TERCER BOLETN DE 1ERO

PAGE 111 Consorcio Educativo El Carmelo ARITMTICA Colegios Pre Universitarios con Formacin Humanista

3er ao

ASPECTOS GENERALES DE LA ESTADSTICA

POBLACIN Y MUESTRA

La estadstica realiza el estudio de conjuntos de elementos. As por ejemplo, puede ser objeto de la estadstica estudiar las edades que tienen los alumnos de Tercero de secundaria de una ciudad. Para ello se puede tomar una parte de ese conjunto, por ejemplo los alumnos de Tercero de un colegio de esa ciudad.

Observa las edades de 50 alumnos de Tercero del Colegio Csar Vallejo (Trujillo)

15161315151616131415

14161516141715151613

14151415161415141515

15151513141514161413

16171614151314151716

Para observar estos datos con mayor claridad los podemos organizar en una tabla, donde la primera columna contiene los distintos valores de la variable (edad) ordenados en forma creciente, en la segunda efectuamos el recuento y en la tercera escribimos la frecuencia (en recuento expresado en nmeros)

Variable

(edad)RecuentoFrecuencia absoluta

13|||| |6

14|||| |||| ||12

15|||| |||| |||| |||18

16|||| |||| |11

17|||3

Totaln = 50

El conjunto de alumnos de tercero de secundaria de la ciudad, se llama poblacin o conjunto estadstico.

El subconjunto de 50 alumnos del tercero de secundaria del colegio Csar Vallejo de la misma ciudad se llama muestra.

Veamos algunos ejemplos de poblacin y muestra.

Datos que se recopilanPoblacinMuestra

Deporte preferido de los alumnos de secundaria de un colegio.Alumnos de colegioGrupo representativo de alumnos del colegio

Cantidad de personas que viven en cada vivienda de un barrio.Viviendas de todo el barrioSeleccin de viviendas del mismo barrio

Cantidad de lluvia que cae en una regin, en poca lluviosa.Conjunto de precipitaciones de la regin en poca lluviosaSeleccin de precipitaciones de la misma regin en poca lluviosa

Intencin de voto de los ciudadanos de una ciudad, en las prximas eleccionesCiudadanos de la ciudadGrupo seleccionado de ciudadanos

El conjunto que se quiere estudiar se llama poblacin, y una parte representativa de la poblacin se denomina muestra. La muestra es un subconjunto de la poblacin.

Variables Estadsticas

Cualitativa

Cuantitativa

Discreta

Continua

VARIABLE ESTADSTICA

La variable estadstica es la caracterstica que se estudia en cada elemento de la poblacin. Llamamos caracteres a las cualidades que se estudian en los elementos de una muestra o poblacin, tales como edad, sexo, estatura, preferencia por colores, tipos de pelculas, etc.

Hay caracteres que se pueden medir como la edad, el peso, la estatura y se llaman variables cuantitativas. Otros caracteres, como el sexo, preferencias por colores, sabores, no se pueden medir, son cualitativos y se llaman variables cualitativas.

VARIABLE CUANTITATIVA

Se quiso saber el nmero de libros ledos por los alumnos del Tercer grado de secundaria durante las ltimas vacaciones. Cada uno de ellos respondi y se obtuvieron estos datos: 0; 1; 3; 4; 1; 0; 2; 3; 1; 5; 5; 5; 4; 4; 2; 3; 4; 2; 0; 4; 5; 0; 1; 3; 2; 2; 1; 1; 0; 1; 0; 2; 3.

Organizamos los datos en una tabla:

Variable:

N de librosRecuentoFrecuencia absoluta

0|||| |6

1|||| ||7

2|||| |6

3||||5

4||||5

5||||4

Totaln = 33

Vemos que la variable estadstica: nmeros de libros ledos se expresa mediante un nmero: 6 alumnos no leyeron ningn libro. 7 leyeron 1, etc.

Variable cuantitativa es aquella cuyos valores se expresan mediante nmeros. Una variable cuantitativa, a su vez, puede ser continua o discreta.

VARIABLE CONTINUA Y DISCRETA

La variable estatura es continua porque puede adoptar valores como 0,8 m; 1,5 m; 1,6 m; 2 m. En cambio, la variable nmero de hijos es discreta porque sus valores posibles son aislados. Puede adoptar como valores 1 hijo, 2 hijos, 3 hijos, 0 hijos, etc. y no admite valores intermedios como 3,3 hijos.

VARIABLE CUALITATIVA

Si los valores de la variable no pueden ser expresados mediante nmeros, sino mediante atributos o cualidades, la variable es cualitativa.

El gnero es una variable cualitativa porque se expresa mediante los atributos femenino y masculino. La variable color de ojos, que puede adoptar las formas o atributos azul, verde, caf, negro... etc., es tambin variable cualitativa. El estado civil es una variable cualitativa.

EJERCICIOS PARA LA CLASE

1. En el colegio San Carlos, durante el primer semestre del ao propondr realizan algunos estudios, como:

Qu caractersticas comunes tienen los estudiantes dedicados a la msica?

En qu usan el tiempo libre los estudiantes de primaria?

Qu oportunidades de esparcimiento y diversin tienen en la ciudad?

Cules son los hbitos deportivos de los profesores?

A qu dedican el tiempo libre que comparten las familias del colegio?

Determina:

a) Entre cinco y diez variables que se puedan considerar en el estudio.

b) Valores de cada variable considerada.

2. Los siguientes son los datos que se obtuvieron al preguntarse a los alumnos de Tercero de secundaria sobre el nmero de aos que estn ya en el colegio.

94210337582

24522510659

5532541051010

9594833765

a) Elabora la tabla de frecuencias e indica a cuntos han encuestado.

b) Indica cul es la variable.

c) Halla el porcentaje de los que tienen ms tiempo en el colegio.

d) Halla el porcentaje de los que tienen menos tiempo.

e) Cuntos alumnos tienen menos de 5 aos en el colegio?

3. A 25 estudiantes les pusieron notas A, B, C, D y F. Considerando, A: Excelente, B: Muy bueno, C: Bueno, D: Deficiente y F: Fall.

Las notas fueron las siguientes:

A, A, C, C, D, D, C, C, F, C, C, C, C, B, C, B, C, D, C, A, B, D, C, F, C.

a) Elabora una tabla de frecuencias con los datos e indica a cuntos han cuntos han calificado.

b) Qu calificacin obtuvo la mayora?

4. En las siguientes descripciones, determina qu tipo de datos se recopilan (cuantitativos o cualitativos). Cul es la poblacin y una posible muestra?

a) El departamento de control ambiental quiere determinar el nivel de plomo en el aire.

b) Una fbrica de gaseosas quiere elaborar una nueva clase de bebida y necesita saber qu sabor, entre pia, manzana o uva, le gusta ms al pblico.

c) El departamento de rentas de un gobierno necesita saber cul es el ingreso promedio de los contribuyentes.

5. Sabes que las encuestas son muy tiles para proporcionar informacin aproximada, por ejemplo sobre preferencias. sala para resolver este caso.

Ral opina que hay una clara preferencia por el rock entre los alumnos de secundaria.

Mauricio piensa que no es as, y afirma que la mayora se inclina por la balada.

Renata interviene: Preguntmosle a la gente!

a) Define la poblacin y elige la muestra.

b) Disea una encuesta y aplcala.

c) Saca conclusiones.

6. En una encuesta sobre estudios realizados se obtuvieron las siguientes respuestas.

EstudiosFrecuencia absoluta%

Post-grado16

Bachillerato65

Secundarios83

Primarios220

Sin estudio y sabe leer63

Sin estudio y no saben leer13

Completa la tabla y resuelve:

a) De cuntos fue la muestra?

b) Cul es la variable?

c) Haz tres interpretaciones con los resultados.

TABLAS ESTADSTICASFRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA

Observa la tabla del margen, en ella observamos las frecuencias absolutas.

Por ejemplo, la frecuencia absoluta de los alumnos que prefieren helado de coco es 5. Este dato aislado no nos dice algo. Tendramos ms informacin si supiramos qu parte de la muestra prefiere helado de coco. Para ello debemos dividir la frecuencia absoluta entre el nmero total de datos, as: = 0,29; este resultado es ms significativo. Expresa qu parte del total prefiere helado de coco. La frecuencia relativa es 0.29.

La tabla del margen se convierte en:

Tabla de distribucin de frecuencias

Variable estadstica (preferencias)Frecuencia absoluta ((i)Frecuencia relativa (hi)

Vainilla30,18

Fresa30,18

Chocolate20,12

Lcuma40,23

Coco50,29

Totaln = 171,00

Frecuencia absoluta de una variable es el nmero de veces que se repite un dato.

Frecuencia relativa es el cociente de la frecuencia absoluta entre el total de datos o casos observados.

En la tabla estadstica podemos leer, por ejemplo:

Hay 4 alumnos que prefieren helado de lcuma.

Podemos expresar ese dato tambin de esta manera: 23 centsimas de los 17 alumnos prefiere helado de lcuma.

Frecuencia

Frecuencia=absoluta (fi)

relativa (hi)

Nmero total

de datos

-La suma de frecuencias relativas es siempre 1.

Resumen:

nTotal de datos

fiFrecuencia absoluta

hiFrecuencia relativa

%Frecuencia relativa porcentual

-La suma de los porcentajes es siempre 100.

Para expresar este dato como porcentaje, multiplicamos la frecuencia relativa por 100 y decimos:

El 23% de los alumnos encuestados prefiere helado de lcuma.

Agregamos la frecuencia relativa porcentual (%) en la tabla estadstica:

Tabla de distribucin de frecuencias

Variable estadstica (preferencias)Frecuencia absoluta ((i)Frecuencia relativa (hi)%

Vainilla30,1818

Fresa30,1818

Chocolate20,1212

Lcuma40,2323

Coco50,2929

Total171,00100

AGRUPACIN DE DATOS. CLASESUn profesor de Educacin Fsica midi, en centmetros, la estatura de 40 alumnos. Tras ordenarlos los resultados fueron:

147148149159150150151151152153153154156157

157158158158158158159159160162162163163164

165165166168170170170171173173176179

Observa que la variable estadstica estatura es continua y toma muchos valores distintos. Es necesario agrupar varios datos. Por ejemplo, cada cinco valores. La tabla estadstica quedara de este modo:

Variable estatura (intervalo)RecuentoFrecuencia absoluta ((i)Frecuencia relativa (hi)

145 15040,10

150 15580,10

155 160100,20

160 16560,25

165 17040,10

170 17560,15

175 18020,05

Totaln = 401,00

Para estudiar una variable continua o una variable discreta que tenga un nmero muy elevado de valores posibles, se agrupan estos valores en intervalos. Cada intervalo conforma una clase.

AMPLITUD DE CLASE Y MARCA DE CLASE

En nuestro ejemplo, en la primera clase estn los que miden 145 cm hasta 149 cm, los de la segunda clase desde 150 cm hasta 154 cm, etc. Observa entonces que el intervalo tiene dos extremos, llammoslos a y b, cerrado en a y abierto en b.

A la diferencia de 150 145 = 5, la llamamos amplitud; y es la misma en todas estas clases.

En una clase [a, b [ los nmeros a y b se denominan extremos del intervalo: a es el extremo inferior y b es el extremo superior.

El nmero b a se denomina amplitud de la clase.

El valor central de cada clase es el promedio de los valores extremos, as para la primera clase el valor central es 147,50 porque

Este valor se le llama marca de clase.

El valor central de cada clase se establece como y recibe el nombre de marca de clase.

La amplitud en todas las clases debe ser igual. La nica excepcin es cuando el extremo superior de la clase ms alta o el extremo inferior de la clase ms baja se dejan abiertos. Por ejemplo, en nuestro caso sera 145 o menos; 180 o ms.

TRABAJO PARA LA CASA

1) Elabora una tabla y encuentra las frecuencias absolutas y relativas, cada uno de los siguientes casos:

a) Las edades en un grupo de nios son: 12; 14; 10; 13; 12; 11; 14; 10; 13.

b) Al lanzar un dado 30 veces, se obtuvieron estos resultados: 3; 5; 3; 2; 1; 1; 2; 3; 3; 4: 2; 6; 5; 3; 1; 4; 2; 5; 6; 6; 3; 3; 3; 5; 2; 3; 6; 2; 5; 3.

c) En una escuela hay 9 salones, con el siguiente nmero de alumnos en cada uno: 25; 25; 20; 18; 25; 20; 25; 20; 25.

2) La tabla muestra el nmero de autos vendidos por una empresa el segundo semestre del ao 2000.

MesJulAgoSetOctNovDicTotal

(I6086789490112

hi

%

a) Determina en qu mes se vendieron ms carros. A qu porcentaje corresponde?

b) Halla las frecuencias relativas y sin efectuar la operacin, di cul ser la suma total de las frecuencias relativas.

c) Determina cuntos carros se vendieron en Agosto y cuntos en Setiembre.

d) Cuntos carros se vendieron entre Julio y Setiembre?

e) Cuntos carros se vendieron en total?

3) En la tabla se representan los viajes de Gabriel por diferentes medios.

a) Completa la tabla.

Variable estadsticaFrecuencia absolutaFrecuencia relativa

Aire30,3

Mar0.2

Tierra5

Total

b) Cuntos viajes ha realizado?

4) Observa la tabla que muestra el tiempo que ha permanecido en un restaurante un grupo de comensales.

Tiempo (en minutos)Frecuencia absolutaa) Halla el valor de n.

b) Determina para esta tabla la amplitud de clase y las marcas de clase.

c) Halla sus frecuencias relativas.

0 155

15 308

30 4512

45 6015

60 759

75 907

5) Tomando los datos del siguiente cuadro, completa las frecuencias, incluyendo frecuencia relativa porcentual:

VALOR DE LOS CONSUMOS EN UN DA

Valor de los consumos S/.(ihi%

5,00 30,0012

30,00 55,0032

55,00 80,008

6) Realiza esta encuesta en tu saln de clase y elabora la tabla estadstica de distribucin de frecuencias.

ENCUESTA

MSICA FAVORITA

Balada

Rock

Tecnocumbia

Salsa

7) En una colecta entre 65 miembros de una parroquia, los aportes en soles fueron:

45464740404041424948494545

57585960565656576262616060

55555453525049505155868988

49505062626469697068686969

55646664678481844256616045

a) Elige una amplitud de clase.

b) Elabora la tabla de frecuencias.

c) Cules fueron los aportes ms frecuentes?

d) Cul fue el aporte total de la clase ms frecuente?

e) Resulta la misma cantidad de aporte total si multiplicas la marca de clase ms frecuente por su frecuencia absoluta. Explica el por qu.

REPRESENTACIONES GRFICAS

Las representaciones grficas permiten interpretar y analizar con mayor facilidad los datos obtenidos.

GRFICO DE BARRASObserva la tabla del margen con datos no agrupados de variable estadstica cualitativa.

Construiremos un grfico de barras que nos permitir una mejor lectura de las tablas de frecuencias.

50

40

30

20

10

0

RadioTVcineTeatro

Para cada uno de los valores del eje de las abscisas, se traza un segmento perpendicular a dicho eje.

A partir de este segmento, se construye la barra respectiva.

Los valores del eje de las ordenadas determinan la altura de cada barra.

Observa que sobre el eje de las ordenadas se ubican los valores de las frecuencias absolutas o relativas, y sobre el eje de las abscisas se ubican los valores de la variable.

Una vez construido el grfico de barras, podemos comparar las barras y responder preguntas como las siguientes:

Cul es el medio de comunicacin que ms prefieren las personas? Cul es el medio de comunicacin de menor preferencia?

HISTOGRAMASi tenemos una tabla de distribucin de frecuencias en la que los datos se representan agrupados por intervalos y queremos su representacin grfica usamos un histograma.

Observa la tabla de estaturas, stas estn agrupadas en clases de amplitud igual a 5. Su representacin en un histograma ser de este modo:

8

7

6

5

4

3

2

1

150 155 160 165 170 175

Fjate que sobre el eje de las abscisas hemos sealado los extremos de los intervalos. Cada intervalo est representado por la misma longitud.

Sobre el eje de las ordenadas hemos sealado las frecuencias.

Debemos tener en cuenta que cantidades iguales deben estar representadas por longitudes iguales. Sin embargo no es necesario que las escalas de los dos ejes, abscisas y ordenadas sean iguales.

Mediante un histograma es fcil detectar los valores de la variable de mayor o menor frecuencia, o comparar las frecuencias de varios valores.

PICTOGRAMASSe usan para representar variables cualitativos. Una figura o un dibujo sustituye a las barras.

Chica ChicoPOLGONO DE FRECUENCIASObserva al margen, tenemos una tabla de frecuencias donde se muestra el nmero de personas que asisten al cine Monumental durante una semana.

Graficamos la tabla utilizando un polgono de frecuencias.

350

300

250

200

150

100

50

L M MiJ V S D

Los puntos de las frecuencias absolutas se unen mediante segmentos, resultando una lnea poligonal llamada polgono de frecuencias.

Fjate que la variable es cualitativa.

Da de la semanaUn polgono de frecuencias es una lnea que representa grficamente una distribucin de frecuencias. Tambin podemos elaborar un polgono de frecuencias correspondiente a un histograma. Tomamos como ejemplo el histograma de la estatura de los alumnos:

ESTATURA DE LOS ALUMNOS

DE TERCER GRADO

Para elaborar el polgono hemos unido mediante segmentos los puntos medios de las bases superiores de cada uno de los rectngulos, que corresponden a las marcas de clase de cada intervalo.

Observa que en este caso, la variable es cuantitativa continua.

GRFICO DE SECTORESObserva cmo se elabora un grfico de sectores, a partir de la tabla del margen, que corresponde a una encuesta hecha a 100 alumnos sobre el medio de transporte que usan para llegar al colegio.

Para representar estos datos en un grfico se reparten los 360 grados del crculo en partes proporcionales con la ayuda de la regla de tres.

Bus escolar

40%

144 Automvil

54 15%

72

90

BicicletaBus urbano

20% 25%

Nmero de alumnosGrados Sexagesimales

100360

40

15

En el crculo, hemos trazado cuatro sectores circulares de 144, 54, 90 y 72, que corresponden a las cuatro alternativas: bus escolar, automvil, bus urbano y bicicleta, respectivamente.

EJERCICIOS PARA LA CLASE

1. Elabora un grfico de barras para representar esta informacin.

Edades de 50 alumnos de 3ro. de Secundaria.

15151715151315151414

15131516141514151316

15151415151415151615

15141516141716161613

14161515161517151415

a) Cul es la frecuencia ms alta?

b) Qu porcentaje representan los de menos edad?

c) Qu porcentaje representan los de 15 aos?

2. Construye un histograma usando la informacin de la tabla sobre las puntuaciones obtenidas en una prueba de aptitud acadmica de un grupo de alumnos. Adems:

a) Elabora la tabla de frecuencias relativas y porcentuales.

b) Cuntos alumnos participaron de la prueba?

Variable: Puntaje(i

300 3505

250 3002

200 2057

150 2004

100 1508

50 1002

0 502

3. En los ltimos Juegos Olmpicos realizados en Atenas 2004, estos pases obtuvieron el mayor nmero de medallas.

N DE MEDALLAS OBTENIDAS POR PASES ATENAS 2004

PasTotalOroPlataBronce

EE.UU.96413025

Rusia62262115

Alemania60191724

China49162112

Representa estos resultados en un grfico de barras.

4. Este grfico representa los cambios bruscos de temperatura en una ciudad durante 3 das (en horas)

61,11%

20 C

5 C

10 C

15,28%

23,61%

a) Elabora la tabla de frecuencias

b) Cuntas horas hizo 5 C? y, cuntas horas hizo 10 C? y, cuntas horas hizo 20 C?

5. En un colegio se ha realizado una encuesta sobre algunos talleres que los estudiantes desearan tomar. Este fue el resultado:

Talleres(i

Francs18

Medios de comunicacin22

Programacin25

Astronoma27

Electrnica48

Teatro y danzas60

Ciencias econmicas y polticas12

a) Elabora la tabla de frecuencias.

b) Cuntos alumnos fueron encuestados?

c) Construye el diagrama de barras.

d) Si el colegio ofreciera cuatro talleres, cules deberan ser? Por qu?

6. Un artesano llev el control de portarretratos de cuero que fabric da por da a lo largo de la semana y elabor la siguiente grfica.

6

5

4

3

2

1

0 L M M J V Sa) Elabora la tabla de frecuencias.

b) Cuntos portarretratos fabric en total?

7. En una encuesta a alumnos de un colegio se les pregunt sobre sus deportes favoritos y se obtuvieron los siguientes resultados:

Deportes((i)(hi)%

Ftbol64

Voleibol56

Bsquetbol44

Natacin50

Atletismo16

Ping Pong20

a) Completa la tabla de frecuencias?

b) Elabora el grfico de sectores.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIA ARITMTICA ()

Observa cmo calculamos la media aritmtica con datos agrupados.

Variable estadstica

Estatura (cm)Frecuencia absoluta ((i)Marca de clase

xm = (a + b)/2xm . (i

145 1504147.5590

150 1558152.51220

155 16010157.51575

160 1656162.5975

165 1704167.5670

170 1756172.51035

175 1802177.5355

40( = 6420

En este caso, debemos obtener la marca de clase (xm) como valor representativo. Cada marca de clase se multiplica por su frecuencia absoluta y la suma de estos productos se divide entre el total de datos:

La estatura media de los alumnos de esta seccin es 160,5 cm.

La media aritmtica es una medida estadstica que es igual al cociente de la suma de los productos de cada variable por su frecuencia absoluta entre el total de frecuencias.

MEDIANA (Me)

Observa cmo calculamos la mediana con datos agrupados.

Hallamos la mediana de las estaturas de los alumnos de la seccin mostradas en la tabla anterior.

Y

Fi

40

35

30

25

20

15

10

5

X

145 150 155 160 165 170 175

Me

Sobre el eje X llevamos los intervalos y sobre el eje Y, las frecuencias absolutas acumuladas.

Trazamos los rectngulos cuyas alturas corresponden a las frecuencias absolutas acumuladas.

Unimos extremos superiores derechos de cada rectngulo obteniendo el polgono de frecuencias acumuladas.

Ubicamos n/2 en la columna Y: 4/2 = 20. Trazamos una horizontal y en el punto de corte con el polgono bajamos la perpendicular. La mediana de las estaturas de los alumnos se encuentra en el intervalo [155-160[.

La mediana de un conjunto ordenado de datos es el valor que deja igual cantidad de datos por encima y por debajo de l.

MODA (Mo)

Observamos en la tabla la distribucin de frecuencias vista anteriormente, que el intervalo que tiene mayor frecuencia es [155 160[

Entonces, la moda se encuentra en el intervalo [155 160[ llamado intervalo modal.

MEDIDAS DE DISPERSIN

Cuando de una distribucin conocemos los valores centrales ya tenemos una buena informacin de la tendencia central de los datos. Sin embargo, los promedios no proporcionan una informacin completa de la distribucin, como se observa en el siguiente ejemplo:

Observa en el cuadro del margen las estaturas de los integrantes de dos equipos de bsquet.

La media aritmtica de cada equipo es 165 cm, sin embargo:

Las estaturas de los jugadores del equipo 2 estn ms prximas a la media.

Las estaturas de los jugadores del equipo 1 estn ms distantes de la media.

Esto se expresa diciendo que las estaturas de los jugadores del equipo 1 tienen mayor dispersin que las estaturas de los jugadores del equipo 2.

Para medir la mayor o menor dispersin de un conjunto de datos se utiliza el recorrido y las desviaciones.

RECORRIDO, DESVIACIONES

En las estaturas del equipo 1, el recorrido es 180 150 = 30.

En las estaturas del equipo 2, el recorrido es 168 162 = 6.

Se llama recorrido a la diferencia entre el dato mayor y el dato menor.

Cul es la desviacin de la estatura de cada jugador del equipo 1 y del equipo 2 respecto a la media aritmtica?

La desviacin de cada estatura respecto a la media es la diferencia entre esa estatura y la media (xi ).

Equipo 1: 150 165 = 15; 152 165 = 13; 165 165 = 0; 178 165 = 13; 18 165 = 15

Equipo 2: 162 165 = 3; 163 165 = 2; 165 165 = 0; 167 165 = 2; 168 165 = 3

DESVIACIN MEDIA

Desviacin media es el promedio de todas las desviaciones.

Para evitar que la suma salga cero se utilizan los valores absolutos.

Hallamos la desviacin media (DM) de ambos equipos.

Equipo 1: DM =|15| + |13| + |0| + |13| + |15| = 11,2

5

Equipo 2: DM =|3| + |2| + |0| + |2| + |3| = 2

5

Desviacin media es el cociente de la suma de los valores absolutos de las desviaciones entre el total de frecuencias.

VARIANZA Y DESVIACIN TPICA

Para hallar la varianza de las estaturas de cada equipo, calculamos el cociente entre la suma de los cuadrados de las desviaciones y el nmero de datos:

Equipo 1:

Equipo 2:

Para hallar la desviacin tpica o desviacin estndar, extraemos la raz cuadrada al valor de la varianza.

Equipo 1: D.S. =

Equipo 2:

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Ordena estos datos y halla su recorrido 47; 54; 35; 71; 35; 50; 39; 79; 52; 45.

2) Al preguntar a diez conductores cuntos galones de gasolina consume su carro en carretera por cada 400 km, stas fueron sus respuestas: 8; 9; 10; 8; 6; 9; 5; 7; 7; 7.

a) Encuentra el promedio o media aritmtica.

b) La mediana.

c) La moda.

3) Las ltimas calificaciones de Enrique fueron: 14; 11; 15; 09; 17; 12; 13; 15. Usa la calculadora y halla:

a) La media aritmtica.

b) La varianza.

c) La desviacin estndar.

4) Un comerciante realiz una encuesta para saber qu tallas de pantalones debe tener en su tienda. Los resultados fueron:

Tallas303132333435363738

(i22356814119

Encuentra:

a) La mediana.

b) La moda.

5) Los siguientes son los sueldos de los empleados de una empresa:

Un director: $ 600.

Un subdirector: $ 500.

Cuadro secretarias: $ 360 cada una.

Dos auxiliares: $ 220 cada uno.

Diecisis empleados: $ 420 cada uno.

Un administrador: $ 480.

Hallar:

a) El recorrido y las desviaciones.

b) La media aritmtica.

c) La desviacin estndar.

6) La tabla representa los pesos de un grupo de nios. Halla la varianza.

Peso (Kg)35 4040 4545 5050 55

(i30458

7) La tabla muestra los montos de 200 facturas de una tienda de artefactos elctricos durante un determinado tiempo.

Valor en soles(iEncuentra:

a) La media aritmtica

b) La mediana

0 20022

200 40047

400 60066

600 80035

800 100021

1000 12009

8) El diagrama de barras representa la cantidad de videos observados por un cierto nmero de personas al mes.

Y

70

6960

50

40

30 30 2720

1510

6 3

X

3 4 5 6 7 8

Elabora la tabla de frecuencias y halla:

a) Cuntas personas forman esta muestra?

b) Cul es el promedio de videos vistos?

c) Cul es la mediana? Y, cul es la moda?

d) Cul es la desviacin media?

9) El histograma representa el tiempo que permanecieron 100 estudiantes en la biblioteca.

Averigua:

a) Cul es el promedio de permanencia de los estudiantes en la biblioteca?

b) Cul es la moda?

(i

36

2832

24

28

24

20

16

12

8

4 2

0 5 10 15 20 25 30 35

SUCESOS

EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y NO ALEATORIOSLos experimentos que al repetirse en las mismas condiciones conducen a los mismos resultados, se denominan determinsticos o no aleatorios. Por ejemplo:

a) Si soltamos una piedra, esta piedra caer.

b) Si se calienta agua hasta 100 C, a la presin atmosfrica normal, el agua hervir. La ebullicin del agua es la consecuencia necesaria y previsible de elevar a 100 C su temperatura.

En cambio, los experimentos realizados en iguales condiciones que producen resultados diferentes, se denominan aleatorios o no determinsticos. Por ejemplo:

a) Si tiramos un dado, no sabemos qu nmero saldr en la cara superior.

b) Si lanzamos una moneda tres veces. No sabremos, con seguridad, la sucesin de caras y sellos que se obtendr.

ESPACIO MUESTRALEn cada uno de los experimentos anteriores podemos describir el conjunto de todos los posibles resultados.

Llamaremos E al conjunto de resultados de cada experimentos.

Ea = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Eb = {ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss}, s = sello, c = cara.

Cada uno de los resultados posibles del espacio muestral E, se llama suceso elemental. Por ejemplo, en el conjunto Ea: A = {6} B = {2}, cada uno de ellos es un suceso elemental.

Mientras que en el espacio muestral Eb que resulta de lanzar una moneda tres veces, el suceso de obtener dos caras ser un suceso compuesto:

C = {ccs, csc, scc}

EL LENGUAJE EN UN EXPERIMENTO ALEATORIO

Ya utilizamos las expresiones seguro, posible e imposible. De igual forma, para indicar la posibilidad de la realizacin de un experimento, usamos frases que clasifican la menor o mayor probabilidad de su ocurrencia.

Imposible Casi

Poco

Probable Muy

Casi

Seguro

imposibleprobable

probableseguro

Por ejemplo, si en una bolsa tenemos tres bolas rojas, tres blancas, tres azules y tres verdes.

Cuando se sacan 1; 2 3 bolas es imposible obtener los cuatro colores.

Cuando se sacan 4 es casi imposible obtener los cuatro colores.

Cuando se sacan 5 es poco probable obtener los cuatro colores.

Cuando se sacan 6 es probable obtener los cuatro colores.

Cuando se sacan 7 es muy probable obtener los cuatro colores.

Cuando se sacan 8 es tambin muy probable obtener los cuatro colores.

Cuando se sacan 9 es casi seguro obtener los cuatro colores.

Cuando se sacan 10 ms es seguro obtener los cuatro colores.

SUCESOS COMPATIBLES, INCOMPATIBLES Y CONTRARIOSObserva este ejemplo:

Supongamos que una caja contiene 5 fichas rojas y 7 verdes. Se extraen dos fichas al azar y se anotan sus colores.

Definimos los sucesos:

A = Ambas fichas son rojas = {RR}

B = Las dos son de distinto color = {RV}

C = Al menos una es verde = {RV, VV}El espacio muestral es E = {RV, RR, VV}

Vemos que si sucede A, entonces no puede suceder B y viceversa. Esto significa que A y B son sucesos incompatibles. Tambin son incompatibles A y C.

Dos sucesos son incompatibles, si no pueden suceder los dos a la vez.

Ahora, si no sucede A, entonces sucede C y viceversa. Esto significa que A y C son sucesos contrarios.

C es contrario a A si est formado por todos los elementos del espacio muestral distintos de A. El suceso contrario a A se designa por A.

Veamos otro ejemplo: considera un juego de naipes de 52 cartas, del que se va a extraer una carta.

Que sea trbol D =

Que sea as E =

D y E son sucesos compatibles porque hay un suceso comn.

Dos sucesos son compatibles, si tienen un suceso en comn.

OPERACIONES CON SUCESOSEstudiaremos dos operaciones entre sucesos tomados del espacio muestral correspondiente al lanzamiento de un dado. E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Considerando los sucesos A = {1; 4; 5} y B = {1; 3; 4}, hallamos la unin e interseccin de A y B.

A ( B = {1; 3; 4; 5}

A ( B = {1; 4}

Una operacin entre sucesos es una regla o criterio que permite obtener un suceso a partir de dos sucesos dados.

Si dos sucesos son incompatibles, el suceso A ( B es un suceso imposible.

Si dos sucesos son contrarios, el suceso A ( B es igual al espacio muestral.

Se llama suceso unin de A y B y se escribe: A ( B al suceso formado por los sucesos elementales de A y de B.

Se llama suceso interseccin de A y B y se escribe A ( B al suceso formado por los sucesos elementales comunes de A y de B.

TRABAJO PARA LA CASA

1) Determina cules de los enunciados son experimentos aleatorios?

a) Los rasgos que va a tener un beb que an no ha nacido.

b) El resultado de la lotera.

c) El nmero de invitados que asistir a una fiesta.

d) La cantidad de porciones obtenidas al preparar una receta.

e) El clima que va a hacer maana en la maana.

2) Tienes tres bolsas

1

2

3

a) Observa las bolsas 1; 2; 3.

i. En cul de las tres es ms probable que al sacar una bola sta sea blanca?

ii. En cul es menos probable que esto ocurra?

iii. En cul es ms probable sacar una bola gris?

iv. Si sacramos tres bolas de una sola vez, en cul de las bolsas es imposible sacar una bola gris, otra negra y otra blanca?

b) Observa la bolsa 3. Inventa una situacin y determina tres sucesos que cumplan las siguientes condiciones:

i. Que suceso no se presente nunca.

ii. Que el suceso sea seguro.

iii. Que el suceso se presente algunas veces.

c) Si se saca una bola de la bola 3.

i. Qu es ms probable, que salga azul o que salga blanca?

ii. Qu es ms probable, que salga roja o que salga verde?

iii. Determina un suceso que sea imposible en este mismo contexto.

3) Se lanzan dos dados de diferente color y se multiplican los resultados obtenidos. Determina:

a) El espacio muestral.

b) A = El resultado sea par.

c) B = El resultado sea impar.

d) C = El resultado sea primo.

e) D = El resultado sea mltiplo de 5.

f) F = El producto sea igual a 12.

g) G = El producto sea divisor de 9.

h) Determina 2 sucesos diferentes a los anteriores que sean incompatibles; dos que sean compatibles y dos que sean contrarios.

4) Se tiene un grupo de cartas numeradas del 1 al 10 y se extraen dos cartas a la vez.

a) Describe un suceso imposible.

b) Describe un suceso seguro.

c) El suceso A = ambas cartas son pares, es imposible, seguro o simplemente posible?

d) Encuentra un suceso incompatible con A.

e) El suceso B = suma de las cartas es 2 es imposible, seguro o posible?

f) Encuentra un suceso incompatible con B.

g) Encuentra el suceso contrario a C = suma de las cartas es menor que 12.

5) Tienes una caja con tarjetas numeradas del 0 al 7. Si sacas sucesivamente tres de ellas y formas un nmero de tres cifras significativas respetando el orden.

a) Cuntos elementos tiene el espacio muestral?

b) Cul es el nmero menor?

c) Cul es el nmero mayor?

6) Si lanzas un dado y una moneda, determina los siguientes suceso:

S1 = resulte un nmero par y cara.

S2 = resulte un divisor de 24 y sello.

7) Dispones de 7 tarjetas numeradas del 1 al 7 y de una moneda. Si extraes al azar una tarjeta y lanzas al aire la moneda:

a) Determina los elementos del espacio muestral.

b) Dibuja un diagrama del espacio muestral.

c) Determina el suceso A, en el que salga un divisor de 7 y sello en la moneda.

PROBABILIDADREGLA DE LAPLACEEn el experimento aleatorio de lanzar un dado recuerda que el espacio muestral es E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} porque es el conjunto de todos los resultados posibles. En este caso el nmero de resultados posibles es 6.

Todos los elementos del espacio muestral tienen la misma probabilidad de salir, por esto se le llama sucesos equiprobables.

Si determinamos el suceso A = se obtiene un nmero primo, tendremos A = {1; 2; 3; 5}; observa que se tienen 4 resultados favorables a A.

Entonces, la probabilidad de que ocurra el suceso A es igual a . Simblicamente escribimos:

La probabilidad de que ocurra un determinado suceso es igual al cociente del nmero de resultados favorables entre el nmero de resultados posibles siempre que todos los casos sean equiprobables.

P(A) =nmero de resultados favorables a A

nmero de resultados posibles

Veamos otro ejemplo:

-En un cajn se tienen 8 calcetines blancos y 6 azules, hallamos la probabilidad de sacar:

A: Un calcetn blanco

B: Un calcetn azul

C: Un calcetn verde

D: Todos los calcetines.

Nuestro espacio muestral tiene 14 elementos. Luego:

A = Que sea blanco

B = Que sea azul

C = Que sea verde

(El suceso es imposible porque no hay calcetines

verdes

D = Todos los calcetines

(Todos los calcetines, es el espacio muestral.

Podemos concluir las siguientes propiedades:

1Que la probabilidad de un suceso est comprendida entre 0 y 1

0 ( P(A) ( 1

2Que la suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales es 1.

3La probabilidad de un suceso imposible es igual a 0.

4La probabilidad de un suceso seguro es igual a 1.

5La probabilidad de un suceso es igual a la suma de las probabilidades de los sucesos elementales que lo componen

EJERCICIOS PARA LA CLASE

1. En una fbrica se revisa un lote de 15 focos en los que hay 5 defectuosos. Se toma un foco al azar, se registra su calidad y se lo regresa al lote antes de sacar otro. Cul es la probabilidad de que haya sido uno defectuoso?

2. Laura lanza un par de dados y define el evento M: obtener un total de 10 u 11 y en evento D: obtener dobles (por ejemplo 5; 5). Encuentra la probabilidad de cada evento.

3. En un cajn de la cmoda de Pablo hay 10 calcetines blancos y 10 azules mezclados. Si Pablo saca del cajn dos calcetines, cul es el nmero mnimo de calcetines que tienen que sacar del cajn para que la probabilidad de haber obtenido un par del mismo color sea del 100%?

4. Al arrojar dos dados de distinto color, cul es la probabilidad de:

a) Obtener como suma 7?

b) Obtener nmeros iguales?

c) Obtener como suma 15?

5. Sofa realiza el siguiente experimento: lanza una moneda y observa si cae sello o cara. Si cae cara lanza la moneda por segunda vez, pero si cae sello entonces tira un dado. Construye un diagrama de rbol para hallar el espacio muestral de este experimento.

Cul es la probabilidad de que en la segunda parte del experimento se lance un dado?

6. Considera un juego de naipes normal de 52 cartas. Supn que se saca una carta al azar, cul es la probabilidad de obtener?

a) Un 5

b) Una carta cualquiera de diamante

c) Un as de trbol

d) Una carta de palo rojo

7. En el colegio se organiz una rifa de 500 boletos. Los talones se revuelven bien y se seleccion uno al azar para elegir al ganador. Ursula compr 20 boletos y Luis Ernesto 25. Cul es la probabilidad que tiene cada uno de ser el ganador?

8. Se observan 29 das del mes de junio y se registran: 10 das nublados y 19 despejados. Si el da 30 fuese nublado, cul fue la probabilidad de das nublados y despejados? Si el da 30 fuese despejado, cul fue la probabilidad de das nublados y cul de das despejados?

9. Haz un diagrama de rbol y responde:

Supongamos que un estudiante tiene tres pantalones: azul, verde y caf. Que tiene tres camisas; blanca, amarilla y azul a rayas. De cuantas formas puede combinar sus pantalones con las camisas?

10. Calcula y luego demuestra tu respuesta con un diagrama de rbol.

Un estudiante da un examen en el cual tiene que marcar verdadero o falso. Le faltan 3 preguntas por responder y tiene un minuto. Decide marcar al azar. Si las respuestas a las tres preguntas son: verdadero, falso, verdadero: cul es la probabilidad de que el estudiante haya contestado por lo menos 2 preguntas correctamente?

11. Carmen y Luis juegan as: lanzan 2 dados y suman los nmeros de las caras superiores. Si la suma es 5; 6; 7; 8 y 9 gana Carmen y si la suma es 2; 3; 4; 10; 11 y 12 gana Luis. Carmen protesta y dice: T tienes ventaja, pues ganas con 6 sumas y yo slo con 5

Calcula las probabilidades de los eventos con los que gana Carmen y con los que gana Luis y responde si hay tal ventaja.

(Para describir el espacio muestral, puedes ayudarte con el siguiente diagrama cartesiano)

2do

1er123456

1

2

3(3; 5)

4

5(5; 3)

6

12. Se realiza el siguiente experimento: Se saca una canica de una caja que contiene 12 canicas rojas, 13 amarillas y 9 verdes, calcula:

a) La probabilidad de casa evento simple del espacio muestral.

b) La probabilidad de sacar una canica que no sea roja.

c) La probabilidad de sacar una canica negra.

13. Considera el caso de lanzar dos monedas y un dado.

a) Escribe el espacio muestral.

b) Determina la probabilidad de los sucesos siguientes:

A = {que aparezcan dos caras y un nmero par};

B = {que aparezca un 2};

C = {que aparezca exactamente una cara y un nmero primo}

c) Expresa con claridad el suceso en que A y B suceden; que sucede B solamente y en el que sucede B o C.

14. Sea E = {a, b, c}. halla P(a) si:

a) P(b) = y P(c) =

b) P(a) = 2P(b) y P(c) =

c) P(c) = 2P(b) y P(b) = 3P(a)

15. Se lanza un dado cargado, de tal manera que la probabilidad de que salgan nmeros pares es el doble de la de nmeros impares. Halla la probabilidad de que:

a) Aparezca un nmero par.

b) Aparezca un nmero primo.

c) Aparezca un nmero impar.

d) Aparezca un nmero primo impar.

16. Halla la probabilidad P de cada suceso.

a) Que salga un nmero impar al lanzar un dado.

b) Que resulte un as al sacar una carta de una baraja de 52 cartas.

c) Que aparezca por lo menos una cara al lanzar tres monedas normales.

d) Que aparezca una bola blanca al sacar una sola bola de una urna con 12 bolas, de las cuales hay 4 blancas, 3 rojas y 5 azules.

17. Se lanza una moneda cargada de manera que la posibilidad de salir cara sea tres veces la de salir sello. Halla P(c) y P(s).

18. Describe el espacio muestral del siguiente experimento: En una caja hay 3 canicas: una roja, una blanca y una negra, y se seleccionan dos de ellas con reposicin. (Con reposicin quiere decir que se saca una canica, se observa su color y se devuelve a la caja). Puedes desarrollar un diagrama de rbol.

19. Se escogen al azar dos dgitos del 1 al 9. Si la suma es par, halla la probabilidad de que ambos dgitos sean impares.

20. Se lanza tres monedas y un dado. Determina la probabilidad de que salga 3 sellos y un nmero impar.

21. En una guardera hay 18 nios y 14 nias. La mitad de los nios y la mitad de las nias tienen el pelo negro y las otras mitades el pelo rubio. Cul es la probabilidad de que se elija a un alumno que sea nio y tenga el pelo negro?

22. Toma una baraja de 52 cartas.

a) Si se reparten 3 cartas, halla la probabilidad de que todas las cartas sean del mismo palo.

b) Si se reparten 3 cartas, halla la probabilidad de que por lo menos dos de las cartas sean espadas.

23. Se escogen al azar dos dgitos diferentes entre el 1 y el 9.

a) Si la suma es impar, cul es la probabilidad de que 2 sea uno de los nmeros escogidos?

b) Si 5 es uno de los dgitos seleccionados, cul es la probabilidad de que la suma sea impar?

24. En un saln hay 10 nios y 5 nias. Se escogen 3 estudiantes al azar uno despus del otro. Halla la probabilidad de que:

a) Los dos primeros sean nios y el tercero sea nia.

b) El primero y el tercero sean nios y el segundo sea nia.

Nmero de personas

Medios de comunicacin

Nmero de alumnos

Estatura

Nmero de alumnos

Sexo

N de Asistentes

Nmero de alumnos

Estatura

Cantidad de Portarretratos

Das

Nmero de alumnos

Estaturas

Al igual que en el recorrido, cuanto mayor es la desviacin media, mayor es la dispersin de los datos.

N de personas

N de videos

Tiempo

_1157960552.unknown

_1157978617.unknown

_1157978955.unknown

_1158059629.unknown

_1158123449.unknown

_1158123510.unknown

_1158123538.unknown

_1158060081.unknown

_1157979139.unknown

_1157978709.unknown

_1157978916.unknown

_1157978648.unknown

_1157960747.unknown

_1157960827.unknown

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_1157953412.unknown

_1157956210.unknown

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