1.1 Concepto de anualidad y aplicaciones principales

Anualidad: Se aplica a problemas financieros en los que existen un conjunto de pagos iguales a intervalos de tiempo regulares.Aplicaciones típicas:·  Amortización de préstamos en abonos.·  Deducción de la tasa de interés en una operación de pagos en abonos·  Constitución de fondos de amortización1.2 Tipos principales de anualidadesVamos a distinguir dos tipos de anualidades:(a) Anualidades ordinarias o vencidas cuando el pago correspondiente a un intervalo se hace al final del mismo, por ejemplo, al final del mes.(b) Anualidades adelantadas, cuando el pago se hace al inicio del intervalo, por ejemplo al inicio del mes.Ambos tipos de anualidades pueden aplicarse en un contexto de certeza, en cuyo caso se les llama anualidades ciertas o en situaciones caracterizadas por la incertidumbre, en cuyo caso se les conoce como anualidades contingentes. .Para el caso de una anualidad ordinaria de n pagos, el despliegue de los datos en la línea deltiempo es: Pagos de valor R            R               R               R             R                R|________|________|________|__. . .___|________||              1              2               3         n-1                  nInicio                                                                           finy para el caso de una anualidad anticipada de n pagos:Pagos de valor R             R               R            R               R               R|________|________|________|__. . .___|________||               1               2               3             n-1              nInicio                                                                           finEn estos problemas se supone que el conjunto de pagos es invertido a interés compuesto hasta el fin del plazo de la operación. Esta consideración es fundamental para definir el Valor futuro o monto de una anualidad y el Valor presente de la anualidad.1.3 Valuación de Anualidades Ordinarias

(a) Valor futuro de una anualidad ordinariaResponde a la pregunta: ¿Cual es el monto o valor futuro de una suma de pagos iguales distribuidos de manera uniforme a lo largo del tiempo?(a)    El valor futuro de un conjunto de n pagos vencidos de valor R cada uno es:                                                                                        (1.1.)   

 R = valor del pago regular.i = tasa de interés para cada uno de los intervalos de tiempo en que se ha dividido el plazo completo.

n = número total de intervalos de la operación.Ejercicios:1.       Una persona se ha propuesto depositar $ 320 mensualmente durante 2 años (24 meses) en una 3cuenta bancaria que paga el 18 % anual de interés (1.5 % mensual). ¿Cuál será la cantidad acumulada al final de los dos años considerando que el banco capitaliza mensualmente los intereses?Aplicando (1.1):

(b) Valor presente de la anualidad.Responde a la pregunta: ¿Cuánto vale hoy un conjunto de n pagos iguales a realizar a intervalos regulares en el futuro?La fórmula que responde a la pregunta es:

                                                                                                          1.2.)Ejercicios:4.2. Una empresa tiene en su cartera de activos 10 pagarés de $ 200 cada uno y con vencimientos mensuales consecutivos. El primero de ellos vence dentro de un mes. La empresa necesita liquidez y planea venderlos a un banco, el cual ha aceptado la transacción considerando una tasa de interés de referencia del 24% anual (2% mensual). ¿Que cantidad recibirá la empresa si se realiza la operación? En otras palabras, ¿cuál es el valor presente de estos pagarés?

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos64/anualidades/anualidades.shtml#ixzz3O4lWXfqQ

4.4 Valuación de anualidades adelantadas

Cuando el pago regular se hace al principio del intervalo, las fórmulas son ligeramente diferentes:El valor futuro de la anualidad adelantada es:

Ejercicios:(1.7)    1.8 Hacer el cálculo del ejemplo 4.1, pero suponiendo que los pagos se hacen al principio.Datos: R = 320, i = 18 % (1.5% mensual), n = 24 (meses), Sa / n = ¿?

 

El valor presente de una anualidad adelantada se calcula como:

 

                                                                                                          (1.8)

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos64/anualidades/anualidades2.shtml#ixzz3O4ljrLkn

Anualidades contingentesEn este artículo sobre matemáticas se detectaron los siguientes problemas:

Necesita ser wikificado conforme a las convenciones de estilo de

Wikipedia.

Carece de fuentes o referencias que aparezcan en una fuente

acreditada.Por favor, edítalo para mejorarlo, o debate en la discusión acerca de estos problemas.Estas deficiencias fueron encontradas el 25 de julio de 2008.

El concepto de anualidad contingente, en un sentido matemático, corresponde a una función que consiste en el valor presente de una unidad monetaria (constante o variable), pagadera en periodos regulares durante determinado plazo y sólo si durante dicho plazo

se cumple la condición de supervivencia. Es por ello que la anualidad es la suma de valores presentes de una unidad ponderada con la probabilidad de supervivencia de personas o con la probabilidad de que una condición contingente se cumpla.

El tipo de anualidades que existe es muy amplio, aunque algunas son poco factibles de aplicar en la práctica tienen un sentido teórico. Las anulidades se clasifican en el ámbito actuarial según las siguientes características:

Discreta: cuando la obligación se paga en periodos regulares finitos.

Anual: cuando el periodo de pago es de un año.

Fraccionaria: cuando el pago se hace en periodos inferiores a un año.

Continua: cuando el pago de la obligación contingente es proporcional al tiempo transcurrido.

Constante: cuando el monto del pago no varía en el tiempo.

Variable Aritméticamente: cuando el monto del pago se incrementa en un monto constante anual.

Variable Geométricamente: cuando el monto se incrementa en un porcentaje del pago anterior.

No indexadas: cuando el monto del pago está definido en pesos.

Indexadas: cuando el monto del pago está nominado en otra moneda o en indices inflacionarios.

Anticipada: cuando los pagos se hacen al inicio de cada periodo.

Vencida: cuando los pagos se hacen al final de cada periodo.

Inmediata: cuando los pagos darán inicio en el presente.

Diferida: cuando los pagos darán inicio en el futuro.

Temporal: cuando los pagos durarán un periodo finito definido.

Vitalicia: cuando los pagos durarán indefinidamente mientras viva la persona.

Definiciones y clasificación de las anualidades

Aunque literalmente la palabra anualidad indica periodos anuales, no necesariamente los pagos se realizan cada año, sino que su frecuencia puede ser cualquier otra: mensual, semanal semestral o diaria, como se verá en este capítulo, pero antes, es necesario formular algunas definiciones importantes relacionadas con el tema.

Anualidad

Es una sucesión de pagos generalmente iguales que se realizaban a intervalos de tiempo iguales y con interés compuesto.

Quizá los pagos sean iguales entre sí, por la misma cantidad, o diferentes. Ahora se estudiará el primer caso y en capítulos subsecuentes el segundo, es decir, las anualidades de renta variable.

Renta de la anualidad es el pago periódico y se expresa con R.

Intervalo de pago es el tiempo que hay entre dos pagos sucesivos, y el plazo de la anualidad es el tiempo entre las fechas inicial del primer periodo y terminal del último.

El valor equivalente a las rentas al inicio del plazo se conoce como capital o valor presente C. Su valor al final del pazo es el valor futuro o monto de la anualidad, que se expresa con M.

ANUALIDADES DIFERIDAS

Una anualidad diferida es aquella en que el primer pago se efectúa después

de transcurrido cierto número de periodos.

EJEMPLO 1

Una deuda de $800.000 se va a cancelar mediante 20 pagos trimestrales de

$R cada uno. Si el primer pago se efectúa exactamente al año de haberse

prestado el dinero, calcular R con una tasa del 36% CT.

SOLUCIÓN

Se observa que el primer pago está en el periodo 4 que corresponde al fnal

del primer año. La anualidad debe comenzar en el punto 3 y terminar en el

punto 23, además, su valor presente deberá trasladarse al punto 0 donde se

ha puesto la fecha focal. La ecuación de valor será:

800.000 = R (1 - (1+0.9)-20/0.09)(1.09)-3

R = $113.492,69

ANUALIDAD ORDINARIA O VENCIDA: Es aquella en la cual los pagos se

hacen al final de cada periodo, por ejemplo el pago de salarios a los empleados,

ya que primero se realiza el trabajo y luego se realiza el pago. Se representa

así: 

 

 

ANUALIDAD ANTICIPADA: En esta los pagos se hacen al principio del

periodo, por ejemplo el pago mensual del arriendo de una casa, ya que

primero se paga y luego se habita en el inmueble. 

 

Cómo calcular el monto (valor futuro)Lo que veremos a continuación será cómo determinar cuánto pagaremos o recibiremos en total al término de un período de tiempo determinado. A este total final lo llamaremos de ahora en adelante monto y lo identificaremos con la letra (S) para el manejo y sustitución en las fórmulas correspondientes.Sabemos que con frecuencia se requiere calcular el monto (S) de un préstamo (inversión), por lo que es conveniente contar con una fórmula.Sabemos que el monto es la suma del principal más el dividendo o interés generado, entonces:

S = P + IUtilizando la fórmula del interés simple, tenemos que

S = P + PinFactor izando tenemos la siguiente Fórmula:

S=P (1+in)Se divide entre los días que conforman el interés ordinario (anual), este último lo podemos manejar con base en 360 o 365 días. Incluso en meses (12 = 1 año)NOTA IMPORTANTE:Es común que las operaciones comerciales y financieras estén determinadas por fechas y no en meses o años. Para el cálculo del interés, en estos casos se requiere determinar el número de días que lo conforman. Identificado los días (t), se pueden utilizar dos formas diferentes de expresar el plazo.EjemploPara adquirir una mercancía, cierto comerciante acuerda con el fabricante pagar de contado el 50%, y el resto a un mes y medio después. Cuando debe pagar para liquidar el saldo, si el interés que le cobran es del 25% anual y el importe de la mercancía es de $32,500.00Podemos calcular primero el interés y sumarlo al principal. Sin embargo es preferible utilizar la fórmula directa del monto, por lo que queda de la siguiente forma:

S=P (1+in) = $16,250.00(1+(0.25*(1.5/12)))S= $16,250.00 (1+ (0.25*0.125))

S= $16,250.00 (1+0.03125)S= $16,250.00 (1.03125)

S=$16,757.8125Valor presentea) Cuando queremos liquidar la deuda antes de la fecha acordada:

¿Qué sucedería si pasados 4 meses después de adquirida la maquinaria a crédito el incremento en las ventas nos da la capacidad de pagar el equipo anticipadamente?¿Cuánto tendríamos que pagar por el equipo?Para resolver la pregunta anterior debemos aplicar una nueva fórmula para determinar el Valor Presente de nuestra deuda.b) Cuando no podemos pagar en la fecha acordadaAhora demos al problema inicial un giro inesperado, planteando que pasaría si las ventas no resultan como lo esperado y a pesar de tener mayor capacidad de producción las ventas caen drásticamente advirtiendo no poder pagar el equipo en el plazo acordado.La flexibilidad de las matemáticas financieras para adaptarse a situaciones cambiantes en el ámbito comercial nos permite hacer proyecciones y trazar los escenarios posibles para hacerles frente si se llegaran a presentar. Por lo que, en este caso le mostraremos al proveedor, ---dadas las circunstancias planteadas---, como renegociar la deuda para que las partes pierdan lo menos posible, esto es, que ambos obtengan el beneficio mutuo que el esquema matemático propuesto, pudiera generarles. Así, con este nuevo escenario nos lleva a plantear un modelo matemático que permita satisfacer este requerimiento entre las partes, por lo que ahora abordaremos el tema de:Ecuaciones de valores equivalentes con interés simple:Para renegociar una deuda tenemos que aplicar una fórmula que calcule en cuántos pagos vamos a distribuir la deuda original y cuánto pagaremos bajo este nuevo esquema de pago. Nuevamente tomamos el referente de Pastor (1999) para considerar los siguientes pasos en la renegociación.

1. Determinar una fecha a la cual podamos comparar las operaciones a realizar la cual llamaremos fecha focal.

2. Calcular el valor de la deuda a esa fecha con la fórmula del Valor EsquemaOriginal.

3. Calcular con base a esa fecha focal las opciones de pago al proveedor. 4. Por último determinar cuánto es el monto de cada pago renegociado a través de la fórmula del Valor

Nuevo Esquema.INTERÉS COMPUESTOConceptos básicos y ejercicios: Recuerda que la metodología para el cálculo del interés compuesto es similar al interés simple. En todo momento se trabajará con la expresión (1+i), (1+i*n)………….Lo que hace diferente este tema, es desde luego la capitalización de las tasas y el incremento de "P" en "n" tiempo con "i" tasa. Supongamos que ahorraste $150,000.00 a una tasa del 10% anual (0.83% mensual, o sea 0.0833), a un plazo de un mes. En teoría, tomamos la fórmula del monto del interés simple, quedando de la siguiente manera:

S = P (1+ in) =150,000(1+0.00833*1)S=150,000(1.00833) = $151,249.50

Supongamos, que nuevamente se quiere invertir la misma cantidad a otro mes y con la misma tasa. Desde luego, sin retirar el interés, de lo contrario caemos en el interés simple y de lo que trata este tema es del interés compuesto.Entonces tenemos que:

S = P (1+ in) =151,249.50 (1+0.0833*1)S=151,249.50*(1.00833)*1= $152,509.408

El inversionista, nuevamente desea invertir otro mes y con la misma tasa, el importe de su capital. (Se continúa con el mismo procedimiento anterior.)Se imagina que una persona quiera estar calculando 100, 200 o 300 meses Es por ello que el interés compuesto, viene a proporcionar una forma simple de poder capitalizar cada uno de los meses en que se desea estar invirtiendo.Es por ello, que tomando la formula de interés simple, integramos las capitalizaciones. Esto es, el interés ganado en una inversión se integra al capital, denominando a esto, la capitalización, y al período en que el interés puede convertirse en capital se le llama período de capitalización.VALOR PRESENTE Y VALOR FUTUROEl Valor Futuro no es otra cosa, que el valor que tendrá una inversión en un tiempo posterior (del presente al futuro).

VFinv = VPinv (1+i)nDonde:VPinv: Valor actual de la inversiónn: número de años de la inversióni: tasa de interés anual expresada en tanto por uno

VFinv: Valor futuro de la inversiónAumenta, a medida que aumenta la tasa y el tiempo.Suponga una inversión de 150,000, a 3 años con una tasa del 7.8%:

VFinv = 150,000 (1.078)3 = $187,908.98Con capitalización mensual

VFinv=150,000 (1 + i/12)n VFinv=150,000(1+0.078/12)36VFinv=150,000(1.0065)36 VFinv=150,000(1.262688)= $189,403.20

El Valor Presente es el valor que tendrá una inversión futura en el presente, o sea hoy. (Del futuro al presente)

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos97/administracion-financiera-i-analisis/administracion-financiera-i-analisis2.shtml#ixzz3O4nCW6AQ

 

2.1 RENTA

Cada pago periódico de igual valor que pertenece a una serie uniforme.

 

2.2 PERIODO DE RENTA

Es el tiempo que transcurre entre dos pagos periódicos consecutivos.

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2.3 ANUALIDAD

Una anualidad es una serie de pagos que cumplen con las siguientes condiciones:

1. Todos los pagos son de igual valor2. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo3. A todos los pagos se les aplica la misma tasa de interés4. El numero de pagos es igual al numero de periodos5. Los pagos pueden ser trimestrales, semestrales o anuales Etc. y sin

embargo a la serie se le sigue denominando anualidad .

La siguiente gráfica ilustra una anualidad de 6 pagos:

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2.4 TIPOS DE ANUALIDADES

2.4.1 Ordinaria o vencida: Es aquella en la que los pagos se efectúan al final de cada periodo.

2.4.2 Anticipada: Es aquella en la que los pagos se efectúan al comienzo de cada periodo

2.4.3 Diferida: Es aquella en la que los pagos se comienzan a realizar luego de transcurrido cierto tiempo o cierto número de periodos.

2.4.4 Perpetua o infinita: Es aquella en la que los pagos no tienen fin.

2.4.5 Cierta: Es aquella en la que se conoce el número de periodos, cuando inicia y cuando termina.

2.4.6 Contingente: Es aquella en la que su inicio o terminación dependen de la ocurrencia de determinado evento y que por tanto no se conoce su número de periodos.

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2.5 VALOR FINAL UNA ANUALIDAD

Sea una serie de n pagos periódicos, iguales de valor A, el primero de los cuales se efectúa al finalizar el primer periodo y el último de los mismos se realiza al finalizar el periodo n tal como se observa en la siguiente gráfica:

Para hallar el valor futuro de la serie descrita, trasladamos cada uno de los pagos hasta n, comenzando desde el último que ya se encuentra allí y terminando con el primero (el efectuado en 1) que se encuentra a n-1 periodos de n así:

Ecuación 1

F = A+ A( 1+ i )1 + A( 1+ i )2 +A( 1+ i )3 +……….+A( 1+ i )n-1

Para eliminar la sucesión buscamos una expresión que al ser multiplicada por el primer término nos de el segundo término y así sucesivamente para poder realizar una resta de ecuaciones, el término en este caso es: (1+i)

Multiplicamos la ecuación 1 por (1+i)

Ecuación 2

F(1+i) = A( 1+ i )1 + A( 1+ i )2 +A( 1+ i )3 +……….+A( 1+ i )n-1+A( 1+ i )n

Restamos la ecuación 1 de la ecuación 2 (ecuación 2 menos la 1) de manera que los términos A( 1+ i )1 + A(1+ i )2 +A( 1+ i )3 +……….+A( 1+ i )n-1 son eliminados quedando solamente:

De donde finalmente se obtiene la expresión:

Esta expresión de valor futuro de una anualidad también es llamada por algunos Factor monto, es común utilizar la siguiente notación para indicar el valor futuro de una anualidad:

F = A(F/A;i;n)

En forma adicional, es muy importante tener en cuenta que el valor futuro queda exactamente en el periodo n

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2.6 VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD

Para hallar el valor presente, podría seguirse un procedimiento similar al, realizado para el valor final, sin embargo resulta mas fácil trasladar el valor futuro a presente multiplicándolo por ( 1+ i )-n así:

P = F( 1+ i )-n

Nótese que el valor presente queda exactamente en el punto 0, un periodo antes (no un mes antes) de la primera cuota.

Es común en forma análoga al caso de valor futuro, escribir la siguiente notación para indicar el valor presente de una anualidad:

P = A(P/A;i;n)

Ejemplo 8

Dentro de 1 mes deposito la primera de 100 cuotas de $10.000 en una institución que me paga el 14% capitalizable mensualmente. ¿ Cuanto tendré luego de realizar el ultimo deposito?

La situación se plantea fácilmente de acuerdo con la siguiente gráfica:

Considerando que la tasa es nominal, inicialmente hallamos la efectiva mensual así:

i = J/m

i = 0.14/12

i = 0.0116

Y ahora si calculamos F

F=$1'869.574,90

 

Ejemplo 9

Abro mi cuenta de ahorros hoy depositando una cantidad X, dentro de 5 meses empiezo una serie de 10 consignaciones mensuales de $250.000. Dentro de 2 años contados a partir del hoy iré al banco y retirare todo mi dinero y me entregaran $4'000.000

¿Cuánto consigne hoy si la tasa de interés que me paga el banco es del 1.05% mensual .?

Hallamos el presente de la anualidad, el cual estará ubicado un periodo antes de la primera cuota de la misma (en 4):

P=$2'361.487,75

Ahora planteamos nuevamente nuestra gráfica substituyendo la anualidad por su valor presente en el sitio adecuado:

Nos resta trasladar todos los flujos a un solo sitio y de esta forma plantear la ecuación de valor.

Utilizando como punto focal 0 llevando todos los flujos a presente mediante P=F( 1+ i )-n ya que los flujos que no están en cero son futuros a él:

Ingresos = Egresos

$4'000.000( 1+ i )-24 = X + $2'361.487,75( 1+ i )-4

X = $4'000.000( 1+ 0.0105 )-24 - $2'361.487,75( 1+ 0.0105)-4

X = $ 848.211,13

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2.7 VALOR PRESENTE DE ANUALIDADES INFINITAS

En las anualidades infinitas o perpetuas, solamente tiene sentido hablar de valor presente dado que en ellas el n que indica el sitio del valor futuro no existe puesto que tiende a infinito.

Para hallar el valor presente, basta calcular el límite cuando n tiende a infinito (positivo) del factor dado en la siguiente expresión:

El límite se calcula a continuación:

Al reemplazar obtenemos:

P=A(1/i)

P=A/i

La respuesta obtenida para el valor presente pudo hallarse más fácilmente si hubiésemos analizado como se puede obtener una renta infinita a partir de una inversión P; pues la renta serian los intereses y en tal caso, si como renta solo obtenemos los intereses es valido anotar lo siguiente:

A = I

Recuérdese que I = Pi, luego:

A = Pi

Y finalmente, despejando P obtenemos:

P=A/i

Indice General | Ejercicios

Tasas de Interés | Anualidades | Gradientes | Gradi

AnualidadUna anualidad es una sucesión de pagos, depósitos o retiros, generalmente iguales, que se realizan en períodos regulares de tiempo, con interés compuesto. El término anualidad no implica que las rentas tengan que ser anuales, sino que se da a cualquier secuencia de pagos, iguales en todos los casos, a intervalos regulares de tiempo, e independientemente que tales pagos sean anuales, semestrales, trimestrales o mensuales.

Cuando en un país hay relativa estabilidad económica, es frecuente que se efectúen operaciones mercantiles a través de pagos periódicos, sea a interés simple o compuesto, como en las anualidades.

Cuando las cuotas que se entregan se destinan para formar un capital, reciben el nombre de imposiciones o fondos; y si son entregadas para cancelar una deuda, se llaman amortizaciones.

Las anualidades nos son familiares en la vida diaria, como: rentas, sueldos, seguro social, pagos a plazos y de hipotecas, primas de seguros de vida, pensiones, aportaciones a fondos de amortización, alquileres, jubilaciones y otros, aunque entre unas y otras existen distintas modalidades y también muchas diferencias.

Sin embargo, el tipo de anualidad al que se hace referencia designa generalmente a la anualidad de inversión, que incluye interés compuesto, ya que en otras clases de anualidad no se involucra el interés.

Elementos de una anualidad[editar]

En una anualidad intervienen los siguientes elementos:

Renta: Es el pago, depósito o retiro, que se hace periódicamente.

Renta anual: Suma de los pagos hechos en un año.

Plazo: Es la duración de la anualidad. El número de veces que se cobra o se paga la

renta.

Periodo de pago: Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro.

ANUALIDADES

DEFINICIÓN:Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones:

1. Todos los pagos son de igual valor. 2. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo. 3. Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie a la misma tasa. 4. El número de pagos debe ser igual al número de periodos.ELEMENTOS DE UNA ANUALIDAD En una anualidad intervienen los siguientes elementos:Renta: Es el pago, depósito o retiro, que se hace periódicamente.Renta anual: Suma de los pagos hechos en un año.Plazo: Es la duración de la anualidad. Tiempo que transcurre entre el inicio y el fin de la anualidad.Periodo de pago: Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro.Tasa: Es el tipo de interés que se fija en la operación. Puede ser efectiva o capitalizable una vez en el año; o bien, nominal, si se capitaliza más de una vez en el año.

APLICACIONES TÍPICAS:

·  Amortización de préstamos en abonos.·  Deducción de la tasa de interés en una operación de pagos en abonos·  Constitución de fondos de amortizaciónLas variables que se utilizan son las siguientes:R = Renta o pago por periodoM = Monto o valor en el momento de su vencimiento, es el valor de todos los pagos al final de las operaciones.n = número de anualidades, periodos o pagos.C = valor actual o capital de la anualidad. Valor total de los pagos en el momento presente.i = tasa de interés efectivam = número de capitalización j = tasa de interés nominal Na = Número de años

TIPOS DE ANUALIDADES

A) Por tiempo. Este

criterio se refiere a las fechas de iniciación y de terminación de las anualidades.* Ciertas: Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Ejemplo: Al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el último pago.

Para calcular el monto, se utiliza la siguiente fórmula:

R [(1 +i)n - 1]M= --------------------

iPara calcular el capital o valor actual, se utiliza la siguiente fórmula:

R [1- (1 + i)-n]C= -------------------iDonde:

R = Renta o pago por periodoM = Monto o valor en el momento de su vencimiento, es el valor de todos los pagos al final de las operaciones.n = número de anualidades, periodos o pagos.C = valor 

* Contingentes: La fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas, no se fijan de antemano; depende de algún hecho que se sabe que ocurrirá, pero no se sabe cuándo. Ejemplo: Las rentas vitalicias que se otorgan a un cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se da al morir el cónyuge y se sabe que este morirá, pero no se sabe cuándo. 

B) Intereses* Simples: Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses. Ejemplo: El pago de una renta mensual X con intereses al 15% anual capitalizable mensualmente.La fórmula para calcular el valor actual de una anualidad simple es la siguiente:

R [1 - (1 + i) ^ n-]A n = ---------------------------i

Para calcular la serie de pagos periódicos, sedebe utilizar la siguiente fórmula:

R (1 + i) [(1 + i) ^ n -1]n S (debido) = --------------------------------i

* Generales: El periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización. Ejemplo: El pago de una renta semestral con intereses al 40% anual capitalizable trimestralmente. 

Para resolver problemas de casos de anualidad general es necesario modificar o hacer que coincidan los pagos o los periodos de capitalización, ajustándolos de manera que se puedan usar las formulas ya conocidas de anualidades sencillas.

Para poder convertir las anualidades generales sencillas podemos hacer lo siguiente:

a) Convertir la tasa de interés dada a una tasa equivalente para que coincida el periodo de pago con el de capitalización.

b) Encontrar el pago o renta equivalente para que coincida con la fecha de capitalización.

Analicemos dos casos:1) El periodo de pago es más largo que el de capitalización2) El periodo de capitalización es más largo que el pago.Para el caso en el que el periodo de pago es más largo que el de capitalización, la tasa equivalente se calcula con:

Para el caso en el que el periodo de capitalización es más largo que el periodo de pago, la tasa equivalente se calcula con:

Donde: P = periodo de pagom = periodo de capitalización.

Observación: El decir que el periodo de pagos es más largo que el de capitalización, no significa lo mismo que decir que p>m, ya que, puede suceder que p< m y el periodo de pagos seguir siendo más largo que el de

* Diferidas: Se pospone la realización de los cobros o pagos. Ejemplo: Se adquiere hoy un artículo a crédito, para pagar con abonos mensuales; el primer pago habrá de hacerse seis meses después de adquirir la mercancía. Se representa de la siguiente manera la anualidad diferida anticipada:  

Para mayor facilidad del cálculo, se invierte el orden de la progresión y se suma:

Y simplificando, nos quedaría la formula de la siguiente formula, que representa el valor presente:

Para calcular el monto de la anualidad anticipada, se usa la siguiente fórmula: 

Para obtener el tiempo, se debe despejar la “n” de las formulas del valor presente y del monto. Esta fórmula quedaría así:

Para calcular la anualidad diferida vencida, se anotan dos tiempos, uno diferido “K” y otro de pago “n”, mismos que hay que determinar con cuidado y con el auxilio de un diagrama para poder visualizar en donde se coloca el valor presente y las rentas de anualidad de que se trata.

Para calcular el valor presente:

Cuando el primer pago se efectúa al final de “K” periodos, se observa que la anualidad se ha diferido (K – 1) periodos. Se representa con el siguiente diagrama:

Para el cálculo, se utiliza la siguiente fórmula:

Donde:

K es el intervalo N es el tiempo de pago a partir de “K” O sea que n = (K + n) – K

Una anualidad son pagos que se realizan, en donde el importe, el periodo de tiempo que tenemos para pagar y la tasa de interés, son iguales para cada uno de estos pagos. Para realizar el cálculo de cualquier anualidad, es necesario conocer la cantidad de pago que se hace cada cierto tiempo, el plazo que va a durar la anualidad, el periodo de tiempo del pago y la tasa de interés que se va aplicar. Ya que conocemos esto, debemos de identificar qué tipo de anualidad es, para aplicar la formula correcta.Existen varios tipos de anualidades, y estas se clasifican de acuerdo a ciertos criterios como el tiempo, intereses, pagos o en el periodo de iniciación de los pagosDentro del criterio del tiempo, tenemos dos tipos de anualidades: ciertas y contingentes. En las anualidades ciertas, la fecha de cada pago ya están fijas y se estipulan de antemano. De esta manera, sabemos cuándo nos toca realizar el primer pago y hasta cuando el último pago. En la anualidad contingente, las fechas de los pagos no están fijas, dependen de algún hecho que va a ocurrir, pero no se sabe cuándo. Dentro del criterio de intereses, tenemos dos tipos de anualidades: simples y generales. En las anualidades simples, el periodo de pago, es igual con el periodo de capitalización de losintereses. En la anualidad general, el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización de los intereses. En este caso, se tienen que ajustar la tasa al periodo de capitalización para que sean equivalentes y que podamos utilizar las formulas.Dentro del criterio por pagos, tenemos dos tipos de anualidades: vencidas y anticipadas. Las anualidades vencidas, se pagan al finalizar cada periodo. Las anualidades anticipadas, se paga al iniciar cada periodo.Dentro del criterio de iniciación, tenemos dos tipos de anualidades: inmediatas y diferidas. En las anualidades inmediatas, como su nombre lo indica, se paga inmediatamente en ese momento un pago al formalizar el trato. Yo aquí lo veo como por ejemplo, cuando quieres rentar una casa, ya que formalizas el trato, das inmediatamente un pago y ya después cuando se vence el tiempo (en este caso cada mes), tienes que pagar el importe correspondiente. Las anualidades diferidas, por el contrario, el pago se pospone. Por ejemplo, podemos comprar algo y empezarlo a pagar hasta dentro de 5 meses.