TERCER BOLETN DE 1ERO

PAGE 141 Consorcio Educativo El Carmelo GEOMETRA Colegios Pre Universitarios con Formacin Humanista

3er ao

CUADRILTEROSCUADRILTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA:

Llamado tambin cuadriltero cclico, es aquel cuadriltero cuyos vrtices pertenecen a una misma circunferencia.

ABCD es un cuadriltero inscrito

PROPIEDADES DEL CUADRILTERO INSCRITO:

1. En todo cuadriltero inscrito dos anguilos opuestos son suplementarios.

2. En todo cuadriltero inscrito un ngulo interior es igual a su opuesto exterior.

3. En todo cuadriltero inscrito el ngulo formado por un lado con una diagonal es igual al que forman el lado opuesto con la otra diagonal

CUADRILTERO INSCRIPTIBLE: es aquel cuadriltero que puede ser inscrito en una circunferencia. Para que un cuadriltero sea inscriptible debe de cumplir una de las propiedades ya mencionadas.

PUNTOS NOTABLES

1. Baricentro: se llama asi a la interseccin de las tres medianas del tringulo. El baricentro divide a cada divide a cada mediana en dos segmentos que estn en la relacin de uno a dos.

G es baricentro

2. Incentro: se llama asi a la interseccin de las tres bisectrices interiores. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita.

I: incentro.

r: Inradio

3. Excentro: se llama asi al punto de interseccin de dos bisectrices exteriores y una bisectriz interior. El Excentro es el centro de la circunferencia exinscrita.

E: Excentro relativo al lado BC

r: Exradio relativo al lado BC

4. Ortocentro: se llama asi al punto de interseccin de las tres alturas de un triangulo. El Ortocentro esta ubicado en:

El interior de un triangulo si este es acutngulo

En el vrtice del ngulo recto si este es un triangulo rectngulo

En el exterior de un triangulo si este es obtusngulo

5. Circuncentro: se llama asi a la interseccin de las tres mediatrices de un triangulo el circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita

Si el triangulo es acutngulo en Circuncentro estar ubicado en el interior del triangulo.

Si el triangulo es rectngulo el Circuncentro estar ubicado en el punto medio de la hipotenusa

Si el triangulo es obtusngulo, el Circuncentro estar ubicado en el exterior del triangulo.

EJERCICIOS PARA LA CLASE1. Los ngulos A y B de un trapezoide ABCD miden 80 y 120. Calcular la medida del ngulo agudo que forman las bisectrices exteriores de C y D.

2. En un cuadriltero ABCD; la diagonal es mediatriz de la diagonal , si AB = 6 cm y BC = 10 cm. Indicar que tipo de cuadriltero es y cul es su permetro.

3. En un trapecio ABCD; es la base menor, hallar la medida del ngulo que forman las bisectrices interiores de A y B, al intersectarse.

4. En un trapecio la mediana mide el doble de la base menor, si la base mayor mide 12 cm. Cul ser la medida de dicha mediana?

5. El segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio mide la mitad de la base menor, si la base mayor mide la mitad de la base menor, si la base mayor mide 10 dm, cul ser la medida de la base menor?

6. En un trapezoide ABCD m(A = 90, AB = AD 7 BC = CD, Si m( ABC = 105. Calcular la m( BCD.

7. La mediana de un trapecio es 4u mayor a la base menor, y la base mayor es 2u mayor al doble de la base menor. Cunto mide la mediana?

8. En un trapecio la mediana y el segmento que une los puntos medios de las diagonales suman 13 cm. Cul ser la medida de su base mayor?

TAREA DOMICILIARIA1. En un trapezoide ABCD, m(A = 80, m(B = 120, hallar la medida del ngulo obtuso que forman al intersectarse las bisectrices de (C y (D.

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:

En un trapezoide simtrico, una diagonal es mediatriz de la otra( )

En un trapecio la mediana es paralela a las bases

( )

Las diagonales de un trapecio issceles son congruentes

( )

3. En un trapecio ABCD ; BC = 4 cm; CD = 6 cm y AD = 8 cm, la bisectriz interior de (C intersecta a en el punto E. Hallar la medida del segmento que forman los puntos medios de y .

4. En un trapecio la mediana es 4u menor que la base mayor si la base menor mide la mitad de la base mayor, hallar la medida de la mediana.

5. En un cuadriltero ABCD, hallar la m(BCD. Si m(ABC = m(BCD = 2m(BAD y m(ADC = 4m(BAD.

6. En un trapezoide ABCD, m(A = 90; AB = AD y BC = CD. Si m(ABC = 115. Calcular la m(BCD.

7. Si el segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio es congruente a la base menor, entonces la base mayor es el............................ de la base menor.

8. En un trapecio la mediana y el segmento que une los puntos medios de las diagonales se diferencian en 7 dm. Cul ser la medida de su base menor?

PARALELOGRAMOS

EJERCICIOS PARA LA CLASE1. El permetro de un romboide es de 120 m, hallar la diferencia de las longitudes de dos lados adyacentes, sabiendo que se encuentran en relacin de 7 a 5.

2. Dos ngulos internos opuestos de un romboide suman 200. Calcular el suplemento de la medida de uno de los otros dos ngulos internos.

3. En un trapecio issceles se une en forma consecutiva los puntos medios de sus cuatro lados, el cuadriltero formado por estos puntos medios es un..................................

4. En un rombo, al unir el punto de interseccin de sus diagonales con el punto medio de uno de sus lados se obtiene un segmento de 3 cm de longitud, Cul ser el permetro de dicho rombo?

5. En un romboide ABCD, la bisectriz interior de (B intersecta al lado en un punto E. Si ED = 4 cm y CD = 6 cm. Calcular la longitud de la mediana del trapecio BCDE.

6. En un romboide ABCD la bisectriz interior de B intersecta al lado en el punto E. Si CD = 9 cm. Calcula la longitud del segmento que une los puntos medios de y .

7. Qu tipo de cuadriltero se determina al unir en forma consecutiva los puntos medios de los lados de un trapezoide?

8. En un romboide ABCD; las bisectrices exteriores de A y B se intersectan en el punto P y las bisectrices exteriores de C y D se intersectan en el punto Q. Si el permetro de romboide es de 16 cm. Calcular la medida de .

TAREA DOMICILIARIA1. Los lados diferentes de un romboide se encuentran en relacin de 3 a 4, si el permetro del romboide es 84 cm. Calcular la diferencia de las medidas de estos lados.

2. Las diagonales de un trapecio issceles miden 8 cm cada una, cul ser el permetro del cuadriltero que se determina al unir en forma consecutiva a los puntos medios de los lados del trapecio?

3. Las diagonales de un cuadriltero son perpendiculares, si se une en forma consecutiva los puntos medios de sus cuatro lados, el cuadriltero formado por estos puntos medios es un...........................

4. Las diagonales de un rombo miden 16 cm y 12 cm. Cul es el permetro de este rombo?

5. En un romboide la bisectriz interior de (A intersecta a en el punto P, si PC = 5 cm y CD = 8 cm. Calcular la medida del segmento formado L por los puntos medios de y

6. En un rectngulo ABCD, la bisectriz interior del ngulo A, intersecta a en el punto N, si = 6 cm. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de y .

7. Se tiene un cuadriltero no convexo ABCD; con AC = 10 cm y BD = 8 cm. Cul ser el permetro del cuadriltero que se determina al unir en forma consecutiva los puntos medios de sus cuatro lados?

8. En un romboide ABCD; A B= 6 cm y BC = 10 cm, las bisectrices interiores de B y C intersectan a en P y Q respectivamente, calcular la medida del segmento que une los puntos medios de y

REAS

CUADRADO RECTNGULO TRAPECIO - PARALELOGRAMO

EJERCICIOS PARA LA CLASE1. Se tiene 2 tringulos rectngulos issceles congruentes, con hipotenusa igual a cm, hallar el rea de la regin del cuadrado que se puede formar con dichos tringulos.

2. Con 3 cuadrados con cm de diagonal cada uno, se forma un rectngulo, cul ser el rea de dicho rectngulo?

3. Las bases de un trapecio se encuentran en relacin de 1 a 2 si la mediana es 2 cm ms que la base menor y su altura es de 10 cm. Hallar el rea de la regin de dicho trapecio.

4. Se tiene un romboide ABCD, de 40 cm de permetro y cuya altura BH mide 6 cm. S: (AC) = 3(AB). Hallar el rea de la regin de este romboide.

5. Se tiene un rectngulo ABCD, AB = 6 cm y BC = 10 cm, Hallar el rea del cuadriltero que se forma al unir en forma consecutiva los puntos medios de los lados ;; y .

6. El marco de un cuadro est formado por dos cuadrados, (como se muestra en la figura), cuyos permetros son 16 cm y 12 cm. Calcular el rea de dicho marco.

7. Si el lado de un cuadrado aumenta en 2 cm, su rea aumenta en 28 cm2. Hallar el permetro del cuadrado original.

8. Pepe posee fichas cuadradas de 3 cm de lado y con una cantidad x de ellas forma un cuadrado de 81 cm2 de rea. Cul es esta cantidad X?

TAREA DOMICILIARIA1. Con dos tringulos rectngulos issceles congruentes, cuyas hipotenusas miden cada una, se forma un cuadrado. Cul ser el rea de dicho cuadrado?

2. Un rectngulo est formado por 3 cuadrados congruentes cuya diagonal mide dm. cul ser el rea de dicho rectngulo?

3. En un trapecio se sabe que sus bases se encuentran en relacin de 3 a 2, si su mediana mide 1 cm menos que la base mayor, y su altura es de 8 cm. Hallar el rea de la regin de dicho trapecio.

4. En un romboide ABCD, se sabe que su permetro es 60 d; que AD = 2(CD) y que su altura es de 8 dm. Calcular el rea de la regin de dicho romboide

5. El rea de una regin rectangular es de 54 m2, si sus lados se encuentran en relacin de 2 a 3. Calcular su permetro.

6. El rea de un cuadrado es de 162 m2. Cul ser su permetro?

7. Si el lado de un cuadrado disminuye en 3 cm, su rea disminuye en 51 cm2. Hallar el permetro del cuadrado original.

8. Se desea cercar un terreno cuadrado de 289 dm2 de rea con tres hileras de alambre. Cuntos dm de alambre sern necesarios?

CUADRILTEROS (PERMETROS - REAS)

EJERCICIOS PARA LA CLASE1. En un trapezoide ABCD; m(A = 90; m(ABC = 60 + x, m(BCD = (x + 30) y m(CDA = (4x 60). Calcular x.

2. En un trapezoide ABCD; m(ABC = 100 y m(BCD = 120. Calcular la medida del ngulo obtuso que forma al intersectarse las bisectrices interiores de (A y (D.

3. Las bases de un trapecio se encuentran en relacin de 3 a 5 si la mediana mide 2 cm ms que la base menor. Cul ser la medida de dicha mediana?

4. En un trapecio el segmento que une los puntos medios de sus diagonales mide 3 cm menos que la base menor, si las bases se encuentran en relacin de 2 a 3. Hallar la medida de la base mayor.

5. Los lados de un romboide se encuentran en la relacin de 3 a 5, si su permetro es de 64 m. Hallar la medida del menor lado.

6. Los lados de un romboide ABCD miden AB = 6 cm y BC = 8 cm si su ngulo agudo (A mide 60. Hallar el rea de la esta regin.

7. Si el permetro de un cuadrado es de 24 cm. Cul ser el permetro del cuadrado que se determina al unir en forma consecutiva los puntos medios de sus lados?

8. Se tiene un trapecio ABCD ; hallar la medida del ngulo que forman las bisectrices interiores de (C y (D.

TAREA DOMICILIARIA1. En un trapezoide ABCD; m(B = 90, las medidas de los ngulos internos de A; C y D se encuentran en relacin de 2; 5 y 3 respectivamente. Hallar el complemento de (A.

2. En un trapezoide ABCD, la m(BAD = 80 y la m(ABC = 110, hallar la medida del menor ngulo que forman al intersectarse las bisectrices interiores de C y D.

3. Si los ngulos internos de B y C de un trapezoide miden 120 y 130 respectivamente, cul ser la medida del menor ngulo que forman al intersectarse las bisectrices exteriores de A y D.

4. Las bases de un trapecio se encuentran en relacin de 7 a 11, si la mediana mide 4 cm menos que la base mayor. Cul ser la medida de dicha mediana?

CIRCUNFERENCIA REA DEL CRCULOPROPIEDADES1.

2.

3.

Teorema de Poncelet:

Teorema de Pitot:

OBSERVACIONES:

EJERCICIOS PARA LA CLASE1. En un tringulo ABC, la circunferencia inscrita es tangente a en P; a en Q y a en R. Si AP = 3 cm BQ = 4 cm y CR = 6 cm. Cul es el permetro del tringulo?

2. Desde el punto P exterior a una circunferencia de centro O, se traza la tangente . Si m(OPA = 30 y OP = 12 cm. Calcular la medida del radio dela circunferencia.

3. En la figura: . Calcular: ( + ( + (, si m EF = 86

( B

A

D

(

A

E

(

F

(4. En el grfico: L // ; si m TB = 50. Hallar la m AC

C

T

L

5. En el grfico hallar OH si R = 10 cm y AB = 16 cm.

A

H B

O

R

6. En un tringulo, la circunferencia inscrita es tangente a en el punto M, hallar la medida de si AB = 6 cm BC = 10 cm y AC = 7 cm.

7. Si el permetro de un crculo es de 16( cm, cul ser su rea?

8. En el grfico: TC + TH = 14 cm. Hallar AI

A

T I

H

C

TAREA DOMICILIARIA1. En el grfico hallar AB, si AT = 4 cm y BP = 7 cm.

T

P

A

B

2. Desde el punto E exterior a una circunferencia de centro O, se traza la tangente , si m(OET = 37 y ET = 48 cm. Hallar la medida del radio de dicha circunferencia.

3. En la figura:

ABC es un ( equiltero. Hallar la medida del arco AB.

B

A

C

4. En un tringulo ABC, la circunferencia inscrita es tangente a en el punto M, hallar la medida de , si AB = 7 cm, BC = 11 cm y AC = 9 cm.

5. En una circunferencia se inscribe un cuadrado de 81 m2 de rea. Cul ser la longitud de dicha circunferencia?

6. En una circunferencia de centro O se tienen una cuerda , si el radio de la circunferencia mide 10 cm y AB = 12 cm, hallar la distancia de O a .

7. En el grfico; hallar r si BC = 6 cm; CD = 10 cm y AD = 12 cm.

B

C

A

D

8. Hallar la medida del radio de la circunferencia inscrita en un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 10 cm y 24 cm.

CIRCUNFERENCIA: NGULOS CUADRILTERO INSCRITO

EJERCICIOS PARA LA CLASE1. En el grfico; hallar x, si m( AOB = (6x + 10) y mAB = (8x 30) (O es centro)

A

O

C

B

2. En el grfico ; si O es centro y mMN = 80. Hallar la m( NEC.

M

N

A

C

O

E

3. En el grfico; hallar x; si L es tangente; m( ABC = 40 y m( ACB = 80.

B

x

A C

4. Si mAD = 68, hallar la m( CEB.

C

A

B

x

E

D

5. En el grfico, hallar el suplemento de (3x)

A

C

x

O

B

6. En el grfico O es centro; mET = 100; mTB = 3 m(ECA. Hallar la m( ECA.

E

T

3x

A O

B

7. Hallar 2x

T

2x

3x

I

E

8. En el grfico, hallar x, si m(ABC = 110

A

B

x

110

C

D

PROPORCIONALIDADTEOREMA DE THALES:

1. TEOREMA DE THALES ENTRE RECTAS PARALELAS. Tres o mas rectas son intersecadas por dos rectas secantes, entonces entre las rectas paralelas se determinan segmentos proporcionales.

Si L3//L4//L5, L1 y L2 son secantes entonces

2. TEOREMA DE THALES EN UN TRIANGULO RECTNGULO. si se traza una paralela a un lado de un triangulo tal que intercepta a los otros dos lados, entonces sobre dichos lados se determinan segmentos proporcionales.

SI: L1 // AC

(

3. PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ: en un triangulo, los lados que forman el vrtice es donde se traza una bisectriz interna o externa, son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz en el lado opuesto o su prolongacin.

EMBED AutoCAD.Drawing.15 EJERCICIOS PARA LA CLASE1. Los lados y de un tringulo ABC, se encuentran en relacin de 1 a 3, respectivamente, se traza la bisectriz interior si AD = 4 cm. Hallar la medida de

( ( (2. En el grfico: L1 // L2 // L3

A D

(3+x)

10

L1

B E

(2+x)

(x+6) L2

C

F

L33. En un tringulo FGH; en toma l punto J y en se toma el punto k de manera que ; si FH = 6 cm; GK = 2 cm y KH = 3 cm. Hallar FJ

4. En el grfico ; ; AD = 8; BC = 12, encuentre el valor de AE y de FC

A

B

E

F

G

D

C

5. Los lados de un tringulos ABC miden AB = 4 cm; BC = 6 cm y AC = 5 cm. Se traza la bisectriz interior , calcular la diferencia (DC AD)

6. En un tringulo ABC; AB + BC = 27 cm se traza la bisectriz interior; si aD = 4 cm y DC = 5 cm, calcular (BC AB)

( ( (7. En el grfico; m // n // l; EF = 3(DE); si AB = (x + 4) y BC = (5x + 8), hallar x

A

D

m

B

E

n

C

F

l

8. En un tringulo ABC, se traza la bisectriz interior si AB = 3(BC) y AC = 24.

Hallar (AD DC)

TAREA DOMICILIARIA1. Los lados y de un tringulo ABC, se encuentran en relacin de 2 a 3 respectivamente, se traza la bisectriz interior. Si AD = 6 cm, hallar la medida de

( ( (2. En el grfico, L1 // L2 // L3, hallar DF

A D

(2+x)

12

L1

B

E

(4+x)

(4x) L2

C

F

L3

3. En un tringulo ABC; en se toma el punto P y en se toma el punto Q de manera que ; si AC = 8 cm BQ = 3 cm y QC = 2 cm, hallar PC

4. Los lados de un tringulo ABC, miden AB = 8 cm; BC = 12 cm y AC = 10 cm; se traza la bisectriz interior, calcular la diferencia (DC AD)

5. En un tringulo ABC; AB + BC = 22 cm, se traza la bisectriz interior; si AD = 3 cm y DC = 8 cm. Calcular (BC AB)

( ( (6. En el grfico: a // b // c, si AB = (2x + 3), BC = (x + 9) y 4(DE) = 3(EF), hallar x

A

D

a

B

E

b

C

F

c

( ( (7. En el grfico: L1 // L2 // L3, hallar DF, si AB = 6 cm, BC = (2x+4) cm DE = (4x+4) cm y EF = (5x+6) cm.

A

D

L1

B

E

L2

C

F

L3

8. En el grfico: Si AI = 8 cm; IM = 10 cm, AL = 4 cm, hallar LT

A

I

M

L

T

SEMEJANZA DE TRINGULOS

Dos tringulos son semejantes si tienen sus ngulos de igual medida o sus lados homlogos respectivamente proporcionales.

Lados Homlogos: se denomina as a los lados que se oponen a ngulos de igual medida.

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS

PRIMER CASO: Dos tringulos sern semejantes si tienen por lo menos dos de sus ngulos de igual medida.

SEGUNDO CASO: Dos tringulos sern semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ngulo comprendido entre dichos lados de igual medida.

TERCER CASO: dos tringulos sern semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

OBSERVACIN: en dos triangulo semejantes sus lados homlogos son proporcionales asi como sus elementos homlogos: (alturas, medianas, bisectrices, inradios, etc.).

EJERCICIOS PARA LA CLASE1. Se tiene un tringulo cuyos lados tienen 4 cm, 7 cm y 9 cm luego se dibuja otro tringulo semejante al primero, cuyo permetro es 60 cm, cul ser la medida del menor lado de este ltimo tringulo?

2. En el grfico; hallar PQ, si ; 2(PB) = 5(AP) y AC = 21 cm.

B

P

Q

A

C

3. En el grfico hallar AC. Si BP = 2 cm y PC = 6 cm AM = MC

B

C

A

M

C

4. En el grfico, hallar AC si: BC = 6 cm CD = 2 cm y AE = 16 cm.

A

C

D

B

E

5. En un trapecio ABCD; , las diagonales y se intersectan en el punto E, si AE = 3(EC) y BC = 4 cm. Hallar la medida de la base mayor

6. En el grfico; hallar IN si PR = 8 dm; PC = 6 dm y CN = 9 dm.

IR

C

N

P

7. En un cuadrado ABCD; se une el vrtice B con el punto medio M de ; si y se intersectan en el punto P y AP = 9 cm. Hallar la medida de

8. En un tringulo rectngulo ABC, se traza la altura relativa a la hipotenusa, si AH = 2 cm y HC = 8 cm. Calcular la medida de

TAREA DOMICILIARIA1. Se dibuja un tringulo cuyos lados midan 9 cm, 12 cm y 7 cm, luego dibuje otro tringulo semejante al interior que tenga 84 cm de permetro y encuentre la medida de su mayor lado.

2. En el grfico, hallar MN, si ; 3(BN) = (2NC) y AB = 20 cm

B

N

C

A

M

3. En el grfico TP si AE = 4 cm y EP = 12 cm

T

M

P

A

E

4. En el grfico, hallar (PR + TE) si PM = 8 d; PN = 12 dm y

Sabiendo adems que y

R

M

N

P

T

E

5. En un cuadrado ABCD se une el vrtice B con el punto medio M de , si y se intersectan en el punto P y AP = 12 cm, hallar la medida de .

6. En el trapecio ABCD; , las diagonales y se intersectan en el punto P, si AP = 4(PC) y BC = 3 cm, hallar la medida de la base mayor

7. En el romboide ABCD 2(PD) = 3(BP) si BE = 6 cm, hallar EC

B

E C

P

A

D

8. En el grfico, hallar UM si RA = 10 cm, PR = 6 cm PU = 4 cm.

AR

P

M

U

NGULO DIEDRO CUBO PARALELOGRAMO

EJERCICIOS PARA LA CLASE1. Indique verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:

I. Un ngulo diedro est formado por 2 planos secantes

( )

II. Un ngulo diedro recto mide 90 ( )

III. La medida de un ngulo diedro puede ser un valor obtuso

( )

2. En el grfico se muestra dos superficies rectangulares que forman un ngulo diedro de 60; si AT = AM = 6 cm. Hallar PQ

P

T

Q

A M

3. Si la arista de un cubo mide 4 cm, Cul ser el valor de su rea total?

4. La diagonal de un cubo mide dm. Hallar su rea total.

5. La suma de todas las aristas de un paraleleppedo rectangular es 180 dm; si sus dimensiones se encuentran en relacin 2; 3 y 4. Calcular su rea total.

6. Jorge compra una pecera para su acuario y observa que sus dimensiones miden 6 dm, 10 dm y 8 dm; entonces Jorge sabe que la capacidad de lquido que puede contener la pecera es de:

7. Si el plano del tringulo ABC, equiltero, y el plano del rectngulo ACPQ, forman un diedro recto, hallar BM sabiendo adems que AB = cm y AQ = 12 cm.

B

C

P

M

A

Q

8. En el cubo mostrado, hallar su volumen si PO = cm, siendo O el centro de la base.

P

O

TAREA DOMICILIARIA1. Indique verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:

I. Un cubo tiene vrtices.

II. La medida de un ngulo diedro solo puede ser un valor agudo

III. Una bisagra es un ejemplo fsico de ngulo diedro

2. Se tiene los tringulos equilteros ABC y ACE que pertenecen a 2 planos perpendiculares, si AB = 6 cm hallar BE

3. Si el rea de un cubo es 216 m2 hallar su volumen.

4. La diagonal de un cubo mide cm hallar su rea total.

5. La suma de todas las aristas de un paraleleppedo rectangular es 240 cm, si sus dimensiones se encuentran en relacin de 3; 4; 5 calcular su rea total.

6. Las dimensiones de un paraleleppedo miden 6 cm, 8 cm y 10 cm,cul es la medida de su diagonal?

7. El plano del tringulo equiltero ABC es perpendicular al plano del rectngulo ACPQ, hallar BM, si AB = cm y AQ = 9cm.

B

C

P

M

A

Q

8. Cuntos cubitos de 3 cm de arista podrn acomodarse como mximo en una caja rectangular de dimensiones 12 cm, 18 cm y 24 cm?

PROPORCIONALIDAD SEMEJANZA NGULO DIEDRO CUBO

EJERCICIOS PARA LA CLASE1. En un tringulo ABC, en y se toma los puntos P y Q respectivamente. Hallar PQ, si ; AC = 12 cm AP =2 cm y PB = 6 cm.

( ( (2. En el grfico: a // b // c ; 3(AB) = 5(BC) si DF = 24 cm; hallar EF

A

D

a

B

E

b

C

F

c

3. En un tringulo rectngulo ABC (m(B = 90) se traza la altura , si AH = 3 cm y HC = 9 cm. Hallar la medida de

4. En un trapecio ABCD , las diagonales se intersectan en E, hallar BC

5. Se tiene un romboide de ABCD, sobre se ubica el punto E tal que BE = 6 cm, si , adems Q es el punto de interseccin entre y , hallar EC

6. Si el volumen de un cubo es 343 cm3, hallar su rea total.

7. Las reas de 3 caras distintas de un paraleleppedo rectangular son de 12 m2 ; 15 m2 ; y 20 m2. Hallar el volumen de dicho paraleleppedo.

8. Las bases de un trapecio rectngulo miden 6 cm y 24 cm. Hallar la medida de su altura si las diagonales son perpendiculares entre s.

TAREA DOMICILIARIA1. En el lado de un tringulo ABC, se toma el punto E de manera que la m(BAE = m(BCA. Si BE = 3 cm y EC = 6 cm. hallar AB

2. Los lados de un tringulo miden 6 cm, 8 cm y 12 cm, hallar la medida del menor lado de otro tringulo semejante al anterior, cuyo permetro es 78 cm.

3. En un trapecio ABCD, las diagonales se intersectan en el punto E hallar EC, si 3(AD) = 5(BC) y AE = 15 cm.

4. En un tringulo ABC, en y , se toma los puntos M y N respectivamente, de manera que . Hallar MN si MB = 8 cm; AM = 4 cm y AC = 18 cm.

5. En el grfico, hallar PQ; si ; BP = 7 cm y AC = 24 cm.

B

P

Q

( (A

C

6. Se tiene un tringulo issceles de permetro (12 + ) cm. Hallar la medida de su cateto.

7. Los diagonales de tres caras distintas de un paraleleppedo rectangular miden 5 cm; cm y cm. Calcular la medida de la diagonal del paraleleppedo.

8. En el grfico; O es centro, HT = 6 cm y TM = 10 cm, hallar:

T

O

M

H

L

PRISMA CILINDRO: REA VOLUMEN

EJERCICIOS PARA LA CLASE1. Se tiene un prisma triangular, de 10 cm de altura, la base es un tringulo equiltero de 6 cm de lado. Hallar el rea total del prisma.

2. La superficie de un prisma con base cuadrada es 360 cm2 , y la altura es el doble de la longitud de las aristas de la base, cules son las longitudes de las aristas del prisma?

3. Los lingotes de plata son barras moldeadas como la de la figura, los extremos son trapecios issceles paralelos. Cul es volumen?

2

10

4

4. Un depsito cilndrico tiene 17 cm de altura y el radio de su base es 10 cm. Cuntos centmetros cbicos contiene el depsito?

5. La razn entre los radios de dos cilindros circulares rectos de la misma altura es 2 : 1, cul es la razn entre los volmenes de los dos cilindros?

6. En el grfico hallar el volumen del cilindro, si el volumen del cubo es 64 cm3.

7. Hallar el rea lateral de un cilindro de 8 cm de altura, y 6( cm de permetro de base.

8. El rea de la base del cilindro es 36( cm2 y su volumen es 288( cm2, hallar AO; O es centro de la base.

A

O

TAREA DOMICILIARIA1. La base de un prisma es un trapecio cuya mediana y altura miden 8 cm y 6 cm respectivamente, si la altura del prisma es el doble de la mediana del trapecio de su base, hallar el volumen de dicho prisma.

2. La base de un prisma es un tringulo equiltero cuyo lado mide a, la altura del prisma es igual al permetro de su base y el rea lateral del prisma es 36 cm2. Hallar el valor de a

3. Se tiene una lata de conserva, cuya base es un crculo de 6 cm de dimetro, si la altura de la conserva es 10 cm. Cul ser su capacidad volumtrica en cm3? (( = 3,14)

4. La razn entre los radios de dos cilindros circulares rectos de la misma altura es 3 : 2, cul es la razn entre los volmenes de los cilindros?

5. La altura de un cilindro es igual al dimetro de su base, si el permetro de su base es 12( cm. Hallar su rea lateral y su volumen.

6. En el grfico, hallar el volumen del cubo si el volumen del cilindro es 128( cm3

7. Halla el rea lateral de un cilindro de 12 cm de altura y 10( cm de permetro de su base.

8. La altura del cilindro mostrado es el doble del radio de su base si AC = cm. Hallar su volumen.

C

A

PIRMIDE CONO REA Y VOLUMEN

EJERCICIOS PARA LA CLASE1. A la derecha se ilustra una pirmide cuadrada, cules de estos patrones pueden doblarse para construir la pirmide?

a)

b)

c)

2. Si la base de una pirmide es un heptgono, cuntas aristas en total tendr esta pirmide?

3. Si la base de una pirmide es un dodecgono, cuntas caras en total tendr esta pirmide?

4. La base de una pirmide es un cuadrado de 8 m2 de rea, si la altura de la pirmide mide igual a la diagonal de su base. Cul ser el volumen de dicha pirmide?

TAREA DOMICILIARIA1. Si una pirmide tiene 16 aristas en total, entonces su base es un:

2. Si una pirmide tiene 25 caras, entonces su base tiene............... lados.

3. El volumen de un cono recto 9( cm3 encuentre el radio y su altura si son iguales y luego su rea lateral.

4. Un cono y un cilindro tienen la misma capacidad volumtrica. Hallar la relacin de sus alturas, si el radio del cono recto mide el doble del radio del cilindro recto.

SLIDOS GEOMTRICOS I

PROBLEMAS PARA LA CLASE1. La proyeccin de la diagonal de un paraleleppedo rectangular sobre el plano de la base mide 25 cm; si una de las aristas de la base es de 15 cm y el ngulo que la diagonal forma con el plano de la base, tal como se muestra en la figura, es de 30, cunto mide la otra arista y la altura del paraleleppedo?

A

d

Y

30 B

25 x

A

15 C

2. La base de un prisma regular es un tringulo equiltero cuya rea es de cm2. Siendo el rea lateral del prisma de 240 cm2, hallar el volumen del prisma.

3. Se ha cavado un pozo de forma cilndrica de 14 m de profundidad y 5 m de dimetro, se le requiere revestir en primer lugar el rea lateral con una capa de concreto de 10 cm de espesor y luego cubrirla con una capa impermeabilizadora. Si por el m3 de concreto se cobra S/. 120 y por el m3 de impermeabilizacin S/. 18, a cunto asciende el costo total? (considerar: ( = 22/7)

4. En el cubo mostrado de diagonal igual a , calcular el rea sombreada.

5. Se tiene un paraleleppedo recto cuyas aristas miden 6; 3 y 6(, el cual es equivalente a un cilindro de revolucin de radio igual a 3. Hallar la altura del cilindro.

6. La diagonal de un paraleleppedo rectangular mide 17 m y la altura es de 8 m, calcular el volumen del paraleleppedo, si una de las aristas mide 12 m.

7. La base de un prisma regular es un hexgono regular cuya rea es de cm2, siendo el rea lateral del prisma de 180 cm2. Hallar el volumen del prisma.

8. Un cilindro es tal que visto de frente se ve como un rectngulo de 48 cm2 de rea. Hallar la razn entre el volumen del cilindro y el dimetro de la base.

PROBLEMAS PROPUESTOS1. Calcular el volumen del slido que se forma cuando el cuadrado de la figura gira 360 alrededor del eje L.

L

A

B

D

C

a) 24(b) 36(

c) 48(d) 64(e) 72(2. Hallar el permetro de la regin sombreada sabiendo que la arista del cubo es igual a 7.

a) 49(1 + )

b) 7(1 + )

c) 14(1 + )

d) 14(1 + 2)

e) 7(1 + 2)

3. Hallar el rea total de un hexaedro regular, si la suma de las longitudes de sus aristas es 60 cm.

a) 120 cm2 b) 180c) 100

d) 150 e) 60

4. Hallar el rea total de un cubo equivalente a un paraleleppedo rectangular de 18 cm de largo, 16 cm de ancho y 6 cm de altura.

a) 1728 cm2 b) 864c) 7776

d) 216 e) 108

5. El rea total de un paraleleppedo rectangular es 10 m2. Si el largo es el doble del ancho y el ancho es igual a la altura, calcular la diagonal del paraleleppedo rectangular.

a) mb) 5

c) 4

d)

e)

6. Si el rea lateral de un prisma cuadrangular es 40 m2 y la medida de la altura es 5 m, entonces su rea total es:

a) 48 m2b) 50

c) 60

d) 65e) 96

7. Determinar el rea total de un cilindro circunscrito a un prisma hexagonal regular donde el lado de la base mide 6 cm y la altura mide 8 cm.

a) 96( cm2 b) 129(c) 168(d) 84( e) N.A.

8. La altura de un cilindro recto mide 6 m y el rea lateral 36( m2. Hallar su volumen.

a) 54 m3b) 54(

c) 36

d) 36(e) 18

SLIDOS GEOMTRICOS II

PROBLEMAS PARA LA CLASE1. Cunto mide el apotema y la altura de una pirmide cuadrangular regular si su arista lateral mide 20 cm y la arista de la base 24 cm?

2. El rea lateral de una pirmide cuadrangular regular es de 36 m2. Si la apotema de la pirmide mide veces el radio del crculo que circunscribe a la base, hallar el lado de la base.

3. Un tringulo rectngulo cuya hipotenusa mide 16 cm forma con el cateto menor un ngulo de 60. Cul ser el rea lateral y total del cono de revolucin que se genera al girar 30 alrededor del cateto mayor?

4. La altura de un tronco de pirmide cuadrangular regular es 6 m y los lados de las bases miden 1,2 m y 4,7 m respectivamente. Cul es la longitud de su apotema?

5. El segmento que une los puntos medios de dos aristas concurrentes de un tetraedro regular midem. Hallar el rea total del tetraedro y su volumen respectivamente.

6. Cul ser el volumen del cono generado por un tringulo equiltero de 6 m de lado al girar alrededor de su altura?

7. Si dos conos de revolucin tienen sus bases iguales y sus alturas miden 9 y 15 cm respectivamente, cul es la razn de sus volmenes?

8. A qu distancia del vrtice de una pirmide cuadrangular regular se le debe seccionar por un plano paralelo a la base, si se desea que el volumen del tronco resultante sea igual a 5/6 del volumen de la pirmide original, si el lado de la base de la pirmide mide 16 m y su altura 6 m?

PROBLEMAS PROPUESTOS1. Calcular el rea total del cono, si: VO = 24 y VC = 26.

V

A O C

a) 350(b) 340(

c) 360(d) 220(e) 230(2. Hallar el rea total de un tetraedro regular, si la suma de las longitudes de sus aristas es 36 cm.

a) 36 m2b) 6 c) 24

d) 36

e) 24

3. Calcular el volumen de una pirmide hexagonal regular, sabiendo que las aristas laterales miden el doble del lado de la base. El lado de la base es a

a)

b)

c)

d) a3e)

4. Se tiene un cono cuyo volumen es igual al de un cubo de 24 cm2 de rea total. Determinar el volumen del cono.

a) 6 cm3b) 9

c) 8

d)

e) F.D.

5. El dimetro de la base de un cono recto de revolucin mide 20 cm. Si las generatrices forman un ngulo de 60 con el plano dela base, encontrar el rea total del cono.

a) 150( cm2 b) 200(c) 300(d) 400( e) 500(

6. El volumen de un cono circular recto de 32 m de dimetro es 1 024( m3. Hallar el rea total del cono.

a) 576(m m2 b) 320(c) 432(d) 288( e) 360(7. La arista lateral de una pirmide cuadrangular regular mide 25 cm y el rea de la base es de 400 cm2. Cul es la altura de la pirmide?

a) 5m b) 20

c) 7

d) 25 e) 5

8. Hallar el volumen de una pirmide hexagonal regular de 7 cm de arista lateral y de 5 cm de arista de base.

a) 70cm3b) 105

c) 75

d) 35

e) 140

B

O

A

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Conserva

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