golongan kami berbeda

Manakah yang merupakan pernyataan yang paling benar : a. Adi seorang pemimpin b. Bima seorang pemimpin c. Adi seorang ksatria d. Bima seorang ksatria e. Mereka berdua pemimpin

28. Berapa digit terakhir dari 22003?

29. Seutas tali dipotong-potong menjadi 14 bagian yang panjangnya membentuk barisan

aritmatika. Jika tali yang terpanjang 21 cm dan bagian terpendek 4 cm, tentukan panjang tali semula!

30. Di antara bilangan 3 dan 99 disisipkan 15 buah bilangan sehingga bilangan-bilangan

yang disisipkan membentuk suatu barisan aritmatika. Cari beda barisan tersebut dan carilah jumlah deret aritmatika tersebut !

31. Dua dadu dengan sisinya dicat merah atau biru. Dadu pertama terdiri dari 5 sisi

merah dan 1 sisi biru. Ketika kedua dadu tersebut dilempar, peluang munculnya sisi dadu berwarna sama adalah . Ada berapa banyak sisi dadu kedua yang berwarna merah ?

32. Jika n dan p adalah dua bilangan bulat, dan n + p berharga ganjil, manakah dari

berikut ini bil ganjil? a. n - p + 1 b. np c. n2 + p2 - 1 d. 3p + 5n e. (p - n)(n - p)

• 33. Hitunglah jumlah bilangan antara 1 dan 400 yang habis dibagi 5 tetapi tidak habis dibagi 7 ?

34. Jika (x+2), (2x+3), (5x-2) merupakan tiga suku pertama yang berurutan dari barisan

aritmatika. Tentukan nilai x dan jumlah 20 suku pertama barisan tersebut!

35. Sebuah fungsi f didefinisikan pada bilangan bulat yang memenuhi f(1) + f(2) + ... + f(n) = n2f(n) dan f(1) = 1996 untuk semua n > 1. Hitunglah nilai f(1996) !!

36. Jika didefinisikan f(n) = n f(n-1) untuk setiap n > 0 dan f(0) = 1, maka berapakah

f(10)/(f (7) x f(6)) ?

37. Untuk mengalikan matrik i x j dengan matrik j x k menggunakan metode umum

diperlukan i x j x k perkalian elementer. Bagaimana dengan mengalikan empat matrik

yaitu A(20 x 2), B (2 x 30), C (30 x 12) dan D (12 x 8)? Dengan mengingat perkalian

matrik bersifat asosiatif, mana diantara perkalian berikut yang memerlukan jumlah

perkalian elementer terkecil (optimal), A(B(CD)), (AB)(CD), A((BC)D), ((AB)C)D,

(A(BC))D?

38. Pak Dengklek memiliki buku yang bernomor halaman mulai 1 s.d. N.

Jika semua nomor halaman buku tersebut ditulis secara berderet dibutuhkan

552 digit. Berapakah N?

39. Si Upik pandai menjumlahkan, namun ia hanya dapat menulis angka 1 dan 2. Oleh

karena itu, saat Upik ingin menuliskan sebuah angka yang lebih dari

2, ia menuliskan beberapa angka 1 dan beberapa angka 2 sedemikian sehingga jika

dijumlahkan jumlahnya adalah bilangan tersebut. Contohnya, untuk

menuliskan angka 3, Upik memiliki tepat 3 cara yaitu 12, 21, atau 111

(1+2=3 ; 2+1=3 ; 1+1+1=3). Untuk menuliskan angka 2, sebenarnya

Upik memiliki 2 cara yaitu 2 dan 11 (2=2; 1+1=2), tapi hanya ada 1cara untuk menuli

skan angka 1. Berapa banyak cara Upik untuk menuliskan angka 8?

40. Jika a, b, c, d dan e adalah bilanganbilangan bulat yang tidak nol dan tidak negatif

serta tidak ada yang sama, dan diketahui pula a+b+c+d=10, berapakah harga t

erbesar yang mungkin dari ab+cd ?

• 55

41. Pepen berdiri sejauh 18 meter di sebelah utara Tugu Pemuda, Fanny berdiri 24

meter di sebelah barat Tugu yang sama. Berapakah jarak terdekat antara

Fanny dan Pepen yang dapat ditempuh ?

42. Sebuah tes diikuti oleh 60 siswa dan nilai dari 0 sampai dengan 100, hanya 21 siswa

yang mendapat nilai lebih besar atau sama dengan 80. berapa nilai rata rata terkecil

yang mungkin bagi ke 60 siswa ?

43. Pak Ganesh menulis angka 1 s.d. 10000. Berapa banyak angka 1 yang muncul pada

hasil tulisan Pak Ganesh?

44. Tahun "semi-kabisat" adalah tahun yang bukan merupakan tahun kabisat,

tetapi jika tiap bilangan penyusun angka tahunnya dijumlahkan, hasilnya habis

dibagi dengan 4. Ada berapa tahun "semi-kabisat" semenjak tahun hingga

1960?

45. Bilangan a, b, c adalah digit-digit dari suatu bilangan yang memenuhi 49a + 7b + c =

286. Apakah bilangan 3 angka (100a + 10b + c)?

46. Sebuah bilangan dipilih secara acak dari bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 999,

1000. Peluang bialangan yang terpilih merupakan pembagi M dengan M adalah

bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan 1000 adalah 0.01. Tentukan nilai

maksimum dari M?