aritmatika logaritma

of 105 /105
Kelompok 5

Author: alvitawulansari

Post on 21-Jul-2015

3.297 views

Category:

Documents


16 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

PowerPoint Presentation

Kelompok 5

1JAWABANDengan memisalkan:Merpati = mBangau = bAngsa = aMerak = kMaka didapat 2 persamaan matematika:3 m + 5 b + 7 a + 9 k = 100 (banyak koin)5 m + 7 b + 9 a + 3 k = 100 (banyak burung)

Contoh...Ada sekumpulan monyet di hutan yang luas, 1/8 bagian dari mereka sedang berayun-ayun di ranting (square), dua belas monyet yang tersisa terlihat di atas bukit, sedang mengobrol satu sama lain.Berapa banyak mereka?JAWABKemudian pada masa vedic, ditemukan Sulbasutra dimana di dalamnya terdapat banyak ide matematika, Sulbasutra merupakan sumber pengetahuan kita dari matematika India kuno.

Matematika pertama kali muncul di India pada masa Arode Harappan, tepatnya di abad milenium ketiga SM, bukti ini didasarkan pada tradisi pembuatan altar pada masa ini, meskipun tidak ada bukti langsung matematikanya.Sebenarnya, bukti matematika pertama kali ditemukan di sepanjang sungai Gangga, yang dibuat oleh suku arya yang sedang bermigrasi dari stepa Asia pada akhir abad millennium kedua SM.4Seorang matematikawan awal India adalah Aryabhata, yang menulis karya utamanya, yaitu Aryabhatiya. Dia tinggal di dekat ibukota Gupta Pataliura dekat sungai gangga di Bihar India Utara.Meskipun pembahasan utama dalam karya ini adalah astronomi, namun di ayat 123 nya membahas berbagai topik matematika.Matematikawan dan KaryanyaDua matematikawan terkemuka yang berkembang selanjutnya ialah Bhaskara dan Brahmagupta. Bhaskara datang dari Maharashtra atau Gujurat, sementara Brahmagupta tinggal di Bhinmal, Rajasthan, ibukota GuyarasPotongan-potongan sastra ini tidak diatur atau ditujukan untuk mengajar matematika, jadi tidak ada bentuk asal usulnya, hanya bentuk pernyataan saja5PERHITUNGANSimbol untuk sembilan angka pertama dari sistem angka berasal dari sejarah dalam sistem penulisan Brahmi di India, saat kepemimpinan raja Asoka (abad pertengahan ketiga SM)

Dalam sebuah potongan karya Severus Sebokht, pada abad ke-662 hanya ditulis tentang sembilan tanda, tidak menyebutkan tanda nol.

Munculnya angka dan nilai tempat7Namun, dalam naskah Bakhshali, dimana angka ditulis menggunakan sistem nilai tempat dan dengan sebuah titik mewakili nol

Dalam karya mahavira, kata-kata tertentu mewakili angka: bulan untuk 1, mata untuk 2, api untuk 3, dan langit untuk 0. Contoh: kata-api-langit-bulan-mata akan menunjukkan arti untuk 2103

Titik sebagai simbol untuk 0 bagian dari sistem nilai desimal juga muncul dalam Chiu-Chih Li, yaitu sebuah karya astronomi China pada abad 718 disusun oleh tokoh agama India8India awalnya hanya menggunakan sembilan simbol.Mereka kemudian memperbaiki sistem perhitungan China dengan akhirnya mereka membuat simbol, titik dan kemudian lingkaran, untuk mewakili kolom kosong di papan penghitungan

9Aritmatika Logaritma

Stanza II, 5 ,

Digit-digit awal suatu bilangan pangkat 3 [x] dikurangi dengan pangkat 3 dari suatu bilangan yang mendekati [y],hasil bagi dikurangi dengan y kuadrat dikalikan dengan tiga dan sisa [kuantitas] harus dikurangkan dengan bentuk pertukaran kuadrat dan pangkat 3 sebelumnya.Mencari akar Pangkat tigaContoh11Brahmagupta memberikan banyak rincian perhitungan aritmatika dalam karyanya yang besar, yaitu Brahmasphutasiddhantadalam pasal 18 ia memberi aturan untuk operasi pada bilangan positif dan negatif, serta bilangan nol.14GEOMETRI18hasil dari Sulbasutra baudhayana, yang mungkin dibuat sekitar 600 SM.Yang pertama adalah teorema Pythagoras. Luas bujur sangkar pada kaki sebuahsegitiga siku-sikusama dengan luas bujur sangkar di hipotenusa19jumlah luas bujur sangkar biru dan pink sama dengan luas bujur sangkar ungu.

20Teorema pythagoras kemudian digunakan secara tidak langsung untuk membenarkan setiap konstruksi berikut:

Untuk membuat sebuah persegi kecil dari persegi yang lebih besar, dapat dilakukan dengan membuat sebuah persegi panjang pada persegi yang besar lalu dipotong, persegi panjang ini detempatkan pada sisi berdekatan persegi yang dipotong tadi, sisi yang bertumpuk ini kemudian dipotong kembali, dan sisi persegi kecil telah terpotong.Dengan bagianbagian yang dipotong ini, diperoleh perbedaan luas dari dua persegi tersebut.

Persegi besarPersegi kecil22Untuk mengubah persegi panjang menjadi persegi, lebar persegi panjang diambil sebagai sisi persegi dan lebar persegi panjang ini kemudian dipotong. Hasil potongan dari persegi panjang dibagi menjadi dua bagian yang sama dan ditempatkan pada dua sisi (satu bagian pada masing-masing).Ruang kosong di sudut terisi dengan sebuah persegi.23Persegi24Untuk mengubah persegi menjadi lingkaran, sebuah tali panjang setengah diagonal dari persegi ditarik dari pusat ke perlawanan arah jarum jam, bagian itu terletak di luar persegi diteruskan ke sisa setengah diagonalM25Bagilah diameter dalam lima belas bagian dan kurangi dua bagian dari 15 bagian ini.Maka 13 bagian sisanya memberikan perkiraan panjang sisi persegi yang diinginkan.Untuk membuat segiempat dari Lingkaran maka:

Gambarkan!!26Proyeksi adalah jarak antara ujung dari dua bayangan dikalikan dengan panjang bayangan pertama dibagi dengan selisih panjang bayangan.Tinggi titik sorot adalah Sisi tegak dikalikan dengan proyeksi, dibagi dengan panjang bayangannya.Stanza II, 1628Stanza di atas memberikan sebuah metode untuk mencari ketinggian sorotan cahaya dari atas dengan mengukur panjang bayangan yang dibentuknya.hgg1016dCONTOH29Stanza II, 17Dalam lingkaran, hasil kali dari dua bagian diameter adalah kuadrat dari setengah tali busur.32 hhs1s2Di sini, dua bagian diameter adalah dua segmen s1, s2 diameter lingkaran yang berpotongan dengan tali busur 2h, membentuk sudut siku-siku, sehingga membagi busur menjadi 2 bagian yang sama.Dengan demikian, berdasarakan teorema di atas,h2 = s1s2CONTOH!!33Dua hasil luar biasa dari Brahmagupta yang membahas segi empat siklik (segiempat di dalam lingkaran), diberikan dalam bab 12 dari brahmasphutasiddhanta.Luas daerah selidik [segiempat siklik] adalah akar kuadrat dari hasil kali setengah jumlah seluruh panjang sisi dikurangi panjang masing-masing sisi segiempat.

Hasil ini dapat ditulis dalam matematika s = , di mana a, b, c, d, adalah panjang sisi segiempat, maka luas segiempat dapat dinyatakan dengan

L =1

36Masing-masing sisi dikalikan dengan sisi di depannya, lalu dijumlahkan. Kemudian kalikan dengan hasil jumlah dari perkalian sisi yang berdekatan dengan diagonal-diagonal, setelah itu dibagi dengan jumlah dari perkalian sisi-sisi yang saling berdekatan pada diagonal satunya dalam siklik suatu segiempat yang tidak beraturan, akar kuadratnya adalah panjang diagonal.2BCDAabcd37

Pernyataan ini diterjemahkan ke dalam rumus untuk menentukan panjang diagonal AC dan BD dari segiempat.Karena jumlah dari hasil kali sisi yang berdekatan (untuk diagonal AC) adalah ad + bc, dan dikalikan dengan "jumlah dari hasil kali dua sisi yang berhadapan,yaitu ac + bd, dan dibagi hasil penjumlahan sisi-sisi yang berdekatan pada diagonal selanjutnya, dapat ditulis:

AC=BD =BCDAabcd38Pemecahan Persamaan39Dalam dua teorema Aryabhata yang membahas masalah progresi aritmatika, diberikan suatu rumus untuk menghitung jumlah suatu suku banyak dalam persamaan kuadratBanyak suku dikurangi 1, dibagi dua ,lalu dikalikan dengan beda antara dua suku berurut ditambah suku pertama, adalah cara untuk menentukan suku tengah.Lalu dikalikan dengan jumlah suku akan didapat Jumlah suatu suku banyak.atau jumlah suku pertama dan terakhir (suku pertama ditambah dengan banyak suku yang dikurangi satu dan dikali beda sebelumnya).. Dikalikan dengan setengah banyak suku.

Stanza II, 1940Teorema ini menyajikan rumus untuk menentukan jumlah beberapa suku pertama Sn suatu barisan aritmetika dengan suku awal a dan beda d.Rumus diterjemahkan ke

41Kalikan jumlah suatu suku banyak dengan delapan kali beda, tambahkan kuadrat dari selisih antara dua suku pertama dan beda, lalu mengakar kuadrat hasilnya, kemudian kurangi dengan dua kali suku pertama, dibagi dengan beda, tambahkan satu, bagi dengan dua. Hasilnya akan menunjukkan banyak suku dalam situasi yang sama seperti di atas, dimana Sn diberikan dan n dapat ditemukan.

Rumus yang diberikan adalah

n =

STANZA II, 20

Jika persamaan untuk Sn di atas ditulis ulang dalam persamaan kuadrat dengan variabel n, maka diperoleh dn2 + (2a-d) n-2sn = 0

Kemudian nilai untuk n dalam persamaan ini dapat dicari dengan rumus kuadrat.Meskipun tidak secara langsung Aryabhata memberikan bentuk umum rumusan untuk memecahkan persamaan kuadrat, Brahmagupta, setelah satu seperempat abad kemudian, mendapatkan suatu bentuk persamaan yang ditulis denganax2 + bx = c.

ax2 + bx = c.

Di sini 'angka tengah' adalah koefisien b (dan juga x yang tidak diketahui nilainya itu sendiri), sedangkan rupas adalah istilah c konstan dan 'square' adalah koefisien a.

Angka tengah (b) dikurangkan pada akar kuadrat dari jumlah rupas (c) dikalikan dengan empat kali square (a) dan angka tengah yang dikuadratkan ; lalu membagi hasilnya dengan dua kali square (a).Hasilnya adalah angka tengah.

Kata Brahmagupta dengan mudah dapat diterjemahkan ke dalam rumus X =

CONTOH45Penyelesaian Brahmagupta tidak termasuk bilangan negatif, dan beberapa ratus tahun kemudian, Bhaskara II membuat suatu aturan tentang akar banyak, yaitu dengan memecahkan persamaan dengan menyelesaikan square, yakni, ia menambahkan jumlah yang tepat untuk kedua sisi ax2 + bx=c, sehingga sisi kiri menjadi kuadrat sempurna. Dan merumuskan kembali(rx-s)2 = d.Dia kemudian memecahkan persamaan rx-s = d utuk mencari nilai x.Tapi ia mencatat, jika d