1

Elementi di Geotecnica - Spinta delle terre - Muri

di sostegno

Giacomo Sacco

Gennaio 2020

2

Indice

1 - Elementi di geotecnica e spinta delle terre

11 - Natura e classificazione delle rocce sciolte pag 3

12 - Fondazioni superficiali pag 5

121 - Resistenza a rottura del terreno

122 - Verifica delle fondazioni

123 - Criteri generali di progetto per le fondazioni superficiali

13 ndash Indagini sui terreni pag 12

14 - Spinta delle terre pag 17

14 1 - Teoria di Coulomb

14 2 - Metodo grafico di Poncelet

143 ndash Spinta del terreno con sovraccarico

Esercizi svolti modulo 1 pag 23 1

2-Muri di sostegno

21 - Generalitagrave sui muri di sostegno pag 25

22 ndash Azioni statiche sul muro pag 27

23 - Verifiche pag 29

231 - Verifica a scorrimento rispetto al terreno di fondazione pag 31

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione pag 35

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione pag 37

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro pag 39

223 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione pag 41

Esercizi modulo 2 pag 44

24 ndash Azioni provocate dal sisma pag 46

3

1 11 - Natura e classificazione delle rocce sciolte tura e classificazione delle

rocce sciolte

Un modo molto semplice per classificare le rocce egrave quello di dividerle in due grandi gruppi

rocce lapidee e rocce sciolte

La differenza tra i due tipi di roccia egrave data dallrsquointensitagrave del legame esistente tra i vari

componenti costituenti una roccia Possiamo definire rocce lapidee quelle che dopo una serie

successiva di immersioni in acqua ed essiccamenti si mantengono inalterate mentre le rocce

sciolte si disgregano in particelle o frammenti Nel seguito ci occuperemo dello studio solo delle

rocce sciolte

Le rocce sciolte sono composte da un insieme di piugrave particelle di varie dimensioni La

determinazione del diametro delle diverse particelle che compongono una roccia sciolta prende il

nome di analisi granulometrica

Una suddivisione delle rocce sciolte basata sullrsquoanalisi granulometrica egrave quella riportata

nella tabella sottostante basata sul diametro medio d delle particelle che le compongono

Argilla d lt0002 mm

Limo 0002 lt d lt 002 mm

Sabbia 002 lt d lt 2 mm

Ghiaia 2 lt d lt 200 mm

Blocchi d lt 200 mm

Tra le particelle che costituiscono una roccia sciolta egrave presente sempre lrsquoattrito In alcuni

casi oltre allrsquoattrito puograve esserci un altro legame tra le particelle comunque non sufficientemente

forte da far considerare tali rocce come lapidee tale legame egrave la coesione In base alla presenza o

meno della coesione le rocce sciolte vengono divise in terreni coerenti con coesione diversa da

zero e terreni incoerenti con coesione pari a zero Un esempio di terreno incoerente egrave

rappresentato dalla sabbia mentre un esempio di terreno coerente egrave rappresentato dall argilla

Come egrave noto la forza di attrito dipende dalla forza normale N applicata sulla superficie di

scorrimento e dalla scabrezza delle superfici a contatto scabrezza che viene riassunta da una

costante chiamata coefficiente di attrito fa La forza normale egrave costituita dal peso del terreno

sovrastante la superficie che si sta prendendo in considerazione La relazione che lega la resistenza

dovuta allrsquoattrito indicata con T alla forza normale N e al coefficiente di attrito egrave la seguente

Se dividiamo primo e secondo termine per lrsquoarea A avremo

Ossia af

Per capire in modo semplice lrsquoattrito di un terreno si puograve ricorrere ad un semplice

esperimento prendere un secchio di sabbia e versarla a terra otterremo un monticello di terreno il

cui angolo di inclinazione viene detto angolo di natural declivio o angolo di attrito interno del

afNT

afA

N

A

T

4

terreno Il coefficiente di attrito fa egrave proprio uguale alla tangente di questo angolo che si indica

usualmente con la lettera Quindi la relazione scritta in precedenza diventa

La coesione egrave la forza di adesione dei granelli di terra uno con lrsquoaltro essa non dipende

dallo sforzo normale ma solo dalla presenza di acqua e anche dalla granulometria del terreno

Lrsquoattrito nasce sempre quando ci sono due superfici in contatto purcheacute si sia in presenza

anche di una forza normale alla superficie Nel caso dei terreni sciolti tale azione egrave sempre presente

e dipende dalle caratteristiche fisiche del terreno granulometria (ossia dimensione dei granelli che

compongono il terreno) porositagrave del terreno ( rapporto tra volume dei vuoti e volume totale) La

forza normale egrave costituita dal peso del terreno sovrastante la superficie che si sta prendendo in

considerazione La coesione invece egrave una caratteristica che possono avere i terreni sciolti e

dipende dalla natura chimica del terreno stesso essa pertanto non egrave sempre presente

Esempio di terreno dotato di coesione egrave lrsquoargilla esempio di terreno privo di coesione detto

perciograve incoerente egrave la sabbia

I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie perfettamente

verticale percheacute essi franano e vanno a disporsi secondo una superficie inclinata dellrsquoangolo di

attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo un angolo maggiore dipendente dal grado di

coesione nel caso di terreni coerenti

Nel caso di terreni coerenti la resistenza a taglio del terreno indicando con c la resistenza

per unitagrave di area dovuta alla coesione diventa

Che rappresenta lrsquoequazione di una retta non passante per lrsquoorigine degli assi

tan

c tan

5

12 - Fondazioni superficiali

La fondazione egrave quella parte della struttura che trasmette il carico dellrsquoopera al terreno

sottostante La superficie di contatto tra la base della fondazione e il terreno egrave detta piano di posa

Quando il piano di posa non egrave molto profondo rispetto al piano di campagna si puograve parlare di

fondazioni superficiali Tali fondazioni possono essere su plinti continue e a platea

Le fondazioni su plinti consistono nel realizzare la struttura di fondazione solo sotto i pilastri

che possono essere in cemento armato o in ferro Le fondazioni continue hanno forma nastriforme

con area di impronta rettangolare In pratica sono travi che anzicheacute stare sopra i pilastri stanno al di

sotto per questo motivo prendono il nome di travi rovesce Vengono realizzate sotto tutti i muri

portanti e sotto ogni fila di pilastri allineati

Esempi di plinti di fondazione

Plinto per pale eoliche

Plinto a bicchiere per pilastri prefabbricati

Video sulla realizzazione di un plinto per pale

eoliche

httpsyoutubedAxyHJU_aI0

Video getto fondazione continua

httpsyoutubet_P4J5uVLds

Esempi di fondazioni continue

2

Indice

1 - Elementi di geotecnica e spinta delle terre

11 - Natura e classificazione delle rocce sciolte pag 3

12 - Fondazioni superficiali pag 5

121 - Resistenza a rottura del terreno

122 - Verifica delle fondazioni

123 - Criteri generali di progetto per le fondazioni superficiali

13 ndash Indagini sui terreni pag 12

14 - Spinta delle terre pag 17

14 1 - Teoria di Coulomb

14 2 - Metodo grafico di Poncelet

143 ndash Spinta del terreno con sovraccarico

Esercizi svolti modulo 1 pag 23 1

2-Muri di sostegno

21 - Generalitagrave sui muri di sostegno pag 25

22 ndash Azioni statiche sul muro pag 27

23 - Verifiche pag 29

231 - Verifica a scorrimento rispetto al terreno di fondazione pag 31

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione pag 35

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione pag 37

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro pag 39

223 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione pag 41

Esercizi modulo 2 pag 44

24 ndash Azioni provocate dal sisma pag 46

3

1 11 - Natura e classificazione delle rocce sciolte tura e classificazione delle

rocce sciolte

Un modo molto semplice per classificare le rocce egrave quello di dividerle in due grandi gruppi

rocce lapidee e rocce sciolte

La differenza tra i due tipi di roccia egrave data dallrsquointensitagrave del legame esistente tra i vari

componenti costituenti una roccia Possiamo definire rocce lapidee quelle che dopo una serie

successiva di immersioni in acqua ed essiccamenti si mantengono inalterate mentre le rocce

sciolte si disgregano in particelle o frammenti Nel seguito ci occuperemo dello studio solo delle

rocce sciolte

Le rocce sciolte sono composte da un insieme di piugrave particelle di varie dimensioni La

determinazione del diametro delle diverse particelle che compongono una roccia sciolta prende il

nome di analisi granulometrica

Una suddivisione delle rocce sciolte basata sullrsquoanalisi granulometrica egrave quella riportata

nella tabella sottostante basata sul diametro medio d delle particelle che le compongono

Argilla d lt0002 mm

Limo 0002 lt d lt 002 mm

Sabbia 002 lt d lt 2 mm

Ghiaia 2 lt d lt 200 mm

Blocchi d lt 200 mm

Tra le particelle che costituiscono una roccia sciolta egrave presente sempre lrsquoattrito In alcuni

casi oltre allrsquoattrito puograve esserci un altro legame tra le particelle comunque non sufficientemente

forte da far considerare tali rocce come lapidee tale legame egrave la coesione In base alla presenza o

meno della coesione le rocce sciolte vengono divise in terreni coerenti con coesione diversa da

zero e terreni incoerenti con coesione pari a zero Un esempio di terreno incoerente egrave

rappresentato dalla sabbia mentre un esempio di terreno coerente egrave rappresentato dall argilla

Come egrave noto la forza di attrito dipende dalla forza normale N applicata sulla superficie di

scorrimento e dalla scabrezza delle superfici a contatto scabrezza che viene riassunta da una

costante chiamata coefficiente di attrito fa La forza normale egrave costituita dal peso del terreno

sovrastante la superficie che si sta prendendo in considerazione La relazione che lega la resistenza

dovuta allrsquoattrito indicata con T alla forza normale N e al coefficiente di attrito egrave la seguente

Se dividiamo primo e secondo termine per lrsquoarea A avremo

Ossia af

Per capire in modo semplice lrsquoattrito di un terreno si puograve ricorrere ad un semplice

esperimento prendere un secchio di sabbia e versarla a terra otterremo un monticello di terreno il

cui angolo di inclinazione viene detto angolo di natural declivio o angolo di attrito interno del

afNT

afA

N

A

T

4

terreno Il coefficiente di attrito fa egrave proprio uguale alla tangente di questo angolo che si indica

usualmente con la lettera Quindi la relazione scritta in precedenza diventa

La coesione egrave la forza di adesione dei granelli di terra uno con lrsquoaltro essa non dipende

dallo sforzo normale ma solo dalla presenza di acqua e anche dalla granulometria del terreno

Lrsquoattrito nasce sempre quando ci sono due superfici in contatto purcheacute si sia in presenza

anche di una forza normale alla superficie Nel caso dei terreni sciolti tale azione egrave sempre presente

e dipende dalle caratteristiche fisiche del terreno granulometria (ossia dimensione dei granelli che

compongono il terreno) porositagrave del terreno ( rapporto tra volume dei vuoti e volume totale) La

forza normale egrave costituita dal peso del terreno sovrastante la superficie che si sta prendendo in

considerazione La coesione invece egrave una caratteristica che possono avere i terreni sciolti e

dipende dalla natura chimica del terreno stesso essa pertanto non egrave sempre presente

Esempio di terreno dotato di coesione egrave lrsquoargilla esempio di terreno privo di coesione detto

perciograve incoerente egrave la sabbia

I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie perfettamente

verticale percheacute essi franano e vanno a disporsi secondo una superficie inclinata dellrsquoangolo di

attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo un angolo maggiore dipendente dal grado di

coesione nel caso di terreni coerenti

Nel caso di terreni coerenti la resistenza a taglio del terreno indicando con c la resistenza

per unitagrave di area dovuta alla coesione diventa

Che rappresenta lrsquoequazione di una retta non passante per lrsquoorigine degli assi

tan

c tan

5

12 - Fondazioni superficiali

La fondazione egrave quella parte della struttura che trasmette il carico dellrsquoopera al terreno

sottostante La superficie di contatto tra la base della fondazione e il terreno egrave detta piano di posa

Quando il piano di posa non egrave molto profondo rispetto al piano di campagna si puograve parlare di

fondazioni superficiali Tali fondazioni possono essere su plinti continue e a platea

Le fondazioni su plinti consistono nel realizzare la struttura di fondazione solo sotto i pilastri

che possono essere in cemento armato o in ferro Le fondazioni continue hanno forma nastriforme

con area di impronta rettangolare In pratica sono travi che anzicheacute stare sopra i pilastri stanno al di

sotto per questo motivo prendono il nome di travi rovesce Vengono realizzate sotto tutti i muri

portanti e sotto ogni fila di pilastri allineati

Esempi di plinti di fondazione

Plinto per pale eoliche

Plinto a bicchiere per pilastri prefabbricati

Video sulla realizzazione di un plinto per pale

eoliche

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Video getto fondazione continua

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Esempi di fondazioni continue

3

1 11 - Natura e classificazione delle rocce sciolte tura e classificazione delle

rocce sciolte

Un modo molto semplice per classificare le rocce egrave quello di dividerle in due grandi gruppi

rocce lapidee e rocce sciolte

La differenza tra i due tipi di roccia egrave data dallrsquointensitagrave del legame esistente tra i vari

componenti costituenti una roccia Possiamo definire rocce lapidee quelle che dopo una serie

successiva di immersioni in acqua ed essiccamenti si mantengono inalterate mentre le rocce

sciolte si disgregano in particelle o frammenti Nel seguito ci occuperemo dello studio solo delle

rocce sciolte

Le rocce sciolte sono composte da un insieme di piugrave particelle di varie dimensioni La

determinazione del diametro delle diverse particelle che compongono una roccia sciolta prende il

nome di analisi granulometrica

Una suddivisione delle rocce sciolte basata sullrsquoanalisi granulometrica egrave quella riportata

nella tabella sottostante basata sul diametro medio d delle particelle che le compongono

Argilla d lt0002 mm

Limo 0002 lt d lt 002 mm

Sabbia 002 lt d lt 2 mm

Ghiaia 2 lt d lt 200 mm

Blocchi d lt 200 mm

Tra le particelle che costituiscono una roccia sciolta egrave presente sempre lrsquoattrito In alcuni

casi oltre allrsquoattrito puograve esserci un altro legame tra le particelle comunque non sufficientemente

forte da far considerare tali rocce come lapidee tale legame egrave la coesione In base alla presenza o

meno della coesione le rocce sciolte vengono divise in terreni coerenti con coesione diversa da

zero e terreni incoerenti con coesione pari a zero Un esempio di terreno incoerente egrave

rappresentato dalla sabbia mentre un esempio di terreno coerente egrave rappresentato dall argilla

Come egrave noto la forza di attrito dipende dalla forza normale N applicata sulla superficie di

scorrimento e dalla scabrezza delle superfici a contatto scabrezza che viene riassunta da una

costante chiamata coefficiente di attrito fa La forza normale egrave costituita dal peso del terreno

sovrastante la superficie che si sta prendendo in considerazione La relazione che lega la resistenza

dovuta allrsquoattrito indicata con T alla forza normale N e al coefficiente di attrito egrave la seguente

Se dividiamo primo e secondo termine per lrsquoarea A avremo

Ossia af

Per capire in modo semplice lrsquoattrito di un terreno si puograve ricorrere ad un semplice

esperimento prendere un secchio di sabbia e versarla a terra otterremo un monticello di terreno il

cui angolo di inclinazione viene detto angolo di natural declivio o angolo di attrito interno del

afNT

afA

N

A

T

4

terreno Il coefficiente di attrito fa egrave proprio uguale alla tangente di questo angolo che si indica

usualmente con la lettera Quindi la relazione scritta in precedenza diventa

La coesione egrave la forza di adesione dei granelli di terra uno con lrsquoaltro essa non dipende

dallo sforzo normale ma solo dalla presenza di acqua e anche dalla granulometria del terreno

Lrsquoattrito nasce sempre quando ci sono due superfici in contatto purcheacute si sia in presenza

anche di una forza normale alla superficie Nel caso dei terreni sciolti tale azione egrave sempre presente

e dipende dalle caratteristiche fisiche del terreno granulometria (ossia dimensione dei granelli che

compongono il terreno) porositagrave del terreno ( rapporto tra volume dei vuoti e volume totale) La

forza normale egrave costituita dal peso del terreno sovrastante la superficie che si sta prendendo in

considerazione La coesione invece egrave una caratteristica che possono avere i terreni sciolti e

dipende dalla natura chimica del terreno stesso essa pertanto non egrave sempre presente

Esempio di terreno dotato di coesione egrave lrsquoargilla esempio di terreno privo di coesione detto

perciograve incoerente egrave la sabbia

I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie perfettamente

verticale percheacute essi franano e vanno a disporsi secondo una superficie inclinata dellrsquoangolo di

attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo un angolo maggiore dipendente dal grado di

coesione nel caso di terreni coerenti

Nel caso di terreni coerenti la resistenza a taglio del terreno indicando con c la resistenza

per unitagrave di area dovuta alla coesione diventa

Che rappresenta lrsquoequazione di una retta non passante per lrsquoorigine degli assi

tan

c tan

5

12 - Fondazioni superficiali

La fondazione egrave quella parte della struttura che trasmette il carico dellrsquoopera al terreno

sottostante La superficie di contatto tra la base della fondazione e il terreno egrave detta piano di posa

Quando il piano di posa non egrave molto profondo rispetto al piano di campagna si puograve parlare di

fondazioni superficiali Tali fondazioni possono essere su plinti continue e a platea

Le fondazioni su plinti consistono nel realizzare la struttura di fondazione solo sotto i pilastri

che possono essere in cemento armato o in ferro Le fondazioni continue hanno forma nastriforme

con area di impronta rettangolare In pratica sono travi che anzicheacute stare sopra i pilastri stanno al di

sotto per questo motivo prendono il nome di travi rovesce Vengono realizzate sotto tutti i muri

portanti e sotto ogni fila di pilastri allineati

Esempi di plinti di fondazione

Plinto per pale eoliche

Plinto a bicchiere per pilastri prefabbricati

Video sulla realizzazione di un plinto per pale

eoliche

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Video getto fondazione continua

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Esempi di fondazioni continue

4

terreno Il coefficiente di attrito fa egrave proprio uguale alla tangente di questo angolo che si indica

usualmente con la lettera Quindi la relazione scritta in precedenza diventa

La coesione egrave la forza di adesione dei granelli di terra uno con lrsquoaltro essa non dipende

dallo sforzo normale ma solo dalla presenza di acqua e anche dalla granulometria del terreno

Lrsquoattrito nasce sempre quando ci sono due superfici in contatto purcheacute si sia in presenza

anche di una forza normale alla superficie Nel caso dei terreni sciolti tale azione egrave sempre presente

e dipende dalle caratteristiche fisiche del terreno granulometria (ossia dimensione dei granelli che

compongono il terreno) porositagrave del terreno ( rapporto tra volume dei vuoti e volume totale) La

forza normale egrave costituita dal peso del terreno sovrastante la superficie che si sta prendendo in

considerazione La coesione invece egrave una caratteristica che possono avere i terreni sciolti e

dipende dalla natura chimica del terreno stesso essa pertanto non egrave sempre presente

Esempio di terreno dotato di coesione egrave lrsquoargilla esempio di terreno privo di coesione detto

perciograve incoerente egrave la sabbia

I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie perfettamente

verticale percheacute essi franano e vanno a disporsi secondo una superficie inclinata dellrsquoangolo di

attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo un angolo maggiore dipendente dal grado di

coesione nel caso di terreni coerenti

Nel caso di terreni coerenti la resistenza a taglio del terreno indicando con c la resistenza

per unitagrave di area dovuta alla coesione diventa

Che rappresenta lrsquoequazione di una retta non passante per lrsquoorigine degli assi

tan

c tan

5

12 - Fondazioni superficiali

La fondazione egrave quella parte della struttura che trasmette il carico dellrsquoopera al terreno

sottostante La superficie di contatto tra la base della fondazione e il terreno egrave detta piano di posa

Quando il piano di posa non egrave molto profondo rispetto al piano di campagna si puograve parlare di

fondazioni superficiali Tali fondazioni possono essere su plinti continue e a platea

Le fondazioni su plinti consistono nel realizzare la struttura di fondazione solo sotto i pilastri

che possono essere in cemento armato o in ferro Le fondazioni continue hanno forma nastriforme

con area di impronta rettangolare In pratica sono travi che anzicheacute stare sopra i pilastri stanno al di

sotto per questo motivo prendono il nome di travi rovesce Vengono realizzate sotto tutti i muri

portanti e sotto ogni fila di pilastri allineati

Esempi di plinti di fondazione

Plinto per pale eoliche

Plinto a bicchiere per pilastri prefabbricati

Video sulla realizzazione di un plinto per pale

eoliche

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Video getto fondazione continua

httpsyoutubet_P4J5uVLds

Esempi di fondazioni continue

5

12 - Fondazioni superficiali

La fondazione egrave quella parte della struttura che trasmette il carico dellrsquoopera al terreno

sottostante La superficie di contatto tra la base della fondazione e il terreno egrave detta piano di posa

Quando il piano di posa non egrave molto profondo rispetto al piano di campagna si puograve parlare di

fondazioni superficiali Tali fondazioni possono essere su plinti continue e a platea

Le fondazioni su plinti consistono nel realizzare la struttura di fondazione solo sotto i pilastri

che possono essere in cemento armato o in ferro Le fondazioni continue hanno forma nastriforme

con area di impronta rettangolare In pratica sono travi che anzicheacute stare sopra i pilastri stanno al di

sotto per questo motivo prendono il nome di travi rovesce Vengono realizzate sotto tutti i muri

portanti e sotto ogni fila di pilastri allineati

Esempi di plinti di fondazione

Plinto per pale eoliche

Plinto a bicchiere per pilastri prefabbricati

Video sulla realizzazione di un plinto per pale

eoliche

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Video getto fondazione continua

httpsyoutubet_P4J5uVLds

Esempi di fondazioni continue

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Fondazione a platea

Video getto di una platea di fondazione

httpsyoutube-qnSTDPJLc4

121 Resistenza a rottura del terreno

La resistenza di un terreno dipende oltre che dalle caratteristiche del terreno stesso (angolo

di attrito coesione peso specifico) anche dalla forma della fondazione

Si definisce carico limite del complesso terreno-fondazioni il carico per unitagrave di area che

porta a rottura il terreno ossia che fa aumentare notevolmente i cedimenti detto in modo semplice

diremo che la fondazione ldquosprofondardquo sotto quel carico

Per una fondazione di forma rettangolare allungata (LgtgtB) ad esempio una fondazione di

un muro continuo o di una trave) con piano di posa a profonditagrave D sottoposta a carichi verticali e

centrati e con piano di campagna orizzontale lrsquoespressione del carico limite (formula di Terzaghi)

egrave la seguente

221lim

BγN+CN+DγN=q γcq

7

eBB 2

In cui g1 e g2 sono i pesi dellunitagrave di volume (pesi specifici) rispettivamente del terreno posto al

disopra ed al disotto del piano di posa

C egrave la coesione

Nq Nc Ng sono coefficienti adimensionali ricavati sulla base della teoria della plasticitagrave e

funzione dellangolo di attrito del terreno al disotto del piano di posa I valori di tali coefficienti in

funzione dellrsquoangolo di attrito del terreno sono riportati nella tabella TER1

Carico limite per carico inclinato ed eccentrico rispetto al baricentro

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita anche in questo caso mediante la formula di Terzaghi modificata perograve per tenere conto della eccentricitagrave del

carico e della sua inclinazione

Caso di forza eccentrica

Si tiene conto delleccentricitagrave della forza considerando invece che la larghezza

effettiva della fondazione una larghezza ridotta B Questa larghezza ridotta corrisponde alla

larghezza di una fondazione equivalente rispetto alla quale il carico verticale sarebbe centrato

Leccentricitagrave va considerata in valore assoluto poicheacute se la forza cade a sinistra del baricentro

invece che a destra essa risulta negativa e quindi B anzicheacute risultare piugrave piccola risulterebbe piugrave

grande della base vera cosa ovviamente senza senso

Caso di forza inclinata

Per tenere conto della inclinazione della forza si introducono dei coefficienti che tengono

conto della componente verticale ed orizzontale della forza stessa Questi coefficienti sono indicati

8

con ic iq iγ

Si riportano i coefficienti validi solo per terreni incoerenti (c=0)

2

1

V

Hi 1

3

V

Hiq

La formula di Terzaghi modificata valida per i terreni incoerenti allora egrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

Per i terreni coerenti i coefficienti iγ iq ic vanno calcolati con altre espressioni

122 - Verifica delle fondazioni

Come sempre per la verifica agli stati limite i carichi vengono aumentati moltiplicandoli

per dei coefficienti diversi a seconda del carico mentre i parametri di resistenza del terreno

vengono diminuiti dividendoli per altri coefficienti A differenza di come si fa con gli altri materiali

di costruzione tali coefficienti non sono sempre gli stessi ma variano a secondo della verifica che

si sta eseguendo Ovviamente quali coefficienti usare volta per volta viene indicato dalla

normativa

Per la verifica deve aversi

Ed le Rd

dove Ed egrave il valore di progetto dellrsquoazione o dellrsquoeffetto dellrsquoazione Rd egrave la resistenza a

rottura

Per i carichi quando il suo effetto egrave favorevole alla stabilitagrave della struttura anzicheacute

amplificarlo lo si prende col suo valore effettivo oppure si riduce o non lo si considera affatto

come nel caso dei carichi variabili Quando il loro effetto egrave sfavorevole li si amplifica sempre in

misura diversa se sono permanenti o variabili

Lo stato limite ultimo delle fondazioni superficiali puograve essere raggiunto per rottura del

terreno o per rottura degli elementi strutturali che compongono la fondazione stessa

Nel caso di fondazioni posizionate su o in prossimitagrave di pendii naturali o artificiali

deve essere effettuata la verifica anche con riferimento alle condizioni di stabilitagrave globale del

pendio includendo nelle verifiche le azioni trasmesse dalle fondazioni

9

Le verifiche delle fondazioni di capacitagrave portante e a scorrimento si eseguono con

lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

La verifica a stabilitagrave globale si esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i

carichi i coefficienti EQU (equilibrio) (EQU+M2+R2)

Coefficienti parziali per le azioni o per lrsquoeffetto delle azioni

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU

(A1)

STR

(A2)

GEO

Permanenti G1 Favorevole

γG1

09 10 10

Sfavorevole 11 13 10

Permanenti non strutturali G21 Favorevole

γG2

08 08 08

Sfavorevole 15 15 13

Varabili Q Favorevole

γG1

00 00 00

Sfavorevole 15 15 13

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA

QUALE APPLICARE IL

COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1) (M2)

Tangente dellrsquoangolo di

resistenza al taglio Tan φ

γφ 1 125

Coesione efficace crsquo γc 1 125

Resistenza non drenata cuk γcu 1 140

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 100

I valori di resistenza calcolati devono essere divisi per i coefficienti parziali γ R riportati nella

seguente tabella

Coefficienti parziali γ R per le verifiche agli stati limite ultimi di fondazioni superficiali

Verifica Coefficiente parziale (R3)

Carico limite 23

Scorrimento 11

10

Esempio N 1

Calcolare il carico limite terreno-fondazione La fondazione sia rettangolare allungata il

terreno abbia le seguenti caratteristiche peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito 32deg coesione 1

KNm2

Soluzione

Usiamo lapproccio 2 (A1+M1+R3)

Essendo il coefficiente parziale M1=1 sia langolo dattrito che la coesione rimangono

invariati infatti

Dalla tabella TER1 rileviamo i coefficienti Nc =3249 Nq=2318 Ng=3022

2lim

BNCNDN tctq

22

lim 970169682

4118223010493241181823 mmNmKN

11

Esempio N 2

Verificare la fondazione rettangolare lunga con sezione come in figura sottoposta ad un

carico centrato per ogni metro di 30000 dN Tale carico egrave composto da 20000 dN derivanti da

carichi permanenti e da 10000 dN derivanti da carichi variabili

Il terreno ha le seguenti caratteristiche angolo di attrito 30deg coesione 001 dNcm2 peso

specifico del terreno 1800 dNm3

Usiamo per la verifica lapproccio 2 A1+M1+R3 Calcoliamo il carico di progetto

Calcolo del carico limite Si osserva che i coefficienti da utilizzare per i parametri del

terreno riportati nella colonna M1 sono tutti pari ad 1 pertanto i parametri geotecnici del terreno

non vengono modificati

2lim

BNDNcN ttqc

2

lim 574732

218001402241800140181001430 mdN

La resistenza per ogni metro di fondazione saragrave

La resistenza si calcola applicando il coefficiente della tabella R3

Poichegrave risulta 41000 dN gt 38386 dN la fondazione non egrave verificata

12

123 - CRITERI GENERALI DI PROGETTO PER LE FONDAZIONI SUPERFICIALI

La profonditagrave del piano di posa della fondazione deve essere scelta e giustificata in relazione

alle caratteristiche e alle prestazioni della struttura in elevazione alle caratteristiche del sottosuolo e

alle condizioni ambientali

Il piano di fondazione deve essere situato sotto la coltre di terreno vegetale noncheacute sotto lo

strato interessato dal gelo e da significative variazioni stagionali del contenuto drsquoacqua

In situazioni nelle quali sono possibili fenomeni di erosione o di scalzamento da parte di

acque di scorrimento superficiale le fondazioni devono essere poste a profonditagrave tale da non

risentire di questi fenomeni o devono essere adeguatamente difese

13 - Indagini sui terreni

Per determinare le caratteristiche dei terreni egrave necessario eseguire delle indagini su di esso

Abbiamo due categorie di indagini indagini in sito ed indagini in laboratorio Sono indagini

ovviamente di natura diversa che presentano entrambi vantaggi e svantaggi Le indagini in sito

hanno il vantaggio di esaminare il terreno nel suo stato naturale ossia indisturbato mentre quelle di

laboratorio esaminano campioni di terreno che necessariamente vengono prelevati dal terreno e

quindi in qualche modo disturbati

131 - Indagini in sito

Con tali indagini possiamo rilevare le caratteristiche geologiche dei terreni ma anche

di resistenza Abbiamo indagini di tipo diretto quando lrsquoesame avviene tramite il prelievo di

campioni di terreno e indiretto quando invece usiamo attrezzature che ci permettono di raccogliere

informazioni senza prelevare campioni di terreno

Sondaggi diretti a rotazione (carotaggi)

Si eseguono con una speciale trivella che preleva da diversa profonditagrave campioni di terreno

(carote) esaminando le quali si ricostruisce la stratigrafia del terreno

Indagine indiretta tramite sonda geoelettrica

Di facile esecuzione e poco costosa questa indagine permette specialmente di rilevare la

presenza di falde acquifere Si esegue generando una corrente continua tramite una semplice

batteria e misurandone le cadute di tensione ad una certa distanza dove vengono posizionati degli

elettrodi collegati con cavi allrsquounitagrave di misurazione Attraverso tali cadute di tensione si risale alla

resistivitagrave delle rocce e quindi alla sua natura

Indagini Geosismiche

Si basa sulla propagazione di onde elastiche nelle rocce e sulla riflessione di esse causata dai

vari strati di rocce Le onde sismiche vengono generate mediante microesplosioni e rilevate

mediante geofoni

13

Prove penetrometriche

Permettono di rilevare la resistenza del terreno ai carichi verticali Il concetto egrave molto

semplice in pratica si tratta di infiggere una punta di acciaio di forma tronco-conica nel terreno La

punta egrave avvitata alla estremitagrave di unrsquoasta in acciaio sulla cui sommitagrave viene posto un incudine che

viene battuto su un maglio che puograve essere azionato sia manualmente che meccanicamente Il maglio

viene sempre fatto cadere dalla stessa altezza in modo da trasmettere alla punta sempre la stessa

energia Il numero dei colpi necessari per infiggere la punta di una determinata quantitagrave (ad esempio

10 cm) rivela la resistenza alla punta del terreno Elaborando opportunamente i dati ottenuti egrave

possibile ottenere la tensione ammissibile del terreno Ersquo evidente che tale tensione non tiene conto

delle caratteristiche della fondazione La prova va eseguita per una profonditagrave pari a due tre volte la

larghezza della fondazione

La resistenza alla punta viene determinata mediante una relazione nota come formula

olandese o degli olandesi

Con M ed m misurati i n Kg H ed h in cm e A in crn2 1a formula egrave la seguente

)(

2

mMhA

NHMRd

Dove

M egrave la massa del maglio

H la volata del maglio

N il numero di colpi necessario per un affondamento pari ad h

A egrave lrsquoarea della punta

h egrave lrsquoaffondamento pari a 10 cm

m egrave la massa battuta (incudine + aste + portapunta)

La tensione di rottura del terreno viene calcolata assumendo per N la media dei colpi

calcolata per una profonditagrave pari a 2 ndash 3 volte la larghezza della fondazione e dividendo per 4

daNcm

2

132 - Indagini in laboratorio

Tali indagini si eseguono su campioni prelevati sul posto ed esaminati in laboratorio Ersquo di

fondamentale importanza che tali campioni siano disturbati il meno possibile Le prove in

laboratorio consentono di rilevare oltre al peso specifico e ad altre caratteristiche dei terreni

lrsquoangolo di attrito e la coesione

A tale risultato si puograve giungere mediante due tipi diversi di prove la prova di taglio diretto

e la prova triassiale

Con entrambi le prove si puograve tracciare

la retta

Per tracciare tale retta sarebbero

sufficienti due prove ma a causa

dellincertezza sperimentale sono

indispensabili tre prove

c tan

14

Macchina per la prova di taglio diretto

Particolare scatola di Casagrande

Risultati con tre prove di taglio

diretto

15

Apparecchiatura per la prova triassiale

Grafico ottenuto con le prove triassiali

Video di una prova triassiale

httpsyoutubeVMfaBgV82C4list=PLwf1bZY6zalBqO84q6JxdgJhM6AFHIFFL

Campioni ottenuti con carotaggio del terreno

8

con ic iq iγ

Si riportano i coefficienti validi solo per terreni incoerenti (c=0)

2

1

V

Hi 1

3

V

Hiq

La formula di Terzaghi modificata valida per i terreni incoerenti allora egrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

Per i terreni coerenti i coefficienti iγ iq ic vanno calcolati con altre espressioni

122 - Verifica delle fondazioni

Come sempre per la verifica agli stati limite i carichi vengono aumentati moltiplicandoli

per dei coefficienti diversi a seconda del carico mentre i parametri di resistenza del terreno

vengono diminuiti dividendoli per altri coefficienti A differenza di come si fa con gli altri materiali

di costruzione tali coefficienti non sono sempre gli stessi ma variano a secondo della verifica che

si sta eseguendo Ovviamente quali coefficienti usare volta per volta viene indicato dalla

normativa

Per la verifica deve aversi

Ed le Rd

dove Ed egrave il valore di progetto dellrsquoazione o dellrsquoeffetto dellrsquoazione Rd egrave la resistenza a

rottura

Per i carichi quando il suo effetto egrave favorevole alla stabilitagrave della struttura anzicheacute

amplificarlo lo si prende col suo valore effettivo oppure si riduce o non lo si considera affatto

come nel caso dei carichi variabili Quando il loro effetto egrave sfavorevole li si amplifica sempre in

misura diversa se sono permanenti o variabili

Lo stato limite ultimo delle fondazioni superficiali puograve essere raggiunto per rottura del

terreno o per rottura degli elementi strutturali che compongono la fondazione stessa

Nel caso di fondazioni posizionate su o in prossimitagrave di pendii naturali o artificiali

deve essere effettuata la verifica anche con riferimento alle condizioni di stabilitagrave globale del

pendio includendo nelle verifiche le azioni trasmesse dalle fondazioni

9

Le verifiche delle fondazioni di capacitagrave portante e a scorrimento si eseguono con

lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

La verifica a stabilitagrave globale si esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i

carichi i coefficienti EQU (equilibrio) (EQU+M2+R2)

Coefficienti parziali per le azioni o per lrsquoeffetto delle azioni

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU

(A1)

STR

(A2)

GEO

Permanenti G1 Favorevole

γG1

09 10 10

Sfavorevole 11 13 10

Permanenti non strutturali G21 Favorevole

γG2

08 08 08

Sfavorevole 15 15 13

Varabili Q Favorevole

γG1

00 00 00

Sfavorevole 15 15 13

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA

QUALE APPLICARE IL

COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1) (M2)

Tangente dellrsquoangolo di

resistenza al taglio Tan φ

γφ 1 125

Coesione efficace crsquo γc 1 125

Resistenza non drenata cuk γcu 1 140

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 100

I valori di resistenza calcolati devono essere divisi per i coefficienti parziali γ R riportati nella

seguente tabella

Coefficienti parziali γ R per le verifiche agli stati limite ultimi di fondazioni superficiali

Verifica Coefficiente parziale (R3)

Carico limite 23

Scorrimento 11

10

Esempio N 1

Calcolare il carico limite terreno-fondazione La fondazione sia rettangolare allungata il

terreno abbia le seguenti caratteristiche peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito 32deg coesione 1

KNm2

Soluzione

Usiamo lapproccio 2 (A1+M1+R3)

Essendo il coefficiente parziale M1=1 sia langolo dattrito che la coesione rimangono

invariati infatti

Dalla tabella TER1 rileviamo i coefficienti Nc =3249 Nq=2318 Ng=3022

2lim

BNCNDN tctq

22

lim 970169682

4118223010493241181823 mmNmKN

11

Esempio N 2

Verificare la fondazione rettangolare lunga con sezione come in figura sottoposta ad un

carico centrato per ogni metro di 30000 dN Tale carico egrave composto da 20000 dN derivanti da

carichi permanenti e da 10000 dN derivanti da carichi variabili

Il terreno ha le seguenti caratteristiche angolo di attrito 30deg coesione 001 dNcm2 peso

specifico del terreno 1800 dNm3

Usiamo per la verifica lapproccio 2 A1+M1+R3 Calcoliamo il carico di progetto

Calcolo del carico limite Si osserva che i coefficienti da utilizzare per i parametri del

terreno riportati nella colonna M1 sono tutti pari ad 1 pertanto i parametri geotecnici del terreno

non vengono modificati

2lim

BNDNcN ttqc

2

lim 574732

218001402241800140181001430 mdN

La resistenza per ogni metro di fondazione saragrave

La resistenza si calcola applicando il coefficiente della tabella R3

Poichegrave risulta 41000 dN gt 38386 dN la fondazione non egrave verificata

12

123 - CRITERI GENERALI DI PROGETTO PER LE FONDAZIONI SUPERFICIALI

La profonditagrave del piano di posa della fondazione deve essere scelta e giustificata in relazione

alle caratteristiche e alle prestazioni della struttura in elevazione alle caratteristiche del sottosuolo e

alle condizioni ambientali

Il piano di fondazione deve essere situato sotto la coltre di terreno vegetale noncheacute sotto lo

strato interessato dal gelo e da significative variazioni stagionali del contenuto drsquoacqua

In situazioni nelle quali sono possibili fenomeni di erosione o di scalzamento da parte di

acque di scorrimento superficiale le fondazioni devono essere poste a profonditagrave tale da non

risentire di questi fenomeni o devono essere adeguatamente difese

13 - Indagini sui terreni

Per determinare le caratteristiche dei terreni egrave necessario eseguire delle indagini su di esso

Abbiamo due categorie di indagini indagini in sito ed indagini in laboratorio Sono indagini

ovviamente di natura diversa che presentano entrambi vantaggi e svantaggi Le indagini in sito

hanno il vantaggio di esaminare il terreno nel suo stato naturale ossia indisturbato mentre quelle di

laboratorio esaminano campioni di terreno che necessariamente vengono prelevati dal terreno e

quindi in qualche modo disturbati

131 - Indagini in sito

Con tali indagini possiamo rilevare le caratteristiche geologiche dei terreni ma anche

di resistenza Abbiamo indagini di tipo diretto quando lrsquoesame avviene tramite il prelievo di

campioni di terreno e indiretto quando invece usiamo attrezzature che ci permettono di raccogliere

informazioni senza prelevare campioni di terreno

Sondaggi diretti a rotazione (carotaggi)

Si eseguono con una speciale trivella che preleva da diversa profonditagrave campioni di terreno

(carote) esaminando le quali si ricostruisce la stratigrafia del terreno

Indagine indiretta tramite sonda geoelettrica

Di facile esecuzione e poco costosa questa indagine permette specialmente di rilevare la

presenza di falde acquifere Si esegue generando una corrente continua tramite una semplice

batteria e misurandone le cadute di tensione ad una certa distanza dove vengono posizionati degli

elettrodi collegati con cavi allrsquounitagrave di misurazione Attraverso tali cadute di tensione si risale alla

resistivitagrave delle rocce e quindi alla sua natura

Indagini Geosismiche

Si basa sulla propagazione di onde elastiche nelle rocce e sulla riflessione di esse causata dai

vari strati di rocce Le onde sismiche vengono generate mediante microesplosioni e rilevate

mediante geofoni

13

Prove penetrometriche

Permettono di rilevare la resistenza del terreno ai carichi verticali Il concetto egrave molto

semplice in pratica si tratta di infiggere una punta di acciaio di forma tronco-conica nel terreno La

punta egrave avvitata alla estremitagrave di unrsquoasta in acciaio sulla cui sommitagrave viene posto un incudine che

viene battuto su un maglio che puograve essere azionato sia manualmente che meccanicamente Il maglio

viene sempre fatto cadere dalla stessa altezza in modo da trasmettere alla punta sempre la stessa

energia Il numero dei colpi necessari per infiggere la punta di una determinata quantitagrave (ad esempio

10 cm) rivela la resistenza alla punta del terreno Elaborando opportunamente i dati ottenuti egrave

possibile ottenere la tensione ammissibile del terreno Ersquo evidente che tale tensione non tiene conto

delle caratteristiche della fondazione La prova va eseguita per una profonditagrave pari a due tre volte la

larghezza della fondazione

La resistenza alla punta viene determinata mediante una relazione nota come formula

olandese o degli olandesi

Con M ed m misurati i n Kg H ed h in cm e A in crn2 1a formula egrave la seguente

)(

2

mMhA

NHMRd

Dove

M egrave la massa del maglio

H la volata del maglio

N il numero di colpi necessario per un affondamento pari ad h

A egrave lrsquoarea della punta

h egrave lrsquoaffondamento pari a 10 cm

m egrave la massa battuta (incudine + aste + portapunta)

La tensione di rottura del terreno viene calcolata assumendo per N la media dei colpi

calcolata per una profonditagrave pari a 2 ndash 3 volte la larghezza della fondazione e dividendo per 4

daNcm

2

132 - Indagini in laboratorio

Tali indagini si eseguono su campioni prelevati sul posto ed esaminati in laboratorio Ersquo di

fondamentale importanza che tali campioni siano disturbati il meno possibile Le prove in

laboratorio consentono di rilevare oltre al peso specifico e ad altre caratteristiche dei terreni

lrsquoangolo di attrito e la coesione

A tale risultato si puograve giungere mediante due tipi diversi di prove la prova di taglio diretto

e la prova triassiale

Con entrambi le prove si puograve tracciare

la retta

Per tracciare tale retta sarebbero

sufficienti due prove ma a causa

dellincertezza sperimentale sono

indispensabili tre prove

c tan

14

Macchina per la prova di taglio diretto

Particolare scatola di Casagrande

Risultati con tre prove di taglio

diretto

15

Apparecchiatura per la prova triassiale

Grafico ottenuto con le prove triassiali

Video di una prova triassiale

httpsyoutubeVMfaBgV82C4list=PLwf1bZY6zalBqO84q6JxdgJhM6AFHIFFL

Campioni ottenuti con carotaggio del terreno

9

Le verifiche delle fondazioni di capacitagrave portante e a scorrimento si eseguono con

lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

La verifica a stabilitagrave globale si esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i

carichi i coefficienti EQU (equilibrio) (EQU+M2+R2)

Coefficienti parziali per le azioni o per lrsquoeffetto delle azioni

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU

(A1)

STR

(A2)

GEO

Permanenti G1 Favorevole

γG1

09 10 10

Sfavorevole 11 13 10

Permanenti non strutturali G21 Favorevole

γG2

08 08 08

Sfavorevole 15 15 13

Varabili Q Favorevole

γG1

00 00 00

Sfavorevole 15 15 13

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA

QUALE APPLICARE IL

COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1) (M2)

Tangente dellrsquoangolo di

resistenza al taglio Tan φ

γφ 1 125

Coesione efficace crsquo γc 1 125

Resistenza non drenata cuk γcu 1 140

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 100

I valori di resistenza calcolati devono essere divisi per i coefficienti parziali γ R riportati nella

seguente tabella

Coefficienti parziali γ R per le verifiche agli stati limite ultimi di fondazioni superficiali

Verifica Coefficiente parziale (R3)

Carico limite 23

Scorrimento 11

10

Esempio N 1

Calcolare il carico limite terreno-fondazione La fondazione sia rettangolare allungata il

terreno abbia le seguenti caratteristiche peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito 32deg coesione 1

KNm2

Soluzione

Usiamo lapproccio 2 (A1+M1+R3)

Essendo il coefficiente parziale M1=1 sia langolo dattrito che la coesione rimangono

invariati infatti

Dalla tabella TER1 rileviamo i coefficienti Nc =3249 Nq=2318 Ng=3022

2lim

BNCNDN tctq

22

lim 970169682

4118223010493241181823 mmNmKN

11

Esempio N 2

Verificare la fondazione rettangolare lunga con sezione come in figura sottoposta ad un

carico centrato per ogni metro di 30000 dN Tale carico egrave composto da 20000 dN derivanti da

carichi permanenti e da 10000 dN derivanti da carichi variabili

Il terreno ha le seguenti caratteristiche angolo di attrito 30deg coesione 001 dNcm2 peso

specifico del terreno 1800 dNm3

Usiamo per la verifica lapproccio 2 A1+M1+R3 Calcoliamo il carico di progetto

Calcolo del carico limite Si osserva che i coefficienti da utilizzare per i parametri del

terreno riportati nella colonna M1 sono tutti pari ad 1 pertanto i parametri geotecnici del terreno

non vengono modificati

2lim

BNDNcN ttqc

2

lim 574732

218001402241800140181001430 mdN

La resistenza per ogni metro di fondazione saragrave

La resistenza si calcola applicando il coefficiente della tabella R3

Poichegrave risulta 41000 dN gt 38386 dN la fondazione non egrave verificata

12

123 - CRITERI GENERALI DI PROGETTO PER LE FONDAZIONI SUPERFICIALI

La profonditagrave del piano di posa della fondazione deve essere scelta e giustificata in relazione

alle caratteristiche e alle prestazioni della struttura in elevazione alle caratteristiche del sottosuolo e

alle condizioni ambientali

Il piano di fondazione deve essere situato sotto la coltre di terreno vegetale noncheacute sotto lo

strato interessato dal gelo e da significative variazioni stagionali del contenuto drsquoacqua

In situazioni nelle quali sono possibili fenomeni di erosione o di scalzamento da parte di

acque di scorrimento superficiale le fondazioni devono essere poste a profonditagrave tale da non

risentire di questi fenomeni o devono essere adeguatamente difese

13 - Indagini sui terreni

Per determinare le caratteristiche dei terreni egrave necessario eseguire delle indagini su di esso

Abbiamo due categorie di indagini indagini in sito ed indagini in laboratorio Sono indagini

ovviamente di natura diversa che presentano entrambi vantaggi e svantaggi Le indagini in sito

hanno il vantaggio di esaminare il terreno nel suo stato naturale ossia indisturbato mentre quelle di

laboratorio esaminano campioni di terreno che necessariamente vengono prelevati dal terreno e

quindi in qualche modo disturbati

131 - Indagini in sito

Con tali indagini possiamo rilevare le caratteristiche geologiche dei terreni ma anche

di resistenza Abbiamo indagini di tipo diretto quando lrsquoesame avviene tramite il prelievo di

campioni di terreno e indiretto quando invece usiamo attrezzature che ci permettono di raccogliere

informazioni senza prelevare campioni di terreno

Sondaggi diretti a rotazione (carotaggi)

Si eseguono con una speciale trivella che preleva da diversa profonditagrave campioni di terreno

(carote) esaminando le quali si ricostruisce la stratigrafia del terreno

Indagine indiretta tramite sonda geoelettrica

Di facile esecuzione e poco costosa questa indagine permette specialmente di rilevare la

presenza di falde acquifere Si esegue generando una corrente continua tramite una semplice

batteria e misurandone le cadute di tensione ad una certa distanza dove vengono posizionati degli

elettrodi collegati con cavi allrsquounitagrave di misurazione Attraverso tali cadute di tensione si risale alla

resistivitagrave delle rocce e quindi alla sua natura

Indagini Geosismiche

Si basa sulla propagazione di onde elastiche nelle rocce e sulla riflessione di esse causata dai

vari strati di rocce Le onde sismiche vengono generate mediante microesplosioni e rilevate

mediante geofoni

13

Prove penetrometriche

Permettono di rilevare la resistenza del terreno ai carichi verticali Il concetto egrave molto

semplice in pratica si tratta di infiggere una punta di acciaio di forma tronco-conica nel terreno La

punta egrave avvitata alla estremitagrave di unrsquoasta in acciaio sulla cui sommitagrave viene posto un incudine che

viene battuto su un maglio che puograve essere azionato sia manualmente che meccanicamente Il maglio

viene sempre fatto cadere dalla stessa altezza in modo da trasmettere alla punta sempre la stessa

energia Il numero dei colpi necessari per infiggere la punta di una determinata quantitagrave (ad esempio

10 cm) rivela la resistenza alla punta del terreno Elaborando opportunamente i dati ottenuti egrave

possibile ottenere la tensione ammissibile del terreno Ersquo evidente che tale tensione non tiene conto

delle caratteristiche della fondazione La prova va eseguita per una profonditagrave pari a due tre volte la

larghezza della fondazione

La resistenza alla punta viene determinata mediante una relazione nota come formula

olandese o degli olandesi

Con M ed m misurati i n Kg H ed h in cm e A in crn2 1a formula egrave la seguente

)(

2

mMhA

NHMRd

Dove

M egrave la massa del maglio

H la volata del maglio

N il numero di colpi necessario per un affondamento pari ad h

A egrave lrsquoarea della punta

h egrave lrsquoaffondamento pari a 10 cm

m egrave la massa battuta (incudine + aste + portapunta)

La tensione di rottura del terreno viene calcolata assumendo per N la media dei colpi

calcolata per una profonditagrave pari a 2 ndash 3 volte la larghezza della fondazione e dividendo per 4

daNcm

2

132 - Indagini in laboratorio

Tali indagini si eseguono su campioni prelevati sul posto ed esaminati in laboratorio Ersquo di

fondamentale importanza che tali campioni siano disturbati il meno possibile Le prove in

laboratorio consentono di rilevare oltre al peso specifico e ad altre caratteristiche dei terreni

lrsquoangolo di attrito e la coesione

A tale risultato si puograve giungere mediante due tipi diversi di prove la prova di taglio diretto

e la prova triassiale

Con entrambi le prove si puograve tracciare

la retta

Per tracciare tale retta sarebbero

sufficienti due prove ma a causa

dellincertezza sperimentale sono

indispensabili tre prove

c tan

14

Macchina per la prova di taglio diretto

Particolare scatola di Casagrande

Risultati con tre prove di taglio

diretto

15

Apparecchiatura per la prova triassiale

Grafico ottenuto con le prove triassiali

Video di una prova triassiale

httpsyoutubeVMfaBgV82C4list=PLwf1bZY6zalBqO84q6JxdgJhM6AFHIFFL

Campioni ottenuti con carotaggio del terreno

10

Esempio N 1

Calcolare il carico limite terreno-fondazione La fondazione sia rettangolare allungata il

terreno abbia le seguenti caratteristiche peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito 32deg coesione 1

KNm2

Soluzione

Usiamo lapproccio 2 (A1+M1+R3)

Essendo il coefficiente parziale M1=1 sia langolo dattrito che la coesione rimangono

invariati infatti

Dalla tabella TER1 rileviamo i coefficienti Nc =3249 Nq=2318 Ng=3022

2lim

BNCNDN tctq

22

lim 970169682

4118223010493241181823 mmNmKN

11

Esempio N 2

Verificare la fondazione rettangolare lunga con sezione come in figura sottoposta ad un

carico centrato per ogni metro di 30000 dN Tale carico egrave composto da 20000 dN derivanti da

carichi permanenti e da 10000 dN derivanti da carichi variabili

Il terreno ha le seguenti caratteristiche angolo di attrito 30deg coesione 001 dNcm2 peso

specifico del terreno 1800 dNm3

Usiamo per la verifica lapproccio 2 A1+M1+R3 Calcoliamo il carico di progetto

Calcolo del carico limite Si osserva che i coefficienti da utilizzare per i parametri del

terreno riportati nella colonna M1 sono tutti pari ad 1 pertanto i parametri geotecnici del terreno

non vengono modificati

2lim

BNDNcN ttqc

2

lim 574732

218001402241800140181001430 mdN

La resistenza per ogni metro di fondazione saragrave

La resistenza si calcola applicando il coefficiente della tabella R3

Poichegrave risulta 41000 dN gt 38386 dN la fondazione non egrave verificata

12

123 - CRITERI GENERALI DI PROGETTO PER LE FONDAZIONI SUPERFICIALI

La profonditagrave del piano di posa della fondazione deve essere scelta e giustificata in relazione

alle caratteristiche e alle prestazioni della struttura in elevazione alle caratteristiche del sottosuolo e

alle condizioni ambientali

Il piano di fondazione deve essere situato sotto la coltre di terreno vegetale noncheacute sotto lo

strato interessato dal gelo e da significative variazioni stagionali del contenuto drsquoacqua

In situazioni nelle quali sono possibili fenomeni di erosione o di scalzamento da parte di

acque di scorrimento superficiale le fondazioni devono essere poste a profonditagrave tale da non

risentire di questi fenomeni o devono essere adeguatamente difese

13 - Indagini sui terreni

Per determinare le caratteristiche dei terreni egrave necessario eseguire delle indagini su di esso

Abbiamo due categorie di indagini indagini in sito ed indagini in laboratorio Sono indagini

ovviamente di natura diversa che presentano entrambi vantaggi e svantaggi Le indagini in sito

hanno il vantaggio di esaminare il terreno nel suo stato naturale ossia indisturbato mentre quelle di

laboratorio esaminano campioni di terreno che necessariamente vengono prelevati dal terreno e

quindi in qualche modo disturbati

131 - Indagini in sito

Con tali indagini possiamo rilevare le caratteristiche geologiche dei terreni ma anche

di resistenza Abbiamo indagini di tipo diretto quando lrsquoesame avviene tramite il prelievo di

campioni di terreno e indiretto quando invece usiamo attrezzature che ci permettono di raccogliere

informazioni senza prelevare campioni di terreno

Sondaggi diretti a rotazione (carotaggi)

Si eseguono con una speciale trivella che preleva da diversa profonditagrave campioni di terreno

(carote) esaminando le quali si ricostruisce la stratigrafia del terreno

Indagine indiretta tramite sonda geoelettrica

Di facile esecuzione e poco costosa questa indagine permette specialmente di rilevare la

presenza di falde acquifere Si esegue generando una corrente continua tramite una semplice

batteria e misurandone le cadute di tensione ad una certa distanza dove vengono posizionati degli

elettrodi collegati con cavi allrsquounitagrave di misurazione Attraverso tali cadute di tensione si risale alla

resistivitagrave delle rocce e quindi alla sua natura

Indagini Geosismiche

Si basa sulla propagazione di onde elastiche nelle rocce e sulla riflessione di esse causata dai

vari strati di rocce Le onde sismiche vengono generate mediante microesplosioni e rilevate

mediante geofoni

13

Prove penetrometriche

Permettono di rilevare la resistenza del terreno ai carichi verticali Il concetto egrave molto

semplice in pratica si tratta di infiggere una punta di acciaio di forma tronco-conica nel terreno La

punta egrave avvitata alla estremitagrave di unrsquoasta in acciaio sulla cui sommitagrave viene posto un incudine che

viene battuto su un maglio che puograve essere azionato sia manualmente che meccanicamente Il maglio

viene sempre fatto cadere dalla stessa altezza in modo da trasmettere alla punta sempre la stessa

energia Il numero dei colpi necessari per infiggere la punta di una determinata quantitagrave (ad esempio

10 cm) rivela la resistenza alla punta del terreno Elaborando opportunamente i dati ottenuti egrave

possibile ottenere la tensione ammissibile del terreno Ersquo evidente che tale tensione non tiene conto

delle caratteristiche della fondazione La prova va eseguita per una profonditagrave pari a due tre volte la

larghezza della fondazione

La resistenza alla punta viene determinata mediante una relazione nota come formula

olandese o degli olandesi

Con M ed m misurati i n Kg H ed h in cm e A in crn2 1a formula egrave la seguente

)(

2

mMhA

NHMRd

Dove

M egrave la massa del maglio

H la volata del maglio

N il numero di colpi necessario per un affondamento pari ad h

A egrave lrsquoarea della punta

h egrave lrsquoaffondamento pari a 10 cm

m egrave la massa battuta (incudine + aste + portapunta)

La tensione di rottura del terreno viene calcolata assumendo per N la media dei colpi

calcolata per una profonditagrave pari a 2 ndash 3 volte la larghezza della fondazione e dividendo per 4

daNcm

2

132 - Indagini in laboratorio

Tali indagini si eseguono su campioni prelevati sul posto ed esaminati in laboratorio Ersquo di

fondamentale importanza che tali campioni siano disturbati il meno possibile Le prove in

laboratorio consentono di rilevare oltre al peso specifico e ad altre caratteristiche dei terreni

lrsquoangolo di attrito e la coesione

A tale risultato si puograve giungere mediante due tipi diversi di prove la prova di taglio diretto

e la prova triassiale

Con entrambi le prove si puograve tracciare

la retta

Per tracciare tale retta sarebbero

sufficienti due prove ma a causa

dellincertezza sperimentale sono

indispensabili tre prove

c tan

14

Macchina per la prova di taglio diretto

Particolare scatola di Casagrande

Risultati con tre prove di taglio

diretto

15

Apparecchiatura per la prova triassiale

Grafico ottenuto con le prove triassiali

Video di una prova triassiale

httpsyoutubeVMfaBgV82C4list=PLwf1bZY6zalBqO84q6JxdgJhM6AFHIFFL

Campioni ottenuti con carotaggio del terreno

11

Esempio N 2

Verificare la fondazione rettangolare lunga con sezione come in figura sottoposta ad un

carico centrato per ogni metro di 30000 dN Tale carico egrave composto da 20000 dN derivanti da

carichi permanenti e da 10000 dN derivanti da carichi variabili

Il terreno ha le seguenti caratteristiche angolo di attrito 30deg coesione 001 dNcm2 peso

specifico del terreno 1800 dNm3

Usiamo per la verifica lapproccio 2 A1+M1+R3 Calcoliamo il carico di progetto

Calcolo del carico limite Si osserva che i coefficienti da utilizzare per i parametri del

terreno riportati nella colonna M1 sono tutti pari ad 1 pertanto i parametri geotecnici del terreno

non vengono modificati

2lim

BNDNcN ttqc

2

lim 574732

218001402241800140181001430 mdN

La resistenza per ogni metro di fondazione saragrave

La resistenza si calcola applicando il coefficiente della tabella R3

Poichegrave risulta 41000 dN gt 38386 dN la fondazione non egrave verificata

12

123 - CRITERI GENERALI DI PROGETTO PER LE FONDAZIONI SUPERFICIALI

La profonditagrave del piano di posa della fondazione deve essere scelta e giustificata in relazione

alle caratteristiche e alle prestazioni della struttura in elevazione alle caratteristiche del sottosuolo e

alle condizioni ambientali

Il piano di fondazione deve essere situato sotto la coltre di terreno vegetale noncheacute sotto lo

strato interessato dal gelo e da significative variazioni stagionali del contenuto drsquoacqua

In situazioni nelle quali sono possibili fenomeni di erosione o di scalzamento da parte di

acque di scorrimento superficiale le fondazioni devono essere poste a profonditagrave tale da non

risentire di questi fenomeni o devono essere adeguatamente difese

13 - Indagini sui terreni

Per determinare le caratteristiche dei terreni egrave necessario eseguire delle indagini su di esso

Abbiamo due categorie di indagini indagini in sito ed indagini in laboratorio Sono indagini

ovviamente di natura diversa che presentano entrambi vantaggi e svantaggi Le indagini in sito

hanno il vantaggio di esaminare il terreno nel suo stato naturale ossia indisturbato mentre quelle di

laboratorio esaminano campioni di terreno che necessariamente vengono prelevati dal terreno e

quindi in qualche modo disturbati

131 - Indagini in sito

Con tali indagini possiamo rilevare le caratteristiche geologiche dei terreni ma anche

di resistenza Abbiamo indagini di tipo diretto quando lrsquoesame avviene tramite il prelievo di

campioni di terreno e indiretto quando invece usiamo attrezzature che ci permettono di raccogliere

informazioni senza prelevare campioni di terreno

Sondaggi diretti a rotazione (carotaggi)

Si eseguono con una speciale trivella che preleva da diversa profonditagrave campioni di terreno

(carote) esaminando le quali si ricostruisce la stratigrafia del terreno

Indagine indiretta tramite sonda geoelettrica

Di facile esecuzione e poco costosa questa indagine permette specialmente di rilevare la

presenza di falde acquifere Si esegue generando una corrente continua tramite una semplice

batteria e misurandone le cadute di tensione ad una certa distanza dove vengono posizionati degli

elettrodi collegati con cavi allrsquounitagrave di misurazione Attraverso tali cadute di tensione si risale alla

resistivitagrave delle rocce e quindi alla sua natura

Indagini Geosismiche

Si basa sulla propagazione di onde elastiche nelle rocce e sulla riflessione di esse causata dai

vari strati di rocce Le onde sismiche vengono generate mediante microesplosioni e rilevate

mediante geofoni

13

Prove penetrometriche

Permettono di rilevare la resistenza del terreno ai carichi verticali Il concetto egrave molto

semplice in pratica si tratta di infiggere una punta di acciaio di forma tronco-conica nel terreno La

punta egrave avvitata alla estremitagrave di unrsquoasta in acciaio sulla cui sommitagrave viene posto un incudine che

viene battuto su un maglio che puograve essere azionato sia manualmente che meccanicamente Il maglio

viene sempre fatto cadere dalla stessa altezza in modo da trasmettere alla punta sempre la stessa

energia Il numero dei colpi necessari per infiggere la punta di una determinata quantitagrave (ad esempio

10 cm) rivela la resistenza alla punta del terreno Elaborando opportunamente i dati ottenuti egrave

possibile ottenere la tensione ammissibile del terreno Ersquo evidente che tale tensione non tiene conto

delle caratteristiche della fondazione La prova va eseguita per una profonditagrave pari a due tre volte la

larghezza della fondazione

La resistenza alla punta viene determinata mediante una relazione nota come formula

olandese o degli olandesi

Con M ed m misurati i n Kg H ed h in cm e A in crn2 1a formula egrave la seguente

)(

2

mMhA

NHMRd

Dove

M egrave la massa del maglio

H la volata del maglio

N il numero di colpi necessario per un affondamento pari ad h

A egrave lrsquoarea della punta

h egrave lrsquoaffondamento pari a 10 cm

m egrave la massa battuta (incudine + aste + portapunta)

La tensione di rottura del terreno viene calcolata assumendo per N la media dei colpi

calcolata per una profonditagrave pari a 2 ndash 3 volte la larghezza della fondazione e dividendo per 4

daNcm

2

132 - Indagini in laboratorio

Tali indagini si eseguono su campioni prelevati sul posto ed esaminati in laboratorio Ersquo di

fondamentale importanza che tali campioni siano disturbati il meno possibile Le prove in

laboratorio consentono di rilevare oltre al peso specifico e ad altre caratteristiche dei terreni

lrsquoangolo di attrito e la coesione

A tale risultato si puograve giungere mediante due tipi diversi di prove la prova di taglio diretto

e la prova triassiale

Con entrambi le prove si puograve tracciare

la retta

Per tracciare tale retta sarebbero

sufficienti due prove ma a causa

dellincertezza sperimentale sono

indispensabili tre prove

c tan

14

Macchina per la prova di taglio diretto

Particolare scatola di Casagrande

Risultati con tre prove di taglio

diretto

15

Apparecchiatura per la prova triassiale

Grafico ottenuto con le prove triassiali

Video di una prova triassiale

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Campioni ottenuti con carotaggio del terreno

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123 - CRITERI GENERALI DI PROGETTO PER LE FONDAZIONI SUPERFICIALI

La profonditagrave del piano di posa della fondazione deve essere scelta e giustificata in relazione

alle caratteristiche e alle prestazioni della struttura in elevazione alle caratteristiche del sottosuolo e

alle condizioni ambientali

Il piano di fondazione deve essere situato sotto la coltre di terreno vegetale noncheacute sotto lo

strato interessato dal gelo e da significative variazioni stagionali del contenuto drsquoacqua

In situazioni nelle quali sono possibili fenomeni di erosione o di scalzamento da parte di

acque di scorrimento superficiale le fondazioni devono essere poste a profonditagrave tale da non

risentire di questi fenomeni o devono essere adeguatamente difese

13 - Indagini sui terreni

Per determinare le caratteristiche dei terreni egrave necessario eseguire delle indagini su di esso

Abbiamo due categorie di indagini indagini in sito ed indagini in laboratorio Sono indagini

ovviamente di natura diversa che presentano entrambi vantaggi e svantaggi Le indagini in sito

hanno il vantaggio di esaminare il terreno nel suo stato naturale ossia indisturbato mentre quelle di

laboratorio esaminano campioni di terreno che necessariamente vengono prelevati dal terreno e

quindi in qualche modo disturbati

131 - Indagini in sito

Con tali indagini possiamo rilevare le caratteristiche geologiche dei terreni ma anche

di resistenza Abbiamo indagini di tipo diretto quando lrsquoesame avviene tramite il prelievo di

campioni di terreno e indiretto quando invece usiamo attrezzature che ci permettono di raccogliere

informazioni senza prelevare campioni di terreno

Sondaggi diretti a rotazione (carotaggi)

Si eseguono con una speciale trivella che preleva da diversa profonditagrave campioni di terreno

(carote) esaminando le quali si ricostruisce la stratigrafia del terreno

Indagine indiretta tramite sonda geoelettrica

Di facile esecuzione e poco costosa questa indagine permette specialmente di rilevare la

presenza di falde acquifere Si esegue generando una corrente continua tramite una semplice

batteria e misurandone le cadute di tensione ad una certa distanza dove vengono posizionati degli

elettrodi collegati con cavi allrsquounitagrave di misurazione Attraverso tali cadute di tensione si risale alla

resistivitagrave delle rocce e quindi alla sua natura

Indagini Geosismiche

Si basa sulla propagazione di onde elastiche nelle rocce e sulla riflessione di esse causata dai

vari strati di rocce Le onde sismiche vengono generate mediante microesplosioni e rilevate

mediante geofoni

13

Prove penetrometriche

Permettono di rilevare la resistenza del terreno ai carichi verticali Il concetto egrave molto

semplice in pratica si tratta di infiggere una punta di acciaio di forma tronco-conica nel terreno La

punta egrave avvitata alla estremitagrave di unrsquoasta in acciaio sulla cui sommitagrave viene posto un incudine che

viene battuto su un maglio che puograve essere azionato sia manualmente che meccanicamente Il maglio

viene sempre fatto cadere dalla stessa altezza in modo da trasmettere alla punta sempre la stessa

energia Il numero dei colpi necessari per infiggere la punta di una determinata quantitagrave (ad esempio

10 cm) rivela la resistenza alla punta del terreno Elaborando opportunamente i dati ottenuti egrave

possibile ottenere la tensione ammissibile del terreno Ersquo evidente che tale tensione non tiene conto

delle caratteristiche della fondazione La prova va eseguita per una profonditagrave pari a due tre volte la

larghezza della fondazione

La resistenza alla punta viene determinata mediante una relazione nota come formula

olandese o degli olandesi

Con M ed m misurati i n Kg H ed h in cm e A in crn2 1a formula egrave la seguente

)(

2

mMhA

NHMRd

Dove

M egrave la massa del maglio

H la volata del maglio

N il numero di colpi necessario per un affondamento pari ad h

A egrave lrsquoarea della punta

h egrave lrsquoaffondamento pari a 10 cm

m egrave la massa battuta (incudine + aste + portapunta)

La tensione di rottura del terreno viene calcolata assumendo per N la media dei colpi

calcolata per una profonditagrave pari a 2 ndash 3 volte la larghezza della fondazione e dividendo per 4

daNcm

2

132 - Indagini in laboratorio

Tali indagini si eseguono su campioni prelevati sul posto ed esaminati in laboratorio Ersquo di

fondamentale importanza che tali campioni siano disturbati il meno possibile Le prove in

laboratorio consentono di rilevare oltre al peso specifico e ad altre caratteristiche dei terreni

lrsquoangolo di attrito e la coesione

A tale risultato si puograve giungere mediante due tipi diversi di prove la prova di taglio diretto

e la prova triassiale

Con entrambi le prove si puograve tracciare

la retta

Per tracciare tale retta sarebbero

sufficienti due prove ma a causa

dellincertezza sperimentale sono

indispensabili tre prove

c tan

14

Macchina per la prova di taglio diretto

Particolare scatola di Casagrande

Risultati con tre prove di taglio

diretto

15

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Campioni ottenuti con carotaggio del terreno

13

Prove penetrometriche

Permettono di rilevare la resistenza del terreno ai carichi verticali Il concetto egrave molto

semplice in pratica si tratta di infiggere una punta di acciaio di forma tronco-conica nel terreno La

punta egrave avvitata alla estremitagrave di unrsquoasta in acciaio sulla cui sommitagrave viene posto un incudine che

viene battuto su un maglio che puograve essere azionato sia manualmente che meccanicamente Il maglio

viene sempre fatto cadere dalla stessa altezza in modo da trasmettere alla punta sempre la stessa

energia Il numero dei colpi necessari per infiggere la punta di una determinata quantitagrave (ad esempio

10 cm) rivela la resistenza alla punta del terreno Elaborando opportunamente i dati ottenuti egrave

possibile ottenere la tensione ammissibile del terreno Ersquo evidente che tale tensione non tiene conto

delle caratteristiche della fondazione La prova va eseguita per una profonditagrave pari a due tre volte la

larghezza della fondazione

La resistenza alla punta viene determinata mediante una relazione nota come formula

olandese o degli olandesi

Con M ed m misurati i n Kg H ed h in cm e A in crn2 1a formula egrave la seguente

)(

2

mMhA

NHMRd

Dove

M egrave la massa del maglio

H la volata del maglio

N il numero di colpi necessario per un affondamento pari ad h

A egrave lrsquoarea della punta

h egrave lrsquoaffondamento pari a 10 cm

m egrave la massa battuta (incudine + aste + portapunta)

La tensione di rottura del terreno viene calcolata assumendo per N la media dei colpi

calcolata per una profonditagrave pari a 2 ndash 3 volte la larghezza della fondazione e dividendo per 4

daNcm

2

132 - Indagini in laboratorio

Tali indagini si eseguono su campioni prelevati sul posto ed esaminati in laboratorio Ersquo di

fondamentale importanza che tali campioni siano disturbati il meno possibile Le prove in

laboratorio consentono di rilevare oltre al peso specifico e ad altre caratteristiche dei terreni

lrsquoangolo di attrito e la coesione

A tale risultato si puograve giungere mediante due tipi diversi di prove la prova di taglio diretto

e la prova triassiale

Con entrambi le prove si puograve tracciare

la retta

Per tracciare tale retta sarebbero

sufficienti due prove ma a causa

dellincertezza sperimentale sono

indispensabili tre prove

c tan

14

Macchina per la prova di taglio diretto

Particolare scatola di Casagrande

Risultati con tre prove di taglio

diretto

15

Apparecchiatura per la prova triassiale

Grafico ottenuto con le prove triassiali

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Campioni ottenuti con carotaggio del terreno

14

Macchina per la prova di taglio diretto

Particolare scatola di Casagrande

Risultati con tre prove di taglio

diretto

15

Apparecchiatura per la prova triassiale

Grafico ottenuto con le prove triassiali

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Campioni ottenuti con carotaggio del terreno

15

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Campioni ottenuti con carotaggio del terreno

16

Tab TER1 - Coefficienti per il calcolo del carico limite

cN

qN

N

Nq Nc

tang

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

514

538

563

590

619

649

681

716

753

792

835

880

928

981

1037

1098

1163

1234

1310

1393

1483

1582

1688

1805

1932

2072

2225

2394

2580

2786

3014

3267

3549

3864

4216

4612

5059

5563

6135

6787

7531

8386

9371

10511

11837

13388

15210

17364

19926

22993

26689

100

109

120

131

143

157

172

188

206

225

247

271

297

326

359

394

434

477

526

580

640

707

782

866

960

1066

1185

1320

1472

1640

1840

2063

2318

2609

2944

3330

3775

4292

4893

5596

6420

7390

8538

9902

11533

13488

15851

18721

22231

26551

31907

000

007

015

024

034

045

057

071

086

103

122

144

169

197

229

265

306

353

407

468

539

620

713

820

944

1088

1254

1447

1672

1934

2240

2599

3022

3519

4106

4803

5631

6619

7803

9225

10941

13022

15555

18654

22464

27176

33035

40367

49601

61316

76289

020

020

021

022

023

024

025

028

027

028

030

031

032

033

035

036

037

039

040

042

043

045

046

048

050

051

053

055

057

059

061

063

065

068

070

072

075

077

080

082

085

088

091

094

097

101

104

108

112

115

120

000

002

003

005

007

009

011

012

014

016

018

019

021

023

025

027

029

031

032

034

036

038

040

042

045

047

049

051

053

055

058

060

062

065

067

070

073

075

078

081

084

087

090

093

097

100

104

107

111

115

119

17

14 - Spinta delle terre

I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie verticale o che

si avvicini alla verticale perchegrave essi franano e vanno a disporsi spontaneamente secondo una

superficie inclinata di un angolo pari allrsquoangolo di attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo

un angolo maggiore dipendente dal grado di coesione nel caso di terreni coerenti

Volendo sistemare un terreno in modo da avere una superficie verticale egrave allora necessario

realizzare una opera che impedisca al terreno di franare Tale opera in generale viene detta opera di

sostegno ed egrave costituita nei casi piugrave frequenti da un muro di sostegno

Il muro di sostegno impedisce al terreno di franare esso riceve quindi dal terreno stesso una

spinta che tende a ribaltare o comunque a far muovere il muro Il muro stesso deve essere in grado

di resistere a tale spinta e pertanto deve essere adeguatamente dimensionato Ersquo necessario quindi

per poter correttamente dimensionare il muro conoscere la spinta che il terreno puograve esercitare su di

esso

La spinta del terreno puograve venire calcolata solo in modo approssimato vista la incertezza del

materiale per fare ciograve esistono diverse teorie sia numeriche che grafiche le quali danno risultati

accettabili

Ci occuperemo nel seguito della spinta dei terreni incoerenti ed in zona non soggetta a

terremoti Tale spinta dipende dal peso specifico del materiale dallrsquoangolo di attrito del terreno

dallrsquoinclinazione della superficie del terreno rispetto allrsquoorizzontale dalla inclinazione del

paramento interno del muro rispetto alla verticale e dallrsquoattrito tra la superficie interna del muro ed

il terreno stesso

La superficie di scorrimento secondo cui frana il terreno egrave di forma concava come puograve

vedersi osservando la superficie del terreno dopo che si egrave verificata una frana Tale superficie

tuttavia viene considerata piana per semplificare il problema

Diverse sono le teorie che permettono di determinare la spinta del terreno una di queste egrave

dovuta a Coulomb e si basa sullrsquoequilibrio delle forze che agiscono sul terreno Di seguito viene

riportata la dimostrazione di come si ottiene la spinta di un terrapieno nel caso piugrave semplice ossia

nel caso di superficie del terreno orizzontale parete interna del muro (quella a contatto col terreno)

verticale e trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno

18

tan PS

tanPS

1 4 1 ndash La Teoria di Coulomb

La teoria di coulomb si basa sullrsquoequilibrio limite di tutte le forze che agiscono sul terreno

In figura la parte colorata ABC rappresenta il terreno che tende a franare essa viene

chiamata cuneo di spinta percheacute ha forma triangolare e profonditagrave di 100 metri In rosso egrave

rappresentato il piano di scorrimento del terreno tale piano egrave inclinato di un angolo α rispetto

allrsquoorizzontale angolo che non si conosce ma che si troveragrave in base ad alcune considerazioni che

faremo nel seguito f egrave lrsquoangolo di attrito interno del terreno S egrave lrsquoazione che il muro esercita sul

cuneo di spinta che egrave uguale e contraria allrsquoazione che il cuneo di spinta esercita sul muro P egrave il

peso del terreno N egrave la reazione normale del terreno sottostante T egrave la reazione tangenziale del

terreno sottostante dovuta allrsquoattrito del cuneo di spinta che scorre sul terreno sottostante R egrave la

risultante tra N e T ed egrave inclinata di f rispetto alla normale n alla superficie di scorrimento infatti

la forza di attrito T deve essere

T = N tan(ϕ)

Per determinare la spinta S imponiamo lrsquoequilibrio tra tutte le forze Per avere lrsquoequilibrio egrave

necessario che la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto generico si pari a zero e

che la somma delle forze si anche uguale a zero La prima condizione porta a concludere che le tre

forze convergono in un punto infatti in tal caso la somma dei momenti rispetto a quel punto egrave zero

essendo nulle le distanze delle forze stesse dal punto La seconda condizione somma delle forze

pari a zero egrave soddisfatta se il poligono delle forze egrave chiuso come mostrato in figura Si ha allora

che

(1)

Per determinare ε osserviamo che lrsquoangolo β angolo formato dalla orizzontale e la normale

alla superficie di scorrimento egrave pari a

β=90 -α e che si ha β +ϕ+ε + 90 = 180 e quindi ε = 90 ndash ϕ - β

ε= 90 ndashϕ ndash (90 ndash α) = α-ϕ pertanto si ha

(2)

19

at KhS 2

2

1

Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato

dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno

Sostituendo nella (2) si ha

gghS t tan90tan2

1 2 (3)

Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il

valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che

la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia

2

90

2

90

sostituendo nella (3) si ha

2

90tan

2

9090tan

2

1 2

gghS t

2

90tan

2

90tan

2

1 2

gghS t

2

90tan

2

1 22 ghS t

Se indichiamo con

2

90tan 2

gKa si ha

Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno

Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro

δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la

parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente

2

2

2

1

CosCos

SenSenCosCos

CosK a

I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e

parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella

Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254

36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129

90tan2

190tan

2

1

2

2hhhPhBC

P ttt

20

142 - Metodo grafico di Poncelet

Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla

orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro

dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo

dellrsquoaltezza

Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura

Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le

seguenti operazioni

1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C

2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da

punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di

direzione

3 ndash si traccia il semicerchio A-C

4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il

semicerchio nel punto G

5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C

6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione

7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C

Il valore della spinta S saragrave 2

tnJS

J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno

21

143 - Diagramma delle pressioni

Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il

terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo

calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello

stesso ossia ha un andamento triangolare

come mostrato in figura

La spinta essendo la somma di tutte queste

pressioni egrave anche larea del triangolo delle

pressioni e poichegrave la risultante di tali

pressioni deve essere applicata nel

baricentro del triangolo la essa egrave appunto

applicata ad un terzo dellaltezza h dove si

trova il baricentro del triangolo Se

vogliamo calcolare la pressione massima

calcoliamo prima larea del triangolo area

che egrave uguale alla spinta S

quindi da essa calcoliamo la pressione massima

Questa formula ci saragrave utile inseguito

144 - Spinta del terreno con sovraccarico

Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento

della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza

di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro

Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al

carico distribuito si ha

Qh e quindi

Qh

22

Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro

che ha una forma trapezoidale

La spinta egrave pari allarea del

trapezio

Occorre calcolare le pressioni

massima e minima

Noi sappiamo calcolare la

spinta che agirebbe su un muro

di altezza h+h indichiamola

con S

at KhhS 2)(2

1

Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla

per calcolare Pmax

semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra

triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo

calcolare la spinta sul muro

essendo

Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno

e quello del sovraccarico

percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e

la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al

terreno ST saragrave sempre applicata ad

mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre

applicata ad

23

2632103182

1 2 KNS at KhS 2

2

1

Esercizio svolto N 1

Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg

coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300

Svolgimento

2

90tan 2

gKa

= 032

Esercizi modulo 1

Esercizio N 1

Data la fondazione in figura calcolare il carico limite

1=19 KN 2=20 KN

a=12 m b=20 m

Esercizio N 2

Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula

gghS t tan90tan2

1 2

facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2

90

Dati

ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN

24

Esercizio N 3

Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno

inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale

Esercizio N 4

Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet

Esercizio N 5

Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione

25

2 - I Muri di sostegno

21 - Generalitagrave

I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni

Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che

in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato

I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia

in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria

resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave

La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di

modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale

o a parallelogramma inclinato verso il terreno

Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls

I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri

sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di

collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate

separati

Muro in ca con suola di monte e di valle

di lunghezza paragonabili

26

Muro con suola a monte molto larga e suola a valle

quasi assente

Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile

invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve

essere necessaria la situazione opposta ossia suola a

valle estesa e suola a monte quasi assente In questo

tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave

viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di

monte

Muri a contrafforti interni

Si usano per altezze importanti I contrafforti

possono essere entro terra come lrsquoesempio in

figura o fuori terra ossia allrsquoesterno

Muro a mensola con sbalzo a monte

Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a

soddisfare la verifica a scorrimento

Muro con contrafforti esterni

Muro a gabbioni

27

22 - Azioni statiche sul muro

Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che

agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono

Peso proprio del muro diviso per

comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf

Spinta del terreno ST scomposta nelle

sue componenti orizzontali e verticali

rispettivamente STO ed STV

Nel caso sia presente il carico variabile

bisogneragrave considerare anche la spinta

dovuta al carico variabile SQ scomposta

nelle sue componenti orizzontali e

verticali rispettivamente SQO ed SQV

Peso del terreno sulla fondazione Pt

Calcolo delle azioni statiche

Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente

Pesi del muro

cmHBP 11

Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3

cmHBP 22

2

1

cfff HBP

dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2

Peso del terreno insistente sul dente di fondazione

tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno

Spinta statica del terreno

atT KhS 2

2

1

Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico

aQ KhQS

Dove

h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro

28

2

90tan2

aK

Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di

terremoto

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno

Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico

aranno

Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3

2

Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e

trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula

seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno

In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene

considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati

sarebbero ancora maggiori

29

23 - Verifiche

Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A

tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta

ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione

Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono

un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia

percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova

indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure

1 2 3 4

1) Muro e fondazione scivolano insieme

2) Il muro scivola sulla fondazione

3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme

4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione

Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di

fondazione

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a ribaltamento del solo muro

Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la

verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a

scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta

va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

30

Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si

esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)

(EQU+M2+R2)

Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a

scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1

09 1 1

Sfavorevole 11 13 1

Permanenti non strutturali1 Favorevole

γG2

08 08 08

Sfavorevole 15 15 13

Varabili Favorevole

γG1

0 0 0

Sfavorevole 15 15 13

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la

spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA

QUALE APPLICARE IL

COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1) (M2)

Tangente dellrsquoangolo di

resistenza al taglio Tan φ

γφ 1 125

Coesione efficace crsquo γc 1 125

Resistenza non drenata cuk γcu 1 14

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14

31

2

2

1THKatS

231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le

forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza

che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza

di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che

dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale

coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula

fa = tang φ

con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito

tra terreno e fondazione Il suo valore

puograve essere assunto le a φ

Ricordiamo che lapproccio di verifica

egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che

prevede i coefficienti M1 pari a 1

pertanto i parametri di resistenza non

vanno ridotti

Calcolo della spinta statica

Essa dipende dallangolo di attrito del terreno

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno

CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno

SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno

CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

Per lrsquoangolo δ si puograve assumere

Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il

relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al

solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va

moltiplicato per γQ

32

Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da

Per φ puograve essere assunto un valore pari a

La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso

abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta

QVTOoE SSFR

Per la verifica deve risultare

Esercizio svolto 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =

020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =

900 daNmq

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +

fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali

costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della

spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)

La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che

nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave

proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura

delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con

la formula

fa = tang φ con φ

si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione

Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e

riportati nella tabella precedente colonna A1

Carichi Effetto Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole γG1 =1

Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1

Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0

Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13

Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15

33

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA QUALE

APPLICARE IL COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1)

Tangente dellrsquoangolo di resistenza

al taglio Tan φ

γφ 1

Coesione efficace crsquo γc 1

Resistenza non drenata cuk γcu 1

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3)

Capacitagrave portante della fondazione 14

Scorrimento 11

Ribaltamento 115

Resistenza del terreno a valle 14

Calcolo del peso proprio del muro

7605400200380011 daNHBP cm

daNHBP cm 160240020036002

1

2

122

daNHBP cfff 59224002600801

Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione

daNHDPt tm 080180010032001

Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo

si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297

Calcolo della spinta dovuta al solo terreno

daNKhS atT 4643297060318002

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 3255 daN

= 1185 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

= 904 daN

= 309 daN

Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno

daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121

34

daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

35

2

1 2

mT HKatS

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione

Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in

calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va

eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono

collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche

La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla

fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il

coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno

applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica

La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione

La formula di verifica egrave la seguente

dove

Somma di tutte le forze orizzontali

Esercizio svolto 2

Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione

Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Calcolo della spinta dovuta al terreno

dNKhS amt 4062297000380012

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 823 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

36

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

17

14 - Spinta delle terre

I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie verticale o che

si avvicini alla verticale perchegrave essi franano e vanno a disporsi spontaneamente secondo una

superficie inclinata di un angolo pari allrsquoangolo di attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo

un angolo maggiore dipendente dal grado di coesione nel caso di terreni coerenti

Volendo sistemare un terreno in modo da avere una superficie verticale egrave allora necessario

realizzare una opera che impedisca al terreno di franare Tale opera in generale viene detta opera di

sostegno ed egrave costituita nei casi piugrave frequenti da un muro di sostegno

Il muro di sostegno impedisce al terreno di franare esso riceve quindi dal terreno stesso una

spinta che tende a ribaltare o comunque a far muovere il muro Il muro stesso deve essere in grado

di resistere a tale spinta e pertanto deve essere adeguatamente dimensionato Ersquo necessario quindi

per poter correttamente dimensionare il muro conoscere la spinta che il terreno puograve esercitare su di

esso

La spinta del terreno puograve venire calcolata solo in modo approssimato vista la incertezza del

materiale per fare ciograve esistono diverse teorie sia numeriche che grafiche le quali danno risultati

accettabili

Ci occuperemo nel seguito della spinta dei terreni incoerenti ed in zona non soggetta a

terremoti Tale spinta dipende dal peso specifico del materiale dallrsquoangolo di attrito del terreno

dallrsquoinclinazione della superficie del terreno rispetto allrsquoorizzontale dalla inclinazione del

paramento interno del muro rispetto alla verticale e dallrsquoattrito tra la superficie interna del muro ed

il terreno stesso

La superficie di scorrimento secondo cui frana il terreno egrave di forma concava come puograve

vedersi osservando la superficie del terreno dopo che si egrave verificata una frana Tale superficie

tuttavia viene considerata piana per semplificare il problema

Diverse sono le teorie che permettono di determinare la spinta del terreno una di queste egrave

dovuta a Coulomb e si basa sullrsquoequilibrio delle forze che agiscono sul terreno Di seguito viene

riportata la dimostrazione di come si ottiene la spinta di un terrapieno nel caso piugrave semplice ossia

nel caso di superficie del terreno orizzontale parete interna del muro (quella a contatto col terreno)

verticale e trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno

18

tan PS

tanPS

1 4 1 ndash La Teoria di Coulomb

La teoria di coulomb si basa sullrsquoequilibrio limite di tutte le forze che agiscono sul terreno

In figura la parte colorata ABC rappresenta il terreno che tende a franare essa viene

chiamata cuneo di spinta percheacute ha forma triangolare e profonditagrave di 100 metri In rosso egrave

rappresentato il piano di scorrimento del terreno tale piano egrave inclinato di un angolo α rispetto

allrsquoorizzontale angolo che non si conosce ma che si troveragrave in base ad alcune considerazioni che

faremo nel seguito f egrave lrsquoangolo di attrito interno del terreno S egrave lrsquoazione che il muro esercita sul

cuneo di spinta che egrave uguale e contraria allrsquoazione che il cuneo di spinta esercita sul muro P egrave il

peso del terreno N egrave la reazione normale del terreno sottostante T egrave la reazione tangenziale del

terreno sottostante dovuta allrsquoattrito del cuneo di spinta che scorre sul terreno sottostante R egrave la

risultante tra N e T ed egrave inclinata di f rispetto alla normale n alla superficie di scorrimento infatti

la forza di attrito T deve essere

T = N tan(ϕ)

Per determinare la spinta S imponiamo lrsquoequilibrio tra tutte le forze Per avere lrsquoequilibrio egrave

necessario che la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto generico si pari a zero e

che la somma delle forze si anche uguale a zero La prima condizione porta a concludere che le tre

forze convergono in un punto infatti in tal caso la somma dei momenti rispetto a quel punto egrave zero

essendo nulle le distanze delle forze stesse dal punto La seconda condizione somma delle forze

pari a zero egrave soddisfatta se il poligono delle forze egrave chiuso come mostrato in figura Si ha allora

che

(1)

Per determinare ε osserviamo che lrsquoangolo β angolo formato dalla orizzontale e la normale

alla superficie di scorrimento egrave pari a

β=90 -α e che si ha β +ϕ+ε + 90 = 180 e quindi ε = 90 ndash ϕ - β

ε= 90 ndashϕ ndash (90 ndash α) = α-ϕ pertanto si ha

(2)

19

at KhS 2

2

1

Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato

dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno

Sostituendo nella (2) si ha

gghS t tan90tan2

1 2 (3)

Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il

valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che

la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia

2

90

2

90

sostituendo nella (3) si ha

2

90tan

2

9090tan

2

1 2

gghS t

2

90tan

2

90tan

2

1 2

gghS t

2

90tan

2

1 22 ghS t

Se indichiamo con

2

90tan 2

gKa si ha

Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno

Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro

δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la

parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente

2

2

2

1

CosCos

SenSenCosCos

CosK a

I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e

parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella

Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254

36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129

90tan2

190tan

2

1

2

2hhhPhBC

P ttt

20

142 - Metodo grafico di Poncelet

Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla

orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro

dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo

dellrsquoaltezza

Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura

Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le

seguenti operazioni

1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C

2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da

punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di

direzione

3 ndash si traccia il semicerchio A-C

4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il

semicerchio nel punto G

5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C

6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione

7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C

Il valore della spinta S saragrave 2

tnJS

J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno

21

143 - Diagramma delle pressioni

Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il

terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo

calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello

stesso ossia ha un andamento triangolare

come mostrato in figura

La spinta essendo la somma di tutte queste

pressioni egrave anche larea del triangolo delle

pressioni e poichegrave la risultante di tali

pressioni deve essere applicata nel

baricentro del triangolo la essa egrave appunto

applicata ad un terzo dellaltezza h dove si

trova il baricentro del triangolo Se

vogliamo calcolare la pressione massima

calcoliamo prima larea del triangolo area

che egrave uguale alla spinta S

quindi da essa calcoliamo la pressione massima

Questa formula ci saragrave utile inseguito

144 - Spinta del terreno con sovraccarico

Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento

della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza

di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro

Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al

carico distribuito si ha

Qh e quindi

Qh

22

Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro

che ha una forma trapezoidale

La spinta egrave pari allarea del

trapezio

Occorre calcolare le pressioni

massima e minima

Noi sappiamo calcolare la

spinta che agirebbe su un muro

di altezza h+h indichiamola

con S

at KhhS 2)(2

1

Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla

per calcolare Pmax

semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra

triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo

calcolare la spinta sul muro

essendo

Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno

e quello del sovraccarico

percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e

la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al

terreno ST saragrave sempre applicata ad

mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre

applicata ad

23

2632103182

1 2 KNS at KhS 2

2

1

Esercizio svolto N 1

Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg

coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300

Svolgimento

2

90tan 2

gKa

= 032

Esercizi modulo 1

Esercizio N 1

Data la fondazione in figura calcolare il carico limite

1=19 KN 2=20 KN

a=12 m b=20 m

Esercizio N 2

Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula

gghS t tan90tan2

1 2

facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2

90

Dati

ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN

24

Esercizio N 3

Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno

inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale

Esercizio N 4

Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet

Esercizio N 5

Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione

25

2 - I Muri di sostegno

21 - Generalitagrave

I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni

Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che

in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato

I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia

in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria

resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave

La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di

modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale

o a parallelogramma inclinato verso il terreno

Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls

I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri

sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di

collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate

separati

Muro in ca con suola di monte e di valle

di lunghezza paragonabili

26

Muro con suola a monte molto larga e suola a valle

quasi assente

Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile

invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve

essere necessaria la situazione opposta ossia suola a

valle estesa e suola a monte quasi assente In questo

tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave

viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di

monte

Muri a contrafforti interni

Si usano per altezze importanti I contrafforti

possono essere entro terra come lrsquoesempio in

figura o fuori terra ossia allrsquoesterno

Muro a mensola con sbalzo a monte

Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a

soddisfare la verifica a scorrimento

Muro con contrafforti esterni

Muro a gabbioni

27

22 - Azioni statiche sul muro

Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che

agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono

Peso proprio del muro diviso per

comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf

Spinta del terreno ST scomposta nelle

sue componenti orizzontali e verticali

rispettivamente STO ed STV

Nel caso sia presente il carico variabile

bisogneragrave considerare anche la spinta

dovuta al carico variabile SQ scomposta

nelle sue componenti orizzontali e

verticali rispettivamente SQO ed SQV

Peso del terreno sulla fondazione Pt

Calcolo delle azioni statiche

Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente

Pesi del muro

cmHBP 11

Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3

cmHBP 22

2

1

cfff HBP

dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2

Peso del terreno insistente sul dente di fondazione

tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno

Spinta statica del terreno

atT KhS 2

2

1

Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico

aQ KhQS

Dove

h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro

28

2

90tan2

aK

Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di

terremoto

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno

Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico

aranno

Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3

2

Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e

trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula

seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno

In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene

considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati

sarebbero ancora maggiori

29

23 - Verifiche

Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A

tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta

ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione

Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono

un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia

percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova

indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure

1 2 3 4

1) Muro e fondazione scivolano insieme

2) Il muro scivola sulla fondazione

3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme

4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione

Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di

fondazione

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a ribaltamento del solo muro

Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la

verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a

scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta

va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

30

Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si

esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)

(EQU+M2+R2)

Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a

scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1

09 1 1

Sfavorevole 11 13 1

Permanenti non strutturali1 Favorevole

γG2

08 08 08

Sfavorevole 15 15 13

Varabili Favorevole

γG1

0 0 0

Sfavorevole 15 15 13

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la

spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA

QUALE APPLICARE IL

COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1) (M2)

Tangente dellrsquoangolo di

resistenza al taglio Tan φ

γφ 1 125

Coesione efficace crsquo γc 1 125

Resistenza non drenata cuk γcu 1 14

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14

31

2

2

1THKatS

231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le

forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza

che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza

di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che

dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale

coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula

fa = tang φ

con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito

tra terreno e fondazione Il suo valore

puograve essere assunto le a φ

Ricordiamo che lapproccio di verifica

egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che

prevede i coefficienti M1 pari a 1

pertanto i parametri di resistenza non

vanno ridotti

Calcolo della spinta statica

Essa dipende dallangolo di attrito del terreno

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno

CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno

SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno

CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

Per lrsquoangolo δ si puograve assumere

Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il

relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al

solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va

moltiplicato per γQ

32

Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da

Per φ puograve essere assunto un valore pari a

La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso

abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta

QVTOoE SSFR

Per la verifica deve risultare

Esercizio svolto 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =

020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =

900 daNmq

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +

fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali

costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della

spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)

La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che

nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave

proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura

delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con

la formula

fa = tang φ con φ

si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione

Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e

riportati nella tabella precedente colonna A1

Carichi Effetto Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole γG1 =1

Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1

Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0

Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13

Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15

33

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA QUALE

APPLICARE IL COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1)

Tangente dellrsquoangolo di resistenza

al taglio Tan φ

γφ 1

Coesione efficace crsquo γc 1

Resistenza non drenata cuk γcu 1

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3)

Capacitagrave portante della fondazione 14

Scorrimento 11

Ribaltamento 115

Resistenza del terreno a valle 14

Calcolo del peso proprio del muro

7605400200380011 daNHBP cm

daNHBP cm 160240020036002

1

2

122

daNHBP cfff 59224002600801

Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione

daNHDPt tm 080180010032001

Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo

si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297

Calcolo della spinta dovuta al solo terreno

daNKhS atT 4643297060318002

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 3255 daN

= 1185 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

= 904 daN

= 309 daN

Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno

daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121

34

daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

35

2

1 2

mT HKatS

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione

Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in

calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va

eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono

collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche

La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla

fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il

coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno

applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica

La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione

La formula di verifica egrave la seguente

dove

Somma di tutte le forze orizzontali

Esercizio svolto 2

Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione

Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Calcolo della spinta dovuta al terreno

dNKhS amt 4062297000380012

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 823 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

36

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

18

tan PS

tanPS

1 4 1 ndash La Teoria di Coulomb

La teoria di coulomb si basa sullrsquoequilibrio limite di tutte le forze che agiscono sul terreno

In figura la parte colorata ABC rappresenta il terreno che tende a franare essa viene

chiamata cuneo di spinta percheacute ha forma triangolare e profonditagrave di 100 metri In rosso egrave

rappresentato il piano di scorrimento del terreno tale piano egrave inclinato di un angolo α rispetto

allrsquoorizzontale angolo che non si conosce ma che si troveragrave in base ad alcune considerazioni che

faremo nel seguito f egrave lrsquoangolo di attrito interno del terreno S egrave lrsquoazione che il muro esercita sul

cuneo di spinta che egrave uguale e contraria allrsquoazione che il cuneo di spinta esercita sul muro P egrave il

peso del terreno N egrave la reazione normale del terreno sottostante T egrave la reazione tangenziale del

terreno sottostante dovuta allrsquoattrito del cuneo di spinta che scorre sul terreno sottostante R egrave la

risultante tra N e T ed egrave inclinata di f rispetto alla normale n alla superficie di scorrimento infatti

la forza di attrito T deve essere

T = N tan(ϕ)

Per determinare la spinta S imponiamo lrsquoequilibrio tra tutte le forze Per avere lrsquoequilibrio egrave

necessario che la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto generico si pari a zero e

che la somma delle forze si anche uguale a zero La prima condizione porta a concludere che le tre

forze convergono in un punto infatti in tal caso la somma dei momenti rispetto a quel punto egrave zero

essendo nulle le distanze delle forze stesse dal punto La seconda condizione somma delle forze

pari a zero egrave soddisfatta se il poligono delle forze egrave chiuso come mostrato in figura Si ha allora

che

(1)

Per determinare ε osserviamo che lrsquoangolo β angolo formato dalla orizzontale e la normale

alla superficie di scorrimento egrave pari a

β=90 -α e che si ha β +ϕ+ε + 90 = 180 e quindi ε = 90 ndash ϕ - β

ε= 90 ndashϕ ndash (90 ndash α) = α-ϕ pertanto si ha

(2)

19

at KhS 2

2

1

Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato

dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno

Sostituendo nella (2) si ha

gghS t tan90tan2

1 2 (3)

Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il

valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che

la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia

2

90

2

90

sostituendo nella (3) si ha

2

90tan

2

9090tan

2

1 2

gghS t

2

90tan

2

90tan

2

1 2

gghS t

2

90tan

2

1 22 ghS t

Se indichiamo con

2

90tan 2

gKa si ha

Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno

Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro

δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la

parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente

2

2

2

1

CosCos

SenSenCosCos

CosK a

I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e

parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella

Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254

36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129

90tan2

190tan

2

1

2

2hhhPhBC

P ttt

20

142 - Metodo grafico di Poncelet

Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla

orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro

dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo

dellrsquoaltezza

Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura

Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le

seguenti operazioni

1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C

2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da

punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di

direzione

3 ndash si traccia il semicerchio A-C

4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il

semicerchio nel punto G

5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C

6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione

7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C

Il valore della spinta S saragrave 2

tnJS

J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno

21

143 - Diagramma delle pressioni

Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il

terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo

calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello

stesso ossia ha un andamento triangolare

come mostrato in figura

La spinta essendo la somma di tutte queste

pressioni egrave anche larea del triangolo delle

pressioni e poichegrave la risultante di tali

pressioni deve essere applicata nel

baricentro del triangolo la essa egrave appunto

applicata ad un terzo dellaltezza h dove si

trova il baricentro del triangolo Se

vogliamo calcolare la pressione massima

calcoliamo prima larea del triangolo area

che egrave uguale alla spinta S

quindi da essa calcoliamo la pressione massima

Questa formula ci saragrave utile inseguito

144 - Spinta del terreno con sovraccarico

Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento

della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza

di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro

Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al

carico distribuito si ha

Qh e quindi

Qh

22

Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro

che ha una forma trapezoidale

La spinta egrave pari allarea del

trapezio

Occorre calcolare le pressioni

massima e minima

Noi sappiamo calcolare la

spinta che agirebbe su un muro

di altezza h+h indichiamola

con S

at KhhS 2)(2

1

Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla

per calcolare Pmax

semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra

triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo

calcolare la spinta sul muro

essendo

Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno

e quello del sovraccarico

percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e

la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al

terreno ST saragrave sempre applicata ad

mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre

applicata ad

23

2632103182

1 2 KNS at KhS 2

2

1

Esercizio svolto N 1

Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg

coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300

Svolgimento

2

90tan 2

gKa

= 032

Esercizi modulo 1

Esercizio N 1

Data la fondazione in figura calcolare il carico limite

1=19 KN 2=20 KN

a=12 m b=20 m

Esercizio N 2

Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula

gghS t tan90tan2

1 2

facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2

90

Dati

ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN

24

Esercizio N 3

Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno

inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale

Esercizio N 4

Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet

Esercizio N 5

Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione

25

2 - I Muri di sostegno

21 - Generalitagrave

I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni

Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che

in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato

I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia

in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria

resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave

La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di

modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale

o a parallelogramma inclinato verso il terreno

Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls

I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri

sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di

collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate

separati

Muro in ca con suola di monte e di valle

di lunghezza paragonabili

26

Muro con suola a monte molto larga e suola a valle

quasi assente

Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile

invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve

essere necessaria la situazione opposta ossia suola a

valle estesa e suola a monte quasi assente In questo

tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave

viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di

monte

Muri a contrafforti interni

Si usano per altezze importanti I contrafforti

possono essere entro terra come lrsquoesempio in

figura o fuori terra ossia allrsquoesterno

Muro a mensola con sbalzo a monte

Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a

soddisfare la verifica a scorrimento

Muro con contrafforti esterni

Muro a gabbioni

27

22 - Azioni statiche sul muro

Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che

agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono

Peso proprio del muro diviso per

comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf

Spinta del terreno ST scomposta nelle

sue componenti orizzontali e verticali

rispettivamente STO ed STV

Nel caso sia presente il carico variabile

bisogneragrave considerare anche la spinta

dovuta al carico variabile SQ scomposta

nelle sue componenti orizzontali e

verticali rispettivamente SQO ed SQV

Peso del terreno sulla fondazione Pt

Calcolo delle azioni statiche

Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente

Pesi del muro

cmHBP 11

Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3

cmHBP 22

2

1

cfff HBP

dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2

Peso del terreno insistente sul dente di fondazione

tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno

Spinta statica del terreno

atT KhS 2

2

1

Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico

aQ KhQS

Dove

h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro

28

2

90tan2

aK

Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di

terremoto

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno

Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico

aranno

Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3

2

Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e

trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula

seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno

In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene

considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati

sarebbero ancora maggiori

29

23 - Verifiche

Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A

tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta

ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione

Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono

un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia

percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova

indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure

1 2 3 4

1) Muro e fondazione scivolano insieme

2) Il muro scivola sulla fondazione

3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme

4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione

Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di

fondazione

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a ribaltamento del solo muro

Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la

verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a

scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta

va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

30

Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si

esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)

(EQU+M2+R2)

Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a

scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1

09 1 1

Sfavorevole 11 13 1

Permanenti non strutturali1 Favorevole

γG2

08 08 08

Sfavorevole 15 15 13

Varabili Favorevole

γG1

0 0 0

Sfavorevole 15 15 13

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la

spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA

QUALE APPLICARE IL

COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1) (M2)

Tangente dellrsquoangolo di

resistenza al taglio Tan φ

γφ 1 125

Coesione efficace crsquo γc 1 125

Resistenza non drenata cuk γcu 1 14

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14

31

2

2

1THKatS

231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le

forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza

che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza

di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che

dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale

coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula

fa = tang φ

con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito

tra terreno e fondazione Il suo valore

puograve essere assunto le a φ

Ricordiamo che lapproccio di verifica

egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che

prevede i coefficienti M1 pari a 1

pertanto i parametri di resistenza non

vanno ridotti

Calcolo della spinta statica

Essa dipende dallangolo di attrito del terreno

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno

CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno

SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno

CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

Per lrsquoangolo δ si puograve assumere

Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il

relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al

solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va

moltiplicato per γQ

32

Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da

Per φ puograve essere assunto un valore pari a

La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso

abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta

QVTOoE SSFR

Per la verifica deve risultare

Esercizio svolto 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =

020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =

900 daNmq

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +

fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali

costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della

spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)

La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che

nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave

proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura

delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con

la formula

fa = tang φ con φ

si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione

Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e

riportati nella tabella precedente colonna A1

Carichi Effetto Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole γG1 =1

Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1

Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0

Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13

Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15

33

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA QUALE

APPLICARE IL COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1)

Tangente dellrsquoangolo di resistenza

al taglio Tan φ

γφ 1

Coesione efficace crsquo γc 1

Resistenza non drenata cuk γcu 1

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3)

Capacitagrave portante della fondazione 14

Scorrimento 11

Ribaltamento 115

Resistenza del terreno a valle 14

Calcolo del peso proprio del muro

7605400200380011 daNHBP cm

daNHBP cm 160240020036002

1

2

122

daNHBP cfff 59224002600801

Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione

daNHDPt tm 080180010032001

Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo

si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297

Calcolo della spinta dovuta al solo terreno

daNKhS atT 4643297060318002

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 3255 daN

= 1185 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

= 904 daN

= 309 daN

Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno

daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121

34

daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

35

2

1 2

mT HKatS

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione

Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in

calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va

eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono

collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche

La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla

fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il

coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno

applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica

La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione

La formula di verifica egrave la seguente

dove

Somma di tutte le forze orizzontali

Esercizio svolto 2

Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione

Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Calcolo della spinta dovuta al terreno

dNKhS amt 4062297000380012

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 823 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

36

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

19

at KhS 2

2

1

Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato

dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno

Sostituendo nella (2) si ha

gghS t tan90tan2

1 2 (3)

Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il

valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che

la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia

2

90

2

90

sostituendo nella (3) si ha

2

90tan

2

9090tan

2

1 2

gghS t

2

90tan

2

90tan

2

1 2

gghS t

2

90tan

2

1 22 ghS t

Se indichiamo con

2

90tan 2

gKa si ha

Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno

Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro

δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la

parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente

2

2

2

1

CosCos

SenSenCosCos

CosK a

I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e

parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella

Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254

36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129

90tan2

190tan

2

1

2

2hhhPhBC

P ttt

20

142 - Metodo grafico di Poncelet

Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla

orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro

dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo

dellrsquoaltezza

Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura

Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le

seguenti operazioni

1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C

2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da

punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di

direzione

3 ndash si traccia il semicerchio A-C

4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il

semicerchio nel punto G

5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C

6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione

7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C

Il valore della spinta S saragrave 2

tnJS

J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno

21

143 - Diagramma delle pressioni

Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il

terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo

calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello

stesso ossia ha un andamento triangolare

come mostrato in figura

La spinta essendo la somma di tutte queste

pressioni egrave anche larea del triangolo delle

pressioni e poichegrave la risultante di tali

pressioni deve essere applicata nel

baricentro del triangolo la essa egrave appunto

applicata ad un terzo dellaltezza h dove si

trova il baricentro del triangolo Se

vogliamo calcolare la pressione massima

calcoliamo prima larea del triangolo area

che egrave uguale alla spinta S

quindi da essa calcoliamo la pressione massima

Questa formula ci saragrave utile inseguito

144 - Spinta del terreno con sovraccarico

Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento

della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza

di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro

Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al

carico distribuito si ha

Qh e quindi

Qh

22

Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro

che ha una forma trapezoidale

La spinta egrave pari allarea del

trapezio

Occorre calcolare le pressioni

massima e minima

Noi sappiamo calcolare la

spinta che agirebbe su un muro

di altezza h+h indichiamola

con S

at KhhS 2)(2

1

Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla

per calcolare Pmax

semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra

triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo

calcolare la spinta sul muro

essendo

Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno

e quello del sovraccarico

percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e

la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al

terreno ST saragrave sempre applicata ad

mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre

applicata ad

23

2632103182

1 2 KNS at KhS 2

2

1

Esercizio svolto N 1

Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg

coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300

Svolgimento

2

90tan 2

gKa

= 032

Esercizi modulo 1

Esercizio N 1

Data la fondazione in figura calcolare il carico limite

1=19 KN 2=20 KN

a=12 m b=20 m

Esercizio N 2

Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula

gghS t tan90tan2

1 2

facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2

90

Dati

ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN

24

Esercizio N 3

Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno

inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale

Esercizio N 4

Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet

Esercizio N 5

Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione

25

2 - I Muri di sostegno

21 - Generalitagrave

I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni

Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che

in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato

I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia

in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria

resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave

La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di

modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale

o a parallelogramma inclinato verso il terreno

Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls

I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri

sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di

collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate

separati

Muro in ca con suola di monte e di valle

di lunghezza paragonabili

26

Muro con suola a monte molto larga e suola a valle

quasi assente

Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile

invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve

essere necessaria la situazione opposta ossia suola a

valle estesa e suola a monte quasi assente In questo

tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave

viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di

monte

Muri a contrafforti interni

Si usano per altezze importanti I contrafforti

possono essere entro terra come lrsquoesempio in

figura o fuori terra ossia allrsquoesterno

Muro a mensola con sbalzo a monte

Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a

soddisfare la verifica a scorrimento

Muro con contrafforti esterni

Muro a gabbioni

27

22 - Azioni statiche sul muro

Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che

agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono

Peso proprio del muro diviso per

comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf

Spinta del terreno ST scomposta nelle

sue componenti orizzontali e verticali

rispettivamente STO ed STV

Nel caso sia presente il carico variabile

bisogneragrave considerare anche la spinta

dovuta al carico variabile SQ scomposta

nelle sue componenti orizzontali e

verticali rispettivamente SQO ed SQV

Peso del terreno sulla fondazione Pt

Calcolo delle azioni statiche

Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente

Pesi del muro

cmHBP 11

Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3

cmHBP 22

2

1

cfff HBP

dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2

Peso del terreno insistente sul dente di fondazione

tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno

Spinta statica del terreno

atT KhS 2

2

1

Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico

aQ KhQS

Dove

h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro

28

2

90tan2

aK

Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di

terremoto

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno

Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico

aranno

Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3

2

Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e

trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula

seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno

In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene

considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati

sarebbero ancora maggiori

29

23 - Verifiche

Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A

tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta

ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione

Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono

un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia

percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova

indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure

1 2 3 4

1) Muro e fondazione scivolano insieme

2) Il muro scivola sulla fondazione

3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme

4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione

Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di

fondazione

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a ribaltamento del solo muro

Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la

verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a

scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta

va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

30

Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si

esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)

(EQU+M2+R2)

Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a

scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1

09 1 1

Sfavorevole 11 13 1

Permanenti non strutturali1 Favorevole

γG2

08 08 08

Sfavorevole 15 15 13

Varabili Favorevole

γG1

0 0 0

Sfavorevole 15 15 13

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la

spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA

QUALE APPLICARE IL

COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1) (M2)

Tangente dellrsquoangolo di

resistenza al taglio Tan φ

γφ 1 125

Coesione efficace crsquo γc 1 125

Resistenza non drenata cuk γcu 1 14

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14

31

2

2

1THKatS

231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le

forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza

che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza

di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che

dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale

coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula

fa = tang φ

con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito

tra terreno e fondazione Il suo valore

puograve essere assunto le a φ

Ricordiamo che lapproccio di verifica

egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che

prevede i coefficienti M1 pari a 1

pertanto i parametri di resistenza non

vanno ridotti

Calcolo della spinta statica

Essa dipende dallangolo di attrito del terreno

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno

CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno

SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno

CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

Per lrsquoangolo δ si puograve assumere

Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il

relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al

solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va

moltiplicato per γQ

32

Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da

Per φ puograve essere assunto un valore pari a

La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso

abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta

QVTOoE SSFR

Per la verifica deve risultare

Esercizio svolto 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =

020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =

900 daNmq

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +

fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali

costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della

spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)

La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che

nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave

proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura

delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con

la formula

fa = tang φ con φ

si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione

Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e

riportati nella tabella precedente colonna A1

Carichi Effetto Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole γG1 =1

Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1

Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0

Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13

Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15

33

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA QUALE

APPLICARE IL COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1)

Tangente dellrsquoangolo di resistenza

al taglio Tan φ

γφ 1

Coesione efficace crsquo γc 1

Resistenza non drenata cuk γcu 1

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3)

Capacitagrave portante della fondazione 14

Scorrimento 11

Ribaltamento 115

Resistenza del terreno a valle 14

Calcolo del peso proprio del muro

7605400200380011 daNHBP cm

daNHBP cm 160240020036002

1

2

122

daNHBP cfff 59224002600801

Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione

daNHDPt tm 080180010032001

Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo

si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297

Calcolo della spinta dovuta al solo terreno

daNKhS atT 4643297060318002

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 3255 daN

= 1185 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

= 904 daN

= 309 daN

Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno

daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121

34

daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

35

2

1 2

mT HKatS

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione

Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in

calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va

eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono

collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche

La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla

fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il

coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno

applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica

La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione

La formula di verifica egrave la seguente

dove

Somma di tutte le forze orizzontali

Esercizio svolto 2

Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione

Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Calcolo della spinta dovuta al terreno

dNKhS amt 4062297000380012

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 823 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

36

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

20

142 - Metodo grafico di Poncelet

Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla

orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro

dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo

dellrsquoaltezza

Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura

Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le

seguenti operazioni

1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C

2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da

punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di

direzione

3 ndash si traccia il semicerchio A-C

4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il

semicerchio nel punto G

5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C

6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione

7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C

Il valore della spinta S saragrave 2

tnJS

J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno

21

143 - Diagramma delle pressioni

Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il

terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo

calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello

stesso ossia ha un andamento triangolare

come mostrato in figura

La spinta essendo la somma di tutte queste

pressioni egrave anche larea del triangolo delle

pressioni e poichegrave la risultante di tali

pressioni deve essere applicata nel

baricentro del triangolo la essa egrave appunto

applicata ad un terzo dellaltezza h dove si

trova il baricentro del triangolo Se

vogliamo calcolare la pressione massima

calcoliamo prima larea del triangolo area

che egrave uguale alla spinta S

quindi da essa calcoliamo la pressione massima

Questa formula ci saragrave utile inseguito

144 - Spinta del terreno con sovraccarico

Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento

della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza

di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro

Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al

carico distribuito si ha

Qh e quindi

Qh

22

Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro

che ha una forma trapezoidale

La spinta egrave pari allarea del

trapezio

Occorre calcolare le pressioni

massima e minima

Noi sappiamo calcolare la

spinta che agirebbe su un muro

di altezza h+h indichiamola

con S

at KhhS 2)(2

1

Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla

per calcolare Pmax

semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra

triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo

calcolare la spinta sul muro

essendo

Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno

e quello del sovraccarico

percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e

la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al

terreno ST saragrave sempre applicata ad

mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre

applicata ad

23

2632103182

1 2 KNS at KhS 2

2

1

Esercizio svolto N 1

Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg

coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300

Svolgimento

2

90tan 2

gKa

= 032

Esercizi modulo 1

Esercizio N 1

Data la fondazione in figura calcolare il carico limite

1=19 KN 2=20 KN

a=12 m b=20 m

Esercizio N 2

Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula

gghS t tan90tan2

1 2

facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2

90

Dati

ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN

24

Esercizio N 3

Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno

inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale

Esercizio N 4

Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet

Esercizio N 5

Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione

25

2 - I Muri di sostegno

21 - Generalitagrave

I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni

Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che

in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato

I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia

in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria

resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave

La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di

modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale

o a parallelogramma inclinato verso il terreno

Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls

I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri

sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di

collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate

separati

Muro in ca con suola di monte e di valle

di lunghezza paragonabili

26

Muro con suola a monte molto larga e suola a valle

quasi assente

Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile

invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve

essere necessaria la situazione opposta ossia suola a

valle estesa e suola a monte quasi assente In questo

tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave

viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di

monte

Muri a contrafforti interni

Si usano per altezze importanti I contrafforti

possono essere entro terra come lrsquoesempio in

figura o fuori terra ossia allrsquoesterno

Muro a mensola con sbalzo a monte

Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a

soddisfare la verifica a scorrimento

Muro con contrafforti esterni

Muro a gabbioni

27

22 - Azioni statiche sul muro

Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che

agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono

Peso proprio del muro diviso per

comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf

Spinta del terreno ST scomposta nelle

sue componenti orizzontali e verticali

rispettivamente STO ed STV

Nel caso sia presente il carico variabile

bisogneragrave considerare anche la spinta

dovuta al carico variabile SQ scomposta

nelle sue componenti orizzontali e

verticali rispettivamente SQO ed SQV

Peso del terreno sulla fondazione Pt

Calcolo delle azioni statiche

Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente

Pesi del muro

cmHBP 11

Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3

cmHBP 22

2

1

cfff HBP

dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2

Peso del terreno insistente sul dente di fondazione

tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno

Spinta statica del terreno

atT KhS 2

2

1

Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico

aQ KhQS

Dove

h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro

28

2

90tan2

aK

Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di

terremoto

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno

Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico

aranno

Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3

2

Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e

trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula

seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno

In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene

considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati

sarebbero ancora maggiori

29

23 - Verifiche

Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A

tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta

ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione

Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono

un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia

percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova

indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure

1 2 3 4

1) Muro e fondazione scivolano insieme

2) Il muro scivola sulla fondazione

3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme

4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione

Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di

fondazione

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a ribaltamento del solo muro

Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la

verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a

scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta

va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

30

Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si

esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)

(EQU+M2+R2)

Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a

scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1

09 1 1

Sfavorevole 11 13 1

Permanenti non strutturali1 Favorevole

γG2

08 08 08

Sfavorevole 15 15 13

Varabili Favorevole

γG1

0 0 0

Sfavorevole 15 15 13

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la

spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA

QUALE APPLICARE IL

COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1) (M2)

Tangente dellrsquoangolo di

resistenza al taglio Tan φ

γφ 1 125

Coesione efficace crsquo γc 1 125

Resistenza non drenata cuk γcu 1 14

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14

31

2

2

1THKatS

231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le

forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza

che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza

di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che

dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale

coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula

fa = tang φ

con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito

tra terreno e fondazione Il suo valore

puograve essere assunto le a φ

Ricordiamo che lapproccio di verifica

egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che

prevede i coefficienti M1 pari a 1

pertanto i parametri di resistenza non

vanno ridotti

Calcolo della spinta statica

Essa dipende dallangolo di attrito del terreno

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno

CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno

SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno

CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

Per lrsquoangolo δ si puograve assumere

Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il

relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al

solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va

moltiplicato per γQ

32

Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da

Per φ puograve essere assunto un valore pari a

La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso

abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta

QVTOoE SSFR

Per la verifica deve risultare

Esercizio svolto 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =

020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =

900 daNmq

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +

fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali

costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della

spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)

La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che

nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave

proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura

delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con

la formula

fa = tang φ con φ

si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione

Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e

riportati nella tabella precedente colonna A1

Carichi Effetto Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole γG1 =1

Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1

Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0

Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13

Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15

33

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA QUALE

APPLICARE IL COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1)

Tangente dellrsquoangolo di resistenza

al taglio Tan φ

γφ 1

Coesione efficace crsquo γc 1

Resistenza non drenata cuk γcu 1

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3)

Capacitagrave portante della fondazione 14

Scorrimento 11

Ribaltamento 115

Resistenza del terreno a valle 14

Calcolo del peso proprio del muro

7605400200380011 daNHBP cm

daNHBP cm 160240020036002

1

2

122

daNHBP cfff 59224002600801

Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione

daNHDPt tm 080180010032001

Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo

si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297

Calcolo della spinta dovuta al solo terreno

daNKhS atT 4643297060318002

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 3255 daN

= 1185 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

= 904 daN

= 309 daN

Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno

daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121

34

daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

35

2

1 2

mT HKatS

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione

Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in

calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va

eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono

collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche

La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla

fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il

coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno

applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica

La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione

La formula di verifica egrave la seguente

dove

Somma di tutte le forze orizzontali

Esercizio svolto 2

Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione

Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Calcolo della spinta dovuta al terreno

dNKhS amt 4062297000380012

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 823 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

36

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

21

143 - Diagramma delle pressioni

Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il

terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo

calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello

stesso ossia ha un andamento triangolare

come mostrato in figura

La spinta essendo la somma di tutte queste

pressioni egrave anche larea del triangolo delle

pressioni e poichegrave la risultante di tali

pressioni deve essere applicata nel

baricentro del triangolo la essa egrave appunto

applicata ad un terzo dellaltezza h dove si

trova il baricentro del triangolo Se

vogliamo calcolare la pressione massima

calcoliamo prima larea del triangolo area

che egrave uguale alla spinta S

quindi da essa calcoliamo la pressione massima

Questa formula ci saragrave utile inseguito

144 - Spinta del terreno con sovraccarico

Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento

della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza

di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro

Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al

carico distribuito si ha

Qh e quindi

Qh

22

Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro

che ha una forma trapezoidale

La spinta egrave pari allarea del

trapezio

Occorre calcolare le pressioni

massima e minima

Noi sappiamo calcolare la

spinta che agirebbe su un muro

di altezza h+h indichiamola

con S

at KhhS 2)(2

1

Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla

per calcolare Pmax

semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra

triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo

calcolare la spinta sul muro

essendo

Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno

e quello del sovraccarico

percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e

la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al

terreno ST saragrave sempre applicata ad

mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre

applicata ad

23

2632103182

1 2 KNS at KhS 2

2

1

Esercizio svolto N 1

Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg

coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300

Svolgimento

2

90tan 2

gKa

= 032

Esercizi modulo 1

Esercizio N 1

Data la fondazione in figura calcolare il carico limite

1=19 KN 2=20 KN

a=12 m b=20 m

Esercizio N 2

Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula

gghS t tan90tan2

1 2

facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2

90

Dati

ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN

24

Esercizio N 3

Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno

inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale

Esercizio N 4

Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet

Esercizio N 5

Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione

25

2 - I Muri di sostegno

21 - Generalitagrave

I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni

Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che

in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato

I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia

in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria

resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave

La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di

modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale

o a parallelogramma inclinato verso il terreno

Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls

I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri

sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di

collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate

separati

Muro in ca con suola di monte e di valle

di lunghezza paragonabili

26

Muro con suola a monte molto larga e suola a valle

quasi assente

Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile

invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve

essere necessaria la situazione opposta ossia suola a

valle estesa e suola a monte quasi assente In questo

tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave

viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di

monte

Muri a contrafforti interni

Si usano per altezze importanti I contrafforti

possono essere entro terra come lrsquoesempio in

figura o fuori terra ossia allrsquoesterno

Muro a mensola con sbalzo a monte

Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a

soddisfare la verifica a scorrimento

Muro con contrafforti esterni

Muro a gabbioni

27

22 - Azioni statiche sul muro

Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che

agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono

Peso proprio del muro diviso per

comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf

Spinta del terreno ST scomposta nelle

sue componenti orizzontali e verticali

rispettivamente STO ed STV

Nel caso sia presente il carico variabile

bisogneragrave considerare anche la spinta

dovuta al carico variabile SQ scomposta

nelle sue componenti orizzontali e

verticali rispettivamente SQO ed SQV

Peso del terreno sulla fondazione Pt

Calcolo delle azioni statiche

Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente

Pesi del muro

cmHBP 11

Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3

cmHBP 22

2

1

cfff HBP

dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2

Peso del terreno insistente sul dente di fondazione

tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno

Spinta statica del terreno

atT KhS 2

2

1

Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico

aQ KhQS

Dove

h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro

28

2

90tan2

aK

Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di

terremoto

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno

Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico

aranno

Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3

2

Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e

trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula

seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno

In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene

considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati

sarebbero ancora maggiori

29

23 - Verifiche

Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A

tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta

ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione

Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono

un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia

percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova

indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure

1 2 3 4

1) Muro e fondazione scivolano insieme

2) Il muro scivola sulla fondazione

3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme

4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione

Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di

fondazione

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a ribaltamento del solo muro

Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la

verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a

scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta

va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

30

Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si

esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)

(EQU+M2+R2)

Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a

scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1

09 1 1

Sfavorevole 11 13 1

Permanenti non strutturali1 Favorevole

γG2

08 08 08

Sfavorevole 15 15 13

Varabili Favorevole

γG1

0 0 0

Sfavorevole 15 15 13

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la

spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA

QUALE APPLICARE IL

COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1) (M2)

Tangente dellrsquoangolo di

resistenza al taglio Tan φ

γφ 1 125

Coesione efficace crsquo γc 1 125

Resistenza non drenata cuk γcu 1 14

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14

31

2

2

1THKatS

231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le

forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza

che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza

di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che

dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale

coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula

fa = tang φ

con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito

tra terreno e fondazione Il suo valore

puograve essere assunto le a φ

Ricordiamo che lapproccio di verifica

egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che

prevede i coefficienti M1 pari a 1

pertanto i parametri di resistenza non

vanno ridotti

Calcolo della spinta statica

Essa dipende dallangolo di attrito del terreno

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno

CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno

SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno

CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

Per lrsquoangolo δ si puograve assumere

Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il

relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al

solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va

moltiplicato per γQ

32

Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da

Per φ puograve essere assunto un valore pari a

La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso

abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta

QVTOoE SSFR

Per la verifica deve risultare

Esercizio svolto 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =

020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =

900 daNmq

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +

fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali

costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della

spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)

La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che

nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave

proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura

delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con

la formula

fa = tang φ con φ

si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione

Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e

riportati nella tabella precedente colonna A1

Carichi Effetto Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole γG1 =1

Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1

Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0

Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13

Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15

33

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA QUALE

APPLICARE IL COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1)

Tangente dellrsquoangolo di resistenza

al taglio Tan φ

γφ 1

Coesione efficace crsquo γc 1

Resistenza non drenata cuk γcu 1

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3)

Capacitagrave portante della fondazione 14

Scorrimento 11

Ribaltamento 115

Resistenza del terreno a valle 14

Calcolo del peso proprio del muro

7605400200380011 daNHBP cm

daNHBP cm 160240020036002

1

2

122

daNHBP cfff 59224002600801

Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione

daNHDPt tm 080180010032001

Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo

si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297

Calcolo della spinta dovuta al solo terreno

daNKhS atT 4643297060318002

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 3255 daN

= 1185 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

= 904 daN

= 309 daN

Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno

daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121

34

daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

35

2

1 2

mT HKatS

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione

Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in

calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va

eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono

collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche

La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla

fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il

coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno

applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica

La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione

La formula di verifica egrave la seguente

dove

Somma di tutte le forze orizzontali

Esercizio svolto 2

Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione

Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Calcolo della spinta dovuta al terreno

dNKhS amt 4062297000380012

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 823 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

36

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

22

Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro

che ha una forma trapezoidale

La spinta egrave pari allarea del

trapezio

Occorre calcolare le pressioni

massima e minima

Noi sappiamo calcolare la

spinta che agirebbe su un muro

di altezza h+h indichiamola

con S

at KhhS 2)(2

1

Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla

per calcolare Pmax

semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra

triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo

calcolare la spinta sul muro

essendo

Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno

e quello del sovraccarico

percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e

la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al

terreno ST saragrave sempre applicata ad

mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre

applicata ad

23

2632103182

1 2 KNS at KhS 2

2

1

Esercizio svolto N 1

Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg

coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300

Svolgimento

2

90tan 2

gKa

= 032

Esercizi modulo 1

Esercizio N 1

Data la fondazione in figura calcolare il carico limite

1=19 KN 2=20 KN

a=12 m b=20 m

Esercizio N 2

Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula

gghS t tan90tan2

1 2

facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2

90

Dati

ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN

24

Esercizio N 3

Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno

inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale

Esercizio N 4

Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet

Esercizio N 5

Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione

25

2 - I Muri di sostegno

21 - Generalitagrave

I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni

Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che

in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato

I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia

in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria

resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave

La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di

modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale

o a parallelogramma inclinato verso il terreno

Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls

I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri

sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di

collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate

separati

Muro in ca con suola di monte e di valle

di lunghezza paragonabili

26

Muro con suola a monte molto larga e suola a valle

quasi assente

Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile

invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve

essere necessaria la situazione opposta ossia suola a

valle estesa e suola a monte quasi assente In questo

tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave

viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di

monte

Muri a contrafforti interni

Si usano per altezze importanti I contrafforti

possono essere entro terra come lrsquoesempio in

figura o fuori terra ossia allrsquoesterno

Muro a mensola con sbalzo a monte

Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a

soddisfare la verifica a scorrimento

Muro con contrafforti esterni

Muro a gabbioni

27

22 - Azioni statiche sul muro

Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che

agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono

Peso proprio del muro diviso per

comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf

Spinta del terreno ST scomposta nelle

sue componenti orizzontali e verticali

rispettivamente STO ed STV

Nel caso sia presente il carico variabile

bisogneragrave considerare anche la spinta

dovuta al carico variabile SQ scomposta

nelle sue componenti orizzontali e

verticali rispettivamente SQO ed SQV

Peso del terreno sulla fondazione Pt

Calcolo delle azioni statiche

Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente

Pesi del muro

cmHBP 11

Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3

cmHBP 22

2

1

cfff HBP

dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2

Peso del terreno insistente sul dente di fondazione

tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno

Spinta statica del terreno

atT KhS 2

2

1

Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico

aQ KhQS

Dove

h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro

28

2

90tan2

aK

Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di

terremoto

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno

Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico

aranno

Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3

2

Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e

trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula

seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno

In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene

considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati

sarebbero ancora maggiori

29

23 - Verifiche

Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A

tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta

ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione

Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono

un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia

percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova

indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure

1 2 3 4

1) Muro e fondazione scivolano insieme

2) Il muro scivola sulla fondazione

3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme

4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione

Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di

fondazione

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a ribaltamento del solo muro

Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la

verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a

scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta

va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

30

Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si

esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)

(EQU+M2+R2)

Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a

scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1

09 1 1

Sfavorevole 11 13 1

Permanenti non strutturali1 Favorevole

γG2

08 08 08

Sfavorevole 15 15 13

Varabili Favorevole

γG1

0 0 0

Sfavorevole 15 15 13

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la

spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA

QUALE APPLICARE IL

COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1) (M2)

Tangente dellrsquoangolo di

resistenza al taglio Tan φ

γφ 1 125

Coesione efficace crsquo γc 1 125

Resistenza non drenata cuk γcu 1 14

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14

31

2

2

1THKatS

231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le

forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza

che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza

di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che

dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale

coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula

fa = tang φ

con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito

tra terreno e fondazione Il suo valore

puograve essere assunto le a φ

Ricordiamo che lapproccio di verifica

egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che

prevede i coefficienti M1 pari a 1

pertanto i parametri di resistenza non

vanno ridotti

Calcolo della spinta statica

Essa dipende dallangolo di attrito del terreno

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno

CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno

SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno

CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

Per lrsquoangolo δ si puograve assumere

Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il

relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al

solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va

moltiplicato per γQ

32

Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da

Per φ puograve essere assunto un valore pari a

La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso

abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta

QVTOoE SSFR

Per la verifica deve risultare

Esercizio svolto 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =

020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =

900 daNmq

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +

fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali

costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della

spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)

La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che

nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave

proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura

delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con

la formula

fa = tang φ con φ

si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione

Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e

riportati nella tabella precedente colonna A1

Carichi Effetto Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole γG1 =1

Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1

Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0

Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13

Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15

33

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA QUALE

APPLICARE IL COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1)

Tangente dellrsquoangolo di resistenza

al taglio Tan φ

γφ 1

Coesione efficace crsquo γc 1

Resistenza non drenata cuk γcu 1

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3)

Capacitagrave portante della fondazione 14

Scorrimento 11

Ribaltamento 115

Resistenza del terreno a valle 14

Calcolo del peso proprio del muro

7605400200380011 daNHBP cm

daNHBP cm 160240020036002

1

2

122

daNHBP cfff 59224002600801

Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione

daNHDPt tm 080180010032001

Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo

si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297

Calcolo della spinta dovuta al solo terreno

daNKhS atT 4643297060318002

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 3255 daN

= 1185 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

= 904 daN

= 309 daN

Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno

daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121

34

daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

35

2

1 2

mT HKatS

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione

Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in

calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va

eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono

collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche

La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla

fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il

coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno

applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica

La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione

La formula di verifica egrave la seguente

dove

Somma di tutte le forze orizzontali

Esercizio svolto 2

Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione

Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Calcolo della spinta dovuta al terreno

dNKhS amt 4062297000380012

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 823 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

36

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

23

2632103182

1 2 KNS at KhS 2

2

1

Esercizio svolto N 1

Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg

coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300

Svolgimento

2

90tan 2

gKa

= 032

Esercizi modulo 1

Esercizio N 1

Data la fondazione in figura calcolare il carico limite

1=19 KN 2=20 KN

a=12 m b=20 m

Esercizio N 2

Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula

gghS t tan90tan2

1 2

facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2

90

Dati

ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN

24

Esercizio N 3

Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno

inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale

Esercizio N 4

Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet

Esercizio N 5

Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione

25

2 - I Muri di sostegno

21 - Generalitagrave

I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni

Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che

in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato

I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia

in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria

resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave

La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di

modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale

o a parallelogramma inclinato verso il terreno

Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls

I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri

sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di

collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate

separati

Muro in ca con suola di monte e di valle

di lunghezza paragonabili

26

Muro con suola a monte molto larga e suola a valle

quasi assente

Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile

invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve

essere necessaria la situazione opposta ossia suola a

valle estesa e suola a monte quasi assente In questo

tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave

viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di

monte

Muri a contrafforti interni

Si usano per altezze importanti I contrafforti

possono essere entro terra come lrsquoesempio in

figura o fuori terra ossia allrsquoesterno

Muro a mensola con sbalzo a monte

Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a

soddisfare la verifica a scorrimento

Muro con contrafforti esterni

Muro a gabbioni

27

22 - Azioni statiche sul muro

Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che

agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono

Peso proprio del muro diviso per

comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf

Spinta del terreno ST scomposta nelle

sue componenti orizzontali e verticali

rispettivamente STO ed STV

Nel caso sia presente il carico variabile

bisogneragrave considerare anche la spinta

dovuta al carico variabile SQ scomposta

nelle sue componenti orizzontali e

verticali rispettivamente SQO ed SQV

Peso del terreno sulla fondazione Pt

Calcolo delle azioni statiche

Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente

Pesi del muro

cmHBP 11

Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3

cmHBP 22

2

1

cfff HBP

dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2

Peso del terreno insistente sul dente di fondazione

tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno

Spinta statica del terreno

atT KhS 2

2

1

Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico

aQ KhQS

Dove

h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro

28

2

90tan2

aK

Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di

terremoto

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno

Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico

aranno

Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3

2

Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e

trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula

seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno

In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene

considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati

sarebbero ancora maggiori

29

23 - Verifiche

Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A

tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta

ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione

Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono

un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia

percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova

indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure

1 2 3 4

1) Muro e fondazione scivolano insieme

2) Il muro scivola sulla fondazione

3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme

4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione

Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di

fondazione

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a ribaltamento del solo muro

Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la

verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a

scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta

va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

30

Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si

esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)

(EQU+M2+R2)

Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a

scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1

09 1 1

Sfavorevole 11 13 1

Permanenti non strutturali1 Favorevole

γG2

08 08 08

Sfavorevole 15 15 13

Varabili Favorevole

γG1

0 0 0

Sfavorevole 15 15 13

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la

spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA

QUALE APPLICARE IL

COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1) (M2)

Tangente dellrsquoangolo di

resistenza al taglio Tan φ

γφ 1 125

Coesione efficace crsquo γc 1 125

Resistenza non drenata cuk γcu 1 14

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14

31

2

2

1THKatS

231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le

forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza

che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza

di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che

dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale

coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula

fa = tang φ

con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito

tra terreno e fondazione Il suo valore

puograve essere assunto le a φ

Ricordiamo che lapproccio di verifica

egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che

prevede i coefficienti M1 pari a 1

pertanto i parametri di resistenza non

vanno ridotti

Calcolo della spinta statica

Essa dipende dallangolo di attrito del terreno

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno

CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno

SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno

CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

Per lrsquoangolo δ si puograve assumere

Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il

relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al

solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va

moltiplicato per γQ

32

Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da

Per φ puograve essere assunto un valore pari a

La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso

abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta

QVTOoE SSFR

Per la verifica deve risultare

Esercizio svolto 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =

020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =

900 daNmq

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +

fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali

costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della

spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)

La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che

nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave

proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura

delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con

la formula

fa = tang φ con φ

si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione

Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e

riportati nella tabella precedente colonna A1

Carichi Effetto Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole γG1 =1

Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1

Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0

Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13

Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15

33

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA QUALE

APPLICARE IL COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1)

Tangente dellrsquoangolo di resistenza

al taglio Tan φ

γφ 1

Coesione efficace crsquo γc 1

Resistenza non drenata cuk γcu 1

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3)

Capacitagrave portante della fondazione 14

Scorrimento 11

Ribaltamento 115

Resistenza del terreno a valle 14

Calcolo del peso proprio del muro

7605400200380011 daNHBP cm

daNHBP cm 160240020036002

1

2

122

daNHBP cfff 59224002600801

Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione

daNHDPt tm 080180010032001

Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo

si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297

Calcolo della spinta dovuta al solo terreno

daNKhS atT 4643297060318002

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 3255 daN

= 1185 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

= 904 daN

= 309 daN

Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno

daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121

34

daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

35

2

1 2

mT HKatS

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione

Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in

calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va

eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono

collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche

La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla

fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il

coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno

applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica

La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione

La formula di verifica egrave la seguente

dove

Somma di tutte le forze orizzontali

Esercizio svolto 2

Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione

Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Calcolo della spinta dovuta al terreno

dNKhS amt 4062297000380012

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 823 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

36

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

24

Esercizio N 3

Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno

inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale

Esercizio N 4

Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet

Esercizio N 5

Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione

25

2 - I Muri di sostegno

21 - Generalitagrave

I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni

Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che

in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato

I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia

in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria

resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave

La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di

modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale

o a parallelogramma inclinato verso il terreno

Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls

I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri

sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di

collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate

separati

Muro in ca con suola di monte e di valle

di lunghezza paragonabili

26

Muro con suola a monte molto larga e suola a valle

quasi assente

Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile

invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve

essere necessaria la situazione opposta ossia suola a

valle estesa e suola a monte quasi assente In questo

tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave

viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di

monte

Muri a contrafforti interni

Si usano per altezze importanti I contrafforti

possono essere entro terra come lrsquoesempio in

figura o fuori terra ossia allrsquoesterno

Muro a mensola con sbalzo a monte

Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a

soddisfare la verifica a scorrimento

Muro con contrafforti esterni

Muro a gabbioni

27

22 - Azioni statiche sul muro

Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che

agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono

Peso proprio del muro diviso per

comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf

Spinta del terreno ST scomposta nelle

sue componenti orizzontali e verticali

rispettivamente STO ed STV

Nel caso sia presente il carico variabile

bisogneragrave considerare anche la spinta

dovuta al carico variabile SQ scomposta

nelle sue componenti orizzontali e

verticali rispettivamente SQO ed SQV

Peso del terreno sulla fondazione Pt

Calcolo delle azioni statiche

Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente

Pesi del muro

cmHBP 11

Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3

cmHBP 22

2

1

cfff HBP

dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2

Peso del terreno insistente sul dente di fondazione

tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno

Spinta statica del terreno

atT KhS 2

2

1

Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico

aQ KhQS

Dove

h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro

28

2

90tan2

aK

Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di

terremoto

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno

Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico

aranno

Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3

2

Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e

trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula

seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno

In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene

considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati

sarebbero ancora maggiori

29

23 - Verifiche

Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A

tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta

ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione

Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono

un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia

percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova

indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure

1 2 3 4

1) Muro e fondazione scivolano insieme

2) Il muro scivola sulla fondazione

3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme

4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione

Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di

fondazione

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a ribaltamento del solo muro

Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la

verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a

scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta

va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

30

Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si

esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)

(EQU+M2+R2)

Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a

scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1

09 1 1

Sfavorevole 11 13 1

Permanenti non strutturali1 Favorevole

γG2

08 08 08

Sfavorevole 15 15 13

Varabili Favorevole

γG1

0 0 0

Sfavorevole 15 15 13

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la

spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA

QUALE APPLICARE IL

COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1) (M2)

Tangente dellrsquoangolo di

resistenza al taglio Tan φ

γφ 1 125

Coesione efficace crsquo γc 1 125

Resistenza non drenata cuk γcu 1 14

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14

31

2

2

1THKatS

231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le

forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza

che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza

di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che

dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale

coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula

fa = tang φ

con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito

tra terreno e fondazione Il suo valore

puograve essere assunto le a φ

Ricordiamo che lapproccio di verifica

egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che

prevede i coefficienti M1 pari a 1

pertanto i parametri di resistenza non

vanno ridotti

Calcolo della spinta statica

Essa dipende dallangolo di attrito del terreno

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno

CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno

SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno

CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

Per lrsquoangolo δ si puograve assumere

Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il

relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al

solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va

moltiplicato per γQ

32

Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da

Per φ puograve essere assunto un valore pari a

La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso

abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta

QVTOoE SSFR

Per la verifica deve risultare

Esercizio svolto 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =

020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =

900 daNmq

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +

fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali

costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della

spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)

La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che

nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave

proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura

delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con

la formula

fa = tang φ con φ

si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione

Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e

riportati nella tabella precedente colonna A1

Carichi Effetto Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole γG1 =1

Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1

Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0

Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13

Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15

33

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA QUALE

APPLICARE IL COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1)

Tangente dellrsquoangolo di resistenza

al taglio Tan φ

γφ 1

Coesione efficace crsquo γc 1

Resistenza non drenata cuk γcu 1

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3)

Capacitagrave portante della fondazione 14

Scorrimento 11

Ribaltamento 115

Resistenza del terreno a valle 14

Calcolo del peso proprio del muro

7605400200380011 daNHBP cm

daNHBP cm 160240020036002

1

2

122

daNHBP cfff 59224002600801

Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione

daNHDPt tm 080180010032001

Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo

si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297

Calcolo della spinta dovuta al solo terreno

daNKhS atT 4643297060318002

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 3255 daN

= 1185 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

= 904 daN

= 309 daN

Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno

daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121

34

daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

35

2

1 2

mT HKatS

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione

Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in

calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va

eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono

collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche

La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla

fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il

coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno

applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica

La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione

La formula di verifica egrave la seguente

dove

Somma di tutte le forze orizzontali

Esercizio svolto 2

Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione

Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Calcolo della spinta dovuta al terreno

dNKhS amt 4062297000380012

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 823 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

36

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

25

2 - I Muri di sostegno

21 - Generalitagrave

I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni

Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che

in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato

I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia

in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria

resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave

La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di

modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale

o a parallelogramma inclinato verso il terreno

Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls

I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri

sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di

collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate

separati

Muro in ca con suola di monte e di valle

di lunghezza paragonabili

26

Muro con suola a monte molto larga e suola a valle

quasi assente

Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile

invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve

essere necessaria la situazione opposta ossia suola a

valle estesa e suola a monte quasi assente In questo

tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave

viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di

monte

Muri a contrafforti interni

Si usano per altezze importanti I contrafforti

possono essere entro terra come lrsquoesempio in

figura o fuori terra ossia allrsquoesterno

Muro a mensola con sbalzo a monte

Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a

soddisfare la verifica a scorrimento

Muro con contrafforti esterni

Muro a gabbioni

27

22 - Azioni statiche sul muro

Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che

agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono

Peso proprio del muro diviso per

comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf

Spinta del terreno ST scomposta nelle

sue componenti orizzontali e verticali

rispettivamente STO ed STV

Nel caso sia presente il carico variabile

bisogneragrave considerare anche la spinta

dovuta al carico variabile SQ scomposta

nelle sue componenti orizzontali e

verticali rispettivamente SQO ed SQV

Peso del terreno sulla fondazione Pt

Calcolo delle azioni statiche

Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente

Pesi del muro

cmHBP 11

Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3

cmHBP 22

2

1

cfff HBP

dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2

Peso del terreno insistente sul dente di fondazione

tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno

Spinta statica del terreno

atT KhS 2

2

1

Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico

aQ KhQS

Dove

h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro

28

2

90tan2

aK

Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di

terremoto

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno

Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico

aranno

Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3

2

Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e

trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula

seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno

In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene

considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati

sarebbero ancora maggiori

29

23 - Verifiche

Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A

tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta

ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione

Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono

un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia

percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova

indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure

1 2 3 4

1) Muro e fondazione scivolano insieme

2) Il muro scivola sulla fondazione

3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme

4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione

Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di

fondazione

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a ribaltamento del solo muro

Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la

verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a

scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta

va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

30

Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si

esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)

(EQU+M2+R2)

Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a

scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1

09 1 1

Sfavorevole 11 13 1

Permanenti non strutturali1 Favorevole

γG2

08 08 08

Sfavorevole 15 15 13

Varabili Favorevole

γG1

0 0 0

Sfavorevole 15 15 13

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la

spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA

QUALE APPLICARE IL

COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1) (M2)

Tangente dellrsquoangolo di

resistenza al taglio Tan φ

γφ 1 125

Coesione efficace crsquo γc 1 125

Resistenza non drenata cuk γcu 1 14

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14

31

2

2

1THKatS

231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le

forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza

che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza

di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che

dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale

coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula

fa = tang φ

con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito

tra terreno e fondazione Il suo valore

puograve essere assunto le a φ

Ricordiamo che lapproccio di verifica

egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che

prevede i coefficienti M1 pari a 1

pertanto i parametri di resistenza non

vanno ridotti

Calcolo della spinta statica

Essa dipende dallangolo di attrito del terreno

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno

CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno

SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno

CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

Per lrsquoangolo δ si puograve assumere

Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il

relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al

solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va

moltiplicato per γQ

32

Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da

Per φ puograve essere assunto un valore pari a

La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso

abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta

QVTOoE SSFR

Per la verifica deve risultare

Esercizio svolto 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =

020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =

900 daNmq

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +

fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali

costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della

spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)

La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che

nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave

proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura

delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con

la formula

fa = tang φ con φ

si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione

Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e

riportati nella tabella precedente colonna A1

Carichi Effetto Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole γG1 =1

Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1

Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0

Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13

Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15

33

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA QUALE

APPLICARE IL COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1)

Tangente dellrsquoangolo di resistenza

al taglio Tan φ

γφ 1

Coesione efficace crsquo γc 1

Resistenza non drenata cuk γcu 1

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3)

Capacitagrave portante della fondazione 14

Scorrimento 11

Ribaltamento 115

Resistenza del terreno a valle 14

Calcolo del peso proprio del muro

7605400200380011 daNHBP cm

daNHBP cm 160240020036002

1

2

122

daNHBP cfff 59224002600801

Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione

daNHDPt tm 080180010032001

Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo

si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297

Calcolo della spinta dovuta al solo terreno

daNKhS atT 4643297060318002

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 3255 daN

= 1185 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

= 904 daN

= 309 daN

Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno

daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121

34

daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

35

2

1 2

mT HKatS

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione

Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in

calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va

eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono

collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche

La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla

fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il

coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno

applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica

La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione

La formula di verifica egrave la seguente

dove

Somma di tutte le forze orizzontali

Esercizio svolto 2

Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione

Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Calcolo della spinta dovuta al terreno

dNKhS amt 4062297000380012

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 823 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

36

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

26

Muro con suola a monte molto larga e suola a valle

quasi assente

Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile

invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve

essere necessaria la situazione opposta ossia suola a

valle estesa e suola a monte quasi assente In questo

tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave

viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di

monte

Muri a contrafforti interni

Si usano per altezze importanti I contrafforti

possono essere entro terra come lrsquoesempio in

figura o fuori terra ossia allrsquoesterno

Muro a mensola con sbalzo a monte

Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a

soddisfare la verifica a scorrimento

Muro con contrafforti esterni

Muro a gabbioni

27

22 - Azioni statiche sul muro

Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che

agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono

Peso proprio del muro diviso per

comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf

Spinta del terreno ST scomposta nelle

sue componenti orizzontali e verticali

rispettivamente STO ed STV

Nel caso sia presente il carico variabile

bisogneragrave considerare anche la spinta

dovuta al carico variabile SQ scomposta

nelle sue componenti orizzontali e

verticali rispettivamente SQO ed SQV

Peso del terreno sulla fondazione Pt

Calcolo delle azioni statiche

Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente

Pesi del muro

cmHBP 11

Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3

cmHBP 22

2

1

cfff HBP

dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2

Peso del terreno insistente sul dente di fondazione

tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno

Spinta statica del terreno

atT KhS 2

2

1

Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico

aQ KhQS

Dove

h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro

28

2

90tan2

aK

Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di

terremoto

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno

Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico

aranno

Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3

2

Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e

trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula

seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno

In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene

considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati

sarebbero ancora maggiori

29

23 - Verifiche

Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A

tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta

ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione

Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono

un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia

percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova

indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure

1 2 3 4

1) Muro e fondazione scivolano insieme

2) Il muro scivola sulla fondazione

3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme

4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione

Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di

fondazione

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a ribaltamento del solo muro

Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la

verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a

scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta

va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

30

Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si

esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)

(EQU+M2+R2)

Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a

scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1

09 1 1

Sfavorevole 11 13 1

Permanenti non strutturali1 Favorevole

γG2

08 08 08

Sfavorevole 15 15 13

Varabili Favorevole

γG1

0 0 0

Sfavorevole 15 15 13

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la

spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA

QUALE APPLICARE IL

COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1) (M2)

Tangente dellrsquoangolo di

resistenza al taglio Tan φ

γφ 1 125

Coesione efficace crsquo γc 1 125

Resistenza non drenata cuk γcu 1 14

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14

31

2

2

1THKatS

231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le

forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza

che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza

di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che

dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale

coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula

fa = tang φ

con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito

tra terreno e fondazione Il suo valore

puograve essere assunto le a φ

Ricordiamo che lapproccio di verifica

egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che

prevede i coefficienti M1 pari a 1

pertanto i parametri di resistenza non

vanno ridotti

Calcolo della spinta statica

Essa dipende dallangolo di attrito del terreno

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno

CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno

SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno

CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

Per lrsquoangolo δ si puograve assumere

Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il

relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al

solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va

moltiplicato per γQ

32

Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da

Per φ puograve essere assunto un valore pari a

La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso

abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta

QVTOoE SSFR

Per la verifica deve risultare

Esercizio svolto 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =

020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =

900 daNmq

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +

fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali

costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della

spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)

La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che

nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave

proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura

delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con

la formula

fa = tang φ con φ

si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione

Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e

riportati nella tabella precedente colonna A1

Carichi Effetto Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole γG1 =1

Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1

Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0

Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13

Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15

33

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA QUALE

APPLICARE IL COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1)

Tangente dellrsquoangolo di resistenza

al taglio Tan φ

γφ 1

Coesione efficace crsquo γc 1

Resistenza non drenata cuk γcu 1

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3)

Capacitagrave portante della fondazione 14

Scorrimento 11

Ribaltamento 115

Resistenza del terreno a valle 14

Calcolo del peso proprio del muro

7605400200380011 daNHBP cm

daNHBP cm 160240020036002

1

2

122

daNHBP cfff 59224002600801

Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione

daNHDPt tm 080180010032001

Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo

si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297

Calcolo della spinta dovuta al solo terreno

daNKhS atT 4643297060318002

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 3255 daN

= 1185 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

= 904 daN

= 309 daN

Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno

daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121

34

daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

35

2

1 2

mT HKatS

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione

Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in

calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va

eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono

collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche

La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla

fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il

coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno

applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica

La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione

La formula di verifica egrave la seguente

dove

Somma di tutte le forze orizzontali

Esercizio svolto 2

Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione

Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Calcolo della spinta dovuta al terreno

dNKhS amt 4062297000380012

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 823 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

36

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

27

22 - Azioni statiche sul muro

Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che

agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono

Peso proprio del muro diviso per

comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf

Spinta del terreno ST scomposta nelle

sue componenti orizzontali e verticali

rispettivamente STO ed STV

Nel caso sia presente il carico variabile

bisogneragrave considerare anche la spinta

dovuta al carico variabile SQ scomposta

nelle sue componenti orizzontali e

verticali rispettivamente SQO ed SQV

Peso del terreno sulla fondazione Pt

Calcolo delle azioni statiche

Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente

Pesi del muro

cmHBP 11

Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3

cmHBP 22

2

1

cfff HBP

dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2

Peso del terreno insistente sul dente di fondazione

tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno

Spinta statica del terreno

atT KhS 2

2

1

Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico

aQ KhQS

Dove

h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro

28

2

90tan2

aK

Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di

terremoto

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno

Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico

aranno

Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3

2

Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e

trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula

seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno

In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene

considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati

sarebbero ancora maggiori

29

23 - Verifiche

Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A

tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta

ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione

Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono

un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia

percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova

indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure

1 2 3 4

1) Muro e fondazione scivolano insieme

2) Il muro scivola sulla fondazione

3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme

4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione

Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di

fondazione

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a ribaltamento del solo muro

Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la

verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a

scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta

va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

30

Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si

esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)

(EQU+M2+R2)

Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a

scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1

09 1 1

Sfavorevole 11 13 1

Permanenti non strutturali1 Favorevole

γG2

08 08 08

Sfavorevole 15 15 13

Varabili Favorevole

γG1

0 0 0

Sfavorevole 15 15 13

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la

spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA

QUALE APPLICARE IL

COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1) (M2)

Tangente dellrsquoangolo di

resistenza al taglio Tan φ

γφ 1 125

Coesione efficace crsquo γc 1 125

Resistenza non drenata cuk γcu 1 14

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14

31

2

2

1THKatS

231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le

forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza

che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza

di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che

dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale

coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula

fa = tang φ

con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito

tra terreno e fondazione Il suo valore

puograve essere assunto le a φ

Ricordiamo che lapproccio di verifica

egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che

prevede i coefficienti M1 pari a 1

pertanto i parametri di resistenza non

vanno ridotti

Calcolo della spinta statica

Essa dipende dallangolo di attrito del terreno

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno

CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno

SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno

CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

Per lrsquoangolo δ si puograve assumere

Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il

relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al

solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va

moltiplicato per γQ

32

Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da

Per φ puograve essere assunto un valore pari a

La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso

abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta

QVTOoE SSFR

Per la verifica deve risultare

Esercizio svolto 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =

020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =

900 daNmq

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +

fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali

costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della

spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)

La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che

nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave

proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura

delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con

la formula

fa = tang φ con φ

si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione

Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e

riportati nella tabella precedente colonna A1

Carichi Effetto Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole γG1 =1

Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1

Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0

Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13

Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15

33

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA QUALE

APPLICARE IL COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1)

Tangente dellrsquoangolo di resistenza

al taglio Tan φ

γφ 1

Coesione efficace crsquo γc 1

Resistenza non drenata cuk γcu 1

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3)

Capacitagrave portante della fondazione 14

Scorrimento 11

Ribaltamento 115

Resistenza del terreno a valle 14

Calcolo del peso proprio del muro

7605400200380011 daNHBP cm

daNHBP cm 160240020036002

1

2

122

daNHBP cfff 59224002600801

Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione

daNHDPt tm 080180010032001

Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo

si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297

Calcolo della spinta dovuta al solo terreno

daNKhS atT 4643297060318002

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 3255 daN

= 1185 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

= 904 daN

= 309 daN

Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno

daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121

34

daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

35

2

1 2

mT HKatS

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione

Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in

calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va

eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono

collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche

La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla

fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il

coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno

applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica

La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione

La formula di verifica egrave la seguente

dove

Somma di tutte le forze orizzontali

Esercizio svolto 2

Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione

Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Calcolo della spinta dovuta al terreno

dNKhS amt 4062297000380012

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 823 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

36

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

28

2

90tan2

aK

Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di

terremoto

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno

Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico

aranno

Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3

2

Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e

trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula

seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno

In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene

considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati

sarebbero ancora maggiori

29

23 - Verifiche

Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A

tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta

ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione

Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono

un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia

percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova

indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure

1 2 3 4

1) Muro e fondazione scivolano insieme

2) Il muro scivola sulla fondazione

3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme

4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione

Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di

fondazione

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a ribaltamento del solo muro

Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la

verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a

scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta

va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

30

Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si

esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)

(EQU+M2+R2)

Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a

scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1

09 1 1

Sfavorevole 11 13 1

Permanenti non strutturali1 Favorevole

γG2

08 08 08

Sfavorevole 15 15 13

Varabili Favorevole

γG1

0 0 0

Sfavorevole 15 15 13

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la

spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA

QUALE APPLICARE IL

COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1) (M2)

Tangente dellrsquoangolo di

resistenza al taglio Tan φ

γφ 1 125

Coesione efficace crsquo γc 1 125

Resistenza non drenata cuk γcu 1 14

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14

31

2

2

1THKatS

231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le

forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza

che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza

di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che

dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale

coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula

fa = tang φ

con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito

tra terreno e fondazione Il suo valore

puograve essere assunto le a φ

Ricordiamo che lapproccio di verifica

egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che

prevede i coefficienti M1 pari a 1

pertanto i parametri di resistenza non

vanno ridotti

Calcolo della spinta statica

Essa dipende dallangolo di attrito del terreno

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno

CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno

SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno

CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

Per lrsquoangolo δ si puograve assumere

Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il

relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al

solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va

moltiplicato per γQ

32

Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da

Per φ puograve essere assunto un valore pari a

La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso

abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta

QVTOoE SSFR

Per la verifica deve risultare

Esercizio svolto 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =

020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =

900 daNmq

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +

fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali

costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della

spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)

La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che

nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave

proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura

delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con

la formula

fa = tang φ con φ

si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione

Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e

riportati nella tabella precedente colonna A1

Carichi Effetto Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole γG1 =1

Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1

Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0

Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13

Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15

33

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA QUALE

APPLICARE IL COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1)

Tangente dellrsquoangolo di resistenza

al taglio Tan φ

γφ 1

Coesione efficace crsquo γc 1

Resistenza non drenata cuk γcu 1

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3)

Capacitagrave portante della fondazione 14

Scorrimento 11

Ribaltamento 115

Resistenza del terreno a valle 14

Calcolo del peso proprio del muro

7605400200380011 daNHBP cm

daNHBP cm 160240020036002

1

2

122

daNHBP cfff 59224002600801

Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione

daNHDPt tm 080180010032001

Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo

si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297

Calcolo della spinta dovuta al solo terreno

daNKhS atT 4643297060318002

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 3255 daN

= 1185 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

= 904 daN

= 309 daN

Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno

daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121

34

daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

35

2

1 2

mT HKatS

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione

Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in

calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va

eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono

collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche

La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla

fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il

coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno

applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica

La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione

La formula di verifica egrave la seguente

dove

Somma di tutte le forze orizzontali

Esercizio svolto 2

Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione

Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Calcolo della spinta dovuta al terreno

dNKhS amt 4062297000380012

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 823 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

36

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

29

23 - Verifiche

Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A

tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta

ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione

Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono

un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia

percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova

indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure

1 2 3 4

1) Muro e fondazione scivolano insieme

2) Il muro scivola sulla fondazione

3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme

4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione

Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di

fondazione

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a ribaltamento del solo muro

Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la

verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a

scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta

va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

30

Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si

esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)

(EQU+M2+R2)

Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a

scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1

09 1 1

Sfavorevole 11 13 1

Permanenti non strutturali1 Favorevole

γG2

08 08 08

Sfavorevole 15 15 13

Varabili Favorevole

γG1

0 0 0

Sfavorevole 15 15 13

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la

spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA

QUALE APPLICARE IL

COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1) (M2)

Tangente dellrsquoangolo di

resistenza al taglio Tan φ

γφ 1 125

Coesione efficace crsquo γc 1 125

Resistenza non drenata cuk γcu 1 14

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14

31

2

2

1THKatS

231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le

forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza

che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza

di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che

dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale

coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula

fa = tang φ

con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito

tra terreno e fondazione Il suo valore

puograve essere assunto le a φ

Ricordiamo che lapproccio di verifica

egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che

prevede i coefficienti M1 pari a 1

pertanto i parametri di resistenza non

vanno ridotti

Calcolo della spinta statica

Essa dipende dallangolo di attrito del terreno

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno

CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno

SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno

CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

Per lrsquoangolo δ si puograve assumere

Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il

relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al

solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va

moltiplicato per γQ

32

Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da

Per φ puograve essere assunto un valore pari a

La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso

abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta

QVTOoE SSFR

Per la verifica deve risultare

Esercizio svolto 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =

020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =

900 daNmq

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +

fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali

costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della

spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)

La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che

nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave

proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura

delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con

la formula

fa = tang φ con φ

si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione

Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e

riportati nella tabella precedente colonna A1

Carichi Effetto Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole γG1 =1

Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1

Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0

Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13

Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15

33

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA QUALE

APPLICARE IL COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1)

Tangente dellrsquoangolo di resistenza

al taglio Tan φ

γφ 1

Coesione efficace crsquo γc 1

Resistenza non drenata cuk γcu 1

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3)

Capacitagrave portante della fondazione 14

Scorrimento 11

Ribaltamento 115

Resistenza del terreno a valle 14

Calcolo del peso proprio del muro

7605400200380011 daNHBP cm

daNHBP cm 160240020036002

1

2

122

daNHBP cfff 59224002600801

Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione

daNHDPt tm 080180010032001

Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo

si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297

Calcolo della spinta dovuta al solo terreno

daNKhS atT 4643297060318002

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 3255 daN

= 1185 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

= 904 daN

= 309 daN

Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno

daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121

34

daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

35

2

1 2

mT HKatS

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione

Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in

calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va

eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono

collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche

La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla

fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il

coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno

applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica

La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione

La formula di verifica egrave la seguente

dove

Somma di tutte le forze orizzontali

Esercizio svolto 2

Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione

Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Calcolo della spinta dovuta al terreno

dNKhS amt 4062297000380012

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 823 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

36

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

30

Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si

esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)

(EQU+M2+R2)

Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a

scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1

09 1 1

Sfavorevole 11 13 1

Permanenti non strutturali1 Favorevole

γG2

08 08 08

Sfavorevole 15 15 13

Varabili Favorevole

γG1

0 0 0

Sfavorevole 15 15 13

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la

spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA

QUALE APPLICARE IL

COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1) (M2)

Tangente dellrsquoangolo di

resistenza al taglio Tan φ

γφ 1 125

Coesione efficace crsquo γc 1 125

Resistenza non drenata cuk γcu 1 14

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14

31

2

2

1THKatS

231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le

forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza

che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza

di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che

dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale

coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula

fa = tang φ

con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito

tra terreno e fondazione Il suo valore

puograve essere assunto le a φ

Ricordiamo che lapproccio di verifica

egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che

prevede i coefficienti M1 pari a 1

pertanto i parametri di resistenza non

vanno ridotti

Calcolo della spinta statica

Essa dipende dallangolo di attrito del terreno

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno

CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno

SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno

CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

Per lrsquoangolo δ si puograve assumere

Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il

relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al

solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va

moltiplicato per γQ

32

Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da

Per φ puograve essere assunto un valore pari a

La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso

abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta

QVTOoE SSFR

Per la verifica deve risultare

Esercizio svolto 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =

020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =

900 daNmq

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +

fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali

costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della

spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)

La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che

nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave

proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura

delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con

la formula

fa = tang φ con φ

si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione

Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e

riportati nella tabella precedente colonna A1

Carichi Effetto Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole γG1 =1

Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1

Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0

Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13

Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15

33

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA QUALE

APPLICARE IL COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1)

Tangente dellrsquoangolo di resistenza

al taglio Tan φ

γφ 1

Coesione efficace crsquo γc 1

Resistenza non drenata cuk γcu 1

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3)

Capacitagrave portante della fondazione 14

Scorrimento 11

Ribaltamento 115

Resistenza del terreno a valle 14

Calcolo del peso proprio del muro

7605400200380011 daNHBP cm

daNHBP cm 160240020036002

1

2

122

daNHBP cfff 59224002600801

Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione

daNHDPt tm 080180010032001

Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo

si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297

Calcolo della spinta dovuta al solo terreno

daNKhS atT 4643297060318002

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 3255 daN

= 1185 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

= 904 daN

= 309 daN

Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno

daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121

34

daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

35

2

1 2

mT HKatS

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione

Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in

calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va

eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono

collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche

La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla

fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il

coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno

applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica

La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione

La formula di verifica egrave la seguente

dove

Somma di tutte le forze orizzontali

Esercizio svolto 2

Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione

Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Calcolo della spinta dovuta al terreno

dNKhS amt 4062297000380012

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 823 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

36

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

31

2

2

1THKatS

231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le

forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza

che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza

di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che

dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale

coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula

fa = tang φ

con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito

tra terreno e fondazione Il suo valore

puograve essere assunto le a φ

Ricordiamo che lapproccio di verifica

egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che

prevede i coefficienti M1 pari a 1

pertanto i parametri di resistenza non

vanno ridotti

Calcolo della spinta statica

Essa dipende dallangolo di attrito del terreno

Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno

CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno

SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno

CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico

variabile

Per lrsquoangolo δ si puograve assumere

Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il

relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al

solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va

moltiplicato per γQ

32

Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da

Per φ puograve essere assunto un valore pari a

La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso

abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta

QVTOoE SSFR

Per la verifica deve risultare

Esercizio svolto 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =

020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =

900 daNmq

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +

fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali

costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della

spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)

La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che

nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave

proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura

delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con

la formula

fa = tang φ con φ

si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione

Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e

riportati nella tabella precedente colonna A1

Carichi Effetto Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole γG1 =1

Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1

Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0

Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13

Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15

33

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA QUALE

APPLICARE IL COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1)

Tangente dellrsquoangolo di resistenza

al taglio Tan φ

γφ 1

Coesione efficace crsquo γc 1

Resistenza non drenata cuk γcu 1

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3)

Capacitagrave portante della fondazione 14

Scorrimento 11

Ribaltamento 115

Resistenza del terreno a valle 14

Calcolo del peso proprio del muro

7605400200380011 daNHBP cm

daNHBP cm 160240020036002

1

2

122

daNHBP cfff 59224002600801

Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione

daNHDPt tm 080180010032001

Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo

si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297

Calcolo della spinta dovuta al solo terreno

daNKhS atT 4643297060318002

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 3255 daN

= 1185 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

= 904 daN

= 309 daN

Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno

daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121

34

daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

35

2

1 2

mT HKatS

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione

Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in

calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va

eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono

collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche

La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla

fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il

coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno

applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica

La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione

La formula di verifica egrave la seguente

dove

Somma di tutte le forze orizzontali

Esercizio svolto 2

Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione

Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Calcolo della spinta dovuta al terreno

dNKhS amt 4062297000380012

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 823 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

36

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

32

Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da

Per φ puograve essere assunto un valore pari a

La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso

abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta

QVTOoE SSFR

Per la verifica deve risultare

Esercizio svolto 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =

020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =

900 daNmq

La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +

fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali

costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della

spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)

La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che

nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave

proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura

delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con

la formula

fa = tang φ con φ

si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione

Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e

riportati nella tabella precedente colonna A1

Carichi Effetto Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole γG1 =1

Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1

Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0

Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13

Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15

33

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA QUALE

APPLICARE IL COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1)

Tangente dellrsquoangolo di resistenza

al taglio Tan φ

γφ 1

Coesione efficace crsquo γc 1

Resistenza non drenata cuk γcu 1

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3)

Capacitagrave portante della fondazione 14

Scorrimento 11

Ribaltamento 115

Resistenza del terreno a valle 14

Calcolo del peso proprio del muro

7605400200380011 daNHBP cm

daNHBP cm 160240020036002

1

2

122

daNHBP cfff 59224002600801

Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione

daNHDPt tm 080180010032001

Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo

si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297

Calcolo della spinta dovuta al solo terreno

daNKhS atT 4643297060318002

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 3255 daN

= 1185 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

= 904 daN

= 309 daN

Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno

daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121

34

daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

35

2

1 2

mT HKatS

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione

Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in

calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va

eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono

collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche

La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla

fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il

coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno

applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica

La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione

La formula di verifica egrave la seguente

dove

Somma di tutte le forze orizzontali

Esercizio svolto 2

Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione

Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Calcolo della spinta dovuta al terreno

dNKhS amt 4062297000380012

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 823 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

36

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

33

Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella

PARAMETRO

GRANDEZZA ALLA QUALE

APPLICARE IL COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTE

PARZIALE

γM

(M1)

Tangente dellrsquoangolo di resistenza

al taglio Tan φ

γφ 1

Coesione efficace crsquo γc 1

Resistenza non drenata cuk γcu 1

Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1

Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella

Verifica Coefficiente parziale (R3)

Capacitagrave portante della fondazione 14

Scorrimento 11

Ribaltamento 115

Resistenza del terreno a valle 14

Calcolo del peso proprio del muro

7605400200380011 daNHBP cm

daNHBP cm 160240020036002

1

2

122

daNHBP cfff 59224002600801

Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione

daNHDPt tm 080180010032001

Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo

si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297

Calcolo della spinta dovuta al solo terreno

daNKhS atT 4643297060318002

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 3255 daN

= 1185 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

= 904 daN

= 309 daN

Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno

daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121

34

daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

35

2

1 2

mT HKatS

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione

Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in

calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va

eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono

collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche

La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla

fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il

coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno

applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica

La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione

La formula di verifica egrave la seguente

dove

Somma di tutte le forze orizzontali

Esercizio svolto 2

Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione

Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Calcolo della spinta dovuta al terreno

dNKhS amt 4062297000380012

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 823 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

36

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

34

daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

35

2

1 2

mT HKatS

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione

Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in

calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va

eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono

collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche

La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla

fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il

coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno

applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica

La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione

La formula di verifica egrave la seguente

dove

Somma di tutte le forze orizzontali

Esercizio svolto 2

Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione

Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Calcolo della spinta dovuta al terreno

dNKhS amt 4062297000380012

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 823 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

36

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

35

2

1 2

mT HKatS

232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione

Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in

calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va

eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono

collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche

La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla

fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il

coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno

applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica

La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione

La formula di verifica egrave la seguente

dove

Somma di tutte le forze orizzontali

Esercizio svolto 2

Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione

Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m

Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Calcolo della spinta dovuta al terreno

dNKhS amt 4062297000380012

1

2

1 22

Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno

= 823 daN

Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico

36

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

36

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

37

233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il

momento che provoca il ribaltamento viene detto momento

ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta

mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto

momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali

Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti

scelti in base allapproccio 2

22122211

112222221

11223

2

2DBBSDBB

DP

BPDBPDB

BPM GTVGt

f

GfGGstab

La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave

non viene presa in conto

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

2321

mGQO

mGTOribD

hS

hSME

La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento

stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115

La formula di verifica egrave la seguente

Esercizio svolto 3

Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio

precedente

Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da

utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti

Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG

Peso proprio del muro favorevole 1

Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale

Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0

Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

38

t

57701

5770tan

Grandezza Valore Coefficiente Parziale

(M1) Formula

Valore

corretto

Peso specifico

terreno 1800 daNmc γγ=1

1800 dNmc

Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

φ=30

γR3=115

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020

m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN

STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto

al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in

considerazione

Calcolo del momento stabilizzante

111

111221222

111

223

2

2DBSDBS

DBP

BPDBPDB

BPM FQQVFGTVfGt

f

GfGGstab

La resistenza egrave data da

Lrsquoazione destabilizzante egrave data da

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

47272

60000351904

3

600003312253

232 daNm

hhS

hhSME

fm

QOQO

fm

GTOribD

15115200801513092008013118512

20080110801

2

80115922200600

3

211602200600

2

80017605

daNm

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

39

234 - Verifica a ribaltamento del solo muro

Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro

va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la

possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura

La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del

solo muro considerando la sola altezza del muro

Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo

Il momento stabilizzante si calcola cosigrave

QQVGTVGGstab SBBSBPBB

PM

2112122

111

3

2

2

Il momento ribaltante si calcola cosigrave

232

mQQO

mGTOribD

hS

hSME

Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha

γR3=115

La formula di verifica egrave la seguente

amtT KhS 2

2

1

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

40

Esercizio svolto 4

Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente

Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN

Le componenti delle spinte agenti sul solo muro

STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN

Calcolo del momento stabilizzante

697860080051274600800318236003

21602600

2

80017605

3

2

22112122

111

daNm

SBBSBPBB

PM QQVGTVGGstab

Calcolo del momento ribaltante

63642

00351754

3

003312612

2322 mdN

hS

hSME m

GQOm

GTOribD

La formula di verifica egrave la seguente

La verifica egrave soddisfatta

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

41

eBB 2

235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e

le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si

rompa

Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la

formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua

inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

dove

lim egrave la tensione di rottura del terreno

N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del

terreno

iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati

mediante

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione

complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente

oFH vFV

Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che

la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della

sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare

i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal

bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo

si ha

e lo si

prende in valore assoluto

La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave

21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV

Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della

spinta

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

42

t

tan

La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave

una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro

Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave

risultare

Esercizio svolto 5

Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente

Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)

Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa

e riportati nelle tabelle precedenti

Carichi Effetto Coefficiente

parziale

Peso proprio del muro sfavorevole γG =13

Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13

Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15

Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13

Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15

Grandezza Valore

Coefficiente

parziale

(M1)

Formula Valore corretto

Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1

Invariato

1800 dNmc

Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1

Invariato

φ=30

γR3 =14

Riportiamo dati dellrsquoesercizio

B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m

angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq

I pesi e le spinte giagrave calcolate

P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN

SQO = 904 daN SQV=309 daN

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

43

Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione

1809002001 dNQDPS

daN

PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv

34417511805130931)18510801592216027605(

)( 121

Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti

ribaltante e stabilizzante

Calcolo del momento stabilizzante

232

223

2

2

11

1111

112221221

1

fm

QQO

fm

QTOFQSFQQV

FGTVGFtGF

FGGO

hhS

hhS

DBPDBS

DBSD

BPB

PDBPDBB

PM

mdN

253152

60000351904

3

60000351225351

2

20080118051200801309312008011851

312

200801080131

2

801592231200600

3

21602301200600

2

8017605

Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso

761020280120208802

801

2

meBBuB

e

Calcolo del carico limite

qftt iHNqiB

Nq 2

lim

I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240

qN =1840

Calcolo dei coefficienti iiq

Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H

2

1

V

Hi

3

1

V

Hiq

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

44

462034417

54951

2

i 3150

34417

54951

3

qi

6522231506008001401846202

76180014022 2

lim mdaNq

La capacitagrave portante egrave data da

daNBq

RR

D 4772841

1761652221

lim

Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN

Verifica

La verifica egrave soddisfatta

Esercizi modulo 2

Esercizio N 1

Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di

sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160

B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg

Esercizio N 2

Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1

Esercizio N 3

Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro

dellrsquoesercizio 1

Esercizio N4

Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come

coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075

Esercizio N 5

Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di

sostegno in cls in zona sismica di II categoria

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

45

Esercizio N 6

Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in

ca in figura con =30deg t= 18 KN

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

46

g

aK mh

maxhV KK 50

24 - Azioni provocate dal sisma

Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene

sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal

terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno

stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione

amF

dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma

Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza

provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave

verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto

Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave

g

gamF

Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il

rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave

La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di

gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e

accelerazione di gravitagrave

Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente

KPg

agmF

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

47

dove

amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito

g = accelerazione di gravitagrave

Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione

ama x = Sag = STSSag

dove

S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e

dellrsquoamplificazione topografica (ST)

ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e

lrsquoaccelerazione di gravitagrave

Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente

Categoria di sottosuolo

A B C D E

βm βm

02 lt ag (g) le 04 031 031

01 lt ag (g) le 02 029 024

ag (g) le 01 020 018

Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST

Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST

T1

Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con

inclinazione media i le 15deg

- 10

T2

Pendii con inclinazione media i gt 15deg

In corrispondenza della sommitagrave del

pendio 12

T3

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media 15deg le i le 30deg

In corrispondenza della cresta del rilievo 12

T4

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base

e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14

Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su

tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del

reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa

facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale

calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit

inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

48

Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali

W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri

liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave

altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro

di sostegno al disopra della falda acquifera

Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh

definito in precedenza

hKPW 11 22 hKPW hff KPW

Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere

dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura

Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento

delle forze verticali che cosigrave diventeranno

vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1

Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno

Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta

allaccelerazione verticale si usa la formula seguente

21

2

1atvT KhKS

In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso

Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe

2

2

2

1)(

CosCos

SenSenCosCos

CosKa

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

49

Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione

sismica

Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei

pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella

figura seguente

24 - Verifiche

Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave

- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione

- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo

- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione

- verifica a ribaltamento del solo muro

- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione

- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno

Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra

con ndashKv

Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta

va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le

verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento

la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti

50

Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante

Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite

come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi

che sono i seguenti

CARICHI EFFETTO Coefficiente

parziale EQU (A1) (A2)

Permanenti Favorevole

γG1 09 1 1

Sfavorevole 1 1 1

Permanenti non strutturali1

Favorevole γG2

0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

Varabili Favorevole

γG1 0 0 0

Sfavorevole 1 1 1

(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano

compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti